Lösung zur Probklausur - qoqi.physik.uni

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1
Universität Erlangen–Nürnberg
WS 2008/09
Probeklausur (28.1.2009)
Vorlesungen: Mo, Mi, jeweils 08:10 - 09:50 HG
http://www.optik.uni-erlangen.de/jvz/
-
Übungen: Fr 08:15 - 09:45, 14tägig
HG, HF, SR 00.732, SR 01.683, SR 01.779
Fr 12:00 - 14:00, 14tägig, HF
Aufgabe 1: Kräftegleichgewicht
Das abgebildete System ist im Gleichgewicht. Ermitteln Sie die unbekannten Zugkräfte F1 , F2 und F3 und die Masse m. Vernachlässigen Sie dabei alle Reibungseffekte und rechnen Sie mit einer Erdbeschleunigung von 9,8 sm2 .
60°
F1
60° F3
F2
m
8 kg
Lösung Aufgabe 1
Kräftediagramm A
Kräftediagramm B
Kräftediagramm C
g = 9,81 m/s²
F1
F3
F1sin4
y
4
F1cos4
m
x
F3
60°
4
8 kg
F3cos4
mg
F2
1
F3sin4
F2
(8 kg) g = 78,5 N
Statisches Gleichgewicht:
n
X
F~i = ~0
i=1
Aus Diagramm A: F3 − mg = 0
⇒ F3 = mg
(1)
Aus Diagramm B: parallel zur x-Achse:
F1 cos θ − F3 cos θ = 0
⇒ F1 = F3
(2)
parallel zur y-Achse:
F1 sin θ + F3 sin θ − F2 = 0
⇒ F2 = F1 sin θ + F3 sin θ
= 2F1 sin θ
Aus Diagramm C: F2 − 78, 5 N = 0
⇒ F2 = 78, 5 N
F2
78, 5 N
=
= 45, 3 N
2 sin θ
2 sin 60 ◦
(5) in (2) ⇒ F3 = 45, 3 N
Aus (4) und (3) ⇒ F1 =
(3)
(4)
(5)
(5) in (1) ⇒ mg = 45, 3 N
m = 4, 62 kg
Aufgabe 2: Überspringen eines Wassergrabens
Ein Junge möchte mit seinem Skateboard einen Wassergraben überspringen. Die gegenüberliegende Seite des Grabens
ist um 50 cm abgesenkt. Um genug Geschwindigkeit für den Sprung über den Wassergraben aufzubauen, beginnt er
seine Fahrt am oberen Ende einer Hangstraße. Der Junge kann hierbei mit seinem Skateboard als Massenpunkt betrachtet werden. Außerdem können Reibungseffekte jeglicher Art vernachlässigt werden.
(a) Aus welcher Höhe muss der Junge losfahren, damit er eine Absprunggeschwindigkeit von 10 m/s erreicht?
(b) Berechnen Sie die maximale Grabenbreite, die der Junge bei waagrechtem Absprung überspringen kann.
(c) Wie lange ist der Junge in der Luft?
(d) Wie hoch ist der Betrag der Geschwindigkeit des Jungen bei der Landung auf der anderen Grabenseite?
Lösung Aufgabe 2
a) Lege das Koordinatensystem so, dass der Koordinatenurspung mit dem Absprungort zusammenfällt.
2
y(t)
h
v0
x(t)
D 0,5 m
v0
vg
v’0
oben
Am Anfang (oben) : potentielle Energie : Epot
= mgh
1
oben
kinetische Energie : Ekin
= mv 2 = 0
2
unten
Kurz vor Absprung (unten) : potentielle Energie : Epot
=0
1
unten
kinetische Energie : Ekin
= mv02
2
(6)
(7)
(8)
(9)
Aufgrund der Energieerhalteung ergibt sich aus (6) und (9):
oben
oben
unten
oben
Epot
+ Ekin
= Epot
+ Ekin
⇒h=
v02
= 5, 1 m
2g
(10)
b)
1 2
0
v0
0
~r(t) = r~0 + v~0 t + ~at mit r~0 =
, v~0 =
, ~a =
0
0
−g
2
x(t)
v0 t
~r(t) =
=
⇒ t = x(t)
v0 in y(t) einsetzen
y(t)
− 12 gt2
g
⇒ y(t) = − 2 x(t)2
2v0
s
−2v02 y(t)
mit y = −0, 5 m ⇒ x ≈ 3, 2 m
⇒ x(t) =
g
(11)
(12)
(13)
c) Die Flugzeit kann mit (11) berechnet werden:
t=
x(t)
≈ 0, 32 s
v0 )
d) Die Geschwindigkeit des Jungen wird durch die Erdbeschleunigung erhöht:
v0
v0
0
′
~
v = v~0 + v~g =
+
=
− gx
0
−gt
v0
s
gx 2
~′ ≈ 10, 5 m/s
v = v02 +
v0
3
(14)
(15)
(16)
Aufgabe 3: Wasserrad
An einem Flussufer befindet sich ein Wasserrad, das sich mit konstanter Umlaufperiode von T = 8 s dreht. Der
Durchmesser des Wasserrads beträgt 6 m.
(a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω
~ , sowie die Ortsfunktion ~v (t), die Geschwindigkeit ~v (t) und die Beschleunigung ~a(t) der Schaufeln. Vernachlässigen Sie dabei die
Erdbeschleunigung.
(b) Skizzieren Sie in ein geeignetes Koordinatensystem das Rad und die drei Vektoren ω
~ , ~v und ~a für eine Schaufel
am tiefsten Punkt der Drehung. Geben Sie an diesem Punkt für die Komponenten der Vektoren ω
~ , ~v und ~a konkrete
Werte an.
Lösung Aufgabe 3
a) Setze den Koordinatenursprung in die Drehachse des Wasserrads.
y(t)
r(t)
Rsin(I)
I
x(t)
Rcos(I)
I=Zt
Bei einer mathematisch positiven Drehung, d.h. einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn, zeigt ω
~ senkrecht aus der
x-y-Ebene heraus.


