Anwendung biorthogonaler Wavelets in der Systemidentifikation

Transcription

Anwendung biorthogonaler Wavelets in
der Systemidentifikation
Zur Erlangung des akademischen Grades
Diplom-Ingenieur
am
Institut für Strukturmechanik
Fakultät Bauingenieurwesen
Bauhaus-Universität Weimar
vorgelegte
Diplomarbeit
von
cand.-Ing. Maik Brehm
geb. am 11.04.1979 in Sonneberg
Seminargruppe B/98/A
Reg.-Nr. B/2003/106
Erstprüfer:
Prof. Dr. techn. Christian Bucher
Zweitprüfer:
Dr.-Ing. Volkmar Zabel
Dr. rer. nat. Klaus Markwardt
Ausgabetermin: 27. Oktober 2003
Abgabetermin:
27. Januar 2004
Father and Son∗
Son:
Dad, you entertain yourself with wavelets at the office
all day long. Could I play with them too?
Father:
Sure. The best way is to get my old “dyadic“ Legos from
the attic. They come in different sizes: four (basic), two,
and one.
..
.
Son:
Dad, I’m upset: I just constructed my new Web site all
in Lego, and my sister Monica stepped on it and broke
it all up.
No problem, we’ll use a fast wavelet reconstruction
algorithm.
Father:
..
.
∗
Matthias Unser and Michael Unser, “Wavelet games“, Wavelet Digest, Vol. 11, no. 4, 2003.
ZUSAMMENFASSUNG
iii
Zusammenfassung
Die Wavelet-Transformation ist eine mathematische Methode zur Analyse von Signalen,
die erst in jüngerer Zeit durch Anwendungen in verschiedenen Ingenieurwissenschaften
weite Verbreitung fand. In dieser Arbeit wird speziell die Theorie der diskreten biorthogonalen Wavelet-Transformation aufbauend auf [Cohen, 1992] und [Markwardt, 2003a]
aufbereitet und angewendet. Die entsprechenden effizienten numerischen Algorithmen
wurden in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementiert.
Auf der Basis vorhandener Implementationen für orthogonale Daubechies Waveletsysteme wurde das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] für biorthogonale B-Spline und
biorthogonale modifizierte B-Spline Waveletsysteme erweitert. Weiterhin werden die vorhanden Algorithmen für die numerische Integration und Differentiation auf der Grundlage der Theorie der Verbindungkoeffizienten nach [Markwardt, 2003a] für biorthogonale
Waveletsysteme ergänzt.
Darauf aufbauend werden die Eigenschaften der Waveletsysteme aufgeschlüsselt, um für
spezielle Anwendungen eine bestimmte geeignete Gruppe von Waveletsystemen bestimmen zu können. Dazu wurden spezielle numerische Verfahren in das Programmsystem
SLang [Bucher, 2003] implementiert.
Im Rahmen dieser Arbeit wird die Wavelet-Transformation basierend auf den Ausführungen von [Zabel, 2003] zur Systemidentifikation herangezogen. Es wurden die verschiedenen Waveletsysteme in Bezug auf deren Eignung für diese spezielle Anwendung anhand
eines Beispiels untersucht. Außerdem konnte der Einfluss weiterer Parameter, wie SignalStör-Verhältnis, nachgewiesen und beurteilt werden.
ABSTRACT
iv
Abstract
In recent years the wavelet transformation as a mathematical method for signal processing becomes popular in many applications of engineering. This study is engaged in
the theory of the discrete biorthogonal wavelet transformation, based on [Cohen, 1992]
and [Markwardt, 2003a]. The efficient numerical algorithms are implemented in the SLang
Software package [Bucher, 2003].
The existing features for Daubechies wavelet bases are modified to be applicable to biorthogonal B-Spline and biorthogonal modified B-Spline wavelet bases. Based on the
theory of connection coefficients [Markwardt, 2003a] the existing algorithms for numerical integration and differentiation are extended to biorthogonal wavelet bases.
The properties of the different wavelet bases are analysed to provide conditions for the
choise of a group of wavelet bases for particular applications. In this context special
numerical methods are implemented in the SLang Software package [Bucher, 2003].
Another emphasis was placed on the application of this method in system identification
based on [Zabel, 2003]. By using a simple example, the wavelet bases are investigated
with respect to the suitability for this special application. Furthermore, the influence of
other parameters, like the signal-to-noise ratio, is analysed.
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
iii
Abstract
iv
Notation
vii
Einleitung
1
1 Biorthogonale Wavelet-Transformation
2
1.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Multiskalen-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Zerlegung eines Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Skalierungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3
Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Schnelle Wavelet-Transformation (FWT) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1
Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.2
Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.3
Filterbankdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Differentiation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.1
Lawton-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.2
Verbindungskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4.3
Grundkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.4
Anwendung der Grundkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Graphische Darstellung der Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
1.4
1.5
v
INHALTSVERZEICHNIS
vi
1.6
Fourier-Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.7
Hölder-Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.8
Orthogonale Wavelet-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2 Biorthogonale Waveletsysteme
29
2.1
Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2
Filterkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.1
Verschwindende Momente und Trägerlänge . . . . . . . . . . . . .
39
2.3.2
Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3.3
Zeit- und Frequenzlokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3 Systemidentifikation
47
3.1
Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2
Differentiation und Integration numerisch simulierter Signale . . . . . . .
51
3.3
Systemidentifikation eines SDOF-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.1
Harmonische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.2
Impuls-Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.4
Schlussfolgerung und Ausblick
70
A Definitionen und Vereinbarungen
74
B SLang-Implementationen
76
C Informationen zu den Waveletsystemen
77
D Auswertungen der Systemidentifikation
93
E CD-ROM
100
Selbstständigkeitserklärung
101
Thesen
I
NOTATION
vii
Notation
Hλ
R
Z
Zeven
Zodd
Klasse spezieller linearer Operatoren
Bereich der reellen Zahlen
Bereich der ganzen Zahlen
Bereich der ganzen geraden Zahlen
Bereich der ganzen ungeraden Zahlen
Dλ
Iλ
K
em f
P
em f
Q
F(g)
Differentiationsoperator der Ordnung λ
Integrationsoperator der Ordnung λ
linearer Operator
Approximation von f auf der Skala m
Detail von f auf der Skala m
Fourier-Transformierte von g
E(X)
D(X)
Mittelwert der Zufallsgröße X
Standardabweichung der Zufallsgröße X
[·]
{·}
hf, gi
Matrix
Vektor; Reihe
Skalarprodukt nach Definition in Anhang A
ι
δ
L2 (R)
imaginäre Einheit
Kronecker-Symbol
Hilbertraum nach Definition in Anhang A
NOTATION
i
ϕ
ψ
ϕ
e
ψe
ϕˆ
ψˆ
ϕˆ
e
e
ψˆ
Analyse-Skalierungsfunktion
Analyse-Wavelet
Synthese-Skalierungsfunktion
Synthese-Wavelet
Fourier-Transformierte der Analyse-Skalierungsfunktion
Fourier-Transformierte des Analyse-Wavelets
Fourier-Transformierte der Synthese-Skalierungsfunktion
Fourier-Transformierte des Synthese-Wavelets
ak
bk
e
ak
ebk
Koeffizienten
Koeffizienten
Koeffizienten
Koeffizienten
Na
Nb
N
ea
N
eb
N
e
N
N0
Nd
Anzahl der von Null verschiedenen Koeffizienten ak
Anzahl der von Null verschiedenen Koeffizienten bk
max(Na , Nb ) unter Beachtung von Anhang A
Anzahl der von Null verschiedenen Koeffizienten e
ak
e
Anzahl der von Null verschiedenen Koeffizienten bk
ea , N
eb ) unter Beachtung von Anhang A
max(N
spezifische Trägerlänge nach Anhang A
Anzahl der Waveletkoeffizienten
H0 (z)
e 0 (z)
H
M (z)
Analyse-Filter
Synthese-Filter
FIR-Filter
p
pe
q
Anzahl der Nullstellen z = −1 des Analyse-Filters H0 (z)
e 0 (z)
Anzahl der Nullstellen z = −1 des Synthese-Filters H
Anzahl der Nullstellen z = −1 des Filters M (z)
der
des
der
des
Analyse-Skalierungsfunktion
Analyse-Wavelets
Synthese-Skalierungsfunktion
Synthese-Wavelets
EINLEITUNG
1
Einleitung
Die Wavelet-Transformation ist in den letzten 20 Jahren zu einem mächtigen mathematischen Werkzeug der Ingenieure aus allen Bereichen geworden. Die Hauptanwendungsgebiete liegen momentan in der, bereits kommerziell genutzten, Video- und Bildverarbeitung. Aber auch in anderen Bereichen, wie der Mathematik, wird die WaveletTransformation zum Beispiel für bestimmte Matrizenoperationen oder in der FinitenElemente-Methode verwendet.
Auf dem Gebiet der Dynamik, speziell der Baudynamik, sind unter anderem Antwortspektren infolge einer Einwirkung von Interesse. Im Gegensatz zur herkömmlichen schnellen Fourier-Transformation (FFT) ist es möglich mit Hilfe der Wavelet-Transformation
nicht nur Informationen im Frequenzbereich zu erhalten, sondern auch im Zeitbereich.
Eine zeitabhängige Untersuchung der Frequenzen wird möglich.
Ein weiteres Anwendungsgebiet im Bereich der Baudynamik erschließt sich durch die
Möglichkeit, Ableitungen und Integrale von Funktionen mit einem bestimmten Verfahren innerhalb der Wavelet-Transformations-Theorie zu bestimmen. Es ist somit möglich,
Bewegungsgleichungen aufzustellen und sogar das inverse Problem – die Systemidentifikation – zu bewältigen.
Eingehende Untersuchungen dazu wurden bereits von [Zabel, 2003] mit Daubechies Waveletsystemen durchgeführt. [Markwardt, 2003a] favorisiert in diesem Zusammenhang die
biorthogonalen Waveletsysteme aufgrund der Symmetrie und teilweise verbesserten Regularitätseigenschaften.
Auf [Markwardt, 2003b] aufbauend, werden in dieser Arbeit biorthogonale Waveletsysteme in Hinblick auf die Anwendung in der Systemidentifikation untersucht.
Zunächst werden in Kapitel 1 die theoretischen Grundlagen für die biorthogonale WaveletTransformation gelegt. Das Kapitel 2 geht spezieller auf konkrete Waveletsysteme ein und
versucht quantifizierbare Eigenschaften dieser zu beschreiben. Die Anwendung in der
Systemidentifikation wird in Kapitel 3 gezeigt, wobei verschiedene Einflüsse untersucht
werden.
Kapitel 1
Diskrete biorthogonale
Wavelet-Transformation
1.1
Einführung
Eine der ältesten Grundideen der Mathematik ist es, eine Funktion f als Linearkombination von Grundfunktionen ψk und entsprechenden Koeffizienten dk darzustellen.
X
f=
dk ψk
(1.1)
k∈Z
So wurden spezielle Transformationen entwickelt, um mit möglichst wenigen Koeffizienten, bei geringem Aufwand, eine bestmögliche Approximation der Funktion f zu berechnen. Als eine der bekanntesten Transformation sei hier die Fourier-Transformation
angeführt.
Auch die Wavelet-Transformation basiert auf einer derartigen Zerlegung, wobei diese im
Vergleich zur Fourier-Transformation meist Grundfunktionen mit endlicher Trägerlänge
verwendet. Aus diesem grundlegendem Unterschied resultieren einige verbesserte Eigenschaften, wie zum Beispiel eine gute Frequenzlokalisierung bei gleichzeitig guter Zeitlokalisierung. Die Informationen eines untersuchten Signals können somit einem Zeitbereich
zugeordnet werden, was für einige Anwendungen von höchster Priorität ist.
Zur besseren Veranschaulichung dieser Eigenschaft zeigt Abbildung 1.1 ein Beispiel, in
welchem drei Sinus-Funktionen mit unterschiedlichen Periodenlängen, einmal über den
gesamten untersuchten Zeitbereich überlagert und einmal aneinandergereiht, dargestellt
sind. Das Spektrum der Fourier-Transformation zeigt nahezu identische Ergebnisse. Die
zeitliche Einordnung der Informationen geht jedoch verloren. Beide Informationen können hingegen mit der Wavelet-Zerlegung bereitgestellt werden, wobei die Unterschiede
der Signale deutlich hervorgehoben werden.
2
KAPITEL 1. BIORTHOGONALE WAVELET-TRANSFORMATION
0
−15
Funktion 2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ...
..... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... .....
... .... ... ... .... .... .... ... .... .... .... .... ... ... ....
...... .. ..... .. ......... ........ ........ ........ ....... ......... ...... .. ...... .. ...... .. ..... .. ...... .. ...... .. ...... ..
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..... .... .... ..... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
.. ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
0
10
20
30
Zeit [t]
Amplitude
Amplitude
Funktion 1
15
40
15
0
−15
Zeit [t]
0
0.0
1.0
2.0
Frequenz [Hz]
10
20
30
Zeit [t]
40
Zeit [t]
1.171 E1
0.879
0.586
0.293
0.000
-0.293
-0.585
-0.878
-1.171
E1
Fourierspektrum (Funktion 2)
30
Energie
Energie
10
0
Waveletzerlegung (Funktion 2)
4.972 E0
3.453
1.934
0.415
-1.104
-2.624
-4.143
-5.662
-7.181
E0
Fourierspektrum (Funktion 1)
30
.
.
.
...
...
...
...
...
...
......
......
......
....
....
....
......
......
......
.......
.......
.......
........
........
........
....
....
....
.......
.......
.......
......
......
......
........
........
........
.....
.....
.....
......
......
......
......
......
......
.... .....
.... .....
.... .....
............................. .......................... ........................................................ ............................................................................
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...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ..... ...... ..... ...... ..... ...... .........................................................
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Frequenz [Hz]
Frequenz [Hz]
Waveletzerlegung (Funktion 1)
20
3
20
10
.
.
......
......
......
......
......
......
... ...
... ...
... ...
.... ....
.... .....
.... .....
.. ...
.. ..
.. ..
... ...
... ...
... ....
... ....
... ....
... ...
.... ....
.... ....
.... ....
.
.
.. ..
.. ...
.. ...
... ..
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..... ...
........ .................... ...... .
.. ....... .......
.......................... ...... ....... ....... ...... ....... ........................................................ ..... ...... .................... .. .. ..
.
.
.. ... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. ...... ..........................
0
0.0
1.0
2.0
Frequenz [Hz]
Abbildung 1.1: Vergleich Fourier- und Wavelet-Transformation
Um diesen Nachteil der Fourier-Transformation auszugleichen, hat der Mathematiker
D. Gabor die gefensterte Fourier-Transformation (WFT) entwickelt, bei der das Signal
nur auf einem bestimmten Intervall untersucht wird. Dieses Zeitfenster wird dann sukzessive über das gesamte Signal verschoben. Die Heisenbergsche Unschärferelation offenbart
jedoch den entscheidenden Nachteil dieser Methode. Es liegt in Abhängigkeit der Intervallbreite entweder eine gute Zeit- oder eine gute Frequenzauflösung vor. Weiterhin ist
diese Methode, im Gegensatz zur Wavelet-Transformation, numerisch sehr aufwendig.
Durch Entwicklung der Wavelet-Transformation in vielen Bereichen des Ingenieurwesens
wurde es möglich, eine Funktion f effizient und stabil parallel im Spektral- und Zeitbereich zu untersuchen.
Die Wavelet-Transformation wird in drei Gruppierungen eingeteilt, wobei die historisch
älteste Methode die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT) ist, welche jedoch
aufgrund der hohen Redundanz an Information und dem damit verbundenen erhöhten
numerischen Aufwand ungeeignet für konkrete Anwendungen ist. Redundanz wird in
der diskreten Wavelet-Transformation (DWT) vermieden, indem hochfrequente Anteile
mit kleinem Fenster und niederfrequente Anteile mit großem Fenster abgetastet werden.
Basierend auf dem Mallat-Algorithmus wird eine schnelle und stabile numerische Um-
4
setzung der diskreten Wavelet-Transformation ermöglicht. Dieser Algorithmus stellt die
Grundlage der schnellen Wavelet-Transformation (FWT) dar.
In diesem Kapitel sollen die Grundlagen der diskreten biorthogonalen Wavelet-Transformation aufgezeigt werden. Insbesondere [Cohen, 1992] und [Markwardt, 2003b] machten
dies zum Gegenstand ihrer Arbeiten.
Die zum Verständnis wichtigen Definitionen und Vereinbarungen sind im Anhang A erklärt. Nachdem die Multiskalen-Analyse zur Herleitung von Skalierungsfunktionen und
Wavelets herangezogen wurde, wird der Algorithmus der schnellen biorthogonalen WaveletTransformation hergeleitet. Anschließend wird die Differentiation und Integration unter
Verwendung der Wavelet-Transformation vorgestellt. Spezielle Iterationsalgorithmen zur
grafischen Darstellung, zur Bestimmung der Fourier-Transformierten und der HölderRegularität werden dargelegt. In Abschnitt 1.8 sind ergänzende Bemerkungen zu den
vorhergehenden Aussagen in Bezug auf orthogonale Waveletsysteme zu finden.
1.2
Multiskalen-Analyse
Die Multiskalen-Analyse (MRA) bezeichnet eine mathematische Methode, die es erlaubt,
eine schnelle und stabile Wavelet-Analyse (Zerlegung, Transformation) und -Synthese
(Rekonstruktion) durchzuführen. Durch dieses Verfahren kann ein Signal f mit frei wählbarer Auflösung an frei wählbarer Stelle untersucht werden.
Über die mehrfache Zerlegung eines Signals f in Unteräume wird die Existenz von Skalierungsfunktion und Wavelet hergeleitet und anschließend deren Eigenschaften dargestellt.
Detailierte Ausführungen können [Louis, 1998] und [Markwardt, 2003b] entnommen werden.
1.2.1
Zerlegung eines Signals
Zur Untersuchung soll nach [Louis, 1998] ein Signal f ∈ Ve−1 ⊂ L2 (R) in einen hochund einen niederfrequenten Anteil aufgespaltet werden. Der niederfrequente Anteil wird
e0 f auf einen untergeordneten Raum Ve0 beschrieben. Der Raum
durch die Projektion P
f0 , welcher die hochfrequenten Anteile beschreibt, ist das Komplement von Ve0 bezügW
f0 sei mit Q
e0 f bezeichnet. Somit kann das Signal
lich Ve−1 . Die Projektion von f auf W
f ∈ Ve−1 ⊂ L2 (R) mit
e0 f + Q
e0 f
f =P
bzw.
e
e
f
V−1 = span V0 ∪ W0
(1.2)
f0 möglich,
dargestellt werden. Prinzipiell ist auch eine weitere Zerlegung des Raumes W
welches der Grundgedanke der Methodik der Wavelet-Pakete ist. Diese zusätzliche Zer-
5
legung soll jedoch in dieser Arbeit nicht weiter verfolgt werden. Vielmehr wird eine Zerlegung des Raumes Ve0 durch
f1
e0 f = P
e1 f + Q
e1 f
(1.3)
P
bzw.
Ve0 = span Ve1 ∪ W
vorgenommen. Das entstehende Rekursionsschema
em f = P
em+1 f + Q
em+1 f
P
e
e
f
Vm = span Vm+1 ∪ Wm+1
bzw.
∀m ∈ Z
(1.4)
ist in Abbildung 1.2 dargestellt.
L (R) . . .
2
................................
Ve−1
e0
P
..................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .
..
....................
e0
Q
Ve0
f0
W
e1
P
..................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .
..
....................
e1
Q
Ve1 . . .
................................
{0}
f1
W
Abbildung 1.2: Schema einer Multiskalen-Analyse
em f ∈ Vem ⊂ L2 (R)
Daraus folgt für jede Approximation P
em f = P
eM f +
P
M
X
ek f
Q
bzw.
Vem = span VeM ∪
M
[
!
fk
W
k=m+1
k=m+1
(1.5)
∀ m, M ∈ Z und M > m.
Unter Anwendung der Gleichung (1.4) soll für ein Signal f m ∈ Vem ⊂ L2 (R)
em f
fm = P
(1.6)
gelten. Für m = 0 ist ein Signal f ∈ Ve0 ⊂ L2 (R) nach der M-ten Zerlegung durch
!
M
M
X
[
e0 f = P
eM f +
ek f
fk
(1.7)
Q
bzw.
Ve0 = span VeM ∪
W
f =P
k=1
k=1
darstellbar.
Somit ist nach [Louis, 1998] eine Multiskalen-Analyse des L2 (R) als eine aufsteigende
Folge abgeschlossener Unterräume Vem ⊂ L2 (R)
{0} ⊂ . . . ⊂ Ve2 ⊂ Ve1 ⊂ Ve0 ⊂ Ve−1 ⊂ Ve−2 ⊂ . . . ⊂ L2 (R)
(1.8)
definiert, so dass
[
Vem = L2 (R),
m∈Z
\
Vem = {0}
und
m∈Z
f (·) ∈ Vem ⇔ f (2m ·) ∈ Ve0
(1.9)
6
gilt. Die ersten beiden Bedingungen nach Gleichung (1.9) können auch durch andere
Familien {Vem }m∈Z erfüllt werden. Erst die dritte Eigenschaft aus Gleichung (1.9) definiert
eine Multiskalen-Analyse. Diese besagt, dass die Räume Vem skalierbare Versionen des
Grundraumes Ve0 sind. Analog [Louis, 1998] existiert eine Funktion ϕ
e ∈ L2 (R), deren
ganzzahlige Translate eine Riesz-Basis von Ve0 erzeugen.
e − k)|k ∈ Z}
Ve0 = span{ϕ(·
und
A
X
k∈Z
(1.10)
c2k ≤ k
X
ck ϕ(·
e − k)k2L2 ≤ B
k∈Z
X
c2k ,
∀ {ck }k∈Z
k∈Z
Hierbei stellen A und B positive Konstanten dar. Der Grundraum Ve0 wird somit nach
e aufgespannt. Aus Gleichung (1.10)
Gleichung (1.10) durch Translation einer Funktion ϕ
folgt weiterhin die Translationsinvarianz des Raumes Ve0
f ∈ Ve0 ⇔ f (· − k) ∈ Ve0 ,
∀ k ∈ Z,
(1.11)
woraus gemeinsam mit Gleichung (1.9)
f ∈ Vem ⇔ f (· − 2m k) ∈ Vem ,
∀k ∈ Z
(1.12)
folgt.
1.2.2
Skalierungsfunktion
Aus Gleichung (1.12) können Funktionen
m
ϕ
em,n = 2− 2 ϕ(2
e −m t − n)
(1.13)
abgeleitet werden, die den Raum Vem aufspannen.
Vem = span{ϕ
em,n |n ∈ Z}
(1.14)
Diese Funktionen werden Synthese-Skalierungsfunktionen genannt. Nach Gleichung (1.10)
folgt ϕ
e ∈ Ve0 ⊂ Ve−1 . Darauf aufbauend existiert mit einer Folge {e
ak }k∈Z die 2-Skalenrelation
√ X
e
ak ϕ(2t
e − k).
ϕ(t)
e = 2
(1.15)
k∈Z
In der später erläuterten schnellen Wavelet-Transformation gewinnt eine weitere Gleichung
X
X
ϕ
em,n =
e
ak ϕ
em−1,k+2n =
e
ak−2n ϕ
em−1,k
(1.16)
k∈Z
k∈Z
7
an Bedeutung, welche sich unmittelbar aus den Gleichungen (1.13) und (1.15) ableitet.
Weiterhin ist ϕ
e integrierbar und erfüllt die Mittelungseigenschaft
Z∞
ϕ(t)dt
e
= 1.
(1.17)
−∞
Die biorthogonale Wavelet-Transformation geht prinzipiell von zwei verschiedenen Funktionen für die Transformation (Analyse) und Rekonstruktion (Synthese) aus. Analog der
Gleichungen für die Synthese-Skalierungsfunktionen ϕ
e lassen sich Analyse-Skalierungsfunktionen ϕ herleiten. So ergeben sich
m
ϕm,n = 2− 2 ϕ(2−m t − n),
(1.18)
welche zusammen mit den Synthese-Skalierungsfunktionen ϕ
e einen orthonormierten Raum
aufspannen und demzufolge die Biorthogonalitätsbedingung, oder auch Dualitätsbedingung genannt, für eine feste Skala m
hϕm,k , ϕ
em,l i = δk,l
(1.19)
erfüllen. Ebenso kann mit einer Folge {ak }k∈Z eine 2-Skalenrelation für die AnalyseSkalierungsfunktion
√ X
ϕ(t) = 2
ak ϕ(2t − k)
(1.20)
k∈Z
analog Gleichung (1.15) gebildet werden. Es folgt aus Gleichung (1.18) und (1.20)
X
X
ϕm,n =
ak ϕm−1,k+2n =
ak−2n ϕm−1,k .
(1.21)
k∈Z
k∈Z
Die Analyse-Skalierungsfunktion ist ebenfalls integrierbar und erfüllt die Mittelungseigenschaft
Z∞
ϕ(t)dt = 1.
(1.22)
−∞
Die Werte der Folgen ak und e
ak werden auch als Koeffizienten der Analyse- bzw. SyntheseSkalierungsfunktion bezeichnet. Diese Koeffizienten genügen nach [Bäni, 2002] den Bedingungen
X
X
√
ak =
e
ak = 2
k∈Z
k∈Z
(1.23)
X
ak e
ak+2n = δ0,n
∀ n ∈ Z,
k∈Z
welche sich direkt aus den Gleichungen (1.19), (1.15), (1.17), (1.20) und (1.22) herleiten
lassen. Für jedes Waveletsystem, bestehend aus Skalierungsfunktionen und Wavelets,
können diese Koeffizienten eindeutig bestimmt werden. Die Berechnung der spezifischen
Koeffizienten wird in Kapitel 2 gezeigt.
1.2.3
8
Wavelet
Es existiert zu jeder Synthese-Skalierungsfunktion ϕ
e innerhalb einer Multiskalen-Analyse
e dessen translatierte und dilatierte Versionen
ein Synthese-Wavelet ψ,
m
e −m t − n)
ψem,n = 2− 2 ψ(2
(1.24)
fm bilden. Darüber hinaus kann das Wavelet
für ein festes m ∈ Z eine Basis des Raumes W
mit Hilfe der Skalierungsfuntion ϕ
e und der Folge {ebk }k∈Z dargestellt werden.
√ X
ebk ϕ(2t
e = 2
e − k)
ψ(t)
(1.25)
k∈Z
Auch hier ist
ψem,n =
X
ebk ϕ
em−1,k+2n =
k∈Z
X
ebk−2n ϕ
em−1,k ,
(1.26)
k∈Z
resultierend aus den Gleichungen (1.24), (1.25) und (1.13), bedeutend für die schnelle
Wavelet-Transformation. Wie die Skalierungsfunktion soll auch das Wavelet integrierbar
sein und die Eigenschaft
Z∞
e
ψ(t)dt
=0
(1.27)
−∞
besitzen. Um dies zu erfüllen, muss das Wavelet eine oszillierende Funktion sein, also
wellenartigen Charakter besitzen, woraus die englisch-französische Bezeichnung“Wavelet”
entstanden ist.
Weiterhin existiert zu jeder Analyse-Skalierungsfunktion ϕ ein Analyse-Wavelet, welches
analog Gleichung (1.24) mit
m
ψm,n = 2− 2 ψ(2−m t − n)
(1.28)
darstellbar ist. Das Analyse-Wavelet lässt sich ebenfalls mit Hilfe der Analyse-Skalierungsfunktion und einer Folge {bk }k∈Z darstellen.
√ X
ψ(t) = 2
bk ϕ(2t − k)
(1.29)
k∈Z
Zur Herleitung der schnellen Wavelet-Transformation ist die Gleichung
X
X
ψm,n =
bk ϕm−1,k+2n =
bk−2n ϕm−1,k ,
k∈Z
(1.30)
k∈Z
resultierend aus den Gleichungen (1.28), (1.29) und (1.18), existenziell. Auch das AnalyseWavelet ist integrierbar und erfüllt die Bedingung
Z∞
ψ(t)dt = 0.
−∞
(1.31)
9
Nach [Bäni, 2002] sind die Wavelets ψm,n und ψem,n biorthogonal oder dual zueinander.
D
E
ψm,n , ψek,l = δm,k δn,l
(1.32)
Zwischen den Skalierungsfunktionen und Wavelets besteht nach [Markwardt, 2003b] außerdem der Zusammenhang
D
E
e
ϕm,n , ψk,l = hϕ
em,n , ψk,l i = 0
∀ m ≥ k.
(1.33)
Die Folgen {bk }k∈Z und {ebk }k∈Z werden nun Koeffizienten des Analyse- bzw. SyntheseWavelets genannt, welche mit Hilfe der Koeffizienten der Skalierungsfunktionen ak und
e
ak durch
ebk = (−1)k al−k ,
(1.34)
bk = (−1)k e
al−k
und
l ∈ Zodd
definiert sind. Durch Integration der Gleichungen (1.25) und (1.29), sowie unter Beachtung der Gleichungen (1.17), (1.27), (1.22) und (1.31), sind die Bedingungen
X
X
ebk = 0
bk =
(1.35)
k∈Z
k∈Z
ableitbar.
1.3
Schnelle Wavelet-Transformation (FWT)
Die im Abschnitt 1.2 erklärte Multiskalen-Analyse stellt die Grundlage der schnellen
Wavelet-Transformation dar. Dieser sogenannte Mallat-Algorithmus ist eine sehr effiziente und numerisch stabile Methode, um die diskrete Wavelet-Transformation elegant
und einfach durchzuführen.
1.3.1
Transformation
em f ist mit Hilfe der Skalierungsfunktion ϕ
Eine Approximation P
e darstellbar. Für die Approximationskoeffizienten (nach [Louis, 1998] auch Entwicklungskoeffizienten) {cm,k }m,k∈Z
der besten L2 -Approximation
X
em f =
cm,k ϕ
em,k
∀m∈Z
P
(1.36)
k∈Z
einer Funktion f gilt nach [Markwardt, 2003b]
cm,k = hϕm,k , f i ,
(1.37)
da die Skalierungsfunktionen ϕm,k und ϕ
em,k nach Gleichung (1.19) eine biorthogonale
em f durch
Familie bilden. Mit Hilfe der Wavelets sind die Details Q
X
em f =
dm,k ψem,k
Q
∀m∈Z
(1.38)
k∈Z
10
darstellbar, wobei die Wavelets ψm,k und ψem,k nach Gleichung (1.32) ebenfalls eine biorthogonale Familie bilden und somit die Waveletkoeffizienten {dm,k }m,k∈Z mit
dm,k = hψm,k , f i
(1.39)
berechnet werden können.
Ein Signal f ∈ Ve0 ⊂ L2 (R) nach Gleichung (1.7) kann mit Hilfe der Gleichungen (1.36)
und (1.38) als Reihe
e0 f =
f (t) = P
X
cm=M,k ϕ
em=M,k +
M X
X
dm,k ψem,k
(1.40)
m=1 k∈Z
k∈Z
dargestellt werden.
Das Ziel soll nun sein, die Approximationskoeffizienten cm,k und Waveletkoeffizienten
dm,k schnell und effizient zu berechnen. Aus der Multiplikation der Gleichungen (1.21)
und (1.30) beidseitig mit der Funktion f im Sinne des Skalarproduktes
X
X
bk−2n hϕm−1,k , f i
ak−2n hϕm−1,k , f i
und
hψm,n , f i =
hϕm,n , f i =
k∈Z
k∈Z
folgt unter Anwendung der Gleichungen (1.37) und (1.39)
X
X
bk−2n cm−1,k .
ak−2n cm−1,k
und
dm,n =
cm,n =
(1.41)
k∈Z
k∈Z
Somit ist es möglich, die Approximationskoeffizienten cm,n und Waveletkoeffizienten dm,n
rekursiv mit Hilfe der Koeffizienten der Skalierungsfunktion und des Wavelets zu berechnen. Hierzu ist jedoch die Kenntnis von cm0 ,n , den Approximationskoeffizienten für
die feinste zu betrachtende Skala 2m0 , notwendig. Dieses Anfangswertproblem kann im
diskreten Fall nicht exakt gelöst werden.
Dazu wird, vereinfachend für eine Funktion mit äquidistanten Abtastwerten, m0 = 0 und
c0,n = fn angenommen. Unter dieser Bedingung folgt mit Gleichung (1.36) und (1.40)
X
X
e0 f =
f (t) = P
c0,n ϕ
e0,n =
fn ϕ
e0,n .
(1.42)
n∈Z
n∈Z
Zur Rechtfertigung des sogenannten “wavelet crimes” und Abminderung des dabei entstehenden Fehlers gibt [Bäni, 2002] drei vorteilhafte Eigenschaften der Skalierungsfunktion
ϕ
e an. So soll die Skalierungsfunktion ϕ
e nicht nur einen endlichen, sondern einen kompakten, also nur in einem bestimmten Intervall wesentlich von Null verschieden, Träger
besitzen. Weiterhin sollte die Skalierungsfunktion interpolierend sein. Eine große Anzahl
an verschwindenen Momenten der Skalierungsfunktion ist ebenfalls fehlerabmindernd.
11
Prinzipiell ist der enstehende Fehler jedoch auch von der diskreten Funktion f selbst
abhängig und kann durch Verringerung der Zeitintervalle zwischen den Abtastwerten reduziert werden. Zur weiteren intensiveren Nachforschung sei hier auf [Sweldens, 1993]
verwiesen.
cm0
H
..................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .
..
...................
G
cm0 +1
dm0 +1
H
..................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .
..
...................
G
cm0 +2 . . .
dm0 +2
Abbildung 1.3: Zerlegung mit der schnellen Wavelet-Transformation
Das Prinzip der schnellen Wavelet-Transformation ist zur besseren Übersichtlichkeit nochmals in Abbildung 1.3 dargestellt. Hierbei werden die Operatoren H und G vereinfachend
für Gleichung (1.41) eingeführt.
{cm,n } = H {cm−1,n }
1.3.2
und
{dm,n } = G {cm−1,n }
(1.43)
Rekonstruktion
Nachdem die Zerlegung einer Wavelet-Transformation erklärt wurde, soll die Rekonstruktion näher betrachtet werden. Hierzu wird die Synthese-Skalierungsfunktion ϕ
e und das
e bzw. deren Koeffizienten e
Synthese-Wavelet ψ,
ak und ebk verwendet.
Ausgehend von den Gleichungen (1.4), (1.36) und (1.38) folgt die Formulierung
X
X
X
dm,k ψem,k ,
cm−1,k ϕ
em−1,k =
cm,k ϕ
em,k +
(1.44)
k∈Z
k∈Z
k∈Z
welche nun beidseitig im Sinne des Skalarproduktes mit ϕm−1,n multipliziert wird.
D
E
X
X
X
e
cm−1,k hϕ
em−1,k , ϕm−1,n i =
cm,k hϕ
em,k , ϕm−1,n i +
dm,k ψm,k , ϕm−1,n
(1.45)
k∈Z
k∈Z
k∈Z
Mit Hilfe der Biorthogonalitätsbedingungen nach Gleichung (1.19) und den Gleichungen
(1.16) und (1.26) folgt das Rekursionsschema
X
X
ebn−2k dm,k
cm−1,n =
e
an−2k cm,k +
(1.46)
k∈Z
k∈Z
zur Berechnung der Approximationskoeffizienten cm−1,n in der Skala 2m−1 aus den Approximationskoeffizienten cm,n und den Waveletkoeffizienten dm,n der Skala 2m .
Abbildung 1.4 zeigt das Schema der schnellen Wavelet-Rekonstruktion, wobei die Operae und Ge zur vereinfachenden Darstellung der Gleichung (1.46) verwendet werden.
toren H
e {cm,n } + Ge {dm,n }
{cm−1,n } = H
(1.47)
cm0
e
H
................................................
............
.........
. ......
.....
.....
.....
.....
.....
....
Ge
cm0 +1
dm0 +1
e
H
................................................
............
.........
. ......
.....
.....
.....
.....
.....
....
Ge
12
cm0 +2 . . .
dm0 +2
Abbildung 1.4: Rekonstruktion mit der schnellen Wavelet-Rekonstruktion
1.3.3
Filterbankdarstellung
In der digitalen Signalanalyse ist die Darstellung des Algorithmusses der Wavelet-Transformation und Wavelet-Rekonstruktion in einer Filterbank sehr gebräuchlich. Aufgrund
der Übersichtlichkeit und besseren Darstellung für die spätere Programmierung, soll auch
diese Darstellungsform vorgestellt werden.
Zur Transformation werden in jedem Schritt des Algorithmusses zwei Faltungen nötig, die
durch die bereits eingeführten Operatoren H und G berechnet werden. Weiterhin wird ein
Down-Sampling (auch Sub-Sampling) ↓2 durchgeführt, welches die Komponenten einer
Zahlenfolge, in diesem Fall die Approximations- und Waveletkoeffizienten, mit ungerader Nummer ausschließt und anschließend die verbleibenden Komponenten mit 2n 7→ n
umnummeriert. Auf diese Weise erhält man eine sogenannte dyadische Zerlegung des
Signals.
e
Für die Rekonstruktion sind ebenfalls zwei Faltungen nötig, die durch die Operatoren H
und Ge beschrieben werden. Zuvor wird jedoch ein Up-Sampling ↑2 durchgeführt, welches
die Komponenten der Approximationskoeffizienten und Waveletkoeffizienten verdoppelt,
indem zwischen jedem Wert eine Null eingefügt wird.
Abbildung 1.5 zeigt das Vorgehen der Zerlegung (Analyse) und der Rekonstruktion (Synthese) zwischen den Skalen 2m und 2m+1 .
.........................
.........................
..
...
..
..
..............................
..................................
.......................................
...
....
...
...
....
...
........................
...
......................
...
...
...
...
................................
...
...
...
...
...
......................
......................
...
...
...
...
...
.........................................
..................................
...............................
...
...
..
..
...........................
...........................
H
cm
G
↓2
↓2
Analyse
cm+1
dm+1
.........................
.........................
..
...
...
...
................................
................................
....................................
...
...
..
..
..
...
........................
.........................
...
...
...
...
...
.
................................
....
..
...
...
........................
.......................
....
..
...
..
...
.
.
.
.
.
.
..............................
...............................
..............................
...
..
...
....
.........................
.........................
↑2
↑2
e
H
cm
e
G
Synthese
Abbildung 1.5: Filterbankdarstellung
Falls die Filter bzw. die Koeffizienten der Skalierungsfunktion und des Wavelets eine
perfekte Rekonstruktion (PR) zulassen, ist es möglich, die Funktion f zu zerlegen und
anschließend exakt wieder aus den Approximationskoeffizienten und Waveletkoeffizienten
zu rekonstruieren.
13
Sollen jedoch Eigenschaften des Signals f herausgehoben oder minimiert, also ein Thresholding durchgeführt werden, so können die Waveletkoeffizienten bzw. die Approximationskoeffizienten entsprechend modifiziert und dann für die Rekonstruktion (Synthese)
verwendet werden.
1.4
Differentiation und Integration
Dynamische Probleme des Bauingenieurwesens lassen sich zumeist in Form der allgemeinen Bewegungsgleichung
[M ] {ẍ} + [C] {ẋ} + [K] {x} = {f }
(1.48)
mit der Massenmatrix [M ], der Dämpfungsmatrix [C] und der Steifigkeitsmatrix [K] darstellen. {f } bezeichnet den Kraftvektor. In dynamischen Experimenten sind grundsätzlich
Messungen der Verschiebungen {x}, der Geschwindigkeiten {ẋ} und der Beschleunigungen {ẍ} möglich.
Um eine Umrechnung zwischen den Bewegungsgrößen zu ermöglichen, wird ein linearer
Operator K eingeführt. Ausführliche Darstellungen hierzu sind in [Markwardt, 2003b]
und [Zabel, 2003] zu finden. Auf dem Anwendungsgebiet der Dynamik sind kausale Operatoren K ∈ Hλ für die Differentiation Dλ und Integration I λ bis zu einer Ordnung λ = 2
von Bedeutung. Hierbei gelten die Zuordnungen
dλ
,
dtλ
Dλ ∈ Hλ ,
I λ = D−λ ,
I λ ∈ H−λ ,
Dλ =
λ = 1, 2, ...
,
(1.49)
λ = 1, 2, ...
.
In dieser Arbeit sollen nur die Grundgedanken anhand des Differentiations- und Integrationsoperators dargestellt werden. Eine konkrete Anwendung wird am Beispiel einer
Systemidentifikation in Kapitel 3 gezeigt.
Zunächst werden einige Grundlagen erläutert, um dann im Abschnitt 1.4.4 auf das Verfahren der Differentiation und Integration im Rahmen der Wavelet-Transformation eingehen
zu können.
1.4.1
Lawton-Matrix
Die Biorthogonalitätsbedingungen nach den Gleichungen (1.19) und (1.32) können mit
Hilfe der Lawton-Matrix [L] dargestellt werden. Dieses Kriterium geht ursprünglich auf
[Lawton, 1991] zurück und wurde von [Markwardt, 2003b] für biorthogonale Waveletsysteme erweitert. Hierfür sind die Korrelationskoeffizienten nötig. Diese ergeben sich nach
14
[Markwardt, 2003b] für reelle Koeffizienten ak , e
ak , bk und ebk mit l ∈ Z zu
X
X
X
X
(1)
(2)
αl =
ak e
ak+l , βl =
bkebk+l , γl =
akebk+l , γl =
bk e
ak+l .
k∈Z
k∈Z
k∈Z
(1.50)
k∈Z
In der Literatur werden die Korrelationskoeffizienten der biorthogonalen Koeffizientenpaare auch Korrelationskoeffizienten 2-ter Art genannt, um diese von denen der orthogonalen zu unterscheiden. Die Gleichungen (1.50) sind jedoch auch für den orthogonalen
Fall anwendbar, wenn ak = e
ak und bk = ebk gilt.
Die Korrelationskoeffizienten 2-ter Art genügen nach [Markwardt, 2003b] den Beziehungen
(1)
(2)
(1.51)
α2l = δ0l ,
β2l = δ0l und γ2l = γ2l = 0
∀l ∈Z
sowie
α0 = 1,
X
α2k−1 = 1 und
k∈Z
X
(−1)k αk = 0
(1.52)
k∈Z
Außendem gilt für |k| > N − 1
(1)
(2)
(1.53)
αk = βk = γk = γk = 0
Es gilt, sowohl für die biorthogonalen B-Spline Waveletsysteme aufgrund ihrer Koeffizientensymmetrie, als auch für die Daubechies Waveletsysteme, die Beziehung
α−l = αl
∀ l ∈ Z.
Die Lawton-Matrix [L] wird aus den Korrelationskoeffizienten nach Gleichung (1.50) mit
dem Schema
[L] (α) = ((Lij )) = (α2i−j ) mit i, j = 2 − N, ..., N − 2
(1.54)
[L] ∈ R
(2N −3)×(2N −3)
berechnet. Nach [Markwardt, 2003b] ist ein Waveltsystem orthonormal, wenn λ = 1 ein
einfacher Eigenwert der Lawton-Matrix nach Gleichung (1.54) ist.
Interessant ist die Tatsache, dass bei einer spezifischen Trägerlänge N 0 = Na +2 Na , ähnliche
Lawton-Matrizen und gleiche positive Eigenwerte entstehen. Dies ist besonders bei der
Bestimmung der Grundkoeffizienten für spezielle Operatoranwendungen, z.B. der Differentiation oder Integration, von entscheidender Bedeutung.
Die Eigenwerte der Lawton-Matrix für unterschiedliche Waveletsysteme sind im Anhang
C angeführt.
e
Diese Feststellung konnte für alle in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme gemacht werden, und wird stellvertretend an einem Beispiel
für das Daubechies Waveletsystem D2 und das B-Spline Waveletsystem BSP 1 3 gezeigt.
15
Beispiel Lawton-Matrix: Die Koeffizienten der Skalierungsfunktionen des Daubechies
Waveletsystems D2 sind mit
h
i h
i
a1 a2 a3 a4 = e
a1 e
a2 e
a3 e
a4
− 21
=2
h
0.6830127019 1.183012702 0.3169872981 −0.1830127019
i
gegeben. Daraus folgen die Koeffizientenanzahlen der Analyse-Skalierungsfunktion und
ea = 4. Für die Korrelationskoeffizienten 2-ter
Synthese-Skalierungsfunktion mit Na = N
Art folgt unter Anwendung der Gleichung (1.50)
α−3
α−2
α−1
α0
α1
α2
α3
= a4 e
a1
= a3 e
a1 + a4 e
a2
= a2 e
a1 + a3 e
a2 + a4 e
a3
= a1 e
a1 + a2 e
a2 + a3 e
a3 + a4 e
a4
= a1 e
a2 + a2 e
a3 + a3 e
a4
= a1 e
a3 + a2 e
a4
= a1 e
a4
1
= − 16
=
0
9
=
16
=
1
9
=
16
=
0
1
= − 16
Aus Gleichung (1.54) ist die Lawton-Matrix

