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Colegio de Bachilleres del
Estado de Quintana Roo
GUÍA DIDÁCTICA
MATEMÁTICAS II
Reforma Integral de Educación Media Superior (RIEMS)
Enero de 2010
R01/0110
GD-RIEMS-DOC-4208
Colegio de Bachilleres del Estado de Quintana Roo
Guía Didáctica de Matemáticas II
ÍNDICE
Pág.
3
7
8
5
5
Introducción al Curso
Contenido del Programa
Características Genéricas del Bachillerato
Criterios para la realización del curso
Sistema de Evaluación por competencias
BLOQUE I UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Sesión 1-8
Estrategias de Enseñanza y Aprendizaje
10
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
BLOQUE II COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Sesión 9-16
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexo
35
BLOQUE III RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y
TEOREMA DE PITÁGORAS
59
Sesión 17-24
Estrategias
de
Enseñanza
y
Aprendizaje
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexo
BLOQUE IV RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Sesión 25-32
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
BLOQUE V EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Sesión 33-40
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
83
113
BLOQUE VI DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
135
Sesión 41-48
Fase de apertura
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2
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Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
BLOQUE VII APLICA FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS
Sesión 49-56
156
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
BLOQUE VIII APLICA LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS
Sesión 57-64
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
184
BLOQUE IX APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Sesión 65-72
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
BLOQUE
X EMPLEA LOS CONCEPTOS
PROBABILIDAD
Sesión 73-80
Fase de apertura
Fase de desarrollo
Fase de cierre
Anexos
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3
209
ELEMENTALES
DE
237
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PRESENTACIÓN
La guía didáctica es un documento que organiza información acerca de los contenidos de una asignatura,
orientar en relación a la metodología establecida y enfoque del curso, ofrece indicaciones generales y
actividades que apoyen al profesor.
Es una propuesta metodológica orientada a apoyar al docente poniendo a su disposición un planteamiento para
la implementación en el aula, teniendo como referencia las unidades de competencia, así como los indicadores
de desempeño de los saberes requeridos de cada bloque, así como diferentes estrategias didácticas para el
abordaje de los mismos.
Es importante señalar algunas funciones básicas de la guía didáctica:
•
•
•
•
•
Proporcionar información sobre los indicadores de desempeño y saberes requeridos de cada bloque del
programa de estudio.
Sugerir estrategias didácticas y de aprendizaje para lograr el desarrollo de conocimientos, habilidades,
actitudes y valores en el alumno.
Establecer las unidades de competencia y los atributos de las competencias genéricas específicos por cada
bloque que corresponden a la asignatura.
Proveer una orientación en relación al plan de evaluación continua.
Proveer de la dosificación programática.
La base para aplicar una didáctica centrada en el aprendizaje es reflexionar sobre cómo lograr que
paulatinamente los alumnos alcancen la competencia. Esto será el generador que propiciará la selección de una
secuencia lógica, graduada y motivante de actividades donde el principal actor sea el propio estudiante.
Se establece tanto la información que deberá contener cada uno de los componentes como los propósitos y
fines para los cuales está estructurado este instrumento de apoyo al profesor y al alumno.
El documento de la Guía didáctica es flexible, el profesor podrá realizar adecuaciones a las actividades de
acuerdo al contexto, siempre y cuando cumpla con la estructura pedagógica establecida.
COMPETENCIAS GENÉRICAS DEL BACHILLERATO
Las once competencias a continuación constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
Cada una de las competencias, organizadas en seis categorías, está acompañada de sus principales atributos.
SE AUTO DETERMIN.A Y CUIDA DE SÍ.
1
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que
persigue.
Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y
debilidades.
Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de
solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.
Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un
proyecto de vida.
Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus
metas.
2
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos
géneros.
Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre
individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.
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4
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PARTICIPA EN PRÁCTICAS RELACIONADAS CON EL ARTE.
3
Elige y practica estilos de vida saludables.
Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y Social.
Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo
y conductas de riesgo.
Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo
rodean.
SE EXPRESA Y COMUNICA.
4
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de
medios, códigos y herramientas apropiados.
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en
el que se encuentra y los objetivos que persigue.
Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y
expresar ideas.
PIENSA CRÍTICA Y REFLEXIVAMENTE.
5
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y
formular nuevas preguntas.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros
puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre
ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e
integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA.
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y
controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
TRABAJA EN FORMA COLABORATIVA.
7
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un
curso de acción con pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD EN LA SOCIEDAD.
8
Participa con una Conciencia Cívica y Ética en la vida de su comunidad, Región, México y el
Mundo.
Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
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5
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Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la
sociedad.
Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e
instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.
Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de
la sociedad.
Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.
Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional
ocurren dentro de un contexto global interdependiente.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y
prácticas sociales.
Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y
derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.
Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones
culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los
contextos local, nacional e internacional.
9
Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local,
nacional e internacional.
Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño
ambiental en un contexto global interdependiente.
Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al
ambiente.
CRITERIOS PARA LA REALIZACIÓN DEL CURSO.
MATEMATICAS II
Alumno
1) Que el alumno sea responsable.
2) Conocimiento del temario de la asignatura.
3) Un 100 % de asistencia.
4) Entrega oportuna de las evidencias (en tiempo y forma).
5) Responsabilidad por parte del alumno con el cuidado del portafolio de evidencias.
6) Llevar en orden y completo el portafolio de evidencias (Debiendo entregar el 100 % del total de
evidencias para acreditar cada bloque).
7) Material exclusivo para la materia (libreta, fotocopias, libros, etc.).
8) Cumplir con todos los materiales a utilizar en el desarrollo de la sesiones.
9) Prohibido el uso de teléfonos celulares o cualquier otro dispositivo electrónico que pueda distraer la
atención.
10) La hora de entrada al Laboratorio para realizar las prácticas será la indicada en el horario respectivo y
sólo se concederá una tolerancia de cinco minutos de retraso.
11) Todos los alumnos deberán presentan las evaluaciones por bloque.
SISTEMA DE EVALUACIÓN BAJO COMPETENCIAS POR BLOQUE
Se deben evaluar los desempeños en un ambiente responsivo.
Sistema de Evaluación
Desempeños (Portafolio de evidencias).
Evaluación por bloque
(KPSI, ABP, Estudio de Casos, Instrumento de evaluación entre otros)
Total
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6
70%
30%
100 %
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PONDERACIÓN DE LAS EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Nota: La presente tabla da a conocer una propuesta del conjunto de evidencias que conformaría su portafolio y
asimismo queda a criterio del docente la correspondiente ponderación.
BLOQUE
INDICADOR
DE
DESEMPEÑO
1
1
2
3
NOMBRE DE LA EVIDENCIA
PONDERACIÓN
Evidencia 1.Calcula, a partir de datos conocidos, el valor de ángulos en
rectas secantes, paralelas cortadas por una transversal y triángulos,
ejercicios Anexo I-B
Evidencia 2. Ejemplos de uso de triángulos en diferentes situaciones de
nuestro entorno. Trabajo independiente
Evidencia 1. Emplea las características y propiedades de los diferentes
tipos de ángulos y triángulos para mostrar las propiedades
Evidencia 1. Resuelve problemas de su entorno utilizando las
propiedades de ángulos y
Triángulos en el Anexo I-C
1
Evidencia 1. Definición de congruencia de triángulos
Evidencia 2. Trabajo independiente de la sesión 10 de Identificación de
triángulos congruentes
Evidencia 3. Enuncia los criterios, ALA, LLL, LAL de congruencia de
triángulos.
2
Evidencia 1. Aplica la congruencia de triángulos en situaciones teóricas
o prácticas que requieran establecer la igualdad de segmentos o ángulos.
Evidencia 2. Coevaluación de aspectos actitudinales
3
Evidencia 1. Elige y justifica el criterio de congruencia apropiado para
determinar la congruencia de triángulos
1, 2 y 3
Evidencia 1. Actividad 1. Solución de ejercicios en libreta de apuntes
Anexo III-A
Actividad 1. Extra clase solución de ejercicio. Anexo III-B
Evidencia 2. Actividad 2. Solución de ejercicios en libreta de apuntes
Anexo III-A
Actividad 2. Extra clase solución de ejercicios se evalúa Rúbrica III-B
2
3
4,5 y 6
7
4
1, 2 y 3
Evidencia 1. Actividad 3 Extra-clase. Solución de ejercicios. Anexo III-B
Evidencia 1. Actividad 3.Solución de ejercicios libreta de apuntes Anexo
III-A
Evidencia 2. Actividad 4. Ejercicios en libreta de apuntes
Evidencia 1. Actividad 1. De acuerdo a las 6 figuras que se presenta se
realiza el llenado de la tabla
Actividad 1. Extra-clase. Anexo IV-B
Evidencia 2. Actividad 2. De acuerdo a las 6 figuras que se presenta se
realiza el llenado de la tabla
Actividad 2. Extra-clase. Anexo IV-C
Evidencia 3.Actividad 3. Determina la medida de los ángulos marcados
en las figuras regulares.
Actividad 3. Extra-clase. Anexo IV-F
Evidencia 4.
Actividad 4. Realizar ejercicios
Actividad 4. Extra-clase. Anexo IV-E
Total
100%
100%
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7
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BLOQUE
INDICADOR
DE
DESEMPEÑO
1
Evidencia 1. Actividades durante la sesión
Actividad V-A
Actividad V-C
Evidencia 2. Actividad Extraclase
Actividad V-B
Evidencia 3. Llenado de las tablas
Llenado de las tablas de Retroalimentación por cada sesión
Evidencia 4. Llenado de las tablas de Integración del
Aprendizaje por sesión.
2y3
Evidencia 1. Actividades durante la sesión
Actividad V-F
Evidencia 2. Llenado de las tablas
Llenado de las tablas de retroalimentación por cada sesión
Evidencia 3. Llenado de las tablas de Integración del
Aprendizaje por sesión
1
Evidencia 1. Actividad VI-A- Resumen.
Evidencia 2. Actividad VI-E Solución de ejercicios.
5
2
6
Evidencia 1. Actividad VI-H
Resumen.
Evidencia 2. Actividad VI-I
Solución de ejercicios.
3
Evidencia 1. Actividad VI-J
Resumen.
Evidencia 2. Actividad VI-K
4
Evidencia 1. Actividad VI-L
Resumen.
Evidencia 2. Actividad VI-M
1
Evidencia 1.Solución de ejercicios
Anexo VII-B.
Anexo VII-B.
Anexo VII-D.
2
Evidencia 1.- Solución de ejercicios
Anexo VII-E.
Anexo VII-F
Anexo VII-G.
3
Evidencia 1 Solución de ejercicios anexo VII-H.
7
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PONDERACIÓN
8
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE
8
INDICADOR
DE
DESEMPEÑO
4
Evidencia 1.- Ejercicios de Tabulación y graficación de la:
Actividad VII-I Y Actividad VII- J
1
Evidencia 1.- Actividad 1) Resumen
Evidencia 2.- Actividad 2) Ejercicio extra clase del Anexo VIIIB
2
3
1
Evidencia 1.- Actividad 3) Ejercicio extra clase (Anexo VIII-D)
Evidencia 1.- Actividad 4) Ejercicio extra clase del anexo VIIF
Evidencia 2.- Actividad 5) Ejercicio extra clase del Anexo VIIIG
Evidencia 1.-Elaboración del Glosario
Evidencia 2.- Participación
Evidencia 3.- Libreta de apuntes
Evidencia 1.-Participación
Evidencia 2.-Ejercicios Anexo IX B
Evidencia 3.-Ejercicios en el aula
Evidencia 4.-Investigación medidas de dispersión
9
2
1
10
PONDERACIÓN
2
3
Evidencia 1.- Participación
Evidencia 2.- Ejercicios Anexo IX D
Evidencia 3.- Ejercicios en el aula IX E
Evidencia 4.- Investigación tipos de graficas
Evidencia 6.- Entrega de portafolio de evidencia.
Evidencia 1.- Ejercicios del anexo X-B
Evidencia 2.- Libreta de apuntes.
Evidencia 3.-Trabajo en equipo.
Evidencia 4.-Portafolio de evidencias
Evidencia 1.-Ejercicios del Anexo X-C
Evidencia 2.-Libreta de apuntes.
Evidencia 3.-Trabajo en equipo.
Evidencia 4.-Portafolio de evidencias.
Evidencia 1.-Ejercicios del Anexo X-D
Evidencia 2.- Trabajo en equipo.
Evidencia 3.-Portafolio de evidencias
100%
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9
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BLOQUE I
Utiliza Triángulos: Ángulos y Relaciones Métricas
UNIDADES DE COMPETENCIA:
Construye e interpreta modelos geométricos de ángulos y triángulos, al resolver problemas derivados de
situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Cuantifica y representa magnitudes angulares y de longitud en ángulos y triángulos identificados en situaciones
reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de ángulos y triángulos.
ATRIBUTOS DE LAS COMPETENCIAS GENERICAS A DESARROLLAR:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de
acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro
de distintos equipos de trabajo.
INDICADORES DE DESEMPEÑO PARA LOGRAR LAS UNIDADES DE COMPETENCIA
1. Identifica ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, suplementarios, complementarios, alternos o
correspondientes y clasifica triángulos por sus ángulos y medidas de sus lados.
2. Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, para obtener valores
de éstos a partir de situaciones prácticas o teóricas.
3. Soluciona problemas mediante la aplicación de las propiedades de los diferentes tipos de ángulos y
triángulos.
Tiempo: 8 horas
Sesiones de la 1 a la 8
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INDICADORES DE DESEMPEÑO PARA LOGRAR LAS UNIDADES DE COMPETENCIA DEL BLOQUE I
INDICADOR DE
DESEMPEÑO
1
Identifica
ángulos opuestos
por
el
vértice,
adyacentes,
suplementarios,
complementarios,
alternos
o
correspondientes y
clasifica triángulos
por sus ángulos y
medidas de sus
lados.
2
Utiliza
las
propiedades
y
características de
los diferentes tipos
de
ángulos
y
triángulos,
para
obtener valores de
éstos a partir de
situaciones
prácticas
o
teóricas.
3
Soluciona
problemas
mediante
la
aplicación de las
propiedades de los
diferentes tipos de
ángulos
y
triángulos.
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CONOCIMIENTO
HABILIDAD
ACTITUD
EVIDENCIA
Clasifica los ángulos:
Por sus medidas
•
Llano
•
Agudo
•
Obtuso
•
De una vuelta
•
Recto
•
Cóncavo
•
Convexo
a) Por la posición de sus
lados:
• Opuestos
por
el
vértice.
• Adyacentes.
• Formados por dos
rectas secantes o
dos
paralelas
cortadas por una
transversal.
b) Por la suma de sus
medidas:
• Suplementarios.
• Complementarios
Define y clasifica los
triángulos por: la medida
de sus lados y de sus
ángulos.
Define y clásica los
triángulos
por:
las
medidas de sus lados y
de sus ángulos.
• Distingue los tipos de
ángulos y triángulos a
partir de la información
contenida en gráficos.
• Realiza inferencias y
deducciones sobre las
figuras
y
construcciones que se
le presentan.
• Muestra
disposición
a
utilizar
las
propiedades
de
ángulos
y
triángulos en la
resolución
de
problemas.
• Aporta puntos de
vista
personales
con apertura y
considera los de
otras personas.
• Aprecia la utilidad
de los diferentes
ángulos
y
triángulos
para
modelar
situaciones
geométricas.
• Calcula, a partir de
datos conocidos, el
valor de ángulos
en
rectas
secantes, paralelas
cortadas por una
transversal
y
triángulos.
•
vista
personales
con apertura y
considera los de
otras personas.
• Aprecia
la
utilidad de los
diferentes
ángulos
y
triángulos
para
modelar
situaciones
geométricamente
.
•
Aporta
puntos de vista
personales
con
apertura
y
considera los de
otras personas.
•
Aprecia
la
utilidad
de
los
diferentes ángulos
y triángulos para
modelar
situaciones
geométricamente.
Emplea
las
características
y
propiedades de los
diferentes tipos de
ángulos y triángulos.
•
•
•
Realiza inferencias y
deducciones sobre
las
figuras
y
construcciones que
se le presentan.
Utiliza la imaginación
espacial
para
visualizar
distintos
tipos de ángulos y
triángulos en objetos
y figuras.
Aplica propiedades
de
ángulos
y
triángulos para la
resolución
de
problemas.
Interpreta
las
propiedades de los
ángulos de cualquier
triángulo como son la
suma de ángulos
interiores
y
exteriores.
11
•
Resuelve
problemas de su
entorno
utilizando
las propiedades de
ángulos y triángulos.
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE I
Utiliza Triángulos: Ángulos y Relaciones Métricas
SESIÓN 1 a 5
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
SABERES REQUERIDOS PARA EL LOGRO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
Clasifica los ángulos:
• Distingue los tipos de ángulos y • Muestra disposición a utilizar las
Por sus medidas
triángulos a partir de la propiedades
de
ángulos
y
información
contenida
en triángulos en la resolución de
• Llano
gráficos.
problemas.
• Agudo
Realiza
inferencias
y
deducciones
Aporta
puntos de vista personales
•
•
• Obtuso
sobre
las
figuras
y
construcciones
con
apertura
y considera los de
• De una vuelta
que
se
le
presentan.
otras
personas.
• Recto
• Aprecia la utilidad de los
• Cóncavo
diferentes ángulos y triángulos
• Convexo
para
modelar
situaciones
a) Por la posición de sus lados:
geométricas.
• Opuestos por el vértice.
• Adyacentes.
• Formados por dos rectas
secantes o dos paralelas
cortadas
por
una
transversal.
b) Por la suma de sus medidas
• Suplementarios.
• Complementarios.
Define y clasifica los triángulos por:
la medida de sus lados y de sus
ángulos.
EVIDENCIAS DE LOGRO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
CONOCIMIENTO: Emplea las características y propiedades de los diferentes tipos de ángulos y triángulos.
HABILIDAD: Calcula a partir de datos conocidos, el valor de ángulos en rectas secantes, paralelas cortadas
por una transversal y triángulos.
ACTITUD: Muestra, aporta, aprecia la utilidad de los diferentes ángulos y triángulos.
RECURSOS DIDÁCTICOS Y DOCUMENTOS (BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA) UTILIZADOS POR EL
DOCENTE
•
•
•
•
Pizarra
Pintarrones o gises
Ruíz Basto, Joaquín. (2005). Matemáticas, Geometría y Trigonometría. México: Publicaciones
Cultural.
Salazar Vázquez Pedro (2009). Matemáticas II. México: Editorial Nueva Imagen.
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12
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 1
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Identifica ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, suplementarios,
complementarios, alternos o correspondientes y clasifica triángulos por sus ángulos y medidas de sus lados.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Bienvenida
Tiempo: 10 min.
Pase de lista
Se da a conocer el nombre de la asignatura, del docente y las competencias que se desea alcanzar en el curso
escolar.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 35 min.
En la primera sesión se establece los acuerdos necesarios para el semestre:
Competencias genéricas y disciplinares que se debe alcanzar en el semestre.
Presenta los contenidos.
Forma de evaluación y acreditación
Criterios para la realización del curso, resalta la importancia de cumplir el porcentaje de asistencia requerido
para tener derecho a cualquiera de las evaluaciones o modalidades de acreditación, mínimo 80%.
Materiales que debe utilizar y cuando portarlo: regla, escuadras, compás, colores.
Características que deben cumplir las evidencias que se entregan durante el semestre.
Concientización sobre hábitos de estudio.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Conclusión
Tiempo: 5 min.
Da aviso de que en la sesión siguiente se aplicará un examen diagnóstico.
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13
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 2
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Identifica ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, suplementarios,
complementarios, alternos o correspondientes y clasifica triángulos por sus ángulos y medidas de sus lados.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Indicaciones del examen diagnóstico
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Evaluación diagnóstica
Tiempo: 20 min.
Aplica el instrumento de evaluación del Anexo I-A. Evaluación diagnóstica.
En pares se intercambian los exámenes para calificarlos, el docente proporciona las respuestas correctas.
El facilitador da comentarios pertinentes sobre los resultados de la evaluación diagnóstica y la retroalimentación
de los reactivos que presentaron alguna dificultad.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 10 min.
El facilitador brinda un panorama general del contenido del bloque, así como la competencia que debe lograr al
término de este.
Comenta sobre los saberes, habilidades, actitudes y valores que debe tener el alumno durante el estudio del
bloque I.
TRABAJO INDEPENDIENTE: (tarea)
Solicita la investigación de la definición de ángulo y sus clasificaciones.
Nota: Para evaluar las actividades utilizar las propuestas de instrumentos de evaluación que se encuentran en
los anexos de I-E al I-L con el propósito de corroborar la competencia del alumno.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 3
1.
Identifica ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, suplementarios, complementarios, alternos o
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
Pase de lista.
Revisión de la investigación. Grupal.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Retoma la investigación de la sesión anterior y explica el concepto de ángulo y sus clasificaciones.
Si dos líneas inician desde el mismo punto hacia distintos lados obtenemos un ángulo. El punto donde
comienzan las dos líneas se llama vértice del ángulo. Las líneas se llaman lados del ángulo.
Lados
Medida del
ángulo
Vértic
e
Para denotar un ángulo se usan tres letras mayúsculas, colocando el vértice entre dos de ellas. Otra forma
común es usando la letra del vértice solamente. Cuando varios ángulos tienen el mismo vértice, puede
distinguírseles con una letra minúscula, letras griegas o con un pequeño número en el interior del ángulo.
A
B
1
α
α
C
1
Cuando medimos un ángulo en grados, contamos el número de veces que éste contiene a un grado o fracción
de grado. Las fracciones de grados se miden subdividiendo un grado en minutos (‘) y segundos (‘’).
1° = 60’
1’ = 60’’
1° = 3600’’
El instrumento de medición de ángulos más común es el transportador.
Cada alumno deberá trazar un par de ángulos y medirlos usando el transportador.
R01/0110
15
GD-RIEMS-DOC-4208
Plantear ejemplos de sumas y restas de ángulos usando grados, minutos y segundos.
Sumar los ángulos 40° 32´ 25’’ y 14° 41´ 55’’
Un ángulo mide 50° 17' 33 y otro 25° 35' 14. ¿Cuánto mide la diferencia de estos ángulos?
Clasificación de los ángulos
Los ángulos se clasifican según varios criterios:
Por las medidas:
a)
Entre 0° y 90°
Agudo:
90°
Recto:
Entre 90° y 180°
Obtuso
180°
Llano:
mayor 180 y menor de 360°
Entrante
Perígono o de una vuelta
360°
completa
b)
Por la suma de sus medidas
•
Suplementarios. Un par de ángulos que su suma sea 180°
•
c)
•
Complementarios. Un par de ángulos cuya suma sea igual a 90°.
Por la posición de sus lados:
Opuestos por el vértice. Son aquellos que tienen el vértice común y los lados de uno son prolongación del
otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
•
Consecutivos. Son aquellos que tienen su vértice y un lado en común.
•
Adyacentes. Son dos ángulos que tienen el m
mismo
ismo vértice, un lado común y los otros dos lados son
colineales. Los ángulos adyacentes son suplementarios.
•
Formados por dos rectas secantes o dos paralelas cortadas por una transversal. En esta figura se
forman 8 ángulos que se clasifican de acuerdo a su posición como:
Correspondientes:
Alternos internos:
Alternos externos:
Colaterales internos:
Colaterales externos:
utilizar
zar las propuestas de instrumentos de evaluación que se encuentran en
Nota: Para evaluar las actividades utili
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Retroalimentación
Tiempo: 10 min.
ierren sus libretas y enuncien los nombres de todos los ángulos y pares de
El profesor pide a sus alumnos que cierren
ángulos vistos en la sesión, en una lluvia de ideas.
En el caso de los asesores de EMSaD se sugiere que pida a sus alumnos que completen la tabla que se
encuentra en la página 11 y 12 así como la actividad de la página 14 y 15 del Cuadernillo para el Aprendizaje de
Matemáticas II de la Educación
ión Media Superior a Distancia.
R01/0110
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GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
Sesión 4
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Planteamiento de problemas
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
Problema:
¿Cuál ángulo es el que tiene mayor medida?
Formular preguntas que guíen el análisis de esta situación. Se debe concluir que tienen la misma medida,
representan el mismo ángulo, aunque la longitud de sus lados no sea igual.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Resuelve la lista de ejercicios, donde midan, identifiquen y calculen medidas de ángulos Anexo I-B para
evaluar dicha actividad se propone los instrumentos ya mencionados.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
El facilitador proporciona las respuestas correctas y resuelve las dudas que se generen en los alumnos.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 5
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA--APRENDIZAJE
APRENDIZAJE PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
COMPETENCI
FASE DE APERTURA
n y clasificación de triángulos
INSTRUCCIONES: Definición
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
Plantear una situación donde se hable de triángulos
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Los triángulos son figuras geométricas muy importantes por su propiedad de indeformabi
indeformabilidad. Por lo que es
necesario estudiarlos con detalle.
Los elementos de un triángulo son: vértices, lados, ángulos interiores:
,
Y sus ángulos exteriores:
Se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados:
a) Equilátero: Tiene sus tres lados de ig
igual medida.
b) Isósceles: Tiene sólo dos ángulos iguales.
c) Escaleno: No tiene lados iguales.
Por la medida de sus ángulos se clasifican como:
a) Acutángulo. Tiene sus tres ángulos
agudos.
b) Rectángulo. Tiene un ángulo recto.
c) Obtusángulo. Tienen un ángulo
ngulo obtuso.
interiores
Las siguientes definiciones de puntos y rectas notables de un triángulo son propuestas para abordar sobre el
tema, de los cuales pueden elegirse los que considere convenientes de acuerdo a la disponibilidad de tiempo.
R01/0110
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GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
Puntos y rectas notables
les de un triángulo.
1)
Medianas: Segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto.
medianas. (G en la figura anterior)
Baricentro: Es el punto de intersección de las tres medianas
2)
Mediatrices: Recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por su punto medio.
Circuncentro: Es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.
3)
Alturas: Recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. (H, en la figura anterior)
4)
Bisectrices: Es la recta que divide a un ángulo interior del triángulo en dos partes iguales.
Incentro:: Es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
Escribir una reflexión sobre la importancia de los triángulos por lo común que es en nuestro entorno.
Dibuja en su libreta 5 ejemplos del uso de triángulos en diferentes situaciones de nuestro entorno.
Propuesta para EMSaD: Realiza los ejercicios de las páginas 15 y 16 del Cuadernillo de Procedimientos para
el Aprendizaje de Matemáticas II.
R01/0110
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GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
BLOQUE I
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
SESIÓN 6
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
• Define y clasifica los triángulos • Realiza
inferencias
y
deducciones sobre las figuras y
por: la medida de sus lados y
triángulos.
construcciones
que
se
le
presentan.
ACTITUDES Y VALORES
puntos
• Aporta
personales con
considera
los
personas.
de
vista
apertura y
de
otras
• Utiliza la imaginación espacial
para visualizar distintos tipos de
ángulos y triángulos en objetos y
figuras.
CONOCIMIENTO: Emplea las características y propiedades de los diferentes tipos de ángulos y triángulos.
HABILIDAD: Emplea las características y propiedades de los diferentes tipos de ángulos y triángulos a través
del planteamiento de problemas.
ACTITUD: Aporta puntos de vista personales de manera respetuosa y considera las opiniones de sus
compañeros.
DOCENTE
• Pizarra
• Pintarrones o gises.
• Ruíz Basto, Joaquín. (2005). Matemáticas, Geometría y Trigonometría. México: Publicaciones
Cultural.
• Salazar Vázquez Pedro (2009). Matemáticas II. México: Editorial Nueva Imagen.
Sesión 6
FASE DE APERTURA
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
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GD-RIEMS-DOC-4208
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Plantea un problema en el que deban aplicarse las propiedades de los ángulos de un triángulo.
¿Cuánto mide cada ángulo interior de un triángulo equilátero?
Se propone que los siguientes teoremas se comprueben mediante ejemplos numéricos concretos, con
rompecabezas, recortes, etc.; con la finalidad de que el alumno manipule y comparta con sus compañeros las
observaciones, ya que se cumplen para cualquier tipo y medida de triángulo.
Ejemplo:
Teorema: La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.
El alumno traza y recorta un triángulo cualquiera, colorea los tres ángulos y dobla las tres puntas del triángulo
de tal manera que coincidan con uno de los lados del triángulo como se muestra en la figura, al unirlos deberá
observarse que forman un ángulo de 180º.
Doblar por las líneas punteadas.
180º
180º
Otras propiedades que se sugiere mostrar, de acuerdo a la disponibilidad de tiempo y de los recursos
didácticos utilizados.
Propiedades de los triángulos.
Teorema: La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.
Teorema: Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
Teorema: La suma de los tres ángulos externos de un triángulo cualquiera siempre es 360°
Teorema: En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los dos lados iguales también son iguales.
R01/0110
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Teorema: En un triángulo equilátero cada ángulo interno es igual a 60°.
Teorema: Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios (es decir suman 90°)
Teorema: Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto.
Teorema: Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
Concluye mencionando la importancia que estas propiedades tienen en el estudio de los temas posteriores.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE I
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
SESIÓN 7
triángulos.
CONOCIMIENTO
HABILIDADES
• Aplica propiedades de ángulos y
triángulos para la resolución de
problemas.
• Interpreta las propiedades de los
ángulos de cualquier triángulo
como son la suma de ángulos
Interiores y exteriores.
ACTITUDES Y VALORES
puntos
• Aporta
personales con
considera
los
personas.
de
vista
apertura y
de
otras
CONOCIMIENTO:
HABILIDAD: Resuelve problemas de su entorno utilizando las propiedades de ángulos y triángulos.
ACTITUD: Aporta puntos de vista personales de manera respetuosa y considera las opiniones de sus
compañeros.
DOCENTE
• Pizarra
• Pintarrones o gises.
Cultural.
• Salazar Vázquez Pedro (2009). Matemáticas II. México: Editorial Nueva Imagen
Sesión 7
triángulos.
FASE DE APERTURA
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Resuelve la lista de ejercicios, donde midan, identifiquen y calculen medidas de ángulos en triángulos. Anexo IC
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
El facilitador proporciona las respuestas correctas y resuelve las dudas que se generen en los alumnos.
Sesión 8
triángulos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador ordena a los alumnos para la aplicación del examen del primer bloque.
Tiempo: 5 min.
Pase de lista
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 40 min.
El facilitador proporciona el examen a los estudiantes del bloque. Anexo I-D.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 5 min.
El facilitador recoge los exámenes al finalizar el tiempo asignado.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
ANEXOS
Anexo I-A: Este instrumento se propone en la sesión 2 del bloque I.
Propuesta de Examen Diagnóstico
1. Es la clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos:
A) Equilátero, Isósceles B) Acutángulo,
C) Agudos, Rectos
y escaleno
Obtusángulo y
obtusos
rectángulo
y
(
)
D) Iguales, menores
mayores
y
2. Si dos triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño, sus ángulos y lados miden lo mismo, se llaman:
(
)
A) Semejantes
B) Idénticos
C) Congruentes
D) Proporcionales
3. La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al
)
área del cuadrado sobre la hipotenusa. Esto se simboliza como . Es el enunciado de: (
A) El
Teorema
Pitágoras
de
B) El Teorema de Tales
C) La definición de área
de un triángulo
4. Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos iguales se le llama:
A) Polígono convexo
B) Polígono cóncavo
C) Polígono regular
D) El
Teorema
proporcionalidad
de
(
)
D) Polígono irregular
5. Es el nombre que se le da a la medida del centro a cualquier punto de la circunferencia:
(
)
A) Diámetro
B) Radio
C) Cuerda
D) Secante
6. El valor de la función seno para un ángulo de un triángulo rectángulo es el cociente de:
(
)
D)
C)
A)
B)
!"#
$%! &"#
7. Es la gráfica de la función trigonométrica, identifica la opción que contiene a dicha función:
A) Seno
B) coseno
C) tangente
(
)
D) secante
8. Si un triángulo no es rectángulo, puede ser acutángulo u obtusángulo, estos triángulos no rectángulos
reciben un nombre especial que es:
(
)
A) Triángulos semejantes
B) Triángulos
C) Triángulos
D) Triángulos
Congruentes
Oblicuángulos
Diferentes
9. Juanito obtuvo en inglés 8, 6, 7 y 9 en sus bloques del semestre, ¿Cuál es su promedio de calificaciones de
bloques?
(
)
A) 8
B) 9
C) 30
D) 7.5
10. Es un evento probabilístico:
A) Que mañana sea
B) Que caiga águila
domingo
al lanzar una
moneda
R01/0110
(
C) Que al lanzar una
dado salga un 8
26
)
D) Que 2+2 sea 4
GD-RIEMS-DOC-4208
Anexo I-B: Este recurso se propone en la sesión 4 del bloque I.
Actividad del tema Ángulos
1. Construcción con regla , compás y transportador.
Construir ∆ ABC:
a) AB = 5cm. BC = 4 cm AC = 6 cm.
b) AB = 8 cm.
< BAC = 60º
c) <ABC = 50º
<ACB = 60º
BC = 7 cm.
2. Determina el complemento de 72º.
3. ¿Cuál es el suplemento de 139º?
4. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º
5. Determina el complemento del suplemento de 143º.6. Si 36º es el complemento del suplemento de x.
¿Cuántos grados mide x?
6. Calcular el valor de los demás ángulos:
7. Si a=30º, b=45º, cuánto mide el ángulo en P llamado APB.
8. Si m // n. Calcule la m ∠ x
R01/0110
27
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
9. Calcular la medida de cada ángulo agudo y cada ángulo obtuso.
α + 23º
β
2 α – 14º
Anexo I-C: Este instrumento se propone en la sesión 6.
Ejercicios: Aplicando las propiedades de los ángulos y los triángulos, calcular los ángulos que se indican.
R
2) <QPR =?
1) <CAB =?
C
40º
125º
80º
P
Q
72º
A
B
3) x = ?
4) x = ?
x
72º
158º
x
136º
5) x = ?
67º
6) x = ?
81º
87º
x
x
7) x = ?
8)
AC = BC; <ACB = ?
C
132º
x
x
2a
2a
9) x = ?
A
R01/0110
B
10) TU bisectriz del <RTS.
28
GD-RIEMS-DOC-4208
<RTU = ?
T
C
R
A
x + 25
2x + 5
22º
73º
U
B
S
Anexo I-D: Evaluación del bloque propuesta en la sesión 8.
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE QUINTANA ROO
DIRECCION GENERAL
PLANTEL O EMSAD ______________
BLOQUE I
MATEMÁTICAS I
PERIODO 2010 – A
CLAVE: _______________
NOMBRE DEL ALUMNO:
GRUPO:
NOMBRE DEL MAESTRO:
FECHA:
INSTRUCCIONES: Coloca en el paréntesis la clave que corresponda a la respuesta correcta.
1. Un ángulo obtuso es:
a) menor que un llano y mayor que un recto
b) igual que un recto
(
)
c) menor que un recto
d) mayor que un llano
2. Hallar el complemento del ángulo A = 34º 35’ 18’
a)145º 24’ 42’’
b) 56º 25’ 18’’
3. Hallar el suplemento del ángulo B = 67º:
a) 23º
b) 113º
(
)
c) 55º 24’ 42’’
d) 56º 34’ 42’’
(
)
c) 293º
d) 13º
4. De la siguiente figura identifica el nombre que reciben el par de ángulos 1 y 2.
(
)
5. De la misma figura anterior identifica el nombre que reciben el par de ángulos 3 y 4.
a) alternos internos
c) correspondientes
d) alternos externos
b) opuestos por el vértice
(
)
6. Se les llama así a dos rectas que se cortan formando ángulos rectos:
a) rectas consecutivas
c) rectas paralelas
b) rectas colineales
d) rectas perpendiculares
(
)
7. Las medidas de dos ángulos opuestos por el vértice tiene la propiedad de que son:
a) complementarios
c) iguales
b) suplementarios
d) diferentes
8. En un triángulo cualquiera la suma de sus ángulos interiores es siempre igual a:
c) 180º
a)108º
d) 360º
b) 72º
9. En un triángulo cualquiera la suma de sus ángulos exteriores es siempre igual a:
a)108º
c) 180º
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
a) alternos internos
b) opuestos por el vértice
R01/0110
c) correspondientes
d) alternos externos
29
GD-RIEMS-DOC-4208
b) 72º
d) 360
10. Clases de triángulos según la medida de sus lados:
(
a) Equilátero, isósceles y escaleno
c) acutángulo, rectángulo y obtusángulo
b) Cóncavos, convexos y estrellados
d)oblicuángulos
)
11. En la clasificación de acuerdo a la medida de sus ángulos internos un triángulo que tiene sus tres ángulos
agudos se llama
(
)
a) obtusángulo
c) acutángulo
b) convexos
d) rectángulo
12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
(
I.
Un triángulo es acutángulo cuando sus tres ángulos son agudos.
II.
Un triangulo es obtusángulo cuando sus tres ángulos son obtusos
III.
Un triangulo es rectángulo si tiene un ángulo recto
IV.
En un triangulo obtusángulo la suma de los tres ángulos interiores es 360º.
a)todas
b)ninguna
c) I, y III
d) I y IV
)
13. En un triángulo equilátero la medida de cada uno de sus ángulos internos es de
a) 180º
c) 60º
b) 90º
d) 30º
)
(
Parte II. . Resuelve cada problema escribiendo el planteamiento y las operaciones con claridad.
1. Calcular el valor del ángulo exterior “x” de la siguiente figura:
95º
30º
2.
x
Calcular todos los ángulos interiores de la figura, sabiendo que
Â = 35°
Ê = 40°
Ángulo B =
Ángulo C =
Ángulo D =
A
B
D
C
E
3. Calcular la medida de un ángulo y su suplemento, si el primero es el doble del segundo. Trazar un dibujo.
4. Encontrar la medida del ángulo b como se indica en la siguiente figura: (usar el método que prefieras para
resolver el sistema de ecuaciones)
α + 23º
β
2 α – 14º
ANEXO I-E
Se sugieren dos instrumentos de evaluación para la evaluación por equipos de trabajo.
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GD-RIEMS-DOC-4208
Lista de cotejo
DOCENTE:
INSTITUCIÓN:
ALUMNO:
TEMA:
SEMESTRE Y GRUPO:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.: Resolución de problemas en equipos
Instrucciones: Se deberá colocar 1 en ejecución si el estudiante cumplió o un 0 si no cumplió con cada
indicador; en caso de que la respuesta sea que no cumplió, colocar en la columna de observaciones la
justificación de ello.
Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna ejecución por ponderación colocando el producto
en la columna de total. Finalmente sume la columna total.
N°
Indicador
Ejecución Ponderación Total Observaciones
1
2
3
4
5
90-100% de las soluciones no tienen errores
matemáticos.
El trabajo fue rectificado y comprobado por todos
los integrantes del equipo.
Se emplea la calculadora como instrumento de
exploración y verificación del resultado.
Todos los problemas fueron resueltos.
El trabajo presentado cumple con las expectativas
esperadas: ordenada, clara, organizada y es fácil
de leer.
3
3
1
1
2
Calificación Final:
___________________
Evaluador.
Anexo I-F
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
Rubrica para evaluar la actividad extra clase.
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR: Resolución de problemas en equipos.
CALIFICACIÓN
DESCRIPCIÓN
10
Demuestra total comprensión del problema. Todos los requerimientos de la tarea están
incluidos en la respuesta
9
Demuestra considerable comprensión del problema. Todos los requerimientos de la
tarea están incluidos en la respuesta.
8
Demuestra comprensión parcial del problema. La mayor cantidad de requerimientos de
la tarea están comprendidos en la respuesta.
7
Demuestra poca comprensión del problema. Muchos de los requerimientos de la tarea
faltan en la respuesta.
6
No comprende el problema.
5
No responde. No intentó hacer la tarea.
___________________
Evaluador.
Anexo I-G
Lista de cotejo
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
N°
Indicador
Ejecución
Reconocen,
identifican
y
plantean
1
adecuadamente cada problema.
Definen o analizan el problema con la aportación
2
de todos.
3
Elaboran un plan para resolver los problemas
Ponen en funcionamiento el plan y lo modifican
4
de acuerdo al surgimiento de nuevas ideas
Evalúan tanto el avance hacia la solución como la
5
solución.
El trabajo presentado cumple con las
