PM Inhaltsverzeichnis 2005 - 2007

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PM-Inhaltsverzeichnis 2005 - 2007
Die erste (fette) Zahl gibt die Heftnummer,
die zweite die Seite an.
Themen
Ihre PM hat sich verändert! ............................................. 1
1
Heft 2: Funktioniert’s? – Denken in Funktionen
Heft 1: Selber lernen macht schlau!
– Selbstlernen in kleinen Schritten
Fröhlich, I. / Hußmann, s., Selber lernen macht schlau
– Selbstlernen Schritt für Schritt ..................................
Anneser, F., Wie weit ist es bis zum Horizont? – Beispiel für selbstverantwortliches Arbeiten ......................
Smolinski, B., Konstruktion von zentrischen Streckungen – Frust oder Lust? .................................................
Richter, K., Wendestellen in Unterrichtsmethodik und
Analysis – Ein Gruppenpuzzle zu Wendestellen als
Beitrag zum selbstständigen Lernen ............................
Walzebug, C., Funktionen bilden – Selbstständige Begriffsbildung an offenen Problemsituationen ................
1
2
1
9
1 13
1 20
1 29
Leuders, T. / Prediger, S., Funktioniert’s – Denken in
Funktionen .................................................................... 2 1
Affolter, W., Vom Experiment zur Interpretation von
Graphen – Ein Unterrichtsbeispiel zum aktiv-entdeckenden Lernen in der Sek. I ........................................ 2 8
Lengnink, K., Abhängigkeiten von Größen – zwischen
Mathematikunterricht und Lebenswelt .......................... 2 13
Barzel, B. u.a., Der „Funktionenführerschein“ – Wie
Schülerinnen und Schüler das „Denken in Funktionen“
wiederholen und festigen können ................................. 2 20
Hahn, S., Kurven in der Diskussion – Lernende auf dem
Weg zu einer vorstellungsorientierten Kurvendiskussion ............................................................................... 2 26
Heft 3: Modellieren bildet
Leuders, T./Maaß, K., Modellieren - Brücken zwischen
Welt und Mathematik ..................................................
Maaß, K., Stau – eine Aufgabe für alle Jahrgänge ..........
Laakmann, H., Werbung und Mathematik – oder: Rasiert
man(n) in 18 Monaten ein Fußballfeld? .......................
Roth-Sonnen, N., Von der Wetterkarte zur Tangentenkonstruktion .................................................................
Marxer, M., Validieren lernen ..........................................
S. 2
Heft 5: Ich schreibe also denk’ ich
– Über Mathematik schreiben
3
3
1
8
3 14
3 19
3 25
Heft 4: Den Zufall im Griff
– Stochastische Vorstellungen entwickeln
Kuntze, S. / Prediger, S., Ich schreibe, also denk’ ich
– Über Mathematik schreiben ....................................... 5
1
Kaune, C., Schreiben als Anregung zum Nachdenken
über eigene Lernprozesse – Nimm-Stellung!-Aufgaben
und diskursive Unterrichtsprotokolle ............................. 5
7
Gerbode, B. / Richter, J. / Schluckebier, D., „SIMSEN
(SMS) im Mathematikunterricht – stumme Schreibgespräche ..................................................................... 5 12
Kuntze, S. / Ramm, K., Schülerinnen und Schüler schreiben über Unendlichkeit – Interdisziplinäre und mathematikbezogene Gedanken in Themenstudien .............. 5 18
Junker, J., „Fehl-Leistung“ – Fehler oder Leistung? –
Erfahrungen mit Themenstudienarbeit an einem
Schweizer Gymnasium ................................................. 5 25
Böck, S. / Focht-Schmidt, E., „… und doch wird man bis
an das Ende der Erde nie ohne Messen auskommen
können.“ Themenstudienarbeit als Anregung zum
Schreiben über das Messen in Klasse 5 ....................... 5 30
Heft 6: Die Welt ist rund – Kreis und Kugel
Büchter, A./Hußmann, S./Leuders, T./Prediger, S., Den
Zufall im Griff? Stochastische Vorstellungen fördern ... 4
1
Leuders, T., Darf das denn wahr sein? – Eine schüleraktive Entdeckung der Grundidee des Hypothesentestens mit Tabellenkalkulation..................................... 4
8
Müller, J.H., Die Wahrscheinlichkeit von Augensummen
- Stochastische Vorstellungen und stochastische Mo
dellbildung .................................................................... 4 17
Strick, H.K., Bei Zufallsversuchen wiederholen sich die
Ergebnisse eher als man vermutet .............................. 4 23
Leuders, T., Turf - Mit Glück und Strategie zum Helden
der Rennbahn ............................................................... 4 Beil.
Fröhlich, I. / Prediger, S., Kreis und Kugel – eine runde
Sache mit unendlich vielen Seiten! ................................ 6
1
Furdek, A., Tangentialebenen einer Kugel – aber, wie
viel denn? ..................................................................... 6
6
Debertshäuser, A. / Krug, K., Variationen ziehen
KREISe ......................................................................... 6 11
Prediger, S. / Vernay, R., Kreisbilder erklären im Gruppenpuzzle – eine kommunikative Herausforderung ..... 6 17
Münchenbach, C., Wie hoch ist der Bodensee? – Geometrische Fragestellungen in unserer Umwelt ............. 6 23
S. 3
Heft 8: Über den Tellerrand schauen – fächerverbindendes Lernen
Weber, C., „Stell Dir vor“ – Vorstellungsübungen im
Geometrieunterricht zur Weiterentwicklung singulärer
Vorstellungen ............................................................... 6 28
Kugelrunde Fundstücke:
Prediger, S., Von gekämmten Kugeln und dem unlösbaren Problem der dichten Kugelpackungen ............ 6 10
Weber, C., Übrigens kennen Sie die eckige QuasiKugel? ....................................................................... 6 38
Schumann, H., Manches geht im Raum besser .......... 6 41
Heft 7: Schreiben – Lesen – Rückmelden
Dialogischer Unterricht
Beckmann, A. / Fröhlich, I., Über das Fach hinaus
denken .......................................................................... 8 1
Lang, B. / Schulte-Sasse, W., Pixel mathematisch – im
Rahmen eines fächerübergreifenden Projekts .............. 8 5
Brüning, S., Kirnberger und Mozart schauen über den
Tellerrand in die Kombinatorik ...................................... 8 12
Reblin, M., China – Reich der Mitte – Sechs Fächer
– ein Thema – kein Problem ......................................... 8 21
Brinkmann, A. & K., Integration der Themen „Rationelle
Energienutzung“ und “Regenerative Energien“ in einen
fächerverbindenden Mathematikunterricht – Didaktisches Konzept und Aufgabenbeispiele ......................... 8 26
Gallin, P. / Hußmann, S., Dialogischer Unterricht – aus
der Praxis in die Praxis ............................................... 7
Gallin, P., Autographen als treibende Kraft im dialogischen
Mathematikunterricht ................................................... 7
Verschraegen, J. / Matschke, W. / Gieseke, C., Mit dem
„Ich-Du-Wir“-Prinzip auf dem Weg zum Dialogischen
Lernen .......................................................................... 7
Hettrich, M. / Klee, K., Erlebnisse zwischen regulärem
Lehrerdenken und singulärer Schülerwelt – Erfahrungen aus der Praxis der Sekundarstufe I ....................... 7
Euba, W., Reisetagebücher in Klasse 5/6 – ein
Erfahrungsbericht ........................................................ 7
Hußmann, S., Mit digitalen Forschungsheften die Geschwindigkeit in den Griff bekommen .......................... 7
1
Heft 9: Der Ball ist gar nicht rund – Interessantes
und Merkwürdiges zur Fußball-Weltmeisterschaft
7
14
20
25
31
Hußmann, S. / Leuders, T., Der Ball ist gar nicht rund ..... 9
1
Beutelspacher, A. / Prediger, S., Eckige Bälle selbst
gemacht – Untersuchungen zum Fußball als Anlass
für handlungs-orientiertes und differenziertes Mathematiktreiben .................................................................. 9
7
Heinrich, R., Torschussarithmetik –Taktische Berechnungen auf dem Fußballfeld ......................................... 9 15
Hußmann, S. / Leuders, T., Ausgerechnet Costa Rica:
Wie man mit Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
den Fußballweltmeister voraussagen kann .................. 9 19
Hußmann, S., Wieviel Mathematik verwendet ein
Fußballtrainer in seinem Beruf? .................................... 9 30
Heft 10: Leistungen rückmelden – mehr als die
persönliche Note
Smolinski, B. / Fröhlich, I. / Stern, T., Leistungen fair
bewerten – Lernen individuell unterstützen ................ 10
Risse, J., Stärken (und Schwächen) bewusst machen –
mathematische Kompetenzen differenziert rückmelden ....................................................................... 10
S. 4
Heft 12: Fit in Form – Produktives Üben in der
Geometrie
1
Leuders, T. / Wittmann, G., Produktives Üben im Geometrieunterricht ........................................................... 12
1
9
Stahel, A., Differenzierendes Üben mit offenen Aufgaben – Wie Schülerinnen und Schüler anhand des isoperimetrischen Problems Geometrie- und Algebrakenntnisse vernetzen und produktiv festigen können . 12
8
Stern, T., Schülerinnen und Schüler auf der Suche
nach lohnenden Mathematikaufgaben ....................... 10 14
Rathgeber, C., Fehler im Unterricht – aus Fehlern lernen
(Rückmeldungen und Erkundungen zu Klausurbewertungen) ....................................................................... 10 20
Perlich, A., Bewertung offener Aufgaben ...................... 10 27
Marxer, M. / Schmid, T., Wann geht’s noch? Wann geht’s
nicht mehr? – Durch operatives Üben trigonometrische
Zusammenhänge verstehen ....................................... 12 14
Roth, J., Dreiecksgrundformen – Horizonterweiterung
durch operatives, entdeckendes und produktives
Üben ........................................................................... 12 21
Royar, T. / Streit, C., Kopfgeometrie im Lernzirkel ......... 12 26
Heft 11: Unzählig viele Zahlen – Zahlenbereiche
erweitern, Zahlvorstellungen wandeln
Haug, R., Produktives Üben des räumlichen Vorstellungsvermögens – virtuelle Räume neu entdecken .... 12 32
Heft 13: Und man braucht sie doch!
Nützliche Mathematik
Hefendehl-Hebeker, L. / Prediger, S., Unzählig viele
Zahlen: Zahlbereiche erweitern – Zahlvorstellungen
wandeln ..................................................................... 11
Prediger, S., Vorstellungen zum Operieren mit Brüchen
entwickeln und erheben – Vorschläge für vorstellungsorientierte Zugänge und diagnostische Aufgaben ......................................................................... 11
1
8
Barzel, B. / Eschweiler, M., Negative Zahlen – positiv
erleben! – Eine Lernwerkstatt zur Einführung der
negativen Zahlen ....................................................... 11 13
Barzel, B. / Hefendehl-Hebeker, L., „Irre oder irrationale
Zahlen“ – ein Stationenzirkel zum Einstieg ................ 11 22
Danckwerts, R. / Vogel, D., Vollständigkeit und Irrationalität – ein schwieriges Geschäft ............................. 11 29
Maaß, K., Und man braucht sie doch! – Nützliche
Mathematik erfahrbar machen .................................... 13
Oldenburg, R., Essen und Rechnen – wie Mathematik
zur richtigen Ernährung beitragen kann ...................... 13
Ludwig, M., Nützliche Mathematik am Bau .................... 13
Eichler, A., „Geld weg – Arzt weg!“ - Was ist dran am
Ärzteprotest? .............................................................. 13
Marxer, M., Wer wählte Hitler? Mathematik hilft beim
Interpretieren von Statistiken ...................................... 13
1
10
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27
Heft 14: Gut – besser – am besten:
Mit Strategien optimieren
Heft 16: Kunst – voller Mathematikunterricht
Hußmann, S., gut – besser – am besten:
Optimieren ist überall ................................................. 14 1
Heinrich, R., Achtung Kröten! Welchen Sinn haben
Geschwindigkeitsbegrenzungen? .............................. 14 7
Roth-Sonnen, N., Optimaler Spielplatz gesucht! ........... 14 12
Greefrath, G. / Laakmann, H., Günstig tanken – nur wo?
– Die Suche nach dem optimalen Modell ................... 14 15
Hußmann, S. / Leuders, T., Können Hunde Mathematik?
- wie Schüler einem vierbeinigen Optimierer auf die
Schliche kommen ...................................................... 14 23
Heft 15: Diagnose – Schülerleistungen verstehen
Hußmann, S. / Leuders, T. / Prediger, S., Schülerleistungen verstehen – Diagnose im Alltag ................ 15
Hußmann, S. / Selter, C., Standortbestimmungen –
Leistungsfeststellung als Grundalge individueller
Förderung .................................................................. 15
S. 5
Fröhlich, I. / Smolinski, B., Kunstvoller Mathematikunterricht – Mathematikvolle Kunst ............................. 16
1
Heimann, M. / Weingarten, U., Mit Mathematik im Bilde . 16
8
Anneser, F., Einfache Ideen mit Tiefgang: Max Bill im
Mathematikunterricht .................................................. 16 14
Kliemann, S., Unmögliche Figuren – das Spiel mit der
Perspektive ................................................................ 16 20
Debertshäuser, A. / Krug, K., Konkrete Kunst für konkrete Mathematik – Was man von der Kunst lernen
kann ............................................................................ 16 27
Heft 17: Mit Unterschieden rechnen – Differenzieren
1
9
„ … weil meist nur ich weiß, was ich kann!“ – Selbstdiagnose als Beitrag zum eigenverantwortlichen
Lernen......................................................................... 15 14
Brauner, U., Schatzsuche statt Fehlerfahndung –
Diagnoseaufgaben selbst erstellen ............................ 15 19
Kaune, C., „Der denkt irgendwie anders als ich“ – Spuren
kognitiver Strukturen in Schüleräußerungen .............. 15 23
Hußmann, S. / Prediger, S., Mit Unterschieden rechnen
– Differenzieren und Individualisieren ......................... 17
1
Hirt, U., Von den Lernenden aus geht’s besser
Dezimalzahlen an der Stellentafel in einer natürlich
differenzierenden Lernumgebung ............................... 17
9
Lengnink, K. / Heinrichs, M., Unwahrscheinlich wahrscheinlich – Ein Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in einer heterogenen Lerngruppe ................ 17 15
Prediger, S., Die Mischung macht’s … - Unterrichtsstrukturen für individualisiertes Lernen am Beispiel
„Plus und Minus“ ......................................................... 17 20
Schelldorfer, R., Summendarstellungen von Zahlen
- ein Feld für differenzierendes entdeckendes Lernen .17 25
Trachsler, B., Wenn die Lernenden mehr Verantwortung
für ihr Lernen tragen – Ein Selbstlernsemester in
Mathematik ................................................................. 17 28
Heft 18: Viel-Eckiges – forschend entdecken
Leuders, T. / Ulm, V., Viel-Eckiges – forschend entdecken ....................................................................... 18
1
Leuders, T. / Reischmann, A. / Zachmann, S., Drinnen
ist nicht Drumherum. Eine Gruppenexploration zum
Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang 18 10
Ulm, V., Quadrate – einfach und reichhaltig. Geometrische
Muster als Spielwiese für mathematisches Forschen
und Entdecken ........................................................... 18 16
Raab, D., Wie rund und eckig zueinander passen. Variationen
rund um In- und Umkreise ......................................... 18 21
Baptist, P. / Miller, C., Drei – Vier – Fünf – Viele. Erkundungen zu Transversalen in Vieleckenl ..................... 18 25
Neidhardt, W., Dynamische Geometrie mit VielecksPantographen. Schülerinnen und Schüler erkunden
„virtuelle Ähnlichkeitsmaschinen“ ............................... 18 29
Freie Beiträge
Bertemes, J., Nazca-Linien auf dem Schulhof –
Funktionsgraphen nicht nur im DIN-A4-Format ......... 13 37
Bertemes, J., „Was ich in diesem Jahr gelernt habe …“
Durchblick durch Rückblick ........................................ 18 33
Böer, H., Wasserpreise – Stochastische funktionale
Abhängigkeiten ............................................................ 4 30
Brauner, „Ich weiß es ganz sicher …“ – Kritischer Umgang mit Zeitungsmeldungen – auch in der Klassenarbeit .......................................................................... 10 36
Brede, M. / Meyfarth, T., Wie viele Primzahlen gibt es
und wie sind sie verteilt? – Untersuchungen zum
Primzahlsatz mit Hilfe des Taschencomputers TI-89 ... 3 32
Eisenmann, P., Warum gilt nicht 0, 9 < 1? ...................... 4 40
Gallin, P., Immer wieder – ein konstruktiver Beitrag angesichts der Errata in Heft 3/2005 (korrektes normalaxonometrischen Bild der Erdkugel) .................................. 5
Halverscheid, S., Wie viele 4 x 4 Sudoku gibt es? ........ 14
Harder, H.-J., Modellieren lernen – eine Schule macht
ernst ........................................................................... 17
Haug, W., Poster-Präsentationen als Visualisierungsmethode ..................................................................... 18
Hinz, R., Internetaufgaben .............................................. 3
Höfer, T., Vom Rettungsschwimmer zum Prinzip
von Fermat ................................................................... 9
Jordan, A. / Wagner, C., Kognitiv anspruchsvoll unterrichten und Freude am Lernen vermitteln
– kein Gegensatz......................................................... 10
Kittel, A., Dynamische Teddybären – Eine Einführung
in Dynamische Geometrie-Systeme .............................. 6
Kratz, H., Drehsymmetrien entdecken – mit EuklidDynaGeo ...................................................................... 4
Kratz, H., Sperrige Extremwertaufgaben mit CAS ......... 12
Kroll, W., Über den Einsatz des Computers bei schriftlichen
Leistungsüberprüfungen ............................................... 2
Lanyi, C., Fraktale zum Anfassen – Die Auswirkungen
der Fußball-WM auf den Mathematikunterricht in
Brasilien ........................................................................ 9
Leuders, T., Mit Mathematik die Sonnenfinsternis
erhellen ......................................................................... 7
Leuders, T. / Lippert, M., Glatteis und Mathematik –
Realitätsbezogene Probleme aus der niederländischen Oberstufe ....................................................... 15
Matter, U., Offene Aufgaben in Tests? Ja, bitte! ............ 18
Müller, J.H., Entdeckend Lernen mit Zahlenmauern in der
Sekundarstufe .............................................................. 2
Oldenburg, R., Kreise algebraisch modellieren (FeliX) .... 5
Oldenburg, R., Lernen mit Jokeraufgaben ....................... 9
Riemer, W., Wie schnell platzen Träume? Statistische
Untersuchungen zur Lebensdauer von Seifenblasen ..17
Römer, M., Proportionalität selbst erarbeiten – ein
kompetenzorientierter und integrierter Ansatz ............ 12
Rupprecht, A., Der Milchtütenwald – ein vernetzendes
Projekt für Klasse 5/6 .................................................... 6
Schönwald, H.G., Wechselwinkel ..................................... 1
Schönwald, H.G., Anschauliches zum Begriff der Halbgeraden ........................................................................ 3
Schönwald, H. G., Computerunterstütztes mathematisches Denken ............................................................... 8
Schönwald, H. G., Wozu ist ein Matheheft da? ................ 9
Siller, H.-S. & A., Musikalische Grundphänomene mathematisch beschreiben – Anregungen für einen fächerübergreifenden Unterricht Musik – Mathematik Physik ......................................................................... 16
Strick, H.-K., Der Zweite gewinnt immer! ....................... 11
Ulshöfer, K., Mathematisches Theater – Kinder schaffen
gemeinsam ein Werk .................................................... 7
von Pape, B., Das Problem der Brachistochrone im
Unterricht ...................................................................... 8
van Randenborgh, C., van Schootens Ortslinienzirkel
– Ein entdeckender Zugang zur geometrischen Definition der Parabel ........................................................ 1
Walser, H., Wie weit sehen wir? – ein Beispiel für unverantwortliches Lernen ..................................................... 3
S. 6
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Diskussion
31
Baireuther, P., Standards – die neue Mengenlehre? ....... 3 40
36
35
41
Blum, W., Bildungsstandards – Fluch oder Segen? .......... 6 39
Büchter, A. / Leuders, T., Standards für das Leisten
brauchen Aufgaben für das Lernen! ............................. 2 40
Elschenbroich, H.-J., Bildungsstandards und Neue Medien im Mathematikunterricht ........................................ 4 43
Heymann, W., Garantieren „Standards“ einen besseren
Mathematikunterricht? .................................................. 1 40
S. 7
Meyerhöfer, W., Bildungsstandards als Herrschaftsinstrument .................................................................... 8 38
Leuders, T., Produktives Üben von Größenvorstellungen (Stadt – Land – Fluss, einmal anders) ................. 12 45
Stern, T., Standards für Leistungsbewertungen? .......... 10 39
Leuders, T., Zwei Quadratmeter, mit denen man
rechnen kann .............................................................. 16 42
Serie
Leufer, N. / Mayer, F. / Meyer, M., Ein kleines Weihnachtsmärchen .............................................................18 44
Bolzen, M., Blick über den Zaun: Oh wie schön ist
Kanada!? ................................................................... 14 34
Prediger, S., Mousse und Joghurt .................................... 5 40
Meyer, D., Blick über den Zaun: nach Finnland ............ 13 41
Westermann, B. / Leuders, T., Blick über den Zaun:
Mathematik in den Niederlanden ............................... 15 38
Verschraegen, J., Mathematik in Flandern: Die Kunst
des Gewissen ............................................................ 16 38
Ludwig, M., China, mitten im Land der Mathematik ...... 17 38
Prediger , S. / Leuders, T., Manhattan für’n Appel
und ’n Ei ...................................................................... 13 45
Reichmann, K., Abstand gewinnen – in Vielecken.