α−2 α−3 0
0
0

 α0 α−1 α−2 α−3 0

[L] = 
 α2 α1 α0 α−1 α−2

α3 α2 α1 α0
 0
0
0
0
α3 α2








berechenbar. Die Eigenwerte sind 20 , 2−1 , 2−2 , 2−2 und 2−3 .
Das biortogonale B-Spline Waveletsystem BSP 1 3 hat folgende Koeffizienten der Analyseund Synthese-Skalierungsfunktionen.
h
i
h
i
− 12
a1 a2 a3 a4 a5 a6 = 2
0 0 1 1 0 0
und
h
e
a1 e
a2 e
a3 e
a4 e
a5 e
a6
i
1
= 2− 2
h
− 18
1
8
1 1
1
8
− 81
i
Zur Koeffizientenanzahl werden nur die von Null verschiedenen Werte gezählt. Somit ist
ea = 6. Für die Korrelationskoeffizienten 2-ter Art nach Gleichung (1.50)
Na = 2 und N
16
folgt
α−5
α−4
α−3
α−2
α−1
α0
α1
α2
α3
α4
α5
= a6 e
a1
= a5 e
a1 + a6 e
a2
= a4 e
a1 + a5e
a2 + a6 e
a3
= a3 e
a1 + a4 e
a2 + a5 e
a3 + a6 e
a4
= a2 e
a1 + a3e
a2 + a4 e
a3 + a5e
a4 + a6 e
a5
= a1 e
a1 + a2 e
a2 + a3 e
a3 + a4 e
a4 + a5 e
a5 + a6 e
a6
= a1 e
a2 + a2e
a3 + a3 e
a4 + a4e
a5 + a5 e
a6
= a1 e
a3 + a2 e
a4 + a3 e
a5 + a4 e
a6
= a1 e
a4 + a2 e
a5 + a3 e
a6
= a1 e
a5 + a2 e
a6
= a1 e
a6
=
0
=
0
1
= − 16
=
0
9
=
16
=
1 ,
9
=
16
=
0
1
= − 16
=
0
=
0
und schließlich die Lawton-Matrix

α−4 α−5 0
0
0
0
0
0
0

 α−2 α−3 α−4 α−5 0
0
0
0
0

 α
0
0
 0 α−1 α−2 α−3 α−4 α−5 0

 α2 α1 α0 α−1 α−2 α−3 α−4 α−5 0

[L] = 
 α4 α3 α2 α1 α0 α−1 α−2 α−3 α−4

α5 α4 α3 α2 α1 α0 α−1 α−2
 0

 0
0
0
α5 α4 α3 α2 α1 α0

 0
0
0
0
0
α5 α4 α3 α2

0
0
0
0
0
0
0
α5 α4









.








Daraus ergeben sich die Eigenwerte 20 , 2−1 , 2−2 , 2−2 , 2−3 , 0, 0, −2−4 und −2−4 .
Beide Waveletsysteme besitzen eine spezifische Trägerlänge N 0 = 4. Der direkte Vergleich
zeigt die Übereinstimmung der Korrelationskoeffizienten 2-ter Art. Da die Dimensionen
der Lawton-Matrix nicht identisch sind, weichen diese geringfügig voneinander ab. Die
Gleichheit der positiven Eigenwerte ist dennoch gegeben.
1.4.2
Verbindungskoeffizienten
Ausgehend von den Gleichungen (1.13), (1.18),(1.24) und (1.28) werden die Verbindungskoeffizienten
Γj,n
e ϕ) = hKϕ
ei,k , ϕj,n i ,
i,k (ϕ,
e
Γj,n
i,k (ψ, ψ)
D
E
e
= Kψi,k , ψj,n ,
(1.55)
Γj,n
e ψ)
i,k (ϕ,
= hKϕ
ei,k , ψj,n i ,
D
E
e ϕ) = Kψei,k , ϕj,n
Γj,n
(
ψ,
i,k
17
eines Operators K ∈ Hλ nach [Markwardt, 2003b] definiert. Für jede der vier Aussagen
in Gleichung (1.55) wird vereinfachend für i = j = 0 die Bezeichnung
n
Γ0,n
0,k = Γk
(1.56)
eingeführt. Nach [Markwardt, 2003b] haben die Verbindungskoeffizienten Γj,n
i,k eines Operators K ∈ Hλ die Eigenschaften
iλ j−i,n−k2
Γj,n
i,k = 2 Γ0,0
1.4.3
(j−i)
(1.57)
,
iλ 0,n−k
,
Γi,n
= 2iλ Γn−k
0
i,k = 2 Γ0,0
(1.58)
i,n
i,n−k
Γi,n+l
,
i,k+l = Γi,k = Γi,0
(1.59)
lλ j−l,n
Γj,n
i,k = 2 Γi−l,k .
(1.60)
Grundkoeffizienten
Basierend auf Gleichung (1.55) sollen die Verbindungskoeffizienten für i = j = k = 0
n
Γ0,n
0,0 (ϕ) = Γ0
(1.61)
Grundkoeffizienten des linearen Operators K genannt werden. Mit Hilfe der LawtonMatrix nach Gleichung (1.54) und den Korrelationskoeffizienten nach Gleichung (1.50)
e ϕ) nach [Markwardt, 2003b] aus dem Gleichungssystem
sind die Grundkoeffizienten Γν0 (ϕ,
N
−2
X
(Lkν − 2−λ δkν )Γν0 (ϕ,
e ϕ) = −
X
α2k−ν gν
(1.62)
ν>N −2
ν=2−N
bestimmbar. Hierbei sind die Koeffizienten {gν }ν∈Z entsprechend des jeweiligen Operators K festzulegen. Im vorliegenden Fall muss zwischen Differentiation und Integration
unterschieden werden.
Differentiation: Im Falle der Differentiation wird für alle ν ∈ Z gν = 0, so dass das
Gleichungssystem (1.62) homogen und somit singulär wird. Für eine eindeutige Lösung ist
demnach noch eine weitere inhomogene Gleichung notwendig, die nach [Markwardt, 2003b]
durch
N
−2
X
ν λ Γν0 (λ) = (−1)λ λ!
(1.63)
ν=2−N
gegeben ist. Somit sind die Grundkoeffizienten für den Differentiationsoperator Dλ mit
Hilfe der Gleichungen (1.62) und (1.63) genau dann eindeutig bestimmbar, wenn µ = 2−λ
18
ein einfacher Eigenwert der Lawton-Matrix nach Gleichung (1.54) ist. Anderenfalls ist das
Waveletsystem nicht für derartige Differentiationsoperatoren geeignet. Die Eigenwerte der
Lawton-Matrix ausgewählter Waveletsysteme sind im Anhang C zusammengestellt.
Integration: Für die Integration gilt
gν (−λ) = Γν0 (−λ) = I λ ϕ,
e ϕ0,ν
=
λ−1
X
κ=0
ν ≤N −1
(−1)κ
Mµ (ϕ)M
e λ−κ−1 (ϕ0,ν ).
κ!(λ − µ − 1)!
(1.64)
wobei die auftretenden Momente
κ−1
Mκ (ϕ)
e =
X κ
1
mκ−l (e
a)Ml (ϕ),
e
2(2µ − 1) l=0 l
M0 (ϕ)
e =1
(1.65)
und
Mr (ϕ0,ν ) =
r X
r
l=0
l
ν r−l Ml (ϕ)
(1.66)
mit Mµ (ϕ) =
µ−1 X
κ
1
− 1)
2(2κ
l=0
l
mκ−l (a)Ml (ϕ),
M0 (ϕ) = 1
rekursiv mit Hilfe der diskreten Momente
N
√ X
l s al
ms (a) = 2
N
√ X
und ms (e
a) = 2
ls e
al
l=1
(1.67)
l=1
berechnet werden können.
Nach den rekursiven Berechnungsvorschriften der Gleichungen (1.64), (1.66) und (1.67)
ergeben sich die gesuchten Werte zu
gν (−1) = 1,
und
1
gν (−2) = ν + [m1 (a) − m1 (e
a)] .
2
(1.68)
Da für biorthogonale B-Spline Waveletsysteme Koeffizientensymmetrie vorliegt, ist ähnlich den orthogonalen Daubechies Waveletsystemen die Beziehung
m1 (a) = m1 (e
a)
(1.69)
gültig. Dies kann allgemein für Waveletsysteme mit einer Trägerlängen N gezeigt werden.
Ausgehend von Gleichung (1.67) und s = 1 folgt
N
X
l=1
lal =
N
X
l=1
le
al .
19
Nun können aus der Symmetrie folgend die Koeffizienten zusammengefasst und der entsprechende Vorfaktor ausgeklammert werden.
(N + 1)
N
N
2
X
2
X
al = (N + 1)
l=1
e
al
l=1
Ebenfalls aus der Symmetrie folgend und Gleichung (1.23) resultiert
2
N
N
2
X
2
X
al = 2
{z }
| l=1
N
X
al
e
al ,
{z }
| l=1
N
X
e
al
l=1
l=1
was Gleichung (1.69) bestätigt.
Somit sind die Koeffizienten gν ∀ ν ∈ Z für die Daubechies, B-Spline und modifizierten
B-Spline Waveletsysteme der in Tabelle 1.1 dargestellten Operatoren gültig.
Operator D2
gν
0
D1
0
I1
1
I2
ν
Tabelle 1.1: Koeffizienten gν für Differentiations- und Integrationsoperatoren erster und
zweiter Ordnung
Sind die spezifischen Trägerlängen N 0 = Na +2 Na von Waveletsystemen gleich, so sind, aufgrund ähnlicher Lawton-Matrizen, auch deren Grundkoeffizienten identisch. Dies konnte
zumindest für alle in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme nachgewiesen werden.
Aus den formalen Berechnungen folgen z.B. für das Waveletsystem D2 die Grundkoeffizienten



0.0833333333333333 










−0.666666666666667


ν
(1.70)
Γ0 =
0





0.666666666666667 





 −0.0833333333333333 

e
und für das B-Spline Waveletsystem BSP 1 3


0





0





0.0833333333333333





 −0.666666666666667
ν
Γ0 =
0



0.666666666666667





−0.0833333333333333





0




0


















20
.
(1.71)

















Aus dem nachfolgend erläuterten Algorithmus zur Differentiation und Integration wird
leicht ersichtlich, dass die Null-Werte am Anfang und am Ende keine Bedeutung besitzen
und daher vernachlässigt werden können. Infolge dessen sind die Grundkoeffizienten der
e
Waveletsysteme D2 und BSP 1 3 mit Na +2 Na = 4 gleich.
1.4.4
Anwendung der Grundkoeffizienten
Auf das Signal f ∈ Ve0 ⊂ L2 (R) nach Gleichung (1.40) wird nach der M -ten Zerlegung
ein linearer Operator K ∈ Hλ angewendet
e0 f =
Kf = KP
X
cM,k Kϕ
eM,k +
M X
X
dm,k Kψem,k ,
(1.72)
m=1 k∈Z
k∈Z
und anschließend im Sinne des Skalarproduktes mit ϕ0,n multipliziert
D
E
e0 f, ϕ0,n
hKf, ϕ0,n i = KP
=
X
cM,k hKϕ
eM,k , ϕ0,n i +
M X
X
(1.73)
D
E
dm,k Kψem,k , ϕ0,n .
m=1 k∈Z
k∈Z
Mit Hilfe der Verbindungskoeffizienten Γj,n
i,k nach Gleichung (1.55) folgt vereinfachend
D
E
e0 f, ϕ0,n
hKf, ϕ0,n i = KP
=
X
cM,k Γ0,n
M,k
(ϕ,
e ϕ) +
M X
X
(1.74)
dm,k Γ0,n
m,k
eϕ .
ψ,
m=1 k∈Z
k∈Z
Somit ist ein Signal unter Zuhilfenahme einer Wavelet-Zerlegung, durch Austausch von
Skalierungsfunktionen und Wavelets mit den Verbindungkoeffizienten, darstellbar. In
Analogie zur Gleichung (1.42) ist Gleichung (1.74) auf der Grundskala mit m = M = 0
gegeben durch
D
E X
e0 f, ϕ0,n =
c0,k Γ0,n
e ϕ) .
KP
0,k (ϕ,
(1.75)
k∈Z
e0 f folgt
Unter Anwendung der Gleichung (1.42) auf KP
*
+
D
E
X
X
e0 f, ϕ0,n =
KP
Kfk ϕ
e0,k , ϕ0,n =
Kfk hϕ
e0,k , ϕ0,n i
k∈Z
21
(1.76)
k∈Z
Die Biorthogonalitätsbedingung nach Gleichung (1.19), angewendet auf Gleichung (1.76)
unter der Annahme c0,k = fk nach Gleichung (1.42), schlussfolgert
X
{Kf }n =
fk Γ0,n
e ϕ) .
0,k (ϕ,
(1.77)
k∈Z
Mit Hilfe der Grundkoeffizienten Γν0 und der Eigenschaft der Verbindungkoeffizienten
nach Gleichung (1.59) gilt vereinfachend
X
{Kf }n =
e ϕ) mit ν = n − k .
fk Γν0 (ϕ,
(1.78)
k∈Z
Somit ist es möglich, eine Approximation der Ableitung oder des Integrals einer Funktion
f ausschließlich mit Hilfe der Grundkoeffizienten Γν0 und den diskreten Abtastwerten der
Funktion fk zu berechnen. Gleichung (1.78) stellt eine schnelle und stabile Methode zur
Anwendung linearer Operatoren innerhalb der Wavelet-Transformations-Theorie dar.
1.5
Graphische Darstellung der Filter
In der diskreten Wavelet-Transformation ist die Kenntnis der Skalierungsfunktion und des
Wavelets selbst nicht nötig. Vielmehr werden diese durch eine geringe Anzahl von Koeffizienten beschrieben. Zur visuellen Beurteilung dieser Funktionen in Bezug auf Regularität
oder Kompaktheit der Träger der Funktionen ist oftmals der Graph sehr hilfreich.
Zur grafischen Veranschaulichung der Skalierungsfunktion und des Wavelets wird ein
Iterationsverfahren nach [Newland, 1993] verwendet, welches mit Hilfe der Koeffizienten
ak und bk eine Approximation der Graphen der Funktionen berechnet.
Ausgehend von der Dilatationsgleichung der Skalierungsfunktion nach Gleichung (1.20)
−1
X
√ N
ϕ(t) = 2
ak ϕ (2t − k)
(1.79)
k=0
lässt sich eine Iterationsgleichung
−1
X
√ N
ϕj (t) = 2
ak ϕj−1 (2t − k) mit
k=0
(
ϕ0 (t) =
1 0≤x<1
0 x < 0 und x ≥ 1
(1.80)
bestimmen, wobei ϕ0 die Haar-Skalierungsfunktion definiert. Zur besseren numerischen
Berechnung ist eine Matrix-Vektor-Schreibweise empfehlenswert. Der Vektor {ϕj } beinhaltet die Ordinaten-Werte des Graphen der Skalierungsfunktion, welche in Abhängigkeit
22
vom Iterationsschritt j durch
{ϕj } =
j
Y
[Mk ],
[Mk ] ∈ R[(2
k −1)N −(2k −2)
]×[(2k−1 −1)N −(2k−1 −2)]
(1.81)
k=1
definiert sind. Die Matrizen [Mk ] sind durch das Schema

a0

 a1

 a
a0
2

 .
 ..
a1


a0
 aN −1 a2

..