6
expectativas esperadas.
Anexo I-H
De Habilidad
Solución de Ejercicios
Criterios de evaluación
Ejecución
De Forma
• Presentación del trabajo con respecto.
• Portada.
• Desarrollo
(datos,
procedimiento,
formula
• Resultado.
• Orden.
• Limpieza.
Ponderación
Total
Observaciones
2
1
1
2
2
2
Ponderación
Total
5
5
5
5
5
5
De contenido
• Aplicó los conceptos.
• Utilizó las propiedades.
• Realizó los procedimientos.
• Resultado y/o Interpretación adecuada.
10
20
30
15
Total:
En ejecución se anexara 1 si cumplió con el criterio de evaluación y 0 si no cumplió, posteriormente se
multiplicará por la ponderación y se anexará el resultado en total, posteriormente se sumaran los totales para
obtener el puntaje total.
Anexo I-I
R01/0110
32
GD-RIEMS-DOC-4208
Solución de problemas
• Portada.
• Presentación del trabajo.
• Desarrollo.
• Conclusiones.
• Organización del trabajo.
• Trabajo colaborativo-cooperativo.
• Limpieza.
• Búsqueda: Se relaciona el conocimiento y la
información al contexto especifico del problema.
•
•
•
•
Ejecución
Ponderación
5
5
10
5
5
5
5
5
Conceptos: Identifica
los datos relevantes
(planteamiento del problema).
Solución: Analiza múltiples opciones para resolver
el problema (estrategia de resolución).
10
Profundidad.
Aplica
correctamente
los
procedimientos y conceptos relevantes para su
resolución.
Obtiene el resultado correcto.
10
Total
30
5
Total:
En ejecución se anexará 1 si cumplió con el criterio de evaluación y 0 si no cumplió, posteriormente se
Anexo I-J
De actitud
Trabajo por equipo
Respeta las ideas de los otros miembros del grupo.
Uso adecuado de materiales de apoyo en uso.
Su entusiasmo, participación y dedicación demuestra una actitud de
limpieza.
Su desempeño en el rol asignado ha contribuido a preparar los
productos de una manera coherente.
Comparte la información que encuentra con los otros miembros del
grupo.
Participación equilibrada de todos los participantes.
Respeta las limitaciones de su compañero y lo ayuda en su
mejoramiento personal.
Su participación permite el desarrollo de óptimas relaciones
interpersonales.
Respeta las normas de su grupo y es capaz de reconocer y
enmendar sus errores.
Se apega a los acuerdos previos para la realización del trabajo,
número de participantes, tiempo, etc.
Apego del contenido del producto del trabajo lo solicitado.
Ejecución
Ponderación
5
5
5
Total
5
5
55
5
5
5
5
55
Total
R01/0110
33
GD-RIEMS-DOC-4208
Anexo I-K
Portafolio final
PRESENTACION
Ejecución
Nitidez
Formato
REDACCION
Ortografía
Gramática
ORGANIZACIÓN
Estructura
Orden
OBJETIVOS
Cantidad
Calidad
Cumplimiento
CONTENIDO
Auto presentación, Titulo y Tabla de contenido
Muestra y Evidencias, Muestra de Libre Selección, Prontuario
y Planes de Enseñanza
Coherencia
TOTAL
Ponderación
Total
2
3
5
5
5
5
5
5
5
5
40
15
ANEXO I-L
REPORTE DE INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL
De Forma
• Portada.
• Índice.
• Ortografía y redacción
• Fuentes consultadas.
• Organización del trabajo (apartados)
De contenido
• Introducción.
• Desarrollo y argumentación
• Conclusión.
• Coherencia.
• Citación adecuada.
• Información actualizada.
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Valor
5
5
5
5
5
10
30
10
10
5
10
34
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE II
COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Aplica las propiedades de la congruencia de triángulos para proponer, formular, definir y resolver problemas de
situaciones teóricas o prácticas.
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la congruencia de triángulos.
1. Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos triángulos son congruentes o no.
2. Argumenta el uso de los diversos criterios de congruencia en la resolución de problemas prácticos o
teóricos.
3. Resuelve problemas en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
35
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADORES DE DESEMPEÑO PARA LOGRAR LAS UNIDADES DE COMPETENCIA DEL BLOQUE II
INDICADOR
DE
DESEMPEÑO
1. Utiliza los criterios de
congruencia
para
establecer
si
dos
triángulos
son
congruentes o no.
2. Argumenta el uso de
los diversos criterios
de congruencia en la
resolución
de
problemas prácticos o
teóricos.
3
Resuelve
problemas en los que
se
requiere
la
aplicación
de
los
criterios
de
congruencia.
Conocimiento
Definición
de
congruencia.
Enuncia los criterios
de congruencia de
triángulos:
•
LAL
•
LLL
•
ALA
• Comprende
la
relación de igualdad
que existe entre los
elementos
de
triángulos
congruentes.
Habilidad
Actitud
• Distingue
los
requerimientos
de
cada unos de los
criterios
para
la
congruencia
de
triángulos.
Evidencia
Trabaja
de
forma
colaborativa y
respetuosa en
el aula.
CONOCIMIENTO:
Define el concepto
de
congruencia.
Enuncia los criterios,
ALA, LLL, LAL de
congruencia
de
triángulos.
HABILIDAD:
Identifica triángulos
congruentes a través
de la elaboración del
cartel o rotafolio.
• Aplica los criterios de
congruencia
de
triángulos para la
resolución
de
problemas.
• Utiliza la imaginación
espacial
para
visualizar triángulos
congruentes.
•
•
Valora
la
importancia
de
la
congruenci
a
de
triángulos
en
la
resolución
de
problemas
prácticos.
Trabaja de
forma
colaborativ
a
y
respetuosa
en el aula.
ACTITUD: Trabaja
en
forma
colaborativa
y
cooperativa.
CONOCIMIENTO:
Conoce y enuncia
los
criterios
de
congruencia
de
triángulos, asimismo
comprende
la
relación de igualdad
que existe entre los
elementos
de
triángulos
congruentes.
HABILIDAD: Elige
y justifica el criterio
de
congruencia
apropiado
para
determin.ar
la
congruencia
de
triángulos. Aplica la
congruencia
de
triángulos
en
situaciones teóricas
o
prácticas
que
requieran establecer
la
igualdad
de
segmentos
o
ángulos.
ACTITUD: Valora la
importancia de la
congruencia
de
triángulos
en
la
resolución
de
problemas prácticos.
Trabaja de forma
colaborativa
y
respetuosa en el
aula.
R01/0110
36
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE II
SESIÓN 9 a la 12
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1.Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos triángulos son
congruentes o no.
CONOCIMIENTOS
• Definición de
congruencia.
HABILIDADES
• Distingue los requerimientos
de cada unos de los criterios
de
para
la
congruencia
triángulos.
ACTITUDES Y VALORES
•
Trabaja
de
forma
colaborativa y respetuosa
en el aula.
Enuncia
los
criterios
de
congruencia de triángulos:
• LAL
• LLL
• ALA
CONOCIMIENTO: Define el concepto de congruencia. Enuncia los criterios, ALA, LLL, LAL de congruencia de
triángulos.
HABILIDAD: Identifica triángulos congruentes a través de la elaboración del cartel o rotafolio.
ACTITUD: Trabaja en forma colaborativa y cooperativa.
DOCENTE
•
•
•
•
•
Pizarra
Pintarrones
Cartel: ¿Cuántos Triángulos hay?
Ruíz Basto, Joaquín. (2005). Matemáticas, Geometría y Trigonometría. México: Publicaciones
Cultural.
Área de matemáticas (2006). Obtenida el 10 de octubre de 2009 en www.freewebs.com/mates
construcción/Dibujo.bmp
Sesión 9
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos triángulos son
congruentes o no.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Realiza una presentación del bloque y en particular de la sesión.
Tiempo: 10 min.
Indica el nombre del tema y el indicador de desempeño que se espera alcanzar.
Pase de lista.
R01/0110
37
GD-RIEMS-DOC-4208
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Presentación de una situación.
Tiempo: 30 min.
El facilitador proyecta el video que se adjunta (o descargar en la URL siguiente)
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/TVeducativa/1600/article-178762.html
En caso de no contar con los medios de proyección, se sugiere presentar una dramatización de la situación del
video o un caso propuesto por el docente. El docente debe prepara el Guión para cada estudiante.
El facilitador realiza un interrogatorio para generar una lluvia de ideas, sobre lo observado en el video o la
dramatización.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
Se debe definir el término “Triángulos Congruentes” usando en lo posible los mismos argumentos
proporcionados por los alumnos.
El facilitador solicita a los estudiantes la regla y colores para la siguiente sesión.
los anexos de II-E al II-L con el propósito de corroborar la competencia del alumno.
Sesión 10
congruentes o no.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Realiza una presentación del bloque y en particular de la sesión.
Tiempo: 10 min.
Indica el nombre del tema y el indicador de desempeño que se espera alcanzar.
Pase de lista.
Colocación del cartel o rotafolio mostrado en la fase de desarrollo.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Planteamiento del problema que será el eje de la sesión.
Tiempo: 30 min.
La figura que se mostrará en el cartel o rotafolio será la siguiente:
R01/0110
38
GD-RIEMS-DOC-4208
El facilitador:
Solicita a los estudiantes que cuenten ¿cuántos triángulos hay?
Anota las propuestas en la pizarra para después analizarlas y compararlas.
Después de unos 10 minutos, solicita que se explique cada uno de los resultados propuestos, sobre el
procedimiento usado para contarlos, hasta encontrar una respuesta o inducir a la respuesta donde se
clasifiquen los triángulos de acuerdo a su tamaño para contar sistemáticamente. Y cuestionar como identificaron
cuantos de cada tamaño se encontraron y cuestionando si contaron dentro del mismo grupo a los triángulos en
diferente posición (se espera que con estos argumentos se pueda construir la definición de congruencia de
triángulos).
Se les debe sugerir usar diferentes colores o dibujar los triángulos por separado.
Ordenemos y contemos los triángulos por tamaños:
1) hay 16 triángulos de este tamaño
4) hay 1 triángulo grande
En total hay 27 triángulos.
El facilitador solicita a algunos estudiantes describan que tienen en común los triángulos de un mismo grupo o
color.
(Inducir por medio de preguntas específicas las respuestas, hasta que se haya hablado de la misma forma,
medidas iguales de lados, medida de ángulos iguales)
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
Se solicita a los estudiantes que redacten una lista de características que tienen los triángulos congruentes.
El estudiante realiza el ejercicio del Anexo II-A.
R01/0110
39
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 11
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA--APRENDIZAJE PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
congruentes o no.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Presentación de la sesión.
Tiempo: 10 min.
El facilitador indica el nombre del tema, el indicador de desempeño que se espera alcanzar y los conocimientos,
habilidades y actitudes necesarios para alcanzarlos.
Pase de lista.
Actividad 2. Lectura sobre la congruencia de los triángulos. Anexo II- B
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Establece los criterios de congruencia.
Tiempo: 30 min.
De acuerdo a los recursos con que se cuenten se determina el medio para presentar la información de los
enunciados de congruencia de Triángulos.
gación bibliográfica o la presentación de diapositivas por parte del docente, en las que se
Se sugiere una investigación
enuncie los 3 Criterios de Congruencia de Triángulos.
Congruencia de triángulos
Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos d
de
e ellas tienen la misma
forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos
figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son
congruentes. Por ejemplo las figuras:
Son congruentes. El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es
Para comparar dos triángulos y deter
determinar
ar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se
describen y ejemplifican a continuación.
Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congr
congruentes
uentes a los lados del otro triángulo.
triá
R01/0110
40
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes
ongruentes si, en el primer triá
triángulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos
son congruentes.
Tercer criterio: ángulo, lado, ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos, son congruentes.
Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triángulos, considérense los puntos que se
dan a continuación.
1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada
triangulo.
2. Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada triángulo.
triá
R01/0110
41
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
3. En los siguientes triángulos, los segmentos y los ángulos congruentes están marcados de la misma manera.
En función de tal circunstancia, es posible deter
determinar
ar en cuál de los tres criterios de congruencia
congruenc son LLL, LAL
y ALA.
Como puede observarse,, los tres lados del primer triá
triángulo
ngulo son congruentes con los tres lados del segundo
triangulo; por lo tanto, estos triángulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado
(LLL).
uede verse que estos triángulos son congruentes debido a que presentan sus ángulos y sus lados
Puede
congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, ángulo,
lado (LAL).
Estos triángulos también son congruentes,
ruentes, ya que dos ángulos y el lado comprendido e
entre los ángulos del
primer triángulo
ngulo son congruentes con respecto al segu
segundo triángulo;
ngulo; por lo tanto, estos triángulos se identifican
con el tercer criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA).
Con
n base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cuando dos
triángulos son congruentes.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
Se solicita a los estudiantes que hagan una reflexión sobre la importancia de reconocer la congruencia entre
dos triángulos y escriban en su libreta un ejemplo donde se necesite la identificación de la congruencia.
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RIEMS-DOC-4208
Sesión 12
congruentes o no.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Presentación de la sesión.
Tiempo: 10 min.
Traza un triángulo en el pizarrón. (De preferencia que no sea equilátero)
Pase de lista.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Actividad para desarrollar habilidades.
Tiempo: 20 min.
Trabajo en equipo. Debe explicarse a los estudiantes la responsabilidad de cada uno como integrante de un
equipo. Los equipos pueden formarse con alguna técnica que se elige dependiendo de las formas usadas en las
sesiones anteriores.
Cada equipo debe construir un triángulo congruente con el de la pizarra, podrán medir la figura mostrada, en
cualquiera de sus lados o ángulos, no está permitido calcar la figura.
Una vez que hayan logrado la construcción deben escribir en su libreta el procedimiento usado indicando que
criterio de congruencia se aplicó en dicha figura.
Uno o dos equipos leerán en voz alta sus anotaciones.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Revisión y retroalimentación.
Tiempo: 20 min.
El docente realiza el registro del trabajo elaborado por los equipos.
R01/0110
43
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE II
SESIÓN 13 a 16
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 2. Argumenta el uso de los diversos criterios de congruencia en la resolución
de problemas prácticos o teóricos.
CONOCIMIENTOS
• Comprende la relación de
igualdad que existe entre los
elementos
de
triángulos
congruentes.
HABILIDADES
•
•
los
criterios
de
Aplica
congruencia de triángulos
para
la
resolución
de
problemas.
Utiliza
la
imaginación
espacial
para
visualizar
triángulos congruentes.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
Valora la importancia de la
congruencia de triángulos en
la resolución de problemas
prácticos.
Trabaja de forma colaborativa
y respetuosa en el aula.
CONOCIMIENTO: Conoce y enuncia los criterios de congruencia de triángulos, asimismo comprende la
relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes.
Elige y justifica el criterio de congruencia apropiado para determin.ar la congruencia de
HABILIDAD:
triángulos. Aplica la congruencia de triángulos en situaciones teóricas o prácticas que requieran establecer la
igualdad de segmentos o ángulos.
ACTITUD: Valora la importancia de la congruencia de triángulos en la resolución de problemas prácticos.
Trabaja de forma colaborativa y respetuosa en el aula.
DOCENTE
• Pizarra
• Pintarrones
Cultural.
• Área de matemáticas. (2006). Obtenida el 10 de octubre de 2009 en www.freewebs.com/mates
construcción/Dibujo.bmp.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 13
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 2. Resuelve problemas en los que se requiere la aplicación de los criterios de
congruencia.
3. Argumenta el uso de los diversos criterios de congruencia en la resolución de problemas prácticos o teóricos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador presenta la sesión. Indica el nombre del tema, el indicador de desempeño que
se espera alcanzar y los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios para alcanzarlos.
Tiempo: 10 min.
Pase de lista.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Planteamiento de un problema.
Tiempo: 20 min.
Un jugador se encuentra frente a 9 m. del poste más cercano respecto a su posición y a 12 m del poste más
lejano. Un segundo delantero se coloca a 9 m. de este mismo poste y a 12 m del otro. ¿Cuál de los dos tiene
mejor ángulo de disparo si la portería tiene un largo de 7 m? ¿Por qué razón?
(Ruíz Basto, 2005)
El docente propone otros problemas donde se apliquen los criterios de congruencia. El alumno identifica los
triángulos que intervienen en la representación del problema, elige el criterio de congruencia conveniente y halla
la solución.
Actividad: El alumno resuelve 2 problemas donde aplique el concepto de congruencia.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Calificación y retroalimentación.
Tiempo: 20 min.
El facilitador revisa el trabajo de los estudiantes y proporciona las respuestas correctas, asimismo realiza la
aclaración de dudas.
R01/0110
45
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 14
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
APRENDIZAJE PARA L
LOGRAR
OGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
teóricos.
congruencia.
3. Resuelve problemas en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruenci
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Presenta la sesión.
Tiempo: 10 min.
Pase de lista.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Demuestra las relaciones entre los elementos de los triángulos aplicando los criterios de
Congruencia en su argumentación.
Tiempo: 30 min.
Ejemplo:
equilátero
tero ABC. Demuéstrese que PQR es
En la figura P, Q, R son puntos medios de los lados de un triángulo equilá
equilátero
C por ser ángulos de un triángulo equilátero
<B = <A =<C
Por ser P, Q y R puntos medios de los lados de un triángulo equilátero entonces
entonces:
BR = CR = CP = PA = BQ = AQ.
Los triángulos BRQ, CRP, PQA
A son congruentes por ALA.
Por tanto PQ=QR=RP (por ser lados congruentes de triángulos congruentes)
Y así se demuestra que PQR es un triángulo equilátero.
Problemas propuestos:
1. Si ABCD es un rectángulo y E, F, G, H son los puntos medios de los lados, d
demuestra
emuestra que ∆EFG ≅ ∆GHE
G
D
C
H
A
R01/0110
F
B
E
46
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
2. Si ABCD es un rectángulo y M es el punto medio de DC, demuestra que el ∆AMB es isósceles.
M
D
A
C
B
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador muestra una forma de argumentación para cada ejercicio.
Tiempo: 10 min.
Coevaluación de competencias actitudinales en binas. Anexo II-C
Sesión 15
teóricos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Presenta la sesión.
Tiempo: 10 min.
Pase de lista.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador realiza demostraciones de Teoremas importantes de geometría donde se
aplican los criterios de congruencia.
Tiempo: 30 min.
Para identificar la habilidad de argumentación se muestran demostraciones de teoremas donde se aplican los
Criterios de Congruencia.
El docente realiza dos ejemplos. Asimismo el alumno aporta las justificaciones a cada paso de la demostración.
A continuación se presenta ejemplos que pueden elegirse para su aplicación.
Escribe una demostración formal para probar cada uno de los siguientes problemas:
Ejemplo:
R01/0110
47
GD-RIEMS-DOC-4208
HIPOTESIS:
1)
D
C
AD = BC TESIS:
El '()*'( comparten el lado
BD por lo tanto aplicando el criterio
LAL se puede concluir que
'( '(
1
2
A
B
Se proponen otros ejemplos para que el docente tenga opciones y determine cuales plantear:
2)
HIPOTESIS:
C
CD biseca AB
BC = AC
TESIS:
B
D
A
3)
HIPOTESIS:
1) AC = BC
2) D y E son puntos medios de AC y BC
C
D
E
TESIS:
A
B
4)
E
2
F
HIPOTESIS:
AD es segmento
EF = BC
D
C
AF = DC
1
TESIS:
A
B
5)
D
C
HIPOTESIS:
ángulo recto en A
ángulo recto en B
AD = CB
E es punto medio de AB
A
E
R01/0110
B
TESIS:
48
GD-RIEMS-DOC-4208
6)
HIPOTESIS:
AB y CD se bisecan mutuamente.
C
A
TESIS:
O
B
D
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
El alumno redacta la importancia de conocer el Concepto de Congruencia y los Criterios.
Prepararse para la evaluación formativa, que se aplicará la siguiente sesión.
R01/0110
49
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Sesión 16
2. Argumenta el uso de los diversos criterios de congruencia en la resolución de problemas prácticos o teóricos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Presenta de la sesión.
Tiempo: 5 min.
El facilitador organiza la ordenación para el examen.
Pase de lista.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Cada alumno resolverá su examen.
Tiempo: 40 min.
Aplicación del examen en el Anexo II-D
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
Se da por concluido el bloque y se reciben las evaluaciones.
Anexos
Anexo II-A
Actividad 1. Trabajo independiente propuesto en la sesión 10.
¿Identificar en la figura siguiente si hay triángulos congruentes?
¿Cuántos?, ¿qué forma tienen? Trazarlos
Anexo II-B
Actividad 2. Lectura propuesta para la sesión 11.
Sobre la noción de congruencia de triángulos.
Igualdad y congruencia.
El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el aprendiz conozca ésta, ya
sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje natural, o bien a través de su uso en la aritmética. Es
costumbre que en geometría se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo dos segmentos son
R01/0110
50
GD-RIEMS-DOC-4208
congruentes si y sólo si tienen la misma medida y lo mismo es cierto para ángulos. Pero en el caso de dos
triángulos la definición es más complicada pues no hay una medida (número) que defina a un triángulo.
El triángulo como configuración de puntos y rectas.
Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su diversidad de forma: de acuerdo
a la medida de sus ángulos pueden ser obtusángulos, rectángulos, acutángulos; de acuerdo a la relación de las
medidas de sus lados pueden ser equiláteros, isósceles, escalenos. Es por eso que una noción previa a la
definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto porque un triángulo (y cualquier
polígono) es una configuración que consiste de puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de puntos.
Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización.
Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes (iguales) es conveniente poner
sus vértices en correspondencia. Decir que el triángulo ABC está en correspondencia con el IJK significa que la
correspondencia entre sus vértices es A-I, B-J y C-K. Y en esta correspondencia queda implícita la
correspondencia entre sus lados: AB-IJ, BC-JK y CA-KI. Pero también queda implícita la correspondencia entre
sus ángulos: el ángulo en A es congruente con el ángulo en I, etc. (Nota: no todos los textos siguen esta
convención, es decir, aun cuando afirmen “ABC está en correspondencia con IJK” no respetan las reglas
anteriores de las correspondencias implícitas, una lástima… pero qué se le va a hacer.)
Y cuando se dice “descubierto” quiere decir que el cognizador descubre la congruencia por métodos intuitivos e
informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla.
Es conveniente porque una vez establecida la correspondencia y la congruencia, en la forma en que se explica
arriba, ya no es necesario ver la figura para plantear ecuaciones o razones, pues las correspondencias entre
vértices y lados quedan implícitas en la correspondencia entre los triángulos como ya se explicó.
Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un dato,…) en el enunciado del
problema debe sugerir que se puede usar congruencia para su solución. Y para encontrarla, una vez que se
está buscando, es conveniente usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse
coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones. (La definición formal es: dos triángulos
son congruentes si, en la correspondencia entre sus vértices, resultan iguales los lados correspondientes y los
ángulos correspondientes.) En una congruencia de triángulos entonces se tienen seis igualdades, tres lados y
tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos digan si dos triángulos son congruentes sin tener que
verificar las seis igualdades.
Anexo II-C
Instrumento propuesto en la sesión 14, fase de cierre.
Guía de observación (Coevaluación)
Tipo de evidencia: De actitud
Nombre del alumno y grupo:
Bloque:
Competencia
Indicador de desempeño
Instrucciones: Marcar con una X el cuadro que identifique el cumplimiento de cada criterio, de acuerdo a la
escala valorativa que se explica al pie del formato.
Escala de evaluación
S
CS
R
P
N
1
Es atento a las instrucciones de la actividad
2
Está dispuesto a ayudar a sus compañeros
3
Es respetuoso
4
Realiza las actividades que se le asignan
5
Trae su material de trabajo para la clase
6
Reflexiona las ventajas de aplicar los conceptos
7
Propone maneras creativas de hallar las soluciones
8
Reconoce sus errores y busca solucionarlos
R01/0110
51
GD-RIEMS-DOC-4208
9
10
Se esfuerza por realizar su trabajo por sí mismo
Asume actitud de interés por el tema y por ampliarlo
Total de X por columnas
Observaciones: La meta es alcanzar Siempre en todos los criterios, si no lo obtuviste esos serán tus
retos a lograr. Tu actitud es un elemento indispensable en el desempeño del equipo así que
esfuérzate al máximo siempre.
ESCALA EVALUATIVA
CONSIDERACIONES
S
SIEMPRE
CS
CASI SIEMPRE
R
REGULAR
P
POCO
N
NUNCA
Evaluado por:
Fecha:
Anexo II-D: Evaluación del bloque propuesta en la sesión 16.
DIRECCION GENERAL
PLANTEL O EMSAD ______________
BLOQUE II
MATEMÁTICAS I PERIODO 2010 – A
CLAVE: _______________
NOMBRE DEL ALUMNO:
GRUPO:
NOMBRE DEL MAESTRO:
FECHA:
(Valor:__________)
1. Los triángulos de cada uno de los siguientes pares de figuras son congruentes. Escríbanse las
congruencias para cada par de triángulos.
2. La siguiente figura es un hexágono regular.
R01/0110
52
GD-RIEMS-DOC-4208
a) ¿Cuántos de los triángulos en la figura son congruentes con el triángulo BCH ? Escriba 3 triángulos.
b) ¿Cuántos triángulos son congruentes con el ABC ? Escriba 4 de ellos.
c) ¿Cuántos triángulos son congruentes con el 4ABM ? Escriba 4 de ellos.
d) ¿Cuántos triángulos son congruentes con el 4BCF ? Escriba algunos de ellos.
e) ¿Cuántos triángulos son congruentes con el 4CHI ? Escriba todos.
3.
MN // RQ; NO // PR;
Calcular x =?
MO // PQ;
O
R
M
Q
x
60°
40
P
N
ANEXO II-E
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
N°
Indicador
1
2
3
4
5
matemáticos.
3
3
1
1
El trabajo presentado cumple con las expectativas
esperadas: ordenada, clara, organizada y es fácil
de leer.
2
___________________
Evaluador.
Anexo II-F. Rubrica para evaluar la actividad extra clase.
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
R01/0110
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
53
GD-RIEMS-DOC-4208
CALIFICACIÓN
10
9
8
7
6
5
DESCRIPCIÓN
___________________
Evaluador.
Anexo II-G
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
N°
Indicador
Ejecución
Reconocen,
identifican
y
plantean
1
2
de todos.
3
4
Evalúan tanto el avance hacia la solución como la
5
solución.
6
Anexo II-H
De Habilidad
Ejecución
De Forma
• Portada.
• Desarrollo
(datos,
procedimiento,
formula
R01/0110
Ponderación
Total
Observaciones
2
1
1
2
2
2
Ponderación
Total
5
5
5
54
GD-RIEMS-DOC-4208
•
•
•
5
5
5
Resultado.
Orden.
Limpieza.
De contenido
10
20
30
15
Total:
Anexo II-I
Solución de problemas
• Portada.
• Desarrollo.
• Conclusiones.
• Limpieza.
• Búsqueda: Se relaciona el conocimiento y la
•
•
•
•
Ejecución
Ponderación
5
5
10
5
5
5
5
5
Conceptos: Identifica
los datos relevantes
Solución: Analiza múltiples opciones para resolver el
problema (estrategia de resolución).
10
Profundidad.
Aplica
correctamente
los
resolución.
10
Total
30
5
Total:
Anexo II-J
De actitud
Trabajo por equipo
limpieza.
Su desempeño en el rol asignado ha contribuido a preparar los productos
R01/0110
55
Ejecución
Ponderación
5
5
5
5
GD-RIEMS-DOC-4208
Total
de una manera coherente.
grupo.
Respeta las limitaciones de su compañero y lo ayuda en su mejoramiento
personal.
interpersonales.
Respeta las normas de su grupo y es capaz de reconocer y enmendar
sus errores.
Se apega a los acuerdos previos para la realización del trabajo, número
de participantes, tiempo, etc.
5
55
5
5
5
5
55
Total
Anexo II-K
Portafolio final
PRESENTACION
Ejecución
Nitidez
Formato
REDACCION
Ortografía
Gramática
ORGANIZACIÓN
Estructura
Orden
OBJETIVOS
Cantidad
Calidad
Cumplimiento
CONTENIDO
Muestra y Evidencias, Muestra de Libre Selección, Prontuario
y Planes de Enseñanza
Coherencia
TOTAL
Ponderación
Total
2
3
5
5
5
5
5
5
5
5
40
15
R01/0110
56
GD-RIEMS-DOC-4208
ANEXO II-L
REPORTE DE INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL
De Forma
• Portada.
• Índice.
De contenido
• Introducción.
• Conclusión.
• Coherencia.
R01/0110
Valor
5
5
5
5
5
10
30
10
10
5
10
57
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE III
RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
UNIDAD DE COMPETENCIA:
Argumenta la pertinencia de la aplicación de los diversos criterios de semejanza, del teorema de Tales o el
teorema de Pitágoras, así como la justificación de los elementos necesarios para su utilidad en la resolución de
problemas de su entorno.
5.4 Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez.
INDICADORES DE DESEMPEÑO PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA
1. Enuncia los criterios, AA, y de proporcionalidad, de semejanza de triángulos, el teorema de Tales y el
teorema de Pitágoras.
2. Utiliza las relaciones de proporcionalidad entre lados y altura interior de un triángulo rectángulo para
obtener la medida segmentos relacionados.
3. Argumenta el uso de los diversos criterios de semejanza, de los teoremas de Tales y de Pitágoras.
4. Elige y justifica el criterio de semejanza apropiado para determinar la semejanza de triángulos.
5. Aplica la semejanza de triángulos y/o el teorema de Tales en situaciones teóricas o prácticas que requieran
establecer la igualdad de ángulos o proporcionalidad de los lados entre triángulos.
6. Argumenta que la congruencia es un caso particular de la semejanza.
7. Utiliza el teorema de Pitágoras para determinar la medida de un triángulo rectángulo conocidos los otros
dos.
Tiempo: 8 horas.
R01/0110
58
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADORES DE DESEMPEÑO PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA
INDICADOR DE
DESEMPEÑO
1. Enuncia los
criterios, AA y de
proporcionalidad,
de semejanza de
triángulos,
el
teorema de Tales
y el teorema de
Pitágoras.
Conocimiento
Habilidad
• Enuncia
y • Distingue los
comprende
los requerimientos de
criterios
de cada uno de los
semejanza
de criterios para la
semejanza
de
triángulos:
triángulos.
AA
Tres lados • Aplica
los
proporcion criterios
de
ales
semejanza
de
2.Utiliza
las Dos
lados triángulos para la
relaciones
de proporcionales y el resolución
de
proporcionalidad
ángulo
problemas.
entre lados y comprendido igual. • Establece
altura interior de • Identifica
las relaciones
de
un
triángulo características de proporcionalidad
rectángulo para triángulos
entre catetos e
obtener
la semejantes.
hipotenusa
al
medida
trazar la altura
• Describe
segmentos
relaciones
de sobre está, en
relacionados.
proporcionalidad
figuras u objetos.
entre catetos e
3. Argumenta el hipotenusa
al
uso
de
los trazar la altura
diversos criterios sobre está.
de semejanza, de
los teoremas de
Tales
y
de
Pitágoras.
4. Elige
y
Justifica
el
criterio
de
semejanza
apropiado para
determinar
la
semejanza de
triángulos.
5.
Aplica
la
semejanza
de
triángulos y/o el
teorema de Tales
en
situaciones
teóricas
o
prácticas
que
requieran
establecer
la
igualdad
de
ángulos
o
proporcionalidad
de los lados entre
triángulos.
6. Argumenta que
la congruencia es
R01/0110
los
• Enuncia
y • Aplica
de
comprende
los criterios
de
criterios
de semejanza
semejanza
de triángulos para la
resolución
de
triángulos:
problemas.
AA
Tres lados • Aplica
el
proporcion teorema de Tales
ales
para la resolución
Dos lados de problemas.
proporcion • Distingue
lo
ales y el requerimientos de
ángulo
cada uno de los
comprendi
criterios para la
do igual.
semejanza
de
• Enuncia
y triángulos.
comprende
el
teorema de Tales.
59
Actitud
Evidencia
• Trabaja en
un ambiente de
respeto
y
tolerancia
CONOCIMIENTO: Identifican
los diferentes criterios de
semejanza, a través de
ejemplos dados por el
facilitador.
• Valora
la
importancia de
la utilización de
semejanza de
triángulos para
resolver
problemas
de
distintos índole.
• Aprecia
utilidad
teorema
Tales
y
Pitágoras.
la
del
de
de
• Valora
la
importancia de
la utilización de
semejanza de
triángulos para
resolver
problemas
de
distintos índole.
• Aprecia
la
utilidad
del
teorema
de
Tales.
• Trabaja en
un ambiente de
respeto
y
tolerancia en el
aula.
HABILIDAD: A través de
ejercicios propuesto por el
facilitador
el
alumno
identificará bajo qué criterios
los
triángulos
son
semejantes.
ACTITUD: Responde de
forma pertinente a
las
preguntas realizadas. Explica
de una forma clara y precisa
sus aportaciones.
CONOCIMIENTO: Identifica
cada uno de los criterios de
semejanza
HABILIDAD:
Aplica
correctamente los criterios de
semejanza en la resolución
de ejercicios.
Muestra
una
ACTITUD:
actitud colaborativa ante cada
uno de sus compañeros.
GD-RIEMS-DOC-4208
un caso particular
de la semejanza.
7.
Utiliza
el
teorema
de
Pitágoras
para
determinar
la
medida de un
triángulo
rectángulo
conocidos
los
otros dos.
R01/0110
• Enuncia
comprende
teorema
Pitágoras.
y
el
de
• Aplica
el
teorema
de
Pitágoras para la
resolución
de
problemas.
• Utiliza
la
imaginación
espacial para la
visualizar
triángulos
rectángulos
o
semejantes,
en
objetos y figuras
en dos y tres
dimensiones.
60
•
Trabaja
respetando
las
instrucciones
y
turnos
de
participación en
el aula.
CONOCIMIENTO: El alumno
conocerá la diversidad de
aplicación del teorema de
Pitágoras
en
triángulos
rectángulos.
HABILIDAD:
El
alumno
aplicará el teorema de
Pitágoras en la resolución de
triángulos rectángulos.
ACTITUD: Demostrar una
actitud cooperativa y reflexiva
en la solución de ejercicios.
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE III
SESIÓN 17 a la 20
1. Enuncia los criterios, AA y de proporcionalidad, de semejanza de triángulos, el teorema de Tales y el
obtener la medida de segmentos relacionados.
3. Argumenta el uso de diversos criterios de semejanza, de los teoremas de Tales y de Pitágoras.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Enuncia y comprende los
criterios
de
semejanza
de
triángulos:
AA
Tres lados proporcionales
Dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.
• Identifica las características de
triángulos semejantes.
• Describe
relaciones
de
proporcionalidad entre catetos e
hipotenusa al trazar la altura sobre
está.
• Distingue los requerimientos de
cada uno de los criterios para la
semejanza de triángulos.
• Aplica los criterios de semejanza
de triángulos para la resolución de
problemas.
• Establece
relaciones
de
proporcionalidad entre catetos e
hipotenusa al trazar la altura sobre
está, en figuras u objetos.
• Trabaja en un ambiente de
respeto y tolerancia
• Valora la importancia de la
utilización
de
semejanza
de
triángulos para resolver problemas
de distintos índole.
• Aprecia la utilidad del teorema
de Tales y de Pitágoras.
CONOCIMIENTO: Identifican los diferentes criterios de semejanza, a través de ejemplos dados por el
facilitador.
HABILIDAD: A través de ejercicios propuesto por el facilitador el alumno identificará bajo qué criterios los
triángulos son semejantes.
ACTITUD: Responde de forma pertinente a las preguntas realizadas. Explica de una forma clara y precisa sus
aportaciones.
GLOBAL: Se realizan actividades presenciales y extra clase que fortalecen el conocimiento, habilidades y la
parte actitudinal del estudiante.
RECURSOS DIDÁCTICOS Y DOCUMENTOS (BIBLIOGRAFÍA) UTILIZADOS POR EL DOCENTE
• Pizarra o Pintarrón.
• Marcadores para Pintarrón.
• A. Balador (1997). Geometría y Trigonometría del Espacio, México, DF: Publicaciones cultural
• Bibliografía: Campos, F. J. (2007). Matemáticas II, México, DF: Publicaciones Cultural S.A de C.V.
• Bibliografia:Sergio Gutierrez Sánchez, Pedro salazar Vásquez (2009). Matemáticas 2, Compañía Editora
Nueva Imagen S.A de C.V. Apegado a la Reforma Integral de la Educacion Media Superior basada en
competencias.
• http://www.asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a18m2p.html
R01/0110
61
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 17
INDICADOR DE DESEMPEÑO
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador presenta el bloque, lee el objetivo de dicho bloque, indica la forma en que se
evalúa, menciona que el Anexo III-C, presenta ejercicios optativos del bloque, con la finalidad de enriquecer el
proceso enseñanza aprendizaje.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador realiza una explicación breve del tema de semejanza y solicita una lluvia de
ideas con respecto al tema.
ENCUADRE
IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
En muchas situaciones es necesario realizar medidas de edificios, árboles, triángulos, torres, etc.; lo cual por las
circunstancias de la ubicación, es imposible medirlos de una manera directa, es ahí la importancia del estudio
del tema.
Definición. Dos triángulos son semejantes si sus respectivos ángulos son congruentes y sus lados son
proporcionales. Para denotar que el triángulo '+,- es semejante con el triángulo './0, lo denotaremos así:
'+,-1'./0. Para denotar la congruencia de dos ángulos + y , lo denotaremos como+ , .
Ejemplos de triángulos semejantes:
C
C’
A’
B
A
B’
El triángulo '+,-1'+2,2-2 si +3 4 3 4 2 y sus lados son proporcionales, es decir se
5555
+,
5555
+-
5555
,-
cumple que: 5555555
5555555
5555555
+6 ,6
+6 -6
,6 -6
Observación: En dos triángulos semejantes, a los lados que se oponen a ángulos congruentes, se les
denomina lados homólogos.
Para denotar la semejanza de triángulos, no necesariamente deben de verificarse todas las propiedades, ya
que existen algunos criterios que ayudan a comprender la semejanza de triángulos.
R01/0110
62
GD-RIEMS-DOC-4208
Primer criterio de semejanza AAA
Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son congruentes, de hecho solo basta verificar la
congruencia en dos de sus ángulos, ya que el tercero queda determinado por los dos.
C
C
’
A
B
B’
A’
Si 2, 2, 2, entonces '+,-1'+2,2-2
Ejemplo 1. El siguiente par de triángulo son semejantes por el primer criterio
=3
D
;<
89
E
(3
:
;<
89:
F
Como 7 72, ( (2, entonces los triángulos '/.01'/2.202
73
Segundo criterio de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente proporcionales dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos son congruentes, este criterio generalmente se identifca por LAL.
C
B
5555
,-
C’
A
A’
B’
5555
,+
3 3 3
3 3 3
Si 5555555
6 6 5555555
6 6 y - , + , entonces el triángulo '+,- es semejante al triángulo '+ , , -
, +
Ejemplo 1. Los siguientes triángulos son semejantes por el criterio dos (LAL)
25
20
>
>
35
R01/0110
28
63
GD-RIEMS-DOC-4208
Tercer criterio de semejanza LLL
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente sus tres lados proporcionales
B
3
A
5555
?@
Si 5555555
6 6
?@
5555
?A
C
3
3
5555
@A
5555555
5555555
, entonces el triángulo ' es semejante con el triángulo '3 3 3
?6 A 6
@6 A 6
Ejemplo 1. El siguiente par de triángulos es semejante según el criterio LLL.
40
40
20
20
15
30
Tiempo: 42 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Realiza comentarios generales sobre el tema de semejanza e indica que reflexionen los tres
criterios.
Tiempo: 3 min.
En el caso de los EMSaD se recomienda realicen la Actividad 3.1 del Cuadernillo de Procedimientos para el
Aprendizaje de Matemáticas II.
R01/0110
64
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 18
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador da una remembranza del tema de la sesión anterior.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador indica el objetivo de la sesión y comenta brevemente los tópicos del día.
ENCUADRE
El facilitador indica que se resuelven algunos ejemplos de semejanza aplicando los diferentes criterios.
Teorema. Demostrar que toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo
semejante al primero.
Demostración:
Consideremos al triángulo, que se muestra a continuación:
C
D
E
B
A
Se desea demostrar que el triángulo '(7 es semejante al triángulo '
Afirmaciones
Justificaciones
1. La recta DE es paralela a la recta AB
Por construcción auxiliar
Por identidad
2. El ángulo Son ángulos alternos internos entre paralelas
3. El ángulo (7 Son ángulos alternos internos entre paralelas
4. El ángulo 7( Conclusión:
El triángulo '(7 es semejante con el triángulo ', por el criterio de semejanza AAA, por lo que queda
demostrado el teorema.
Ejemplo 2. Determin.ar la medida de los lados del siguiente triángulo, considere que 5555
(7 es paralelo al
segmento 5555
R01/0110
65
GD-RIEMS-DOC-4208
C
G
G
5
D
E
7
A
B
Solución:
Como el triángulo ' es semejante al triángulo '(7, por el resultado anterior, se tiene:
B
E
F Por tanto G HIG J
BCD
G <G <
G K <G <
G <
<
<
G
Conclusión:
El lado desconocido del triángulo mide 10 unidades lineales.
Actividad 1. El alumno resuelve en su libreta de apuntes el siguiente ejercicio, dicha actividad será calificada de
acuerdo al Anexo III-A.
Considérese que el siguiente par de triángulos son semejantes, hallar el valor de los lados desconocidos.
<
)
6
G
16
8
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador proporciona una actividad extra clase que incluye los siguientes ejercicios.
Actividad 1. Extra clase. Estos ejercicios serán anexados al portafolio de evidencia y calificados de acuerdo al
Anexo III-B.
Ejercicio 1. En el siguiente ejercicio los triángulos son semejantes, hallar el valor que representan las letras
C
D
G
28
E
12
14
B
A
Ejercicio 2. El siguiente par de triángulos son semejantes, encuentre el valor que representan las letras.
G
10
8
4
z
6
Tiempo: 5 min.
R01/0110
66
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 19
2. Utiliza las relaciones de proporcionalidad entre lados y altura interior de un triángulo rectángulo para obtener la
