Vorlesung 5a

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Next Level II, H. P. Kiani, SoSe 2009, Ergänzung zur 5. Vorlesung
Gegeben sei die Kurve
c : [a, b] → R2 ,
t 7→ (x1 (t), x2 (t))T .
Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die vom Ortsvektor der Kurve überstrichen wird, wenn der Parameter von a nach b läuft?
Skizze
Zerlegt man wie üblich Z : a =: t0 < t1 , < · · · tn = b und approximiert die Fläche
durch die Summe der Flächen der Dreiecke mit den Ecken 0, c(ti−1 ) , c(ti) , so erhält
man
F ≈
n
X
i=0
n
n
X
X
1
1
Fi =
(c(ti ) × c(ti−1 )) =
(x1 (ti−1 ) · x2 (ti ) − x2 (ti−1 ) · x1 (ti ))
2
2
i=1
i=1
n
X
1
=
(x1 (ti−1 ) · (x2 (ti ) − x2 (ti−1 )) − (x2 (ti−1 ) · (x1 (ti )) − x1 (ti−1 )))
2
i=1
Für kZk → 0 erhält man (im Falle der Konvergenz)
1
F =
2
Z
b
a
(x1 (t) · ẋ2 (t) − x2 (t) · ẋ1 (t)) dt
Beispiel : Wir testen die Formel am Viertelkreis, der von der Kurve
π
R cos(t)
C(t) =
t ∈ [0, ]
R sin(t)
2
überstrichen wird. Hier gilt
x (t) = R
1
F =
2
Z
b
a
cos(t)
sin(t)
− sin(t)
ẋ (t) = R
cos(t)
1
(x1 (t) · ẋ2 (t) − x2 (t) · ẋ1 (t)) dt =
2
Z
π
2
0
R2 (cos2 (t) + sin2 (t))dt =
π
· R2 .
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Beispiel in Polarkoordinaten
Eine Kurve (dreiblättriges Kleeblatt) sei in Polarkoordinaten beschrieben durch
r(φ) = sin(3φ) ,
φ ∈ [0, π]
Dann gilt für die kartesischen Koordinaten
x(φ) = r(φ) cos(φ) = sin(3φ) cos(φ),
y(φ) = r(φ) sin(φ) = sin(3φ) sin(φ)
Der Tangentenvektor (ohne Normierung) ist
!
!
x′ (φ)
3 cos(3φ) cos(φ) − sin(3φ) sin(φ)
T (φ) =
=
3 cos(3φ) sin(φ) + sin(3φ) cos(φ)
y ′(φ)
Die Fläche eines Blattes ist gegeben durch
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
1
F =
2
0
Z
0
0.5
1
π
3
(x(φ) · y ′(φ) − y(φ) · x′ (φ)) dφ
Man kann hier x, y sowie x′ , y ′ (wie in T angegeben) einsetzen, ausmultiplizieren,
zusammen fassen etc. und kommt am Ende zu dem Ergebnis
Z π
Z π
3
3
1
1
π
2
F =
sin (3φ) dφ =
(1 − cos(6φ) dφ =
2 0
4 0
12
Etwas schneller kommt man zu diesem Ergebnis, wenn man nachrechnet, dass für jede
in Polarkoordinaten in der Form r = r(φ) gegebene Kurve folgendes gilt:
x(φ) = r(φ) cos(φ) ,
y(φ) = r(φ) sin(φ)
xy ′ − yx′ = r(φ) cos(φ) [r ′ (φ) sin(φ) + r(φ) cos(φ)]
− r(φ) sin(φ) [r ′ (φ) cos(φ) − r(φ) sin(φ)]
= (r(φ))2 cos2 (φ) + sin2 (φ) = (r(φ))2 .
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Parametrisierung nach der Bogenlänge,
Tangenteneinheitsvektor, Krümmung
Eingangsbeispiele zu Kurven: Kreis wurde je nach Parametrisierung unterschiedlich schnell durchlaufen. Gleichmäßigen Durchlauf mit Geschwindigkeit k ċ (t)k = 1 erreicht man mit Parametrisierung nach der Bogenlänge:
c(t) = (r cos t, r sin t)T
c : [0, 2π] → R2 ,
Sei
Definiere die Bogenlängenfunktion
s : [0, 2π] → [0, L( c )] = [0, 2πr],
Hier also
s(t) :=
Z
t
0
k ċ (τ )k dτ
s(t) = rt, ∈ [0, 2πr]
Wähle σ = s(t) als neuen Parameter. Definiere
C : [0, 2πr] → R2 ,
σ
σ
C(σ) = (r cos( ), r sin( ))T
r
r
Es gilt dann


