aufgabe 1: begriffserwerb

PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
AUFGABE 1: BEGRIFFSERWERB
Nach der Scheidung behält Frau Schultze-Kröttendörfer nicht nur ihren
Doppelnamen („Wir bleiben Freunde.“) sondern auch den nagelneuen
Audi (Freunde?). Im Kofferraum findet sie ein gar merkwürdiges Gerät
(s. nebenstehende Abbildung). „Das ist ein Scherenwagenheber“,
erklärt ihr Sohn Mark und demonstriert dessen Funktionsweise.
Unmittelbar darauf hat Frau Schultze-Kröttendörfer eine
Einsatzmöglichkeit für den Wagenheber gefunden. In ihrer nächsten
Unterrichtseinheit im Fach Mathematik muss sie die verschiedenen
Vierecksarten einführen.
Vom Scherenwagenheber begeistert beschließt sie, mit einer recht speziellen Vierecksart zu beginnen. Zur
Erarbeitung dieses speziellen Vierecksbegriffs wird sie den Wagenheber einsetzen
a)
Zur Einführung welcher Vierecksart ist der Scherenwagenheber besonders geeignet?
1
b) Geben Sie eine mathematisch saubere Konventionaldefinition des erarbeiteten Begriffs an, die sich
unmittelbar aus dem Wagenhebermodell ergibt. Beachten Sie bei der Wahl des Oberbegriffs die
spezielle Vorgehensweise von Frau Schultze-Kröttendörfer bei der Reihenfolge der Behandlung der
Vierecksarten.
3
c)
Neben dem Einsatz des Scherenwagenhebers zur Generierung verschiedener Repräsentanten des zu
erarbeitenden Vierecksbegriffs sieht Frau Schultze-Kröttendörfers Unterrichtsentwurf vor, dass ihre
Schüler selbst tätig werden. Entwerfen Sie eine entsprechende Aufgabenstellung zum konstruktiven
Begriffserwerb, die unmittelbar auf Ihre Definition aus Teilaufgabe b) führt.
3
d) In einer Erstfestigung möchte Frau Schultze-Kröttendörfer den erarbeiteten Begriff absichern. Hierzu
sieht sie Identifizierungstätigkeiten der Schüler bezüglich des neu gewonnenen Begriffs vor. Helfen Sie
Frau Schultze-Kröttendörfer und skizzieren Sie in der folgenden Tabelle Repräsentanten von
Viereckstypen, die im Arbeitsblatt von Frau Schultze-Kröttendörfer unbedingt eine Rolle spielen
sollten.
(I)
(II)
(III)
Seite 1
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
(IV)
(V)
(VI)
6
e) Begründen Sie Ihre Skizzen von Aufgabenteil d). Argumentieren Sie dabei ggf. mit Beziehungen zu
Ober- bzw. Unterbegriffen.1
(I)
1
(II)
1
(III)
1
(IV)
1
(V)
1
(VI)
1
f)
Welchen häufigen Nachteil des konstruktiven Begriffserwerbs gegenüber dem Begriffserwerb, bei dem
der Lehrer das Ausgangsmaterial zum Begriffserwerb bereit stellt, hat Frau Schultze-Kröttendörfer
durch ihr Arbeitsblatt zum Identifizieren wettgemacht?
1
g)
1
Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit will Frau Schultze-Kröttendörfer durch Verallgemeinerung
auf den jeweils nächsthöheren Oberbegriff hinaus. Ganz moderne Pädagogin lässt Frau SchultzeKröttendörfer ihre Schüler das nächste Ziel der Reise durch das „Haus der Vierecke“ selbst bestimmen.
Diese äußern den Wunsch, dass die nächste Vierecksart auch als Grundlage für die Konstruktion eines
Scherenwagenhebers dienen könnte. Frau Schultze-Kröttendörfer überlegt kurz und sagt dann, dass
sie dem Wunsch der Schüler entsprechen kann. Welches ist das nächste Reiseziel der Klasse von Frau
Schultze-Kröttendörfer? Begründen Sie mit einer speziellen Eigenschaft, die sowohl die
Repräsentanten des bereits erarbeiteten als auch die des als nächstes zu erarbeitenden Oberbegriffs
Etwa in der Art: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
Seite 2
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
aufweisen und die grundlegend für das Funktionieren eines Wagenhebers ist. Welche
Verallgemeinerung wird bei der Begriffserarbeitung vorgenommen?
