procesamiento digital de señales mediante la teoría de wavelets

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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
PROYECTO FIN DE CARRERA
PROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEÑALES MEDIANTE LA TEORÍA DE
WAVELETS
AUTOR:
Pablo Márquez Belzunce
DIRECTOR:
Dr. Francisco Javier Rodríguez Gómez
MADRID, Julio de 2013
Autorizada la entrega del proyecto del alumno:
Pablo Márquez Belzunce
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Dr. Francisco Javier Rodríguez Gómez

Fdo.:
Fecha: ……/……/……
Vº Bº DEL COORDINADOR DE PROYECTOS
Prof. Dr. Álvaro Sánchez Miralles
Fdo.:
Fecha: ……/……/……
Índice de documentos
DOCUMENTO I. MEMORIA
I. Memoria
pág. 25 a 114
90 páginas
RESUMEN DEL PROYECTO
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA
TEORÍA DE WAVELETS
Autor:
Márquez Belzunce, Pablo.
Director:
Rodríguez Gómez, Francisco Javier.
Entidad Colaboradora:
ICAI - Universidad Pontifica Comillas.
Introducción
El concepto de análisis wavelet es relativamente reciente, data desde mediados del siglo
XX. En su estado actual, la teoría de wavelet surge a finales de los 80’s desde el trabajo
de diversos investigadores como Jean Morlet, Alex Grossmann o Ingrid Daubechies.
Las wavelets operan de forma análoga al análisis de Fourier en algunas aplicaciones,
existen series y transformadas integrales tal y como ocurre con las TF. La diferencia
principal que tienen las wavelets con las transformadas de Fourier es que las wavelet
realizan análisis locales, lo cual las hace apropiadas para el análisis de señales en el
dominio tiempo-frecuencia, mientras que las transformada de Fourier es global.
Las técnicas wavelet permiten dividir una función compleja en otras más simples, y
estudiarlas así por separado. Esto hace que sean apropiadas para el análisis de imagen,
de señales, así como para diagnósticos médicos, procesamiento de señales geodésicas y
otros muchos usos.
Las wavelets se utilizan también por su eficacia en la representación de señales no
estacionarias, así como para el análisis multiresolución, que permite representar señales
como una suma finita de componentes con diferentes resoluciones, lo que permite
representar señales de forma compacta y en varios niveles.
Metodología
En el desarrollo del proyecto se va a seguir la siguiente metodología.

Estudio del estado del arte de la Teoría de Wavelets.

Estudio del procesamiento de señales digitales con Wavelets.
I

Elaboración de programas en el lenguaje del software MATLAB y empleo de la
herramienta ToolBox “Wavemenu” que ilustre las aplicaciones prácticas en el
tratamiento digital de señales.
Como recursos software en la elaboración de la documentación, gráficos y tablas, se
empleará el paquete integrado Microsoft Office®, el software Wolfram Mathematica®
8. y las funciones gráficas de MATLAB®.
La arquitectura hardware y software a emplear será una arquitectura PC con las
características siguientes:

Procesador con velocidad de reloj 2.3 GHz.

Memoria RAM de 4 GB.

Disco duro de 500 GB.

Tarjeta gráfica de 128 MB.

Sistema Operativo Windows Vista® o Windows 7®.

Software MATLAB® R2012b.
Como software de desarrollo y ejecución se utilizará el paquete MATLAB®
R2012b. Las razones de utilizar este software tan específico son principalmente las
derivadas de sus características.
Lenguaje MATLAB
MATLAB es un lenguaje técnico de alto nivel y con un entorno de desarrollo
interactivo que permite desarrollar algoritmos, realizar análisis de datos, cálculo
numérico y representación de gráficos 2D y 3D. Permite resolver problemas técnicos de
un modo más rápido que los lenguajes de alto nivel como C, C++, y Fortran.
Se emplea en un gran conjunto de aplicaciones como procesado de señal e imagen,
comunicaciones, diseño de control y medidas, modelado, y análisis numérico, entre
otras.
Sus principales ventajas, que lo hacen idóneo para este proyecto son:

Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico.

Entorno de desarrollo integrado que gestiona el código, ficheros y datos.

Herramientas interactivas para realizar diseños y ejecutar el código.

Funciones matemáticas para el álgebra lineal, optimización, derivación e
integración numérica así como funciones para el análisis de Fourier.

Funciones gráficas para visualizar datos y funciones en 2-D y 3-D.

Herramientas y controles para construir interfaces gráficos de usuario (GUI).
II

Funciones para integrar el lenguaje con aplicaciones externas y lenguajes como
C, C++, Java, Fortran, etc.

Dispone de diferentes bibliotecas de funciones específicas denominadas
ToolBoox. En particular integra la herramienta ToolBox denominada
“Wavemenu”, específica para tratar las Wavelets.
Conclusiones y Resultados
El objetivo que se perseguía con este PFC era situar las wavelet en el ámbito y usos
actuales, estudiar sus características, sus fundamentos y sus algoritmos, además de
realizar un análisis completo del procesamiento de imágenes con wavelet.
Para el procesamiento de imágenes se han estudiado las diferentes características, se han
modelado diferentes programas mediante Matlab y se ha utilizado todas las
herramientas que Matlab facilita para el manejo de las wavelets, y se han conseguido
datos satisfactorios. La compresión de imágenes mediante wavelet es uno de los grandes
éxitos de estas transformadas, mediante el uso de symlets que son las wavelets más
utilizadas para la compresión, se han conseguido buenos ratios de compresión
manteniendo una energía alta de la imagen y un buen número de ceros. El mayor
ejemplo del éxito de las wavelet es la compresión JPEG, la cual demuestra claramente
que este tipo de ondas son las más eficaces para la compresión, se obtiene mayores
compresiones con mayor calidad de imagen.
En el caso de la fusión de imágenes, la detección de bordes y la eliminación de ruido, se
ha observado que las wavelets que mejor se adaptan para estas aplicaciones son las
biortogonales, debido a que estas permiten una reconstrucción exacta a través de los
filtros, lo que proporciona muchas ventajas. En el caso de fusión de imágenes, se ha
comprobado su gran eficacia fusionando partes de una misma imagen, y se ha
comprobado su potencial para obtener mejores resultados con un estudio más profundo
solo en ese campo. Dado que en el caso de disponer de diversas formas de una misma
imagen se puede llegar a fusionar de tal manera que se consiga la original
perfectamente, lo cual es muy útil para el caso de imágenes antiguas, médicas o
imágenes tomadas desde distintas cámaras o ángulos.
En las siguienes imágenes se pueden ver un ejemplo de fusión satisfactoria de imágenes
complementarias así como el de una buena compresión de imágenes, así como el
resultado de una eliminación de ruido.
Primero se expone la fusión de imágenes complementarias, donde se puede observar
claramente el éxito del proceso, y aun así mejorable.
III
FIGURA 1. Imágenes complementarias que van a ser fusionadas.
FIGURA 2. Resultado de la fusión de las imágenes complementarias de la playa de la Concha.
A continuación se muestran dos tipos de eliminación de ruido con dos wavelets
diferentes, la primera ha sido tratada con wavelets daubechies 10 para un nivel 5, en la
segunda imagen se ha aplicado wavelets reverse biorthogonal 6.8 para un nivel 4. Se
observa que las biortogonales en este caso trabajan un poco mejor, y tiene un nivel
menor.
IV
FIGURA 3. Cuatro imágenes, original, con ruido aleatorio, y dos filtradas con dos tipos de wavelets
diferentes.
El siguiente resultado se puede ver una compresión satisfactoria de imágenes, donde se
ha conseguido mantener una alta energía manteniendo alto el número de ceros.
V
FIGURA 4. Imagen original de Playa a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la
energía y el número de ceros y el lugar del umbral abajo.
Las wavelets son una herramienta muy potente para el estudio de señales e imágenes,
debido a esto, son útiles en un amplio número de aplicaciones en muy diferentes
campos, donde muchas veces se obtienen mejores resultados que con otras técnicas, a
pesar de ser una herramienta relativamente nueva en el procesamiento de señales. En
muchas ocasiones las wavelets proporcionan características diferentes y más eficaces
debido a su análisis local que es uno de sus mayores beneficios a la hora del análisis de
señales.
Por lo tanto, se ha comprobado que las wavelets son una herramienta muy potente y con
gran potencial para el trabajo con imágenes, en lo que a compresión, eliminación de
ruido y fusión se refiere. Así como su uso para muchas otras aplicaciones en diferentes
campos, donde poco a poco ganan terreno a otras aplicaciones.
VI
Referencias
[DAUB92] Daubechies I, “Ten Lectures on Wavelets” Philadelphia 1992.
[GROS94] A. Grossmann, J. Morlet “Descomposition of Hardy functions into square
integrable wavelets of constant shap” SIAM j. of Match. Anal. 1984
[JAID11]
Jaideva C. Goswami, Andrew K. Chan, “Fundamentals of Wavelets”
Theory, Algorithms and Applications. 2011.
[MALL99] S.Mallat, “A Wavelet tour of Signal Processing” Academic Press, 2nd
Edition 1999.
http://www.cs.nyu.edu/cs/faculty/mallat/Wavetour_fig/index.html
[MARI04]
María José Lado, A. J. Méndez, “Algoritmos y Aplicaciones en el Análisis
de Gráficos de Interfaz”, Departamento de Informática. Universidad de
Vigo. Curso 2003/2004.
[MICH07]
M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J. Poggi, “Wavelets and their
Applications” ISTE Ltd, 2007.
[STRA94]
STRANG, G., “Wavelet Tranform versus Fourier Transform”, American
Mathematical Society. Abril 1993.
[RAUG02] R. Rangarajan, R. Venkataramanan, S. Slah, “Image Denoising Using
Wavelets”, Wavelets & Time Frequency. Diciembre 2002.
VII
VIII
ABSTRACT
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA
TEORÍA DE WAVELETS
Author:
Márquez Belzunce, Pablo.
Manager:
Rodríguez Gómez, Francisco Javier.
Collaborating Entity: ICAI - Universidad Pontifica Comillas.
ABSTRACT
Introduction
The concept of wavelet analysis is quite new, comes from middle of the S.XX. His
actual state starts at the end of the 80’s, coming from the work of some researchers such
as Jean Morlet, Alex Grossmann or Ingrid Daubechies.
Wavelet work in similar ways like Fourier analysis, for some applications Wavelets
have series and transforms just like FT. The main difference between these two types of
analysis is that wavelet perform local analysis while FT perform global analysis. Having
this property gives wavelet such an edge analyzing signals in time-frequency domain.
Wavelet’s technique is able to divide a complex function into more simple ones, and
thus work with those more simple functions. This makes wavelet appropriate for image
analysis, signal analysis, medical diagnosis, and others.
Wavelets are used, also, because of their efficiency in representing non-stationary
signals, as well as their ability to perform multireslolution analysis. With
multiresolution analysis wavelets are able to represent signals as a finite sum of
components with different resolutions and in different levels.
Method
This PFC is going to work with the following method.

Study of the state of the art of wavelets.

Study of image processing with wavelets.

Creation of programs in MATLAB language, and the use of the Wavemenu
ToolBox for showing the applications on the digital image processing.
IX
ABSTRACT
As software resources for the document elaboration, graphics and tables, Microsoft
Office®, Wolfram Mathematica® and Matlab® graphic fucntions.
Hardware and software arquitectura will have the following or similar to the
following characteristics.

Speed processor 2.3 GHz.

RAM of 4 GB.

Hard drive of 500 GB.

Graphic card of 128 MB.

OS Windows Vista® o Windows 7®.

MATLAB language
MATLAB is a high level technical language with an interactive environment that allows
to develop algorithms, perform data analysis, numeric calculus and graphic
representation in 2D and 3D. Allows solving technical problems faster than other
programming languages like C, C++ or FORTRAN.
Is used in a big group of applications, some like signal processing and image
processing, communications, control designs and measurements, modeling, numerical
analysis…
Its main advantages that make it perfect for this project are:

High level language for technical calculations.

Indexed environment for codding, files and data.

Interactive tools to perform designs and run codes.

Mathematical functions for algebra, optimization, numeric derivation and
integration, as well as functions to Fourier analysis.

Graphic functions for visualizing data and 2D and 3D functions.

Tools and controls for developing graphic user interfaces.

Functions for interate the language with external aplications and programming
languages like C, C++, Java, Fortran, etc.

