scarica - Realtà , teoria... matematica!
Transcription
scarica - Realtà , teoria... matematica!
Torino, 10 Aprile 2015 Che cos’è la matematica? SCIENZA costruzione di pensiero plurisistemica aperta modellizzazione relazioni e strutture ricorrenti Che cos’è la matematica? La matematica offre gli strumenti per la descrizione scientifica del mondo Il metodo matematico ha, come punto di arrivo, la formalizzazione analisi dei fenomeni simbolizzazione relazioni modello assiomatico formalizzato A cosa serve la matematica? formazione e sviluppo dell’intelligenza superamento del sincretismo infantile e delle attitudini proiettive OGGETTIVAZIONE DELLA REALTA’ A cosa serve la matematica? • riconoscere e introdurre criteri ordinali • muoversi tra concreto e astratto • riconoscere e praticare le modalità costruttive dei concetti • avviare la pratica euristica La matematica è un modo di pensare che aiuta a comprendere meglio la realtà Se vuoi usare bene il pensiero matematico, devi imparare a conoscere gli strumenti della logica (il ragionamento) e le tecniche, cioè i modi di procedere che ti permettono di arrivare al risultato concreto La matematica è un linguaggio PAROLE e SEGNI Topologia, curve algebriche, cubo troncato, numero razionale, radice quadrata, frattale… Un linguaggio preciso e rigoroso con il quale i matematici descrivono il loro lavoro e i loro strumenti di lavoro Numeri e segni confrontare operare oppure oppure oppure Numeri e segni OPERARE (aggiungere, togliere, ripetere, distribuire) processo logico 5= -1 2= :5 Numeri e segni OPERARE (aggiungere, togliere, ripetere, distribuire) processo logico 5= 6 -1 2 = 10 : 5 Numeri e segni L’operazione è un’azione (procedimento) che permette di associare a due elementi un terzo elemento (risultato) 6+2 = 8 8 = 6+2 Numeri e segni 15 : 3 = 5 • quanti sono gli elementi che ho in partenza? • con la divisione, quanti gruppi di 5 elementi ho formato? • alla fine dell’operazione, quanti sono in tutto gli elementi? 5 o ancora 15? • sono tutti insieme o sono distribuiti? in quanti gruppi? e quanti elementi in ogni gruppo? Numeri e segni 20 - 12 = 8 RESTO DIFFERENZA 20 8 20 12 32 Le regole del far di conto sono l’impalcatura della matematica. Il nodo sostanziale è sempre il ragionamento La matematica è ragionamento LOGICA ragionamento corretto premesse conclusioni coerenti reperire dati non conosciuti attraverso l’elaborazione di dati conosciuti La matematica è ragionamento a3 Due bugiardi fanno a turno: il primo dice il falso il lunedì, il martedì e il mercoledì. Il secondo dice il falso il giovedì, il venerdì e il sabato. Oggi si incontrano e tutti e due dicono: “Ieri ho detto il falso”. Che giorno è oggi? [ giovedì ] La matematica è ragionamento a5 Quale delle seguenti operazioni ti dà un risultato maggiore: 15 x 3 oppure 15 : 0,2 ? [ 15 : 0,2 ] a6 Ottieni un risultato maggiore moltiplicando il numero 10 per 2 o dividendolo per 0,5? [ stesso risultato ] La matematica è ragionamento NUMERI esprimono supporto del ragionamento matematico quantità (5…) ordine (quinto…) rapporto (2/5, 0,4…) I numeri sono illimitati Infinito TOPOLOGIA geometria del foglio di gomma studia le proprietà di una figura sottoposta a deformazione Infinito Nastro di Moebius • superficie senza fine, bidimensionale • in torsione su se stessa nello spazio tridimensionale • con una sola linea di bordo e una sola faccia Infinito John Wallis, 1616 – 1703 Tutto nasce da uno Per trarre tutte le cose dal nulla, basta l’Uno. Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646 - 1716 Tutti i numeri si sono originati da uno soltanto: l’uno Tutto nasce da uno NUMERI NATURALI N uno / uno in più +1 Insieme dei numeri interi non negativi Tutto nasce da uno NUMERI RAZIONALI Q Insieme dei numeri ottenibili come rapporto fra due numeri interi Scala naturale e frazioni DO1 FA 1 2 3 4 3 5 1 SOL RE 2 3 8 9 SI LA 8 15 DO 1 MI 4 5 1 Scala naturale e frazioni mezzi e quarti DO1 FA 1 2 3 4 RE 2 3 8 9 SI LA 8 15 3 5 1 SOL terzi e noni quinti e quindicesimi DO 1 MI 4 5 1 Notazione convenzionale INTERO (semibreve) 4 4 META’ (minima) 2 4 QUARTO (semiminima) 1 4 SEDICESIMO (semicroma) 1 8 1 16 TRENTADUESIMO (biscroma) 1 32 OTTAVO (croma) Durata Tutto nasce da uno NUMERI RELATIVI Z 3-9 3 + (- 9) I numeri relativi sono l’associazione di un valore assoluto e di un segno (+ o -) Tutto nasce da uno NUMERI REALI R NUMERI IRRAZIONALI INTERI RELATIVI Z NATURALI N 0 NUMERI RAZIONALI Q campi dei numeri I numeri hanno una forma Possiamo rappresentare i numeri con le figure? NUMERI TRIANGOLARI 15 21 28 c1 Qual è il decimo numero triangolare? [ 55 ] I numeri hanno una forma Possiamo rappresentare i numeri con le figure? NUMERI QUADRATI PERFETTI 9 16 25 36 49 c2 Qual è il decimo numero quadrato perfetto? [ 100 ] I numeri hanno una forma I numeri hanno una forma I numeri hanno una forma SUCCESSIONE DI FIBONACCI Dopo 0 e 1, ogni nuovo numero che segue è la somma dei due numeri che lo precedono immediatamente 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 c3 Come prosegue la serie di Fibonacci? 3+5=8 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21 13 + 21 = 34 I numeri hanno una forma Nel piano e nello spazio punto retta piano Con il punto, la retta e il piano costruisco tutto! concetti primitivi Davvero? Anche i solidi? La prima geometria, fondamento di tutte le altre, è la geometria euclidea Nel piano e nello spazio geometria piana bidimensionale (2D) geometria solida tridimensionale (3D) Nel piano e nello spazio PROBLEMA trovare dimostrare Cioè, secondo te, A + B sarebbe uguale a C? Puoi dimostrarlo? teorema proposizione dimostrata logicamente Nel piano e nello spazio I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti al quadrato costruito sull’ipotenusa Nel piano e nello spazio I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti al quadrato costruito sull’ipotenusa Nel piano e nello spazio I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti al quadrato costruito sull’ipotenusa Nel piano e nello spazio OPERAZIONI traslazione rotazione ribaltamento TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE SOLIDI figure complesse Nel piano e nello spazio UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE Nel piano e nello spazio UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE Nel piano e nello spazio UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE Nel piano e nello spazio UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE Nel piano e nello spazio Renè Descartes, Cartesio (1596– 1650 ) GEOMETRIA ANALITICA Nel piano e nello spazio GEOMETRIA PROIETTIVA Nel piano e nello spazio sfera se il piano fosse una sfera? Nel piano e nello spazio GEOMETRIA ELLITTICA Nel piano e nello spazio A = 90° C=? B = 90° la somma degli angoli interni misura ancora 180°? NO