doc
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 2021 Mallit / Loppuviikko
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 3 / 2021
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Etsi sellaisen lineaarikuvauksen matriisi, joka
a) Peilaa avaruuden R
2 vektorit x-akselin suhteen ja venyttää ne kolminkertaisen pituisiksi.
b) Peilaa avaruuden R
3 vektorit origon suhteen.
c) Projisoi avaruuden R
3 vektorit y-akselin suunnassa xz-tasolle.
Ratkaisu 5: Lineaarikuvauksen matriisin muodostamiseksi riittää tutkia avaruuden kantavektorien
kuvautumista. Tämä voidaan todeta vaikka seuraavalla tavalla. Olkoon etsityn lineaarikuvauksen
matriisi A. Kootaan kantavektorit matriisin I sarakkeiksi ja niiden kuvat matriisin B sarakkeiksi.
Tällöin AI = B ja koska kantavektorit sisältävä matriisi on identiteettimatriisi, saadaan A = B.
a) A =
3 0
0 −3
b) A =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
c) A =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Tehtävä 6 (L): a) Etsi jotkin sellaiset matriisit A ja B, että AB = 0, vaikka kumpikaan mat riiseista ei ole nollamatriisi.
b) Etsi jotkin sellaiset 3 × 3-matriisit C ja D , että CD ̸= DC.
Ratkaisu 6:
a) A =
1 0
0 0
, B =
0 0
0 1
.
b) C =
1 1 1
0 0 0
0 0 0
, D =
1 0 0
1 0 0
1 0 0
, CD =
3 0 0
0 0 0
0 0 0
, DC =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
Tehtävä 7 (P): Määritellään kompleksimuuttujan matriisiarvoinen funktio
f : C → R
2×2
, f(a + ib) :=
a −b
b a
.
Näytä laskemalla, että f(λµ) = f(λ)f(µ) kaikilla λ, µ ∈ C.
Ratkaisu 7: Olkoot λ, µ ∈ C, missä λ = a + ib ja µ = c + id eräillä a, b, c, d ∈ R. Lasketaan:
λµ = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) ∈ C. (1)
Kaavan (1) avulla saadaan f(λµ) = f(λ) f(µ), koska
f(λµ) − f(λ) f(µ)
(1)
=
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
−
a −b
b a c −d
d c
=
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
−
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
=
0 0
0 0
.
Toisin sanoen tässä voidaan samaistaa kompleksiluku a + ib ∈ C matriisin
a −b
b a
kanssa niin,
että kompleksilukujen kertolasku vastaa tällaisten matriisien kertolaskua.
Tehtävä 8 (P): Laske Gauss-eliminaatiolla matriisin A =
0 0 1
0 1 2
1 2 3
käänteismatriisi A−1
. Tar kista tuloksesi, siis että A−1A = I.
Ratkaisu 8: Kirjoitetaan liittomatriisi ja käsitellään Gauss-algoritmilla:
[A|I] =
0 0 1 | 1 0 0
0 1 2 | 0 1 0
1 2 3 | 0 0 1
∼
1 2 3 | 0 0 1
0 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 1 0 0
∼
1 2 0 | −3 0 1
0 1 0 | −2 1 0
0 0 1 | 1 0 0
∼
1 0 0 | 1 −2 1
0 1 0 | −2 1 0
0 0 1 | 1 0 0
=
I | X
.
Tässä X :=
1 −2 1
−2 1 0
1 0 0
näyttäisi siis olevan matriisin A käänteismatriisi. Tarkistetaan, että
X = A−1
:
AX =
0 0 1
0 1 2
1 2 3
1 −2 1
−2 1 0
1 0 0
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I.
(Oltaisiin myös yhtäpitävästi voitu tarkistaa, että XA = ... = I.)
2
