rf mce x10

Kern- und Teilchenphysik
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
• Elektronstreuung
• Formfaktor
Folien und Übungsblätter:
http://www.ikp.uni-koeln.de/groups/reiter/lehre.html
Wirkungsquerschnitt und Reaktionsrate
•
σ=
•
N
N
Zahl der Reaktionen/Zeit
= •
=
Strahlteilchen/Zeit • Streuzentren/Fläche N a ⋅ N A I a ⋅ N bF
b
Reaktionsrate W ist die Anzahl der Reaktionen pro Zeit
pro Targetteilchen und pro Zahl der einfallenden Teilchen:
Fermis Goldene Regel
Theoretische Bestimmung der Reaktionsrate
Reaktionsrate hängt von Art und Stärke des Wechselwirkungspotentials ab.
Hamiltonoperator Hint verknüpft bei einer Reaktion die Wellenfunktion Ψi des
Anfangszustandes mit Ψf des Endzustandes.
Übergangsmatrixelement, Wahrscheinlichkeitsamplitude:
M fi = Ψ f H int Ψi = ∫ Ψ*f H int Ψi dV
Phasenraumfaktor
Reaktionsrate hängt von Anzahl der Endzustände ab.
Phasenraumvolumen eines Teilchens: h3=(2π ħ)3
Streuung in Volumen V und Impulsbereich p´ und p´+dp´
Volumen im Impulsraum ist Kugelschale: 4π p´2 dp´
2
⋅
V
4
p
´
π
Zahl der möglichen Endzustände: dn( p´) =
dp´
3
( 2π)
Energie-Impuls Beziehung : dE = vdp
Dichte der Endzustände in
dn( E´ ) V ⋅ 4πp´ 2
ρ ( E´ ) =
=
dE´
v´⋅(2π ) 3
Fermis Goldene Regel
Fermis Goldene Regel
Reaktionsrate:
Wirkungsquerschnitt:
•
Mit
W=
N ( E´ ) σ ⋅ va
=
Nb ⋅ Na
V
V ist das Raumvolumen in dem sich die
Strahlteilchen befinden.
Methoden für Kernradienmessungen
Die “Größe“ der Kerne kann man mit zwei Verfahren bestimmen:
• die elektromagnetische Wechselwirkung gibt Aufschluß über die Ladungsverteilung der Protonen im Kern.
z.B. – Elektronstreuung
– Muyonische Atome
– Spiegelkerne
• die starke Wechselwirkung mit anderen Kernen gibt Zugang zur Materieverteilung von Protonen und Neutronen im Kern.
z.B. – α - und Protonenstreuung
– Neutronenstreuung und Absorption
– Lebensdauern der α-Emitter
Bemerkung zu Streuprozessen:
Elastische Streuung:
A + B -> A + B
nur die Impulse der Reaktionspartner ändern sich
Inelastische Streuung:
A + B -> C + D + ...
Die Endzustände sind nicht mehr die Eingangszustände
Elektronstreuung
Elektronen sind eine sehr gute Sonde, um die Eigenschaften von kleinen
Strukturen zu untersuchen.
- Die Coulombwechselwirkung ist sehr genau bekannt.
- Elektronen lassen sich gut auf sehr hohe Energien beschleunigen.
Auflösungsvermögen
Unschärferelation: ∆x · ∆p ~ ħ
Für Strukturen wie Kerne mit einem Durchmesser von ca 1 fm braucht
man Elektronen mit einen Impulse von ca.
∆p ~ ħc/c∆x ~ 197/1 [MeV/c] ~ 200 [MeV/c]
Wegen der kleinen Elektronenmasse von me ~ 0.5 [MeV/c2] ist die Ruhemasse
der Elektronen sehr klein gegenüber der kinetischen Energie.
Die Elektronen sind ultrarelativistische Teilchen:
Berechnung des Streuquerschnitts mit der Dirac-Gleichung, die relativistische
Elektronen im elektromagnetischen Feld des Kerns beschreibt.
Kinematik der Elektronenstreuung

x = ( x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct , x )
Vierer-Ortsvektoren:

Vierer-Impulsvektoren: p = ( p0 , p1 , p2 , p3 ) = ( E / c, p)
Lorentz-invariantes
2

E
2
Skalarprodukt:
p = 2 − p2
c
Ist gleich dem Quadrat der Ruhemasse, da immer ein Bezugssystem mit ruhendem
Teilchen existiert.
p2
Invariante Masse: m =
c
Relativistische Energie-Impuls Beziehung:
für relativistische Teilchen gilt:
2 2
E − p c = m 2c 4

E ≈ p c falls
2
bei Elektronen gilt Näherung schon bei einigen MeV
E >> mc 2
Kinematik der Elektronenstreuung
(E ′, p ′)
Elektron
ϑ
Kern

(E , p )
(

EP′ , P′
p ( Elektron) + P ( Kern) → P′( Kern) +
 




Projektil
(
)
Target
(
Rückstoß kern
)
p′( Elektron)

 

Ejektil
)

′P
E

(Mc,0)
 c , P


Energie - und Impulserhaltung : p + P = p′ + P′
E , p
c
oder
E ′ , p ′
c
p 2 + 2 pP + P 2 = p′2 + 2 p′P′ + P′2
invariante Masse : p 2 = p′2 = me2 c 2 und P 2 = P′2 = M 2 c 2
p ⋅ P = p′ ⋅ P′
meist wird Rückstoßkern nicht nachgewiesen : p ⋅ P = p′ ⋅ ( p + P − p′)
Kinematik der Elektronenstreuung
(E ′, p ′)
Elektron
ϑ
Kern

(E , p )
(
)
(

EP′ , P′
(
)
)

′
E

P
P′ = 
, P
c


Energie - und Impulserhaltung : p ⋅ P = p′ ⋅ ( p + P − p′)
  2
2
′
Einsetzen der 4er - Impulse : E ⋅ Mc = E E − p ⋅ p′c + E ′ ⋅ Mc 2 − me2 c 4

bei hohen Energien : me2 c 4 ≈ 0 und E ≈ p ⋅ c

E
p=
, p P = (Mc,0)
c

′
E
p′ =
, p′
c
Energie des gestreuten Elektrons im : E ′ =
E
1+ E
Mc
2
⋅ (1 − cos ϑ )
Elektronenstreuung an ausgedehnter Ladungsverteilung
Schweres Target : Rückstoß vernachlässigbar, Dreierimpulse
Zα << 1
Bornsche Näherung
1 ip x / 
1 ip ′x / 
Ψi =
e
Ψf =
e
V
V
Elektronenstrahl mit Dichte na pro Volumeneinheit
Normierungsbedingung
∫ Ψ i dV = na ⋅V
2
mit V =
V
Na
na
Reaktionsrate W ist Produkt aus Wirkungsquerschnitt σ und
Strahlteilchengeschwindigkeit va
Fermis goldene Regel :
σva
2π
=W =
Ψ f H int Ψ i

V
2
dn
dE f
E f ist die totale Energie (kinetische und Ruheenergie) im Endzustand
Rückstoß vernachlässigbar, Ruheenergie = const. dE f = dE ′ = dE
Elektronenstreuung an ausgedehnter Ladungsverteilung
Dichte n der möglichen Endzustände im Phasenraum :
 2 
′ d p′
⋅
V
p
π
4

dn( p′ ) =
(2π ) 3
Wirkungsquerschnitt für die Streuung des Elektrons in Raumwinkel dΩ
 2 
2 V ⋅ 4π p′ d p′
1 2π
dΩ
dσ ⋅ va ⋅ =
Ψ f H int Ψ i
3
V

