Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen
- Eine kleine Anleitung -
Andreas Zacchi
SfE Dreieich-Sprendlingen
Wintersemester 2012/2013
Schule für Erwachsene
Frankfurter Strasse 160-166
63303 Dreieich
Tel.: 06103 - 3131 6840
www.sfe3e.de
Andreas Zacchi
[email protected]
http://user.uni-frankfurt.de/∼zacchi
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Rückblick Q I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Exponentialfunktionen
2.1 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Wachstum als Funktion auffassen . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
3 Die Zahl e
8
4 Die e-Funktion
12
4.1 Ableitung einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Ableitung der e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Ableitungsregeln
5.1 Die Produktregel .
5.1.1 Beispiele zur
5.2 Die Kettenregel . .
5.2.1 Beispiele zur
6 Kurvendiskussion
6.1 Lösung Teil i .
6.2 Lösung Teil ii .
6.3 Lösung Teil iii .
6.4 Lösung Teil iv .
6.5 Lösung v . . . .
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Produktregel
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Kettenregel .
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1
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17
17
19
21
21
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25
26
27
30
30
33
1
Einleitung
1.1
Rückblick Q I
In der Qualifikationsphase I haben wir uns mit dem Differentialquotienten
beschäftigt. Mit seiner Hilfe haben wir dann gesehen, wie man ganzrationale Funktionen ableitet bzw. differenziert, um nach charakteristischen
Punkten, den Extrem- und Wendepunkten, zu suchen.
Das ganze Verfahren nennt man Kurvendiskussion.
In dieser kleinen Anleitung bauen wir auf das Gelernte auf, und schauen uns
an, wie man Exponentialfunktionen und im besonderen die e-Funktion
differenziert um mit diesen Funktionsklassen eine Kurvendiskussion durchzurechnen.
2
2
Exponentialfunktionen
In diesem Kapitel wollen wir uns langsam über allgemeine Exponentialfunktionen (z.B.: f (x) = ax mit a ∈ R und a 6= 0) an das eigentlich Thema des
Semesters, die e-Funktion, herantasten.
Die e-Funktion weist besondere Eigenschaften auf, für deren besseres Verständnis
eine kleine Wiederholung des Stoffes vom Ende der Einführungsphase II sicher geeignet sein wird.
2.1
Exponentielles Wachstum
Im Gegensatz zu linearem oder gar quadratischem Wachstum, wächst der
Funktionswert f (x) = y einer Exponentialfunktion ungleich schneller an.
Abbildung (2.1) verdeutlicht den Sachverhalt. Dargestellt ist
der lineare Verlauf, die Gerade g(x) = 2x,
der quadratische Verlauf, die Parabel f (x) = x2 ,
sowie der exponentielle Verlauf, die Exponentialfunktion fa (x) = ax
wobei a = 2 ist.
Während alle drei Funktionen um den Ursprung noch ähnlich ansteigen,
ist bei großen x der weitere Verlauf deutlich anders. Bei der Geraden ist die
3
Exponentialfunktionen
4
Abbildung 2.1: Die Funktionen g(x) = 2x, f (x) = x2 und f2 (x) = 2x
Steigung zu jedem x-Wert dieselbe, nämlich 2 (g(x) = 2x → g 0 (x) = 2).
Interpretiert man die Gerade beispielsweise als eine Taxifahrt (ohne Grundgebühr), würde jeder gefahrene Kilometer 2 Euro kosten, auch nach bereits
100 gefahrenen Kilometern.
Die Parabel hingegen hat keine konstante Steigung. Bei ihr wird der Wert
von x mit 2 multipliziert (f (x) = x2 → f 0 (x) = 2x). Die Exponentialfunktion
hingegen wächst mit größer werdendem x explosionsartig an. Für kleine x
läuft die Funktion asymptotisch gegen Null1 . Wie man sie zur Bestimmung
der Steigung differenziert, sehen wir in Kapitel (4.1). Im Fall der Exponentialfunktion liegt das explosionsartige Wachstum (anschaulich) daran, dass
jedes neu Hinzukommende“ etwas zum bereits Vorhandenen“ beiträgt. Ein
”
”
Beispiel soll dies verdeutlichen.
1
Für negative x läuft sie gegen die x-Achse, die sie aber nie erreicht
Exponentialfunktionen
2.1.1
5
Ein Beispiel
Das hier vorgestellte Beispiel sollte bereits aus der Einführungsphase II bekannt sein.
i. Eine Bakterienkultur enthält bei Versuchsbeginn 700 Bakterien. Der
Bestand verdoppelt sich innerhalb von 25 Minuten.
i.i) Wie viele Bakterien enthält die Kultur nach einer
i.ii) bzw. 2,5 Stunden?
Geht man das Problem in Minuten an bekommt man nach Bt = B0 ·at , wobei
B0 dem Startwert der Kultur, Bt dem Wert der Kultur nach t-Zeiteinheiten,
t die Zeiteinheiten und a die zu ermittelnde Konstante bedeuten, folgende
Gleichung zu lösen.
Bt = B0 · at
(2.1)
2 · 700 = 700 · a25
2 = a25
√
25
a =
2
|
√
25
| : 700
2
a u 1.02811
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Damit kann man nun die Aufgabe für eine Stunde (=60
b Minuten) bzw. für
2,5 Stunden (=150
b
Minuten), oder für jedwede andere Zeit t, lösen.
i.i)
B60 = 700 · a60 u 700 · 1.0281160 ≈ 3694 Bakterien.
i.ii)
B150 = 700 · a150 u 700 · 1.02811150 ≈ 44798 Bakterien.
