Die Monty Hall Matrix 1 - Stochastik in der Schule

Die Monty Hall Matrix
JOSEPH
1
G. EISENHAUER, NEW YORK
Übersetzung: ]OACHIM ENGEL, LUDWIGSBURG
Zusammenfassung: Ein allgemeines Verfahren zur
Lösung des "Monty Hall Problems" mittels Wahrscheinlichkeitsmatrizen wird vorgestellt und eine ndimensionale Verallgemeinerung wird gegeben.
1
Einleitung
Ein altes statistisches Rätsel erfreut sich in letzter
Zeit erneuten Interesses. Einst unter der etwas düsteren Bezeichnung als das Problem der drei Gefangenen bekannt, die auf ihre Hinrichtung warten (Gardner, 1957), wird es nun gewöhnlich (siehe Selvin
1975a, 1975b) als "Monty Hall Problem" bezeichnet
und ist in den glücklicheren und mehr entscheidungstheoretisch ausgerichteten Kontext einer populären
amerikanischen Spiel-Show der 60-er Jahre verlegt.
Nachdem es vor etwa zehn Jahren viel öffentliche
Aufmerksamkeit erlangt hatte und in der Folge für
einige Zeit wieder aus dem Blick der Öffentlichkeit
verschwunden war, ist es kürzlich wieder sowohl in
akademischen Arbeiten (Friedman, 1998) wie auch
in der Presse (The Economist, 1999) diskutiert worden.
Die Situation (an die sich das Fernsehprogramm
nicht streng hielt) ist kurz gesagt wie folgt: Monty Hall, der gefeierte Gastgeber von "Let's make a
deal" bietet dem Teilnehmer einen spektakulär großartigen Preis an (z.B. ein Auto oder einen Ferienurlaub ), falls sie oder er korrekt erraten kann, hinter
welcher von drei Türen sich der Preis verbirgt. Die
anderen zwei Türen verbergen Nieten oder wertlose
Preise, dargestellt durch Ziegen. Nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschließt, lässt Monty eine
der zwei verbleibenden Türen öffnen, die eine Niete offenbart. Monty bietet dann dem Kandidaten an,
seine ursprüngliche Wahl zu revidieren, unabhängig
davon was sich hinter der dritten (nicht-gewählten
und ungeöffneten) Tür verbirgt. Die statistische Frage, mit der der Kandidat hier konfrontiert wird, lautet
dann "Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit,
wenn die Türen gewechselt bzw. wenn sie nicht gewechselt werden?".
Wie viele gute statistische Rätsel ist auch das Monty Hall Problem etwas trügerisch, und die meisten
Leute - Laien genauso wie Wissenschaftler - scheiI Übersetzung alls
tern anfänglich daran, die zugrunde liegenden Prinzipien zu erfassen. Glücklicherweise ist das Problem
zugleich lehrreich und wohl im Bereich dessen, was
Schülerinnen und Schüler über bedingte Wahrscheinlichkeiten lernen. Es lässt sich zum Beispiel mittels Wahrscheinlichkeitsbäumen lösen und kann mit
Hilfe von Simulationen illustriert werden, wie von
Shaughnessy und Dick (1991) vorgeschlagen. In diesem Aufsatz zeige ich, dass keine einzige dieser Antworten notwendigerweise korrekt ist und illustriere
einen allgemeinen Lösungsansatz zu dem Problem,
indem ich mich auf das vertraute Hilfsmittel einer
Wahrscheinlichkeitsmatrix beziehe. Dies ist meine
bevorzugte Methode, bedingte Wahrscheinlichkeiten
zu lehren und zugleich ein Ansatz, den ich noch nicht
bei anderen Lösungsvorschlägen zu diesem Problem
gesehen habe. Ich erweitere dann meine Analyse zu
einem Spiel mit mehr als drei Türen, zu dem der
Matrix-Ansatzes problemlos verallgemeinert werden
kann.