medida de segmentos relacionados.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador comenta sobre la importancia del teorema de Tales en la geometría con respecto al tema de
semejanza de triángulos. Antes de iniciar el desarrollo se sugiere reforzar este teorema en la siguiente
dirección:
http://www.asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a18m2p.html
En el caso de los EMSaD se recomienda realizar la lectura 3.2 y la actividad de la página 33 del Cuadernillo de
Procedimientos para el Aprendizaje.
Tiempo: 3 min.
FASE DE DESARROLLO
Teorema de Tales: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determin.an en ella segmentos
correspondientes proporcionales.
3
Ilustración del teorema de Tales
3
3
B
3
C
5555
5555555
6 6
,
NOOOOOP3 son paralelas que cortan a las dos secantes, entonces +, +5555555
NOOOOOP3 Q,,
NOOOOOOP3 Q-LML3 son dos secantes y ++
,,6 -6
La demostración de este teorema se deja como opcional al facilitador, para lo cual puede referirse al libro de
Geometría y Trigonometría de A. Baldor, pág. 105-106.
El teorema de tales se aplica generalmente a los triángulos, el siguiente ejemplo ilustra una aplicación de dicho
teorema.
Ejemplo 1. Calcular el valor de la variable R en el siguiente triángulo, supóngase además que 5555
/0 es paralelo al
lado 5555
+,.
A
15
E
20
B
C
12
R01/0110
F
G
67
GD-RIEMS-DOC-4208
Solución
Como el segmento 5555
/0 es paralelo el lado 5555
+, y cortan a dos secantes, se aplica el Teorema de Tales.
ST SU
T9
R
SUR T9ISTJ
TV9
SW
R
SU
Actividad 2. El alumno resolverá en su libreta de apuntes el siguiente problema, este ejercicio reforzará el
teorema de Tales y será calificado de acuerdo al Anexo III-A.
5555
5555 paralelo a ,Considere el siguiente triángulo, hallar el valor del dato desconocido, considérese ./
A
G
15
D
E
G 11
C
B
TIEMPO: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador aclara las dudas con respecto al ejemplo anterior y propone los siguientes
ejercicios, los cuales serán depositados en el portafolio de evidencia y serán calificados de acuerdo a la rúbrica
del Anexo III-B.
Tiempo: 7 min.
Actividad 2-Extraclse. Estos ejercicios serán anexados al portafolio de evidencias, serán calificados de
acuerdo a la rubrica III-B.
1.
Considérese que el siguiente par de triángulos son semejantes, encuentre el valor que representan las
letras.
)
G
24
10
2
2.
11
Determin.ar qué postulado se aplica para de termin.ar la semejanza del triángulo '+,- y el triángulo
'+,2-2
B
12
2
4
A
C
R01/0110
15
2
5
68
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 20
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador induce al grupo al tema del teorema de Pitágoras, se recomienda leer al grupo
una pequeña remembranza de Pitágoras.
Pitágoras
Pitágoras (585-500 a. d. C) Místico y aristócrata mezcló su ciencia con cierta religión y magia, siendo el símbolo
de su secta el pentágono estrellado. El concepto de arranque de sus enseñanzas geométricas es el punto, que
para él era lo más simple que existía; es decía:”la unidad que tiene una posición”. Todos los demás cuerpos
geométricos son pluralidad, por que están constituidos por un número infinito de puntos. Sobre el triángulo
sentó su teorema.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El tema central del día es enunciar el teorema de Pitágoras y demostrarlo haciendo uso de
semejanza.
ENCUADRE
En el caso de los EMSaD se recomienda utilice la explicación del Cuadernillo de Procedimientos para el
Aprendizaje de Matemáticas II en la sección 3.3 y realizar las actividades 34 y 35.
Para demostrar el teorema de Pitágoras nos auxiliamos del siguiente resultado
Teorema: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica:
1.
Los triángulos rectángulos resultantes son semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.
Teorema de Pitágoras “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”.
c
R01/0110
69
GD-RIEMS-DOC-4208
Demostración
C
D
B
A
c
Considérese que AD es la altura trazada correspondiente a la hipotenusa, por lo que por el teorema anterior se
verifica:
'(1'(1'
Supongamos que:
5555 );
(
5555
( X; 5555
( Y; nótese que X Y
No perder de vista que lo que deseamos demostrar es que:
Para una mejor comprensión dibujemos por separados los triángulos resultantes
C
C
D
2
A
1
3
D
B
A
B
A
De los triángulos 2 y 3 se tiene que:
5555
5555
( (
5555
5555
5555
Sustituyendo los valores que tiene cada segmento:
X )
Se observa que de esta igualdad se obtiene:
X
Pero X YZ por tanto X K Y, sustituyendo este valor en:
I K YJ K Y
De donde se tiene que Y ------------------------------------1
R01/0110
70
GD-RIEMS-DOC-4208
De los triángulos 1 y 3 se tienen las siguientes igualdades
Sustituyendo el valor que tiene cada segmento:
De esta igualdad se tiene que:
5555 5555
5555
( (
5555
5555 Y )
Y K K K K
Sustituyendo 2 en 1, se tiene lo que queríamos demostrar, el teorema de Pitágoras.
Y Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador da las instrucciones de revisar cuidadosamente la demostración del teorema
de Pitágoras y responde a cuestiones con respecto a la demostración.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
71
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE III
SESIÓN: 21
4. Elige y Justifica el criterio de semejanza apropiado para determin.ar la semejanza de triángulos.
5. Aplica la semejanza de triángulos y/o el teorema de Tales en situaciones teóricas o prácticas que requieran
establecer la igualdad de ángulos o proporcionalidad de los lados entre triángulos.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Enuncia y comprende los
criterios
de
semejanza
de
triángulos:
AA
Tres lados proporcionales
Dos lados proporcionales y
el ángulo comprendido
igual.
• Enuncia y comprende el
teorema de Tales.
• Aplica los criterios de semejanza
de triángulos para la resolución de
problemas.
• Aplica el teorema de Tales para
la resolución de problemas.
• Distingue lo requerimientos de
cada uno de los criterios para la
semejanza de triángulos.
• Valora la importancia de la
utilización
de
semejanza
de
triángulos para resolver problemas
de distintos índole.
• Aprecia la utilidad del teorema
de Tales.
• Trabaja en un ambiente de
respeto y tolerancia en el aula.
CONOCIMIENTO: Identifica cada uno de los criterios de semejanza
HABILIDAD: Aplica correctamente los criterios de semejanza en la resolución de ejercicios.
ACTITUD: Muestra una actitud colaborativa ante cada uno de sus compañeros.
• Bibliografía: A. Baldor Geometría y Trigonometría, México, DF: Publicaciones Cultural S.A de C.V
• Campos, F. J. (2007). Matemáticas II, México, DF: Publicaciones Cultural S.A de C.V.
R01/0110
72
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 21
4. Elige y Justifica el criterio de semejanza apropiado para determin.ar la semejanza de triángulos.
5. Aplica la semejanza de triángulos y/o el teorema de Tales en situaciones teóricas o prácticas que
requieran establecer la igualdad de ángulos o proporcionalidad de los lados entre triángulos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador comenta al grupo que la sesión del día consistirá en resolver problemas de la
vida diaria, que involucren el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
ENCUADRE
Ejemplo 1. ¿Qué altura tiene el Templo si su sombra mide 6 metros, la altura del árbol es de 3 metros y la
distancia desde la copa del árbol hasta donde termina su sombra es de 5 metros?
Solución:
Veamos mediante un diagrama los datos que se dan
C’
C
5m
3m
Templo
Árbol
A
B
A’
Sombra= 6m
B’
A pesar que los triángulos son semejantes la proporcionalidad entre sus lados, todavía no sirve de nada, es
necesario que con al ayuda del teorema de Pitágoras.
Aplicando el teorema de Pitágoras al diagrama del árbol, se tiene que:
5555 Por tanto 5555 K 5555 5555 5555 5555 5555 [H K \; ]
Aplicando la proporcionalidad por semejanza de triángulos:
5555
5555
3 3
555555
555555
3 3 R01/0110
73
GD-RIEMS-DOC-4208
Sustituyendo los valores se tiene:
Por lo tanto se tiene que la altura del templo es igual a:
Ejemplo 2. Encuentre la medida del segmento EC conociendo que:
BC||DE, |AB|=9cm, |DA|=6cm, |AC|=15cm
Solución: Como BC||DE, el triángulo
, por lo que se establece la siguiente proporcionalidad
Sustituyendo la longitud de los lados se tiene que:
Por tanto
, luego se tiene que
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Se dejan los siguientes ejercicios para el portafolio de evidencia
Actividad 3- Extra clase
Esta actividad será depositada en el portafolio de evidencia y serán calificados de acuerdo al Anexo III-B.
Encuentre la medida del segmento
ento AC conociendo que: DE||BC, medida del ángulo EDA=90º, |AD|=2cm,
|DE|=3cm y |BC|=18cm
Tiempo: 5 min.
R01/0110
74
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
BLOQUE III
SESIÓN: 22 a la 23
7. Utiliza el teorema de Pitágoras para determin.ar la medida de un triángulo rectángulo conocidos los otros
dos.
CONOCIMIENTOS
• Enuncia
y comprende
HABILIDADES
el • Aplica el teorema de Pitágoras
para la resolución de problemas.
para
la
visualizar
triángulos
rectángulos o semejantes, en
objetos y figuras en dos y tres
dimensiones.
ACTITUDES Y VALORES
• Trabaja
respetando
las
instrucciones
y
turnos
de
participación en el aula.
CONOCIMIENTO: El alumno conocerá la diversidad de aplicación del teorema de Pitágoras en triángulos
rectángulos.
HABILIDAD: El alumno aplicará el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos.
ACTITUD: Demostrar una actitud cooperativa y reflexiva en la solución de ejercicios.
GLOBAL: Se proponen actividades en el desarrollo de las sesiones que fortalecerán los conocimientos,
habilidades y actitudes del alumno.
• A. Baldor (1997). Geometría y Trigonometría, México, DF: Publicaciones Cultural S.A de C.V
• Campos, F. J. (2007). Matemáticas II, México, DF: Publicaciones Cultural S.A de C.V.
Sesión 22
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE PARA LOGRAR LA UNIDAD DE COMPETENCIA.
7.
Utiliza el teorema de Pitágoras para determin.ar la medida de un triángulo rectángulo conocidos los otros
dos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador aclara las dudas que haya hasta el momento e indica que empezarán un nuevo
enfoque sobre el teorema de Pitágoras.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
ENCUADRE
Se recuerda el teorema de Pitágoras e indica es solo aplicable a triángulos rectángulos
Teorema de Pitágoras “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los cateto”
R01/0110
75
GD-RIEMS-DOC-4208
G ) X
G
)
X
^_`abcddefghdi`fd`bjkl
) G K X
Cualquier cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado
menos el cuadrado del otro cateto
Se recuerda que a los lados se les llama catetos y al lado más largo se le denomina hipotenusa, para que no
tenga cabida de que el alumno se equivocó de cual sea la hipotenusa, se le comenta que la hipotenusa siempre
debe quedar opuesto al ángulo de noventa grado.
Ejemplo 1. Hallar el lado que falta del siguiente triángulo rectángulo
Como puede uno darse cuenta el dato que hace falta es la
hipotenusa, por lo cual aplicamos el teorema de Pitágoras a
la hipotenusa.
G m
G H
Por tanto G \H H
4 cm
G
3cm
Ejemplo 2. Hallar el lado que falta del siguiente triángulo
10
6
z
Como puede uno darse cuenta el dato que hace falta es
un cateto, por lo cual aplicamos el teorema de Pitágoras
a la hipotenusa
< X ;
X < K ; << K ; ;
Por tanto X \;
>
Actividad 3
Los siguientes triángulos serán resueltos por los alumnos, en su libreta de apuntes, los cuales serán calificados
con el Anexo III-A
a)
b)
8
100
7
80
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Se califica los ejercicios a los alumnos
Tiempo: 5 min.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 23
7. Utiliza el teorema de Pitágoras para determin.ar la medida de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador aclara las dudas que tengan de la sesión anterior.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
ENCUADRE
En esta sesión se resolverán ejercicios donde se aplicará el teorema de Pitágoras, en triángulos rectángulos
cuyos lados involucran variables.
Ejemplo 1. Hallar la longitud de cada cateto y la hipotenusa en el siguiente triángulo.
G
G
Aplicando el teorema de Pitágoras a la hipotenusa:
IG J G IG J
Desarrollando los binomios se tiene:
G G G G G G G K G K G K G K <
KG G <
Esta ecuación es equivalente a la siguiente:
G
G K G K <
Al resolver la ecuación resultante por factorización se tiene:
GF )G K
Por lo que se tiene que el valor que debemos tomar es el positivo, el cual corresponde a la naturaleza del
problema.
Por lo cual el triángulo rectángulo resultante es el siguiente:
5
3
4
Ejemplo 2. En al figura AE=BD=30 cm; ED=40 cm. Calcular AB
H
G
B
A
Los siguientes dos ejercicios se Eproponen a los alumnosDpara que lo resuelvan durante la clase, de esta
manera el facilitador estará pendiente de cómo se desarrolla dicha actividad.
R01/0110
77
GD-RIEMS-DOC-4208
Actividad 4
Hallar la longitud de cada cateto y la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos.
a)
b)
G
G
K>
Tiempo: 35 min.
G
G
G
GK
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES Se califican los ejercicios a los alumnos y se les recuerda que en la próxima sesión habrá
una actividad evaluativa del bloque.
Tiempo: 10 min.
Sesión 24
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador entrega la propuesta evaluativa a los alumnos, la cual se realiza de manera
individual.
Tiempo: 5 min.
PROPUESTA DE EVALUACIÒN
1.
Considere que el siguiente par de triángulos es semejantes, encuentre el valor que representan las letras
en cada triángulo.
15
10
G
K
2.
4
)
n Q(
NOOOOP , demostrar que '71'7( y establecer la proporcionalidad entre sus lados.
Si NOOOOP
B
A
E
D
C
3.
Aplicando el teorema de Pitágoras, encontrar el lado que falta del siguiente triángulo rectángulo.
R01/0110
78
GD-RIEMS-DOC-4208
40
50 cm
4.
G cayendo la punta a 4 m., de la base. ¿A qué altura se
Un rayo quebró un poste de 8.0m de atura,
quebró el poste?
5.
NOOOOP y 5555
5555 >])7
5555
NOOOOP Q(
5555 ]4 calcular (
Si n7
]4
D
E
Tiempo: 45 min.
C
B
A
Anexos
ANEXO III-A
Criterios de evaluación de la libreta de apuntes
De Forma
• Portada (Nombre del alumno, grado, grupo, nombre del docente y nombre de
la asignatura).
• Ortografía, Redacción y legibilidad
• Limpieza.
• Registro de fechas.
• Secuencia de las actividades en base al programa.
De Contenido
• Realización correcta de los ejercicios
Calificación total
Valor
10
10
10
10
10
50
100
ANEXO III-B
LISTA DE COTEJO PARA EVALUAR LAS ACTIVIDADES QUE SE DEPOSITARAN EN EL PORTAFOLIO DE
EVIDENCIA
CRITERIOS
PRESENTACIÓN
Portada
Nitidez y Limpieza
REDACCIÓN
Ortografía
CONTENIDO
Cumplimiento
Actividad realizada correctamente
Total
VALOR
2
3
5
10
30
50
Anexo III-C
R01/0110
79
GD-RIEMS-DOC-4208
EJERCICIOS OPTATIVOS
El siguiente listado de ejercicios, se propone con la finalidad de que el facilitador haga uso de ellos si así lo
requiere.
1. Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
2. Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
3. Ejercicio: Determine el valor de x en la siguiente figura sabiendo que
A
5
E
8
D
x
DE es paralelo a BC .
C
12
B
4. Si la recta “a” es paralela a la recta “b” y tomando en cuenta las medidas que se dan en el dibujo,
¿Podemos afirmar que la recta “c” es paralela a “a” y “b”?
2 cm.
a
4 cm
b
1.5 cm
c
3 cm.
5.
Nos aseguran que estos dos triángulos son semejantes, hallar los lados y ángulos que les falten.
8 cm
A
50°
C
B´
100°
5 cm
5 cm
B
A´
10cm
C´
6. Hallar el valor de x en el siguiente triangulo, considere que el segmento
.
B
7
R01/0110
D
14
x
80
E
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
n(7 oZ determine el valor de x en el siguiente arreglo.
7. Si 5555
B
x
D
E
20
4
A
R01/0110
C
12
81
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IVIIVV
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
1. Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de los Polígonos,
mediante la aplicación de sus propiedades, en la resolución de problemas que se derivan de
2. Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de los polígonos.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
1.
2.
3.
Indica el tipo de polígonos que observa en figuras u objetos.
Describe las propiedades de los polígonos referentes a sus elementos
Utiliza las propiedades de los elementos de los polígonos en la resolución de problemas.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
82
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
DESEMPEÑO
1.
Indica el
la CONOCIMIENTO:
• Clasifica
• Distingue
los • Valora
tipo
de
• Nombra
los
importancia
polígonos:
diferentes tipos de
polígonos que
distintos
tipos
de
polígonos.
• Regulares e
observa
en
polígonos
al
reconocer
Irregulares
• Utiliza
las
figuras
u
reconocer
sus
los
distintos
propiedades
y
• Cóncavos y
objetos.
elementos.
tipos
de
relaciones de los
convexos.
polígonos.
polígonos
para
•
Obtiene la medida
• Reconoce las
2. Describe las
de ángulos de
calcular la medida
propiedades y
propiedades de
polígonos, o la
de
ángulos
o • Actúa
de
elementos de
los polígonos
suma de estos y
manera
sumas de ángulos,
los polígonos:
referentes
a
cuantifica
propositiva
así
como
la
• Radio
sus elementos.
segmentos
al resolver
cantidad
de
• Apotema
importantes
en
los
segmentos
• Diagonales
3. Utiliza las
ellos.
ejercicios
relevantes
en
los
• Número
de
propiedades de
HABILIDAD
planteados.
mismos.
diagonales
los elementos
• Reconoce
•
Aplica
las
desde
un
de
los
perfectamente
propiedades
y
vértice y de
polígonos en la
cuándo
un polígono
relaciones
de
los
diagonales
resolución de
es
o
no
regular así
polígonos
para
la
totales.
problemas.
como
sus
resolución
de
• Reconoce las
propiedades
problemas.
relaciones y
• Aplica técnicas para
• Perímetro
propiedades
trazar
polígonos
de
los • Área
regulares
e
ángulos
en
identificar
sus
los polígonos
elementos que lo
regulares:
caracterizan
• Central
ACTITUD
• Interior
• Ordena
sus
• Exterior
operaciones
• Suma
de
• Limpieza en sus
ángulos
procesos
centrales.
•
Precisión en sus
• Suma
de
trazos
ángulos
• Asume
una
interiores
actitud
• Suma
de
constructiva,
ángulos
congruente con
exteriores
los conocimientos
y habilidades con
los que cuenta,
dentro
de
distintos equipos
de trabajo.
• Actúa de manera
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
R01/0110
83
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IV
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
SESIÓN 25 a 32
1. Indica el tipo de polígonos que observa en figuras u objetos.
2. Describe las propiedades de los polígonos referentes a sus elementos.
3. Utiliza las propiedades de los elementos de los polígonos en la resolución de problemas.
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Clasifica polígonos:
Regulares e Irregulares.
Cóncavos y convexos.
Reconoce las propiedades y
elementos de los polígonos:
Radio
Apotema
Diagonales
Número de diagonales desde
un vértice y de diagonales
totales.
Reconoce las relaciones y
propiedades de los ángulos en
los
polígonos regulares:
Central
Interior
Exterior
Suma de ángulos centrales.
Suma de ángulos interiores
Suma de ángulos exteriores
R01/0110
HABILIDADES
•
•
•
•
•
Distingue los diferentes
tipos de polígonos.
Utiliza las propiedades y
relaciones de los polígonos
para calcular la medida de
ángulos
o sumas de
ángulos, así como la
cantidad de segmentos
relevantes en los mismos.
Aplica las propiedades y
relaciones de los polígonos
para la resolución de
problemas.
Perímetro
Área
84
ACTITUDES Y VALORES
•
Valora la importancia de
reconocer los distintos
tipos de polígonos.
•
Actúa
de
manera
propositiva al resolver los
ejercicios planteados sobre
perímetro y área.
GD-RIEMS-DOC-4208
CONOCIMIENTO:
• Nombra los distintos tipos polígonos al reconocer sus elementos.
• Obtiene la medida de ángulos de polígonos, o la suma de estos y cuantifica segmentos importantes
en ellos.
HABILIDAD
• Reconoce perfectamente cuándo un polígono es o no regular así como sus propiedades
• Aplica técnicas para trazar polígonos regulares e identificar sus elementos que lo caracterizan
ACTITUD
• Ordena sus operaciones
• Limpieza en sus procesos
• Precisión en sus trazos
• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta,
• Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.
GLOBAL: Comprende la importancia del uso de los polígonos en el desarrollo tecnológico
• Guía didáctica y anexos
• Bibliografía sugerente por el docente
• http://www.asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a31m2p.html
R01/0110
85
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 25
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Presentación del bloque
• Mediante lluvia de ideas enunciar la definición de polígonos
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 25 min.
INSTRUCCIONES:
•
Con la aportación de los alumnos elaborar la lista de los nombres de los polígonos, aquí se presenta
una lista de los nombres de los polígonos para ser usada en una lámina o diapositiva
Los polígonos son figuras formadas por varias líneas a las que llamamos lados. Para que una figura formada
por líneas se considere un polígono es indispensable que estas líneas formen una figura cerrada. Por ejemplo,
dos líneas que se cruzan no pueden formar un polígono porque no encierran un área, por eso el polígono con el
menor número de lados es el triángulo.
La palabra polígono viene del griego polygonos . De polys que significa muchos y de gonia que significa
ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono sería "figura que tiene muchos
ángulos".
Éstos son los nombres de los polígonos de menos de veinte lados.
Número de lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
R01/0110
Nombre del polígono
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Eneágono o Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Triskaidecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octadecágono
Eneadecágono
86
GD-RIEMS-DOC-4208
Para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados podemos hacer lo siguiente. Primero contamos
el número de lados que tiene, hacemos una combinación de prefijos como se muestra a continuación y
agregamos la terminación gono.
Decenas
20
30
40
50
60
70
80
90
y
IcosaTriacontaTetracontaPentacontaHexacontaHeptacontaOctacontaEneaconta-
-kai-
Unidades
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Terminación
-hená-dí-trí-tetrá-pentá-hexá-heptá-octá-eneá-
-gono
Por ejemplo, un polígono de 30 lados se llama triacontágono, mientras que uno de 63 lados se llama
hexacontakaitrígono .
¿A poco no parecen trabalenguas? Para que puedas decir que te sabes el nombre de todos los polígonos de
hasta cien lados, ahí va el que falta: el polígono de cien lados se llama hectógono. Como puedes ver, algunos
nombres de polígonos son más fáciles de decir que otros. ¡Intenta construir los nombres de diferentes
polígonos!
La regla es muy sencilla: saber cómo se dice el número de lados en griego y agregar la terminación -gono.
Pero, no todos los nombres de los polígonos que utilizamos la siguen: el triángulo y el cuadrilátero.
¿Cómo crees que deberían llamarse el triángulo y el cuadrilátero siguiendo la regla antes mencionada?
(Trígono y tetrágono)
El simple nombre de un polígono nos da información sobre el número de ángulos que tiene, pero, siempre
decimos que un pentágono es una figura de cinco lados, que un hexágono es una de seis lados y, en general,
que un polígono es una figura de muchos lados.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
INSTRUCCIONES:
Cierra la sesión con la participación de algunos estudiantes en la pizarra para escribir los nombres de polígonos
dándoles el número de lados.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Anexo IV-A
Para los EMSaD se recomienda realizar las actividades 4.1 y 4.2
R01/0110
87
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 26
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Recepción de las investigaciones
• Retroalimentación acerca de la investigación realizada por los alumnos de la clasificación de los
polígonos en “convexos y cóncavos” y “regulares e irregulares”
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 25 min.
INSTRUCCIONES: Presentará la actividad siguiente para los estudiantes:
A continuación se presenta un conjunto de figuras geométricas etiquetadas con números progresivos:
Conteste:
1. ¿Qué nombre reciben las figuras en general? __________________________________
2. Cuáles de los polígonos son (escriba los números):
Regulares: ___________________
Irregulares: __________________
Convexos: ________________________
Cóncavos: ________________________
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
INSTRUCCIONES
• Presenta la respuesta correcta de cada pregunta.
• Puede cerrar sesión haciendo la siguiente pregunta:
¿Los polígonos regulares pueden ser cóncavos?
TRABAJO INDEPENDIENTE: No aplica
En el caso de los EMSaD se recomienda realizar la actividad 4.3 del Cuadernillo de Procedimientos para el
Aprendizaje.
R01/0110
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Sesión 27
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Presentación del contenido de la clase
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 25 min.
INSTRUCCIONES:
Presentará el concepto de “vértice” y “diagonal”
Un vértice de un polígono es el punto de
unión de dos lados y se etiqueta con una
letra en mayúscula. Como ejemplo
A
O
La diagonal AB de un polígono es el
segmento que une dos vértices no
B
Aplicará la siguiente Actividad 1:
A continuación se presentan seis polígonos regulares, aunque la actividad puede aplicarse con irregulares
convexos; en cada uno de ellos escoge un solo vértice y traza las diagonales posibles desde el mismo. Llene la
tabla correspondiente
R01/0110
89
GD-RIEMS-DOC-4208
No
NOMBRE DEL POLIGONO
NÚMERO DE LADOS
NÚMERO DE DIAGONALES DESDE
UN SOLO VÉRTICE
1
2
3
4
5
6
Analice los datos obtenidos en la tercera y cuarta columna y responda:
1. ¿Es posible establecer una fórmula para el número de diagonales desde un solo vértice para un polígono de
“n” lados? ________________
2. Si su respuesta es afirmativa ¿Cuál sería esta fórmula? _________________________
3. Como las diagonales desde un solo vértice dividen al polígono en triángulos ¿Cuál sería la fórmula para
establecer el número de triángulos para “n” lados? _____________
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
INSTRUCCIONES
Presenta el llenado correcto de la tabla y la fórmula d=n-3 para el número de diagonales desde un vértice. Así
mismo establecerá la fórmula para el número de triángulos en que queda dividido un polígono con las
diagonales desde un vértice (n-2).
Resuelve los siguientes problemas:
1. ¿Cuántas diagonales desde un vértice tiene un triacontágono? Resp. 27
2. ¿Qué polígono tiene 22 diagonales desde un vértice? Resp. Icosapentágono
TRABAJO INDEPENDIENTE: Actividad 1. El alumno realiza la actividad del Anexo IV-B
R01/0110
90
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 28
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Presentación del contenido de la clase
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 20 min.
INSTRUCCIONES:
Actividad 3.
A continuación se presentan nuevamente los seis polígonos regulares pero en esta ocación deberá trazar
todas las diagonales posibles en cada uno llenando la tabla anaxa.
No
NOMBRE DEL POLIGONO
NÚMERO DE LADOS
NÚMERO
TOTALES
DE
DIAGONALES
1
2
3
4
5
6
R01/0110
91
GD-RIEMS-DOC-4208
Analice los datos obtenidos en la tercera y cuarta columna y responda:
1. ¿Es posible establecer una fórmula para el número de diagonales totales para un polígono de “n” lados?
________________
2. Si su respuesta es afirmativa ¿Cuál sería esta fórmula? _________________________
FASE DE CIERRE
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES
Presenta el llenado correcto de la tabla y la fórmula Dn =
n(n − 3)
n
o lo que es lo mismo * Dn = (n − 3) para
2
2
el número de diagonales totales de un polígono de “n” lados. *Observa que la segunda opción de la fórmula
contiene un paréntesis que equivale a la de las diagonales desde un vértice y el otro factor es la mitad del
número de lados. ¿Qué conclusión obtienes?
Resuelve los siguientes problemas:
1. ¿Cuántas diagonales totales tiene hexágono?
Solución: Considerando que son seis lados podemos resolver el problema geométricamente y comprobar
con la fórmula:
6( 6 − 3 )
2
6( 3 )
D6 =
2
D6 =
9
8
7
D6 = 9
1 2
3
4
5 6
2. ¿Qué polígono tiene 27 diagonales totales?
n(n − 3)
=D
2
Fórmula
n(n − 3)
= 27
2
Sustituyendo D=27
caso 1
n = −6 (no aplica)
n(n − 3) = 54 Trasponiendo el divisor 2
caso 2
n−9=0
n = 9 (solución)
n2 − 3n = 54 Aplicando multiplicación
n2 − 3n − 54 = 0
n+6=0
Trasponiendo el 54
(n + 6)(n − 9) = 0 Factorizando
Resp. Es un eneágono
TRABAJO INDEPENDIENTE: El alumno realiza la siguiente actividad Anexo IV-C.
R01/0110
92
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 29
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Recepciona las soluciones de los ejercicios de la sesión anterior
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 30 min.
INSTRUCCIONES:
Continúa presentando los elementos y propiedades de los polígonos
La apotema “a” sólo se da para los polígonos regulares y es el segmento que parte del
centro “O” hacia el punto medio de uno de sus lados. Es equivalente a la altura de los
triángulos isósceles en que se puede seccionar el polígono con segmentos del centro
hacia sus vértices
También equivale al radio de la circunferencia inscrita en el polígono.
a
O
r
Se llama radio “r” de un polígono al radio de la
circunferencia circunscrita y es el segmento que va del
centro a un vértice.
Tonos los radios de un polígono regular lo dividen en “n”
triángulos isósceles
R01/0110
93
GD-RIEMS-DOC-4208
El ángulo central (α) formado por dos
radios partiendo de dos vértices
α
δ
El ángulo interno (β) formado por dos
lados consecutivos
El ángulo externo (δ) formado por la
prolongación de un lado y el
β
DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERNOS Y SUMA DE LOS
ÁNGULOS EXTERNOS DE UN POLÍGONO
Un polígono de “n” lados sea regular o irregular tiene “n” ángulos internos, la suma de todos los ángulos
internos la denotaremos como S∠i , que en el caso de la siguiente figura es la suma de los ángulos A, B, C, D
y E.
α
Observamos que un polígono regular de “n” lados tiene “n”
ángulos centrales formando un perigonal o 360° por lo que
la fórmula para hallar el ángulo central
α=
360
n
Si triangulamos el polígono usando diagonales desde un vértice, observamos que el numero de triángulos que
se forma es igual a (n-2) “número de lados menos dos”. La suma de todos los ángulos internos del polígono es
igual a la suma de los ángulos internos de todos los triángulos, como en este caso se trata de un pentágono, se
formaron tres triángulos; como la suma de los ángulos internos en todo triángulo es 180° entonces la suma de
los ángulos internos del pentágono es tres veces 180° es decir 540°
R01/0110
94
GD-RIEMS-DOC-4208
Podemos establecer entonces que la fórmula para la suma de los ángulos intern
internos
os de cualquier polígono de “n”
lados es:
S∠i = 180 °(n − 2)
regular.
Como ejercicio el maestro determina la suma de los ángulos internos del siguiente octágono que es regular
¿Cuánto mide un solo ángulo interno del octágono regular?
OBTENCIÓN DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO INTERNO
En el caso de los polígonos regulares los ángulos internos son congruentes o iguales por lo que se puede
obtener la medida de un ángulo interno ( ∠i ) dividiendo la suma total entre el numero de ángulos, como éste
coincide con el número de lados “n” entonces la fórmula quedaría de la siguiente manera:
∠i =
180°(n − 2)
n
Ejemplo: Determine la medida de un ángulo interno del pentágono regular
180°(5 − 2 )
5
540
540°
∠i =
5
∠i =
∠i = 108°
Menciona que este conocimiento es importan
importante
te para resolver ejercicios como los siguientes:
Actividad 3.1. Determina la medida de los ángulos marcados en las figuras regulares:
ε
θ
2. ¿Cuánto mide un ángulo central de un icoságono? Resp. 18
18°
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
INSTRUCCIONES
Presenta la actividad independiente y los requisitos para su presentación:
ACTIVIDAD INDEPENDIENTE: El alumno realiza la siguiente actividad Anexo IV-D
R01/0110
95
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RIEMS-DOC-4208
Sesión 30
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
• Pase de lista
• Recepciona las soluciones de los ejercicios de la sesión anterior
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 25 min.
INSTRUCCIONES:
OBTENCIÓN DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERNOS
La suma de los ángulos externos puede obtenerse a partir del siguiente análisis:
1. Todo polígono convexo de “n” lados tiene “n” ángulos internos y externos
2. Un ángulo interno con su externo son suplementarios es decir suman 180°
3. La suma de todos los internos y los externos estaría deter
determin.ada por 180°n
4. Si a la suma del punto tres le restamos la suma de los ángulos internos, obtenemos la suma de los externos.
Por lo tanto
Operando
Simplificando
S∠e = 180 °n − 180(n − 2)
S∠e = 180°n − 180n + 360
S∠e = 360°
En todo polígono convexo la suma de los ángulos externos es constante e igual a 360°
Como los ángulos internos son congruentes o iguales en el caso de los polígonos regulares, también lo son los
externos.
ernos. Si la suma de los externos es siempre 360° entonces la medida de un ángulo externo estará dada
por:
∠e =
360°
n
Qué otro ángulo se calcula con esta
misma fórmula?_________________
¡Por supuesto! en conclusión: En todo polígono regular
un ángulo externo es igual al central.
R01/0110
96
GD-RIEMS
RIEMS-DOC-4208
¿Y SOBRE EL ÁNGULO INTERNO? SORPRÉNDASE:
Todo radio de un polígono regular bisecta al ángulo interno y el triángulo que contiene al ángulo central es
isósceles por lo que la suma de los dos internos de este triángulo que no son central, equivale a la medida del
interno. Así la medida de un interno es igual a 180° menos la medida del central, o si lo establecemos queda
formulado como:
∠i = 180 ° −
360
n
Actividad 4. Soluciona los siguientes ejercicios:
1. Determina la medida de los ángulos
α
α : _______
β : _______ θ : ________
β
θ
¿Qué tipo de triángulo se forma con un lado de un hexágono y su ángulo central? _____________________
¿Por
qué?
_____________________________________________
____________________________________________________________________________
FASE DE CIERRE
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES
Presenta la actividad independiente y los requisitos de entrega
TRABAJO INDEPENDIENTE: El alumno realiza la siguiente actividad ANEXO IV-E
Para los EMSaD se recomienda la actividad 4.4 del Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje.
R01/0110
97
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Sesión 30
2. Describe
be las propiedades de los polígonos referentes a sus elementos.
FASE DE APERTURA
Tiempo: 15 min.
INSTRUCCIONES:
Pase de lista
ión será dedicada a elaborar el formulario de áreas y perímetros
El docente indica que la sesión
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 25 min.
INSTRUCCIONES:
Presenta las fórmulas para perímetro y áreas de polígonos:
FORMULARIO DE ÁREAS Y PERÍMETROS
Triángulo
tro ( s ) =
Semiperime
Por Formula
de
a + b + c
2
Herón A = s( s − a )( s − b )( s − c )
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
R01/0110
98
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RIEMS-DOC-4208
Romboide
Trapecio
Polígono
P = 2 · (a + b)
A=b·h
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
A = T1+ T2+ T3+ T4
Polígono regular
Área de un sector circular
Longitud de una circunferencia
Área de una corona circular
Longitud de un arco de circunferencia
Área de un trapecio circular
R01/0110
99
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Círculo
Área de un segmento circular
Área de un sector circular
Área del segmento circular AB = Área
rea del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Área de una lúnula
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
INSTRUCCIONES
En esta sesión solo se presentan las fórmulas y se hace referencia al banco de ejercicios del Anexo IV-D
donde el maestro escogerá los ejercicios de su agrado para presentar su solución ante los estudiantes
ACTIVIDAD INDEPENDIENTE: NO APLICA
En el caso de los EMSaD se recomienda la actividad 4.5 del Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje
de Matemáticas II.
R01/0110
100
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Sesión 31
FASE DE APERTURA
Tiempo: 5 min.
INSTRUCCIONES:
Pase de lista
El docente indica que la sesión será dedicada a la solución de algunos ejercicios y problemas como ejemplo
para que ellos puedan realizar la actividad independiente.
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 40 min.
INSTRUCCIONES:
Usando las fórmulas dadas en la sesión anterior, se le ofrece al docente en el anexo IV-D ejercicios y
problemas para su aplicación como ejemplo, quedando en la libertad de usar otros de su preferencia.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 5 min.
INSTRUCCIONES:
El docente selecciona los ejercicios que considere adecuados para la actividad independiente del anexo F.
ACTIVIDAD INDEPENDIENTE: Ejercicios seleccionados del Anexo IV-F.
En el caso de los EMSaD realiza en equipo o de manera individual los ejercicios de las páginas 47-50.
R01/0110
101
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Sesión 32
FASE DE APERTURA
Tiempo: 5 min.
INSTRUCCIONES:
Pase de lista
El docente indica que la sesión será dedicada a la evaluación del bloque.
FASE DE DESARROLLO
Tiempo: 40 min.
INSTRUCCIONES:
Aplica la evaluación del bloque. El docente está en la libertad de usar la evaluación del “Anexo IV-G” o aplicar
algún instrumento de su elección.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 5 min.
INSTRUCCIONES:
El docente agradece a los estudiantes por su atención y los motiva a seguir adelante en su preparación
académica.
Recoge el instrumento de evaluación para su revisión y entrega.
TRABAJO INEPENDIENTE: No aplica.
R01/0110
102
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Anexos
ANEXO IV-A (SE SUGIERE USAR EL ANEXO IV-M COMO RÚBRICA DE EVALUACIÓN)
1. Cada estudiante investiga en qué consiste la clasificación de los polígonos como convexos y cóncavos.
Colocará la información con un dibujo como ejemplo y lo hará en duplicado teniendo la información en su libreta
y una copia para el docente para su revisión.
2. Cada estudiante investiga en qué consiste la clasificación de los polígonos como regulares e irregulares.
Colocará la información con un dibujo como ejemplo y lo hará en duplicado teniendo la información en su libreta
y una copia para el docente para su revisión.
Responde a las siguientes preguntas:
1.- ¿Crees que en todos los polígonos el número de lados coincide con el número de ángulos internos?
2.- ¿Por qué crees que ocurre así?
ANEXO IV-B (LOS ANEXOS IV-H-L, SE SUGIEREN COMO LISTAS DE COTEJO PARA EVALUAR EL
DESEMPEÑO DE LOS ESTUDIANTES)
Responde las preguntas:
1. ¿Cuántas diagonales desde tiene un hexacontakaitrígono desde un vértice?
_________________________________________________________
2. ¿Qué polígono tiene 97 diagonales desde un vértice? _______________________
4. Los únicos polígonos que tienen sus diagonales congruentes (iguales) son:
_________________________________ y __________________________________
4. El ____________________ es el único polígono que tiene sus diagonales iguales y perpendiculares.
ANEXO IV-C (LOS ANEXOS IV- H-L, SE SUGIEREN COMO LISTAS DE COTEJO PARA EVALUAR EL
1. ¿Cuántas diagonales en total tiene un triacontapentágono? _______________________
2. ¿Qué polígono tiene 14 diagonales en total? ________________________________
ANEXO IV-D (LOS ANEXOS IV- H-L, SE SUGIEREN COMO LISTAS DE COTEJO PARA EVALUAR EL
Responda las siguientes cuestiones:
1. ¿Qué ángulo se forma con dos centrales consecutivos de un octágono regular?
2. Cuánto mide el ángulo central de un:
Triángulo equilátero: _______
Cuadrado: ________________
Hexágono regular: _________
3. Escriba lo que observa del comportamiento de la medida del ángulo central en los polígonos regulares según
R01/0110
103
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el número de lados: _________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
ANEXO IV-E (LOS ANEXOS IV- H-L, SE SUGIEREN COMO LISTAS DE COTEJO PARA EVALUAR EL
1. Determina la medida de los ángulos
α
α
β
α : _______
β : _______ θ : ________
θ
2. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1800°? _______________
3. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo externo mide 120°? _____________________
4. Cuál es el polígono regular cuyo ángulo central es:
Recto: ___________________
Obtuso: __________________
ANEXO IV-F (LOS ANEXOS IV- H-L, SE SUGIEREN COMO LISTAS DE COTEJO PARA EVALUAR EL
Banco de Ejercicios de áreas y perímetros
I. Determina el perímetro y área de los siguientes polígonos:
P= __________________
1.
A= __________________
P= __________________
2.
A= __________________
II. En cada figura halle el área sombreada razonando las condiciones planteadas:
3.
Diagonal = 8
unidades
4.
R01/0110
104
Los lados del
cuadrado
miden 10 unidades y son
tangentes a la circunferencia
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El lado del triángulo
equilátero es 10 unidades
5
P, M y N son puntos medios
de los lados del triángulo
ASOMBREADA= __________
6
El lado del cuadrado es 12
unidades
7
El circulo de radio r=5
circunscribe al hexágono
8
unidades
O
“O” es centro del cuadrado
9
unidades
R01/0110
105
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10
11.
unidades
12. El lado del rombo mide 10 unidades y la diagonal menor mide 8. Si
lados AB y BC, ¿Cuál es el área sombreada?
E
y
F
son puntos medios de los
B
E
F
C
A
D
III. Resuelve los siguientes problemas:
13. El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?
14. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25m por lado.
Calcula el área del jardín
ANEXO IV-G
PLANTEL __________________________________________
NOMBRE DEL DOCENTE: ____________________________________________________________
NOMBRE DEL ALUMNO: ______________________________________________________________
INSTRUCCIONES: ESCRIBA EN EL (
) LA LETRA QUE CORRESPONDA A LA RESPUESTA CORRECTA:
A. CONOCIMIENTO:
1. Un polígono con lados iguales es:
a) regular
b) equilátero
R01/0110
(
c) equiángulo
106
)
d) convexo
GD-RIEMS-DOC-4208
2. Los polígonos con ángulos interiores menores de 180° son los:
a) cóncavos
b) convexos
c) equiángulos
3. El número de diagonales de un triángulo es:
a) 1
b) 2
c)3
(
)
(
)
(
)
d) regulares
d) 0
4. El segmento de recta que une el centro de un polígono con el punto medio de un lado es:
a) apotema
b) radio
c) diámetro
d) lado
5. El ángulo formado por dos segmentos de rectas que unen vértices consecutivos de un polígono con su
centro es:
(
)
B. HABILIDADES:
6. El polígono con menor número de lados es el ____________________________, porque
_____________________________________________________________________________________
7. En un cuadrilátero se pueden trazar _______ diagonales porque _______________________________ __