Has diferent librarys with especific functions, called ToolBoox. In particular
Wavemenu ToolBox, for working with wavelets.
X
ABSTRACT
Conclusions
The objective aimed with this project was to explore wavelet in their actual uses, study
their characteristics, fundamentals and algorithms, as well as performing a complete
analysis of image processing with wavelet.
The characteristics of image processing have been studied, programming in Matlab and
with Matlab wavelet tools. Obtaining satisfactory data with them.
Image compression with wavelet is a success with this kind of analysis, using symlet
wavelet, it was able to achieve good compression ratios maintaining high energy level
and a high number of zeros. The most successful application for image compression is
the standard JPEG 2000 used nowadays, it is able to perform very high compressions
maintaining the quality of image.
In the case of image fusion, edge detection and image denoising, it was observed that
the best type of wavelets for these applications were the biorthogonal wavelets, because
they are able to perform exact reconstructions using filters, this property gives many
advantages comparing to other techniques. In the case of image fusion, the efficiency
using wavelets was proved, and good results were achieved performing image fusion of
2 parts of the same image, and also realising the fusion of fuzzy images potential.
On the following figures, there are shown examples of image fusion, compression and a
good denoised image.
First it is shown the image fusion of two complementary images. The success on the
process can be seen, but is also improvable.
XI
ABSTRACT
FIGURE 5. Image fusion of complementary images.
FIGURE 6. Result of the image fusion.
Now two types of denoised images are shown, coming from the same image. The first
one in the left is performed with daubechies 10 for a level 5 of decomposition, the
second on the bottom right is performed with reverse biorthogonal 6.8 for a level 4 of
decomposition. It can be appreciated a slightly difference between them, in which
biorthogonal wavelets work better.
XII
ABSTRACT
FIGURE 7. Four images, the original one on the upper left, the noisy image on the top right, and the
denoised images at the bottom.
The following images show a satisfactory image compression where, the retained
energy is very high, but also almost all the zeros are maintained.
XIII
ABSTRACT
FIGURE 8. Original image on the top left, and compressed image on the top right. On the bottom it is
shown a graphic with the percentages of energy and zeros.
Wavelets are a very potent tool for the study of signals and images, thus they are very
useful in a variety of applications in different fields, in a lot of them having better
performing than other techniques. This is because wavelet make a different approach
with different characteristics and more efficiency than other techniques, some of them
because of the local characteristic, which is one of the major benefits in signal analysis.
In the end, it was proved that wavelets are a powerful technique and with great potential
for working with images, in compression, denoising and fusion. And it is was proved,
also, a great tool for applications in different fields, and everyday more popular
XIV
ABSTRACT
References:
[JAID11]
Edition 1999.
[MARI04]
[MICH07]
[STRA94]
XV
AGRADECIMIENTOS
AGRADECIMIENTOS
AGRADECER A FRANCISCO JAVIER, POR SER CAPAZ DE TRATAR CONMIGO INCLUSO EN LOS
MOMENTOS DIFÍCILES. A YELENA PORQUE SIEMPRE CREYÓ EN MÍ Y ME APOYÓ
INCONDICIONALMENTE FUERA CUAL FUERA LA SITUACIÓN. A JOSÉ Y ELENA, POR
AYUDARME A VER LAS COSAS MÁS BLANCAS CUANDO TODO ESTABA NEGRO. Y A AIDA
PORQUE SIN SUS BUENAS COMIDAS Y CHARLAS EN LOS LARGOS DÍAS DE ESTUDIO. A
TODOS, GRACIAS.
XVI
ÍNDICE
Índice
Capítulo 1. Introducción y Motivación ................................................................. 3
1.1
Introducción ............................................................................................................... 3
1.2
Estado del arte............................................................................................................ 4
1.3
Motivación del proyecto ............................................................................................ 6
1.4
Objetivos ..................................................................................................................... 6
1.5
Metodología ................................................................................................................ 7
Capítulo 2
2.1
Fundamentos del análisis de señales ............................................. 9
Fundamentos Matemáticos ....................................................................................... 9
2.1.1 Espacio Lineal ............................................................................................................................ 9
2.1.2 Vectores y Espacios Vectoriales ................................................................................................ 9
2.1.3 Funciones Básicas, Ortogonalidad y Biortogonalidad ............................................................. 10
2.1.4 Bases Locales y Bases Ries ..................................................................................................... 11
2.1.5 Espacio linear discreto normalizado (normado) ....................................................................... 12
2.1.6 Aproximación por proyección ortogonal ................................................................................. 12
2.1.7 Introducción a Señales Digitales .............................................................................................. 12
Capítulo 3
3.1
Procesamiento digital de señales con wavelets. ........................... 15
Algoritmos que emplean las técnicas sobre Wavelets para el DSP. .................... 15
3.1.1 Algoritmos Wavelet Packet ..................................................................................................... 15
3.1.2 Segmentación ........................................................................................................................... 17
3.1.3 Identificación de fallos a través de sintonías ............................................................................ 18
3.1.4 Wavelets de dos dimensiones y Wavelet Packets .................................................................... 19
3.1.5 Compresión de Imágenes ......................................................................................................... 27
3.1.6 Algoritmos para la detección de Micro-Calcificaciones .......................................................... 31
3.1.7 Sistemas de comunicación con multiportadoras (MCCS) ........................................................ 32
3.1.8 Visualización de imágenes médicas en tres dimensiones......................................................... 36
3.1.9 Aplicaciones Geofísicas ........................................................................................................... 37
Capítulo 4
4.1
Aplicaciones de la transformada wavelet en DSP. ...................... 39
Clasificación de las aplicaciones ............................................................................. 40
Capítulo 5
Procesamiento de imágenes con wavelets .................................... 51
5.1
Introducción ............................................................................................................. 51
5.2
Wavelets para las imágenes .................................................................................... 51
5.3
Detección de bordes ................................................................................................. 52
5.4
Fusión de imágenes .................................................................................................. 59
5.4.1 Fusión de imágenes complementarias ...................................................................................... 59
5.4.2 Fusión de imágenes diferentes ................................................................................................. 62
XVII
ÍNDICE
5.5
Eliminación de ruido ............................................................................................... 63
5.6
Compresión de imágenes ......................................................................................... 66
5.6.1 Principios de Compresión ........................................................................................................ 67
5.6.2 Wavelets Y Compresión .......................................................................................................... 68
5.6.3 Compresión Verdadera ............................................................................................................ 73
5.6.4 Estándar JPEG 2000 ................................................................................................................ 74
Capítulo 6
Conclusiones ................................................................................. 77
Capítulo 7
Futuros Desarrollos ...................................................................... 79
Capítulo 8
Bibliografía ................................................................................... 81
XVIII
MEMORIA
DOCUMENTO I
MEMORIA
1
MEMORIA
2
MEMORIA
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
En este capítulo va a realizar una introducción al empleo de la teoría de Wavelets.
1.1 INTRODUCCIÓN
El concepto de análisis wavelet es relativamente reciente, data desde mediados del siglo
XX. Se puede considerar que las teorías de Littlewood-Palley y Calderón-Zygmund
sobre el análisis de armónicos y la teoría en procesamiento de señales se pueden
considerar predecesores del análisis sobre wavelets. Sin embargo, en su estado actual la
teoría de wavelet surge a finales de los 80’s con los trabajos de varios investigadores en
distintas disciplinas, como son Jean Morlet y Alex Grossmann, J. Strömberg, Stephane
Mallat, Yves Meyer, Ingrid Daubechies, y C. K. Chui, entre otros, han contribuido
significativamente su desarrollo.
En aquéllas aplicaciones que operan sobre un conjunto de datos discretos, las funciones
wavelets se pueden considerar funciones generadas por dilatación y traslación de
funciones simples. De forma análoga al análisis de Fourier, existe series Wavelets (WS)
y transformada integral wavelet (IWT). Estas series y transformadas integrales wavelet
están íntimamente relacionadas. La transformada IWT de una función finita de energía
en el dominio de los reales y evaluada en ciertos puntos en la escala del tiempo
proporciona los coeficientes para la representación de la serie wavelet. Esta relación no
existe entre las series de Fourier y la transformada de Fourier. Además el análisis de
Fourier es global en el sentido de que cada componente de frecuencia (tiempo) de la
función es aplicada influenciada por todas las componentes del tiempo (frecuencia) de
la función. En cambio, el análisis wavelet es un análisis local. Esta naturaleza local es
apropiada para el análisis de señales en el dominio tiempo-frecuencia.
Las técnicas wavelet permiten dividir una función compleja en varias más simples,
objeto de estudio por separado. Esta propiedad junto los algoritmos rápidos sobre
wavelet que comparativamente son más rápidos que los algoritmos sobre la
transformada rápida de Fourier, añaden más ventajas al proceso análisis y síntesis.
Se han utilizado diferentes tipos de wavelets como herramienta para resolver problemas
relacionadas con el análisis de señales, análisis de imagen, diagnósticos médicos,
procesamiento de señales geodésicas, análisis estadístico, problemas del valor en la
frontera, y otros. Estas técnicas con wavelets están ganando una enorme popularidad en
las citadas áreas, por lo que continúan las investigaciones sobre nuevas aplicaciones.
3
MEMORIA
Una razón por la que se emplean las wavelets es su eficacia en la representación de
señales no estacionarias (transitorios). Dado que la mayoría de señales tiene señales
transitorias, se usan las diferentes tipos de wavelets para su representación en una gran
cantidad de clases de señales, en lugar de representarlas mediante el análisis de Fourier
de señales estacionarias. A diferencia del análisis de Fourier que usa funciones
senoidales (global) como base, el análisis Wavelet emplea bases que son localizadas en
el tiempo y la frecuencia (no local) que son más efectivas en la representación de
señales no estacionarias. Como resultado, la representación con Wavelet es más
compacta y fácil para su posterior implementación.
Con el análisis multiresolución se pueden representar las señales como una suma finita
de componentes de diferentes resoluciones de modo que cada componente se pueda
procesar de forma adaptativa en los objetivos de la aplicación. Esta capacidad de
representar señales de forma compacta y en varios niveles de resolución es la principal
ventaja del análisis wavelet.
1.2 ESTADO DEL ARTE
Se indica a continuación algunas de las más recientes publicaciones donde se emplea la
Teoría de Wavelets en el estudio y tratamiento de diferentes señales.
[1] Procesado y Transmisión de Señales Biomédicas para el Diagnóstico de Trastornos
y Enfermedades del Sueño. Tesis Doctoral. Daniel Sánchez Morillo. Escuela Técnica
Superior de Ingeniería. Universidad de Cádiz. 2008.
El autor realiza una propuesta y estudio de viabilidad de un sistema de uso portátildomiciliario y de los procedimientos validados asociados, para el análisis y
caracterización de diversas señales biomédicas, de las que se extraen parámetros
fundamentales para las más novedosas técnicas de diagnóstico. Trata de reducir el
número de sensores y señales relevantes a efectos de diagnosis, respecto de los
empleados en la Polisomnografía (PSG), actual estándar de facto para la diagnosis del
SAHS.
En el caso de la señal electrocardiográfica, el detector de QRS es el punto crítico en
lamedida de la serie RR y se basa en la misma descripción del complejo para detectarlo:
el complejo QRS es una onda de gran amplitud y con transiciones bruscas. Para ello
analiza en su estudio las Wavelets en Transformadas Wavelet y bancos de filtros.
[2] Nuevas Metodologías no Invasivas de Diagnosis de Defectos Incipientes en
Rodamientos de Bola. Omar José Lara Castro. Tesis Doctoral. Universidad Carlos III de
Madrid. 2007.
Desarrolla y aplica en su Tesis Doctoral diferentes metodologías de diagnosis de
defectos incipientes en rodamientos de bola. Se apoya en un conjunto de señales de un
4
MEMORIA
banco de ensayos de rodamientos, completando tres tipos de condición defectuosa y una
condición normal en rodamientos.
Las señales han sido procesadas mediante una herramienta de procesamiento de datos,
denominada Transformada Wavelet que, a pesar de su edad temprana, posee una
trayectoria amplia en el análisis de señales vibratorias, siendo capaz de extraer
información relevante del fenómeno físico en estudio, en dimensiones reducidas.
Adicionalmente, esta información ha sido clasificada por medio de tres tipos de redes
neuronales, que han demostrado ser capaces de efectuar un diagnóstico automático de la
condición de un sistema, al aprender adecuadamente con un conjunto representativo de
muestras, e imitar el proceso de aprendizaje humano.
Los resultados señalan que hay diversos factores que influyen en la precisión del
sistema clasificador, como son, la cantidad de datos utilizados, la complejidad de la red
neuronal, y diversas consideraciones de diseño que se explican en detalle para cada red
en particular. Finalmente, se introduce la aplicación de Sistemas Híbridos de
clasificación para la diagnosis de defectos en componentes mecánicos rotativos,
consiguiendo índices de éxito nunca antes alcanzados en este campo.
[3] Estudio de métodos para procesamiento y agrupación de señales
electrocardiográficas. Tesis Doctoral. David Cuesta Frau. Escuela Politécnica de
Valencia. 2001.
Describe toda una amplia gama de de técnicas de preprocesamiento de la señal ECG,
desde la eliminación del ruido (mediante técnicas clásicas de filtrado, aproximación de
funciones, o la transformada wavelet), pasando por la eliminación de la interferencia de
la red, la eliminación de las variaciones de la línea base (utilizando diferentes tipos de
filtros), la detección de los puntos significativos de una onda ECG (mediante algoritmos
de tratamiento digital de las señales, detectando la primera y segunda derivadas, filtrado
digital, transformaciones no lineales, etc.), todo ello para conseguir una señal ECG
limpia de interferencias y perfectamente segmentada por latidos Tomando como partida
las operaciones de preprocesamiento basadas en la transformada wavelet y tomando
como fuente los latidos previamente segmentados, se presentan una serie de métodos
para el procesado (normalización temporal lineal, alineamiento temporal no lineal,
variaciones para la extracción de características) y clustering final de los latidos.
Concluye presentado los resultados obtenidos de la aplicación práctica de todos los
métodos y algoritmos descritos.
[4] Sistema de Reconocimiento de Personas Mediante su Patrón de Iris Basado en la
Transformada Wavelet. PFC. Rafael Coomonte Belmonte. Universidad Politécnica
Madrid. 2006.
Se centra en la técnica de reconocimiento biométrico de iris, presentando unas
prestaciones muy propicias para formar parte de un sistema de seguridad altamente
fiable. Uno de los fundamentos en los que se basa el diseño del sistema es el uso de la
transformada wavelet, que permite el análisis de las señales unidimensionales, obtenidas
a partir de las imágenes del iris, y que precisan de una explicación exhaustiva para
conocer sus fundamentos.
5
MEMORIA
1.3 MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
La motivación del presente proyecto es la de presentar el tratamiento de señales
digitales en una dimensión (1D) y en dos dimensiones (2D) con las técnicas de la teoría
de Wavelets. Las señales acústicas y los transitorios en las señales eléctricas son
susceptibles de ser tratadas con Wavelets 1D, mientras que el tratamiento en 2D
involucra principalmente el tratamiento y compresión de imágenes.
Se tratarán con diversos ejemplos para demostrar las ventajas y la flexibilidad del uso de
las técnicas y algoritmos Wavelets en el procesamiento de imágenes.
Se estudiará cómo la descomposición de Wavelets desempeña un papel activo en la
separación de la señal en sus componentes antes de que con otras técnicas DSP se
puedan aplicar. Se incluirán los algoritmos denominados “wavelet tree” la
descomposición “wavelet-packet tree” y las wavelets 2D o la descomposición “waveletpacket tree”.
Se discutirá la extensión de los algoritmos wavelets a los algoritmos de descomposición
mencionados antes de presenta varias aplicaciones prácticas.
1.4 OBJETIVOS
Los objetivos que persigue el PFC se enumeran a continuación:






Presentar los conceptos matemáticos y técnicas relativas a la teoría Wavelet.
Espacio vectorial, funciones base, ortogonalidad y biortogonalidad,
transformada z.
Fundamentos del análisis de señales.
Presentar los paquetes de algoritmos que emplean las técnicas sobre Wavelets
para el procesamiento digital de señales.
Estudio de los algoritmos de descomposición denominados “wavelet-packet”.
Análisis de la compresión de imágenes.
6
MEMORIA
1.5 METODOLOGÍA
En el desarrollo del proyecto se va a seguir la siguiente metodología.




Estudio del estado del arte de la Teoría de Wavelets.
Elaboración de programas en el lenguaje del software MATLAB y empleo de la
herramienta ToolBox “Wavemenu” que ilustre las aplicaciones prácticas en el
tratamiento digital de señales.
Valoración económica: recogida de información de diferentes fuentes
(Empresas, Consultoras, etc.) para la elaboración del detalle económico del
desarrollo técnico presentado.
Como recursos software en la elaboración de la documentación, gráficos y tablas, se
empleará el paquete integrado Microsoft Office®, el software Wolfram Mathematica®
8. y las funciones gráficas de MATLAB®.
La arquitectura hardware y software a emplear será una arquitectura PC con las
características siguientes:






Procesador con velocidad de reloj 2.3 GHz.
Memoria RAM de 4 GB.
Disco duro de 500 GB.
Tarjeta gráfica de 128 MB.
Sistema Operativo Windows Vista® o Windows 7®.
Lenguaje MATLAB
MATLAB es un lenguaje técnico de alto nivel y con un entorno de desarrollo
interactivo que permite desarrollar algoritmos, realizar análisis de datos, cálculo
numérico y representación de gráficos 2D y 3D. Permite resolver problemas técnicos de
un modo más rápido que los lenguajes de alto nivel como C, C++, y Fortran.
Se emplea en un gran conjunto de aplicaciones como procesado de señal e imagen,
comunicaciones, diseño de control y medidas, modelado, y análisis numérico, entre
otras.
Sus principales ventajas, que lo hacen idóneo para este proyecto son:
7
MEMORIA








Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico.
Entorno de desarrollo integrado que gestiona el código, ficheros y datos.
Herramientas interactivas para realizar diseños y ejecutar el código.
Funciones matemáticas para el algebra lineal, optimización, derivación e
integración numérica así como funciones para el análisis de Fourier.
Funciones gráficas para visualizar datos y funciones en 2-D y 3-D.
Herramientas y controles para construir interfaces gráficos de usuario (GUI).
Funciones para integrar el lenguaje con aplicaciones externas y lenguajes como
C, C++, Java, Fortran, etc.
Dispone de diferentes bibliotecas de funciones específicas denominadas
ToolBoox. En particular integra la herramienta ToolBox denominada
“Wavemenu”, específica para tratar las Wavelets.
8
MEMORIA
Capítulo 2 FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE
SEÑALES
2.1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
2.1.1 ESPACIO LINEAL
Un espacio funcional 𝑆 es una colección de funciones que satisface una cierta estructura
matemática.
1.
2.
3.
4.
5.
El espacio S no debe estar vacío.
Si 𝑥 ∈ 𝑆 e 𝑦 ∈ 𝑆 entonces 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.
3. Si 𝑧 ∈ 𝑆, entonces (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑥).
Existe en dicho espacio un elemento único 0, que verifica 𝑥 + 0 = 𝑥.
Existe en dicho espacio otro elemento único (−𝑥) que verifica 𝑥 + (−𝑥) = 0.
2.1.2 VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
Un vector 𝑽 en un espacio Euclídeo tridimensional está definido por tres números
complejos {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } asociados con tres vectores unitarios y ortogonales {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎13 }.
La suma y la multiplicación escalar de vectores en este espacio está definido por:
𝑼 + 𝑽 = {𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , 𝑢3 + 𝑣3 }.
𝒌 𝑽 = {𝑘 𝑣1 , 𝑘 𝑣2 , 𝑘 𝑣3 }.
Se define la longitud de un vector como:
|𝑽| = √𝑣1 2 + 𝑣2 2 + 𝑣3 2
Se define el producto escalar como:
9
(1)
MEMORIA
𝑢1 𝑇 𝑣1
𝑼. 𝑽 ∶= |𝑼|. |𝑽| cos(∠𝑈, 𝑉) = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 = [𝑢2 ] . [𝑣2 ]
𝑢3
𝑣3
(2)
Dos vectores son ortogonales entre sí cuando 𝑼. 𝑽 = 0.
Se define proyección de un vector sobre otro como:
𝑼. 𝑽
= 𝑼. 𝒂𝑽
|𝑽|
(3)
Que es la proyección de 𝑼 en la dirección del vector unitario 𝒂𝑽 .
2.1.3 FUNCIONES BÁSICAS, ORTOGONALIDAD Y BIORTOGONALIDAD
Se extiende el concepto de espacio vectorial geométrico Euclídeo a espacios lineales
normalizados. Esto quiere decir que se entiende como una colección de funciones en
vez de una colección de vectores geométricos.
La expansión ortogonal de una función es una herramienta importante para el análisis de
señales. Los coeficientes de expansión representan las magnitudes de los componentes
de la señal. Siempre tiene sentido descomponer una señal en componentes para su
observación antes de procesarla, ya que dado si queremos minimizar ciertos
componentes armónicos (𝑥 − 𝐻𝑧) se diseñará simplemente el filtro a dicha frecuencia
𝑥.
La descomposición ortorgonal de una señal es directa y la computación de los
coeficientes es simple y eficiente. Sea la función 𝑓(𝑡) ∈ 𝐿2 se expande ortonormalmente
con la siguiente serie de términos {∅𝑘 (𝑡)}𝑘∈𝑍 ∈ 𝐿2 ∈ L2, se escribe como sigue:
∞
𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 𝜙𝑘 (𝑡)
(4)
𝑘=−∞
Calculando los coeficientes al hacer el producto escalar de la función con las bases
∞
⟨𝑓, 𝜙𝑘 ⟩ = ∫ 𝑓(𝑡) ̅̅̅̅̅̅̅
𝜙𝑘 (𝑡) 𝑑𝑡
−∞
∞
=∫
∞
∞
∑ 𝑐ℓ 𝜙ℓ (𝑡) ̅̅̅̅̅̅̅
𝜙𝑘 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∑ 𝑐ℓ 𝛿ℓ,𝑘 = 𝑐𝑘
−∞ ℓ=−∞
ℓ=−∞
(5)
El cálculo del producto escalar de la imagen superior requiere conocer el valor de 𝑓(𝑡)
para todo 𝑡 lo cual no es calculable en tiempo real.
10
MEMORIA
En una base ortogonal, todas las funciones base pertenecen al mismo espacio. En
cambio, en una base biortogonal, la base dual no tiene porqué estar en el espacio
original. En el caso de que se cumpliera que están en el mismo espacio (una base
biortogonal y su dual) entonces estas bases se denominan semiortogonales.
2.1.4 BASES LOCALES Y BASES RIES
Las bases seno y coseno de las series de Fourier están definidas para todo tiempo
(−∞, ∞) y, por tanto, se denominan bases globales. Existen muchas bases en el
intervalo infinito que satisfacen los requisitos de ortogonalidad y biortogonalidad. Estas
se denominan bases locales. La base Haar se considera el ejemplo más simple de base
local.
2.1.4.1 Base de Harr
Se describe por 𝜙𝐻,𝑘 (𝑡) = 𝜒[0.1) (𝑡 − 𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍, donde:
1,
0≤𝑡<1
𝜒[0.1) (𝑡) = 𝑓(𝑥) = {
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
(6)
Es la función característica. La base Haar satisface la condición de ortogonalidad de la
siguiente manera.
∞
⟨𝜙𝐻,𝑗 (𝑡), 𝜙𝐻,𝑘 (𝑡)⟩ = ∫ 𝜒[0.1) (𝑡 − 𝑗) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜒[0.1) (𝑡 − 𝑘) 𝑑𝑡 = 𝛿𝑗,𝑘
−∞
(7)
2.1.4.2 Base Shanon
La función Shanon se define como:
𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑡)
𝜋𝑡
(8)
𝑠𝑒𝑛(𝜋 (𝑡 − 𝑘))
, 𝑘∈ℤ
𝜋 (𝑡 − 𝑘)
(9)
𝜙𝑆𝐻 (𝑡) =
Y la base está formada por
𝜙𝑆𝐻,𝑘 (𝑡) =
es una base ortonormal y es global. La prueba de su ortonormalidad se muestra mejor en
el dominio espectral.
Se expande 𝑔(𝑡) ∈ 𝐿2 en una serie de funciones básicas 𝜙𝑘 (𝑡), 𝑘 ∈ ℤ,
𝑔(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 𝜙𝑘 (𝑡)
(10)
𝑘
La base ∅𝑘 (𝑡), 𝑘 ∈ ℤ se denomina base Riesz si satisface la siguiente inecuación:
11
MEMORIA
2
𝑅1 ‖𝑐𝑘 ‖2ℓ2
≤
‖𝑔(𝑡)‖2
≤
𝑅2 ‖𝑐𝑘 ‖2ℓ2
≤ ‖∑ 𝑐𝑘 𝜙𝑘 (𝑡)‖ ≤ 𝑅2 ‖𝑐𝑘 ‖2ℓ2
𝑘
(11)
2.1.5 ESPACIO LINEAR DISCRETO NORMALIZADO (NORMADO)
Es una colección de elementos que son secuencias discretas de números (reales o
complejos) con una norma dada. Para este tipo de espacios son también aplicables las
reglas de los vectores analizadas anteriormente.
2.1.6 APROXIMACIÓN POR PROYECCIÓN ORTOGONAL
Asumiendo que un vector 𝑢(𝑛) no pertenece al espacio vectorial lineal 𝑽 abarcado por
{𝜙𝑘 }, y se desea encontrar la aproximación 𝑢𝑝 ∈ 𝑽. Se utiliza la proyección ortogonal
de 𝑢 en el espacio 𝑽 como aproximación.
2.1.7 INTRODUCCIÓN A SEÑALES DIGITALES
2.1.7.1 Muestreo de señal
Sea 𝑥(𝑡) una señal de energía limitada y continua en el tiempo. Si se mide la amplitud
de la señal y se registran los resultados en un intervalo regular ℎ, se obtiene una señal
discreta en el tiempo.
𝑥(𝑛) ≔ 𝑥(𝑡𝑛 ),
𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1
𝑡𝑛 = 𝑛ℎ
(12)
Estos valores discretizados de la muestra constituyen la señal digital. El intervalo ℎ de
𝜋
muestreo ha de ser elegido tal que ℎ ≤ Ω para que la aproximación a una función
continua de banda limitada de 𝑥(𝑡) a partir de sus muestras {𝑥(𝑛)} sea buena.
2Ω es el ancho de banda de la función 𝑥(𝑡). La elección de ℎ viene del ratio de
muestreo de Nyquist y la formula de recuperación de Shanon:
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛ℎ)
𝑛∈ℤ
𝑠𝑒𝑛 (𝜋(𝑡 − 𝑛ℎ))
𝜋(𝑡 − 𝑛ℎ)
12
(13)
MEMORIA
2.1.7.2 Sistemas invariantes de movimiento lineal (Linear shift-invariant
systems)
Considérese un sistema caracterizado por su respuesta al impulse ℎ(𝑛). Se dice que se
trata de un sistema invariante de movimiento lineal si la entrada 𝑥(𝑛) y la salida 𝑦(𝑛)
satisfacen las siguientes relaciones:
1. Invariabilidad:
𝑥(𝑛) ⇒ 𝑦(𝑛)
𝑥(𝑛 − 𝑛′ ) ⇒ 𝑦(𝑛 − 𝑛´)
(14)
𝑥1 (𝑛) ⇒ 𝑦1 (𝑛) 𝑦 𝑥2 (𝑛) ⇒ 𝑦2 (𝑛)
𝑥1 (𝑛) + 𝑚 𝑥2 (𝑛) ⇒ 𝑦1 (𝑛) + 𝑚 𝑦2 (𝑛)
(15)
{
2. Linealidad:
{
2.1.7.3 Convolución
Define la relación salida-entrada de un sistema invariante de movimiento lineal. Su
definición matemática viene dada por:
𝑦(𝑛) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘 − 𝑛)𝑥(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑘 − 𝑛)ℎ(𝑘)
𝑘
𝑘
(16)
2.1.7.4 Transformada-z
Es una herramienta muy útil para el análisis discreto de señales. Se utiliza en la
derivación de wavelets y algoritmos de bancos de filtros. Está definida por la suma
infinita:
𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧 −𝑘 = ⋯ ℎ(−1)𝑧1 + ℎ(0) + ℎ(1)𝑧 −1 + ℎ(2)𝑧 −2 + ⋯
(17)
𝑛∈ℤ
donde 𝑧 −1 indica el retraso de una unidad del intervalo de muestreo.
2.1.7.5 Región de Convergencia
La región de convergencia de una transformada-z indica la región en el plano complejo
en el cual todos los valores de 𝑧 hacen converger dicha transformada-z.
13
MEMORIA
14
MEMORIA
Capítulo 3 PROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEÑALES CON WAVELETS.
La introducción de las señales wavelet y el procesamiento de imagen ha implicado un
importante avance para los ingenieros, les ha dado una herramienta tremendamente
flexible para la resolución de problemas y el procesamiento de señales e imágenes con
wavelets. El análisis con wavelet se centra principalmente en señales de una (1D) y dos
dimensiones (2D). El procesamiento de una dimensión se hace mayormente de señales
acústicas, música y transitorios de señales eléctricas, mientras que el procesamiento de
señales de dos dimensiones se basa en su mayoría en compresión de imágenes e
identificación. Las áreas más problemáticas del procesamiento de señales con wavelets
son la reducción de ruido, la identificación de sintonías, la identificación de objetivos, la
compresión de señales e imágenes y la supresión de interferencias.
La descomposición wavelet tiene además un papel muy importante: separa la señal en
componentes para que luego se puedan aplicar las diferentes técnicas de procesamiento
digital.
3.1 ALGORITMOS QUE EMPLEAN LAS TÉCNICAS SOBRE WAVELETS
PARA EL DSP.
3.1.1 ALGORITMOS WAVELET PACKET
El desarrollo de los paquetes wavelet es un refinamiento de wavelets en el dominio de la
frecuencia. Este desarrollo está basado en el teorema matemático probado por Ingrid
Daubechies. Los paquetes wavelet son una generalización de wavelets en los cuales
cada octava de frecuencia es subdividida de nuevo en dos bandas de frecuencia más
finas.
El desarrollo de los wavelet packets es un refinamiento de wavelets en el dominio de la
frecuencia y está basado en el teorema matemático probado por Daubechies.
15
MEMORIA
Si 𝑓(−𝑘)|𝑘∈ℤ constituye una base ortogonal y las expresiones:
𝐹1 (𝑥) = ∑ 𝑔0 [𝑘]𝑓(𝑥 − 𝑘)
(18)
𝑘
𝐹2 (𝑥) = ∑ 𝑔1 [𝑘]𝑓(𝑥 − 𝑘)
(19)
𝑘
entonces { 𝐹1(· −2𝑘), 𝐹2(· −2𝑘); 𝑘 ∈ ℤ =}
𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑓(−𝑛); 𝑛 ∈ ℤ }.
son
bases
ortonormales
de 𝐸 =
Una señal puede ser descompuesta en muchas componentes wavelet packet. Se puede
representar dicha señal por un grupo seleccionado de wavelet packets sin usar todos los
wavelet packets, para un nivel dado de resolución.
En los wavelet packets, para cada conjunto de N coeficientes se obtienen dos conjuntos
de coeficientes de longitud N/2 tras el procesado del bloque de descomposición. El
número de coeficientes es 2𝑚 si el conjunto de coeficientes original es procesado para m
resoluciones. Para el procesado de señal mediante wavelet packets, es necesario llevar
cuenta del orden de los filtros digitales y de los cambios de ratios de muestreo.
Para observarlo de un modo más visual la siguiente figura muestra un árbol de wavelet
packet para 𝑚 = 3.
FIGURA 1. Diagrama de bloques de la descomposición y reconstrucción del algoritmo wavelets packets.
16
MEMORIA
3.1.2 SEGMENTACIÓN
La segmentación es una de las herramientas más utilizadas en el procesado de señales
mediante wavelets. Se utiliza mucho en reducción de ruido, compresión de señales e
imágenes y en algunos casos en reconocimiento de señales.
Este método utiliza el número de muestras hasta que el valor absoluto de la señal excede
el valor del segmento 𝜎.
Existen tres métodos de segmentación o umbralización: segmentación Hard,
segmentación Soft y por porcentaje.
3.1.2.1 Segmentación hard.
En este tipo de segmentación, si el valor de una señal está por debajo de un valor
(umbral) preestablecido previamente, esta señal se pone a cero.
𝑦={
𝑥 |𝑥| ≥ 𝜎
0 |𝑥| < 𝜎
(20)
Siendo 𝜎 el valor de segmentación o umbral.
3.1.2.2 Segmentación soft
Se define como:
𝑦={
𝑠𝑔𝑛(𝑥)𝑓(|𝑥| − 𝜎) |𝑥| ≥ 𝜎
|𝑥| < 𝜎
0
(21)
Por lo general la función 𝑓(𝑥) es una función linear. Sin embargo, en ocasiones se
utilizan curvas spline, (las curvas spline están definidas a trozos mediante polinomios)
de tercer y cuarto orden, para valorar la eficacia cuando se tienen valores mucho
mayores que 𝜎. En determinadas aplicaciones de compresión el usando curvas splines
cuadráticas de orden 𝑚 > 2 puede afectar al ratio de compresión.
17
MEMORIA
3.1.2.3 Segmentación por porcentaje
En aplicaciones como compresión de imagen donde una cuota de bits se asigna al
archivo comprimido, es ventajoso asignar un porcentaje de coeficientes wavelets a cero
para satisfacer dicha cuota. Por lo tanto el valor de 𝜎 está basado en el histograma del
conjunto de coeficientes y el número total de dichos coeficientes. La regla de
segmentación que sigue es la misma que para segmentación hard., una vez determinado
el parámetro 𝜎.
3.1.2.4 Implementación
La implementación de estos tres métodos de segmentación son relativamente simples.
Se resta el valor de la magnitud de segmentación de la magnitud de cada coeficiente.
Por ejemplo, la implementación de la segmentación soft responde a una función lineal
de coeficiente la unidad:
𝑠𝑔𝑛(𝑥)𝑓(|𝑥| − 𝜎) |𝑥| − 𝜎 ≥ 0
𝑦={
|𝑥| − 𝜎 < 0
0
(22)
3.1.3 IDENTIFICACIÓN DE FALLOS A TRAVÉS DE SINTONÍAS
El fin básico del reconocimiento de señales acústicas es identificar un patrón de la señal
acústica de una librería de sintonías. Prácticamente, todos los patrones de sintonía son
estadísticos en la naturaleza y también no estacionarios. El uso de wavelets para extraer
características de las señales tiene alto potencial para el éxito del reconocimiento.
Para reconocer un patrón acústico, es necesario tener una serie de características
distintivas, formando un vector característico para cada patrón. Estos vectores
característicos se consiguen mediante la aplicación de muchas muestras de datos a un
evento particular, para formar un algoritmo de reconocimiento.
En un proceso de reconocimiento (hecho real) se compara la FFT con análisis wavelet.
La realización mediante FFT produce aproximadamente los mismos resultados que el
análisis wavelet, pero falla en el reconocimiento de las incógnitas que han de ser
resueltas con el análisis. FFT carece de la información en el dominio del tiempo y por lo
tanto pierde cierta información.
18
MEMORIA
3.1.4 WAVELETS DE DOS DIMENSIONES Y WAVELET PACKETS
3.1.4.1 Wavelets de dos dimensiones.
En aquellos casos donde la señal es 2D, es necesario representar los componentes de la
señal por wavelets de dos dimensiones y una función aproximación de dos dimensiones.
Para cada función escala 𝜙 con su correspondiente wavelet ψ, se construyen tres
wavelets de dos dimensiones diferentes y una función aproximación de dos dimensiones
mediante el producto tensor.
Las wavelets de dos dimensiones se escriben como:
[1]
𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥 − 𝑖)𝜓(𝑦 − 𝑗)
[2]
𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥 − 𝑖)𝜙(𝑦 − 𝑗)
[3]
𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥 − 𝑖)𝜓(𝑦 − 𝑗)
(20)
Y la función escala se escribe como:
[1]
Φ𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥 − 𝑖)𝜙(𝑦 − 𝑗)
(21)
[1]
[2]
[3]
Las funciones 𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦), 𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦), 𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦) son wavelets dado que satisfacen la
identidad:
∞
∞
[𝑗]
∫−∞ ∫−∞ 𝛹𝑖,𝑗 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,2,3.
(22)
La función aproximada 2D escalado y las correspondientes wavelets ΦD2 se muestran
en la siguiente Figura:
19
MEMORIA
Scale function
Wavelet function (1)
1
1
0.5
0
0
-1
5
0 0
2
4
5
6
0 0
2
4
6
1
1
0
0
-1
-1
5
0 0
2
4
5
6
0 0
2
4
6
FIGURA 2. Función escalado y correspondientes Wavelets en 2D.
En el dominio espectral cada wavelet y la función escalar ocupan un lugar diferente,
como se muestra figura 2. Debido a la disminución de resolución cada imagen se
descompone en 4.
La distribución espectral de cada una de las cuatro funciones en 2D se puede observar
en la figura 3. Las bandas espectrales se denominan como LH (baja-alta), HL (alta-baja)
y HH (alta-alta), cada una de ellas se corresponde con el espectro de las wavelets
[𝑁]
𝛹𝑖,𝑗 (𝑥, 𝑦), 𝑁 = 1,2,3. La banda LL (baja-baja) se corresponde con la función
aproximación de 2D. Alta y baja se refieren al tipo de filtro para el procesado, si se trata
de filtros basa-baja o pasa-alta. La descomposición de una señal 2D resulta en una
pirámide jerárquizada. Debido a la disminución de la resolución, cada imagen se
descompone en 4 subimágenes. El tamaño de cada subimagen es de un cuarto de la
original. Como ejemplo y demostración se puede observar la figura 4.
20
MEMORIA
FIGURA 3. Regiones ocupadas por las wavelets y las funciones escala en el plano espectral de dos
dimensiones.
FIGURA 4. Descomposición de una imagen con wavelet en 2D.
21
MEMORIA
3.1.4.2 Wavelets packets de dos dimensiones
Los wavelets packets de dos dimensiones son refinamientos de las wavelets de dos
dimensiones (2D). Si se representa el k-ésimo wavelet packet por 𝜇𝑘 (𝑥), se aproxima la
función 𝜇0 (𝑥) = ∅(𝑥) a producto tensor de dos wavelets packets que genera un wavelet
packet de dos dimensiones (2D).
𝜇𝑘,𝑙 (𝑥, 𝑦) = 𝜇𝑘 (𝑥) 𝜇𝑙 (𝑦)
(23)
Por lo tanto, existen muchos wavelet packets de dos dimensiones que pueden ser
elegidos para formar las bases en 𝐿2 para la representación de las señales. Usando el
producto tensor entre dos packets cualesquiera, se obtienen 64 wavelet packets
diferentes de dos dimensione (2D) incluyendo las funciones aproximación de dos
dimensiones.
𝜇0,0 (𝑥, 𝑦) = 𝜇0 (𝑥) 𝜇0 (𝑦)
(24)
Existen demasiados wavelets packets 2D. Un ejemplo de wavelets packets 2D se
muestra en la siguiente Figura.
FIGURA 5. Haar wavelet packet para diferentes niveles.
22
MEMORIA
3.1.4.3 Algoritmos de wavelet de dos dimensiones
Como ya se ha visto anteriormente, las wavelets de dos dimensiones son el producto
tensor de una función de escala 𝜙 y un wavelet 𝜓 de una dimensión. De esto se obtienen
tres wavelets bidimensionales y una función escala también de dos dimensiones en cada
nivel de resolución.
Un wavelet de dos dimensiones es el algoritmo de una dimensión aplicado tanto en la
dirección x como en la dirección y de la señal de dos dimensiones. Supóngase que la
señal es una imagen, en este caso, los valores de la señal se denominan PIXEL, y se
corresponden con la intensidad de reflexión óptica. Si se considera la señal como una
matriz cuadrada de 𝑁 × 𝑁, se debe procesar la señal en una dirección primero, x o y.
Esto se realiza descomponiendo cada fila o cada columna (dependiendo la dirección que
se haya elegido para procesar primero) usando el algoritmo de descomposición de una
dimensión. Debido a la pérdida de resolución, las dos matrices resultantes son
rectangulares y de tamaño 𝑁 × 𝑁/2 o 𝑁/2 × 𝑁. El proceso ha de repetirse, (una vez
traspuestas las matrices resultantes) para obtener de este modo cuatro matrices
𝑗−1
𝑗−1
cuadradas de 𝑁/2 × 𝑁/2 denominadas 𝑐 𝑗−1 (𝑚, 𝑛), 𝑑1 (𝑚, 𝑛), 𝑑2 (𝑚, 𝑛) y
𝑗−1
𝑑3 (𝑚, 𝑛).
El algoritmo de descomposición para dos dimensiones se muestra en la Figura 5. El
proceso indicado anteriormente, se puede realizar un número arbitrario de veces. El
número de coeficientes tras la descomposición siempre es igual al coeficiente de entrada
𝑁2.
FIGURA 6. Diagrama de bloques de descomposición de wavelets de dos dimensiones.
23
MEMORIA
FIGURA 7. Descomposición jerárquica de una imagen en dos dimensiones.
Si los coeficientes no son procesados, la información original puede recuperarse de
manera exacta mediante el algoritmo de reconstrucción, por lo tanto si se trataba de una
imagen, una vez reconstruida esta imagen será igual a la original. Este es el inverso del
algoritmo de descomposición exceptuando las secuencias.
3.1.4.4 Algoritmos wavelet packet
Los algoritmos de dos dimensiones para wavelet packet imitan a los de una dimensión.
Lo que hace es repetir los algoritmos primero en una dirección y posteriormente en la
otra. Todos las componentes wavelet son descompuestos para obtener mayores detalles
de la señal.
El algoritmo de computación para wavelets packets de dos dimensiones, tiene la misma
dificultad que el usado para wavelets de dos dimensiones. Requiere ser cuidadoso con el
orden de los filtros y las direcciones que se han utilizado en el procesamiento, dado que
para la reconstrucción, es necesario seguir el orden inverso al utilizado.
3.1.4.5 Detección de bordes.
Se denomina borde a un grupo de pixeles interconectados que se encuentran en el borde
de dos regiones que tienen una intensidad relativamente uniforme. Tiene gran
importancia en análisis digital de imagen, ya que es capaz de localizar los límites de la
24
MEMORIA
imagen se convierte en una herramienta muy útil en la segmentación, identificación de
formas y registro de imágenes.
A pesar de que existen menExisten dos importantes categorías en los algoritmos de
detección de bordes: El enfoque como gradiente (primera derivada) y el enfoque de
Laplace (segunda derivada). En este apartado se consideraran estos dos enfoques, así
como también los enfoques a partir de wavelets y curvelets.
Un borde ideal, debería como una función escalón, pero en la práctica, los bordes son
más borrosos y pueden ser modelados como funciones rampa entre dos valores. Un
borde borroso puede ser modelado matemáticamente en 𝑥 = 0 por una función error
dada por:
𝑓(𝑥) =
𝐼𝑥>0 − 𝐼𝑥<0
𝑥
[𝑒𝑟𝑓 (
) + 1] + 𝐼𝑥<0
2
√2𝜎
𝑦
(25)
2
Donde la función error 𝑒𝑟𝑓(𝑦) = (2/𝜋) ∫0 𝑒 −𝜃 𝑑𝜃 está limitada por ±1 así como la
variable 𝑦 → ±∞. Otro modelo para un borde sería la fórmula 26, la cual tiene un
comportamiento parecido a la anterior.:
𝑓(𝑥) = 1 + tanh(𝛽𝑥)
(26)
Se mostraran ahora los diferentes enfoques.

