Heft 22 - mpg

Haus der Mathematik
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zeitung für mathematik am mpg trier / heft 22 / juni 2008
Inhaltsverzeichnis
Die Leonardo da Vinci Brücke
Das Buffonsche Nadelproblem
Der Somawürfel
Babylon
Mathematische Spiele
Das Problem der Kaufleute
Knoten knüpfen
Kommunikation im Flüsterton
Origami
Seite
von Matthias Leinen
von Marius Meyer
von Nora Heiser
von Hans Willkomm
Von Sebastian Bollig
von Hans Willkomm
von M. Zimmermann
und M. Meyer
von Nora Heiser
von Marius Meyer
Kryptographie
von Sebastian Bollig
Die Hui Hui Maschine
von Hans Willkomm
Optische Täuschungen
von Julia Markarava
Papierflieger
von M. Zimmermann
Mathematisches Quiz
von J. Hoffmann
Sudoku
von J. Hoffmann
Magische Quadrate
Tangram
2
von Sebastian Bollig
von Marius Meyer
Die Leonardo da Vinci Brücke
Diese Brücke besteht aus Latten, die durch eine
geschickte Konstruktion so zusammen gefügt werden
können, dass eine Brücke entsteht, die einiges aushält.
Erfunden hat sie Leonardo da Vinci. Da diese Brücke
transportfähig war, eignete sie sich damals gut, um im
Feindesland über Flüsse zu kommen, außerdem lässt
sie sich (fast) beliebig erweitern.
Der Aufbau ist ganz einfach, wenn man weiß, wie man
loslegen muss:
1. Zuerst legt man auf eine Holzlatte zwei andere
Latten senkrecht so dass die Enden
von diesen Latten am Rande der
ersten Latte liegen. Nun legt man
eine weiter Latte mittig auf die
beiden äußeren Latten. Dann sieht
es so aus wie im ersten Bild.
2. Jetzt hebt man die Holzlatte an, die im oberen Bild
unten liegt und fügt zwei Latten von unten so ein,
dass sie unter der angehobenen Latte liegen, aber
über der Latte die parallel zu der angehobenen
Latte liegt und erhält so
bereits eine erste kleine
Brücke.
3
3. Nun legt man zwei Latten auf die im
Bild unten liegende Latte, dabei
liegen die Enden wieder am Rand.
Dies kann man rechts sehen.
4. Die nächste Stufe der Brücke ist eine symmetrische
Konstruktion. Aus der gesamten Bildfolge erkennt
man jetzt, wie man weitere
Stufen der Brücke erzeugen
kann.
4
Das Buffonsche Nadelproblem
Im Jahre 1727 entwickelte George-Louis Leclerc eine
interessante Methode zur Bestimmung der Kreiszahl Pi.
1. Bei einem Zufallsexperiment werden auf ein Blatt
Papier Parallelen mit gleichem Abstand gezeichnet.
2. Im zweiten Schritt werden Nadeln (oder Stöckchen )
der Länge l auf das Blatt geworfen.
3. Dieser Versuch wird möglichst oft wiederholt
(bestenfalls ein paar Tausend mal), wobei das
Verhältnis der Würfe notiert wird, bei denen die
Nadel eine der Linien schneidet zur Gesamtzahl der
Würfe.
4. Nun berechnet man Pi wie folgt: π ≈ 2 ⋅
h
Dabei ist h die relative Häufigkeit des Treffens(A)
zur Anzahl aller Versuche.
A
A
Es gibt natürlich wesentlich genauere Möglichkeiten π zu
bestimmen. Der Versuch zeigt jedoch, dass numerische
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Probleme durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung auch
ziemlich genau gelöst werden können.
Zum Beweis der Formel:
1. Wir können annehmen, dass die mittlere Anzahl der
Treffer proportional zur Länge der Nadel l ist:
hA = k ⋅ l
⇔
hA
k= l
2. Bisher war die Nadel immer gerade, jetzt jedoch
versuchen wir den selben Versuch mit verbogener
Nadel. Dabei dürfte sich die Anzahl der Treffer nicht
ändern, wie auch die Skizze zeigt (Voraussetzung: l
bleibt konstant):
3. Die Nadel kann beliebig oft geknickt werden, oder
sogar zu einem Kreis gebogen werden. Zum
speziellen Fall:
d = Abstand der Parallelen.
