Sinus, Cosinus und Tangens Sinus, Cosinus und Tangens

Sinus, Cosinus und Tangens
Sinus, Cosinus und Tangens
Gruppenmitglieder: ________________________
Gruppenmitglieder: ________________________
Bearbeitet gemeinsam die Aufgabenstellungen, die bei den einzelnen Stationen
bereitliegen (in beliebiger Reihenfolge)! Jede erfolgreich gelöste Aufgabe wird vom
Lehrer bestätigt.
Bearbeitet gemeinsam die Aufgabenstellungen, die bei den einzelnen Stationen
bereitliegen (in beliebiger Reihenfolge)! Jede erfolgreich gelöste Aufgabe wird vom
Lehrer bestätigt.
Station
Aufgabenstellung
Kontrolle

Station
Aufgabenstellung
1
Höhenmessung
1
Höhenmessung
2
Barrierefreies Bauen
2
Barrierefreies Bauen
3
Domino
3
Domino
4
Bogenmaß
4
Bogenmaß
5
Übungsaufgaben im Buch:
4.001–4.016 nach eigener Wahl
5
Übungsaufgaben im Buch:
4.001–4.016 nach eigener Wahl
(erst wenn die anderen Stationen erledigt sind)
(erst wenn die anderen Stationen erledigt sind)
Kontrolle