.
a1


...

aN −1 a2
[Mk ] = 

..
...

.


.

aN −1 . .


..
.


.

..





a0
a1
a2
..
.
aN −1






























(1.82)
gegeben. Aus dem Schema ist abzulesen, dass sich für k = 1 eine Matrix [M1 ] mit N
Reihen und einer Spalte ergibt, welche die Koeffizienten der Skalierungsfunktion enthalten. Diese stellen die Startmatrix der Iteration für die numerische Berechnung dar. Die
Abszissenwerte ergeben sich im Abstand von 2j , in Abhängigkeit des Iterationsschrittes
j, beginnend mit einem beliebigen ganzzahligen Startwert, welcher die Translation der
Skalierungsfunktion ermöglicht. Um eine beliebige Dilatation m zu ermöglichen, werden
ausgehend von der Dilatation m = 0 die Ordinatenwerte entsprechend Gleichung (1.18)
m
mit 2− 2 multipliziert und der Abstand der Abszissenwerte mit dem Faktor 2m vervielfacht.
Für das zugehöhrige Wavelet wird die Matrix [M1 ] durch die Koeffizienten des Wavelets
besetzt, wobei die Matrizen [Mk ] für k > 1 weiterhin mit den Koeffizienten der Skalierungsfunktion belegt werden. Dies resultiert aus der Dilatationsgleichung für das Wavelet
nach Gleichung (1.25). Somit folgt für die Approximation des Graphen des Wavelets
{ψj } =
h
b0 b1 b2 · · · bN −1
j
iY
[Mk ]
k=2
mit
[Mk ] ∈ R[(2
k −1)N −(2k −2)
(1.83)
]×[(2k−1 −1)N −(2k−1 −2)] .
Die Abszissenwerte und die Dilatationen sind analog der Skalierungsfunktion berechenbar.
23
In analoger Weise kann das beschriebene Iterationsverfahren auf die Synthese-Skalierungsfunktion und das Synthese-Wavelet übertragen werden.
Hinweis zur Implementation in das Programmsystem SLang :
Um eine möglichst schnelle und ressourcenschonende Iteration zu ermöglichen, wurden
die zuvor beschriebenen Matrixoperationen auf die von Null verschiedenen Operationen
reduziert. Die Abszissen- und Ordinatenwerte der Graphen können mit dem SLang -Befehl
wavelet info, filt_view BSP4_4, start_x max_j m , graphs/
abgerufen werden. Hierbei stellt start_x den ganzzahligen Abszissen-Startwert der Graphen, max_j die gewüschte Approximationsgenauigkeit und m die Dilatation der Skalierungsfunktion und des Wavelets dar.
Beispiel: In Abbildung 1.6 ist der Iterationsfortschritt für die Approximationsstufen
j = 2, 4 und 10 für die Analyse-Funktionen des Waveletsystems BSP R1 3 gezeigt. Die
Berechnung erfolgte auf der Skala 2m=0 mit dem Startwert x = −2.
ϕBSP R1 3
ψBSP R1 3
1.5
1.0
0.5
0.0
1.5
.............
.......
.............. ......
......... .. ..........
.. ......
..........
.
.. ......
......
.. ......
........
.. ......
.........
.. ......
........
.. .......
.
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.. .....
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.. ......
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......................................
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.
....
.
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.
.................... . ... ...........
...........
. .......
..........
............ ............
.
.
... .......
.
............ .............
....
........
....... ... .................
.. ............ ......
........
.........
....
..........
−0.5
−2
−1
... ... ... ... ... ..
0
1
maxj = 2
2
...............
3
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
................
. . .... ...
... .. ... .. ...
. .. ... .. .. ...
.. .. ... .... .... ....
.
.. .. .. .. ..
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....................... ..
.
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.
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.. ..
.
.
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.
.. . .. .... ... ......
. .
.. ......
................... .. ...
.........................
........................................................................
............................................................................................
.
. .. .. ................................................................
..
.
.
.
.
..................
.
.
.. .....
..
.. .. ..
...
.
.
.
.. .. ...
..
.. ...
.
.
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. .
.... ...
..
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..
... .. .. ..
..
.. .. ... .. ...
..
.. .. ... .. ..
.. ... .... .... .... ....
.
.. .... .. ...
.. .
.. ... .. ..
...
.. .... ..
...............
−1.5
−2
maxj = 4
...........................
−1
0
1
2
3
maxj = 10
Abbildung 1.6: Graphen des Waveletsystems BSP R1 3
Zwischen den Abtastwerten ist der approximierte Funktionsverlauf konstant. Diese Treppenfunktion wird jedoch durch lineare Verbindung der Abtastwerte vereinfacht. Deshalb
ergibt sich eine scheinbare Verschiebung in den niederen Approximationsstufen. Die gewählte größte Approximationsstufe von j = 10 zeigt einen nahezu ausiterierten Zustand
und ist für die meisten Anwendungen ausreichend.
Die Graphen der in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme sind in Anhang C dargestellt.
1.6
24
Fourier-Transformierte
In einigen Fällen ist die Notwendigkeit der Berechnung der Fourier-Transformierten der
Skalierungungsfunktion oder des Wavelets gegeben. Auch bei der Beurteilung von Frequenzbandüberlappungen und Frequenzlokalisierung ist dies von Interesse. Nähere Erläuterungen zu dieser Eigenschaft von Waveletsystemen werden in Kapitel 2 gegeben.
Im Folgenden wird eine effiziente Methode beschrieben, Approximationen der FourierTransformierten der Skalierungsfunktionen und des Wavelets zu berechnen. Dabei ist
nur die Kenntnis der Koeffizienten der Skalierungsfunktion und des Wavelets nötig. Die
Fourier-Transformation selbst wird nur zur Herleitung des Algorithmusses verwendet.
Im Allgemeinen ist die Fourier-Transformierte einer Funktion g(t), unter der VoraussetR∞
|g(t)| dt < ∞, gegeben durch
zung der absoluten Integrierbarkeit
−∞
Z∞
F(g(t))(ω) = gˆ(ω) =
g(t)e−ι ωt dt.
(1.84)
−∞
Ausgehend von Gleichung (1.15) wird die Fourier-Transformierte einer allgemeinen Funktion g(at + t0 ) benötigt. Diese ergibt nach Gleichung (1.84) und Substitution x = at + t0
Z∞
F(g(at + t0 ))(ω) = gˆ(ω) =
g(at + t0 )e−ι ωt dt
−∞
Z∞
=
g(x)e−ι ω
x−t0
a
1
dx
a
(1.85)
−∞
−1
= a−1 eι ωt0 a gˆ(a−1 ω).
Aufgrund der Gleichung (1.85) kann nun allgemein für eine Funktion ϕ(2j t − k) die
Fourier-Transformierte
−j
F(ϕ(2j t − k))(ω) = 2−j e−ι ωk2 ϕˆ(2−j ω)
(1.86)
gebildet werden. Unter Zuhilfenahme der Linearitätseigenschaft der Fourier-Transformation folgt, aus Anwendung der Gleichung (1.86) mit j = 1 auf Gleichung (1.20), die
Fourier-Transformierte der Skalierungsfunktion
N
√ X
−1
F(ϕ(t))(ω) = ϕˆ(ω) = 2
ak 2−1 e−ι ωk2 ϕˆ(2−1 ω).
(1.87)
k=1
Die Verallgemeinerung der Beziehung nach Gleichung (1.87) für beliebige j ergibt
j−1
F(ϕ(2
1−j
t))(ω) = 2
1−j
ϕˆ(2
N
√ X
−j
ω) = 2
ak 2−j e−ι ωk2 ϕˆ(2−j ω).
k=1
(1.88)
25
Hieraus folgt unmittelbar
N
1−j
ϕˆ(2
1 X
−j
ω) = √
ak e−ι ωk2 ϕˆ(2−j ω).
2
| k=1 {z
}
(1.89)
ma (2−j ω)
Nach Gleichung (1.89) kann die Fourier-Transformierte der Skalierungsfunktion ϕ(t)
durch sukzessives ineinander Einsetzen als Produkt
F(ϕ(t))(ω) = ϕˆ(ω) =
∞
Y
ma (2−j ω)
j=1
(1.90)
mit
N
1 X
−j
−j
ak e−ι ωk2
ma (2 ω) = √
2 k=1
dargestellt werden. In analoger Weise lässt sich für das Wavelet ψ(t) eine Fourier-Transformierte finden. Ausgehend von Gleichung (1.29) gilt
F(ψ(t))(ω) = ψˆ(ω) =
N
X
bk F(ϕ(2t − k))(ω)
k=1
mit
−1
F(ϕ(2t − k))(ω) = 2−1 e−ι ωk2 ϕˆ(2−1 ω)
(1.91)
N
1 X −ι ωk2−1
ϕˆ(2−1 ω)
bk e
=√
2
}
| k=1 {z
mb (2−1 ω)
Der Term ϕˆ(2−1 ω) lässt sich unmittelbar aus Gleichung (1.90) durch Veränderung des
Startindices von j = 1 auf j = 2 ableiten. Somit folgt für die Fourier-Transformierte des
Wavelets ψ(t).
−1
F(ψ(t))(ω) = ψˆ(ω) = mb (2 ω)
∞
Y
ma (2−j ω)
j=2
(1.92)
mit
1
mb (2−1 ω) = √
2
N
X
bk e−ι kω2
−1
k=1
Es ist nachweisbar, dass die unendliche Anzahl der Produkte in den Gleichungen (1.90)
und (1.92) schnell gegen die tatsächliche Lösung konvergiert. Für die meisten Anwendungen ist das Resultat aus einer Anzahl j = 10 hinreichend genau. In analoger Weise
lassen sich natürlich auch die Fourier-Transformierten der Synthese-Skalierungsfunktion
und des Synthese-Wavelts durch Ersetzen der Koeffizienten bestimmen.
26
Die numerische Berechnung der Fourier-Transformierten der Skalierungsfunktion und der
zugehörigen Wavelets erfolgt mit dem zuvor beschriebenen Algorithmus. Innerhalb des
Programmsystems SLang [Bucher, 2003] sind diese über den Befehl
wavelet info, fourier BSP1_3, max_j max_frequ accur m , fourier_trans/
abrufbar. Hierbei ist max_j die gewünschte maximale Anzahl der Produkte, max_frequ
die gewünschte maximale Frequenz, accur bestimmt die Auflösung der Frequenzwerte
und m die gewünschte Dilatation der Skalierungsfunktion und des Wavelets. Die Ausgabe fourier_trans stellt eine Matrix mit drei Spalten dar. Die erste Spalte enthält die
Abszissenwerte, die zweite und dritte Spalte die Fourier-Transformierte der Skalierungsfunktion und des Wavelets.
Beispiel: Abbildung 1.7 zeigt die Fourier-Transformierten der Analyse-Skalierungsfunktion
und des Analyse-Wavelets des Waveletsystems BSP 1 3 der Skala 2m=0 mit unterschiedlicher Anzahl an Produkten j, wobei die maximale Frequenz auf 20Hz und eine Auflösung
20
der Frequenz von 2accur=7
gewählt wurde.
0.5
0.0
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0
j=2
10
Frequenz [Hz]
...............
j=4
20
1.0
|ψˆ|BSP 1 3
|ϕˆ|BSP 1 3
1.0
0.5
0.0
...........................
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.......... .........
.......... .........
......... ........
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....
0
j=5
10
Frequenz [Hz]
...........................
20
FFT
Abbildung 1.7: Fourier-Transformierte des Waveletsystems BSP 1 3
Zum Vergleich wurde die schnelle Fourier-Transformation (FFT) auf eine Approximation des Graphen der beiden Funktionen angewendet. Es zeigt sich, dass bereits mit
j = 5 eine sehr gute Übereinstimmung, insbesondere im niedrigen Frequenzbereich, vorhanden ist, welches die Aussage nach sehr guter Konvergenz der Gleichung (1.90) unterstützt. Im Anhang C sind alle Fourier-Transformierten der in das Programmsystem SLang
[Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme mit unterschiedlichen Dilatationen dargestellt.
1.7
27
Hölder-Regularität
Die Beurteilung der Regularität oder des äquivalenten Kriteriums der Glattheit wird
meist mit dem Sobolev-Exponenten oder Hölder-Exponenten realisiert. Da die Skalierungsfunktion ϕ und das Wavelet ψ über die Gleichung (1.29) verbunden sind, gilt für
beide Funktionen die gleiche Regularitätsordnung. Deshalb sollen die folgenden Betrachtungen nur für die Skalierungsfunktion aufgestellt werden. Da die Sobolev-Regularität die
tatsächliche Regularität nach [Rioul, 1993] stark unterschätzt, soll diese nicht weiter verfolgt werden. Die zur Herleitung verwendeten Filter H(z) und H0 (z) werden ausführlich
in Abschnitt 2.2 erklärt.
Zur Abschätzung der Hölder-Regularität der Skalierungsfunktion aus deren Koeffizienten
stellt [Rioul, 1993] ein Verfahren vor, welches im, auf MATLAB [Misiti et al., 2002] basierenden, Programmpaket Uvi wave [González et al., 1996] umgesetzt wurde. [Rioul, 1993]
geht von dem Filter H(z) aus, der die Koeffizienten der Skalierungsfunktion enthält. Dieser Filter hat, abhängig vom Waveletsystem, genau p Nullstellen z = −1. Diese Nullstellen
werden zur Abschätzung der Hölder-Regularität eliminert. Der resultierende Filter H0 (z)
mit
H0 (z) = (1 + z −1 )−p H(z),
(1.93)
welcher weitere Nullstellen z 6= −1 enthält, wird um eine Regularitätsordnung von
1 − α ≥ 0 reduziert. Somit ergibt sich eine optimale Regularitätsordnung r
r = p − 1 + α ≤ p.
(1.94)
Exaktere Regularitätsordnungen können mit einem Filter H0j (z) und einer Iterationsordnung j ≥ 1 mit
j
Y
j
H0 (z) = H0 (z)
H0 (z 2i−1 )
(1.95)
i=1
erreicht werden, aus welchem sich eine Funktion hin im Zeitbreich ableiten lässt. Die
Abschätzung der Hölder-Regularität im Iterationsschritt j ist gegeben durch
rj = p − 1 + αj ≤ p
mit αi =
X
1
i
log2 (max
|fn+k2
i |).
n
i
k∈Z
(1.96)
Die Konvergenz dieser Iteration ist nach [Rioul, 1993] exponentiell. Somit wird eine exakte optimale Hölder-Regularität mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen bereits
mit einer Iterationsordnung von j = 20 erreicht.
28
Die numerische Bestimmung der Hölder-Regularität erfolgt über die soeben vorgestellte
iterative Berechnung. Der Algorithmus wurde der MATLAB-Routine tempreg.m des Programmpaketes Uvi wave [González et al., 1996] entnommen. Innerhalb des Programmsystems SLang [Bucher, 2003] ist die Hölder-Regularität über den Befehl
wavelet info, holder_smooth MOD1BSP6_8, j , holder_smoothness/
abrufbar.
Beispiel: Abbildung 1.8 zeigt die Iteration der Regularität der Analyse-Funktionen des
Waveletsystems M OD1BSP 6 8 und D7. Es zeigt sich, dass die Iteration zwar konvergiert, jedoch nicht streng monoton verläuft. Dies ist besonders bei dem Daubechies Waveletsystem D7 sichtbar.
Holder-Regularität rj
2.5
◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦ ◦
• • • •
• • • •
◦
•
•
◦
• •
• •
2.4
• •
◦ ◦
....................................
..................................................................
............................................
................................
........................
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.............
..........................
............
.........................................
........
................................
.......
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............................
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.....
.....................
.
.
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......
..................
....
.............
...
.......
.................
...
..........
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....
...
.....
...
.......................
...
...
........
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...........
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...
...
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..
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......................
...
...
....
..
...
...
....
..
...
...........................
...
....
...
..
...........................
...
...
....
.
.
...................
..
• •
2.3
◦
M OD1BSP 6 8
•
D7
• •
2.2
1
3
5
7
9
11
13
Iterationsschritt j
15
17
19
Abbildung 1.8: Hölder-Regularitäten der Analyse-Filter
1.8
Orthogonale Wavelet-Transformation
Wie bereits zu Eingang erwähnt, stellt die orthogonale Wavelet-Transformation nur einen
Spezialfall der biorthogonalen Wavelet-Transformation dar. Somit sind alle in diesem
Kapitel getroffenen Aussagen direkt übertragbar, wenn die Analyse-Skalierungsfunktion
ϕ der Synthese-Skalierungsfunktion ϕ
e entspricht. Für den orthogonalen Fall gilt demnach
ϕ ≡ ϕ,
e
(1.97)
woraus sich in der Herleitung einige Vereinfachungen ergeben. Der daraus entwickelte
numerische Algorithmus ist dennoch identisch.
Kapitel 2
Biorthogonale Waveletsysteme
In diesem Kapitel soll die zuvor allgemeingültige Theorie der biorthogonalen diskreten
Wavelet-Transformation konkretisiert werden. Dies erfolgt anhand von drei unterschiedlichen biorthogonalen Waveletsystemen.
Nach der Berechnung der Filterkoeffizienten werden die grundlegenden Eigenschaften der
in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme erläutert.
2.1
Überblick
Generell gibt es eine unendliche Anzahl verschiedener Waveletsysteme, die sich verschiedenen Gruppen und Untergruppen zuordnen lassen. Auch für biorthogonale Waveletsysteme sind zahlreiche Untergruppierungen möglich. Somit stellen die orthogonalen Daubechies Waveletsysteme einen Spezialfall der biorthogonalen Waveletsysteme dar. Weitere
Untergruppen sind die biorthogonalen B-Spline Waveletsysteme und die ebenfalls biorthogonalen modifizierten B-Spline Waveletsysteme mit ähnlichen Trägerlängen.
Diese drei Waveletsysteme werden nun kurz beschrieben, um dann detailiert auf die Besonderheiten und Eigenschaften eingehen zu können.
Daubechies Waveletsysteme: Orthogonale Waveletsysteme erfüllen immer die Biorthogonalitätskriterien nach Gleichung (1.19) und (1.32) und können demzufolge den biorthogonalen Waveletsystemen zugeordnet werden. So auch die orthogonalen Daubechies
Waveletsysteme mit kompaktem Träger. Die Besonderheit liegt in der Verwendung gleicher Funktionen für die Analyse- und Synthesefunktionen. Daubechies-Wavelets können
aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaft, mit Ausnahme des Haarschen Waveletsystems, nicht symmetrisch sein.
Ingrid Daubechies versuchte, diese Waveletsysteme hinsichtlich kurzer Trägerlängen und
einer großen Anzahl an verschwindenden Momenten, sowie einer hohen Regularität zu
optimieren. Deshalb zeichnen sich diese Waveletsysteme durch ihre hohe numerische Stabilität aus.
29
KAPITEL 2. BIORTHOGONALE WAVELETSYSTEME
30
Im Programmsystem SLang [Bucher, 2003] sind die Daubechies Waveletsysteme zweiter
bis zehnter Ordnung D2 bis D10 verfügbar.
B-Spline Waveletsysteme: Im Gegensatz zu den Daubechies Waveletsystemen, sind
die Analyse und Synthese-Funktionen unterschiedlich, wobei B-Splines zur Konstruktion
der Skalierungsfunktionen herangezogen werden.
Die Skalierungsfunktionen dieser biorthogonalen Waveletsysteme sind somit symmetrisch,
was sich insbesondere bei der Bildkomprimierung als eine herausragende Eigenschaft herausstellte. Eine weitere Eigenschaft der B-Splines sind hohe Regularitäten, die von den
Analysefunktionen übernommen werden. Die einfache Konstruktion derartiger Waveletsysteme mit Hilfe des “Lifting Schemas” hat zum Erfolg dieser Waveletsysteme beigetragen.
Als Nachteil sind numerische Instabilitäten im Mallat-Algorithmus zu nennen, die bei zu
geringen Regularitäten der Synthesefunktionen nicht auszuschließen sind. Auch scheint
sich ein zu großer Unterschied der Koeffizientenanzahlen, und damit verbunden der Trägerlängen, der Analyse- und Synthesefunktionen nachteilig auf die praktische Anwendbarkeit auszuwirken. Eine weitere Besonderheit stellt [Hubbard, 1998] heraus, wonach
B-Spline Waveletsysteme nicht exakt die Energie eines Signals wiedergeben können. Für
die meisten Anwendungen hat dies wenig Relevanz.
Die B-Spline Waveletsysteme erster Ordnung BSP 1 3 und BSP 1 5, zweiter Ordnung
BSP 2 2 bis BSP 2 8, dritter Ordnung BSP 3 1 bis BSP 3 9, vierter Ordnung BSP 4 4,
fünfter Ordnung BSP 5 5 und sechster Ordnung BSP 6 8 wurden in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementiert. Dabei wird ein B-Spline der Ordnung n − 1 der
Analyse-Skalierungsfunktion n-ter Ordnung zugeordent. Durch Vertauschen der Analyseund Synthesefunktionen sind die analog bezeichneten umgekehrten(reversed) B-Spline
Waveletsysteme BSP R? ? konstruierbar, welche ebenfalls implementiert wurden.
Modifizierte B-Spline Waveletsysteme: Diese Waveletsysteme versuchen die positiven Eigenschaften der Daubechies und B-Spline Waveletsysteme zu kombinieren. So
bleiben Biorthogonalität und somit auch Symmetrie erhalten, die stark unterschiedlichen Trägerlängen werden jedoch ausgeglichen. Zur Konstruktion dieser Waveletsysteme
aus den B-Spline Waveletsystemen ist mindestens eine Koeffizientenanzahl von sieben
notwendig, wobei bei höherer Ordnung mehrere Modifikationen mit unterschiedlichen
Eigenschaften möglich sind. In der Fingerdruckarchivierung des FBI(Federal Bureau of
Investigation) findet zum Beispiel das M OD1BSP 4 4 Waveletsystem Anwendung, welches durch Modifikation des BSP 4 4 Waveletsystems konstruiert wurde.
Für die modifizierten B-Spline Waveletsysteme werden die Bezeichnungen M OD1BSP 4 4,
M OD1BSP 4 6, M OD2BSP 4 6 und M OD1BSP 6 8 eingeführt, um eine Zuordnung
zu den ursprünglichen B-Spline Waveletsystemen zu ermöglichen. Diese modifizierten
B-Spline Waveletsysteme und die entsprechenden umgekehrten(reversed) modifizierten
B-Spline Waveletsysteme wurden in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] imple-
31
mentiert. In der Literatur erfolgt die Bezeichnung dieser Waveletsysteme scheinbar unsystematisch. Aus diesem Grund sind in Tabelle 2.1 die Bezeichungen des Programmsystems SLang [Bucher, 2003], nach [Misiti et al., 2002] und nach [Cohen, 1992] einander
zugeordnet.
SLang
M OD1BSP 4
M OD1BSP 4
M OD2BSP 4
M OD1BSP 6
4
6
6
8
[Misiti et al., 2002] [Cohen, 1992]
rbio4.4
k = 4; N = 4;
rbio5.5
k = 5; N = 5;
−
k = 5; N = 5;
rbio6.8
-
e =4
N
e = 5 Variante 1
N
e = 5 Variante 2
N
Tabelle 2.1: Zuordnung der modifizierten B-Spline Waveletsysteme
2.2
Filterkoeffizienten
Um die schnelle Wavelet-Transformation mit Hilfe des Mallat-Algorithmusses durchführen zu können, sind nur die Koeffizienten a, b, e
a und eb der Analyse- und Synthesefunktionen erforderlich. Zur Berechnung dieser Koeffizienten ist der Übergang zur Signaltheorie
sehr hilfreich. In der Signaltheorie werden die Funktionen durch Filter dargestellt, woraus
direkt die Koeffizienten oder auch Filterkoeffizienten ablesbar sind.
ϕD4
ψD4
1.5
1.0
0.5
0.0
−0.5
........
... ...
... ....
.... ....
...
..
..
...
...
..
...
..
.
.
..
........
...
.....
... ................................................................
... ......
.......
..
0
3
1
0
−1
6
ϕBSP 4 4
0.0
...
.......
... ...
... ...
.. .....
.
...
...
...
...
....
..........................................................
................................................
0
−4 −2 0
2
4
0.0
...
...
...... ......
... .... .... ....
... ... .. ...
................................................ .... ..... ...... ..........................................
....
...
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
... ..
.....
......
...
−4 −2 0
6
ϕM OD1BSP 4 4
0.5
6
ψBSP 4 4
1.5
1.0
3
1
−1
−0.5
..
..
.....
.. ... .......
... .. .. ..
.. .... ... ....
.
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........
..... ...
.. ... ....
....
... .
... ...
... ...
.. ..
.. ..
.....
....
0
1.0
0.5
ϕ
eD4
1.5
2
4
6
−0.5
−4 −2
0
2
4
0.5
0.0
−0.5
1
0
1.5
.
......
....
....
... ....
.
.. ..
.. ...
.. ..
.. ...
.
.
................................................... ... .... .....................................................
... ... ... ..
... .. ... ...
..... ....
..... ....
. ..
−1
−4 −2
0
2
4
........
... ...
... ....
.... ....
...
..
..
...
...
..
...
..
.
.
..
........
...
.....
... ................................................................
... ......
.......
..
0
3
1.0
0.5
0.0
ϕ
eM OD1BSP 4 4
..
.....
.....
.. ..
... ....
. .
.. ..
.. ...
... ...
.... ....
...
..
..
..
... ....................................................
........................................ ...
... ... ..
......
.....
..
−0.5
−4 −2
0
1
0
−1
6
ϕ
eBSP 4 4
30
...
...
20
...
..
.
.. ....... ..
10
. .. ............. .. .
.. .. ............ .. ..
... ............................... .. .
...........................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
0
. ................................................................ .
. ..... ... ... ..... .
.. . . ..
..
..
−10
..
..
..
..
−20
−4 −2 0 2 4 6
ψM OD1BSP 4 4
2
..
.....
... ..
.. ...
.... ....
.. ..
.. ...
.. .....
...
...
....
...
...
..
..................................... ....
... .................................................
.........
.........
1.0
ψeD4
2
4
.....
.. .... .......
... .. .. ...
.. .... .... ...
.
.
. .
................................ ..... .... ... ..... .........................................
.........
.. ... .....
..
... ..
... ..
... ...
.. ...
.. ..
.....
....
0
3
6
ψBSP 4 4
20
... ...
... ...
... ...
10
...........................
.............
..........................................
0 .................................................................................................................................................................................................................................................
..... ............. ...
. ............. .
...
−10
...
...
...
−20
..
−30
−4 −2 0 2 4 6
e
2
1
0
ψeM OD1BSP 4 4
..
..
.....
....
......
..
....
.. ...
... ...
.... ....
.. ..
........................................................ ... .... ........................................................
... ... .. ..
... .. ... ...
.
..... ......
.... .....
..... ....
... ...
−1
−4 −2
0
Abbildung 2.1: Waveletbasen D4, BSP 4 4 und M OD1BSP 4 4
2
4
32
Es zeigt sich, dass die Berechnung der Filterkoeffizienten der hier untersuchten Daubechies Filter, biorthogonalen B-Spline Filter und modifizierten B-Spline Filter auf den
gleichen Grundlagen aufbauen und durch geringe Änderungen Filter mit stark unterschiedlichen Eigenschaften, wie z.B. Regularität, entstehen können. Abbildung 2.1 verdeutlicht die stark unterschiedliche Gestalt der verschiedenen Waveletsysteme, basierend
auf gleichen Grundlagen, anhand eines Beispiels.
Grundlagen
Für die Berechnung der Filterkoeffizienten sind zwei grundlegende Verfahren möglich.
Das Verfahren, welches unter anderem von [Cohen, 1992] verwendet wird, arbeitet direkt im Zeitbreich. Ein anderes Verfahren basiert auf der z-Transformation, welches
sich aufgrund der Einfachheit weitgehend durchgesetzt hat. Ausgehend von den Filterbankbetrachtungen von [Bäni, 2002], stellt sich die Frage nach einem FIR(finite impulse
response)-Filter M (z) mit der Eigenschaft
(2.1)
M (z) + M (−z) = 2
und einer 2q-fachen Nullstelle bei z = −1. Das Analyse-Filter H(z) = H`(z −1 ) soll
e
eine p-fache Nullstelle und das Synthese-Filter H(z)
eine pe-fache Nullstelle bei z = −1
besitzten. Mit Hilfe dieser Annahmen und p + pe = 2q kann ein allgemeines FIR-Filter
e
M (z) = H`(z)H(z)
=2
1+z
2
p 1 + z −1
2
pe
z re−r M0 (z);
r, re ∈ Z
(2.2)
mit
e 0 (z)
M0 (z) = H0 `(z) H
=
q−1−k k
q−1 X
(1 − z)(1 − z −1 )
2q − 1
(1 + z)(1 + z −1 )
k=0
4
k
(2.3)
4
beschrieben werden, wobei
H`(z) =
√
2
1+z
2
p
1+z
2
−1
H0 `(z) z −r
(2.4)
e
H(z)
=
√
2
pe
e 0 (z) z re
H
e 0 (z) über die Faktorisierung
gelten soll. Üblicherweise werden die Filter H0 `(z) und H
der Nullstellen von M0 (z) berechnet. Anschließend erfolgt eine Normierung, so dass
33
e 0 (1) = 1 gilt. Mit H(z) = H`(z −1 ) und H0 (z) = H0 `(z −1 ) ist das gesuchH0 `(1) = H
e
te Analyse-Filter H(z) und Synthese-Filter H(z)
durch
√ 1 + z −1 p
H0 (z) z r
H(z) = 2
2
(2.5)
√ 1 + z −1 pe
e
e 0 (z) z re
H(z)
= 2
H
2
gegeben. Die ganzen Zahlen r und re bewirken nur eine Translation des jeweiligen Filters
und sind für die Berechnung der Koeffizienten ohne Bedeutung. Aus formalen Gründen
und Aspekten der Symmetrie der biorthogonalen B-Spline Waveletsysteme werden diese
oftmals starr festgelegt. Eine Definition, die diesem allgemeinen Vorgehen entspricht,
wurde nicht gefunden. Deshalb werden die Zahlen r, re ∈ Z individuell belegt.
Dieses sehr allgemeine Verfahren zur Berechnung der Filterkoeffizienten wird in jedem der
drei folgenden Waveletsysteme verwendet. Deshalb sollen die spezifischen Unterschiede
der hier vorgestellten Waveletsysteme anhand eines Beispiels verdeutlicht werden.
Daubechies Waveletsysteme
Im orthogonalen Fall, wie z.B. bei den Daubechies-Filtern, werden gleiche Funktionen
e zwischen dem
für Analyse und Synthese verwendet. Somit muss eine Gleichheit H = H
Analyse- und Synthese-Filter gelten, woraus p = pe = q für die Nullstellen z = −1
resultiert.
Die Berechnung der Filterkoeffizienten wird nun anhand des Daubechies Waveletsystems
vierter Ordnung D4 mit entsprechend p = 4 Nullstellen z = −1 vorgeführt.
Beipiel D4: Aus Gleichung (2.3) folgt für p = q = 4
"
3
2 1
(1 + z)(1 + z −1 )
(1 + z)(1 + z −1 )
(1 − z)(1 − z −1 )
M0 (z) =
+7
64
4
4
4
+21
−1
(1 + z)(1 + z )
4
−1
(1 − z)(1 − z )
4
2
+ 35
−1
(1 − z)(1 − z )
4
3 #
.
Für M0 (z) sind die Nullstellen
z1 = 3.04066046165
z2 = 0.328875917786
z3 = 2.03113551209 + 1.73895080765 ι
z4 = 2.03113551209 − 1.73895080765 ι
z5 = 0.284096298192 + 0.24322822591 ι
z6 = 0.284096298192 − 0.24322822591 ι
34
berechenbar. Es werden diese Nullstellen den Filtern