6
2
Hier gilt: k = π ⋅ d , weil der Kreis mit Durchmesser d
gleich Abstand der Parallelen immer zweimal trifft und
der Kreis den Umfang π ⋅ d hat ( = Nadellänge).
Also ist :
hA =
2
⋅l
π ⋅d
Und deshalb:
π=
2
⋅l
hA ⋅ d
Für den Spezialfall l = d hat man dann eine noch
einfachere Formel:
π=
2
hA
Viel Spaß beim Nadeln werfen!
Der Somawürfel
Der Somawürfel ist ein dreidimensionales Puzzle und
setzt sich aus 7 verschiedenen Formen zusammen:
Insgesamt besteht er aus 27
Einzelwürfeln, die – bis auf eine
Ausnahme
–
zu
Figuren
zusammen geklebt sind, die aus
je vier Würfeln bestehen. Es
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sind gleichzeitig alle Figuren, die man aus vier Würfeln
überhaupt bilden kann (Man beachte, dass die beiden
oberen Figuren zwar spiegelbildlich, aber nicht identisch
sind).
Man kann die sieben Figuren auf 240 verschiedene
Arten zu einem 3x3x3 Würfel zusammensetzen.
Es gibt dabei aber nicht nur die Form des Würfels ,
sondern auch andere – der Phantasie sind keine
Grenzen gesetzt:
Sofa
Bett
Wanne
Tor
Grab
Turm
Quelle:
http://www.mathematische-basteleien.de/somawuerfel.htm
Babylon
Babylon ist ein dreidimensionales Puzzle, dass mit dem
Soma-Würfel verwandt ist. Ähnlich wie beim SomaWürfel werden Teile, die aus mehreren einfachen
Würfeln
zusammen
geklebt sind, zu einem
großen
3x3-Würfel
zusammengesetzt.
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Babylon enthält sechs Teile aus vier Würfeln und zwei
Teile aus drei Würfeln. Zusätzlich gibt es noch zwei
Auswahl-würfel. Mit ihnen wird ein Teil aus drei Würfeln
und ein Teil aus vier Würfeln bestimmt, die dann nicht
mitspielen. Nur das T-förmige Holzteil aus vier Würfeln
ist immer dabei.
Das Unglaubliche: Aus den restlichen sieben Teilen
kann immer der große Würfel gebaut werden.
Wer nicht selber basteln will, kann sich das Spiel mit
mehreren Varianten und einem „Almansur“ genannten,
durch Verdrehen variablen Zusatzteil vom Jumbo-Verlag
auch im Spielladen kaufen.
Mathematische Spiele
Im folgenden beschreiben wir ein paar Spiele, die
mathematisch angehaucht sind und deshalb gerne von
Mathematikern gespielt werden.
1. Das Kästchenspiel
Zuerst malt man sich ein Spielfeld mit einer beliebigen
Anzahl von Kästchen in einer Reihe z.B. 16 Kästchen.
Beide Spieler ziehen abwechselnd. Sie besetzen jeweils
2 oder 3 nebeneinanderliegende unbesetzte Felder. Der
eine markiert seine Felder mit einem Kreuz, der andere
mit einem Kreis.
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Gewonnen hat, wer als Letzter ziehen kann.
Beispiel: Auf dem Feld war bis jetzt Spieler „O“ zweimal
dran, der nächste Zug erfolgt also mit „X“. Wie kann „X“
den Sieg erzwingen? Was hat „O“ vorher falsch gemacht
oder hatte er sowieso keine Chance?
XXX
OO
OOO
2. Das Ein-Stein-Spiel
Dies ist ein sehr einfaches Spiel für zwei Personen auf
einem Schachbrett (Gefunden in „Spektrum der
Wissenschaft, Mai 2006). Man benötigt nur einen Stein,
der zu Beginn in die rechte obere Ecke gelegt wird. Nun
wird abwechselnd mit diesem Stein gezogen und zwar
nur waagerecht nach links, senkrecht nach unten oder
diagonal nach links unten.
Es dürfen entweder ein
oder zwei Schritte gemacht
werden, aber immer nur in
eine Richtung. Derjenige,
der in seinem Zug auf das
untere linke Feld kommt hat
gewonnen.
Natürlich muss man immer
ziehen und darf seinen Zug
nicht auslassen.
3. Hexagon
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Hexagon ist ein strategisches Brettspiel, welches auf
einem rhombenförmigen Spielbrett mit z. B. 11 mal 11
sechseckigen Feldern gespielt wird.
Jedes
Feld
ist
mit
seinen
umgebenden Feldern benachbart.
