Mikroökonomik B 7. Kooperative Spiele†

Mikro B
Kern
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7. Kooperative Spiele
Shapley Wert
Verhandlungssituation
Nash-Verhandlungslösung
Monotone Verhandlungslösung
Mikroökonomik B
7. Kooperative Spiele†
Paul Schweinzer
14. Juli 2009, Vorabversion.
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Literaturangaben
▶
Osborne, M.J. & Rubinstein, A. (1994) A Course in Game
Theory, MITP, Kapitel 13, 14, & 15.
▶
Das frei zugängliche Skriptum von Thomas Ferguson:
http://www.math.ucla.edu/∼tom/Game Theory/coal.pdf.
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Themen
So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln
a
b
c
d
e
Der Kern
Shapley Wert
Verhandlungssituation
Nash-Verhandlungslösung
Monotone Verhandlungslösung.
Ein Spiel heißt kooperativ, wenn die Spieler durch abgestimmtes
Vorgehen, dh durch die gemeinsame Wahl einer Strategie (in einer
sog Koalition), einen Zusatzgewinn gegenüber jenen Situationen
erzielen können in denen jeder nur für sich spielt.
Wir stellen uns die Fragen (a) welche Koalitionen stabil sind und
unter (b–e) wie ein allfälliger Zusatzgewinn aufzuteilen wäre.
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Der Kern
Der Kern ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie.
Er basiert auf der Idee, dass
▶
keine Teilmenge an Spielern eine für sie vorteilhafte Koalition
bilden kann
▶
in der jedes Koalitionsmitglied besser gestellt wäre als dies
ohne die Koalition der Fall ist.
Wir beginnen mit einigen Definitionen.
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SKF-TU
Def: Ein Spiel in Koalitionsform mit transferierbarem Nutzen
(SKF-TU) (N, v ) besteht aus
1. einer endlichen Spielermenge N = {1, 2, . . . , n},
2. einer charakteristischen Funktion v die jeder nichtleeren
Koalition S ⊆ N einen Wert v (S) zuordnet v : S ⊆ N 7→ ℝ.
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Beispiel SKF-TU
Betrachten sie folgendes SKF-TU mit
▶ drei Spielern N = {1, 2, 3} interpretiert als
P1: Verkäufer
P2: potentieller Käufer
P3: potentieller Käufer.
▶
P1 verkauft ein einzelnes Gut dessen Herstellung ihr e4 kostet.
▶
Die Käufer sind am Kauf höchstens
eines
Gutes
interessiert
und
wertschätzen dieses mit
P2: e9,
P3: e11.
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Beispiel SKF-TU: Charakterisitsche Funktion
Wir definieren nun die charakteristische Funktion v wie folgt
▶
v ({1, 2}) =e9 - e4 = e5,
▶
v ({1, 3}) =e11 - e4 = e7,
▶
v ({2, 3}) =e0,
▶
v ({1}) = v ({2}) = v ({3}) =e0,
▶
v ({1, 2, 3}) =e7.
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Marginale Beiträge
Def: Der marginale Beitrag von Spieler i ∈ N ist
MCi = v (N) − v (N∖{i }). Wir schreiben den marginale Beitrag von
Koalition S ⊆ N als v (N) − v (N∖S).
In unserem Beispiel sind die marginalen Beiträge gegeben durch
▶
MC1 = v ({1, 2, 3}) − v ({2, 3}) =e7 - e0 = e7,
▶
MC2 = v ({1, 2, 3}) − v ({1, 3}) =e7 - e7 = e0,
▶
MC3 = v ({1, 2, 3}) − v ({1, 2}) =e7 - e5 = e2.
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Weitere Definitionen
Def: Gegeben das SKF-TU (N, v ), ordnet die Allokation
(x1 , x2 , . . . , xn ) jedem Spieler eine reelle Zahl zu.
Def: Im SKF-TU (N, v ) heißt die Allokation (x1 , x2 , . . . , xn )
individuell rational, wenn xi ≥ v ({i }) für alle i ∈ N.
Def: Im SKF-TU (N, v ) heißt die Allokation (x1 , x2 , . . . , xn )
n
∑
effizient, wenn
xi = v (N).
i
Def: Eine individuell rationale und effiziente Allokation
(x1 , x2 , . . . , xn ) des SKF-TU (N, v ) erfüllt das
marginale Beitragsprinzip, wenn xi ≤ MCi für alle i ∈ N.
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Beispiel SKF-TU
In unserem Beispiel ist der insgesamt erzeugte Wert gleich e7. Die
marginalen Beiträge waren
▶
MC1 = v ({1, 2, 3}) − v ({2, 3}) =e7 - e0 = e7,
▶
MC2 = v ({1, 2, 3}) − v ({1, 3}) =e7 - e7 = e0,
▶
MC3 = v ({1, 2, 3}) − v ({1, 2}) =e7 - e5 = e2.
Das marginale Beitragsprinzip sagt uns nun, daß
▶
P2 keinen Wertanteil bekommen soll, da ihr marginaler
Beitrag zu Koalition v ({1, 2, 3}) gleich Null ist,
▶
P3 trägt e2 bei und kann deshalb nicht mehr als e2 erhalten,
▶
P1 kann sich damit ein Minimum von e7 - e2 = e5 sichern,
▶
wir wissen allerdings nichts darüber, wie die e2 zwischen P1
und P3 aufgeteilt werden sollen. (Dies ist Verhandlungssache.)