(z −1 − z1 )(z −1 − z3 )(z −1 − z6 )
H0 (z) =
(1 − z1 )(1 − z3 )(1 − z6 )
e 0 (z) = (z − z2 )(z − z4 )(z − z5 )
H
(1 − z2 )(1 − z4 )(1 − z5 )
zugeordnet. Somit gilt für das Analyse-Filter
√ 1 + z −1 4
H(z) = 2
H0 (z) z 0
2
= 0.2303778133z −7 + 0.7148465702z −6 + 0.6308807684z −5
− 0.0279837699z −4 − 0.1870348114z −3 + 0.03084138177z −2
+ 0.03288301167z −1 − 0.01059740178z 0
und das Synthese-Filter
√ 1 + z −1 4
e
e 0 (z) z 0
H(z)
= 2
H
2
= 0.2303778133z −4 + 0.7148465702z −3 + 0.6308807684z −2
− 0.0279837699z −1 − 0.1870348114z 0 + 0.03084138177z 1
+ 0.03288301167z 2 − 0.01059740178z 3 .
Die Koeffizienten der Skalierungsfunktionen entsprechen in der vorgegebenen Ordnung
den Vorzahlen der z-Polynome. Nach Gleichung 1.34 sind die Koeffizienten der Wavelets
gegeben.
B-Spline Waveletsysteme
Für die biorthogonalen B-Spline Waveletsysteme sind das Analyse-Filter H(z) und Syne
these-Filter H(z)
symmetrisch. Demzufolge gilt
H(z) = H(z −1 ) = H`(z)
e
e −1 )
H(z)
= H(z
(2.6)
−1
H0 (z) = H0 (z ) = H0 `(z)
−1
e 0 (z) = H
e 0 (z ).
H
Weiterhin soll das gesamte Filter M0 (z) dem Synthese-Filter zugeordnet werden, d.h.
e 0 (z) = M0 (z). Somit sind die Filter H(z) und H(z)
e
H0 `(z) = 1 und H
berechenbar.
p
−1
√ 1+z
H(z) = 2
zr
2
(2.7)
pe
−1
√ 1+z
e
H(z)
= 2
M0 (z) z re
2
35
Die Bezeichnung erfolgt entsprechend der Anzahl p und pe der Nullstellen z = −1 nach
dem Muster BSP p pe. Für das biorthogonale Waveletsystem BSP 4 4 (p = 4, pe = 4) wird
die Berechnung des Analyse- und Synthese-Filters in einem Beispiel veranschaulicht.
Beispiel BSP4 4: Das Filter M0 (z) entspricht dem Filter M0 (z) aus Beispiel D4, da
in beiden Fällen q = 4 gilt. Eine Zerlegung des Filters ist nach Gleichung (2.7) nicht
nötig, ist aber durchaus möglich und führt zum gleichen Ergebnis. Somit folgt für das
Analyse-Filter
√ 1 + z −1 4 2
H(z) = 2
z
2
1 1 −2 1 −1 3 0 1 1 1 2
=√
z + z + z + z + z
2
4
2
8
2 8
√ 1 + z −1 4
e
M0 (z) z 2
H(z)
= 2
2
1
5
1 −3 3 −2 35 −1 35 0
5 −5
=√ −
z + z −4 −
z − z + z + z
128
32
128
4
64
16
2
1 3
5 4
5 5
35 1 3 2
z + z −
z .
+ z − z −
64
4
128
32
128
Die Koeffizienten der Skalierungsfunktion sind wiederum die Vorzahlen der entsprechenden z-Polynome. Nach Gleichung 1.34 sind die Koeffizienten des Wavelets bestimmbar.
Modifizierte B-Spline Waveletsysteme
Ausgangspunkt ist wiederum das FIR-Filter M (z) aus Gleichung (2.2). Diesmal soll versucht werden, Analyse-Filter und zugehörige Synthese-Filter mit möglichst gleichen Filterlängen zu konstruieren, indem die Nullstellen aus M0 (z) vorteilhaft auf das Analysee
Filter H(z) und das Synthese-Filter H(z)
verteilt werden. Die Bezeichnung erfolgt wie
bei den B-Spline Waveletsystemen über die Anzahl p und pe der Nullstellen bei z = −1
des Analyse- und Synthese-Filters. Dieses Vorgehen wird unter anderem von [Bäni, 2002]
und [Cohen, 1992] vorgeschlagen.
Die Nullstellen des Filters M0 (z) bestehen aus reell-inversen Paaren und konjugiertinversen Quadrupeln. Um reelle Koeffizienten und die Symmetrie der Skalierungsfunktionen zu erhalten, dürfen diese Paare und Quadrupel nicht bei der Zuordnung getrennt
werden. Somit ist die zunächst beliebige Nullstellenzuordung stark eingeschränkt. Das
Filter M0 (z) muss demzufolge mindestens ein Polynom vierten Grades sein, wofür ein
q ≥ 3 notwendig ist. Somit ist für beliebige p und pe mindestens eine Variation möglich.
Ab einem q = 6, woraus ein Polynom 10ten Grades für M0 (z) resultiert, sind mehr als zwei
36
mögliche Varianten konstruierbar. Die Bezeichnung erfolgt analog den B-Spline Waveletsystemen nach dem Muster M OD?BSP p pe, was geringfügig von der Bezeichnungsweise
nach [Misiti et al., 2002] oder [Cohen, 1992] abweicht.
Im folgenden Beispiel sollen die stark unterschiedlichen Trägerlängen aus dem vorhergehenden Beispiel M OD1BSP 4 4 ausgeglichen werden.
Beipiel MOD1BSP4 4: Da auch hier q = 4 gilt, kann das Filter M0 (z) aus den vorangegangenen Beispielen übernommen werden. Wegen der erwünschten reellen, symmetrischen Koeffizienten werden z1 und z2 dem Analyse-Filter und z3 bis z6 dem SyntheseFilter zugeordnet. Unter Berücksichtigung der Gleichung (2.6) und der Normierung
e 0 (z = 1) = 1 folgt
H0 (z = 1) = 1 und H
H0 (z) =
(z − z1 )(z − z2 )
(1 − z1 )(1 − z2 )
e 0 (z) = (z − z3 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 ) ,
H
(1 − z3 )(1 − z4 )(1 − z5 )(1 − z6 )
und somit für das Analyse-Filter
√
H(z) = 2
1 + z −1
2
4
H0 (z) z 1
1 = √ −0.0912717631139087z −3 − 0.0575435262279424z −2
2
+ 0.591271763113409z −1 + 1.11508705245689z 0 + 0.591271763113409z 1
−0.05754352622794249z 2 − 0.0912717631139087z 3
√
e
H(z)
= 2
1 + z −1
2
4
e 0 (z) z 0
H
1 = √ 0.053497514822z −4 − 0.033728236886z −3
2
+ 0.533728236886z 1 − 0.156446533058z −2 + 0.533728236886z −1
+ 1.205898036472 − 0.156446533058z 2 − 0.033728236886z 3
+0.053497514822z 4 .
Die Vorzahlen der z-Polynome sind die Koeffizienten der Skalierungsfunktionen. Nach
Gleichung 1.34 sind die Koeffizienten des Wavelets bestimmbar.
37
Um dieses Verfahren auch für p 6= pe zu demonstrieren, sollen die Koeffizienten des Waveletsystems bior6.8 aus [Misiti et al., 2002] berechnet werden. Dieses entspricht im Programmsystem SLang [Bucher, 2003] dem Waveletsystem M OD1BSP 6 8 mit p = 6 und
pe = 8.
Beipiel MOD1BSP6 8: Die Nullstellen des Filters M0 (z) nach Gleichung (2.3) sind
p + pe
für q =
=7
2
z1 = 0.334063 + 0.206733 ι
z2 = 0.334063 − 0.206733 ι
z3 = 2.164508 + 1.339496 ι
z4 = 2.164508 − 1.339496 ι
z5 = 0.357265 + 0.065232 ι
z6 = 0.357265 − 0.065232 ι
z7 = 2.708739 + 0.494582 ι
z8 = 2.708739 − 0.494582 ι
z9 = 1.173502 + 1.761597 ι
z10 = 1.173502 − 1.761597 ι
z11 = 0.261923 + 0.393185 ι
z12 = 0.261923 − 0.393185 ι .
Um relle, symmetrische Koeffizienten zu erzielen, müssen jeweils z1 bis z4 , z5 bis z8
und z9 bis z12 einem Filter zugeordnet werden. Aus diesen 3 Quadrupeln ergeben sich
insgesammt sechs Zuordnungsmöglichkeiten für die Aufteilung der Nullstellen. Untersuchungen haben ergeben, dass bei der Zuteilung von z1 bis z4 zum Analyse-Filter und z5
bis z12 zum Synthese-Filter die beste Ausgewogenheit in Bezug auf Regularität der beiden
Filter besteht. Es berechnen sich die Filter H0 (z) und H(z), inklusive der Normierung
e 0 (z = 1) = 1 und der Anwendung der Bedingungen aus Gleichung
H0 (z = 1) = 1 und H
(2.6), nach
4
Y
H0 (z) =
(z − zi )(1 − zi )−1
i=1
e 0 (z) =
H
12
Y
(z − zi )(1 − zi )−1 .
i=5
38
Somit ist das Analyse-Filter
√
H(z) = 2
1 + z −1
2
6
H0 (z) z 1
1 = √ 0.02040184437407z −5 + 0.02046014163871z −4
2
− 0.11132972155996z −3 − 0.05708894343034z −2 + 0.59092787718586z −1
+ 1.07325760358323z 0 + 0.59092787718592z 1 − 0.05708894343030z 2
−0.11132972155996z 3 + 0.02046014163870z 4 + 0.02040184437407z 5
e
H(z)
=
√
2
1 + z −1
2
8
e 0 (z) z 0
H
1 = √ 0.00269949573003z −8 − 0.00270720940601z −7
2
− 0.02402839333417z −6 + 0.01687802407962z −5 + 0.07033294661309z −4
− 0.10926662736509z −3 − 0.13301980124978z −2 + 0.59509581269152z −1
− 1.16803150448172z 0 + 0.59509581269145z 1 − 0.13301980124982z 2
− 0.10926662736509z 3 + 0.07033294661309z 4 − 0.01687802407961z 5
−0.02402839333418z 6 − 0.00270720940601z 7 + 0.00269949573003z 8
bestimmt.
Die Vorzahlen der z-Polynome sind die Koeffizienten der Skalierungsfunktionen. Nach
Gleichung 1.34 sind die Koeffizienten des Wavelets bestimmbar.
2.3
Eigenschaften
Das soeben gezeigte Verfahren zeigt die Einfachheit der Konstruktion neuer Waveletsysteme. Die mögliche Anzahl an Waveletsystemen ist nicht beschränkt. Deshalb soll
hier versucht werden, den unterschiedlichen Waveletsystemen objektive und quantifizierbare Eigenschaften zuzuweisen. Einen guten Überblick über deren Eigenschaften gibt
[Hubbard, 1998].
Der Nutzer sollte sich mit dem Gedanken vertraut machen, dass es zwar ein optimales
39
Waveletsystem für ein bestimmtes Signal und eine bestimmte Anwendung gibt, dieses jedoch sehr schwer zu finden ist. Die geringe Verbesserung der Ergebnisse, gegenüber zwar
geeigneten, aber nicht optimalen Waveletsystemen, rechtfertigt den erhöhten numerischen
Aufwand meist nicht. [Farge, 1992] warnt davor,
zuviel Energie in die Auswahl eines Waveletsystems zu investieren. Man darf
”
nicht von dem Paradoxon geleitet werden, dass für ein gegebenes Signal ein
optimales Wavelet existiert. Es ist wahr, aber dann verliert man den globalen
Gedanken der generellen Methode. Wenn man wirklich den besten Weg zur
Analyse eines Signals für eine gegebene Aufgabenstellung sucht, dann ist es
besser etwas sinnvolleres zu tun.“
Somit ist es besser, nicht nach dem besten Waveletsystem zu suchen, sondern nach einer
Gruppe von Waveletsystemen mit entsprechenden Eigenschaften, welche dem gewünschten Problem entsprechen. Für die Kompression von Bildern ist zum Beispiel Regularität
von Bedeutung, eine gute Frequenzlokalisierung eher weniger. Neben Regularität und
Frequenzlokalisierung gibt es noch weitere relevante Eigenschaften, wie Anzahl der verschwindenden Momente oder Kompaktheit des Trägers.
Es zeigt sich, dass viele dieser Eigenschaften gekoppelt sind. So geht eine verbesserte Frequenzlokalisierung auf Kosten einer guten Zeitlokalisierung, und für eine Erhöhung der
verschwindenden Momente ist immer eine Erhöhung der Trägerlänge notwendig, wobei
sich dies wiederum im Rechenaufwand niederschlägt.
Somit wäre es nach [Hubbard, 1998] naheliegend das Waveletsystem automatisch mit
Hilfe eines Algorithmusses wie “Best Basis” oder “Matching Pursuit”, basierend auf den
Eigenschaften des Signals, auszuwählen. Bei stark verunreinigten Signalen, z.B. durch
Rauschen, treten jedoch größere Probleme auf. Dabei besteht die Gefahr, das Waveletsystem nach den Störungen auszuwählen, und weniger nach dem Signal selbst. Oftmals
bedarf es auch eines enormen Rechenaufwandes, um das Waveletsystem selbst auszuwählen. Aus diesen Gründen werden derartige Algorithmen wenig in praktischen Anwendungen genutzt und sollen in dieser Arbeit nicht näher untersucht werden.
2.3.1
Verschwindende Momente und Trägerlänge
Ein Ziel der Wavelet-Transformation ist oftmals, die Informationen eines Signals mit
möglichst wenig von Null verschiedenen Waveletkoeffizienten darzustellen. Dies ist zum
Beispiel für die Untersuchung eines Signals mit Singularitäten oder Diskontinuitäten hilfreich. Die Sprünge des Signals heben sich besonders gut mit einem Wavelet mit einer
hohen Anzahl an verschwindenden Momenten heraus.
In einer abgewandelten schwachen Form ist dies identisch mit der Anzahl der Oszillationen des Wavelets. Ein verschwindendes Moment bedeutet hierbei Orthogonalität zwischen dem Wavelet und linearen Funktionen, zwei verschwindende Momente bedeuten
40
Orthogonalität gegenüber quadratischen Funktionen. Die Anzahl n der verschwindenden
Momente eines Wavelets ψ berechnet sich demnach aus
Z∞
Mν =
tν ψ(t) dt = 0 für ν = 0, 1, 2...n.
(2.8)
−∞
Nach [Koornwinder, 1995] ist es auch möglich, die Anzahl n der verschwindenden Momente aus den Koeffizienten bk direkt zu berechnen. Die Bedingung
N
X
bk k ν = 0 für ν = 0, 1, 2...n
(2.9)
k=1
ist zur Gleichung (2.8) äquivalent.
Ein Daubechies Wavelet der Ordnung p hat nach [Louis, 1998] genau p−1 verschwindende
Momente. Für die hier verwendeten biorthogonalen Waveletsysteme ist diese Aussage
dual zu treffen. So hat das Analyse-Wavelet ψ genau pe − 1 und das Synthese-Wavelet
ψe genau p − 1 verschwindende Momente, was grundsätzlich auch auf die DaubechiesWavelets mit p = pe übertragbar ist und mit der Aussage von [Louis, 1998] nicht im
Widerspruch steht.
Als Trägerlänge wird die Anzahl der Koeffizienten der Skalierungsfunktionen oder des
Wavelets bezeichnet. In der Literatur treten in diesem Zusammenhang häufig die Begriffe endlicher Träger und kompakter Träger auf. Endliche Träger haben eine beschränkte
Anzahl an Koeffizienten, kompakte Träger besitzen nur innerhalb eines Trägerintervalles
wesentlich von Null verschiedene Koeffizienten. Daher sind nur wenige Koeffizienten für
die Berechnungen relevant. Alle in dieser Arbeit vorgestellten biorthogonalen Waveletsysteme, haben endliche kompakte Träger.
In enger Beziehung zur Trägerlänge steht die Anzahl n der verschwindenden Momente.
Nach [Hubbard, 1998] fand Daubechies heraus, dass ein Wavelet mit n verschwindenden
Momenten eine Trägerlänge von Nb ≥ 2n − 1 besitzen muss. Diese Aussage ist auch für
die hier vorgestellten biorthogonalen Waveletsysteme gültig. Für das Synthese-Wavelet
eb ≥ 2e
gilt dann analog N
n − 1. Über Gleichung 1.34 sind somit auch die Trägerlängen der
Skalierungsfunktionen festgelegt.
Die konkrete Anzahl der verschwindenden Momente eines jeden in das Programmsystem
SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsystems sind in Tabelle 2.2 zusammengeea der Skalierungsfunktionen und die
stellt. Weiterhin sind die Trägerlängen Na und N
eb der Wavelets angegeben. Zu beachten sind dabei die BemerkunTrägerlängen Nb und N
gen zur Trängerlänge in Anhang A . In konkreten Anwendungen ist eine hohe Anzahl von
verschwindenden Momenten meist nicht relevant. Die notwendige Anzahl hängt stark von
der Anwendung und dem Signal selbst ab. [Hubbard, 1998] empfiehlt eine hohe Anzahl
für glatte Signale, welche eine größere Trägerlänge erfordert und eine geringe Anzahl für
Signale mit mehr Singularitäten, zugunsten kleinerer Trägerlängen.
Waveletsystema
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
BSP1 3
BSP1 5
BSP2 2
BSP2 4
BSP2 6
BSP2 8
BSP3 1
BSP3 3
BSP3 5
BSP3 7
BSP3 9
BSP4 4
BSP5 5
BSP6 8
MOD1BSP4
MOD1BSP4
MOD2BSP4
MOD1BSP6
Trägerlänge
4
6
6
8
eb
Na , N
ea
Nb , N
N0
verschw.
Momente
ψ
ψe
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
6
7
7
11
11
11
4
6
8
10
12
14
16
18
20
6
19
5
9
13
17
4
8
12
16
20
11
14
21
9
9
9
17
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4
6
4
6
8
10
4
6
8
10
12
8
10
14
8
10
10
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
1
3
5
7
0
2
4
6
8
3
4
7
3
3
3
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
4
5
3
5
5
5
Sobolev-R.b
s∗ − 0.5
ϕ, ψ
ϕ,
e ψe
0.500
0.915
1.275
1.596
1.888
2.158
2.414
2.661
2.902
0.000
0.000
1.000
1.000
1.000
1.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
0.500
0.915
1.275
1.596
1.888
2.158
2.414
2.661
2.902
0.658
1.277
-0.342
0.277
0.754
1.225
e
ϕ,
e ψ∈
/ L2 (R)
-0.325
-0.246
0.255
0.738
41
Hölder-R.c
r20
ϕ, ψ
ϕ,
e ψe
0.5500
1.0834
1.6063
1.9437
2.1649
2.4360
2.7362
3.0427
3.3133
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
1.7011
2.2025
3.3049
2.4644
0.5500
1.0834
1.6063
1.9437
2.1649
2.4360
2.7362
3.0427
3.3133
1.0000
1.8202
0.0000
0.8202
1.5279
2.1575
-1.0000
-0.1798
0.5279
1.1575
1.7302
-0.4721
-0.8425
-0.7374
1.0553
1.3049
0.2025
2.3215
a Für
umgekehrte Waveletsysteme gelten die gleichen Eigenschaften bei Vertauschung der Analyse- und Skalierungsfunktion
b nach [Markwardt, 2003b]
c nach Abschnitt 1.7
Tabelle 2.2: Eigenschaften der Waveletsysteme
2.3.2
Regularität
Für viele Anwendungen hat die Anzahl der verschwindenden Momente eine eher untergeordnete Bedeutung. Oftmals ist die Regularität des Wavelets entscheidender. Die
Regularitätsordnung beschreibt die Anzahl der stetigen Ableitungen einer Funktion, in
unserem Falle der Skalierungsfunktion oder des Wavelets. Nach [Hubbard, 1998] hat ein
Wavelet mit einer Regularitätsordnung größer als n mindestens n + 1 verschwindende
Momente.
In [Rioul, 1993] sind zwei Verfahren angegeben, die zur Quantifizierung der Regularität
42
einer Funktion herangezogen werden können. Es handelt sich dabei um Abschätzungen
der Regularität durch Angabe unterer und oberer Schranken. Als sichere Abschätzung
kann deshalb nur die untere Schranke gelten. Die eigentliche Regularitätsordnung ist daher größer, insbesondere bei Forderung nach Regularität im schwachen Sinne, wonach die
Funktion nicht an jeder Stelle stetig differenzierbar sein muss. Für die optische Regularität
oder auch Glattheit der Funktion ist es durchaus zulässig, wenige nicht differenzierbare
Stellen zu akzeptieren.
Die von [Rioul, 1993] vorgeschlagenen Verfahren werden nun vorgestellt:
Sobolev-Regularität: Als ein einfaches Bewertungskriterium für die Regularität wird
oftmals der Sobolevsche Grenzindex s∗ = α − 0.5 genutzt. Hierbei ist eine Funktion
n-mal stetig differenzierbar, wenn n < s∗ − 0.5 = α − 1 gilt. Bei diesem Verfahren wird
jedoch nicht die Funktion selbst, sondern deren Fourier-Transformierte zur Berechnung
herangezogen. Die Bestimmung des Sobolev-Exponenten α erfolgt dann über
|ϕˆ(ξ)| ≤
C
(1 + |ξ|)α
mit C = 2p e2B
(2.10)
Die Konstante B ist nach [Bäni, 2002] mit Hilfe der Inkremente des Frequenzganges
dwˆ(ξ) und des Frequenzinkrementes dξ über
dwˆ(ξ) B = max (2.11)
dξ bestimmbar.
Hölder-Regularität: Diese Regularitätsdefinition ist in der Literatur auch unter
Lipschitz-Regularität bekannt. Nach [Rioul, 1993] und [Stéphane, 2003] ist diese über
einen Hölder-Exponenten 0 < α < 1 für jedes t ∈ R definiert, welche die Bedingung
|f (t + h) − f (t)| < c|h|α
(2.12)
mit einer Konstanten c > 0 unabhängig von t und h erfüllt. Diese Bedingung kann
ebenfalls auf eine n-te Ableitung von f (t) angewendet werden. Für die Hölder-Regularität
r folgt,
r = n + α, n = 1, 2 . . .
(2.13)
Das von [Rioul, 1993] vorgeschlagene numerische Verfahren zur optimalen Abschätzung
der Hölder-Regularität ist in Abschnitt 1.7 erläutert.
[Rioul, 1993] zeigt bei der Gegenüberstellungen der beiden Verfahren deutlich die Vorteile
der Hölder-Regularität. Das Verfahren erlaubt eine Berechnung sehr eng beieinanderliegender unterer und oberer Schranken, was letztendlich zu einer besseren Abschätzung
führt. So ist nach [Rioul, 1993] die Hölder-Regularität immer größer als die SobolevRegularität, im besten Fall sogar um 0.5 . Weiterhin ist die Berechnung der SobolevRegularität numerisch aufwendiger.
43
Über Gleichung 1.25 sind die Regularitäten der Skalierungsfunktionen und Wavelets direkt verbunden. Die Waveletsysteme von Daubechies zeigen gerade bei niedriger Ordnung
sehr schwache Regularitäten. Erst mit steigender Ordnung und damit verbundenen längeren Trägern sind größere Regularitäten möglich. Eine deutlich bessere Regularität weisen
bei vergleichbarer Trägerlänge die B-Spline Waveletsysteme auf.
Die Sobolev-Regularitäten aus [Markwardt, 2003b] und Hölder-Regularitäten der in das
Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme sind in Tabelle 2.2 zusammengestellt, wobei die Hölder-Regularitäten nach Abschnitt 1.7 mit einer
Iterationsgenauigkeit von j = 20 berechnet wurden.
2.3.3
Zeit- und Frequenzlokalisierung
Ein Wavelet beinhaltet im Gegensatz zu den Analysefunktionen der Fourier-Transformation eine Vielzahl von Frequenzen. Je enger der Bereich der dominierenden Frequenzen,
desto besser ist es möglich, ein Signal in die entsprechenden Frequenzanteile zu zerlegen.
Man sagt die Frequenz ist gut lokalisiert. Prinzipiell erreicht man eine Verbesserung der
Frequenzlokalisierung mit einer Vergrößerung der Trägerlänge, welche wiederum eine hohe
Anzahl an verschwindenden Momenten fordert.
Der Nachteil besteht nun in einer Verschlechterung der Zeitlokalisierung, d.h. die markanten Änderungen eines Signals werden über einen größeren Zeitbereich verteilt. Eine
gute Zeitlokalisierung wird mit kurzen Trägern erreicht.
Auch hier spielt die Anwendung eine entscheidende Rolle. Für die Bildverarbeitung ist
eine gute Frequenzlokalisierung nicht entscheidend, wobei dies bei der Audioverarbeitung
oberste Priorität eingeräumt wird.
1
t2
g(t) = π − 4 e− 2
1.00
0.50
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.... .......
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.....................
0.00
−4.00
0.00
4.00
Abbildung 2.2: Gabor-Funktion
Oftmals wird ein Optimum zwischen Zeit- und Frequenzlokalisierung gesucht. Hierbei
liefert die Heisenbergsche Unschärferelation eine gutes Kriterium. Die Funktion, welche
44
die Unschärferelation am besten erfüllt, ist die Gabor-Funktion nach Abbildung 2.2. Die
Gabor-Transformation ist jedoch nach [Hubbard, 1998] aus Gründen der Redundanz und
instabilen Inversion ungeeignet. Mit steigendem Grad konvergieren die B-Spline Skalierungsfunktionen zur Gabor-Funktion und besitzen daher eine nahezu optimale ZeitFrequenz-Lokalisierung.
Für die Quantifizierung der Zeit- bzw. Frequenzlokalisierung konnte in der Literatur kein
Kriterium gefunden werden. Die Fourier-Transformierten der Waveletsysteme sind im
Anhang C dargestellt, um dem Anwender die Möglichkeit zur visuellen Einschätzung der
Frequenzlokalisierung zu geben.
Weiterhin soll das folgende Beispiel die unterschiedlichen Zeit- und Frequenzlokalisierungseigenschaften der Waveletsysteme verdeutlichen.
Beispiel: In Anlehnung an eine Untersuchung von [Bäni, 2002] wurde ein Test mit den
in Abbildungen 2.3 und 2.4 gezeigten Signalen durchgeführt. Die Signale, bestehend aus
400 Abtastwerten, wurden mit einer vierstufigen Wavelet-Tranformation zerlegt und anschließend mit den 100 bzw. 30 betragsmäßig größten Koeffizienten und den Approximationskoeffizienten rekonstruiert. Die Abweichungen, dargestellt in Tablle 2.3, werden
über den mittleren quadratischen Fehler
v
u
Nsig
u 1 X
1
t
e
||Pf − f || ≈ 100
100 p
(yrek,k − yk )2
(2.14)
Nsig k=1
Nsig
quantifiziert. Hierbei stellt Nsig = 400 die Anzahl der Abtastwerte des Signals f dar.
Untersucht wurden alle in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten
Daubechies, B-Spline und modifizierten B-Spline Waveletsysteme.
Amplitude
1.0
0.0
−1.0
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0
100
200
300
400
Zeit
Abbildung 2.3: Chirp-Testsignal
Tabelle 2.3 zeigt deutlich eine Verbesserung des rekonstruierten Chirp-Signals mit steigender Trägerlänge (vgl. Tabelle 2.2), wobei die besten Rekonstruktionen des Sprung-Signals
bei kleinen Trägerlängen festzustellen sind. Dies ist mit der guten Zeitlokalisierung von
Waveletsystemen mit kleinen Trägerlängen und der guten Frequenzlokalisierung von Waveletsystemen mit großen Trägerlängen zu erklären.
Amplitude
2.0
0.0
−2.0
45
.............
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......................................................................................................
0
100
200
300
400
Zeit
Abbildung 2.4: Sprung-Testsignal
Weiterhin scheint die Regularität der Synthesefunktionen einen entscheidenden Einfluss
zu haben, was besonders bei den B-Spline Waveletsystemen zu beobachten ist. Besonders
deutlich wird dies beim Vergleich der BSP 6 8 und BSP R6 8, obwohl der Unterschied
nur in der Vertauschung der Analyse- und Synthesefunktionen liegt.
Wavelesystem (WS)
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
BSP 1 3
BSP 1 5
BSP 2 2
BSP 2 4
BSP 2 6
BSP 2 8
BSP 3 1
BSP 3 3
BSP 3 5
BSP 3 7
BSP 3 9
BSP 4 4
BSP 5 5
BSP 6 8
M OD1BSP 4
M OD1BSP 4
M OD2BSP 4
M OD1BSP 6
4
6
6
8
Fehler Chirp mit 100
WS
reversed WS
19.80
17.91
12.65
11.89
9.09
7.46
6.30
5.57
5.38
20.11
29.58
13.79
26.36
32.77
15.32
20.29
14.50
13.34
13.14
12.17
13.66
102.61
14.13
54.19
11.82
35.80
9.72
23.42
9.33
18.82
8.60
82.54
8.33
113.88
10.13
130.95
6.43
16.63
10.99
14.16
10.57
42.00
7.56
9.48
7.62
Fehler Sprung mit 30
WS
reversed WS
8.81
9.85
13.20
11.30
16.71
17.35
17.65
21.01
20.95
12.98
0.11
15.69
0.00
18.12
3.17
15.65
4.97
16.33
6.46
18.14
8.28
40.62
5.66
48.00
6.26
30.71
8.01
24.62
11.62
29.89
11.14
77.12
20.21
134.87
26.81
167.78
46.38
11.27
7.84
8.88
13.08
34.03
12.11
14.53
11.54
e zum originalen Signal f nach GleiTabelle 2.3: Abweichungen der Approximation Pf
chung 2.14
Der Vergleich der Daubechies und B-Spline Waveletsysteme zeigt vergleichbare Abweichungen bei ähnlichen Trägerlängen beim Chirp-Signal. Nahezu exakte Rekonstruktionen
des Sprungsignals sind hingegen mit umgekehrten(reversed) B-Spline Waveletsystemen
46
BSP R? ? möglich. So kann das BSP R1 5 Waveletsystem das gegebene Sprungsignal
nahzu exakt wiedergeben, wobei das beste untersuchte Daubechies Waveletsystem D2
immer noch eine Abweichung von 8.81 aufweist.
Mit Hilfe dieses Beispiels lassen sich auch die Komprimierungseigenschaften, also wie
wieviele Koeffizienten benötigt werden, um eine bestimmte Qualität des rekonstruierten
Signals zu erhalten, abschätzen.
Kapitel 3
Systemidentifikation
In diesem Kapitel wird eine Anwendung der Wavelet-Transformation – die Systemidentifikation – vorgestellt. Die theoretischen Grundlagen wurden bereits von [Zabel, 2003]
für orthogonale Waveletsysteme gelegt, welche direkt auf biorthogonale Waveletsysteme
übertragbar sind. Diese spezielle Vorgehensweise erlaubt eine geschlossene Lösung innerhalb der Wavelet-Transformations-Theorie.
Besonderheiten der Differentiation und Integration von gemessenen, teilweise verrauschten, Signalen werden erläutert. Anhand eines SDOF(single degree of freedom)-Systems
werden Systemidentifikationen verschiedener nachfolgend beschriebener Konfigurationen
in Abhängigkeit der beeinflussenden Identifikationsparameter untersucht. [Zabel, 2003]
schlägt die Untersuchung der einzelnen Waveletsysteme hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit in der Systemidentifikation vor, worauf in diesem Kapitel ebenfalls kurz eingegangen
wird.
3.1
Allgemeine Vorgehensweise
Die Bewegungsgleichung nach (1.48) charakterisiert die dynamischen Eigenschaften eines
viskos gedämpften Systems. Unter Kenntnis der zeitinvarianten Systemmatrizen Masse
[M ], Dämpfung [C] und Steifigkeit [K] ist die Antwort des Systems, die Beschleunigungen
{ẍ}, Geschwindigkeiten {ẋ} und Verschiebungen {x}, bei Aufbringen einer zeitveränderlichen Last {f } bestimmbar.
Bei realen Strukturen ist es oftmals schwierig, diese Systemmatrizen direkt zu bestimmen.
Das daraus resultierende inverse Problem beschäftigt sich mit der Berechnung der Systemmatrizen unter Verwendung experimentell ermittelter Systemantworten infolge einer
Anregung.
Strukturen des Bauingenieurwesens erlauben in der Regel nur die Messung der Bewegungsgrößen Beschleunigung und Geschwindigkeit. Somit sind numerische Integrationen
47
KAPITEL 3. SYSTEMIDENTIFIKATION
48
und Differentiationen der diskreten Messdaten notwendig, welche insbesondere bei verrauschten Signalen zu Problemen führen können. Die in Abschnitt 1.4 vorgeschlagene
Vorgehensweise, unter Nutzung der Verbindungkoeffizienten, erlaubt eine nicht fehlerfreie, jedoch numerisch effiziente und stabile Integration und Differentiation, auch von
verrauschten Signalen.
Unter der Annahme, jedes Signal mit Hilfe der Gleichung (1.40) darstellen zu können, ist
die Bewegungsgleichung für ein konstantes k auf der Skala 2m durch
ẍ ẋ x n f o
(3.1)
[M ] dm,k + [C] dm,k + [K] dm,k = dm,k
o
n
gegeben. Die Vektoren dẍm,k , dẋm,k , dxm,k und dfm,k stellen hierbei die Waveletkoeffizienten der Beschleunigung, Geschwindigkeit, Verschiebungen und des Kraftsignals
für ein festgelegtes Koordinatenpaar (m, k) dar.
Mit Hilfe des Konzeptes der Verbindungskoeffizienten für Integration und Differentiation
ist nur die Kenntnis über eine Bewegungsgröße und der Anregung notwendig. Da Fehler
aus verrauschten Signalen und der Wavelet-Transformation selbst nicht auszuschließen
sind, wird empfohlen, j Gleichungen (3.1) für mehrere Koordinatenpaare (m, k) aufzustellen, um durch Mittelung den Einfluss der Störungen in der Identifikation zu reduzieren.
Die abgewandelte Gleichung (3.1)
ẍ ẋ x h f i
[M ] dm,k + [C] dm,k + [K] dm,k = dm,k
(3.2)
mit
[M ] , [C] , [K] ∈ Rn×n
und
ẍ ẋ x h f i
dm,k , dm,k , dm,k dm,k ∈ Rn×j
mit n Freiheitsgraden und j Koordinatenpaaren ist zu lösen. [Zabel, 2003] schlägt dazu
verschiedene Methoden, wie die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least Square
Methode) oder Optimierungsverfahren vor.
In den folgenden Beispielen wird, aufgrund des einfachen Systems, die Methode der kleinsten Fehlerquadrate verwendet. Hierfür ist eine Modifizierung der Gleichung (3.2) nötig,
da die gesuchten Größen in einem Vektor zusammengefasst vorliegen müssen. Für ein
System mit n Freiheitsgraden und j Gleichungen (3.1) folgt