Man startet also mit 700 Bakterien, nach 25 Minuten hat man jeweils doppelt
so viele. Dies bedeutet, dass die Bakterien, die neu hinzugekommen sind, sich
auch am Vermehrungsprozess beteiligen und man so nach beispielsweise 250
Minuten nicht etwa 7000 Bakterien (das wäre lineares Wachstum), sondern
circa 716133 Bakterien vorfindet. Abbildung (2.2) verdeutlicht den rasanten
Exponentialfunktionen
6
Abbildung 2.2: Die Funktion B(t) = 700 · at = 700 ·
√
25
t
2
Anstieg. Erneut als allgemeine (der Startwert B0 als auch die Konstante a
können ja von Fall zu Fall verschieden sein) Formel dargestellt:
Bt = B0 · at
(2.6)
Man überzeugt sich nach Gleichung (2.6) leicht davon, dass nach 50 Minuten
2800 und nach 100 Minuten 11200 Bakterien vorhanden sind, so wie es ja
auch sein soll (Verdopplung innerhalb von 25 Minuten).
2.1.2
Wachstum als Funktion auffassen
Bisher kennen wir exponentielles Wachstum nur wie in Abschnitt (2.1.1)
gezeigter Darstellung. In Wahrheit hat man es mit einer exponentiellen
Funktion (Abbildung 2.2) zu tun.
In diesem Fall hat man es nicht mit einem allgemeinen f (x) = y zu tun,
sondern mit einer konkreten Anwendung, nämlich Bakterienwachstum. Daher
benennt man seine Variablen und Konstanten auch entsprechend (B=Anzahl
Exponentialfunktionen
7
der Bakterien, t=time=Zeit) um.
Bt = B0 · at
(2.7)
B(t) = 700 · at
(2.8)
Gleichung (2.7) hat den Charakter einer Funktion:
Wie ändert sich B mit laufendem t2 .
2
Man erinnere sich beispielsweise an eine Wertetabelle für eine, im einfachsten Fall,
Funktionsgleichung einer Geraden: Wie ändert sich y in Abhängigkeit von x.
3
Die Zahl e
Bereits beim Problem der Verzinsung von Kapital sind wir auf folgendes Problem gestoßen:
Habe ich ein Kapital K von beispielsweise 10.000 e und bringe es zur Jahresbank (welche nur jährlich mit 6 % verzinst) bekomme ich nach einem Jahr
6
6
· 1 + 100
= 11.130 e
10.600 Euro, nach zwei Jahren dann 10.000 · 1 + 100
(usw.).
Bringe ich es zur Halbjahresbank (die so heißt, weil sie nur halbjährlich und
auch nur mit der Hälfte verzinst), bekomme ich bereits nach einem halben
3
3
Jahr 10.300 e, nach einem Jahr aber bereits 10.000 · 1 + 100
· 1 + 100
=
10.609 e (usw.).
Würde ich es zur Montatsbank (die so heißt, weil sie nur monatlich und auch
6
= 0.5 % verzinst), bekäme ich nach einem Monat 10.050 Euro,
nur mit 12
nach zwei Monaten 10.100,25 e, nach einem Jahr dann aber 10.616,77 e, was,
verglichen mit der Jahresbank ja immerhin 16,77 e mehr sind (In 10 Jahren
dann erst...). Als Formel:
Kz
K12
K12
p z
= K0 · 1 +
100
12
0.5
= 10.000 · 1 +
100
= 10.616, 77
8
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Exponentialfunktionen
9
wobei K0 das Kapital zu Anfang (hier 10.000 e), Kz das Kapital nach zZeiteinheiten (hier: Monate), z die Zeiteinheiten und p der Prozentsatz (hier:
0.5%) ist.
Ausführlich wäre der Rechenweg folgender:
0.5
0.5
· ... · 1 +
= 10.616, 77
10.000 · 1 +
100
100
Hier bereits ist die Verwendung von einer Formel“ (3.1) sinnvoll, da man
”
sonst ein Produkt mit 1+12 Faktoren rechnen müsste (Für 10 Jahre dann
erst...). Sieht man sich an dieser Stelle das Rechenbeispiel (2.1.1) noch einmal
an, wird man eine Ähnlichkeit zu Gleichung (2.6) feststellen. Denn nenne ich
p
= a, habe ich exakt die gleiche Formel, nur das meine Bakterien B
1 + 100
nun Kapital K in e sind.
Auch Kapital wächst exponentiell (leider nur nicht so schnell wie Bakterien).
Vergleiche ich nun die Beträge, welche ich nach einem Jahr bei den verschiedenen Banken ausbezahlt bekäme, so könnte ich ja auch die Idee kommen,
zur Millisekundenbank zu wechseln, da dürfte das Kapital nach einem Jahr
noch höher sein (ist es, wenn auch nur geringfügig, auch).
Würde ich mir nun überlegen, instantan, also praktisch ohne Zeitverzug zu
verzinsen, so sollte ich ja an den Maximalbetrag kommen, den ich bei festem
Prozentsatz nach einem Jahr ausbezahlt bekäme. Teile ich das Jahr also in
beliebig viele Zeiteinheiten z, erhalte ich eine Formel zur Berechnung des angelegten Kapitals. Mathematisch lässt man z → ∞ laufen. Tatsächlich läuft
das Kapital (nach einem Jahr bei gleichem Prozentsatz) gegen einen maximalen Grenzwert, weil die Zahl a gegen einen konstanten Grenzwert läuft.
Diesen zu ermitteln, ist nicht schwer.
Im Nenner stehen nun auch die Zeiteinheiten z, (6% bei einem Jahr, 3%
bei halbjährlicher (zweimaliger) Verzinsung, 0.5% bei monatlicher Verzin6
)), und um sich sein Problem entsprechend zu vereinfachen, nennt
sung ( 12
p
man 100z = n1 , benutzt in Gleichung (3.4) hin zu (3.5), und nach z umgestellt,
p·n
z = 100
, benutzt in Gleichung (3.5) hin zu (3.6).