2
Die Kontroverse
Wenn nach den Gewinnwahrscheinlichkeiten beim
Wechseln bzw. Nichtwechseln gefragt wird, antwortet die große Mehrheit, dass die Türen bei zwei ungeöffneten Türen und einem Preis hinter einer von
beiden gleich attraktiv seien: die Wahrscheinlichkeit
zu gewinnen sei daher in beiden Fällen 1/2. Andererseits - so wird manchmal argumentiert -, da man
im Vorfeld weiß, dass Monty eine Nietentür öffnet,
hat diese Offenbarung für den Kandidaten keinerlei
relevanten Informationsgehalt (siehe z.B. Nalebuff,
1987). Von dieser Warte aus, die Falk (1992) das 'no
news' Argument nennt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis hinter der zuerst gewählten
Tür befindet, weiterhin 1/3, während die Wechselstrategie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 hat.
Der Zusammenstoß dieser bei den Sichtweisen führte
zu einem Sturm der öffentlichen Entrüstung, als die
Journalistin vos Savant (1990a) dieses Problem in einer Serie von Zeitschriftenartikel diskutierte und dabei behauptete, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Wechseln 2/3 und beim Beharren 1/3 sind.
Etwa 10000 Leser, einschließlich wütender Lehrer
und Professoren, antworteten mit Briefen, von de-
Teachillg Statistics, 2000 (1), 17-20
Stochastik in der Schule 21 (2001) 2 S. 11-15
11
nen 90% vos Santos energisch widersprachen (und
einige sie persönlich beleidigten) und sich für die
50-50 Lösung aussprachen (Tierney, 1991). Zu der
Verwirrung trug noch bei, dass vos Santos eine zweifelhafte Analogie vortrug, dabei ihre ursprünglichen
Behauptungen mit einem falschen Beweis versah
und außerdem eine falsche Simulation als Methode der empirischen Verifizierung vorschlug (Morgan
et al., 1991, S. 284). Als Folge wurde das, was eine korrekte und erhellende Antwort auf das Problem
hätte sein können und sollen, wenig überzeugend
und irreführend. Nachfolgende Arbeiten von Gillman (1992) und Falk (1992) wandten die korrekte Bayesianische Mathematik an, um eine allgemeine Lösung herzuleiten, aber einige Autoren setzten
ihr "no news" Argument weiter fort, das bestenfalls
auf unausgesprochenen Annahmen beruht (siehe Z.B.
Engel und Ventoulias, 1991; Gilovich, 1995).
3
Analyse
So gut wie jeder versteht intUltlv, dass die Wahrscheinlichkeit die Gewinntür korrekt zu raten 1/3 beträgt, vorausgesetzt das Auto ist zufällig hinter einer
der drei Türen versteckt. Die Verwirrung bezieht sich
auf die Information, die sich in Montys Offenbarung
der Nietentür bezieht. Wir nehmen zunächst mal an,
dass Monty nicht weiß (oder sich nicht mehr erinnern kann), wo das Auto steht, und daher mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der beiden verschlossenen Türen öffnet. Er setzt sich dabei der Gefahr aus,
den Gewinn vorzeitig preiszugeben und eine mögliche Offenbarung einer Niete geschieht durch bloßen
Zufall. In diesem Fall geht es hier um unbedingte
Wahrscheinlichkeiten und der Kandidat steht nun vor
zwei ungeöffneten Türen, hinter der sich mit derselben Wahrscheinlichkeit ein Auto verbirgt. Unter diesen Bedingungen sind die Gewinnchancen gen au 50
zu 50, wie die verbreitete Antwort behauptet. Aber
Monty weiß natürlich hinter welcher Tür sich das
Auto verbirgt und vermeidet gezielt, es zu offenbaren (bis das Spiel vorbei ist). Ebenso vermeidet er es,
die vom Kandidaten gewählte Tür zu öffnen, um die
Zuschauer und den Spieler in Spannung zu halten.
Als Hilfe, um das Problem logisch anzugehen, notieren wir zuerst eine 3 x 3 Wahrscheinlichkeitsmatrix, die die Reaktionen des Moderators auf den Ort
des Autos und die Wahl des Kandidaten zeigt. Jede
Spalte repräsentiert einen möglichen Ort des Autos
und jede Zeile steht für eine mögliche Tür, die der
Moderator öffnet. Jede Zelle repräsentiert eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit - d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zwischen einem
12
Offenbarungs- und einem Ortsereignis. Da Monty
das Auto nicht zu diesem Zeitpunkt des Spiels zeigen
will, besteht die Hauptdiagonale aus lauter Nullen.