{M }∗ 

 n
o∗
h i
∗ ẋ ∗ x ∗
f
∗
ẍ
= dm,k
{C}
dm,k
dm,k
dm,k



∗ 
{K}
mit
ẍ ∗ ẋ ∗ x ∗
2
dm,k , dm,k , dm,k ∈ Rjn×n ,
2
{M }∗ , {C}∗ , {K}∗ ∈ Rn ,
n
o∗
dfm,k ∈ Rjn ,
(3.3)
49
wobei die Vektoren {M }∗ , {C}∗ und {K}∗ durch Umsortierung
und
ge∗
∗ [K]
ẋ x aus [M ], [C]
ẋ
ẍ
ẍ
wonnen werden. Die umsortierten Matrizen dm,k , dm,k , dm,k ergeben dm,k , dm,k ,
x ∗
dm,k . Stellvertretend zeigt Gleichung (3.4) den Umsortierungsvorgang für {M }∗



[M ] = 


m1,1
m2,1
..
.
mn,1
m1,2
m2,2
···
..
mn,2
.
···
m1,n
m2,n
..
.
mn,n






 ⇒ {M }∗ = 




m1,1
m1,2
..
.
mn,n






(3.4)
∗
und Gleichung (3.5) für dẍm,k .

dẍm,k 1,1
dẍm,k 1,2
 ẍ
ẍ 
 dm,k 2,1
dm,k = 
..

.

ẍ
dm,k n,1
dẍm,k 2,2
dẍm,k n,2
···
dẍm,k 1,j

..
dẍm,k 2,j
..
.
ẍ
dm,k n,j






.
···
dẍm,k 1,1
···
dẍm,k n,1
0
···
0
···
0
···
0


0






0

ẍ ∗ 

⇒ dm,k = 

 dẍ
 m,k 1,j


0




0
···
..
.
···
..
.
···
0
dẍm,k 1,1
dẍm,k n,1
···
..
.
0
0
0
···
dẍm,k n,1
dẍm,k n,j
0
0
···
dẍm,k 1,1
..
.
0
···
..
.
···
0
0
···
..
.
···
..
.
···
···
0
0
dẍm,k 1,j
dẍm,k n,j
···
..
.
0
0
0
···
dẍm,k 1,j
···
..
.
···
0
0
···
..
.
···



 (3.5)

















···
..
.
···
dẍm,k n,j
n
o∗
Der Vektor dfm,k enthält die aneinander gereihten Vektoren der Waveletkoeffizienten
der Anregung für j verschiedene Koordinatenpaare (k, m).
Das Flussdiagramm nach Abbildung 3.1 zeigt übersichtlich den Algorithmus zur Systemparameterabschätzung unter Nutzung der Wavelet-Transformations-Theorie.
Zeitreihe
Anregung
...
.........
.........
...
Zeitreihe
Signal
(ẋ oder ẍ)
...
.........
.........
...
I1
...........................................
D1
Zerlegung
Zeitreihe
Signal
(ẍ oder ẋ)
...
.........
.........
...
50
..................................................................................................................................................................................................................................................
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.........
.........
.........
.........
...
...
I2
I1
Zeitreihe
Signal
(x)
Zerlegung
Zerlegung
Zerle- gung
Wavelet
-koeffizienten
dẋ oder dẍ
Wavelet
-koeffizienten
dẍ oder dẋ
Wavelet
-koeffizienten
dẋ
Wavelet
-koeffizienten
df
...
.........
.........
...
...
.........
.........
...
...
.........
.........
...
...
.........
.........
...
Auswahl von j Koordinatenpaaren (m, k)
aus geeigneten Skalen m;
Ausschluss ungeeigneter Koeffizienten
...
....... ..
.........
...
Gleichungssystem aufstellen und lösen
Abbildung 3.1: Systemparameteridentifikation mit Hilfe der Wavelet-Transformation
3.2
51
Besonderheiten der Differentiation und Integration numerisch simulierter Signale
Auf ein SDOF(single degree of freedom)-System nach Abbildung 3.2 wird ein diskretes
Kraftsignal f (t), beschrieben durch


0 t = 0.00



π
1 1
− cos
(t − 0.01)
0.00 < t ≤ 0.51 ,
(3.6)
f (t) =
0.1

2 2
0.5


 0.1 cos (5(t − 0.51))
0.51 < t
aufgebracht. Mit Hilfe der Newmark-Methode wird die Systemantwort mit einem Zeitschritt von ∆t = 0.01 für eine Zeitdauer von 50s aus der Bewegungsgleichung berechnet.
Der Verlauf des Kraftsignals f (t) und die Systemantwort für eine Masse m = 1kg, viskose
N
Dämpfung c = 1 Ns
m und einer Steifigkeit k = 120 m sind in Abbildung 3.3 dargestellt.
x(t)
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c
f (t)
m
k
Abbildung 3.2: SDOF-System
Im Weiteren sollen die Ergebnisse aus den Berechnungen der Newmark-Methode als Referenzlösung dienen. Die Geschwindigkeit wird als simuliert gemessene Bewegungsgröße
angenommen. Mit Hilfe der Methode zur numerischen Integration und Differentiation
nach Abschnitt 1.4, können die Beschleunigungen und Verschiebungen berechnet werden.
Die Differenz zur Newmark-Methode ist in Abbildung 3.4 dargestellt. Es zeigt sich eine
sehr gute Übereinstimmung der Signale.
Geringfügig größere Abweichungen sind am Anfang der Signale festzustellen. Mögliche
Ursachen könnten zu schnelle Anstiegswechsel bei einem zu großen Abtastintervall sein.
Daraus resultieren Ungenauigkeiten sowohl in der Wavelet-Transformation als auch in
der Newmark-Methode.
Nahezu extreme Abweichungen sind am Ende der Zeitreihen festzustellen. Die dort vorhandenen Unstetigkeitsstellen können nicht differenziert werden. Der Einflussbereich ist
in diesem Fall sehr klein. Das hier verwendete M OD1BSP 6 8 mit einer Grundkoeffizientenanzahl von 25 zeigt einen Einflussbereich von etwa 5 Werten bei Differentiation erster
Anregung
10
a(t) [m/s2 ]
50
0.0
−0.5
... ..
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...... ...
..
10
0.0
−0.8
10
0.0
−1.0
20
30
Zeit t [s]
10
20
30
Zeit t [s]
0.0
−0.5
.
......
....
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.. ...
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...
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... ..
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....
... ..
.....
0
1
2
Zeit t [s]
×10−2 Detail
40
0.8
0.0
−0.8
......
.
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.....
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. ..
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.
..
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......
.
0
50
1
2
Zeit t [s]
×10−3 Detail
.
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0
1
2
Zeit t [s]
0.5
50
Verschiebung
×10−3
1.0
40
. . .. .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. .. . .. . . ..
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
....
.
0
0
Geschwindigkeit
×10−2
0.8
20
30
Zeit t [s]
......
.......
... ..
.. .
.. ...
.. ...
.. .
... ....
.. .....
..
.
.
....
...
.
...
...
..
...
...
....
...
...
...
..
.
...
.
... .....
.. ..
.. ..
.. ..
....
×10−1 Detail
0.5
0
v(t) [m/s]
40
Beschleunigung
×10−1
x(t) [m]
20
30
Zeit t [s]
0.0
−1.0
a(t) [m/s2 ]
0
1.0
v(t) [m/s]
−1.0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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40
50
x(t) [m]
f (t) [N]
0.0
×10−1 Detail
f (t) [N]
×10−1
1.0
52
1.0
0.0
−1.0
...
.......
.. ...
.. ...
.. ...
.. ..
... ..
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... ....
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.......
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.
.
...
.
..
..
... ...
... ...
......
0
1
2
Zeit t [s]
Abbildung 3.3: Anregung und Bewegungsgrößen berechnet mit der Newmark-Methode
Ordnung und einen Einflussbereich von 10 bei der Differentiation zweiter Ordnung. Der
Einflussbereich kann auf der sicheren Seite liegend mit der Hälfte der Grundkoeffizienten
eines Waveletsystems abgeschätzt werden. Für die hier untersuchten Waveletsysteme ist
somit dieser Bereich auf 18 Werte beschränkt. Die Integrationen haben deutlich geringere
Fehler am Ende der Zeitreihen.
Tabelle 3.1 zeigt den mittleren quadratischen Fehler
v
u
Nsig
u
X
1
K{g}
{h}
5
5t 1
εK{g},{h} = 10 p
kK{g} − {h}k ≈ 10
(yk
− yk )2
(3.7)
Nsig k=1
Nsig
Beschleunigung
×100
.
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...
...
.
0
10
20
30
40
ε [m/s2 ]
ε [m/s2 ]
×10−6
80
40
0
−40
−80
53
50
15
10
5
0
−5
Zeit [t]
..
...
...
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............ .
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...
..
0
10
20
30
40
6
ε [m/s]
ε [m/s]
4
2
0
−2
−4
3
0
−3
50
Zeit [t]
ε [m]
ε [m]
2
1
0
−1
−2
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0
10
20
30
40
50
Zeit [t]
K{ẍ}
K{ẋ}
49.9 50.0
Zeit [t]
..
...
...
....
..
...
...
....
.
... ..
...................................................
.....
......
..
49.9 50.0
Zeit [t]
×10−6 Detail
Verschiebung
×10−6
...
...
...
....
..
...
...
....
..
...
... ....
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.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
............................... .... .......
......
.....
.
×10−2 Detail
Geschwindigkeit
×10−6
Detail
1
0
−1
−2
−3
49.9 50.0
Zeit [t]
K{x}
Abbildung 3.4: Abweichungen zur Referenzlösung
der verschiedenen Operatoren K, wobei g und h sinnvoll mit den entsprechenden Bewegungsgrößen zu besetzen sind. Der Operator K stellt dabei den Differentiationsoperator
D oder den Integrationsoperator I erster oder zweiter Ordnung dar. Die fehlerhaften
Randwerte der Differentiation werden durch Verringerung der Anzahl der diskreten Werte von 5001 auf 4951 ausgeschlossen.
e
Da die Grundkoeffizienten für eine spezifische Trägerlänge N = Na +2 Na der Waveletsysteme gleich sind, und somit auch die Approximationen der entsprechenden Differentiation
und Integration, sind die entsprechenden Waveletsysteme zusammengefasst nach den spezifischen Trägerlängen geordnet. In Tabelle 2.2 ist eine Zuordnung gegeben.
Auffallend ist die enorme Abweichung der Approximationen der Differentiation zweiter
Ordnung für N = 2. Hier bestätigt sich die Aussage aus Abschnitt 1.4, nach einer uneindeutigen Berechnung der Grundkoeffizienten für Filter mit einem mehrfachen Eigenwert
der Lawton-Matrix. Eine Differentiation mit solchen Filtern ist nicht sinnvoll.
Generell sind die relativen Fehler gegenüber der Referenzlösung sehr klein und in der
Größenordnung von etwa 0.1% einzuordnen. Die Fehler der Integration im Vergleich zur
54
N0
εD2 {x},{ẍ}
εD1 {x},{ẋ}
εD1 {ẋ},{ẍ}
εI 1 {ẋ},{x}
εI 1 {ẍ},{ẋ}
εI 2 {ẍ},{x}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
365043
0.9104
0.9155
0.9157
0.9157
0.9157
0.9158
0.9158
0.9157
0.0807
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.4598
0.4584
0.4583
0.4582
0.4582
0.4582
0.4582
0.4581
0.4581
0.0169
0.0156
0.0156
0.0156
0.0156
0.0156
0.0156
0.0156
0.0151
0.0873
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0806
0.0780
0.0313
0.0312
0.0312
0.0312
0.0312
0.0312
0.0312
0.0312
0.0312
Tabelle 3.1: Mittlere quadratische Fehler der Approximationen der Ableitungen und Integrale
Differentiation sind in diesem Beispiel etwas geringer. Dennoch scheinen längere Filter,
aufgrund der größeren Anzahl der Grundkoeffizienten, leicht bessere Ergebnisse zu erzielen. Mit größerer Filterlänge verschlechtert sich jedoch auch die Zeitlokalisierung, was
eine Vergrößerung des Einflussbereiches an Unstetigkeitsstellen, wie in diesem Falle am
Ende des Signals, zufolge hat. Dennoch ist dieser fehlerbehaftete Bereich auf eine geringe
Anzahl von Werten beschränkt, welche in etwa der Anzahl der Hälfte der Grundkoeffizienten des gewählten Waveletsystems entspricht.
5.867 E-3
4.397
2.927
1.457
-0.013
-1.483
-2.953
-4.422
-5.892
E-3
Abbildung 3.5: Waveletkoeffizienten von I 2 {ẍ} aus Abbildung 3.6
Erhebliche Abweichungen sind bei der Integration bzw. Differentiation von verrauschten
Signalen festzustellen. Exemplarisch sind in Abbildung 3.6 die verrauschten Bewegungsgrößen (schwarz) dargestellt. Daraus wurden mit Hilfe der Theorie der Verbindungkoeffizienten nach Abschnitt 1.4 die Ableitungen und Integrale der Beschleunigung und
Geschwindigkeit mit dem Waveletsystem M OD1BSP 6 8 gebildet. Der Vergleich zu den
schwarz gekennzeichneten Referenzwerten zeigt deutlich die Unterschiede.
Differentiationen wirken verstärkend auf die durch das Rauschen hervorgerufenen Unstetigkeitsstellen. Die Grundfrequenz des Signals bleibt dennoch erhalten und kann dann,
55
0.3
0.0
−0.3
Detail
.
...
.
.
....
.
..
.. .. .
.. .... . ....... . ........ . . ... . .. ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
............ ......... ..... .......... ...... ..... .... ... ....... ...... .... ...... ..... ................. . ..
............. ............ ...... ....................... ......... .......... ........................... ....................................... ..
.....................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
.................... ................................. ..... ......... .... .. .. ...... .................... ....... ....................
...... .......... .......................... ..... ... ...... .... ............... ... ........ .......
. . ...
... ..
......
.. ... .... . .... ...
.. . ..
...
.
.
0
10
a(t) [m/s2 ]
a(t) [m/s2 ]
Beschleunigung
20
30
Zeit t [s]
40
0.3
0.0
−0.3
50
23
27
Zeit t [s]
Geschwindigkeit
Detail
0.01
v(t) [m/s]
v(t) [m/s]
0.01
0.00
−0.01
0
10
20
30
Zeit t [s]
40
0.00
−0.01
24
26
Zeit t [s]
50
0.03
0.02
0.01
0.00
−0.01
Detail
0.002
x(t) [m]
x(t) [m]
Verschiebung
0
10
Referenz
20
30
Zeit t [s]
40
K{ẋ}
50
0.000
−0.002
24
26
Zeit t [s]
K{ẍ}
Abbildung 3.6: Anregung und Bewegungsgrößen berechnet mit der Newmark-Methode
wie im folgenden Abschnitt gezeigt, auf einer weitestgehend rauschfreien Skala zur Identifikation genutzt werden.
Die Integrationen glätten das Signal, was grundsätzlich eine gute Eigenschaft darstellt.
Probleme treten bei den Integralen auf, wenn die Anfangswerte nicht Null sind. Das numerische Verfahren setzt diesen Anfangswert mit Hilfe der Integrationskonstante immer
zu Null. In einer weiteren Integration entstehen dann zusätzliche Polynome, deren resultierenden Waveletkoeffizienten in allen Skalen zu finden sind. Abbildung 3.5 zeigt die
Dominanz dieser Koeffizienten gegenüber den schwach erkennbaren Waveletkoeffizienten
des eigentliches Signals.
Da die Multiskalen-Analyse ein Signal in verschiedene Skalen zerlegt, ist es möglich, sowohl die durch Differentiation verstärkten Rauschanteile, als auch die Fehler aus der
Integration vom eigentlichen Signal zu trennen und somit bei der Waveletkoeffizientenwahl zur späteren Identifikation auszuschließen.
3.3
56
Systemidentifikation eines SDOF-Systems
Nicht nur die Wahl des Waveletsystems hat einen Einfluss auf die Qualität der Parameteridentifikation, auch die Anzahl j der gewählten Koordinatenpaare (m, k) und das
Verhältnis Dämpfung c zu Steifigkeit k sind entscheidend. Deshalb sollen hier die unterschiedlichen Waveletsysteme mit Variationen von j und c anhand des in Abbildung 3.2
beschriebenen SDOF-Systems untersucht werden. Dabei wird als weitere Variation von
simuliert gemessenen Beschleunigungen und von simuliert gemessenen Geschwindigkeiten
ausgegangen. Desweiteren werden verschiedene Signal-Stör-Verhältnisse SN R verwendet.
Ziel dieser Untersuchung soll die Beurteilung der verschiedenen in das Programmsystem
SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit
in der Systemidentifikation sein. Dazu wird eine harmonische und eine Impuls-Anregung
mit verschiedenen Parametervariationen untersucht.
Die unterschiedlichen Identifikationsparameter werden nun kurz erläutert.
Dämpfung csoll : Der Dämpfungsparameter csoll stellt die tatsachliche Dämpfung des
Systems dar. Für die Untersuchung variiert dieser zwischen 0.2 und 2.0 mit einem Inkrement von 0.2 .
Anzahl j der Koordinaten (m, k): Die Anzahl j der Koordinatenpaare (m, k) variiert zwischen 20 und 140 mit einem Inkrement von 20, wobei die Auswahl nach den
betragsmäßig größten Waveletkoeffizienten der Beschleunigung, der Geschwindigkeit, der
Verschiebung und des Kraftsignals auf den Skalen m erfolgt. Nd ist hierbei die maximale
Anzahl der Waveletkoeffizienten auf den betrachteten Skalen m für jede Zerlegung.
Randwerte: Da Fehler insbesondere in den Randbereichen der Signale durch die Differentiation und Integration und durch die Zerlegung nicht auszuschließen sind, soll deren
Einfluss auf die Qualität der Identifikation untersucht werden. Die Auswahl der Koeffizienten soll zunächst aus allen Waveletkoeffizienten erfolgen. In einer weiteren Variation
werden die Randwerte einer jeden Skala m am Anfang und am Ende um 15 Werte verkürzt und aus den verbleibenden Werten j Koordinatenpaare (m, k) zur Identifikation
bestimmt.
Signal-Stör-Verhältnis SN R: Das Signal-Stör-Verhältnis ist mit einem Signal-Vektor
{s} und einen Störvektor {n} beschrieben durch
SN R =
k{s}k
.
k{n}k
(3.8)
Die Variationen für SN R = ∞, 10 und 5 werden untersucht, wobei unterschiedliches
Rauschen auf das Kraftsignal und die entsprechende Bewegungsgröße aufgebracht und
anschließend differenziert oder integriert wird. Somit werden alle zur Identifikation genutzten Signale gestört.
Kraftsignal: Es wird sowohl ein harmonisches Kraftsignal nach Gleichung (3.6), als auch
ein Implus-Kraftsignal nach Gleichung (3.10) auf das System aufgebracht und daraus mit
57
Hilfe der Newmark-Methode die simuliert gemessene Bewegungsgröße berechnet.
Bewegungsgröße: Bei den Untersuchungen wird einmal von simuliert gemessenen Beschleunigungen {ẍ} und einmal von simuliert gemessenen Geschwindigkeiten {ẋ} ausgegangen, welche infolge des Kraftsignals mit der Newmark-Methode berechnet werden.
Unter Beachtung aller Einflussparameterkombinationen sind 18 Konfigurationen von 1a
bis 6c möglich, in welchen wiederum csoll und j variieren. Für jede Konfiguration wird
eine Identifikation mit jedem der 45 zur Verfügung stehenden Waveletsysteme durchgeführt. Daraus resultieren ca. 57 000 unterschiedliche Parameterkombinationen.
Eine Untersuchung der Variationen mit Impulserregung ohne Randwerte wurde nicht
durchgeführt, da sich die relevanten Waveletkoeffizienten am Rand befinden. Die zur
Identifikation am besten erscheinenden Skalen m haben auch nur wenige Waveletkoeffizienten. In Tabelle 3.2 sind die unterschiedlichen Konfigurationen zusammengestellt.
Konfiguration
1a
1b
1c
2a
2b
2c
3a
3b
3c
4a
4b
4c
5a
5b
5c
6a
6b
6c
KraftSignal
Skala
m; Nd
Bewegungsgröße
Randwerte
mit
ẍ
ohne
harmonisch
5, 6, 7;
≈ 320
mit
ẋ
ohne
Impuls
ẍ
mit
ẋ
mit
6, 7, 8, 9;
≈ 140
SN R
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
Tabelle 3.2: Zusammenstellung der untersuchten Konfigurationen
Bei den nachfolgenden Identifikationen wird die Masse m = 1kg als bekannt vorausgesetzt. Die identifizierten Systemparameter werden mit cident und kident bezeichnet, wobei
N nicht variiert wird. Für jedes Waveletsystem werden
csoll variabel ist und ksoll = 120 m
die Fehler
cident − csoll
kident − ksoll
εc =
100%
und
εk =
100%
(3.9)
csoll
ksoll
berechnet. Weiterhin werden Mittelwerte E(εc ) und E(εk ) und entsprechende Standardabweichungen D(εc ) und D(εk ) definiert.
3.3.1
58
Harmonische Anregung
Das Signal nach Gleichung (3.6) wird auf ein SDOF-System nach Abbildung 3.2 aufgetragen. Abbildung 3.7 zeigt die Wavelekoeffizienten der Zeitreihen der Bewegungsgrößen
und des Kraftsignals nach Konfiguration 4c mit dem Waveletsystem M OD1BSP 6 8 .
Es sind sehr gut die dominanten hochfrequenten Rauschanteile der Beschleunigung in
den oberen Skalen zu erkennen. Diese werden und können nicht zur Identifikation herangezogen werden. Die Ausschnitte der Skalen m = 4 bis 8 zeigen deutlich die Waveletkoeffizienten der unverrauschten Zeitreihen. Ähnliche Aussagen können auch für alle anderen
untersuchten Zeitreihen getroffen werden.
dfm,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.....................................................................................................................................
k
dẍ
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
......................................................................................................................................
k
dẋ
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.....................................................................................................................................
k
dx
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
......................................................................................................................................
k
8.673 E-2
6.527
4.381
2.235
0.088
-2.058
-4.204
-6.350
-8.496
E-2
2.704 E-1
2.007
1.310
0.613
-0.084
-0.781
-1.479
-2.176
-2.873
E-1
4.472 E-3
3.350
2.229
1.108
-0.013
-1.135
-2.256
-3.377
-4.499
E-3
8.894 E-4
6.658
4.422
2.186
-0.050
-2.286
-4.522
-6.758
-8.994
E-4
dfm,k – Detail
m=4
m=5
m=6
m=7
m=8
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......................................................................................................................................
k
dẍ
m,k – Detail
m=4
m=5
m=6
m=7
m=8
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....................................................................................................................................
k
dẋ
m,k – Detail
m=4
m=5
m=6
m=7
m=8
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......................................................................................................................................
k
dx
m,k – Detail
m=4
m=5
m=6
m=7
m=8
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....................................................................................................................................
k
8.673 E-2
6.527
4.381
2.235
0.088
-2.058
-4.204
-6.350
-8.496
E-2
2.315 E-2
1.744
1.174
0.603
0.032
-0.539
-1.109
-1.680
-2.251
E-2
4.472 E-3
3.350
2.229
1.108
-0.013
-1.135
-2.256
-3.377
-4.499
E-3
8.894 E-4
6.658
4.422
2.186
-0.050
-2.286
-4.522
-6.758
-8.994
E-4
Abbildung 3.7: Zerlegung der Zeitreihen mit dem Waveletsystem M OD1BSP 6 8
59
Die Identifikationsergebnisse der Konfiguration 4c aller 45 untersuchten Waveletsysteme
mit variabler Systemdämpfung csoll und fester Koordinatenanzahl j = 80 sind in Abbildung 3.8 dargestellt. Einige Waveletsysteme zeigen extreme Abweichungen. Dies sind
die Waveletsysteme BSP R3 1, BSP R3 3, BSP R4 4, BSP R5 5 und BSP R6 8, deren
Hölder-Regularitäten nach Tabelle 2.2 sehr klein sind. Derartige Waveletsysteme gelten
als numerisch instabil, was sich hier sehr deutlich zeigt. Sie werden daher als ungeeignet
für die Systemidentifikation eingestuft.
Detail
Identifikation der Steifigkeit k
0.5
15
................................................................
...................................................................................................
0
..................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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0.0
εk [%]
εk [%]
..................................................................................................................................................................
−15
−0.5
−1.0
−30
.......................................
...................
............................................
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.......
.......
−45
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
.........................
........................................................................................................
...................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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.......................................................................................................................................................
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...................................................................................
......................................................
...........................................................................................................
................................................................... ....................................................................
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........................................................................................................................
.................................................................... ..........
...................................................................................................................................................................................................................
......
.............
.......................................................................................................................................................................................................................
.......
..........................................................................................................................................................................................................................................
........
....................................................................................................................................................
...............
−1.5
0.2
1.8
0.6
Identifikation der Dämpfung c
200
.....
.....
.....
.....
.....
......
........
......
........
......
..............
......
..
....... ............
....................... ................................................................
.......
.....................
........................................
........................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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......................................... ....
.......................................
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......
......
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...
..
.
...
...
...
..
.
...
...
...
....
.
..
−3000
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
Daubechies
1.8
B-Spline
150
100
εc [%]
εc [%]
−1500
1.8
Detail
1500
0
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
50
0
−50
−100
...
...
........
... ...
... ...
... ...
.....
......
......
.
..... .............
.
.
............. .....................
............
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...... .........
...........
...................
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.........................
.....
...................................
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................................................................................................................ ...
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.................
.. ...
..
.
.
.
−150
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
1.8
E(εk ) bzw. E(εc )
Abbildung 3.8: Fehler mit variabler Dämpfung cso und konstanter Koordinatenanzahl
j = 80
In Abbildung 3.9 sind die Fehler der Waveletsysteme aus der Konfiguration 4c mit fester
Dämpfung cso = 1.0 und variabler Koordinatenanzahl j dargestellt. Auch hier stellen
sich die benannten Waveletsysteme als ungeeignet heraus.
Die beiden Abbildungen 3.8 und 3.9 zeigen, unter Ausschluss der instabilen Waveletsysteme, mit ±1 % eine geringe Abhängigkeit der Fehler εk von den Parametern cso und j.
60
Detail
1.0
25
−25
−50
...................................................................................................................................................................
.....
.......
.......
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.......
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.
...
...
...
..
.
..
......
......
......
......
......
−75
20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
0.5
εk [%]
εk [%]
0
.........................
.........................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
0.0
−0.5
−1.0
.......................
..........
......
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.. .
.
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.
.
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......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
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.......................................
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.
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.
.
.
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...
............
.............................
.......................................... .........
... . .. ..... ...............................................................................
...
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..
.................
... ...
................................................................................................. ....... ................................................................
.
.
....... ...............
.....
.
.
....... .
.
.
... ....
.
.......
.......
..
.......................... .............................................
.....
...
..
−1.5
20
140
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
140
Detail
500
−500
−1000
20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
Daubechies
140
B-Spline
50
εc [%]
εc [%]
0
....
...
..... ................................................
..................................................
...
.....
..................................
... ........
......
.
.
.
.
.
........................................................................................................................................................................
.
.
..
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0
−50
−100
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20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
140
Abbildung 3.9: Fehler mit konstanter Dämpfung cso = 1 und variabler Koordinatenanzahl j = 80
Der Fehler εc der Dämpfung ist größer und variiert stärker. Mit zunehmendem Einfluss
der Dämpfung am System und größeren Koordinatenanzahlen j werden die Streuungen
deutlich geringer. Insbesondere bei der Variation des Parameters cso nach Abbildung 3.8
sind die absoluten Fehler c dent − cso annähernd gleich.
Zum Vergleich der Waveletsystemarten sind die Daubechies Waveletsysteme blau, und
die (modifizierten) B-Spline Waveletsysteme schwarz gekennzeichnet. Wie zu erkennen,
ist es nicht möglich Daubechies- oder B-Spline Waveletsysteme als geeigneter oder ungeeigneter einzustufen, wenn ein Mindestmaß an Regularität gefordert wird. Auch andere
Eigenschaften wie Trägerlänge oder verschwindende Momente haben scheinbar keinen
großen Einfluss auf die Ergebnisse der Identifikation.
Die roten Linien der Abbildungen 3.8 und 3.9 stellen den Mittelwert E(εc ) bzw. E(εk ) der
Fehler nach Gleichung 3.9 aller Waveletsysteme für eine Parameterkombination (cso , j)
61
dar. In diese Mittelwertbildung werden die ungeeigneten Waveletsysteme BSP R3 1,
BSP R3 3, BSP R4 4, BSP R5 5 und BSP R6 8 nicht mit einbezogen, um eine Verfälschung des Ergebnisses aus numerischen Instabilitäten heraus zu vermeiden. Da die
einzelnen Waveletsysteme nicht kontinuierlich gute oder schlechte Ergebnisse mit verschiedenen Parameterkombinationen liefern, wird dieser Mittelwert als Kriterium für die
Bewertung der unterschiedlichen Parameter genutzt.
In Abbildung 3.10 sind diese Mittelwerte für die Konfiguration 4a und 4c in Abhängigkeit
von csoll und j dargestellt. Weiterhin ist die Standardabweichung D(εc ) und D(εk ) für
Konfiguration 4c der Fehler εc und εk nach Gleichung 3.9 angegeben. Die Mittelwerte
und Standardabweichungen der Konfigurationen 1, 2 und 3 sind in ähnlicher Weise im
Anhang D zu finden. Zum übersichtlichen Vergleich sind die betragsmäßig kleinsten und
größten Abweichungen der Mittelwerte aller Konfigurationen in Tabelle 3.3 mit Angabe
der Parameterpaare (csoll , j) zusammengestellt.
Alle Konfigurationen zeigen, dass die Steifigkeit besser und mit geringeren Streuungen
identifiziert werden kann als die Dämpfung. Besonders bei schwach gedämpften Systemen
und einer geringen Koeffizientenanzahl j werden die Fehler E(εc ) sehr groß. Es zeigt sich
eine starke Abhängigkeit der Fehler E(εk ) von der Koordinatenanzahl j, die Dämpfung
csoll scheint dabei nur einen geringen Einfluss zu haben.
Die Randstörungen der Zerlegung und der Differentiation und Integration haben bei unverrauschten Signalen nur geringe Auswirkungen auf die Qualität der Identifikation. Bei
zu stark verrauschten Signalen hingegen werden die Ergebnisse deutlich besser bei Vernachlässigung der Randwerte. Auch werden dann die Standardabweichungen kleiner.
Die simuliert gemessene Bewegungsgröße hat nur geringe Auswirkungen auf die Ergebnisse. So wurden mit den Geschwindigkeiten geringfügig bessere Ergebnisse erzielt, was
unter anderem mit geringeren Fehlern in der Differentiation und Integration zu begründen
ist.
Demnach sind die entscheidensten Parameter die Dämpfung des Systems csoll und die
Anzahl der Koeffizienten j. Mit entsprechend günstigen Parametern (csoll , j) können mit
allen untersuchten Konfigurationen mittlere Fehler E(εk ) kleiner 1% und mittlere Fehler E(εc ) unter 5% erzielt werden. Konfiguration 4 zeigt in allen Bereichen die besten
Ergebnisse und wird deshalb für die praktische Anwendung empfohlen.
3.3.2
Impuls-Anregung
In gleicher Weise wie die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene harmonische Anregung wird ein SDOF(single degree of freedom)-System nach Abbildung 3.2 mit einem
10−1
Konfig. 4a
0.26
62
100
Konfig. 4a
-0.02
0.26
0.26
0.26
0.25
140
[-]
0.25
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 4c
0.25
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
h
nza
0.26
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
0.26
...
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-0.13
100 l j
h
nza
-0.03
-0.04
-0.06
-0.07
-0.08
140
[-]
100
Konfig. 4c
-0.21
-0.23
-0.25
140
[-]
-0.30
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig 4c
-0.27
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
-0.19
0.44
100 l j
h
nza
-16.78
-27.30
-37.81
-48.32
-58.83
140
[-]
100
Konfig 4c
0.40
0.39
0.38
0.37
0.36
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
0.41
157.05
138.40
0.2
0.2
.
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
140
[-]
0.42
-69.34
-79.85
60
)-A
20 (m, k
0.43
.
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4.24
-6.27
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.. ...........
...
... ... ... ..............
...... .........
..........
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
h
nza
-0.17
-0.09
-0.10
60
)-A
20 (m, k
-0.15
....
...
..
...
...
...
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...
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...
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.
.
....
.....
.. ...........
...
... ... ... ..............
...... .........
..........
-0.01
100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
140
[-]
119.75
101.10
82.45
63.80
45.15
26.50
7.85
Abbildung 3.10: Mittelwerte und Standardabweichungen der Fehler der Konfigurationen
4a und 4c
63
diskreten Kraftsignal