__________________________________________________________________________________
8. El _______________ y el ___________________ son los únicos polígonos que tienen sus diagonales
__________________.
9. Todos los polígonos _________________ son convexos.
10. Los polígonos cuya suma de sus ángulos interiores es 360° son los ________________ porque
________________________________________________________________________________
C. DESTREZAS
11. El polígono regular de seis lados es el ___________________ y cada ángulo interior mide ___.
12. El número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice en un pentágono es ____
Porque __________________________________________________________________________
13. La suma de los ángulos centrales y los internos en un decágono es ________°.
D. ACTITUD.
14. Cuando piensas en construir un papalote ¿En qué polígono piensas normalmente?_________
15. Dos polígonos, uno de “n” lados y otro de “n-1” lados tienen sus lados congruentes. ¿Cuál tiene mayor
perímetro
y
área?_________________
porque__________________________________
____________________________________________________________________________________
ANEXO IV-H
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
R01/0110
107
GD-RIEMS-DOC-4208
N°
1
2
3
4
5
Indicador
Ejecución
matemáticos.
El trabajo fue rectificado y comprobado por
todos los integrantes del equipo.
expectativas esperadas: ordenada, clara,
organizada y es fácil de leer.
Ponderación
Total
Observacione
s
3
3
1
1
2
___________________
Evaluador.
Anexo IV-I-Rubrica para evaluar la actividad extra clase.
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
CALIFICACIÓN
10
9
8
7
6
5
DESCRIPCIÓN
___________________
Evaluador.
Anexo IV-J-Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
R01/0110
108
GD-RIEMS-DOC-4208
N°
Indicador
Reconocen,
identifican
y
plantean
1
Definen o analizan el problema con la
2
aportación de todos.
3
4
Evalúan tanto el avance hacia la solución como
5
la solución
6
Ejecución
Ponderación
Total
Observaciones
2
1
1
2
2
2
Anexo IV-K De Habilidad
Ejecución
De Forma
• Presentación del trabajo con
respecto.
• Portada.
• Desarrollo (datos, procedimiento,
formula)
• Resultado.
• Orden.
•
Total
Ponderación
5
5
5
5
5
Limpieza.
5
De contenido
• Resultado y/o Interpretación
adecuada.
Total:
10
20
30
15
Anexo IV-L - Solución de problemas
• Portada.
• Desarrollo.
• Conclusiones.
R01/0110
Ejecución
109
Ponderación
5
5
10
5
5
5
Total
GD-RIEMS-DOC-4208
•
Limpieza.
5
•
Búsqueda: Se relaciona el conocimiento y la
•
Conceptos: Identifica los datos relevantes
•
•
•
5
10
Solución: Analiza múltiples opciones para
resolver el problema (estrategia de resolución).
30
Profundidad. Aplica correctamente los
resolución.
10
5
Total:
Anexo IV-M-De actitud
Trabajo por equipo
limpieza.
Su desempeño en el rol asignado ha contribuido a preparar los productos
de una manera coherente.
grupo.
personal.
interpersonales.
sus errores.
Se apega a los acuerdos previos para la realización del trabajo, número
de participantes, tiempo, etc.
Ejecución
Ponderación
5
5
5
Total
5
5
55
5
5
5
5
55
Total
Anexo IV-N Portafolio final
Ejecución
Ponderación
Total
PRESENTACION
Nitidez
Formato
REDACCION
Ortografía
R01/0110
2
3
5
110
GD-RIEMS-DOC-4208
Gramática
ORGANIZACIÓN
Estructura
Orden
OBJETIVOS
Cantidad
Calidad
Cumplimiento
CONTENIDO
Muestra y Evidencias, Muestra de Libre Selección,
Prontuario y Planes de Enseñanza
Coherencia
5
5
5
5
5
5
5
40
15
TOTAL
ANEXO IV-O REPORTE DE INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL
De Forma
• Portada.
• Índice.
De contenido
• Introducción.
• Conclusión.
• Coherencia.
R01/0110
111
Valor
5
5
5
5
5
10
30
10
10
5
10
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE V
EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de la circunferencia, mediante la
aplicación de las propiedades de la circunferencia a partir de la resolución de problemas que se derivan en
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la circunferencia.
4.1
5.1
5.4
5.6
6.1
7.1
8.1
8.2
8.3
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas
de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso
de acción con pasos específicos.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
1. Reconoce y distingue los distintos tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia.
2. Describe las características de los ángulos centrales, inscritos y semiinscritos, y del radio, diámetro,
cuerdas, arcos, secantes y tangentes de una circunferencia.
3. Emplea las propiedades de los elementos asociados como radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y
secante a la circunferencia en la resolución de problemas.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
112
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
DESEMPEÑO
Reconoce
y • Describe
Conocimiento:
las
• Distingue los
• Valora
la •
distingue
los
propiedades de
diferentes tipos
importancia
•
Identifica
los
distintos tipos
los
elementos
de segmentos,
de reconocer
distintos ángulos,
de
rectas,
asociados a una
rectas
y
las relaciones
rectas y segmentos
segmentos
y
circunferencia:
ángulos
existentes
relacionados con la
ángulos
asociados con
entre ángulos,
• Radio
circunferencia.
asociados a la • Diámetro
una
arcos, rectas y •
Habilidad:
circunferencia
circunferencia.
segmentos en •
• Cuerda
Aplica
las
una
propiedades de los
• Arco
circunferencia.
elementos
• Tangentes
asociados a la
Secantes
circunferencia en la
resolución
de
problemas teóricos
o prácticos.
•
Clasifica
los
elementos de la
resolución
de
problemas teóricos
y prácticos.
•
Actitud:
•
Valora y Promueve
el uso de los
elementos de la
resolución
de
problemas de
•
su entorno.
• Describe las • Identifica
las • Utiliza
las
• Actúa
de • Conocimiento:
característica
características y
propiedades
de
manera
• Identifica
los
s
de
los
propiedades de
segmentos,
propositiva
al
distintos
ángulos,
ángulos
los diversos tipos
ángulos, arcos y
resolver
los
rectas y segmentos
centrales,
de ángulos en la
rectas ligados a la
ejercicios
relacionados con la
inscritos
y
circunferencia:
circunferencia,
planteados.
circunferencia.
semiinscritos, • Central
para
establecer
Promueve
• Habilidad:
y del radio, • Inscrito
sus relaciones y
maneras
• Obtiene la medida
diámetro,
medidas.
creativas
de
de ángulos inscritos,
• Semiinscrito
cuerdas,
solucionar
un
• Aplica
las
centrales
y
arcos,
problema.
propiedades
de
semiinscritos en la
secantes
y • Emplea
las
rectas
circunferencia.
las
tangentes de
tangentes
a
una
propiedades de
• Aplica
las
una
circunferencia.
los
elementos
propiedades de los
circunferenci
las
asociados como • Aplica
elementos asociados
a.
formulas de áreas
radio, diámetro,
a la circunferencia
•
y perímetros de la
en la resolución de
cuerda,
arco,
circunferencia.
• Emplea las
problemas teóricos o
tangente
y
propiedades
las
prácticos.
secante en la • Aplica
de
los
propiedades
y
circunferencia en
• Aplica
las
elementos
relaciones
de
la resolución de
propiedades de las
asociados
segmentos,
problemas.
rectas tangentes a
como radio,
ángulos, arcos y
una
circunferencia
diámetro,
rectas
en
la
R01/0110
113
GD-RIEMS-DOC-4208
cuerda, arco,
tangente
y
secante a la
circunferenci
a
en
la
resolución de
problemas.
R01/0110
resolución
de
problemas.
• Utiliza
la
imaginación
espacial
para
visualizar
circunferencias y
sus elementos, en
objetos y figuras
en dos y tres
dimensiones.
114
problemas.
• Actitud:
• Actúa y promueve de
manera creativa los
ejercicios
y
la
solución
de
problemas.
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE V
SESIÓN 33 a 36
1. Reconoce y distingue los distintos tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Describe las propiedades • Distingue los diferentes tipos de • Valora
la
importancia
de
segmentos, rectas y ángulos
reconocer
las
relaciones
de los elementos asociados
asociados
con
una
existentes entre ángulos, arcos,
a una circunferencia:
circunferencia.
rectas y segmentos en una
• Radio
circunferencia.
• Diámetro
• Cuerda
• Arco
• Tangentes qSecantes
CONOCIMIENTO: Identifica los distintos ángulos, rectas y segmentos relacionados con la circunferencia.
HABILIDAD: Aplica las propiedades de los elementos asociados a la circunferencia en la resolución de
problemas teóricos o prácticos.
Clasifica los elementos de la circunferencia en la resolución de problemas teóricos y prácticos.
ACTITUD: Valora y promueve el uso de los elementos de la circunferencia en la resolución de problemas de su
entorno.
• Pizarrón Blanco.
• Marcadores Para pizarrón Blanco.
• Se sugiere Juego de Geometría para Docentes.
• Software educativo, en caso de contar con ella se sugiere Winplot y Cabri Geometri.
• Proyector.
• Ortiz Campos, F. J. (2005). Matemáticas II, Para Bachillerato. México, DF: Patria Cultural.
• Sánchez, G. S., & Salazar, V. P. (2009). Matemáticas 2. México, DF: Nueva Imagen S.A. de C.V.
R01/0110
115
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Sesión 33
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Reconoce y distingue los distintos tipos de rectas, segmentos y ángulos
asociados a la circunferencia.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador proporciona las instrucciones para que de manera grupal realicen una lluvia de
ideas relacionado con los conceptos de Circunferencia y Círculo anotando las aportaciones en la pizarra.
Indicará a los alumnos que obtengan la diferencia que existe entre Circunferencia y Círculo con base a las
aportaciones del día.
Sugerencia: El facilitador puede utilizar un anillo y una moneda para explicar de manera intuitiva la diferencia
de ambos conceptos. (Anillo concepto de Circunferencia y moneda concepto de Círculo)
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador provee las definiciones correspondientes, mostrando dibujos o figuras que
representen dichos conceptos, (Si se cuenta con proyector)
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo, llamado
centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. A la circunferencia se le llama frontera. (Indicar la
analogía con un anillo)
Un círculo es la región plana contenida dentro de la circunferencia, incluyendo a ésta. (Indicar la analogía con
una moneda)
Posteriormente el facilitador da a conocer los elementos de una circunferencia:
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el
centro.
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los
diámetros.
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto
Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.
Arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
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El facilitador Indica a los alumnos que se resolverá en clase y de manera individual la siguiente actividad.
Posterior a su evaluación deberá integrarse al portafolio de evidencia.
Actividad V-A. En la siguiente figura identifica los elementos de la circunferencia.
En el caso de EMSaD se recomienda se realice la actividad 5.1 del Cuadernillo de Procedimientos para el
Centro: ___________, Cuerda: ____________, Diámetro: _______________,
Tangente: ___________, Radio: ____________, Secante: ___________.
A continuación se te muestra un conjunto de circunferencias y en cada uno de ellas se ha representado un
cierto ángulo.
v
v
a
a
b
a
v
b
b
Completa la siguiente tabla escribiendo la ubicación del vértice (v) y los nombres de los segmentos trazados (a
y b) con relación a la circunferencia que los contiene.
Circunferencia
A
B
C
Vértice
Segmento a
Segmento b
Ésta actividad será evaluada con una rúbrica descrita en el Anexo V-B, que está al final de la sección del
Bloque 5.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador hará comentarios finales sobre los conceptos y definiciones analizados con
anterioridad, recalcando que de haber alguna duda externarla para retomarla nuevamente hasta quedar
disipada. Posteriormente indica a los alumnos que deberán contar con un juego de geometría para la siguiente
sesión.
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: El facilitador indica al alumno que se debe llenar una tabla de retroalimentación
de la clase, para su discusión posterior
Retroalimentación
La retroalimentación en éste momento es importantísima ya que es cuando debes reconocer tus errores y tratar
de subsanarlos. Expón todas las dudas que aún tengas y el facilitador guiará la discusión en el grupo para
aclararlas. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea clara de lo que te falta reafirmar.
TEMA
¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
En el caso de los EMSaD se recomienda que el estudiante realice la actividad 5.2 del Cuadernillo de
Procedimientos para el Aprendizaje de Matemáticas II.
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117
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 34
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador induce al alumno a realizar trazos de algunos elementos asociados con la
circunferencia.
1. Construir la tangente a una circunferencia dada en un punto determin.ado de ella.
a) Traza una circunferencia de centro O, y prolonga el radio OP.
b) Haz centro en P y traza un arco que corte en dos puntos a OP, punto A y B.
c) Haz centro en A y traza un arco que corte al arco trazado haciendo centro en B, el punto de intersección de
estos arcos será C. traza el segmento CP que será tangente a la circunferencia en el punto P.
Observa la figura.
C
O
P
B
2. Indica a los alumnos que construyan una tangente a una circunferencia dada desde un punto exterior a ella.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador da información sobre los ángulos notables de una circunferencia.
Ángulos notables en la circunferencia:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que
delimita dicho arco.
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una
recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus
lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
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Ángulo exterior,, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
Ángulo circunscrito,, Tiene el vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son tangentes a la
circunferencia. o también pueden ser tangente y una secante
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos qu
que abarcan sus lados
sobre dicha circunferencia.
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
disipada.
Tiempo: 5 min.
de la clase, para su discusión posterior.
Retroalimentación
n éste momento es importantísima ya que es cuando debes reconocer tus errores y tratar
La retroalimentación en
TEMA
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¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
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GD
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Sesión 35
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador inicia la sesión indicando que una circunferencia que pasa por todos los
vértices de un polígono se llama circunscrita, y al polígono se le denomina inscrito. Análogamente,
Análoga
si una
circunferencia es tangente a todos los lados del polígono recibe el nombre de inscrita y al polígono se le
denomina circunscrito.
El facilitador realiza el trazo de un polígono regular inscrito en una circunferencia.
1. Traza una circunferencia
cia con centro O.
2. Marca el radio OP.
3. Decide cuantos lados tendrá el polígono y divide a este entre 180. Obtendrás el valor de un ángulo
central que corresponderá al polígono que se desea trazar.
4. A partir del centro O y del radio OP mide con ayuda de un tr
transportador
ansportador el ángulo que obtuviste en el
paso anterior. Continúa midiendo ángulos de la medida obtenida hasta darle la vuelta a la
circunferencia.
5. Borra los radios y se obtendrá el polígono inscrito.
Se sugiere trazar un polígono de 9 lados.
Divida
Los ángulos centrales que se deberán de medir valen 40°
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: A continuación se enuncia algunas propiedades acerca de la medición de ángulos
asociados a una circunferencia.
a circunferencia tiene por medida el arco que lo determina o subtiende
1. Un ángulo central en una
2. Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que lo subtiende.
3. Un ángulo semiinscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que subtiende a su
correspondiente ángulo central.
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GD
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4. Los ángulos inscritos en una circunferencia subtendidos por el mismo arco son iguales.
p( p(
q
p( (
5. Todo ángulo inscrito en una circunferencia subtendido por una semicircunferencia es recto (90°)
q
p I><rJ
p m<r
p 6. Los ángeles opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.
p p( ><r
7. Los ángulos opuestos por el vértice, que determin.an dos cuerdas de una circunferencia que se cortan, tienen
por medida la semisuma de los arcos limitados por sus lados.
ps q qJ
I(
8. El ángulo formado por dos secantes, que se cortan fuera de la circunferencia, tienen por medida la
semidiferencia de los arcos que lo subtienden.
ps q K (
qJ
I7
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
disipada.
Tiempo: 5 min.
Integración del aprendizaje
En esta parte debes realizar una actividad en la que reflejes todo lo que aprendiste. Te sugerimos que elabores
un formulario detallando la interpretación de cada formula que hayas visto.
Formula
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Descripción
Variables involucradas
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 36
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador otorga las instrucciones para realizar una actividad de forma colaborativa
relacionada con temas analizado la clase anterior. (Se sugiere formar equipos de 3 o 4 integrantes).
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador proporciona el siguiente material para la actividad e indica a los integrantes de
cada equipo que deberán entregar un trabajo final para su evaluación y uno individual para integrar al portafolio
de evidencias.
Actividad V-C
1. Contesta las siguientes cuestiones.
a)
b)
c)
d)
___________________, Tiene la máxima longitud, y se le conoce como la cuerda mayor.
¿Cómo son la recta tangente y el radio de éste, en el punto de tangencia? ___________________.
Un diámetro divide a la circunferencia en dos ______________________.
Dos rectas son tangentes a los extremos de un diámetro, ¿Cómo son entre sí esas
tangentes?________________.
e) Dos radios en una misma circunferencia son perpendiculares. ¿Qué medida de arco determin.an con la
circunferencia?________________________.
f) En el centro de un círculo se determin.an 5 ángulos iguales ¿Qué polígono queda definido en la
circunferencia y de qué medidas es cada ángulo central?__________________________
g) Dos secantes en un mismo círculo tienen un extremo en común en la circunferencia y determin.an un
ángulo de 102°. ¿Qué medida angular tiene el ángulo central que determin.an las dos
secantes?____________________.
2. Contesta lo que se te pide.
a) Un ángulo central mide 75°. ¿Cuánto mide el arco de circunferencia que determin.an los lados del
ángulo central?
b) Un ángulo central en una circunferencia es de 64° ¿Cuánto mide el ángulo inscrito cuyos lados
subtienden al mismo arco de circunferencia?
c) Un ángulo inscrito determina un arco de 124° en la circunferencia. ¿Qué medida tiene ese ángulo?
d) Un ángulo es inscrito en una semicircunferencia. ¿Qué medida de arco determina en la
circunferencia?
e) Dos rectas secantes se cortan dentro de un círculo determinando arcos de circunferencia de 28° y
116°. ¿Cuál es la medida del ángulo interior que se forma?
3. En la siguiente figura se ha trazado una circunferencia, un ángulo central (pJ y un ángulo inscrito
∩
(ptJ, los cuales están subtendidos por el mismo arco ( AB ), sin utilizar transportador y recordando
que:
•
R01/0110
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
122
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•
•
•
La medida del ángulo llano es 180°.
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Y la información contenida en la figura.
Responde: ¿Cuál es el valor de p)pt?
________________________________________________________________________________
Con base en lo anterior completa la siguiente tabla con la medida de los ángulos que se indican.
Si pt
pCentral
q
por arco pt
subtendido
pt Inscrito
q
por el arco subtendido
120°
130°
150°
160°
180°- G
4. En la figura que se muestra a continuación se tiene un cuadrilátero (PQRS) inscrito a una circunferencia
y, por consiguiente, los ángulos SPQ y SRQ también son inscritos a la misma. Observa los arcos que
los subtiende.
•
¿Cómo demostrarías que estos ángulos opuestos en el cuadrilátero suman 180°?
•
¿Esta afirmación será válida para cualquier cuadrilátero inscrito? Justifica tu respuesta.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador recopila las actividades realizadas, indica que sus puntuaciones serán
proporcionados la siguiente sesión (Se evaluara con una lista de cotejo. Ver anexo V-D)
Tiempo: 5 min.
Retroalimentación
TEMA
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¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
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GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE V
SESIÓN 37 a 40
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
Identifica
las
características
y
propiedades
de
los
diversos tipos de ángulos
en
la
circunferencia:
Central
Inscrito
Semiinscrito.
Emplea las propiedades de
los elementos asociados
como
radio,
diámetro,
cuerda, arco, tangente y
secante
en
la
circunferencia
en
la
resolución de problemas.
HABILIDADES
• Utiliza las propiedades de
segmentos, ángulos, arcos y
rectas ligados a la circunferencia,
para establecer sus relaciones y
medidas.
• Aplica las propiedades de las
rectas
tangentes
a
una
circunferencia.
• Aplica las formulas de áreas y
perímetros de la circunferencia.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
Actúa
de
manera
ejercicios planteados.
Promueve
maneras
creativas de solucionar un
problema.
• Aplica
las
propiedades
y
relaciones
de
segmentos,
ángulos, arcos y rectas en la
resolución de problemas.
para visualizar circunferencias y
sus elementos, en objetos y
figuras
en
dos
y
tres
dimensiones.
CONOCIMIENTO: Identifica los distintos ángulos, rectas y segmentos relacionados con la circunferencia.
HABILIDAD: Obtiene la medida de ángulos inscritos, centrales y semiinscritos en la circunferencia.
• Aplica las propiedades de los elementos asociados a la circunferencia en la resolución de problemas teóricos
o prácticos.
• Aplica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia en la resolución de problemas.
ACTITUD: Actúa y promueve de manera creativa los ejercicios y la solución de problemas.
• Pizarrón Blanco.
• Marcadores Para pizarrón Blanco.
• Se sugiere Juego de Geometría para Docentes.
• Software educativo, en caso de contar con ella se sugiere Winplot y Cabri Geometri.
• Proyector.
• Ortiz Campos, F. J. (2005). Matemáticas II, Para Bachillerato. México, DF: Patria Cultural.
• Sánchez, G. S., & Salazar, V. P. (2009). Matemáticas 2. México, DF: Nueva Imagen S.A. de C.V.
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Sesión 37
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: el facilitador inicia haciendo comentarios sobre los resultados de las actividades realizadas
en la sesión anterior, de la misma forma, inducirá a los alumnos para que aporten sus comentarios en el llenado
de la tabla de retroalimentación, procura disipar todas las dudas externadas por los estudiantes así como
motivar en lo que se aprendió de forma adecuada.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador expone las propiedades de las tangentes a una circunferencia. Se sugiere
realizar los trazos en la pizarra o empleando algún graficador electrónico, por ejemplo Winplot.
Es importante destacar que las tangentes a una circunferencia tienen la propiedad de ser perpendiculares al
radio que pasa por el punto de tangencia.
Para que el estudiante tenga mayor comprensión se analiza las siguientes propiedades.
1. Si se tienen dos rectas tangentes desde un punto P exterior a una circunferencia con puntos de tangencia A y
B, entonces los segmentos PA y PB son iguales, además PA es perpendicular a AO y PB es perpendicular a
BO.
2. Si se tienen dos circunferencias que se cortan y dos rectas tangentes desde un punto P exterior a ambas
circunferencias con puntos de tangencia en C, D, E y F respectivamente, entonces los segmentos CD y EF son
iguales.
En la imagen del eclipse solar se puede apreciar diferentes formas que semejan rectas tangentes a
circunferencias.
Tiempo: 40 min.
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FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador provee al estudiante ejercicios extraclase con el fin de desarrollar sus
habilidades en las propiedades de las tangentes, posteriormente serán analizados en forma grupal y se
integrará al portafolio de evidencias. Será evaluado con una rúbrica descrita en el Anexo V-B
1.
2.
Tiempo: 5 min.
Retroalimentación
TEMA
R01/0110
¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 38
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
inscritos
ritos y semiinscritos, y del radio, diámetro,
4. Describe las características de los ángulos centrales, insc
secante a la circunferencia en la resolución de probl
problemas.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador otorga las instrucciones para realizar una actividad de forma colaborativa
relacionada con los temas analizadoss en la clase anterior. (Se sugiere formar equipos de 3 o 4 integrantes).
ormar equipos de trabajo.
Sugerencia para formar
Si se va a integrar, por ejemplo, cinco grupos. El número de equipos estará en razón del número de
participantes en el grupo.
Si son 16, se hacen cuatro equipos de cuatro participantes cada uno; si son 25, se hacen cinco equipos de
cinco participantes cada uno; si son 36, se hacen seis equipos de seis participantes cada uno.
Por ejemplo, para trabajar con cinco grupos, se numeran los participantes del 1 al 25, y se hace el siguiente
cuadro en el pizarrón o en su libreta:
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Equipo 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
El profesor explicará a los estudiantes que los equipos de cinco personas quedarán formados, en primer tiempo,
como
mo lo indican sus números en sentido vertical: el equipo 1 estará formado por los participantes numerados
1,6,11,16 y 21; el equipo 2, por los participantes 2,7,12,17 y 22, y así sucesivamente.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
facilitador da las instrucciones y proporciona el material, debe comentar
INSTRUCCIONES: Actividad V-E El fa
que será entregado un solo producto final para la evaluación, pero indica que de forma individual serán
integrados en el portafolio de evidencias.
1.
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2.
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3.
4.
5.
6.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador recopila las actividades realizadas, indica que sus puntuaciones serán
proporcionados la siguiente sesión (Se
Se evaluara con una lista de cotejo. Ver anexo V
V-D)
Tiempo: 5 min.
debe
e llenar una tabla de retroalimentación
TRABAJO INDEPENDIENTE: El facilitador indica al alumno que se deb
Retroalimentación
TEMA
¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
En el caso de los EMSaD se sugiere realizar la activi
actividad
dad de la sección 5.3 del Cuadernillo de Procedimientos
para el Aprendizaje, con el propósito de que el alumno conozca el tema que se explicará en la próxima sesión.
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GD
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Sesión 39
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Inicia la sesión con las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo puede calcularse el área de un círculo? ¿y, el perímetro?
2. ¿Has escuchado hablar de PI? ¿Conoces el valor que tiene?
3. ¿Puedes obtener el valor de PI de una manera muy sencilla?
Deje que los alumnos respondan libremente.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: En base a los comentarios anteriores se comienza analizando el valor de PI.
Se proporciona el concepto de PI.
u (Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un
número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en
matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
v w l
Hm;HH>mxm>
; yl
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad
constante. No obstante, existen diversas definiciones del número π, pero las más común es:
Π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Longitud de
Circunferencia
π= ________________
diámetro
diámetro
Longitud de
Circunferencia
π=3.14159265...
El facilitador da conocer las formulas de área y perímetro:
Perímetro: Es la longitud de la circunferencia.
Área: Es la medida de la región que queda comprendida dentro de su perímetro.
R01/0110
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Área del círculo:
Perímetro del círculo:
o
El facilitador propone el siguiente problema para abordar como ejemplo:
1. Calcular el área del anillo del metal que se mue
muestra en la figura 1.
2. Calcula el área sombreada de la figura 2, sabiendo que el lado del cuadrado es 8 cm y el radio del círculo es
2 cm.
3. Calcular el área de la parte sombreada de la figura 3, siendo AB= 10 cm, ABCD un cuadrado y APC y AQC
arcos de circunferencia
rcunferencia de centros B y D.
3.9cm
2.5cm
FIGURA 1
FIGURA 3
FIGURA
IGURA 2
Solución del problema 3.
La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares. Por tanto el área de cada segmento circular es:
Por ser 2 segmentos circulares.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador da oportunidad al alumno para que pueda externar alguna duda surgida
durante la explicación
ón de los ejemplos, hasta disipar la mayoría de ellas.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
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GD
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Retroalimentación
TEMA
¿QUÉ APRENDÍ?
¿QUÉ ME FALTA?
En el caso de los EMSaD en equipo de cuatro integrantes realice las actividades de la página 58-62 del
Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje de Matemáticas II.
Sesión 40
2. Describe las características de los ángulos centrales, inscritos y semiinscritos, y del radio, diámetro, cuerdas,
arcos, secantes y tangentes de una circunferencia.
3. Emplea las propiedades de los elementos asociados como radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante a
la circunferencia en la resolución de problemas.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Sugerencia de evaluación del Bloque: El facilitador indica la aplicación de una evaluación
final del Bloque 5 y proporciona el material necesario.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Proporciona el material para la evaluación:
Actividad V-G Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas relacionados con la circunferencia.
1. En la figura que se muestra a continuación se tiene las siguientes condiciones: AB=28 unidades y es el
diámetro de un semicírculo, EF es la cuerda del semicírculo y tangente al círculo, EF=24 unidades y es paralela
a AB. Determina el valor del radio del círculo.
2. En la siguiente figura determina los valores de pZ pZ pZ p(Z p7)p=, considerando los datos
proporcionados en la misma y las propiedades de los ángulos asociados a una circunferencia. Además, se tiene
q Z (
q Z )(7
q son iguales.
que los arcos 3. En un área circular de un museo se exhibe un mural, el cual está colocado en una cuerda (EF) que constituye
un lado del hexágono regular inscrito en dicha forma circular. Tal y como se muestra en la siguiente figura, se
encuentran cuatro personas observando el mural con las respectivas ubicaciones. Con base en los datos
proporcionados y sabiendo que los arcos PQ=18° RS=24°, determin.ar el ángulo de visión de cada una de ellas
R01/0110
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(pZ pZ pZ )p() para ver completa la base del mural desde su posición. Describe tu razonamiento para cada
uno de los casos.
4. El vigilante de un estacionamiento se encuentra en la parte superior de una torre de 12 metros de altura (h),
él mide de los pies a la altura de sus ojos, 1.6 metros y alcanza a observar una distancia de 50 metros desde su
ubicación en la torre hasta el piso del estacionamiento en cualquier dirección. ¿Cuál es el área circular del
estacionamiento, en metros cuadrados , que alcanza a cubrir el vigilante?.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador recopila la evaluación realizada e indica que sus puntuaciones serán
proporcionados la siguiente sesión (Se evaluara con una lista de cotejo. Ver anexo 5-H).
Tiempo: 5 min.
ANEXOS
ANEXOS V-B
Rubrica para evaluar la actividad en clase.
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.
Resolución de problemas individual.
CALIFICACIÓN
10
9
8
7
6
5
___________________
DESCRIPCIÓN
Demuestra total comprensión del problema. Todos los requerimientos de la tarea
están incluidos en la respuesta
Demuestra comprensión parcial del problema. La mayor cantidad de requerimientos
de la tarea están comprendidos en la respuesta.
Demuestra poca comprensión del problema. Muchos de los requerimientos de la
tarea faltan en la respuesta.
Evaluador.
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ANEXO V-D
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.
Resolución de problemas en equipos.
N°
Indicador
Reconocen, identifican y plantean
1
Definen o analizan el problema con la
2
aportación de todos.
3
Ponen en funcionamiento el plan y lo
4
modifican de acuerdo al surgimiento de
nuevas ideas
Evalúan tanto el avance hacia la solución
5
como la solución
6
___________________
Ejecución
Ponderación
Total
Observaciones
2
1
1
2
2
2
Evaluador.
ANEXO V-H
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.
Evaluación final.
Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de cumplimiento por ponderación colocando el
producto en la columna de Calif. Finalmente sume la columna Calif.
No
1
Indicador
Cumplimiento
Ejecución
Si
Ponderación
No
Distingue correctamente los
diferentes tipos de segmentos y
rectas asociados a la circunferencia.
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Observaciones
Calif.
1
133
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No
2
3
4
5
6
Indicador
Cumplimiento
Ejecución
Si
Ponderación
No
Identifica y ubica correctamente los
datos proporcionados en las figuras,
reconociendo los diferentes tipos de
ángulos.
Aplica correctamente las propiedades
de los elementos asociados a la
circunferencia en la resolución de
problemas.
Obtiene correctamente el valor de los
ángulos asociados a la circunferencia
aplicando las propiedades de
medición para establecer relaciones y
medidas.
Describe las características de los
ángulos asociados a la circunferencia
para justificar sus resultados y
razonamientos.
Realiza deducciones e inferencias
sobre los elementos asociados a la
circunferencia para determin.ar el
área del círculo.
Calificación de ésta evaluación:
Observaciones
Calif.
2
2
2
1
2
10
___________________
Evaluador.
R01/0110
134
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VI
DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos
rectángulos en representaciones de dos o tres dimensiones al aplicar las funciones trigonométricas en la
resolución de de problemas que se derivan en situaciones relacionadas con estas funciones.
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de las relaciones trigonométricas.
4.1
5.1
5.4
5.6.
6.1
7.1
8.1
8.2
8.3
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de
1. Realiza conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos agudos.
2. Identifica situaciones donde es posible utilizar las funciones trigonométricas.
3. Utiliza tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de funciones trigonométricas para
ángulos agudos.
4. Aplica las definiciones de las funciones trigonométricas directas y recíprocas, las técnicas de conversión
entre grados y radianes, y los procedimientos para obtención de valores de dichas funciones para solucionar
Tiempo: 8 horas
R01/0110
135
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
DESEMPEÑO
1.
Realiza •
Identifica
•
Realiza
•
Valora
la CONOCIMIENTO:
conversiones
diferentes unidades de conversiones de importancia de las De acuerdo a la
entre medidas medida de ángulos y medidas
lectura, elabora un
de Funciones
angulares
y describe
resumen, en donde
las ángulos,
de trigonométrica.
circulares
de diferencias
identifica diferentes
grados
a
ángulos
unidades de medida
conceptuales
entre radianes
y
agudos.
de
ángulos
y
ellas, angulares y viceversa.
describe
las
circulares.
diferencias
conceptuales
entre
ellas, angulares y
circulares.
HABILIDAD:
Resuelve ejercicios
de conversiones de
medidas de ángulos,
de grados a radianes
y viceversa.
ACTITUD:
Demuestra interés y
valora la importancia
de
las
funciones
trigonométricas.
2.
Identifica •
Define
y
•
Obtiene
•
Valora
la CONOCIMIENTO:
situaciones
De acuerdo a la
describe las funciones
los valores de importancia de las
donde
es trigonométricas
lectura, elabora un
funciones
Funciones
resumen, en donde
posible utilizar directas y recíprocas
trigonométricas
trigonométrica.
define y describe las
las
funciones de ángulos agudos.
empleando
funciones
trigonométricas.
tablas
o
trigonométricas
calculadoras
directas y recíprocas
para
ángulos
de ángulos agudos.
entre 0 y 90
HABILIDAD:
grados.
Resuelve ejercicios,
donde obtenga los
valores de funciones
trigonométricas,
empleando tablas o
calculadoras
para
ángulos entre 0 y 90
grados.
ACTITUD:
Aporta y valora la
importancia
de
funciones
trigonométricas,
desde un punto de
vista reflexivo.
3. Utiliza tablas, •
Caracteriza los
•
Utiliza las •
Actúa
de CONOCIMIENTO:
calculadora o valores de las
funciones
manera propositiva al De acuerdo a la
triángulos
funciones
trigonométricas
resolver los ejercicios lectura, elabora un
específicos
resumen,
trigonométricas para
directas
y planteados.
para
obtener 30°, 45°, 60° y en
caracterizando
los
recíprocas para
valores
de general múltiplos de 15
valores
de
las
la resolución de
R01/0110
136
GD-RIEMS-DOC-4208
funciones
trigonométricas
para
ángulos
agudos.
4. Aplica las
definiciones de
las
funciones
trigonométricas
directas
y
recíprocas, las
técnicas
de
conversión
entre grados y
radianes, y los
procedimientos
para obtención
de valores de
dichas
funciones para
solucionar
problemas
teóricos
o
prácticos.
R01/0110
grados,
triángulos.
utilizando
•
Caracteriza los
valores de las
funciones
30°, 45°, 60° y en
general múltiplos de
15 grados, utilizando
triángulos.
triángulos
rectángulos.
•
Obtiene
los valores de
funciones
trigonométricas
para ángulos de
30°, 45°, 60° y
múltiplos de 15
grados sin ayuda
de calculadora o
tablas
matemáticas.
•
Aplica las
funciones
trigonométricas
directas
y
recíprocas en la
resolución
de
problemas.
137
•
Actúa
de
manera propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
funciones
30°, 45°, 60° y en
triángulos.
HABILIDAD:
aplica las funciones
trigonométricas
triángulos
rectángulos.
ACTITUD:
Aporta y actúa de
manera propositiva al
resolver los ejercicios
planteados.
CONOCIMIENTO:
De acuerdo a la
lectura, elabora un
resumen, en donde
caracteriza
los
valores
de
las
funciones
30°, 45°, 60° y en
triángulos.
HABILIDAD:
donde obtenga y
aplique
funciones
ángulos de 30°, 45°,
60°,
así
como
funciones
trigonométricas
problemas.
ACTITUD:
Aporta y actúa de
manera propositiva al
resolver los ejercicios
planteados.
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VI
SESIÓN 41 a 42
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Realiza conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos
agudos.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
Identifica diferentes unidades de Realiza conversiones de medidas Valora la importancia de las
medida de ángulos y describe las de ángulos, de grados a radianes y Funciones trigonométrica.
diferencias
conceptuales
entre viceversa.
ellas, angulares y circulares.
CONOCIMIENTO: De acuerdo a la lectura, elabora un resumen, en donde identifica diferentes unidades de
medida de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas, angulares y circulares.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios de conversiones de medidas de ángulos, de grados a radianes y viceversa.
ACTITUD: Demuestra interés y valora la importancia de las funciones trigonométricas.
GLOBAL: No aplica
• Guía didáctica
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
• Bibliografía básica, (W. Swokowski, Earl; A. Cole, Jeffery, 2009), (Sánchez Gutiérrez, Sergio; Salazar
Vásquez, Pedro, 2009)
• Programa de estudio
• Portafolio de evidencias
R01/0110
138
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 41
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El asesor realiza el pase de lista y dará a conocer las instrucciones correspondientes a la actividad.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-A:
Los alumnos formaran equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), realizarán la
siguiente lectura y al termino de esta realizaran un resumen, en donde identifica diferentes unidades de medida
de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas, angulares y circulares. Esta actividad será
evaluada mediante una lista de cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-B, VI-C y VI-D.
CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Un radian es la medida del ángulo central de un
circulo subtendido por un arco igual en longitud al
radio del círculo.
rad
r
r
Π rad = 180°
Si consideramos un circulo de radio r, entonces un ángulo a cuya medida sea 1 radián interseca un arco AP de
longitud r, como se ilustra en la figura. El ángulo b de la figura tiene medida 2 en radianes, porque esta
subtendido por un arco de longitud 2r. Del mismo modo, g en la figura tiene medida 3 en radianes, porque esta
subtendido por un arco de longitud 3r.
a = 1 radián
b = 2 radianes
g = 3 radianes
360° = 2π ≈ 6.28 radianes
P
P
r
a
r
A
3r
2r
g
b
r
r
A
A=P
Para hallar la medida en radianes correspondiente a 360°, debemos hallar el número de veces que un arco de
circunferencia de longitud r puede trazarse a lo largo de la circunferencia. Este número no es un entero y ni
siquiera es un número racional. Como la circunferencia del circulo es 2πr, el número de veces de r unidades se
puede trazar es 2π; por tanto, un ángulo de 2π radianes corresponde a 360° = 2π radianes. Este resultado
conduce a la siguiente relación.
1.
S89r uz{|}{~
u
Sr
z{|}~ w 9l 9SUz{|}~
2.
Relación entre grados y radianes
S89
3. 1 radián =
S89r
u
w Ul TU8r
La siguiente tabla ilustra la forma de pasar de una medida angular a otra.
R01/0110
139
GD-RIEMS-DOC-4208
Para cambiar
Grados a radianes
Radianes a grados
Multiplicar por
Ejemplo
u
S89r
S89r
u
SU9r SU9r
u
Uu

