Lösungsstrategien bei Magischen Figuren

Lösungsstrategien bei Magischen Figuren
1. Magische Quadrate
Magische Figuren sind Anordnungen von Zahlen in einer Figur, so dass entlang gewissen
Verbindungen die Summen der Zahlen gleich sind. Am bekanntesten sind magische Quadrate. Das
älteste bekannte magische Quadrat findet sich in einem chinesischen Buch aus der Zeit 5000-4000 vor
Chr. In unserer Schreibweise würde es lauten :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Magische Quadrate waren vor 2000 Jahren auch in Indien bekannt, wie ein Kulturdenkmal beweist. Es
enthält folgendes 4•4 - Quadrat :
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
Dieses ist punktgespiegelt das berühmte magische Quadrat, das Dürer auf dem Kupferstich Melencolia
I dargestellt hat:
16 3
5 10
9 6
4 15
2 13
11 8
7 12
14 1
Magische Quadrate waren bei den Indern und Arabern sehr beliebt und auch im oströmischen Reich
bekannt. Wegen der wunderlichen Eigenschaften wurden ihnen magische Kräfte zugesprochen.
Dürers Kupferstich aus dem Jahr 1514 (man beachte, dass dies die mittleren Zahlen der letzten Zeile
sind) hat sie auch bei uns beliebt gemacht.
Die Forderungen an ein magisches Quadrat sind:
1. Die Summen der Elemente aus jeder Zeile sind gleich.
2. Die Summen der Elemente aus jeder Spalte ergeben dieselbe Zahl.
3. Die Summen in jeder der beiden Diagonalen ergeben ebenfalls diese Zahl.
Anhand Dürers Quadrats sieht man, dass diese Summe noch öfters auftaucht. Man kann nachweisen,
dass folgende Eigenschaften immer gelten müssen:
4. Die Summe der vier Eckzahlen ist S.
5. Die Summe der vier inneren Zahlen ist S.
6. Die Summe der zwei mittleren Zahlen der obersten und untersten Zeile ist S.
7. Die Summe der zwei mittleren Zahlen der ersten und letzten Spalte ist S.
Dürers Quadrat hat noch weitere Eigenschaften, die nicht aus 1- 3 folgen:
8. Das 4•4- Quadrat besteht aus 4 2•2-Quadraten, bei denen die Summe wiederum S ist.
9. Die Summe der folgenden mit a bzw. mit b bezeichneten Teildiagonalen ist S :
. a b .
a. . b
b . . a
. b a .
10. Die Summe der folgenden mit a,b,c und d bezeichneten Teilstrecken ist S :
a c d b
a c d b
b d c a
b d c a
a
c
d
b
a
c
d
b
b
d
c
a
b
d
c
a
11. Es gilt die Rösselsprung-Bedingung:
a
c
b
d
b
d
a
c
c
a
d
b
d
b
c
a
12. Es enthält genau die Zahlen 1 bis 16.
Diese und noch weitere Summeneigenschaften werden von Kindern immer wieder gerne entdeckt. Die
Suche danach ist gleichzeitig eine gute Übung im Addieren im Zahlenraum bis 40.
Magische 3•3-Quadrate kann man schon in der 1. Klasse verwenden. Man kann beim fertigen Quadrat
die Eigenschaften finden lassen, aber auch nur teilweise besetzte Quadrate zu einem magischen
Quadrat ergänzen lassen (und damit sowohl Plus- als auch Minusaufgaben üben).
