8.3. Hertzscher Dipol (zeitabh. elektrischer Dipol)

8.3. Hertzscher Dipol (zeitabh. elektrischer Dipol)
Quellen elektromagnetischer Wellen:
beschleunigt bewegte Ladungen und zeitlich veränderliche Ströme
Einfache Beispiele: zeitabhängiger elektrischer Dipol
zeitabhängiger magnetischer Dipol  Übung
Zeitabhängiger elektrischer Dipol (am Ursprung):




Ladungsdichte (siehe Übung Blatt 10/Aufg. 1): D(r , t )   p(t )   (r )
Stromdichte folgt aus Kontinuitätsgleichung:

 
 
  
 
D
p(t )  
  JD 

  (r )    p  (r )  JD(r , t )  p  (r )
t
t
Vektorpotential:
 

AL (r , t )  0
4

0
4
 
 
J  r ', t  | r  r ' | /c 

 0
 
d r'
| r  r '|
4

p t  r / c 
3

 

p t  | r  r ' | /c   (r ')
 
d r'
| r  r '|
3
r
Skalares Potential:



 
 

  (r ')

r
',
t

|
r

r
'
|
/
c

p
t

|
r

r
'
|
/
c






1
1
r
'
d3r '

d3r '
 
 
4  0 
| r  r '|
4  0 
| r  r '|


 
 
 p  t  | r  r ' | /c 
  p  t  | r  r ' | /c 

1
1
3
3

d r '  (r ') r '

d r '  (r ')( r )
 
 
4  0 
| r  r '|
4  0 
| r  r '|

1  p t  r / c 


4  0
r

 L (r , t ) 
Aus
 
AL (r , t )

und L (r , t) und folgen die Felder
L 
 


A
(r , t )
E(r , t )  grad  L (r , t ) 
t
 
 
und B(r , t )  rot AL (r , t )
Magnetfeld:


 
0  p
p  
B(r , t ) 


  er
4  cr r 2 

 
r 
r
mit p  p(tr ), tr  t  , er 
c
r
Elektrisches Feld:
 
E(r , t ) 




  

  
 
1  1    
1
1

 2 er p  er  p  2 3er p  er  p   3 3er  p  er   p  
4 0  c r
cr
r

Anmerkungen:
 Für den statischen Dipol gilt
 
E(r , t ) 
1
  
1

3
e
 p  er  
4 0 r 3  r

p  0
und damit

B  0 sowie

p 
→ reproduzieren das Ergebnis aus der Elektrostatik


 Die einzelnen Terme von E und B haben unterschiedliche
Potenzen von  1 r und klingen damit unterschiedlich schnell ab
 Für das Fernfeld (große Entfernungen r ) sind nur Terme
relevant. Sie sind alle proportional
 
B(r , t ) 

0 
p(tr )  er
4 cr
 
E(r , t ) 
1
4 0c 2r
Für das
1

zu p !
r

1
  e  p
  
  e   cB  e
e p
e  p
r
r
r
 r
 4 0c 2r  r




Fernfeld bilden er , B und E ein Dreibein!




Wellen sind für sehr große r „Kugelwellen“ mit Amplitude 1/r,
aber lokal wie ebene Wellen
Energieabstrahlung des Hertzschen Dipols:
Für die Energieabstrahlung (Energietransport ins Unendliche) ist nur
das Fernfeld von Bedeutung!


1  
c  
c 2 
Fernfeld
S
E  B 

(B  er )  B 
B er 
0
0
0
 2 (t ) sin2  
0 p
r

er
16 2c r 2


(t )  e
p
r
r
0
2
2
(4 ) c
r

2

er


( Winkel zwischen er und p)
Energieflussdichte besitzt
Zylindersymmetrie, aber anisotrop
bezüglich der  -Richtung
 Richtwirkung einer Antenne
Abgestrahlte Leistung des Dipols
(= Energiefluss durch Kugeloberfläche mit Radius R)
P 

R 
 
da  S 
2

0

2 (t )sin2 
 p
0  2
r
d  d sin  R 0

p (tr )
2
2
6 c
16 c R
0

2
Spezialfall: harmonisch oszillierender Dipol
0 4 p02 cos2 (t  R / c)


2

p(t )  p0 cos t  p(t )   p0 cos t  P(t ) 
6 c
Mittelung über eine Schwingungsperiode T
0 p02 4
P (t ) 

12 c

2

:
 starke Frequenzabhängigkeit  4 !
(Grund für Himmelsblau und Abendrot)