Dynamische Entdeckungen im Umfeld des Satzes
von Viviani .................................................................. 18 42
Information
Autorenhinweise .............................................................. 1 44
Fundstücke
Aufruf zur Mitarbeit ........................................................... 2 41
Albers, R., Die magische Zauberkugel .......................... 13 44
Neuerscheinungen ……………………….. 1 45, 3 44, 5 42
Leuders, T., Statistiken machen das leben süß ............ 11 33
……………………. 7 47, 10 44, 11
Reichmann, K., Wer ist hier blöd? ................................. 11 48
Leuders, T., Ein Origami-Dodekaeder-Kalender ........... 12
7
Winter, H., Euler’sche Gerade und Feuerbach’scher Kreis.
Mathematik und Ästetik am Beispiel des Geburtstagsgeschenks an Günter Pickert zum 90. Geburtstag ..... 17 U3
44
…………............................ 14 46, 16 44
Neuerscheinungen und Klassiker zur Fußball-WM
9 45
Die Herausgeber, Die jahrelange Seele der PM geht
in Pension ................................................................... 18 46
Rezensionen
Denkzettel
Anneser, F., Hasenohren / Der verlorene Mittelpunkt ..... 6 42
Büchter, A., Ein Spiel mit merkwürdigen Würfeln? .......... 4 43
Fröhlich, I. / Smolinski, B., Null-Wirkung (Aufgabenvariationen) ................................................................ 10 41
Abele, H.K. u.a., 199 Tests: Bruch- und Prozentrechnen
(Kappes) ..................................................................... 15 45
Ahbe, H., Das Verhältnis zwischen Grund- und Leistungskurs im Mathematikunterricht (Hase) ................... 2 45
Furdek, A., Wo steckt der Fehler? Öltank füllen .............. 2 42
Bardy, P. / Hrzán, J., Aufgaben für kleine Mathematiker
- mit ausführlichen Lösungen und didaktischen Hinweisen (Hase) ............................................................... 8 42
Furdek, A., Fehler in Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung .............................................................. 8 40
Barzel, B. u.a., Computer, Internet & Co im Mathematikunterricht (Weller) .......................................................... 8 44
Furdek, A., Drei Dreieckskonstruktionen – welche
stimmt? ...................................................................... 11 40
Behrends, E., Fünf Minuten Mathematik (Pohlmann) ..... 13 47
Furdek, A. / Benkeser, M., Viele Wege führen aus Rom
– Ein Plädoyer für Brainstorming ............................... 14 40
Gallin, P., Zur Auflösungsformel für die quadratische
2
Gleichung ax + bx + c = 0 ........................................... 7 45
bhv, Schule total 2005/06 (Heide) .................................... 5 44
Böer, H., Orientierungswissen Stochastik (MUED-Kurzlehrgang) (Kappes) ....................................................... 8 42
Böer, H., Hypothesen Testen (Kappes) ........................... 8 42
Böer, H., Demoskopie (Kappes) ...................................... 8 42
Greefrath, G., Das Validieren diagnostizieren – Ein
genauer Blick auf eine wichtige Teilkompetenz beim
Modellieren ................................................................ 15 42
Böer, H., Medikamententests (Aufgabensammlung)
(Kappes) ....................................................................... 8 42
Hußmann, S., Nach Zahlen malen – Ein offener Zugang
zur Bruchrechnung ...................................................... 1 42
Böer, H., Mandalas. Eine fächerverbindende Unterrichtsreihe für Mahtematik und Kunst in Klasse 6 als Beitrag
zu interkulturellem Lernen (Kappes) ........................... 15 46
Hußmann, S. / Leuders, T., München leuchtet – Fragen
zur Allianz-Arena ......................................................... 9
6
Hußmann, S., Auf dem kürzesten Weg von Insel zu
Insel ........................................................................... 14 43
Hußmann, S., Querfeldeinlauf – ein differenzierender
und qualitativer Zugang zur Differentialrechnung ...... 17 43
Böer, H., Statistik: Darstellungen und Manipulationen
(Heide) ........................................................................ 16 45
Böer, H., Mathe zum Kulturvergleich. Materialien für
Interkulturelles Lernen im Mathematikunterricht
(Heide) ........................................................................ 16 46
Leuders, T., Sauer macht erfinderisch ............................ 3 42
Böer, H., MUED-Materialien für den Mahtematikunterricht
in der Sek. I – Nr. 7 – 10 (Heide) ................................ 17 45
Leuders, T., Weltrekord für das Schreiben von Zahlen
in Worten ................................................................... 11 42
Borgwardt, K.H., Optimierung – Operations Research –
Spieltheorie Mathematische Grundlagen (Hase) .......... 2 46
Bosch, K., Finanzmathematik (Weber) ............................. 2 44
Bosch, K., Übungs- und Arbeitsbuch Statistik (Kappes) . 5 43
Bosch, K., Das Lottobuch (Weber) .................................. 8 42
Brichzin, P. u.a., Ikarus. Natur und Technik. Schwerpunkt:
Informatik 6/7 (Heide) .................................................. 6 45
Brüderlin, B. / Meier, A., Computergrafik und Geometrisches Modellieren (Heide) ........................................... 2 46
Büchter, A. / Leuders, T., Mathematikaufgaben selbst
entwickeln. Lernen fördern – Leistung überprüfen
(Kappes) ...................................................................... 6 45
Burton. I. u.a., Mathematisch denken. Mathematik ist
keine Hexerei (Prediger) ............................................ 15 44
Cornelsen, Mathe Coach. Übungsprogramm 10. Klasse
(Weller) ...................................................................... 16 46
DMK (B.D. Wong u.a.), Differenzieren – do it yourself
(Stein) .......................................................................... 5 43
Döpp, K., Berechenbarkeit und Unlösbarkeit (Weller) ..... 2 44
Drösser, C., Wie groß ist unendlich? Knobelgeschichten
und Denkspiele aus dem Zahlenuniversum (LutzWestphal) ..................................................................... 8 42
Dueck, G., Das Sintflutprinzip. Ein Mathematik-Roman
(Weller) ...................................................................... 16 45
Engel, M., Denksport-Rätsel für Geniale (Kappes) .......... 2 44
Engel, M., Neue Denksport-Rätsel für Geniale Kappes) .. 2 44
Fischer, G., Stochastik einmal anders. Parallel
geschrieben mit Beispielen und Fakten, vertieft durch
Erläuterungen (Stein) ................................................. 15 45
Floderer, M./Schneider, H., Mein tägliches Gehirnjogging (Pohlmann) .......................................................... 1 46
Floderer, M. / Schneider, H., Mein schlaues Gehirnjogging
/ Gehirnjogging macht fit (Pohlmann) ........................ 16 45
Franzis’, Das Grafik Paket 2 für CorelDRAW (Weller) .... 1 47
Franzis’, PDF Star ixpress (Heide) .................................. 1 47
Franzis’, Das XP Pannenhelfer Paket (Heide) ................ 1 47
Fuld, W., Die Bildungslüge. Warum wir weniger wissen und
mehr verstehen müssen (Rauch) ................................. 8 43
Gallenbacher, J., Abenteuer Informatik: IT zum Anfassen
von Routenplaner bis Online-Banking (Heide) ........... 15 46
S. 8
Herrmann, N., Mathematik ist überall – Mathematik im
Alltag (Kappes) ............................................................. 6 44
Hischer, H., Mathematikunterricht und Neue Medien
(Hase) ........................................................................... 5 44
Hurrelmann, K., Einführung in die Sozialisierungstheorie
(Stein) ........................................................................... 1 47
Jahnke, T. / Meyerhöfer, W. (Hrsg.), PISA & Co – Kritik
eines Programms (Wittmann) ..................................... 14 46
Jarre, F. / Stoer, J., Optimierung (Stein) .......................... 5 43
Kayser, H.-J., Analysis mit Derive (Pohlmann) ................ 2 45
Kayser, H.-J., Lineare Algebra und Geometrie mit Derive
(Heide) ........................................................................ 10 46
Kayser, H.-J., Lehr- und Lernvideos zur Mathematik
mit Derive ................................................................... 11 45
Kayser, H.-J., Derive im Stochastikunterricht der Sekundarstufe II (Pohlmann) ................................................ 15 46
Klöckner, U. / Schmidt, H.J., Dino T.Saurus’ MatheFlyer zum Üben und Wiederholen (Pohlmann) ............. 2 44
Krauter, S., Erlebnis Elementargeometrie (Prediger) ....... 6 44
Krauthausen, G. / Scherer, P., Einführung in die
Mathematikdidaktik (Weber) ......................................... 1 46
Kron, F.W. / Sofos, A., Mediendidaktik (Hase) ................. 2 46
Krummheuer, G. / Fetzer, M., Der Alltag im Mathematikunterricht. Beobachten – Verstehen – Gestalten
(Prediger)....................................................................... 3 45
Lernen Experimental, Mathematik Klasse 5–6 (Weller) ... 5 44
Leuders, T. (Hrsg.), Materialien für einen projektorientierten Mathematik- und Informatikunterricht (Weller) ... 5 42
Lörcher, G.A. (Hrsg.), Konkrete Mathematik (Loseblattsammlung) (Kappes) .................................................. 10 45
Maaß, K., Mathematisches Modellieren - Aufgaben für die Sekundarstufe I (Meyer) .................................................. 17 45
Mintert, S. (Hrsg.), XHTML, CSS & Co. Die W3C-Spezifikationen für das Web-Publishing (Heide) .................... 5 45
Naess, A., Als die Welt still stand. Galileo Galilei
– verraten, verkannt, verehrt ....................................... 11 46
Niemeier, W., Ausgleichsrechnung (Weber) .................... 2 45
Glaeser, G., Der mathematische Werkzeugkasten.
Anwendungen in Natur und Technik (Stein) ................ 3 46
Nitzsche, M., Graphen für Einsteiger. Rund um das Haus
vom Nikolaus (Stein) ..................................................... 3 47
Glaeser, G., Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst,
Natur und Technik (Hahn) ............................................ 8 43
Noack, M. / Geretschläger, R. / Stocker, H. (Hrsg), Mathe
mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 1995 –
2005 (Hase) ................................................................ 17 45
Görnitz, T. & B., Der Kreative Kosmos. Geist und Materie
aus Information (Stein) ................................................. 5 45
Gössnitzer, R.H.R. / Riegler, I., easy study: Mathematik
5./6. Klasse (Kappes) ................................................. 15 45
Greefrath, G., Modellieren lernen – mit offenen realitätsnahen Aufgaben (Meyer) ........................................... 17 45
Haag, W., Wege zu geometrischen Sätzen (Hase) ......... 1 46
Hamacher, H.W. u.a., Mathe & Ökonomie. Neue Ideen
für einen praxisnahen Unterricht (Pohlmann) .............. 3 46
Hemme, H., Der 12-beinige Esel. 93 mathematische
Rätsel mit ausführlichen Lösungen (Kappes) .............. 6 45
Hemme, H., Die Hölle der Zahlen. 92 mathematische
Rätsel mit ausführlichen Lösungen (Hase) ................ 16 46
Herold, H., Linux / Unix Grundlagen. Kommandos und
Konzepte (Heide) ......................................................... 5 45
Paradies, L. u.a. Leistungsmessung und –bewertung
(Stein) ........................................................................... 8 44
Paul, D., PISA, Bach, Pythagoas – Ein vergnügliches
Kabarett um Bildung, Musik und Mathematik ............. 11 44
Paulos, J.A., Es war 1mal … Die verborgene Logik des
Alltäglichen (Stein) ........................................................ 2 45
Penrose, R., Computerdenken. Die Debatte um künstliche
Intelligenz, Bewusstsein und die Gesetze der Physik
(Weller) ......................................................................... 5 45
Rathgeb-Schnierer, E. / Roos, U. (Hrsg), Wie rechnen
Matheprofis? Ideen und Erfahrungen zum offenen
Mathematikunterricht. Festschrift für Sybille Schütz
(Prediger) .................................................................... 10 46
Realschule Enger, Lernkompetenz: Mathematik, Biologie, Physik, Chemie. Bausteine für das 5. bis
10. Schuljahr .............................................................. 11 45
Reiß, K. / Schmieder, G., Basiswissen Zahlentheorie.
Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche (Stein) ... 3 47
Rieckers, A. / Bräuer, K., Einladung zur Mathematik .... 11 44
Roth-Sonnen, N. u.a., Knobel-Aufgaben für die 7. und 8.