Exponentialfunktionen
10
p z
lim K0 · 1 +
z→∞
100
z· t
1
= lim K0 · 1 +
z→∞
n
pn
1 100
= K0 · lim · 1 +
n→∞
n
p
n 100
1
= K0 · lim · 1 +
n→∞
n
Kz =
(3.4)
Kz
(3.5)
Kz
Kz
(3.6)
(3.7)
Das K0 in Gleichung (3.5) darf ich in Gleichung (3.6) vor den Grenzwert
schreiben, da K0 ja nicht an der Limesbildung beteiligt ist. Von Gleichung
(3.6) zu (3.7) wurde im weiteren von einem Potenzgesetz, nämlich (an )m =
an·m , Gebrauch gemacht.
Wozu aber diese ganzen Umformulierungen und Umbenennungen?
Nun, der sich in den eckigen Klammern befindliche Grenzwert ist genau die
Eulersche Zahl: e, die den Wert
n
1
lim 1 +
= e ' 2.718281828....
n→∞
n
(3.8)
hat, demnach ist
Kz=1
p
n 100
p
1
= lim K0 · 1 +
= K0 · e 100
n→∞
n
(3.9)
Wie aber weiss ich jetzt, wie viel Geld ich nach wie vielen Jahren ausbezahlt
bekomme? Dazu stellen wir folgende Tabelle auf
Jahr
1
2
3
..
.
t
Anfangskapital
Rechnung
Endkapital
p
·1
100
K0 =10.000 e
K0 =10.000 e
K0 =10.000 e
K(1) = K0 · e
p
K(2) = K0 · e 100 ·2
p
K(3) = K0 · e 100 ·3
K0 =10.000 e
K0 =10.000 e
K(...) = K0 · e 100 ·(...)
p
K(t) = K0 · e 100 ·t
p
10.618,36 e
11.274,96 e
11.972,18 e
immer mehr!
sehr viel?
Exponentialfunktionen
11
p
Kt = K0 · e 100 ·t
(3.10)
Gleichung (3.10) gibt letztlich die Größe des Kapitals im Laufe der Zeit an.
Diese sogenannte stetige Verzinsung bedeutet nichts anderes als, dass das
soeben Erzeugte in gleichem Maß sofort(!) wieder Neues erzeugt, vergleiche
dazu den letzten Abschnitt in Kapitel (2.1).
4
Die e-Funktion
Als Funktion, wie beispielsweise Gleichung (3.10) eine ist, hat die Zahl e einige sehr nützliche Eigenschaften.
Zunächst schauen wir uns an, wie man eine normale Exponentialfunktion,
also eine die nicht die Zahl e, sondern z.B. die Zahl a zur Basis hat, differenziert. Die Steigung einer beliebigen Funktion an einer Stelle x berechnet sich
nach dem Differentialquotient, der aus Kurvendiskussion - Eine Anleitung
bekannt sein dürfte (Gleichung (3.2)), und an dieser Stelle zur Erinnerung
eingefügt wurde.
f 0 (x) =
4.1
f (x + h) − f (x)
f (x + h) − f (x)
df (x)
≡ lim
= lim
h→0
h→0
dx
x+h−x
h
(4.1)
Ableitung einer Exponentialfunktion
Für den Grenzwert n → ∞ galt nach Gleichung (3.8) lim 1 +
n→∞
= n1 und
1 n
n
= e.
Wenn n gegen ∞ strebt, dann gilt für h sicherlich h
für n = h1 .
Dann kann man in Gleichung (3.8) das n durch das h ersetzen und stellt die
Gleichung ein wenig um
1
1 h
lim 1 + 1
= e
h→0
h
12
(4.2)
Exponentialfunktionen
13
1
lim (1 + h) h = e
h→0
lim (1 + h) = eh
h→0
|h
|−1
lim h = eh − 1
h→0
lim
h→0
h
h
h
=
(4.3)
|·
(4.4)
1
h
eh − 1
h
e −1
= 1
h→0
h
lim
(4.5)
(4.6)
(4.7)
In Gleichung (4.3) wurden beide Seiten mit h potenziert, wenn dann h → 0,
kürzt sich auf der linken Seite das h im Exponenten.
Auf der linken Seite in Gleichung (4.6) kürzt sich das h und es bleibt die Eins
stehen. Da die Grenzwertbildung nur an Terme mit h greifen, darf ich die 1
dann auf die andere Seite schreiben.
Der Grenzwert letztlich in Gleichung (4.7) entspricht dem des logarithmus
naturalis, also des ln1 , wobei ln(e) = 1 ist.
Ersetze ich nun das e durch eine beliebige Zahl a, so gilt damit
ah − 1
= ln(a)
h→0
h
lim
(4.8)
Für die Ableitung einer Exponentialfunktion mit der Basis a benutzen wir
den Differentialquotienten nach Gleichung (4.1).
ax+h − ax
h→0
h
h
a −1
= ax lim
h→0
h
f 0 (x) = lim
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Das ax darf man auch hier aus der Limesbildung herausziehen, und der
übriggebliebene Term ist der Grenzwert, hier der ln(a) nach Gleichung (4.8).
Für die Ableitung(en) gilt daher
f (x) = ax
1
Der ln fragt nach der Hochzahl zur Basis e, Also z.B.:ewieviel = e? (Wäre 1)
(4.12)
Exponentialfunktionen
4.2
14
f 0 (x) = ln(a)ax
(4.13)
f 00 (x) = (ln(a))2 ax
..
.
. = ..