1
praktische Anwendung: Höhenmessung
Mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens kann man vom Boden aus die Höhe von Gebäuden, Bäumen, Bergen, etc. bestimmen.
Teil A
Verfasst eine schriftliche Anleitung, wie man die Höhe des Hauses in der folgenden Abbildung ermitteln kann wenn die horizontale Entfernung d, der Höhenwinkel α und die „Aughöhe“ bekannt sind!
Teil B
Jetzt soll das, was ihr im vorherigen Teil erarbeitet habt, auch praktisch angewendet werden:
Ihr erhaltet ein Maßband und einen Winkelmesser. Geht damit in den Schulhof und bestimmt
die Höhe eines Objekts eurer Wahl (Schulgebäude, Baum, …):
a) Gebt eine Schätzung ab, wie hoch das Objekt sein könnte: _________________
b) Ermittelt die notwendigen Messgrößen und tragt sie hier ein:
horizontaler Abstand zum Messobjekt: d =__________
Höhenwinkel: α =__________
Aughöhe: h1 = __________
c) Berechnet unter Verwendung eurer Messergebnisse die Gesamthöhe des Objekts und die
prozentuelle Abweichung von eurer ursprünglichen Schätzung:
2
2
BARRIEREFREIES BAUEN BARRIEREFREIES BAUEN Die DIN‐Norm DIN 18024 beschreibt die Anforderungen für das barrierefreie Bauen öffentlicher Verkehrswege und Gebäude für Behinderte und ältere Menschen. Bezüg‐
lich der Errichtung von Rampen finden sich darin folgende Bestimmungen:1 Die DIN‐Norm DIN 18024 beschreibt die Anforderungen für das barrierefreie Bauen öffentlicher Verkehrswege und Gebäude für Behinderte und ältere Menschen. Bezüg‐
lich der Errichtung von Rampen finden sich darin folgende Bestimmungen:1 Bei Rampen ist eine Steigung von max. 6 % einzuhalten.1 Sie müssen mindestens 120 cm breit sein und nach 6 m Länge ist ein 150 cm langes Zwischenpodest vor‐
zusehen. Rampe und Zwischenpodest sind beidseitig mit Radabweisern und Hand‐
läufen auszustatten. Sie müssen ohne Quergefälle sein. In Verlängerung der Ram‐
pe darf keine abwärtsführende Treppe angeordnet sein. Bei Rampen ist eine Steigung von max. 6 % einzuhalten.1 Sie müssen mindestens 120 cm breit sein und nach 6 m Länge ist ein 150 cm langes Zwischenpodest vor‐
zusehen. Rampe und Zwischenpodest sind beidseitig mit Radabweisern und Hand‐
läufen auszustatten. Sie müssen ohne Quergefälle sein. In Verlängerung der Ram‐
pe darf keine abwärtsführende Treppe angeordnet sein. a) Welchem Steigungswinkel entsprechen die 6 % vorgeschriebene Steigung? b) Welchen Steigungswinkel hat die Rampe auf dem Foto wenn die Stufen jeweils 15 cm hoch und 25 cm breit sind? Wie groß ist diese Steigung in Prozent? c) Welche horizontale Gesamtlänge wäre notwendig, um diese Rampe vor‐
schriftsgemäß zu adaptieren? 1
6 % Steigung bedeutet 6 cm Höhengewinn auf 100 cm horizontaler Länge. a) Welchem Steigungswinkel entsprechen die 6 % vorgeschriebene Steigung? b) Welchen Steigungswinkel hat die Rampe auf dem Foto wenn die Stufen jeweils 15 cm hoch und 25 cm breit sind? Wie groß ist diese Steigung in Prozent? c) Welche horizontale Gesamtlänge wäre notwendig, um diese Rampe vor‐
schriftsgemäß zu adaptieren? 1
6 % Steigung bedeutet 6 cm Höhengewinn auf 100 cm horizontaler Länge. 3
Domino
Löst gemeinsam das bereitliegende Domino! (Nur eine Seite, die helle oder die dunkle.)
Die Lösungen zur Selbstkontrolle findet ihr auf der Rückseite.
!
"
#
$
23°
41,5°
tan (15 °)
sin(62 ° )
%
© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
23°
© aol-verlag.de • X043
15°
tan (41,5° )
sin(32 ° )
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'
(
sin(52 ° )
)
41,5°
tan (23 ° )
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© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
32°
sin(23 ° )
15°
© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
38°
cos (75 ° )
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cos (15 ° )
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62°
© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
© aol-verlag.de • X043
sin(41,5° )
23°
sin(67 ° )
sin(28 ° )
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© aol-verlag.de • X043
62°
15°
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Lösungsfigur
Gegenkathe te von α
Hypotenuse
Ankathete von α
cos α =
Hypotenuse
sin α =
tan (62 ° )
cos (32 ° )
tan α =
Gegenkathe te von α
Ankathete von α
© aol-verlag.de • X043
Definition der
Längenverhältnisse:
© aol-verlag.de • X043
62°
© aol-verlag.de • X043
32°
© aol-verlag.de • X043
Zu je zwei Seiten eines Dreiecks
gehört ein bestimmtes
Längenverhältnis.
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#
$
38°
5,9 cm
3,7 cm
x
15°
5,9 cm
x
x
15°
7,4 cm
32°
x
x = 5,9 ⋅ tan (28 ° )
x=
%
5,9
cos (15 ° )
x = 5,9 ⋅ tan(15 ° )
x = 5,2 ⋅ tan (41,5° )
&
'
(
x
38°
x
3,7 cm
x
4,6 cm
41,5°
7,4 cm
32°
41,5°
x
5,2 cm
x = 7,4 ⋅ cos (38 °)
3,7
tan (32 ° )
x=
)
!*
x = 7,4 ⋅ cos (52 ° )
!!
23°
3,1 cm
x
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4,6
tan(41,5° )
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5,9 cm
x
23°
x
x
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x = 5,9 ⋅ tan (23 ° )
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3,1 cm
x
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123"&$4356&,7$!,$'+&.&,$8+2'$
3,1&5&1*9
62°
x
41,5°
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3,1
tan (28 ° )
x=
4,6
⋅
sin(41,5° )
62°
3,1
sin(28 °)
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4,6 cm
3,7
sin(32 ° )
5,9 cm
62°
5,9 cm
x=
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x=
5,9
sin(67 °)
!&
Lösungsfigur
4
Das Bogenmaß
b
Es gibt verschiedene Systeme, um die Größe eines Winkels
anzugeben. Eine Möglichkeit ist das Gradmaß, das auf der
Einteilung des vollen Kreises in 360 „Winkelgrade“ beruht.
Wieso der volle Winkel ausgerechnet 360° misst, hat historische Gründe und ist oft eher unvorteilhaft. Für viele Zwecke
ist ein anderes System, das sogenannte Bogenmaß, günstiger:
Im Bogenmaß wird die Größe eines Winkels α durch die
Länge b des entsprechenden Bogens (hellblau) am Kreis
mit dem Radius 1 („Einheitskreis“) gemessen.
Der volle Winkel (360°) entspricht im Bogenmaß also dem Umfang des Einheitskreises:
U = 2 ⋅ r ⋅ p = 2 ⋅1⋅ p = 2p
Tragt in der Tabelle die fehlenden Werte ein (  wird in der Regel nicht ausgerechnet, sondern bleibt als Symbol stehen):
Gradmaß α
360°
Bogenmaß b
2
60°
110°

11
18
3
1°
allgemein: 
25°
3π
2

allgemein: b
Es ist hier besonders wichtig exakt zu arbeiten: Wird ein Winkel im Gradmaß angegeben,
dann verwendet man das Gradzeichen (°), bei Angabe im Bogenmaß steht kein Einheitenzeichen (oder manchmal die Bezeichnung „rad“ für „Radiant“).
Die Terme sin (1°) und sin (1) haben also unterschiedliche Bedeutung. Mit dem Taschenrechner können wir beide Werte problemlos berechnen, allerdings muss man darauf achten, dass
der richtige „Modus“ eingestellt ist:
Berechnungen im Gradmaß:
Berechnungen im Bogenmaß:
Degree
Radiant
Vor der Berechnung
auf den richtigen
Modus umschalten!
Die Umrechnungsformel vom Gradmaß ins Bogenmaß
ist in unserer Formelsammlung leider nicht enthalten.
Ihr könnt die nebenstehende Abbildung ausschneiden
und auf Seite 8 der Formelsammlung einkleben.