Trägheitsmomente - I. Physikalisches Institut B

24
1.3
Trägheitsmomente
Abbildung 1.1: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.
Physikalische Grundlagen
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen
1.3.1
Einführung
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse
haben, ist das Trägheitsmoment
X
J=
∆mi · ri2
(1.1)
i
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:
J = m · r2
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
25
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer einer Drillachse bestimmt,
T = 2π
s
J
D
(1.2)
auf die der Probekörper gesteckt wird und die
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.1). Das System
wird zu harmonischen Schwingungen angeregt.
Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei
bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß
T
J =D
2π
2
(1.3)
Die Messwerte werden mit den theoretischen
Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen Massenelemente ∆mi um eine feste Achse
im Abstand ri rotieren, verglichen:
J=
X
∆mi ri2
=
Z
r2 dm
(1.4)
i
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.2) in elektrische Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale Spannung. Er besteht aus einem vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit
angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr befindet
sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche Sonde (HallSonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes anspricht.
Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind
so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel
geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im Ruhezustand verschwindet daher die
vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspannung des Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird Abbildung 1.2: Drillachse mit Winkelaufnehnun die Drillachse um den Winkel α aus der ho- mer.
rizontalen Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente in vertikaler Richtung auf.
26
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung
B⊥ = B · sin α
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen
Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) unter 1%.
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker
(rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf.
Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse
lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz
und damit die Schwingungsdauer bestimmen.
Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben
den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.
Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher
Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse
und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment
mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.
Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J0
um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz
J a = J 0 + m · a2
(1.5)
bestätigt werden.
1.3.2
Versuchsbeschreibung
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen lassen:
• Messung des Zusammenhangs J = f (r2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r um
eine feste Achse rotiert.
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener Massenverteilung.
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
27
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren
Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben.
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.
1.3.3
Versuchsaufbau
Zum Versuchsaufbau gehören
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel
angekoppelt.
Richtmoment der Feder:
Höhe der Drillachse:
Gewicht der Drillachse:
ca. 0,025 N m
ca. 0,2 m
ca. 0,39 kg
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.
Länge des Stabes:
Masse des Stabes:
ca. 0,6 m
ca. 0,13 kg
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen
von der Stabmitte gehalten werden.
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken
auf die Drillachse.
Durchmesser:
Höhe:
Masse:
ca. 0,225 m
ca. 0,015 m
ca. 0,35 kg
28
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser:
Höhe:
Masse:
ca. 0,09 m
ca. 0,09 m
ca. 0,35 kg
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser:
Höhe:
Masse:
ca. 0,09 m
ca. 0,09 m
ca. 0,35 kg
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die
Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.
Durchmesser:
Masse:
ca. 0,1 m
ca. 0,12 kg
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.
Durchmesser:
Masse:
ca. 0,145 m
ca. 0,99 kg
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
29
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.
Durchmesser:
Masse:
1.3.4
ca. 0,4 m
ca. 0,74 kg
Hinweise zum Experimentieren
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, nicht
betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den
Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen
die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt.
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich
auch der Fehler für die Schwingungsdauern.
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine
Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur ”fourier” aus der
MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur ”peak” der Schwerpunkt
der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch
Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem
Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung
abgeschätzt werden.
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 1.3
gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.4) ergibt sich in diesem Beispiel eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für den
Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.
30
Abbildung 1.3: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.
Abbildung 1.4: Fouriertranformation der in Abb. 1.3 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
31
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10−5 kgm2 . Es ist in der
Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets
etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.
1.3.5
Bestätigung von J = f (r2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1 , mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit einer
Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen. Anschliessend werden die Massen (mW 1 , mW 2 ) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10;
0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen.
Beispiel einer solchen Messreihe:
r
T
m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist
1
2
JStab =
· mStab · lStab
12
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:
JM assen = (mW 1 + mW 2 ) · r2 = mW · r2
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:
JM assen + JStab
D
4π 2
4π 2
=
mW · r 2 +
· JStab
D
D
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.
