Musteraufgaben

Prof. Dr. T. Wedhorn
Dipl.-Math. Anke Pohl
Uni Paderborn, WS 2008
Mathematik 3 für Maschinenbauer – Musterklausuraufgaben
Bei Aufgaben mit mehreren unabhängigen Teilaufgaben wäre nur ein Teil die vollständige Klausuraufgabe. Die mit (*) gekennzeichneten Aufgaben werden nach Zeit und Wunsch in den Übungen am
3./4.2. vorgerechnet.
Aufgabe 1. Gegeben sei die Funktion f : R → R,
½ sin t
t
f (t) :=
5
für t 6= 0
für t = 0.
Man berechne die Laplacetranformierte von f und von f 0 .
Aufgabe 2. Man berechne jeweils die inverse Laplacetransformierte.
(i) F (s) =
(ii) F (s) =
1
−s
,
(s−1)(s−2) e
1
(s2 +1)(s2 +4) ,
(iii) F (s) =
s2 −1
(s3 +s2 −5s+3)(s2 −4) ,
(iv) F (s) =
s+1
s2 (s2 +1) ,
(v) F (s) =
e−2s −e−4s
.
s2
Aufgabe 3. Man löse die folgenden Anfangswertprobleme jeweils mittels Laplacetransformation.
(i) y 00 − 9y = sin t,
y 0 (0) = 0,
y(0) = 1,
(ii) y 00 − 3y 0 + 2y = 6e−t ,
y(0) = 9,
(iii) (*) y 00 + 2y 0 − 3y = 6 sinh 2t,
y 0 (0) = 6,
y(0) = 0,
y 0 (0) = 0,
Aufgabe 4. Man löse das folgende Anfangswertproblem mittels Laplacetransformation.
µ
¶
µ ¶
4 16
10
0
y =
y, y(0) =
1 −1
−4
Aufgabe 5. Man skizziere die folgenden Gebiete und berechne jeweils den Schwerpunkt:
(i) {~x ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 202 , y ≤ x + 20},
√
√
√
(ii) Berandung ist x + y = 3, x = 0, y = 0.
Aufgabe 6. Man berechne den Flächeninhalt des von der Astroide
x = cos3 t, y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π,
begrenzten Bereichs.
Aufgabe 7. Man berechne die Bogenlängenfunktion und die Krümmung der Kurve

R2 ,
 [0, π2 ] → µ
¶
6 cos t − 2 cos 3t
γ:
7→
.
 t
6 sin t + 2 sin 3t
Hinweise: 1 + cos(2x) = 2 cos2 x, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
Aufgabe 8. (*) Man gebe die Bogenlängenfunktion (Integral reicht) der Kurve, die durch den Graph
von f : [−2, 3] → R, f (x) = sin x gegeben ist, an und berechne ihre Krümmung.
Aufgabe 9. Man berechne das Integral des Vektorfeldes F~ : R3 → R3 ,
 2 
x y
F~ (~x) := x − z  ,
xyz
längs des Graphen y = x3 (0 ≤ x ≤ 2) in der Ebene z = 2.
Aufgabe 10. Unter der Wirkung des Kraftfeldes F~ : R2 → R2 ,
µ ¶
µ
¶
x
3xy
:=
F~
x4 + y 2
y
bewege sich ein Massenpunkt auf der Parabel y = x2 vom Punkt (1, 1) zum Punkt (2, 4). Welche
Arbeit wird hierbei geleistet?
Aufgabe 11. Man berechne das Kurvenintegral
R
γ
F~ d~x des Vektorfeldes F~ : R2 → R2 ,
µ ¶
µ
¶
x
2xy − y 4 + 3
~
:=
F
x2 − 4xy 3
y
längs der Kurve
 3
R2
 [ 2 π, 2π] → µ
¶
1 + cos t
γ:
t
7→
.

1 + sin t
Aufgabe 12. Es sei F~ : R2 → R2 , F~
Kurvenintegral von F~ längs γ, wobei γ
¡x¢
y
=
¡
x
x−y
¢
. Man skizziere F~ längs γ und berechne das
¡¢
¡¢
(a) die geradlinige Verbindungskurve von 00 nach 01 ist,
¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢
(b) die Verbindungskurve durch 00 , 10 , 11 , 01 ist (in dieser Reihenfolge und zwischen den Punkten
geradlinig)
ist. Man begründe anschaulich (knapp) die Vorzeichen der erhaltenen Ergebnisse.
Besitzt F~ ein Potenzial? (mit Begründung)
Aufgabe 13. Man überprüfe, ob die folgenden Vektorfelder ein Potenzial besitzen.
2
¶
ex sin y + cos(xy)
,
y
ex cos y − 12 x2 sin(xy)
  