Genauso wird er nicht die vom Kandidaten gewählte
Tür öffnen. Wenn z.B. der Kandidat Tür Nummer I
wählt, dann besteht die erste Zeile außer lauter Nullen. Wir gehen davon aus, dass dies der Fall ist. Da
das Auto zufällig einer der drei Türen zugeordnet ist,
sind die Randwahrscheinlichkeiten hinter jedem Ort
jeweils 1/3.
Es ist sofort klar, dass Monty gar keine Wahl hat,
welche Tür er öffnen soll, falls der Kandidat inkorrekt wählt (wenn er oder sie Tür 1 wählt, das Auto
aber hinter Tür 2 oder 3 steht). Nur wenn der Kandidat die richtige Wahl trifft, muss sich der Moderator
entscheiden, welche Tür er öffnen will und hier brauchen wir irgendeine Annahme über sein Verhalten.
Um den extremen Fall zuerst zu behandeln: Nehmen
wir an, dass der Moderator aufgrund einer exzentrischen Persönlichkeit wann immer möglich die Tür
Nummer 2 öffnen will. Dann sieht die Matrix wie in
Tabelle 1 aus.
M. öffnet 1
M. öffnet 2
M. öffnet 3
Randwahrscheinlichkeit.
Auto
hinter
Tür 1
Auto
hinter
Tür 2
Auto
hinter
Tür 3
0
1/3
0
0
1/3
0
1/3
0
2/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1
0
Randwahrscheinlichkeit
0
Tab. 1:
In der Notation von Gillman (1992) bezeichne Ai
das Ereignis, dass sich das Auto hinter der Tür i befindet, und sei M j das Ereignis, dass der Moderator Tür j öffnet. Wir interessieren uns für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter
Tür 1 befindet (die Wahl des Kandidaten), vorausgesetzt der Moderator hat eine Niete offenbart. Wenn
Monty seine bevorzugte Tür öffnet, dann beträgt
die posteriori Gewinnwahrscheinlichkeit mit Tür I
P(AI!M2) = (1/3)/(2/3) = 1/2, was wiederum der
häufigsten Antwort entspricht. Aber wenn Monty gezwungen ist, eine nicht-bevorzugte Tür zu öffnen,
dann sind die posteriori Gewinnwahrscheinlichkeiten
P(A I!M3) = 0 und P(A2!M3) = 1, was bedeutet, dass
die Wechsel strategie immer gewinnt. Natürlich kennt
der Kandidat nicht Montys bevorzugte Tür, noch
weiß er, ob Monty überhaupt eine Lieblingstür hat.
Daher kann er nicht wissen, welches Paar von Wahrscheinlichkeiten Gültigkeit hat. Jedoch illustrieren
die bei den Extreme, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten mit der ursprünglichen Wahl zwischen 0 und
1 liegen, während die Wahrscheinlichkeiten mit der
Wechselstrategie zwischen 1/2 und 1 liegen. Konsequenterweise kann die Wechselstrategie den Gewinnchancen keinen Schaden antun und vermag sie sogar
deutlich zu verbessern.
Als nächstes betrachten wir den Fall, dass der Moderator zufällig entscheidet, welche Niete er offenbart,
falls der Kandidat die richtige Tür wählt. Die priori Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter irgendeiner bestimmten Tür befindet ist wiederum 1/3.
Wiederum nehmen wir an, dass der Kandidat Tür 1
wählt. Wenn er oder sie richtig liegt, dann sind die
Wahrscheinlichkeiten 1/2, dass Monty Tür 2 öffnet
und ebenso 1/2 für Tür 3. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tür 1 befindet und Monty Tür 2 öfnet ist daher (1/3)( 1/2) =
1/6: in ähnlicher Weise ist P(A, nM3) = 1/6. Daher
ist die neue Matrix wie folgt (Tabelle 2):
Auto
hinter
Tür 1
M. öffnet 1
M. öffnet 2
M. öffnet 3
Randwahrscheinlichkeit.