Eine deutlich größere Schwierigkeitsstufe wäre ein leeres Quadrat füllen zu lassen. Diese Aufgabe
stellt eine wirkliche Problemaufgabe dar, denn es ist nicht klar, wie man hier planmäßig vorgehen
kann. Wenn Kinder so eine Aufgabe zum ersten Mal sehen, bleibt ihnen nichts anderes übrig als zu
probieren (was sie im allgemeinen aber durchaus mit Freude tun. Die Motivation, dieses Rätsel zu
knacken, ist bei den meisten groß genug). Finden sie dann trotz intensiven Probierens keine Lösung,
sollten sie vielleicht einen Tipp der Lehrkraft bekommen, sofern sie das wünschen (wer das Rätsel
selbst knacken will, sollte nicht daran gehindert werden, es selbst zu versuchen, solange er mag). Ein
Tipp könnte sein, dass das Kind gefragt wird, welche Stelle vielleicht eine besondere Rolle spielen
könnte (etwa die Stelle in der Mitte, hier könnte man es mit der mittleren Zahl versuchen). Die
Versuche, die nicht zu einer Lösung führen, sollen im Nachhinein auch gewürdigt werden, zumindest
in dem Sinn, dass einige Kinder erlebt haben, dass es mit anderen Zahlen in der Mitte nicht gehen
kann. Sie können aufgefordert werden zu sagen, warum es bei ihnen nicht geklappt hat.
Welche Strategien können Kinder nun bei solchen Aufgaben entwickeln? Ist es die Zeit wert, dass
nicht zur Lösungen besprochen werden, sondern auch Strategien zusammengetragen und auf weitere
Beispiele angewandt werden?
Können solche Strategien auch außerhalb des Themengebietes „Magische Figuren“ gebraucht werden?
Hier sollen zunächst einige Strategien zusammengetragen werden, die schließlich bzgl. ihrer
Anwendbarkeit und Vermittelbarkeit in der Schule diskutiert werden.
Eine Strategie könnte sein, besondere Zahlen an besonderen Stellen einzusetzen. Beim 3•3- Quadrat
könnte man auf die Idee kommen, in das mittlere Feld auch die mittlere Zahl einzusetzen. Sollen es
die Zahlen von 1 bis 9 sein, ist also die 5 zu nehmen. Dann muss man noch 4 mal die 5 zur magischen
Summe 15 ergänzt werden (waagrecht, senkrecht und in den beiden Diagonalen). Dies ist möglich. Es
ist auch nur für die Zahl 5 möglich. Damit ist schon eine Begründung gefunden, warum nur die 5 in
der Mitte stehen kann. Des weiteren kann man (vor allem wenn alle gefundenen Lösungen an der
Tafel stehen) feststellen, dass die geraden Zahlen in den Ecken stehen müssen, damit auch die äußeren
Zeilen und Spalten so gestaltet werden können, dass sich jeweils die Summe 15 ergibt. Insgesamt gibt
es 8 Lösungen für dieses Problem. Wenn man diese miteinander vergleicht, so sieht man, dass sie
durch Drehungen (eine Viertel-, Halb- oder Dreivierteldrehung) und Spiegelungen (z.B. Vertauschen
der 1. und 3. Spalte, der 1. und 3. Zeilen oder symmetrisch zu einer der Diagonalen) auseinander
hervorgehen. Es kann also auch ein Bezug zur Geometrie geschaffen werden. Mancher Schüler
bekommt so den Eindruck, dass es eigentlich nur eine Lösung gibt oder, wenn man alle gedrehten
Versionen als gleich ansieht, nur 2 Versionen. Die Möglichkeiten, die 1. und 3. Spalte zu vertauschen
oder die 1. und 3. Zeile, werden oft leichter gesehen als die Spiegelung an einer Diagonalen. Nimmt
man die 4 Quadrate zusammen, die aus einem Quadrat durch diese zwei Spiegelungsarten erzeugt
werden können, und die 4 anderen, die nach einer Vierteldrehung aus dem zuerst bekannten Quadrat
entstehen und dann durch entsprechende Vertauschungen, so erhält man 2 Gruppen von Lösungen.
Auch von daher kann ein Kind das Gefühl bekommen, dass es eigentlich 2 verschiedene Lösungen
gibt. Welche Lösungen als gleich(wertig), d.h.äquivalent, angesehen werden, ist auch eine Diskussion
wert. Häufig sehen Kinder Möglichkeiten des horizontalen und vertikalen Spiegels eher als die des
Drehens.