Klasse bzw. für die 9. und 10. Klasse (Weber) ............ 3 46
Sachs, L., Einführung in die Stochastik und das stochastische Denken (Stein) ................................................. 16 46
Schmidt, H.J., Prof. Dr. Brian Teaser: Stationenlernen
„Satz des Pythagoras“ (Kappes) .................................. 1 46
Schmidt, H.J., Prof. Dr. Brian Teaser: Lern- und Übungskartei Prozent- und Zinsrechnung (Kappes) ................ 3 45
Schmidt, H.J., Prof. Dr. Brian Teaser’s Denk-mal-Rätsel
(Kappes) ...................................................................... 3 45
Schwacha, K., Mathe-Aufgaben aus dem Berufsalltag
(Kl. 8 – 10) (Kappes) .................................................. 16 45
Solymosi, A. / Grude, U., Grundkurs Algorithmen und
Datenstrukturen. Eine Einführung in die praktische
Informatik mit Java (Heide) .......................................... 2 45
Stewart, I., Pentagonien, Andromeda und die gekämmte
Kugel. 50 mathematische Kurzgeschichten (Hase) ..... 2 45
Stingl, P., Operations Research – Linearoptimierung
(Hase) .......................................................................... 5 44
Strampp, W., Elementare Mathematik. Vor- und Aufbaukurs (Weber) ................................................................ 2 44
MAT2
(4 Bde.): Folgen und Reihen,
Tarmin, L.D., Buch
Stetige Funktionen; Differentiation; Integration,
Aufgaben (Pohlmann) ................................................ 15 45
Taschner, Der Zahlen gigantische Schatten ................. 11 44
MAT
Tschampel, L., Buch 1.A: Mengen und Funktionen
BuchMAT1.B: Algebraische Strukturen; BuchMAT1.c:
MAT
Zahlen; Buch 1.S 888 Aufgaben und Bearbeitungen
(Pohlmann) .................................................................. 6 44
MAT
Tschampel, L., Buch 4.c: Lineare Algebra/Vektorräume
(Pohlmann) .................................................................. 3 46
MAT
MAT
Tschampel, L., Buch 6.A: Stochastik 1; Buch 6.S: AufMAT
gaben mit Bearbeitungen zu Buch 6.A (Pohlmann) .. 3 45
Ulm, V., Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für
individuelle Lernwege öffnen (Meyerhöfer) ................ 10 46
Walz, G. (Hrsg.), Faszination Mathematik (Stein) ........... 1 46
Wiechmann, J., 12 Unterrichtsmethoden – Vielfalt für die Praxis (Stein) ................................................................... 16 47
Wolmeringer, G., Linux, Zug um Zug. Das große Umsteigerbuch (Pohlmann) ..................................................... 8 44
Wong, B.D. u.a. (DMK), Bézierkurven – gezeichnet und
gerechnet. Ein elementarer Zugang und Anwendungen
(Heide) ......................................................................... 5 43
Wußing, H., Die Große Erneuerung. Zur Geschichte der
Wissenschaftlichen Revolution (Hase) ........................ 2 45
S. 9
Berichte & Mitteilungen
Ali Baba und die 39 Kamele • RAAbits Mathematik • Die
homepage von T3 wurde neu gestaltet • MathematikumPreis 2004 für Prof. Dr. Lothar Papula • 3. Workshop
„Grundlagen multimedialen Lehrens und Lernens“,
BTU Cottbus, 7.-9.3.2005 ................................................. 1 47
Termine: • Computeralgebra-Tagung in Kassel 2005,
• 16. Internationaler Kongress der Österreichischen
Mathematischen Gesellschaft / Jahrestagung der DMV,
• Lehrerakademie Bremen: Neues entdecken, • 11. GIFachtagung „Informatik und Schule“, • Jahrestagung
der GI 2005, • Systems 2005; • Mathematik-Probleme
des Monats • Online-Portal für Schulbücher • Stromsparen (auch) beim Computer • Zum Abschluss der
CeBIT 2005 ...................................................................... 2 46
Termine der MNU-Herbst-Tagungen 2005 • IT@School
• Cornelsen Teachweb bietet Lehrstoff für den Matheunterricht • Lernvitamine – eine neue CD-Reihe • Studienkreis schreibt Pädagogischen Förderpreis 2005/6 aus
• Erratum .......................................................................... 3 47
Termine • Neuer Bildungsserver in der Schweiz • Tippen
wie die Profis • Ozon: Alarmschwelle wird örtlich immer
noch überschritten • Sammlung von über 200 Schülerexperimenten • Umweltschutz im Unterricht • Kooperation
für die Zukunft (Girl’s Day) ............................................... 4 47
PM-Online-Ergänzungen • Kolloquien in Jena • Wege
zur Welt • Bundeswettbewerb Mathematik 2006 • FernsehTipps für den Unterricht (Cornelsen Teachweb) • Klassentüren virtuell öffnen (SAW, TIE) • Spürbarer Klimawandel in Deutschland • Aufruf zur Mitarbeit (Fußball
WM 2006) ........................................................................ 5 46
Termine: Learntec 2006, GDM-Tagung in Osnabrück,
MNU-Kongress in Karlsruhe • Computeralgebra in Lehre,
Ausbildung und Weiterbildung (V) • Lehrerwettbewerb
• didacta – die Bildungsmese 2006 in Hannover • CeBIT
2006 Hannover • Knoppix 4.0 • UBA: Klimaschutz jetzt Beine
machen • TI-Rechner T-89 und Voyage als PC-Emulation •
MP3-Hörbücher bei Libri.de ............................................. 6 45
Termine • Studie: Zu viel Computereinsatz macht
Schüler schlechter • Schwierige Schüler im Griff • 18
Programme für den Deutschen Bildungssoftware-Preis
nominiert .......................................................................... 7 47
Termine • Texas Instruments engagiert sich in Projekten • Olympisches Feuer nicht auf Sparflamme • Wissensfabrik: Mehr Praxiswissen für Schulen und Existenzgründer • Fraunhofer IPSI präsentiert semantische
Suchmaschine • Digitales Büro auf der CeBIT • Produkte und Innovationen der CeBIT 2006 • Ein Portal,
das Wissen schafft • Unterrichtshilfen von der AG Jugend und Bildung e.V. • Eine Allianz für Deutschlands
digitales Gedächtnis • Digital ist besser: Schluss mit
Pinnwand und Flipchart • Leserbief: Ergänzung zum
Beitrag Der „Funktionenführerschein“ .............................. 8 45
Termine (MNU-Herbst-Tagungen) • Leistungen feststellen – Kinder fördern • Mathematikunterricht für alle
• Fußball-WM Special auf dem Brandenburgischen
Bildungsserver (BBS) • Faltblatt über die Teilnehmerländer der Fußball-WM 2006 • Bei der FIFA roll der
„Rubel“ zur Fußball-Weltmeisterschaft • System Erde –
Unterrichtsmaterialien für die Sek. II • Zum Informatikjahr:
Webportal einstieg-informatik.de gestartet • WeLOAD –
Unterrichtsmaterialien im Schulnetz per USB-Stick zur
Verfügung stellen • Erratum in PM 2006|2: Noten .......... 9 46
Neue elektronische Materialien auf dem MIAMI-Server
• Datenschwund: Kulturelles Erbe in Gefahr • Duftstoffe:
Betörend mit möglichen Nebenwirkungen ..................... 10 47
Termine: GI-Tagung, Bremer Lehrerakademie, MUED-Tagung
• Das neue MuPAD Pro 4 • AJAX • K.I.D.Offensive – lerngerechtes Spielen am PC für Kinder
• Der Bundeswettbewerb Informatik feiert Jubiläum
• Trik was – Trinkwasser aus dem Hahn ....................... 11 4*7
Termine: Learntec (Karlsruhe), Linuxtage (Chemnitz),
GDM- / DMV-Tagung (Berrlin), MNU-Kongress (Berlin)
• WinFunktion Mathematik 16 • Birkhäuser geht online
• Findmaschine bei Jugend und Bildung • Deutschland
und der Klimawandel ..................................................... 12 46
Termine: Didacta (Köln) • Kostenfreies Buch „Wiki.
Web Collaboration“ • Mission: Wissen! • Mit Recover
my Files verlorene Daten retten • Innovationsportal im Deutschen Bildungsserver • Suchmaschine für Bildung
startet ............................................................................ 13 47
17. Symposium mathe 2000 • Ausgerechnet: Mathematik
und Konkrete Kunst • CASIO-Software macht Schule • 2DGeometrie und 2D-Graphen – Version 7 • Erratum zum
Artikel „Und man braucht sie doch!“ von Katja Maaß in
PM-Heft 2007|13 ........................................................... 14 46
Termine: G. Pickert: Herzlichen Glückwunsch zum
90-sten Geburtstag. MNU-Herbst-Tagungen 2007,
Herbsttagung 2007 des AK Stochastik in der Schule in
der GDM, MUED-Jahrestagung 2007 • Portal zum Austausch digitaler Unterrichtsmaterialien • „Vektoria-Ward
2006“ • Newspaper Snuppet-Generator • Neue Version
der Opensource-DVD • Uniross Hybrio – das neue leistungsstarke Akku-/Batteriesystem ................................. 15 47
Termine: ISTRON-Tagung in Münster • Neue e-LearningPlattform für Mathematik • Mathematica 6 – Alles wird dynamisch ............................................................................. 16 47
Termine: 19. Lehrerakademie Bremen • Unterrichtsideen
für Mathematiklehrer per E-Mail • WinFunktion Mathematik
plus 17 • Mathe sichtbar, greifbar und erlebbar machen
• Der Informatik-Biber • Wie ist meine persönliche Kohlendioxid-Bilanz? • Living Globe ........................................ 17 46
Termine: 43. Jahrestagung der GDM in Budapest/H
• 99. MNU-Kongress in Kaiserslautern • Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung VI
• Analytische Geometrie jetzt neu: Version 7 (KaeseSoftware) • Kalender zum Jahr der Mathematik 2008
• Carl.OS • perfect Tools für Vista ................................ 18 47
S. 10
Impressum
ISSN 0032-7042
Herausgeber:
Ines Fröhlich, Abtlg. 4, LISUM Berlin-Brandenburg,
14974 Ludwigsfelde-Struveshof,
[email protected]
Prof. Dr. Stephan Hußmann, TU Dortmund, IEEM,
Vogelpothsweg 87, 4427 Dortmund,
[email protected]
Prof. Dr. Timo Leuders,
Pädagogische Hochschule Freiburg, Institut für Mathematik und
Informatik und ihre Didaktiken, Kunzenweg 21, 79117 Freiburg,
[email protected]
Prof. Dr. Susanne Prediger, TU Dortmund, IEEM,
Vogelpothsweg 87, 4427 Dortmund,
[email protected]
Schriftleitung:
StD Dietrich Pohlmann, Friedr.-Naumann-Weg 22,
25337 Elmshorn, email über: www.aulis.de/kontakt/
Telefon 04121 / 47 06 35
Kontakt-Adressen:
Nachrichten an die Redaktion oder den Vertrieb bitte über das Kontaktformular auf: www.aulis.de/kontakt/
Verlag
Aulis Verlag Deubner GmbH & Co KG, Antwerpener Straße 6–12,
50672 Köln, Telefon 02 21/95 14 54-0, Telefax 02 21/95 14 54-60
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Hinweise: Einzelne Beiträge, Arbeitsblätter und Materialien dürfen
entsprechend dem Urheberrecht zu Unterrichtszwecken bis zu Klassen- bzw. Kursstärke vervielfältigt werden. Die hierfür vom Gesetz
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wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber, Redakteur und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine
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Erscheinungsweise und Bezugsbedingungen: Die Zeitschrift erscheint 6-mal jährlich. Bezugspreis im Abonnement im Inland 54 €,
Studierende und Referendare 40,50 €, jeweils zuzüglich Versandspesen (Auslandspreise auf Anfrage). Einzelexemplar 10,35 €. Die Mindestbestelldauer des Abonnements beträgt ein Jahr. Die Abonnementsgebühren sind jährlich im voraus nach Erhalt der Rechnung
fällig. Das Abonnement läuft weiter, wenn es nicht mindestens zwei
Monate vor Ablauf des berechneten Zeitraums schriftlich gekündigt
wird.
Anzeigenverwaltung: Verlag. Für Anzeigen gilt zur Zeit Anzeigenpreisliste Nr. 21 vom 1. 1. 2005.
Herstellung: Mario Keßler
Titelbildgestaltung: Sybille Hübener
Satz: Verlag
Druck und Verarbeitung: Jütte-Messedruck Leipzig GmbH
PM Kurzfassungen 2005
S. 11
Kurzfassungen PM 2005|1
Heftthema: Selber lernen macht schlau! - Selbstlernen in kleinen Schritten
Selber lernen macht schlau –
Selbstlernen Schritt für Schritt
PM 47 (2005|1) S. 2–8
Ines Fröhlich und Stephan Hußmann
Der moderne Mathematikunterricht setzt verstärkt auf die Bereitstellung von Erfahrungsfeldern, in denen die Schüler und
Schülerinnen nicht nur Inhalte lernen, sondern mathematisch
tätig sein können. Notwendige Voraussetzung dafür ist jedoch,
dass die Lernenden selbst gesteuert arbeiten können. Da viele
Schülerinnen und Schüler dies nicht gewöhnt sind, sollte man
sie behutsam zur Selbstständigkeit begleiten. Wie diese Näherung Schritt für Schritt gelingen kann und von welchen Unterrichtsfaktoren sie abhängt, soll in diesem Beitrag beleuchtet
werden.
Funktionen bilden
PM 47 (2005|1) S. 29–35
Selbstständige Begriffsbildung an offenen Problemsituationen
Conny Walzebug
Zu welchen Leistungen sind Schüler und Schülerinnen in der
Lage, wenn sie eigenständig an offenen Problemsituationen
das Themengebiet der Quadratischen Funktionen erkunden?
Konkrete Schülerlösungen bieten die beste Grundlage, um zu
untersuchen, wie Schüler und Schülerinnen selbstständig Mathematik konstruieren und welche Auswirkungen ein kontinuierlicher Austausch von Ideen und Formulierungen für den individuellen Begriffsbildungsprozess haben kann. Für die praktische Umsetzung ist es aber ebenso entscheidend, auf mögliche Gefahren und Probleme sowohl auf Seiten der Lehrenden
wie der Lernenden aufmerksam zu machen, denn beiden muss
die nötige Zeit zur Gewöhnung und Sensibilisierung für einen
solchen Unterricht gegeben werden.
Wie weit ist es bis zum Horizont? PM 47 (2005|1) S. 9–12
Ein Beispiel für selbstverantwortliches Lernen
Freie Beiträge
Franz Anneser
Eine altbekannte Schulbuchaufgabe dient als Beispiel dafür,
wie selbstgesteuertes Lernen schnell organisiert werden kann.
Die Schülerinnen und Schüler sind angehalten, ihre frei bestimmten Lösungswege möglichst ausführlich zu dokumentieren und zu verbalisieren, sie erarbeiten eine Art Lerngeschichte. Diese wird vom Lehrer durchgeschaut und mit einer
möglichst positiven Rückmeldung versehen. Das ist der erste
Schritt zu einem dialogischen Lernen nach Gallin/Ruf.
Konstruktion von Zentrischen
Streckungen – Frust oder Lust?
PM 46 (2005|1) S. 13–19
Birgit Smolinski
Schülerinnen und Schüler produzieren selbstständig Abbildungen, verändern sie, experimentieren damit, entdecken Zusammenhänge, formulieren neue Erkenntnisse, und dies alles
spielerisch, auf eigenen Wegen und ohne dass sie das Stundenende herbeisehnen – es kann gelingen!!! Der Artikel beschreibt einen solchen Weg am Beispiel der Zentrischen Streckung unter Einsatz dynamischer Geometriesoftware.
Van Schootens Ortslinienzirkel
PM 47 (2005|1) S. 36–39
Ein entdeckender Zugang zur geometrischen Definition der
Parabel
Christian van Randenborgh
Wie kann man bei Schüler/innen in der Jahrgangsstufe 11 Interesse für die Koordinatengeometrie wecken? Der vorliegende
Beitrag möchte Erfahrungen mit und Anregungen für eine geometrische Beschäftigung mit der Parabel geben. Dabei spielt
ein (etwas) in Vergessenheit geratenes mechanisches Zeicheninstrument von F. van Schooten aus dem 17. Jahrhundert
eine entscheidende Rolle. Der Nachbau dieses Ortslinienzirkels von van Schooten und eine „elektronische“ Version des
Zirkels ermöglichen einen entdeckenden Zugang zur geometrischen Definition der Parabel.
Wechselwinkel
PM 47 (2005|1) S. 41
Hans G. Schönwald
Ein kurzer Zwischenruf zum Thema Anschaulichkeit und
Strenge.
Wendestellen in UnterrichtsPM 46 (2005|1) S. 20–28
methodik und Analysis
Ein Gruppenpuzzle zu Wendestellen als Beitrag zum selbstständigen Lernen
Kathrin Richter
Auf drei Wegen selbstständig zu Wendestellen! An einem Unterrichtsvorhaben in der Jahrgangsstufe 11 wird vorgestellt, wie
Schülerinnen und Schüler im methodischen Rahmen eines
Gruppenpuzzles den Begriff Wendestelle eigenständig entdecken können. Anhand konkreter Arbeitsmaterialien wird eine
Möglichkeit gezeigt, wie Unterricht derart geöffnet wird, so
dass von den Schülerinnen und Schülern ein hohes Maß an
Selbstständigkeit und Eigenverantwortung für den eigenen
Lernprozess gefordert wird. Erfahrungen mit Lernprozessen
und Schülerreaktionen zeigen Wege auf für den Umgang mit
möglichen Schwierigkeiten und geben Anregungen für Hilfestellungen.
Diskussion
Garantieren „Standards“ einen
besseren Mathematikunterricht
PM 47 (2005|1) S. 40–41
Hans Werner Heymann
Denkzettel
Nach Zahlen malen –
PM 47 (2005|1) S. 42–43
ein offener Zugang zur Bruchrechnung
Stephan Hußmann
S. 12
Heftthema: Funktioniert’s - Denken in Funktionen
Funktioniert’s? –
Denken in Funktionen
PM 47 (2005|2) S. 1–7
Timo Leuders und Susanne Prediger
Was bedeutet Denken in Funktionen und wie kann es gefördert
werden? Wozu müssen verschiedene Grundvorstellungen und
Darstellungsformen verfügbar sein? Welche Tätigkeiten sind
im Zusammenhang mit Funktion von Bedeutung? Der Einführungsartikel fasst wichtige Aspekte der didaktischen Diskussion
um Funktionen zusammen und gibt Anregungen für eine verständnisorientierte Behandlung im Unterricht.
Vom Experiment zur Interpretation PM 47 (2005|2) S. 8–12
von Graphen
Walter Affolter
„Mathematik können heißt Mathematik betreiben.“ Unter diesem Motto gibt der Artikel Einblick in eine erste Begegnung
und Auseinandersetzung mit dem Thema „Funktionen“ im 7.
Schuljahr. Im Zentrum der Lernumgebung „Wasserstand“ steht
die experimentelle Gewinnung und qualitative Interpretation
von Graphen, die funktionale Zusammenhänge zwischen zwei
Größen darstellen. Die Unterrichtsform des aktiv-entdeckenden
Lernens ermöglicht den Lernenden, Beobachtungen aus einem
Experiment für eigene Voraussagen und Interpretationen zu
nutzen und dabei Grundvorstellungen und Begriffe zum „Denken in Funktionen“ aufzubauen und zu entwickeln.
Kurven in der Diskussion
PM 47 (2005|2) S. 26-31
Lernende auf dem Weg zu einer
vorstellungsorientierten Kurvendiskussion
Steffen Hahn
Mit Kurvendiskussion muss nicht nur das Abarbeiten von Routinen gemeint sein, sondern auch die verständige Untersuchung von Wachstums- und Veränderungsprozessen, manchmal sogar völlig ohne Kalkül. Im Artikel werden qualitative Zugänge zu einer vorstellungsorientierten Kurvendiskussion vorgestellt und an Beispielen erläutert, welche interessanten und
z.T sperrigen Vorstellungen Lernende entwickeln können,
wenn Kurven wortwörtlich in der Diskussion stehen.
Freie Beiträge
Entdeckend Lernen mit Zahlenmauern in der Sekundarstufe
PM 47 (2005|2) S. 32-38
Jan Hendrik Müller
Das aus der Grundschule bekannte Aufgabenformat Zahlenmauern lässt sich in der Sekundarstufe durch die Untersuchung spezieller additiver Strukturen (wie der der Primzahlen,
Quadratzahlen, Logarithmen u.v.m.) mit großem Gewinn fortsetzen. Der Artikel zeigt mannigfaltige Probleme für alle Jahrgangsstufen auf, die interessante Anlässe für entdeckendes
Lernen bieten.
„Abhängigkeiten von Größen“ - PM 47 (2005|2) S. 13–19
zwischen Mathematikunterricht und Lebenswelt
Über den Einsatz des Computers bei PM 47 (2005|2) 38-39
schriftlichen Leistungsüberprüfungen
Probleme und Möglichkeiten
Katja Lengnink
Wolfgang Kroll
Die Lernenden dort abzuholen, wo sie stehen, ist eine alte pädagogische Forderung. Doch wo stehen denn die Lernenden,
und wie steht dies in Beziehung zu dem mathematischen
Lerninhalt funktionale Abhängigkeit? In dem Artikel wird ein
unterrichtlicher Zugang zum Konzept der funktionalen Abhängigkeit vorgestellt, der es ermöglicht, die Vorstellungen der
Lernenden aufzugreifen und mit den mathematischen Konzepten in fruchtbare Verbindung zu bringen
Bemerkungen zum PM-Beitrag „Schriftliche Reifeprüfung mit
PC“ in PM 46 (2004|4) S. 179-185.
Diskussion
Standards für das Leisten
PM 47 (2005|2) S. 40-41
brauchen Aufgaben für das Lernen
Andreas Büchter und Timo Leuders
Der „Funktionenführerschein“
PM 47 (2005|2) S. 20-25
Wie Schüler und Schülerinnen das Denken in Funktionen
variantenreich wiederholen und festigen können
Welche Konsequenzen haben Bildungsstandards und die damit zusammenhängenden Reformen für den tagtäglichen Mathematikunterricht?
Bärbel Barzel, Stephan Hußmann, Timo Leuders
Das Denken in Funktionen zeigt sich vor allem in der Fähigkeit,
flexibel zwischen verschiedenen Darstellungsformen einer
Funktion wechseln zu können. In diesem Bereich wird dazu ein
Konzept angeboten und durch Beispielaufgaben erläutert, die
von Schülerinnen und Schülern zum Selbstüberprüfen und
Wiederholen verwendet werden können. Die Aufgaben sind
Teil einer frei zugänglichen online-Plattform, dem „Matheführerschein online“.
