sujet - La physique-chimie en BCPST 1A au lycée Hoche

A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour allez plus loin sur la
compressibilité et la dilatation des phases condensées
Notion de compressibilité :
Deux paramètres fondamentaux sont utilisés en thermodynamique : la température
et la pression . Il peut être intéressant d’étudier l’évolution du volume
d’un
échantillon de matière en fonction de ces deux paramètres.
Définitions :
Lorsqu’on étudie le volume d’un échantillon en fonction de la température
uniquement, on étudie la dilatation du matériau.
Lorsqu’on étudie le volume d’un échantillon en fonction de la pression uniquement,
on étudie la compressibilité du matériau.
D’autre part, le volume d’un échantillon est une fonction de la pression : on peut le
noter
. On appelle coefficient de compressibilité isotherme le coefficient
défini par :
Plus ces coefficients sont grands, plus l’effet de la température ou de la pression est
grand sur le volume du matériau. Voici quelques exemples :
fer solide (
Propriétés :
Dans la plupart des cas lorsqu’on augmente la température d’un matériau, en
maintenant constante sa pression, alors son volume augmente : un matériau est
dilatable.
Dans la plupart des cas lorsqu’on augmente la pression d’un matériau, en maintenant
constante sa température, alors son volume diminue : un matériau est compressible.
L’importance de ces variations peut se mesurer par des coefficients dont on trouve les
valeurs dans les tables de données thermodynamiques.
D’après ce qui précède, le volume
d’un échantillon est donc une fonction de la
température : on peut le noter
. On appelle coefficient de dilatation isobare le
coefficient défini par :
coefficient de dilatation
isobare
matériau
coefficient de
compressibilité isotherme
)
mercure liquide
(
)
dioxygène gazeux
(
)
eau liquide (
)
Remarque :
Les deux coefficients sont reliés par l’expression suivante (qui peut se démontrer
rigoureusement mathématiquement en utilisant la notion de dérivée partielle) :
Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour aller plus loin
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Compressibilité des phases condensées :
Remarque :
Les phases condensées sont peu compressibles et peu dilatables aux vues des valeurs
des coefficients par rapport aux phases gazeuses. Il existe donc plusieurs modèles de
phases condensées selon les phénomènes que l’on étudie :
S’il l’on souhaite avoir un ordre de grandeur très rapide de la variation de volume
connaissant la variation de température ou de pression, on peut passer de l’échelle
microscopique à l’échelle macroscopique directement :
-
Phases condensées indilatables et incompressibles :
et
Valable quand on ne cherche pas une grande précision sur le volume de la phase
condensée :
-
Phases condensées peu dilatables et peu compressibles pour lesquelles les
coefficients thermoélastiques ( et ) sont constants
Modèle à utiliser quand on s’intéresse à la variation de volume du système (même
toute petite).
On doit donc utiliser
thermoélastiques :
les
définitions
microscopiques
des
Mais il faut cependant bien avoir conscience que ces expressions ne sont pas
rigoureusement exactes. Mathématiquement pour passer des définitions, aux
expressions que l’on vient d’écrire cela reviendrait à calculer les intégrales en
considérant que le volume est constant :
coefficients
Ce qui est bien entendu faux mathématiquement. Ce calcul ne permet donc que
d’avoir un ordre de grandeur.
Pour calculer la variation macroscopique de volume connaissant la variation
macroscopique de ou , on doit passer par une intégration après séparation des
variables.
Exemple d’une phase condensée dont la température initialement à
Une fois l’intégrale calculée on peut avoir accès au volume
.
est portée à
.
connaissant le volume
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Questions sur les documents présentés :
1. Analyser les définitions de
et
et, sachant que ces coefficients sont
généralement positif, justifier qu’elles sont bien en accord avec les propriétés
énoncées en page 1.
2. Justifier, en analysant des ordres de grandeurs déterminés à l’aide du tableau de la
page 1, que les phases condensées sont bien moins compressibles et indilatables
que les phases non condensées.
3. Du benzène liquide subit une compression à la température constante
sous la pression atmosphérique . Quelle pression
faut-il exercer sur ce
liquide pour voir son volume diminuer de
de sa valeur initiale
?
Commenter le résultat.
Données : coefficient de compressibilité isotherme du benzène
4. Un morceau de métal est pris à
sous une pression de
On souhaite que son volume reste constant.
atm.