Zuletzt könnte noch gefragt werden, ob denn die magische Summe bei einem 3•3-Quadrat mit den
Zahlen von 1 bis 9 unbedingt 15 sein muss oder ob auch eine andere Summe möglich ist. Sie muss 15
sein, denn die 9 Zahlen müssen ja auf 3 Zeilen (3 Spalten) verteilt werden. Sie haben insgesamt die
Summe 45, also muss jede Zeile (Spalte) die Summe 15 haben.
2. Weitere Magische Figuren
Nicht nur in Quadraten kann man Zahlen eintragen lassen. Es gibt auch andere Figuren (manchmal
findet man sie in Rätselecken von Zeitschriften). An relativ einfachen Figuren lassen sich weitere
Strategien erarbeiten.
2.1 Die Zahlen von 1 bis 9 sind so in folgende Figur einzutragen, dass die Summe in der zweiten und
dritten Zeile und in der mittleren Spalte jeweils 19 ist.
Auch hier bleibt einem vielleicht nichts anderes übrig als willkürlich zu probieren. Eine Strategie
könnte wieder sein, an eine besondere Stelle eine besondere Zahl ein zu setzen. So könnte man ganz
oben vielleicht die kleinste Zahl, vielleicht die größte Zahl oder die mittlere Zahl einsetzen.
Probiert man es ganz oben mit der kleinsten Zahl 1, so fehlen in der mittleren Spalte noch 18, dies ist
bei dem gegebenen Zahlenmaterial gar nicht zu erreichen.
Probiert man es mit der 9, so fehlen noch 10. Man kann z.B. 6 für die Mitte der zweiten Zeile und 4
für die Mitte der unteren Zeile wählen. Zur 6 fehlen dann noch 13, man könnte 8 und 5 nehmen. Zur 4
fehlen noch 15. Die verbliebenen Zahlen ergeben: 1+2+3+7 = 13, also 2 zu wenig. Ersetzt man 6 und
4 durch 7 und 3, so sollte man in der zweiten Reihe noch 12 ergänzen, z.B. 8 und 4. Wieder bleibt für
die untere Reihe zu wenig 1+2+5+6 = 14. Mit den 3, die man schon hat, kommt man insgesamt wieder
auf 17. Auch eine Aufteilung der 10 in 8+2 würde in der letzten Reihe 2 zu wenig bringen.
Daraus die Vermutung abzuleiten, man sollte es mal mit 2 weniger ganz oben probieren, mag nicht für
jeden nahe liegen. Aber wenn jemand auf diese Idee kommt, hat er den richtigen Riecher gehabt. 7
oben, das heißt es fehlen noch 12 in der Spalte nach unten.
Als Zerlegungen kommen 4+8, 8+4, 3+9 und 9+3 in Frage.
3 in der zweiten Reihe ist nicht möglich, denn es würden noch 16 fehlen, was nicht machbar ist. Die
anderen 3 Kombinationen führen zu Lösungen. Dass es andere Lösungen gar nicht geben kann, ist an
dieser Stelle noch nicht ersichtlich.
Fragt man Kinder, die solche Aufgaben bearbeitet haben, nach ihren Strategien, so können oft die
wenigsten etwas dazu sagen (auch diejenigen nicht, die Lösungen gefunden haben). Sie haben halt mal
rumprobiert. De facto gibt es bei den meisten jedoch ein paar Überlegungen, warum sie gerade das
probieren, was sie probieren. Viele halten diese Überlegungen nicht für wichtig genug, da sie sie nicht
begründen können und da ihnen ihr Vorgehen nicht systematisch genug erscheint. Ihnen muss erst
schmackhaft gemacht werden, die eigenen Überlegungen ernst zu nehmen und daran weiterzudenken.
Dass die Strategie in der Beispielüberlegung aufgeht, scheint recht zufällig. Auch mit der
Übertragbarkeit dürfte es Probleme geben. Welche magische Figur ist schon ähnlich gestaltet, dass
solch eine Überlegung wieder möglich ist?
