6. Elektromagnetische Wellen

6. Elektromagnetische Wellen
6.1. Entstehung elektromagnetischer Wellen
- Wir betrachten RLC-Serienschwingkreis mit Induktivität (Spule) L und Kapazität (Kondensator) C
Resonanzfrequenz: r 
1
LC
Induktivität: L 
 r 0 N 2 AS
l
Kapazität: C 
 r 0 AC
l
- Verkleinerung von L und C resultiert in Vergrößerung der
Resonanzfrequenz r, höheren Verlusten (in Analogie) zu
Widerstand R und „Energieabstrahlung“
Übergang zum /2 -Dipol
1
Experiment: Visualisierung der Strom- und Spannungsbäuche am  /2-Dipol mittels Glühlampe (I) und
Glimmlampe (U)
Strom- und Spannungsverlauf auf /2 -Dipol
t=0
t = T/4
t = T/2
t = 3T/4
- /2 Phasenverschiebung zwischen I z , t  und U z, t 
- I z , t  ist analog zur Grundschwingung einer
Seilwelle mit festen Enden (eingespannten Seite),
stehende Welle mit /2 = l
c
c
- Resonanzfrequenz des /2-Dipols:   2 f  2  

l
1
c

mit Phasengeschwindigkeit
 0 r 0 r
c ist Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Ausbreitungsmedium
2
6.2. Der Hertzsche Dipol
- Modell: Ersetze /2 Dipol durch Punktdipol - Hertzscher Dipol
mit zeitabhängigen Dipolmoment:


pt   p0 cos t


p 0  Ql
+Q(t)

l

p0
-Q(t)
- Analyse der Maxwellschen Gleichungen

 r  0 div E  

r  0 div H  0


H
rot E    r 0
t

 
E
rot H  j   r  0
t
ergibt das elektromagnetische Feld des Hertzschen Dipols
(Ableitung siehe u. a. Demtröder II, Pfeifer-Schmiedel, …)
3
- Ergebnisse
1. Es gibt ein Nahfeld (r < ) und ein Fernfeld (r >> )
2. Ortsabhängigkeiten des elektrischen und magnetischen Feldes im Nahfeld:

1  3pr    
r  p

4 0 r 3  r 2

 
1
E r , t   3
r
 
vgl. mit Feld des elektrischen Dipols E r  
 
1
H r , t   3
r
 
vgl. mit Feld des magn. Dipols (Kreisstrom) H r  
 
1
 3m  r    

r  m
4  r 3  r 2



3. im Nahfeld sind E und H um /2 phasenverschoben
4


4. Im Fernfeld erfolgt der Aufbau der E - und H -Felder nicht momentan sondern mit der Lichtgeschwindigkeit c
 Abschnürung der Felder  Bildung elektromagnetischer Wellen
Animation Feldabschnürung
5


5. H und E im Fernfeld:

 
1  d 2 pt   

  er
H r , t  
mit zeitabhängigen Dipolmoment:
4cr  d t 2 t
 d 2 p t     
 
1
  er   er

E r , t  
4 r 0 c 2 r  d t 2 t




pt   p0 cos t
r
r
1/ 2
Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: c   r 0 r 0 
1 / 2
retardierte Zeit
tr  t 
r
c
im Vakuum gilt: c0   0 0 
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)
 2,998 108
6
m
s

 
1  d 2 pt   

  er
H r , t  
4cr  d t 2 t
 
E r , t  
r
 d 2 p t     
1
  er   er

4 r 0 c 2 r  d t 2 t


r


Aus Gleichungen für H und E im Fernfeld folgt:
 
1
H r , t  
r
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand
 
1
E r , t  
r
 Signalübertragung


keine Phasenverschiebung zwischen H und E


Aus Vektorprodukten in Gleichungen für H und E :



E  H  er

 
E  c  r  0 H  er

 
E  c B  er


 Polarisation der elektromagnetischen Welle


Experiment: Polarisation der Dipolstrahlung
7
6.3. Interpretation der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der
elektromagnetischen Welle
 0
Ausbreitung im Vakuum:  r  1


B
rot E  
t

j 0
r  1


E
rot B   0 0
t

 r  0 div E  


H
rot E    r  0
t


2


B

 E
rot rot E  rot
  rot B   0  0 2
t
t
t


r  0 div H  0

 
E
rot H  j   r  0
t



Nutze: rot rot E  grad div E

div E    0




 div grad E
  E



 div grad E   2 E  E




da Vakuum

2

 E
E   0 0 2
t
Wellengleichung
in Komponenten:
 2 Ei  2 Ei  2 Ei
 2 Ei
Ei 
 2  2   0 0 2
x 2
y
z
t
mit Phasengeschwindigkeit
(Ausbreitungsgeschwindigkeit) im Vakuum:
v ph  c0 
1
 0 0
1 dim. Wellengln. in Mechanik:
 2 x, t 
Vakuumlichtgeschwindigkeit
x 2