1/6
1/6
Auto
hinter
Tür 2
0
0
2/6
Auto
hinter
Tür3
0
2/6
0
1/3
1/3
1/3
0
Randwahrscheinlichkeit
0
3/6
3/6
1
Tab. 2:
Nun ist P(A,IM3) = (1/6)(3/6) = 1/3 und
P(A2IM3) = 2/3; in ähnlicher Weise P(A ,1M2) = 1/3
und P(A3IM2) = 2/3. Hierbei ist die Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Wechseln 1/3, egal welche Tür
der Moderator öffnet, um die Niete zu zeigen. Hingegen verdoppelt die Wechsel strategie die Gewinnwahrscheinlichkeit, so wie in der 'no news' Hypothese. Und tatsächlich sind A, und M3 stochastisch unabhängige Ereignisse, wenn der Moderator zufällig eine Nietentür wählt, vorausgesetzt er
hat die Wahl. Das Gleiche gilt für A, und M2, da
P(A,IM3) = P(A,) und P(A,IM2) = P(A,). Jedoch
sind weder A2 und M3 noch A3 und M 2 unabhängige
Paare, da P(A2IM3) :I P(A2) und P(A3I M2) :I P(A3).
Natürlich sind auch andere Annahmen möglich,
wenn wir das Verhalten des Moderators angesichts
seiner Entscheidung betrachten. Wir können unsere
Analyse verallgemeinern, indem wir ansetzen P(A, n
M3) = x/3, immer noch unter der Annahme, dass
der Kandidat anfänglich sich für Tür Nummer I
entscheidet. Tabelle 3 zeigt die resultierende Wahrscheinlichkeitsmatrix, wobei x die bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass Monty Tür 3 öffnet,
vorausgesetzt das Auto befindet sich hinter Tür I:
P(M3IAd = (x/3)/{l/3) = x.
M. öffnet 1
M. öffnet 2
M. öffnet 3
Randwahrscheinlichkeit.
Auto
hinter
Tür 1
0
Auto
hinter
T"ur ,~. ,
(I-x)/3
x/3
0
0
1/3
Auto
hinter
Tür 3
0
1/3
0
1/3
1/3
113
Randwahrscheinlichkeit
0
(2-x)/3
(I+x)/3
1
Tab. 3:
Wenn nun Monty eine Niete hinter Tür 3 offenbart,
dann ist die posteriori Wahrscheinlichkeit, dass der
Kandidat mit seiner ursprünglichen Wahl (Tür I)
gewinnt P(A,IM3) = (x/3)/[(I + x)/3] = x/(I + x)
und die posteriori Gewinnwahrscheinlichkeit beim
Wechseln auf Tür 2 ist P(A2IM3) = (1/3)/[(1 +
x)/3] = 1/(1 +x). Da O:S: x:S: I, kann das Wechseln die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen, wird
sie aber niemals vermindern. In ähnlicher Weise ist
P(A,IM2) = (I -x)/(2 -x), was immer nur höchstens soviel ist wie P(A3IM 2 ) = 1/(2 -x). Natürlich
umfasst diese Verallgemeinerung unseren anfangs
betrachteten Fall: wenn Monty Tür 2 bevorzugt,
dann ist x = 0; offenbart er Nieten zufällig, so ist
x = 1/2. Wir können dieselbe Beziehung aus dem
Satz von Bayes herleiten, nach dem P(A ,1M3) =
P(M3IA,)P(Ad/P(M3) ist. Setzen wir P(M3IA,) =
x,P(Atl = 1/3 und P(M3) = (I + x)/3 ein, so ergibt sich P(AIIM3) = P(M3IAIl/[1 +P(M3IA,)] und
die komplementäre Wahrscheinlichkeit P(A2IM3) =
1/[1 +P(M3IAdJ, falls der Moderator Tür 3 öffnet.
Wie oben gezeigt wurde ist das letztere mindestens
so groß wie das erstere, so dass Wechseln niemals
nachteilig ist; analoge Berechnungen führen zu demselben Resultat, wenn der Moderator Tür 2 öffnet.