x
3x2 y
(ii) F~ : (0, 1)3 → R3 , F~ y  =  zex + y .
z
6xy − zex
(i) F~ : R2 → R2 , F~
¡x¢
µ
=
Aufgabe 14. Man zeige, dass die folgenden Vektorfelder Gradientenfelder sind und berechne ein
Potenzial.
(i) (*) F~ : R2 → R2 ,
¡x¢
y
7→
¡
y
x−y
¢
,
¡ ey +cos x cos y ¢
7
→
xey −sin x sin y ,
 2 3 
 
y z
x
(iii) F~ : R3 → R3 , y  7→  2xyz 3 ,
3xy 2 z 2
z
 xy 
 
ye
x
(iv) F~ : R3 → R3 , y  7→ xexy .
z
2z
(ii) F~ : R2 → R2 ,
¡x¢
y
Aufgabe 15. Man bestimme das Volumen des Körpers, der unterhalb der Fläche z = xy 2 + y 3 und
oberhalb des Quadrats [0, 2]2 liegt.
Aufgabe 16. Man berechne den Flächeninhalt des Bereichs, der von der archimedischen Spirale
r = aϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) und dem Intervall [0, 2aπ] begrenzt wird.
Aufgabe 17. (*) B sei derpBereich, der von dem Paraboloid z = x2 + y 2 und der Ebene z = 1
R
begrenzt wird. Berechne B x2 + y 2 dV .
Aufgabe 18. Man bestimme Volumen und Schwerpunkt des Körpers B, den der Zylinder
x2 + y 2 ≤ Rx
aus der Kugel x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 aussschneidet.
R
Aufgabe 19. Man berechne das Flächenintegral S f dS über das Flächenstück S des Paraboloids
z = 2 − x2 − y 2 , das sich oberhalb der (x, y)-Ebene befindet, für die folgenden Funktionen f : S → R:
(i) f (x, y, z) := 1,
(ii) f (x, y, z) := x2 + y 2 ,
(iii) f (x, y, z) := 3z.
3
Aufgabe 20. Es sei
nµx¶ ¯
o
¯
D :=
¯ 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 12 (4 − x)
y
und σ : D → R3 ,

x
.
y
3 (4 − x − 2y)

µ ¶
x
:= 
σ
y
1
Man zeige, dass σ eine reguläre Parametrisierung ist.
Aufgabe 21. Das Vektorfeld F~ : S → R3 ,

xy
F~ (~x) :=  −x2 
x+z

sei gegeben auf dem im ersten Oktanten (d.h. x, y, z ≥ 0) liegenden Flächenstück S der Ebene
R
2x + 2y + z = 6. Man berechne das Flächenintegral S F~ dS.
Aufgabe 22. Der Körper V werde durch die Oberfläche S begrenzt, die sich aus dem Kreis x2 +y 2 ≤
4 in der (x, y)-Ebene und dem Paraboloid z = 4 − x2 − y 2 zusammensetzt. Für das Vektorfeld
F~ : R3 → R3 ,
 


x
x+y
F~ y  :=  y + z  ,
z
x+z
R
berechne man S F~ dS.
Aufgabe 23. Es sei B der Bereich
im ersten Quadranten, der von den Parabeln x = y 2 und y = x2
R
begrenzt wird. Man berechne γ F~ d~x, wobei F~ : R2 → R2 ,
µ
¶
µ ¶
x
2xy − x2
~
:=
,
F
x + y2
y
und γ die Kurve ist, die den Rand von B so durchläuft, dass B immer links von γ liegt.
Aufgabe 24. (*) Gegeben sei der Zylinderabschnitt
B := {~x ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1}
und das Vektorfeld F~ : R3 → R3 ,


xy 2
F~ (~x) := x2 y  .
y
R
Man berechne das Flächenintegral ∂B F~ dS.
Hinweis: Es darf ohne Nachweis verwendet werden, dass B eine stückweise reguläre Oberfläche hat.
Übungsaufgaben, die Klausuraufgaben sein könnten:
Blatt 1: 3, 5
Blatt 2: 1, 2, 3, 4
Blatt 3: 1, 2, 3, 4
Blatt 4: 1, 2, 3
Blatt 5: 1, 2, 3
4
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
6: 1, 3
7: 1, 2 (mit Hilfe), 3
8: 2, 3 (ohne Skizze)
9: 1, 3
10: 1, 2, 3
11: 1, 2, 3
12: 1 (mit Hilfe), 2, 3
5