El enfoque como gradiente. Detector de bordes Sobel:
Los métodos utilizados, se basan en buscar y calcular el máximo de la derivada
de primer orden de la imagen en las dos direcciones. La intensidad del gradiente
𝜕𝑓 2
𝜕𝑓 2
| |∇𝑓 = √( ) + ( )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(27)
indica la nitidez del borde. Esto puede ser aproximado como
|∇𝑓| = |
𝜕𝑓
𝜕𝑓
| + | |.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
25
(28)
MEMORIA
El detector de bordes Sobel, aproxima la ecuación del gradiente mediante la
creación de un par de filtros de imagen 3x3, para hacer la convolución con la
imagen.

El enfoque de Laplace. Detector de bordes Laplaciano de Gauss (método de
Marr-Hildreth):
Este método emplea un filtro Gaussiano para suavizar antes de que el Laplaciano
sea operado sobre la imagen. La localización del borde viene indicada por los
ceros en la siguiente ecuación:
∇2 [𝑮 ∗ 𝑓(𝑥, 𝑦)] = 0,
(29)
donde G es la función gaussiana de dos dimensiones definida como:
1
𝑥2 + 𝑦2
𝐆(x, y) =
exp (
).
2𝜋𝜎 2
2𝜎 2

(30)
Detector de bordes de Canny:
Este detector es una optimización del detector Marr-Hildreth visto
anteriormente. Busca la dirección del borde así como también su gradiente.
Utiliza la segunda derivada de la imagen a lo largo de la dirección del borde
(fórmula 31), y posteriormente el gradiente (fórmula 32). El proceso de la
localización del borde tiene los siguientes cuatro pasos: Primero se suaviza la
imagen con la función Gaussiana, el siguiente paso es calcular el gradiente tras
la suavización de la imagen, en el tercer paso se comprueba el valor del
gradiente anterior, si este no es cero se debe calcular la función 𝐷 ∇(𝐺∗𝑓) 𝑓, el
‖∇(𝐺∗𝑓)‖2
último paso es buscar puntos de bordes en los cambios de signo de la función del
paso anterior.
Fórmula de la segunda derivada a lo largo del borde:
1
𝜕𝑓 2 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑓 2 𝜕𝑓 2
𝜕𝑓 2 𝜕 2 𝑓
𝐷 ∇𝑓 𝑓 =
{( )
+ 2( ) ( ) + ( )
}
‖∇𝑓‖2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦 2
‖∇𝑓‖2
Fórmula del gradiente:
26
(31)
MEMORIA
1
𝜕𝑓 2 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑓 2 𝜕𝑓 2
𝜕𝑓 2 𝜕 2 𝑓
𝐷 ∇⟘𝑓 𝑓 =
{( )
− 2( ) ( ) + ( )
}
‖∇𝑓‖2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦 2
‖∇⟘𝑓‖2
(32)
3.1.4.6 Detección de bordes con wavelet.
Las wavelets actúan como filtros paso banda, como se mostró anteriormente en las
wavelet Haar. La detección de bordes mediante wavelet está basada en la transformada
wavelet de dos dimensiones de la imagen.
Tal como se mencionó anteriormente en el apartado 3.1.4.2, la transformada wavelet de
una imagen para cualquier nivel resolución tiene cuatro componentes; LL que viene de
la convolución de las funciones de escala en las direcciones 𝑥 e 𝑦, LH viene de la
función de escala en 𝑥 y los wavelets en 𝑦, HL son wavelets en la dirección 𝑥 y función
de escala en la dirección 𝑦, por último HH se produce por las wavelets en las dos
direcciones. La componente LL representa la imagen en baja resolución, mientras que la
combinación de las otras tres proporciona los bordes.
Las wavelets son muy eficaces a la hora de identificar puntos de discontinuidad, pero
los bordes representan una discontinuidad a lo largo de una línea, por lo tanto las
transformadas ridgelet son más eficaces en cuanto a buscar bordes se refiere.
3.1.5 COMPRESIÓN DE IMÁGENES
3.1.5.1 Compresión de Datos
Las señales como música, voz, imágenes y películas son almacenadas en la memoria o
bien son enviadas por la red. Hoy en día muchas señales ya son generadas en un
formato digital para estos propósitos. Resonancias magnéticas, fotografías, música y
voz son algunas de ellas. Las señales antiguas producidas analógicamente se pueden
convertir a formato digital mediante digitalizadores, cuantificadores y escáneres. El
objetivo de manipular los archivos en el dominio digital es porque son mucho más fácil
de manejar debido a que el tamaño es menor y es más fácil y eficiente su
almacenamiento y transmisión.
El ratio de compresión y la distorsión o fidelidad son dos de las medidas más utilizadas
para evaluar los algoritmos de compresión. Por lo general los algoritmos utilizados no
tienen pérdidas, pero también existen aquéllos donde se pierde cierta información. La
mayor compresión sin pérdidas que se puede conseguir es codificar la salida de una
fuente de datos con un número medio de bits que sea igual a la entropía de la entrada (la
entropía es el promedio de información de la fuente, a mayor entropía, incertidumbre y
desorden mayor información). Por lo tanto lo que se busca es reducir la entropía e
27
MEMORIA
incrementar el ratio de compresión. Como nota, el ratio de compresión conseguido en
algoritmos sin pérdidas es normalmente pequeño.
Existen numerosos esquemas de compresión de 1D utilizados para voz y música. Por
ejemplo el MP3, que viene de MPEG-1capa 3 de audio, y es el formato más común de
almacenamiento de música siendo una forma de compresión de datos con pérdidas, lo
que hace es, reduce ciertas muestras de la señal que no son perceptibles para la mayoría
de la población. El más utilizado para imágenes es el JPEG.
A continuación se mostrarán diversos tipos de compresión de datos típicos:

Codificación transformada.
Las secuencias de entrada son transformadas en otras secuencias, donde la
mayor parte de la información se encuentra en unos pocos elementos. En este
caso como la mayor parte está contenida en una mitad de datos, si se quita la
otra mitad, la información puede ser recuperada con poca distorsión.
Algunas de las técnicas de transformaciones que se usan son: Transformada
Karhunen-Loéve (KLT), Transformada Discreta del Coseno (DCT),
Transformada Discreta de Walsh-Hadmard (DWHT) y Transformada Wavelet.
En el caso de la Transformada Wavelet la información perdida es bastante
menor que en los otros métodos debido a la propiedad momento de
desvanecimiento.
La codificación sub-banda es similar a la codificación transformada, la
diferencia radica en que se aplica a varias escalas. Unas series de filtros pasabaja y pasa-alta son utilizados para reducir el error de cuantificación y conseguir
así un mayor ratio de compresión.

Differential Pulse Code Modulation (DPCM).
Este algoritmo está basado en que para la mayoría de las imágenes, los valores
de los pixeles adyacentes están muy relacionados. Este método requiere predecir
el valor de cada pixel y un código para la diferencia entre el valor del pixel y el
que se predijo. Con un buen predictor implicará menores errores, y esto
implicará un mejor ratio de compresión.

Vector cuantificación (VQ).
Se trata de un sistema bastante popular para la compresión de imágenes. El
proceso puede ser llevado a cabo en el plano de la imagen o después de la
transformación.
28
MEMORIA
3.1.5.2 Codificación wavelet en árbol (wavelet tree)
Este tipo de codificación utiliza una estructura en árbol, tal y como su nombre indica.
Esto es ventajoso debido a la correlación entre los coeficientes discretos wavelet,
utilizados en cada una de las tres direcciones espaciales (HL, LH, y HH), tal como se
muestra en la Figura 7. Si un coeficiente wavelet discreto a un nivel de alto de
descomposición es más pequeño de la segmentación especificada, es muy probable que
sus “hijos” y “nietos” sean más pequeños que el segmento. La codificación de un
DWCs (coeficientes discretos wavelet) de gran tamaño puede necesitar muchos bits,
mientras que un DWC pequeño puede ser codificado con un solo símbolo.
FIGURA 8. Correlación espacial y relación jerárquica en los coeficientes wavelets para
diferentes resoluciones.
Se ilustra una forma genérica de codificación en árbol:


Los DWCs son seleccionados en grupos con segmentos decrecientes para que
los DWCs grandes sean codificados más pronto.
El primer segmento es seleccionado para ser un integrador 𝑇0 = 2j , donde j es el
integrador más cercano menor que log 2 𝑚á𝑥|𝐷𝑊𝐶| y el k-ésimo segmento es
𝑇𝑘 = 𝑇0 /2j que es la cuantificación uniforme.
29
MEMORIA




