Ein-Faktor-Zinsmodelle

Ein-Faktor-Zinsmodelle
M. Gruber
14. 05 2014
Zusammenfassung
Beispiel mit Realdaten (Euro Libor overnight, Euribor 3 weeks), Vasicek-Modell mit Simulation,
Cox-Ingersoll-Ross-Modell mit Simulation, Hull-White-Modell.
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Beispiel mit Realdaten
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
Jan
Abbildung 1:
Apr
Jul
Oct
Euro Libor overnight (blau), Euribor 3 weeks (rot), 2001-10-15 bis 2002-10-15
1
M.Gruber, SS 2014
•
Stochastic Processes in Risk and Finance
The Euro LIBOR interest rate is the average interbank interest rate at which a
large number of banks on the London money market are prepared to lend one
another unsecured funds denominated in European euros. The Euro LIBOR interest
rate is available in 7 maturities, from overnight (on a daily basis) to 12 months.
(. . . ) We update these interest rates daily.
•
1
Euribor is short for Euro Interbank Oered Rate. The Euribor rates are based
on the interest rates at which a panel of European banks borrow funds from one
another. In the calculation, the highest and lowest 15% of all the quotes collected
are eliminated. The remaining rates will be averaged and rounded to three decimal
places. Euribor is determined and published at about 11:00 am each day, Central
European Time.
1
2
2
http://global-rates.com/interest-rates/libor/european-euro/euro.aspx
http://www.euribor-rates.eu/euribor-rate-3-weeks.asp
2
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Vasicek-ModellVasicek-Modell (1977)
Das Vasicek-Modell wird in [2], pp.150, beschrieben
3.
Die stochastische Dierentialgleichung des Vasicek-Modells lautet
dR(t) = a(b − R(t)) dt + σ dB(t)
(1)
mit den Gröÿen
• b>0
für den langfristigen Mittelwert,
• a>0
für die Steigkeit (oder auch: Geschwindigkeit),
• σ>0
für die Volatilität.
3
zur Geschichte und Bedeutung des Vasicek-Modells siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Vasicek_model.
3
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Simulation eines Vasicek-Prozesses
0.04
0.03
0.02
0.01
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.025,
0.01.
Abbildung 2: Drei Pfade eines Vasicek-Prozesses mit langfristigem Mittelwert
Volatilität
0.03,
Steigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit)
4.0
und Anfangswert
4
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Vor- und Nachteile des Vasicek-Modells
(
)
−2at
−at
σ2
) .
R(t) ∼ N (R(0) − b)e + b, 2a (1 − e
•
Die Normalverteilungseigenschaft ist günstig für Simulation und andere Berechnungen (siehe [1]).
•
Sie führt aber auch dazu, dass
R(t)
leicht negative Werte annehmen kann, eine
unerwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell.
•
Es gibt eine Rückkehrtendenz zum langfristigen Mittelwert
limt→∞ E R(t)
= b,
(mean reversion):
eine erwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell.
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M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Cox-Ingersoll-Ross-Modell (1985)
Die übliche Abkürzung für Cox-Ingersoll-Ross ist CIR.
Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell wird in [2], pp.151, beschrieben.
4
Die stochastische Dierentialgleichung des CIR-Modells lautet
√
dR(t) = a(b − R(t)) dt + σ R(t) dB(t)
mit
(2)
b, a und σ wie beim Vasicek-Modell. Die Bezeichnung Wurzel-Diusionsprozess
(square-root diusion process)
für den CIR-Prozess erklärt sich selbst.
5
(2) ist lösbar, aber nicht in geschlossener Form. Wir lösen die Gleichung hier nicht.
Informationen zur Geschichte und Bedeutung des CIR-Modells ndet man auch unter http://de.
wikipedia.org/wiki/Wurzel-Diffusionsprozess#Cox-Ingersoll-Ross-Modell bzw.http://en.wikipedia.
org/wiki/Cox-Ingersoll-Ross_model.
5
Eine Beschreibung der Lösung ndet man in http://www.riskmathics.com/archivos/wojciech02.pdf.
4
6
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Simulation eines CIR-Prozesses
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.025,
0.01.
Abbildung 3: Drei Pfade eines CIR-Prozesses mit langfristigem Mittelwert
Volatilität
0.03,
Steigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit)
4.0
und Anfangswert
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M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Eigenschaften des CIR-Modells
Man kann Eigenschaften der Lösung R(t) direkt von der Dierentialgleichung (2) ableiten.
•
Es ist, wie beim Vasicek-Modell, E R(t)
•
Der Prozess hat die
•
Es ist Var R(t)
= (R(0) − b)e−at + b.
mean-reversion-Eigenschaft limt→∞ E R(t) = b.
= R(0)(e
−at
−2at σ2 σ2 b
−e
) a + 2a (1−e−at)2, also limt→∞ Var R(t)
=
σ2 b
2a .
• R(t) ist nicht normalverteilt. Mit der Kenntnis von asymptotischem Erwartungswert
und asymptotischer Varianz kann man noch keine Aussage darüber machen, ob
negative Werte für
Positivität von
6
R(t) möglich sind. Es ist aber bekannt, dass das CIR-Modell die
R(t)
6
garantiert , eine erwünschte Eigenschaft des Modells.
http://www.riskmathics.com/archivos/wojciech05.pdf
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M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Hull-White-Modell (1990)
Das Hull-White-Modell ist eines der heute gebräuchlichen
short-rate -Modelle. 7
Die stochastische Dierentialgleichung des Hull-White-Modells lautet
dR(t) = (θ(t) − α(t)R(t)) dt + σ(t) dB(t).
In der Praxis wird
(3)
θ von Zinsstrukturkurven abgeleitet, α z.B. auf der Basis historischer
Daten geschätzt und
σ
an
caplets
und
swaptions
kalibriert.
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(3) ist eine lineare stochastische Dierentialgleichung im engeren Sinn. Das Lösen
linearer stochastischer Dierentialgleichung ist Thema der nächsten Vorlesung.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hull-White_model.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.8.4779&rep=rep1&type=pdf und http:
//pages.stern.nyu.edu/~dbackus/3176/hwnote.pdf
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M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Literatur
[1] Steven Finch. Ornstein-Uhlenbeck Process, 2004. [May 15, 2004].
[2] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II. Springer, 2004.
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