2.2 Probieren wir es an einer ähnlichen, noch einfacheren Figur.
Die Zahlen von 1 bis 5 sind einzutragen, so dass die Summe der oberen Zeile und der mittleren Spalte
je 8 ist. Tragen wir oben in der Mitte zunächst die größte Zahl, die 5 ein, dann fehlen noch 3 = 2+1.
Die restlichen 3+4 = 7 geben 4 zu viel. Wählen wir also statt der 5 die 1 (5-4).In der oberen Zeile muss
noch 7 ergänzt werden. Dies kann als 2+5 und als 3+4 realisiert werden, ist also sowohl in der Zeile
als auch in der Spalte möglich.
Um die Strategie an weiteren Aufgaben zu testen, könnten bei den beiden Figuren auch die
Summenwerte geändert werden. Bei der Figur aus 2.1. sind die Summenwerte von 18 bis 20 möglich,
bei der aus 2.2 von 8 bis 10. Die erwähnte Strategie kann hilfreich verwendet werden.
Eine weitere Problemaufgabe könnte sein zu ermitteln, welche Summenwerte möglich sind bzw.
warum bestimmte Werte nicht möglich sind. Unmöglichkeitsbeweise erfordern freilich meist einen
noch stärkeren Grad von Durchdringung der Aufgabenstruktur.
Den größten und den kleinsten Summenwert zu ermitteln könnte dadurch geschehen, dass an den
exponierten Stellen die größten bzw. die kleinsten Zahlen gesetzt werden.
Nehmen wir die T-Figur: Setzt man die 1 oben in die Mitte, so blieben die Ziffern 2,3,4 und 5 übrig,
die zu 2 Paaren 2+5 = 7 und 3+4 = 7 geordnet werden können. Die Summe ist dann jeweils 8. Setzt
man 5 in die Mitte, ob kann der Rest zu 1+4 = 5 und 2+3 = 5 geordnet werden, als Summe ergibt sich
10. Würde man 2 in die Mitte setzen, so können die restlichen Zahlen nicht zu Paaren mit gleicher
Summe geordnet werden. (Ihre Gesamtsumme beträgt 13, ist also nicht durch 2 teilbar). 3 in der Mitte
führt zur Summe 9, 4 in der Mitte ist nicht möglich.
Damit sind alle Fälle durchsucht. Als Summen kommen also 8, 9 und 10 in Frage.
Bei jeder vorgegebenen Summe ist die Zahl in der Mitte oben fest (1 bzw. 3 bzw. 5). Für die restliche
Belegung gibt es jeweils 8 Varianten. Ob man diese kombinatorische Aufgabe hier noch thematisieren
will, sei dem Interesse der Kinder überlassen. Man könnte diese 8 Varianten auch als äquivalent
(gleichwertig) ansehen. Etliche Kinder haben sicher das Gefühl, eine Vertauschung bestimmter Zahlen
führt nicht unbedingt zu einer wirklich anderen Lösung. Auch hier kann eine Diskussion, welche
Lösungen als qualitativ anders empfunden werden, höchst interessant sein.
Nun zur Treppenfigur. Welche magischen Summen sind hier möglich? Wenn man mit dem magischen
Quadrat vergleicht, so hat man auch hier als Gesamtsumme die Zahl 45. Diesmal werden sie auf 2
Zeilen mit Summe s verteilt und dem einen Element x ganz oben . Also soll gelten: 2•s + x = 45.
Daran kann man schon einmal sehen, dass oben eine ungerade Zahl stehen sollte. Nimmt man als x die
1, so müsste die Summe 22 realisiert werden, was aber senkrecht nicht realisiert werden kann, denn
zwei Ziffern geben miteinander nie 21.
Für x = 3 sollte s = 21 gewählt werden, hier sind die restlichen 18 senkrecht ebenfalls nicht
realisierbar. Für x = 5 ist s = 20, die fehlenden 15 können durch 6+9 oder 9+6 oder 7+8 oder 8+7
erzeugt werden, wobei 6 + 9 wieder wegfällt, denn 6 kann nicht mit 2 noch zur Verfügung stehenden
Zahlen auf 20 ergänzt werden.
