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Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Escher’s Wallpapers Sophia Lee Martin Swiontek Brzezinski TU Berlin 8. April 2014 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Übersicht 1 Einführung 2 Symmetrien periodischer Parkettierungen 3 Escher-Parkette Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Kurzbiographie Maurits Cornelis Escher ∗ 17.06.1898 in Leeuwarden 1919: 1-wöchiges Architektur-Studium in Haarlem 1922 erster Besuch der Alhambra bis 1937 entstehen überwiegend mediterrane Landschaftsbilder 1936 zweiter Besuch der Alhambra verändert Eschers Thematik 1938 Beginn der Metamorphosen-Periode (Tag und Nacht 1938) ab 1946 verstärkt perspektivische Bilder (Oben und Unten 1947) † 27.03.1972 in Hilversum Escher in Rom, 1930 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Italienische Periode 1922-1935 Amalfi-Küste Holzschnitt 1931 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski San Cosimo, Ravello Lithographie 1932 Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Metamorphosen-Periode ab 1938 Seepferdchen Symmetriezeichnung 11, 1938 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Libellen Symmetriezeichnung 13, 1938 Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Unmögliche Figuren Treppauf und treppab, Lithographie 1960 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Wasserfall, Lithographie 1961 Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Möbiusband und Perspektivität Möbiusband 2, Holzstich 1963 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Oben und Unten, Lithographie 1947 Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Aus dem Alhambra-Palast ... Die reichste Quelle der Inspiration, die ich je erschlossen. (Escher 1936) Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Eschers Inspirationen Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene (G. Polya) Die regelmäßigen Planteilungen und Punktsysteme (F. Haag) Penrose-Dreieck (unmögliche Figuren) Skizze, Alhambra 1936 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski die Illustration einer nichteuklidischen Geometrie von Coxeter (fraktale Bilder) Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundlegende Definitionen Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Die inneren Punkte sind zusammenhängend. Als weitere Bedingung wird meist verlangt, dass die Kacheln keine Löcher enthalten dürfen. Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kacheln ist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kacheln bestehen ) als auch eine Überdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel) ist. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundlegende Definitionen Kachel: Eine Kachel ist eine abgeschlossene Punktmenge der Ebene. Die inneren Punkte sind zusammenhängend. Als weitere Bedingung wird meist verlangt, dass die Kacheln keine Löcher enthalten dürfen. Parkettierung: Eine Parkettierung ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d.h. der Durchschnitt zweier Kacheln ist leer oder darf nur aus einem Teil des Randes der jeweiligen Kacheln bestehen ) als auch eine Überdeckung (d.h. jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel) ist. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beispiele symmetrischer Kacheln Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beispiele periodischer Parkette Translationssymmetrie Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beispiele periodischer Parkette Gleitspiegelsymmetrie Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beispiele periodischer Parkette Dreh- und Spiegelsymmetrie Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Definition eines periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie eines Parketts. Enthält die Symmetriegruppe eines Parketts zwei linear unabhängige Translationen, so heißt das Parkett periodisch und die entstehende Symmetriegruppe Wallpaper group. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Umkehrung Spiegelung an g Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Umkehrung Spiegelung an g Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie Umkehrung Spiegelung an g Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form α= 360◦ 2π = . n n n heißt Ordnung der Drehung. Satz über die kristallographische Beschränkung In jedem periodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4 oder 6. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beweis der kristallographischen Beschränkung Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). 0 Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π n und erhalten den Punkt P , der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Beweis der kristallographischen Beschränkung Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). 0 Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π n und erhalten den Punkt P , der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die Wallpaper-groups Die 17 Wallpaper-groups werden wie folgt notiert: Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommen nicht alle 17 Gruppen vor. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Gruppe ohne Drehungen Beispiel p1 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Gruppe mit zweizähligen Drehzentren Beispiel p2 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Gruppe mit dreizähligen Drehzentren Beispiel p3 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Gruppe mit vierzähligen Drehzentren Beispiel p4 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Gruppe mit sechszähligen Drehzentren Beispiel p6 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die 11 Laves-Netze (3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3) (4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3) Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die 11 Laves-Netze (12,12,3) (4,4,4,4) (12,6,4) (6,6,6) Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers (8,8,4) Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor G Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor C Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Cn Linie geht durch Drehung um 2π n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt von Heinrich Heesch (1906-1995). Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes einer Kachel wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor G Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor C Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Cn Linie geht durch Drehung um 2π n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt von Heinrich Heesch (1906-1995). Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die 28 grundlegenden Escher-Parkette Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 1 TTTT Netz (4,4,4,4) Gruppe p1 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 9 C3 C3 C3 C3 C3 C3 Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 12 C3 C3 C6 C6 Netz (6,4,3,4) Gruppe p6 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 15 C4 C4 C4 C4 Netz (4,4,4,4) Gruppe p4 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Grundtypen von Escher-Parkettierungen Typ 17 G1 G1 G2 G2 Netz (4,4,4,4) Gruppe pg Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette TTTT Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe p1 Typ 1 Pegasus, Symmetriezeichnung 105, 1959 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette C4 C4 C4 C4 Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe p4 Typ 15 Symmetriezeichnung 104, 1959 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette C3 C3 C3 C3 C3 C3 Laves Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3 Typ 9 Symmetriezeichnung 25, 1939 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette G1 G1 G2 G2 Laves Netz (4,4,4,4) Gruppe pg Typ 17 Reiter, 1957 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette C3 C3 C6 C6 Laves Netz (6,4,3,4) Gruppe p6 Typ 12 Symmetriezeichnung 56, 1942 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Literatur M. Dobrowolski, Mathematische Exkursionen: Gödel, Escher und andere Spiele, Oldenbourg 2010, S. 145-170. http://unendliches.net/german/index.htm?escher.htm http://www.mathe.tu-freiberg.de/ hebisch/cafe/mce/escher.html http://www.mcescher.com/ https://www.tu-chemnitz.de/spektrum/00-1/tu21.html http://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung http://en.wikipedia.org/wiki/M. C. Escher Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Abbildungsverzeichnis http://math.ucr.edu/home/baez/alhambra http://www.mcescher.com/about/biography/ http://www.mathe.tu-freiberg.de/ hebisch/cafe/mce/escher.html Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Zusatzmaterial Tag und Nacht, Holzschnitt 1938 Acht Köpfe, Holzschnitt 1922 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Zusatzmaterial Symmetriezeichnung 45, 1960 Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Die Untergruppe der Translationen Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien. Tij = Tiu Tjv , i, j ∈ Z sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z2 , +) isomorph ist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthält damit diese Untergruppe. Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers Einführung Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette ... Küchenlatein für mich, der ich ein vollständiger Laie auf dem Gebiet der Mathematik war. (M.C. Escher über Erkenntnisse der theoretischen Mathematik) Eine Fläche, die man sich nach allen Seiten unbegrenzt fortgesetzt vorstellen muß, kann nach einer beschränkten Zahl von bestimmten Systemen bis ins Unendliche aufgefüllt werden oder aufgeteilt werden in gleichförmige mathematische Figuren, die sich an allen Seiten begrenzen ohne das leere Stellen“ übrigbleiben. ” (M. C. Escher, Regelmatige vlakverdeling“, 1958) ” Sophia Lee, Martin Swiontek Brzezinski Escher’s Wallpapers
