Trigonometrische Gleichungen

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11. Trigonometrische Gleichungen
Typ „Ausklammern“
sin(2x) - cos x = 0
2 sin x cos x - cos x = 0
cos x (2 sin x - 1) = 0
cos x = 0
90°, 270°
sin x = 0.5
30°, 150°
Wende die Additionstheoreme und Grundbeziehungen an
Ausklammern
Graphische Lösung:
Die Lösungen ergeben sich als die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven
y = sin(2x) und y = cos x.
Typ „Quadratische Gleichung“
cos x + cos (2x) = 0
cos x + 2 cos2 x - 1 = 0
Substitution u = cos x
2
2u + u - 1 = (2u - 1)⋅(u + 1) = 0
u1 = 0.5
x1 = 120°
x2 = 240°
u2 = -1
x3 = 180°
Graphische Lösung:
Die Lösungen ergeben sich als die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven
y = cos(2x) und y = - cos x.
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Typ: a sin x + b cos x + c = 0
Spezialfall c = 0
a sin x + b cos x = 0 Dividiere durch cos x ≠ 0 (cos x = 0 liefert keine Lösungen!)
Die Lösungen ergeben sich aus der Gleichung tan x = - b/a.
B.
sin x = 2 cos x
tan x = 2
x1 = 63.2°, x2 = x1 + 180° = 243.2°
allg. Fall:
prüfe, ob x = 180° eine Lösung der Gleichung ist.
Mit den sogenannten Rationalisierungformeln kann die Gleichung in eine quadratische
Gleichung übergeführt werden:
2t
1− t2
 x
+ b⋅
+ c = 0→2at + b ⋅ (1 − t 2 ) + c ⋅ (1 − t 2 ) = 0 wobei t = tan 
a⋅
2
2
 2
1+ t
1+ t
B:
3sin x - 2cos x + 3 = 0 → 5t2 + 6t + 1 = 0
t1 = - 0.2, t2 = -1 → x1 = 337.5°, x2 = 270°
Grafische Lösung:
In der Abbildung ergeben sich die Lösungen
als Nullstellen der Funktion
f ( x) = 3sin x − 2cos x + 3
Übungsaufgabe:
2cos x - sin x + 2 = 0 → t2 + t - 2 = 0
Lösungen: x1 = 90°, x2 = 240°
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Viele trigonometrische Gleichungen sind nur durch Näherungsverfahren lösbar
Der Bisektionsalgorithmus (Intervallhalbierung)
Es handelt sich um ein Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Gleichung f(x) = 0.
Vor.
f stetig in [a,b] und f(a) < 0 und f(b) > 0 d.h. f hat an den Intervallgrenzen verschiedene
Vorzeichen (gegebenenfalls kann die Gleichung mit (-1) multipliziert werden).
Nach dem Zwischenwertsatz hat dann f mindestens eine Nullstelle im Innern des Intervalls
d.h. der Graph von f schneidet mindestens einmal die x-Achse.
Die Lösung wird nun schrittweise durch Halbieren des Intervalls angenähert.
Bisektionsalgorithmus (nach Gander):
x := (a + b)/2
while (b - a) > ε do
begin
if f(x) > 0 then b := a else a := x
x := (a + b)/2
end
bestimme die Intervallmitte
tue solange die gewünschte Genauigkeit nicht
erreicht ist (*)
Wahl des nächsten Intervalls
neue Intervallmitte
(*) Verbesserte Abbruchbedingung: while (a < x) and (x < b)
Illustration am Beispiel cos x = x
f ( x ) = cos x − x
Die Voraussetzung ist im Intervall [0,1] erfüllt.
Die Gleichung hat die Lösung x = 0.73908513…
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Lösung mit Iterationsverfahren bei Gleichungen der Form g(x) = x
Iteration:
Rechenvorgang, der sich ständig wiederholt, wobei die gesuchte Lösung schrittweise besser
angenähert wird.
Illustration des Verfahrens am gleichen Beispiel cos x = x:
In der Abbildung sind die Kurven y = cos x und y
= x dargestellt.
Wähle einen Startwert x1 = 0.5 und berechne
schrittweise xk+1 = cos xk.
Es entsteht in der Abbildung ein spiralförmiger
Streckenzug der sich dem Grenzpunkt
mit x = 0.739085133.. immer mehr nähert.
Bem.
Es kann gezeigt werden, dass dieses Verfahren konvergiert, wenn der Graph der Funktion
nicht steiler als die Winkelhalbierenden steigt bzw. fällt. (→ Numerische Verfahren).
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12. Eine Aufgabe aus der Astronomie
Anwendung aus der Astronomie:
Berlin und Kapstadt liegen nahezu auf demselben Längenkreis (Meridian). Die Astronomen
Lalande in Berlin und Lacaille in Kapstadt haben 1751 zur gleichen Zeit die folgenden
Zenitdistanzen desselben Mondrandes gemessen:
Berlin
ϕ1 = 52°31'13''
Zenitdistanz z1 = 41°15'44''
Kapstadt
ϕ2 = -33°55'15''
Zenitdistanz z2 = 46°33'37''
Berechne daraus die Entfernung Erde - Mond (Erdradius R = 6371.2 km)
Führe die Hilfswinkel ρ1 und ρ2 ein
Sinussatz im Dreieck OMB:
Sinussatz im Dreieck OKB:
Winkelsumme im Viereck
aus (1) und (2):
aus (4)
Additionstheorem und (5‘)
dividiere durch cos ρ1
tan ρ1 ausklammern
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R
d
d
=
=
sin ρ1 sin(180° − z1 ) sin z1
R
d
d
=
=
sin ρ 2 sin(180° − z2 ) sin z2
ρ1 + ρ2 = z1 + z2 - ϕ1 - ϕ2 = a
ρ2 = a - ρ1
d sin z1 sin z2
=
=
R sin ρ1 sin ρ 2
sin ρ 2 sin z2
=
=b
sin ρ1 sin z1
sin ρ 2 = b ⋅ sin ρ1
sin ρ 2 = sin(a − ρ1 ) =
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(5’)
sin a ⋅ cos ρ1 − cos a ⋅ sin ρ1 = b ⋅ sin ρ1
sin a − cos a ⋅ tan ρ1 = b ⋅ tan ρ1
sin a = tan ρ1 ⋅ (cos a + b) = b
sin a
tan ρ1 =
b + cos a
(6)
 sin a 
ρ1 = arctan

 b + cos a 
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Numerische Resultate:
aus (5)
aus (3)
aus (6)
aus (3)
aus (4)
b = 1.100972471
a = 1.381388888
ρ1 = 0.657498153
ρ2 = 0.723890734
sin z1
d = R⋅
= 57.4720247 R = 366165 km
sin ρ1
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