modulo de fÃsica ii p grado 10Âº

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COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIÓN AMBIENTAL
ESTRUCTURA DE TRABAJO DE LA ASIGNATURA DE FÍSICA AÑO 2015
PLANEACIÓN Y EJECUCIÓN – GRADO 10
MODULO III – MECÁNICA CLÁSICA
II PERIODO ACADÉMICO – DINÁMICA II
TRABAJO, ENERGÍA, POTENCIA – DINÁMICA DE ROTACIÓN: MC, MCU, MCV, TORQUE
RESPONSABLE LICENCIADO NELSON JESUS CARDALES GALINDO
LAS MENTES MÁS BRILLANTES DE NUESTROS TIEMPOS – UN INSTANTE QUE NO SE REPETIRÁ JAMÁS
QUINTO CONGRESO DE CIENCIAS EXACTAS. SOLVAY, BRUSELAS 1927
FONDO DE PIE DE IZQUIERDA A DERECHA: Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Edouard Herzen,
Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph
Howard Fowler, Léon Brillouin.
SENTADOS FILA CENTRAL DE IZUIERDA A DERECHA: Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg,
Hendrik Anthony Kramers, Paul Adrien, Maurice Dirac, Arthur Holly Compton,
Louis-Victor de Broglie, Niels
Bohr
SENTADOS FILA FRONTAL DE IZQUIERDA A DERECHA: Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik
Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles-Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen
Willans Richardson.
LA FÍSICA: “La que en verdad abrió los ojos del hombre al universo y permitió acceder a la conquistas de sus
misterios y a la profundización de otros”.
No es un libro – Prohibida su venta – Uso exclusivo para Colsafa Montería
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ACLARACION: El siguiente documento (dividido en módulos de acuerdo al número de
periodos académicos) no es un libro y no pretende serlo, solo es una recopilación de todas las
clases que durante años he desarrollado en la asignatura de física y que se encuentran en él.
Es claro que se usa como base diferentes libros y otros textos, inclusive de nivel superior que
enriquece la temática desarrollada.
Dicho documento no tiene ningún valor comercial por lo tanto no se vende a las estudiantes y a
ninguna otra persona dentro o por fuera de la institución. Las alumnas los pueden descargar
para su uso. Como se dijo al inicio son las clases preparadas de antemano y la metodología de
trabajo se acuerda con las estudiantes.
Las preguntas tipo Pruebas Saber aplicadas en el presente documento son tomadas de
módulos que se han usado en la institución legalmente, pruebas liberadas por el ICFES,
pruebas internacionales y páginas web que ofrecen banco de preguntas sin ningún tipo de
restricción pero que obviamente se hace mención de ellas en el presente documento como
reconocimiento al valioso aporte que realizan. Dichas preguntas son aplicadas como
evaluación de la temática.
A continuación se muestra una lista de textos, documentos y otros elementos que se usan en
él. Debido a la cantidad de enlaces a páginas web, ellas aparecen a lo largo de la temática las
cuales permiten profundizar en los temas.
TEXTOS DE REFERENCIAS - WEBGRAFIA
 FISICA 1 HIPERTEXTO Santillana. EDITORIAL SANTILLANA.
 FÍSICA 1. EDITORIAL NORMA. (Versión consultada anterior al 2007)
 FISICA SERWAY 7a Y 8a EDICION PARA INGENERIA Mc GRAWHILL.
 INSTITUCIÓN EDUCATIVA 10157 - “INCA GARCILASO DE LA VEGA” - MÓRROPE
2010 PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ.
-
 FÍSICA I PROFESOR: RODOLFO BERNAL UNIVERSIDAD DE SONORA
 CM2, CIENCIAS NATURALES: MODULO II, FÍSICA. RENE ALEXANDER CASTILLO.
 FÍSICA GENERAL 10 a Ed. Frederick J. Bueche Eugene Hecht, Serie Schaum, McGrawHill
 WWW.EDUCAPLUS.ORG
 WWW.XTEC.NET/~OCASELLA/
 PAGINAS WEB DE LIBRE USO (SIMULADORES – EVALUACIONES – PROYECTOS). Los
enlaces aparecen a lo largo del documento. Serán de gran ayuda y se requiere la Máquina
Virtual de Java, si no la tienes instalada hazlo es gratuita.
3
COMPETENCIAS EN CIENCIAS NATURALES
Las competencias que se evalúan en ciencias naturales se describen a continuación. Cabe
anotar que son aplicables a la asignatura de física.
IDENTIFICAR: esta competencia enfatiza no en la memorización de los conceptos y las
teorías, sino que los comprenda, que encuentre relación entre la física y las demás áreas del
saber y que sepa aplicar sus conocimientos en la resolución de problemas.
INDAGAR: está orientada a la búsqueda de información que ayude a establecer la validez de
una respuesta preliminar. Uno de esos mecanismos es la experimentación, donde se recree un
fenómeno natural para deducir de él conclusiones aplicables.
EXPLICAR: es fundamental someter las explicaciones propuestas a debate y estar dispuestos
a cambiarlas cuando se reconozca que existen razones para ello. La creatividad y la
imaginación como también la crítica y la autocrítica ayudan a la elaboración de una explicación
coherente y creíble en el estudio de la naturaleza a través de la física.
Cada una de las competencias en ciencias naturales en especial física desde los siguientes
componentes:
 MECÁNICA CLÁSICA: está en relación con la manera como se caracteriza el
movimiento de un cuerpo y la argumentación que se hace sobre el cambio en el
movimiento del cuerpo.
-
¿Respecto a quién o qué se mueve un cuerpo? ¿Por qué cambia su movimiento? ¿El
movimiento es una característica intrínseca de los cuerpos?
-
Carácter direccional de algunas de las magnitudes físicas involucradas en el análisis del
movimiento de un cuerpo (posición, velocidad, cantidad de movimiento y fuerza).
 TERMODINÁMICA: involucra la manera como se relacionan las variables de estado
en el equilibrio termodinámico y cómo se incrementa la energía interna de un
sistema.
-
Relaciones entre energía interna, temperatura, volumen, presión y número de partículas de
un sistema.
EVENTOS ONDULATORIOS: se relaciona con la forma como se caracteriza un movimiento
ondulatorio y lo que sucede cuando una onda interactúa con un cuerpo u otra onda.
- Análisis de la “ecuación de onda”.
- Interacciones onda-partícula y onda-onda.
4