0
t < 0.051


 2π (t − 0.051) −1
0.051 ≤ t ≤ 0.065
f (t) =
5 cos

0.014


 0
0.065 < t
(3.10)
mit ∆t = 0.001 beansprucht. Das Kraftsignal und die daraus resultierenden Ergebnisse
aus der Newmark-Methode sind in Abbildung 3.11 für eine Masse m = 1kg, Dämpfung
N
csoll = 1 Ns
m und einer Steifigkeit ksoll = 120 m dargestellt. Aus diesen Zeitreihen werden
Anregung
−5
−10
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....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
0
1
2
3
4
0
f (t) [N]
f (t) [N]
0
Detail
−5
−10
5
...............
............
...
...
...
..
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..
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...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
...
..
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...
0.05
0.07
Zeit t [s]
Zeit t [s]
0
−5
−10
Detail
..............
.........
............. ............. ............... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
............
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
0
1
2
3
4
a(t) [m/s2 ]
a(t) [m/s2 ]
Beschleunigung
0
−5
−10
5
...........
...............
...
...
...
...
...
..
.
...
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...
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...
..
...
..
.
.
...
...
...
...
...
... ....
... ..
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... ...
...
0.05
0.07
Zeit t [s]
Zeit t [s]
Geschwindigkeit
Detail
0.1
0.0
−0.1
..
.........
... ....
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.
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........
.. ..
.......
... ..
...
......
...
0
1
2
3
4
v(t) [m/s]
v(t) [m/s]
0.1
0.0
....................
....
..
...
...
....
....
..
....
..
.
.
.
.
.
...
..
.. .............
......
−0.1
0.0
0.2
Zeit t [s]
5
Zeit t [s]
Verschiebung
Detail
0.00
−0.01
0.01
..........
... ....
............
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... .....
... ....
..... .......
..........
..
...
.... .......
...
............
...
................
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.....................
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.
........
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.........
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........
..
0
1
2
3
Zeit t [s]
4
5
x(t) [m]
x(t) [m]
0.01
0.00
..........
....
...
...
..
.
............
...
...
...
...
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...
...
...
.
.
.... .....
............
−0.01
0.0
0.5
Zeit t [s]
Abbildung 3.11: Impuls und resultierende Bewegungsgrößen
64
die simuliert gemessenen Bewegungsgrößen entnommen, für Konfiguration 5 die Beschleunigung und für Konfiguration 6 die Geschwindigkeit.
Die Ableitungen und Integrale werden wiederum basierend auf der jeweiligen simulierten Bewegungsgröße mit Hilfe der Verbindungkoeffizienten gebildet und anschließend die
Zerlegung durchgeführt. Für Konfiguration 6c ist die Zerlegung mit dem Waveletsystem
M OD1BSP 6 8 in Abbildung 3.12 dargestellt. Deutlich sind die relevanten zur Identifikation nutzbaren Skalen m zu erkennen. Im Gegensatz zum harmonischen Signal heben
sich nur wenige Koeffizienten heraus. Die Verteilung der markanten Waveletkoeffizienten
dfm,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
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...
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k
dẍ
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
..
...
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...
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...
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...
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...
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.
.....................................................................................................................................
k
dẋ
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
......................................................................................................................................
k
dx
m,k
m=1
m=3
m=5
m=7
m=9
m=11
m=13
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.....................................................................................................................................
k
2.503 E0
1.878
1.253
0.628
0.003
-0.623
-1.248
-1.873
-2.498
E0
1.601 E1
1.188
0.775
0.363
-0.050
-0.463
-0.875
-1.288
-1.701
E1
3.029 E-2
2.149
1.269
0.389
-0.492
-1.372
-2.252
-3.132
-4.012
E-2
1.512 E-3
0.876
0.240
-0.396
-1.032
-1.668
-2.304
-2.940
-3.576
E-3
dfm,k – Detail
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
m=10
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....................................................................................................................................
k
dẍ
m,k – Detail
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
m=10
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......................................................................................................................................
k
dẋ
m,k – Detail
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
m=10
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....................................................................................................................................
k
dx
m,k – Detail
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
m=10
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......................................................................................................................................
k
0.669 E0
0.274
-0.122
-0.518
-0.914
-1.310
-1.706
-2.102
-2.498
E0
0.749 E0
0.355
-0.039
-0.432
-0.826
-1.220
-1.614
-2.008
-2.402
E0
3.029 E-2
2.149
1.269
0.389
-0.492
-1.372
-2.252
-3.132
-4.012
E-2
1.512 E-3
0.876
0.240
-0.396
-1.032
-1.668
-2.304
-2.940
-3.576
E-3
Abbildung 3.12: Zerlegung der Zeitreihen mit dem Waveletsystem M OD1BSP 6 8 der
Konfiguration 6c
65
Detail
1000
−1000
−2000
−3000
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
0
εk [%]
εk [%]
0
1
...............................................................
....................
................................
.............
..........
..........
...........
......
........................................................................................................................................................................................
.....
.....
.....
.....
...............................
......
.................
............
.................
............
................
........... ........................
.
........... .....................................................................
...........
..
..........
...........
.............................................
...........
.................
...
............
.............
...
...........
.
.
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.
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.
.
.
...
.......
...
............
..........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
−1
−2
−3
.........
.........
............
...........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.........
.......
........
.................
.......................................................................
..........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..............................................
....................... .................
.......
..........................................................................................................................................................
..... ...................................................................................................................................................................
......
........
. ...... ... .......
...
............................. .............................................................................................................................................................................................................................................
.......
.......................
... ............................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
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.
.
.
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0.2
1.8
0.6
εc [%]
50000
0
−50000
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−100000
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
Daubechies
1.8
B-Spline
1.8
Detail
100
50
εc [%]
100000
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
0
−50
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−100
0.2
0.6
1.0 1.4
csoll [Ns/m]
1.8
Abbildung 3.13: Fehler bei variabler Dämpfung cso und konstanter Koordinatenanzahl
j = 80 der Konfiguration 6c
der Frequenzanteile resultierend aus dem Impuls erfolgt auf allen Skalen.
Die relativen Fehler εc und εk der identifizierten Dämpfungen und Steifigkeiten sind für
Konfiguration 6 in den Abbildungen 3.13 und 3.14 zusammengestellt. Ähnlich der Untersuchung mit harmonischer Anregung zeigen einige Waveletsysteme starke Abweichungen.
Dies sind die Waveletsysteme BSP 1 3, BSP 1 5, BSP R2 2, BSP R3 1, BSP R3 3,
BSP R4 4, BSP R5 5, BSP R6 8 und M OD2BSP R4 6, welche, wie Tabelle 2.2 zeigt,
die geringsten Hölder-Regularitäten der betrachteten Waveletsysteme aufweisen. Die Forderung der Regularität ist in diesem Fall für die Impuls-Anregung deutlich verschärft. Im
Gegensatz zur harmonischen Anregung sind hier Hölder-Regularitäten r > 0.5 notwendig.
66
Detail
1.5
−15000
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−30000
20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
0.0
εk [%]
εk [%]
0
−1.5
−3.0
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20
140
−25000
40
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−50000
20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
Daubechies
140
B-Spline
20
εc [%]
εc [%]
0
140
Detail
50000
25000
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
0
−20
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−40
20
60
100
(m, k)-Anzahl j [-]
140
Abbildung 3.14: Fehler bei konstanter Dämpfung cso = 1.0 und variabler Koordinatenanzahl j der Konfiguration 6c
Zum Vergleich der Fehler εk und εc der Daubechies und (modifizierten) B-Spline Waveletsysteme sind diese mit blauen und schwarzen Linien in den Abbildungen 3.13 und
3.14 unterschieden. Die rote Linie ist wiederum der Mittelwert aller Waveletsysteme für
die einsprechenden Parameterpaare (cso , j) unter Ausschluss der oben genannten ungeeigneten Waveletsysteme. Auch im Falle einer Impuls-Anregung ist die Steifgkeit genauer indentifizierbar als die Dämpfung. So ergeben sich Mittelwerte von E(εk ) ≈1%
und E(εc ) ≈5% für die Konfiguration 6c. Auffallend sind die starken Streuungen in Abbildung 3.13 für die Fehler εc bei geringer Systemdämpfung cso . Mit größerem Einfluss
der Dämpfung am System werden diese jedoch ebenfalls kleiner.
Die Mittelwerte der Fehler E(εk ) und E(εc ) sind für die Konfigurationen 6a und 6c in
Abbildung 3.15 für die untersuchten Parameterpaare (cso , k) zusammengestellt. Weiterhin sind die Standardabweichungen D(εk ) und D(εc ) der Konfiguration 6c angegeben.
67
Die Standardabweichungen der Konfiguration 6a sind extrem klein und sollen nicht dargestellt werden. Eine ähnliche Zusammenstellung ist im Anhang D für Konfiguration 5
zu finden.
Für die Konfigurationen 5 und 6 können nahezu exakte Identifikationen für unverrauschte
Signale durchgeführt werden. Die Verifikation des prinzipiellen Vorgehens der Identifikation ist daher gegeben. Allgemein sind die Fehler E(εc ) eines schwach gedämpften Systems
sehr groß, nahezu unabhängig von der Koordinatenanzahl j. Für die Impuls-Anregung
sind nur wenige Waveletkoeffizienten innerhalb des Identifikationsverfahrens relevant. Somit sind die besten Ergebnisse auch mit einer geringen Koordinatenzahl j zu erzielen.
Bei einer größeren Anzahl wirken sich die niederfrequenten Anteile des Rauschens auf
der betrachteten Skala nachteilig auf die Systemidentifikation aus.
Eine übersichtliche Zusammenstellung der betragsmäßig minimalen und maximalen Fehlermittelwerte E(εk ) und E(εc ) ist mit dem dazugehörigen Parameterpaar (csoll , j) in
Tabelle 3.3 zu finden. Die getroffenen Aussagen können dadurch meist bestätigt werden.
Konfiguration
min |E(εk )| (c, j)
[%]
max |E(εk )|
[%]
min |E(εc )|
[%]
max |E(εc )|
[%]
1a
1b
1c
0.042 (0.4/40)
1.739 (1.2/20)
3.665 (0.6/20)
0.043 (0.2/140)
29.056 (0.2/140)
56.081 (0.2/140)
0.006 (0.2/40)
0.886 (1.4/40)
0.323 (1.2/60)
0.050 (0.2/20)
358.270 (0.2/140)
328.774 (0.2/140)
2a
2b
2c
0.042 (0.6/20)
0.000 (1.4/40)
0.052 (2.0/40)
0.042 (2.0/140)
0.132 (0.2/140)
0.443 (0.2/140)
0.021 (0.8/80)
0.598 (2.0/20)
2.302 (2.0/140)
0.036 (0.2/20)
44.393 (0.2/40)
88.956 (0.2/60)
3a
3b
3c
0.025 (2.0/20)
0.133 (0.2/40)
0.344 (0.2/80)
0.026 (0.2/140)
0.195 (2.0/140)
0.467 (1.2/20)
0.011 (2.0/60)
0.834 (2.0/140)
1.437 (2.0/60)
0.113 (0.2/120)
19.073 (0.2/20)
52.775 (0.2/20)
4a
4b
4c
0.025 (0.8/40)
0.017 (0.2/40)
0.127 (0.2/140)
0.026 (0.2/140)
0.091 (2.0/20)
0.295 (0.2/20)
0.010 (2.0/40)
0.000 (1.2/80)
0.131 (2.0/80)
0.102 (0.2/80)
16.281 (0.2/20)
79.850 (0.2/20)
5a
5b
5c
0.002 (0.2/120)
0.034 (0.8/40)
0.003 (1.4/40)
0.002 (2.0/20)
2.380 (1.8/140)
9.805 (2.0/140)
0.000 (0.6/20)
0.358 (0.6/60)
0.457 (0.8/140)
0.003 (2.0/140)
47.026 (0.2/140)
88.095 (0.2/140)
6a
6b
6c
0.002 (0.2/140)
0.115 (0.2/20)
0.361 (0.2/20)
0.004 (2.0/20)
0.461 (2.0/20)
1.074 (2.0/40)
0.006 (0.2/60)
0.179 (2.0/20)
0.148 (0.6/40)
0.018 (0.2/20)
7.474 (0.2/20)
17.641 (0.2/20)
Tabelle 3.3: Fehlerabweichung der Mittelwerte der identifizierten Parameter
10−2
Konfig. 6a
0.37
68
10−1
Konfig. 6a
0.12
0.33
0.32
0.30
0.27
60
-A
0
2 (m,k)
100
Konfig. 6c
0.25
0.23
0.2
0.2
140
0
10 j [-]
hl
nza
...
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.28
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
0.35
..
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-0.36
0.08
0.03
-0.01
-0.05
-0.10
140
0
10 j [-]
hl
nza
60
-A
0
2 (m,k)
100
Konfig. 6c
-0.54
-0.63
-0.72
-0.90
60
-A
20 (m,k)
100
Konfig. 6c
-0.99
-1.07
0.2
0.2
140
0
]
0
1
j [l
h
nza
...
...
..
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
-0.81
0.82
7.22
4.61
2.01
100
0.59
0.53
0.48
0.42
0.37
-0.60
-3.20
72.21
63.92
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
0.65
17.64
9.82
140
0
]
0
1
j [l
h
60 nza
-A
20 (m,k)
Konfig. 6c
0.2
0.2
....
...
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
60
-A
20 (m,k)
100 j
hl
nza
140
[-]
0.70
-0.18
12.43
0.76
....
...
..
...
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-0.14
15.04
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
-0.45
...
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...
.
.
.
.
.....
.......
. ........
....
... .. ...............
......... .. ........
............
..
0.16
60
-A
20 (m,k)
100 j
hl
nza
140
[-]
55.62
47.33
39.04
30.75
22.45
14.16
5.87
Abbildung 3.15: Mittelwerte und Standardabweichungen der Fehler der Konfiguration 6a
und 6c
3.4
69
Auswertung
Das vorgestellte Verfahren zur Systemidentifikation konnte verifiziert werden. Insbesondere unter Nutzung unverrauschter Signale ist eine nahezu exakte Bestimmung der Systemparameter möglich. Die relativen Abweichungen sind dabei kleiner als 0.4%. Somit
ist auch das Prinzip der numerischen Integrationen und Differentiation auf Richtigkeit
überprüft worden.
Bei verrauschten Signalen sind die Abweichungen einzelner Waveletsysteme sehr groß. Die
Hölder-Regularitäten der Funktionen dieser Waveletsysteme sind sehr klein bzw. negativ
und werden deshalb als numerisch instabil und ungeeignet für konkrete Anwendungen
eingestuft. Es wird eine Hölder-Regularität r > 1 der Analyse-Funktionen für die Anwendung in der Systemidentifikation empfohlen.
Dennoch ist eine monotone Konvergenz bei verbesserten Einflussparametern einzelner
Waveletsysteme nicht gegeben. Deshalb wurden die Mittelwerte E(εc ) und E(εk ) als Beurteilungskriterium herangezogen, wobei eine Hölder-Regularität von r > 0 bzw. r > 0.5
gefordert wurde. In diesem Zusammenhang konnte verallgemeinernd keine bessere oder
schlechtere Eignung der Daubechies Waveletsysteme im Vergleich zu den (modifizierten)
B-Spline Waveletsystemen festgestellt werden. Die Vermutung von [Markwardt, 2003a]
nach besserer Eignung der B-Spline Waveletsysteme aufgrund der Symmetrie kann in
diesem Fall nicht bestätigt werden.
Unter den getroffenen Voraussetzungen sind Systemidentifikationen auch mit Hilfe von
verrauschten Signalen mit geringen Fehlern von E(εc ) < 5% und E(εk ) < 1% bei einem
Signal-Stör-Verhältnis SN R = 5 möglich. Zu vermeiden ist jedoch generell die Identifikation schwach gedämpfter Systeme unter Nutzung weniger Waveletkoeffizienten. Dabei
konnten im Allgemeinen die größten Fehler festgestellt werden.
Die Nutzung von gemessenen Beschleunigungen im Rahmen des Identifikationsverfahrens wird für schwach gedämpfte Systeme nicht empfohlen, da sowohl die Fehler E(εc )
als auch die entsprechenden Standardabweichungen D(εc ) in diesem Fall am größten sind.
Mit einer größeren Anzahl an Koeffizienten j ist eine Identifikation weiterhin möglich.
Generell ist bei harmonischen Anregungen eine größere Anzahl an Koeffizienten j vorteilhaft, da die relevanten Waveletkoeffizienten im gesamten Zeitbereich einer Skala verteilt
sind. Bei Impuls-Anregungen sind nur sehr wenige Waveletkoeffizienten relevant für die
Identifikation des Signals. Werden hier zu viele Koeffizienten einer Skala verwendet, wirken sich die Anteile des Rauschens der entsprechenden Skala negativ auf die Identifikation
aus.
Das Problem der fehlerbehafteten Randwerte der Zerlegung hat in diesem Zusammenhang
nur einen messbaren Einfluss unter Verwendung simuliert gemessener Beschleunigungen.
Bei Vernachlässigung der Randwerte konnten teilweise bessere Ergebnisse erzielt werden, was vermutlich mit den größeren Fehlerabweichungen in der zweiten Integration zu
begründen ist.
SCHLUSSFOLGERUNG UND AUSBLICK
70
Schlussfolgerung und Ausblick
Durch die Aufarbeitung der Theorie der diskreten biorthogonalen Wavelet-Transformation ist die Grundlage zur Implementation in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003]
geschaffen worden. Da die orthogonalen Waveletsysteme nur eine Untergruppe der biorthogonalen Waveletsysteme darstellen, konnten die vorhandenen Algorithmen genutzt
werden. Dabei wurde die Programmstruktur im Hinblick auf eine einfache Implementation weiterer Waveletsysteme abgeändert.
Die Theorie der Verbindungskoeffizienten zur numerischen Differentiation und Integration wurde auf biorthogonale Waveletsysteme angewendet. Aus den konkreten Berechnungen für die untersuchten Waveletsysteme resultierten gleiche Grundkoeffizienten für
Waveletsysteme mit gleichen spezifischen Trägerlängen, was zum einen mit der Orthogonalität der Daubechies Waveletsysteme und zum anderen mit der Symmetrie der B-Spline
Waveletsysteme zu begründen ist. Diese Feststellung konnte bei allen untersuchten Waveletsystemen durch Rechnung nachgewiesen werden. Der allgemeine theoretische Nachweis
ist noch zu erbringen.
Da verschiedene Waveletsysteme miteinander verglichen werden sollten, wurden relevante
Eigenschaften der untersuchten Waveletsysteme mit numerischen Iterationsverfahren bestimmt und diese dem Nutzer über einen Befehl im Programmsystem SLang [Bucher, 2003]
zugänglich gemacht. Dieser Befehl kann hinsichtlich weiterer Eigenschaften, wie z.B. der
Sobolev-Regularität, erweitert werden.
Das vorgeschlagende Verfahren von [Zabel, 2003] zur Identifikation von Systemparametern mit Hilfe der Wavelet-Transformation wurde mit den untersuchten biorthogonalen
Waveletsystemen angewendet und verifiziert. Auf der Basis verschiedener Variationen der
beinflussenden Parameter konnten keine besonderen Vorteile der Daubechies, B-Spline
oder modifizierten B-Spline Waveletsyteme festgestellt werden. Eine minimale HölderRegularität von r = 1 ist jedoch zu empfehlen. Der Zusammenhang mit weiteren Eigenschaften der Waveletsysteme wurde nicht festgestellt. Unter Verwendung von Mittelwerten konnten die teilweise starken Streuungen einzelner Waveletsysteme ausgeglichen
werden. Daraus wurden Systemparameter mit einer Abweichung von 1% für die Steifigkeit und 5% für die Dämpfung berechnet.
SCHLUSSFOLGERUNG UND AUSBLICK
71
Eine weitere Untersuchung mit experimentell ermittelten Zeitreihen ist in Bezug auf die
besondere Beschaffenheit der Randwerte der Signale zu empfehlen und daraus gegebenenfalls ein spezielles “Preprocessing”-Verfahren abzuleiten.
Unter Verwendung eines Impulses zur Anregung des Systems sind nur wenige Waveletkoeffizienten des Kraftsignals relevant für die Identifikation. Durch die Verwendung von
Wavelet-Paketen, welche nicht nur eine Zerlegung der Approximationen sondern auch der
Details vorsehen, könnten mehr relevante Koeffizienten genutzt werden.
Die Wavelet-Pakete erlauben außerdem eine feinere Auflösung der Frequenzen innerhalb
einer Wavelet-Zerlegung.
Abschließend bemerkt, stellt die Wavelet-Transformation und deren spezielle Weiterentwicklungen eine sehr gute Methode zur Analyse von Zeitreihen und Identifikation von
Systemparametern realer Strukturen dar. Die Implementation weiterer grundlegender
Funktionen und Algorithmen ist daher zu empfehlen.
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Anhang A
Definitionen und Vereinbarungen
Im Folgenden werden Definitionen und Konvensionen einiger häufig verwendeter Begriffe
und Zeichen erläutert.
Eine vollständige Wavelet-Transformation ist nur auf Funktionen anwendbar, die dem
Hilbert-Raum angehören. Insbesondere müssen die Funktionen quadratisch integrierbar
sein und ein endliches Integral besitzten. Dieser spezielle Banach-Raum wird als HilbertRaum bezeichnet und soll mit L2 (R) bezeichnet werden.