Je zwei gegenüberliegende Felder
sind gleichfarbig mit den Farben der
Spieler markiert, die abwechselnd
einen Stein ihrer Farbe setzen. Ziel
des Spiels ist es die Seiten seiner
Farbe mit einer Kette seiner Steine
zu verbinden. Eine Kette besteht
aus Steinen die alle direkt
miteinander verbunden sind. Bei
diesem Spiel kann es kein
Unentschieden geben, da die einzige Möglichkeit den
Gegner zu blockieren darin besteht selbst eine
Gewinnkette zu bilden.
4. Die Türme von Hanoi
Die Türme von Hanoi sind
ein
mathematisches
Knobel- und Geduldspiel.
Das Spiel besteht aus drei
Stäben A,B, C auf die
verschieden
große
Scheiben gelegt werden. Zu Beginn sind alle Scheiben
der Größe nach mit der größten Scheibe unten und der
kleinsten Scheibe oben auf dem Stab A. Ziel des Spiels
ist es nun alle Scheiben vom Stab A zum Stab C zu
versetzen. Bei jedem Zug darf die obere Scheibe eines
beliebigen Stapels auf einen der zwei anderen Stäbe
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gelegt werden. Jedoch müssen die Scheiben während
des gesamten Spiels auf jedem Stapel der Größe nach
geordnet sein. Dass heißt, es darf nie eine größere
Scheibe auf eine kleinere gelegt werden.
5. Fünf in einer Reihe (Go Moku)
Fünf in einer Reihe ist ein klassisches Strategiespiel,
dass in vielen Ländern der Erde bekannt ist. In Europa
wird es meist mit Bleistift und Papier gespielt. Auf einem
Karopapier markieren die zwei Spieler abwechselnd ein
Karo mit ihrem Zeichen (üblicherweise mit Kreuzen x
und Kreisen O). Sieger ist wer als Erster fünf seiner
Zeichen in einer ununterbrochenen Reihe anordnen
kann. Diese Reihe kann vertikal, horizontal oder
diagonal verlaufen.
Das Problem der Kaufleute
Wie wir alle wissen, haben Kaufleute nicht nur das Ziel,
uns gut mit Waren zu versorgen – sie wollen auch ein
gutes Geschäft machen. Bei einem hohen Preis könnte
ein Kaufmann nun eigentlich viel verdienen, wenn da
nicht noch ein zweiter Kaufmann wäre, der das gleiche
Produkt billiger anbieten könnte.
Ein Beispiel soll das Problem erläutern:
In einer Stadt teilen sich zwei Kaufleute den Markt für
100 Handys, die sie bei einem Popkonzert in einem
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speziellen Design verkaufen können. Sie könnten sie
nach einer Preisabsprache dabei einen Gewinn von 60 €
pro Gerät machen – jeder könnte also 3000 € verdienen.
Wenn aber einer der beiden den Preis um 10 €
reduziert, könnte er – im Idealfall – alleine 100 Handys
verkaufen und damit einen Gewinn von 5000 € machen,
während der zweite Händler leer ausgeht.
Wenn allerdings beide diesen Trick versuchen und dann
deshalb jeder wieder 50 Handys verkauft, hätten sie
theoretisch einen Gewinn von 2500 €. Weil sie aber
wegen ihrer „Schlauheit“ mit einem höheren Absatz
gerechnet hatten, haben sie nun unverkäufliche Geräte
zuviel, die zu einem Verlust führen, so dass jeder Netto
nur noch 1000 € verdient.
Wir setzen hier voraus, dass die Händler nach ihrer
ursprünglichen Preisabsprache nicht mehr miteinander
sprechen und jeder für sich selbst entscheidet.
In einer Matrix kann man die Gewinnsituation der beiden
Händler A und B bei Kooperation
B
NK
K
A
K und Nichtkooperation N
K (3 / 3) (0/ 5)
übersichtlich darstellen:
NK
(5 / 0) (1 / 1)
Und nun die Gretchenfrage – das Dilemma: Wie würdest
Du dich als Händler verhalten? Am besten würdet ihr
beide kooperieren, aber wenn Dein Partner dich reinlegt,
gehst du leer aus. Willst Du tricksen, kannst du das
große Geschäft machen, oder, wenn Dein Mitbewerber
genauso denkt bleibst Du bei 1000 statt bei 3000 €
hängen.