(2π ) dE f
Elektronengeschwindigkeit va ≈ c

Für große Elektronenenergie gilt p′ ≈ E ′ / c
dσ
V 2 ⋅ E ′2
=
Ψ f H int Ψ i
2
4
dΩ (2π ) (c)

d p′ / dE f = 1 / c
2
Wechselwirkungsoperator einer Ladung e im elektrischen Potential φ :
H int = eφ
⇒ Matrixelement :
Ψ f H int

e −ip ′x / 
−ipx /  3
φ ( x )e
Ψi = ∫ e
d x
V
Elektronenstreuung an ausgedehnter Ladungsverteilung
  
Impulsübertrag : q = p − p′
e
 iqx /  3
Ψ f H int Ψ i = ∫ φ ( x )e d x
V
Greensche Theorem für zwei Skalarfelder u und v :
verwende
e

iqx / 
3
(
)
u
v
v
u
d
x=0
∆
−
∆
∫

− 2
iqx / 
=  2 ⋅ ∆e
q
e 2
 iqx /  3
Ψ f H int Ψ i = −  2 ∫ ∆φ ( x )e d x
Vq


Poisson - Gleichung : Relation Potential φ ( x ) Ladungsverteilung ρ ( x )

ρ(x)

∆φ ( x ) = −
ε0


statische Ladungsdichte ρ ( x ) = Ze f ( x )

Ladungsverteilungsfunktion : f ( x )
mit
 3
(
x
f
∫ )d x = 1
Elektronenstreuung an ausgedehnter Ladungsverteilung

Matrixelement als Funktion der Ladungsverteilung f( x ) :
e 2
Z ⋅ 4πα 3c
 iqx /  3
 iqx /  3
Ψ f H int Ψ i =
f( x )e d x
 2 ∫ ρ ( x )e d x =  2
∫
q ⋅V
ε 0V q
Fouriertransformierte der Ladungsfunktion (normiert auf Gesamtladung)



iq x / 
F (q ) = ∫ e
f( x )d 3 x

F (q ) ist der Formfaktor; er enthält die Informationen über die räumliche
Verteilung der Ladung im Kern.
Wirkungsquerschnitt
dσ
V 2 E ′2
Ψ f H int Ψ i
=
2
4
dΩ (2π ) (c )
2
4 Z 2α 2 (c ) E ′2
 2
=
F
(
q
)
 4
qc
2
Elektronenstreuung an ausgedehnter Ladungsverteilung
Anwendung der Ergebnisse auf Rutherford - Streuung
Die Ladungsfunktion ist eine δ - Funktion, der Formfaktor ist konstant eins.
4 Z 2 ⋅ α 2 ( c) 2 E ′2
 dσ 
=


 4
 dΩ  Rutherford
qc

Beachte 1/q 4 Abhängigkeit des elektromagnetischen Streuquerschnittes,
dies erschwert Messungen von Ereignissen mit großen Impulsüberträgen
Elastische Streuung ohne Rückstoß :
E = E′


p = p′
Z 2 ⋅ α 2 ( c ) 2
 dσ 
=


2
4
 dΩ  Rutherford 4 E sin θ 2
θ


Impulsübertrag : q = 2 p sin
2

E = pc
Mott-Wirkungsquerschnitt
Bis jetzt haben wir den Spin der Elektronen und Kerne nicht berücksichtigt.
Besitzen die Elektronen relativistische Energien (v ~ c), muss der Rutherfordsche
Wirkungsquerschnitt aufgrund von Spineffekten korrigiert werden.
Der Mott-Wirkungsquerschnitt (benannt nach dem brit. Physiker Mott) berücksichtigt
den Elektronenspin 1/2 und die relativistische Energie. Zwischen ihm
und dem Rutherfordschen Wirkungsquerschitt besteht folgender Zusammenhang:
∗
 dσ 
 dσ 
=
⋅ (1 − β 2 sin 2 θ 2 )




 dΩ  Mott  dΩ  Rutherford
mit β =
v
c
*Rückstoß nicht berücksichtigt
Mott-W.Q. fällt für relativistische Energien zu großen Streuwinkeln rascher ab als
der Rutherford W.Q. Im Grenzfall β ~ 1 gilt:
∗
4 Z 2α 2 ( c ) 2 E ′2
 dσ 
 dσ 
2
2
=
⋅ cos θ 2 =
θ 2
cos