Denkzettel
Wo steckt der Fehler?
Füllung eines Öltanks
Attila Furdek
PM 47 (2005|2) S. 42-43
S. 13
Heftthema: Modellieren bildet
Modellieren
PM 47 (2005|3) S. 1–7
– Brücken zwischen Welt und Mathematik
Validieren lernen
Timo Leuders und Katja Maaß
Modellierungsaufgaben haben in der Schule Einzug gehalten.
Dem wichtigen Teilschritt der Validierung wird jedoch oft noch
nicht genügend Aufmerksamkeit gewidmet. Der Beitrag beschreibt Aufgabenformate, bei denen sich Schülerinnen und
Schüler auf einen reflektierten Umgang mit Lösungen einer
Modellierung konzentrieren können
Im Mathematikunterricht wurden immer schon Sachsituationen
erfasst und Anwendungsprobleme gelöst. In den letzten Jahren
macht man sich die Tätigkeiten, die hier stattfinden bewusster
und beschreibt sie mit Begriffen wie „Mathematisieren“, „Interpretieren“ und „Validieren“. Der Einführungsartikel zum Themenheft gibt einen Überblick und beantwortet Fragen der Umsetzung modellierender Tätigkeiten im Unterricht.
PM 47 (2005|3) S. 25-31
Michael Marxer
Freie Beiträge
Wie viele Primzahlen gibt es und PM 47 (2005|3) S. 32-35
wie sind sie verteilt? - Untersuchungen
zum Primzahlsatz mit Hilfe des Taschencomputers TI 89
Stau
- eine Aufgabe für alle Jahrgänge
PM 47 (2005|3) S. 8-13
Katja Maaß
Sind Modellierungsaufgaben nicht nur etwas für höhere Klassenstufen? Ganz und gar nicht! Es gibt viele Aufgaben, die
auch in der Grundschule eingesetzt werden können. Mehr
noch: Viele Modellierungsaufgaben können sehr flexibel in verschiedenen Jahrgängen eingesetzt werden. Der Aufsatz zeigt,
wie die Frage: „Wie viele Menschen stecken in einem 20 km
langen Stau?“ produktiv in Klasse 4, Klasse 8 und in der Hochschule eingesetzt werden kann.
Markus Brede und Thorsten Meyfarth
Schülerinnen und Schüler, die sich mit der Primzahlreihe beschäftigen, klären Fragen über die Anzahl und die Dichte der
Primzahlen. Sie nutzen dazu exakte Verfahren (Sieb des Eratosthenes) und Näherungsverfahren (Gauß) zur Bestimmung
von Primzahlen und ihrer Dichte und verwenden dazu einen TI89.
Internetaufgaben – einfache aber
PM 47 (2005|3) S. 35-37
authentische Anlässe für Recherchieren und
mathematisches Arbeiten
Regina Hinz
Wie weit sehen wir?
PM 47 (2005|3) S. 38
Ein Beispiel für unverantwortliches Lernen
Werbung und Mathematik
PM 47 (2005|3) S. 14-18
- oder: Rasiert man(n) in 18 Monaten ein Fußballfeld
Heinz Laakmann
Mathematische Modelle begegnen uns auch in der Werbung.
Nicht immer sind sie korrekt. Eine fünfte Klasse kommt der
Firma Braun auf die Spur, die beim Überschlagen der jährlich
zu rasierenden Bartfläche übertrieben hat!
Von der Wetterkarte zur
PM 47 (2005|3) S. 19-24
Tangentenkonstruktion
– ein Modellierungsprojekt in der Klasse 8
Nicole Roth-Sonnen
Dass unser Wetter von Satelliten beobachtet wird, ist für uns
eine selbstverständliche Alltäglichkeit. Aber wie müssen diese
Satelliten vernünftig geometrisch angeordnet sein? Welchen
Bereich kann ein Satellit überwachen? Wie viele Satelliten
braucht man eigentlich? Der Artikel berichtet von einem Projekt
in Klasse 8, in dem Schülerinnen und Schüler sich diese Fragen gestellt und an Modellen und mit dynamischer Geometriesoftware untersucht haben. Ihre weitgehend selbstständige Arbeit beschreiben und reflektieren sie in Protokollen.
Hans Walser
Kritik zum Beitrag von F. Anneser in PM 47 (2005|1) S. 9-12.
Anschauliches zum Begriff
der Halbgeraden
PM 47 (2005|3) S. 39
Hans G. Schönwald
Der abstrakte mathematische Gegenstand, der mit „Halbgerade“ oder „Strahl“ bezeichnet wird, ist Schülern leicht verständlich. Deshalb ist er geeignet, daran das Zusammenspiel zwischen einem abstrakten Begriff und dessen verschiedenen
Konkretionen zu betrachten und sich in präzisierenden Formulierungen zu üben.
Diskussion
Standards – die neue Mengenlehre PM 47 (2005|3) S. 40-41
Peter Baireuther
Denkzettel
Sauer macht erfinderisch!
PM 47 (2005|3) S. 42-43
Timo Leuders
Untersuchung optimaler Kreispackungen.
S. 14
Heftthema: Den Zufall im Griff? - Stochastische Vorstellungen entwickeln
Den Zufall im Griff?
- Stochastische Vorstellungen fördern
PM 47 (2005|4) S. 1–7
Andreas Büchter, Stephan Hußmann, Timo Leuders und Susanne Prediger
Jeder kennt Alltagssituationen, in denen der Zufall eine Rolle
spielt und in denen alle Beteiligten ihre eigenen Vorstellungen
vom Wirken des Zufalls haben. Der Stochastikunterricht
scheint auf diese Alltagsvorstellungen nur begrenzt Einfluss
nehmen zu können – woran liegt das eigentlich? In dem Artikel
werden Erklärungen angeboten und Hintergründe beschrieben.
Anhand konkreter Beispiele werden Hinweise gegeben, wie
der Aufbau tragfähiger stochastischer Vorstellungen konsequenter gelingen kann. Dabei wird vor Allem für einen experimentier- und reflektionsintensiven Unterricht plädiert.
Darf das denn wahr sein?
PM 47 (2005|4) S. 8–16
- Eine schüleraktive Entdeckung der Grundidee
des Hypothesentestens mit Tabellenkalkulation
Timo Leuders
Wie gut kann der Mensch den Zufall – etwa die Ergebnisse eines mehrfachen Würfelwurfs – imitieren? Diese Frage ist Ausgangspunkt einer Sequenz, in der Schülerinnen und Schüler
zunächst solche „vorgestellten Zufallszahlen“ mit deskriptiven
Mitteln untersuchen. Sie stellen dann Vermutungen über Abweichungen vom echten Zufall auf – z.B. über die Häufigkeit
von Paschen und bestimmen per Simulation (mit einer Tabellenkalkulation) die Wahrscheinlichkeit eines vom Menschen
„gefälschten“ Ergebnisses. So entdecken sie selbsttätig das
Grundprinzip des Hypothesentestens.
Die Wahrscheinlichkeit von
PM 47 (2005|4) S. 17-22
Augensummen – Stochastische Vorstellungen
und stochastische Modellbildung
Jan Hendrik Müller
Das Problem der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von
Augensummen beim Würfeln mit zwei Würfeln ist zwar ein „alter Hut“ (also keine fachdidaktische Innovation) und wirkt artifiziell, auch wenn es bei Spielen wie Siedler nützlich sein kann.
Dennoch führt das Problem zu gehaltvollen (Inter-) Aktionsprozessen unter den Lernenden, wenn die Unterrichtsgestaltung
ihnen Raum dafür gibt. Dieser Prozess soll anhand von Lösungsansätzen und Argumentationsprozessen im vorliegenden
Beitrag nachgezeichnet werden.
Zufallsversuchen schneller auftreten als man im Allgemeinen
vermutet. Faustregeln zum Geburtstagsproblem, zum Problem
der Vollständigen Serie und zum 1/e - Gesetz können mit dazu
beitragen, Grundvorstellungen über Zufallsvorgänge zu verbessern.
Freie Beiträge
Wasserpreise
PM 47 (2005|4) S. 30-35
- Stochastische funktionale Abhängigkeiten modellieren
Heinz Böer
Je teurer ein Kubikmeter Wasser ist desto weniger wird verbraucht. Dieser Zusammenhang, der für viele Länder als
Punktkoordinaten gegeben ist, soll interpoliert und extrapoliert
werden – durch Regression mit allen Funktionstypen, die PCProgramme anbieten.
Alle Angebote – so stellt sich nach der Prüfung heraus – sind
nicht geeignet. Deshalb wird in einem 2. Anlauf ein eigener
Funktionsansatz überlegt; die Daten werden linearisiert, um die
Parameter des Ansatzes zu optimieren.
Drehsymmetrien entdecken
- mit EuklidDynaGeo
PM 47 (2005|4) S. 35-40
Henrik Kratz
Vorgestellt werden Konzeption und Unterrichtserfahrungen eines Einstiegs in das Thema „Drehsymmetrien“ für die Jahrgangsstufe 6, bei dem das Programm EuklidDynaGeo® eingesetzt wurde.
Warum gilt nicht 0,9 < 1 ?
Petr Eisenmann
PM 47 (2005|4) S. 40-42
Der Beitrag beschreibt drei Hauptprobleme der Schüler / der
Studenten beim Verständnis der Summe der unendlichen Reihe und schlägt konkrete Wege zu ihrer Beseitigung vor.
Diskussion
Bildungsstandards und Neue
Medien im Mathematikunterricht
PM 47 (2005|4) S. 43f.
Hans-Jürgen Elschenbroich
Denkzettel
Bei Zufallsversuchen wiederPM 47 (2005|4) S. 23-29
holen sich die Ergebnisse schneller als man vermutet
Heinz Klaus Strick
Im Beitrag wird erläutert, wie man im Unterricht der Sekundarstufe II von praktischen Versuchsdurchführungen über einfache Rechnungen und den Einsatz von Tabellenkalkulation zu
Einsichten über die Tatsache kommt, dass Wiederholungen bei
Ein Spiel mit merkwürdigen Würfeln PM 47 (2005|4) S. 45f.
Bei den merkwürdigen Würfeln handelt es sich um „nicht-transitive“ Würfel, d.h. es gibt keinen besten, Der „Erfinder dieser
Würfel ist der Statistiker Bradley Efron von der Stanford-University. Egal welchen Würfel der erste Spieler wählt, der zweite
Spieler kann immer einen mit höheren Gewinnchancen finden.
S. 15
Heftthema: Ich schreibe, also denk’ ich - Über Mathematik schreiben
Ich schreibe, also denk‚ ich
Über Mathematik schreiben
PM 47 (2005|5) S. 1-6
Sebastian Kuntze und Susanne Prediger
Es herrscht ein weitgehender Konsens darüber, dass das
Schreiben über Mathematik nicht nur neue Annäherungsmöglichkeiten an mathematische Inhalte schafft, sondern auch den
Anlass zu einer vertiefteren Verarbeitung mathematikbezogenen Wissens bietet. Doch wieso eigentlich? Und auf welche
Weise kann das Schreiben über Mathematik in den Unterricht
integriert werden? Wie können Unterrichtsumgebungen
aussehen, in denen für Lernende anregende Schreibanlässe
geschaffen werden? An praktischen Beispielen werden im Artikel dazu einige Antworten geben.
„Fehl-Leistung“ – Fehler oder
PM 47 (2005|5) S. 25–29
Leistung? – Erfahrungen mit Themenstudienarbeit an einem Schweizer Gymnasium
Jürg Junker
Mit Fehlern haben unsere Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht oft zu tun. Um einen förderlichen Umgang
der Lernenden mit Fehlern zu unterstützen und um sie bewusst werden zu lassen, dass Fehler auch Lernchancen sind,
wurde das Thema direkt als Schreibanlass aufgegriffen. Als
Unterrichtsmethode wurde die Themenstudienarbeit gewählt.
Schreiben als Anregung zum
PM 47 (2005|5) S. 7–11
Nachdenken über eigene Lernprozesse - Nimm Stellung!Aufgaben und diskursive Unterrichtsprotokolle
„… und doch wird man bis an
PM 47 (2005|5) S. 30–34
das Ende der Erde nie ohne Messen auskommen
können.“
Themenstudienarbeit als Anregung zum Schreiben über das
Messen in Klasse 5.
Christa Kaune
S. Böck / E. Focht-Schmidt
Immer wieder werden deutschen Schülerinnen und Schülern
in Leistungsstudien gravierende Schwächen nachgewiesen,
wenn sie über Mathematik reden oder in der Umgangssprache
über eigene Lösungsansätze schreiben müssen. Als eine
Maßnahme zur Verbesserung dieser Situation werden zwei
Aufgabenformate vorgestellt, die Lernende dazu anregen, sich
im Unterricht und während ihrer Hausaufgaben umgangssprachlich mit unterschiedlichen Lösungsansätzen zu beschäftigen. Neben einer Verbesserung der sprachlichen
Kompetenz der Lernenden zielen sie auch darauf, durch eine
verstärkte Anregung metakognitiver Tätigkeiten ein tieferes
Verständnis des jeweiligen mathematischen Inhalts zu ermöglichen.
Kinder der Klasse 5 sollen schon Aufsätze über eine zentrale
mathematische Idee und ihre Geschichte schreiben können?
Jawohl, sie können – abwechselungsreich und unterhaltsam!
Der Artikel berichtet von einer in zwei Klassen durchgeführten
Themenstudienarbeit zum Thema Messen, die durch geeignete umfassende Materialien und strukturierte Arbeitsaufträge
dazu anregt.
Freie Beiträge
Kreise algebraisch modellieren
PM 47 (2005|5) S. 35–38
- neue Möglichkeiten durch neue Werkzeuge
Reinhard Oldenburg
SIMSEN (SMS) im MathematikPM 47 (2005|5) S. 12–17
unterricht“ – stumme Schreibgespräche
Babette Gerbode, Jutta Richter und Dieter Schluckebier
Können Sie sich vorstellen, dass Ihre Klasse in der Mathestunde konzentriert Aufgaben löst, dabei ihre Ergebnisse vergleicht, sich über verschiedene Lösungsschritte austauscht
und das bei absoluter, „himmlischer“ Ruhe? In diesem Artikel
soll mit dem stummen Schreibgespräch eine Methode vorgestellt werden, die dies ermöglicht.
Schülerinnen und Schüler
PM 47 (2005|5) S. 18–24
schreiben über Unendlichkeit – Interdisziplinäre und mathematikbezogene Gedanken in Themenstudien
Algebra und Geometrie ergänzen sich hervorragend. Durch
die Verknüpfung von Dynamischer Geometrie und Computeralgebra, wie sie im System FeliX realisiert ist, kann diese
Symbiose auch mit Rechnerhilfe optimal unterstützt werden.
An einigen Fragestellungen rund um Kreise wird das illustriert.
Immer wieder
PM 47 (2005|5) S. 39
- Ein konstruktiver Beitrag angesichts der Errata in Heft
3/2005
Peter Gallin
Hinweise zum Herstellen eines korrekten (normalaxonometrischen ) Bildes der Erdkugel.
Sebastian Kuntze und Kerstin Ramm
Mathematik und Unendlichkeit gehören untrennbar zusammen. Können das auch Schülerinnen und Schüler so sehen
und beschreiben? Wir wollten es wissen: Gelingt es Lernenden der 11. Jahrgangsstufe in selbstverfassten Texten, mathematisches Wissen über Unendlichkeit zu vernetzen? Wie
nehmen sie das Schreiben über Mathematik wahr? Wir diskutieren Ausschnitte aus Texten von Schülerinnen und Schülern,
um Antworten auf diese Fragen zu geben. Auch die eingesetzte Unterrichtsumgebung, die so genannte Themenstudienarbeit, wird vorgestellt.
Denkzettel
Mousse und Joghurt
PM 47 (2005|5) S. 40f.
- ein offener Zugang zur Bruchrechnung
Susanne Prediger
Mousse-Reklame als Anlass zu (relativen) Vergleichen (Prozentrechnung).
PM Jahresverzeichnis 2005
S. 16
Heftthema: Die Welt ist rund - Kreis und Kugel
Kreis und Kugel
PM 47 (2005|6) S. 1-5
- eine runde Sache mit unendlich vielen Seiten!
Ines Fröhlich und Susanne Prediger
Kreis und Kugel sind mathematische Objekte, die gleichzeitig für
Realitätsnähe, Einfachheit der Definition und Tiefe der innermathematische Theorie stehen. Der Einführungsartikel gibt einen
Überblick über die „unendlich vielen Seiten“ von Kreis und Kugel. Er
zeigt unterschiedliche mathematische Perspektiven auf (wie die
konstruktive, algebraische, berechnend-geometrische, algorithmische,
numerische u.v.m.) und stellt sie mittels zentraler Ideen in
Zusammenhänge, die für das Curriculum tragende Pfeiler bilden
können. Vielfältige unterrichtliche Zugänge zum Thema Kreis und
Kugel werden in diesem Themenheft vorgestellt.
Tangentialebenen einer Kugel
PM 47 (2005|6) S. 6-10
- aber, wie viele denn ?
Attila Furdek
Die Forderung, aus Fehlern Lernanlässe zu machen, ist in aller Munde.
In diesem Artikel wird an einem Beispiel zur Bestimmung von
Tangentialebenen an eine Kugel gezeigt, wie die intensive Diskussion
divergierender Lösungswege die Reflexion über Mathematik anregen
kann. Aus der Klassendiskussion sind schließlich Arbeitsblätter
entstanden, um die Diskussion auch in andere Klassen tragen zu
können.
Variationen ziehen KREISe
PM 47 (2005|6) S. 11-16
Anke Debertshäuser und Konstanze Krug
Das Thema Kreis ist als Stoffgebiet der Klasse 7 sehr gut zur
Vernetzung neuer geometrischer Inhalte mit bereits bekannten
Sachverhalten geeignet. In dem Artikel wird eine Unterrichtseinheit
vorgestellt, die sich dem Kreis zunächst ausgehend von
lebensweltlichen Erfahrungen nähert und dann durch den Ansatz der
Aufgabenvariationen das innermathematische Problemfeld dahinter
erschließt.
Kreisbilder erklären im GruppenPM 47 (2005|6) S. 17-22
puzzle - eine kommunikative Herausforderung
Susanne Prediger und Rüdiger Vernay
Das Gruppenpuzzle ist eine interessante Unterrichtsmethode zur
Initiierung eigenverantwortlichen Lernens, allerdings kann sie nur
greifen, wenn das Aufgabenmaterial und das unterrichtliche
Lernarrangement die Schülerinnen und Schüler auch in die Lage
versetzt, die ihnen zugewiesene Verantwortung tatsächlich zu
übernehmen. In diesem Artikel wird ein Gruppenpuzzle vorgestellt, in
dem Kinder sich vor der systematischen Behandlung geometrischer
Fachsprache der kommunikativen Herausforderung stellen, Konstruktionen von Kreisbildern zu erklären.