(4.14)
f n (x) = (ln(a))n ax
(4.16)
(4.15)
Ableitung der e-Funktion
Für die Ableitung der Exponentialfunktion f (x) = ex ergibt sich nach
Gleichung (4.1):
ex+h − ex
f (x) = lim
h→0
h
ex (eh − 1)
= lim
h→0
h
(eh − 1)
= ex lim
h→0
h
0
(4.17)
(4.18)
(4.19)
In Gleichung (4.18) wurd von an · am = an+m Gebrauch gemacht und an der
Stelle (4.19) darf man auch hier ex vor den Grenzwert ziehen, da er an der
Limesbildung nicht weiter beteiligt ist.
n
Die Zahl e lässt sich nun nach (3.8) darstellen als: lim 1 + n1 .
n→∞
Für h → 0 und n → ∞ gilt dann folgende Relation h = n1 , also 0 =
0
x
f (x) = e lim
lim 1 +
n→∞
h
1 n·h
h→0
lim 1 +
= ex lim
n→∞
=
=
n
h
h→0
=
h
1 n
n
1
1 nn
−1
n
ex lim
1
n→∞
n
1
1 + n1 − 1
x
e · lim
1
n→∞
n
1 + n1 − 1
ex · lim
1
n→∞
n
1+
1
.
∞
− 1)
(4.20)
−1
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Exponentialfunktionen
15
1
= ex · n1
(4.25)
n
= ex · 1
(4.26)
= ex
(4.27)
Natürlich hätte man schon in Gleichung (4.19) von Gleichung (4.7) Gebrauch
machen können, um bei Gleichung (4.26) zu landen ^.
¨
x
0
x
Das bedeutet, das f (x) = e → f (x) = e . Also auch die n-te Ableitung f n (x) = ex , wieder die gleiche Funktion reproduziert, gerade weil der
ln(e) = 1. In Abbildung (4.1) ist die e-Funktion mit sämtlicher(!) ihrer Ableitungen dargestellt. Die eigentlich einfache Handhabung manifestiert sich
allerdings nur durch ein wenig Übung. Die e-Funktion ist mit das wichtigste mathematische Objekt und begleitet einen, beginnend in der Oberstufe,
durch ein gesamtes mögliches naturwissenschaftliches Studium.
Exponentialfunktionen
Abbildung 4.1: Die Funktion f (x) = ex
16
5
Ableitungsregeln
Hat man es mit einer Funktion zur tun, die gewissermaßen als Produkt von
zwei einzelnen Funktionen aufgefasst werden kann, benötigt man zur Differentiation (also: zur Ableitung) die so genannte Produktregel.
Wir werden in Abschnitt (5.1) eine allgemeine Herleitung vorstellen, sowie
an zwei einfachen Beispielen nachvollziehen, wozu, warum und wann man sie
braucht.
In Abschnitt (5.2) wird dann die Kettenregel der Ableitung vorgestellt,
denn bei manchen Funktionen hilft einem auch die Produktregel nicht weiter.
Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass auch noch eine Quotientenregel existiert, die allerdings für das Abitur nicht benötigt wird, und daher
an dieser Stelle auch nicht weiter diskutiert wird.
5.1
Die Produktregel
In diesem Abschnitt werden wir den Beweis für die Produktregel vorstellen.
Man hat eine Funktion f (x), welche als Produkt zweier Funktionen aufgefasst werden kann: f (x) = u(x) · v(x), gleich welche Funktionen u(x) und
v(x) auch sein mögen. Da dies eine allgemeine Herangehensweise bzw. Herleitung ist, sollte man sich zu besserem Verständnis dazu auch die Beispiele
17
Exponentialfunktionen
18
ansehen. Nach Gleichung (4.1) ist der Differentialquotient über den Limes
von h definiert. Ersetze ich nun f (x) durch die beiden Funktionen u(x) und
v(x), also f (x) = u(x) · v(x) ergibt sich folgendes:
u(x + h) · v(x + h) − u(x) · v(x)
(5.1)
h→0
h
u(x + h)v(x + h)−u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) − u(x)v(x)
= lim
h→0
h
(5.2)
f 0 (x) = lim
In der zweiten Zeile dieser langen Gleichung wurde einfach mit Null ergänzt,
denn sieht man sich mal den mittleren Teil,−u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) = 0
an, so kann dieser ja nur Null sein, denn auch −5 + 5 = 0. Dieser Trick
befähigt uns allerdings, nach umsortieren und faktorisieren der jeweils farblich gekennzeichneten Terme, zu folgendem:
u(x + h)v(x + h) − u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) − u(x)v(x)
h→0
h
u(x + h)v(x + h) − u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) − u(x)v(x)
lim
h→0
h
u(x + h)[v(x + h) − v(x)] + v(x)[u(x + h) − u(x)]
lim
h→0
h
u(x + h)[v(x + h) − v(x)]
v(x)[u(x + h) − u(x)]
lim
+ lim
h→0
h→0
h
h
v(x + h) − v(x)
u(x + h) − u(x)
lim u(x + h) · lim
+ v(x) lim
h→0
h→0
h→0
h
h
(5.3)
f 0 (x) = lim
=
=
=
=
Bei Grenzwertbildung h → 0 wird aus u(x + h) = u(x), letztlich bleibt
v(x + h) − v(x)
u(x + h) − u(x)
+ v(x) lim
h→0
h→0
h
h
u(x) · lim
(5.4)
und man erkennt, dass die beiden Terme, lim v(x+h)−v(x)
und lim u(x+h)−u(x)
,jeweils
h
h
h→0
h→0
die Ableitung von v(x), nämlich v 0 (x), und die Ableitung von u(x), nämlich
u0 (x) darstellen, schreibt man das etwas kürzer, so erhält man letztlich für
Exponentialfunktionen
19
die Ableitung aus
f (x) = u(x) · v(x)
(5.5)
f 0 (x) = u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x)
(5.6)
f 0 (x) = u0 v + v 0 u
(5.7)
wobei am verbreitetsten wohl Aussage bzw. Gleichung (5.7) ist.