4

 dΩ  Mott  dΩ  Rutherford
qc
Mott-Streuung
Im Gegensatz zum Rutherford-Wirkungsquerschnitt, der symmetrisch zu θ = 90
ist, fällt der Mott- Wirkungsquerschnitt für Rückwärtsstreuung (θ ~ 180) stark ab.
Dies ist ein relativistischer Effekt.
Bei ultrarelativistischen Teilchen mit verschwindender Ruhemasse ist die
Helizität h eine Erhaltungsgröße:
Helizität
 
s·p
h =
= ±1
|s| · |p|
+1 Spin in Bewegungsrichtung
-1 Spin entgegen die Bewegungsrichtung
Die Quantenzahl h gibt die Richtung der Projektion des Teilchenspins auf die Impulsachse des Teilchens an.
Bei Rückwärtsstreuung dreht sich der Impuls des Teilchens um. Es muß also auch
der Spin umklappen. Eine spin-unabhängige Coulombwechselwirkung kann dies
aber nicht bewirken.
Mott-Streuung und Formfaktor
2
 dσ 
 dσ 
2
=


 ⋅ F (q )
 d Ω exp.  d Ω  Mott
Wirkungsquerschnitt an einem punktförmigen Teilchen ist bei Elektron-Streuung der
Mott-Wirkungsquerschnitt.
F(q2) ist der Formfaktor, er beschreibt die Form des zusammengesetzen Objekts.
Der Wirkungsquerschnitt als Funktion des Streuwinkels, d.h. als Funktion des
Impulsübertrags q wird gemessen, daraus erhält man die Fouriertransformierte der
Ladungsverteilung.
Zusammenhang zwischen radialer Ladungsverteilung und Formfaktor
Für kugelförmige Kerne hängt der Formfaktor nur vom Absolutbetrag des Impulsübertrags ab. Nach der Integration über die Winkel ergibt sich der Formfaktor:

sin
q
r
2
2
F (q ) = 4π ∫ r
f (r ) dr

qr
0
∞
bzw. die Umkehrung dazu ergibt die
Ladungsdichte:
f (r ) =
1
(2π ) 3
∫
2
F ( q )e

− iq r
d 3q
Formfaktor und Ladungsdichte
Zusammenhang zwischen radialer Ladungsverteilung und Formfaktor
Ladungsdichte:
Formfaktor:
∞