 Z∞
(A.1)
|f (t)|2 dt < ∞
L2 (R) := f ;


−∞
Für die Funktionen f ∈ L2 (R) und g ∈ L2 (R) ist ein Skalarprodukt
Z∞
hf, gi =
f (t)g(t)dt
(A.2)
−∞
definiert und die Fourier-Transformierten bestimmbar.
Desweiteren wird eine Zulässigkeitsbedingung für die später verwendeten Wavelets ψ(t)
definiert. Nach [Louis, 1998] heißt jede Funktion ψ(t) ∈ L2 (R) Wavelet, welche die Zulässigkeitsbedingung
Z
|ψˆ(ω)|2
0 < cψ := 2π
dω < +∞
(A.3)
|ω|
erfüllt. Hierbei ist ψˆ(ω) die Fourier-Transformierte des Wavelets ψ(t).
Eine Konvensionen hinsichtlich der Trägerlängen der beschriebenen Skalierungsfunktionen und Wavelets ist angebracht. Na beschreibt die Anzahl der von Null verschiedenen
Koeffizienten ak der Analyse-Skalierungsfunktion, Nb die Anzahl der von Null verschieea die Anzahl der von Null verschiedenen
denen Koeffizienten bk des Analyse-Wavelets, N
eb die Anzahl der von Null verKoeffizienten e
ak der Synthese-Skalierungsfunktion und N
schiedenen Koeffizienten ebk des Synthese-Wavelets. Daraus ist eine spezifische Trägerlänge
74
ANHANG A. DEFINITIONEN UND VEREINBARUNGEN
75
N 0 = Na +2 Na definierbar. Mit N = max(Na , Nb ) wird die maximale Anzahl der Koeffie = max(N
ea , N
eb ) ist die maximale Anzahl
zienten der Analyse-Funktionen bezeichnet. N
e ∈ Zodd
der Koeffizienten der Synthese-Funktionen. Hierbei ist zu beachten, das für N, N
e ∈ Zeven erzwungen wird.
durch Anhängen eines Null-Koeffizienten N, N
Exemplarisch werden die Trägerlängen für das BSP 2 2 Waveletsystem mit den Koeffizienten
{ak } =
{0
0.5
1
0.5
0
0
}
{bk } =
{0
−0.25 −0.5 1.5 −0.5 −0.25 }
(A.4)
{e
ak o
} = { − 0.25 0.5
1.5 0.5 −0.25
0
}
n
ebk =
{0
0
−0.5 1 −0.5
0
}
e
eb = 3, Nb = N
ea = 5,
angegeben. Nach den oben getroffenen Konvensionen folgt: Na = N
e = 6.
N 0 = 4 und N = N
Anhang B
SLang-Implementationen
Das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] wurde im Rahmen dieser Arbeit weiterentwickelt. Die SLang -Befehle wavelet transform, wavelet reconst, wavelet derivative,
und wavelet integrate wurden für die biorthogonalen B-Spline Waveletsysteme und
modifizierten B-Spline Waveletsysteme erweitert. Über die Attribute nach Tabelle B.1
sind diese Waveletsysteme innerhalb des Progammsystem SLang [Bucher, 2003] verfügbar.
BSP1_3
BSPR1_3
BSP2_2
BSPR2_2
BSP3_1
BSPR3_1
BSP4_4
BSPR4_4
BSP1_5
BSPR1_5
BSP2_4
BSPR2_4
BSP3_3
BSPR3_3
BSP5_5
BSPR5_5
BSP2_6
BSPR2_6
BSP3_5
BSPR3_5
BSP6_8
BSPR6_8
BSP2_8
BSPR2_8
BSP3_7
BSPR3_7
BSP3_9
BSPR3_9
MOD1BSP4_4
MOD1BSP4_6
MOD2BSP4_6
MOD1BSP6_8
MOD1RBSP4_4 MOD1RBSP4_6 MOD2RBSP4_6 MOD1RBSP6_8
Tabelle B.1: Neu implementierte Waveletsysteme
Ein weiteres Attribut choose ermöglicht die Eingabe des Waveletsystemnamen direkt als
“string”. Dies ermöglicht die einfache Anwendung der Waveletsystemnamen in Schleifen.
Aufgrund der großen Anzahl an implementierten Waveletsystemen und verschiedener
Bezeichungen in der Literatur werden die Eigenschaften mit dem neu implementierten
SLang -Befehl wavelet info zur Verfügung gestellt. So sind die Koeffizienten mit dem
Attribut filt_coeff, die Wertepaare der approximierten Graphen mit filt_view, die
Fourier-Transformierten mit filt_fourier und eine Abschätzung der optimalen HölderRegularität holder_smooth der Skalierungsfunktion und des Wavelets abrufbar. Dadurch
wird die Vergleichbarkeit mit anderen Programmsystemen gewahrt.
76
Anhang C
Informationen zu den
Waveletsystemen
In Tabelle C.1 sind die positiven Eigenwerte der Lawton-Matrizen für einige Waveletsysteme dargestellt. Die im Programmsystem SLang [Bucher, 2003] verfügbaren Waveletsysteme sind fett gedruckt.
Weiterhin sind die Graphen der Analyse-Skalierungsfunktionen ϕ, Analyse-Wavelets ψ,
die Synthese-Skalierungsfunktionen ϕ
e und Synthese-Wavelets ψe der in das Programmsystem SLang [Bucher, 2003] implementierten Waveletsysteme dargestellt. Die Berechnung
der jeweiligen Graphen erfolgte mit dem Iterationsalgorithmus nach [Newland, 1993], welcher in Abschnitt 1.5 vorgestellt wurde. Über den SLang -Befehl wavelet info sind die
dazugehörigen Wertepaare abrufbar. In den vorliegenden approximierten Grafiken wurde
eine Iterationsstufe von 10 gewählt.
Die Darstellung der Beträge der Fourier-Transformierten der Funktionen der Waveletsysteme ist ebenfalls angegeben. Mit dem SLang -Befehl wavelet info sind die dazugehörigen Wertepaare berechnet worden. Dabei wurden 20 Produkte mit einer maximalen
Frequenz von 5Hz und mit 210 Abtastwerten zur Berechnung nach Abschnitt 1.6 genutzt.
Es sind die Dilatationen m = −1, 0 und 1 dargestellt.
77
ANHANG C. INFORMATIONEN ZU DEN WAVELETSYSTEMEN
W
a
v
e
l
e
t
s
y
s
.
N0
λ
D2
D3
D4
BSP1 3 BSP1 5 BSP1 7
BSP4 2 BSP4 4
BSP5 1 BSP5 3
BSP6 2
MOD1BSP4 4
2
2−3
2−2
2−2
2−1
20
3
2−5
2−4
2−3
2−2.83
2−2
2−1
20
4
2−7
2−6.04
2−6
2−5.93
2−5
2−4
2−3.55
2−3
2−2
2−1
20
D5
BSP1 9
BSP2 8
BSP3 7
BSP4 6
BSP5 5
BSP6 4
MOD1BSP4 6
MOD2BSP4 6
5
2−9
2−8
2−7
2−6.20
2−6
2−5.99
2−5
2−4.19
2−4
2−3
2−2
2−1
20
D6
BSP1 11
BSP2 10
BSP3 9
BSP4 8
BSP5 7
BSP6 6
6
2−11
2−10.10
2−10.04
2−10
2−9
2−8
2−7
2−6.58
2−6.24
2−6
2−5
2−4.78
2−4
2−3
2−2
2−1
20
78
D7
BSP1 13
BSP2 12
BSP3 11
BSP4 10
BSP5 9
BSP6 8
MOD1BSP6 8
-
D8
BSP1
BSP2
BSP3
BSP4
BSP5
BSP6
-
7
2−13
2−12
2−11
2−10
2−9.95
2−9.82
2−9
2−8
2−7.06
2−7
2−6.59
2−6
2−5.32
2−5
2−4
2−3
2−2
2−1
20
8
2−15
2−14.12
2−14.07
2−14
2−13
2−12
2−11
2−10.05
2−10
2−9.84
2−9
2−8
2−7.58
2−7
2−6.98
2−6
2−5.83
2−5
2−4
2−3
2−2
2−1
20
Tabelle C.1: Positive Eigenwerte der Lawton-Matrix
-
14
14
13
12
11
10
79
Graphische Darstellung der Waveletsysteme
ϕD2
ψD2
2
1
0
−1
...
.......
...... ...
........ ....
....
.
...
.
.
.
...
....
.....
....
....
...
.........
..
...... ........................................
...... ..
....
0
1
2
3
1
0
−1
−2
.
....
....
.. ...
..... ....
.
. ..
..
...
...............................
...
......... ....................
..............
...
...
......
..
..
..
...
..
.
... ..
.... ..
.
... ..
.....
....
0
1
0
−1
..
......
... ...
... .....
...
...
.
.
.
...
...
...
..
...
... ..................................................................
....
... ......
......
0
2
1
0
−1
0
−1
−2
4
2
0
2
4
1
0
−1
0
−1
−2
6
3
0
2
6
9
1
0
−1
3
0
−1
−2
0
0
−1
6
1
0
−1
−2
9
4
0
1
0
−1
6
3
8
12
1
0
−1
6
9
4
−2
0
1
0
2
1
0
−1
−2
4
2
1
0
−1
4
1
0
−1
−2
6
.
.....
....
...
... ...
......
.... ....
.. ...
.
.
.
.
...
. ...
..
...................................
.. .... .... ...................................
....
.. ..
... ...
... ...
... ..
.
.. ..
... ..
.....
....
..
0
2
3
6
1
0
−1
9
8
6
9
.....
..
... .. .....
.. ... .. ...
.. .... .... ....
.
.
................................. ... ... .... ... ..........................................
.. .. ....
..........
.. ..
.. ..
... ..
... ...
....
.....
0
2
3
1
12
0
−1
6
0
−1
−2
1
0
−1
−2
9
0
3
4
8
6
9
....
......
.. .. ...
.. .... ........
.
...... . . .. .
.......................................... ..... .... .... ... .......................................................
... ... ... .. ...
..... .. .
.. .. ..
....
.....
...
0
3
6
9
ψeD7
.....
... ...
... ....
.... ....
.. ...
... .... ........
... .. ..........................................................................................
.........
... ...
... ..
....
0
6
......
... .. ..
... ... ......
.. .... ... ....
.
.......................................... .... ... ... .................................................
... .. ... .. ....
...... .. ..
... ..
.. ...
....
....
ϕ
eD7
1
4
ψeD6
.........
... ...
... ....
.... .....
.. ...
... ..........
...
... ... ......................................................................................
........
... ...
......
..
0
4
ψeD5
.....
... ....
... ...
.... ....
..
..
..
..
...
..
... ................ ....................................................................
.......
... .. ....
........
..
0
3
ψeD4
...
... ....
... ....
... .....
..
...
.
..
..
..
..
..
...
.........................................................................
...
.....
... ........
.......
0
2
ψeD3
ϕ
eD6
..
......
......
..... .... .......
... . .. ...
... .. .. .. ....
.............................................. ..... .... ... .... ..........................................................
... .. ... .. ...
... ... .....
..... ....
.....
.....
...
0
−1
ϕ
eD5
....
.....
.. ..
.. .... ..........
.
.. .. ..
.
.......
......................................... ..... .... .... .... .......................................................
... .. .. . ...
....... .. ..
.. .
.....
......
..
0
3
..
......
... ...
... .....
...
...
.
.
.
...
...
...
..
...
... ..................................................................
....
... ......
......
ψD7
.....
... ...
... ....
.... ....
.. ...
... .... ........
... .. ..........................................................................................
.........
... ...
... ..
....
0
4
3
ϕD7
1
1
2
0
...
.....
... ...
...... ...
....
..
.
...............................
...... .................
...
..............
. .........
...
...
..
..
..
...
....
... ..
.... ...
... ..
......
....
ϕ
eD3
2
ψD6
.........
... ...
... ....
.... .....
.. ...
... ..........
...
... ... ......................................................................................
........
... ...
......
..
0
1
1
ϕ
eD4
..
......
.. .. ..
.. .. ....
.. .... ... ....
.
.
.
.......................................... ... .... .. .... ..............................................
... .. ... .. .....
...... .. ..
... ..
.. ...
.....
....
ϕD6
1
0
ψD5
.....
... ....
... ...
.... ....
..
..
..
..
...
..
... ................ .................................................................
.......
... .. ....
........
..
0
−1
−1
4
....... ...
... .. ......
.. ... .. ..
.. .... .... .... ..
.
.
................................. ... .. .... ... ........................................
.. .. .....
..........
.. ..
.. ..
... .
... ....
....
....
ϕD5
1
0
ψeD2
2
...
.......
...... ...
........ ....
....
.
...
.
.
.
...
....
.....
....
....
...
.........
..
...... ........................................
...... ..
....
ψD4
...
... ....
... ....
... .....
..
...
.
..
..
..
..
..
...
.........................................................................
...
.....
... ........
.......
0
3
...
....
....
.....
.. ..
.... ..
.. ....
..... ....
.
.
.
.
.
... ... ..... .................................
...................................
.. ... ......
..
... ..
... ...
.. ...
... ..
... ...
.....
......
...
ϕD4
1
2
1
ψD3
ϕD3
2
1
ϕ
eD2
2
2
12
1
0
−1
..
.....
....
.....
... .... ........
.
.
.
........ ... ... ......
............................................... ..... ... ... ... .........................................................
... ... ... .. ....
... ... .....
..... ....
.....
.....
...
0
4
Abbildung C.1: Daubechies Waveletsysteme 2. bis 7. Ordnung
8
12
ϕD8
1
0
−1
ψD8
....
... ....
... ...
.... ....
.. ...
... ..... ........
.........
... ... .............................................................................................
... ..
.......
.
0
3
6
9
1
0
−1
12 15
3
ϕD9
1
0
−1
4
8
12
1
0
−1
16
0
−1
9
12 15
0
−1
.....
... ...
... ....
.... ....
.. . .
.. ... ......
.......... .... .... .......................................................................................................
... .. ..
.....
....
0 3 6 9 12 15 18
4
8
12
16
1
0
−1
....
... ....
... ...
.... ....
.. ...
... ..... ........
.........
... ... .............................................................................................
... ..
.......
.
0
3
0
−1
6
9
1
0
−1
12 15
.....
....
.....
..... ..
..... .... .... ........
.
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3
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0
4
8
1
0
−1
6
9
12 15
ψeD9
12
1
0
−1
16
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0 3 6 9 12 15 18
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0
ϕ
eD10
ψD10
1
ψeD8
ϕ
eD9
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0
ϕD10
1
6
1
ψD9
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0
ϕ
eD8
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0
80
4
8
12
16
ψeD10
1
0
−1
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0 3 6 9 12 15 18
Abbildung C.2: Daubechies Waveletsysteme 8. bis 10. Ordnung
81
ϕBSP 1 ?
ψBSP 1 3
1.5
1.0
0.5
0.0
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−0.5
−2 −1 0
1
2
3
1
0
−1
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...........................
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−2 −1 0
1
2
3
1.0
0.5
0.0
1.5
0
−1
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−4 −2
0
2
4
1.0
0.5
0.0
ψeBSP 1 3
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−0.5
−2 −1 0
ψBSP 1 5
1
ϕ
eBSP 1 3
1
2
3
1
0
−1
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−2 −1 0
ϕ
eBSP 1 5
0
2
2
3
ψeBSP 1 5
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−4 −2
1
4
1
0
−1
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−4 −2
Abbildung C.3: B-Spline Waveletsysteme 1. Ordnung
0
2
4
ϕBSP 2 ?
1.0
0.5
0.0
ψBSP 2 2
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−2 −1 0
1
2
3
ϕ
eBSP 2 2
1.5
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1.0
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0.5
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0.0
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−0.5
−2 −1 0
1
2
3
ψBSP 2 4
0
2
4
1.5
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1.0
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0.5
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0.0 ................................................ ....... ...... ....... ...... .................................................
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−0.5
0
3
6
ψBSP 2 8
0
4
−2
−2 −1 0
1
2
3
ψeBSP 2 4
...
2.0
......
......
1.5
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1.0
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0.5
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0.0 ................................................ ....... .........................................................
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−0.5
−4 −2
0
2
4
2
1
0
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−4 −2
8
−4−2 0 2 4
2
1
0
−1
−6 −3
4
4
0
3
6
ψeBSP 2 8
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1.5
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1.0
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0.5
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0.0 ............................................................. ...................................................................
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−0.5
0
2
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1.5
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1.0
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0.5
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0.0
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−0.5
−8 −4
0
ψeBSP 2 6
ϕ
eBSP 2 8
1.5
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1.0
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0.5
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0.0
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−0.5
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−8 −4
0
6
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4
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2
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0
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−2
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−4
−2 −1 0 1 2 3
ϕ
eBSP 2 6
ψBSP 2 6
−6 −3
2
ψeBSP 2 2
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ϕ
eBSP 2 4
1.5
...
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1.0
.....
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0.5
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0.0 .................................................. ..... ...... ......................................................
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−0.5
−4 −2
4
82
8
2
1
0
−1
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−8 −4
0
4
8
ϕBSP 3 ?
ψBSP 3 1
1.0
0.5
0.0
80
.....................
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1
0
−1
−0.5
−1
0
1
2
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−1
0
1
2
40
0
−40
ϕ
eBSP 3 1
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−80
−1
1
0
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2
0
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0
2
ψ3,5
2
1
0
−1
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−4 −2 0
2
4
6
1
0
−1
ψBSP 3 7
1
0
−1
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−6 −3 0
3
6
2
1
0
−1
ψ3,9
1
0
−1
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......
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−8 −4 0
4
8
2
1
0
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2
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−2
4
1
ϕ
eBSP 3 3
ψBSP 3 3
4
0
0
2
4
60
30
0
−30
83
ψeBSP 3 1
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−60
−1
4
2
0
−2
−4
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−2
4
2
0
−2
6
−4 −2 0
6
2
2
4
0
−2
−6 −3 0
3
6
ψeBSP 3 9
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4
4
6
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ϕ
eBSP 3 9
−8 −4 0
2
ψeBSP 3 7
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3
0
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ϕ
eBSP 3 7
−6 −3 0
2
ψeBSP 3 5
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2
1
ψeBSP 3 3
ϕ
eBSP 3 5
−4 −2 0
0
8
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2
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.
1
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0 ........................................................................................................................................
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−1
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−2
−8 −4 0 4 8
ϕBSP 4 4
ψBSP 4 4
1.0
0.5
0.0
...
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0
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−0.5
−4 −2 0
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4
0.0
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−4 −2 0
6
2
4
6
ϕBSP 5 5
ψBSP 5 5
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1.0
0.5
30
1
1
0
−1
−0.5
−6 −3
0
3
6
−6 −3
0
3
6
ψBSP 6 8
ϕBSP 6 8
0.5
0.0
1
0
............................
−1
−0.5
−10 −5
0
5
10
−10 −5
0
5
10
0
−10
−20
60
30
0
−30
.
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.. ...... ..
. . ........... . .
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−4 −2 0
2
4
6
ϕ
eBSP 5 5
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−60
−6 −3
0
3
6
20
10
0
−10
−20
−30
50
25
0
−25
10
90
60
30
0
−30
−60
−10 −5
ψeBSP 4 4
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... ...
.. ..
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−4 −2 0
2
4
6
ψeBSP 5 5
...
... ...........
..........................
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......................
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...............................................................................
...............................................
...................................
.........................
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....
−50
−6 −3
0
3
6
ψeBSP 6 8
ϕ
eBSP 6 8
1.0
.......
... ....
... ....
.... ....
... .......
.............................................................
.........................................................
20
ϕ
eBSP 4 4
84
60
0
5
10
30
0
−30
−60
−10 −5
Abbildung C.6: B-Spline Waveletsysteme 4. bis 6. Ordnung
0
5
10
85
ϕM OD1BSP 4 4
1.5
1.0
0.5
0.0
....
......
.. ...
... ...
.... .....
.. ..
.. ....
...
..
...
...
...
.....
.. ..............................................
..................................... ...
... ......
.........
......
−0.5
−4 −2
0
2
4
ψM OD1BSP 4 4
2.0
.
......
1.5
.....
.....
1.0
.... ....
.. .
.. ..
0.5
.. ..
.. ...
................... .... .... .....................................................
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0.0
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... ... ... ...
... . .. ..
−0.5
...... ......
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−1.0
−4 −2 0 2 4
ϕM OD1BSP 4 6
2
4
1
0
−1
−2
−4 −2 0
6
ϕM OD2BSP 4 6
0.0
−0.5
1.0
0.5
0.0
.......
... ...
... ....
.... ....
...
..
...
..
............
..
. .................................................
................................................
−4 −2 0
2
4
2
4
6
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
.. ..
...... ......
.. .. .. ...
.. .. . ..
..................................................... .... .... .......................................................
... ...
... ..
... ...
... ...
....
.....
...
−4 −2 0
6
2
4
6
ψM OD1BSP 6 8
...
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.... .....
. .
... ...
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.................................................... .... .... ...........................................................
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..... ....
...... ......
... ...
0
4
1.5
1.0
0.5
0.0
−0.5
8
1.0
0.5
0.0
−0.5
−8 −4
0
4
8
0
2
4
2
1
0
−1
ϕ
eM OD1BSP 4 6
2
4
1
0
−1
6
6
..
...
..
...
4
.......
..
.....
2
...... ....
. ..... ...... .
....................... .......... .......... .................................................................
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−2
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−4
−4 −2 0 2 4 6
0.5
0.0
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−0.5
−8 −4
0
4
2
4
8
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−4 −2 0
2
4
6
ψeM OD2BSP 4 6
6
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3
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0 ....................................................................................................................................................................
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−3
..
..
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−6
−4 −2 0
ϕ
eM OD1BSP 6 8
1.0
0
ψeM OD1BSP 4 6
....
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−4 −2 0
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−4 −2
ϕ
eM OD2BSP 4 6
ϕM OD1BSP 6 8
−0.5
−8 −4
−4 −2
ψM OD2BSP 4 6
1.0
0.5
.. ...
...... ......
...... .......
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...
ψeM OD1BSP 4 4
1.5
...
.....
... ..
1.0
... ....
.... .....
.. ....
0.5
..
...
..
0.0 ................................................. ...............................................................
−0.5
ψM OD1BSP 4 6
....
1.5
.....
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1.0
.
... ....
... ..
0.5
.. ...
... .....
.
.
0.0 ............................................... ...... ....... ...........................................................
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....
−0.5
−4 −2 0
ϕ
eM OD1BSP 4 4
2
4
6
ψeM OD1BSP 6 8
1
0
−1
..
.....
....
.....
........
....
. .. .. .
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..... .....
...... .....
.... .....
−8 −4
0
4
Abbildung C.7: Modifizierte B-Spline Waveletsysteme 4. und 6. Ordnung
8
86
Fourier-Transformierte der Waveletsysteme
|ϕbD2 |
|ψbD2 |
1.5 ...
1.0
0.5
0.0
..
..
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0
1
2
3
4
5
Hz
1.5
1.0
0.5
0.0
...
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0
1
|ϕbD3 |
0.5
0.0
..
..
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................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
1.0
0.5
0.0
1.0
1.0
..
..
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.
...........
....
.. ...
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.............. ...
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.. .. ..
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1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
..
....
.. ..
.. ..
... ... .
. ....
.. ... ...
.. ... ...
.. ..... ...
... ...... ......... ........
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........... ......... .................
..............
........................
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...
0
1
1.0
1.0
..
..
..
.
...........
.....
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.............. ...
.. ... ..
.. .. ..
.. ... ..
.. .. ..
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.. ... .
.. ... ......
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.........
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
0
1
1.0
1.0
..
..
..
.
.............
.....
.. ..
.............. ....
.. .. .
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.. ... ..
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.. ... .
.. .. ...
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..............
................................................
0
1
2
3
1
3
4
5
Hz
0.0
2
3
4
0.5
5
Hz
0.0
0
1
0
1
2
3
4
0.5
5
Hz
0.0
4
.... .... .... .... ..
5
Hz
0.5
0.0
0
m = −1
1
2
3
4
...........................
1.0
0.5
5
Hz
0.0
m=0
5
Hz
2
3
4
5
Hz
..
..
..
.
...........
....
.. ...
..
.............. ...
.. .. ..
.. ... ..
.. ... ..
.. ... ..
.. .. ..
.. .. ..
.. ... .
.. ..... .........
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.... ......
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.........
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e D5 |
..
..
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.
...........
.....
.. ..
..
............. ...
.. ... ..
.. .. ..
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.. ... .
.. ... ......
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.... .......
......................................
.........
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e D6 |
1.5 ....
..
....
....
.. ..
... ...
..
.. .........
.. .... ..
.. ... ...
... ....... .... .... ....
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.... .... ......
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...........................
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4
|ϕb
e D4 |
1.5 ....
1.0
3
..
..
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..
...........
.....
....
..
................
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.. .. ..
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.. .... .
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......... ................... ..............
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.......... ........... ......................................
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1.5 ....
1.0
2
|ϕb
e D3 |
|ψbD6 |
1.5
0.0
2
0.5
..
....
....
.. ..
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.. .... ...
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|ϕbD6 |
1.5 ....
0.5
0
|ψbD5 |
1.5
0.0
0.0
1.0
...
....
.. ..
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|ϕbD5 |
1.5 ....
0.5
5
Hz
|ψbD4 |
1.5
0
4
1.5 ...
|ϕbD4 |
0.0
3
0.5
1.5
1.5 ....
0.5
2
1.0
..
..
..
..
.........
.....
.....
................
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.. .. .. .........
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|ψbD3 |
1.5 ...
1.0
|ϕb
e D2 |
1.5 ...
..
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.
.............
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.. .. .
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.. .. ..
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.. .. .
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.............
................................................
0
1
2
3
...............
4
5
Hz
e D2 |
|ψb
1.5
1.0
0.5
0.0
...
....
.. ..
.. ..
... ...........
.. ... ...
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.................
......
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...
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...
0
1
0.5
0.0
0.5
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
4
5
Hz
..
....
.. ..
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.. ..
... ...........
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...
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.............
........
....................
................................
...... . ..... ............
0
1
2
3
4
5
Hz
e D4 |
|ψb
1.5
1.0
3
e D3 |
|ψb
1.5
1.0
2
.....
....
.. ..
... ...
.. .......
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.
0
1
2
3
4
5
Hz
e D5 |
|ψb
....
....
.. ..
... ....
.. ....
.. ... ...
.. ... ...
.. ... ...
... ........ .......... ....
...
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.. .. ... ..
...
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.
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.......................
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0
1
2
3
4
5
Hz
e D6 |
|ψb
..
....
....
.. ..
.. ..
... ........
.. .... ...
.. . ..
.. ..... ...
.. .... ... .... ...
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... ... ...... .....
...
...
....... ...... ...
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.....................
...
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0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
Abbildung C.8: Fourier-Transformierte der Daubechies Waveletsysteme 2. bis 6. Ordnung
|ϕbD7 |
|ψbD7 |
1.5 ....
1.5
1.0
1.0
0.5
0.0
..
..
..
.
..............
.. ...
.. ...
.............. ....
.. . .
.. ... ..
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. ... ..
.. .. .
.. ... ...
.................................................
.........................................................................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
....
....
.. ...
.. ..
... .......
. .. .
.. .... ...
.. . ..
.. ..... ...
... ....... ......... ......
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..
.
.
.
...................................................................................
...
.... . ..... .....................................
0
1
|ϕbD8 |
1.5
1.0
1.0
0.0
..
..
..
.
..............
.. ...
.. ...
............. ....
.. .. .
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. ... ..
.. .. .
.. ... ...
.................................................
...........................................................................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1.0
1.0
..
..
..
.
.............
.. ...
.. ...
.............. ....
.. .... ...
.. .. .
.. ... ..
.. . ..
.. ... .
.. .. ...
.. ... ..
.. .. .
...............................................................................................................
.............................................
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
0
1
1.0
1.0
..
..
..
.
..............
.. ..
.. ...
............... ....
.. ... ...
.. .. .
.. .. ..
.. .. ..
.. .. .
.. ... ...
.. .. ..
.. ... .
.............................................
..............................................................................................................
0
1
2
3
0
1
2
3
4
1.0
0.5
5
Hz
0.0
0
1
2
3
4
0.5
5
Hz
0.0
0
1
4
.... .... .... .... ..
5
Hz
0.5
0.0
0
m = −1
1
2
3
4
...........................
1.0
0.5
5
Hz
0.0
m=0
4
5
Hz
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e D9 |
..
..
..
.
.............
.. ...
.. ...
.............. ....
.. .... ...
.. .. .
.. ... ..
.. . ..
.. ... .
.. .. ...
.. ... ..
.. .. .
...............................................................................................................
.............................................
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e D10 |
1.5 ....
..
....
.. ..
.. ..
... ...
..
.. .........
.. ... ...
.. .. ..
... ..... .... .. ....
.. .... ... ....
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.. .. .. . ..
...
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... ... ..... ....
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...
............. ..........
3
..
..
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..............
.. ...
.. ...
............. ....
.. .. .
.. .. ..
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.. .. ..
.. .. ..
.. ... ..
.. .. .
.. ... ...
.................................................