EVENTOS ELECTROMAGNÉTICOS: hace referencia a la manera como se puede cargar
eléctricamente un sistema, a la forma como se genera una corriente eléctrica y a las
condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe con un campo magnético.
- Caracterización de la carga eléctrica de un sistema (su naturaleza, su ilustración gráfica,
entre otros).
- Análisis básico de las características atractivas y repulsivas de fuerzas eléctricas y
magnéticas y los procesos mediante los cuales es posible cargar eléctricamente un sistema.
- Noción de campo, potencial eléctrico y de las condiciones necesarias para generar una
corriente eléctrica (nociones de conductividad y resistividad eléctrica), así como las
condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe en un campo magnético.
5
REGLAMENTO Y MEDIDAS DE SEGURIDAD EN EL LABORATORIO DE FÍSICA
 Entrar en orden al laboratorio y ubicarse en grupo de ocho (8) en las mesas de la uno (1)
a la cuatro (4).
 No arrojar basura en el piso ni sobre las mesas, usar la caneca.
 No rayar las mesas ni las sillas de brazos. No subirse ni sentarse en las mismas.
 No ingerir alimentos ni bebidas durante la permanencia en el laboratorio.
 No manipular ninguna conexión eléctrica del laboratorio. El docente se encargará de ello.
 No manipular los experimentos de biología depositados en el laboratorio.
 Usar los materiales disponibles para los montajes planeados, solo cuando el docente lo
disponga.
 Cuando se trabaje con fuente de calor y/o corriente eléctrica, espere las indicaciones del
docente para ser manipulados. Hágalo con sumo cuidado.
 Al momento de retirarse, dejar las sillas sobre las mesas.
 En caso de evacuación siga las flechas de la ruta más cercana al laboratorio, manteniendo
orden en la salida y en los pasillos hasta el punto de encuentro.
 Verificar la medida de presión del extintor asignado al laboratorio.
6
INFORME DE LABORATORIO
A continuación se hará una descripción sencilla, de las partes de un laboratorio, las cuales se
deben seguir de acuerdo al orden establecido.
PORTADA:
Nombre del colegio:
Título del laboratorio:
Grado y curso:
Nombre de las integrantes del grupo de trabajo:
Asignatura:
Nombre del profesor:
Fecha de entrega:
DESARROLLO:
Nombre de la práctica: aparece en la guía
Objetivo (s) de la práctica: aparecen en la guía
Materiales: los usados en la realización de la práctica, aparecen en la guía
Teoría relacionada: una breve descripción o resumen de la teoría vista sobre el tema.
Procedimiento: se hace una corta explicación de cómo se hizo la práctica, en primera persona.
Recolección de datos: se debe anotar todos los datos obtenidos durante la práctica, en sus
respectivas tablas de valores, si las hay.
Tablas y gráficas: representación en el plano cartesiano de los datos obtenidos.
Análisis de resultados: se responden las preguntas a partir de la teoría conocida y los
resultados que arroje el análisis de gráficas.
Conclusiones: se hace alusión si se llegó a la demostración práctica de la teoría vista en
clases.
Bibliografía – Webgrafía: se anotan los libros usados como textos guías y de consultas además
de los enlaces de páginas relacionadas con la temática.
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MECANÍSMOS DE EVALUACIÓN
Para lograr una profundización en la teoría y los conceptos en la asignatura de física, esta se
evaluara de la siguiente forma y dentro de los tiempos estipulados.
1. Se desarrollará durante el curso cuestionarios tipos PRUEBAS SABER y otras pruebas
internacionales cuyo material es de libre acceso y referente a la temática, dichas actividades
serán evaluadas.
2. La sección de CONSULTAS que aparecen a lo largo del documento es de obligatorio
cumplimiento, ya que serán evaluadas.
3. Al inicio de cada clase se harán preguntas teóricas que buscaran verificar si hay continuidad
y profundización en los temas estudiados en las clases anteriores, las cuales serán
valoradas.
4. Para trabajar los talleres se formaran grupos de 3 alumnas para su solución los cuales
deberán ser sustentados en clases para su discusión y corrección. Se aclara que todos los
grupos deben resolver los puntos de los talleres. Se aceptara si alguna alumna desea
hacerlo individual.
5. La preparación y ejecución de los laboratorios se llevara a cabo por grupo conformados por
4 alumnas. Los cuales desarrollaran dentro de la clase, para deducir y analizar las temáticas
estudiadas en el momento por lo tanto deben analizarse y socializarse los resultados en la
misma clase y posteriores. Se realizaran prácticas con materiales traídos por las alumnas
donde se evaluara la creatividad y el grado de profundización que aporte el experimento.
6. Los talleres y trabajos deben ser presentados dentro de la fecha estipulada. Serán revisados
y calificados y devueltos para socializarlos.
7. Se motivará a todas las alumnas que presenten en clases ejercicios, problemas y consultas
hechas en textos y en internet los cuales aporten a la de profundización de los temas vistos
en las mismas.
8. Los grupos de laboratorio que presenten experimentos a la comunidad serán evaluados y
podrán ser eximidos de evaluaciones posteriores. Periódicamente los grupos de laboratorio
deberá presentar actividades experimentales a los demás cursos, en las horas
concernientes al área de las ciencias naturales.
9. En colaboración con el área de informática (internet) se harán exámenes virtuales usando
los simuladores o en la biblioteca previo permiso para el uso del internet.
10. Todos exámenes serán de selección múltiple con la salvedad de que en algunos casos los
procedimientos deben acompañar las respuestas marcadas. La participación activa en
clases, aportando significativamente será de alta valoración, ya que indica el nivel de
asimilación de la temática.
8
LISTADO DE ECUACIONES
GRADO 9 – ECUACIONES DE CINEMÁTICA
A continuación se enlistan las ecuaciones que se usaran durante el curso

