IV GeoGebra Day – Comunicazioni

IV GeoGebra Italian Day: COMUNICAZIONI - COMMUNICATIONS
CO 1
Annarosa Serpe, Maria Giovanna Frassia
Department of Mathematics and Informatics, University of Calabria, Italy
Livello scolare: Scuola secondaria di II grado, V anno
BREGUET’S SPIRAL WITH GEOGEBRA
Curves are typical geometric objects and offer a rich and partly unexplored research field that can be
discovered and re-discovered at various stages of a student’s learning path. In particular some very
interesting curves resulting from physical problems or developed as a result of mathematical thought
have marked the history of Physics and Mathematics.
The present work puts forward a teaching proposal on Breguet’s Spiral -Breguet (1747-1823) was a
Swiss watchmaker and inventor- aimed at the second three-year period of Italian Higher Secondary
schools. This is a banked spiral where the terminal coil partially closes on itself, thereby ensuring a
concentrical development of the spiral throughout its whole contracting-expanding cycle.
The study of the curve is approached from a practical, laboratorial viewpoint. Starting from the
historical and scientific background which led Breguet to the creation of a variation of the classical flat
spiral, we then move on to computer mathematical modelling through the GeoGebra dynamic
geometry software .
The aim is to show how Mathematics is interlinked with Physics and offers the conceptual tools to
solve the problem. The mathematical modelling, done using a dynamic geometry software, allows
students to do a significant 'abstractive leap': the curve is not longer linked with the Physics and,
without any constraints of immediate applications, become the object of the speculation and of the
research.
The use of GeoGebra allows for quite a different working mode compared to the classical 'pen to
paper' approach because it offers the opportunity to get some practice of mathematical facts at various
levels. Students indeed have the chance to work on the geometrical object constructively, exploring
properties, formulating conjectures and testing them through the functions made available by the
software itself. The software facilitates learning and the acquisition of mathematical knowledge in
many ways, while at the same time it gives teachers the chance to introduce new learning tools and
explore pathways which are seldom included in traditional learning and teaching methods.
References
Arzarello, F., Ferrara, F. & Robutti, O. (2011). Mathematical modelling with technology: the role of
dynamic representations. Teaching Mathematics and its Applications 31 (1), 20-30.
Hohenwarter, M. & Preiner, J. (2007). Dynamic mathematics with GeoGebra. The Journal of Online
Mathematics and its Applications, ID1448 ,vol. 7.
Laborde, C. (1992) Solving problems in computer based geometry environment: The influence of the
feature of the software. Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, 92(4), 128-135.
Doerr, Helen M. & Pratt, D. (2008). The learning of mathematics and mathematical modeling. In M.
Kathleen Heid and Glendon W. Blume, eds. Research on technology and the teaching and learning of
mathematics: Research syntheses. Information Age Publishing, PP. 259-285.
Web Site URL: www.breguet.com/it/Il-Museo-Breguet
CO 2
Paola Damiani, Donatella Merlo, Ada Sargenti, Claudia Testa
Ufficio Scolastico Regionale Piemonte e Università di Torino
Livello scolare: primaria, secondaria di I e II grado
VERSO UNA “DIDATTICA INCLUSIVA DELLA MATEMATICA” ATTRAVERSO L’UTILIZZO DI
GEOGEBRA E LA DIDATTICA PER COMPETENZE
La sperimentazione, avviata nell’a.s. 2013-14 a partire dalle problematiche che gli insegnanti sempre
più frequentemente sono chiamati ad affrontare per la gestione delle “classi complesse” e delle relative
difficoltà di apprendimento, si caratterizza come un percorso di Ricerca–Formazione per i docenti. In
particolare, per quanto riguarda l’ambito matematico, il numero crescente di allievi con disturbo
specifico del calcolo è stato problematizzato dalla stessa ricerca epidemiologica e scientifica, in quanto
tra gli studenti con difficoltà in matematica, si stima che solo per lo 0,5 % si tratti di “vera discalculia”.
Pertanto il problema non consiste tanto nella presenza di allievi con DSA, quanto nella presenza di
DSI (Disturbi Specifici dell’Insegnamento) (Damiani, 2012), che richiedono urgentemente alla ricerca
pedagogica e didattica nuove domande speculative e nuove piste operative. La risposta pare semplice:
al cambiamento dei contesti sociali e culturali globali deve corrispondere il cambiamento della scuola,
ma tale cambiamento non pare attualmente pienamente realizzato. Emerge la necessità di una “nuova
didattica”. La sperimentazione in atto si fonda sulla teoria che GeoGebra rappresenti una
strategia/strumento per facilitare l’apprendimento di tutti gli allievi con difficoltà di apprendimento
generali (BES). Nel corso dell’a.s. 2013-14 sono state intraprese due piste: la prima di tipo informativo per la diffusione dello strumento e la rilevazione degli aspetti di forza e di criticità, rivolta a
tutti i docenti richiedenti; la seconda ha previsto un percorso di ricerca-azione con alcune classi,
fondato su osservazione e monitoraggio dello sviluppo di alcune conoscenze/abilità essenziali degli
allievi, attraverso una didattica per competenze, con un duplice obiettivo: aiutare gli studenti con
difficoltà in matematica e innovare/migliorare la didattica per tutti. La metodologia di tipo blended ha
alternato incontri di formazione in presenza con attività di e-learning attraverso l’uso di Moodle.