5.1.1
Beispiele zur Produktregel
Erstes Beispiel
Als erstes Beispiel dient zunächst die Funktion f1 (x) = x9 . Deren Ableitung
lässt sich mit Gleichung (3.24) aus Kurvendiskussion - Eine Anleitung relativ
leicht zu f10 (x) = 9x8 bestimmen. Da man die Funktion auch als Produkt
zweier Funktionen, nämlich u(x) = x4 und v(x) = x5 ansehen kann, wollen
wir anhand dieses Beispieles die Produktregel überprüfen (Erinnert sei an
dieser Stelle wieder an eines der Potenzgesetze: an · am = an+m ). Mit
f1 (x) = x9
(5.8)
f1 (x) = x4 · x5
(5.9)
f1 (x) = u(x) · v(x)
(5.10)
(5.11)
und der Ableitung
df (x)
dx
f10 (x) = u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x)
f10 (x) =
(5.12)
(5.13)
Der Übersicht halber lasse ich nun die Klammern bei u und v weg, das heißt
u(x) = u = x4 und v(x) = v = x5 .
u = x4 → u0 = 4x3
(5.14)
Exponentialfunktionen
20
v = x5 → v 0 = 5x4
(5.15)
Die Produktregel sagt nun f10 (x) = u0 v + v 0 u. Damit ist dann
f10 (x) = 4x3 · x5 + 5x4 · x4
(5.16)
f10 (x) = 4x3+5 + 5x4+4
(5.17)
f10 (x) = 4x8 + 5x8
(5.18)
f10 (x) = 9x8
(5.19)
(bedeutet: Beweis geführt) Passt also!
Zweites Beispiel
Als zweites Beispiel wollen wir eine Funktion betrachten, die ein Produkt
einer ganzrationalen und einer exponentiellen Funktion darstellt.
Nach Gleichung (5.7), und nach Substitution (u = ex , v = x3 ), Ableitung
(v 0 = 3x2 , u0 = ex ) und anschliessendem Summieren u0 v + v 0 u ist
f2 (x) = ex · x3
(5.20)
f20 (x) = ex · x3 + 3x2 · ex
(5.21)
f20 (x) = ex (x3 + 3x2 )
(5.22)
f20 (x) = x2 ex · (x + 3)
(5.23)
Das Faktorisieren, so wie es in Gleichung (5.23) geschehen ist, ist sinnvoll,
wenn man beispielsweise die Extrema der Funktion sucht, sprich f 0 (x) = 0.
Erinnert sei an e0 = 1, was hier wegen des x2 aber dennoch Null ist. Hier
wäre demnach der x-Wert des ersten Extrempunktes bei x1 = 0, und der
zweite1 bei x2 = −3.
1
Der Term in der Klammer muss noch Null werden
Exponentialfunktionen
5.2
21
Die Kettenregel
Die Kettenregel wird bei Funktionen angewendet, die gewissermaßen als eine Verkettung betrachtet werden. Dabei wird eine Funktion substituiert und
nach dieser Substitution abgeleitet. Das zweite Beispiel soll lediglich verdeutlichen, dass die Verkettung auch einen höheren Grad als 2 haben kann. Dann
wird die Kettenregel rekursiv verwendet. Dies ist aber, zumindest an dieser
Schule, seit 30 Jahren nicht vorgekommen.
Allgemein dargestellt lautet die Kettenregel:
f (x) = u(v(x))
(5.24)
f 0 (x) = u0 (v(x)) · v 0 (x)
(5.25)
Auf einen allgemeinen Beweis sei an dieser Stelle verzichtet.
Für eine einfache Verkettung (also von Grad 2) kann man auch sagen, man
multipliziert die innere mit der äußeren Ableitung. Das soll das erste Beispiel verdeutlichen.
5.2.1
Beispiele zur Kettenregel
Erstes Beispiel
Sei die zu differenzierende Funktion beispielsweise f1 (x) = (x2 + 3x)4 , so
könnte man sicherlich ausmultiplizieren und anschliessend jeden einzelnen
Term differenzieren. Dies ist jedoch zeitaufwendig: Man macht von der Kettenregel Gebrauch.
Dabei kann man nun den Term in der Klammer als v(x) auffassen. Man nennt
dies substituieren: f1 (x) = u(v(x))4 . Anschliessend wendet man Gleichung
(5.25) an.
Denn dann ist v(x) = x2 + 3x und u(v) = v 4 . Die Ableitungen von u und
v sind dann v 0 (x) = 2x + 3 und u0 (v) = 4v 3 und letztlich ergibt sich die
Ableitung zu f10 (x) = 4 · (x2 + 3x)3 · (2x + 3).
Sieht man genauer hin, erkennt man, dass tatsächlich innere· äußere Ableitung multipliziert wurde.
Exponentialfunktionen
22
Für das Verständnis des zweiten Beispieles ist eine etwas mathematischere
Herangehensweise erforderlich, denn letztlich hat man in der Funktion f1 (x)
den Teil in der Klammer lediglich mit v substituiert, die Funktion danach
abgeleitet und anschließend v nach (dem eigentlichen) x differenziert.
df1 (x)
dx
df1 (x) dv
f10 (x) =
·
dv
dx
df
(x)
dv
1
f10 (x) =
·
dx
dv
f10 (x) =
(5.26)
(5.27)
(5.28)
In den Gleichungen (5.26) bis (5.28) steht nichts anderes:
Man hat mit 1 erweitert, denn dv
= 1, und das ändert bekanntlich den Wert
dv
der Gleichung nicht. Jetzt könnte man natürlich auch mit noch mehreren
dv
= dv
· db · dc · dz ) erweitern, und genauso funktioniert die KetEinsen“ ( dx
db dc dz dx
”
tenregel auch.
Das zweite Beispiel geht also noch einen Schritt weiter.