1
σ
−r sin( r ) · r 
Ċ(σ) = 
1  =⇒ kĊ(σ)k = 1
σ
r cos( r ) ·
r
Allgemein definieren wir für eine glatte Kurve x : [a, b] → Rn , t 7→ x (t)
mit der Länge L( x ) die Bogenlängenfunktion
Z t
s : [a, b] → [0, L( x )] ,
s(t) :=
k ċ (τ )k dτ
0
s ist eine streng monoton wachsende Funktion. Es ist also ein Parameterwechsel von t zu s(t) möglich. Wir definieren die nach der Kurvenlänge
parametrisierte Kurve als
x̂ (σ) := x (s−1(σ))
Es gilt dann
d
k dσ
x̂ (σ) k = 1 .
Der Tangenteneinheitsvektor der Kurve im Punkt x̂ (σ) ist
T (σ) =
d
x̂ (σ)
dσ
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und die Krümmung der Kurve im Punkt x̂ (σ) ist
d2
κ(σ) = k 2 x̂ (σ) k
dσ
Für das Beispiel unseres Kreises erhalten wir


1
σ
− sin( σr )
−r sin( r ) · r 
T (σ) = 
1  =
cos( σr )
σ
r cos( r ) · )
r
und
κ(σ) = k
!
− 1r · cos( σr )
− 1r sin( σr )
k=
1
r
Bei beliebiger Parametrisierung gilt für den Tangenteneinheitsvektor T
und die Krümmung κ
p
k ẋ (t)k2 · k ẍ (t)k2− < ẋ (t), ẍ (t) >
ẋ (t)
T (t) =
,
κ(t) =
k ẋ (t)k
k ẋ (t)k2
Im R3 gilt damit
κ(t) =
k ẋ (t) × ẍ (t)k
k ẋ (t)k3
Für den Graphen einer Funktion C(t) = (t, f (t)) erhält man nach Einbettung im R3
|f ′′ (t)|
κ(t) = p
3
′
2
1 + (f (t))
denn es gilt






t
1
0
x (t) := f (t) =⇒ ẋ (t) = f ′(t) =⇒ ẍ (t) = f ′′(t) .
0
0
0
und damit
 



0
0
1
ẋ (t) × ẍ (t) = f ′(t) × f ′′(t) =  0 
0
f ′′(t)
0

sowie
k ẋ (t)k =
p
12 + (f ′(t))2 + 02
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Testen wir das Ganze an der oberen Hälfte unseres Kreises:




1
 −t 
√ t


x (t) :=
r2 − t2  =⇒ ẋ (t) = 
 √r2 − t2  =⇒
0
0
0
√
 − r2 − t2 + t ·
ẍ (t) = 

r2 − t2
0


0


√ −t 
−r2

r2 −t2  = 
√
  (r2 − t2 ) r2 − t2 
0


Für die Krümmung erhalten wir mit folgender Rechnung
r2
√
|f ′′(t)|
( r2 − t2 )3
κ(t) = p

3 = s
2 3
′
2
1 + (f (t))

 1 + √ −t
2
2
r −t
=
r2
√
1
r2
( r2 − t2)3
!3 = 3 = .
r
r
r
r2 − t2 + t2
r2 − t2
wie erwartet die bereits mit Hilfe der Parametrisierung nach der Bogenlänge berechnete konstante Krümmung 1r .