Wie hoch ist der Bodensee?
PM 47 (2005|6) S. 23-27
- Geometrische Fragestellungen in unserer Umwelt
Carsten Münchenbach
500 Jahre nach Magellans Weltumsegelung und mehr als 2000 Jahre
nach Aristoteles und Eratosthenes bezweifelt heute niemand mehr,
dass die Erde (annähernd) eine Kugel ist. Aber bisher ist es nur den
Astronauten vergönnt gewesen, die Kugelgestalt mit eigenen Augen zu
sehen. Für den Rest der Menschheit ist die Krümmung auf Grund der
Größe der Erde nur schwer wahrnehmbar. Dennoch lässt sich die
Erdkrümmung mit einfachen Beobachtungen entdecken, z. B. in
Gestalt von Schiffen, die am Meer hinter dem Horizont auftauchen
oder verschwinden.
Dieser Artikel stellt schöne und verblüffende Fragestellungen für die
Schulmathematik der Mittelstufe vor.
„Stell Dir vor“
PM 47 (2005|6) S. 28-32
- Vorstellungsübungen im Geometrieunterricht
zur Weiterentwicklung singulärer Vorstellungen
Christof Weber
Wissen in Form regulärer Vorstellungen lässt sich nicht einfach kopieren, sondern wird aus singulären Vorstellungen aufgebaut, die im alltäglichen Erleben wurzeln. In diesem Artikel werden mathematische
Vorstellungsübungen erläutert, ein Unterrichtsinstrument, welches das
Erzeugen singulärer Vorstellungen zur Methode macht. Im Klassengespräch werden diese in der Folge thematisiert und zu regulären Vorstellungen weiter entwickelt.
Kugelrunde Fundstücke
Von gekämmten Kugeln und dem
PM 47 (2005|6) S. 10
unlösbaren Problem der dichten Kugelpackungen
| Susanne Prediger
Übrigens: Kennen Sie die eckige
Quasi-Kugel | Christof Weber
PM 47 (2005|6) S. 38
Manches geht im Raum besser
| Heinz Schumann
PM 47 (2005|6) S. 41
Freie Beiträge
Dynamische Teddybären
PM 47 (2005|6) S. 33-36
Eine Einführung in Dynamische –Geometrie-Systeme
Andreas Kittel
Eine Einführung in Dynamische-Geometrie-Systeme kann Kreativität
herausfordern und gleichzeitig Erfahrungen mit dem Zugmodus liefern.
Schülerinnen und Schüler verschiedener 9. Haupt- und Realschulklassen sollten zusammenhängende Fantasiegebilde konstruieren, die
durch Zugmodus veränderbar sind. So konnten sie bei wenigen Vorgaben viele Werkzeuge und Funktionen mit Hilfe der in der Software
integrierten Hilfen selbst entdecken
Der Milchtütenwald
PM 47 (2005|6) S. 36-38
- ein vernetzendes Projekt für Klasse 5/6
Andreas Rupprecht
Potentielle und spekulative Milchtüten-Formate sind das Thema des
hier vorgestellten Projekts für die Klasse 5 und 6. Schülerinnen und
Schüler finden und basteln Ein-Liter-Quader in allen möglichen Größen
und machen dabei das Unmögliche möglich. Es entstehen ganz natürliche Verknüpfungen zahlentheoretischer und kombinatorischer Überlegungen mit einer handlungsorientierten Erfahrung zum Zusammenhang von Volumen und Oberfläche.
Diskussion
Bildungsstandards - Fluch oder Segen?
PM 47 (2005|6) S. 39
Werner Blum
Die letzte Stellungnahme zur Reihe Bildungsstandards.
Denkzettel
Hasenohren /
Der verlorene Mittelpunkt
Franz Anneser
Überlegungen zu Quadrat und Kreis.
PM 47 (2005|6) S. 42f.
S. 17
Heftthema: Schreiben – Lesen – Rückmelden – Dialogischer Unterricht
Dialogischer Unterricht
- Aus der Praxis in die Praxis
PM 48 (2006|7) S. 1-6
Reisetagebücher in Klasse 5/6
– ein Erfahrungsbericht
PM 48 (2006|7) S. 25–30
Stephan Hußmann und Peter Gallin
Winfried Euba
Die dialogische Didaktik ist aus dem Bedürfnis entstanden, Mathematik
als ein lebendiges und kommunikatives Handlungsfeld erfahrbar zu
machen. Um dies zu verdeutlichen, werden in dem Beitrag die Grundgedanken einer dialogischen Didaktik skizziert. Dabei wird insbesondere auf die Praxis eines dialogischen Unterrichts eingegangen, auf
Chancen wie auch auf drängende Fragen.
Die Arbeit mit Reisetagebüchern (Lernjournalen) ermöglicht den Lernenden ein individuelles Entdecken und Begreifen mathematischer Inhalte und ein Erforschen des Umfelds, quasi eine kleine Reise durch
die Mathematik. Der Artikel beschreibt den Versuch, dies über zwei
Jahre hinweg in einer 5. und dann 6. Klasse umzusetzen, und stellt
dies dar mit vielen Beispielen aus den Tagebüchern der Lernenden. Es
werden aber auch einige größere Probleme thematisiert, die sich bei
der Arbeit ergaben. Trotzdem soll der Beitrag Mut machen, diese Art
von Unterricht auch einmal zu wagen.
Autographen als treibende
Kraft im Mathematikunterricht
PM 48 (2006|7) S. 7-13
Peter Gallin
Dieser Beitrag soll einen Einblick geben in meine Arbeit mit einer
Gymnasialklasse des 12. Schuljahrs. Dabei soll möglichst konkret gezeigt werden, wie mein dialogischer Mathematikunterricht im Zeitraum
März-April 2005 mit der Klasse C6a an der Kantonsschule Zürcher
Oberland in Wetzikon (Schweiz) ausgesehen hat. Die Klasse C6a hat
die Schwerpunktfächer Mathematik und Physik und gehört damit zu
den Klassen, in denen man höhere Anforderungen in diesen Fächern
stellen darf. Wie so häufig in solchen Klassen, sind auch hier die
Schülerinnen stark untervertreten: Unter den 25 Lernenden gibt es nur
3 Frauen. Die Klasse hat vier Lektionen Mathematik pro Woche (eine
Lektion entspricht einer Unterrichtszeit von 45 Minuten), und zwar eine
Doppellektion am Montag und eine am Freitag. Insgesamt begleiten
wir 9 Doppellektionen.
Mit digitalen Forschungsheften
PM 47 (2006|7) S. 31–35
die Geschwindigkeit in den Griff bekommen
Stephan Hußmann
Mathematische Begriffsbildung ist bekanntlich ein schwieriger Prozess.
Aus diesem Grund werden den Schülerinnen und Schülern häufig die
fertigen Begriffe mitgeteilt. In vielen Bereichen lohnt es sich aber
durchaus mathematische Begriffe durch die Lernenden selbst entwickeln zu lassen. Dazu benötigen sie u.a. geeignete Problemsituationen
und Möglichkeiten den Begriffsbildungsprozess zu dokumentieren. Wie
dies mit Hilfe von neuen Medien gelingen kann, wir in diesem Beitrag
vorgestellt.
Freie Beiträge
Mit dem „Ich-Du-Wir“-Prinzip
PM 48 (2006|7) S. 14–19
auf dem Wege zum Dialogischen Lernen
Mit Mathematik die Sonnenfinsternis erhellen
Jan Verschraegen, Wolfgang Matschke und Carolin Gieseke
Timo Leuders
Die Orientierung an Bildungsstandards fordert von uns Lehrern Kompetenzen zu vermitteln, die sich nicht ausschließlich auf den inhaltlichen Bereich beschränken, sondern auch prozessorientierte Kompetenzen wie Argumentieren, Begründen und Modellieren mit einschließen. Die Versprachlichung von Denkprozessen ist damit wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts. Das „Ich-Du-Wir Prinzip“, das wir
in diesem Artikel vorstellen, unterstützt eine Neuorganisation der
Problemlösephasen im Unterricht und schafft Freiräume für den Dialog
zwischen Schülern und Schülerinnen.
Die Sonnenfinsternis am 29.3. 2006 ist von Zentraleuropa aus nur
partiell zu beobachten, in der Türkei aber total. Wieso ist das eigentlich
so? Wieso passt der Mond genau über die Sonne? Wie sind sie tatsächlichen Größenverhältnisse? Welche anderen Finsternisse gibt es
in unserem Sonnensystem und wie sehen sie aus? Was bedeutet
eigentlich „Bedeckungsgrad 50%“? Solche und ähnliche Fragen können aus aktuellem Anlass Schülerinnen und Schüler in Klasse 7 bis
Klasse 13 dazu anregen, die Mathematik anzuwenden, die sie in den
Jahren zuvor gelernt haben.
Erlebnisse zwischen regulärem
PM 48 (2006|7) S. 20–24
Lehrerdenken und singulärer Schülerwelt
- Erfahrungen aus der Praxis der Sekundarstufe I
Mathematisches Theater
Kinder schaffen gemeinsam ein Werk
Monica Hettrich und Katja Klee
Haben Sie schon mal erwogen, gemeinsam mit Ihren Schülerinnen
und Schülern ein mathematisches Theater zu schaffen? Von langen
Erfahrungen in Arbeitsgemeinschaften in Klasse 5/6 soll hier an einem
Beispiel zur Prozentrechnung berichtet werden.
Anhand von kurzen Einblicken in persönliche Lehrerbiographien und
Schülertagebücher zeigt der Beitrag, wie sich der Blickwinkel beim
aufmerksamen Lesen von Schülerdokumenten verändern kann: Der
ausschließlich reguläre Blickwinkel misst den Abstand eines Schülertextes zu einem vorher festgelegten Erwartungshorizont, während ein
singulärer Blickwinkel auch die Entwicklung des Lernenden wahrnimmt
und positiv bewertet. Der Wechsel der Perspektiven ist für die Lehrperson jedoch ein Lernprozess über viele Jahre, der nur im ständigen Dialog mit ähnlich denkenden Kolleginnen und Kollegen stattfinden kann.
PM 48 (2006|7) S. 35-40
PM 48 (2006|7) S. 41-44
Klaus Ulshöfer
Denkzettel
Zur Auflösungsformel für die
quadratische Gleichung ax2 +bx + c = 0
PM 48 (2006|7) S. 45-46
Peter Gallin
Eine Zusammenstellung von 14 Aufgaben führt bei Befolgung der wenigen einleitenden Anweisungen zur selbstständigen Herleitung der
Auflösungsformel für quadratische Gleichungen.
S. 18
Heftthema: Über den Tellerrand schauen - – fächerverbindender Unterricht
Über das Fach hinaus denken …
PM 48 (2006|8) S. 1-4
Astrid Beckmann und Ines Fröhlich
Die Bewältigung unseres Alltags erfordert in der Regel ein Denken,
das sich nicht nur auf ein einziges Fach bezieht, sondern fächerübergreifend ist. Auch in der Wissenschaft hat fächerübergreifendes Denken und der wechselseitige Austausch zwischen unterschiedlichen
Disziplinen schon oft zu entscheidenden Fortschritten geführt. Es ist
daher nahe liegend, fächerübergreifenden Unterricht auch in der
Schule zu fordern.
Was aber ist fächerübergreifender Unterricht? Was heißt es, andere
Fächer einzubeziehen, in welcher Form findet die Kooperation statt
und inwieweit ist dies im Mathematikunterricht realisierbar?
Pixel mathematisch – im Rahmen
eines fächerübergreifenden Projekts
PM 48 (2006|8) S. 5-11
Barbara Lang und Wolfgang Schulte-Sasse
Integration der Themen „Rationelle
PM 48 (2006|8) S. 26–30
Energienutzung“ und „Regenerative Energien“
in einem fächerverbindenden Mathematikunterricht
- Didaktisches Konzept und Aufgabenbeispiele
Astrid und Klaus Brinkmann
„Rationelle Energienutzung und regenerative Energien“ ist ein Thema,
mit dem sich die heutige Schülergeneration in besonderem Maße auseinandersetzen muss, da die notwendige Umgestaltung unseres derzeitigen Energieversorgungssystems hin zu einer zunehmend regenerativen Energieversorgung mit dezentralem Charakter einen größeren
persönlichen Einsatz jedes einzelnen erfordert, als es bei der augenblicklichen Versorgungstechnik der Fall ist. Es ist hochgradig fächerübergreifend und kann, mit geeigneter Schwerpunktsetzung, in nahezu
jedem Unterrichtsfach behandelt werden.
Speziell für den Mathematikunterricht ergeben sich realistische und
relevante Anwendungsaufgaben. Beispiele werden im Artikel vorgestellt.
Freie Beiträge
Die Bearbeitung von Pixelbildern basiert auf unterschiedlichsten Ebenen auf mathematischen Grundlagen. Die Verwendung von Pixelbildern gehört bei vielen Schülerinnen und Schülern zur Lebenswelt, so
dass sich hier eine gute Gelegenheit bietet, die Nützlichkeit von Mathematik greifbar zu machen. Dies wird in diesem Artikel anhand
zweier Aspekte beleuchtet: Das eher etwas trockene Thema des Speicherbedarfs digitaler Daten wird in Zusammenhang mit Binäruhren und
Farbtiefe anschaulich erarbeitet. Über die Farbdarstellungen kommen
wir zur mathematischen Untersuchung von Bild- und Kanalberechnungsfunktionen bei der digitalen Bildbearbeitung – eine Anwendung
der Vektorrechnung. Da Pixelbilder vielfältige Bezugspunkte zu anderen Fächern beinhalten, stellen wir die ausgeführten mathematischen
Aspekte in den Rahmen eines fächerübergreifenden Projektvorschlags.
Das Problem der Brachistochrone
im Unterricht
Bodo von Pape
Das Brachistochrone-Problem ist eine fächerübergreifende Aufgabenstellung, deren Formulierung und anschauliche Erfassung sehr einfach
ist. Auch das Ergebnis ist - als Rollkurve - gut anschaulich zu vermitteln. Die Herleitung dieses Ergebnisses allerdings stellte eine massive
Hürde dar, selbst ein Nachvollzug der Überlegungen ist Schülern nicht
zuzumuten. Hier wird ein Weg beschrieben, bei dem Schüler sich mit
Hilfe einer Tabellenkalkulation über „Knickwege“ dem Ergebnis so annähern können, dass die Kurve zweifelsfrei zu identifizieren ist.
Computerunterstütztes mathematisches
Denken
Kirnberger und Mozart schauen über
den Tellerrand in die Kombinatorik
PM 48 (2006|8) S. 12-20
Sabine Brüning
An einer Unterrichtssequenz wird vorgestellt, wie Schülerinnen und
Schüler im fächerübergreifenden Unterricht mit dem Fach Musik in die
Kombinatorik eintauchen. Mit Hilfe diverser Arbeitsmaterialien und kooperativer Unterrichtsmethoden entdecken die Schülerinnen und
Schüler selbständig die kombinatorischen Grundformeln und wenden
diese auf musikästhetische, analytische und formbildende Fragestellungen an.
PM 48 (2006|8) S. 31-34
PM 48 (2006|8) S. 35-37
Hans G. Schönwald
Von Charakterisierungen des menschlichen Denkens und des Arbeitens von Maschinen ausgehend wird versucht, die Verflechtung von
beidem zu erfassen. Dabei ist es nötig, die Sphäre des Rationalen zu
verlassen und eigentlich Unsagbares anzusprechen; psychologische
Prozesse und logische Formalisierungen werden dabei als zwei (entgegengesetzte) Seiten des mathematischen Denkens gesehen. Künstliche Intelligenz bleibt auch bei Computerunterstützung immer nur
kunstvoll veräußertes intelligentes Denken von Menschen.
Diskussion
Bildungsstandards als
Herrschaftsinstrument
PM 48 (2006|8) S. 38f.
China – Reich der Mitte
PM 48 (2006|8) S. 21–25
- Sechs Fächer – ein Thema – kein Problem
Wolfram Meyerhöfer
Mike Reblin
Als Reaktion auf unsere Diskussionsserie in 2005 erhielten wir diesen
Diskussionsbeitrag, der sich auf sehr kritische, zum Teil auch provokante Weise mit dem Thema auseinandersetzt.
Ist es möglich, dass 6 Fächer gleichzeitig ein Thema unterrichten?
In einem Erlebnisbericht wird dargestellt, dass fächerverbindender
Unterricht auch außerhalb der Projektwochen machbar ist. Zielsetzung,
Planung und konkrete Durchführung werden beschrieben, auch Startschwierigkeiten werden nicht verschwiegen.
Eines wird klar: Nur die Teamarbeit der Lehrer führt zum Ziel.
Denkzettel
Fehler in Kombinatorik und
Wahrscheinlichkeitsrechnung
PM 48 (2006|8) S. 40f.
Attila Furdek
Zwei neue Aufgaben mit widersprüchlichen Lösungsversuchen zur
Fehlersuche.
S. 19
Heftthema: Der Ball ist gar nicht rund - Interessantes und Merkwürdiges zur Fußball-Weltmeisterschaft
Der Ball ist gar nicht rund
PM 48 (2006|9) S. 1-5
- Interessantes und Merkwürdiges zur Fußball-WM
Stephan Hußmann und Timo Leuders
Die Fußball WM ist ein willkommener Anlass für aufregende mathematische Entdeckungen und anregende mathematische Tätigkeiten im
Unterricht. Zu den vielfältigen Anknüpfungspunkten zwischen Fußballspiel und Mathematik gehören u.a. die Geometrie, die Stochastik, die
Physik sowie die Ökonomie. Manche dieser Verknüpfungen ergeben
sich bei der Erfindung und Bearbeitung von Fermifragen.
Der Ball ist gar nicht rund
PM 48 (2006|9) S. 7-14
Untersuchungen zum Fußball als Anlass für handlungsorientiertes und differenzierendes Mathematiktreiben
Freie Beiträge
Fraktale zum Anfassen
PM 48 (2006|9) S. 32-37
Die Auswirkungen der Fußball-WM auf den Mathematikunterricht in
Brasilien
Christian Lanyi
Sierpinski-Tetraeder und Hausdorff-Dimension – Lehrer sind diesen
Begriffen nur während ihrer Studienzeit oder in der Fachliteratur
begegnet. In diesem Artikel wird eine Unterrichtssequenz vorgestellt, in
der Schülerinnen und Schüler bereits in der Mittelstufe mit SierpinskiTetraedern experimentierend und über Hausdorff-Dimensionen forschend interessante neue mathematische Entdeckungen machen
können.