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
AX = ACosθ

AY = ASenθ
VECTOR RESULTANTE
║A║ = √ (A2x + A2y)

ANGULO VECTOR RESULTANTE
Tanθ = AY / AX

ECUACIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA.
m = (x2 + x1) / (y2 + y1)

MU
x = vt

MUA
v = v0 ± at

v2 = v20 ± 2ax
x = (v + vo) t / 2
y = v0t ± gt2/2
v2 = v20 ± 2gy
g = 9,8m/s2
MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO
x = v0t

x = v0t ± at2/2
CAIDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
v = v0 ± gt

x = x0 + vt
y = - gt2/2
vy = -gt
y = - x2g/2v2o
MOVIMIENTO PARABOLICO
vx = v0 Cosθ
tv = 2ts
ts =v0senθ/g
x = v0tcosθ
Ymax = v20 sen2θ/2g
Xmax = v20 sen (2θ)/g
vy = v0 Senθ
y = v0tSenθ ± gt2/2
9
LISTADO DE ECUACIONES
GRADO 10 – ECUACIONES DE CINEMÁTICA
 FUERZA

Peso (w)

Peso en un plano inclinado
w= - mg
wX = wSenθ (wX = mgSenθ)
wY = wCosθ (wY = mgCosθ)

Fuerza normal (N)

Normal en un plano inclinado es igual a la componente vertical del peso N = - wy 
N = – mgCosθ