Für x = 7 ergibt sich das schon bekannte s = 19 und schließlich ist noch s = 18 mit x = 9 möglich.
Diese Überlegungen dürften vor allem für die Lehrkraft bei der Erzeugung von magischen Figuren
von Bedeutung sein, sie können aber als weitere Aufgabenstellung an die schnellsten Schüler und
Schülerinnen der Klasse weitergegeben werden (also zur Differenzierung dienen).
2.3 Erster Rückblick: Welche Strategien wurden verwendet?
Drei Strategien wurden bisher genannt.
Zuerst: besondere Stellen mit besonderen Zahlen besetzten.
Zweitens: prüfen, wie weit das gewünschte Ergebnis verfehlt wurde und darauf hin gezielt eine Zahl
verändern. Gerade diese Strategie hat schon ein gewisses mathematisches Potential. Nicht einfach nur
festzustellen, es geht nicht, sondern zu sehen, warum es nicht geht bzw. wie weit man vom Ziel
entfernt ist und daraus Rückschlüsse auf mögliche Annäherungen zu machen, sollte man sich als
heuristische Regel merken. Es hilft nicht immer, aber es ist eine Strategie, die man in vielen Bereichen
brauchen kann.
Drittens: Aus dem insgesamt vorliegenden Material Schlüsse zu ziehen. Wie teilt sich die
Gesamtsumme auf die gewünschten Teilsummen auf? Diese Strategie setzt häufig einen geübten
Umgang mit Gleichungen voraus.
Hier kann auch ein Blick danach, welche Stellen in mehreren Summen eine Rolle spielen, neue
Zusammenhänge bringen. Am Beispiel des magischen Quadrat kann man die 4 Summen betrachten,
die die mittlere Zahl beinhalten. Jede andere Zahl kommt in einer der Summen vor. Insgesamt haben
wir also: 4•s = jede Zahl einmal + noch dreimal die mittlere.
Jede Zahl einmal ergibt andererseits 3•s, wie wir schon gesehen haben. Somit gilt:
4•s = 3•s + 3•m, also s = 3m. Folglich ist die mittlere Zahl immer ein Drittel der Summe. Dies gilt für
alle 3•3-Quadrate, egal welches Zahlenmaterial gewählt werden soll.
Bei der Treppenfigur könnte man auch
3s = jede Zahl einmal + die beiden mittleren der zweiten und dritten Reihe
rechnen, was bei der Ausgangsaufgabe auf 3•19 = 45 + a+b führen würde. a+b muss dann 12 sein,
woraus wieder folgt, dass ganz oben die 7 zu stehen hat.
Beim T wäre die entsprechende Rechnung: 2s = 15 + x. Auch daraus könnte man alle möglichen
Lösungen ableiten.
Die dritte Strategie kann auch bei Unmöglichkeitsargumentationen helfen. Zum Beispiel kann man
beim T sehen, dass x nicht gerade sein kann und für s nur die Werte 8, 9 und 10 in Frage kommen.
Freilich sagt eine lösbare Gleichung noch nicht, dass die Aufgabe lösbar ist. Das können wir bei der
Treppenfigur sehen und bei der Wahl s = 21 oder 22. Aber sie zeigt, dass dafür x = 1 bzw. 3 sein
müsste, was dann im weiteren sich aber doch nicht als machbar erweist.
Eine weitere Strategie, die wir schon ansatzweise angewendet haben, ist systematisches
Durchprobieren. Beim T haben wir an die kritische Stelle jede Zahl eingesetzt und probiert, ob die
Figur mit gleichen Summen auffüllbar ist. Wollen wir alle Lösungen aufschreiben, auch die, die
gleichwertig erscheinen, sollten wir eine Systematik entwickeln, dass wir keine Kombination doppelt
schreiben und keine vergessen. Hier sind Strategien gefragt, wie man bei kombinatorischen Aufgaben
alle Lösungen aufschreiben kann.
2.4.
Eine Figur, bei der alle Stellen gleichwertig sind.