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Der Kern
Basierend auf der Allokation (x1 , x2 , . . . , xn ), definieren
wir nun für
∑
jede Teilmenge S ⊆ N die Schreibweise x(S) = i ∈S xi .
Def: Eine Allokation (x1 , x2 , . . . , xn ) liegt im Kern des SKF-TU
(N, v ) wenn sie effizient ist und für jede Teilmenge S ⊆ N gilt, daß
x(S) ≥ v (S).
Beachten sie:
▶
Kernallokationen sind also individuell rational, und
▶
Kernallokationen erfüllen das marginale Beitragsprinzip.
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Der Kern
Satz:
Eine effiziente Allokation (x1 , x2 , . . . , xn ) liegt im Kern des SKF-TU
(N, v ) wenn und nur wenn für jede Teilmenge S ⊆ N gilt, daß
x(S) ≤ MCS .
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Der Kernbeweis
1. Die Allokation (x1 , x2 , . . . , xn ) sei effizient und im Kern. Dann
folgt x(N) = v (N) aus der Effizienz. Wir betrachten nun N∖S
und benutzen die Kernbedingung x(N∖S) ≥ v (N∖S). Da
x(N) = x(N∖S) + x(S), können wir die Terme zu
x(S) ≤ v (N) − v (N∖S) = MCS umformen.
2. Im umgekehrten Fall nehmen wir an, daß die Allokation
(x1 , x2 , . . . , xn ) effizient ist und für jede Teilmenge S aus N
gilt, daß x(S) ≤ MCS . Dann folgt wiederum x(N) = v (N) aus
der Effizienz. Wir betrachten nun N∖S und benutzen die
Bedingung x(N∖S) ≤ MCN∖S = v (N) − v (S). Da
x(N) = x(N∖S) + x(S) gilt, können wir diese zu x(S) ≥ v (S)
umformen.
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Monotone Verhandlungslösung
Der Kern einer kompetitiven Ökonomie
Satz: (Aumann 1964, Kern-Äquivalenzsatz)
Die Menge der Kernallokationen in einer (passend definierten)
Edgeworth-Ökonomie ist identisch zur Menge der Walras’schen
Gleichgewichtsallokationen.
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Shapley Wert
Shapley (1953) definiert sein Lösungskonzept axiomatisch:
A1 Pareto-Effizienz: Der Wert der großen Koalition wird an die
Spieler verteilt.
A2 Symmetrie: Spieler mit gleichen marginalen Beiträgen erhalten
das gleiche.
A3 Null-Spieler: Ein Spieler mit marginalem Beitrag null zu jeder
Koalition erhält null.
A4 Additivität: Wenn das Spiel in zwei unabhängige Spiele zerlegt
werden kann, mit den charakteristischen Funktionen v1 und
v2 , dann soll die Auszahlung jedes Spielers im
zusammengesetzten Spiel v1 + v2 der Summe der
Auszahlungen in den aufgeteilten Spielen entsprechen.
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Shapley Wert
Satz: (Shapley 1953)
Spieler i ’s Shapley Wert qi im SKF-TU (N, v ) ist gegeben durch
qi (N, v ) =
∑ (∣S∣ − 1)! (n − ∣S∣)!
(v (S) − v (S∖{i })) .
n!
S⊆N
Der Shapley Wert qi ist die einzige Auszahlungsfunktion, welche
die Axiome A1–A4 erfüllt.
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Interpretation des Shapley Wertes
qi (N, v ) =
∑ (∣S∣ − 1)! (n − ∣S∣)!
(v (S) − v (S∖{i })) .
{z
}
n!
|
{z
}|
S⊆N
A
B
1. (n − ∣S∣)!(∣S∣ − 1)! gibt die Anzahl der möglichen
Permutationen, in denen Spieler i zu einer in beliebiger
Reihenfolge entstandenen Koalition von Spielern aus S
hinzukommt.
2. n! gibt die Anzahl aller möglichen Permutationen. Also
entspricht A dem Anteil an Permutationen, in denen Spieler i
nach den anderen Spielern aus S und vor den Spielern aus
N∖S auftritt.
3. B gibt den marginalen Beitrag an, der durch i ’s Beitritt zu
Koalition S entsteht.
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Shapley Wert vs Kern
Der Shapley Wert liegt nicht notwendigerweise im Kern.
Dh. obwohl der Shapley Wert aus Fairness-Gründen normativ
attraktiv sein mag, bietet er unter umständen keine stabile
Handlungsanleitung!
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Beispiel: Abstimmungsspiel
▶
A, B, C und D bekommen je 45, 25, 15 und 15 Stimmen.
▶
Mindestens 51 Stimmen werden benötigt um eine e100M
Zahlung zu erlangen.
Wie würden die e100M durch den Shapley Wert aufgeteilt werden?
▶
B, C und D sind symmetrisch: sie geben den gleichen
marginalen Beitrag zu jeder Koalition
▶
▶
▶
sie tragen 100M zu {A}, {C , D}, {B, D} und {B, C } bei,
während sie nichts zu allen anderen Koalitionen beitragen.
Einsetzen in die Formel für qi (N, v ) ergibt die Auszahlungen
{
}
50 50 50
50, , ,
.
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