Alla luce dei primi dati rilevati, possiamo affermare che la sperimentazione con GeoGebra è risultata
un’esperienza significativa. Per i docenti il percorso si è tradotto in un’esperienza di tutoring e di
autovalutazione che ha modificato in parte pratiche e atteggiamenti intra e interpersonali, oltre a
sviluppare competenze disciplinari e tecniche. Anche per gli studenti l’esperienza di GeoGebra pare
significativa, sia per quanto riguarda motivazione e atteggiamenti sia per gli apprendimenti. I risultati
mostrano un cambiamento nella valutazione delle prestazioni matematiche, in senso positivo, nella
maggioranza degli studenti.
Nel prossimo anno scolastico, coerentemente con le stesse richieste dei docenti, si prevede di prestare
maggior attenzione alla formazione preliminare dei docenti e alle fasi della ricerca, con particolare
attenzione alla raccolta di dati pre e post sperimentazione in classe.
CO 3
Arianna Coviello1, Virginia Alberti2
1Liceo Scientifico Galileo Galilei , Alessandria, 2I.I.S. B. Castelli, Brescia
Livello scolare: Scuola secondaria di II grado II biennio
DRAGGING PER CONGETTURARE E VALIDARE. GEOGEBRA PER TOLOMEO: UN EPISODIO
DI APPRENDIMENTO SITUATO
Perché il Teorema di Tolomeo con GeoGebra?
Il Teorema di Tolomeo ben si presta ad essere un’attività breve, in un contesto real life, in cui lo
studente si trova a operare e apprendere grazie alla disponibilità di un mediatore quale il software di
geometria dinamica GeoGebra. Abbiamo pensato a questo segmento circoscritto di contenuto
geometrico per la sua importanza storica e perché permette un semplice approccio alla tecnica del
dragging come pratica di sviluppo dei processi di pensiero. E’ proprio grazie a questa proposizione,
infatti, che Claudio Tolomeo (85 – 165) redasse le tavole delle corde ( oggi tavole dei seni), ed è a lui ( e
ad Ipparco di Nicea II sec a. C.) che alcuni storici attribuiscono il merito di aver fondato la
Trigonometria. Sempre questo teorema inoltre, è frequentemente presente nei problemi proposti alle
Olimpiadi della Matematica di vari paesi. Nella scuola italiana spesso non vi è abitudine a
contestualizzare storicamente lo studio della matematica tralasciando la consuetudine alla
dimostrazione, alla validazione, al fare congetture. Oltre a ciò, ritenendo che la geometria sia
l’ambiente naturale per l’approccio alla dimostrazione, abbiamo realizzato un Episodio di
Apprendimento Situato ( Rivoltella) in cui mostreremo come l’uso di GeoGebra coniughi l’esigenza e
l’importanza di trasmettere cultura matematica educando contemporaneamente ad un uso intelligente
della tecnologia. La ricerca italiana sulla didattica della dimostrazione è rivolta verso la creazione di
ambienti di apprendimento che supportino gli studenti nei confronti delle difficoltà epistemologiche
insite nel passaggio argomentazione - dimostrazione ( Arzarello, Olivero, Paola, Robutti). Questo
modulo didattico dedicato al Teorema di Tolomeo vuole quindi analizzare le diverse fasi di un
approccio a un problema geometrico aperto mediante l’uso della tecnica del dragging:
•
Esplorazione;
•
Produzione di congetture;
•
Validazione di congetture;
•
Dimostrazione di congetture corrette.
Il software GeoGebra si presenta come mediatore ideale in questo tipo di didattica: mediante dragging,
ovvero il trascinamento di oggetti geometrici (punti, figure) è possibile osservare le trasformazioni
geometriche cui sono soggette le figure ed è proprio questa manipolazione che si favorisce la
creazione di un ragionamento che porta alla produzione di congetture, alla loro validazione e
successiva dimostrazione.
Bibliografia
https://www.dm.uniba.it/Members/efaggiano/geogebra/Robutti_slide.pdf
http://www.dmf.unisalento.it/~scienze/Download/Tolomeo.pdf
http://www.matematica.it/paola/Congetture%20e%20dimostrazioni%20finale.pdf
La dimostrazione nella ricerca didattica - O.Robutti - Master Formatori 2013
Fare didattica con gli EAS - P. Rivoltella
CO 4
Elisabetta Robotti, Elisa Bionaz
Università della Valle d’Aosta-Université de la Vallée d’Aoste
Livello scolare: Scuola primaria
GEOGEBRA E DISTURBI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO (DSA): ANALISI DI UN CASE
STUDY
L’esigenza degli insegnanti di avere indicazioni su come affrontare la matematica con studenti con DSA
è una necessità di primaria importanza. Quali aiuti può dare la ricerca in questo senso? A quale ambito
di ricerca l’insegnante può far riferimento?