Die Zahlen von 1 bis 6 sollen so eingesetzt werden, dass sowohl die Summe von 4 Zahlen auf den
Kreisen als auch den 4 Zahlen auf der Strecke gleich sind.
Hier spielt jede Zahl in 2 Summen eine Rolle. Man kann also nur feststellen 3s = jede Zahl 2 mal.
Daraus kann zumindest gefolgert werden, dass die Summe 14 sein muss. Denn 2 mal jede Zahl ergibt
2•21 = 42, also muss die Summe ein Drittel davon sein.
Weiterhin kann festgestellt werden, dass die Schnittmenge von 2 Summen immer aus einem Paar von
zu besetzenden Stellen besteht. Es gibt 3 solcher Paare. Teilt man also die 6 Zahlen in 3 Paare mit
gleicher Summe (7) auf, so kann man jede Summenlinie mit 2 solcher Paare auffüllen.
Besetzt man zufällig eine Linie so, dass die Summe 14 ergibt, muss man nur gegebenenfalls 2 Zahlen
tauschen, dass eine Gesamtlösung möglich ist. Zu einer Lösung ist also nicht unbedingt die genannte
Strategie nötig. Es gibt 6•4•2 = 48 Lösungen (6 Möglichkeiten für die 1. Zahl a, die zur gleichen
Schnittmenge gehörende Zahl wird dann mit 7 – a besetzt. Für die nächste Zahl b stehen dann noch 4
Zahlen zur Auswahl , die zu ihr gehörende Zahl wird 7 - b. Die zwei fehlenden Zahlen können in
beiden Reihenfolgen eingesetzt werden).
2.5 Wo kann man die erwähnten Strategien noch brauchen?
Bei der Besetzung von Stellen in einer magischen Figur geht es darum, die gegebenen Zahlen geeignet
auf diese Stellen „aufzuteilen“. Daher ist es naheliegend, nach der Anwendbarkeit der angesprochenen
Strategien auf andere „Aufteilsituationen“ zu sehen.
Zunächst soll eine Divisionsaufgabe betrachtet werden: Wie oft geht 12 in 3684? Die Berechnung des
Überschlags 3600:12 = 300 könnte dem Probieren mit besonderen Zahlen entsprechen. Man kann nun
diese Überschlagsrechnung so stehen lassen, wie sie ist, und sagen, das genaue Ergebnis haben wir
noch nicht gefunden, also machen wir auf einem anderen Weg weiter. Naheliegender ist aber zu
schauen, wie weit sind wir vom der eigentlichen Aufgabenstellung noch weg. 300• 12 = 3600, das sind
84 zuwenig. Die 84 sind also noch durch 12 zu teilen. Probieren wir 5•12 (5 ist eine besondere Zahl),
so sehen wird, das war zu wenig. Genauer können wir sagen, es sind 24 zu wenig, d.h. 2•12 zu wenig.
Also ist 84 = 7•12 und wir sehen, dass 12 insgesamt 307 mal in 3684 geht.
Wollten wir wissen, wie oft 12 in 4584 geht, wäre die erste Näherung vielleicht 400 mal. Allerdings ist
400•12 = 4800 ein bisschen zu viel. Um es genauer zu sagen, sind es 216 zu viel. Diese 216 sind 96
mehr als 10•12. Die 96 sind 60 (= 5•12) + 36 (= 3•12), also haben wir insgesamt 10+5+3 = 18 mal die
12 zuviel, d.h. 4584 : 12 = 400 – 18 = 382. Die Probe 382 • 12 = 4584 bestätigt die Überlegungen.
Strategie 1 und 2 haben also geholfen, diese Divisionsaufgaben zu lösen.
Sie können auch helfen, Aufteilaufgaben der folgenden Art zu lösen: Insgesamt sind 80 Teile da. Sie
sollen so auf Person A und B aufgeteilt werden, dass B doppelt so viel bekommt wie A und noch 2
mehr.