4
Erweiterung
Sobald Schüler das Basis-Drei-Türen-Problem verstanden haben, können sie damit herausgefordert
werden, ein Spiel mit mehr als drei Türen zu betrachten. Natürlich sind die Prinzipien dieselben,
so dass bei n Türen die priori Wahrscheinlichkeiten P(A;) = 1/11 für alle i sind. In diesem Spiel hat
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M. öffnet 1
M. öffnet 2
M. öffnet 3
M. öffnet 4
Randwahrscheinlichkeit.
Auto
hinter
Tür 1
Auto
hinter
Tür 2
Auto
hinter
Tür 3
0
Auto
hinter
Tür 4
0
0
0
0
1/12
1/12
1/12
1/8
1/8
1/8
0
1/8
1/8
1/8
0
1/4
1/4
1/4
1/4
Randwahrscheinlichkeit
0
1/3
1/3
1/3
I
Tab. 4:
dann der Moderator immer eine Wahl, welche Nieten
er offenbaren will. Er mag das zufällig tun, eine oder
mehrere Türen vorziegen oder seine Entscheidung
von der anfänglichen Wahl des Kandidaten abhängig
machen. Klar, dass das Problem damit komplexer
wird. Tatsächlich kann dann die Wechselstrategie bei
nicht-zufälliger Offenbarung der Nieten eine suboptimale Strategie sein!
Um die Sachlage zu vereinfachen nehmen wir an,
dass Monty unter den verbleibenden Türen zufällig
auswählt, obwohl er niemals das Auto und niemals
die vom Kandidaten gewählte Tür zeigt. Und wie
vorher nehmen wir an, dass der Kandidat anfänglich
Tür I wählt. Dann ist die Matrix vom Typ (n, n) und
die Hauptdiagonale besteht ebenso wie die erste Zeile - genau wie im drei-Türen-Spiel- aus lauter Nullen.
Jede nicht-null Zelle in der ersten Spalte besteht aus
der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit I /[n(n - I)],
während jede nicht-null Zelle in den anderen Spalten
die Wahrscheinlichkeit I /[n(n - 2)] hat. Jede Spalte
hat eine Randwahrscheinlichkeit von I In. Die Randwahrscheinlichkeit der ersten Zeile ist Null, und die
anderen Zeilen haben alle eine Randwahrscheinlichkeit von 1/ (n - I). Hierbei ist, wie beim Fall des
zufälligen Offenbarens im drei-Türen-Spiel, das Verhalten des Moderators unabhängig von einer korrekten Wahl des Kandidaten. Wählt der Kandidat beispielsweise Tür 1 und der Moderator offenbart eine
Niete in Tür 3, dann ist P(A 11M3) = P(A I) = I /n für
jedes n 2' 4. Während Wechseln immer noch nützlich
ist, kann die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln zu einer anderen Tür 1/2 nicht überschreiten.
Genau genommen ist P(AiIM j ) = (n - I )/[n(n - 2)]
für alle i -# I, i -# j, j -# I, was kleiner als 1/2 ist für
11 2' 4 Türen. Bei diesem Spiel sind die Chancen für
Monty immer größer!
Um dies zu illustrieren betrachten wir ein vier-TürenSpiel mit zufälliger Offenbarung der Nieten. Die da14
zugehörige Matrix ist in Tabelle 4 wiedergegeben.
Jetzt nehmen wir an, dass Monty Tür 3 öffnet.
Falls der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl
bleibt, ist die posteriori Gewinnwahrscheinlichkeit
P(A 1 IM3) = (1/12)/(1/3) = 1/4. Wechselt der Kandidat z.B. zu Tür 4, verbessert sich die posteriori
Gewinnwahrscheinlichkeit um 50% zu P(A4IM3) =
(1/8)/(1/3) = 3/8. Klar, dass Wechseln sich immer
noch lohnt. Aber wenn die Zahl der Türen steigt, verringert sich der Grenznutzen des Wechselns schnell.
