Theoretische Informatik II

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Theoretische Informatik II
Einheit 7.2
Universelle Maschinen
1. Standardnumerierung berechenbarer Funktionen
2. Universelle Funktion
3. Grundeigenschaften berechenbarer Funktionen
Noch Offene Fragen
• Gibt es unentscheidbare Mengen?
– Unentscheidbar aber aufzählbar?
– Nicht aufzählbar’ ?
Theoretische Informatik II §7: Elementare Berechenbarkeitstheorie
1
Noch Offene Fragen
• Gibt es unberechenbare Funktionen?
1
Noch Offene Fragen
• Wie beweist man Unlösbarkeit?
– Kardinalitätsargument: es gibt mehr Funktionen als Programme
– Konkretes Gegenbeispiel konstruieren
1
Noch Offene Fragen
• Wie beweist man Unlösbarkeit?
– Kardinalitätsargument: es gibt mehr Funktionen als Programme
– Konkretes Gegenbeispiel konstruieren
• Was benötigt man für diese Argumente?
– Präzisierung der Grundannahmen zur Berechenbarkeit
– Nachweis, daß diese Grundannahmen erfüllt sind
1
Grundannahmen über Berechnungen
• Programme und Daten sind als Zahlen codierbar
– Programme und Daten werden als Worte dargestellt
– Worte, die Programme darstellen, können durchnumeriert werden
– ϕi: Berechnete Funktion des Programms i (ϕi : N→N)
– Φi: Rechenzeitfunktion zum Programm i
(domain(Φi) = domain(ϕi))
2
• Computer sind universelle Maschinen
– Bei Eingabe beliebiger Programme und Daten berechnen sie das Ergebnis
– Die Funktion u :N×N→N mit u(i, n) = ϕi(n) ist berechenbar
2
• Man kann Programme effektiv zusammensetzen
– Die Nummer des entstehenden Programms kann berechnet werden
– Es gibt eine berechenbare totale Funktion h mit ϕh(i,j) = ϕi◦ϕj
2
• Man kann Programme effektiv zusammensetzen
– Die Nummer des entstehenden Programms kann berechnet werden
• Rechenzeit ist entscheidbar
– Man kann für beliebige i, n, t ∈ N testen ob Φi(n) = t ist oder nicht
2
Codierung von Turingmaschinen
• Codierung der Alphabete in einem Alphabet Γ̂
– Wähle Γ̂ ≡ { #, s0...sn, γ0...γk , r, l, h }
wobei S = {s0,...,sn}, Γ = {γ0,...,γk }, X = {γi0 ,...,γim } ⊆ Γ, b = γk
3
∈
Γ\X
∈
Γ\X
• Codierung der Zustandsüberführungsfunktion δ
– Beschreibe δ(s,a)=(s0,a0,P ) durch code(δ(s,a)) ≡ s a s0 a0 P
– Beschreibe δ durch das Wort code(δ(s0,γ0)) . . . code(δ(sn,γk ))
3
∈
Γ\X
• Codierung der Turingmaschine τ
– Beschreibe τ = (S, X, Γ, δ, s0, b) durch das Wort
ŵτ ≡ γi0 ...γim #code(δ(s0,γ0)) . . . code(δ(sn,γk ))
3
∈
Γ\X
– wτ sei die Codierung von ŵτ im festen Alphabet {0, 1} (γ̂j ∈ Γ̂ =
0...0 1)
ˆ |{z}
j−mal
3
∈
Γ\X
– wτ sei die Codierung von ŵτ im festen Alphabet {0, 1} (γ̂j ∈ Γ̂ =
0...0 1)
ˆ |{z}
j−mal
Viele Varianten in Details der Codierung
3
Numerierung von Worten
• Bestimme lexikograpische Ordnung auf Worten
4
– Worte über einem Alphabet X = {x1, .., xn} können geordnet werden
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
4
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
– u < v, falls |u| < |v| oder u = u1...um, v = v1...vm,
uk <vk für ein k≤m und ui=vi für alle i<k
4
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
– Dabei xi<xj , falls i<j
4
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
• Numeriere gemäß der lexikograpischen Ordnung
– ν(i) sei das Wort mit der Nummer i
4
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
– ν(0)=, ν(1)=x1, . . . ν(n)=xn, ν(n+1)=x1x1, . . . ν(n2+n)=xnxn, . . .
4
< x 1 < . . . < x n < x 1 x1 < x 1 x2 < . . . < x n xn < x 1 x1 x1 < . . .
– ν(0)=, ν(1)=x1, . . . ν(n)=xn, ν(n+1)=x1x1, . . . ν(n2+n)=xnxn, . . .
ν(i) entspricht der n-adischen Darstellung der Zahl i
4
Numerierung von Turingmaschinen
• T M = {w ∈ {0, 1}∗ | ∃τ :TM w=wτ } ist entscheidbar
– Man kann testen, ob ein Wort w ∈ Γ̂∗ ein Turingprogramm beschreibt
5
– Bestimme X: Menge der Symbole in w bis zum #
– Bestimme δ: je 5 Symbole beschreiben einen Tabelleneintrag
– Bestimme S, Γ, s0 und b aus δ
– Prüfe Vollständigkeit und korrekte Anordnung der Tabelle für δ
5
– Γ̂ wird implizit identifiziert
5
• Numeriere Worte, die Turingmaschinen codieren
– nτ (0) := min{j | ν(j) ∈ T M} nτ (i+1) := min{j>nτ (i) | ν(j) ∈ T M}
5
nτ :N→N ist berechenbar
5
– τi: Turingmaschine τ mit wτ =ν(nτ (i))
“die i-te Turingmaschine”
5
– Gödelnummer der Turingmaschine τ : Zahl i mit τ = τi
5
– Gödelnummer der Turingmaschine τ : Zahl i mit τ = τi
Numerierung von Programmen ist bijektiv
5
Numerierung berechenbarer Funktionen
• Berechenbare Funktionen auf Worten
– ϕ̂i ≡ hτi : “die von der i-ten Turingmaschine berechnete Funktion”
6