Per cercare di dare una risposta a queste domande da un punto di vista strettamente didattico, la
presente ricerca si focalizza sull’analisi di un case study che concerne l’attività didattica di problem
solving inerente la geometria euclidea condotta con un alunno di quinta elementare avente dislessia,
discalculia, disgrafia, iperattività e inattenzione. Un quadro clinico, dunque, piuttosto complesso che
però è frequente incontrare a scuola. L’analisi è stata condotta su un duplice binario: da un lato, la
psicologia cognitiva e, dall’altro, la didattica della geometria. Per la psicologia cognitiva, la competenza
geometrica sembra essere il risultato di differenti abilità legate al linguaggio, all’astrazione, al
ragionamento, alle abilità visuo-spaziali (Grossi e Trojano, 2002) e alla memoria di lavoro visuospaziale (Cornoldi, Vecchi, 2003). Questa ricerca ha inoltre individuato diversi canali di accesso alle
informazioni: visivo-verbale, visivo non-verbale, uditivo e cinestetico. In particolare, i soggetti con DSA
sembrano non accedere facilmente alle informazioni tramite il canale visivo-verbale (Stella, Grandi,
2012). Questo dominio di ricerca, quindi, chiarisce quali abilità sono necessarie per lo sviluppo di
competenze in geometria e quali canali di accesso privilegiare, ma come esse possano essere acquisite
è ovviamente questione legata alla didattica. Per questo, abbiamo scelto di usare il software di
geometria dinamica GeoGebra che consente di costruire immagini con caratteristiche simili alle
immagini mentali (Fishbein, 1993, Laborde & Capponi, 1994; Parzysz, 1998), e consente di
manipolarle come se fossero immagini mentali sviluppando quindi competenze geometriche (Duval,
2005, Sinclair, Bruce, 2014). In questo senso GeoGebra può funzionare come strumento di supporto
alla memoria visuo-spaziale e come strumento compensativo rispetto alla disgrafia o alle difficoltà
nelle abilità viso-spaziali. I risultati di questo studio mostrano che l’alunno ha aumentato la sua
autostima, la sua motivazione, il suo tempo di attenzione e la sua capacità di sistematizzare la
risoluzione dal punto di vista comunicativo; ha inoltre risolto i problemi proposti nello stesso tempo
dei compagni.
Bibliografia
Cornoldi, C., Vecchi, T., (2003) Visuo-spatial working memory and individual differences. Hove, UK:
Psychology Press.
Duval, R., (2005) Les conditions cognitives de l’apprentissage de la géométrie : développement de la
visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements. Annales de
Didactique et Sciences Cognitives, Vol. 10, pp 5 - 53.
Fischbein E. (1993) The Theory of Figural Concepts. In Educational Studies Mathematics, Vol. 24, pp.
139-162.
Grossi, D., Trojano, L., (2002) Lineamenti di neuropsicologia clinica. Carrocci Editore.
Laborde C., Capponi, B., (1994) Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de la
notion de figure géométrique, Recherche en didactique des mathématiques Vol. 14/1-2, La Pensée
Sauvage.
Parzysz, B., (1998) “Knowing” vs “seeing”. Problems of the plane representation of space geometry
figures. Educational Studies Mathematics, Vol. 19, Issue 1, pp 79-92.
Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, une approche cognitives des instruments
contemporains. Armand Colin, Paris.
Sinclair N., Bruce, C., (2014). Spatial reasoning for young learners. Proceeding of PME 38, Vol 1pp 173174
Stella G., Grandi, L., (2012). Come leggere la dislessia e I DSA. Gunti scuola.
CO 5
Antonio Scafuro
Liceo scientifico Rescigno, Roccapiemonte, Salerno
Livello scolare: secondaria di secondo grado, V anno
INTEGRARE A MONTECARLO
La storia vera è andata così: immaginiamo che “Nella fase finale dell’anno scolastico appena terminato,
in una quinta liceo scientifico, avendo svolto la parte del programma di matematica che riguarda gli
integrali, a qualcuno è venuta l’idea di provare a realizzare un’applicazione, con GeoGebra, che
stimasse il valore di qualche integrale definito al modo di Montecarlo. Evidentemente avevo accennato
a questo metodo di calcolo, per me molto interessante ed affascinante, se non spettacolare per certi
aspetti, e a qualcuno l’idea è piaciuta. Ci siamo messi di buona lena e
Abbiamo scelto una funzione non troppo complicata: f(x)=sen(pi x) e l’abbiamo integrata da 0 a 1. Con
GeoGebra, poi, abbiamo rappresentato f nel quadrato di vertici O=(0,0), A=(1,0), B=(1,1) e C=(0,1) ed
abbiamo simulato il lancio di un numero n (a scelta tra 1 e 10000) di punti all’interno del quadrato.
Contando i punti, p, sotto la curva il rapporto p/n ci fornisce una stima dell’integrale calcolato prima
con carta e penna.
CO 6
Ada Sargenti
GeoGebra Institute di Torino
Livello scolare: scuola secondaria di II grado I e II biennio
ALCUNI PROBLEMI CURIOSI SU UNA SCALA
Le potenzialità didattiche di un software come GeoGebra sono molteplici, ma sicuramente l’aspetto più
interessante è quello di far scoprire proprietà che difficilmente sono intuibili e a cui si arriva soltanto
con calcoli, spesso complicati e noiosi.