Eligiendo el segmento 𝑇𝑘 todas las localizaciones de dicho grupo de DWCs, 𝐶𝑖,𝑗
con 𝑇𝑘 ≤ |𝐶𝑖,𝑗 | ≤ 𝑇𝑘−1, son codificadas con una estructura de árbol, y los signos
están también adjuntos. (“dominant pass”)
Estas locaciones 𝐶𝑖,𝑗 que han sido codificadas en simplificaciones previas están
definidas para una mayor precisión al adjuntarles el bit correspondiente al
segmento Tk.Subordinate pass)
Con simplificaciones decrecientes, los principales zero bits de DWCs
codificados son guardados para conseguir la compresión.
El número de bits pueden ser reducidos usando una codificación sin pérdida.
3.1.5.3 Codificación EZW (Embedded zerotree wavelet)
Este esquema ha probado su eficiencia y flexibilidad en codificación de imágenes en
términos de cualidad de la imagen y simplicidad de su computación. El algoritmo EZW
para codificación de imagen, genera un “embedded bitstream” donde la información es
enviada al decodificador en orden de importancia. La importancia se basa en cuanto,
esta información, reduce la distorsión de la imagen reconstruida. Las dos importantes
ventajas de esta técnica de codificación son, primero que el ratio de control de los bits
permite parar la codificación en cualquier instante, y segundo que la imagen puede ser
reconstruida desde el punto donde se paró, incluso con menor calidad.
3.1.5.4 SOT (árbol con orientación espacial)
Se descubrieron unos principios de partición por Said y Pearlman, que mejoraba el
rendimiento hasta en 1.3dB sobre el EZW. Se basa en el parecido espacial que tienen
ciertas subbandas, y se espera que los DWCs estén mejor ordenados en orden de
magnitud si se mueven hacia abajo en la pirámide siguiendo la misma orientación
espacial. Por lo tanto SOT se utiliza para definir la relación espacial de los DWCs en la
estructura jerárquica.
Existen tres conceptos principales para obtener un buen rendimiento en la codificación
de imágenes con SOT:
1. Ordenamiento parcial de la imagen transformada mediante magnitudes y la
transmisión de coordenadas mediante un algoritmo de partición.
2. Transmisión ordenada por plano binario y refinamiento de bits.
3. Explotación de las similitudes de los DWCs en las diferentes escalas.
3.1.5.5 GST (árbol de similitudes generales)
Basado en SOT, este algoritmo ha sido construido de tal manera que es capaz de operar
con cualquier tamaño de imágenes y a cualquier escala de grises. En este algoritmo se
utiliza la descomposición y reconstrucción wavelet con reflexión de bordes, de tal
manera que se puede conseguir una reconstrucción perfecta.
30
MEMORIA
3.1.6 ALGORITMOS PARA LA DETECCIÓN DE MICRO-CALCIFICACIONES
A continuación se presenta un método para la detección de Micro-Calcificaciones
explicado por partes, mediante el uso de wavelets.
3.1.6.1 Algoritmo de estructura CAD (diagnóstico por computación)
El éxito en la detección y reconocimiento de micro-calcificaciones para cáncer, se basa
en minimizar o quitar el ruido de fondo y aumentar el objeto a identificar. Para lograr
esto, se trabaja con las tradicionales técnicas de procesamiento de imágenes mediante
algoritmos de descomposición wavelet. El algoritmo CAD se utiliza para detectar
micro-calcificaciones en fondos oscuros y con muchas texturas, este utiliza diferentes
técnicas de procesamiento de imagen como; realce no linear de imágenes, wavelet
piramidal y descomposición y reconstrucción de imagen direccionalmente, coeficientes
wavelet de operación en dominios, supresión de pixeles oscuros, C-FAR para
segmentación adaptativa, teoría de resonancia adaptativa para grupos y discriminación
de grupos falsos.
3.1.6.2 Partición de imagen y Contraste de realce no lineal
Este es otro caso utilizado para el estudio de micro-calcificaciones, más concretamente
en mamografías. En esta técnica, se divide la mamografía a analizar en un número de
pequeñas imágenes del mismo tamaño. Cada una de estas particiones se separa y se
procesa para obtener los detalles significativos de la imagen inicial, esto se realiza
mediante el realce de contraste. El paso anterior permite más facilidad para localizar las
micro-calificaciones. Además se sabe que no se pierde información al partir la imagen,
ya que se están utilizando wavelets. Por último se utiliza mapeado para quitar los
pixeles con bajos tonos de grises y realzar los que tengan altas tonalidades de gris.
3.1.6.3 Descomposición wavelet de Sub-imágenes
Se descompone cada sub-imagen utilizando el algoritmo de descomposición wavelet,
con el fin de que las componentes de alta frecuencia se resalten. Para esta aplicación, se
pueden utilizar diferentes tipos de wavelets.
Para la descomposición de las sub-imágenes se utilizan tres tipos diferentes de árboles
de wavelet MRA simultáneamente.
3.1.6.4 Procesamiento de coeficientes en el dominio wavelet
Una vez los coeficientes han sido computados, para solo tener los coeficientes wavelets
significativos, que es donde se encuentra las micro-calcificaciones y el resto de
información de alta frecuencia. El procesamiento de los coeficientes requiere
eliminación, segmentación y amplificación. Para realizar estas operaciones es necesario
crear una guía de reglas y parámetros, dado que no tienen interfaz.
31
MEMORIA
Después de las operaciones necesarias, la imagen se reconstruye, y se obtiene una
imagen con un fondo oscuro e intensos puntos blancos que representan las microcalcificaciones y en algunos casos el ruido de alta frecuencia. Para diferenciarlos se
utiliza un histograma de segmentación y la eliminación de pixeles oscuros.
3.1.6.5 Histograma de segmentación y eliminación de pixeles oscuros.
Estos algoritmos se utilizan para filtrar la posible información errónea que existe en las
imágenes reconstruidas. El histograma de segmentación necesita el valor de pico de una
escala de grises dada. Una vez utilizado el histograma de segmentación, el algoritmo
CAD une las dos imágenes (la original y la modificada) para crear una imagen donde se
puede observar claramente toda la información referente a las micro-calcificaciones. Es
necesario eliminar los pixeles oscuros, y una vez hecho esto las áreas donde
potencialmente existen micro-calcificaciones son identificadas en la imagen realzada.
Dado que existen muchas zonas se utiliza el algoritmo CFAR, como un detector
probabilista que reduce las zonas a solo las de cierto grado de probabilidad que es
medido mediante datos estadísticos de la propia imagen.
3.1.6.6 ART2
Las zonas sospechosas se forman utilizando la teoría de resonancia adaptativa (ART),
con un factor de vigilancia. Se eligen conjuntos de píxeles de las zonas detectadas, y se
examinan para discriminarlos. Los grupos de píxeles elegidos han de tener al menos tres
posibles micro-calcificaciones, en el caso de que se elija un grupo que no cumpla las
características, este será desechado como falso positivo y eliminado de las zonas
sospechosas.
Este algoritmo en conjunto se ha utilizado en casos reales, y se ha comprobado que con
el uso de las wavelets para CAD es más favorable que el de otros algoritmos CAD, en
comparación con las estadísticas reales.
3.1.7 SISTEMAS DE COMUNICACIÓN CON MULTIPORTADORAS (MCCS)
La modulación por multcarrier o multiportadoras se utiliza para transmitir conjuntos de
datos. La información a transmitir se divide en diferentes trozos de información, de
manera que contengan menos bits y sean mucho más fáciles de transmitir. Cada trozo de
información se encarga de modular a una portadora, estas partes de información tienen
el mismo tamaño.
3.1.7.1 OFDM
Se va a realizar una breve introducción de OFDM, dado que es interesante conocerlo
para luego entender bien cómo funcionan los sistemas basados en wavelets.
32
MEMORIA
La Multiplexación por División de Frecuencias Ortogonales (OFDM) es una forma
especial de MCCS, con portadoras muy espaciadas y superposición de espectros. La
banda de transmisión es dividida en un gran número de subbandas, con portadores
ortogonales. Las ondas son elegidas en el dominio del tiempo de modo que sean
ortogonales entre sí, a pesar de la superposición de espectros. Este método de
modulación elimina prácticamente toda la distorsión que pueda haber ya que en cada
banda la atenuación es constante y el retardo es lineal. Las portadoras pueden perder la
ortogonalidad a altas frecuencias, debido a los posibles errores que ocurren en estas
bandas, por ello este tipo de modulación se realiza a bajas frecuencias.
En la figura siguiente se observa el transmisor de un sistema de multiportadora. Se
puede apreciar como los datos entran como bits en serie, son divididos y enviados en
paralelo a diferentes frecuencias con una portadora en forma de coseno, las frecuencias
de cada división son múltiplos de una primera elegida ω, posteriormente son sumadas y
enviadas.
FIGURA 9. Transmisor de un sistema de comunicación con multiportadora.
En esta figura, por otro lado, se muestra el receptor, la señal enviada a diferentes
frecuencias es filtrada para las citadas frecuencias en paralelo, y posteriormente cada
señal que sale de los filtros es muestreada, por último se ordenan la información que ha
salido de los filtros y se pasa de paralelo a serie, de este modo se busca que la señal
recibida se parezca lo máximo posible a la señal que fue enviada en un principio.
33
MEMORIA
FIGURA 10. Receptor de un sistema de comunicación con multiportadora.
3.1.7.2 MCCS con Wavelet
En el apartado anterior se realizó una breve descripción del funcionamiento de OFDM,
este utiliza funciones seno y coseno para la transmisión de la información, mientras que
MCCS con wavelet utiliza diferentes wavelet packet como ondas en el dominio del
tiempo. Si la función aproximación ϕ genera un conjunto ortonormal en el espació 𝐿2 ,
sus wavelet packets correspondientes son ortogonales. Las portadoras son wavelet
packets, y por tanto, los filtros que se utilizan en el receptor han de ser diseñados
acorde.
En una comparativa con el sistema OFDM, a bajas frecuencias la probabilidad de error
de bit tanto en OFDM y en MCCS con wavelet es muy similar. Sin embargo a medida
que se aumenta el offset en la frecuencia, el sistema mediante wavelet ofrece un
rendimiento exponencialmente mejor, cuanto más alto es el offset.
En la figura siguiente se puede observar un ejemplo genérico de emisor MCCS con
wavelet. Tal y como ocurren en OFDM la señal entra y los datos son divididos en
paralelo, en este caso las portadoras son wavelet packets en diferentes dominios del
tiempo, después de dividirlo en las diferentes portadoras, las señales se suman y se
envían al emisor.
34
MEMORIA
FIGURA 11. Emisor de un sistema de comunicación con multiportadora mediante wavelet.
En esta figura a continuación, se puede observar el receptor de MCCS con wavelet, la
señal se pasa por diferentes filtros en paralelo, para los correspondientes wavelet
packets, estos filtros están realizados mediante wavelets a diferencia de los de OFDM,
la señal es filtrada y muestreada en paralelo, y pasada a serie para obtener la señal lo
más parecida a la de entrada.
FIGURA 12. Receptor de un sistema de comunicación con multiportadora mediante wavelet.
35
MEMORIA
3.1.8 VISUALIZACIÓN DE IMÁGENES MÉDICAS EN TRES DIMENSIONES
Las imágenes en 3D se utilizan en medicina para plantear tratamientos, hacer
diagnósticos y visualizar cirugías. Las imágenes en 3D se consiguen a partir de la
reconstrucción de diferentes imágenes en 2D. El problema de estas imágenes en 3D es
que, ocupan mucho espacio de memoria, su transmisión es lenta y la reconstrucción de
las imágenes es lenta y además necesita complejos algoritmos.
Si se utiliza un algoritmo de descomposición y reconstrucción wavelet en 3D se
obtienen ciertas ventajas frente a los algoritmos tradicionales, en compresión del
volumen de la región de interés: la naturaleza de la transformada en el domino de la
frecuencia y el espacio permite una transmisión de datos sólo en la región de interés,
además de esto, en la reconstrucción del espectro espacial de una representación de
datos 3D, se consigue una visualización más natural, incluso en ratios altos de
compresíon.
3.1.8.1 Wavelets y Algoritmos tridimensionales
Siendo muy similar a wavelet de 2D, la descomposición de wavelets de 3D se realiza
para un volumen discreto de datos, mediante una operación de filtrado. Tras una
transformada wavelet de nivel, los datos son divididos en ocho bloques.
El volumen 3D se puede aproximar mediante la siguiente función,
𝑗
𝑎 𝑗+1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑎𝑛,𝑚,𝑙 𝜙(2𝑗 𝑥 − 𝑛, 2𝑗 𝑦 − 𝑛, 2𝑗 𝑧 − 𝑛)
𝑛,𝑚,𝑙
(33)
donde la función 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑎 𝑗+1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) son los coeficientes de la función de escala.
Para añadir detalles se pueden añadir funciones wavelet tridimensionales para
resolución 2j.
3.1.8.2 Técnicas de renderizado.
El renderizado, es el proceso de generar imágenes utilizando ordenadores. La meta es
transformar datos numéricos en datos gráficos, para renderizado.
En las técnicas tradicionales se asumía que, cuando un objeto es renderizado, las
superficies y sus interacciones con la luz eran vistas. No obstante, ciertos objetos
translucidos, y para renderizarlos de manera apropiada es necesario cambiar
propiedades dentro del mismo objeto, y por lo tanto no solo su superficie sino su
volumen entero.
36
MEMORIA
Uno de los desarrollos clave para la visualización volumétrica de datos escalares, fue el
algoritmo de Lorsenson y Cline. Este algoritmo, llamado de cubos cerrados, asume que
el contorno puede pasar a través de una celda, de un número finito de maneras posibles,
y este número es calculable.
3.1.8.3 Región de interés
Dado que las wavelets pueden ser localizadas en los dominios del espacio y la
frecuencia, el refinamiento de la región de interés se puede conseguir añadiendo los
detalles, sólo en las regiones necesarias. Por lo tanto, las wavelets pueden ser una
herramienta útil para la compresión, la imagen puede ser aproximada una primera vez
por los coeficientes de reconstrucción paso-bajo, y los detalles pueden ser restaurados
mediante la transmisión de los coeficientes paso-alto necesarios en las regiones de
interés.
Por lo tanto, los algoritmos de descomposición y reconstrucción wavelet de 3D, son
muy útiles para la visualización de imágenes, ya que mejoran la velocidad, y los ratios
de compresión al utilizar la región de interés.
3.1.9 APLICACIONES GEOFÍSICAS
Estas aplicaciones incluyen la caracterización de la estructura geológica del subsuelo, la
localización e identificación de objetos en el subsuelo, y la estimación, mapeado y
monitorización de las propiedades de los materiales.
Para ello, existen dos importantes técnicas para escoger datos, sísmica y de registro de
pozos. La técnica sísmica genera ondas elásticas y sonoras que se propagan por el
terreno, y se recoge la información de las reflexiones. La cantidad de datos que se
obtiene, es muy grande. Con la técnica de registro de pozos se obtiene mayor
información del entorno y con mayor resolución, en este método se hace una
perforación en el suelo de una profundidad que puede llegar a algunos kilómetros, y su
diámetro varía entre 15 y 30 cm.
El análisis wavelet se ha utilizado mucho para el análisis de datos sísmicos,
identificación de fluidos, procesamiento e interpretación de los datos de los pozos,
filtrado de ruidos, detección de anormalidades, procesado de señales no estacionarias de
presión y muchos otros.
La mayor parte de las aplicaciones con wavelets son en análisis de datos geofísicos y su
interpretación. Sin embargo, existen trabajos de aplicación de wavelets a problemas del
valor de los límites y las inversiones en geofísica.
37
MEMORIA
38
MEMORIA
Capítulo 4 APLICACIONES DE LA
TRANSFORMADA WAVELET EN DSP.
Las wavelets son utilizadas en un vasto número de campos, como geofísica, astrofísica,
control de calidad, biología, señales en medicina (cómo fue mostrado en el capítulo
anterior), representación comprimida de huellas dactilares o fotografías, imágenes de
satélite, codificación de señales de video, modelado del tráfico en redes de
comunicación (internet) y análisis atmosférico. Todo esto es posible porque las señales
con las que se trata son digitales. El campo de las wavelets crece día a día y cada vez en
más dominios y resuelven más problemas.
Hubbard en su libro, enuncia las razones por las cuales las wavelets se vuelven tan
populares y en tantos y diversos niveles:
-
En primer lugar, se trata de un método relativamente nuevo en el procesamiento
de señales. Lo que trae innovaciones técnicas y hace posible la visión de otras
informaciones más antiguas a través de herramientas más fáciles y accesibles. Es
creado un nuevo diccionario de formas, conectando características de señales de
esas transformadas wavelet, permitiendo así entender las propiedades de señales
basadas en estructuras de coeficientes.
-
Las técnicas mediante wavelets, constituyen una herramienta para el análisis
local, que como ya se ha mencionado, difiere del análisis de Fourier. Las
wavelet pueden enfocarse localmente, mediante la inspección de la información
alrededor de un punto. Tras esto la información codificada en coeficientes, viene
determinada por los valores de la señal cercana al apoyo del wavelet.
-
Las wavelets constituyen bases espaciales donde se encuentran las señales. Estas
representan todas las señales que se pueden conseguir “jugando” con ellas. Estas
bases son normalmente ortogonales.
39
MEMORIA
4.1 CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES
En esta clasificación se dividen las aplicaciones en tres campos. Separando las
aplicaciones donde predominan los aspectos de escala, de aquellas con aspectos más
específicos como tiempo o espacio, y también aquellas aplicaciones que utilizan las
representaciones posibles que ofrecen las wavelets.
Aspectos de escala para Aspectos
señales e imágenes
espacio
Problemas
de
tiempo
Determinación de patrones.
Calculo de aproximaciones,
suavizado.
Rupturas. Bordes
Descomposición,
superposición, separación.
Rápida evolución:
duración, transitorios.
o
corta
Modelado del tráfico de Detección de eventos con un
redes de comunicación: mismo patrón.
Internet
Señales biomédicas:
mamografías
Campos
Intermitencia en físicas:
agujeros de presión en un
campo.
Monitorización
industrial
para la localización de
rupturas en engranajes.
Leyes de escala en física: Control
no
destructivo:
turbulencias.
detección de disfunciones en
profesos de control.
Señales subacuáticas.
Tabla 1. Clasificación de las aplicaciones wavelets, en función de la escala y aspectos
espacio-temporales.
En la siguiente tabla se representan las aplicaciones, utilizando las características de las
wavelets como un todo, sin hacer ninguna distinción.
40
MEMORIA
Características
Problemas
Reconocimiento de patrones. Clasificación.
Simplificación. Representación económica.
Eliminación de ruido en señales e imágenes biomédicas.
Codificación de video, codificación de imágenes animadas.
Campos
Compresión de fotografías, que pertenecen a vídeos.
Clasificación de espectros de estrellas. Conducta alimentaria.
Detección de barcos y helicópteros mediante el reconocimiento de
sintonías. Detección de sacudidas sísmicas.
Aproximación numérica de operadores lineales.
Tabla 2. Clasificación de aplicaciones con características conjuntas.
Para poder observar con mayor facilidad las aplicaciones que se van a tratar a
continuación, conviene darles nombres más francos. En los siguientes apartados, se dará
una explicación de cada aplicación.
Caracterización de ráfagas de viento
El objetivo de esta aplicación, es la caracterización de los vientos oceánicos durante la
fase de formación, su crecimiento y su periodo de máximo desarrollo.
Las medidas se realizan mediante puntos de medida, donde se recogen bases de 10
medidas por segundo.
Para el análisis de señales se utiliza el análisis de los espectros. Se adapta al uso
mediante wavelets, remplazando la base de los exponenciales complejos, que
intervienen en Fourier, con wavelets 𝜓𝑎,𝑏 . La energía de la señal descompuesta, es
luego analizada en función de tiempo y escala. Para señales unidimensionales el análisis
es el tradicional. Para señales de dos o más dimensiones procesadas simultáneamente, el
estudio se realiza sobre multivariables y es más específico.
En esta aplicación, las wavelets se utilizan para tres fines: detección de efectos en
grupos de ondas, análisis del desarrollo de las ondas debido al viento y rupturas en las
ondas.
41
MEMORIA
Detección de sacudidas sísmicas
Se busca identificar varios componentes cortos y no estacionarios, de una señal sísmica,
utilizando las wavelets como patrón de reconocimiento.
Los registros de sismogramas se mueven en tres direcciones; dos en horizontal, y una
vertical. Normalmente la localización se basa en varios detectores de tierra. Aunque en
ocasiones se utiliza un solo sensor para pequeños sucesos.
Las partes características importantes son guardadas sobre varios niveles. El detector
localiza la parte primarias o P de la onda, utilizando polarización a lo largo de las
escalas. Mientras que el análisis de las partes secundarias o S de la onda, están basadas
en la relación entre las amplitudes transversal y radial a lo largo de las escalas.
El lugar de medida está localizado en España y cubre un radio de 2500 kilómetros y ha
trabajado con más de 23 eventos sísmicos.
Para analizar las ondas sísmicas se utilizan wavelet daubechies, pues son las que más se
asemejan a la señal de interés.
Estudio batimétrico del suelo marino
Con esta aplicación se busca mapear el fondo marino, y para ello se buscan áreas bordes
cordilleras, y en particular grandes declives escarpados. En la actualidad se realiza en
una zona del norte del atlántico, y muestra un valle, en una zona de separación de placas
tectónicas. Donde las mide áreas de 100x70 kilómetros y con profundidades que varían
entre 1800 y 4000 metros. Para conseguir los datos, se utiliza un ecosonda montado en
un barco que se mueve por la zona.
Esta técnica utiliza una mejora de imagen y detección de patrones en las formas,
utilizando wavelets basadas en B-splines en producto tensor con un filtro. La función se
rota en el plano para que de este modo, la dirección principal sea aquella requerida por
los bordes. La derivada del cubo B-spline da otra función, la cual localiza las
transiciones entre los valles y áreas escarpadas.
La descomposición wavelet de datos batimétricos, revela estructuras y patrones que de
otro modo pasarían desapercibidos en la señal original. Con las wavelets se consigue
una imagen mejorada y un identificador cualitativo de zonas escarpadas, y de este modo
ayuda a entender muchos procesos que ocurren en el fondo oceánico a diferentes
escalas.
42
MEMORIA
Análisis de turbulencias
El estudio realizado por Papanicolaou y Solna trata con la ley de turbulencias de
Kolmogorov, la cual conecta energía con escala. Esta proporciona una descripción de
los campos de velocidad en términos de fenómenos atmosféricos.
Para estos estudios existen dos características básicas:
-
El espectro de wavelets, que generaliza el espectro normal basado en la
transformada de Fourier.
El modelado del proceso, llamado fractional Brownian motion, denotado como
MBFH (abreviatura francesa) que depende del parámetro H.
Los datos para esta aplicación son recogidos mediante un aparato que emite rayos láser,
que dan medidas y de las cuales se deducen las temperaturas atmosféricas en las
diferentes altitudes. Estas medidas contienen gran cantidad de datos y cubren una zona
de 80km en vertical.
La técnica utilizada, consiste en encontrar la partición de la línea vertical y calculando
las correspondientes estimaciones de H. Para ello se eligen las bandas de valores donde
el parámetro puede tomarse como constante, y se realiza una estimación de valores para
H, parámetro que varía con el segmento.
En este estudio se utilizan solamente Haar wavelets, y no aparecen las funciones de
escala. Solo es útil el aspecto multiresolución que aportan las wavelet. Aunque a la vez,
las wavelet calculan los incrementos de medida y el filtrado a bajas frecuencias.
Electrocardiogramas
Debido a las propiedades de las wavelets, y que estas permiten analizar señales muy
pesadas en datos, surge la idea de utilizarlas con las señales biomédicas. Para su
transmisión y almacenamiento, dado que estas señales son muy pesadas. Las wavelets
incrementan el ratio de compresión, frente a otros, y deben mantener la distorsión a un
nivel aceptable para permitir un examen médico. Para entender cómo funciona esta
aplicación conviene saber que significan las siglas: P (activación eléctrica de las
aurículas), QRS (activación eléctrica o impulso de los ventrículos), Tiempo P-QRS
(duración de la conducción eléctrica aurícula-ventrículo) y T (repolarización de los
ventrículos). Dado que estas siglas son las formas de una señal eléctrica cardiaca.
Un electrocardiograma es una señal corta y de rápidas variaciones, que por lo tanto, es
apropiada para el análisis wavelet. La amplitud, duración y ritmo dan pistas para la
identificación de anomalías.
Para esta aplicación se utilizan codificaciones escalares y vectoriales en diferentes
bandas de escala. Las codificaciones escalares se utilizan para pequeñas escalas con
43
MEMORIA
señales cambiando rápidamente, las codificaciones vectoriales son utilizadas para
señales largas y que varían lentamente. En esta aplicación la descomposición wavelet va
hasta el quinto nivel.
Con el uso de wavelets se obtienen resultados con una mejoría significante respecto a
los métodos más usuales. Los criterios de evaluación que se siguen son, el ratio de bits
por muestra y el error cuadrático de reconstrucción (explicados en el anterior capítulo).
Las wavelets Vetterli-Herley producen los mejores resultados.
Conducta alimentaria
Estos análisis estudian la influencia del tipo de grasa ingerida por un individuo con la
grasa almacenada por el cuerpo. La medida básica utilizada es un espectro de resonancia
magnética que proporciona información acerca de la composición química de esta grasa.
Los picos del espectro representan núcleos en varios lugares moleculares, que están en
resonancia a con pequeñas variaciones de frecuencia. El área localizada debajo de cada
pico, estima la cantidad de sustancia asociada con el pico. In vitro, los picos están
señalados. In vivo, la identificación de los picos es mucho más laboriosa, y por ello se
desea evitar.
Los datos para esta aplicación se toman de grasa subcutánea de los muslos de los
pacientes, con ello se consigue un set de espectros. Para analizar estos datos los
espectros se parten en coeficientes wavelet de db20, y son recodificados utilizando los
primeros 64 coeficientes. Un análisis factorial discriminatorio clasifica los grupos (o
sets) de los espectros, sin necesidad de medidas o de identificar los picos del espectro.
La ventaja que aportan las wavelets a esta aplicación, es que, incluso trabajando a
ciegas, sin información de la señal para ser analizada, las wavelets seleccionan la
información al hacer disminuir su cantidad significativamente. Consiguiendo que los
posteriores análisis estadísticos estén mucho más simplificados, y mejorando la cantidad
de clasificación,
Wavelets fraccionarias y fMRI
Las siglas fMRI vienen de functional magnetic resonance imaging, o bien imágenes por
resonancia magnética funcional. Estas imágenes señalan las zonas de la corteza cerebral
de un paciente, que son activadas por estímulos externos durante una tarea cognitiva o
motora. En estas aplicaciones se busca el wavelet que asegure un buen análisis del
fMRI.
La investigación en la mayoría de los trabajos está estructurada por un diseño
experimental, cuyos factores son los sujetos y las condiciones de trabajo.
En esta aplicación se considera una familia de wavelets, llamada esplines fraccionarios,
estos son una generalización de los B-esplines y fueron introducidos por Unser. Existen
de forma causal, no causal, simétrica y ortogonal o biortogonal. Los filtros asociados,
44
MEMORIA
no tienen una respuesta finita al impulso, pero son simples. Un test estadístico en los
coeficientes para, reducir el ruido y luego evaluar la significación de la activación.
En un fMRI, la técnica tradicional se denomina SPM (mapeado estadístico de
parámetros). Filtra las imágenes antes del test estadístico. El prefiltrado produce ruido
en algunos pixeles de la dependencia de la imagen, lo cual complica la situación.
Las wavelets aportan a esta aplicación una eficaz detección de formas en los diferentes
contenidos de frecuencia, como son las mezclas de zonas con activaciones grandes y
pequeñas. Esto es debido a la naturaleza de multiresolución de las wavelets.
Wavelets para la biomedicina
En el sector biomédico las señales grabadas son normalmente complejas. Mezclas entre
señales medidas y ruido, con picos en las señales, como los electroencefalogramas, o
fluido de la sangre y el ruido cardíaco.
Como ya se ha señalado en el apartado anterior, se tienen dos tipos de aplicaciones, para
1D y para 2D. Los de 1D tratan las señales acústicas, electroencefalogramas (EEG) y
electrocardiogramas (ECG). Las aplicaciones 2D tratan con imágenes, como las
