erklärt man: Gegenkathete Ankathete Hypotenuse Sinus: sinα

6.4
Trigonometrische Funktionen
6.4.1
Im rechtwinkligen Dreieck
erklärt man:
Hypotenuse Gegenkathete
Ankathete
Sinus:
Gegenkathete
sin α =
Hypotenuse
Cosinus (oder Kosinus):
Ankathete
cos α =
Hypotenuse
Tangens:
Gegenkathete sin α
tan α =
=
Ankathete
cos α
Cotangens (oder Kotangens):
Ankathete
cos α
cot α =
=
Gegenkathete sin α
1
6.4.2
Am Einheitskreis
erklärt man:
sin x, cos x, tan x, cot x als Streckenlängen und
das Bogenmaß x eines Winkels als Länge des von
dem Zentriwinkel aus dem Kreis ausgeschnittenen
Bogenstücks.
Außerhalb der Elementargeometrie verwendet man als Argument von sin, cos, tan, cot
stets das Bogenmaß!
6.4.3
Funktionsgraphen von sin, cos, tan, cot
Mit Hilfe einer (bei Handzeichnung: näherungsweisen) Abwicklung des Einheitskreises auf die x-Achse
lassen sich einzelne Punkte des Graphen von sin und
von cos zeichnen.
Gute Näherungen der Graphen erhält man durch
Verbinden der Punkte unter Beachtung bekannter
Eigenschaften der Graphen.
Mit Hilfe der Asymptoten und einzelner Punkte lassen sich die Graphen von tan und cot näherungsweise zeichnen.
2
6.4.4
Eigenschaften
1. sin u. cos sind 2π-periodisch:
sin(x + 2kπ) = sin x
∀k ∈ Z, ∀x ∈ R.
cos(x + 2kπ) = cos x
∀k ∈ Z, ∀x ∈ R.
2. tan x ist nicht definiert für x =
π
2
+ kπ ∀k ∈ Z.
cot x ist nicht definiert für x = kπ ∀k ∈ Z.
3. −1 ≤ sin x ≤ 1
−1 ≤ cos x ≤ 1
−∞ < tan x < ∞
−∞ < cot x < ∞
4. sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x
5. sin(x + π) = − sin x, cos(x + π) = − cos x
3
6. sin(x + π2 ) = cos x, cos(x + π2 ) = − sin x
7. Additionstheoreme: ∀x ∈ R, ∀y ∈ R:
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sin x siny
8. cos2 x + sin2 x = 1 ∀x ∈ R.
6.4.5
Umkehrungen
Auf dem Intervall [- π2 , π2 ] besitzt sin eine Umkehrfunktion, den arcsin (Arkussinus), definiert auf [−1, 1].
Auf dem Intervall [0, π] besitzt cos eine Umkehrfunktion, den arccos (Arkuscosinus oder Arkuskosinus), definiert auf [-1,1].
Auf dem Intervall ] − π2 , π2 [ besitzt tan eine Umkehrfunktion, den arctan (Arkustangens), definiert auf
R.
Auf dem Intervall ]0, π[ besitzt cot eine Umkehrfunktion, den arccot (Arkuscotangens), definiert auf
R.
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6.4.6
Steigung eines Weges
Steigung p % bedeutet: Auf 100 m Horizontalabstand ist die Höhendifferenz p m. (Tafelskizze!)
Steigungswinkel α: tan α =
p
.
α = arctan 100
5
p
100
⇒