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Etwas leichter wird es für dich, wenn Du solche
Geschäfte immer wieder mit dem selben Händler bei
anderen Gelegenheiten machst. Dann kannst Du mit der
Zeit den Charakter Deines Mitbewerbers besser
einschätzen. Deshalb wird am MPG-Budenfest eine
Klasse mit den Schülerinnen und Schülern des MPG
jeweils 20 Runden durchspielen, um am Ende zu sehen,
wer mit welcher Strategie vorgeht und am Ende auch
noch gut da steht. Richtwert: Wenn beide Partner 20 Mal
kooperieren, würde jeder 20 mal 3000 € gleich 60 000 €
verdienen, bei diesem Spiel immerhin 60 Punkte und
vielleicht einen der Preise, die die Klasse unter den
erfolgreichen Teilnehmern auslost.
Weitere Informationen zu diesem Thema, das unter
Mathematikern und Wirtschaftswissenschaftlern unter
dem Namen „Gefangenendilemma“ bekannt ist, findet
Ihr unter folgender Adresse:
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/spiele/10prisoner.html
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Knoten knüpfen
Die Knotentheorie beschäftigt sich mit der Untersuchung
von Knoten auf mathematische Eigenschaften, d.h. eine
mögliche Fragestellung wäre z.B., ob zwei Knoten
äquivalent sind, obwohl sie zunächst unterschiedlich
aussehen (vgl. Äquivalenz von Termen).
Anders als in der Knotenkunde sind die Knoten in der
Knotentheorie aber mathematische Gebilde und haben
nichts mit dem Knüpfen von Knoten in der Praxis zu tun.
Die mathematische Definition besagt, das ein Knoten
eine
„Einbettung
einer
Kreislinie“
in
den
dreidimensionalen Raum ist. Zwei
Knoten gelten als äquivalent,
wenn man sie durch eine stetige
Verformung ineinander überführen
kann.
Ein Knoten wird durch seine
Projektion in die Ebene als
geschlossene Kurve mit endlich
vielen Überkreuzungen dargestellt.
Die Knotentheorie findet heute Verwendung in der
Biochemie bzw. Strukturbiologie, sowie in der
hyperbolischen
Geometrie
und
auch
in
der
Elementarteilchenphysik.
Aber Knoten werden auch im Alltag fast überall
gebraucht: beim Schuhe binden, fesseln oder in der
Seefahrt. Keiner kommt ohne sie aus. Schon vor
ungefähr 50000 Jahren hat man sie benutzt. Beim
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knoten von Netzen, die man zum Fische fangen braucht.
Heutzutage besteht ein Teppich aus ca. 1.000.000
Knoten pro Quadratmeter.
Drei einfache Knoten zum „Selberknüpfen“ wollen wir
Euch nun vorstellen:
Hier sieht man rechts den typischen
Achtknoten. Der Name kommt von der
achtähnlichen Form.
Hier links ist der Palstek dargestellt. Er ist
recht schnell anwendbar und wird oft zum
Festmachen eines Schiffes benutzt.
Ganz einfach zu knüpfen ist der
Slipstek, die einfache Form eines
Slips. Wie man sieht, „bekneift“ er
sich selber um den nötigen Halt zu
erlangen und ist durch Ziehen am
losen Ende zu lösen.
Informationen aus :
http://de.wikipedia.org/wiki/Knoten_%28Kn%C3%BCpfen%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Knotentheorie
http://www.seemannsknoten.de
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Kommunikation im Flüsterton
Das Prinzip des sogenannten Parabolspiegels wird
heutzutage vielfach angewendet. Dies ist beispielsweise
bei Autoscheinwerfern der Fall. In diesen befindet sich
eine relativ schwache Lampe, deren Licht über einen
parabelförmig geformten Reflektor so zurückgeworfen
wird, dass es in eine einzige Richtung gesendet wird.
Das Ergebnis ist ein kräftiger, paralleles Lichtbündel.
Der Parabolspiegel wird z.B. bei FunkwellenSternwarten und auch bei TV-Parabolantennen zum
Empfangen von Satellitensignalen benutzt. Unter
optimalen Verhältnissen und mit Hilfe moderner
Filtertechniken ist es mit Richtmikrofonen, die eine
Parabolantenne benutzen, möglich, auf Entfernungen
von mehreren hundert Metern bis hin zu ein paar
Kilometern Gespräche aufzufangen.