obtenidas en tomografía, señales núcleo magnéticas, y también con eliminación y
reducción de ruido, mejora del contraste de imágenes y detección de malformaciones en
las mamografías. En estas aplicaciones todos los tipos de análisis de wavelets tienen una
aplicación. (Las de wavelet packets se comentaron en el apartado 3).
El trabajo de las wavelets es variado, y cada característica de estas se asocia con uno o
varios usos. Los bancos de filtros se utilizan para mejorar el contraste de las imágenes y
eliminar el ruido de estas, así como para separar las bandas de frecuencia y evaluar la
distribución de energías para reconocer un patrón o distribución (caso de los sonidos del
corazón para detectar enfermedades coronarias). Como bases, se utilizan como una
herramienta económica de codificación, y para organizar la información de manera
jerarquizada. El análisis por nivel de escala, proporciona una técnica de detección de
formas y por lo tanto constituye una herramienta de zoom; esta propiedad se utiliza para
estudiar los picos en las EEG para los pacientes epilépticos. Las wavelets aseguran un
análisis simultáneo de tiempo y escala, que hace frente a las herramientas en tiempofrecuencia. Dado que las wavelets tienen espectro cero en los alrededores de la
frecuencia 0, hace posible hacer los ruidos de color más blancos, lo cual es útil para el
contraste.
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MEMORIA
Control de procesos estadísticos
Estos procesos son utilizados en controles de calidad, en procesos de desarrollo y para
el diseño, control y monitorización industrial y procesos de manufacturación. Están
basados en el modelado de operaciones de control, y en la definición de situaciones con
operaciones con términos fuera del control. Una estadística de monitorización es
calculada y controlada a lo largo de las muestras. Mientras los datos se mantengan en la
zona de control, la muestra es correcta, y se continúa con la producción. Cuando se sale
del control, se para la producción y se buscan las causas que han provocado esto. Los
estadísticos de monitorización normalmente usados, son las t de student.
En ciertos casis, diferentes medidas están disponibles, y el problema pasa a ser de
multivariables, en estos casos la investigación en las causas es crucial y trabajosa. A
pesar de esto, la mayoría de las muestras multidimensionales dependen solamente de un
pequeño número de dimensiones, normalmente 2. El principal componente del análisis
hace posible reducir el conjunto dimensional, seleccionando las combinaciones más
relevantes de las variables iniciales.
Cuando las medidas son señales grabadas en el tiempo, las componentes más
significativas son propensas a coger ruidos blancos e incluso de color. Las wavelets se
utilizan, principalmente para la reducción de ruido, pero también para localizar las
señales con errores.
La mayoría de los controles de procesos estadísticos tienen una parte significante de
know-how. Las wavelets evitan el pre-procesado, lo cual constituye una ventaja
substancial. Además de asegurar una diferenciación en el tiempo de las diferentes
variables.
Compresión online de información industrial
El objetivo de esta aplicación es caracterizar y predecir las propiedades de un producto,
composición y la distribución. Las wavelets permiten un mejor control estadístico y
permiten detectar mejor los errores. Los fallos que se buscan, normalmente ocurren en
diferentes escalas, localizados en detalles de los espectros o más globalizados, las
wavelets están bien adaptadas para hacer las distinciones convenientes.
Transitorios de señales subacuáticas
El objetivo de esta aplicación es detectar señales entre el ruido del fondo marino. Estas
señales normalmente son un pitido o pequeños intervalos de clicks. Estas señales tienen
46
MEMORIA
mucha interacción con el fondo, y el uso de wavelets permite detectar mejor la
localización en tiempo-frecuencia de los transitorios que las técnicas basadas en Fourier.
En estas señales aparece un transitorio en un punto que se diferencia de las
características no transitorias de la señal. En este punto, un test estadístico comprueba la
energía del bloque con una energía de referencia. Cada bloque es analizado utilizando
wavelets a lo largo de 15 niveles. En la fórmula siguiente es posible apreciar una
fórmula utilizada, donde cada bloque se denota como t, el nivel de las wavelets como j
𝑗
y el coeficiente de detalle se denota como 𝑑𝑘 . Esta fórmula es la energía media en las
siete primeras escalas, donde 𝑥𝑡𝑗 es el ingrediente básico.
𝑥𝑡𝑗 =
1
2(𝑆−𝑗)
2(𝑆−𝑗)
𝑗
∑ 𝑑𝑘(𝑡)
2
𝑘=1
𝑗 = 1, … . ,7
(34)
Normalmente con 3 e incluso en casos con 2 escalas es suficiente, ya que el vector útil
no utiliza las partes de baja frecuencia de la señal. El test estadístico estima la densidad
de la distribución en la ausencia de fenómenos transitorios y en presencia del ruido de
fondo.
Se estudian dos señales, una teórica y una real. La señal teórica se construye añadiendo
una un sonido a la señal real recreado a partir de las bases de ruido del fondo marino, se
hace mediante una transformada de Fourier. El ratio señal ruido se puede ajustar. La
técnica basada en wavelets, utiliza solo dos niveles de descomposición, es comparada
con la detección basada en transformadas de Fourier short-time. Los datos se dividen en
dos ventanas, donde las frecuencias son divididas en dos clases, donde la energía de la
distribución es comparada con la media de la señal completa. Se decide si el transitorio
está presente en una banda de frecuencia si la energía de dicha banda, sobre pasa un
umbral que ha sido decidido previamente.
En las pruebas que han sido realizadas, se llega a la conclusión de que las wavelets
tienen mejor ratio de acierto que las transformadas de Fourier. Esta técnica de detección
basada en wavelets es muy nueva.
Codificación de video
Existen ciertas aplicaciones wavelets para la codificación de imágenes animadas o
video. Una técnica de reordenación permite reducir las redundancias de una secuencia
de imágenes, y además la interpolación de texturas mejora la predicción. Se evitan los
errores previstos con wavelets utilizando procesos de precodificación PACC (partición,
agregación y codificación condicional).
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MEMORIA
La técnica utilizada utiliza un proceso bilineal en una cuadricula, basada en un modelo
de movimiento continuo. En el proceso se distinguen diferentes etapas: estimación y
compensación de movimiento, representación y cuantificación wavelet, precodificación
y codificación aritmética. Los resultados obtenidos con wavelets son mejores, y con una
clara diferenciación para pequeños ratios donde las codificaciones por bloques
presentan efectos de bloqueo.
Tomografías asistidas por ordenador
En estas aplicaciones un rayo-x es emitido hacia un cuerpo o un objeto para ser
analizado. La intensidad medida en el final del punto, codifica una integral ponderada
de la densidad del cuerpo. Si se utilizan muchos rayos es posible reconstruir la densidad
y distinguir las zonas sanas de las que pueden tener problemas. La transformación
integral de Radón constituye una herramienta básica para este tipo de aplicaciones.
Para la reconstrucción de un punto, se requiere conocer los valores de las integrales en
las rectas alejadas del punto. Las wavelets toman partida en este asunto, la inversión de
una transformada puede usar una base wavelet de 2D, donde la localización y los
momentos nulos constituyen una importante ventaja. Además, las wavelets aseguran un
rápido cálculo de los operadores integrales.
Producción y análisis de imágenes o señales irregulare:
Una señal puede ser irregular en diferentes maneras, una ruptura presenta una
irregularidad y también una señal fractal. Están siendo introducidas nuevas señales en
finanzas, modelado de superficies rugosas, en la descripción de bordes de células
cancerosas, en el estudio de bordes de nubes y otros de naturaleza similar. Todas estas
señales presentan irregularidades con escalas variadas. Las wavelets se utilizan para el
análisis y la sintetización de estas señales, así como herramientas para estimar sus
características y crear señales y superficies.
Los generadores están basados en series aleatorias de representaciones de coeficientes
wavelet, las propiedades de estos son relativamente simples. Para la estimación existen
dos ideas, la primera se obtiene del comportamiento de las transformadas wavelet a
bajas frecuencias (tienden a 0), la segunda idea proviene de la expresión de la varianza
de los coeficientes en función del nivel de trabajo.
Previsión
Existen wavelets que son utilizadas para la predicción de señales grabadas en el tiempo.
Las wavelet Haar son herramientas básicas que aseguran la descomposición de SWT
(transformadas de translación invariante). Cada escala se prevé independientemente
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MEMORIA
después del ajuste de un AR, modelo de ecuación lineal estadística de orden 1. Los
coeficientes son previstos primero y posteriormente se reconstruye la señal.
Las wavelets son interesantes para este tipo de aplicaciones de predicción, ya que separa
bien las señales cuya correlación presenta un efecto de gran rango, y además las wavelet
Haar pueden ser utilizadas sin la necesidad de adelantar futuras medidas. Los autores de
esta aplicación califican las wavelets como efectivas.
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MEMORIA
50
MEMORIA
Capítulo 5 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES CON
WAVELETS
5.1 INTRODUCCIÓN
Las aplicaciones wavelet para el procesamiento de imágenes, se encuentran
normalmente centradas en la compresión. En estos días donde se necesitan almacenar
grandes cantidades de información, y transmitirlas por la nube, es importante que el
almacenamiento y la transmisión sean rápidos y eficaces. Es por ello que la compresión
es una herramienta clave hoy en día.
Existen dos ejemplos importantes, que han tenido un importante impacto:
-
El FBI eligió un algoritmo que contiene wavelets para el almacenamiento de
huellas dactilares.
El estándar de compresión JPEG 2000 ha sido construido alrededor de wavelets.
Estas dos aplicaciones fueron han sido un éxito, y propiciaron que las wavelets se
hicieran más populares.
En el capítulo 5, se estudiarán varios tipos de aplicaciones wavelets con imágenes como
son, la detección de bordes, la fusión de imágenes la eliminación y la compresión.
5.2 WAVELETS PARA LAS IMÁGENES
El análisis multi-resolución en 2D es una familia de subespacios que tienen varias
propiedades relacionadas con aproximación, dilatación y traslación. Estos análisis
multi-resolución vienen de construcciones utilizando productos tensores.
51
MEMORIA
Para cada nivel j el espacio aproximación del análisis multi-resolución se obtiene como
una suma de cuatro productos tensores de 1D. En este tipo de análisis se tiene también
función de escala, además de tres wavelets, en el análisis de 1D se tiene sólo un
wavelet y una función de escala.
5.3 DETECCIÓN DE BORDES
Las wavelets perciben la fuerza de las frecuencias en la señal, pero lo realizan en un
cierto espacio de tiempo. Esta propiedad es lo que hace que con wavelet se pueda
obtener un buen método para una buena detección de bordes.
En este apartado se podrán observar la eficacia de la detección de bordes que aportan las
wavelets en los ejemplos a continuación.
En el siguiente ejemplo siguiente se muestra una imagen con diferentes geometrías. Se
realiza un análisis wavelet con daubechies 2, a continuación se calcularán las
aproximaciones y los detalles hasta nivel 3.
FIGURA 13. Imagen original.
En la imagen anterior pueden apreciarse cuatro figuras geométricas, que servirán para
observar cómo trabajan las wavelets en los coeficientes de detalles.
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MEMORIA
Coeficientes Nivel 1.
FIGURA 14. Coeficientes de aproximación, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales
de nivel 1. (De izquierda a derecha y de arriba abajo).
Para realizar esta descomposición, se ha utilizado el código Descomposición, que se
encuentra en el anexo de códigos.
Tras realizar el primer nivel del análisis se pueden observar diferentes aspectos del
análisis. La aproximación de nivel 1 tiene un gran parecido a la imagen original, apenas
se observan variaciones, dado que es una imagen muy simple, en cierto modo esta
aproximación es una versión comprimida de la imagen original. A partir de los
coeficientes de detalle podemos observar claramente la detección de los bordes. Dada la
geometría de las figuras se observa perfectamente como en los cuadrados y los
rectángulos los coeficientes de detalle en horizontal y vertical están muy marcados, así
como en el círculo y el triángulo están muy marcadas las diagonales.
Coeficientes Nivel 2.
53
MEMORIA
Coeficientes de nivel 3.
Los niveles dos y tres, serían como una versión comprimida del nivel anterior, y eso se
puede observar en los pixeles, son más grandes cuanto más alto es el nivel y la imagen
está más difuminada porque contiene menos información. Aun así, se puede ver como
los coeficientes de detalle siguen mostrando a la perfección las diagonales y las líneas
horizontales y verticales.
Con una fusión de tres imágenes, seríamos capaces de obtener solamente los tres
coeficientes en una imagen y mostrar claramente los bordes.
Como se ha podido observar claramente, los bordes horizontales verticales y oblicuos se
marcan claramente en las zonas regulares.
En el siguiente ejemplo se tratara una foto de un paisaje real de A Coruña.
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MEMORIA
FIGURA 17. Faro de A Coruña, con la torre de Hércules al fondo.
Para este ejemplo se ha decidido hacer un análisis con la herramienta wavemenu de
Matlab, se han utilizado wavelet packets con wavelets tipo Haar y a nivel 1.
FIGURA 18. Coeficientes de aproximación de la imagen tratada.
El análisis fue realizado con la imagen en blanco y negro, y por lo tanto se obtiene una
imagen de aproximación en blanco y negro. Esta imagen como se ha mencionado
55
MEMORIA
anteriormente sería como una compresión de la imagen original, y pierde algo de
calidad.
A continuación se presentarán los detalles horizontal, vertical y diagonal de la imagen.
FIGURA 19. Detalles horizontales de la imagen de A Coruña.
En la imagen anterior, se puede observar como los puntos siguen un patrón horizontal, y
las zonas realmente verticales no son marcadas, como la antena del faro o el final de la
veleta. En la imagen puede intuirse perfectamente la silueta del muro así como la de la
cúpula. Que se pueda intuir la forma de la cúpula es debido a que la imagen original es
muy pesada y contiene muchos pixeles, y por lo tanto aun tomando pocos puntos, se
puede intuir. La forma de la torre de Hércules al fondo de la foto, no es posible intuirla
solo con los detalles horizontales.
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MEMORIA
FIGURA 20. Detalles verticales de la imagen de A Coruña.
Por el contrario a lo mostrado en la figura anterior, en esta figura si se puede intuir
perfectamente la silueta de la torre de hércules al fondo así como los bordes de los
edificios, y los bordes del faro, así como la antena y la veleta. La forma de la cúpula
vuelve a ser observable por lo que se ha dicho anteriormente.
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MEMORIA
FIGURA 21. Detalles Diagonales de la imagen de A Coruña.
En los detalles diagonales, se observa claramente el entrelazado del murito del faro, así
como la cúpula, el resto de bordes son mejor observables en las otras dos imágenes.
La imagen analizada contiene ciertos patrones geométricos regulares, como la cúpula,
los muros y los bordes de los edificios. Este ejemplo y el anterior muestran, que sin la
necesidad de un gran análisis podemos obtener una nueva imagen, la aproximación, y
trabajar sobre ella para obtener los bordes. Para mejorar la detección de los bordes se
puede cambiar las wavelet de trabajo, el nivel de descomposición e incluso el umbral, y
también reprocesar las aproximaciones borrando los puntos negros que estén aislados.
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MEMORIA
5.4 FUSIÓN DE IMÁGENES
En este apartado se realizaran diversos ejemplos de fusión de imagen donde se podrán
observar las diferentes características que nos aportan las wavelet para esta tarea.
5.4.1 FUSIÓN DE IMÁGENES COMPLEMENTARIAS
En el siguiente ejemplo se muestra una imagen de una playa situada al norte de las
costas gallegas. La imagen original ha sido dividida en dos imágenes, ambas en blanco
y negro, donde una es la complementaria de la otra como se puede ver en la figura 23.
Estas imágenes se han obtenido mediante recortados y oscurecidos de la imagen
original.
FIGURA 22. Foto original de la playa de la Concha, Ortigueira.
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MEMORIA
FIGURA 23. Imágenes complementarias
En la Figura 25, se puede observar el resultado de la fusión. Para realizar la fusión se
utiliza la herramienta de Matlab del wavemenu, esta herramienta utiliza tres pasos:
primero descompone las imágenes que serán fusionadas en la misma base wavelet, en
este caso se han utilizado wavelet daubechies 2 con al nivel 2; como segundo paso se
combinan las dos descomposiciones para obtener una nueva; y como último paso se
realiza una transformada inversa para obtener una nueva imagen.
El primer paso de la fusión es descomponer las imágenes, este paso se muestra en la
Figura 24.
FIGURA 24. Descomposición de las imágenes complementarias.
Ambas imágenes tienen el mismo tamaño, y esto hace que las descomposiciones
también tengan un tamaño idéntico. El siguiente paso es mezclar ambas
descomposiciones, se construye directamente una nueva descomposición del tamaño
requerido, en la cual cada coeficiente es obtenido por la combinación de los coeficientes
correspondientes de cada descomposición.
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MEMORIA
Esta combinación puede realizarse una combinación linear o el máximo, tanto en
detalles como aproximaciones. En este ejemplo, al tratarse de imágenes
complementarias, se han elegido el máximo tanto para aproximación como para
detalles. La propiedad de que aportan las wavelet de un análisis local es perfectamente
observable en la figura 24. A continuación se utiliza la transformada inversa para
construir una imagen de la mezcla.
Esta nueva imagen tiene su propia descomposición, mezcla de las otras dos. La imagen
obtenida es casi idéntica a la original, y se puede observar en la Figura 25. Se puede
observar la marca de la unión de ambas imágenes, pero aun así se puede apreciar la foto
claramente. La razón por la que se aprecia la marca de unión es debido a las
herramientas utilizadas para hacer conseguir las imágenes complementarias, si se
dispusiera de mejores herramientas la marca no sería visible al ojo, aunque siempre
existiría.
FIGURA 25. Resultado de la fusión de las imágenes complementarias de la playa de la Concha.
El proceso anterior puede llevarse a cabo, con algunos ajustes, con imágenes de
diferente tamaño, ajustando cuando sea necesario que tengan el mismo tamaño y
realizar cambios de posición.
61
MEMORIA
5.4.2 FUSIÓN DE IMÁGENES DIFERENTES
En el ejemplo anterior se ha presentado una fusión de dos imágenes del mismo tamaño
y complementarias, eran versiones de la misma imagen. En este apartado se muestran
dos imágenes completamente diferentes, a las que se le ajusta el tamaño. El
procedimiento es el mismo que en el ejemplo anterior con la diferencia de que la
manera de combinar las descomposiciones puede variar.
En este apartado se utilizarán las imágenes con el busto de dos personas. Las imágenes
se muestran a continuación en la Figura 26. Estas imágenes han sido modificadas hasta
obtener el mismo tamaño, ya que es requerido para trabajar con la herramienta.
FIGURA 26. Fotografías adaptadas al tamaño de José y Pablo.
Ambas imágenes son tratadas con wavelets biortogonales 6.8 y nivel 2. En este caso se
han utilizado el máximo de coeficientes de detalle y el máximo de aproximación. En un
principio se tomó la media de ambos coeficientes pero el resultado fue mucho peor de lo
previsto, y aunque el resultado obtenido con el máximo de detalles y aproximaciones no
es ideal es mejor. Este resultado se muestra en la Figura 27.
62
MEMORIA
FIGURA 27. Resultado de la fusión de las imágenes de Jose y Pablo.
Como se ha podido observar, no se obtiene una imagen perfecta y se observan ciertas
irregularidades, pero dado que ambas imágenes tienen ciertos parecidos y facciones la
imagen tiende a parecerse mucho a la de José. La elección de máximos detalles ayuda a
fortalecer los bordes de la imagen que contenga más información.
Existen muchas formas de mezclar coeficientes, y se obtendrían diferentes imágenes,
Esta herramienta es útil y con un poco de desarrollo puede servir para encontrar
imágenes originales a través de la fusión de una combinación de imágenes borrosas.
La estrategia utilizada en este apartado es una estrategia global para la elección del
origen de los coeficientes, pero podría realizarse con elecciones locales, y de esta
manera obtener más partes de una imagen en una zona y menos partes en otra. En
definitiva se podrían fusionar dos imágenes de una forma infinita de posibilidades.
5.5 ELIMINACIÓN DE RUIDO
La eliminación de ruido por wavelet trata de eliminar el ruido presente en la señal,
perseverando las características de la señal, sin importar las frecuencias de su contenido.
La eliminación de ruido se realiza en tres etapas, una primera etapa donde se realiza una
transformada wavelet lineal, una segunda etapa donde se realiza la umbralización no
63
MEMORIA
lineal o elección del umbral a partir del cual se elige la información característica de la
imagen. En la tercera y última etapa se realiza la transformada inversa wavelet.
El proceso de eliminación de ruido mediante wavelet es un proceso no linear, esto la
diferencia sobre los procesos de eliminación lineares. La eficacia de este método de
eliminación de ruido mediante wavelets es muy dependiente de la elección de los
parámetros para la umbralización (thresholding). No existe un parámetro que sea el
mejor, sino que existen diferentes métodos para elegir el parámetro.
A continuación se muestran varios ejemplos de eliminación de ruido en imágenes.
Este primer método de ha realizado mediante el código Denoising.
FIGURA 28. Tres imágenes de Pablo, original con ruido y una tercera a la que se le ha pasado el código.
En la figura anterior, se pueden observar tres fotografías. La primera imagen muestra
una foto en blanco y negro obtenida con una cámara digital, la foto no es perfecta y es
borrosa en algunos puntos. En la siguiente imagen se observa la misma foto a la que se
le ha añadido ruido aleatorio. Y por último en la imagen sin ruido, se muestra la foto,
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MEMORIA
tras pasarle el código generado, se observa que se obtiene mejor nitidez incluso que la
foto original en este caso. En este caso se ha utilizado wavelets reverse biorthogonal
6.8, con un nivel 4. El uso de daubechies y otras wavelets biortogonales es la mejor
opción para la eliminación de ruido, debido a que permiten una reconstrucción exacta
por filtros, con wavelets ortogonales es imposible excepto con Haar.
FIGURA 29. Cuatro imágenes, original, con ruido aleatorio, y dos filtradas con dos tipos de wavelets
diferentes.
En la figura anterior se observan 4 imágenes diferentes en este caso, la primera se trata
de una imagen de alta calidad del norte de Galicia que ha sido pasada a blanco y negro
para facilitar su uso. La segunda imagen es la foto anterior a la cual se le añadido ruido
aleatorio. Y seguidamente se pueden observar dos imágenes sin ruido, la primera ha
sido tratada con wavelets daubechies 10 para un nivel 5, en la segunda imagen se ha
aplicado wavelets reverse biorthogonal 6.8 para un nivel 4. A simple vista no se
observan diferencias entre las dos, y se puede decir que ambas funcionan igual de bien.
Fue comprobado que para grados menores de daubechies las wavelets reverse
biorthogonal trabajan menor, manteniendo el mismo nivel.
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MEMORIA
Las imágenes siguientes, han sido tratadas mediante la herramienta para wavelets
estacionarias que aporta Matlab. La primera imagen es la imagen original pasada a
blanco y negro, la segunda imagen (imagen a la derecha) es la tratada. La fotografía fue
elegida porque era borrosa en un inicio. El resultado de la fotografía tras pasarlo por la
herramienta de Matlab se puede observar en la figura.
FIGURA 30. Se muestran dos imágenes, una original y la segunda tratada.
5.6 COMPRESIÓN DE IMÁGENES
Para una imagen digital, el objetivo esencial de la compresión es minimizar la longitud
de las series de bits necesarias para representarla, a la vez que se almacena información
de una calidad aceptable. Las wavelets aportan soluciones eficientes a este problema. La
cadena completa de compresión incluye etapas de cuantificación, codificación y
decodificación, además del procesamiento wavelet propiamente dicho. Lo que se busca
con la compresión de imágenes es obtener la representación más escasa posible de la
imagen que será comprimida. Esto último quiere decir, adquirir una imagen lo más
ligera posible manteniendo una calidad adecuada. En ciertas ocasiones se acepta una
débil degradación de la eficacia del rendimiento de la compresión para obtener otros
66
MEMORIA
objetivos, como pueden ser: la transmisión en tiempo real o la reconstitución
ininterrumpida de versiones mejoradas de la misma imagen.
5.6.1 PRINCIPIOS DE COMPRESIÓN
Una vez se elige la imagen que va a ser comprimida, se realiza como primer paso una
descomposición en una base wavelet, la base ha de ser ortogonal o biortogonal por
medio de la transformada discreta. A continuación una parte de los coeficientes son
selecicionados por umbralización (thresholding), mientras se mantiene intacto los
coeficientes de aproximación de un nivel seleccionado de una manera apropiada. Los
coeficientes que se han mantenido, son posteriormente cuantificados, y para terminar,
son codificados para su almacenamiento o transmisión. La descompresión consiste en
invertir las operaciones que han sido señaladas en el apartado anterior lo más que sea
posible. A partir de los coeficientes decodificados y descuantificados se reconstruye una
imagen aplicando la transformada discreta inversa. La imagen obtenida es, por lo tanto,
la imagen comprimida.
En este tipo de compresión se pueden producir pérdidas de información en dos etapas
diferentes: en la etapa de umbralización cuando el valor de algunos coeficientes es
modificado, en la etapa de cuantización cuando el valor de algunos coeficientes es
truncado.
El error en la etapa de umbralización se puede evitar no realizando la misma, y el
segundo error puede ser evitado utilizando wavelets con coeficientes racionales o
integrales.
En el diagrama siguiente se pueden observar los pasos a seguir para una compresión.
67
MEMORIA
Compresión
1.Transformada
Wavelet
2.Umbral
3.Cuantificación
4.Codificación
Almacenamiento o Transmisión
Descompresión
1.Descodificación
2.Descuantificación
3.Transformada wavelet
Inversa
Las wavelets se encuentran en dos importantes etapas, en la primera de compresión y la
última de descompresión, las otras operaciones no dependen de wavelets en principio.
5.6.2 WAVELETS Y COMPRESIÓN
La eficiencia de este método mediante wavelets, se basa en la capacidad de este método
para una representación económica de una amplia gama de clases de imágenes en bases
wavelet. Generalmente las imágenes tienen unas descomposiciones wavelets escasas,
representaciones donde unos pocos coeficientes tienen valores lejanos al cero. Las
imágenes están bien representadas por coeficientes de una aproximación no muy buena,
pero apoyados por unos coeficientes de detalles bastante grandes. La compresión
consiste por tanto, en mantener los buenos coeficientes y codificarlos en la manera más
eficaz posible.
La llave para la compresión es mantener los coeficientes de detalle alrededor de cero. Se
realizarán tres compresiones en blanco y negro para mostrar los ejemplos.
La utilización de un umbral viene dada porque las representaciones en wavelets
concentran la energía en un pequeño número de coeficientes. El mayor coeficiente de
imagen se corresponde con un 0,01% de la energía, mientras que el mayor coeficiente
68
MEMORIA
wavelet de descomposición captura el 87,36% de la energía, si se tratase de un solo
coeficiente de orden 8 de aproximación.
A continuación serán mostrados diferentes ejemplos con fotografías de alta calidad de la
costa del norte de Galicia. En los ejemplos se utilizan las wavelet symlet, muy utilizadas
en compresión. La elección de los ceros es importante, ya que cuantos más ceros son
elegidos más energía es perdida y por lo tanto es conveniente un balance entre ambos,
número de ceros y energía, idealmente se busca el mayor número de ceros con la mayor
energía posible.