4.1. Si le métal est soumis à une variation de température élémentaire , que vaut la
variation de pression élémentaire
à exercer sur le système pour que son
volume reste constant ?
4.2. Déterminer la pression qu’il faut exercer sur ce morceau
de métal pour que son volume reste constant lorsque sa
température passe à la valeur
. Commenter le
résultat obtenu.
4.3. Expliquer que sur les ponts il y ait des espaces vides
régulièrement répartis, comme sur la photo ci-contre.
Données : coefficient de dilatation isobare
et coefficient de compressibilité isotherme
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Problème : utilisation de la dilatation du mercure pour construire un
thermomètre
2.1.3.
Le mercure contenu dans un thermomètre est un liquide dont on supposera que les
coefficients de dilatation isobare
et de compressibilité isotherme
sont des
constantes. (cf. tableau p1)
1. Analyse préliminaire
2.1.4.
Un échantillon de mercure a un volume
à la température
sous la pression
atmosphérique. La température du milieu subit une augmentation jusqu’à atteindre la
température . Calculer le nouveau volume
de l’échantillon de mercure, ainsi que
sa variation relative de volume. Commenter le résultat à la lumière de l’utilisation du
mercure pour construire des thermomètres.
Données :
L,
K,
K
2. Etude du thermomètre à mercure
On étudie un thermomètre à mercure dont l’enveloppe
de verre indilatable est constituée d’une réserve
inférieure de volume intérieur
et d’un fin tube
cylindrique de longueur et de rayon intérieur . Pour
les applications numériques on prendra
,
et
.
2.1.5.
Dans cette partie, la pression à l’intérieur du
thermomètre est constante et prise à
.
2.1.2.
Lorsque le thermomètre est plongé dans de la
glace fondante, à la température
,
on mesure une hauteur de mercure notée et dont la valeur numérique est
. Donner l’expression de pour une valeur quelconque de en
fonction de , , , , et
(on supposera la température suffisante pour
que le mercure n’entre pas totalement dans la réserve). Application
numérique : calculer pour une température de
.
En faisant l’hypothèse qu’une variation de température constante conduit à
une variation de longueur constante, déduire la longueur parcourue
par
l’extrémité du mercure pour voir la température s’élever de
. Dessiner le
thermomètre en plaçant quelques graduations. On a ainsi construit une
échelle centésimale de température.
Donner l’expression de
, variation de longueur de l’extrémité
du mercure pour une variation de température entre
et . Calculer cette
variation de longueur dans les deux cas suivants :
et
puis
et
. Dessiner l’allure des graduations du
thermomètre sur le schéma de la question précédente et conclure quant à
l’hypothèse utilisée à la question précédente.
La correction envisagée précédemment est faible. En utilisant le
développement limité au premier ordre :
si
, montrer la
relation
où est une constante à exprimer en fonction
des données de l’énoncé. En déduire que pour une élévation de température
constante , la variation de longueur
ne dépend pas de la température.
A quelle condition sur le quotient
l’échelle linéaire de longueur est
d’autant meilleure ?
2.2. Risque d’explosion du thermomètre
L’enceinte contenant le mercure est fermée, et le verre peut résister à une pression
intérieure maximale de
. Au-delà, le verre casse, répandant le mercure,
composé de grande toxicité.
2.2.1.
2.2.2.
2.1. Echelle de longueur et échelle de température
2.1.1.
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Calculer à quelle température
le mercure atteint le haut du thermomètre,
caractérisé par une longueur , sous la pression ?
Si la température continue de s’élever, quelle grandeur caractérisant le
mercure reste constante ? En déduire l’expression de la température
maximale
que peut supporter le thermomètre avant d’exploser.
Conclure.
2.3. Un thermomètre déréglé
Un thermomètre à mercure est gradué linéairement, on considère donc que la hauteur
de mercure est une fonction linéaire de la température. Quand il est plongé dans la
glace fondante sous la pression atmosphérique, le mercure affleure à la division
.
Toujours sous la pression de
, dans l’eau bouillante, le mercure atteint la
division
.
2.3.1.
2.3.2.
Dans une solution donnée, le mercure affleure à la division
. Déterminer
la température du bain indiquée par ce thermomètre.
De façon générale déterminer la correction à apporter à la lecture de la
graduation sous la forme
. En déduire la température pour
laquelle indique directement la température du bain dans lequel est plongé
le thermomètre.
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