Zweites Beispiel
Als ein weiteres Beispiel soll eine etwas weit hergeholte“ Funktion dienen. So
”
etwas bekommt man relativ selten zu Gesicht, gewählt wurde diese Funktion
dennoch, da sie ein wunderbares Beispiel für die Anwendung der Kettenregel darstellt, und alles bisher diskutierte Verwendung findet.
√
4
2
2 (x)
Sei also f2 (x) = 2 x +3x +7 , dann gilt für die Ableitung f20 (x) = dfdx
. Dieses
Problem substituiert man folgendernmaßen:
√
f2 (x) = 2
√
f2 (x) = 2
f2 (x) = 2β
x4 +3x2 +7
(5.29)
α
(5.30)
(5.31)
Exponentialfunktionen
23
wobei
α = x4 + 3x2 + 7
√
α
β =
Die eigentliche Ableitung f20 (x) =
Variablen α und β ableiten.
df2 (x)
dx
(5.32)
(5.33)
muss man nun auch nach seinen
df2 (x)
df20 (x) dβ dα
=
·
·
dx
dβ
dα dx
(5.34)
Man erkennt, dass man eigentlich nur mit 1 erweitert hat
df20 (x)
dβ
df20 (x) df 0 (x)
dα
·
=
·
= 2
dx
dβ
dx
dx
dα
(5.35)
Jedenfalls muss man nun drei mal ableiten und resubstituieren.
Erster Schritt: Zunächst leitet man f2 (x) nach β ab, wobei f2 (x) = 2β =
eln 2·β ist.
Übrigens: Diese Funktion leitet man genauso ab, wie in Abschnitt (4.1) (Gleichung (4.13)) erklärt wurde.
df2 (x)
= f20 (x) = ln 2 · eln 2·β = ln 2 · 2β
dβ
(5.36)
Zweiter Schritt: Anschliessend wird β nach α differenziert, wobei β =
√
√
1
α = α 2 ist. Als Funktion würde dies übrigens so aussehen β(α) = α,
√
1
genau wie f (x) = x = x 2 wäre.
1
dβ
1
1
= β 0 = · α− 2 = √
dα
2
2 α
(5.37)
Dritter Schritt: Nun noch α nach x ableiten, wobei α = x4 + 3x2 + 7
ist. Als Funktion würde dies folgendermaßen aussehen α(x) = x4 + 3x2 + 7.
Wie man seine Funktionen und Variablen letztlich benennt, ist jedem selbst
Exponentialfunktionen
24
überlassen.
dα
= α0 = 4x3 + 6x
dx
(5.38)
Fügt man alle drei Ableitungen zusammen, so erhält man
df2 (x)
df20 (x) dβ dα
=
·
·
dx
dβ
dα dx
1
= ln 2 · 2β · √ · (4x3 + 6x)
2 α
(5.39)
(5.40)
Nun muss man selbstverständlich noch resubstituieren, also seine ursprünglichen
√
√
Werte α = x4 + 3x2 + 7 sowie β = α = x4 + 3x2 + 7 wieder einsetzen, so
dass die Ableitung auch nur noch von x abhängt.
√
1
df2 (x)
= ln 2 · 2 α · √ · (4x3 + 6x)
dx
2 α
√
1
4
2
= ln 2 · 2 x +3x +7 · √
· (4x3 + 6x)
4
2
2 x + 3x + 7
√
x4 +3x2 +7
ln 2 · 2
· (4x3 + 6x)
√
=
2 x4 + 3x2 + 7
(5.41)
(5.42)
(5.43)
Kein besonders schönes Ergebnis, dennoch sehr intuitiv. Angemerkt sei, dass
man für die zweite Ableitung (unter anderem) die Quotientenregel benötigen
würde.
6
Kurvendiskussion
Alles bisher diskutierte findet selbstredend Anwendung in beispielsweise einer Kurvendiskussion, bei welcher eine Exponentialfunktion vorkommt.
Das in diesem Kapitel diskutierte Beispiel ist keineswegs weit hergeholt, sondern könnte ein Teil einer im schriftlichen Abitur im Fach Mathematik gestellten Aufgabe sein.
2
i.) Zu zeigen ist, dass f 00 (x) = e−x (3x2 + 2x4 ) nach zweimaligem Differen2
zieren aus f (x) = −e−x ( 12 x2 + 21 ) hervorgeht.
ii.) Untersuche f (x) auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.
iii.) Untersuche das Verhalten von f (x) im Unendlichen.
iv.) Skizziere f (x).
v.) Der Graph der Funktion f 0 (x) schließt mit der x-Achse zwischen seiner
einzigen Nullstelle und x = 3 eine Fläche ein. Wie groß ist diese?
25
Exponentialfunktionen
6.1
26
Lösung Teil i
2
Zu zeigen ist, dass f 00 (x) = e−x (3x2 + 2x4 ) nach zweimaligem Diffe2
renzieren aus f (x) = −e−x ( 12 x2 + 12 ) hervorgeht.
Dazu nun benötigen wir sowohl die Produktregel, vergleiche Abschnitt (5.1),
als auch die Kettenregel, vergleiche Abschnitt (5.2).
f (x) leiten wir also zweimal ab. Für den Exponenten der e-Funktion benötigen
wir die Kettenregel, denn ich muss das x2 substituieren, indem ich es beispielsweise z nenne. Damit ist die Ableitung von z nach x gegeben als z 0 =
dz
= 2x. Da f (x) zudem noch ein Produkt darstellt, nämlich das der edx
2
Funktion u(x) = e−x multipliziert mit der Klammer v(x) = ( 12 x2 + 12 ),
benötigen wir im Anschluss an die erste Rechnung auch die Produktregel.
Sinnigerweise wurden die beiden Funktionen für die folgende Rechnung mit
der Produktregel schon mit u und v benannt. Zunächst betrachten wir die
e-Funktion.