Das kann man auch selber ausprobieren. Wenn man im
Brennpunkt einer Parabolantenne steht und flüstert kann
man dies klar und deutlich im Brennpunkt einer anderen
Parabolantenne hören. Wenn man kleine
Parabolantennen mit einem Durchmesser von 80 cm
verwendet, funktioniert dies bis zu einem Abstand von
20 - 30 Metern.
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http://www.nadir.org/nadir/archiv/Repression/abhoerratgeber/node4.html
Origami - die Kunst des Papierfaltens.
Origami beschäftigt sich mit dem Falten von Papier.
Ausgehend von einem zumeist quadratischen Blatt Papier
werden, allein durch Falten 2- oder 3-dimensionale Objekte
wie z. B. Tiere, Vögel, Gegenstände und geometrische Körper
erstellt. Dabei sind speziell im westlichen Kulturkreis und im
traditionellen Origami Schere und Klebstoff absolut verpönt.
Die wohl bekannteste Form ist
der Kranich.
Normalerweise
werden
für
einfache Origami 10-30 Faltschritte benötigt, komplexere
haben aber auch bis zu 300.
Außerdem gibt es verschiedene
Falttechniken.
Grundlegende Faltmanöver sind zum Beispiel (vgl.
http://de.wikipedia.org/wiki/Origami):
•
•
•
•
Berg- und Talfalte
Quetschfalte
Zick-Zack-Faltung
Umkehrfaltung nach außen oder
innen
• Blütenblatt-Faltung
Eine schöne Seite zum Thema findet ihr unter:
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www.origami.ch/index1.html
Kryptographie
Die Kryptographie dient zur Verschlüsselung von
Nachrichten. Sie hat vier Hauptziele: Sie will den Zugriff
auf Daten verhindern, sie vor Änderung schützen,
Fälschung von Daten verhindern und die Identifikation
von Personen z.B. im Internet oder beim E-Banking
eindeutig machen.
Eine sehr einfache Form der Verschlüsselung von
Texten ist der Caesar Code, wobei die Buchstaben
rotieren. Wenn der Schlüssel C verwendet wird rotieren
alle Zeichen um drei weiter, sodass in diesem Fall dass
A auf das C abgebildet wird. Das sieht dann so aus :
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTVUVWXYZ
CDEFGHIJKLMNOPQRSTVUVWXYZAB
Für den gebrauchten Buchstaben nimmt man einfach
den darunter stehenden, dies macht man dann immer so
weiter bis man die ganze Nachricht verschlüsselt hat.
Dieses Verfahren kann man aber einfach knacken,
indem man alle 26 möglichen Schlüssel ausprobiert und
prüft, bei welchem aus dem Geheimtext ein sinnvoller
Text wird.
Eine auf dem Caesar-Code basierende Verschlüsselungsmethode wurde entwickelt, die schwieriger zu
knacken ist. Hierfür wird für jeden Buchstaben ein
anderes Alphabet benutzt. Für diese Methode braucht
man ein Schlüsselwort, der erste Buchstabe des zu
verschlüsselnden Textes wird um so viele Stellen
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weitergeschoben wie die Stelle des ersten Buchstabens
des Schlüsselwortes im Alphabet ist. Dies macht man
auch mit dem zweitem Buchstaben des Geheimtextes,
wobei dieser um die Stellenzahl des zweiten Buchstabes
des Schlüsselwortes weitergeschoben wird. Dies setzt
man so fort, wobei man, wenn man am Ende des
Geheimwortes angelangt ist, wieder mit dem ersten
Buchstaben des Geheimwortes anfängt. Dieser Code ist
schwerer zu knacken, weil man z.B. bei einem
Schlüsselwort der Länge 5 schon 26 x 26 x 26 x 26 x 26
=11 881 376 verschiedene Möglichkeiten ausprobieren
müsste, ohne Computer fast unmöglich.
Erst 1854 wurde diese Verschlüsselung zum ersten Mal
geknackt, wobei u.a. die Häufigkeiten der Buchstaben in
der deutschen Sprache eine Rolle spielte. So ist z.B. e
der häufigste Buchstabe und der Buchstabe, der im
Geheimtext am häufigsten vorkommt, sollte deshalb im
Original eben ein e sein.
Durch den Computer sind die historischen Methoden alle
nicht mehr sicher, weil dieser unglaublich schnell auch
sehr viele Möglichkeiten durchspielen kann. Lange Zeit
glaubte man, dass der Computer den Sieg über die
Geheimtexte errungen habe. Aber geniale Mathematiker
haben die sogenannten asymmetrischen Verschlüsselungen erfunden, die auch heute noch als sicher
gelten. Diese zu erklären sprengt aber den Rahmen
dieses Textes.