Wieder kann man mit Probieren mit besonderen Zahlen anfangen. Wenn A 20 bekommt, müsste B 42
bekommen, insgesamt 62. Das sind zu wenig. Gäbe man A 30, müsste B 62 erhalten, insgesamt
bräuchte man 92, das ist zuviel. Nimmt man für A 25, so erhält B 52, insgesamt sind wir bei 77, das ist
schon sehr nahe dran. Von den übrigen 3 wird A eines und B 2 bekommen, also erhält A insgesamt 26
und B 54.
Diese Aufgabe kann auch wie bei Strategie 3 mit einer Gleichung bearbeitet werden: x + 2x + 2 = 80.
Am Streifenmodell wird dieser Ansatz auch Grundschülern klar:
2
80
Der erste Teil ist für A, zwei gleich große Teile sind für B und dann
kommen noch 2 dazu. Insgesamt sind es 80.
Eine weitere Aufteilaufgabe, bei der die Anzahl der Zahlen auf beiden Seiten nicht unbedingt gleich
sein muss, ist die folgende: Die Zahlen von 1 bis n sollen so in 2 (nicht unbedingt gleichmächtige)
Gruppen aufgeteilt werden, dass die Summe in beiden Gruppen gleich ist.
Wählt man n = 3, so sieht man: 1+2 = 3.
Für n = 4 ist 2 + 3 = 1+4.
Für n = 5 und n = 6 erweist sich die Aufgabe als nicht lösbar.
n = 7 führt zu 1+6+7 = 2+3+4+5 oder 2+5+7 = 1+4+5+6 oder 1+2+4+7 = 3+5+6 usw.
Will man wissen, für welche n diese Aufgabe lösbar ist, so empfiehlt es sich, die Gesamtsumme zu
bilden und zu prüfen, ob sie durch 2 teilbar ist. Die Gesamtsumme der Zahlen von 1 bis n heißt auch
Dreieckszahl und kann wie folgt berechnet werden : 1+2+...+n = ((n+1)•n)/2. Dies kann man z.B.
aufgrund des folgenden Musters erkennen:
Folglich muss n•(n+1) durch 4 teilbar sein, was nur möglich ist, wenn n oder n+1 durch 4
teilbar ist.
Grundschüler müssen diese Aufgabe nicht in dieser Allgemeinheit lösen. Wenn sie danach
suchen zu erklären, warum es für n = 5 und n = 6 nicht geht, hilft es ihnen aber sehr, die
Gesamtsumme (15 bis 21) zu ermitteln und daraus den richtigen Schluss zu ziehen.
Die Frage, bei welchen Zahlen eine Aufteilung möglich ist oder nicht, ist ein zumindest ein
guter Anlass, Dreieckszahlen zu ermitteln.
Aufzählstrategien kommen vor allem bei kombinatorischen Aufgaben zum Zug.
Alle Lösungen zum T- Problem (mit s = 10) könnten so aufgezählt werden:
154
3
2
154
2
3
451
3
2
451
2
3
352
4
1
352
1
4
253
4
1
253
1
4
Zunächst werden alle Lösungen genannt, die die 1 vorne haben. Dann werden 1 und 4 getauscht und
die beiden zugehörigen Lösungen beschrieben. Danach werden Zeile und Spalte vertauscht und
schließlich wird innerhalb der neuen Zeile getauscht. Man könnte auch die Zahlen der Größe nach
ordnen und immer zuerst möglichst kleine Zahlen verwenden. Die entsprechende Reihenfolge sähe
dann so aus:
154
2
3
154
3
2
253
1
4
253
4
1
352
1
4
352
4
1
451
2
3
451
3
2
Ginge es nur darum, die Zahlen von 1 bis 4 irgendwie anzuordnen, so könnte eine systematische
Strategie z.B. zu folgender Lösung führen:
1234
2134
3124
4123
1243
2143
3142
4132
1324
2314
3214
4213
1342
2341
3241
4213
1423
2413
3412
4312
1432
2431
3421
4321
Man sieht hier auch, dass von Zeile zu Zeile zwei benachbarte Zahlen ihre Plätze tauschen.
Alle 24 Lösungen ohne eine Systematik zu finden fällt schwer, weil man den Überblick leicht verliert.
