doc
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 2021 Mallit / Loppuviikko
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 3 / 2021
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Etsi sellaisen lineaarikuvauksen matriisi, joka
a) Peilaa avaruuden R
2 vektorit x-akselin suhteen ja venyttää ne kolminkertaisen pituisiksi.
b) Peilaa avaruuden R
3 vektorit origon suhteen.
c) Projisoi avaruuden R
3 vektorit y-akselin suunnassa xz-tasolle.
Ratkaisu 5: Lineaarikuvauksen matriisin muodostamiseksi riittää tutkia avaruuden kantavektorien
kuvautumista. Tämä voidaan todeta vaikka seuraavalla tavalla. Olkoon etsityn lineaarikuvauksen
matriisi A. Kootaan kantavektorit matriisin I sarakkeiksi ja niiden kuvat matriisin B sarakkeiksi.
Tällöin AI = B ja koska kantavektorit sisältävä matriisi on identiteettimatriisi, saadaan A = B.
a) A =
3 0
0 −3
b) A =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
c) A =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Tehtävä 6 (L): a) Etsi jotkin sellaiset matriisit A ja B, että AB = 0, vaikka kumpikaan mat riiseista ei ole nollamatriisi.
b) Etsi jotkin sellaiset 3 × 3-matriisit C ja D , että CD ̸= DC.
Ratkaisu 6:
a) A =
1 0
0 0
, B =
0 0
0 1
.
b) C =
1 1 1
0 0 0
0 0 0
, D =
1 0 0
1 0 0
1 0 0
, CD =
3 0 0
0 0 0
0 0 0
, DC =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
Tehtävä 7 (P): Määritellään kompleksimuuttujan matriisiarvoinen funktio
f : C → R
2×2
, f(a + ib) :=
a −b
b a
.
Näytä laskemalla, että f(λµ) = f(λ)f(µ) kaikilla λ, µ ∈ C.
Ratkaisu 7: Olkoot λ, µ ∈ C, missä λ = a + ib ja µ = c + id eräillä a, b, c, d ∈ R. Lasketaan:
λµ = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) ∈ C. (1)
Kaavan (1) avulla saadaan f(λµ) = f(λ) f(µ), koska
f(λµ) − f(λ) f(µ)
(1)
=
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
−
a −b
b a c −d
d c
=
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
−
ac − bd −ad − bc
ad + bc ac − bd
=
0 0
0 0
.
Toisin sanoen tässä voidaan samaistaa kompleksiluku a + ib ∈ C matriisin
a −b
b a
kanssa niin,
että kompleksilukujen kertolasku vastaa tällaisten matriisien kertolaskua.
Tehtävä 8 (P): Laske Gauss-eliminaatiolla matriisin A =
0 0 1
0 1 2
1 2 3
käänteismatriisi A−1
. Tar kista tuloksesi, siis että A−1A = I.
Ratkaisu 8: Kirjoitetaan liittomatriisi ja käsitellään Gauss-algoritmilla:
[A|I] =
0 0 1 | 1 0 0
0 1 2 | 0 1 0
1 2 3 | 0 0 1
∼
1 2 3 | 0 0 1
0 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 1 0 0
∼
1 2 0 | −3 0 1
0 1 0 | −2 1 0
0 0 1 | 1 0 0
∼
1 0 0 | 1 −2 1
0 1 0 | −2 1 0
0 0 1 | 1 0 0
=
I | X
.
Tässä X :=
1 −2 1
−2 1 0
1 0 0
näyttäisi siis olevan matriisin A käänteismatriisi. Tarkistetaan, että
X = A−1
:
AX =
0 0 1
0 1 2
1 2 3
1 −2 1
−2 1 0
1 0 0
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I.
(Oltaisiin myös yhtäpitävästi voitu tarkistaa, että XA = ... = I.)
2
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Alkuviikko
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 2 / 2022
Mallit / Alkuviikko
Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat
a) |z − 2i| = 2,
b) |z − 2i| < 2,
c) |1/z| < 1.
Ratkaisu:
Yleisesti: ehto |z| = R, z ∈ C muodostaa kompleksitasoon joukon kaikista niistä pisteistä, joiden
itseisarvo on R. Graafisesti tulkittuna tämä joukko muodostaa R-säteisen, origokeskisen ympyrän
kompleksitasoon.
Jos joukkoa siirretään tasossa (so. z → z − z0) siirtyy myös ympyrän keskipiste pisteestä z = 0
pisteeseen z − z0 = 0 → z = z0.
Toisin sanoen ehto |z − z0| = R kelpuuttaa pisteet z joiden etäisyys pisteestä z0 on R.
(a) |z − 2i| = 2: ympyrä kompleksitasossa, jonka origo on pisteessä z0 = 2i ja säde on 2.
(b) |z − 2i| < 2: kaikki pisteet ympyrän, jonka keskipiste z0 = 2i ja säde 2, sisällä. (Pisteet joiden
etäisyys pisteestä z0 = 2i on alle 2.)
(c) Joukkoon kuuluvat kaikki pisteet z ∈ C, z ̸= 0, joiden itseisarvo on suurempi kuin 1. Kun
z = 0 jakolaskua ei ole määritelty.
1
z
=
1
|z|
< 1 |z| > 0, |z| ̸= 0
⇒
1
|z|
< 1
⇒ 1 < |z|
⇒ |z| > 1
Kyseessä on siis koko kompleksitaso yksisäteisen origokeskisen ympyrän ulkopuolella. Ym pyrän reuna ei kuulu alueeseen.