0
2π
1
ω
~ (t) =  0  mit |~
ω| = ω =
= 0, 79
(17)
T
s
ω

 

Rcos(ωt)
x(t)
(18)
~r(t) =  y(t)  =  Rsin(ωt)  ⇒ |~r(t)| = R = 3 m
0
0


−sin(ωt)
(19)
~v (t) = ~r˙ (t) = Rω  cos(ωt)  ⇒ |~v (t)| = Rω = 2, 37 m/s
0


−Rω 2 cos(ωt)
m
~a(t) = ~v˙ (t) =  −Rω 2 sin(ωt)  = −ω 2~r(t) ⇒ |~a(t)| = Rω 2 = 1, 85 2
(20)
s
0
b) Für eine Schaufel am untersten Punkt der Drehung gilt: φ = ωt = 270◦ = 3π/2








0
Rω
0
0
ω
~ (t) =  0  , ~r(t) =  −R  , ~v (t) =  0  , ~a(t) =  Rω 2 
0
0
0
ω
4
(21)
(22)
y(t)
Z
a
x(t)
r
v
Aufgabe 4: Kind auf Rutsche
Ein Kind der Masse 30 kg rutscht eine Rutsche hinunter, die einen Neigungswinkel von 30◦ besitzt. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Kind und Rutsche beträgt µG = 0, 2 . Das Kind beginnt in einer Höhe von 4 m über dem
Boden zu rutschen.
(a) Bestimmen Sie den Betrag der von der Reibungskraft verrichteten Arbeit!
(b) Bestimmen Sie den Betrag der von der Gravitationskraft verrichteten Arbeit!
(c) Welche Geschwindigkeit hat das Kind, wenn es den Boden erreicht?
Lösung Aufgabe 4
N
(a) WR = F~R~s = −µG mgs cos 30◦ = −0, 2 · 30kg · 9, 81 kg
·
→ |WR | = 408J
4m
sin 30◦
· cos 30◦ ≈ −408J
N
· 4m = 1177, 2J
(b) WG = F~G~s = mgh = 30kg · 9, 81 kg
→ |WG | = 1177, 2J
(c) WR = ∆E = Enachher − Evorher =hier Ekin − Epot
→ hier : WR + Epot = WR + WG = Ekin
→ 21 mv 2 = 1177, 2J − 407, 8J = 769, 4J
q
m
m
→ v = 2·769,4J
30kg = 7, 161936... s ≈ 7 s
Aufgabe 5: Zimmertür
Eine Zimmertür der Breite B = 0, 95 m besitzt das Trägheitsmoment J = 7, 5 kg m2 bezüglich der Achse durch
die Türaufhängung. Ein spielendes Kind wirft auf die senkrecht zur Wand offen stehende Tür einen Knetgummi der
Masse m = 0, 60 kg und der Geschwindigkeit v = 13 km/h. Es trifft senkrecht auf den Türrand nahe der Türklinke.
(a) Berechnen Sie den Drehimpuls des Knetgummis bezüglich der Türachse. (Ersatzlösung: L = 2, 0 Nm)
(b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, mit der die Tür zuschwingt, wenn das Knetgummi an der Tür haften
bleibt, d.h. der Stoß zwischen Knetgummi und der Tür vollkommen inelastisch erfolgt. (Ersatzlösung: ω = 0, 30 s−1 )
(c) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit des Türrands und die Zeit, nach der die Tür sich gerade schließt.
(d) Berechnen Sie den Anteil Q der ursprünglichen kinetischen Energie, der beim Stoß in andere Energieformen (Verformung, Wärme etc.) umgewandelt wird.
5
Lösung Aufgabe 5
~ = ~r × p~, Ball ⊥ Tür
(a) L
L = mvB = 2, 1
kgm2
s
(b) Drehimpulserhaltung: L = L′
mvB = Jges ω0 = (mB 2 + J)ω0 ⇒ ω0 = 0, 23s−1
(c) Bahngeschwindigkeit: ~vB = ω