Susanne Prediger und Albrecht Beutelspacher
Lernen mit Joker-Aufgaben
Wie ist eigentlich ein Fußball aufgebaut, und welche Strukturen lassen
sich durchs Nachbauen erkennen? Der Fußball ist als geometrisches
Objekt immer eine Untersuchung wert, weil viele spannende und typische mathematische Fragen daran gestellt werden können. Der Artikel
zeigt an einer vierstündigen Sequenz aus einer sechsten Klasse einer
integrierten Gesamtschule, dass sich viele dieser Fragen schon für
junge Schülerinnen und Schüler hervorragend fruchtbar machen lassen, um eigentätig Mathematik zu treiben, wenn handlungsorientiert
und differenzierend vorgegangen wird.
Reinhard Oldenburg
PM 48 (2006|9) S. 38f.
„Joker-Regeln“ erlauben den Lernenden, Aufgaben in bestimmten engen Grenzen abzuändern, um Arbeit zu sparen. Damit lassen sich etliche klassische (Schulbuch-)Aufgaben in einer moderaten Weise öffnen
und Reflexionen über das eigene Vorgehen initiieren.
Wozu ist ein Matheheft da?
PM 48 (2006|9) S. 39-41
Hans G. Schönwald
Torschussarithmetik
PM 48 (2006|9) S. 15-18
Taktische Berechnungen auf dem Fußballfeld
Rainer Heinrich
Ausgehend von der Diskussion über die Existenz eines maximalen
Einschusswinkels für einen Stürmer in einer konkreten Spielsituation
lösten Schülerinnen und Schüler in Klassenstufe 10 eine Extremwertaufgabe. Vom spontanen Aufgreifen der Fragestellung der Schüler
ausgehend, wurde ein Material für eine Gruppenarbeit zu trigonometrischen Betrachtungen auf dem Fußballfeld entwickelt.
Zum Mathematikunterricht gehört selbstverständlich ein Heft. Was wir
da rein schreiben, dient zunächst dem Wechselspiel mit unseren Gedanken im Kopf, dann als Erinnerungsstütze, und schließlich zur
Kommunikation. Außerdem kann es selbst ein Gegenstand für Geometrie und Kombinatorik sein.
Vom Rettungsschwimmer zum
PM 48 (2006|9) S. 41-45
Prinzip von Fermat - Neue Möglichkeiten für
fächerübergreifendes Lernen mit neuen Medien
Thilo Höfer
Ausgerechnet Costa Rica:
PM 48 (2006|9) S. 19–29
Wie man mit Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
den Fußballweltmeister vorausagen kann
Wer 2006 Weltmeister wird, steht frühestens am Ende der Weltmeisterschaft fest. Trotzdem hat es seinen Reiz und seine Gründe, nicht bis
zum Ende der WM zu warten, sondern im Vorfeld eine Prognose zu
stellen. Der Beitrag gibt Anregungen, wie sich Schülerinnen und
Schüler mathematisch mit der Frage auseinander setzen können, indem sie mathematische Modelle bilden, Wahrscheinlichkeiten berechnen oder Ausscheidungsrunden simulieren.
Der Rettungsschwimmer aus Baywatch ist ein interessanter Ausgangspunkt für ein fächerübergreifendes Unterrichtsbeispiel zum Prinzip von Fermat. Der physikalische Inhalt ist zentral und ermöglicht
gleichzeitig mathematische Erfahrungen zur Behandlung von Extremwertproblemen mit Hilfe eines grafikfähigen Taschenrechner ohne
Analysis.
Denkzettel
München leuchtet
Fragen zur Allianz-Arena
PM 48 (2006|9) S. 5f.
Interview mit Peter Neuruer
PM 48 (2006|9) S. 30f.
Das Interview führte Stephan Hußmann
Kurz vor der WM rückt der Fußball verstärkt in das öffentliche Interesse. Statistiken in den unterschiedlichsten Ausprägungen werden herangezogen, um Stärken, Schwächen und Gewinnchancen der einzelnen Mannschaften vorauszusagen. Doch nehmen diese Zahlen auch
Einfluss auf das Tagesgeschäft eines Profifußballers? Dazu befragt die
PM Peter Neururer – Trainer des Bundesligavereins Hannover 96, der
seine Kompetenzen wie folgt einschätzt: „Wenn‘s nach Fachkompetenz ginge, müsste ich Real Madrid trainieren.“
Offene Fragestellungen zum Bau der Allianz-Arena (München).
S. 20
Heftthema: Leistungen rückmelden - mehr als die persönliche Note
Leistungen fair bewerten
- Lernen individuell unterstützen
PM 48 (2006|10) S. 1-8
Birgit Smolinski, Ines Fröhlich und Thomas Stern
Wie Leistungen im Schulalltag ermittelt und bewertet werden, hat weit
reichende Rückwirkungen auf den Lernprozess, aber auch auf Lerneinstellungen und -ergebnisse. Die traditionelle Prüfungskultur bewirkt,
dass viele Schülerinnen und Schüler „für den Test lernen“ und danach
das fachliche Interesse wieder verlieren und vieles vergessen. Unterrichtsmethodische Neuerungen, die von einem erweiterten Lernbegriff
ausgehen und neben fachlichen Prioritäten auch selbstständiges Lernen und Gruppenarbeit betonen, können sich daher nur dann durchsetzen, wenn sie auch von adäquaten Überprüfungsverfahren begleitet
werden, die sich für Lerndiagnose und individuelles Feedback eignen
und nicht unbedingt in Form einer Note erfolgen müssen.
Bewertung offener Aufgaben
PM 48 (2006|10) S. 27–30
Angelika Perlich
„Solche offenen Aufgaben machen Spaß, aber das ist ja auch nicht
richtig Mathe“, ist eine vielgeäußerte Meinung von Schülern, wenn offene Aufgaben im Unterricht bearbeitet werden. Das mag damit zusammenhängen, dass bei offenen Aufgaben nicht die herkömmlichen
Bewertungskriterien gelten – richtige Rechnung, volle Punktzahl. Offene Aufgaben werden deshalb bislang selten in Klassenarbeiten eingesetzt und haben so in den Augen der Schüler kaum Relevanz für
den Mathematikunterricht.
Der folgende Beitrag zeigt, wie mit einem überschaubaren Aufwand
Bewertungsschemata für die Lösung offener Aufgaben erstellt werden
können.
Freie Beiträge
Stärken (und Schwächen) bewusst
PM 48 (2006|10) S. 9-13
machen – mathematische Kompetenzen differenziert rückmelden
Jana Risse
Mathematische Kompetenzen sind sehr vielfältig: argumentieren, modellieren, Probleme lösen, darstellen, Operationen ausführen, ... Jeder
Schüler hat innerhalb dieses Spektrums seine ganz individuellen Stärken und Schwächen. Wie können wir diese den Schülern bewusst machen? In diesem Beitrag wird eine Möglichkeit der differenzierten
Rückmeldung mathematischer Kompetenzen vorgestellt.
Schülerinnen und Schüler auf der
PM 48 (2006|10) S. 14-19
Suche nach lohnenden Mathematikaufgaben
Thomas Stern
Leistungsbewertung soll das Lernen fördern und brauchbare Informationen für Lehrende und Lernende liefern. Dazu ist zweierlei nötig:
möglichst vielfältige Formen der Überprüfung (nicht nur Klassenarbeiten und Bankfragen), und ein förderliches Feedback für die
Lernenden. In diesem Artikel geht es um Methoden, bei denen die
Schülerinnen und Schüler zur selbstständigen Auseinandersetzung mit
Mathematik angeregt werden, indem sie etwa bewerten, welche
Aufgaben sie interessant finden und welche nicht, und das auch
argumentativ begründen, oder indem sie Mathematikaufgaben selbst
erfinden. Solche Schülerleistungen sind oft originell und ermöglichen
wertvolle Einblicke in ihr mathematisches Verständnisniveau. Darauf
eine persönliche Lehrerrückmeldung – mündlich oder schriftlich - zu
geben, ist wesentlich ergiebiger als bei üblichen Testaufgaben, deren
Lösung vorgegeben und für alle gleich ist.
Kognitiv anspruchsvoll unterrichten
PM 48 (2006|10) S. 31-36
und Freude am Lernen vermitteln – kein Gegensatz!
Alexander Jordan & Christian Wagner
Der Beitrag zeigt am Beispiel einer hochgradig offenen und realitätsbezogenen Aufgabe, wie Schülerinnen und Schüler kognitiv angeregt
werden und zugleich Freude am Bearbeiten von Mathematikaufgaben
haben. Die gewählte Aufgabe wird auf ihre Qualitätsmerkmale analysiert und es wird der Umgang von Lehrerinnen und Lehrern in unterschiedlichen Klassen mit der Aufgabe beschrieben.
„Ich weiß das ganz sicher …“
PM 48 (2006|9) S. 36-38
Kritischer Umgang mit Zeitungsmeldungen – auch in der Klassenarbeit
Ulrich Brauner
Das Arbeiten mit Zeitungsartikeln im Unterricht fördert Rechenfertigkeiten und kritische Haltung zugleich. Der Beitrag beschreibt, wie Zeitungsartikel in einer 6. Klasse sowohl im Unterricht als auch in der
Klassenarbeit verwendet wurden.
Diskussion
Standards für Leistungsbewertungen!?
PM 48 (2006|10) S. 39-41
Thomas Stern
Bildungsqualität wird in Zukunft anhand von Standards gemessen.
Damit sind Normen oder Richtlinien gemeint, in erster Linie für die
Lernergebnisse, die von den Schülerinnen und Schülern erwartet werden. Aber was spricht eigentlich dagegen, Standards auch dafür festzulegen, was die Schule dazu beiträgt, gute Lernergebnisse zu erzielen? Etwa durch leistungsfördernde Bewertungsverfahren?
Fehler im Unterricht – aus Fehlern
PM 48 (2006|10) S. 20–26
lernen (Rückmeldungen und Erkundungen zu Klausurbewertungen)
Carsten Rathgeber
Denkzettel
Wer lernt und arbeitet, der macht Fehler. Unser Umgang mit Fehlern
entscheidet mit darüber, ob ein Mensch für seine weitere Zukunft lernen kann. Dies ist gerade bedeutsam für ein Leben in einer Welt, die
unabgeschlossen ist. Der Fehler ist weder zu bagatellisieren, noch zu
überhöhen. Durch eine bewusste und kreative Betrachtung und Reaktion kann ein Lernen eingeleitet werden, das zu einem engagierten und
selbstbewussten Leben führen kann. In diesem Text werden Anregungen für einen Umgang mit Fehlern im alltäglichen Unterricht gegeben,
durch den der Lernende zu einer bewussten und aktiven Entwicklungshaltung angeregt werden soll.
„Null-Wirkung“ (Aufgabenvariationen)
PM 48 (2006|10) S. 41-43
Ines Fröhlich und Birgit Smolinski
Der Denkzettel zeigt einen möglichen Ansatz, die Schülerinnen und
Schüler an Aufgabenvariationen heranzuführen, die zum einen kritisches, folgerichtiges und gründliches Denken schulen und zum anderen Ideenreichtum, Beweglichkeit und Phantasie erfordern.
S. 21
Heftthema: Unzählig viele Zahlen: Zahlenbereiche erweitern – Zahlvorstellungen wandeln
Unzählig viele Zahlen: ZahlenPM 48 (2006|11) S. 1-7
bereiche erweitern – Zahlvorstellungen wandeln
Lisa Hefendehl–Hebeker und Susanne Prediger
Der Aufbau des Zahlensystems von den natürlichen bis zu den
komplexen Zahlen ist eine Kulturleistung von höchster Perfektion, die im Unterricht der Sekundarstufe durch sukzessive Erweiterung der Zahlbereiche nachvollzogen wird. Aus der Perspektive der Lernenden zeigen sich dabei Herausforderungen
und Hürden, die nur durch gewandelte Zahlvorstellungen zu
überwinden sind. Der Artikel sensibilisiert für Hürden und zeigt
Wege zu ihrer Überwindung auf.
Vorstellungen zum Operieren mit PM 48 (2006|11) S. 8-12
Brüchen entwickeln und erheben – Vorschläge für vorstellungsorientierte Zugänge und diagnostische Aufgaben
Susanne Prediger
Tragfähige Vorstellungen müssen nicht nur zum Bruchbegriff
selbst, sondern auch zu allen Operationen mit Brüchen aufgebaut werden. Dafür lohnt es sich, den inhaltlichen Kerngedanken in den Mittelpunkt zu rücken und nicht die nachträgliche
Deutung eines formalen Verfahrens. Im Artikel werden dazu
Vorschläge zusammengestellt und Aufgaben für eine alltagstaugliche Diagnostik angeboten.
Vollständigkeit und Irrationalität PM 48 (2006|11) S. 29–32
- ein schwieriges Geschäft
Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel
Mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen ist es ein Kreuz. Sie
ist in der Sache unverzichtbar für den Analysisunterricht, aber
niemand will mit ihr etwas zu tun haben. Wir beschreiben das
Problem und machen einen konstruktiven Vorschlag.
Freie Beiträge
Der Zweite gewinnt immer!
PM 48 (2006|11) S. 34-39
Heinz Klaus Strick
Die Spielregel für ein Spiel mit einer Münze lautet wie folgt:
Zwei Spieler setzen auf eine bestimmte Folge von drei Münzwürfen. Der Spieler, dessen gewählte Münzwurffolge als erste
auftritt, gewinnt die Spielrunde. Obwohl jede der acht möglichen Kombinationen des dreifachen Münzwurfs die gleiche
Wahrscheinlichkeit hat, sind die Chancen des zweiten Spielers
zu gewinnen immer größer als die des ersten Spielers – wenn
sich der zweite Spieler eine zur Wahl des ersten Spielers passende Kombination auswählt. Im Beitrag wird das paradox erscheinende Phänomen durch Berechnungen über Wahrscheinlichkeiten erklärt, außerdem werden Mittelwerte über die
Dauer solcher Spiele bestimmt und Möglichkeiten der Simulation des Spiels erläutert. Das Spiel eignet sich auch zur Einführung in das Thema Markow-Ketten.
PM-Fundstücke
Negative Zahlen - positiv erleben! PM 48 (2006|11) S. 13-21
– Eine Lernwerkstatt zur Einführung der negativen Zahlen
Bärbel Barzel und Marcel Eschweiler
Im Rahmen einer Lernwerkstatt lernen die Schülerinnen und
Schüler unterschiedliche Zugänge zu negativen Zahlen kennen. Verschiedene Spielsituationen sowie verschiedene Kontexte regen die Schülerinnen dazu an, ihre Vorstellungen von
Zahlen einzubringen, sie gegebenenfalls zu verändern und zu
erweitern.
Statistiken machen das Leben süß
PM 48 (2006|11) S. 33
Timo Leuders
Während unseres Lebens gehen wir … km zu Fuß; … essen
wir … kg Schokolade; etc. – „Wie kommt man darauf?“ und
andere Fragen.
Wer ist hier blöd?
PM 48 (2006|11) S. 48
Karl Reichmann
Der neue Flat-Fussball vom MediaMarkt?
„Irre oder irrationale Zahlen“
PM 48 (2006|11) S. 22–28
- ein Stationenzirkel zum Einstieg
Bärbel Barzel und Lisa Hefendehl-Hebeker
Das Irrationale als die Idee des Unendlichen im Endlichen
nahe bringen – das ist das Ziel des hier vorgestellten Materials
zum Einstieg in die irrationalen Zahlen. In einem Stationenzirkel können Schülerinnen und Schüler dazu Erfahrungen machen, indem sie unendliche Zahlenfolgen, Wurzeln, die Kreiszahl π und den Goldenen Schnitt erkunden.
Denkzettel
Drei Dreieckskonstruktionen
PM 48 (2006|11) S. 40
Attila Furdek
Drei Dreieckskonstruktionen – und welche ist richtig?
Weltrekord für das Schreiben von
PM 48 (2006|11) S. 42
Zahlen in Worten
Timo Leuders
Wenn Exzentriker exakt zählen – sollten Schülerinnen und
Schüler überschlagen.
S. 22
Heftthema: Fit in Form - Produktives Üben in der Geometrie
Produktives Üben im Geometrieunterricht
PM 48 (2006|12) S. 1 - 7
Timo Leuders und Gerald Wittmann
Die vielfältigen Konzepte produktiven Übens tragen auch im Geometrieunterricht der Sekundarstufe. Ausgehend von verschiedenen Zielfeldern des Übens wird an konkreten Aufgabenbeispielen gezeigt, wie
Übungsphasen so gestaltet werden können, dass alle Schülerinnen
und Schüler davon profitieren.
Differenzierendes Übern mit offenen
PM 48 (2006|12) S. 8-12
Aufgaben - Wie Schülerinnen und Schüler anhand des isoperimetrischen Problems Geometrie- und Algebrakenntnisse vernetzen und
produktiv festigen können
Andreas Stahel
Üben findet vielfach noch undifferenziert und lehrerzentriert im
Klassenverband nach dem Motto „Alle üben alles“ statt. Mit geeigneten
offenen Übungsaufgaben kommt man aber einerseits weg von der
Fremdbestimmtheit durch die Lehrperson oder ein Lehrmittel und
andererseits hin zu einer natürlichen Binnendifferenzierung, bei der
sich alle Schülerinnen und Schüler entfalten und sogar kreativ
betätigen können. Die vorgelegte Aufgabe „Einzäunen mit Verstand
und Mathe“ verfolgt den Zweck, erworbene Kenntnisse aus der
Geometrie und Algebra des 8. und 9. Schuljahres zu wiederholen, zu
festigen und zu vernetzen. Zudem bietet sie die Möglichkeit, sich
ausführlich mit dem grundlegenden Konzept des Optimierens vertraut
zu machen.
Kopfgeometrie im Lernzirkel
PM 48 (2006|12) S. 26-31
Thomas Royar und Christine Streit
Kopfgeometrische Übungen fördern das Vorstellungsvermögen und
den Umgang mit geometrischen Begriffen bzw. Konzepten. Meist
werden sie durch die Lehrkraft moderiert. In diesem Artikel wird
dargestellt, wie kopfgeometrische Aufgaben in einen handlungsorientierten Übungszirkel integriert werden können, mit dem übergeordneten Ziel, dass Schülerinnen und Schüler selbstständig
produktiv üben und sich dabei gegenseitig unterstützen können.
Insofern handelt es sich bei dem Konzept um eine methodische
Erweiterung der „5-Minuten-Kopfgeometrie“.
Produktives Üben des räumlichen
PM 48 (2006|12) S. 32-36
Vorstellungsvermögens – virtuelle Räume neu entdecken
Reinhold Haug
Schülerinnen und Schüler aller Schulformen können ab der 5. Klasse
ihr räumliches Vorstellungsvermögen in einer produktiven Lernumgebung schulen. Dabei verwenden sie sowohl die Software BAUWAS,
die das mentale Manipulieren räumlicher Würfelkonfigurationen
erlaubt, als auch einen Satz realer Würfel.
Freie Beiträge
Proportionalität selbst erarbeiten
PM 48 (2006|12) S. 37-41
– ein kompetenzorientierter und integrierter Ansatz
Matthias Römer
Wann geht’s noch? Wann geht’s
PM 48 (2006|12) S. 14-20
nicht mehr? Durch operatives Üben trigonometrische
Zusammenhänge verstehen
Michael Marxer und Thilo Schmid
Unter welchen Voraussetzungen wird eine Aufgabenstellung unlösbar?