Ejemplo 1:
En este primer ejemplo se ha descompuesto la imagen de los acantilados gallegos para
una wavelet symlets 5 (las que se utilizan normalmente en compresión) para nivel 5 y
se ha impuesto el 94% de los ceros en la descomposición con umbral, correspondiendo
con un umbral global de 15.59, la entropía utilizada es de shanon. En la Figura 3, la
parte baja a la izquierda se puede observar en el diagrama como se ajusta los
requerimientos. El resultado de la compresión es bastante satisfactorio y se retiene casi
el 100%, 99.95% en este caso, de la energía de la imagen.
En la Figura 32 se pueden observar los histogramas de los residuos, donde es posible
apreciar un poco la función del umbral. Se pude observar cómo se trata de una muestra
prácticamente simétrica.
69
MEMORIA
FIGURA 31. Imagen original de Acantilados a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes
de la energía y el número de ceros y el lugar del umbral abajo.
FIGURA 32. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Acantilados.

Ejemplo 2:
En el siguiente ejemplo, se trabaja con una imagen de un paisaje rocoso de la costa
gallega, se le aplican wavelet packets symlet 8 con un nivel 5 y entropía de Shannon. Se
fija el número de ceros en el 98%, lo cual fija el umbral global en 35,08. En esta imagen
70
MEMORIA
se obtiene una imagen casi idéntica al comprimirla donde se guarda el 99,82% de la
energía. Las imágenes con las que se trabajan son de gran calidad y por los
requerimientos que se le hacen se pierde muy poca información.
En la Figura 34 se observan los histogramas de los residuos, en este caso se trata de una
distribución asimétrica, pero no demasiado.
FIGURA 33. Imagen original de Roca a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la
FIGURA 34. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Roca.
71
MEMORIA