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Die Hui – Hui – Maschine
Aus einem mit Kerben versehenen Vierkantstabstab,
einem kleinen Propellerhölzchen und einem Nagel kann
man diese kleine Propellermaschine
leicht selber basteln. Mit einem
Hölzchen kann man durch Reiben
über die Kerben des Stabes den
Propeller in Bewegung versetzen.
Sagt man „HuiHui“, dann dreht sich
der Propeller plötzlich in die andere
Richtung ...
Und das braucht man zum Basteln:
- Ein Vierkantstab ca. 1x1 cm Seitenhöhe und ca. 24
cm lang
- Ein rundes Hölzchen oder einen Bleistift (etwa 20
cm lang)
- ein Holzplättchen, ca. 8 cm lang, 1 - 2 cm breit und
ca. 3 mm dick
- ein Nägelchen oder eine kleine Schraube, ø 3 mm,
Länge
ca.
15
mm
Feines Sandpapier, Säge, Rundfeile oder Raspel,
Lineal, Stift, Bohrer
Die Physik zu dieser geheimnisvollen Maschine findet ihr
unter folgender Adresse:
http://www.xn--uni-mnstereeb.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_
physik/publikationen/hui_maschine.pdf
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Optische Täuschungen
Eine optische Täuschung, auch visuelle Illusion genannt,
ist eine Wahrnehmungstäuschung. Dabei scheint das
Sehsystem falsche Annahmen über die Natur des
Sehreizes zu treffen. Man unterscheidet unter anderem
Farbillusionen, Bewegungsillusionen, Tiefenillusionen
und geometrische Illusionen. Es gibt aber noch viel mehr
Täuschungen, die von unserem Auge wahrgenommen
werden.
Uns haben die drei folgenden Beispiele besonders gut
gefallen:
1. Hier
sieht
man
das
sogenannte
KanizsaDreieck. Man glaubt, dass
man ein weißes Dreieck
entdeckt hat, obwohl das
Bild
nur
Linien
und
Kreissegmente zeigt.
2. Die waagerechten Linien sind exakt parallel!!!
Mit einem Geodreieck kann man diese schier
unglaubliche Behauptung überprüfen.
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3. Betrachte ganz entspannt für ca. 15-30 Sekunden
die vier Punkte in der Mitte des Bildes. Dein
Abstand zum Monitor sollte währenddessen
einigermaßen konstant bleiben. Danach schaust du
auf eine weiße Fläche, zum Beispiel auf ein Blatt
Papier, einen leeren Bereich auf einer weißen
Wand oder dergleichen. Wenn du dann ein- oder
zweimal kurz mit den Augen zwinkerst, kannst du
dort plötzlich die Gestalt eines Kopfes wahrnehmen.
Durch
regelmäßiges
Blinzeln
wird
diese
Erscheinung noch verstärkt, und sie hält erstaunlich
lange an.
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Papierflieger
Papierflieger werden gerne benutzt, um andere Leute
ärgern, sind aber auch im Wettbewerb sehr beliebt. Der
Weltrekord steht im Längenflug bei 32,70 m und in der
Dauer bei 19,24 Sekunden. Die dünnen Kanten der
Trageflächen durchschneiden die Luft. Sie sorgen für
Auftrieb, wenn der Luftdruck an der Unterseite größer ist
als an der Oberseite. Schon vor ca. 2000 Jahren wurden
in China die ersten richtigen Papierflieger erfunden; da
waren es aber noch Drachen. In Europa gilt Leonardo da
Vinci als Vater des Papierfliegers.
Die Anleitung zum Bau eines Fliegers hört sich
kompliziert an, macht aber beim Falten viel Spaß. Ein
sehr klassischer Flieger ist der
„Pfeil“. Für ihn muss man als
erstes die oberen Kanten zur
Mittelinie falten. Anschließend
wird die so entstandene Spitze
noch mal zur Mitte hingefaltet.
Nun faltet man es in der Mitte der
Länge nach. Zum Schluss wird
nur noch wie auf den Bildern zu
sehen ca. 2 cm auf beiden Seiten nach innen
eingeknickt und schon hat man einen schönen Flieger.