S89r
W
TTUr TTUr
Uu
u

V
S89r
u u S89r

SUr
V
V
u
u u S89r

W9r
u
Tiempo: 35 min.
En el caso de los EMSaD se recomienda complementar la actividad con la introducción del bloque VI del
Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje de Matemáticas II.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los resúmenes a cada uno de los equipos, los evaluará y registrará en el portafolio de
evidencias.
Tiempo: 10 min.
En el caso de los EMSaD se recomienda realizar las actividades 6.1 y 6.2 del Cuadernillo de Procedimientos
para el Aprendizaje de Matemáticas II.
R01/0110
140
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 42
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-E
Los alumnos formaran equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), resolverán el
siguiente ejercicio, donde aplicará los temas conversión entre medidas angulares y circulares de ángulos
agudos. Esta actividad será evaluada mediante una lista de cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-C,
VI-F y VI-G.
Ejercicio:
Conversión de medidas de ángulos
Instrucciones: Llena cada uno de los recuadros de la siguiente tabla, transformando el ángulo de grados a
radianes o viceversa, según cada caso.
Grados
Procedimiento
Radianes
315°
4.5466
25°18’
0.1853
v
m
30°12’
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicitará los ejercicios a cada uno de los equipos, los evaluará y registrará en el portafolio de
evidencias.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
141
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VI
SESIÓN 43 a 44
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 2. Identifica situaciones donde es posible utilizar las funciones
trigonométricas.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
Define y describe las funciones Obtiene los valores de funciones Valora la importancia de las
trigonométricas
directas
y trigonométricas empleando tablas o Funciones trigonométrica.
recíprocas de ángulos agudos
calculadoras para ángulos entre 0 y
90 grados.
CONOCIMIENTO: De acuerdo a la lectura, elabora un resumen, en donde define y describe las funciones
trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios, donde obtenga los valores de funciones trigonométricas, empleando tablas o
calculadoras para ángulos entre 0 y 90 grados.
ACTITUD: Aporta y valora la importancia de funciones trigonométricas, desde un punto de vista reflexivo.
GLOBAL: No aplica
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
R01/0110
142
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 43
Identifica situaciones donde es posible utilizar las funciones trigonométricas.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-H:
Los alumnos forman equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), realizan la
siguiente lectura y al término de esta elaboran un resumen, donde definen y describe las funciones
trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos. Esta actividad será evaluada mediante una lista de
cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-B, VI-C y VI-D.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para cada θ, se encuentran determinadas seis razones de manera única y por tanto son funciones de θ.
Reciben el nombre de funciones trigonométricas y se denota como las funciones seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante, abreviadas sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente.
El símbolo sen θ se usa por la razón que la función seno asocia con θ. Los valores de las otras cinco
funciones se denota de un modo semejante.. Para resumir, si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo de
la figura 1, entonces por definición,

#& `_ dk ` _i` `_`

El dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos.
Si θ es el ángulo de la figura 1, nos referiremos a los lados del triángulo de longitudes a, b y c como el lado
adyacente, lado opuesto e hipotenusa, respectivamente. Usaremos ady, op e hip para denotar las longitudes
de los lados. Entonces podemos representar el triángulo como en la figura 2. Con esta notación, las funciones
trigonométricas se pueden expresar como siguen.
Fig. 1
Fig. 2
c
hip
b
θ
θ
a
#& op
ady
!
)
!
)
$%!
$%!
`_ dk ` _i` `_` $%!
$%!
)
!
)
!
Las fórmulas de la definición anterior se pueden aplicar a cualquier triángulo rectángulo sin poner las leyendas
a, b, c a cada uno de los lados. Como las longitudes de los lados de un triángulo son números reales positivos,
los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ. Además, la
hipotenusa es siempre mayor que el lado adyacente o el opuesto y por tanto sen θ <1, cos θ<1, csc >1 y sec>1
para todo ángulo agudo θ.
Nótese que como
R01/0110
143
GD-RIEMS-DOC-4208
!
$%!
) `_` $%!
!
sen θ y csc θ son recíprocas entre sí, la cual nos da las dos de las identidades de la columna izquierda del
cuadro siguiente. Del mismo modo, cos θ y sec θ son recíprocas entre sí, como lo son tan θ y cot θ.
#& Identidades recíprocas
#& `_ dk `_`
_i`
`
# _i` ` _ik
`_
dk
Ejemplo:
Instrucción: Dibuja un triángulo rectángulo en donde el cateto horizontal lo representará con la letra x, el
vertical como y y la hipotenusa como r. Emplea las propiedades que conoces para encontrar en cada caso las
incógnitas a partir de los valores que se proporcionan, emplea para ello una calculadora científica.
Datos
G Figura
Razonamiento
Incógnitas r, A, B.
Con el teorema de Pitágoras se
determinar
)H
B
rx
r = 13
y=5
;xr
A
z [RT MT \SVV TU S
Con la Tangente se determina A
dk E
F
= _____, A = ______
m<r m<r K
C
x = 12
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los resúmenes a cada uno de los equipos, los evaluará y registrará en el portafolio de
evidencias.
Tiempo: 10 min.
En el caso de los EMSaD se recomienda realizar las actividades 6.3 del Cuadernillo de Procedimientos para el
R01/0110
144
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 44
2. Identifica situaciones donde es posible utilizar las funciones trigonométricas.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-I
Los alumnos forman equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), resuelven el
siguiente ejercicio, identificando situaciones donde es posible utilizar las funciones trigonométricas. Esta
actividad será evaluada mediante una lista de cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-C, VI-F y VI-G.
Dibuja un triángulo rectángulo en donde el cateto horizontal lo representará con la letra x, el vertical como y y
la hipotenusa como r. Emplea las propiedades que conoces para encontrar en cada caso las incógnitas a
partir de los valores que se proporcionan, emplea para ello una calculadora científica.
Datos
Figura
Razonamiento
Gx
)
B

r=
A
y=2
C
x=7
G
) Hl;
G;
)

