Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung

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TU Dortmund
Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen
Motivation
• bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen
• Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich?
• Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit“
”
(Details in Kapitel 3).
• jetzt: mehr über Wahrscheinlichkeiten
Dr. Karsten Webel
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Definition 2.1: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ergebnismenge & Ereignis
Ein Vorgang,
• der mehrere, sich gegenseitig ausschließende mögliche Ausgänge besitzt,
• dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann und
• der unter identischen Rahmenbedingungen beliebig oft wiederholt werden
kann,
heißt Zufallsexperiment.
Dr. Karsten Webel
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Definition 2.1: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ergebnismenge & Ereignis
(Fortsetzung)
Die n möglichen Ausgänge ω1, ω2, . . . , ωn eines Zufallsexperiments heißen
Elementarereignisse.
Die Menge
Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn}
aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge.
Teilmengen A, B ⊆ Ω der Ergebnismenge heißen Ereignisse.
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Beispiel 2.2: Augenzahl beim einmaligen Würfeln
Ergebnismenge Ω
Elementarereignisse
Ereignis A gerade Zahl“
”
Ereignis B ungerade Zahl“
”
Ereignis C Primzahl“
”
Ereignis D Zahl größer 3“
”
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{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
{2, 4, 6}
{1, 3, 5}
{1, 2, 3, 5}
{4, 5, 6}
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Beispiel 2.3: Investitionsprojekt (alte Klausuraufgabe)
Ein Investitionsprojekt ist in Gefahr, wenn es während der Bauphase zu viel regnet
oder der Dollarkurs steigt. Dabei ist
P (zu viel Regen) = 10% und
P (Dollar steigt) = 40%.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Investitionsprojekt in Gefahr?
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Definition 2.4: Schnitt-, Vereinigungs- & Differenzmenge, disjunkt, Komplementärereignis
Für zwei Ereignisse A, B ⊆ Ω heißt die Menge aller Elementarereignisse, die
• sowohl in A als auch in B liegen, Schnittmenge von A und B (kurz:
A ∩ B),
• in A oder in B liegen, Vereinigungsmenge von A und B (kurz A ∪ B),
• in A, aber nicht in B liegen, Differenzmenge von A und B (kurz A \ B).
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Definition 2.4: Schnitt-, Vereinigungs- & Differenzmenge, disjunkt, Komplementärereignis (Fortsetzung)
Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge die leere
Menge ist, d. h. wenn gilt A ∩ B = ∅.
Die Menge Ā, die alle Elementarereignisse enthält, die nicht in A liegen, heißt
Komplementärereignis zu A.
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Venn-Diagramm: A ∩ B
Ω
B
A
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Venn-Diagramm: A ∪ B
Ω
B
A
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Venn-Diagramm: A \ B
Ω
B
A
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Venn-Diagramm: A
Ω
A
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Venn-Diagramm: disjunkte Ereignisse A und B
Ω
B
A
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Beispiel 2.6: Augenzahlen beim zweimaligen Würfeln
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3),
(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊗ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
| Ω | = 36 = 62
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Satz 2.7:
Wird ein Zufallsexperiment mit K Elementarereignissen n-mal wiederholt, so
besitzt das zusammengesetzte Zufallsexperiment K n Elementarereignisse.
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P. S. de Laplace (1749 – 1827)
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A. N. Kolmogoroff (1903 – 1987)
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Satz 2.8:
Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines
Ereignisses A ⊆ Ω gegeben durch
P (A) =
=
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|A|
|Ω|
Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
.
Anzahl aller möglichen Elementarereignisse
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Beispiel 2.9: zweimaliges Würfeln
Ereignis
|·|
P (·)
verbal
mengentheoretisch
gleiche Augenzahlen
{(1, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)}
6
6/36
Augensumme gleich 10
{(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
3
3/36
keine 6
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (5, 5)}
25
25/36
nur ungerade Zahlen
{(1, 1), (1, 3), (1, 5), . . . , (5, 5)}
9
9/36
gerade Zahl im 1. Wurf
{(2, 1), (2, 2), (2, 3), . . . , (6, 6)}
18
18/36
gerade Zahl im 2. Wurf
{(1, 2), (1, 4), (1, 6), . . . , (6, 6)}
18
18/36
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Definition 2.10: Wahrscheinlichkeitsmaß
Eine Abbildung P : Ω → [0, 1], die allen Ereignissen A ⊆ Ω eines Zufallsexperiments eine Zahl P (A) zuordnet und die die Kolmogoroff’schen Axiome
• 0 ≤ P (A) ≤ 1 für alle A ⊆ Ω,
• P (Ω) = 1 und
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für alle A, B ⊆ Ω mit A ∩ B = ∅
erfüllt, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß.
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6
2. Wurf
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
1. Wurf
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Venn-Diagramm: bedingte Wahrscheinlichkeit
Ω
B
A
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Definition 2.12: bedingte Wahrscheinlichkeit
Für ein Ereignis A gelte P (A) > 0. Für ein Ereignis B heißt dann
P (A ∩ B)
P (B | A) =
P (A)
bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A.
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Definition 2.14: stochastische Unabhängigkeit
Gilt für zwei Ereignisse A und B mit P (A) > 0 und P (B) > 0
P (A | B) = P (A) und
P (B | A) = P (B),
so heißen diese stochastisch unabhängig.
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Exkurs: bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Presse
Führerscheine fast nur von Männern kassiert (dpa-Meldung)
Die Männer sind nach wie vor die bösen Buben“ am Lenkrad: Die im vorigen Jahr
”
in Deutschland entzogenen 156.000 Führerscheine und fast 103.000 Fahrverbote
trafen zu über 90 vH die Männer. Das geht aus einer Statistik des KraftfahrtBundesamtes in Flensburg hervor. 1991 wurde dagegen nur 9,2 vH der Frauen
der Führerschein entzogen, 9,6 vH erhielten ein Fahrverbot.
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Exkurs: bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Presse (Fortsetzung)
Schäferhund besonders bissig (US-Studie)
Vorsicht, Schäferhund-Besitzer! Eine US-Studie fand heraus: Am häufigsten
werden Schäferhund-Herrchen von ihren Tieren gebissen. Dann folgen ChowChows und Collies. Die friedlichsten Hunde sind Pudel und Golden Retriever.
Hunde, die in einem Haushalt mit Kindern leben, beißen eher zu als Hunde von
Singles.
Dr. Karsten Webel
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung

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