Vaihtoehtoinen ratkaisu:
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
(a) Kompleksiluvun zˆ itseisarvo voidaan kirjoittaa Pythagoraan lauseen avulla |zˆ| =
p
Re(ˆz)
2 + Im(ˆz)
2
.
|z − 2i| =
p
Re(z − 2i)
2 + Im(z − 2i)
2
=
p
Re(z)
2 + (Im(z) − 2)2 = 2,
jonka voi tulkita yhtälöksi ympyrälle, jonka keskipiste on kompleksitason pisteessä 2i, ja säde
on 2.
(b) Vastaavasti:
|z − 2i| =
p
Re(z − 2i)
2 + Im(z − 2i)
2
=
p
Re(z)
2 + (Im(z) − 2)2 < 2,
joka havaitaan avoimeksi (="reunattomaksi") kiekoksi, jonka keskipiste on kompleksitason
pisteessä 2i, ja säde on 2.
(c) Kuten ensimämisessä ratkaisumallissa, kirjoitetana yhtälö muotoon |z| > 1, jolloin
|z| =
p
Re(z)
2 + Im(z)
2 > 1,
joka voidaan tulkita yksisäteisen origokeskeisen kiekon komplementiksi kompleksitasossa.
Tehtävä 2 (L): Sanotaan, että kuvaus f : R
n → R
m on lineaarinen, jos
(
f(x + y) = f(x) + f(y) ja
f(tx) = tf(x)
jokaisella x, y ∈ R
n
ja t ∈ R.
a) Näytä, että g : R
3 → R on lineaarinen, kun määritellään g(x) = x · v, missä v = (9, 7, 5) ∈
R
3
.
b) Olkoon h : R
3 → R lineaarinen. Päättele, että on olemassa w = (w1, w2, w3) ∈ R
3
, jolle
h(x) = x · w (sisätulo) jokaisella x ∈ R
3
.
Ratkaisu:
(a) Merkitään x = (x1, x2, x3), v = (v1, v2, v3) = (9, 7, 5) ja y = (y1, y2, y3). Tarkastetaan lineaa risuuden ehdot.
2
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
g(x + y) = (x + y) · v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) · (v1, v2, v3)
= v1 · (x1 + y1) + v2 · (x2 + y2) + v3 · (x3 + y3)
= (v1 · x1 + v2 · x2 + v3 · x3) + (v1 · y1 + v2 · y2 + v3 · y3)
= x · v + y · v
= g(x) + g(y)
g(tx) = (tx) · v = (tx1, tx2, tx3) · (v1, v2, v3)
= v1tx1 + v2tx2 + v3tx3
= t(x1v1 + x2v2 + x3v3)
= t(x · v)
= tg(x)
Huomataan, että molemmat lineaarisuuden ehdot täyttyvät, jolloin ollaan näytetty, että g on
lineaarinen.
(b) Olkoon δk avaruuden R
3
standardikannan k:s vektori eli δ1 = (1, 0, 0), δ2 = (0, 1, 0), δ3 =
(0, 0, 1). Funktion h : R
3 → R lineaarisuuden nojalla kaikille x ∈ R
3 pätee
h(x) = h((x1, x2, x3))
= h(x1δ1 + x2δ2 + x3δ3)
= x1h(δ1) + x2h(δ2) + x3h(δ3)
= x1w1 + x2w2 + x3w3
= x · w,
kun vektori w = (w1, w2, w3) määritellään wk := h(δk).
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021 Turunen / Bergman
Tehtävä 3 (P): Olkoon A : R
3 → R
2
lineaarinen. Tiedetään, että A(1, 0, 0) = (−4, −1), A(0, 1, 0) =
(0, 2) ja A(0, 0, 1) = (3, 5). Laske A(8, 7, 6).
Ratkaisu:
Koska A on lineaarinen, niin A(8, 7, 6) = A(8, 0, 0) + A(0, 7, 0) + A(0, 0, 6). Toisaalta lineaari suuden vuoksi saadaan myös
A(8, 0, 0) = 8 · A(1, 0, 0) = 8 · (−4, −1) = (−32, −8)
A(0, 7, 0) = 7 · A(0, 1, 0) = 7 · (0, 2) = (0, 14)
A(0, 0, 6) = 6 · A(0, 0, 1) = 6 · (3, 5) = (18, 30)
Tällöin A(8, 7, 6) = (−32, −8) + (0, 14) + (18, 30) = (−32 + 0 + 18, −8 + 14 + 30) = (−14, 36).
Tehtävä 4 (P): Todista vektorien u, v ∈ C
n
suunnikasidentiteetti
∥u + v∥
2 + ∥u − v∥
2 = 2 ∥u∥
2 + 2 ∥v∥
2
. (1)
Piirrä tason suunnikas, jonka kärkinä ovat O, u, v, u + v ∈ R
2
.
Miten ∥u + v∥, ∥u − v∥, ∥u∥, ∥v∥ liittyvät suunnikkaan kärkien välisiin etäisyyksiin?
Ratkaisu: Todistus:
∥u + v∥
2 + ∥u − v∥
2 =
Xn
i=1
(ui + vi)(ui + vi) +Xn
i=1
(ui − vi)(ui − vi)
=
Xn
i=1
(uiui + uivi + viui + vivi) +Xn
i=1
(uiui − uivi − viui + vivi)
=
Xn
i=1
(2uiui + 2vivi)
=2∥u∥
2 + 2∥v∥
2
∥u + v∥ vastaa origon ja kärjen u+v etäisyyttä.
∥u − v∥ vastaa kärkien u ja v välistä etäisyyttä.
∥u∥ vastaa origon ja kärjen u välistä etäisyyttä.
∥v∥ vastaa origon ja kärjen v välistä etäisyyttä.
4