Sono un esempio di queste applicazioni alcuni problemi che riguardano il comportamento di una scala
appoggiata a un muro.
In un primo caso la scala scivola sul terreno: il piede della scala e il suo estremo appoggiato al muro
descrivono un segmento; ma cosa accade per un punto differente della scala? In particolare come si
comporta il punto medio? L’uso dello strumento “traccia” consente di modellizzare la situazione e
comprendere che cosa accade, certamente creando un po’ di stupore negli studenti. Stupore che
dovrebbe aiutare a passare alla ricerca della soluzione analitica del problema.
Il comportamento così diverso tra i punti estremi e quelli intermedi della scala porta anche a indagare
ulteriormente sulla stessa scala che scivola. In particolare ci si può chiedere se la velocità dei due punti
estremi è la stessa: molto probabilmente gli studenti pensano che lo sia. Supponendo che il piede della
scala si muova di moto rettilineo uniforme, il problema si risolve esprimendo il corrispondente
spostamento dell’estremo appoggiato al muro in forma parametrica e quindi calcolando la sua
derivata. Il procedimento non è quindi così semplice. Si può allora, dopo aver costruito il modello con
GeoGebra, usare il foglio di calcolo per catturare alcuni valori (il tempo, lo spazio percorso dal piede
della scala, lo spazio percorso dall’estremo superiore della stessa). Attraverso questi valori è possibile
stabilire che mentre il piede si muove a velocità costante, altrettanto non avviene per l’estremo
superiore. È anche possibile determinare approssimativamente la velocità istantanea se l’incremento
del tempo è sufficientemente piccolo.
Un terzo esempio è quello della ricerca della lunghezza minima di una scala appoggiata a un muro, ma
anche a un altro appoggio parallelo allo stesso. I calcoli per determinare la derivata e il suo zero sono
alquanto complicati e noiosi. Rappresentato allora il modello in GeoGebra, è possibile utilizzare la
seconda vista grafica per raffigurare la lunghezza della scala mentre il piede della stessa scivola sul
terreno: ascissa del piede e lunghezza della scala rappresentano le coordinate di un punto che lascia
traccia durante il movimento della scala, generando una curva. Su di essa è possibile leggere quando la
scala ha lunghezza minima e per quale posizione del piede questo accade. Tuttavia si può anche
utilizzare l’ulteriore ambiente di GeoGebra che è il CAS per far eseguire al software quei calcoli che
erano stati segnalati come complessi e noiosi.
Tutti e tre i problemi possono dunque essere risolti, almeno in prima istanza, soltanto attraverso la
modellizzazione e l’uso degli strumenti messi a disposizione di GeoGebra.
CO 7
Ruhal Floris
IUFE-Università di Ginevra
Livello scolare: Scuola secondaria di II grado
ANALISI DI PROGETTI DIDATTICI CON USO DELL'INFORMATICA NELLA FORMAZIONE
DOCENTI A GINEVRA
Nella formazione dei docenti di matematica (per le scuole secondarie) a Ginevra è prevista la
preparazione e la sperimentazione di una sequenza didattica di più lezioni, di cui una parte viene
svolta in aula informatica. La scelta del software è libera, ma GeoGebra fa spesso parte dei progetti.
L'uso di questo tipo di software è richiesto dal nuovo piano di studio svizzero francese. Presentiamo e
analizziamo alcuni di questi progetti ed i commenti da parte degli studenti stessi sul loro
apprendimento didamatico, in particolare sulla gestione della geometria dinamica come “milieu
adidactique” e la possibilità di sfruttare il software per introdurre una geometria teorica.
CO 8
Luigi Tomasi
Università di Ferrara
Livello scolare: scuola secondaria II grado
UN CORSO DI LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA CON GEOGEBRA
(CORSI PAS 2014): CONSIDERAZIONI SU UN’ESPERIENZA DI FORMAZIONE DEGLI
INSEGNANTI
Una trentina di corsisti della classe A049.
Riporto la prima domanda di un mio questionario iniziale:
1) Nella tua esperienza di insegnamento della matematica, usi/hai usato software didattici?
 SI  NO
Se sì quali?
.......................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………….
Per quante ore al mese circa? .....................................................................................................................................,
Per quale percentuale (circa) dell'orario?
…………............................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Ritieni che l’uso del software sia molto importante/importante/non essenziale/inutile nel tuo modo di
insegnare la matematica?
…………………………………………………………………………………………………
2) Conosci le Indicazioni nazionali di Matematica per i Licei (del 2010)?
 no, non le ho mai lette
 le conosco in modo superficiale
 le ho lette, ma non le condivido
 le ho lette ma ritengo che siano molto generiche
 le ho lette e le trovo un utile strumento per l’insegnante
Pochissimi conoscono GeoGebra o altri software di geometria dinamica; eppure si tratta di insegnanti
che lavorano da almeno tre anni…
Ancor meno quelli che conoscono riviste di didattica della matematica o che abbiano frequentato
almeno una volta un convegno di didattica della matematica.
Decido quindi di presentare le Indicazioni nazionali per i licei, con degli esempi in cui uso
sistematicamente il software GeoGebra.