1  2 x, t 
2
v Ph
t 2
8
r  1
Ausbreitung im Medium:  r  1
v ph  c 
falls
c0
1

 0 r  0  r
 r r
r  1
v ph  c 
mit
kein Ferromagnetikum
c0
c
 0
 r r
r
n – Brechungsindex, hängt im Medium von Frequenz   2 ab: n  n 
r  n
(Maxwell-Relation)
folgt
v ph  c 
Dispersion
c0
n
- Beachte: Frequenz  bzw.  bleibt unverändert, aber Lichtgeschwindigkeit c 
und Wellenlänge  
0
n
Vakuum:
c 0   0
c0
0
n
sind abhängig vom Ausbreitungsmedium und Frequenz → Dispersion !
Materie:
c
c0

  0  
n
n
9
6.4. Charakteristische Größen des Fernfeldes


H und E im Fernfeld:

 
1  d 2 pt   

  er
H r , t  
4cr  d t 2 t
 
E r , t  
r
 d 2 p t     
1
  er   er

4 r 0 c 2 r  d t 2 t


r
c
1
 0 r 0  r
- Feldwellenwiderstand ZF:

E
1
 r 0
ZF   

 r 0
H  r  0c
im Vakuum gilt: ZF  380 
 r   r  1
10
- Pointing-Vektor
:
Leistung, die von elektromagnetischer Welle übertragen wird

S
elektromagnetische
Welle
Energiedichten der elektrischen und magnetischen Felder
im Volumen dV:
1 
1 

da
wel 
dV  c dt da
...
2
ED
wmag 
2
BH
zeitliches Mittel über
einer Schwingungsperiode
c dt
gesamte Energie im Volumen dV:
1   1   
dEtot  wel  wmag dV   ED  BH c dt da
2
2


  
  
dEtot   r 0 E 2  r 0 H 2 c dt da   r  0 E 2 c dt da
2
 2



dE tot   r  0  r  0 EH c dt da  EH dt da

E
 r 0
ZF   
 r 0
H


EH


da E  H
 
dEtot  E  H



c
dt da
 2 2  
H E r 0
 r 0
 r 0
 r 0
1
 0 r  0  r
11
dP 
Leistung dP, die durch Flächenelement da transportiert wird:
Wir bezeichnen als Pointing-Vektor das Vektrorprodukt
 
dEtot
 EH
dt



da

 
S  EH
 
dP  S da

S gibt Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Wellen an

S entspricht der Energiestromdichte bzw. der „Intensität“ der elektromagnetischen Wellen
(Leistung die von Welle durch Einheitsfläche senkrecht zum Pointing-Vektor transportiert wird)
 2
S E
da

 
E  c B  er

 und somit


E cB
12
6.5. Abstrahlcharakteristik des Hertzschen Dipols

 
1  d 2 pt   
und

  er
H r , t  
4cr  d t 2 t
       
folgt unter Verwendung von a  b  c  b ac  c ab
  
aus S  E  H
 
E r , t  
r
 

S
1
2 3
16 c  r 0r 2
 d 2 p   
 2   er 
 dt t

 d 2 p t     
1
  er   er

4 r 0 c 2 r  d t 2 t


r
 
2

er
z
r

p 

er

S
1
16 2c 3 r  0 r 2

 d2p 

 2  sin 2  er
 dt t
r
Abstrahlcharakteristik:
 sin 2 
S  2
r
Experiment: Abstrahlcharakteristik des Hertzschen Dipols
13
6.6. Das elektromagnetische Spektrum
Charakter der elektromagnetischen Wellen ändert sich mit Frequenz  = c/
infolge der unterschiedlichen Energien der Lichtquanten E = h 
14


Neben Frequenz  und der Wellenlänge  sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes E0 und H 0
sowie die Polarisation wichtige Parameter der elektromagnetischen Wellen.
Polarisationstypen:
- linear polarisiert
- zirkular polarisiert
- elliptisch polarisiert
- unpolarisiert
Experiment: Polarisation von Mikrowellen (  9 GHz,   0.027 m = 2.7 cm)
(linear polarisiert)
15