der Turingmaschine τi
Kap. 6, Def. E
– ti: Schrittzahlfunktion
(
m falls Berechnung von τi(w) in m Schritten terminiert,
ti(w) =
⊥ sonst
6
Kap. 6, Def. E
(
ti(w) =
⊥ sonst
• Berechenbare Funktionen auf Zahlen
– ϕi ≡ r−1◦ϕ̂i◦r : N→N “die i-te berechenbare Funktion”
r:N→X ∗ bijektive Repräsentation von Zahlen als Worte
– Φi ≡ ti◦r : N→N “Schrittzahlfunktion von ϕi”
6
Kap. 6, Def. E
(
ti(w) =
⊥ sonst
• Eigenschaften von ϕ und Φ
– ϕ is surjektiv, aber nicht bijektiv
– domain(Φi) = domain(ϕi) (Φi terminiert auf den gleichen Eingaben wie ϕi)
– {(i, n, t) | Φi(n)=t} ist entscheidbar
“Rechenzeit ist entscheidbar”
6
Kap. 6, Def. E
(
ti(w) =
⊥ sonst
• Eigenschaften von ϕ und Φ
– ϕ is surjektiv, aber nicht bijektiv
– domain(Φi) = domain(ϕi) (Φi terminiert auf den gleichen Eingaben wie ϕi)
– {(i, n, t) | Φi(n)=t} ist entscheidbar
“Rechenzeit ist entscheidbar”
Die Numerierung berechenbarer Funktionen ist nur surjektiv
6
Universelle Turingmaschinen
Kann man alle Turingprogramme auf einer
einzigen Maschine ausführen?
7
• Universelle Maschinen
Definiton H
– τu ist universell, wenn hτu (wτ , v) = hτ (v) für jede TM τ und jedes v ∈ X ∗
7
Definiton H
– Insbesondere hτu (r(i), v) = hτi (v) für alle i,v
(r:N→X ∗ Zahlendarstellung)
7
Definiton H
• Universelle Funktionen
Definiton I
– u:N×N→N ist universell, wenn u(i, n) = ϕi(n) für alle i, n ∈ N
7
Definiton H
Definiton I
• Gibt es universelle Maschinen?
7
Definiton H
Definiton I
– Die Numerierung nτ ist berechenbar
7
Definiton H
Definiton I
– Turingprogramme lassen sich simulieren
7
Definiton H
Definiton I
– Turingprogramme lassen sich simulieren
– Baue universelle Maschine mit ν ◦nτ und Einzelschrittsimulation
7
Programmierung Universeller Turingmaschinen
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Programm δ u s,(a1,a2,a3)
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
. . . Arbeitsband für τ
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
• Benutze 3 Arbeitsbänder (+ Hilfsbänder)
– 1. Eingabe- und Arbeitsband der simulierten Turingmaschine τ
– 2. wτ : Codierung des Programms von τ
– 3. Aktueller Zustand von τ
8
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
• Generiere und simuliere Programm von τ
8
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
– Bei Eingabe (der Codierung von) i, x berechne wτ = ν(nτ )(i)
– Schreibe i auf Band 1, wτ auf Band 2, Anfangszustand von τ auf Band 3
8
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
– Simuliere Einzelschritte von τ gemäß Programm wτ
8
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
–
–
–
–
Bei Eingabe (der Codierung von) i, x berechne wτ = ν(nτ )(i)
Schreibe i auf Band 1, wτ auf Band 2, Anfangszustand von τ auf Band 3
Simuliere Einzelschritte von τ gemäß Programm wτ
Bei Terminierung steht Ausgabewort auf Band 1
8
δ u(s,(a1,a2,a3)) -
Zustand s
3 6O
?
Band 1
....
b
1
1
0
a1
1
b
0
0
1
b
b
b
...
Programm wτ
1
...
Zustand von τ
+
Band 2
. . . . a2
W
Band 3
....
b
b
b
b
1
a3
– Simuliere Einzelschritte von τ gemäß Programm wτ
– Bei Terminierung steht Ausgabewort auf Band 1
Details z.B. in Hopcroft, Motwani, Ullman, Seite 387–389
8
Das Übersetzungslemma
Turingmaschinen sind effektiv kombinierbar
9
• Kombiniere τ1 und τ2 zu τ mit hτ = hτ1 ◦hτ2
9
– Umbenennung der Zustände von τ2
– Springe vom “Endzustand” von τ1 zum Anfangszustand von τ2
9
– Programm wτ kann aus wτ1 und wτ2 berechnet werden
9
– Gödelnummer k von τ kann aus denen für τ1 und τ2 berechnet werden
9
• Kombiniere ϕi und ϕj zu ϕk mit ϕk = ϕi◦ϕj
9
– Index k kann aus i und j berechnet werden
9
9
• Allgemeinste Version: SMN Theorem
9
– Es gibt eine berechenbare totale Funktion s mit ϕshm,ni (i) = ϕmhn, ii
9
Technisches Resultat mit wenig eigener Bedeutung
9
Zusammenfassung:
Kernaxiome der Berechenbareitstheorie
• Berechenbare Funktionen sind effektiv numerierbar
– ϕi : N→N: berechnete Funktion des Programms i
– domain(Φi) = domain(ϕi)
10
Zusammenfassung:
• Die Menge {(i, n, t) | Φi(n)=t} ist entscheidbar
10
Zusammenfassung:
• Die universelle Funktion ist berechenbar
UTM Theorem
– u :N×N→N mit u(i, n) = ϕi(n) ist berechenbar
10
Zusammenfassung:
UTM Theorem
• Programme sind effektiv kombinierbar
SMN Theorem
10
Zusammenfassung:
UTM Theorem
• Programme sind effektiv kombinierbar
SMN Theorem
Alles weitere folgt aus diesen Axiomen
10
Kleene Normalform Theorem
Es gibt berechenbare totale Funktionen f, g und h
mit ϕi(n) = g(µf (i, n)) und Φi(n) = h(µf (i, n))
11
• Beweis