Viele Schüler kommen aber durchaus auf die Strategie, zunächst die erste Zahl fest zu lassen und nur
die hinteren 3 zu permutieren, auch wenn diese Permutationen nicht immer systematisch durchgeführt
werden. (Dies ist nicht unbedingt nötig, denn die 6 Möglichkeiten dafür sind überschaubar).
Dass man die Strategie, die man auf den ersten Platz anwendet, dann innerhalb der Reihe auch auf den
zweiten anwenden kann, ist freilich nicht selbstverständlich. Umso mehr ist sie es wert, dass sie den
Schülern und Schülerinnen bewusst gemacht wird. Würde man die Aufgabe auf die Zahlen 1-5
verweitern, könnte man zunächst bei den eben gefundenen Lösungen jeweils die 5 vorne hin stellen.
Ebenso wie es 24 Lösungen mit der 5 vorne gibt, gibt es für die anderen 4 Ziffern vorne jeweils 24
Lösungen, insgesamt also 5 • 24 = 120 Lösungen. Als unlängst eine Viertklassschülerin zielsicher
diese Anzahl von Möglichkeiten errechnete und begründete, ohne auch nur eine der Lösungen
hinzuschreiben, waren die beteiligten Erwachsene nicht wenig erstaunt.
2.5 Weitere Fragestellungen im Zusammenhang mit magischen Figuren
Es ist durchaus legitim, bei magischen Figuren einen Teil der Lösung vorzugeben, vor allem wenn für
das Finden der vorgegebenen Zahlen nur der Zufall behilflich wäre und Kinder dafür keine
Möglichkeit oder zumindest keine Zeit hätten, Strategien zu entwickeln und Begründungen, warum an
den entsprechenden Stellen gerade diese Zahlen zu stehen haben.
Will man z.B. ein magisches 4*4-Quadrat erzeugen, so ist willkürliches Probieren sehr zeitaufwendig.
Daher können die Zahlen(kärtchen) zuerst in der Form
1 2 3 4
5 6 7 8
6 10 11 12
13 14 15 16 angeordnet werden. Dann kann die magische Summe bestimmt werden. Alle Zahlen
zusammen geben 136. Sie sollen auf 4 Zeilen aufgeteilt werden. Also sollte in jeder Zeile die Summe
34 zustande kommen.
Sie ist derzeit weder in den Zeilen noch in den Spalten der Fall. Aber die Diagonalen haben schon
diese Eigenschaft.
Daher könnte man versuchen, die Diagonalen stehen zu lassen und die restlichen Zahlen
umzusortieren. Tatsächlich kann man so eine Lösung finden:
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16.
Auch an diesem Quadrat können weitere Konstellationen gefunden werden, die die Summe 34
ergeben. Es kann mit den Dürer-Quadrat verglichen werden u.ä.
Man könnte auch das Zahlenmaterial für magische Figuren ändern, z.B. nur gerade Zahlen (alle
Einträge mal 2), nur ungerade Zahlen, nur 10er-Zahlen usw. zulassen. Es könnten auch speziellere
Summenwerte vorgegeben werden und dann passende Zahlen dazu gesucht werden. Interessanterweise
kann für 3•3- Quadrate nur eine durch 3 teilbare Zahl gewählt werden, sollten die Einträge ganzzahlig
bleiben. Bei 4•4- Quadraten ist jede Summe möglich.
Damit Kinder von einander lernen, können sie versuchen, die Strategien ihrer Mitschüler auf neue
Figuren zu übertragen. Die Aufgabenstellung kann mit dem Hinweis abgeschlossen werden:
„Versuche es so, wie Michaela es bei der vorhergehenden Aufgabe gemacht hat. “
Die Kinder können auch animiert werden, magische Figuren selbst zu erfinden (Bsp. Buchstaben wie
folgendes H. Es sollen die Zahlen 1-7 eingesetzt werden, so dass die 3 Summen entlang der
einzuzeichnenden
Verbindungslinien
gleich sind.
)