2
u(x) = −e−x ≡ −e−z
d(u(x)) dz
·
u0 (x) =
dz
dx
u0 (x) = e−z · (2x)
u0 (x) = e
−x2
u0 (x) = 2xe
(6.1)
(6.2)
(6.3)
· (2x)
(6.4)
−x2
(6.5)
Die Funktion in der Klammer leitet man leicht ab, denn u(x) = 12 x2 +
u0 (x) = x. Nun können wir die Produktregel anwenden. Mit
u = −e−x
2
2
u0 = 2xe−x
1 2 1
x +
v =
2
2
v0 = x
1
2
→
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Exponentialfunktionen
27
führt die Anwendung der Produktregel nach Gleichung (5.7)
f 0 (x) = u0 v + v 0 u
1 2 1
2
−x2
x +
+ x · −e−x
= 2xe
·
2
2
2
= e−x (x3 + x) − xe−x
−x2
= e
2
(6.12)
(6.13)
(x3 + x − x)
= x3 e−x
(6.11)
(6.14)
2
(6.15)
zum Ergebnis in Gleichung (6.15).
Gleichung (6.15) ist also letztlich die erste Ableitung f 0 (x) von f (x).
Für die zweite Ableitung muss ich nun noch f 0 (x) ableiten. Auch hier finden beide Ableitungsreglen Anwendung, nur dass man die e-Funktion für
die Anwendung der Kettenregel ja bereits substituiert hat, man also bereits
2
2
u(x) = −e−x und u0 (x) = 2xe−x übernehmen kann1 . Nun ist v(x) = x3 und
v 0 (x) = 3x2 . Ein weiteres mal Anwenden der Produktregel führt auf
2
f 00 (x) = −2x4 e−x + 3x2 e−x
= e
−x2
2
(3x2 − 2x4 )
(6.16)
(6.17)
Damit ist Aufgabenteil i.) gelöst.
f (x) = −e
−x2
f 0 (x) = x3 e−x
−x2
f 00 (x) = e
6.2
1 2 1
x +
2
2
2
(3x2 − 2x4 )
(6.18)
(6.19)
(6.20)
Lösung Teil ii
Untersuche f (x) auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.
Zur Bestimmung der Nullstellen muss Gleichung (6.18) Null gesetzt werden.
1
Das ist das Schöne an der e-Funktion - sie reproduziert sich selbst
Exponentialfunktionen
28
Da eirgendwas 6= 0, muss der Term in der Klammer Null werden.
1 2 1
x +
= 0
2
2
1 2
1
x = −
2
2
x2 = −1
(6.21)
(6.22)
(6.23)
Gleichung (6.23) ist an dieser Stelle nicht lösbar, das heißt, es existieren keine Nullstellen2 (vergleiche dazu Abbildung (6.1)). Die Funktion nähert sich
der x-Achse von unten“ an, erreicht sie aber nie. Das nennt man asympto”
tisches Verhalten, vergleiche dazu Abschnitt (2.1). Dazu schauen wir uns in
Abschnitt (6.3) das Verhalten im Unendlichen an.
Für die Extrema muss ich Gleichung (6.19) Nullsetzen. Da eirgendwas 6= 0
wird x3 hier Null3 , damit ist der x-Wert des Extremums (es existiert nur ein
Extremum) x1 = 0. Zur Bestimmung des y-Wertes gehe ich mit dem ermittelten x-Wert, wie auch bei den ganzrationalen Funktionen, in die Ausgangsgleichung (6.18), denn auch bei Exponentialfunktionen gilt: f (x) = y
f (x) =
f (0) =
f (0) =
f (0) =
1 2 1
x +
−e
2
2
1 2 1
−02
−e
0 +
2
2
1
−1 ·
2
1
−
2
−x2
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27)
Das Extremum liegt also bei EX1 (0/ − 12 ).
Zur Bestimmung der Wendepunkte setzt man Gleichung (6.20) Null. Da
auch hier eirgendwas 6= 0 kann nur der Teil in der Klammer Null werden.
2
3
3x2 − 2x4 = 0
(6.28)
x2 (3 − 2x2 ) = 0
(6.29)
Zumindest keine reellen Nullstellen
Vergleiche hierzu das zweite Beispiel in Abschnitt (5.1.1)
Exponentialfunktionen
29
→ x1/2 = 0
(6.30)
3 − 2x2 = 0
(6.31)
3 = 2x2
|·
1
2
(6.32)
3
√
|
2r
3
= ±
2
x2 =
x3/4
(6.33)
(6.34)
Damit wäre der W P1 (0/ − 12 ). Das kann aber nicht sein. Hier nun muss
entschieden werden, ob es sich um ein Extrem- oder Wendepunkt handelt.
In einem solchen Fall müssen weitere Ableitungen gebildet werden, wenn
dann eine gerade Ableitung, z.B. die vierte Ableitung f 4 (x) 6= 0 ist, dann
hat man ein Extrempunkt. Für den Fall, dass eine ungerade Ableitung, z.B.
f 3 (x) = f 000 (x) 6= 0 ist, hätte man es mit einem Wendepunkt zu tun4 .
Auch mit den beiden Werten x3/4 geht man in die Ausgangsgleichung, kann
aber an dieser Stelle ausnutzen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist5 .
Es muss also nur ein f (x) = y berechnet werden, der andere x-Wert hat den
gleichen y-Wert.
1 2 1
x +
f (x) = −e
2
2

r !2
r !
√ 2
1
3
− ± 32
 ± 3
= −e
+
±
2
2
2
r !
3
1
3
1
− 32
±
= −e
·
+
2
2
2
2
r !
3
1
− 32 3
±
= −e
+
2
4 2
r !
3
− 32 5
±
= −e
2
4
−x2
f
f
f
f
4
5
In diesem Fall wird die vierte Ableitung das erste mal Null
Vergleiche: Kurvendiskussion - Eine Anleitung; Abschnitt (2.1)
(6.35)

1
2
(6.36)
(6.37)
(6.38)
(6.39)
Exponentialfunktionen
f
f
f
30
r !
