Beweise mit Skalarprodukt

Beweise mit Skalarprodukt
eine GFS in Fach Mathematik von Jonathan Meier
29. November 2005
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Idee des Beweises mit Skalarprodukt
Mithilfe des Skalarproduktes kann Orthogonalität nachgewiesen werden.
Die Beweiskette, am Beispiel folgender, einfacher Aufgabe:
Beweise den Satz des Pythagoras (a2 + b2 = c2 in rechtwinkligen Dreiecken)
1. Erstellen einer Skizze, dabei Bezeichnung der Seiten durch Vektoren
2. Beschreibung der gegebenen Voraussetzungen durch Vektoren
(a) ~a ⊥ ~b also ~a · ~b = 0, da Dreieck rechtwinklig
(b) ~c = ~a − ~b
3. Beschreibung der Behauptung durch Vektoren
~a2 + ~b2 = ~c2 (gleichwertig zu a2 + b2 = c2 )
4. Beweis
~a2 + ~b2 = ~c2 | Voraussetzung (b) nutzen
~a2 + ~b2 = (~a − ~b)2 | binomische Formel anwenden
~a2 + ~b2 = ~a2 − 2~a · ~b + ~b2 | Voraussetzung (a) nutzen
~a2 + ~b2 = ~a2 − 0 + ~b2
~a2 + ~b2 = ~a2 + ~b2 | Behauptung ist wahr ⇒ q.e.d.
c 2005 Jonathan Meier
GFS Gesamtzusammenfassung herunterladbar unter http://www.koepfel.de/mathegfs.html
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Beweise mit Skalarprodukt
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Erster Beweis
Beweise: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seitenhalbierende der Grundseite und die Grundseite selbst zueinander orthogonal. (S.107, Aufgabe 3)1
1. Skizze
2. Voraussetzungen
(a) ~a2 = ~b2 , da Dreieck gleichschenklig
(b) ~c = ~b − ~a
(c) ~h = ~a +
~
c
2
= ~b −
~
c
2
3. Behauptung
~h ⊥ ~c also ~h · ~c = 0
4. Beweis durch Rückschluss
~h · ~c = 0 | Voraussetzungen (b) und (c) nutzen
(~a + ~c ) · (~b − ~a) = 0 | ausmultiplizieren
2
~a · ~b − ~a2 + ~2c~b − ~2c ~a = 0 | Voraussetzung (b) nutzen
~ a ~
~b−~
a
~a · ~b − ~a2 + b−~
a=0
2 · b − 2 ·~
~a · ~b − ~a2 +
~b2
2
− ~a2~b − ~a2~b +
~a · ~b − ~a · ~b − ~a2 +
−~a2 +
~2
b
2
2
+
2
~
a
2
~2
b
2
+
2
~
a
2
~
a2
2
=0
=0
= 0 | Voraussetzung (a) nutzen ⇒
~b2
2
=
~
a2
2
−~a2 + ~a = 0
0 = 0 | Rückschluss ⇒ Behauptung ist wahr ⇒ q.e.d.
1 alle Seitenangaben beziehen sich auf: Lambacher Schweizer, Analytische Geometrie mit
linearer Algebra, Grundkurs, Ernst Klett Verlag, 1998
Beweise mit Skalarprodukt
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Zweiter Beweis
Beweise: Für jedes Parallelogramm gilt: Die Quadrate der vier Seiten haben
zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die Quadate der beiden Diagonalen.
(S.108, Aufgabe 7)
1. Skizze
2. Voraussetzungen
(a) ~e = ~a + ~b
(b) f~ = ~a − ~b
3. Behauptung
2 · ~a2 + 2 · ~b2 = ~e2 + f~2
4. Beweis durch Rückschluss
2~a2 + 2~b2 = ~e2 + f~2 | Voraussetzungen eingesetzen
2~a2 + 2~b2 = (~a + ~b)2 + (~a − ~b)2 | binomische Formel anwenden
2~a2 + 2~b2 = ~a2 + 2~a · ~b + ~b2 + ~a2 − 2~a · ~b + ~b2
2~a2 + 2~b2 = 2~a2 + 2~a · ~b + 2~b2 − 2~a · ~b | −2~a2 − 2~b2
0 = 2~a · ~b − 2~a · ~b
0 = 0 | Rückschluss ⇒ Behauptung ist wahr ⇒ q.e.d.
Beweise mit Skalarprodukt
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Dritter Beweis
Überprüfe: Die Raumdiagonalen AG und BH des Würfels ABCDEFGH sind
zueinander orthogonal. (S.107, Aufgabe 4)
1. Skizze
2. Voraussetzungen
(a) |~a| = |~b| = |~c| also ~a2 = ~b2 = ~c2 , da alle Seiten gleich lang
(b) ~a · ~b = ~a · ~c = ~b · ~c = 0, da Seiten rechtwinklig aufeinander stehen
~ = ~a + ~b + ~c bzw. BH
~ = −~a + ~b + ~c
(c) AG
3. Behauptung
~ ⊥ BH
~ also AG
~ · BH
~ =0
AG
4. Beweis durch Rückschluss
~ · BH
~ = 0 | Voraussetzung (c) nutzten
AG
(~a + ~b + ~c) · (−~a + ~b + ~c) = 0 | ausmultiplizieren
−~a2 + ~a · ~b + ~a · ~c − ~a · ~b + ~b2 + ~b · ~c − ~a · ~c + ~b · ~c + ~c2 = 0
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~2
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−~a + b + ~c = 0 | Voraussetzung (a) nutzen
~c2 = 0 | Widerspruch ⇒ Behauptung ist falsch ⇒ q.e.d.
| Voraussetzung (b) nutzten
Beweise mit Skalarprodukt
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Vierter Beweis
Beweise: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathete so groß
wie das der aus der Hypotenuse und dem entsprechenden Hypothenusenabschnitt (Kathetensatz) (S.108, Aufgabe 6)
1. Skizze
2. Voraussetzungen
(a) ~a · ~b = ~h · ~q = ~h · p~ = 0
(b) p~ + ~q = ~c = ~a − ~b
(c) ~q + ~b = ~h = ~a − p~
3. Behauptung
~a2 = ~c · p~ bzw. ~b2 = ~c · ~q
4. direkter Beweis
~a2 = ~a · ~a | Voraussetzungen (b) und (c) nutzten
~a2 = (~b + ~c) · (~h + p~) | ausmultiplizieren
~a2 = ~b · ~h + ~b · p~ + ~c · ~h + ~c · p~ | ~b ausklammern
~a2 = ~b · (~h + p~) + ~c · ~h + ~c · p~ | Voraussetzung (c) nutzen
~a2 = ~b · ~a + ~c · ~h + ~c · p~ | Voraussetzung (a) nutzen
~a2 = 0 + 0 + ~c · p~
~a2 = ~c · p~
~c ist parallel zu p~, damit ist das Produkt seiner Vektoren ein Produkt
seiner Beträge ⇒ Behauptung ist wahr ⇒ q.e.d.