~ × ~r
vB = ω0 B =
Türe ist geschlossen bei φ = ω0 t =
π
2
mvB 2
m
= 0, 22
2
mB + J
s
⇒ t = 6, 9s
(d)
∆W = E − E ′ = 0, 5mv 2 − 0, 5Jges ω02 = 0, 5mv 2 ·
1
2
1 + m BJ
= 3, 68J
Aufgabe 6: Karussell
Auf einem Spielplatz steht ein kleines Karussell, das aus einer Kreisscheibe mit Masse M = 200 kg und Radius R = 2, 0 m besteht, die in ihrer Mitte eine senkrechte Drehachse besitzt. (Trägheitsmoment der Kreisscheibe
2
J = M2R )
(a) Ein Kind bringt die Scheibe zum Rotieren, in dem es am Rand der Scheibe tangential entland einer Wegstrecke
s = 10 m mit der Kraft F = 60 N schiebt. Berechnen sie die Rotationsfrequenz der anschließend frei rotierenden
Scheibe und die Zeit, die der Beschleunigungsvorgang gedauert hat. (Ersatzlösung: ω = 0, 3s−1 )
(b) Das Kind (Masse m = 40 kg) nimmt nun Anlauf und springt mit der Geschwindigkeit v = 2, 5 m
s tangential
auf den Rand des Karussells auf. Es bleibt schließlich auf dem Rand der rotierenden Scheibe stehen. Mit welcher
Bahngeschwindigkeit bewegen sich dann der Scheibenrand und das Kind gemeinsam? (Ersatzlösung: v ′ = 3, 0 m
s)
(c) Das Kind läuft nun radial zum Mittelpunkt des Karussells. Welche Winkelgeschwindigkeit hat das Karussell anschließend?
Lösung Aufgabe 6
(a) Arbeit → Rotationsenergie
6
Z
1
F ds = F · s = Jω02
2
1
⇒ ω0 ⇒ ν 0 =
πR
Drehmoment: F · R = J ω̇ ⇒ ω̇ =
r
Fs
= 0, 28Hz
M
2F
MR
ω
ω0
ω = ω̇t ⇒ t =
⇒ t0 =
=
ω̇
ω̇
r
Ms
= 5, 77s
F
(b) Drehimpulserhaltung: LScheibe + LKind = L′Scheibe+Kind
Jω0 + mvR = (J + mR2 )ω ′ = (J + mR2 )
⇒ v ′ = 3, 19
v′
R
m
s
(c) kein Drehmoment → L = const
L = J ′ ω ′ = J ′′ ω ′′
ω ′′ =
J ′ ′ (0, 5M + m)R2 v ′
2mv
ω =
· = ω0 +
= 2, 23Hz
′′
2
J
0, 5M r
R
MR
Aufgabe 7: Trägheitsmoment eines Stabes
(a) Berechnen Sie durch Integration das Trägheitsmoment J eines dünnen homogenen Stabes mit Länge L und Masse
M bezüglich einer Achse senkrecht zum Stab in der Mitte des Stabes beziehungsweise senkrecht zum Stab am Ende
des Stabes.
(b) Berechnen Sie nun noch einmal das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse senkrecht zum Stab am Ende des
Stabes, nun aber mit Hilfe des Steiner’schen Satzes. Benutzen Sie dafür das Ergebnis der ersten Teilaufgabe aus Aufgabe (a).
Lösung Aufgabe 7
J=
Z
7
r2 dm
dm
dx
M
=
⇒ dm =
dx
M
L
L
J=
Stabmitte: Jm =
M
L
L/2
R
x2 dx =
−L/2
Stabende: Je =
M
L
RL
x2 dx =
0
M
L
Z
x2 dx
M L2
12
M L2
3
mit Steiner’schem Satz: JSt = Jm + M
L 2
2
=
M L2
3
Aufgabe 8: Federpendel
An einer Feder mit Federkonstante D = 500 N/m wird eine Masse M = 2 kg gehängt.
(a) Um wieviel Zentimeter wird sich die Feder dehnen?