Fuerza de rozamiento o fricción (f r) fr = N, donde  se le conoce cono coeficiente de
rozamiento estático

Fuerza de rozamiento o fricción en un plano inclinado fr = mgCosθ, donde  se le conoce
cono coeficiente de rozamiento.
N = mg
 LA PRIMERA LEY DE NEWTON

Equilibrio de traslación Fn = 0
 LA SEGUNDA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA
FN = ma
DINÁMICA
 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL (MOMENTUM LINEAL) P = mv
 IMPULSO MECÁNICO
FN = p/t
I = p  I = p – p0
I = FN t
 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O MOMENTUM LINEAL
p0 = p f
 p1o + p2o = p1f + p2f
 COLISIONES
m1v1o + m2v2o = m1v1f + m2v2f
10
 MOVIMIENTO CIRCULAR

El desplazamiento angular (θ)

Velocidad angular (w) w = θ / t

La velocidad lineal (v)
θ = θ2 – θ1 (en radianes)
v = wr
 MCU

El desplazamiento angular (θ)

Periodo (T) T = t / n

Frecuencia (f)

La velocidad angular (w)

Aceleración centrípeta (aC)

Fuerza centrípeta (FC)
f=n/t
θ = wt
Tf = 1
w = 2π /T
T=1/f
f=1/T
w = 2πf
ac = v2/R
FC = m v2 /R
 MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)

Aceleración lineal o tangencial aT = r

Velocidad angular (w)

Desplazamiento angular (θ)

La aceleración del sistema
w = w0 + t
θ = w0t – t2 / 2
a2 = a2T + a2C
 TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
 LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
w1R = w2r
F = G Mm / R2
G = 6,67x10-11Nm2 / kg2
 ROTACIÓN DE SOLIDOS

Torque o momento de una fuerza
 = Fd Senθ
– mg + T + F = 0

La cantidad de movimiento angular
L=mwr2
11

TRABAJO

Trabajo realizado por la fuerza de fricción W = – fr d

Trabajo hecho por una fuerza variable

TRABAJO NETO

Sumamos todas las fuerzas y calculamos la fuerza neta: F 1 + F2 + F3 + F4 = FN
W = FdCosθ
W = 1/2kx2
W Fn = FNd.

Calculando el trabajo hecho por cada fuerza y luego sumando cada uno de ellos:
W Fn = W F1 + W F2 + W F3 + W F4.

LA ENERGÍA

La energía potencial gravitacional
UG = mgh

LA ENERGÍA CINÉTICA
K = mv2/2

EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA

POTENCIA

PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
P = W/ t
W neto = Kf – K0
P = Fv
EM = K + Ug → mv2A / 2 + mghA = mv2B / 2 + mghB

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA UE = 1/2kx2
EM = K + UG + UE
EM = mv2 /2 + mgh +1/2kx2
 LAS FUERZAS NO CONSERVATIVAS Y LA ENERGÍA MECÁNICA
EmA + W FNC = EMB

LA ENERGÍA EN LAS COLISIONES

Colisiones elástica m1v1o + m2v2o = m1v1f + m2v2f

Colisiones inelásticas m1v1o + m2v2o = (m1 + m2)v
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 MECÁNICA DE FLUIDOS

La densidad ()  = m / V

El peso específico  = g
HIDROSTATICA
 LA PRESIÓN (P)

La presión en los sólidos P = F/A

La presión en los líquidos P = hg
 EL PRINCIPIO DE PASCAL
FA/AA = FB/AB
 EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

FE = L gVsum
Fuerza de empuje
FE = L gVdesp
 LA PRESION EN LOS GASES

La presión atmosférica ( Patm )

Presión absoluta
1 atm
101325 Pa
Pgas = Patm +  g h
 MECÁNICA DE FLUIDOS

Ecuación de continuidad

Gasto volumétrico o caudal
HIDRODINAMICA
A1 v1 = A2 v2
 ECUACIÓN DE BERNOULLI
Q = Av o Q = V/ t
P1 + ½ v21 + gh1 = P2 + ½ v22 + gh2
P + ½ v2 + gh = C
 APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI
P1 + ½ v21 = P2 + ½ v22

El tubo de Venturi

Teorema de Torricelli v = (2gh)
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TERMODINAMICA

EQUILIBRIO TÉRMICO Qa = – Qc

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CALÓRICA

Ecuación Fundamental de la Calorimetría Q a = – Qc

CAPACIDAD TERMICA O CALORIFICA (C)

CALOR ESPECÍFICO

Calor específico desconocido

Calor en absorbido o cedido Q = mceT

TRANSFERENCIA O TRANSMISION DE CALOR

Conducción del calor

LA DILATACIÓN

Dilatación en sólidos – lineal: L =  Lo T

Dilatación superficial A = σ Ao T A = Ao (1 + σT)

Dilatación volumétrica V = Vo T V = Vo (1 + T)

CALOR LATENTE Q = mL

La energía cinética

LEYES DE LOS GASES

Ley de Boyle – Mariotte P1 V1 = P2 V2
-
Al ser inversamente proporcionales la condición inicial y final es igual. Es un proceso
ISOTERMICO.

Ley de Charles V1/T1 = V2/T2
-
Al ser directamente proporcionales las condiciones inicial y final es igual. Es un proceso
ISOBÁRICO.

Ley de Gay – Lussac
C = Q/T
ce = Q/m T
cX = ma ca (Te – Tia ) / m0 (Tix – Te)
H = – kAT/e
o
H = – kA (T1 – T2)/e
L = Lo (1 + T)
σ ≈ 2.
A = Ao (1 +2T)
≈3. V = Vo (1 + 3T)
K = mceT + mLf
P1/T1 = P2/T2
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-
Al ser directamente proporcionales las condiciones inicial y final es igual. Es un proceso
ISÓCORO.