Comincio da Geometria e dalle costruzioni geometriche (uso delle viste di GeoGebra). Esercitazioni
proposte. Uso anche la versione beta di GeoGebra3D per alcuni argomenti di Geometria analitica dello
spazio. Simulazioni di macchine matematiche.
Proseguo con Aritmetica e Algebra, Relazioni e funzioni e Dati e Previsioni.
Sfrutto le varie possibilità delle viste di GeoGebra.
Chiedo ai corsisti di costruire dei file di GeoGebra e le relative schede didattiche da usare in classe.
Bilancio positivo: molti trovano questo software utile per insegnare.
Ci si chiede però perché questi insegnanti non abbiano mai incontrato nel loro curriculum di studi e
nel lavoro l’uso dei software per l’insegnamento della matematica.
Perché alcuni insegnanti, all’inizio della loro formazione, non hanno mai incontrato questi strumenti
che possono servire al rinnovamento del loro metodo di insegnamento?
Bibliografia
AA.VV., Esplorazioni matematiche con GeoGebra, Torino 2013
http://geogebra.org/book/it/2013-Esplorazioni-matematiche-con-GeoGebra.pdf
CO 9
Federica Ferretti, Giorgio Bolondi, Alessandro Spagnuolo
Università di Bologna
Livello scolare: Primo Ciclo di Istruzione
LE “PROVE INVALSI” CON GEOGEBRA: TRASFORMARE
STANDARDIZZATA IN VALUTAZIONE FORMATIVA
LA
VALUTAZIONE
Questo intervento descrive una fase di un percorso di formazione per insegnanti in servizio basata
sull'animazione mediante GeoGebra di alcune domande delle Rilevazioni Nazionali del Servizio
Nazionale di Valutazione per l’Invalsi.
Il problema generale, al centro di forti dibattiti epistemologici, didattici e talvolta ideologici, è quello di
integrare i risultati, i metodi e gli strumenti teorici e operativi delle valutazioni standardizzate che
operano a livello di sistema- nella valutazione formativa che ogni insegnante compie nella propria
classe (Looney, 2011). La valutazione formativa, per definizione, è proiettata nel futuro del percorso
didattico (Wiliam, 2007); pertanto l’articolazione del nostro percorso di formazione ha come obiettivo
anche quello di fornire indicazioni su come utilizzare in maniera didatticamente efficace le “Prove
Invalsi” all'interno del curricolo implementato nella classe.
Nelle prove somministrate nei livelli 02 e 05 nell'anno scolastico 2013/14 sono stati selezionati 7
quesiti e su ognuno di questi è stata costruita un attività con GeoGebra. Mutuando gli opportuni
elementi dall'analisi empirica di Morris (2011), i fattori considerati per la scelta delle domande e la
costruzione delle attività sono stati fondamentalmente il legame degli item con gli obiettivi posti dalle
Indicazioni Nazionali e la possibilità di esplicitare, attraverso l'analisi di questo legame, elementi
impliciti del quadro di riferimento proprio di ogni insegnante. Nell’implementazione delle attività è
stata rispettata la chiarezza del question intent (lo scopo della domanda esplicitato nelle Guide alla
Lettura dell'Invalsi) e si è cercato di ottenere un effettivo arricchimento concettuale della valutazione
dal dinamizzare la situazione proposta (Arzarello et al., 2012). Per di più, è stata considerata la valenza
portata dall'utilizzo di una LIM per la condivisione a livello di classe dell'attività di valutazione
(Bolondi et al., 2012).
In un secondo momento sono state selezionate altre 8 domande dalle rilevazioni degli anni precedenti,
al fine di approfondire ed estendere la proposta fatta anche ad altri livelli scolastici. Tutte le attività
sono strutturate per essere svolte, preferibilmente su una LIM, da un piccolo gruppo di studenti e
offrono all'insegnante una vasta gamma di task - diversificati come livello di difficoltà e processi
cognitivi coinvolti - riconducibili però alla situazione proposta dall'Invalsi e alla specifica domanda per
la quale sono disponibili dati di sistema.
Le situazioni proposte dall'Invalsi, per le quali sono disponibili dati quantitativi di riferimento,
trasformate in versione dinamica hanno quindi reso disponibile uno strumento di valutazione
articolato e flessibile, utilizzabile con finalità formative.
Bibliografia
Arzarello, F., Ferrara, F. & Robutti, O. (2012), Mathematical modeling with technology: the role of
dynamic representations. Teaching Mathematics and its Applications, vol. 31, 20-30.
Bolondi, G., Orlandoni, A. & Storai, F. (2012), Geometria con la LIM nella scuola Primaria. Trento:
Erickson.
Looney, J. W. (2011), Integrating Formative and Summative Assessment: Progress Toward a Seamless
System?, OECD Education Working Papers, No. 58, OECD Publishing.
http://dx.doi.org/10.1787/5kghx3kbl734-en
Morris, A. (2011), Student Standardised Testing: Current Practices in OECD Countries and a Literature
Review, OECD Education Working Papers, No. 65, OECD Publishing.
http://dx.doi.org/10.1787/5kg3rp9qbnr6-en
Wiliam, D. (2007), Content then process: Teacher learning communities in the service of formative
assessment. In D. B. Reeves (Ed.), Ahead of the curve: The power of assessment to transform
teaching and learning (pp. 183-204). Bloomington, IN: Solution Tree.