(b) Mit welcher Frequenz schwingt das Pendel, wenn Sie es um weitere 5 cm auslenken und loslassen?
(c) Um wieviel Zentimeter gegenüber der Ruhelage wird das Pendel nach 10 Schwingungen ausgelenkt, wenn das
Pendel nun gedämpft schwingt und die Dämpfungskonstante γ = 0, 3 beträgt?
Lösung Aufgabe 8
a)
F = mg = Ds
mg
s=
= 4cm
D
b)
ω=
p
D/M = 15.81 1/s
f=
15, 81
= 2.52 Hz
2π
c)
Ax = e−γ10T A0 = e−γ·10·2π/
Aufgabe 9: Wellen
8
√
ω 2 −γ 2
A0 = 1.2cm
Eine Welle habe eine Kreisfrequenz ω von 110 rad/s und eine Wellenlänge λ von 1,80 m. Berechnen Sie:
a) die Frequenz f der Welle,
b) ihre Wellenzahl k,
c) und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit v.
d) Für ein bestimmtes, an beiden Seiten geschlossenes Rohr seien 900, 450, 300, 180 cm vier der sechs Resonanzwellenlängen oberhalb von 130 cm. Welche zwei Wellenlängen fehlen in dieser Liste? Wie lang ist das Rohr?
Lösung Aufgabe 9
ω
= 17.5 Hz
a) Frequenz der Welle: f = 2π
2π
b) Wellenzahl: k = λ = 3.49 m1
c) Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = λf = 1.8 m · 17.5 Hz = 31, 5 ms .
d) Die Resonanzwellenlängen sind immer ein ganzzahliger Bruchteil der Grundwellenlänge. Testweise kann man
annehmen, dass 900 cm die Grundwellenlänge und damit die erste Resonanzwellenlänge ist. Dann ist 450 cm die
zweite Resonanz, 300 cm die dritte Resonanz. Die vierte läge dann bei 9004cm = 225 cm, die fünfte sind die angegebenen 180 cm, die sechste läge bei 9006cm = 150 cm. Die siebte ist dann bei 9007cm = 128 cm, also außerhalb des
angegebenen Bereichs. Unsere Annahme war also richtig. Es fehlen in der Liste 225 cm und 150 cm. Die Rohrlänge
entspricht der halben Grundwellenlänge, also 450 cm.
Aufgabe 10: Zusammenhänge bei Wellen
(a) Der Bayerische Rundfunk sendet sein erstes Programm auf Mittelwelle auf 801 kHz und auf Ultrakurzwelle auf
94,8 MHz. Wie groß sind die jeweiligen Wellenlängen (Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 108 m/s)?
(b) Zwei Schallsignale der Frequenz 440 Hz sind um π/3 phasenverschoben. Um welche Zeit sind die beiden Schwingungen gegeneinander verschoben?
Lösung Aufgabe 10 (a)
3 · 108 m/s
c
=
= 375 m .
f1
801 · 103 s−1
c
3 · 108 m/s
λ2 =
=
= 3, 16 m .
f2
94, 8 · 106 s−1
λ1 =
(b) Zwei Schallsignale der Frequenz 440 Hz sind um π/3 phasenverschoben. Um welche Zeit ∆t sind die beiden
Schwingungen gegeneinander verschoben?
Zeit zwischen zwei Schwingungsmaxima: T = 1/f = 1/440 s−1 = 2, 3 ms.
Phasenverschiebung entspricht 1/6 einer Schwingungsperiode, also: ∆t = T /6 = 2, 3 ms · 1/6 = 0, 38 ms.
9