Die Langevin-Gleichung und die Fokker-Planck

Seminar Mechanik
28.05.2013
Referent: Eike Beck
Die Langevin-Gleichung und die Fokker-Planck-Gleichung
Eine Langevin-Gleichung (in einer Dimension) hat folgende Form
ẋ = f (x) + Γ(t)
Γ ist eine sog. stochastische
Kraft - Lösungen sind demnach auch keine gewöhnlichen Trajektorien
mehr, sondern Wahrscheinlichkeitsdichten. Wir wollen annehmen, dass es sich um weiÿes Rauschen
handelt, d.h. es gilt
< Γ(t) >= 0, sowie < Γ(t)Γ(t0 ) >= σ 2 δ(t − t0 ).
Γ(t) normalverteilt ist.
Eine gerade für Anwendung
sinnvolle Annahme ist, dass
Das prominenteste Beispiel einer LG ist die Beschreibung eines brownschen Teilchens. Dabei ersetze man x durch die Geschwindigkeit v;
Γ entspricht dann den Kräften die von den mikroskopischen
Teilchen durch Stöÿe ausgeübt werden.
Die LG hat jedoch ihre Tücken: Sie ist keine Dierentialgleichung! Eine Lösung ndet man daher
besser mit der Fokker-Planck-Gleichung. Diese erhält man durch die
Kramers-Moyal-Entwicklung und die Fokker-Planck-Gleichung
Wir betrachten zunächst allgemein die Evolution eines Markov-Prozesses:
1
∂ρ(x, t)
= lim
[ρ(x, t + dt) − ρ(x, t)]
dt→0 dt
∂t
Wobei wir (wie auch im folgenden)
ρ(x, t | x0 , t0 ) =: ρ(x.t) abkürzen. Mit der Chapman-Kolmogorov-
Gleichung kann man dies umschreiben zu:
∂ρ(x, t)
1
= lim
dt→0 dt
∂t
Z
ρ(x, t + dt | z, t)ρ(z, t)dz − ρ(x, t)
Für einen kleinen Schritt von x führen wir nun einen neuen Bezeichner ein, das Inkrement :
∆x := x − z
∆x
muss für kleine
dt
gegen Null gehen, man stelle es sich also klein vor.
Wir werden nun statt direkt der Ableitung von
Testfunktion betrachten:
ρ
die Zeitableitung des Erwartungswertes einer
Z
∂t < g >=
g(x)∂t ρ(x, t)dx
und setzten ein, was wir bisher durch unsere Umformungen erreicht haben:
1
dt→0 dt
Z
lim
Z
dx
Z
dzg(x)ρ(x, t + dt | z, t) −
dxg(x)ρ(x, t)
Da z beliebig war können wir schreiben
1
dt→0 dt
lim
Z
Z
d∆x
dzg(∆x + z)ρ0 (∆x, t + dt | z, t) −
Z
dxg(x)ρ(x, t)
Wir taylorn g bis zur 2. Ordnung, vertauschen die Integrationsreihenfolge. Dabei kürzt sich zum
einen der erste Term, zum anderen tauchen folgende Terme auf:
n
< (∆x) >:=
Z
d∆x(∆x)n ρ0 (∆x, t + dt | z, t)
1
Es ergibt sich:
1
lim
dt→0 dt
Z
g 00 (z)
dzg(z)(g (z) < δx > +
< (∆x)2 > +O(< (∆x)3 >)ρ(z, t))
2
0
Nun können wir jeweils partiell integrieren und die Ableitung auf die
< (∆x >)n
abwälzen. Es
bleibt:
Z
lim
dt→0
< (∆x)2 >
∂2
< (∆x)3 >
∂ < δx >
ρ(z, t) +
ρ(z,
t)
+
O
dzg(z) −
∂z
dt
2∂z 2
dt
dt
Entscheidend für die Konvergenz ist nun das Verhalten der Momente für kleine
dt.
Frommer Wunsch:
< (∆x)k >= Ak (z, t)dt + o(dt)
Ist die Konvergenz gesichert, kann man auch höhere Ordnungen betrachten. Man erhält dann die
sog. Kramers-Moyal Entwicklung :
k
∞
X
∂
1
[Ak (x)ρ(x, t)]
∂t ρ(x, t) =
−
k!
∂x
k=1
Die Entwicklung bis einschlieÿlich zur 2. Ordnung heiÿt Fokker-Planck-Gleichung.