 0 falls Φi(n)=t und ϕi(n)=y
– Definiere f (i, n, hy, ti) =

 1 sonst
11
• Beweis



 1 sonst
– f :N3→N ist total berechenbar, da {(i, n, t) | Φi(n)=t} entscheidbar ist
11
• Beweis



 1 sonst
– Wähle g=π12 und h=π22
11
• Beweis



 1 sonst
– Wähle g=π12 und h=π22
Kein Maschinenmodell nötig
11
Wichtige entscheidbare und aufzählbare Mengen
• {(i, n, t)|Φi(n) = t} ist entscheidbar
12
Rechenzeit
Rechenzeit
– Kernaxiom der Berechenbarkeitstheorie
12
Rechenzeit
• {(i, n, y)|ϕi(n) = y} ist aufzählbar
12
Berechnung
Rechenzeit
Berechnung
– Graph der universellen Funktion
12
Rechenzeit
Berechnung
• H = {(i, n)|ϕi(n)6=⊥} ist aufzählbar
12
Halteproblem
Rechenzeit
Berechnung
Halteproblem
– Haltebereich der universellen Funktion
12
Rechenzeit
Berechnung
Halteproblem
• S = {i|ϕi(i)6=⊥} ist aufzählbar
Selbstanwendbarkeitsproblem
12
Rechenzeit
Berechnung
Halteproblem
• S = {i|ϕi(i)6=⊥} ist aufzählbar
Selbstanwendbarkeitsproblem
– Haltebereich von λi.u(i, i)
12

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