Ejemplo 3:
En el último ejemplo que se ha estudiado, se representa el paisaje de una playa de la
costa norte de Galicia, en este caso a la imagen se le aplican wavelets symlet 8 para un
nivel 5. El umbral elegido es global. Se fija el número de ceros al 98,5% y se consigue
una energía del 99.77%. De nuevo la energía que se ha conseguido guardar de la imagen
es más que aceptable y se mantiene aún una alta calidad.
El histograma de nuevo es muy parecido al obtenido en los otros dos ejemplos, ya que
en todos ellos se consigue un alto nivel de energía. En el caso de que se aumentara en
nivel de ceros, aunque fuera solo un poco, esto nos haría perder información de la
imagen y los residuos aumentarían.
FIGURA 35. Imagen original de Playa a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la
72
MEMORIA
FIGURA 36. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Playa.
5.6.3 COMPRESIÓN VERDADERA
Además de los algoritmos relacionados con wavelets, DWT e IDWT, o también
transformada discreta wavelet y transformada discreta inversa wavelet, es necesario
utilizar otros ingredientes para la cuantización y la codificación.
La cuantización transforma un dominio con un número infinito o muy grande de
valores, a un conjunto finito y pequeño de valores. En esta operación, como se ha
mencionado anteriormente, se puede perder información. La codificación consiste en
transformar un número finito de símbolos obtenidos después de la cuantización, en una
corriente finita de bits. Una codificación aceptable no incluye pérdidas de información.
En la siguiente figura se muestra un ejemplo de compresión verdadera realizado con la
herramienta de Matlab.
73
MEMORIA
FIGURA 37. Imagen de la costa gallega tratada con la herramienta de Matlab.
Este tipo de compresión requiere de muchas acciones de computación ya que realiza 19
bucles en los que tiene en cuenta cada nivel de descomposición y detecta los puntos que
no se acercan al umbral elegido. Se observa que el ratio de compresión en esta imagen
es menor del 50% pero la energía de la imagen apenas se ha perdido, con lo cual se
obtiene una imagen menos pesada pero casi con la misma cualidad, lo cual nos permite
una mejor transmisión y almacenamiento.
5.6.4 ESTÁNDAR JPEG 2000
Además de las operaciones relacionadas con wavelets y los aspectos asociados a la
codificación y cuantización, el método JPEG 2000 abarca muchas otras sutilezas
técnicas. La efectividad del sistema como un todo, es lo que al JPEG 2000 a ser el
estándar para la compresión de imagen.
El sistema JPEG 2000 fue diseñado para satisfacer tres metas principales. Primero para
ofrecer una universalidad, para una amplia familia de imágenes de colores se buscaban
mejores resultados, que los estándares existentes, con fuertes ratios de compresión, pero
sin degradarlos para los que tuvieran ratios más bajos. Lo siguiente que se buscaba era
habilitar una transmisión progresiva de imágenes comprimidas con buena calidad y
aumentando esta hasta que se consiga una compresión sin pérdida de información, y
hacer posible la definición de áreas específicas que necesiten ser codificadas con mayor
74
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precisión. Por último, se buscaba también una seguridad de los datos respecto a los
errores que pudieran ocurrir durante la transmisión.
Las operaciones seguidas para la codificación de una imagen a color son muchas, pero
las más importantes se pueden resumir en las siguientes:






Descomposición de la imagen original en componentes de color.
Cortar los componentes en zonas rectangulares iguales.
Normalizar los coeficientes
Aplicación de la transformada discreta de wavelet para cada zona rectangular.
Cuantización de los coeficientes de descomposición para cada zona rectangular.
Codificación de los coeficientes, esto puede ser diferente en cada zona.
75
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76
MEMORIA
Capítulo 6 CONCLUSIONES
El objetivo que se perseguía con este PFC era situar las wavelet en el ámbito y usos
actuales, estudiar sus características, sus fundamentos y sus algoritmos, además de
realizar un análisis completo del procesamiento de imágenes con wavelet.
Para el procesamiento de imágenes se han estudiado las diferentes características, se han
modelado diferentes programas mediante Matlab y se ha utilizado todas las
herramientas que Matlab facilita para el manejo de las wavelets, y se han conseguido
datos satisfactorios. La compresión de imágenes mediante wavelet es uno de los grandes
éxitos de estas transformadas, mediante el uso de symlets que son las wavelets más
utilizadas para la compresión, se han conseguido buenos ratios de compresión
manteniendo una energía alta de la imagen y un buen número de ceros. El mayor
ejemplo del éxito de las wavelet es la compresión JPEG, la cual demuestra claramente
que este tipo de ondas son las más eficaces para la compresión, se obtiene mayores
compresiones con mayor calidad de imagen.
En el caso de la fusión de imágenes, la detección de bordes y la eliminación de ruido, se
ha observado que las wavelets que mejor se adaptan para estas aplicaciones son las
biortogonales, debido a que estas permiten una reconstrucción exacta a través de los
filtros, lo que proporciona muchas ventajas. En el caso de fusión de imágenes, se ha
comprobado su gran eficacia fusionando partes de una misma imagen, y se ha
comprobado su potencial para obtener mejores resultados con un estudio más profundo
solo en ese campo. Dado que en el caso de disponer de diversas formas de una misma
imagen se puede llegar a fusionar de tal manera que se consiga la original
perfectamente, lo cual es muy útil para el caso de imágenes antiguas, médicas o
imágenes tomadas desde distintas cámaras o ángulos.
Las wavelets son una herramienta muy potente para el estudio de señales e imágenes,
debido a esto, son útiles en un amplio número de aplicaciones en muy diferentes
campos, donde muchas veces se obtienen mejores resultados que con otras técnicas, a
pesar de ser una herramienta relativamente nueva en el procesamiento de señales. En
muchas ocasiones las wavelets proporcionan características diferentes y más eficaces
debido a su análisis local que es uno de sus mayores beneficios a la hora del análisis de
señales.
77
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Por lo tanto, se ha comprobado que las wavelets son una herramienta muy potente y con
gran potencial para el trabajo con imágenes, en lo que a compresión, eliminación de
ruido y fusión se refiere. Así como su uso para muchas otras aplicaciones en diferentes
campos, donde poco a poco ganan terreno a otras aplicaciones. Frente a esto, dadas las
capacidades de los wavelet packets, se ha comprobado que estos funcionan mejor en
muchos aspectos, debido a que dividen la imagen en más partes, y aunque necesitan de
un mayor gasto computacional, al final resultan más eficaces en muchas ocasiones,
como la compresión de imágenes, donde permiten la eliminación de más partes sin que
afecte tanto a la energía de la imagen, y pudiendo así adquirir mejor ratio de
compresión.
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Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS
Para futuros desarrollos de este proyecto, sería considerable centrarse más en un aspecto
de wavelets, como puede ser la compresión o la fusión de imágenes, y tratarlo con una
amplia gama de wavelets y wavelets packets para observar con más precisión el
comportamiento de estas. De esta forma se conseguiría una visión menos amplia, pero
más potente de un aspecto.
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Capítulo 8 BIBLIOGRAFÍA
[JAID11]
Edition 1999.
[MARI04]
[MICH07]
[STRA94]
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Anexos
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ANEXO I: CÓDIGOS
En este capítulo de anexos se encuentran los códigos fuentes de los programas
utilizados en el software informático Matlab para la realización del proyecto.
1. Código de eliminación de ruido.
% Load original image.
I = imread('Piratas.jpg');
I = double(I);
Imagen = 0.2990*I(:,:,1) + 0.5870*I(:,:,2) + 0.1140*I(:,:,3);
NbColors = 255;
X = wcodemat(Imagen,NbColors);
map = gray(NbColors);
% Se genera ruido aleatorio en la imágen
x = X + 15*randn(size(X));
%Se buscan los valores por defecto de la eliminación de ruido.
%En este caso por un umbral fijado con una estimación del nivel
%de ruido, la umbralización puede ser soft o hard
% y se guardan los coeficientes de aproximación.
[thr,sorh,keepapp] = ddencmp('den','wv',x);
% thr (umbral) es equivalente a la
sigma_estimada*sqrt(log(prod(size(X))))
%Se elimina el ruido de la imagen eligiendo una opcion global
%de umbralización.
xd = wdencmp('gbl',x,'db6',5,thr,sorh,keepapp);
xy = wdencmp('gbl',x,'rbio6.8',4,thr,sorh,keepapp);
%el uso de daubechies o rbio son las mejores opcions es la mejor
opción,
%debido a su caracter biortogonal.
%Estas ultimas lineas de código sirven para mostrar las diferentes
%imágenes por pantalla y elegir el color.
colormap(gray(255)), sm = size(map,1);
subplot(221),
axis off
subplot(222),
axis off
subplot(223),
axis off
subplot(224),
axis off
image(wcodemat(X,sm)), title('Imagen Original')
image(wcodemat(x,sm)), title('Imagen con Ruido')
image(wcodemat(xd,sm)), title('Imagen sin Ruido 1')
image(wcodemat(xy,sm)), title('Imagen sin Ruido 2')
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MEMORIA
2. Código de descomposición.
I = imread('Acoruna.jpg');
I = double(I);
Imagen = 0.2990*I(:,:,1) + 0.5870*I(:,:,2) + 0.1140*I(:,:,3);
NbColors = 255;
X = wcodemat(Imagen,NbColors);
map = gray(NbColors);
%Las lineas de código anterior son para transformar la imagen a una
%escala de grises.
figure(1)
image(Imagen); %visualizamos la imagen elegida en el matlab.
colormap(map);
[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'db2'); % realizamos una descomposición
de la imágen de 1 nivel con wavelets db2
%Este comando nos genera las matrices de coeficientes de primern
nivel, de
%la aproximación, y los detalles horizontal vertical y diagonal.
%---%
A1 = upcoef2('a',cA1,'db2',1);
H1 = upcoef2('h',cH1,'db2',1);
V1 = upcoef2('v',cV1,'db2',1);
D1 = upcoef2('d',cD1,'db2',1);
%Con estos comandos contruimos la aproximación y los detalles de
los
%coeficientes adquiridos anteriormente.
figure(2)
map2 = 1-gray(NbColors);
colormap(map2);
subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192));
title('Aproximación A1')
subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192));
title('Detalle Horizontal H1')
subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192));
title('Detalle Vertical V1')
subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192));
title('Detalle Diagonal D1')
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3. Código de Compresión 1.
%Código utilizado para el ejmplo 1 de compresión
function [XCMP,wptCMP] = func_compress_wp2d(X)
%
X: matriz de datos
%
XCMP: matriz de datos comprimidos
%
wptCMP: descomposción wavelet packet
% Parámetros de análisis.
Wav_Nam = 'sym4';
Lev_Anal = 5;
Ent_Nam = 'shannon';
Ent_Par = 0;
% Parámetros de compresión.
% meth = 'bal_sn';
sorh = 'h';
% Especificado para umbralización soft o hard,
h=hard.
thrSettings = {sorh,'nobest',13.352368791793488,1};
roundFLAG = true;
% Descomposición mediante la función WPDEC2.
wpt = wpdec2(X,Lev_Anal,Wav_Nam,Ent_Nam,Ent_Par);
% Proceso de fusión.
n2m = [];
for j = 1:length(n2m)
wpt = wpjoin(wpt,n2m(j));
end
%Compresión utilizando la función WPDENCMP.
[XCMP,wptCMP] = wpdencmp(wpt,thrSettings{:});
if roundFLAG , XCMP = round(XCMP); end
if isequal(class(X),'uint8') , XCMP = uint8(XCMP); end
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4.
Código de compresión 2.
function [XCMP,wptCMP] = func_compress_wp2d(X)
% FUNC_COMPRESS_WP2D Saved Compression Process.
%
X: matriz de datos
%
%
wptCMP: descomposción wavelet packet
Wav_Nam = 'sym8';
Lev_Anal = 5;
Ent_Nam = 'shannon';
Ent_Par = 0;
% Parámetros de compresión.
% meth = 'bal_sn';
sorh = 'h';
h=hard.
thrSettings = {sorh,'nobest',35.079484464674323,1};
roundFLAG = true;
% Descomposición utilizando la función WPDEC2.
wpt = wpdec2(X,Lev_Anal,Wav_Nam,Ent_Nam,Ent_Par);
% Proceso de fusión.
n2m = [];
for j = 1:length(n2m)
wpt = wpjoin(wpt,n2m(j));
end
%Compresión utilizando la función WPDENCMP.
[XCMP,wptCMP] = wpdencmp(wpt,thrSettings{:});
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5. Código de compresión 3.
function [XCMP,cfsCMP,dimCFS] = func_compress_dw2d(X)
% FUNC_COMPRESS_DW2D Proceso guardado de compresión
%
X: matriz de datos
%
----------------%
%
cfsCMP: vector de descomposición
%
dimCFS: guarda el orden de los coeficientes de la matriz
wname = 'sym8';
level = 5;
% Parámetros de Compresión
% meth = 'bal_sn';
sorh = 'h';
h=hard.
thrSettings = 49.910209019263782;
roundFLAG = true;
% Compression using WDENCMP.
%-------------------------[coefs,sizes] = wavedec2(X,level,wname);
[XCMP,cfsCMP,dimCFS] = wdencmp('gbl',coefs,sizes, ...
wname,level,thrSettings,sorh,1);
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procesamiento digital de señales mediante la teoría de wavelets

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