CO 10
Maria Cantoni, Donatella Merlo
La casa degli insegnanti, Torino
Livello scolare: dalla materna alla secondaria di primo grado
UN PERCORSO ‘A RITROSO’ DI GEOMETRIA NELLA SCUOLA DELL’OBBLIGO: GEOGEBRA
STRUMENTO - PROTAGONISTA
Siamo partiti da un problema “scontato”: come accompagnare i cambiamenti che avvengono negli
allievi a livello fisico, dall'infanzia all'adolescenza, insieme a quelli che riguardano lo sviluppo della
loro mente
I punti fondamentali del discorso che abbiamo intrapreso in una sperimentazione di alcuni mesi con
una rete di scuole di Roseto degli Abruzzi, si possono riassumere così:
• costruire nella scuola dell’infanzia e alla primaria le fondamenta per gli approfondimenti nella
scuola secondaria
• come rendere stabili le concettualizzazioni raggiunte
• come farle evolvere
• come farle divenire man mano “strumento” per i passi successivi.
La sintesi del nostro lavoro tenta di esemplificare il percorso: siamo partite da uno dei contenuti
proposti nella sperimentazione della scuola secondaria, il Teorema di Pitagora, e abbiamo ripercorso a
ritroso il cammino ricercando gli strumenti necessari alla sua comprensione in modo che poi il
teorema stesso possa diventare a sua volta "strumento per...."
Infinite, ovviamente, sono le strade possibili che, partendo dalla scuola dell’infanzia, potrebbero far
fluire tutto il lavoro geometrico necessario.
Andando a ritroso, prima di affrontare Pitagora, “abbiamo trovato” la necessaria conquista di almeno
tre “strumenti”: le forme con le loro proprietà, le isometrie, l'equiestensione, ad ogni età ad un livello
concettuale diverso che potesse essere ripreso dal successivo per evolversi.
Spostando l’attenzione dagli “oggetti” ai nostri comportamenti relativi agli oggetti materiali che
osserviamo e manipoliamo abbiamo cercato, partendo dalle intuizioni spontanee dei bambini, dal loro
gioco, di costruire la geometria sfruttando la “geometria delle trasformazioni”. Siamo divenuti
coscienti di quello che essa “dice”, di come fa a dirlo e della sequenza logica dei procedimenti che
mettiamo in atto nelle nostre scoperte.
Abbiamo costruito le “forme” con le loro proprietà, le abbiamo confrontate, abbiamo scoperto le classi
di equivalenza …..
GeoGebra è stato protagonista come strumento grafico per l’infinita variabilità con cui può tradurre “le
figure” da considerare nelle varie fasi, la possibilità di “accompagnarci” nelle trasformazioni, di
suggerirci la necessità dei perché e infine per “esporre” i nostri risultati.
CO 11
Alessio Drivet
DI.FI.MA.
Livello scolare: Scuola secondaria di II grado, II biennio e V anno
GEOMETRIA, STATISTICA E PROBABILITÀ CON GEOGEBRA
La statistica (e la probabilità) è normalmente insegnata dal docente di matematica che, per formazione
e approccio, tende a sottostimare i punti di contatto tra le due discipline e ad enfatizzarne le
differenze.
È ben vero che approccio statistico e approccio matematico presentano diversità non facilmente
cancellabili, ma qualche passo per colmare questo gap potrebbe essere fatto.
In questo senso un approccio fusionista alla De Finetti potrebbe portare a risultati significativi,
soprattutto utilizzando uno software per la geometria dinamica come GeoGebra.
Parlando di punti di contatto non ci riferiamo ad esempi “banali” come rapporti e percentuali, tabelle e
grafici, bensì a qualcosa di più profondo come ad esempio i seguenti problemi:
1. La visualizzazione geometrica delle media aritmetica, di quella geometrica e di quella armonica;
2. La scoperta del concetto di regressione lineare con il metodo di Wald;
3. La verifica del Teorema di Jung.
Bibliografia
De Finetti B., Contro la “Matematica per deficienti”, Periodico di Matematiche, vol.50, n. 1-2, 1974
Maraschini W.-Palma M., Format, Paravia
Zucco A., Intersezione di insiemi convessi: il Teorema di Helly, Matematicamente.it, n° 16, 2011
http://www.treccani.it/scuola/tesine/statistica_e_matematica/anichini.html
http://www.educationduepuntozero.it/Temi/Didattica-e-apprendimento/2010/12/img/barra_all.pdf
http://mathworld.wolfram.com/JungsTheorem.html
CO 12
Antonio Scafuro
Liceo scientifico Rescigno, Roccapiemonte, Salerno
Livello scolare: scuola: secondaria di secondo grado, V anno
MOTO DI UNA BIGLIA LUNGO UN ARCO DI CICLOIDE
Mettiamola così: vorrei condividere il prodotto di un percorso didattico che ha messo insieme, per
mezzo di GeoGebra, funzioni goniometriche, rappresentazioni parametriche, moto rettilineo e moto
lungo un arco di cicloide in un campo uniforme. Si stava affrontando, con la classe quinta, i problemi di
massimo e di minimo, accennando, en passant, al calcolo delle variazioni. La visita al museo della
matematica di Avellino ci ha stimolati in modo forte: lì c’è, fra le altre cose, la riproduzione di una
macchina, presente anche nel giardino di Archimede a Firenze, che consente di osservare i moti di due
biglie di acciaio che partono contemporaneamente da un punto A e raggiungono il punto B, posto più
in basso di A ma su una diversa verticale, una lungo un percorso rettilineo e l’altra lungo l’arco di
cicloide che collega A con B. Qualche alunno dice: <<Prof, con GeoGebra si può costruire un file che
riproduca questo fenomeno?>> … Ci abbiamo provato!