R01/0110
145
GD-RIEMS-DOC-4208
xr

G
)
l
Hr
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los ejercicios a cada uno de los equipos, los evalúa y registra en el portafolio de evidencias.
Tiempo: 10 min.
R01/0110
146
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VI
SESIÓN 45 a 46
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 3. Utiliza tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de
funciones trigonométricas para ángulos agudos.
CONOCIMIENTOS
Caracteriza los valores de las
funciones trigonométricas para 30°,
45°, 60° y en general múltiplos de
15 grados, utilizando triángulos.
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
Utiliza las funciones trigonométricas Actúa de manera propositiva al
directas y recíprocas para la resolver los ejercicios planteados.
resolución
de
triángulos
rectángulos.
CONOCIMIENTO: De acuerdo a la lectura, elabora un resumen, caracterizando los valores de las funciones
trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15 grados, utilizando triángulos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios, aplica las funciones trigonométricas directas y recíprocas para la resolución
de triángulos rectángulos.
ACTITUD: Aporta y actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.
GLOBAL: No aplica
•
•
•
•
•
•
•
Guía didáctica
Temario
Pintaron
Marcadores
Bibliografía básica, (W. Swokowski, Earl; A. Cole, Jeffery, 2009), (Sánchez Gutiérrez, Sergio; Salazar
Programa de estudio
Portafolio de evidencias
Sesión 45
2. Utiliza tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de funciones trigonométricas
para ángulos agudos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El asesor realiza el pase de lista y da a conocer las instrucciones correspondientes a la actividad.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
R01/0110
147
GD-RIEMS-DOC-4208
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-J:
Los alumnos forman equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), realizan la
siguiente lectura y al término de esta elaboran un resumen, caracterizando los valores de las funciones
trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15 grados, utilizando triángulos. Esta actividad será
evaluada mediante una lista de cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-B, VI-C y VI-D.
Se recomienda para los EMSaD realizar las actividades de las secciones 6.6 del Cuadernillo de Procedimientos
para el Aprendizaje de Matemáticas II.
Caracterizando los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15
grados, utilizando triángulos.
El triángulo es isósceles y rectángulo, ya que se genera con los lados y la diagonal de un cuadrado
Si la longitud de los catetos es 1, la
hipotenusa medirá \. Esto se
verifica con el teorema de
\
1
Pitágoras.
Sus ángulos agudos miden 45°, ya
S
~VUr que la suma de ellos es 90° y son
\T
de la misma medida.
45°
S
:VUr \T
1
L{~VUr S
Cuando cortas con una altura un triángulo equilátero se generan dos triángulos rectángulos congruentes
El ángulo menor del triángulo
La medida del cateto menor es
rectángulo es, por simetría, la
60°
la mitad de la hipotenusa.
mitad del ángulo interior del
1
2
triángulo equilátero.
60°
Uno de los ángulos del triángulo
equilátero coincide con el ángulo
del triángulo rectángulo. Por ello
mide 60°
~9r S
T
\
:9r T
L{~9r S
30°
Si la hipotenusa mide 2, entonces
el cateto mide 1. Con el teorema
de Pitágoras encontrarás la
medida del cateto mayor.
\
Razones
trigonométricas
para ángulos de
30 ° y 60°
\
~W9r :W9r \
T
S
T
L{~W9r \
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los resúmenes
evidencias.
Tiempo: 10 min.
a cada uno de los equipos, los evalúa y registra en el portafolio de
R01/0110
148
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 46
1. Utiliza tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de funciones trigonométricas para
ángulos agudos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El asesor realiza el pase de lista y da a conocer las instrucciones correspondientes a la actividad.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-K
Los alumnos forman equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), resolven el
siguiente ejercicio, donde uutilizan tablas, calculadora o triángulos específicos para obtener valores de
funciones trigonométricas para ángulos agudos. Esta actividad será evaluada mediante una lista de cotejo y
guías de observación. Ver: Anexo VI-C, VI-F y VI-G.
Resolver los siguientes problemas
1. Se coloca una tabla de 3 m como rampa para subir una carretilla con carga desde el piso a la parte
trasera de un camión. La tabla forma un ángulo de 30° con el piso. ¿Cuál es la altura de la plataforma
del camión?
2. Se recarga una escalera en la pared formando un ángulo con ella de 60°. La distancia que hay entre el
pie de la pared y el de la escalera es de 3 m. ¿Cuál es la longitud de ésta?
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los ejercicios a cada uno de los equipos, los evalúa y registra en el portafolio de evidencias.
Tiempo: 10 min.
R01/0110
149
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VI
SESIÓN 47 a 48
entre grados y radianes, y los procedimientos para obtención de valores de dichas funciones para
solucionar problemas teóricos o prácticos.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Caracteriza los valores de las • Obtiene los valores de funciones • Actúa de manera propositiva al
funciones trigonométricas para
trigonométricas para ángulos de
resolver
los
ejercicios
30°, 45°, 60° y en general
30°, 45°, 60° y múltiplos de 15
planteados.
múltiplos
de
15
grados,
grados sin ayuda de calculadora
utilizando triángulos.
o tablas matemáticas.
• Aplica
las
funciones
trigonométricas
directas
y
recíprocas en la resolución de
problemas.
CONOCIMIENTO: De acuerdo a las lectura, elabora un resumen, en donde caracteriza los valores de las
funciones trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15 grados, utilizando triángulos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios, donde obtenga y aplique funciones trigonométricas para ángulos de 30°,
45°, 60°, así como funciones trigonométricas directas y recíprocas en la resolución de problemas.
ACTITUD: Aporta y actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.
GLOBAL: No aplica
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
R01/0110
150
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 47
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador realiza el pase de lista y da a conocer las instrucciones correspondientes para la aplicación del
examen.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-L:
Los alumnos forman equipos de 4 integrantes (cuidando los diferentes estilos de aprendizaje), de acuerdo a las
lecturas realizadas con anterioridad realizan un resumen final del bloque. Esta actividad será evaluada mediante
una lista de cotejo y guías de observación. Ver: Anexo VI-B, VI-C y VI-D.
En el caso de los EMSaD se sugiere realicen las actividades de la sección 6.7 del Cuadernillo de
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita los resúmenes
evidencias.
Tiempo: 10 min.
a cada uno de los equipos, los evalúa y registra en el portafolio de
En el caso de los EMSaD se sugiere realicen las actividades de las páginas 77-80 del Cuadernillo de
R01/0110
151
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 48
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador realiza el pase de lista y da a conocer las instrucciones correspondientes para la aplicación de la
evaluación del bloque VI.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad VI-M
El facilitador aplica una evaluación del bloque VI, donde observa la aplicación en su contexto de los temas, las
relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos.
Nota: Este instrumento es una propuesta, queda a consideración del facilitador su aplicación.
DIRECCIÓN GENERAL
MATEMATICAS II
EVALUACIÓN DEL BLOQUE VI
PERÍODO: 2010-A
CLAVE (
)
NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________GRUPO:___________
NOMBRE DEL MAESTRO:______________________________FECHA:____________
SECCIÓN I
INSTRUCCIONES: Resuelve el siguiente problema:
Valor (20 puntos c/u)
Una lata de alumin.io se corta tal como se indica en la figura. La lata mide 12 cm de altura y se emplea para el
corte, un ángulo de 60° desde la vertical.
60°
12 cm
h
5 cm
1. Se desea determin.ar el volumen de líquido que puede contener el envase recortado. Haz un esquema del
triángulo que te apoye en la resolución del mismo anotando los valores conocidos y sus incógnitas.
Representa éstas a través de símbolos algebraicos.
2. Describe un proceso que determine las incógnitas que se requieren conocer en el triángulo construido para
determin.ar el cálculo final del volumen del recipiente recortado.
3. Determina las incógnitas de acuerdo con tu proceso de solución del problema.
4. determina el valor de la altura h.
5. Calcula el volumen requerido.
R01/0110
152
GD-RIEMS-DOC-4208
Nota: Se anexa fórmula que permite calcular el volumen de un cilindro
V = (área del círculo) (altura) = ( π r² )( h )
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
NSTRUCCIONES:
El facilitador entrega los resultados a los alumnos en la siguiente clase.
Tiempo: 5 min.
ANEXOS
Anexo VI-B
Lista de cotejo
Matemáticas 2
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Institución:
Sesión:
Fecha de aplicación:
Producto a evaluar: Resumen
Valor
De Forma
• Portada (Nombre del alumno, grado, grupo, nombre del docente
nombre de la asignatura).
• Ortografía, redacción y legibilidad
• Limpieza.
• Extensión
• Fuentes de información
De Contenido
Apego al contenido de la temática vista en clase.
Presencia de ideas principales
Redacción: Ideas claras, lógicas y secuenciadas.
Calificación de esta evaluación:
Anexo VI-C
Guía de observación
Matemáticas 2
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
y
5
5
5
5
5
20
25
30
100
Institución:
Sesión:
Producto a evaluar: Trabajo en equipo
De Forma
• Respeta las ideas de los otros miembros del grupo Uso adecuado de
materiales de apoyo en uso.
• Su entusiasmo, participación y dedicación demuestra una actitud
Limpieza.
• Su desempeño en el rol asignado ha contribuido a preparar los productos
que se desean de una manera coherente
• Comparte la información que encuentra con los otros miembros del
grupo.
• Participación equilibrada de todos los participantes.
R01/0110
Valor
obtenido
153
Valor
Valor obtenido
5
5
5
5
5
GD-RIEMS-DOC-4208
• Respeta las limitaciones de su compañero y lo ayuda en su
mejoramiento personal.
• Su participación permite el desarrollo de óptimas relaciones
interpersonales.
• Respeta las normas de su grupo y es capaz de reconocer y enmendar
sus errores.
• Apego a los acuerdos previos para la realización del trabajo, número de
participantes, tiempo, etc.
De Contenido
• Apego del contenido del producto del trabajo lo solicitado.
Valor
Valor obtenido
5
5
5
5
55
100
Anexo VI-F
Matemáticas 1
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Institución:
Sesión:
Desempeño a evaluar: Capacidad de solución de problemas
No. Indicador
Cumplimiento
Ejecución
Sí
No
Ponderación
1
2.0
Interpreto y resolvió correctamente los ejercicios
2
1.5
Identifico y aplicó correctamente las formas para
realizar las operaciones
3
1.5
Aplico los conceptos y resolvió el problema
4
1.5
Entendió y aplicó correctamente el procedimiento
5
1.5
Formuló los procedimientos adecuados para la
resolución del problema
6
2.0
Entendió el problema, aplico los conceptos y
realizo las transformaciones correspondientes
Calificación de la evaluación:
10.0
Anexo VI-D
Matemáticas 1
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Calif.
Institución:
Sesión:
Desempeño a evaluar: Actitud
No.
Criterios
1
2
Interés en los temas
Tolerancias hacia las opiniones de
los demás
Respeto
Actitud colaborativa
Actitud investigativa
Solidaridad
Puntualidad
3
4
5
6
7
R01/0110
Sesiones(Actividad)
1
2
3
4
154
5
6
7
8
Total
GD-RIEMS-DOC-4208
No.
Criterios
8
9
Responsabilidad
Disponibilidad
Sesiones(Actividad)
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Modalidad:
Bien (B): Guardaste un desempeño actitudinal coherente con los criterios que a continuación se describen
permitiendo el abordaje y cumplimiento de las actividades de aprendizaje.
Regular (R): La actitud fue coherente con los criterios que se describen a continuación, pero no se logro el
cumplimiento concreto de las actividades de aprendizaje.
Mal (M): No se cumplió con los criterios anteriores.
Anexo VI-G
Lista de cotejo
Matemáticas 1
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Institución:
Sesión:
Producto a evaluar: Ejercicios
Criterio de evaluación
De Forma
• Portada.
• Desarrollo (datos, procedimiento, formula
resultado).
• Orden.
• Limpieza.
De contenido
Valor
y
5
5
5
5
5
10
20
30
15
100
R01/0110
Valor obtenido
155
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VII
APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas de ángulos de cualquier
medida en el plano cartesiano empleando las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida en la
resolución de problemas que derivan en situaciones relacionadas con funciones trigonométricas.
Cuantifica y representa magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de funciones trigonométricas.
Interpreta y construye gráficas de funciones trigonométricas.
1.-Obtiene el valor de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas o calculadora.
2.- Identifica, para un ángulo determinado, los segmentos que corresponden a cada una de las funciones en el
círculo trigonométrico.
3.- Utiliza las definiciones y el círculo trigonométrico para establecer las identidades pitagóricas.
4.- Traza las gráficas del seno, coseno y tangente por medio de puntos calculados en tablas.
5.- Bosqueja las gráficas de seno coseno y tangente con base en su periodicidad y en su caso la existencia de
asíntotas.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
156
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
DESEMPEÑO
1. Obtiene el
valor de las
funciones
trigonométrica
s utilizando el
ángulo
de
referencia,
tablas
o
calculadora.
2.
Identifica,
para un ángulo
determinado,
los segmentos
que
corresponden
a cada una de
las funciones
en el círculo
Trigonométrico
.
R01/0110
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
• Identifica
e
interpreta
las
funciones
trigonométricas
en
el
plano
cartesiano.
• Ubica el ángulo
de
referencia
para
ángulos
situados en los
cuadrantes II, III
y IV.
• Expresa
las
funciones
trigonométricas
utilizando
las
coordenadas de un
punto
y
su
distancia al origen.
• Establece
el
comportamiento de
las
funciones
trigonométricas,
seno, coseno y
tangente en los
cuatro Cuadrantes.
• Valora
la
importancia
de
contar
con
recursos
tecnológicos
y
tradicionales para
la obtención de
los valores de
funciones
trigonométricas
para ángulos de
cualquier
magnitud.
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
• Asume
una
actitud
constructiva;
• congruente con
los conocimientos
y habilidades con
los que cuenta,
en las actividades
que
le
son
asignadas.
• Conocimiento:
• Comprende
e
identifica
las
coordenadas
y
ángulos
en
los
cuadrantes.
• Habilidad:
• Resuelve ejercicios
donde
utiliza
el
ángulo de referencia
con apoyo de la
calculadora
y
asimismo estable el
comportamiento de
las
funciones
trigonométricas.
• Actitud:
Valora,
actúa y asume una
actitud propicia para
la
resolución
de
ejercicios dados.
• Identifica
e
interpreta
las
funciones
trigonométricas
en
el
plano
cartesiano
de referencia para
ángulos situados
en los cuadrantes
II, III y IV.
• Reconoce
las
funciones
trigonométricas
en
el
círculo
unitario
como
funciones de un
segmento.
• Establece
el
comportamiento de
las
funciones
trigonométricas,
seno,
coseno
y
tangente
en
los
cuatro cuadrantes.
• Construye
las
identidades
pitagóricas a partir
de Definición de las
funciones
en
el
plano cartesiano o
en
círculo
Trigonométrico.
• Obtiene
gráficamente el valor
de
una
función
trigonométrica
midiendo
el
segmento asociado
a ella.
• Valora
la
importancia
de
contar
con
recursos
tecnológicos
y
tradicionales para
la obtención de
los valores de
funciones
trigonométricas
para ángulos de
cualquier
magnitud.
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
• Asume
una
actitud
constructiva;
congruente con
los conocimientos
y habilidades con
• Conocimiento:
• Comprende
e
identifica
las
funciones
trigonométricas
asociadas con un
punto en el plano.
• Habilidad:
donde utiliza el plano
cartesiano y obtiene
los valores de las
funciones
trigonométricas con
el apoyo de la
calculadora
y
asimismo estable el
comportamiento de
las
funciones
trigonométricas.
• Actitud:
Valora,
actúa y asume una
la
resolución
de
157
GD-RIEMS-DOC-4208
los que cuenta,
en las actividades
que
le
son
asignadas.
ejercicios dados
3.Utiliza
las
definiciones y
el
círculo
trigonométrico
para
establecer las
identidades
pitagóricas.
• Reconoce
las
funciones
trigonométricas
en el círculo
unitario
como
funciones de un
segmento.
• Distingue
el
comportamiento
gráfico de las
funciones
trigonométricas
seno, coseno y
tangente
• Construye
las
identidades
pitagóricas a partir
de Definición de
las funciones en el
plano cartesiano o
en
círculo
trigonométrico.
• Obtiene
gráficamente
el
valor
de
una
función
trigonométrica
midiendo
el
segmento
asociado a ella.
• Valora
la
importancia de
contar
con
recursos
tecnológicos y
tradicionales
para
la
obtención
de
los valores de
funciones
trigonométricas
para ángulos de
cualquier
magnitud.
• Actúa
de
manera
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
• Asume
una
actitud
constructiva;
• congruente con
los
conocimientos y
habilidades con
los que cuenta,
en
las
actividades que
le
son
asignadas.
• Conocimiento:
• Comprende
e
identifica
las
funciones
trigonométricas en el
círculo unitario.
• Habilidad:
donde
utiliza
el
ángulo de referencia
con apoyo de la
calculadora
y
asimismo estable el
comportamiento de
las
funciones
trigonométricas
como funciones del
segmento unitario.
• Actitud:
Valora,
actúa y asume una
la
resolución
de
ejercicios dados.
4.Traza
las
gráficas
del
seno, coseno y
tangente por
medio
de
puntos
calculados en
tablas.
5.-Bosqueja
las gráficas de
seno coseno y
tangente con
base en su
periodicidad y
en su caso la
existencia de
asíntotas
de
referencia
para
ángulos
situados en los
cuadrantes II, III
y IV.
• Reconoce
las
funciones
trigonométricas
en el círculo
unitario
como
funciones de un
segmento.
• Distingue
el
comportamiento
gráfico de las
funciones
trigonométricas
seno, coseno y
tangente
• Construye
la
gráficas de las
funciones
seno,
coseno y tangente
mediante
tablas,
calculadoras
gráficas,
computadora.
• Bosqueja
las
graficas de las
funciones
seno,
coseno y tangente
a partir de sus
valores máximos y
mínimos
e
intersecciones con
los
ejes
cartesianos y en el
caso
de
la
tangente se sus
• Valora
la
importancia de
contar
con
recursos
tecnológicos y
tradicionales
para
la
obtención
de
los valores de
funciones
trigonométricas
para ángulos de
cualquier
magnitud.
• Actúa
de
manera
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
•
•
R01/0110
158
•
•
Conocimiento:
Comprende
e
identifica
las
coordenadas
y
ángulos en los
cuadrantes.
Habilidad:
Resuelve ejercicios
donde utiliza el
ángulo
de
referencia
con
apoyo
de
la
calculadora
y
asimismo estable
el comportamiento
de las funciones
trigonométricas y
en su caso las
asíntotas
y
su
periodo.
GD-RIEMS-DOC-4208
asíntotas y de su
periodo.
R01/0110
159
• Asume
una
actitud
constructiva;
congruente con
los
conocimientos y
habilidades con
los que cuenta,
en
las
actividades que
le
son
asignadas.
•
Actitud:
Valora,
actúa y asume una
actitud
propicia
para la resolución
de ejercicios dados
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VII
SESIÓN 49 a 50
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Obtiene el valor de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de
referencia, tablas o calculadora.
CONOCIMIENTOS
•
•
Identifica e interpreta las
funciones trigonométricas
en el plano cartesiano.
Ubica el ángulo de
referencia para ángulos
situados en los cuadrantes
II, III y IV.
HABILIDADES
•
•
Expresa las funciones
trigonométricas utilizando
las coordenadas de un
punto y su distancia al
origen.
Establece el
comportamiento de las
funciones trigonométricas,
seno, coseno y tangente en
los cuatro Cuadrantes.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
contar con recursos
tecnológicos y tradicionales
para la obtención de los
magnitud.
Actúa de manera
Asume una actitud
constructiva; congruente
con los conocimientos y
habilidades con los que
cuenta, en las actividades
que le son asignadas.
CONOCIMIENTO: Comprende e identifica las coordenadas y ángulos en los cuadrantes.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios donde utiliza el ángulo de referencia con apoyo de la calculadora y asimismo
establece el comportamiento de las funciones trigonométricas.
ACTITUD: Valora, actúa y asume una actitud propicia para la resolución de ejercicios dados.
GLOBAL: No aplica
Baldor, J. (2006). Geometría Plana y del Espacio. 1ª reimpresión: México. Publicaciones Cultural.
Ortiz Campos, F.(2007). Matemáticas Geometría y Trigonometría. 3ª reimpresión: México. Publicaciones
Culturales.
Salazar, P., Sánchez, S., Fuentes, A. (2006). Matemáticas 2. 2ª edición: México, D.F. Nueva Imagen.
R01/0110
160
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 49
1. Obtiene el valor de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas o calculadora.
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
Pase de lista y reflexión sobre la evaluación del bloque 6. En esta sesión
trigonométricas primero con el uso de la calculadora.
se estudia las funciones
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 40 min
Apoyo de la calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas
En estos tiempos es común usar una calculadora científica que nos permita determinar más rápidamente los
valores de funciones. Para ello es necesario que en la calculadora presiones la tecla para que aparezcan las
siglas (DEG), es decir, ángulo en grados sexagesimales.
Actividad VII-A:
Para encontrar el valor de sen 35° a través de tu calculadora, procede a:
• Encender la calculadora
• Cerciorarte de que en la pantalla aparezca: “DEG”
• Presionar el valor de 35
• A continuación presionar la tecla de “sin” (o “sen”)
• Observar que aparece en la pantalla el valor de: 0.573576436
• Para fines prácticos y cálculos matemáticos solo se toma el valor con cuatro decimales, esto es: sen 35° =
0.5736
Realizar ejercicios, que se encuentran en el anexo VII-A.
Ahora podrás calcular valores de expresiones como las siguientes:
Actividad VII-B:
2
2
6 sen 45° + 6 cos 60°
Procedimiento algebraico
2
2
6(sen 45°) + 6(cos 60°) =
Procedimiento a seguir
El cuadrado de un ángulo es igual al ángulo elevado
al cuadrado.
6(0.7071)2 + 6(0.5)2=
Con la calculadora se obtiene el valor de la función.
6(0.5) + 6(0.25)
Se elevo al cuadrado y se multiplicaron los valores.
3 + 1.5
Se realizan las operaciones indicadas.
4.5
Respuesta.
Realizar ejercicios, que se encuentran en el Anexo VII-B. Este anexo se evalúa con los Anexos VII-H, VII-I,
VII-J
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES:
Tiempo: 5 min.
Una vez calificados los ejercicios se hará una retroalimentación del tema y del uso de la calculadora Cerciorarte
de que en la pantalla aparezca: “DEG”:
TRABAJO INDEPENDIENTE: (tarea) Este trabajo independiente se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-J
2
2
4 sen 45° + 12 cos 60°=
2
2
12cos 60 + 4 sen 45 =
2
2
6sen 60 + 8cos 45
Sesión 50
R01/0110
161
GD-RIEMS-DOC-4208
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA
1. Obtiene el valor de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas o calculadora.
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES:
Tiempo: 10 min.
ta, se revisan las tareas, se aclaran dudas y trabajaremos en el plano cartesiano con la ubicación de
Pase de lista,
los ángulos y los signos de estos.
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min
Otra forma de considerara a las funciones
trigonométricas es refiriéndose
ndose al plano
cartesiano. Funciones trigonométrica
de ángulos
( fig.1)
Signos de las funciones trigonométricas
R01/0110
162
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
De acuerdo con el cuadrante en
que se halle el lado terminal del ángulo y
teniendo en cuenta que la distancia de un
punto cualquiera al origen de
coordenadas es siempre positiva, y
aplicando la "ley de los signos", las
funciones trigonométricas pueden ser
positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior haz el
resumen de los signos de las funciones
trigonométricas en cada uno de los
cuadrantes de acuerdo a lo antes
mencionado y la figura.
Actividad VII-C.-Completa
Completa los signos de la siguiente tabla: Esta actividad se evalúa con los Anexos: VII-H, VIII, VII-J
cuadrante
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
I
II
III
IV
Funciones trigonométrica en un círculo goniométrico:
Como ya se dijo con anterioridad, un círculo trigonométrico o goniométrico tiene un radio cuya medida es igual
a la unidad. De acuerdo con las deficiones y teniendo en cuenta que la distancia al origen de P es 1, se tiene:
En la actividad VII-D se dan las coordenadas de P;; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo
correspondiente.
evalúa con los Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
Actividad VII-D: Esta actividad se eval
1.- P(-3,4)
Solucion:
R01/0110
163
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
En el ejemplo 3 y 4 se deducen los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo
0
2.- < θ = 70
Solucion:
0
3.- < θ = 124
Solucion:
En base a la actividad
d resolver los ejercicios que están en el anexo VII-D. Este anexo se evalúa con los
Anexos VII-H, VII-I, VII-J
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES:
Tiempo: 5 minutos
Una vez calificados los ejercicios se hará una retroalimentación del tema:
TRABAJO INDEPENDIENTE: Resuelve los ejercicios .Este trabajo independiente se evalúa con los Anexos:
VII-H, VII-J
0
P (-3,5), < θ = 1360
R01/0110
164
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VII
SESIÓN: 51 a 52
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 2.-Identifica, para un ángulo determinado, los segmentos que corresponden a
cada una de las funciones en el círculo Trigonométrico.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Identifica e interpreta las
• Establece
el • Valora la importancia de contar
comportamiento
de
las
con recursos tecnológicos y
tradicionales para la obtención
de los valores de funciones
• Ubica
el
ángulo
de
los cuatro cuadrantes.
trigonométricas para ángulos de
cualquier magnitud.
• Construye las identidades
II, III y IV.
• pitagóricas a partir de • Actúa de manera propositiva al
resolver
los
ejercicios
Definición de las funciones
planteados.
en el plano cartesiano o en
• Asume una actitud constructiva;
• Obtiene gráficamente el • congruente
con
los
valor de una función
conocimientos y habilidades con
trigonométrica midiendo el
los que cuenta, en las
segmento asociado a ella.
actividades
que
le
son
asignadas.
CONOCIMIENTO: Comprende e identifica las funciones trigonométricas asociadas con un punto en el plano.
HABILIDAD Resuelve ejercicios donde utiliza el plano cartesiano y obtiene los valores de las funciones
trigonométricas con el apoyo de la calculadora y asimismo estable el comportamiento de las funciones
trigonométricas.
ACTITUD Valora, actúa y asume una actitud propicia para la resolución de ejercicios dados.
GLOBAL: No aplica
Ortiz Campos, F. (2007). Matemáticas Geometría y Trigonometría. 3ª reimpresión: México. Publicaciones
Culturales.
R01/0110
165
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 51
2. Identifica, para un ángulo determinado, los segmentos que corresponden a cada una de las funciones en el
círculo Trigonométrico.
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES: Pase de lista, calificar las tareas. Trabajaremos con el circulo unitario (circulo trigonométrico)
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 35 minutos
3.2.2. En el círculo unitario
El circulo unitario se denomina “unitario” porque su radio es igual a la unidad.
2
2
2
Tiene su centro en el origen de los ejes coordenados y su ecuación es: r = x + y
Posiblemente recuerdes que la fórmula para calcular la circunferencia es: C = 2πr
Y como en el círculo unitario r = 1, la formula se simplifica: C = 2π
Puesto que la circunferencia tiene 360°, por lo que la expresión anterior puede escribirse así: 360° = 2π
De lo cual se deriva que: 0° = 0 90° = π/2 180° = π 270° = 3π/2, etc.
En consecuencia, los puntos correspondientes a los ejes coordenados son:
Actividad VII-E.-Encuentra, ahora, las coordenadas para los puntos siguientes: Esta actividad se evalúa con los
Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
En base a la actividad resolver los ejercicios que están en el anexo VII-E Este anexo se evalúa con los Anexos
VII-H, VII-I, VII-J
Recuerda que seno corresponde a la ordenada (y) y el coseno corresponde a la abscisa(x).
R01/0110
166
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 52
EÑANZA-APRENDIZAJE
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA
2. Identifica, para un ángulo determinado, los segmentos que corresponden a cada una de las funciones en el
círculo Trigonométrico.
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES: Pase de lista, calificar las tareas.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min.
Ahora ubicamos las funciones en los cuadrantes para ángulos agudos.
El docente se apoya por medio
o de las figuras para la generalización de las funciones trigonomé
onométricas de ángulos
mayores que 90°.Hasta ahora
a se habían o
obtenido los valores de las funciones trigonom
ométricas para ángulos
agudos.
entes ccriterios:
Establezcamos primero los siguientes
En el 1 cuadrante se consideran comprendidos los ángulos entre 0° y 90°.
En el 2 cuadrante se consideran comprendidos los ángulos entre 90° y 180°.
En el 3 cuadrante se consideran comprendidos los ángulos entre 180° y 270°
En el 4 cuadrante se consideran comprendidos los ángulos ente 270° y 360°.
Posición normal o posición
ón estándar en ángulos generados. Ángulo de referencia
referencia.
Un ángulo
ngulo se dice que está en posición normal cuando cumpl
cumple con las características
ticas de que estando en el
plano cartesiano:
• El vértice del ángulo está en el origen del plano.
• El lado inicial del ángulo
gulo contiene al punto (1
(1, O).
Decimos
cimos que un ángulo está en el primer cuadrante
ante cuando el ángulo está en posición normal con lado terminal
en el primer cuadrante. En igual forma se dice de ángulos en el segundo, tercero y cuarto cuadrantes cuando se
habla de ángulos en posición normal cuyos lados tterminales están, respectivamente, en el segundo, tercero y
cuarto cuadrantes:
En el primer cuadrante por α
En el segundo cuadrante por (180 – α )
En el tercer cuadrante por (180 + α )
En el cuarto cuadrante por (360 +α )
En cierta medida, estas relaciones muestran que las funciones trigonométricas so
son periódiicas, para las que 2Π:
(360°) es el periodo.
Actividad VII-F: En cada
da caso obtener el valor de la func
función que se indica. Esta actividad se evalúa con los
Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
R01/0110
167
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
Para funciones en el segundo cuadrante:
1. sen 102°
Como 102° es un ángulo del segundo cuadrante, que se representa por (180° - α), en este caso α = 102° Y
como el seno en el 2dO cuadrante es positivo; entonces:
sen 102 = sen(180 - α) = sen(180 - 102°) = sen 78° = 0.9781
2. cos 162° 13' es un ángulo, también del segundo cuadrante y el coseno es negativo en él, entonces
α = 162° 13'
cos 162° 13' = - cos(1800 - α) = - cos(180 -1621 13') = - cos 17° 47'= - 0.9522
3. tan 96° 8'
Como 96° 8' es ángulo del segundo cuadrante, siendo la función tangente
negativa en él, α = 96° 8' y:tan 96° 8' = - tan(1800 - α) = - tan(180° - 968') = - tan 83° 2' = - 9.306
Para funciones en el tercer cuadrante
4. sen 200°
Como 200° es un ángulo del tercer cuadrante, que se representa por (180° + α), en este caso α.= 200° Y ya
que el seno en ese cuadrante es negativo, tendremos que:
sen 200° = - sen 380° = - sen 20° = - 0.3420
Para funciones en el cuarto cuadrante
5. cos 300°
Como 300° es un ángulo del cuarto cuadrante, que se representa por (360° - α.), en este caso α. = 300° Y ya
que el coseno en ese cuadrante es positivo, se tiene que:
cos 300° = cos(360 - α ) = cos(360 - 300°) = cos 60° = 0.5
6. tan 316°43'
Como 316° 43' es un ángulo del cuarto cuadrante, siendo ahora, α= 316° 43' y siendo negativa la tangente en
ese cuadrante, se tiene que: tan 316° 43' = - tan(360 - α) = - tan(360 - 316° 43') = - tan 43° 17' = - 0.9419
Resolver los ejercicios del Anexo VII-F Este anexo se evalúa con los Anexos VII-H, VII-I, VII-J
FASE DE CIERRE
Se revisaran los ejercicios y se harán los comentarios pertinentes para cada caso.
INTRUCCIONES:
Tiempo: 10 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Este trabajo independiente se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-J
1. sen 200° 12' =
2. tan 211° 37' =
3. cos 320° 17' =
R01/0110
168
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VII
SESIÓN 53 a 54
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 3.-Utiliza las definiciones y el círculo trigonométrico para establecer las
identidades pitagóricas
CONOCIMIENTOS
•
•
•
Identifica e interpreta las
Ubica
el
ángulo
de
II, III y IV.
Reconoce las funciones
trigonométricas en el círculo
unitario como funciones de
un Segmento
HABILIDADES
•
•
•
Establece
el
comportamiento
de
las
los cuatro cuadrantes.
Construye las identidades
pitagóricas a partir de
Definición de las funciones
en el plano cartesiano o en
Obtiene gráficamente el
valor de una función
trigonométrica midiendo el
segmento asociado a ella.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
•
contar
con
recursos
valores de funciones.
trigonométricas para ángulos
de cualquier magnitud.
Actúa de manera propositiva
al resolver los ejercicios
planteados.
Asume
una
actitud
constructiva; congruente con
los
conocimientos
y
cuenta, en las actividades que
le son asignadas.
CONOCIMIENTO: Comprende e identifica las coordenadas y ángulos en los cuadrantes.
HABILIDAD Resuelve ejercicios donde utiliza el plano cartesiano y obtiene los valores de las funciones
trigonométricas con el apoyo de la calculadora y asimismo estable el comportamiento de las funciones
trigonométricas.
ACTITUD Valora, actúa y asume una actitud propicia para la resolución de ejercicios dados.
GLOBAL
Baldor, J. (2006). Geometría Plana y del Espacio. 1ª reimpresión: México. Publicaciones Culturales.
Cultural.
R01/0110
169
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 53
ESTRATEGÍAS DE ENSEÑANZA--APRENDIZAJE
Utiliza las definiciones y el círculo trigonométrico para establecer las identidades pitagóricas
3.-Utiliza
FASE DE APERTURA
ificar los ejercicios de la sesión anterior.
INTRUCCIONES: pase de lista y calificar
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min
Identidades pitagóricas
ven para simpl
simplificar algunos procesos y problemas
emas que
q
se dan en
Las identidades trigonométricas sirven
razonamientos que contienen concepto
conceptos trigonométricos y para resolver lo que posterio
eriormente conoceremos
como ecuaciones trigonométricas.
Las identidades trigonométricas fundamentales
damentales sson identidades básicas que se encuentran
cuentran constantemente
cons
en
los procesos trigonométricos o son muy utilizadas para las simplificacioness en este campo de estudio.
estudio
Vamos a obtenerlas, por demostración::
Una identidad trigonométrica básica
Actividad VII-G.-Ejemplos
Ejemplos de identidad trigonométrica. Esta actividad se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-I,
VII-J
R01/0110
170
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
Identidades trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras.
O bien:
Resuelve los Ejercicios
os que están en el anexo VII
VII-G. Este anexo se evalúa con los Anexos VII-H,
VII
VII-I, VIIJ
1. Apoyándose
dose en la misma figura y con procedim
procedimientos similares, demuestra que:
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES: se aclaran las dudas a los alumnos y se comentan los ejercicios de la actividad.
Tiempo: 10 minutos
H, VII-J
VII
TRABAJO INDEPENDIENTE: Este trabajo independiente se evalúa con los Anexos: VII-H,
R01/0110
171
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 54
3.-Utiliza las definiciones y el círculo trigonométrico para establecer las identidades pitagóricas
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES: pase de lista y calificar los ejercicios de la sesión anterior.
Tiempo: 10 minutos
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min
CÁLCULO DE VALORES 30º 45º 60º.
Considera un triángulo rectángulo e isósceles (Fig.1). ¿Cuánto mide su hipotenusa ? Empleando el teorema
de Pitágoras comprobaremos que h = 2 siendo un triángulo isósceles.
∠A = ∠B
∠A = ∠B = 45 O ya que
Fig. 1
∠A + ∠B + ∠C = 180 O
45º
45º
Así el triangulo anterior está determinado
A partir de este triángulo ( u otro semejante a el ), encontramos que:
Sen 45º =
1
2
=
2
2
Cos 45º =
1
2
=
2
2
Tan 45º = 1
De esta forma hallamos los valores exactos para el ángulo de 45º , la forma decimal que empleamos a menudo
solo son aproximaciones de éstos.
B
Fig.
2
2
A
60
1
D
C
2
Tracemos ahora un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades
Puesto que los ángulos interiores del
triángulo equilátero son congruentes:
<A = <C = 60º
Si BD es una altura del triangulo ABC.
Entonces:
∆ ABD Y ∆ CBD son rectángulos.
Dibujamos por separado el triángulo ∆ ABD
Fig(3)
R01/0110
172
GD-RIEMS-DOC-4208
Fig. 3
B
<B = 30º
Ya que:
<A + <B + <D = 180º
Utilizando el teorema para hallar el valor de
2
BD
2
2
(AB) = (AD) + (BD)
2
A
2
(2) = (1) + (BD)
60º
1
D
4 = 1 + (BD)
2
2
2
2
(BD) = 4 – 1
BD =
3
De esta manera el ∆ABD ha sido resuelto; a partir de este se determinan las funciones trigonométricas de los
ángulos de 30º y 60º .
Sen 30º = 1
2
Sen 60º = 3
2
Cos 30º = 3
2
Tan 30º = 1 = 3
3
3
Cos 60º = 1
2
Tan = 3
Actividad VII-H. Esta actividad se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
En base a los datos anteriores llena la Tabla de resumen de las funciones trigonométricas de 30°,45° y 60°.
FUNCION
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
30°
45°
60°
Resolverlos ejercicios que están en el anexo VII-H. Este anexo se evalúa con los Anexos VII-H, VII-I, VII-J
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES: revisar los ejercicios y aclarar dudas.
Tiempo: 10 min
sen 30 + csc 30
2
2
sen 30 + cos 60
cos 60 + cos 30
2
2
csc 30 + sen 60
R01/0110
173
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VII
SESIÓN 55 a 56
4.-Traza las gráficas del seno, coseno y tangente por medio de puntos calculados en tablas.
5.-Bosqueja las gráficas de seno coseno y tangente con base en su periodicidad y en su caso la existencia de
asíntotas
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Reconoce las funciones
• Construye la gráficas de las
• Valora la importancia de
trigonométricas en el círculo
funciones seno, coseno y
contar con recursos
unitario como funciones de
tangente mediante tablas,
un segmento.
calculadoras gráficas,
computadora.
• Distingue el
• Bosqueja las graficas de las
comportamiento gráfico de
funciones seno, coseno y
las funciones
magnitud.
tangente a partir de sus
trigonométricas seno,
valores máximos y mínimos
coseno y tangente.
e intersecciones con los
ejes cartesianos y en el
caso de la tangente se sus
• Asume una actitud
asíntotas y de su periodo.
constructiva; congruente
con los conocimientos y
cuenta, en las actividades
que le son asignadas.
CONOCIMIENTO:
Comprende e identifica las coordenadas y ángulos en los cuadrantes.
HABILIDAD Resuelve ejercicios donde utiliza el ángulo de referencia con apoyo de la calculadora y
asimismo estable el comportamiento de las funciones trigonométricas y en su caso las asíntotas y su
periodo.
ACTITUD Valora, actúa y asume una actitud propicia para la resolución de ejercicios dados
GLOBAL
Cultural.
R01/0110
174
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 55
4.-Traza las gráficas del seno, coseno y tangente por medio de puntos calculados en tablas.
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES: pase de lista y calificar los ejercicios de la sesión anterior.
Tiempo: 10 min
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 30 min
Las funciones trigonométricas como curvas periódicas.
En este caso haremos la representación gráfica de las funciones trigonométricas auxiliándonos del
procedimiento de representación por puntos. Para ello daremos valores angulares arbitrarios a la variable
independiente x que representa al ángulo y obtendremos los correspondientes valores de la función.
Actividad VII-I. Esta actividad se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
Completa la siguiente tabla apoyándote en el uso de la calculadora:
X
(grados)
0
30
X
(radianes
0
Sen x
Cos x
Tan x
Cot x
Sec x
Csc x
x
1
0
0
±α
1
±α
0

;
45

60

90

120

135

150
H
;
180
Π
210
x
;
225
H
R01/0110
175
GD-RIEMS-DOC-4208
X
(grados)
0
240
X
(radianes
0
Sen x
Cos x
Tan x
Cot x
Sec x
Csc x
x
1
0
0
±α
1
±α
0