Wo ist der Grenzfall? Derartige Überlegungen laden dazu ein, die
Beziehungen zwischen den beteiligten Größen zu untersuchen und
führen zu einem tieferen Verständnis für die mathematischen
Zusammenhänge. Der Beitrag beschreibt dieses Vorgehen an
Beispielen aus der Trigonometrie.
Dreiecksformen – Horizonterweiterung PM 48 (2006|12) S. 21-25
durch operatives, entdeckendes und produktive Üben
Jürgen Roth
Damit Schülerinnen und Schüler die Fähigkeit entwickeln, mit den hier
unter dem Stichwort Dreiecksgrundformen zusammengefassten
grundlegenden Begriffen „gleichschenkliges“, „gleichseitiges“, „rechtwinkliges“, „spitzwinkliges“ und „stumpfwinkliges Dreieck“ flexibel
arbeiten und Probleme lösen zu können, müssen sie sich intensiv und
selbsttätig damit auseinandersetzen. Die hier vorgestellte, auf
dynamischen Arbeitsblättern basierende, gestufte Übungssequenz
wurde im Sinne des operativen, entdeckenden und produktiven Übens
konzipiert und bereits mehrfach erfolgreich in 7. Klassen im Unterricht
erprobt.
Zu proportionale und antiproportionalen Zuordnungen können Schemata eingetrichtert werden – oder Schülerinnen und Schüler erarbeiten
sich die wichtigsten Konzepte und Strategien zu Proportionalität und
Antiproportionalität in einer kompetenzorientierten und integrierten Unterrichtseinheit selbst. Der Artikel zeigt, wie auf diese Weise nachhaltig
gelernt und zum Aufbau prozessbezogener Kompetenzen auch in einem klassischen Kalkül-Thema beigetragen werden kann.
Sperrige Extremwertaufgaben in
Leistungsüberprüfungen mit CAS
PM 48 (2006|12) S. 42-43
Henrik Kratz
Der Beitrag gibt Beispiele für Extremwertaufgaben, die für Leistungsüberprüfungen mit CAS geeignet sind. Schülerinnen und Schüler
verwenden den Computer dabei gezielt als heuristisches Werkzeug.
Zudem werden in den Beispielaufgaben die Gebiete Analysis, Lineare
Algebra und Stochastik miteinander vernetzt.
Fundstücke
Ein Origami-Dodekaeder-Kalender
PM 48 (2006|12) S. 7
Gefunden von Timo Leuders
Ein Kalender für 2007 zum Selberbauen (in Falttechnik).
Denkzettel
Produktives Üben von GrößenvorPM 48 (2006|12) S. 45-46
stellungen - Stadt - Land - Fluss, einmal anders …
Timo Leuders
Eine Spielanleitung.
S. 23
Heftthema: Und es gibt sie doch! - Nützliche Mathematik
Freie Beiträge
Und man braucht sie doch!
PM 49 (2007|13) S. 1-9
Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen
Katja Maaß
Jos Bertemes
Mathematik braucht man im Leben. Dieser Überzeugung sind viele
Menschen. Doch wo eigentlich? Und wie vermittelt man diese Nützlichkeit überzeugend im Unterricht? Dieser Aufsatz zeigt, in welchen
Bereichen Mathematik nützlich ist - beim Rechnen im Alltag, zum
Kommunizieren, zum kritischen Hinterfragen von mathematikhaltigen
Informationen und um Einblick in weitere Lebens- und Berufsbereiche
zu erhalten – und belegt dies mit zahlreichen Beispielen.
Essen und Rechnen
PM 49 (2007|13) S. 10-13
Wie Mathematik zur richtigen Ernährung beitragen kann
Reinhard Oldenburg
Perspektiv- und Lernortwechsel spielen eine wichtige Rolle beim Aneignen von Problemlösekompetenz und beim Festigen von Kenntnissen und Fertigkeiten.
Im Beitrag wird eine solche Unterrichtssituation dargestellt: Schülerinnen und Schüler müssen eine Figur, die aus Teilen von Funktionsgraphen besteht, auf den Schulhof übertragen. Dabei entdecken und lösen sie vielfältige Probleme, die sich aus der ungewohnten Darstellungsform ergeben.
Serie
Blick über den Zaun: Finnland
Natürlich kann man auch gut essen, ohne zu rechnen. Wer sich aber
vernünftig und ausgewogen ernähren will, wird um die eine oder andere mathematische Überlegung nicht herumkommen. Zwischen Burgern, fit-for-fun und Schlankheitswahn einen Weg zu vernünftiger Ernährung zu finden, stellt Schüler und Schülerinnen auch vor mathematische Probleme.
Nützliche Mathematik am Bau
Nazca-Linien auf dem Schulhof
PM 49 (2007|13) S. 37-40
– Funktionsgraphen nicht nur im DIN-A4-Format
PM 49 (2007|13) S. 41-44
Dietmar Meyer
Dietmar Meyer (Jg. 1968) ist Lehrer für Mathematik und Deutsch. Von
2001 bis 2006 unterrichtete er an der Deutschen Schule Helsinki. Davor arbeitete er als pädagogischer Mitarbeiter am Landesinstitut für
Schule in Soest und ist Mitautor verschiedener Texte zur Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts. Zurzeit unterrichtet er am Gymnasium Ulricianum in Aurich.
PM 49 (2007|13) S. 14-19
Matthias Ludwig
Fundstücke
Im Artikel wird an typischen und einfachen Tätigkeiten in Handwerksberufen die Nützlichkeit und Wirksamkeit von Mathematik in diesem
Bereich aufgezeigt. Auch wenn dieses Wissen in den meisten Fällen
von den Handwerkern nur algorithmisch oder reproduktiv angewendet
wird, so gibt es doch Situationen, in denen mathematisches Wissen
explizit in Problemlöseprozessen eingesetzt werden kann. Der Aufsatz
zeigt auf, wie dies aussehen kann.
Die magische Zauberkugel
PM 49 (2007|13) S. 44
Gefunden von Reimund Albers
Ein kleines Zauberkunststück mit mathematischem Hintergrund.
Denkzettel
„Geld weg – Arzt weg!“
Was ist dran am Ärzteprotest?
PM 49 (2007|13) S. 20-26
Andreas Eichlert
Verdienen Ärzte nicht genug Geld? Die Daten, die wir in der Presse
erfahren, reichen meist nicht aus, um sich eine fundierte Meinung zu
bilden. Schülerinnen und Schüler müssen fehlende Angaben rekonstruieren, zwischen verschiedenen Mittelwerten unterscheiden und lernen dabei, kritisch mit statistischen Angaben umzugehen.
Wer wählte Hitler?
PM 49 (2007|13) S. 27-36
Mathematik hilft beim Interpretieren von Statistiken
Michael Marxer
Eine wichtige Leistung der Mathematik ist, durch Aufbereitung von
Daten eine Sachlage so transparent zu machen, dass Hypothesen
formuliert oder Entscheidungen gefällt werden können. Sie kann damit
zur kritischen Haltung eines mündigen Bürgers beitragen.
Wie vielfältig Interpretationen von Daten trotz eindeutiger Ausgangslage sein können zeigt sich am Beispiel der Auswertung von Wahlergebnissen, hier unter der Fragestellung: Wer wählte Hitler? Die Wählerwanderungen in der Weimarer Republik sollen dazu exemplarisch
betrachtet werden.
Manhattan für’n Appel und ’n Ei
PM 49 (2007|13) S. 45-46
- Textaufgabe und Lernaufgabe zu einem klassischen Thema
Timo Leuders und Susanne Prediger
Haben die Indianer vor 383 Jahren einen fairen Preis für Manhattan
bekommen, wenn man ihn an heutigen Grundstückspreisen miss?
S. 24
Heftthema: Gut – besser – am besten: Mit Strategien optimieren
Freie Beiträge
Gut – besser – am besten
- Optimieren überall
PM 49 (2007|14) S. 1 - 6
Wie viele 4x4-Sudoku gibt es?
PM 49 (2007|14) S. 30-33
Anlässe zum Problemlösen und Argumentieren ab Klasse 5
Stephan Hußmann
Stefan Halverscheid
Im Alltag begegnen einem immer wieder Situationen, in denen etwas
optimiert werden muss. Doch wie findet man das Optimum am besten?
Funktionales Denken, Modellieren und Problemlösen gehören zu den
zentralen mathematischen Kompetenzen, die hier gefordert sind und
durch Optimierungsprobleme weiter gefördert werden. Der Einführungsartikel zeigt an einigen Beispielen, wie und wann Optimierungsprobleme gewinnbringend im Mathematikunterricht eingesetzt werden
können.
Achtung Kröten!
PM 49 (2007|14) S. 7-11
- Welchen Sinn haben Geschwindigkeitsbeschränkungen?
Rainer Heinrich
Berichtet wird von einer Lernsituation, in der Schülerinnen und Schüler
der 10. Klasse ausgehend von der Diskussion über Geschwindigkeitsbegrenzungen wegen Krötenwanderungen nach optimalen Geschwindigkeiten für Fahrzeuge in Krötengebieten suchen. Die offene Aufgabenstellung ermöglicht auch ohne Erreichen optimaler Lösungen eine
intensive Beschäftigung mit mathematischer Modellierung und mit Optimierungsprozessen.
Optimaler Spielplatz gesucht!
PM 49 (2007|14) S. 12-14
Nicole Roth-Sonnen
In diesem Beitrag wird am Beispiel der Suche nach einem optimalen
Standort für einen Spielplatz die Auswirkungen unterschiedlicher Modellannahmen auf das Optimum thematisiert. Die Lernenden nutzen
den Computer sowohl für algebraische als auch für geometrische Lösungswege.
Günstig tanken – nur wo?
- Die Suche nach dem optimalen Modell
PM 49 (2007|14) S. 15-22
Wie viele Sudoku-Rätsel gibt es? Und warum sind das wirklich alle?
Diese Fragen sind für das Original der 9x9-Sudoku schwierig zu beantworten. Wenn man sich aber auf eine 4x4-Version von Sudoku-Rätseln bezieht, können Fünftklässler der Frage nach der Anzahl der
möglichen 4x4-Tableaus problemlösend und argumentierend nachgehen. Die Aufgabenstellung lässt Schülerinnen und Schülern mit unterschiedlichen Denkstilen die Freiheit, eigene Lösungswege zu beschreiten.
Serie
Blick über den Zaun: Kanada
PM 49 (2007|14) S. 34-39
Oh wie schön ist Kanada !? - „Problem Solving“ im kanadischen
Mathematikunterricht als Anregung für einen problemorientierten Unterricht in Deutschland
Melanie Bolzen
Melanie Bolzen (Jg. 1982) hat während ihrer Studienzeit an der Pädagogischen Hochschule in Freiburg ein achtmonatiges Auslandsstudium
in Toronto absolviert und dabei Unterricht an einer Public School erlebt
und gestaltet. Sie beschreibt die Stellung des Problem Solving im kanadischen Mathematikunterricht.
Denkzettel
Viele Wege führen aus Rom
- ein Plädoyer für Brainstorming
PM 49 (2007|14) S. 40-43
Attila Furdek und Matthias Benkeser
In der Schulpraxis kommt es nicht selten vor, dass für viele Aufgaben
bestimmte Lösungsmethoden vorgegeben oder erwartet werden. Die
Schülerinnen und Schüler lernen zwar viele Aufgabenarten richtig zu
lösen aber sie haben nicht gelernt, wie man an Aufgaben herangeht,
wenn man mal kein Lösungsverfahren zur Hand hat.
Hier soll gezeigt werden, dass es auch anders geht: Der Lehrer konfrontiert die Klasse mit einer neuen Aufgabe und fordert sie auf, möglichst viele Ideen zu finden, wie man die Aufgabe angehen könnte.
Gilbert Greefrath und Heinz Laakmannt
Für Optimierungsprobleme aus der Realität muss vor der Optimierung
ein mathematisches Modell entwickelt werden. Wird dann mit diesem
Modell weitergearbeitet, kann die Lösung des Optimierungsproblems
sehr stark von der gewählten Modellierung abhängen. Schülerinnen
und Schüler der Jahrgangsstufe 8 in der Sekundarstufe I können diesen Zusammenhang in dem hier vorgestellten Gruppenpuzzle selbst
erleben.
Können Hunde Mathematik?
PM 49 (2007|14) S. 23-29
- Wie Schüler einem vierbeinigen Optimierer auf die Schliche kommen
Findet ein Hund tatsächlich den optimalen Weg, einen ins Wasser geworfenen Gegenstand zu apportieren? Im Beitrag werden sowohl das
zugehörige Optimierungsproblem mathematisch dargestellt als auch
die Fragen diskutiert, die diese ungewöhnliche Fähigkeit von Hunden
betreffen. Dabei werden vielfältige Möglichkeiten der Behandlung dieses Problems im Unterricht angeregt.
Auf dem kürzesten Weg von Insel
zu Insel - Brückenbau der Algolaner
PM 49 (2007|14) S. 43-45
Stephan Hußmann
Das Brückenbauprojekt der Algolaner ist ein schönes Beispiel dafür,
wie Problemlösen, Modellieren und Argumentieren im Rahmen einer
Optimierungsaufgabe zum Tragen kommen. Auf der Suche nach dem
kürzesten Weg probiert man einfach los. Der Vergleich der ersten Lösungsansätze veranlasst dazu, das Vorgehen zu variieren und Schritt
für Schritt sich der besten Lösung zu nähern.
S. 25
Heftthema: Schülerleistungen verstehen: Diagnose im Alltag
Freie Beiträge
Schülerleistungen verstehen
- Diagnose im Alltag
PM 49 (2007|15) S. 1-8
Stephan Hußmann, Timo Leuders und Susanne Prediger
Immer wieder wird die Bedeutung diagnostischer Kompetenz von Lehrerinnen und Lehrern hervorgehoben. Aber was genau soll im Mathematikunterricht diagnostiziert werden und wie? Im Artikel werden Vorschläge für eine Erweiterung des Diagnoserepertoires im Mathematikunterricht gemacht.
Standortbestimmungen
PM 49 (2007|15) S. 9-13
- Leistungsfeststellung als Grundlage individueller Förderung
Glatteis und Mathematik
PM 49 (2007|13) S. 30-37
Realitätsbezogene Probleme aus der niederländischen Oberstufe!
Timo Leuders und Matthias Lippert
Auch jenseits der unmittelbaren Anwendung im Alltag, durchdringt
Mathematik unser Leben und erweist sich als nützlich für die Gesellschaft. Das Optimieren eines Streuplanes bei Glatteis ist eine Gelegenheit, bei der Schülerinnen und Schüler (auch aus Grundkursen)
erleben, wie sie ihre Mathematikkenntnisse der Mittelstufe zur Lösung
authentischer und komplexer Probleme einsetzen können. Die vorgestellte Aufgabe stammt aus dem Fundus niederländischer Aufgaben
zur „Realmathematik“.
Stephan Hußmann und Christoph Selter
Als Lehrender muss man klare Vorstellungen von den Zielen des Unterrichts haben. Ebenso wichtig ist es, einen Überblick über die unterschiedlichen Wissens- und Könnensstände der einzelnen Schülerinnen
und Schüler zu erlangen, z. B. mit Hilfe von Standortbestimmungen.
Sie stellen eine Grundlage individueller Förderung dar und leisten so
einen unmittelbaren Beitrag zur Steigerung der Unterrichtsqualität.
„ … weil meist nur ich weiß,
PM 49 (2007|15) S. 14-18
was ich kann!“ – Selbstdiagnose als Beitrag zum eigenverantwortlichen Lernen
Jutta Fernholz und Susanne Prediger
Wer Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen will, muss
selbst Bewusstheit darüber erlangen, was er schon kann, und wo es
Weiterentwicklungsbedarf gibt. Der Artikel berichtet über die Ritualisierung von Selbstdiagnose und deren Effekte für Prozesse der Sicherung von Basiswissen und –können in zwei Klassen 6 und 7.
Serie: Blick über den Zaun
Mathematik in den Niederlanden
PM 49 (2007|15) S. 38-42
Bernd Westermann und Timo Leuders
In diesem Blick über den Zaun zu unseren direkten Nachbarn werden
verschiedene Aspekte, die den niederländischen Mathematikunterricht
auszeichnen, beschrieben, wie z. B. der Einsatz realitätsorientierter
Aufgaben – auch im Examen – sowie Verfahren selbstständigen Arbeitens.
Bernd Westermann ist Fachberater bei der Bezirksregierung in Düsseldorf und Redakteur des www.Mathe-treff.de. Er hat in vielen Vorträgen in ganz Deutschland über den niederländischen Unterricht berichtet.
Denkzettel
Das Validieren diagnostizieren
PM 49 (2007|15) S. 42-44
- Ein genauer Blick auf eine wichtige Teilkompetenz beim Modellieren
Gilbert Greefrath
Schatzsuche statt Fehlerfindung
- Diagnoseaufgaben selbst erstellenl
PM 49 (2007|15) S. 19-22
Ulrich Brauner
Der Artikel berichtet aus einem Projekt zur Diagnose aus SinusTransfer in Nordrhein-Westfalen. Lehrerinnen und Lehrer aller Schulformen haben gemeinsam Diagnoseaufgaben entwickelt und in der
Praxis erprobt.
„Der denkt irgendwie anders als ich“
PM 49 (2007|15) S. 23-29
- Spuren kognitiver Strukturen in Schüleräußerungen
Christa Kaune
Forschungen haben gezeigt, dass es individuell stabile Vorlieben gibt,
wie Menschen sich etwas im Kopf zurecht legen. Dieses bezieht sich
nicht nur auf mathematisches Denken. Der Artikel stellt die Unterscheidung zwischen funktionalen und prädikativen Denkstrukturen als
wichtigen Diagnoseaspekt vor, konkretisiert ihn an vielen Beispielen
und gibt Hinweise für einen diesbezüglich sensiblen Mathematikunterricht.
Der Denkzettel enthält zwei Aufgaben mit Realitätsbezügen, bei denen
kein ganzer Modellierungskreislauf durchlaufen werden muss, sondern
mögliche mathematische Modelle für die reale Situation bereits vorgegeben sind. Zwar könnte man durch Weglassen dieser Vorgaben auch
umfassendere Modellierungsaufträge daraus machen, doch soll hier
gezielt auf eine spezifische Teilkompetenz des Modellierens fokussiert
werden, das Validieren.