CO 13
Maria Polo, Pietrina Malloci, Anna Maria Montis, Annelise Murgia, Silvana Saba, Daniela Sanna
Dipartimento di Matematica e Informatica e CRSEM, Cagliari
Livello scolare: Primaria e secondaria I biennio
GEOGEBRA: OGGETTO E STRUMENTO NELLO SVILUPPO PROFESSIONALE DEI DOCENTI
DI MATEMATICA
L’esperienza che presentiamo è stata condotta nell’ambito di incontri di formazione rivolti ad
insegnanti di matematica di ogni ordine scolastico e sperimentati in classi della secondaria.
Caratteristica fondante le scelte metodologiche nelle attività di formazione è stata la messa in opera di
sperimentazioni in classe, come strategia di accompagnamento del processo di innovazione delle
pratiche scolastiche abituali. Tali scelte metodologiche erano già state collaudate in nostre esperienze
precedenti di formazione all’introduzione di software di geometria dinamica fin dalla scuola primaria
(Polo, Malloci, Montis, 2006). Durante questa comunicazione saranno presentati e analizzati i materiali
utilizzati e i file prodotti nelle diverse fasi dell’ esperienza per evidenziare come, a partire da un
problema, l’attività si è incentrata sulla manipolazione di modellini cartacei e sulla ricostruzione, con
GeoGebra, di poligoni e dei movimenti necessari a realizzarli.
Una di queste attività, Caccia al quadrato, è oggetto del workshop presentato in questo convegno.
Nella sperimentazione in classe, GeoGebra è stato utilizzato sia come strumento per l’insegnante, sia
come oggetto di apprendimento per l’alunno. Le configurazioni costruite ad uso didattico per e dagli
insegnanti, sfruttando le potenzialità di GeoGebra per la costruzione di oggetti in movimento
(Acomazzo e altri, 2013), hanno riguardato anche applicazioni alla fisica o a rappresentazioni di ausilio
alla visualizzazione di proprietà matematiche non solo in ambito geometrico
I primi risultati dell’esperienza mostrano la necessità di approfondire alcune questioni aperte sulla
formazione di una cultura professionale degli insegnanti (Assude & Loisy, 2008), distinguendo gli
aspetti che riguardano l’uso delle tecnologie nelle pratiche di classe con gli alunni da quelle dell’uso “in
assenza” degli alunni.
Bibliografia
Assude T., Loisy C., (2008). La dialectique acculturation/déculturation au cœur des systèmes de
formation des enseignants aux TIC. Informations, Savoirs, Décisions et Médiations (ISDM), n°32.
Acomazzo P., e altri,(2013), Esplorazioni matematiche con GeoGebra, a cura di O. Robutti, Ledizioni.
Polo M., Malloci P., Montis A., (2006), L’integrazione delle TIC nella pratica didattica a livello di scuola
primaria e secondaria di primo grado: il caso di un’esperienza di formazione sul software Cabri
Géomètre, in (a cura di) Andronico & altri, Atti Convegno Nazionale Didamatica, Cagliari 11-13
Maggio 2006, pp.151- 162, ED. AICA.
CO 14
Cristina Todero, Viviana Bucci, Davide Gerbo
CIFIS Piemonte - PAS A049
Livello scolare: Scuola secondaria di II grado. I e II biennio
QUALITY CLASS: UNA MARCIA IN PIÚ PER LA FORMAZIONE DEGLI INSEGNANTI. ANGOLI
E TRIANGOLI: MONDO REALE E FUNZIONI. UN PERCORSO DIDATTICO CON L’AUSILIO DI
GEOGEBRA
Lo scopo di questa comunicazione è raccontare la nostra esperienza vissuta a Lione come partecipanti
della 19° Quality Class. Questo progetto promuove uno scambio di esperienze tra docenti di
matematica in formazione o appena abilitati e include la partecipazione alla conferenza annuale
promossa dalla CIEAEM (Commissione Internazionale per lo studio e il miglioramento della didattica
della matematica).
I gruppi partecipanti alla Quality Class provengono da vari paesi. Ogni gruppo prepara un proprio
workshop, della durata di 3 ore, che viene poi presentato agli altri gruppi nei giorni precedenti la
conferenza CIEAEM, insieme alla spiegazione del sistema scolastico del proprio paese. Nasce così
l’occasione di discussione e di confronto tra i partecipanti.
Il nostro lavoro riguardava la trigonometria, in particolare: la definizione di radiante, la definizione
delle funzioni trigonometriche di base, il teorema dei seni. Le proposte didattiche sono state svolte
suddividendo i partecipanti in gruppi e fornendo loro materiali poveri e software (GeoGebra ed Excel)
e schede semistrutturate. In questo modo si è permesso loro di giungere a tali definizioni tramite
manipolazione e concettualizzazione con ausili informatici.