Ley de los gases ideales: P1V1T2 = P2V2T1

Ecuación de estado de los gases ideales: PV = n RT
R = 8,314 J/mol K, es conocida como constante de los gases ideales.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA (Conservación de la energía)

principio de conservación de la energía E = QN – W

TRABAJO REALIZADO POR UN GAS W = PV

PROCESO ADIABATICO Q = 0, E = – W

PROCESO ISOTERMICO E = 0
Q=W
Es una aplicación de la ley de Boyle – Mariotte (P1 V1 = P2 V2)

PROCESO ISOCORO (isométrico o isovolumétrico) E = Q
Es una aplicación de la Ley de Gay—Lussac (P1 / T1 = P2 / T2)

PROCESO ISOBARICO
E = Q – PV.
Es una aplicación de la ley de Charles V1 / T1 = V2 / T2

LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA
-
El calor no fluye de los cuerpos más fríos a los cuerpos más calientes
W neto = Q1 – Q2

EFICIENCIA DE LA MAQUINA TERMICA (  )

CICLO DE CARNOT

EFICIENCIA DEL CICLO DE CARNOT
 = 1 - Q2/Q1
W neto = Q1 – Q2
 = (T1 – T2)/T1
 = 1 - T2/T1
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FACTORES DE CONVERSIÓN
VELOCIDAD
LONGITUD
1 mi/h = 1.47 pie /s = 0.447 m/s = 1.61 km/h
1 m/s = 100 cm/s = 3.281 pie /s
1 mi/min = 60 mi/h = 88 pie /s
1 pulg. = 2.54 cm (exactas)
1 m = 39.37 pulg. = 3.281 pie
ACELERACIÓN
1 pie = 0.304 8 m = 34.08 cm
1 m/s2 = 3.28 pie /s2 = 100 cm/s2
1 pie /s2 = 0.304 8 m/s2 = 30.48 cm/s2
12 pulg. = 1 pie
3 pies = 1 yarda
1 yarda = 0.914 4 m = 91.44 cm
PRESIÓN
1 km = 0.621 mi
1 bar = 105 N/m2 = 14.50 lb/pulg.2
1 atm = 760 mm Hg = 76.0 cm Hg
1 atm = 14.7 lb/ pulg.2 = 1.013x 105 N/m2
1 Pa = 1 N/m2 = 1.45x10-4 lb/ pulg.2
1 km = 1000 m
1 mi = 1.609 km = 1609 m
1 mi = 5280 pie
1 µm = 10-6 m = 103nm
TIEMPO
1 año–luz = 9.461 x 1015 m
1 año = 365 días = 3.16x107s
1 día = 24 h = 1.44x103 min = 8.64x104s
ÁREA
2
ENERGÍA
4
2
2
1 m = 10 cm = 10.76 pie
1 pie2 = 0.0929 m2 = 144pulg.2
1 pulg.2 = 6.452 cm2
VOLUMEN
1 m3 = 106 cm3 = 6.102x104 pulg.3
1 pie 3 = 1 728 pulg.3 = 2.83x10-2 m3
1 L = 1 000 cm3 = 1.0576 qt = 0.0353 pie3
1 pie3 = 7.481 gal = 28.32 L = 2.832x10-2 m3
1 gal = 3.786 L = 231 pulg.3
1 J = 0.738 pie.lb
1 cal = 4.186 J
1 Btu = 252 cal =1.054x103 J
1 eV = 1.6 x 10-19 J
1 kWh = 3.60 x106 J
POTENCIA
1 hp = 550 pie.lb/s = 0.746 kW
1 W = 1 J/s = 0.738 pie.lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
MASA
APROXIMACIONES
1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)
1 slug = 14.59 kg
1 u =1.66 x10-27 kg = 931.5 MeV/c2
FUERZA
1 N = 0.2248 lb
1 lb = 4.448 N
1 kgf = 9.8 N
1 N = 100 000 dinas
1 m ≈ 1 yd
1 kg ≈ 2 lb
1 N ≈ 1/4lb
1 L ≈ 1/4gal
1 km ≈ 1/2mi
60 mi/h ≈ 100 pie /s
1 m/s ≈ 2 mi/h
16
SOLUCIÓN DE ECUACIONES
Para plantear una solución se debe anotar primero los datos conocidos y luego los no conocidos de
la siguiente forma
DATOS CONOCIDOS
DC
Se
debe
leer
cuidadosamente
el
problema planteado y
sacar los datos que
son dados, incluyendo
aquellos que son
constantes y por lo
tanto
no
son
mencionados pero se
usa para la solución
del problema.
DATOS DESCONOCIDOS
DD
Se
debe
leer
cuidadosamente el
problema planteado
y sacar los datos
que no son dados,
es decir la (s)
incógnita (s) para la
solución
del
problema.
OBSERVACIONES:
 Siempre se trabajara en el Sistema Internacional de unidades. Sólo excepcionalmente nos
saltaremos esta norma.
 Los cambios de unidades se realizaran siempre por factores de conversión. Cualquier
resultado (aunque sea intermedio) o medida debe ir siempre acompañado de su unidad.
 Nunca es válido decir "no lo sé hacer...", siempre podemos (como mínimo) llegar a la
resolución.
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UNIDAD 2
TRABAJO, ENERGÍA, POTENCIA Y DINÁMICA DE ROTACIÓN
ESTÁNDAR: establezco relaciones entre trabajo, potencia, energía y la conservación de la
energía mecánica, del momento lineal, las colisiones en sistemas mecánicos que pueden rotar
en situaciones cotidianas.
COMPETENCIAS BÁSICAS:
 Explica el comportamiento de los cuerpos que interactúan en un sistema físico aplicando los
principios de la conservación de la energía, de la cantidad de movimiento, las colisiones, y
del trabajo desde la dinámica traslacional y rotacional.
 Reconoce y aplica las ecuaciones sobre trabajo, potencia y energía contextualizadas en
diferentes situaciones de la dinámica traslacional y rotacional.
 Plantea soluciones a problemas de la vida cotidiana aplicando los conceptos de dinámica
rotacional y traslacional.
CLG: GESTIÓN DE LA TECNOLOGÍA Y LAS HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS
 Propongo alternativas tecnológicas para corregir fallas y errores, con el fin de obtener
mejores resultados.
RESPONSABILIDAD AMBIENTAL
 Implemento acciones correctivas para proteger el ambiente.
CC: CONVIVENCIA Y PAZ
 Comprendo la importancia de la defensa del medio ambiente, tanto en el nivel local como
global, y participo en iniciativas a su favor.
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DINÁMICA TRASLACIONAL
EL TRABAJO
Depende de
Componentes
paralelas de la
fuerza
Se aplica
para
DINÁMICA ROTACIONAL
LA ENERGÍA
Energía
Cinética
Energía
Potencial
Movimiento Circular
Uniforme
MCU
En los solidos
EL TORQUE
Depende de
Su suma se
mantiene constante
debido
Principio de conservación
de energía mecánica
Vencer el
rozamiento
Puede ser
Otras formas
de energías
Movimiento Circular
Variado
MCUV
Lo describen
Componentes
perpendiculares
de la fuerza y la
distancia al eje
de rotación
Los planetas
Se aplica en
Vencer el peso
Se rigen por
Se mide en
Calor
Energía
Potencial
Elástica
Jules
Las leyes de Keppler y
La ley de gravitación
universal
Al ritmo a que
se realiza
La potencia
mecánica
Se mide en
Watts
Vatios
Kilovatios
Caballos de fuerza
Maquinas
simples
La palanca
La polea
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DINAMICA TRASLACIONAL
 TRABAJO
Analicemos los dos casos siguientes
De acuerdo a la figura 1, supongamos
que una persona levanta un peso mg a
lo largo de una distancia d.
De acuerdo a la figura 2, supongamos
ahora que una persona levanta un peso
mg a lo largo de una distancia d.
En el mismo instante otra persona
levanta un objeto de peso 2mg, durante
la misma distancia. Si en ambos casos
los objetos se mueven con velocidad
constante, podemos afirmar que la
fuerza aplicada a cada cuerpo es de
igual magnitud que él, peso del cuerpo,
pero opuesta.
En el mismo instante otra persona
levanta un objeto de peso mg, durante
una distancia 2d. Es necesario aplicar
una fuerza de igual intensidad que el
peso del cuerpo, pero opuesta, si se
desea
conservar
una
velocidad
constante durante el desplazamiento.
Al comparar las dos situaciones la
primera persona realiza la mitad de
esfuerzo que realiza el segundo.
Al comparar las dos situaciones la
primera persona realiza la mitad de
esfuerzo que realiza el segundo.
Para establecer alguna relación con la energía, decimos que a través de la fuerza aplicada
sobre el objeto le es transferida energía. Es decir, al realizar trabajo se produce una
transferencia de energía y, en consecuencia se produce un cambio de posición o la
deformación de uno o varios cuerpos acción de dicha fuerza. Además dicho trabajo es
proporcional a la distancia recorrida por el objeto. Cada vez que se aplica una fuerza exterior
sobre un cuerpo y este varía su cantidad de movimiento en función del tiempo, este se
desplaza. De esta manera podemos buscar una relación entre la fuerza aplicada y el
desplazamiento producido sin olvidarnos que son vectores.
20
 Definición: el trabajo, denominado trabajo mecánico, (W) producido o realizado por una
fuerza F (constante), aplicada sobre un cuerpo es igual al producto de la componente de
dicha fuerza en la dirección del desplazamiento, por la norma del desplazamiento, x.
Gráficamente:
Matemáticamente: W = F║x  W = FxCosθ. Sus unidades en el SI Nm llamado Joules o
julio (J) el cual se define como la fuerza de 1N necesaria para desplazar 1m un objeto.
También se usa en el sistema CGS, el Ergios, Dina.cm. 1J = 107ergios. ¿Por qué?
 Interpretación gráfica del trabajo
La fuerza aplicada sobre un
objeto
provoca
un
desplazamiento, es decir, realiza
un trabajo, el cual es constante.
Como es el producto de dos
vectores él es un escalar.
1. Ejercicio
A man cleaning a floor pulls a vacuum cleaner with a force of magnitude F = 50N at an angle of
30° with the horizontal. Calculate the work done by the force on the vacuum cleaner as the
vacuum cleaner is displaced 3,0 m to the right.
Enlace de apoyo
-
http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html
21
 Fuerzas que no realizan trabajo
Para que el W realizado sobre un cuerpo sea nulo no basta que
x = 0, en algunas ocasiones aunque el, objeto se desplace,
puede suceder que el trabajo realizado por la fuerza es igual a
cero. De acuerdo a la figura
La fuerza norma no realiza trabajo ya que W N = NxCosθ, la fuerza hace un ángulo θ = 90 0
con el desplazamiento W N = Nx(Cos900) entonces, como el Cos900 = 0, W N = Nx(0) 
WN = 0.
En general toda fuerza que sea perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo, otro
ejemplo es la fuerza centrípeta.
 Trabajo realizado por la fuerza de fricción
La fuerza de rozamiento realiza trabajo, en sentido
negativo ya que W fr = frxCosθ, la fuerza hace un ángulo θ
= 1800 con el desplazamiento
Wfr = frx(Cos1800)
entonces, como el
Cos1800 = -1, W fr = frx( -1 ) 
Wfr = - fr x
2. Ejercicio
Un objeto cuyo peso es 200N, se desplaza 1,5m sobre una superficie horizontal hasta
detenerse. El  = 0,1 entre la superficie y el objeto. Determinar el trabajo realizado por la
fuerza de rozamiento.
 Trabajo realizado por la fuerza neta ( WFN )
Cuando sobre un objeto actúa más de una fuerza, es posible determinar el trabajo realizado
por cada una de ellas y también el trabajo realizado por la fuerza neta.