Ein paar sehr schöne Modelle und weitere Hinweise
kann man auf diesen Seiten sehen:
http://home.pages.at/taubald/bauanleitungen.htm
http://www.kostian.net/papierflieger/index.php?go=0
http://de.wikipedia.org/wiki/Papierflieger
24
http://leifi.physik.unimuenchen.de/web_ph05/versuche/03aerodynamik/papierflieger.htm
Rätseln wie beim Känguru
Über 200 Schülerinnen und Schüler unserer Schule
haben
beim
diesjährigen
Känguru-Wettbewerb
teilgenommen. Bei den folgenden etwas abgeänderten
Aufgaben für die Klassen 5 und 6 kannst du deine
Mathematik - Kenntnisse testen.
A1
Max ist jetzt 10 Jahre; sein Vater Alfred viermal so alt
wie er. In wie viel Jahren wird Alfred nur noch doppelt so
alt sein?
(A) 46
(B) 20
(C) 60
(D) 30
(E) 50
A2
Johann hat beim Schulfest den Eintritt kassiert, nun hat
er neun 10,- € Scheine, neun 1,- € Münzen und zehn 10
Cent Stücke. Wie viel ist das?
(A) 100 € (B) 99,9 €
(C) 89 €
(D) 110 €
(E) 90 €
A3
Maxi, Maria, Mia, Tim und Kati stehen im Kreis, Willi in
der Mitte. Er zählt - bei Maxi beginnend - mit dem 13stelligen Abzählreim Ene – meine – mink – mank –pink –
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pank – ene – mene – acka – dacka – eia – weia -weg"
ab, ohne sich selbst mitzuzählen. Wer ist zuerst weg"?
(A) Maxi
(B) Maria
(C) Mia
(D) Tim
(E) Kati
A4
Die kernigen Kängurus aus Canberra brauchen nur 6
Sekunden, wenn sie hintereinander 4 Riesensprünge
machen. Wie viele Sekunden brauchen sie, wenn sie
hintereinander 10 solche Riesensprünge machen?
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 18
(E) 20
A5
Auf dem Bauernmarkt sind Gewürzgurken im Angebot;
für 25 Cent gibt es 150 g. Wie viel Gramm bekomme ich
für 1 €?
(A) 250g
(B) 350g
(C) 525g
(D) 600g
(E) 750g
A6
Wenn ein Comic und mein Lieblingsmathebuch
zusammen 4 cm dick sind und wenn zwei Exemplare
meines Lieblingsmathebuchs und drei derselben Comics
zusammen 9 cm dick sind, wie dick ist dann ein solcher
Comic?
(A) 0,5cm
26
(B) 1 cm (C) 1,5 cm (D) 2 cm
(E) 3 cm
A7
Peter hat 16 Karten, je 4 mit einem
?
Kreis, einem Quadrat, einem Dreieck
und einem Sechseck. Er möchte sie so
in das abgebildete Quadrat legen, dass
in jeder Reihe und jeder Spalte von jeder
Sorte genau eine ist. In der Zeichnung
sind einige Karten schon gesetzt. Welche Sorte gehört
an die Stelle, wo sich das Fragezeichen befindet?
(A)
(B)
(C)
(D)
A8
Stell dir vor, dass das rechts abgebildete
Dreieck auf eine durchsichtige Folie
gedruckt ist. Welches der unten
abgebildeten Dreiecke kannst du damit
so überdecken, dass dann alles schwarz
erscheint?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
27
1B
2A
3C
4C
5D
6B
7C
8E
Lösungen:
Sudoku – Rätselspaß aus Japan
Sudoku ist ein beliebter Zeitvertreib: In jedes 3 mal 3
Kästchen müssen die Zahlen von 1-9 eingetragen
werden. Jedoch darf in jeder Spalte und in jeder Zeile
jede Zahl nur einmal vorkommen.
A B C D
9
9
8 8
4
7
6
9
6
5
5
7
5
4
3
3
2
8
2 1
7
1
3
E F G H I
1
2
3
7
7
2
3
1
1
3
9
8
5
6
6
4
9
8
Auf diese Art und Weise
und mit etwas Geschick
kann man das japanische
Rätsel lösen. Auf der
rechten Seite haben wir
noch ein paar Zahlen fett
eingetragen.
http://www.janko.at/Raetsel
/Sudoku/Beispiel.htm
28
Im unteren, linken Kasten
fehlt zum Beispiel eine 8.
In Spalte A ist schon eine
8 vorhanden, also kann
bei A1 und A3 schon
keine 8 mehr hin. Es ist in
diesem Kasten nur noch
B2, C1 und C3 frei. In
Zeile 1 und 3 ist aber auch
schon eine 8 vorhanden,
also muss die 8 in B2.