3
− 32 5
= −e
±
2
4
!
r
3
±
' −0.22313 · 1.25
2
r !
3
±
' −0.2789
2
(6.40)
(6.41)
(6.42)
q
q
3
3
Die beiden Wendepunkte sind also W P1 + 2 / − 0.279 und W P2 − 2 / − 0.279 .
6.3
Lösung Teil iii
Untersuche das Verhalten von f (x) im Unendlichen.
Das Verhalten im Unendlichen → ∞ bestimmt man i.A. so, dass man für
x einmal einen sehr großen x >> 1, und einmal einen sehr kleinen Wert
x << 1 in die Funktionsgleichung einsetzt. Das kann man so machen, da
die betrachteten Funktionen in der Regel in der näheren Umgebung des Ursprunges herum ihren charakteristischen Verlauf haben, um dann asymptotisch gegen irgendeinen Grenzwert zu laufen.
In diesem Fall ist
f (x >> 1) ' 0
(6.43)
f (<< 1) ' 0
(6.44)
Dies bedeutet, dass sich der Graph in beiden Richtungen asymptotisch6 der
Null nähert, und zwar vom dritten und vierten Quadranten aus (vergleiche
Abbildung (6.1)).
6.4
Lösung Teil iv
Skizziere f (x)
6
Vergleiche Abschnitt (2.1)
Exponentialfunktionen
31
2
2
In Abbildung (6.1) ist der Graph der Funktion f (x) = −e−x ( x2 + 12 ) dargestellt. Der Vollständigkeit halber wurden auch die beiden Ableitungsfunktionen als Graph dargestellt (Das war allerdings nicht in der Aufgabe verlangt
gewesen). Schön zu erkennen ist das im vorherigen Abschnitt beschriebene
Verhalten im Unendlichen. Man möge auch das Extremum und die Wendepunkte suchen, um sie an der in Abschnitt (6.2) berechneten Stelle zu finden.
2
2
Abbildung 6.1: Die Funktion f (x) = −e−x ( x2 + 12 )
Exponentialfunktionen
32
Abbildung 6.2: Die Ableitung der Funktion f (x), die Funktion f 0 (x) = x3 e−x
2
Abbildung 6.3: Die Ableitung der Funktion f 0 (x), die Funktion f 00 (x) =
2
e−x (3x2 − 2x4 )
Exponentialfunktionen
33
2
2
2
Abbildung 6.4: Die Funktionen f (x) = −e−x ( x2 + 12 ), f 0 (x) = x3 e−x und
2
f 00 (x) = e−x (3x2 − 2x4 )
6.5
Lösung v
Der Graph der Funktion f 0 (x) schließt mit der x-Achse zwischen
seiner einzigen Nullstelle und x = 3 eine Fläche ein. Wie groß ist
diese?
Zur Lösung dieses Problemes muss die Integralrechnung herangezogen werden. Die Stammfunktion F (x) zu f 0 (x) ist natürlich f (x) selbst. Das Problem
wäre ansonsten nur über partielle Integration, die aber nicht im Lehrplan
steht und folglich auch nicht unterrichtet wird, lösbar.
Allgemein gilt also für die Stammfunktion
Z
f (x)dx = F (x)
(6.45)
Exponentialfunktionen
34
Im hier vorliegenden Fall ist
Z
3
f 0 (x)dx = f (x)|30
(6.46)
0
2
2
Mit f 0 (x) = x3 e−x und f (x) = −e−x ( 12 x2 + 12 ) ist
Z
Z
0
3
3
f 0 (x)dx = f (x)|30
−x2
x3 e
dx =
0
=
=
=
=
=
3
1 2 1 −e ( x + )
2
2 0
1
1
−32 1 2
−02 1 2
−e ( 3 + ) − −e ( 0 + )
2
2
2
2
9 1
1
−e−9 ( + ) − −e0 (0 + )
2 2
2
1
−e−9 · 5 − −1 ·
2
1
−9
−e · 5 − −1 ·
2
−4
−1.234 · 10 · 5 + 0.5
−x2
= −6.17 · 10−4 + 0.5 ' 0.499383
(6.47)
(6.48)
(6.49)
(6.50)
(6.51)
(6.52)
(6.53)
(6.54)
Der hier errechnete Wert ist positiv, bedeutet:
Die Fläche von 0.499383F E ' 0.5F E liegt über der x-Achse7 . Man vergleiche die Fläche zwischen 0 und 3 in Abbildung (6.5), grob abgeschätzt könnte
sie in etwa passen, daher sollte das Ergebnis stimmen 8 .
7
8
Passt schon mal!
Tut es übrigens auch.
Exponentialfunktionen
35
2
Abbildung 6.5: Die Fläche unter der Funktion f 0 (x) = x3 e−x im Intervall
0→3
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
Die Funktionen g(x) = 2x, f (x) = x2 und f2 (x) = 2x . . . . .
√ t
Die Funktion B(t) = 700 · at = 700 · 25 2 . . . . . . . . . . . .
4.1
Die Funktion f (x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1
6.2
6.3
Die Funktion f (x) = −e−x ( x2 + 12 ) . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
Die Ableitung der Funktion f (x), die Funktion f 0 (x) = x3 e−x
32
0
00
−x2
2
Die Ableitung der Funktion f (x), die Funktion f (x) = e (3x −
2x4 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
2
2
Die Funktionen f (x) = −e−x ( x2 + 21 ), f 0 (x) = x3 e−x und
2
f 00 (x) = e−x (3x2 − 2x4 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
Die Fläche unter der Funktion f 0 (x) = x3 e−x im Intervall
0 → 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4
6.5
2
2
36
4
6