S. 26
Heftthema: Kunstvoller Mathematikunterricht
Kunstvoller Mathematikunterricht
- Mathematikvolle Kunst
PM 49 (2007|16) S. 1 - 7
Konkrete Kunst für konkrete MathePM 49 (2007|16) S. 30 - 33
matik – Was man von der Kunst lernen kann
Ines Fröhlich und Birgit Smolinski
Anke Debertshäuser und Konstanze Krug
Die übliche Sicht der Fächer Kunst und Mathematik scheint durch zwei
gegensätzliche Weltsichten getragen zu sein: Schönheit versus Rationalität, Phantasie versus Abstraktion. Der Beitrag soll aufzeigen, dass
die Gegensätze gar nicht so ausgeprägt sind. Durch die thematische
Verbindung von Mathematik und Kunst im Unterricht zeigen wir Möglichkeiten auf, wie Schülerinnen und Schüler in der Kunst Mathematik
entdecken und mit diesen Erfahrungen wiederum ihre Kreativität entwickeln und eigene Kunstwerke schaffen. Auf diese Weise wird die
Mathematik zum ästhetischen Erlebnis auf eine Weise, die in der Regel im Mathematikunterricht zu kurz kommt.
Gibt es Kreativität nur in der Kunst, oder kann man das auch in den
Mathematikunterricht tragen? Wir beschreiben in unserem Unterrichtsbeispiel wie wir uns auf den Weg gemacht haben. Neben der Sicherung des Grundwissens, suchen wir nach Wegen, die Schülerinnen
und Schüler zum kreativen Arbeiten zu befähigen.
Mit Mathematik im Bilde
PM 49 (2007|16) S. 8 - 16
Mechthild Heimann und Ulfried Weingarten
„Das Anwenden von Wissen und Fähigkeiten in verschiedenen Kontexten bewirkt ein tieferes Verständnis, da man hier weitere Anknüpfungspunkte bzw. eine breitere Basis für sein Wissen und seine Fähigkeiten findet.“(Ludwig 2003) Eine Fünftklässlerin formulierte es bei uns
einmal so: „Man sieht, was die Mathematik mit der Welt zu tun hat.“
Wir unterrichten seit mehr als 6 Jahren an unserer Schule ganzjährig
gemeinsam das Fach MatheKunst. Aus dieser Zeit werden hier zwei
Unterrichtsreihen vorgestellt.
In Klasse 5 können Kreise mit Farbenlehre ein Abenteuer werden. –
„Who’s Afraid of Red, Yellow and Blue?“ (Barnett Newman) - : das war
die Frage bei einem Pentominospiel in einer 8. Klasse. Mithilfe farblicher Visualisierung entwickelten die Schülerinnen und Schüler selbstständig Problemlösestrategien und „produzierten“ gleichzeitig Bilder
zum Thema.
Einfache Ideen mit Tiefgang:
Max Bill im Mathematikunterricht
PM 49 (2007|16) S. 17 - 21
Franz Anneser
Die Werke des wichtigsten Vertreters der „Konkreten Kunst“ können
Kinder jeder Altersstufe faszinieren und zu mathematischen Betrachtungen anregen. Wichtig dabei ist vor allem, dass man ihnen genug
Zeit gibt, dabei auch eigene Wege zu gehen. Am Beispiel von Bildern
von Max Bill werden zwei Möglichkeiten vorgestellt, wie Schülerinnen
und Schüler Mathematik nutzen können, um die Erzeugungsmechanismen von Kunstwerken offen zu legen und zur Generierung eigener
Kunstwerke zu verwenden.
Freie Beiträge
Musikalische Grundphänomene
PM 49 (2007|16) S. 34 - 37
mathematisch beschreiben - Anregungen für einen fächerübergreifenden Unterricht Musik-Mathematik-Physik
Hans-Stefan Siller und Angela Siller
Schülerinnen und Schüler arbeiten an Stationen experimentell und mit
mathematischen Beschreibungen grundlegender musikalischer Phänomene, wie z.B. den Intervallen, dem Dopplereffekt und der Schallintensität. Beigefügte und in der Praxis erprobte Arbeitsblätter sollen helfen, einen fächerübergreifenden Unterricht realitätsbezogen zu gestalten
Serie: Blick über den Zaun
Mathematik in Flandern:
Die „Kunst des Gewissen“
PM 49 (2007|16) S. 38 - 41
Jan Verschraegen
Dass die Mathematik in Flandern, dem niederländischsprachigen
Raum Belgiens, einen hohen Stellenwert in der schulischen Bildung
einnimmt, lässt sich bereits vermuten, wenn man weiß, dass der niederländische Begriff für Mathematik Wiskunde ist. Eingeführt durch den
belgischen Mathematiker und Physiker Simon Stevin im 17. Jahrhundert, bezeichnet der Begriff Wiskunde, etymologisch abgeleitet von
wisconst, die Kunst des Gewissen bzw. des Sicheren. Die Vorstellung
der Mathematik als eine Kunst impliziert einen kreativen Prozess, der
im Mathematikunterricht in Flandern durchaus Bedeutung hat.
Jan Verschraegen (Jg. 1978) ist Lehrer für Mathematik, Physik und
Informatik an der Kardinal-von-Galen-Realschule in Telgte. Er ist in
Belgien geboren, ging dort zur Schule und absolvierte seine Ausbildung zum Lehrer an der Artevelde Hogeschool in Gent. Von 2003 bis
2005 machte er zur Anerkennung seines belgischen Examens das
Referendariat am Studienseminar in Münster, wo er seit 2006 auch als
Fachleiter für Mathematik tätig ist. Seit Beginn seiner Lehrertätigkeit in
Deutschland ist er in verschiedenen Projekten zur Weiterentwicklung
des Mathematikunterrichts (wie SINUS-Transfer) tätig.
Denkzettel
Unmögliche Figuren
- das Spiel mit der Perspektive
PM 49 (2007|16) S. 22 - 29
Sabine Kliemann
„Unmögliche Figuren“ faszinieren kleine wie große Menschen gleichermaßen. Die oft gestellte Frage „Wie funktioniert das?“ wird in diesem Beitrag als Anlass zur Auseinandersetzung mit perspektivischen
Darstellungen genommen. Bilder, Zeichnungen und Objekte bekannter
und unbekannter Künstler motivieren die Behandlung von Schrägbildund Dreitafelprojektion.
Zwei Quadratmeter, mit denen man
rechnen kann
PM 49 (2007|16) S. 42 - 43
Timo Leuders
„Überraschende Mengen, Größen, Längen faszinieren. Fakten sind in
unserer modernen, rational betonten Gesellschaft die Basis des Überzeugens.“ – so begründen die Macher dieser Werbekampagne ihre
Ideen für die auffälligen Plakate (www.2m2-haut.de/ratgeber/). Aber
wie genau ist diese Angabe eigentlich?
S. 27
Heftthema: Mit Unterschieden rechnen - Differenzieren
Mit Unterschieden rechnen
- Differenzieren und Individualisieren
PM 49 (2007|17) S. 1 - 8
Stephan Hußmann und Susanne Prediger
Differenzieren geht nicht immer für alle gleich. Der Artikel gibt einen
Überblick über wichtige Differenzierungsstrategien für unterschiedliche
Lernsituationen im Mathematikunterricht. Sie dienen jeweils auf ihre
Weise dem Ziel, das Lernen im Gleichschritt aufzulösen zugunsten einer individuellen Förderung der Lernenden. Dabei sind Aufgaben von
ebenso großer Bedeutung für die Lernkultur wie lokale differenzierende
Impulse und Methoden, die an Beispielen vorgestellt werden.
Von den Lernenden aus geht’s besser
PM 49 (2007|17) S. 9 - 14
Dezimalzahlen an der Stellentafel in einer natürlich differenzierenden
Lernumgebung
Ueli Hirt
Die Unterschiede der Lernenden bieten im Unterricht eine tägliche
Herausforderung. Der Artikel stellt beispielhaft eine Lernumgebung vor,
die dieser Herausforderung durch natürliche Differenzierung begegnet.
Sie basiert auf den reichhaltigen Strukturen der Mathematik und
ermöglicht eine Differenzierung von den Lernenden aus. Über das
konkrete Beispiel hinaus werden Merkmale von Lernumgebungen und
deren Integration im Unterricht erläutert.
Summendarstellungen von Zahlen
PM 49 (2007|17) S. 25 - 27
– ein Feld für differenzierendes entdeckendes Lernen
René Schelldorfer
Eine Erkundungsaufgabe aus der Welt der natürlichen Zahlen bietet
Schülerinnen und Schülern der 9. Klasse die Gelegenheit, selbstständig zu entdecken und die gewonnenen Erkenntnisse in einem Lerntagebuch darzustellen. Die „Entdeckungstreppe“ identifiziert in der Vielfalt der Vorgehensweisen der Schülerinnen und Schüler Teilschritte
des Lösungsprozesses. Am Beispiel einer Lösung werden diese Teilschritte exemplarisch deutlich gemacht, zudem werden Verwendungsmöglichkeiten der Entdeckungstreppe zur Stärkung metakognitiver Aspekte skizziert.
Wenn die Lernenden mehr
PM 49 (2007|17) S. 28 - 30
Verantwortung für ihr Lernen tragen - Ein Selbstlernsemester in
Mathematik
Beat Trachsler
Können Gymnasiastinnen und Gymnasiasten während eines ganzen
Semesters mit nur einer Theoriestunde pro Woche selbstständig Mathematikstoff lernen? Der Artikel beschreibt ein Schulentwicklungsprojekt aus dem Zürcher Oberland in der Schweiz, das Selbstlernsemester. Zur Illustration dienen die Erfahrungen mit einer Klasse des mathematisch-naturwissenschaftlichen Gymnasiums.
Freie Beiträge
Unwahrscheinlich wahrscheinlich
PM 49 (2007|17) S. 15 - 19
– Ein Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in einer heterogenen
Lerngruppe
Katja Lengnink und Matthias Heinrichs
Wesentlicher Bestandteil unserer Sozialkompetenz ist es, mit unterschiedlichen Neigungen, Fähigkeiten und Ansprüchen von Menschen
konstruktiv umzugehen. Eine solche Kompetenz kann besonders in einem Unterricht erlernt werden, in dem Heterogenität produktiv genutzt
wird. Am Beispiel eines offen differenzierenden Zugangs zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in Klasse 7 bis 9 einer integrativen Gesamtschule wird gezeigt, wie reichhaltige Einstiegssituationen in neigungsdifferenzierten Gruppen bearbeitet werden können. Es wird auf fachliches und soziales Lernen eingegangen. Nicht alle Schülerinnen und
Schüler können am Ende des Unterrichts die gleichen fachlichen
Leistungen erzielen. Eine differenzierte lernstandsorientierte Rückmeldung über Zertifikate wird vorgestellt.
Modellieren lernen – eine Schule
PM 49 (2007|17) S. 31 - 35
macht ernst
Heinz-Jürgen Harder
Modellieren lernt man nicht allein nebenbei, es bedarf der intensiven
Reflexion und Erfahrung auch in komplexeren Problemsituationen.
Der Artikel stellt ein Schulkonzept vor, in dem für Klasse 10 ein spezifischer vierteljährlicher Kurs zum Modellieren mit bewährten Aufgaben
der systematischen (Weiter-)Entwicklung von Modellierungskompetenzen dient.
Wie schnell platzen Träume?
PM 49 (2007|13) S. 36 - 37
Statistische Untersuchungen zur Lebensdauer von Seifenblasen
Wolfgang Riemer
Wie lange leben Seifenblasen? Und was ist das beste Rezept? Schülerinnen und Schüler machen Experimente, erheben Daten und modellieren die Lebensdauerverteilung exponentiell. Offene Aufgaben in
Tests? Ja bitte!
Serie
Die Mischung macht’s …
PM 49 (2007|17) S. 20 - 24
- Unterrichtsstrukturen für individualisiertes Lernen
am Beispiel „Plus und Minus“
Susanne Prediger
Individualisierung ist nicht nur eine Frage der Sozialformen, sondern
auch geeigneter Unterrichtstrukturen, in denen sich die Lernenden eigenverantwortlich bewegen können. Am Beispiel der Unterrichtseinheit
„Plus und Minus – Mit negativen Zahlen umgehen“ in Klasse 7 wird
aufgezeigt, wie eine individualisierte Lernkultur durch eine abgestimmte Mischung von unterschiedlichen Materialien, Methoden und
Strukturen etabliert werden kann, und zwar auch mit dem eingeführten
Schulbuch.
China, mitten im Land der Mathematik
PM 49 (2007|17) S. 38 - 42
Matthias Ludwig
Der Artikel gibt Einblicke in Schüler- und Lehrerleben an chinesischen
Schulen. Er beschreibt die Abläufe im Schulalltag, die Unterrichtsrituale und die Bewertungsformen. Darüber hinaus werden dann auch typische Aufgaben aus Klassenarbeiten und dem chinesischen Pendant
zum Abitur vorgestellt und gefragt, was wir vom „Land der Mitte“ lernen
können.
Denkzettel
Querfeldeinlauf
PM 49 (2007|17) S. 43 - 44
Stephan Hußmann
Diese Aufgabe eröffnet einen reichhaltigen qualitativen Zugang zur
Differentialrechnung in Klasse 10 bzw. 11, der auf selbsttätiges Erkunden durch Schülerinnen und Schüler setzt.
S. 28
Heftthema: Viel-Eckiges – forschend entdecken
Viel-Eckiges – forschend entdecken
PM 49 (2007|18) S. 1 - 9
Timo Leuders und Volker Ulm
Entdeckendes Lernen setzt voraus, dass Schülerinnen und Schüler
interessante und zugängliche Probleme selbstständig untersuchen.
Der Beitrag beschreibt, wie hierzu geeignete Lernumgebungen gestaltet werden können: Wie findet man gute Aufgabenstellungen? Welche Methoden und Medien erscheinen Erfolg versprechend? Am Gegenstandsbereich der Vielecke wird aufgezeigt, wie sich durch die
Strategien des Variierens und des Verallgemeinerns eine große Zahl
ergiebiger Probleme finden lassen.
Drinnen ist nicht Drumherum
PM 49 (2007|18) S. 10 - 15
Eine Gruppenexploration zum Zusammenhang zwischen Flächeninhalt
und Umfang
Timo Leuders, Andrea Reischmann und Stefanie Zachmann
Flächeninhalt und Umfang sind Konzepte, die oft verwechselt werden.
Dem kann man vorbeugen, indem man sie von Anfang an in Beziehung zueinander betrachtet und gemeinsam als Thema aufgreift. Von
der 4. bis zur 10. Jahrgangsstufe gibt es dabei immer wieder etwas zu
entdecken.
Quadrate – einfach und reichhaltig
PM 49 (2007|18) S. 16 - 20
Geometrische Muster als Spielwiese für mathematisches Forschen
und Entdecken
Volker Ulm
Dynamische Geometrie mit VielecksPM 49 (2007|18) S. 29 - 32
Pantographen. Schülerinnen und Schüler erkunden „virtuelle Ähnlichkeitsmaschinen“
Wolfgang Neidhardt
Dynamische Geometrie bietet die Möglichkeit, das mechanische Gestänge eines Pantographen virtuell nachzubauen. Damit können
Schülerinnen und Schüler die Wirkungsweise dieses Gerätes zum
Vergrößern oder Verkleinern verstehen und zudem eigene Varianten
von Pantographen erfinden und (virtuell) realisieren. Dabei lernen sie,
wie flexibel bzw. starr Vielecke sein können, und sie machen sich intensiv über das zu Grunde liegende Prinzip Gedanken: über Ähnlichkeit von Vielecken.
Freie Beiträge
„Was ich in diesem Jahr gelernt habe …“ PM 49 (2007|18) S. 33-35
Durchblick durch Rückblick
Jos Bertemes
Oft ist das Ende eines Schuljahres von einer intensiven, fast hektischen, Aktivität (letzte Klassenarbeiten, Zeugnisse, Schulfest, Klassenfahrt, ...) geprägt, so dass man (Lehrende wie Lernende) sich meistens
keine Zeit nimmt für einen Rückblick auf das im vergangenen Jahr Erlernte. In diesem Beitrag wird beschrieben, wie dieses Zurückblicken
zum Ende eines Schuljahres motivierend gestaltet werden kann.
Poster-Präsentationen als
Visualisierungsmethode
PM 49 (2007|18) 36 - 37
Reinhold Haug
Ein auf den ersten Blick unscheinbares Muster aus Quadraten birgt
eine außerordentliche mathematische Tiefe. Es bietet Schülerinnen
und Schülern einen leichten Zugang, lädt zum Stellen von Fragen ein
und fordert zu mathematischem Forschen und Entdecken auf unterschiedlichsten Niveaus geradezu heraus.
Der Beitrag gibt konkrete Anregungen, wie Schülerinnen und Schüler
darin angeleitet werden können, die Ergebnisse des vorausgehenden
Unterrichts in form eines Posters darzustellen.
Offene Aufgaben in Tests? Ja bitte!
PM 49 (2007|18) S. 38 - 41
Ule Matter
Wie rund und eckig zueinander passen PM 49 (2007|18) S. 21 - 24
Variationen rund um In- und Umkreise
Dagmar Raab
Zwei einfache Figuren, ein Dreieck und ein Kreis, sind Anlass für mathematische Erkundungstouren. Dabei eröffnen sich für die Standardthemen Umkreis und Inkreis interessante Aspekte und ungewöhnliche
Zugänge. Viele Anregungen zum Weiterexperimentieren mit Dreieck
und Kreis laden zum eigenständigen Forschen ein.
Während für die Aufgabenkultur bereits seit langem offene Aufgabenformate gefordert werden, findet man in zentralen Tests überwiegend
geschlossene Formate. Der Beitrag zeigt an einem Beispiel aus der
Nordwestschweiz, wie man bestimmte Kompetenzen, die sich ganz
besonders bei der Bearbeitung von offeneren Aufgaben zeigen, sinnvoll überprüfen kann
Denkzettel
Abstand gewinnen – in Vielecken
PM 49 (2007|18) S. 42 - 44
Dynamische Entdeckungen im Umfeld des Satzes von Viviani
Drei – Vier – Fünf – Viele
PM 49 (2007|18) S. 25 -28
Erkundungen zu Transversalen in Vielecken
Peter Baptist und Carsten Miller
Dreiecke dominieren oftmals die Figurenlehre in der Schule. Wir erhöhen die Eckenzahl der Figuren ganz bescheiden und gehen mit Hilfe
von dynamischen sowie statischen Arbeitsblättern auf Entdeckungsreise. Dabei lassen sich auch Verbindungen von der Geometrie zur
Kulturgeschichte und Kunst herstellen.
Karl Reichmann
Schülerinnen und Schüler untersuchen in Vielecken Zusammenhänge
zwischen den Abständen innerer Punkte zu den Vielecksseiten. Sie
entdecken die Konstanz der Summe im gleichseitigen Dreieck und
untersuchen Verallgemeinerungen.
Ein kleines Weihnachtsmärchen
PM 49 (2007|18) S. 44 - 45
Nikola Leufer, Franz Mayer und Michael Meyer
Die jahrelange Seele der PM geht
in Pension
PM 49 (2007|18) S. 46
Die Herausgeber
Würdigung der Arbeit des langjährigen Herausgebers der PM, StD
Dietrich Pohlmann.
Eine überraschende Entdeckung von Primzahlfolgen in einer Pyramide
– aufbereitet für die Weihnachtszeit.

PM Inhaltsverzeichnis 2005 - 2007

Transcription

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