270

300
H
315
x
330
360
2Π

;
Actividad VII- J. Esta actividad se evalúa con los Anexos: VII-H, VII-I, VII-J
Hagamos este procedimiento para las gráficas de las funciones trigonométricas.
Para ello usemos la tabla de valores inmediata anterior. Las gráficas de las funciones son a. El Seno: f(x) = y =
sen x: Funcion seno: función real de variable real Dominio: Dom (sen(x))=R
Rango: [-1,1].
b. El coseno: f(x) = y = cos x . Función coseno: función real de variable real .Dominio: Dom(cos(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) [función par].(mínimo) ΠPeriodo: 2 .
c.Tangente: F(x) = y = tg x:Funcion tangente: función real de variable real/2, Π Dominio: Dom(tg(x))=R - {x/x =
(2k+1) Z} qk
Rango: R
Paridad: tg x = - tg(-x) [función impar]
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES:
Tiempo: 10 minutos
Hacer los comentarios de los resultados de las funciones trigonométricas de la tabla y el uso de su calculadora
se analizaran los resultados en especial los que tienden a infinito.
Repasar el uso y manejo de la calculadora así como repasar la obtención de los datos anteriores.
Que grafique las funciones: secante, cosecante y cotangente.
R01/0110
176
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 56
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES: pase de lista y de da las instrucciones para la propuesta de evaluación del bloque.
Tiempo: 5 minutos
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo: 40 minutos
Nombre del asesor:_______________________________________________________
Nombre del estudiante: _______________________________________Fecha:________
Sección I
4.- Calcula el ángulo de elevación del sol, si una
casa de 5 m proyecta una sombra de 10 m
Valor c/u 2 ptos.
INSTRUCCIONES: Subraya la opción que responda
correctamente los siguientes enunciados:
1. Determina los valores de las razones
trigonométricas del seno, coseno y la tangente del
ángulo α:
a)
b)
c)
d)
e)
15.45
30.24
45.03
60.13
26.56
5.-Si el valor de tan α= −
8
y el ángulo se encuentra
6
en el cuarto cuadrante, encuentra el valor de las
funciones seno α y coseno α
6
,
10
8
,
sin α=
10
8
,
sin α= −
10
6
sin α= −
,
10
6
,
sin α=
10
a. sin α= −
a)
b)
c)
d)
e)
y
z
x
,cos α= ;tan α=
z
y
y
x
x
x
sin α= ,cos α= ;tan α=
z
z
y
x
y
x
z
z
y
y
x
x
z
y
y
x
y
x
z
z
z
sin α=
b.
c.
d.
e.
6.- Indica en qué cuadrantes son positivas las
funciones trigonométricas respecto al coseno y
secante de un ángulo:
2. La función Seno se define como
a) Cateto opuesto/hipotenusa
b) Hipotenusa/cateto adyacente
c) Cateto Adyacente /hipotenusa
d) Hipotenusa / cateto adyacente
e) Cateto opuesto/cateto adyacente
3. La función Coseno se define como:
R01/0110
8
10
6
cos α= −
10
6
cos α=
10
8
cos α=
10
8
cos α= −
10
cos α= −
f)
g)
h)
i)
j)
177
primero y segundo cuadrante
primero y tercer cuadrante
primero y cuarto cuadrante
segundo y tercer cuadrante
segundo y cuarto cuadrante
9.- Encuentra el valor numérico de :
GD-RIEMS-DOC-4208
a)
b)
c)
d)
e)
Cateto opuesto/hipotenusa
Hipotenusa/cateto adyacente
Hipotenusa / cateto opuesto
Cateto opuesto /cateto adyacente
Cateto Adyacente /hipotenusa
Sección II
3 tan 45 – 4 sen 30 =
Valor c/u 3 ptos
D
INSTRUCCIONES: Resuelve correctamente los
siguientes problemas y realiza lo que se te pide:
10.-Halla el sen θ , si el cos θ =
y
E
Tan θ es positiva.
7.- Con base en la figura, encuentra los valores de
las funciones y llena la tabla
Función
30
60
11.- Grafica la función trigonométrica seno:
Coseno
Seno
Tangente
8.- Con base en los valores de la tabla anterior y en
las definiciones de las funciones recíprocas llena la
siguiente tabla:
Función
30
60
Secante
Cosecante
Cotangente
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES: Se darán los resultados del bloque en dos sesiones posteriores
Tiempo: 5 min
R01/0110
178
GD-RIEMS-DOC-4208
EVIDENCIAS DE LOGRO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA DEL BLOQUE.
EVIDENCIAS
Porcentaje
1. Obtiene el valor de las solución de ejercicios
5
funciones
trigonométricas Anexo VII-B.
5
utilizando el ángulo de referencia, Anexo VII-B.
5
Anexo VII-D.
tablas o calculadora.
2. Identifica, para un ángulo Solución de ejercicios
5
determinado, los segmentos que Anexo VII-E.
5
corresponden a cada una de las Anexo VII-F
5
funciones
en
el
círculo Anexo VII-G.
Trigonométrico.
3. Utiliza las definiciones y el Solución de ejercicios
5
círculo.
anexo VII-H
Trigonométrico para establecer
las identidades pitagóricas.
4. Traza las gráficas del seno, Ejercicios de Tabulación y
5
coseno y tangente por medio de graficación de la: Actividad VII-I
5
y Actividad VII- J
puntos calculados en tablas.
5.-Bosqueja las gráficas de seno
coseno y tangente con base en
su periodicidad y en su caso la
existencia de asíntotas
ANEXOS
ANEXO VII-A
Instrucciones: Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas, siguiendo los pasos
anteriores descritos en la actividad VII-A. Después compara tus respuestas.
Razón trigonométrica
Valor de la calculadora
Razón trigonométrica
Valor de la calculadora
Sin 75
Sen 15
Cos 75
Cos 15
Tan 75
Tan 15
Sen 65
Sen 25
Cos 65
Cos 25
Tan 65
Tan 25
Sen 120
Sen 60
Cos 120
Cos 60
Tan 120
Tan 60
Sen 150
Sen 30
Cos 150
Cos 30
Tan 150
Tan 30
ANEXO VII-B
Instrucciones: Hallar el valor numérico de las siguientes funciones trigonométricas, siguiendo los pasos
anteriores descritos en la actividad VII-B. Después compara tus respuestas.
Procedimiento algebraico
Procedimiento a seguir
2
2
3 sen 45° + 4 cos 60°
2
Tan 150 + 2 Sen 15
2
2
16 cos 60° + 4 sen 45°
2
2
4 sen 60° + 2 cos 45°
2
2
16cos 60 + 4 sen 45
2
2
4sen 60 + 2cos 45
2
3cos 45 + 4 sen 60
2
2
4sen 60 + 2cos 45
R01/0110
179
GD-RIEMS-DOC-4208
ANEXO VII-D
Dadas las coordenadas de Punto;; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente.
a) A (3, 4),b) B (-6, 5), c) C (-5, -4), d
d)D (4, -5), P(5, -1)
os los ángulos deduce los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo
Dados
0
< θ = 201 .
0
< θ = 666 .
ANEXO –VIIE
Representación grafica
Ángulo
0
Funciones trigonométricas
90
270
-90
-270
Aplicando los conceptos de circunferenci
circunferencia
a unitaria y en base a los ejemplos completa la tabla.
Anexo VII-F
siguientes funciones trigonométricas:
Ejercicios. Obtener el valor de las sigu
1. sen 99° =
2. sen 123°
12' =
3. cos151°=
4. tan
an 127
127° 52' =
5. sen 100° =
6. cos 164° 32' =
7
7. tan 171° 12' =
dose en la misma figura y con procedim
procedimientos similares, demuestra
a que:
q
Anexo VII-G. Apoyándose
R01/0110
180
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
Anexo VII-H
Resolver los ejercicios usando los valores de la tabla y en su caso comprobar el resulta
resultado.
Anexo VII-H
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Lista de cotejo
Matemáticas 1
Institución:
Sesión:
Producto a evaluar: EJERCICIOS
Criterio de evaluación
De Forma
• Portada.
• Desarrollo (datos, procedimiento, formula y resultado).
• Orden.
• Limpieza.
De contenido
R01/0110
Valor
Valor obtenido
5
5
5
5
5
10
20
30
15
100
181
GD
GD-RIEMS-DOC-4208
Anexo VII-I
Matemáticas 1
Institución:
Sesión:
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Desempeño a evaluar: Actitud
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Criterios
1
2
3
4
Sesiones(Actividad)
5
6
7
8
Total
Interés en los temas
Tolerancias hacia las opiniones
de los demás
Respeto
Actitud colaborativa
Actitud investigativa
Solidaridad
Puntualidad
Responsabilidad
Disponibilidad
Modalidad:
Bien (B): Guardaste un desempeño actitudinal coherente con los criterios que a continuación se describen
permitiendo el abordaje y cumplimiento de las actividades de aprendizaje.
Regular (R): La actitud fue coherente con los criterios que se describen a continuación, pero no se logro el
cumplimiento concreto de las actividades de aprendizaje.
Mal (M): No se cumplió con los criterios anteriores.
Anexo VII-J
Profesor:
Alumno:
Semestre y grupo:
Matemáticas 1
Institución:
Sesión:
Desempeño a evaluar: Capacidad de solución de problemas
No.
Indicador
Cumplimiento
Sí
No
1
Interpreto y resolvió correctamente los ejercicios
2
Identifico y aplicó correctamente las formas para
realizar las operaciones
3
Aplico los conceptos y resolvió el problema
4
Entendió y aplicó correctamente el procedimiento
5
Formuló los procedimientos adecuados para la
resolución del problema
6
Entendió el problema, aplico los conceptos y
realizo las transformaciones correspondientes
Calificación de la evaluación:
10.0
R01/0110
182
Ejecución
Ponderación
2.0
1.5
Calif.
1.5
1.5
1.5
2.0
GD-RIEMS-DOC-4208
REGISTRO DE ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE IMPLEMENTADAS
DE UNA SESION DE CLASE POR EL DOCENTE.
Sesión No. ____
FASE DE APERTURA
INTRUCCIONES:
Tiempo:
FASE DE DESARROLLO
INTRUCCIONES:
Tiempo:
FASE DE CIERRE
INTRUCCIONES:
Tiempo:
ANEXOS
NOTA: En este espacio el profesor redactará la estrategia de enseñanza aprendizaje, en el caso de no aplicar la
sugerida en la guía didáctica, así también aplica para diseñar una propuesta de asesoría individual en la
modalidad EMSaD y CSAI. Este espacio se anexará por partida doble al finalizar cada Bloque.
R01/0110
183
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VIII
APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS
UNIDADES DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos
oblicuángulos a partir de la aplicación de las leyes de senos y cosenos en la resolución de problemas que se
derivan en situaciones relacionadas con la aplicación de estas leyes.
Cuantifica y representa magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de las leyes de senos y
cosenos.
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de las relaciones trigonométricas.
1.- Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes se senos o cosenos.
2.- Utiliza la ley de los senos cuando están relacionados lados y ángulos opuestos en un triángulo oblicuángulo.
3.- Utiliza la ley de los cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están involucrados los tres lados o bien
dos de ellos y el ángulo comprendido.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
184
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
DESEMPEÑO
1.- Describe • Identifica las
•
Conocimiento:
• Distingue
• Aprecia
la
los elementos
Leyes
de
situaciones en
utilidad de las
•
Identifica y comprende las
que
se
senos
y
las
que
es
leyes
de
leyes de senos y cosenos
requieren para
cosenos así
posible aplicar
senos
y
para su aplicación.
utilizar
las
como
los
la ley de senos
cosenos para
• Habilidad:
leyes
se
elementos
o la ley de
la resolución
Elabora
un
senos
o
necesarios
cosenos
de triángulos
resumen, en que debe
cosenos.
para
la
identificandolos
oblicuángulos.
comprender definiciones
aplicación de
requerimientos
• -Valora
la
y los casos que se dan
una u otra.
de cada una.
importancia de
• Expresa
en
las leyes de
triángulos oblicuángulos
lenguaje
senos
y
- Resuelve
ordinario
y
cosenos para
ejercicios,
en
donde
matemático las
solucionar
señala que tipo de ley es
leyes de Seno y
problemas
aplicable para cada uno..
Coseno
teóricos
o
• ACTITUD:
prácticos que
• Aporta puntos de vista
involucren
con apertura y de manera
triángulos no
reflexiva.
rectángulos.
2
Utiliza la ley
de los senos
cuando están
relacionados
lados
y
ángulos
opuestos en
un
triángulo
oblicuángulo
Identifica
las
Leyes de senos y
cosenos
así
como
los
elementos
necesarios para
la aplicación de
una u otra.
3
Utiliza la ley
de
los
cosenos
cuando, en un
triángulo
oblicuángulo,
están
involucrados
los tres lados
o bien dos de
ellos
y
el
ángulo
comprendido
Identifica
las
Leyes de senos y
cosenos
así
como
los
elementos
necesarios para
la aplicación de
una u otra.
R01/0110
Aplica las leyes de
seno y coseno
en la resolución
de problemas
Aplica las leyes de
seno y coseno en
la resolución de
problemas.
Actúa
de
manera
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
Propone
maneras
creativas
de
solucionar
un
problema.
Actúa
de
manera
propositiva
al
resolver
los
ejercicios
planteados.
Propone
maneras
creativas
de
solucionar
un
problema.
185
CONOCIMIENTO:
Elabora
recuadro en donde incluye la
fórmula de la ley de senos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios
aplicando la ley de senos, en
donde halla el valor de las
incógnitas señaladas.
ACTITUD:
Aporta puntos de vista con
apertura y de manera reflexiva.
CONOCIMIENTO:
Elabora
recuadro en donde incluye la
fórmula de la ley de senos
HABILIDAD: Resuelve ejercicios
aplicando la ley de Cosenos, en
donde halla el valor de las
incógnitas señaladas. ACTITUD:
apertura y de manera reflexiva
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VIII
SESIÓN 57 a 59
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 1. Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes se senos o
cosenos.
CONOCIMIENTOS
•
Identifica las Leyes de
senos y cosenos así como
los elementos necesarios
para la aplicación de una u
otra.
HABILIDADES
•
•
Distingue situaciones en las
que es posible aplicar la ley
de senos o la ley de
cosenos
identificandolos
requerimientos de cada
una.
Expresa
en
lenguaje
ordinario y matemático las
leyes de Seno y Coseno
ACTITUDES Y VALORES
•
•
Aprecia la utilidad de las
leyes de senos y cosenos
triángulos oblicuángulos.
-Valora la importancia de
las leyes de senos y
cosenos para solucionar
problemas
teóricos
o
prácticos que involucren
triángulos no rectángulos.
CONOCIMIENTO: Identifica y comprende las leyes de senos y cosenos para su aplicación.
HABILIDAD:
- Elabora un resumen, en que debe comprender definiciones y los casos que se dan para la resolución de
triángulos oblicuángulos
- Resuelve ejercicios, en donde señala que tipo de ley es aplicable para cada uno.
ACTITUD: Aporta puntos de vista con apertura y de manera reflexiva.
LIBRO DE MATEMÁTICAS II DE LA DGB (ANEXAR BIBLIOGRAFIA (W.SWOKOWSKI & A. COLE, 2009)
(Revéndiz Olivera, Jimenez Olivera, Morales, & Castillo de Hoyos, 2007)
• Pizarrón
• Marcadores.
• Lista de asistencia
R01/0110
186
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 57
1. Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes se senos o cosenos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador da un panorama general de contenido del bloque así como las competencias que debe de lograr al
término de éste y comenta sobre los saberes, habilidades y actitudes que debe tener los alumnos para estudiar
el bloque VIII.
El facilitador da a conocer las actividades a realizar en esta sesión: definición de triángulo acutángulo y
oblicuángulo.
Tiempo: 10 minutos.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El facilitador explica que para la aplicación de la Ley de Seno y Ley de Coseno debes tener presente lo
siguiente:
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no presenta un ángulo recto, según esta definición son
triángulos oblicuángulos, los isósceles que no tengan ángulo recto en la cúspide y los equiláteros.
Se denomina de dos formas: triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triángulo obtusángulo
si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos el Teorema de Pitágoras.
Se mencionaran ejemplos:
Triángulo acutángulo
Triángulo oblicuángulo
Un triángulo oblicuángulo se dice que esta conocido cuando de el se conocen las medidas de las
longitudes de sus tres lados y la medida de la amplitud de rotación de sus ángulos interiores.
El número mínimo de elementos necesarios para poder resolver a un triángulo, a partir de ellos, es de
tres, los cuales no pueden ser todos ángulos, es decir, al menos debe ser conocido la medida de la longitud de
uno de los lados del triángulo.
En la resolución de triángulos oblicuángulos se presentan 4 pasos a saber:
1.- Dos lados y el ángulo comprendido.
2.- Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados.
3.- Dos ángulos y un lado.
4.- Los tres lados.
Para efectos prácticos en la resolución de los problemas, se sugiere el siguiente formato de triangulo
oblicuángulo.
Donde: “A, B y C” representan los ángulos y “a, b y c” representan los lados.
Observa que:
a es el lado opuesto al ángulo A
b es el lado opuesto al ángulo B
c es el lado opuesto al ángulo C
B
R01/0110
187
c
a
GD-RIEMS-DOC-4208
Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza
• Ley de seno.
• Ley de coseno.
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Con la participación del grupo, el facilitador trata de identificar los aspectos que causaron
alguna dificultad, para reforzar o retroalimentar con la información correspondiente.
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Se solicita a los alumnos que realicen un resumen de los visto en la sesión (Se
anexa al portafolio de evidencias). Este será evaluado con la rúbrica: Anexo VIII-H
En caso de los EMSaD se recomienda se realice un resumen de introducción de las sesiones 8.1, 8.2 y 8.3, así
como las actividades de cada sección.
R01/0110
188
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 58
1. Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes de senos o cosenos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador realiza el pase de lista y da a conocer las instrucciones correspondientes a la
actividad.
Tiempo: 5 minutos.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Posteriormente el facilitador, apoyándose del siguiente texto demuestra y define la ley de Senos.
Para un triángulo oblicuángulo como los casos acutángulos y obtusángulos representados en las figuras, se da
la siguiente relación:
c
γ
h
a
b
α
D
A
Usaremos las letras A, B , C, a, b, c, α , γ ,
β
α en posición estándar para que β
β
B
c
para partes de triángulos. Dado el triángulo ABC, ponemos el
triángulo
quede en el eje positivo. El caso para
figura anterior, pero la siguiente exposición también es si α es agudo.
α obtuso se ilustra en la
Considere la recta que pasa por C paralela al eje y y que cruza al eje x en el punto D. Si hacemos d (C,D) = h,
entonces las coordenadas y de C es h. De la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
Senα =
h
,
b
y h = b Senα
Por consulta al triángulo rectángulo BDC, vemos que
Senβ =
h
,
a
y h = a Senβ
Igualando las dos expresiones para h, nos dará:
b Senα = a Senβ
Que podemos describir como:
Senα Senβ
=
a
b
R01/0110
189
GD-RIEMS-DOC-4208
α
Si ponemos
en posición estándar con C en el eje x positivo, entonces por el razonamiento:
Senα Senγ
=
a
c
Las dos igualdades finales nos dan el siguiente resultado
Sen α Sen β Sen γ
=
=
a
b
c
a
b
c
=
=
Sen α Sen β Sen γ
Para términos prácticos sustituimos
α , β ,γ
por
A, B, C
respectiva mente
Quedando de la siguiente forma:
a
b
c
=
=
Sen A Sen B Sen C
Recibe el nombre del Ley de los senos y que se expresa:
“Las longitudes de los lados de todo triángulo oblicuángulo son directamente proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos a esos lados”
Esta ley se enuncia sin restricciones para todo tipo de triángulos oblicuángulos y se puede descomponer de la
siguiente manera:
a
b
=
Sen A Sen B
a
c
=
Sen A Sen C
b
c
=
Sen B Sen C
La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
• Un lado y dos ángulos (LAA o ALA)
Se cita el siguiente ejemplo:
B
c = 80
a
A
22º
13
b
C
Los ángulos del triángulo están representados por las letras A, B, C y los lados por a, b, c, los
datos que proporciona son:
Ángulos
A = 22º C = 130º
Lados
c = 80
El lado “c” es opuesto al ángulo “C”., por lo tanto para resolver este problema puedes aplicar la
ley de Seno.
R01/0110
190
GD-RIEMS-DOC-4208
El otro caso para aplicar la ley de seno es cuando:
• Tienes dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA). Se cita el siguiente ejemplo;
B
89º
c
a=3
C
A
b=11
Los ángulos del triángulo están representados por las letras
A, B, C y los lados por a, b, c, los datos que proporciona son:
Ángulos
Lados
B=89º
b=11 ; a=3
Tiempo: 40 minutos.
FASE DE CIERRE
alguna dificultad en la explicación, para reforzar o retroalimentar con la información correspondiente.
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: El facilitador pide a los alumnos que elaboren un resumen de la explicación de la
sesión incluyendo en la definición y fórmulas de aplicación de la ley de senos (Se anexa al portafolio de
evidencias). Se califica con el Anexo VIII-H
En el caso de los EMSaD se pide que los alumnos implementen su resumen con lo visto hasta este momento.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 59
1. Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes se senos o cosenos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Recepción de la actividad independiente de la sesión anterior
Presentación del nuevo tema, y del objetivo de la sesión,
Introducción al tema.
El facilitador da un recordatorio del caso de la Ley de Senos, mencionando que ésta se aplica en los
casos cuando sólo conoces un lado del triángulo y dos de sus ángulos, es decir LAA o ALA o bien
cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, es decir, LLA.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Posteriormente otros dos casos posibles, cuando de un triángulo oblicuángulo conocemos:
• Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, conocido como LAL.
• Los tres lados, caso conocido como LLL.
Para estos casos utilizarás la Ley de Coseno
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados,
menos la multiplicación del doble producto de ellos, por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”
Se anexa la demostración en el anexo VIII - A
De esta manera, las fórmulas para aplicar las leyes de Cosenos son las siguientes:
Para encontrar los lados
Para encontrar los ángulos
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc CosA
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac CosB
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab CosC
b2 + c2 − a2
2bc
2
a + c2 − b2
CosB =
2ac
2
a + c2 − c2
CosB =
2ab
CosA =
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Se pide a los alumnos que en equipo de dos resuelvan la actividad del Anexo
VIII-B (Se anexa al portafolio de evidencias). Este será calificado con el Anexo VIII-I
R01/0110
192
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VIII
SESIÓN 60
2. Utiliza la ley de los senos cuando están relacionados lados y ángulos opuestos en un triángulo
oblicuángulo
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
- Actúa de manera propositiva
•
Identifica las Leyes de
• Aplica las leyes de seno y
al resolver los ejercicios
coseno
senos y cosenos así como
planteados.
los elementos necesarios
• en la resolución de
- Propone maneras creativas de
para la aplicación de una u
problemas
otra.
• Solucionar un problema.
CONOCIMIENTO: Elabora recuadro en donde incluye la fórmula de la ley de senos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios aplicando la ley de senos, en donde halla el valor de las incógnitas señaladas.
LIBRO DE MATE II DE LA DGB (ANEXAR BIBLIOGRAFIA
• (W.SWOKOWSKI & A. COLE, 2009)
•
(Revéndiz Olivera, Jimenez Olivera, Morales, & Castillo de Hoyos, 2007)
• Pizarrón
• Marcadores.
R01/0110
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GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 60
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 2. Utiliza la ley de los senos cuando están relacionados lados y ángulos
opuestos en un triángulo oblicuángulo
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Recepción de la actividad independiente de la sesión anterior.
Presentación del nuevo tema, y del objetivo de la sesión.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El facilitador plasma en la pizarra la siguiente figura y explica su solución aplicando la ley de senos.
C
112º
a=2
0
b
4
A
c
B
Primeramente se analizan los datos que proporciona el triángulo
Ángulos
Lados
A = 43º
C = 112º
B= ?
a = 20
b=?
c=?
Se les comenta a los alumnos que en base a los datos que se proporcionan se analice cual es
la ley que se aplicara. (En este caso es la ley de Senos)
Se menciona la fórmula que se aplicará:
a
b
c
=
=
Sen A Sen B Sen C
Pero como ya habíamos visto:
a
b
=
Sen A Sen B
a
c
=
Sen A Sen C
b
c
=
Sen B Sen C
Recordándoles que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180º . Es
decir; A + B + C = 180º
R01/0110
194
GD-RIEMS-DOC-4208
Se halla el valor del ángulo B
A + B + C = 180º
43º + B + 112º =180º
155º + B = 180º
B = 180º - 155º
B = 25º
Se sustituyen los datos que te proporciona el problema:
a
b
=
Sen A Sen B
b
20
=
0
Sen 25
Sen 43
(20)( Sen 25)
Sen 43
b = 12.40
b=
c
20
=
0
Sen 43
Sen 112 0
b
c
=
Sen B Sen C
Este ya no sería necesario
utilizarlo.
(20)( Sen 112 0 )
c=
Sen 43 0
c = 27.20
|
Por lo tanto los datos faltantes del triángulo oblicuángulo son:
Ángulos
Lados:
B=25º
b = 12.40
c = 27.20
Si el tiempo lo permite se le explica otro ejemplo al alumno, lo puede tomar del Anexo VIII-C.
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Se les pide a los alumnos que en binas resuelvan los ejercicios del Anexo VIIID. Será considerado en su portafolio de evidencias. Este será calificado con el Anexo VIII-I
R01/0110
195
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE VIII
SESIÓN 61 a 64
3. Utiliza la ley de los cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están involucrados los tres lados o
bien dos de ellos y el ángulo comprendido.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
- Actúa de manera propositiva al
Identifica las Leyes de senos y Aplica las leyes de seno y coseno
cosenos así como los elementos en la resolución de problemas
resolver los ejercicios planteados.
necesarios para la aplicación de
- Propone maneras creativas de
una u otra.
solucionar un problema.
CONOCIMIENTO: Elabora recuadro en donde incluye la fórmula de la ley de senos.
HABILIDAD: Resuelve ejercicios aplicando la ley de Cosenos, en donde halla el valor de las incógnitas
señaladas.
LIBRO DE MATE II DE LA DGB (ANEXAR BIBLIOGRAFIA
• (W.SWOKOWSKI & A. COLE, 2009)
• (Revéndiz Olivera, Jimenez Olivera, Morales, & Castillo de Hoyos, 2007)
• Pizarrón
• Marcadores.
R01/0110
196
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 61
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 3. Utiliza la ley de los cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están
involucrados los tres lados o bien los de ellos y el ángulo comprendido.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Recepción de la actividad independiente de la sesión anterior
Presentación del nuevo tema, y del objetivo de la sesión,
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El facilitador plasma en la pizarra la siguiente figura y explica la solución aplicando la ley de Cosenos.
Datos:
B
a = ? b = 7 c = 11
A= 65º 15º
B=?
c
C=?
a
65º
A
C
b =7
El ángulo queda comprendido entre los lados, por lo tanto la ley que se ocupara es la Ley de Coseno.
Calculamos el lado “a”
Cálculo del ángulo “B” por Cálculo del ángulo “C”
la ley de Senos.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc CosA
A + B + C = 180º
a 2 = ( 7 ) 2 + (11 ) 2 − 2 ( 7 )(11 ) Cos ( 65 o15 o )
a 2 = 49 + 121 − (154 )( 0 . 3867 )
a
2
= 49 + 121 − 59 . 5518
a 2 = 110 . 4482
a =
a
b
=
Sen A
Sen B
10 . 509
Sen 65 o 15
o
=
65 o15 o + 37 o 53 o + C = 180 o
C = 180 o − 65 o15 o − 37 o 53o
7
Sen B
7 ( Sen 65 o 15 o )
Sen B =
10 . 509
7 ( 0 . 9222 )
−1
B = Sen
=
10 . 509
B = 37 o 53 o
110 . 4482
a = 10 . 509
C = 74 O 52
Lados
Ángulos
a =10.509
B = 37 o 53o
C = 74 o 52 o
Si el tiempo lo permite se le explica otro ejemplo al alumno lo puede tomar del anexo VIII-E
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Se le pide a los alumnos que en binas resuelvan los ejercicios del Anexo VIII-F.
Será considerado en su portafolio de evidencias. Este será calificado con el Anexo VIII-I
R01/0110
197
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 62-63
INDICADOR DE DESEMPEÑO: 3. Utiliza la ley de los cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están
involucrados los tres lados o bien dos de ellos y el ángulo comprendido.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: El facilitador propone ejercicios prácticos, que será resuelto en forma grupal mediante la
técnica de lluvia de ideas. (Queda a criterio del facilitador los ejercicios que serán resueltos).
Ejercicio 1):
Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste de teléfono que está inclinado a un
ángulo de 9º directamente alejándose del sol proyecta una sombra de 21 pies de largo en un terreno nivelado.
Calcule la longitud del poste.
En el triángulo ABC se muestran los datos
dados.
9º
C
a
b
9º
64°
A
64º
c = 21
B
21´
Se calcula primeramente el valor del ángulo Se calcula el valor del ángulo C
B
C = 180º - 64º - 81º
C = 35º
B = 90º - 9º
B = 81º
Para hallar la longitud del poste, es decir, el lado a del triángulo ABC, se procede como sigue:
Aplicando la ley de Senos
Despejando a y calculando:
a
21
=
o
Sen 64
Sen 35 o
21 Sen 64 o
a=
Sen 35 o
a = 33
Así el poste de teléfono mide aproximadamente 33 pies de largo.
R01/0110
198
GD-RIEMS-DOC-4208
Ejercicio 2)
Un punto P a nivel del suelo está a 3 Km al Norte de un punto Q. Un corredor avanza en la dirección N25ºE de
Q al punto R y luego de R a P en la dirección S70ºW. Calcule la distancia recorrida.
R
Se traza la figura de acuerdo a los datos que nos proporcionan,
quedando de la siguiente forma:
70°
P
S
r =3
25°
Q
Como las rectas que pasan por PQ y RS son paralelas, se deduce de geometría que los ángulos alternos
internos PQR y QRS tienen medida de 25º cada uno por lo tanto:
∠PRQ = ∠PRS − QRS
∠PRQ = 70 O − 25 O
∠PRQ = 45 O
Esto nos da la figura siguiente:
R
45°
q
P
110°
r =3
p
25°
Q
Hallamos el valor del ángulo QPR ∠QPR = 180
Aplicando la ley de Senos para calcular q y p.
q
3
=
o
Sen 25
Sen 45 o
q=
3( Sen45 o )
≈ 1 .8
Sen 45 o
O
− 25 O − 45 O = 110 O
p
3
=
o
Sen 110
Sen 45 o
p=
3( Sen110 o )
≈ 4 .0
Sen 45 o
La distancia recorrida p + q, es aproximadamente 4.0 + 1.8 = 5.8 km.
R01/0110
199
GD-RIEMS-DOC-4208
Ejercicio 3).
¿Cuál será la medida de la longitud del cable telefónico que une las casetas A y B de acuerdo con los datos
que se dan en la figura?-
Como los datos que se aprecian en la figura Muestran un triángulo del cual se conoce dos lados y al
ángulo comprendido; es decir, del primer caso, apliquemos por conveniencia, la ley de los cosenos para
obtener AB
( AB ) 2 = ( 512 ) 2 + (1112 ) 2 − 2 ( 512 )(1112 ) Cos 140 o
( AB ) 2 = 262144 + 1236544 − 1138688 ( − 0 . 7660 )
( AB ) 2 = 1498688 + 872235 . 01
( AB ) 2 = 2370923 . 01
AB = 2370923 . 01
AB ≈ 1539 . 78 m
La medida de la longitud del cable telefónico que une las casetas A y B es:
AB ≈ 1539 .78 m
Tiempo: 80 min.
FASE DE CIERRE
Tiempo: 10 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Se les pide a los alumnos que en binas resuelvan los ejercicios del Anexo VIIIG. Será considerado en su portafolio de evidencias. Este será calificado con el Anexo VIII-I.
En el caso de los EMSaD se recomienda realicen los ejercicios de la sección 8.5 del Cuadernillo de
R01/0110
200
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 64
1.- Describe los elementos que se requieren para utilizar las leyes se senos o cosenos.
2.- Utiliza la ley de los senos cuando están relacionados lados y ángulos opuestos en un triángulo oblicuángulo
3.- Utiliza la ley de los cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están involucrados los tres lados o bien
dos de ellos y el ángulo comprendido.
SUGERENCIA DE EVALUACIÓN
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: Solicita a los alumnos que se formen en binas para que den solución a los ejercicios
propuestos.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES: Hallar el valor de los datos faltantes del los siguientes triángulos oblicuángulos.
1) El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73.66° y los lados que se unen en esta
esquina miden 175 y 150 m de largo. Calcula la longitud del tercer lado.
B
c =150
A
a
73.66º
b =175
C
2) Dado el siguiente triángulo oblicuángulo, hallar los datos faltantes.
C
b=40
A
a=34
56º
c
B
3)
Dibuja en tu cuaderno el triangulo oblicuángulo con los datos que se te proporcionan a
continuación y resuelve utilizando la Ley de Seno o Coseno según los datos.
∠ C = 105.5°, a =42.3, c = 83.44
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: Se les pide a los alumnos que entreguen las evaluaciones.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
201
GD-RIEMS-DOC-4208
ANEXOS
ANEXO VIII-A
c(k,h)
γ
h
a
b
α
K(k,0)
•
β
B(c,0)
c
A
Dado el triángulo ABD, ponga α en posición estándar, como se ve en la figura. Se dibuja α como
obtuso, pero lao siguiente también es válido si α es agudo. Considere la línea interrumpida que pasa
por C, paralela al eje y y que cruza al eje x en el punto K (k,0). Si hacemos d (C,K) = h, entonces C
tiene coordenadas (k ,h). Por la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo;
Cosα =
k
y
b
Senα =
h
b
Al despejar k y h tenemos:
y
k = b Cos α
h = b Senα
Como el segmento AB tiene longitud c, las coordenadas de B son (c ,0)y obtenemos lo siguiente;
[
]
a 2 = d ( B , C ) 2 = ( k − c ) 2 + ( h − 0) 2
Fórmula de la distancia.
a = (b Cosα − c) + (b Senα )
Sustituya por k y h.
2
2
2
a 2 = b 2 Cos 2α − 2bc Cosα + c 2 + b 2 sen 2α
Elevar al cuadrado
a = b (Cos α + sen α ) + c − 2bc Cosα Factorize los términos primero y último.
2
2
2
2
2
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc Cosα Identidad de Pitágoras.
•
•
•
•
El resultado es la primera fórmula expresada en la ley de cosenos. Las fórmulas segunda y tercera se
pueden obtener al poner
β y γ , respectivamente, en posición estándar en un sistema de
coordenadas.
Nótese que si α =90º en la figura anterior, entonces Cos α =0 y la ley de los cosenos se reduce a
2
2
2
a =b +c . Esto demuestra que el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de cosenos.
En lugar de memorizar cada una de las leyes de coseno, es más fácil recordar el siguiente enunciado,
que toma a todos ellos en cuenta:
“El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los otros dos lados y
el coseno del ángulo entre ellos.”
R01/0110
202
GD-RIEMS-DOC-4208
ANEXO VIII-B
Identifica que ley aplicar según los datos proporcionados de los siguientes triángulos oblicuángulos
DATOS
Angulo
A =38º
B =32º
C=
Lados
a=
b=
c=
LEY
A=
B=
C=
a=8
b = 11
c=
B
98º
c=4
a=
C
A
b=12
C
a =8
B=11
A
B
c =14
ANEXO VIII-C
B
c=80
a
22º
A
b
130º
C
Primeramente se analizan los datos que proporciona el triángulo
Ángulos
Lados
A = 22º
a=?
C = 130º
b=?
B= ?
c = 80
Se les comenta a los alumnos que en base a los datos que se proporcionan se analice cual es la ley que
se aplicara. (En este caso es la ley de Senos)
Se menciona la fórmula que se aplicará:
a
b
c
=
=
Sen A Sen B Sen C
R01/0110
203
GD-RIEMS-DOC-4208
Pero como ya habíamos visto:
a
b
=
Sen A Sen B
a
c
=
Sen A Sen C
b
c
=
Sen B Sen C
Recordándoles que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180º . Es decir; A + B +
C = 180º
Se halla el valor del ángulo B
A + B + C = 180º
22º + B + 130º =180º
152º + B = 180º
B = 180º - 152º
B = 28º
Se sustituyen los datos que te proporciona el problema:
a
b
=
Sen A Sen B
a
b
=
0
Sen 22
Sen 28 0
Este
no
sería
b
c
=
Sen B Sen C
a
c
=
Sen A Sen C
a
80
=
0
Sen 22
Sen 130 0
b
80
=
0
Sen 130
Sen 28
(80)( Sen 22 0 )
Sen 130 0
a = 39.12
(80)( Sen 28 0 )
Sen 130 0
b = 49.02
a=
necesario
aplicarlo
b=
|
Ángulos
Lados:
a = 39.12
b = 49.02
B=28º
ANEXO VIII-D
Estos ejercicios son propuestas, mas sin embargo queda a criterio del facilitador plantearles algunos y ponerles
la cantidad que el alumno deberá de realizar.
C
Lados
b=?
c=?
a = 10
82º
a=
10
b
5
A
R01/0110
c
Ángulos
O
A = 53
O
B = 82
C = ?
B
204
GD-RIEMS-DOC-4208
C
b=12
a = 21
Lados
b = 12
c=?
a = 21
Ángulos
O
A = 28
B = ?
C = ?
28º
B
c
A
ANEXO VIII-E
Datos:
a = ? b = 12 c = 18
A= 53º
B=?
C=?
B
c =18
A
a
53º
b =12
C
El ángulo queda comprendido entre los lados, por lo tanto la ley que se ocupara es la Ley de Coseno.
Cálculo del ángulo “B” por Cálculo del ángulo “C”
Calculamos el lado “a”
2
2
2
la
ley de Senos.
a = b + c − 2bc CosA
A + B + C = 180º
a 2 = (12) 2 + (18) 2 − 2(12)(18) Cos (53o )
a 2 = 144 + 324 − (432)(0.6018)
a
b
=
Sen A Sen B
a 2 = 468 − 259.97
14 .42
12
=
o
Sen B
Sen 53
a 2 = 208.03
Sen B =
53 o + 41o 39 o + C = 180 o
C = 180 o − 53 o − 41o 39 o
C ≈ 85 o 23 o
12 ( Sen 53 o )
14 .42
12 ( 0 .7986 )
B = Sen −1 =
14 .42
o
o
B ≈ 41 39
a = 208.03
a = 14.42
Lados
Ángulos
a =14.42
B ≈ 41o 39 o
C ≈ 85 o 23 o
ANEXO VIII-F
Estos ejercicios son propuestas, mas sin embargo queda a criterio del facilitador plantearles algunos y ponerles
la cantidad que el alumno deberá de realizar.
B
a=5
77º
C
c=8
Lados
a=5
b=?
c=8
Ángulos
A=?
O
B = 77
C = ?
b
A
R01/0110
205
GD-RIEMS-DOC-4208
C
b=70
A
a = 90
Lados
a = 90
b = 70
c = 40
Ángulos
A =?
B = ?
C = ?
B
c =40
ANEXO VIII-G.
Ahora se presentan dos problemas incompletos, para que encuentres los datos faltantes de los
triángulos oblicuángulos, tomando como base el procedimiento que se te va indicando.
1) Los datos de un triángulo oblicuángulo son b=8.5; c=9.8;
Se analizan los datos:
Lados
Ángulos
a=
A = 52º
b=
B=
c=
C=
A=52º
Dibujar el triángulo oblicuángulo:
Cálculo del lado a:
2
2
2
a = b + c - 2bc cosA
2
a =(___)2+ (___)2-(2)(___)(___)(cos 52°)
2
a =(___) + (___) - (___)(___)
2
a =(___) + (___) -(_________)
2
a =(__________)
a=
________
a=
Cálculo del ángulo B
utilizando la Ley de
Senos.
(
)= (
)
Sen 52 o
Sen B
)(Sen 52 o )
(
)
)
B = Sen −1 = (
Sen B =
(
B=
Cálculo del ángulo C
Por lo tanto los datos
faltantes del triángulo
oblicuángulo son:
R01/0110
A+B+C= 180°
o
52°+ (
) + C = 180°
C=180° - 52° - (
)
C=
Lados
Ángulos
206
GD-RIEMS-DOC-4208
2) Dado el siguiente triángulo oblicuángulo. Hallar los valores faltantes.
B
c
a=8
A
C
b=1129
Analizar datos que nos proporciona
el triángulo
Se
analizará
a
corresponde
Fórmulas a aplicar
que
Lados
Ángulos
caso
a
b
c
=
=
Sen A Sen B Sen C
“La suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180°”
A + B + C = 180
La
Ley
Seno
se
puede
descomponer
en las siguientes relaciones:
Sustituye los datos
proporciona el problema
que
te
1)
a
b
=
Sen A Sen B
3)
b
c
=
Sen B Sen C
(
1)
Sen A
(
3)
A la primera relación
solo falta el valor del ángulo
“A”, entonces despejaremos
y encontraremos su valor:
)= (
Sen
(
( )
Sen A =
(
)
(
Sen
(
( )
a
c
=
Sen A Sen C
2)
(
)=
Sen A
c
Sen C
c
=
Sen C
)= (
Sen A
)
Sen
)
2)
)Sen
)
)
83 o
)
A = Sen (
A =
A + B + C = 180°
(
)+(
) + C = 180°
C= 180° - (
)-(
)
C=
−1
Ahora hay que encontrar el
valor del ángulo C
Encontrar el valor del lado c
(11 .29 )
Sen 83
c=
o
=
c
Sen
( )
)
(11 . 29 ) (
Sen 83 o
c=
c=
Por lo tanto los datos faltantes
R01/0110
Lados
207
Ángulos
GD-RIEMS-DOC-4208
del triangulo oblicuángulo son:
Este ejercicio será calificado con la siguiente rúbrica:
ANEXO VIII-H
RUBRICA DE RESUMEN
Ejecución
De Forma
• Portada.
formula
•
y resultado).
• Orden.
• Limpieza.
De contenido
Total:
Ponderación
Total
5
5
5
5
5
5
10
20
30
10
Anexo VIII-I
Rubrica para evaluar la actividad extra clase.
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.
Resolución de problemas en equipos.
CALIFICACIÓN
10
9
8
7
6
5
___________________
DESCRIPCIÓN
Demuestra total comprensión del problema. Todos los requerimientos de la tarea
están incluidos en la respuesta
Demuestra comprensión parcial del problema. La mayor cantidad de requerimientos
de la tarea están comprendidos en la respuesta.
Demuestra poca comprensión del problema. Muchos de los requerimientos de la
tarea faltan en la respuesta.
Evaluador.
R01/0110
208
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IX
APLICA LA ESTADISTICA ELEMENTAL
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera estadística, aplicando
las medidas de tendencia central y de dispersión.
Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas de información proveniente
de diversas fuentes.
Interpreta y comunica la información contenida en tablas y graficas.
1.- Identifica el significado de las diferentes medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en casos
prácticos.
2.- Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones
contextualizadas.
3.- Utiliza las medidas de tendencia central para analizar, interpretar, describir y comunicar información
proveniente de diversas fuentes.
Tiempo: 8 horas
R01/0110
209
GD-RIEMS-DOC-4208
INDICADOR
DE
Conocimiento
Habilidad
Actitud
Evidencia
DESEMPEÑO
las • Privilegia
el • Conocimiento:
1. Identifica el • -Identifica las medidas • Utiliza
de tendencia central:
medidas
de
diálogo como • Describe
significado
las
media, mediana y
tendencia
mecanismo
de
las
definiciones
de
moda.
central
para
para
la
diferentes
medidas
de
describir,
solución
de
medidas de • Describe
tendencia central y
las
analizar
y
Conflictos.
tendencia
características de las
lo contextualiza en
comunicar
central
medidas de tendencia
su entorno.
• valora
las
información.
(Media,
central.
medidas
de • Habilidad:
Mediana y • -Identifica las medidas • Presenta
tendencia
• Elabora un glosario
Moda) en
inferencia
y
central y de
de dispersión: rango
sobre
los
casos
deducciones a
dispersión
varianza y desviación
conceptos
de la
prácticos.
partir
del
como
típica para datos
estadística
análisis
herramienta
agrupados. Por
elemental.
estadístico
para
el • Actitud:
clases.
basado en las
análisis de la • Demuestra interés,
- Ubica
las
medidas
de
información.
características de la
apertura y respeto
tendencia
• Aporta puntos
medida de tendencia
al
trabajar
por
central y de
de vista con
central
equipo
dispersión
apertura
y
considera los
• Obtiene
las
de
otras
medidas
de
personas de
tendencia
manera
central de datos
reflexiva.
numéricos,
tanto agrupados
como
no
agrupados.
2. Obtiene las • Identifica
las • Utiliza
las • Privilegia
el • Conocimiento:
medidas
de
medidas
de
medidas
de
diálogo
como • Compara
las
tendencia
tendencia
mecanismo
tendencia
central:
medidas
de
central
de
central
para
para la solución
media, mediana y
tendencia central y
datos
describir,
de Conflictos.moda.
explica
el
agrupados
y • Describe
analizar
y
Valora
las
significado en cada
las
no agrupados
comunicar
medidas
de
problema.
características de las
dentro y fuera
información.
tendencia
medidas
de
de situaciones
central
y de • Habilidad:
tendencia central.
• Presenta
contextualizad
dispersión
inferencia
y
• Identifica
las
• Emplea
as
como
deducciones a
medidas
de
adecuadamente las
herramienta
partir
del
dispersión:
rango
formulas
para
para el análisis
análisis
varianza
y
calcular
las
de
la
estadístico
desviación
típica
medidas
de
información.
basado en las
para
datos
tendencia central
medidas
de • -Aporta puntos
agrupados.
Por
en
datos
tendencia
de vista con
clases.
ordenados
y
central y de
apertura
y
- Ubica
las
agrupados.
dispersión.
considera
los • ACTITUD:
características de la
de
otras • Trabaja en equipo
las
medida de tendencia • Obtiene
personas
de
medidas
de
central
de
forma
manera
tendencia
colaborativa
reflexiva.
central de datos
mostrando respeto
numéricos,
entre las opiniones
tanto agrupados
de los compañeros
como
no
asesorando a los
agrupados.
R01/0110
210
GD-RIEMS-DOC-4208
que
tienen
dificultad en la
aplicación de de
las formulas.
3. Utiliza las
medidas
de
tendencia
central
para
analizar,
interpretar,
describir
y
comunicar
información
proveniente de
diversas
fuentes.
R01/0110
• -Identifica
las
medidas
de
tendencia central:
media, mediana y
moda.
• Describe
las
características de
las medidas de
tendencia central.
• -Identifica
las
medidas
de
dispersión: rango
varianza
y
desviación
típica
para
datos
agrupados.
Por
clases.
- Ubica
las
características de
la
medida
de
tendencia central
• -Utiliza
las
medidas
de
tendencia
central
para
describir,
analizar
y
comunicar
información.
• Presenta
inferencia
y
deducciones a
partir
del
análisis
estadístico
basado en las
medidas
de
tendencia
central y de
dispersión
Obtiene
las
medidas
de
tendencia
central de datos
numéricos,
tanto agrupados
como
no
agrupados.
211
•
Privilegia
el
diálogo como
mecanismo
para
la
solución
de
Conflictos.
•
Valora
las
medidas
de
tendencia
central y de
dispersión
como
herramienta
para
el
análisis de la
información.
-Aporta puntos
de vista con
apertura
y
considera los
de
otras
personas de
manera
reflexiva.
•
• CONOCIMIENTO:
• Ordena e interpreta
las medidas de
tendencia central y
de dispersión en
datos ordenados y
agrupados
en
situaciones
contextuales.
• HABILIDAD:
• Realiza ejercicios
aplicando
correctamente las
formulas de datos
ordenados
y
agrupados para el
calculo de medidas
de
tendencia
central
y
de
dispersión.
• ACTITUD:
• Valorará
a
importancia del uso
de las medidas de
tendencia central.
vista
con
la
apertura
y
considera los de
otras personas de
manera reflexiva.
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IX
SESIÓN 65
1. Identifica el significado de las diferentes medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en
casos prácticos.
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
Identifica las medidas de
tendencia central: media,
mediana y moda.
Describe
las
características
de
las
central.
dispersión:
rango,
varianza, y desviación
típica
para
datos
agrupados por clases.
Ubica las características
de
las
medidas
de
tendencia central
HABILIDADES
•
•
•
Utiliza las medidas de
tendencia
central
para
describir,
analizar
y
comunicar información.
Presenta
inferencia
y
deducciones a partir del
análisis estadístico basado
en
las
medidas
de
tendencia central y de
dispersión.
Obtiene las medidas de
tendencia central de datos
numéricos, tanto agrupados
como no agrupados
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
•
Privilegia el diálogo como
mecanismo para la solución
de Conflictos.
Valora las medidas de
dispersión
como
herramienta para el análisis
de la información.
apertura y considera los de
otras personas de manera
reflexiva.
CONOCIMIENTO: Describe las definiciones de medidas de tendencia central y lo contextualiza en su entorno
HABILIDAD Elabora un glosario sobre los conceptos de la estadística elemental
ACTITUD Demuestra interés, apertura y respeto al trabajar por equipo.
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
• Bibliografía (Luis Magaña Cuellar. Matemáticas 3. Estadística y Probabilidad. Compañía editorial
Nueva Imagen) (Mateo Camargo Pérez, Introducción a la probabilidad y estadística. Universidad
Autónoma de Yucatán) (Elena Ruiz, Elvia Ruiz. Probabilidad y estadística, edit. Mc Graw Hill)
R01/0110
212
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 65
prácticos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador mediante una exposición explica el concepto de la estadística y su
clasificación, mencionando la importancia de su utilización, la clasificación de la misma y una pequeña reseña
histórica. Posteriormente se les puede realizar preguntas como las siguientes:
1.- En tu vida diaria, ¿Haz escuchado hablar de la palabra “Estadística”?
2.- Da ejemplos donde se utilice la estadística como herramienta de investigación.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Posteriormente los alumnos se forman en equipo de 5 integrantes para realizar un glosario de términos con las
siguientes palabras: Estadística, Estadística Descriptiva, Estadística inferencial, Media aritmética, Mediana,
moda. (Ver anexo IX-A)
Para ello el docente proporciona apuntes a cada uno de los equipos para armar el glosario de términos.
Posteriormente se invita a un alumno por equipo para que explique los conceptos de acuerdo a la información
recopilada en el glosario.
Se sugiere en el caso de los EMSaD el uso del Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje de
Matemáticas II en las páginas 119-125.
Tiempo: 30 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El facilitador retroalimenta las exposiciones de los alumnos haciendo mención de la
Estadística y de las definiciones de las medidas de tendencia central en nuestra vida diaria. Asimismo se les
comunica que se verá en datos agrupados y no agrupados.
Tiempo: 10 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Pide a los alumnos que de forma individual realicen una investigación sobre las
formulas o reglas que se emplean para calcular las medidas de tendencia central en datos no agrupados
(ordenados) y agrupados.
R01/0110
213
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IX
SESIÓN 66 - 68
2. Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones
contextualizadas..
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
Identifica las medidas de •
tendencia central: media,
mediana y moda.
Describe
las
características
de las •
central.
dispersión:
rango,
varianza, y desviación típica
para
datos
Ubica las características
de
las
medidas
de
tendencia central
HABILIDADES
Utiliza
las
medidas
de
tendencia
central
para
describir, analizar y comunicar
información.
Presenta
inferencia
y
análisis estadístico basado en
las medidas de tendencia
central y de dispersión
numéricos, tanto agrupados
como no agrupados
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Privilegia el diálogo como
mecanismo para la solución
de Conflictos.
Valora las medidas de
dispersión
como
herramienta para el análisis
de la información.
reflexiva.
CONOCIMIENTO: compara las medidas de tendencia central y explica el significado en cada problema.
HABILIDAD: Emplea adecuadamente las formulas para calcular las medidas de tendencia central en datos
ordenados y agrupados
ACTITUD: Trabaja en equipo de forma colaborativa mostrando respeto entre las opiniones de los compañeros,
asesorando a los que tienen dificultad en la aplicación de las formulas.
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
Autónoma de Yucatán) (Elena Ruiz, Elvia Ruiz. Probabilidad y estadística, edit. Mc Graw Hill)
R01/0110
214
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 66 a la 68
2. Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones
contextualizadas.
FASE DE APERTURA
Nota:
En la sesión 65 se propone trabajar con datos aislados.
En la sesión 66 se propone trabajar con datos ordenados (no agrupados)
En la sesión 67 se propone trabajar con datos agrupados.
Por lo que se consideraron 150 min. Que se distribuye de acuerda al criterio de cada docente.
INSTRUCCIONES: El docente al inicia con esta sesión, hace mención que las medidas de tendencia central o
las medidas de posición son valores de la variable que nos indican alrededor de que valor se agrupan el
mayor número de casos en estudio. Las medidas de tendencia central son representativas de toda una
población. Y posteriormente plantea en la pizarra los siguientes ejercicios, donde se calculara las medidas de
tendencia central en cada uno de ellos:
1.- Si en el estado de Quintana Roo se registraron al medio día las siguientes temperaturas: Lunes 23°C,
Martes 26°C, Miércoles 30°C, Jueves 29°C, Viernes 32°C, Sábado 23°C y Domingo 20°C.(ejercicio de datos
aislados)
2.- Un criador de cerdos registro, en 334 partos, el número de lechones por camada y obtuvo el resultado
siguiente (Ejercicio de datos ordenados)
Numero de
Lechones por
Camada
Frecuencia con
Que se presentaron
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
4
6
17
20
30
35
51
52
39
45
21
7
5
3.- Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 80
estudiantes de Cuarto semestre del Colegio de Bachilleres. (Ejercicio de datos agrupados)
1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75
1,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75
1,78 1,77 1,67 1,83 1, 83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,93
1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84
1,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79
1,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76
1,83 1,77 1,75 1,77 1, 77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76
1,76 1, 76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77
Nota: Los ejercicios que se plantean al inicio de la sesión los alumnos la resuelven al término de la explicación
del facilitador.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El guía explica a los alumnos que por lo general los datos se organizan en forma ordenada o agrupada en
intervalos, aunque también existen los datos aislados, dependiendo del número de datos diferentes que se
tengan en la colección. Por ejemplo en una colección de 100 datos se pudiera tener quizá 7 datos diferentes;
pero también se pudieran tener 25 datos diferentes, en el primer caso lo adecuado sería organizarlos y
representarlo de forma ordenada (no agrupados), mientras que en la del segundo caso, lo mejor sería hacerlo
en forma agrupada.
R01/0110
215
GD-RIEMS-DOC-4208
Ejemplos:
1.- Datos aislados.
10 calificaciones: 8, 7, 5, 9,10, 6, 4,10, 3, 9.
2.- Datos ordenados
Datos ordenados
Datos
0
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
11
26
30
19
9
3
2
∑f
3.- Datos Agrupados
Datos agrupados
Intervalos
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
= 100
Frecuencia
12
21
32
19
11
5
∑f
= 100
DATOS AISLADOS
Seguidamente el facilitador explica a los alumnos como se puede calcular la media aritmética en el primer
ejercicio que corresponde a datos aislados, menciona que cuando se tiene pocas observaciones en algún
problema se puede hacer el cálculo con datos aislados como es el caso del primer ejercicio, cuya fórmula se
expresa de la forma siguiente:
N
x=
∑X
i =1
N
∑X
i
o
x=
n
Para la mediana se explica al alumno que es el valor medio de los datos aislados en forma creciente y se
simboliza con la letra ~
x : ya ordenado los datos se obtiene la posición de la mediana con la siguiente formula
Md =
n +1
2
Ejemplo1 (datos aislados):
Cuando la cantidad de datos es par, se ordenan los datos en forma ascendente y luego se determina la
posición central de la mediana.
Dadas las siguientes 10 calificaciones: 8, 7, 5, 9,10, 6, 4, 10, 3 9.
a).-se ordenan los datos de forma ascendente: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9,10, 10
b) -se determina la posición de la mediana:
Md =
10 + 1
= 5.5
2
De acuerdo con el resultado obtenido la mediana esta entre la posición 5 y 6 por lo que se efectuara un
promedio entre los datos que ocupan esas posiciones; esto es:
7+8
~
x=
= 7.5
2
La mediana de las 10 calificaciones es 7.5
c) La moda es el valor que se representa con frecuencia en un conjunto de datos y se representa con la
∧
siguiente simbología ( x ) y para este ejercicio es el 10 y 9 por lo tanto es bimodal
Ejemplo 2(datos aislados):
Cuando la cantidad de datos es impar:
Dados los siguientes tiempos en min.: 2, 2, 4, 5, 6.
R01/0110
216
GD-RIEMS-DOC-4208
a) se determina la posición de la mediana
Md =
5 +1
=3
2
b) La mediana es el número que se encuentra en la tercera posición.
4 min. Es la mediana del conjunto anterior de datos.
c) La moda es el valor que se representa con frecuencia en un conjunto de datos y se representa con la
∧
siguiente simbología ( x ) y para este ejercicio es el 2 por lo tanto es unimodal.
DATOS ORDENADOS
Explica que en el ejercicio 2 como es un ejercicio de datos ordenados se hace la suma de todas las
observaciones y la dividiremos entre el total de las observaciones, le mencionamos que al trabajar con datos
agrupados multiplicamos cada valor de la variable por la frecuencia equivalente y con ello se obtiene la media
aritmética cuya expresión matemática está dada de la siguiente forma:
N
∑f X
i
x=
i
i =1
N
El facilitador argumenta que la manera las sencilla de organizar una colección de datos es ordenarlo de menor a
mayor y presentarlos en un una tabla llamada tabla de distribución de frecuencias, en la cual se va asociando a
cada dato un numero natural llamado frecuencia de dato que, que representa el número de veces que esto se
repite en la colección.
Ejemplo 3. (Datos ordenados)La siguiente colección de datos muestra las calificaciones finales de matemáticas de 45 alumnos del quinto
grado de una escuela primaria. Construir una tabla de distribución de frecuencia y calcular las medidas de
tendencia central.
5
9
8
9
8
7
10
8
8
9
10
8
8
9
6
7
10
7
7
8
8
5
7
6
8
7
9
7
5
8
7
7
7
9
8
9
8
9
9
7
9
9
8
10
7
Paso 1. Se explica que para construir una tabla de distribución de frecuencias en forma ordenada para los 45
datos, se debe observar el número de veces que se repiten cada uno de los datos; 5,6,7,8,9,10, y empleando
marcas de conteo se puede determin.ar la frecuencia de cada uno de ellos.
Calificaciones(x)
5
6
7
8
9
10
Número de alumnos Frecuencia(f)
2
3
12
13
11
4
∑f
= 45
Paso 2. Se obtiene la frecuencia acumulada (Fa). Que es un número natural que representa el número de datos
que son menores o iguales al dato en cuestión
Calificaciones(x)
5
6
7
R01/0110
2
3
12
217
Frecuencia Acumulada (Fa)
2
5
17
GD-RIEMS-DOC-4208
8
9
10
13
11
4
∑f
30
41
45
= 45
Paso 3. Se calcula la frecuencia relativa (fr). Valor que representa la proporción del numero de veces que se
repite un dato en una colección.
Calificaciones(x)
5
6
7
8
9
10
Número de alumnos
Frecuencia(f)
2
3
12
13
11
4
∑f
Frecuencia
Acumulada
(Fa)
2
5
17
30
41
45
% de alumnos
Frecuencia Relativa
(fr)
4.44
6.67
26.67
28.89
24.44
8.89
∑ fr = 100%
= 45
Frecuencia relativa
Acumulada (Fr)
%
4.44
11.11
37.78
66.67
91.11
100
Paso 4. El facilitador explica que la frecuencia acumulada del dato 7 significa que 17 de los 45 alumnos
tuvieron calificación de 7 o menor. En referencia a la frecuencia relativa acumulada del dato 7, se puede
concluir que el 38% de los alumnos obtuvieron calificación de 7 o menor.
Paso 5. Se procede a calcular la media aritmética con la siguiente fórmula:
x=
x1 f 1 + x 2 f 2 .......... ...... + x n f n
=
f 1 + f 2 .......... .......... + f n
∑ xf
∑ f
Paso 6. Se calcula la mediana: valor central que divide en dos partes iguales un conjunto de datos.
Se explica que para este tipo de datos ordenados se pueden presentar dos casos:
Caso 1. Cuando la sumatoria de las frecuencias es impar, la mediana es el valor del dato central, el cual se
obtiene sumando 1 a la frecuencia total y dividiendo la suma entre 2, el resultado de esta operación proporciona
el lugar que ocupa el dato central, que se debe localizar en la columna de frecuencias acumuladas en la tabla
de distribución de frecuencias.
Cuando n es impar el dato central es:
Para este ejercicio es
Md =
Md =
n +1
2
45 + 1
= 23 . Con ello se debe localizar el dato que ocupa el lugar 23, de la tabla
2
de frecuencias en la columna de frecuencias acumuladas se observa que el dato que ocupa el lugar 23 es la
calificación 8; por lo tanto la mediana será ~
x = 8.
Caso 2. Si la suma de las frecuencias es par se sabe, por definición, que la mediana es la media aritmética de
los dos valores centrales, para encontrar esos dos valores centrales se divide la suma de las frecuencias entre
2 y el resultado proporcionara el lugar que ocupa el primer dato central, el cual se localiza en las columnas de
las frecuencias acumuladas, es segundo dato central es el inmediato posterior al primer dato central, una vez
encontrados los datos centrales , se calcula la media aritmética de ellos para obtener la mediana.
Cuando n es par los datos centrales son:(
n
n
) y ( + 1)
2
2
A continuación se muestra un ejemplo para el caso 2.
R01/0110
218
GD-RIEMS-DOC-4208
Calificaciones(x)
5
6
7
8
9
10
2
5
9
12
7
5
∑
Frecuencia Acumulada(Fa)
2
7
16
28
35
40
f = 40
Se tiene que la sumatoria de las frecuencias es 40 y par, por lo tanto se debe encontrar la media aritmética de
los datos centrales. Si se divide 40/2=20; por lo tanto se deben encontrar los dos datos centrales que ocupan el
lugar 20 y 21, respectivamente. De la tabla de frecuencias en la columna de las frecuencias acumuladas, se
observa que el dato que ocupa los lugares 20 y 21 es la calificación 8; por lo tanto la mediana será:
8+8
~
=8
x=
2
Paso 7. Se calcula la moda. Valor o valores que ocurren con mayor frecuencia.
El facilitador explica el procedimiento de cómo obtener la moda en los datos ordenados.
Puede ocurrir que en la distribución de frecuencias de los datos ordenados se encuentren mas de uno con
mayor frecuencia; si dos datos tienen la mayor frecuencia se dice que la distribución es bimodal, y si se tiene
más de dos datos con mayor frecuencia se dice que es multimodal. No es muy común tener distribución con
más de una moda. Para facilitar la localización o cálculo de la moda se hace una tabla de distribución de
frecuencia. Para el ejercicio que se está realizando como ejemplo se tiene:
Calificaciones(x)
5
6
7
8
9
10
2
3
12
13
11
4
En la tabla podemos observar que la de mayor frecuencia es el numero 13 por lo que la moda es la calificación
∧
8.( x =8) y por lo consiguiente es unimodal.
DATOS AGRUPADOS
Explicación del facilitador para la Distribución de frecuencias para datos agrupados
Se explica que para la construcción de las tablas de distribución de frecuencias para datos agrupados se
pueden utilizar diferentes técnicas dado que no hay una regla general. Por lo que se le propone al alumno el
siguiente procedimiento a seguir:
1.- Se ordenan los datos de manera ascendente.
2.- Se calcula el rango del conjunto de datos, restando el dato de menor valor al de mayor valor.
3.- Se divide el rango entre la cantidad de clases o intervalos. Se recomienda proponer entre 5 y 20 clases. El
valor calculado será el tamaño o anchura de cada clase.
Para formar las clases o intervalos:
a) Los extremos izquierdos de los intervalos(limites inferiores de clase) se consideran cerrados(porque el
limite inferior esta incluido en el intervalo) y los extremos derechos(limites superior) se consideran
abiertos(porque el límite superior no forma parte del intervalo)
b) Se consideran cerrados los extremos derecho e izquierdo de los intervalos. Se toma el primer límite
inferior y se le suma el ancho del intervalo para obtener el segundo límite inferior. Se repite este
procedimiento hasta termin.ar.
R01/0110
219
GD-RIEMS-DOC-4208
c) Los límites superiores de los intervalos se encuentran al sumarle al límite inferior el ancho del
intervalo menos uno.
d) Se obtiene la frecuencia de clase contando los datos de cada intervalo.
e) Se determina la marca de clase, o punto medio, al efectuar la semisuma de los límites inferiores y
superior de cada clase.
Ejemplo 4(datos agrupados):
Problema: El director del Colegio de Bachilleres quiere determin.ar el nivel de ingles que tienen sus alumnos.
Para lograr su objetivo, el profesor entrevisto a 100 alumnos a los que les pidió que determinaran, en una
escala de 0 a 100%, que tanto de ingles consideraban que eran capaces de manejar. Los resultados se
muestran a continuación.
10
5
35
80
25
70
5
10
90
100
30
30
50
40
10
20
20
25
45
50
10
5
5
15
20
80
80
10
20
30
50
40
70
10
5
100
30
20
50
10
80
10
50
20
30
80
70
10
15
20
90
100
50
60
80
10
20
40
5
5
80
20
15
10
10
5
5
10
20
5
80
80
90
5
10
20
30
10
5
40
50
40
20
30
10
5
5
10
5
10
90
80
100
10
30
20
10
100
30
5
1.- Se ordena los datos de manera creciente:
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
15
15
15
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
25
25
30
30
30
30
30
30
30
30
30
35
40
40
40
40
40
45
50
50
50
50
50
50
50
50
50
70
70
70
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
90
90
90
90
100
100
100
100
100
2.-Luego se calcula el rango
RANGO= VALOR MAYOR- VALOR MENOR
RANGO= 100- 5= 95
3.-A continuación se obtiene el número de clases o intervalos
Recuerden que esto debe ser de 5 ≤c≤20.
Así, 95/12 = 7.91
8
Por lo que con ello se obtiene 12 clases de tamaño 8, que se ilustra en la siguiente tabla:
4.- Se obtiene la frecuencia (fi), para ello se busca el número de datos que esta dentro de cada límite real de
clase.
Limite real
De clase
5-13
13-21
21-29
R01/0110
Frecuencia(f)
35
16
2
220
GD-RIEMS-DOC-4208
Limite real
De clase
29-37
37-45
45-53
53-61
61-69
69-77
77-85
85-93
93-101
Frecuencia(f)
10
5
9
1
0
3
10
4
5
∑f
i
5.- El siguiente paso consiste en obtener el punto medio, o marca de clase (xi). para obtenerlo se usa la
siguiente fórmula:
xi =
LRI + LRS
2
Limite real
De clase
5-13
13-21
21-29
29-37
37-45
45-53
53-61
61-69
69-77
77-85
85-93
93-101
R01/0110
Marca de clase(m)
5 + 13
2
13 + 21
2
21+ 29
2
29 + 37
2
37 + 45
2
45 + 53
2
53 + 61
2
61+ 69
2
69 + 77
2
77 + 85
2
85 + 93
2
93 + 101
2
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
221
GD-RIEMS-DOC-4208
6.- Ahora se calcula la frecuencia acumulada (Fa ), la cual se obtiene mediante la suma sucesiva de cada una
de las frecuencias.
Frecuencia(f)
35
16
2
10
5
9
1
0
3
10
4
5
∑f
Frecuencia Acumulada (Fa)
35
51
53
63
68
77
78
78
81
91
95
100
= 100
7.- Determinamos la frecuencia relativa (fr). Para obtenerla usamos la siguiente formula:
fr =
f
∑f
Frecuencia(f)
35
16
2
10
5
9
1
0
3
10
4
5
∑f
fr =
Frecuencia Relativa (fr)
%
f
∑f
35/100
16/100
2/100
10/100
5/100
9/100
1/100
0/100
3/100
10/100
4/100
5/100
35%
16%
2%
10%
5%
9%
1%
0
3%
10%
4%
5%
= 100
8.- En el siguiente paso se obtiene la frecuencia relativa acumulada (Fr).Para ello se emplea la siguiente
fórmula:
fr =
fa
∑f
Frecuencia acumulada(fa)
35
51
53
63
68
77
78
78
R01/0110
fr =
fa
∑
35/100
51/100
53/100
63/100
68/100
77/100
78/100
78/100
f
%
0.35=35%
0.51=51%
0.53=53%
0.63=63%
0.68=68%
0.77=77%
0.78=78%
0.78=78
222
GD-RIEMS-DOC-4208
Frecuencia acumulada(fa)
fr =
81
91
95
100
fa
∑
f
81/100
91/100
95/100
100/100
%
0.81=81%
0.91=91%
0.95=95%
100%
Con todas las tablas construidas ya se puede construir la tabla de distribución de frecuencias y a partir de ahí
se podrá encontrar las medidas de tendencia central:
Limite
Frecuencia
Marca de
Mf
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia Relativa
real
(f)
clase(m)
Acumulada
Relativa(fr)
Acumulada(Fr)
De
(Fa)
%
%
clase
5-13
35
9
315
35
35
35
13-21
16
17
272
51
16
51
21-29
2
25
50
53
2
53
29-37
10
33
330
63
10
63
37-45
5
41
205
68
5
68
45-53
9
49
441
77
9
77
53-61
1
57
57
78
1
78
61-69
0
65
0
78
0
78
69-77
3
73
219
81
3
81
77-85
10
81
810
91
10
91
85-93
4
89
356
95
4
95
93-101
5
97
485
100
5
100
∑f
= 100
∑ mf
=
3540
9.- A continuación se calcula las medidas de tendencia central, haciendo uso de la tabla de distribución de
frecuencias.
a) Cálculo de la media aritmética
Formula a emplear:
x=
m1 f1 + m 2 f 2 ................ + mn f n
=
f1 + f 2 .................... + f n
∑ mf
∑ f
=
3540
= 35.4
100
b) Cálculo de la mediana.
Formula a emplear para calcular la mediana.
n