Bibliografia
http://www.cieaem.org
Progetto [email protected]: http://risorsedocentipon.indire.it/offerta_formativa/f/
http://www.geogebra.org/cms/it/
Dispense dei corsi PAS 2014
CO 15
Giuseppina Anatriello
Dipartimento di Architettura, Università degli Studi di Napoli
Livello scolare:
UN’ESPERIENZA DIDATTICA UNIVERSITARIA: IL CALCOLO CON GEOGEBRA AD
ARCHITETTURA
I testi moderni universitari di Calcolo cercano di trovare un equilibrio tra rigore e intuizione, e in
questo tentativo vi sono esempi autorevoli (Adams e Essex, 2014, Alsina, Moral e Belenguer, 2007,
Alsina, 2008, Stewart, 2002) che trovano vincente l’utilizzo di software di calcolo e rappresentazione
in 3D. Tale esigenza è sicuramente maggiormente sentita nei corsi di Matematica per Architettura.
GeoGebra è uno strumento che offre ottime possibilità di sintesi tra un approccio rigoroso al Calcolo e
uno più intuitivo, e rappresenta un facile modo per avvicinarsi all’utilizzo di tecnologie più sofisticate.
Inoltre in esso sono contenuti tutti gli strumenti idonei per essere usato in tutto il percorso di studi
matematici all’interno dei corsi di Matematica per Architettura. Il software è stato utilizzato durante i
corsi istituzionali ad Architettura da me tenuti negli ultimi anni, con un riscontro netto del successo
formativo degli studenti. L’esperienza maturata è stata racchiusa nel volume: G. Anatriello, M.
Allegro, Calcolo con GeoGebra, Aracne, Settembre 2014. In esso sono trattati gli aspetti teorici del
Calcolo che consentono l’utilizzo consapevole del software e esempi di svolgimenti di esercizi con
GeoGebra; il percorso individuato consente di dare immediatamente a disposizione gli elementi
essenziali della Geometria delle curve e delle superfici che possono tornare utili nel percorso
formativo di un architetto. In questa comunicazione si intende mostrare alcuni esercizi
esemplificativi contenuti nel volume, svolti con utilizzo di GeoGebra.
Bibliografia
R.A. Adams, C. Essex, Calcolo differenziale 2, funzioni di più variabili, 2014, CEA (Trad R.A. Adams, C.
Essex, Calculus: A Complete Course, 8th edition, Pearson Education Canada, 2014
C. Alsina, Moral, J. J., M. S. T. Belenguer, Geometria a l'Arquitectura, Edicions UPC, 2007
C. Alsina, Geometria a l'Arquitectura, Edicions UPC, 2008
G. Anatriello, Fondamenti geometrici per la Matematica, Agosto 2014, Aracne.
L. Bu, R. Schoen, Model-centered learning: Pathways to mathematical understanding using GeoGebra,
(6), Springer, 2012.
E. S. Haciomeroglu Visualization Through Dynamic GeoGebra Illustrations, Model-Centered Learning,
SensePublishers, (2011) 133-144.
M. Hohenwarter, et al. Teaching and learning calculus with free dynamic mathematics software
GeoGebra. 11th International Congress on Mathematical Education. Monterrey, Nuevo Leon, Mexico.
2008.
Lavicza, Z. Exploring the current and future roles of Computer Algebra Systems in teaching mathematics
at the university level—A work in progress, MSOR connections 7.1 (2007), 14-16.
C. Little, Approaches to Calculus Using GeoGebra, Model-Centered Learning. SensePublishers, (2011)
191-204.
J. Stewart, Calcolo Funzioni di più variabili, Apogeo 2002. (trad J. Stewart, Calculus- Concepts and
Contexts, 2nd Edition di Belmont, CA : Brooks/Cole Cengage Learning, 2001.
Verzosa, D., Guzon, A. F., De las peñas, M.L.A.N., Using dynamic tools to develop an understanding of the
fundamental ideas of calculus, International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 45(2), (2014) 190-199.
CO 16
Stefania Serre
S.I.E.S. Altiero Spinelli, Torino e Centro Diffusione Origami Italiano
Livello scolare: scuola secondaria di II grado, I biennio
GEOGEBRA E ORIGAMI: QUALCHE RIFLESSIONE SUL SIGNIFICATO GEOMETRICO E LA
RIPRODUCIBILITÀ IN GEOGEBRA DELLE PIEGATURE DELLA CARTA
Gli origami offrono ampie possibilità di riflessione sulla geometria Euclidea: questa prospettiva
didattica nuova può essere accompagnata in modo significativo dall’uso di GeoGebra per replicare le
pieghe e ottenere un ‘origami virtuale’. Sapersi orientare tra assi, bisettrici e simmetrie diventa
indispensabile per ricostruire con il software la geometria della carta piegata e quanto ottenuto
consente di osservare in modo dinamico in quale misura le variazioni del formato del foglio di carta di
partenza o la diversa collocazione di una piega possano produrre diversi risultati finali: un vero e
proprio lavoro di progettazione origami.