Trabajo neto
Es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre un objeto.
Dicho trabajo neto forma un ángulo de 0 0 con la dirección del desplazamiento. Supongamos
que sobre un cuerpo actúan las fuerzas F 1, F2, F3, F4 se tienen dos procedimientos para hallar
el trabajo neto
1. Sumamos todas las fuerzas y calculamos la fuerza neta: F 1 + F2 + F3 + F4 = FN
WFn = FN X.

2. Calculando el trabajo hecho por cada fuerza y luego sumando cada uno de ellos:
WFn = WF1 + WF2 + WF3 + WF4.
22
 Trabajo hecho por una fuerza variable
Consideremos un resorte cuya constante es k, el cual obedece la ley de Hooke, es decir, la
fuerza F es directamente proporcional al alargamiento (elongación) y viene dada por F = - kx.
F
El área bajo la curva es un triángulo
rectángulo cuya área viene dada por
A = bh/2. Dicha área es igual al trabajo
realizado por la fuerza restauradora
dado por W. Donde b es x y h es F,
F = kx
W
x
A = bh/2  W = x(kx)/2
W = 1/2kx2
3. Ejercicio
A common technique used to measure the force
constant of a spring is demonstrated by the setup in
Figure. The spring is hung vertically, and an object of
mass m is attached to its lower end. Under the action
of the “load” mg, the spring stretches a distance d from
its equilibrium position. If a spring is stretched
2,0 cm by a suspended object having a mass of 0,55
kg, what is the force constant of the spring?
4. Ejercicio
Para subir una caja de 50kg a cierta altura, un hombre utiliza
como una rampa un plano inclinado de 42 0 con respecto a la
horizontal, y ejerce una fuerza de 400N. Si el hombre
desplaza la caja una distancia de 3m y el coeficiente de
rozamiento entre la caja y el plano es 0,3. Determinar:
a)
b)
c)
d)
Mostrar las fuerzas que actúan y sus componentes rectangulares.
La fuerza neta que actúa sobre la caja y el trabajo realizado por la fuerza neta
El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el objeto.
El trabajo neto realizado sobre la caja.
5. Ejercicio
The force acting on a particle varies as in Figure. Find
the work done by the force on the particle as it moves
(a) from x = 0 to x = 8,0 m, (b) from x = 8,0 m to x =
10,0 m, and (c) from x = 0 to x = 10,0 m.
23
6. Ejercicio
A particle is subject to a force Fx that varies with
position as in Figure. Find the work done by the force
on the particle as it moves (a) from x = 0 to x = 5,0 m,
(b) from x = 5,0 m to x = 10,0 m, and (c) from x = 10,0
m to x = 15,0 m. (d) What is the total work done by the
force over the distance x = 0 to x = 15,0 m?
7. Ejercicio
En la figura, suponga que el objeto se jala con una
fuerza de 75 N en la dirección de 28º sobre la
horizontal. ¿Cuánto trabajo desarrolla la fuerza al
tirar del objeto 8.0 m?
8. Ejercicio
Un bloque se mueve hacia arriba por un plano
inclinado 30º bajo la acción de las tres fuerzas que se
muestran en la figura. F1 es horizontal y de 40 N de
magnitud. F2 es normal al plano y de 20 N de
magnitud. F3 es paralela al plano y de 30 N de
magnitud. Determine el trabajo realizado por cada una
de las fuerzas, cuando el bloque (y el punto de
aplicación de cada fuerza) se mueve 80 cm hacia
arriba del plano inclinado.
9. Ejercicio
Un cuerpo de 300 g se desliza 80 cm a lo largo de una mesa horizontal. ¿Cuánto trabajo se
realiza para superar la fricción entre el cuerpo y la mesa, si el coeficiente de fricción cinética es
0.20?
10. Ejercicio
¿Cuánto trabajo se realiza contra la gravedad al levantar un objeto de 3.0 kg a través de una
distancia vertical de 40 cm?
11. Ejercicio
Calcule el trabajo realizado en contra de la gravedad por una bomba que descarga 600 litros de
gasolina dentro de un tanque que se encuentra a 20 m por encima de la bomba. Un centímetro
cúbico de gasolina tiene una masa de 0.82 gramos. Un litro es igual a 1000 cm3.
24
 LA ENERGÍA
Cuando hablamos de trabajo lo relacionamos con otro concepto llamado, energía. Estos dos
conceptos están estrechamente relacionados. Todo cuerpo que está en capacidad de realizar
un trabajo transfiere energía. Sin embargo, nos referimos a ella solo en sus diferentes
manifestaciones, relacionada por la transferencia de energía de un cuerpo a otro y su
transformación. Cuando se realiza trabajo sobre un cuerpo se ha transferido energía que se
manifiesta en el movimiento del cuerpo, dicha energía está asociada a dos momentos: a la
posición del objeto y al movimiento.
 La energía potencial gravitacional (U)
Cuando un cuerpo se deja caer desde cierta altura con respecto al suelo, la Tierra ejerce fuerza
de atracción gravitacional sobre él. Sin embargo, al caer el peso del cuerpo realiza trabajo
sobre el objeto, por esta razón podemos asociar cierta clase de energía a un cuerpo que se
encuentra a determinada altura con respecto al suelo.
U1 = mgh1
h = h1 – h2
Supongamos que un cuerpo m se
encuentra a una altura h1 sobre el suelo y
cae libremente hasta una altura h 2, como
muestra la figura.
La fuerza que actúa sobre el cuerpo es el
peso mg, además de ser constante, tiene
la misma dirección del desplazamiento.
θ = 00
mg
U2 = mgh2
El W realizado por el cuerpo
W mg = - mgh Cosθ, h = h1 – h2
es
W mg = - mg (h1 – h2) Cosθ, Cos00 = 1
= mg (h2 – h1) = mgh2 – mgh1
Wmg = mgh2 – mgh1
h1
mg
h2
En la igualdad aparece el término mgh, por tanto la
energía potencial se define como:
U = mgh
De esta manera, para un objeto de masa m que pasa
desde la altura h1 hasta la altura h2, expresamos el
trabajo hecho por el peso como: W = U1 – U 2
Nivel de referencia
La U se expresa en Julios.
25
 Trayectoria cerrada: significa que el desplazamiento del objeto es cero, es decir, el móvil
regresa al punto de partida, (x = 0).
 Fuerzas conservativas: Son fuerzas en las cuales el trabajo realizado no depende de la
trayectoria seguida por el objeto y el trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto sea nula,
siempre que la trayectoria sea cerrada, es decir, tan sólo de los puntos inicial y final.
 La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas ya que si
lanzamos un objeto hacia arriba (para el cual la resistencia del aire sea despreciable),
regresa a nuestras manos con la misma energía con la que partió.
 Fuerzas disipativas (no conservativas): son fuerzas que se oponen a la dirección del
movimiento de un cuerpo hasta reducirlo, por ejemplo la fuerza de fricción.
 LA ENERGÍA CINÉTICA (K)
Cuando damos un puntapié a un balón, el pie transfiere movimiento al balón, es decir, cuando
un cuerpo en movimiento choca con otro objeto, le puede transmitir movimiento. Podemos
afirmar que el objeto en movimiento realiza trabajo sobre el otro y, en consecuencia, le
transfiere energía.
Supongamos que sobre un cuerpo de masa m que se mueve en línea recta, se aplica una
fuerza neta constante FN.
Como resultado de la fuerza aplicada, el objeto experimenta aceleración a y su velocidad
cambia de un valor v0, a un valor v. Si el desplazamiento del objeto es x, tenemos que el
trabajo W neto realizado por la fuerza es:
W neto = Fneta xCosθ  W neto = maxCos0  W neto = max.
Como la fuerza neta produce aceleración en el objeto significa entonces que la velocidad varía,