T 2 = 4π 2
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat
des Abstandes (r2 ) (siehe Abb. 1.5) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,
T 2 = m · r2 + a
s2
= 737, 34 2 · r2 + 6, 36 s2
m
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:
4π 2
· mW
m
4π 2
=
· 0, 48 N m
737, 34
= 0, 0257 N m
D =
32
Abbildung 1.5: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden
aD
4π 2
6, 36 · 0, 0257
=
4π 2
= 0, 414 · 10−2 kg m2
exp.
JStab
=
und mit der theoretischen Vorhersage
1
2
· mStab · lStab
12
1
=
· 0, 132 · 0, 62 kg m2
12
= 0, 396 · 10−2 kgm2
theo.
JStab
=
verglichen werden.
1.3.6
Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse
mit verschiedener Massenverteilung
Dünner Vollzylinder aus Holz
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein Durchmesser dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt
und die Schwingungsdauer gemessen.
Beispiel:
THS = 1, 82 s
1
exp
2
JHS
=
· D · THS
2
4π
1
· 0, 0257 · 1, 822 N ms2
=
2
4π
= 2, 16 · 10−3 kg m2
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
33
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:
theo
JHS
!2
1
dHS
mHS
=
2
2
−3
= 2, 05 · 10 kg m2
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:
JV Z = JV Z+T − JT
JHZ = JHZ+T − JT
Aufnahmeteller:
T = 0, 564 s
1
JTexp =
· D · TT2
4π 2
1
=
· 0, 0257 · 0, 5642 N ms2
4π 2
= 0, 207 · 10−3 kg m2
Aufnahmeteller + Vollzylinder:
T = 0, 92 s
1
JV Z+T =
· D · TV2 Z+T
4π 2
1
=
· 0, 0257 · 0, 922 N ms2
4π 2
= 0, 552 · 10−3 kg m2
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders
−3
JVexp
kg m2
Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
JVtheo
Z
!2
1
dV Z
=
mV Z
2
2
−3
= 0, 337 · 10 kg m2
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:
T = 1, 18 s
1
JV Z+T =
· D · TV2 Z+T
2
4π
1
· 0, 0257 · 1, 182 N ms2
=
2
4π
= 0, 907 · 10−3 kg m2
34
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders
exp
JHZ
= JHZ+T − JT = 0, 700 · 10−3 kg m2
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
!2
dHZ
= mV Z
2
= 0, 652 · 10−3 kg m2
theo
JHZ
1.3.7
Trägheitsmoment der Kugel
T = 1, 82 s
1
exp
JK
=
· D · TV2 Z+T
4π 2
1
=
· 0, 0257 · 1, 822 N ms2
4π 2
= 2, 16 · 10−3 kg m2
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage
2
2
theo
JK
= m K RK
5
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK . Dieser lässt sich mit dem
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK
zu verwenden, um über die Beziehung
4 3
mK = VK · ρK = πRK
ρK
3
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 103 kg/m3 erhalten wir:
RK
"
#1
mK 3
=
4
πρK
3
= 0, 0716 m
und damit
2
2
m K RK
5
2
· 0, 99 kg · 0, 07162 m2
=
5
= 2, 03 · 10−3 kg m2
theo
JK
=
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:
4
2
2
mHS · RHS
= m K · RK
5
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE
1.3.8
35
Bestätigung des Steinerschen Satzes
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz
Ja = J0 + m · a2
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach
wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.
Wichtig:
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass
die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.
Ergebnis:
a[m]
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
T[s] J [kg m2 ] 10−2
4,782
1,490
4,800
1,501
4,961
1,604
5,230
1,782
5,532
1,994
5,884
2,256
6,313
2,597
6,710
2,951
7,220
3,400
J−J0
a2
[kg]
0,75
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der
Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:
Ja = J0 + const. · a2
Die Auswertung des Diagramms J = f (a2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in
befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt
der Versuch den Steinerschen Satz:
J a = J 0 + m · a2