A B C D
9
9
8 8
4
7
6
9
6
5
5
7 8 5
4
3
3
2
8
2 1 8 7
1 5 3
E F G H I
1
2
3
7
7
2
3 8 1
1
3
9
8
5
6
6
4
9
8
Magische Quadrate
In einem magischen Quadrat der Kantenlänge n sind die
Zahlen 1, 2, ... , n2 so angeordnet, dass in allen Zeilen
und Spalten die Summen gleich sind.
Die Summe einer Spalte bzw. Zeile wird als magische
Zahl bezeichnet. Die magische Zahl für ein Quadrat mit
der Kantenlänge n beträgt 1/n mal die Summe der
Zahlen von 1 bis n2. Dass heißt, die magische Zahl
errechnet sich wie folgt:
Zum Beispiel ist die magische Zahl eines Quadrats der
33 + 3 27 + 3
=
= 15 . Das Quadrat der
Ordnung 3 gleich
2
2
Ordnung 3 kann man nach kurzem Knobeln leicht selber
finden.
Ein spannenderer Punkt ist die Bildung magischer
Quadrate höherer Ordnung. Hierzu muss man zwischen
ungeraden und geraden magischen Quadraten
unterscheiden. Im weiteren wird ein Verfahren zur
Herstellung von ungeraden magischen Quadraten
vorgestellt. Mit der Bildung von geraden magischen
Quadraten befassen wir uns nicht, da diese sehr
kompliziert ist.
Das Verfahren funktioniert wie folgt. Man schreibt in ein
magisches Quadrat der Kantenlänge n die Zahlen von 1
bis n von links nach rechts in die 1. Zeile. Nun verschiebt
man in jeder Zeile alle Zahlen um eins weiter nach
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rechts. Die Zahlen die rechts rausfallen werden links
wieder eingetragen. Dies sieht bei einem 5x5 Quadrat
folgendermaßen aus:
1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
In ein zweites Quadrat schreibt man nun die Zahlen 0,
n*1, n*2 bis n*(n-1). Diesmal jedoch in der ersten Zeile
von rechts nach links. Nun verschiebt man diese Zahlen
jeweils um eins nach links. Die links rausfallenden
Zahlen werden wieder rechts eingetragen. Bei einem
5x5 Quadrat ergibt sich folgendes Bild:
20 15 10 5 0
15 10 5 0 20
10 5 0 20 15
5 0 20 15 10
0 20 15 10 5
Addiert man nun die Zahlen die in den gleichen
Kästchen stehen und trägt diese in ein drittes Quadrat
ein, so erhält man ein magisches Quadrat. Auch hier
wieder das 5x5 Quadrat:
21 17 13 9 5
20 11 7 3 24
14 10 1 22 18
8 4 25 16 12
2 23 19 15 6
Versucht es einfach selbst mal mit einem Quadrat der
Ordnung 7.
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Tangram – Wettbewerb:
Das Spiel besteht aus sieben Plättchen in einfachen
geometrischen Formen. Die Plättchen entstehen durch
das
"Zerschneiden"
eines
Quadrates
in
zwei
große
Dreiecke,
ein
mittel-großes
Dreieck, zwei kleine Dreiecke, ein
Quadrat und ein Parallelogramm.
Aus diesen Plättchen können zahllose Formen gelegt
werden, die dann schattenrissartig Tiere, Schiffe oder
andere Gestalten zeigen. Üblicherweise müssen dazu
alle Teile verwendet werden, wobei sie nicht
übereinandergelegt
werden
dürfen. Das Männchen rechts ist
ein Beispiel, bei dem man
ziemlich schnell sieht, wohin die
einzelnen Teile müssen.
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Bei diesem „Schiff“ wird es schon etwas schwieriger
Und hier hätte man ohne die Lösung schon etwas zu
knabbern:
Tangrams kann man sich kaufen oder aber auch leicht
selbst aus Pappe oder Holz herstellen. Hat man zwei
Spiele, kann man auch in einen Wettbewerb miteinander
treten:
Zwei Spieler bekommen die gleiche Aufgabe gestellt,
d.h. sie sollen das gleich Tangram legen. Wer von den
beiden nun als erster fertig ist und das Tangram richtig
gelegt hat, der hat gewonnen.
Quellen:
http://www.wikipedia.org
http://www.oebv4kids.at/muttertag/tangram/index.html
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