tanto la a, v y x se relacionan en la ecuación: v2 = v20 + 2ax, despejando ax.
ax = v2 / 2 - v20 / 2 remplazando W neto = m (v2 / 2 - v20 / 2) distribuyendo m,
W neto = mv2 / 2 - mv20 / 2. Vemos que el lado derecho de la ecuación esta la expresión mv2 / 2,
para dos velocidades diferentes la inicial y la final. Por lo cual la energía cinética se escribe
K = mv2/2
Sus unidades son las mismas que las del trabajo, es decir, Julios, J.
26
 Definición: es la energía asociada a un objeto que encuentra en movimiento, es decir, en
virtud de su velocidad.
Cuando la velocidad de un objeto cambia de v0 a v, su energía cinética cambia de Ec 0 a Ec, de
acuerdo a la figura.
La relación entre el trabajo y la energía cinética se conoce con el nombre de El teorema del
trabajo y la energía.
Enlace de apoyo.
-
http://www.educaplus.org/play-246-Choque-inelástico.html
 EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
el trabajo neto realizado por la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual al cambio de la
energía cinética, es decir, a la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.
Matemáticamente:
Wneto = Kf – K0
NOTA: si el trabajo neto realizado sobre un objeto es positivo, la energía cinética del objeto
aumenta; y si el trabajo neto realizado sobre un objeto es negativo, la energía cinética del
objeto disminuye.
12. Ejercicio
Un ciclista que participa de una prueba contra reloj, desarrolla una fuerza constante de 40N
durante los primeros 200m de recorrido hasta adquirir una cierta velocidad. Si las masas del
ciclista y de su bicicleta son, respectivamente, 70kg y 12kg, y suponiendo que no hay pérdidas
energéticas en las transformaciones que se presentan (rozamiento, resistencia del aire, etc.)
Calcular:
a) El trabajo realizado por el ciclista.
b) La energía cinética alcanzada a los 200m.
c) La velocidad del ciclista en ese momento.
13. Ejercicio
Un bloque de masa de 15kg se lanza hacia arriba desde la base de un plano inclinado 39 0, con
velocidad de 5m/s. Si el objeto se desplaza 2,25m hasta detenerse, determinar: W, F, µ y fr.
27
14. Ejercicio
Un jugador de hockey sobre hielo, lanza un disco de 200gr con una velocidad de 10m/s. Si
después de recorrer 25m, la velocidad del disco disminuye un 10%, calcula:
a) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y el coeficiente de rozamiento.
b) El tiempo que transcurre desde el lanzamiento del disco, hasta que éste se detiene por
la acción del rozamiento.
c) La distancia recorrida por el disco, desde el lanzamiento hasta que se detiene.
15. Ejercicio
Un automóvil que viaja a 15 m/s es llevado hasta el reposo en una distancia de 2.0 m al
estrellarse contra un montículo de tierra. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce el cinturón de
seguridad sobre un pasajero de 90 kg en el automóvil cuando es detenido?
16. Ejercicio resuelto sobre conservación del momentum y la energía
Una bala de 0,1 kg de masa y cuya velocidad es desconocida
se incrusta en un péndulo balístico en reposo, cuya masa es
de 9,9 kg. Al oscilar alcanza una altura máxima de 2m, como
muestra la figura.
Calcular la velocidad inicial de la bala.
Solución: Cuando el péndulo alcanza su máxima altura tiene solo energía potencial, pero la
masa corresponde a la masa del sistema péndulo-bala.
msistema = mpéndulo + mbala = 9,9 kg + 0,1 kg = 10 kg
Entonces la energía potencial será: U = mgh = 10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ 2 m=196 J
Por conservación de la energía, en el momento del impacto, la energía del sistema es solo
cinética y de valor 196 J. Con esto podemos determinar la velocidad inicial del sistema.
K = 1/2mv2 = 1/2.10kg.vs 2 = 196J ⇒ vs 2 = 39,2 ⇒ vs = 6,3m/s
Ahora, teniendo la velocidad del sistema, por conservación de momentum, podemos calcular la
velocidad inicial de la bala.
pbala inicial + ppéndulo inicial = psistema final
0,1kg.vi + 0 = 10kg.6,3 m/s ⇒ 0,1vi = 63kg.m/s ⇒ vi = 630m/s
Por lo tanto, la velocidad con que sale disparada la bala es de 630 m/s.
28
 POTENCIA
Lo importante de realizar un trabajo, es la rapidez con que se hace, es decir, hay mejor
eficiencia si se gasta menos tiempo en realizar dicha actividad, gastando menos energía.
Sabemos que W = Fx, dividiendo por t, W/ t = Fx / t = F(x / t), recordemos que x / t
= v  W/ t = Fv. Por lo tanto la potencia P, se expresa
P = W/ t o P = Fv
Sus unidades son el J/s o el Nm/s, llamado Watt o vatio. Otra unidad de potencia es el caballo
de fuerza o HP, 1HP = 746watt. Para unidades muy grandes se usa el kW = 10 3watt,
MW = 106watt. GW = 109watt.
 Definición: la potencia (P) es el trabajo (W) desarrollado en la unidad de tiempo.
Cuando se realiza cierto trabajo sobre un objeto se le transfiere energía y, en consecuencia, la
energía del objeto se incrementa. Por lo cual, el sistema que realiza el trabajo desarrolla
potencia, lo cual explica un consumo de energía en medida que la transfiere. La potencia
también se puede expresar como P = E / t, donde E es la energía transferida y t el tiempo
empleado en la realización del trabajo.
1 kW-h = 3,6x106 J ¿Por qué?
17. Ejercicio
La grúa utilizada en una construcción eleve con velocidad constante una carga de 200kg,
desde el suelo hasta una altura de50m, en 50s. Determinar: El incremento de la energía
potencial del cuerpo. Y el trabajo realizado sobre la carga y la potencia desarrollada por la
grúa.
18. Ejercicio
Una lavadora permanece en funcionamiento durante 25minutos. Si la potencia que consume es
de 2000W y la empresa de energía cobra el kW-h a $230, determinar: La energía consumida
por la lavadora en kW-h y el costo de mantener la lavadora en funcionamiento durante
25 minutos.
19. Ejercicio
The electric motor of a model train accelerates the train from rest to
0.620 m/s in 21.0 ms. the total mass of the train is 875 g. Find the
average power delivered to the train during the acceleration.
29
20. Ejercicio
Un automóvil, cuya masa es 926kg y cuya potencia es 92HP, desarrolla una velocidad media
de 72km/h. Determinar: La relación peso/potencia y la fuerza que se ejerce sobre el automóvil.
21. Ejercicio
Hallar la potencia que desarrolla el motor mostrado para que levante al bloque de 20 N con
velocidad constante en 2 s una altura de 4 m.
22. Ejercicio
Un anuncio publicitario pregona que cierto automóvil de 1200 kg puede acelerar desde el
reposo hasta 25 m/s en un tiempo de 8.0 s. ¿Qué potencia promedio debe desarrollar el motor
para originar esta aceleración? Dar la respuesta en watts y en caballos de fuerza. Ignore las
pérdidas por fricción.
23. Ejercicio
Un motor de 0.25 hp se usa para levantar una carga con una rapidez de 5.0 cm/s. ¿Cuál es la
máxima carga que puede levantar con esta rapidez constante?
24. Ejercicio
Para descargar granos de la bodega de un barco se emplea un elevador que levanta el grano a
una distancia de 12 m. La descarga del grano se realiza por la parte superior del elevador a
razón de 2.0 kg cada segundo y la rapidez de descarga de cada partícula de grano es de