5
Schlussfolgerung
Der bleibende Wert des Monty Hall Problems
als didaktisches Instrument entstammt verschiedenen Eigenschaften. Trotz seines Bekanntheitsgrades unter Stochastikem ist es eher unwahrscheinlich, dass die gegenwärtige Schülergeneration das
Rätsel schon vorher kennengelernt hat; nur wenige
werden darüber gelesen haben und viele Stochastiklehrbücher erwähnen es überraschenderweise gar
nicht. In einer Stichprobe von 104 Studierenden am
College fand Friedman (1998) nur einen einzigen,
der schon von dem Problem gehört hatte. Zum zweiten ist es wie jedes Spiel faszinierend und kann im
Klassenzimmer leicht mit Hilfe symbolischer Preise nachgespielt werden. Drittens ist es nicht ein rein
statistisches Problem; es ist auch ein Beispiel aus
der Spieltheorie. Ohne weitere, zumindest implizite Annahmen über das Verhalten des Moderators ist
das drei -Türen-Problem nicht lösbar. Daher ermuntert das Spiel Schülerinnen und Schüler, präzise über
ihre Annahmen nachzudenken. Schließlich scheint es
ein kontra-intuitives Problem zu sein, dessen offensichtliche Antwort korrekt oder falsch sein kann. Daher hilft es Schülerinnen und Schüler durch das Offenlegen des Kontra- Intuitiven, eine bessere Intuition
zu entwickeln.
Literatur
Engel, E. und Ventoulias, A. (1991). Monty Hall's
probability puzzle. Chance, 4(2), 6-9.
Falk, R. (1992). A doser look at the probabilities
of the notorious three prisoners. Cognition 43(3),
197-223.
Friedman, D. (1998). Monty Hall's three doors: construction and deconstruction of a choice anomaly.
American Economic Review, 88 (4), 933-46.
Gardner, M. (1959). Mathematical Games. Scientific
American, 201 (4), 174-81.
Gillman, L. (1992). The car and the goats. American
Mathematical Monthly, 99(1), 3-7
Gilovich, T., Medvec, Y.H. und Chen, S. (1995).
Commission, omission, and dissonance reduction:
coping with regret in the Monty Hall problem.
Personality and Social Psychology Bulletin, 21(2),
182-90
Morgan, J.P., Chaganty, N.R., Dahiya, R.C. und Doviak, M.J. (1991). Let's make adeal: the player's
dilemma. American Statistician, 45(4), 284-7.
Nalebuff, B. (1987). Puzzles: choose a curtain, duelity, two point conversions, and more. Journal of
Economic Perspectives, 1(2), 157-63.
Selvin, S. (1975a). A problem in probability. American Statistician, 29(1), 67.
Selvin, S. (1975b). On the Monty Hall problem.
American Statistician, 29(3), 134.
Shaugnessy, J.M. und Dick, T. (1991). Monty's dilemma: should you stick or switch? Mathematics
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The Economist (1999). Getting the goat. 20. February, S. 72.
Tiemey, J. (1991). Behind Monty Hall's doors: puzzle, debate, and answer? New York Times, 21. Juli,
S.l
vos Savant, M. (1990a). Ask Marilyn. Parade, 9.
September, S. 15
vos Savant, M. (1990b) Ask Marilyn. Parade, 2. Dezember, S. 25
vos Savant, M. (1991) Ask Marilyn. Parade, 17.Februar, S. 12
Anschrift des Verfassers
Joseph G. Eisenhauer
Canisius College
New York, USA
[email protected]
Anmerkungen des Übersetzers:
Zum drei-Türen-Problem gibt es auch in deutscher
Sprache viele interessante Veröffentlichungen
Jahnke,Th. (1997): Drei Türen, zwei Ziegen und eine
Frau. Ein didaktisches Lehrstück. Mathematiklehren (85), 47-51
Klemisch, I. (1993): Ein Einstieg in das Drei-Türen
Problem. Stochastik in der Schule 13(1), 8-14.
von Randow, G. (1992): Das Ziegenproblem. Rowohlt TB 1992
Beachtenswert sind auch folgende Internetadressen:
www.mathematik.uni-osnabrueck.de/
staff/phpages/koch/ziegen/node3.html
www.linux-magazin.de/ausgabe/1999/09/
Monty/monty.html
www.jgiesen.de/Quiz/Ziegenproblem/
Ziegen.html
www.amstat.org/publication/jse/v6n3/
applets/LetsMakeaDeal.html
www.wiskit.com/marilyn/marilyn.html
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