...........................................................................................................
1.5 ....
1.0
2
|ϕb
e D8 |
|ψbD10 |
1.5
0.0
0.0
1.5 ....
..
....
.. ..
.. ..
... ...
.. ......
.. ..... ...
.. .. ...
.. .. ...
... ...... ....... ......
.
.. .... ..
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... .... ....... ....
...
... ... .... ....
...
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.
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...
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|ϕbD10 |
1.5 ....
0.5
5
Hz
|ψbD9 |
1.5
0.0
4
0.5
...
....
.. ..
.. ..
... ....
.. .......
.. .... ...
.. .. ..
.. ... ...
... ....... ......... .......
.. ... ...
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..... ....... ....
.
.
.
.
.........................................................................................
...
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|ϕbD9 |
1.5 ....
0.5
3
1.0
..
..
..
.
..............
.. ...
.. ...
.............. ....
.. . .
.. ... ..
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. ... ..
.. .. .
.. ... ...
..................................................
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|ψbD8 |
1.5 ....
0.5
2
|ϕb
e D7 |
1.5 ....
..
..
..
.
..............
.. ..
.. ...
............... ....
.. ... ...
.. .. .
.. .. ..
.. .. ..
.. .. .
.. ... ...
.. .. ..
.. ... .
.............................................
..............................................................................................................
0
1
2
3
...............
4
5
Hz
1.5
1.0
0.5
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
87
e D7 |
|ψb
..
....
.....
.. ..
... ...
.. ........
.. .... ...
.. .. ..
.. ... ...
... ....... ......... ......
.
.. .... ....
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.
.....................................
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...
..... ... ..... ...
0
1
2
3
4
5
Hz
e D8 |
|ψb
...
....
.. ..
.. ..
... ....
.. ........
.. .... ..
.. ... ...
.. ... ...
... ....... ........ .......
.
.
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...
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..
...
... .... ...
.
.........................................................................................
...
..... ... ..... .....................................
0
1
2
3
4
5
Hz
e D9 |
|ψb
..
....
.. ..
.. ..
... ...
.. ......
.. .... ...
.. .. ...
.. .. ...
... ...... ....... ......
.
. .. .
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... ... ... ... ....
...
... .... ...... ....
...
...... .... ....
.........................................................................................
...
.......... .............................................
0
1
2
3
4
5
Hz
e D10 |
|ψb
..
....
.. ..
.. ..
.. ..
... .........
. .. .
.. ... ...
.. .. ..
.. ... ... .
... ....... ....... ......
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.. .. .. .. ..
... ... ..... .....
...
... .... ..... ....
...
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...
............. ..........
0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
Abbildung C.9: Fourier-Transformierte der Daubechies Waveletsysteme 7. bis 10. Ordnung
88
|ϕbBSP 1 3 |
|ψbBSP 1 3 |
1.5 ...
1.0
0.5
0.0
1.5
..
..
..
.
..........
...
.....
..............
.. ....
.. ......
.. ... ...
.. ... ...
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.. ..... ......
.... .... ...
.. . .
.... .... .
.... ........... .......
... .................
..................
.................
...............
....................
.. .... ... ..............
. ..............
.
0
1
2
3
4
5
Hz
1.0
0.5
0.0
1.5 ......
...
....
.. ..
.. ..
... ..........
.. ... ..
.. .... ...
.. .. .. ....... ..
.. .. .. ..... ....
... .... ..... ..... .. .... ..
...
.. .. .. ....
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..... .............
.................
.... . .. .. .. . ............ .... .......................................
...
........ ............
.....
....... ... ..... ..........
0
0.5
0.0
3
4
5
Hz
1.5
..
..
..
.
..........
...
.....
..............
.. ....
.. ......
.. ... ...
.. ... ...
.. .... ..
.. ..... ......
.... ... ...
.. ....
.... ......
.... .......... .......
. .................
................
..............
....................
....................
.. .... ... ...............
. ............
.
0
2
0.5
1
2
3
4
.... .... .... .... ..
0.0
..
..
..
..
.............
.....
.. ...
..................
.. ... ...
.. .. .
.. ... ..
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.. ... ..
.. ... ....
.. ..... ...
......... .........
... ....... ....
..........
... .....
........................
.......
.............
........ ......................................
.............
0
5
Hz
1.0
0.5
0.0
2.0
.
....
....
.. ..
.. ..
... .........
. ..
.. .... ...
.. .... ...
.. ... .. ...... .....
... ... .... ... ..... .......
....
..
.
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.. ... ... ......
.......
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..... ...............
....
.............. .... ......... ....... ... ............
. . ......
........ .....
.
.
........... .... . ...............
.............. ......
..... .. ... ........
0
m = −1
1
2
3
4
...........................
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 1 5 |
|ψbBSP 1 5 |
|ϕbBSP 1 5 |
1.5 ...
1.0
1
1.0
|ϕb
e BSP 1 3 |
1.0
0.5
0.0
1.5
1.5 .........
1.0
..
.
.....
1.0 ...................
0.5
5
Hz
0.0
m=0
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0
1
2
3
...............
4
5
Hz
e BSP 1 3 |
|ψb
1.5
0.5
0.0
...
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 1 5 |
|ψb
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0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
Abbildung C.10: Fourier-Transformierte der B-Spline Waveletsysteme 1. Ordnung
|ϕbBSP 2 2 |
|ψbBSP 2 2 |
1.5 ...
1.0
0.5
0.0
1.5
..
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0
1
2
3
4
5
Hz
1.0
0.5
0.0
0
0.5
0.0
1
2
3
4
5
Hz
1.0
0.5
0.0
1.0
1.0
..
..
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.......
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1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1.0
1.0
..
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0
1
2
3
4
.... .... .... .... ..
0.0
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
0
m = −1
1
2
3
4
...........................
5
Hz
5
Hz
|ϕb
e BSP 2 4 |
0.0
2.0
1.0
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
2.5
2.0
.
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4
1.0
2.0
5
Hz
3
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0
1.5
1.0
0.5
0.0
m=0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 2 6 |
2.5
.
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......
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2
1.5
0.5
5
Hz
.
....
....
....
1
0.5
1.5 .... .........
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 2 8 |
1
2
3
...............
4
0.0
1.5
1.0
0.5
0.0
2.0
.
....
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. .......
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0
0.5
2.0
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|ψbBSP 2 8 |
1.5
0.0
5
Hz
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|ϕbBSP 2 8 |
1.5 ...
0.5
1.0
|ψbBSP 2 6 |
1.5
0
4
1.0
2.0
|ϕbBSP 2 6 |
0.0
3
1.5
.....
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|ψbBSP 2 4 |
1.5 ...
0.5
2
1.5
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0
1
1.5 .... ......
0.5
e BSP 2 2 |
|ψb
2.0
...
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|ϕbBSP 2 4 |
1.5 ...
1.0
|ϕb
e BSP 2 2 |
2.0
5
Hz
1.5
1.0
0.5
0.0
89
...
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 2 4 |
|ψb
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 2 6 |
|ψb
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 2 8 |
|ψb
...
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0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
|ϕbBSP 3 1 |
|ψbBSP 3 1 |
1.5 ..
1.0
0.5
0.0
..
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0
1
2
3
4
5
Hz
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
6
..
....
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0
|ϕbBSP 3 3 |
0.5
0.0
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0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1
2
3
4
5
Hz
1.5
1.0
0.5
0.0
....
....
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0
0.5
0.0
1
2
3
4
.... .... .... .... ..
2
3
4
1
5
Hz
0
1.5
1.0
0.5
0.0
3
...
....
....
....
............
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0
1
2
3
4
2
1
5
Hz
0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3
...
....
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...........
.. ......
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0
1
2
3
4
2
1
5
Hz
0
5
Hz
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3
.
....
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0
m = −1
1
2
3
4
...........................
2
1
5
Hz
0
m=0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 3 3 |
.
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.. . .....
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 3 5 |
.
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0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 3 7 |
.
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.. .
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0
|ψbBSP 3 9 |
..
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0
1
2
2.0
|ϕbBSP 3 9 |
1.5 ..
1.0
0
|ψbBSP 3 7 |
..
..
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..
......
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......
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.............................................
0
5
Hz
3
|ϕbBSP 3 7 |
1.5 ..
1.0
4
0
|ψbBSP 3 5 |
..
..
..
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.......
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......
......
.......
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0
3
2.0
|ϕbBSP 3 5 |
1.5 ..
1.0
2
2
.
....
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|ψbBSP 3 3 |
1.5 ..
1.0
1
4
|ϕb
e BSP 3 1 |
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 3 9 |
.
...
....
....
.......
.
.......
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0
1
2
3
...............
4
5
Hz
e BSP 3 1 |
|ψb
5
4
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
90
..
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 3 3 |
|ψb
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 3 5 |
|ψb
..
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 3 7 |
|ψb
.
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....
.. ..
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 3 9 |
|ψb
...
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....
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... .... .
.. . .....
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0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
|ϕbBSP 4 4 |
|ψbBSP 4 4 |
1.5 ..
1.0
0.5
0.0
..
..
..
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......
......
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..... ...
.. .. .
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.. .. ...
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..............................................
0
1
2
3
4
5
Hz
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
.
...
....
....
.......
... .
..........
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... ..... ...... ..
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0
0.5
0.0
..
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.......
.....
......
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.... ..
.. ... ..
.. ... ..
.. ... ...
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0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1
2
3
4
.... .... .... .... ..
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 5 5 |
30
2
1
0
.
....
....
....
......
........
.........
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. .. .
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....... . ...........................................
0
1
2
3
4
20
10
5
Hz
0
0
5
Hz
3
2
1
0
..
....
....
....
............
......
..........
...... .. ...
.. ... .. . .
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.
...... ...........................................
0
m = −1
1
2
3
4
...........................
30
20
10
5
Hz
0
m=0
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e BSP 6 8 |
40
4
1
0
1
2
3
...............
4
4
3
2
1
0
10
5
0
20
.
..
....
....
.......
...
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...
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. .....
.. .
. ..
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... ........
.............
.......................
.........................................
.............................
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.......... ...........
5
Hz
e BSP 4 4 |
|ψb
5
15
..
...
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....
......
.
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...
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...
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.. .... ......
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.. .. ........... ...................... ............ ....... ............
.....
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.
.
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............................................
...
............... .......
........................
..... .............
|ψbBSP 6 8 |
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0
3
3
|ϕbBSP 6 8 |
1.5 ..
1.0
2
|ψbBSP 5 5 |
|ϕbBSP 5 5 |
1.5 ..
1.0
1
|ϕb
e BSP 4 4 |
6
.
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5
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4 ...... ...... ......
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3 ............................... .................
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2 ............... ............................................. ............................... .
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1 ...... ............ ......... ......... ..................... ................... .......... ....................
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0 ... ......... ... ..........
0 1 2 3 4 5
Hz
15
10
5
0
91
..
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.......
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...............................
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.............. ......
0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 5 5 |
|ψb
.
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......
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0
1
2
3
4
5
Hz
e BSP 6 8 |
|ψb
.
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......
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.. ....... ........
...........
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.....................
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........................ .......
.................................
....
........................
0
1
2
3
4
5
Hz
m=1
Abbildung C.13: Fourier-Transformierte der B-Spline Waveletsysteme 4. bis 6. Ordnung
92
|ϕbM OD1BSP 4 4 |
2.0
1.5 ........
1.0
0.5
0.0
..
..
...............
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.. .. ..
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.. ..... ........
... ..........................................
........... ..........................................................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕbM OD1BSP 4 6 |
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
..
....
....
....
... ...
.. .........
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............................................................................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕbM OD2BSP 4 6 |
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0
..
..
..
..
......
...
...
.........
......
......
......
.... ..
.. ... ..
.. ... ..
.. .. ...
.. ... ...
..............................................
..................................................................................................................
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕbM OD1BSP 6 8 |
1.5
1.0
0.5
0.0
1
2
3
4
5
Hz
1.0
0.5
0.0
1
2
3
4
.... .... .... .... ..
5
Hz
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1.0
1.0
0.0
.
...
....
.....
....
... .........
.. .... ..
.. .. ..
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... ....... ....... ....
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0
1
2
3
4
m = −1
1
2
3
4
...........................
1
2
3
4
5
Hz
0.0
1.0
0.0
..
..
..
..
......
....
...
..........
......
......
.. .....
.. ... ...
.. ... ..
.. .. ...
.. ... .
.. ... ........
...............................................................................................
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.....................................
.........
0
1
2
3
4
5
Hz
|ϕb
e M OD2BSP 4 6 |
0
.
....
....
....
......
.. .....
.. .......
.. .. ..
.. .. ...
... ....... ... ... ...
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...
............. ................
... ......
.........................................
....... ............
................. ......
.... ..............
0
1
2
3
4
5
Hz
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0
3
2
1
0
m=0
1.5
0
0.0
2
3
...............
4
5
Hz
1
2
3
4
5
Hz
....
....
....
.. ..
... ............
.. ... ..
.. .. ... .
.. ..... .. .. ....
.. ... .. ...... ..
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...
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.... .... ......
..................
..............................
............................................
..................
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........... ....... ...............
0
1
2
3
4
5
Hz
.
...
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... ........ .... . ... ...
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...
.. ... .... ... ...... ............. ........
. .......
.....................
...............................
................. ......
...
............. ....... ............
0
1
2
3
4
5
Hz
e M OD1BSP 6 8 |
|ψb
..
..
..
..
..............
.. ...
.. ..
..
...................
.. ... ..
.. .. ..
.. .. .
.. ... ...
.. .. .
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...............................................
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1
0
e M OD2BSP 4 6 |
|ψb
4
|ϕb
e M OD1BSP 6 8 |
1.5 .....
..
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.........................................
... ........
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..
e M OD1BSP 4 6 |
|ψb
1.0
1
5
Hz
0.5
1.5
2
..
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... ..........
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....... ....... ...
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..... ... ..... ......................................
0
0
|ϕb
e M OD1BSP 4 6 |
3
5
Hz
..
..
..
.
.........
.......
.....
...............
.. .........
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.. ..... ......
.. .. .. ..........
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.........................
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.......................................................
.......................
...... ....
1.5 ..
4
|ψbM OD1BSP 6 8 |
1.0
0
0
e M OD1BSP 4 4 |
|ψb
1.5
0.5
|ψbM OD2BSP 4 6 |
1.0
..
..
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1.5
1.5
0.0
0
|ϕb
e M OD1BSP 4 4 |
1.5 ...
0.5
|ψbM OD1BSP 4 6 |
1.5 ...
0.5
.
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2.0
1.5 ..
1.0
|ψbM OD1BSP 4 4 |
1.5
1.0
0.5
..
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.................................
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0
1
2
3
4
5
m=1
Abbildung C.14: Fourier-Transformierte der modifizierten B-Spline Waveletsysteme 4.
und 6. Ordnung
Anhang D
Auswertungen der
Systemidentifikation
Konfiguration
1a
1b
1c
2a
2b
2c
3a
3b
3c
4a
4b
4c
5a
5b
5c
6a
6b
6c
KraftSignal
Skala
m; Nd
Bewegungsgröße
Randwerte
mit
ẍ
ohne
harmonisch
5, 6, 7;
≈ 320
mit
ẋ
ohne
Impuls
ẍ
mit
ẋ
mit
6, 7, 8, 9;
≈ 140
SN R
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
∞
10
5
Tabelle D.1: Zusammenstellung der untersuchten Konfigurationen
93
ANHANG D. AUSWERTUNGEN DER SYSTEMIDENTIFIKATION
10−1
Konfig. 1a
0.43
94
10−1
Konfig. 1a
0.42
0.42
0.42
0.42
140
[-]
0.42
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 1c
0.42
...
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.. ...........
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....... .........
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
h
nza
0.42
0.44
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
0.42
...
...
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..........
56.08
100 l j
h
nza
0.39
0.33
0.27
0.22
0.16
140
[-]
100
Konfig. 1c
29.87
23.32
16.77
140
[-]
3.66
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 1c
10.22
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
36.43
29.55
100 l j
h
nza
232.70
184.66
136.62
88.57
40.53
140
[-]
103
Konfig. 1c
21.20
19.12
17.03
14.96
12.86
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
23.29
2.41
2.11
0.2
0.2
.
....
...
..
...
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... ..............
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
140
[-]
25.37
-7.51
-55.55
60
)-A
20 (m, k
27.46
.
....
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..
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... ..............
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.. ...........
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..........
328.78
280.74
....
...
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.. ...........
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
h
nza
42.98
0.10
0.05
60
)-A
20 (m, k
49.53
....
...
..
...
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...... .........
..........
0.50
100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
140
[-]
1.82
1.52
1.23
0.94
0.64
0.35
0.05
Abbildung D.1: Mittelwerte und Standardabweichung der Fehler für Konfiguration 1a
und 1c
10−1
Konfig. 2a
0.42
95
10−1
Konfig. 2a
0.42
0.42
0.42
0.42
140
[-]
0.42
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 2c
0.42
...
...
..
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.. ...........
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... .. ... ..............
....... .........
..........
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
h
nza
0.42
0.35
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
0.42
...
...
..
...
...
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.. ............
...
... .. ... ..............
....... .........
..........
0.44
100 l j
h
nza
0.33
0.31
0.29
0.27
0.25
140
[-]
100
Konfig. 2c
0.16
0.10
0.03
140
[-]
-0.11
0.2
0.2
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 2c
-0.04
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
0.23
1.37
100 l j
h
nza
50.09
30.65
11.22
-8.22
-27.66
140
[-]
100
Konfig. 2c
1.07
0.99
0.92
0.84
0.77
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
1.15
328.14
288.86
0.2
0.2
.
....
...
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....... .........
..........
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
140
[-]
1.22
-47.09
-66.53
60
)-A
20 (m, k
1.30
.
....
...
..
...
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...
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60 nzah
)-A
20 (m, k
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Konfig. 3a
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96
100
Konfig. 3a
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0.26
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100
Konfig. 3c
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100
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0.47
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h
nza
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-39.94
140
[-]
100
Konfig. 3c
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0.33
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0.25
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
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)-A
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97
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Konfig. 4a
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)-A
20 (m, k
100
Konfig. 4c
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h
nza
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140
[-]
100
Konfig. 4c
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D(εk ) [%]
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)-A
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100 l j
60 nzah
)-A
20 (m, k
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und 4c
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98
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Konfig. 5a
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0.21
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60 nzah
)-A
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)-A
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)-A
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Konfig. 5c
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0.2
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100
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D(εk ) [%]
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h
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Konfig. 5c
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1.4 [Ns
1.8 c soll
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1.0 m]
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nza
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)-A
20 (m, k
100 l j
h
nza
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und 5c
10−2
Konfig. 6a
0.37
99
10−1
Konfig. 6a
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)-A
0
2 (m, k
100
Konfig. 6c
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0.2
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1.8 c soll
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E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
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-0.36
0.08
0.03
-0.01
-0.05
-0.10
140
0
10 l j [-]
60 nzah
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 6c
-0.54
-0.63
-0.72
-0.90
60
)-A
20 (m, k
100
Konfig. 6c
-0.99
-1.07
0.2
0.2
140
0
0
1 l j [-]
h
nza
...
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
-0.81
0.82
7.22
4.61
2.01
60
)-A
20 (m, k
100
0.59
0.53
0.48
0.42
0.37
-0.60
-3.20
72.21
63.92
D(εc ) [%]
D(εk ) [%]
0.65
17.64
9.82
140
0
0
1 l j [-]
h
nza
Konfig. 6c
0.2
0.2
....
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0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
0.6
1.0 m]
/
1.4 [Ns
1.8 c soll
60
)-A
20 (m, k
100 l j
h
nza
140
[-]
0.70
-0.18
12.43
0.76
....
...
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.. ...........
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...... .........
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-0.14
15.04
E(εc ) [%]
E(εk ) [%]
-0.45
...
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... .. ...............
......... .. ........
............
..
0.16
60
)-A
20 (m, k
100 l j
h
nza
140
[-]
55.62
47.33
39.04
30.75
22.45
14.16
5.87
und 6c
Anhang E
CD-ROM
Die beigelegte CD-ROM enthält einige wichtige Dateien, die es dem Leser oftmals erleichtern, den dargestellten Sachverhalt besser nachzuvollziehen. So findet man die angeführten Beispiele mit einer Linux-kompatiblen SLang -Version.
Weiterhin beinhaltet diese CD eine PDF-Version des vorliegenden Schriftstückes und
einen Teil der verwendeten Literatur.
100
SELBSTSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG
101
Selbstständigkeitserklärung
Ich erkläre, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und nur unter Verwendung der
angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.
Maik Brehm
Weimar, den 19. Dezember 2003
THESEN
I
Thesen
1. Die diskrete Wavelet-Transformation stellt eine Methode zur Analyse von diskreten Signalen dar. Der größte Vorteil gegenüber der herkömmlichen FourierTransformation ist die Möglichkeit der parallelen Untersuchung im Zeit- und Spektralbereich.
2. Die schnelle Wavelet-Tranformation, basierend auf dem Mallat-Algorithmus, ist
die effiziente numerische Umsetzung der diskreten Wavelet-Transformation auf der
Grundlage weniger charakteristischer Koeffizienten der Grundfunktionen – Skalierungsfunktion und Wavelet.
3. Die Bestimmung der Koeffizienten für die untersuchten Waveletsysteme beruht auf
gleichen Ansätzen. Durch geringe Modifikation sind unterschiedliche Waveletsysteme konstruierbar, welche teilweise extrem unterschiedliche Eigenschaften aufweisen.
4. Auf der Grundlage der Koeffizienten sind ebenfalls Approximationen der Graphen
und der Fourier-Transformierten sowie eine Abschätzung der Regularität der Skalierungsfunktion und des Wavelets möglich.
5. Die Theorie der biorthogonalen Wavelet-Transformation ist auch auf orthogonale
Waveletsysteme anwendbar, da diese einen Spezialfall der biorthogonalen Waveletsysteme für die Gleichheit der Analyse- und Synthesefunktionen darstellen. Es kann
deshalb der gleiche numerische Algorithmus verwendet werden.
6. Das Verfahren nach [Markwardt, 2003b] zur numerisch stabilen Integration und Differentiation innerhalb der biorthogonalen Wavelet-Transformations-Theorie konnte
im Programmsystem SLang [Bucher, 2003] umgesetzt werden.
7. Für gleiche spezifische Trägerlängen sind die Grundkoeffizienten der Integration und
Differentiation zweiter Ordnung für die orthogonalen Daubechies, biorthogonalen
B-Spline Waveletsysteme und biorthogonalen modifizierten B-Spline Waveletsysteme identisch. Dies ist zum einen mit der Orthogonalität und zum anderen mit der
Symmetrie zu erklären.
THESEN
II
8. Baudynamische Problemstellungen können mit der Wavelet-Tranformation bearbeitet werden. Insbesondere die Systemidentifikation mit Hilfe von experimentell
bestimmten Kraft- und Beschleunigungs- oder Geschwindigkeitssignalen ist von
Interesse. Unter Verwendung numerisch simulierter Zeitreihen wurde dies in der
vorliegenden Arbeit untersucht.
9. Eine Untersuchung von verrauschten Signalen auf Grundlage der Wavelet-Zerlegung
innerhalb einer Multiskalen-Analyse ist sehr gut möglich. Die Anteile des Rauschens
und des Signales selbst werden im Rahmen dieser Zerlegung weitestgehend getrennt.
Insbesondere signalfremde Frequenzanteile können einfach gefiltert werden.
10. Die unterschiedlichen Eigenschaften der untersuchten Waveletsysteme zeigen im
Rahmen der Systemidentifikation nur geringe Auswirkungen auf die Qualität der
Ergebnisse. Nur eine minimale Regularitätsordnung größer 1 ist empfehlenswert.
11. Mit Hilfe eines numerischen Beispiels konnten entscheidende Einflussparameter im
Hinblick auf die Genauigkeit der identifizierten Systemparameter gefunden werden.
Begünstigend auf eine Systemidentifikation wirken geringe Signal-Stör-Verhältnisse,
eine hohe Systemdämpfung, eine große Anzahl an Gleichungen und eine Vernachlässigung der Randwerte der Skalen einer Zerlegung.
12. Zur Durchführung der Systemidentifikation wird empfohlen, die Geschwindigkeit
als gemessene Ausgangsgröße zu wählen. Von den Beschleunigungen ausgehend
sind nur geringfügig größere Abweichungen festzustellen. Das Kraftsignal selbst
hat wenig Einfluss auf die Qualität der Identifikation.
13. Bei einer ausreichend großen Wahl an Gleichungen konnten bei einem Signal-StörVerhältnis SN R = 5 und einem Masse-Dämpfungs-Steifigkeitsverhältnis von 1:1:120
die Dämpfung und die Steifigkeit eines SDOF(signal degree od freedom)-Systems
mit einer Genauigkeit von 5% und 1% bestimmt werden.

Anwendung biorthogonaler Wavelets in der Systemidentifikation

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