 − fa 
~
c
x = Li +  2
 f 




Donde:
Li= limite real inferior de la clase mediana.
,n= frecuencia total o suma de frecuencias.
,fm= frecuencia de la clase mediana.
,fa= frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
C= amplitud del intervalo de la clase mediana.
c) Cálculo de la moda.
R01/0110
223
GD-RIEMS-DOC-4208
Formula a emplear
 d1
xˆ = Li + 
 d1 + d 2

C

Donde:
Li= limite real inferior de la clase modal.
,d1= Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia inmediata inferior.
d1= Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia inmediata superior
C= amplitud de la clase modal
El docente aclara dudas en cada una de las sesiones a los alumnos de lo que se explico en datos aislados,
ordenados y agrupados..
La fórmula para calcular la mediana es la siguiente:
Md = Li + {[n/2 facum (i-1)]/ f mediana}
Tiempo: 30 min. Para datos aislados, 30 min. para datos ordenados, 30 min. para datos agrupados
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: En cada una de las sesiones el docente retroalimenta los ejercicios de datos aislados,
ordenados y agrupados
Tiempo: 10 min. para datos aislados10 min. para datos ordenados, 10 min. para datos agrupados
TRABAJO INDEPENDIENTE: Pedir a los alumnos que resuelvan ejercicios por equipo donde aplique lo
comprendido en la sesión de clases y lo relacionen en su contexto. (Anexo IX-B)
En los EMSaD se sugiere realice en equipo de 4 integrantes los ejercicios 1-5 de las páginas 129 y 130.
R01/0110
224
GD-RIEMS-DOC-4208
BLOQUE IX
SESIÓN 69 - 71
3. Utiliza las medidas de tendencia central para analizar, interpretar, describir y comunicar información
Nota: para lograr la unidad de competencia: construye e interpreta modelos que representan fenómenos o
experimentos de manera estadística, aplicando medidas de tendencia central y de dispersión.
En la sesión 68 se explicara cuales son las medidas de dispersión y en la sesión 69 el alumno realizara
ejercicios que abarquen medidas de tendencia central y de dispersión.
En la sesión 70 el alumno aprenderá a construir graficas a partir de la tabla de frecuencias
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Identifica las medidas de
• Utiliza
las
medidas
de • Privilegia el diálogo como
tendencia
central:
media,
tendencia
central
para
mecanismo para la solución de
mediana y moda.
describir, analizar y comunicar
Conflictos.
información.
• Describe las características de
• Valora
las
medidas
de
las medidas de tendencia • Presenta
tendencia
central
y
de
inferencia
y
central.
dispersión como herramienta
análisis estadístico basado en
para
el
análisis
de
la
dispersión:
rango,
información.
varianza, y desviación
central y de dispersión.
• Aporta puntos de vista
con
típica
para
datos
otras personas
de manera
numéricos,
tanto
• Ubica las características de
reflexiva.
agrupados
como
no
agrupados
central
CONOCIMIENTO: Ordena e interpreta las medidas de tendencia central y de dispersión en datos ordenados y
agrupados en situaciones contextuales
HABILIDAD: Realiza ejercicios aplicando correctamente las formulas de datos ordenados y agrupados para el
cálculo de medidas de tendencia central y de dispersión.
ACTITUD: Valora la importancia del uso de las medidas de tendencia central.
• Temario
• Pintaron
• Marcadores
Autónoma de Yucatán) (Elena Ruiz, Elvia Ruiz. Probabilidad y estadística, edit. Mc Graw Hill) ( Ignacio
Lizarraga, Estadística, Mc Graw Hill)
R01/0110
225
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 69
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador al iniciar la sesión pide que entreguen los ejercicios dejados en la sesión
anterior para calificarlo, para ello empleara una lista de cotejo (Anexo IX-C), posteriormente explicara la
importancia de las medidas de dispersión en los problemas contextuales.
En la cual textualmente explica lo que significa el Rango, Desviación media, Varianza y desviación estándar.
Se recomienda a los asesores de los EMSaD apoyarse del Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje
de las páginas 125-128.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El docente propone en la pizarra la siguiente tabla de datos que corresponde a calificaciones de alumnos del
segundo semestre de matemáticas 2.
2
Calificaciones(x)
Número de alumnos
(x)(f)
( X − X )2
f (X − X )
X−X
Frecuencia(f)
5
2
6
5
7
9
8
12
9
7
10
5
∑
f = 40
Con ello se le pide al alumno que obtenga la media aritmética y posteriormente se le va guiando para llenar los
datos faltantes de la tabla.
Al término del llenado de la tabla se hace un recordatorio del rango y luego se le orienta para que calcule la
desviación media con la utilización de la siguiente fórmula:
Desviación Media= D .M =
∑ (f
∑
x−x
)
f
∑ [ f (x − x ) ]
2
Luego se calcula varianza: σ =
∑
Y por último la desviación estándar = s =
f
∑ [ f (X
∑
− X
)2 ]
f
Cuando ya se halla calculado las medidas de dispersión se hace la interpretación de cada uno de ellos y se
propone otra tabla pero con datos agrupados:
mf m − X
Intervalos Marca(m) f
(m − x )2 f (m − x )2
1-5
6-10
11-15
16-20
21-25
26-30
R01/0110
3
8
13
18
23
28
14
32
28
16
13
7
∑f
= 110
226
GD-RIEMS-DOC-4208
Seguidamente se guía al alumno a obtener las medidas de dispersión con las siguientes formulas:
∑(f m − x )
Media= D.M =
∑f
∑ [ f (m − x ) ]
2
Luego se calcula varianza:
σ =
∑f
∑ [ f (m − X ) ]
∑f
2
Y por último la desviación estándar = s =
Al termino de este ejercicio se le dice a los alumnos que para los datos aislados se le puede obtener las
medidas de dispersión adecuando las formulas.
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El docente aclara dudas de los ejercicios vistos en la sesión de clases y les sugiere que
practiquen los ejercicios
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Tarea por equipo (Anexo IX-D).
En el caso de los EMSaD se sugiere realicen en quipo de 4 integrantes los ejercicios del 6 -11 de las páginas
130-131.
R01/0110
227
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 70
FASE DE APERTURA
Nota:
En la sesión 68 se propone trabajar con la explicación de las medidas de dispersión y como calcular cada una
de ellas.
En la sesión 69 se propone que los alumnos resuelvan un ejercicio por equipo donde calculen las medidas de
tendencia central y de dispersión.
INSTRUCCIONES: El facilitador al iniciar la sesión pide la tarea de la sesión anterior y lo revisara con una lista
de cotejo (Anexo IX-C) y posteriormente se les pide a los alumnos se integren en equipo de 5 personas, para
la resolución de un ejercicio por equipo, seguidamente se pide a cada representante de equipo que pase por el
ejercicio que va a resolver por equipo, dichos ejercicios el docente ya los lleva debidamente escrito en hojas en
blanco con sus respectivas instrucciones (Anexo IX-E). Al término de la repartición de los ejercicios se le
solicita a cada equipo que entregue los ejercicios de la sesión anterior.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El guía monitorea la actividad que los alumnos están realizando por equipos y los evalúa con una lista de cotejo
(Anexo IX-F)
Revisa la tarea entregada por los alumnos.
El docente aclara dudas de los alumnos que van surgiendo al resolver el ejercicio.
Va preguntando por el avance de la tarea encomendada.
Al término de la tarea los equipos pasaran frente al grupo a explicar en qué consisten los valores encontrados.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El docente realiza comentarios generales sobre la actividad que realizaron los alumnos.
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Traer una representación grafica (circular, de barra, etc) realizada en Excel por
equipos relacionado a un problema de su contexto.
R01/0110
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Sesión 71
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El asesor sugiere que un integrante de equipo pase frente al grupo y platique sobre la
grafica que trajo.
Con ello se puede observar que los alumnos manejan la tecnología para la realización de la actividad solicitada.
Tiempo: 10 min.
ASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El guía explica mediante el empleo de Excel como se pueden construir distintos tipos de graficas como son: el
polígono de frecuencias, el histograma, el diagrama circular o de pastel.
Explica claramente los datos que debe de llevar cada tipo de graficas, por ejemplo: El encabezado, el titulo de
los ejes (horizontal y vertical)
Para ello se sugiere que entre con los alumnos en el laboratorio de informática para que los alumnos construyan
al mismo tiempo las graficas junto con el guía.
Al término de la construcción de cada grafica el guía hace preguntas a los alumnos del significado que
representa cada grafica.
En el caso de los EMSaD se sugiere que el asesor explique brevemente el tipo de graficas que se pueden
realizar y mostrar ejemplos de ello.
Ejemplos de graficas:
R01/0110
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Tiempo: 30 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El docente realiza comentarios generales sobre la construcción de las graficas.
Tiempo: 10 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Estudiar para la evaluación del bloque que tiene una calificación de 30% del
bloque.
R01/0110
230
GD
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Sesión 72
prácticos
2.- Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de
situaciones contextuales.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES: El facilitador hace entre de los exámenes a los alumnos en donde obtendrán la calificación
del 30% de bloque
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
El guía aplica la evaluación y vigila que cada alumno este resolviendo su examen del bloque IX.
Nota: la evaluación que se propone para esta sesión es la siguiente:
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE QUINTANA ROO.
DIRECCION GENERAL.
MATEMATICAS II.
NOMBRE DEL ALUMNO:__________________________________________GRUPO:_________
NOMBRE DEL MAESTRO:_________________________________________FECHA:__________
SECCION I.
Valor: 100 puntos (30% del bloque)
INSTRUCCIONES: Resuelva correctamente los siguientes ejercicios (10 puntos cada inciso)
1.- Un grupo de fabricantes de de llantas quiere saber la duración de su producto, según el uso de diferentes
conductores. Para obtener esta información, los fabricantes toman una muestra de 100 de sus compradores,
quienes reportaron la duración de sus llantas en miles de kilómetros.
55
59
60
48
59
63
56
55
54
53
50
56
61
68
68
64
58
49
65
47
45
68
56
50
51
55
61
73
65
60
55
57
49
69
50
52
56
56
52
55
40
67
43
67
72
53
49
68
45
71
65
48
76
56
40
41
56
73
56
48
42
74
65
77
78
60
49
60
45
65
76
62
45
44
65
69
75
40
45
43
79
67
49
66
43
75
67
45
67
67
68
42
67
75
79
45
76
70
77
60
Calcular o realizar:
a) Construya una tabla de distribución de frecuencias, dividiendo el conjunto de datos en 10 clases.
b) Con esos datos, calcula la duración promedio de las llantas y su varianza.
c) Traza un histograma para las clases de frecuencias encontradas.
d) Usando las formulas respectivas, encuentre la mediana y la moda de la duración de las llantas y
compáralas con la media encontrada.
e) Calcula la desviación media
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES: El docente dice a los alumnos que se entregara resultados en la próxima sesión
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE: Leer conceptos básicos de probabilidad.
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Nota: En el caso de los EMSaD se recomienda realice la lectura que se encuentra en su cuadernillo
Procedimientos para el aprendizaje en las páginas 131
131-132.
132. Posteriormente realicen un cuadro sinóptico o un
esquema en su libreta.
ANEXOS
Anexo IX-A.
Lista de palabras que se sugieren para la elaboración del Glosario.
1.- Estadística
2.- Estadística Descriptiva
3.- Estadística inferencial
4.- Media aritmética
5.- Mediana
6.-Moda.
7.-Datos
8.- variables
9.- Población
10.-Muestra
11.-Histograma
12.-poligono de frecuencias
13.-Poligo no acumulativo.
14.- ojiva.
15.-Intervalo.
16. Rango.
17.- Frecuencia
18.-Limite inferior y superior
19.-Limites reales.
20.-Marca de clase
21.- Amplitud de intervalo
Anexo IX-B
Problemas que se sugiere para el alumno.
Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4.8; 2.5; 6.0; 3.9 y una quinta nota que no
1.-Un
recuerda. Si su promedio fue 4.6,, calcula la nota que falta.
2.- Dos alumnos obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las mismas notas?
Justifica numéricamente tu respuesta.
3.-En una oficina, el jefe gana $ 540.000 y tres empleados ganan $ 100.000, $ 155.000 y $165.000,
respectivamente. La media aritmética de los sueldos, ¿es un valor representativo de esos sueldos?
4. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes
tes resultados:
5 de 2”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”.Calcula
”.Calcula la longitud media de la muestra.
5.- Dada la siguiente tabla elabora una tabla de distribución de frecuencia y calcula las medidas de tendencia
central vistas en las sesiones de clases.
6.- La siguiente
iente tabla es una distribución de frecuencias de las estaturas de 100 estudiantes hombres de la
Universidad de Quintana Roo, calcular las medidas de tendencia central
central.
R01/0110
232
GD
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Estatura en pulgadas
Número de estudiantes
60
5
65
18
68
42
71
27
74
8
Total
100
Anexo IX C
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
PRODUCTO A EVALUAR.: Resolución de problemas en equipos, que permitirán identificar si los alumnos
encontraron correctamente las medidas de tendencia central.
N° Indicador
1
2
3
4
5
matemáticos.
30
30
10
10
expectativas
esperadas:
ordenada,
clara,
organizada y es fácil de leer.
20
__________________
Evaluador.
Anexo IX D
Problemas o ejercicios a resolver.
Instrucciones: Resuelva correctamente los siguientes ejercicios, donde calculara las medidas de dispersión.
Según sea el caso.
Ejercicios o problemas propuestos:
1.-La siguiente tabla muestra la distribución de de los errores de ortografía encontrados en una cuartilla de
dictado realizado a 40 alumnos:
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#
de
errores
2
3
5al
8
9
13
Frecuencia
2
7
12
10
6
3
Calcular: a) La desviación media y b) La desviación estándar
2.- Los siguientes datos indican las masas en kg de los 40 integrantes de un equipo profesional de beisbol.
Masa en Frecuencia
kg
60-66
10
67-73
9
74-80
9
81-87
7
88-94
5
Calcular: a) La desviación media y b) La desviación estándar.
3.- Calcular la varianza de los siguientes datos: 9, 12, 7, 11, 15, 6.
Anexo IX E
Ejercicios propuestos para realizar por equipo en el aula.
Nota: se sugiere que se integren 6 equipos, y que dos equipos trabajen un mismo ejercicio para que compartan
sus puntos de vista con el equipo contrario y así enriquecer las participaciones.
1.- Un constructor, para asegurarse de la calidad de su obra, tomo seis muestras de concreto y obtuvo los
siguientes resultados:
Numero
Resistencia del concreto
2
Kg/cm
de
muestras
1
358
2
369
3
363
4
358
5
336
6
341
Determinar las medidas de dispersión y de tendencia central
2.- Las calificaciones finales de 60 estudiantes de una escuela dada tienen la distribución que indica. Encuentre
las medidas de dispersión y de tendencia central.
Frecuencias
Clases
30-39
6
40-49
8
50-59
10
60-69
14
70-79
11
80-89
7
90-99
4
3.- Comprometidos en una investigación sobre los empleados de un supermercado, acopiamos datos sobre
diversas variables, una de las cuales es la edad. La información es la siguiente:
R01/0110
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32
41
32
34
42
28
28
20
37
32
34
42
20
44
20
37
29
30
30
22
35
24
37
40
30
22
28
45
24
26
40
30
30
35
26
18
26
44
28
24
22
32
18
26
44
28
30
28
40
18
27
18
28
22
35
20
25
27
18
35
24
26
26
26
32
45
28
20
26
32
Calcular las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central.
Anexo IX E.
Lista de cotejo
DOCENTE:
ALUMNO:
SEMESTRE Y GRUPO:
INSTITUCIÓN:
TEMA:
FECHA:
N°
Indicador
Reconocen,
identifican
y
plantean
1
2
de todos.
3
4
Evalúan tanto el avance hacia la solución como
5
la solución
6
Ejecución
Ponderación
Total
Observaciones
20
10
10
20
20
20
___________________
Evaluador.
Anexo IX G
Lista de cotejo para la evaluación final.
La presente guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo a los reactivos de la prueba
objetiva y deberá colocarse un 1 en ejecución si el estudiante cumplió con cada indicador o un 0 si no cumplió
con él, en este caso se debe poner la justificación en la columna de observaciones la razón del no
cumplimiento.
Para obtener la puntuación de cada indicador, se deberá multiplicar el valor de la Ejecución por el valor de la
Ponderación; el valor obtenido se colocará en la columna de Total.
La calificación final se obtendrá de la suma de los valores de la columna de los totales de cada indicador.
Instancia educativa: _______________________________________ Fecha: _________________
Nombre del alumno: ___________________________________________________________________
Número de
Indicador
indicador
1
20
Identifica si el problema corresponde a
R01/0110
235
GD-RIEMS-DOC-4208
datos agrupados, ordenados o aislados.
Usa la calculadora como herramienta de
apoyo para realizar el trabajo.
Utiliza las formulas adecuadas para la
resolución del ejercicio.
Asigna significados a las medidas de
tendencia central y de dispersión.
Utiliza modelos matemáticos para
describir situaciones donde interprete las
graficas de un problema contextual
Resuelve problemas de la vida cotidiana
empelando las medidas de tendencia
central y de dispersión.
2
3
4
5
6
10
10
15
15
30
Calificación final
_____________________________________
Nombre y firma del facilitador.
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BLOQUE X
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera probabilística, a través
de la aplicación de la probabilidad clásica así como de las reglas de la suma y del producto.
Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas de información proveniente
de diversas fuentes.
Interpreta y comunica la información contenida en tablas y gráficas.
4.1
5.1
5.4
5.6
6.1
7.1
8.1
8.2
8.3
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de
1. caracteriza eventos de naturaleza determinista así como aleatoria y establece la diferencia entre ellos.
2. Dada una situación en la que interviene el azar establece el espacio muestral.
3. Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades para la resolución de problemas de eventos
compuestos, independientes o dependientes.
Tiempo asignado: 8 horas
R01/0110
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BLOQUE X
SESIÓN 73
1. Caracteriza eventos de naturaleza determinista así como aleatoria y establece la diferencia entre ellos.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
Distingue
entre
eventos Determina cuándo un evento es de Valora la importancia de los
deterministas y aleatorios.
naturaleza determinista o aleatoria. números reales para expresar todo
tipo de magnitudes (variables,
constantes, discretas o continuas).
CONOCIMIENTO: Elabora los conceptos de evento determinista y de evento aleatorio.
HABILIDAD:
Identifica en su libreta los eventos deterministas de los eventos aleatorios de una lista de
eventos presentados.
ACTITUD: Valora la importancia del cálculo de probabilidades en situaciones de la vida real, el trabajo individual
y en equipo.
Ruiz, E., & Elvia, R. (2006). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill.
Fuenlabrada, S.(2004). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill
R01/0110
238
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Sesión 73
1. Caracteriza eventos de naturaleza determinista así como aleatoria y establece la diferencia entre ellos.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES
El facilitador da un panorama general de contenido del bloque así como las competencias que debe de lograr al
término de éste y comentará sobre los saberes, habilidades y actitudes que debe tener los alumnos para
estudiar el presente bloque. Asimismo dará a conocer el tema esta sesión: Conceptos Básicos de
Probabilidad, eventos deterministas y eventos aleatorios.
Para inducir al tema, el facilitador presentará las siguientes situaciones:
1. ¿Qué sucede si se mete la mano en agua caliente? ¿Qué tanta seguridad hay de esto suceda?
2. ¿Qué posibilidad hay de que mañana caiga una fuerte lluvia?
3. ¿Cuál es su relación con la probabilidad?
Para complementar las respuestas del grupo, el facilitador hará una breve introducción respecto a la
importancia de la probabilidad en situaciones de la vida real y su relación con los juegos de azar. Asimismo
señalará la necesidad de conocer algunos conceptos básicos de la Probabilidad antes de iniciar su estudio.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.1. Lectura comentada
El facilitador divide al grupo en equipos de tres integrantes y les proporciona la lectura del Anexo X-A. Cada
uno de los equipos realiza dicha lectura enfocando su atención a los siguientes conceptos: azar, experimento
determinista, experimento aleatorio, evento imposible, evento seguro; posteriormente, con la ayuda del
facilitador se comenta la información hacia todo el grupo.
Se procura que durante la sesión de comentarios los alumnos proporcionen ejemplos de los conceptos antes
revisados.
Actividad 10.2 Ejercicio
El facilitador proporciona una lista de eventos a cada equipo para la identificación de los conceptos revisados.
Ejercicio 1. Determina cuáles de los siguientes sucesos son aleatorios y cuáles son deterministas. Al termin.ar
compara tus resultados con los de un compañero o compañera y discutan las diferencias que tengan.
_____________________
a) Lanzar una pelota al aire y que caiga al suelo.
b) Que la selección mexicana gane el próximo Mundial de Fútbol.
_____________________
c) El sexo de un niño recién gestado.
_____________________
d) Pronosticar un tsunami en nuestras costas.
_____________________
e) Pronosticar que mañana lloverá en nuestra comunidad.
_____________________
f)
_____________________
El tiempo que tardas en llegar a la escuela.
g) La rapidez con que llegará al suelo una piedra que es lanzada desde una roca
al mar.
_____________________
h) Saber qué día de la semana es mañana.
_____________________
R01/0110
239
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i)
La calificación que obtendrás en tu próxima prueba de matemáticas.
_____________________
j)
La estatura que tendrá un joven al cumplir los 15 años.
_____________________
k) Que se encienda la luz al apretar el interruptor.
_____________________
l)
_____________________
Saber cuánto tiempo tardará tu profesor o profesora en preparar la próxima
prueba.
m) Efecto de un tratamiento de cáncer en un paciente.
_____________________
Tiempo: 35 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES
El facilitador recupera los conceptos más relevantes, evento determinista y evento aleatorio, con la participación
del grupo y aclara las dudas correspondientes.
Tiempo: 5 min.
TRABAJO INDEPENDIENTE:
Los estudiantes integrados por equipos de tres integrantes realizan un reporte escrito de los orígenes de la
probabilidad. Este trabajo se evaluará conforme a la rúbrica correspondiente anexo al final de este bloque.
R01/0110
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BLOQUE X
SESIÓN 74 a 75
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Determina
el
espacio
• Determina
el
espacio
• Aprecia la importancia del
muestral de diversos tipos
muestral de diversos tipos
cálculo de probabilidades
de eventos.
en el análisis de situaciones
de eventos.
azarosas, para la toma de
decisiones.
• Muestra
respeto
y
tolerancia
ante
las
opiniones de los demás.
• Aporta puntos de vista con
reflexiva
CONOCIMIENTO: Comprende la definición del espacio muestral de un evento aleatorio.
Define el diagrama de árbol y su relación con la determinación de espacios muestrales de un evento aleatorio.
HABILIDAD:
Determina espacios muestrales de eventos aleatorios, mediante la solución de ejercicios.
Elabora diagramas de árbol para determinar espacios muestrales de eventos aleatorio.
ACTITUD:
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva mediante el trabajo
individual y en equipo.
Bargas, R & Mateo C.(2006). Introducción a la Probabilidad y a la Estadística. México. Editorial Progreso S.A de
C.V.
R01/0110
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Sesión 74
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES
Con la participación se realiza un breve resumen de lo visto en la sesión anterior.
El facilitador da a conocer el tema para estudiar en esta sesión: Espacio muestral y tipos de eventos en un
experimento aleatorio.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES
Actividad 10.3 El facilitador propone el ejemplo: “Lanzar una moneda al aire”, para definir los siguientes
conceptos:
• Espacio muestral (E): Corresponde al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
Del ejemplo se sabe que al lanzar una moneda al aire los posibles resultados que se esperan son dos:
“águila” o “sol”.
• Suceso o evento elemental: Corresponde a cada uno de los resultados de un experimento. El numero
de sucesos elementales es igual al espacio muestral.
Del ejemplo, cada vez que se lanza la moneda al aire, independientemente de que caiga “águila” o
“sol”, sucede un evento. Por lo tanto en el experimento se dan dos suceso elementales que coinciden
con el espacio muestral.
• Evento seguro: Coincide con el espacio muestral y es un evento que siempre ocurre.
Del ejemplo, se tiene la seguridad de que cada vez que se lance la moneda debe de caer “águila” o
“sol”.
• Evento imposible: Es un evento que nunca ocurre.
Si las caras de la moneda lanzada son “águila” y “sol”, no puede esperarse que caiga una figura
diferente; o por ejemplo que la moneda caiga de canto.
• Evento mutuamente excluyente: son dos eventos que no pueden suceder simultáneamente.
En cada lanzamiento solo puede darse un resultado: “águila” o “sol”; no puede caer águila y sol al
mismo tiempo.
• Sucesos complementarios: Dos sucesos o eventos son mutuamente excluyentes si la unión de
ambos es el espacio muestral.
Al lanzar la moneda al aire, si cae “águila”, el suceso complementario es “sol”.
Actividad 10.4. Para la comprensión e identificación de los conceptos anteriores, el facilitador propone los
ejercicios siguientes, cuya solución debe de obtenerse con la participación del grupo.
Ejemplo 1: Se lanza un dado
a) Encontrar el espacio muestral.
Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Enumerar los puntos muestrales.
Solución: Hay seis puntos muestrales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}.
c) Poner dos ejemplos de eventos.
Solución: Evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5};
Evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos?
A = {resultado menor o igual a 4}
B = {resultado es primo}.
R01/0110
242
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Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son
mutuamente excluyentes.
e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}?
Solución: {1, 3, 4, 5}.
Ejemplo 2. Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras.
a)
b)
c)
d)
e)
Encontrar el espacio muestral
Ejemplificar dos puntos muestrales
¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {1, 2}, B = {0}
¿Cuál suceso es complementario a P = {3}?
¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?
A = obtener un 1 en un lanzamiento, B = obtener un 3 en el siguiente lanzamiento.
Soluciones:
1.
2.
3.
4.
5.
Ω= 0,1,2,3
1 y 2 por ejemplo
Si son mutuamente excluyentes
0,1,2
Si son independientes.
Ejemplo 3: Dadas las siguientes condiciones, determina el espacio muestral al lanzar un dado.
a) Que los números sean pares.
b) Que los números sean impares.
c) Que los números sean primos.
{
}
Ejemplo 4. Sea E = a, A, c, d , e, M , Ñ ,U , z un espacio muestral conformado por letras vocales, consonaste,
mayúsculas y minúsculas. Describir con palabras los siguientes eventos:
a) A = a, A, e,U
{
}
B = {A, M , Ñ ,U }
c) C = {a, c, d , e, z}
b)
d)
D = {c, d , M , Ñ , z}
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES
El facilitador aclara las dudas pertinentes y realiza un breve resumen de los conceptos vistos en la presente
sesión.
Tiempo: 5 min.
Para reforzar lo aprendido los alumnos integrados en equipos de tres integrantes, resuelven los ejercicios del
Anexo X-B que se evaluará conforme a la rúbrica correspondiente anexo al final de este bloque.
R01/0110
243
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Sesión 75
2 Dada una situación en la que interviene el azar establece el espacio muestral.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES
El facilitador, con la participación del grupo, realiza un breve recordatorio de expuesto en la sesión anterior e
indica el tema a tratar en esta sesión: el espacio muestral y el diagrama de árbol.
Para inducir al tema el facilitador plantea el siguiente problema:
“Suponiendo que un alumno durante una hora de descanso asiste a la cafetería y decide comprar un refresco y
una bolsa de botanas; el encargado de la cafetería le informa que solamente le quedan cuatro sabores de
refresco y tres tipos de botanas, ¿Cuántas opciones de selección tiene el alumno?
A partir de lo anterior, se espera que los alumnos expliquen la forma en pueden determin.ar el número de
selecciones que tiene el alumno.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.5. Definición de diagrama de árbol.
El facilitador expone la definición y el la utilidad de elaborar un diagrama de árbol, para determin.ar espacios
muestrales de eventos aleatorios, a partir de la siguiente información:
El principio fundamental de conteo es la técnica más simple para determin.ar el número de formas o maneras
diferentes como se puede disponer una serie de objetos, siendo el diagrama de árbol el ejemplo más
representativo de esta técnica.
El diagrama de árbol es un arreglo es una forma gráfica de encontrar todos los arreglos que puede formarse
con los diferentes elementos de los eventos que se tienen. A continuación se propone los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. El facilitador mostrará el diagrama de árbol para solucionar el problema planteado. Dicho diagrama
muestra a continuación:
Naranja
Coca
Papas
Churritos
Chicharrón
Papas
Fresa
Papas
Churritos
Churritos
Chicharrón
Uva
Chicharrón
Papas
Churritos
Chicharrón
De acuerdo al diagrama las posibles elecciones del alumno son: coca-fresa, coca-churritos, coca-chicharrón,
naranja-papas, naranja-churritos, naranja-chicharrón, fresa-papas, fresa-churritos, fresa chicharrón, uva-papas,
uva-churritos, uva-chicharrón. Por lo tanto, el número posible de elecciones son 12.
Ejemplo 2. Ahora si el alumno de ejercicio anterior decide comprar una golosina, teniendo dos clases distintas
para seleccionar, elaborar el diagrama de árbol para obtener el número de elecciones.
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Para la solución de este ejemplo, se utiliza el diagrama anterior, complementando con las dos golosinas
propuestas: chicle y paleta.
Chicl
Papas
Paleta
Coca
Chicl
Churritos
Paleta
Chicl
Chicharrón
Paleta
Chicl
Papas
Paleta
Naranja
nja
Chicl
Churritos
Paleta
Chicl
Chicharrón
Paleta
Chicl
Papas
Paleta
Fresa
Chicl
Churritos
Paleta
Chicl
Chicharrón
Paleta
Papas
Chicl
Paleta
R01/0110
245
Uva
Churritos
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Chicl
Contando los posibles resultados se obtiene un total de 24 opciones.
De los ejemplos anteriores se pretende que el estudiante se dé cuenta, que a medida que el número de
posibles resultados va incrementando, se va dificultando la elaboración del diagrama de árbol; por esta razón y
porque en la mayoría de los problemas sobre cálculo de probabilidades, lo importante es saber cuántos son los
resultados posibles y no cuáles son éstos.
A partir de lo anterior se establece el denomin.ado “Principio de Conteo”, el cual generaliza el procedimiento de
la multiplicación de opciones a cualquier número de esta, el cual se define como sigue:
“Si un evento M puede ocurrir de m maneras y lo sigue un evento N que puede ocurrir de n maneras, entonces
el evento M seguido del evento N puede ocurrir de m •n maneras.
De los ejemplos anteriores, aplicando el Principio de Conteo se tiene que para el primer ejemplo, el resultado de
obtiene multiplicando el número de refrescos por el número de botanas, es decir: 4x3=12; del ejemplo dos
entonces se tiene que 4x3x2=24.
El facilitador plantea los siguientes ejemplos complementarios:
Ejemplo 3. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres veces una moneda al aire, y
registrar cada vez el resultado obtenido. Encuentra el espacio muestral registrando los resultados posibles
utilizando un diagrama del árbol. ¿De cuántas maneras pueden obtenerse dos águilas y un sol?
Solución. Si llamamos S a obtener “Sol” y A a obtener “águila”, se obtiene el diagrama de la figura 1.
Observa que los rectángulos 1, 2 y 3, indican el número de lanzamientos y siguiendo el recorrido de las flechas
del diagrama se deduce que el espacio muestral es:
A
E = {AAA, AAS , ASA, ASS , SAA, SAS , SSA, SSS }
A
S
A
A
S
S
A
A
S
S
S
1
2
A
S
3
De ahí se concluye que hay tres maneras de obtener dos águilas y un sol: AAS, ASA, SAA.
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Ejemplo 3. Para viajar de la ciudad de México al estado de Tabasco existen tres caminos diferentes, y para
viajar de la ciudad de Tabasco a la ciudad de Mérida hay dos. ¿De cuántas formas se puede viajar a la ciudad
de México a Mérida? Hacer el diagrama de árbol y comprobar con el principio de conteo. Solución: 6 caminos
diferentes.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES
El facilitador, con la participación del grupo, comente acerca de las dificultades que se tuvieron en el tema
estudiado. Asimismo reforzar la información de la importancia del cálculo de posibles resultados para
determin.ar la probabilidad de un evento.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
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BLOQUE X
SESIÓN 76-79
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES Y VALORES
• Utiliza las leyes aditiva y
• Define la probabilidad clásica •
Muestra respeto y tolerancia
multiplicativa
de
las
ante las opiniones de los
de un evento aleatorio.
probabilidades
para
la
demás.
• Define
y
describe
la
resolución de problemas de
probabilidad
de
eventos •
eventos
compuestos,
compuestos por medio de las
independientes
o
leyes aditiva y multiplicativa de
dependientes.
las probabilidades.
reflexiva.
CONOCIMIENTO:
Definen el concepto de clásica de la probabilidad.
Reconoce los eventos mutuamente excluyentes, dependientes e independientes.
Reconoce las leyes de adición y de multiplicación de la probabilidad.
HABILIDAD:
Aplica la definición clásica de la probabilidad en la resolución de ejercicios.
Aplica las leyes aditiva y multiplicativa en el cálculo de probabilidades de eventos compuestos.
Aplica las leyes de probabilidad en la solución de ejercicios.
ACTITUD:
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva mediante el trabajo
individual y en equipo.
Bargas, R & Mateo C.(2006). Introducción a la Probabilidad y a la Estadística. México. Editorial Progreso S.A
de C.V.
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Sesión 76
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES
El profesor con la participación del grupo realiza un breve recordatorio de los conceptos revisados en las dos
sesiones anteriores y dará a conocer el tema a desarrollar en esta sesión: frecuencia relativa.
Para inducir se plantea las siguientes cuestiones ¿Qué se entiende por frecuencia? ¿En qué contexto lo ha
escuchado? Den ejemplo donde se emplea la frecuencia.
El facilitador comenta acerca de la frecuencia y su relación con la probabilidad de sucesos reales. Por ejemplo,
en cada año es frecuente que llueva de junio a noviembre, por lo tanto, es probable que haya lluvias en el mes
de agosto.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.6. Experimento
El facilitador proporciona la definición de frecuencia y frecuencia de un suceso, a partir de lo siguiente:
Frecuencia: el número de veces que ocurre un mismo evento al repetirlo en múltiples ocasiones.
Frecuencia relativa: el cociente que resulta al dividir la frecuencia entre el número de repeticiones del
experimento.
Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire cinco veces, si dos veces cae sol y tres veces águila, entonces la
frecuencia es 2 y 3 respectivamente.
La frecuencias relativas se obtiene como
frs =
2
3
= 0.4 y fra = = 0.6
5
5
Para ejemplificar lo anterior el facilitador, dividirá al grupo en equipos de 4 integrantes y propondrá el siguiente
experimento:
Lanzar una moneda al aire 10, 20, 40, 60, 80 y 100 veces y anotar sus resultados en la siguiente tabla:
10L
FR
20L
FR
40L
FR
50L
FR
80L
100L
FR
Sol
Águila
Calcular las frecuencias relativas y analizar su comportamiento. Trazar una gráfica y concluir acerca del
comportamiento de las frecuencias relativas de cada una de las caras de la moneda.
Los alumnos compartirán esta información con el resto del grupo.
El facilitador induce al grupo a obtener la siguiente conclusión: a medida que aumenta el número de
lanzamientos, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a estabilizarse. De esta manera, la probabilidad de:
P (sol) = 0.5
P (águila) = 0.5
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES
El facilitador, con la participación del grupo, realiza un breve análisis del desarrollo de la sesión y si verifica si el
experimento obtuvo los resultados satisfactorios en cuanto a su relación con la probabilidad de un evento a
partir de la relación con sus frecuencias relativas. Este trabajo se anexará al portafolio final.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
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Sesión 77
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
A partir de la participación del grupo se hace un breve recordatorio de los visto en la sesión anterior procurando
que se bosqueje la definición de la probabilidad. Asimismo se menciona que el tema a tratar en esta sesión es
la definición clásica de probabilidad y el cálculo de la probabilidad de eventos simples.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.7 Definición clásica de probabilidad (Definición de Laplace)
A partir de la conclusión anterior, el profesor presentará la definición clásica, como sigue:
La probabilidad de que ocurra un evento A es el cociente que resulta al dividir la cantidad de casos favorables
(m) a A entre la cantidad de casos totales, es decir:
p( A) =
cantidad de resultados contenidos en A m
=
cantidad total resultados
n
Para complementar la información el facilitador expondrá lo siguiente:
•
•
•
•
•
•
•
Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).
La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrirá un determin.ado suceso al hacer un
determin.ado experimento aleatorio.
Cuanta más alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el grado de certeza de que ocurrirá al hacer
el experimento aleatorio.
La probabilidad de un evento imposible es cero.
La probabilidad de un suceso seguro es 1
La probabilidad de un evento aleatorio, no puede ser mayor que 1.
La definición de La place se aplica para eventos que son equiprobables, es decir que los eventos tienen
la misma posibilidad de ocurrir.
Actividad 10.8
El facilitador ejemplifica la aplicación de la definición de probabilidad, a partir de los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Obtener la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire, caiga “águila”.
Solución:
De acuerdo a la definición:
Evento A: que caiga águila.
Eventos favorable a A (n): 1 (la moneda solo se lanza una vez)
Posibles resultados (m): 2 (águila o sol)
R01/0110
250
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Por lo tanto:
p( A) =
m 1
=
n 2
Conclusión: la probabilidad de que caiga águila, al lanzar una vez una moneda al aire es de ½.
Ejemplo 2. Obtener la probabilidad de que salga un 3 al tirar un dado.
Solución:
Evento A: que salga 3.
Eventos favorable a A (n): 1(la moneda solo se lanza una vez)
Posibles resultados (m): 6 (águila o sol)
Por lo tanto:
p ( A) =
m 1
=
n 6
Los ejemplos siguientes se sugiere que sean resueltos por los alumnos, integrados en equipos, durante la
clase mediante el procedimiento anterior:
1) Obtener la probabilidad de que una persona haya nacido el fin de semana.
2) Supóngase que se lanza un dado, determina las siguientes probabilidades:
a) Obtener un número par.
b) Obtener un número primo.
c) Obtener un múltiplo de 3.
d) Obtener un divisor de 6.
3) Supongamos que se tiran dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 7? ¿cuál es la probabilidad
de que sumen 13? ¿Cómo se llama a este evento?
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador aclara las dudas que se hayan tenido en la solución de los ejercicios anteriores.
TRABAJO INDEPENDIENTE
Para reforzar la comprensión de los conceptos estudiados, los alumnos integrados por equipos de razón los
alumnos resolverán los ejercicios del Anexo X-C, los cuales serán evaluados mediante la rúbrica
correspondiente.
Tiempo: 5 min.
R01/0110
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Sesión 78
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador realiza un breve resumen lo visto en las sesiones anteriores, enfatizando que lo aprendido es
aplicable a los eventos simples y que existen eventos que se llaman compuestos, cuya probabilidad se
determina mediante leyes específicas y que precisamente son los temas a tratar en las siguientes sesiones.
Asimismo procurar que el alumno recuerde los conceptos de eventos mutuamente excluyentes, dependientes e
independientes, vistos en las sesiones iniciales.
Tiempo: 10 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.9 Definición de eventos compuestos, eventos mutuamente excluyentes y ley de la adición.
El facilitador realiza una breve exposición, acerca de las consideraciones necesarias para determin.ar la
probabilidad de eventos compuestos y enuncia la ley aditiva como sigue:
Dados dos eventos, se dice que son mutuamente excluyentes si la posibilidad de que ocurra el primero,
imposibilita que ocurra el segundo o viceversa.
Para determin.ar la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes se aplica:
P ( A ∪ B ) = P ( A o B ) = P ( A) + P ( B )
Donde: P ( A ∪ B ) = P ( A o B ) se interpreta como la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B.
En los eventos mutuamente excluyentes, la P(A y B) es igual a cero, pues no hay elementos comunes en
ambos eventos.
Para los eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de determina como:
P ( A ∪ B ) = P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A y B )
Ejemplo: Se lanzan dos dados.
1. El espacio muestral está dado por las 36 parejas que se dan en la siguiente tabla:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
2. Se determin.an los siguientes eventos:
A: la suma de los números en los dados es cuatro.
B: la suma de los números en los dados son seis.
C: Números iguales en los dados.
3. Los puntos muestrales que contiene cada evento son:
A = {(1,3), (3,1), (2,2)}
B = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}
C = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
R01/0110
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4. Identificando los tipos de eventos:
a) A y B son eventos mutuamente excluyentes, puesto que no hay pares comunes a ambos.
b) A y C, así como B y C no son mutuamente excluyentes puesto que en el primer caso la pareja
común es (2,2) y en el segundo caso es (3,3).
5. Aplicando la regla de la adición, se tiene que:
•
Para los eventos mutuamente excluyentes:
P ( A o B) = P( A) + P( B)
3
5
+
36 36
8
P ( A o B) =
36
2
P ( A o B) =
9
P ( A o B) =
•
Para los eventos que no son mutuamente excluyentes:
Para A y C:
Para B y C:
P( A o C ) = P( A) + P(C ) − P( A y C )
P( B o C ) = P( B) + P(C ) − P( B y C )
3
6
1
+ −
36 36 36
8
P( A o C ) =
36
2
P( A o C ) =
9
P( A o C ) =
P( A o C ) =
5
6
1
+ −
36 36 36
10
P( A o C ) =
36
5
P( A o C ) =
18
Ejemplo 2. Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer año compraron 18 boletos; los de
segundo grado 12 boletos. Si el total de boletos son 50, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno de primero o
segundo gane la rifa?
Solución:
• Los eventos son:
A: que gane un alumno de primer grado.
B: que gane un alumno de segundo grado.
• Determinando el tipo de evento:
El suceso que nos interesa es que ocurra A o B, es decir, E=A o B; los sucesos A y B son mutuamente
excluyentes porque si ocurre A, entonces no puede ocurrir B.
•
Calculando la probabilidad:
P ( A o B ) = P ( A) + P ( B )
P( A o B) =
18 12
+
50 50
Se sugiere que se planteen los siguientes ejercicios para reforzar la aplicación de la propiedad aditiva.
1. Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que se definen los
eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" ¿Qué probabilidad hay de que ocurra A ó B?
R01/0110
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2. En el lanzamiento de un dado de seis caras, se definen los eventos: A: "sale par" y B: "sale primo".
Determina la probabilidad de que ocurra A o B.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
Con la participación del grupo se hará una síntesis de lo aprendido en esta sesión y aclaran las dudas en
relación a la solución de los ejemplos.
Tiempo: 5 min.
Sesión 79
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador en conjunto con el grupo realiza un breve recordatorio de lo más importante que se estudió en la
sesión anterior e indicará que, como complemento al cálculo de la probabilidad de eventos compuestos se
estudiará la ley de la multiplicación y su relación con los eventos dependientes e independientes.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.11 Definición de eventos dependientes e independientes y ley de la multiplicación.
El facilitador realiza una breve explicación de los eventos dependientes e independientes y enuncia la ley de la
multiplicación, a partir de la siguiente información:
En un evento compuesto, si el segundo evento no depende del resultado del primer evento, entonces los
eventos son independientes. Si el resultado de un evento de un evento compuesto influye en el otro evento,
entonces los eventos son dependientes.
Para determinar la probabilidad de eventos dependientes e independientes, se aplica la Ley de la multiplicación
que se enuncia a continuación:
Dados dos eventos A y B, son independientes si la probabilidad de que ocurra o no ocurra uno de ellos no
afecta la probabilidad de que ocurra o no el otro, la probabilidad se determina como:
• Si los eventos son dependientes se aplica:
P( A ∪ B) = P( A y B) = P( A) ⋅ P(B / A)
La expresión P(B/A) se interpreta como la probabilidad de B dado que ya ocurrió A.
•
Si los eventos son independientes, la probabilidad se determina por:
P ( A ∩ B ) = P ( A y B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
En general la Ley multiplicativa se aplica para determin.ar la probabilidad de que ocurra dos eventos
simultáneamente.
 A
 = P ( A)
B
Si A y B son independientes se tiene que: P
Para ejemplificar lo anterior el facilitador resuelve el siguiente:
R01/0110
254
GD-RIEMS-DOC-4208
Ejemplo 1: se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa; en la bolsa hay 3 canicas, una roja, una azul y
una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul?
Solución
• Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica, los
eventos son independientes.
• Los eventos son: A: números primos; B: canica azul.
• Los espacio muestrales son: A = 1,2,3,5 ; B = azul
{
P( A) =
•
Las probabilidades son:
•
La probabilidad de A y B es:
}
{
}
4 2
1
= ; P( B) =
6 3
3
2 1 2
P( A y B) = ⋅ =
3 3 9
Ejemplo 2. Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Si los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y
B: "sale un 3 en el segundo". Determina la probabilidad de que si "salga par en el primero y un 3 en el
segundo".
Solución:
• Los eventos son independientes.
• Los espacios muestrales son: A =
•
•
{2,4,6};
B = {3}
3
1
Las probabilidades son: P( A) =
; P( B) =
6
6
1 1 1
Entonces P( A y B) = ⋅ =
2 6 12
Ejemplo 3: Se lanzan dos dados y se dan los siguientes eventos: Evento A: Números dobles en los dados;
Evento B: números pares en los dados.
Determina lo siguiente:
a) El espacio muestral de A y B.
b) ¿Cuál es la probabilidad de ocurra A y B?
c) ¿Qué tipos de eventos son A y B?
Solución:
Al lanzar dos dados los posibles resultados son la siguientes 36 parejas.
a) A = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) ; B = (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)
{
}
{
}
b) Para determin.ar la relación entre los eventos, se calcula:
6 1
=
36 6
3
1
=
c) P ( A y B) =
36 12
P( A) =
P ( B) =
9 1
=
36 4
1
1
P ( A y B ) 12 4 1
 A 1
d) P ( A / B ) =
=
=
= luego entonces como P  = y P( A) =
1 12 3
6
P( B)
B 3
4
Se concluye que:
1 1
≠
3 6
Los eventos son dependientes.
R01/0110
255
GD-RIEMS-DOC-4208
Ejemplo 4. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal de 52 cartas: ¿cuál es la probabilidad de
que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
Solución
•
Los eventos son : A= as ; B=corazón
•
La probabilidad de A y B (as y corazón) es
•
La probabilidad de A es:
•
Lo que se quiere calcular es la probabilidad de A dado B, esto es: P(A/B).
•
De la fórmula
P( A) =
P( A y B) =
1
52
13
52
P( A y B) = P( A) ⋅ P(B / A) se despejamos P(A/B), que es lo que se quiere determin.ar.
,
Entonces:
1
P ( A y B ) 52 1
P( A / B ) =
=
=
13 13
P ( A)
52
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
Los alumnos comentan acerca de las dificultades que se presentaron al solucionar los ejemplos. El facilitador
aclara las dudas correspondientes.
Tiempo: 5 min.
INSTRUCCIONES:
Para reforzar los conceptos relacionados con la ley aditiva y multiplicativa de la probabilidad los alumnos,
organizados en equipos de tres integrantes, resuelve los ejercicios de Anexo X-D, que se evaluará con la
rúbrica correspondiente y se anexará al portafolio final una vez corregido.
El facilitador informa que en la sesión siguiente se realizará la evaluación del bloque X.
R01/0110
256
GD-RIEMS-DOC-4208
Sesión 80
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
El facilitador da las instrucciones y organiza al grupo en binas, para la aplicación de la evaluación.
Tiempo: 5 min.
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Actividad 10.12 resolución de la evaluación.
El facilitador proporciona a cada pareja el instrumento de evaluación del anexo X-E.
Tiempo: 40 min.
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
El facilitador solicita la entrega de los exámenes, para su posterior revisión.
Tiempo: 5 min.
ANEXOS
Anexo X-A. Eventos deterministas y eventos
Conceptos básicos
El azar que por definición representa todo aquello que no se puede prever ni evitar, sin embargo, tiene sus
reglas. Cuando participas en la Lotería sabes que si adquieres muchos billetes tienes más oportunidades de
ganar, que si sólo adquieres uno. Pero también es verdad que, por muchos billetes que hayas comprado, si no
los tienes todos, nunca tendrás la seguridad de conseguir un premio.
Experimentos como participar en la Lotería, lanzar una moneda al aire, tirar los dados, el sexo de los próximos
recién nacidos, y el tiempo de viaje del tu comunidad a otra ciudad en automóvil, se llaman experimentos
aleatorios, y se caracterizan por no poder conocer el resultado hasta que el experimento se haya realizado, ya
que se trata de fenómenos en los que interviene el azar.
En cambio, si el resultado se conoce desde antes de empezar el acto, entonces estamos ante un experimento
o
determinista. Ejemplo: Antes de calentar el agua, sabemos que hervirá cuando llegue a 100 C.
Los experimentos aleatorios quedan, por decirlo de alguna manera, ubicados
entre dos tipos de experimentos deterministas, los que corresponden a
eventos imposibles y los eventos seguros. En el juego de la Lotería, el
evento imposible es ganar sin tener billetes, y el evento seguro es ganar
comprando todos los billetes. Ambos son experimentos deterministas porque el
resultado de los dos eventos se conoce desde antes de realizar el sorteo.
Éstos son los casos extremos, los eventos seguros, que siempre acompañan a
un experimento aleatorio.
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Evento
imposible
Experimentos
aleatorios
Evento
Seguro
Ganar sin billetes
Ganar con algunos billetes
Ganar con todos
los billetes
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Anexo X-B Tarea 1. Determinación del espacio muestral.
Ejercicio 1. En la línea de la derecha escribe la letra D, si se trata de un evento determinista y una A, si se
trata de un evento aleatorio. Indica también si se trata de otro tipo de evento.
a)
Sacar una tuerca o un tornillo de una caja que contiene 5 tornillos y 4 tuercas _____
b)
Obtener el número 5 como resultado al obtener un dado
_____
c)
Sacar una pelota negra de una bolas que contiene 5 pelotas negras
_____
d)
Obtener el primer premio del sorteo “Tris” con el número 123
_____
e)
Sacar un 7 en el lanzamiento de un dado numerado del 1 al 6
_____
f)
Ganar el premio de una rifa comprando todos los boletos
_____
Ejercicio 2. Sea el experimento de lanzar un dado ¿Cuántos eventos se pueden asociar a su espacio muestral?
Describe cada uno de ellos.
Ejercicio 3. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos:
a)
Lanzamiento de una moneda.
b)
Lanzamiento de un dado.
c)
Lanzamiento de un dado y una moneda.
d)
Lanzamiento de dos monedas.
{
}
Ejercicio 4. Sea E = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,
explícitamente los siguientes eventos:
1.
A: los números pares.
2.
B: los números primos.
3.
C: los números impares.
4.
D: los números mayores que 5.
5.
E: los números divisibles entre 3.
el espacio muestra de un determin.ado experimento, expresar
Ejercicio 5. Una bolsa opaca tiene tres bolas rojas y dos bolas amarillas, todas idénticas a excepción del color.
Se saca una bola al azar y luego otra bola al azar, anotando el color de cada bola.
a)
Encontrar el espacio muestral
b)
Ejemplificar dos puntos muestrales
c)
Ejemplificar un evento con dos puntos muestrales
d)
¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {RA, AA}, B = {RR, RA}
e)
¿Cuál suceso es complementario a P = {RR}?
f)
¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?:
A = {obtener una bola roja en primer lugar}
B = {obtener una bola amarilla en segundo lugar}.
Soluciones:
Ω=RR,RA, AA
a)
b)
RR y AA por ejemplo
c)
Q= RR, RA
d)
No son mutuamente excluyentes porque tiene RA en común
e)
RA, AA
f)
Son dependientes. Al obtener una bola roja en primer lugar, cambia la probabilidad de obtener una bola
amarilla en segundo lugar.
Anexo X-C. Actividad por equipo
Ejercicio 1. En grupos de 3 personas realicen el siguiente experimento y respondan las preguntas.
Lanzar un dado y obtener cuál es la probabilidad que salga un 1, ¿y un 2?, ¿y un 3?, ¿y un 4?, ¿y un 5?, ¿y un
6?
1.
Lanzar el dado: 10 veces, 20 veces, 30 veces, 50 veces, 70 veces y 100 veces.
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2.
3.
4.
5.
6.
7.
En una tabla registren los resultados obtenidos y las frecuencias relativas en los primeros 10
lanzamientos, luego, los 20 lanzamientos, 30, 50, 70 y 100 lanzamientos, respectivamente.
Grafiquen los resultados de todo el experimento.
Concluyan cuál es la probabilidad de obtener un 1, 2, 3, 4, 5 y 6, respectivamente.
Clasifiquen el tipo de experimento realizado.
¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuáles son los eventos elementales?
Escriban dos eventos posibles, dos eventos mutuamente excluyentes y dos eventos imposibles.
Ejercicio 2. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos aplicando la definición de Laplace.
1)
Si se lanzan dos dados, ¿qué es más probable: que su suma sea seis o que su suma sea siete?
Ayúdate haciendo un diagrama de árbol.
2)
Se tienen las siguientes bolsas con fichas en su interior:
a)
b)
¿En cuál de las bolsas la probabilidad de extraer una bolita roja es mayor?
¿Cuántas bolitas y de qué color se deben sacar de la bolsa (2) para depositarlas en la bolsa (1) de
modo que la probabilidad de sacar una roja en ambas bolsas sea la misma (sean equiprobables)?
Ejercicio 3. ¿En cuál o cuáles de las siguientes ruletas la probabilidad de obtener un número par es
2
?
3
Anexo X-D. Leyes aditiva y multiplicativa de la probabilidad.
Resuelve por equipo los siguientes problemas
1.
La probabilidad de que un jugador de tenis gane un torneo es de 1/5; la probabilidad de que gane otro
de los jugadores es ¾. Calcula la probabilidad de que gane uno o el otro jugador.
2.- Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es ½ igual a la probabilidad de que suceda B, y se sabe que la
probabilidad de que ocurra B una vez que ya sucedió A es de 2/3. Determina P(A y B) y P(A o B).
3.- De un grupo escolar se va a elegir por sorteo a tres alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar;
en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de representantes esté
conformado de las siguientes maneras?
a. Sean tres hombres.
b. Sean dos hombres y una mujer.
c. Sean dos mujeres y un hombre.
d. Sean tres mujeres.
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Anexo X-E. Instrumento de evaluación del bloque X
Evaluación del Bloque X
INSTANCIA EDUCATIVA: ___________________________________________ FECHA: _________
NOMBRE DEL ALUMNO: __________________________________________ GRUPO: _________
NOMBRE DEL PROFESOR: __________________________________________________________
INSTRUCCIONES: Subraya la respuesta correcta. En la solución de problemas, anexa tus cálculos para
justificar tus respuestas.
SECCIÓN I
Valor 50%
1. En un experimento aleatorio, ¿a qué se denomina espacio muestral?
A.
B.
C.
D.
E.
Al número de casos favorables.
Al número de casos posibles.
A los casos favorables.
A los casos posibles.
Al conjunto de casos posibles.
2. Dos eventos se llaman independientes cuando:
A.
B.
C.
D.
E.
Uno se realiza después del otro.
Cuando no se realiza simultáneamente.
Cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
Se refieren a experimentos aleatorios distintos.
Todas las anteriores.
3. Una persona debe comprar una camisa y un pantalón café. El vendedor le ofrece para el pantalón tres
modelos distintos y para la camisa cinco modelos de tres colores de opción para cada uno. ¿Cuántas
posibilidades de elección tiene el comprador?
A. 11
B. 15
C. 24
D. 30
E. 45
4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un suceso determinista
A.
B.
C.
D.
E.
Al comprar una ampolleta esté en buen estado.
Tiempo de demora de ir de una ciudad a otro, con tráfico.
Saber la primera carta que saldrá de un naipe inglés después de mezclarlas.
Temperatura máxima de la ciudad en que vives, el día de mañana.
Volumen de un mol de gas ideal sabiendo la presión y temperatura al cual es sometido.
5. Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que en uno se obtenga el doble que en el otro?
A.
B.
C.
D.
E.
1/6
5/36
1/9
1/12
1/8
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SECCIÓN II
Valor 50%
Resuelve el problema siguiente:
Se extrae una ficha de una bolsa que contiene 8 fichas numeradas: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Se define en los
siguientes sucesos:
•
•
•
A: “Obtener un número primo”
B: “Obtener un número par”
C: “Obtener un número impar”
Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
el espacio muestral.
el suceso A.
el suceso B.
la relación entre los sucesos A y B
la probabilidad de que ocurra A y B
Anexo X-F. Lista de cotejo para la evaluación final.
La presente guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo a los reactivos de la prueba
objetiva, considerando los siguientes criterios:
Muy bueno 100; Bueno 90; Regular 80-70; Deficiente 60
La puntuación total se determinará como el promedio de los totales obtenidos en cada columna.
La calificación final de la evaluación se obtendrá al promediar la puntuación total de la prueba objetiva con la
puntuación final de la presente lista de cotejo.
Instancia educativa: ___________________________________________Fecha: ________________
Nombre del alumno: _________________________________________________________________
Indicador
Identifica y diferencia los eventos
deterministas de los aleatorios.
Comprende los conceptos básicos de la
probabilidad.
Determina el espacio muestral de un evento
aleatorio.
Calcula la probabilidad de eventos simples.
Reconoce las leyes de la probabilidad y su
relación con los tipos de sucesos.
Aplica las leyes de la probabilidad en la
solución de problemas.
Total
Puntuación total
Excelente
Bueno
Regular
Deficiente
_____________________________________
Nombre y firma del facilitador
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RUBRICAS DE EVALUACIÓN
ANEXO X-G. RÚBRICA PARA EVALUAR LIBRETA DE APUNTES
De Forma
• Portada (Nombre del alumno, grado, grupo, nombre del docente
asignatura).
• Ortografía, Redacción y legibilidad
• Limpieza.
• Registro de fechas.
• Secuencia de las actividades en base al programa.
De Contenido
• Presentación del 100% de los temas vistos (ejercicios, tareas, etc.).
TOTAL
Valor
y nombre de la
10
10
10
10
10
50
ANEXO X-H. RÚBRICA PARA EVALUAR LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
Ejecución
De Forma
• Portada.
formula
•
y resultado).
• Orden.
•
Total
5
5
5
5
5
Limpieza.
5
De contenido
•
Ponderación
10
20
30
15
Resultado y/o Interpretación adecuada.
Total:
R01/0110
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ANEXO X-I RÚBRICA PARA EVALUAR EL TRABJO EN EQUIPO
Ejecución
Su entusiasmo, participación y dedicación demuestra una actitud
Limpieza.
Su desempeño en el rol asignado ha contribuido a preparar los
productos.eas de una manera coherente.
Comparte la información que encuentra con los otros miembros del grupo.
Ponderación
Total
5
5
5
5
5
5
personal.
5
interpersonales.
5
sus errores.
5
Apego a los acuerdos previos para la realización del trabajo, número de
participantes, tiempo, etc.
5
55
Total
100
ANEXO X-J. RÚBRICA PARA EVALUAR EL PORTAFOLIO FINAL
Ejecución
Ponderación
Total
PRESENTACION
Nitidez
Formato
REDACCION
Ortografía
Gramática
ORGANIZACIÓN
Estructura
Orden
OBJETIVOS
Cantidad
Calidad
Cumplimiento
CONTENIDO
Muestra y Evidencias, Muestra de Libre Selección,
Prontuario y Planes de Enseñanza
Coherencia
2
3
5
5
5
5
5
5
5
5
40
15
TOTAL
R01/0110
263
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REGISTRO DE ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE IMPLEMENTADAS
DE UNA SESION DE CLASE POR EL DOCENTE.
Sesión No.
FASE DE APERTURA
INSTRUCCIONES:
Tiempo:
FASE DE DESARROLLO
INSTRUCCIONES:
Tiempo:
FASE DE CIERRE
INSTRUCCIONES:
Tiempo:
ANEXOS
NOTA: En este espacio el profesor redactará la estrategia de enseñanza aprendizaje, en el caso de no aplicar
la sugerida en la guía didáctica, así también aplica para diseñar una propuesta de asesoría individual en la
modalidad EMSaD y CSAI. Este espacio se anexará por partida doble al finalizar cada Bloque.
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DOCENTES PARTICIPANTES
LA GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMATICAS II
Se elaboró con la valiosa participación de los docentes del Área de Matemáticas de las diferentes Instancias
Educativas del Colegio de Bachilleres del Estado de Quintana Roo.
PLANTEL
Chetumal Uno
Chetumal Dos
Ignacio Zaragoza
Sabán
Carlos A. Madrazo
San Pedro Peralta
Blanca Flor
Noh Bec
Divorciados
Dr. Académica
DOCENTES
Lic. Juan Carlos Aguilar Escudero
Lic. Luvia Adriana de la Fuente Domínguez
Ing. Gustavo Kanxoc Dzib
Lic. Jairo Isaí Pacheco Pérez
Ing. Marcos Guadalupe Cocom Tep
Ing. Juan Pablo Cruz Guzmán
Lic. Felipe de Jesús Tox Pereyra
Lic. Arturo Gómez de los Santos
Lic. Marco Antonio Cabrera May
Ing. Assarely Solano Hernández
Coordinadora:
Lic. Alicia Lizzette Suárez Martín
Jefa de Materia del Área de Matemáticas.
Apoyo en la Captura:
C. Wendy Elizabeth Ávila Salazar
Auxiliar Administrativo del Depto. de Docencia y Apoyo Académico
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DIRECTORIO
M.A. Elina Elfi Coral Castilla.
Directora General.
Lic. Marco Antonio Castilla Madrid.
Director Administrativo.
Lic. Amelia Cataño Calatayud.
Directora Académica.
Ing. Miriam Isabel Ortega Sabido.
Directora de Planeación.
Ing. Ángel de Jesús Franco Gamboa.
Coordinador de la Zona Sur.
Lic. Yolanda Loria Marín.
Coordinador de Zona Centro.
Dra. Mirza A. Burgos Azueta
Coordinadora de Zona Norte.
Ing. Ricardo José Beltrán Chin
Jefe del Departamento de
Docencia y Apoyo Académico.
Lic. Alicia Lizzette Suárez Martín
Jefa de Materia del Área de Matemáticas.
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