4
h) Das „Reiseziel“ war zunächst offen und hätte auch zu einem anderen Oberbegriff führen können. Zu
welchem? Welche Verallgemeinerung würde man jetzt vornehmen? Warum sind die Repräsentanten
dieses Oberbegriffs nicht zur Konstruktion von Scherenwagenhebern geeignet?
4
i)
Einige Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer schlagen vor, für die Repräsentanten des entsprechend
Teilaufgabe g) erarbeiteten Oberbegriffs2 die Bezeichnung „Wagenheberviereck“ einzuführen. Tanja
meint jedoch, dass es „Wagenhebervierecke“ geben würde, die keine Repräsentanten des
erarbeiteten Oberbegriffs sind. Skizzieren und beschreiben Sie ein solches von Tanja gemeintes
Viereck.
2
j)
Am Ende der Unterrichtseinheit steht das „Haus der Vierecke“. Die Idee des „Wagenhebervierecks“
entsprechend Teilaufgabe i) hat die Schüler derart fasziniert, dass sie diesen Viereckstyp unbedingt in
das „Haus der Vierecke“ aufnehmen wollen. Skizzieren Sie das „Haus der Vierecke“3 und ergänzen Sie
es durch den Typ „allgemeines Wagenheberviereck“.
9
2
3
Frau Schultze-Kröttendörfer hat wirklich den üblichen Oberbegriff erarbeitet.
Verwenden Sie nur die in der Schule üblichen Vierecksarten.
Seite 3
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
AUFGABE 2: BEGRÜNDEN , BEWEISEN, ARGUMENT IEREN, KONSTRUIEREN
Im Technikunterricht haben die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer über den Riementrieb gesprochen. Sie
versuchen einen solchen prinzipiell zu skizzieren:
So recht zufrieden sind die Schüler mit ihren Skizzen nicht. Sie bitten Frau Schultze-Kröttendörfer, im
Geometrieunterricht eine echte Konstruktion einer derartigen Abbildung zu behandeln.
a)
Benennen Sie, was aus geometrischer Sicht zu konstruieren ist.
1
b) Frau Schultze-Kröttendörfer ist der Wunsch der Schüler eine willkommene Gelegenheit, um die
Problemlösestrategie „Rückführung auf ein einfacheres Problem“ zu erläutern. Führen Sie das obige
komplexe Problem auf ein einfacheres und dieses auf ein noch einfacheres Problem zurück. Erläutern
und skizzieren Sie diese beiden Probleme.
einfacheres Problem:
3
noch einfacheres Problem:
3
c)
Logischerweise behandelt Frau Schultze-Kröttendörfer zunächst mit den Schülern das einfachste der
Probleme entsprechend Teilaufgabe b). Welchen Satz zur Beziehung spezieller Geraden zu einem Kreis
muss Frau Schultze-Kröttendörfer mit ihren Schülern jetzt behandeln? Formulieren Sie diesen Satz in
der Form „Wenn-Dann“.
2
Seite 4
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
d) Erläutern und skizzieren Sie eine Möglichkeit, den Satz aus Teilaufgabe c) zu finden. Welchen Typ von
Satzfindung haben Sie gewählt?
4
e) Zur Lösung des nächstschwierigeren Problems setzt Frau Schultze-Kröttendörfer eine DGS-Applikation
ein:
B
M
P
k
B
M
P
k
Erläutern Sie, wie die Applikation von Frau Schultze-Kröttendörfer zur Lösung des Problems beitragen
kann. Frau Schultze-Kröttendörfers Applikation ist ggf. noch nicht instruktiv genug. Ergänzen Sie die
Applikation diesbezüglich.
5
Seite 5
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
f)
Geben Sie eine schülergemäße Konstruktionsbeschreibung für das Konstruktionsproblem aus
Teilaufgabe e). (Der Kreis , und der Punkt seien bereits gegeben.)
4
g)
Geben Sie eine schülergemäße Begründung, warum Ihre Konstruktionsbeschreibung aus Teilaufgabe f)
korrekt ist.
4
h) Verdeutlichen Sie mittels einer Skizze kurz und knapp die Lösung des eigentlichen komplexen
Konstruktionsproblems.
3
Seite 6
PH-Heidelberg, Fach Mathematik
Klausur zur Teilprüfung Modul 3 (Didaktik der Geometrie), Sommersemester 2008
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
erreichte Punkte:
65
61
57
53
49
45
40
30
20
10
0
Note:
Punkte
bis
bis
bis
bis
bis
bis
bis
bis
bis
bis
bis
68
64
60
56
52
48
44
39
29
19
9
Note
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
Seite 7