Z
3
2
iqr
d qF ( q )e
ρc (r) =
3 ∫
( 2π )
4π 2 sin qr
F (q ) =
r dr
ρc (r)
∫
Z 0
qr
δ (r)
1
Punktladung
a 3 −ar
e
exponentiell
8π
2/3
 a  −a 2 r 2 / 2 − q2 / a 2
  e
e
Gauss
 2π 
3
r < R homogene Kugel
3
4πR
2
2
1
1 + q2 / a 2
e
−q2 / a 2
Dipol
Gauss
3
(sin qR − qR cos qR )
3
(qR )
Formfaktor und Ladungsdichte
ρc (r)
2
F (q )
Messung von Elektronenstreuung an
Protonen und Kernen am Mainzer
Mikrotron
Wirkungsquerschnitte und Formfaktoren
Differentieller WQ für Elektronenstreuung an 12C
- Messung des Formfaktors von 12C
- Streuung an homogener Kugel: Interferenzminima
- Gestrichelte Kurve: Minimum bei |q| = 1.8 fm-1.
- Vergleich mit Nullstelle im Wirkungsquerschnitt der
homogenen Kugel bei qR = 4.5 -> Kernradius R~2.5
fm.
Differentielle WQ an den Kalziumisotopen 40Ca und
48Ca. Zur besseren Darstellung wurden WQ mit
einen Faktor 10 bzw. 10-1 multipliziert.
Aus der Lage der Minima erkennt man, dass der
Radius von 48Ca größer ist als von 40Ca.
Parametrisierung der Ladungsverteilungen
ρ0
ρc (r) =
1 + exp(( r − c ) / a )
für größere Kerne gilt :
c ≈ 1.07 ·A1 / 3 fm , a ≈ 0.54 fm
Ladungsdichte
[x1019 coulomb/cm3]
Dichteverteilung kann durch eine
Fermi - Funktion dargestellt werden :
Mittlerer quadratischer Radius :
rrms =
r 2 = r0 ⋅ A1 / 3 mit r0 = 0.94 fm
Äquivalent Radius R einer Kugel :
R 2 = 5 / 3 r 2 ⇒ R = 1.21 ⋅ A1 / 3
Hautdicke t :
t = r (ρ ρ 0 = 0.1) − r (ρ ρ 0 = 0.9 )
= 2a ln 9 ≈ 2 ,4 fm)
Radiale Distanz [fm]
Zusammenfassung: Fermis Goldene Regel
Fermis Goldene Regel
Reaktionsrate:
Wirkungsquerschnitt:
Elektronenstreuung
dσ
V 2 ⋅ E ′2
=
Ψ f H int Ψ i
2
4
dΩ (2π ) (c)
2
Wechselwirkungsoperator einer Ladung e im elektrischen Potential φ :
H int = eφ
⇒ Matrixelement :

e −ip ′x / 
−ipx /  3
φ ( x )e
Ψ f H int Ψ i = ∫ e
d x
V
Zusammenfassung: Elektronenstreuung
  
Impulsübertrag : q = p − p′
e
 iqx /  3
Ψ f H int Ψ i = ∫ φ ( x )e d x
V
Greensche Theorem für zwei Skalarfelder u und v :
3
∆
−
∆
u
v
v
u
d
x=0
(
)
∫
e 2
 iqx /  3
Ψ f H int Ψ i = −  2 ∫ ∆φ ( x )e d x
Vq

ρ(x)

Poisson - Gleichung : ∆φ ( x ) = −


Ladungsdichte : ρ ( x ) = Ze f ( x )
ε0

Ladungsverteilung : f ( x )

Matrixelement als Funktion der Ladungsverteilung f( x ) :
e 2
Z ⋅ 4πα 3c
 iqx /  3
 iqx /  3
f( x )e d x
Ψ f H int Ψ i =
 2 ∫ ρ ( x )e d x =  2
∫
ε 0V q
q ⋅V
Fouriertransformierte der Ladungsfunktion


 3
iqx / 
f( x )d x
F (q) = ∫ e
Zusammenfassung: Formfaktor, Wirkungsquerschnitte

F (q ) ist der Formfaktor; er enthält die Informationen über die räumliche
Verteilung der Ladung im Kern.
Wirkungsquerschnitt für Elektronenstreuung am Kern
dσ
V 2 E ′2
=
Ψ f H int Ψ i
2
4
dΩ (2π ) (c )
2
4 Z 2α 2 (c ) E ′2
 2
=
F
(
q
)
 4
qc
2
Rutherford - Streuung Wirkungsquerschnitt
4 Z 2 ⋅ α 2 ( c ) 2 E ′2
 dσ 
=


 4
 dΩ  Rutherford
qc
Z 2 ⋅ α 2 ( c ) 2
 dσ 
=


4 E 2 sin 4 θ 2
 dΩ  Rutherford
Wegen Helizität
Mott - Wirkungsquerschnitt
∗
 dσ 
 dσ 
=
⋅ (1 − β 2 sin 2 θ 2 )




 dΩ  Mott  dΩ  Rutherford
mit β =
v
c
 
s·p
h =
= ±1
|s| · |p|
Ladungsdichte
[x 1019 Coulomb/cm3]
Zusammenfassung: Ladungsdichte
Radiale Distanz [fm]