Die Fokker-Planck-Gleichung eines Langevinprozesses
Für
z = x(t)
erhalten wir zunächst:
Z
t+dt
∆x = x(t + dt) − x(t) =
Z
t+dt
f (x(τ ))dτ +
t
Γ(τ )dτ
t
Den 2. Summanden bezeichnet man (gerade in der Mathematik) gerne mit
dWt .Man
berechnet
nun:
< ∆x > = f (x(t))dt
< (∆x)2 > =< (dW )2 > σ 2 dt
Die höheren Ordnungen verschwinden. Damit erhalten wir für unser Problem die folgende FokkerPlanck-Gleichung:
∂ρ(x, t)
∂
σ2 ∂ 2
= − [f (x)ρ(x, t)] +
ρ(x, t)
∂t
∂x
2 ∂x2
Beispiel (Schwabl 8.3.1)
Benutzt man die Einstein-Beziehung des letzten Vortrags so erhält man aus der Langevin-Gleichung
eines brownschen Teilchens:
∂
∂
kT ∂ 2
ρ(v, t) = −ζ vρ(v, t) + ζ
ρ(v, t)
∂t
∂v
m ∂v 2
Durch geeignete Substitutionen kann man diese Gleichung in die Diusionsgleichung überführen
und erhält schlieÿlich als Lösung:
ρ(v, t) =
m
2πkT (1 − exp(−2ζt))
2
12
m(v − v0 e−ζt )2
exp −
2kT (1 − e−2ζt )
Beispiel (nach: http://en.wikipedia.org/wiki/Black_scholes)
Die Langevin-Gleichung hat auch Anwendungen in der Finanzmathematik, z.B. bei der Bestimmung von Opitonspreisen. Die einfachsten Optionen sind die put-Option und die call-Option.
Ein put gibt einem das Recht, zu einem bestimmten, festgelegten Zeitpunkt eine festgelegte Menge
eines Wertpapiers zu einem ebenso festgelegten Preis zu verkaufen.
Ein call hingegen ermöglicht es einem zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Wertpapier
zu einem festen Preis zu kaufen.
Zur Preisbestimmung der Option geht man folgendermaÿen vor. Man sucht ein Portfolio aus Wertpapier und Option, dessen Wert nicht mehr vom Kurs des Wertpapieres abhängt. Dies führt zur
sog. Black-Scholes-Gleichung. Am Fälligkeitszeitpunkt ist der Preis der Option bekannt, der Preis
in Abhängigkeit der Zeit ist dann die Lösung der BSG mit dieser Randbedingung.
Es werden dabei mehrere Annahmen gemacht - die für uns interessanteste ist: Der Kurs S des
Wertpapiers entspricht einer BB mit konstantem Drift und konstanter Schwankung (Volatilität):
dS
= µ dt + dW
S
Sei nun
V (S, t)
der Preis der Option. Wir taylorn:
dV =
Jetzt setzen wir
2
dS
∂
∂
1 ∂2
V (dS)2
V dS + V dt +
∂X
∂t
2 ∂S 2
von oben ein und erhalten unter Vernachlässigung von
(dt)2 , dtdW
und mit
2
(dW ) = σ dt:
dV =
Der Wert
Π
∂V
∂V
1
∂2V
µS
+
+ σ2 S 2 2
∂S
∂t
2
∂S
dt + S
∂V
dW
∂S
∂V
∂V
∂S Wertpapieren ist gerade −V + ∂S S . Bedurch dV etc. und setzten die obigen Identitäten
eines Portfolios mit einer Option und
trachten wir kleine Änderungen, ersetzen also
ein, kürzen sich die Terme mit
dW
V
gerade heraus!
Eine der Annahmen von Black-Scholes ist jedoch die Arbitragefreiheit. Die Änderung
dΠ
muss
also gleich dem Gewinn einer Risikofreien Anlage sein, also einem Sparbuch mit Zins r. Dann gilt
jedoch
dΠ = rΠdt
Setzt man dies ein, erhält man die Black-Scholes-Gleichung:
∂V
1
∂2V
∂V
+ σ 2 S 2 2 + rS
− rV = 0
∂t
2
∂S
∂S
Literatur
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Kree, R.: Stochastische Beschreibung physikalischer Systeme. Vorlesungsskript,
http://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/ kree/master/part1.pdf
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Schwabl, F.: Statistische Mechanik
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Haken, H.: Synergetics
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Risken, H.: The Fokker-Planck Equation
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