3.0 m/s. Encuentre la potencia mínima (en hp) del motor que puede elevar los granos de este
modo.
25. Ejercicio
Sobre el plano inclinado de la fi gura 6-6 se dispara hacia arriba un bloque de 500 g con una
rapidez inicial de 200 cm/s. ¿Qué tan arriba sobre el plano inclinado llegará si el coeficiente de
fricción entre éste y el plano es de 0.150?
26. Ejercicio
En la figura se muestra un péndulo con una cuerda de 180 cm de longitud y
una pelota suspendida en su extremo. La pelota tiene una rapidez de 400
cm/s cuando pasa por el punto bajo de su trayectoria. a) ¿Cuál es la altura h
sobre este punto a la cual se elevará antes de detenerse? b) ¿Qué ángulo
forma el péndulo con la vertical?
30
 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Un péndulo simple consiste en una esfera que se ata a una cuerda que describe un movimiento
de vaivén alrededor de una posición de equilibrio.
Consideremos que en la posición A y la
posición B la esfera se encuentra en
movimiento, por lo cual llamaremos KA y KB a
la energía cinética en las posiciones A y B,
respectivamente.
Por otra parte, en las
posiciones A y B la esfera se encuentra a
determina altura con respecto al nivel de
referencia elegido, por lo tanto le asignamos
energías potencial UA y UB, respectivamente.
Cuando la esfera se desplaza desde la posición
A hasta la posición B, el trabajo neto realizado
por el péndulo está dado por el cambio de la
energía cinética así:
Wneto = KB – KA
La única fuerza que actúa y realiza trabajo
sobre la esfera es el peso, por lo tanto,
Wmg = KB – KA.
Como el peso es una fuerza conservativa, el trabajo realizado por él es independiente de la
trayectoria seguida por la esfera para ir desde el punto A hasta el punto B. Entonces, tenemos
que el trabajo realizado por el peso cuando la esfera se mueve desde el punto A hasta el punto
B, hay una diferencia de altura entre h A y hB.
Por lo tanto en esos puntos hay energía potencial, dada por
Wmg = UA – UB.
Como ambas expresiones son iguales, tenemos
KB – KA = UA – UB reordenando KA + UA = KB + UB
Llamamos energía mecánica de un objeto en cada instante a la suma de la energía potencial y
de la energía en dicho instante.
Se escribe EmA = EmB
Donde EM = K + U → EmA = EmB → KA + UA = KB + UB
mv2A / 2 + mghA = mv2B / 2 + mghB
 Definición: para un sistema en el que sólo actúan fuerzas conservativas la suma de la
energía cinética más la energía potencial gravitacional en un punto se denomina energía
mecánica total.
31
 Energía potencial elástica
Recordemos que la fuerza y el trabajo realizado para
comprimir un resorte
o estirarlo
está dado por
F = - kx y W = 1/2kx2 respectivamente, la cual solo
dependen de la posición inicial y final, es decir, es
conservativa, dicho en el trabajo es equivalente a la
energía potencial, llamada energía potencial elástica,
expresada por UE = 1/2kx2.
Podemos extender la definición de la energía mecánica como la suma de la energía cinética
más la potencial, donde la energía potencial, es la igual a la suma de la energía potencial
gravitacional y la potencial elástica.
EM = K + U →
EM = K + UG + UE
→
EM = mv2 /2 + mgh +1/2kx2
 Las fuerzas no conservativas y la energía mecánica
La energía mecánica se da en condiciones ideales. En casi todas las situaciones realizan
trabajo las fuerzas no conservativas, las cuales se expresa W FNC la cual afecta la energía
mecánica de un objeto, y se representa
EmA + WFNC = EmB
Cabe anotar que si la fuerza es disipativas, su trabajo es negativo y la energía mecánica
disminuye, mientras que, si el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es positivo, la
energía mecánica aumenta.
Enlace de apoyo.
- http://vectorg.net/simulador/energia.html
27. Ejercicio
Una esfera de masa 0,20kg sale disparada desde el borde de
una rampa con velocidad de 5,0m/s y desde una altura de
1,20m sobre el suelo, como se muestra en la figura. Si se
desprecia la resistencia del aire, determinar:
a) La energía mecánica en el punto A.
b) La energía cinética, cuando la altura con respecto al suelo
es de 0,60cm.
c) La velocidad de la esfera, cuando la altura con respecto al
suelo es de 0,60cm.
d) La energía cinética, un instante antes de chocar con el suelo.
32
28. Ejercicio
Para subir un carro de 40kg, un hombre aplica una fuerza F y utiliza una rampa u plano
inclinado 400 con respecto a la horizontal, de tal manera que el carro sube con velocidad
constante de 2,0m/s. si se desprecia el rozamiento, determinar:
a) La energía mecánica en el punto A que encuentra en la base más plano.
b) La energía mecánica en el punto B que encuentra a 0,50m de altura sobre el piso.
c) El trabajo realizado por la fuerza F que ejerce el hombre.
29. Ejercicio
Un resorte de constante elástica 100N/m se comprime 0,2m al contacto con un bloque de masa
0,5kg, generando que el bloque recorra 1m sobre la superficie horizontal. Determinar el  entre
el bloque y la superficie.
30. Ejercicio
Dos cuerpos A y C de igual masa 10 kg pueden
moverse verticalmente unidos por cuerdas livianas
e inextensible a otro cuerpo B también de masa 10
kg el cual puede moverse sobre un plano liso
inclinado en 30º respecto a la horizontal como se
muestra en la figura. Las poleas son lisas. El
sistema parte del reposo.
Determine: las tensiones de las dos cuerdas, la magnitud de la aceleración de cada cuerpo y la
energía cinética del sistema después de 1 segundo de iniciado el movimiento.
31. Ejercicio
Como se muestra en la figura, una cuenta se desliza sobre un alambre. Si la fuerza de fricción
es despreciable y en el punto A la cuenta tiene una rapidez de 200 cm/s, a) ¿cuál será su
rapidez en el punto B?, b) ¿cuál en el punto C?
33
 La energía en las colisiones
Recordemos que en muchas situaciones cotidianas observamos que se producen colisiones
entre objetos, por ejemplo, lo que sucede con las bolas de billar, o el comportamiento de las
partículas de un gas. Una colisión es una interacción entre objetos en la que se produce
transferencia de cantidad de movimiento, en ausencia de fuerzas externas. En dicha
interacción la conservación de la cantidad de movimiento lineal, es decir, p0 = pf. Hay dos
tipos de colisiones dependiendo de la conservación o no de la energía.
Enlace de apoyo.
- http://www.educaplus.org/play-246-Choque-inelástico.html
 Colisiones elásticas
Cuando se conserva la cantidad de movimiento lineal y la energía cinética.
chocan y se separan
m1v1o + m2v2o = m1v1f + m2v2f
Los cuerpos
 Colisiones inelásticas
Cuando se conserva la cantidad de movimiento lineal pero no la energía cinética. Los cuerpos
chocan y quedan unidos. Parte de K que se disipa se convierte en calor, Q. el cual se calcula Q
= KF - KI. La ecuación de la cantidad del movimiento es
m1v1o + m2v2o = (m1 + m2) v
Donde v es la velocidad del sistema, es decir, los cuerpos pegados.
Enlace de apoyo.
- http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/xocs/appletsol2.htm
32. Ejercicio
Una esfera de masa 0,2kg que se mueve con la velocidad de 1m/s choca con una esfera de
masa 0,3kg en reposo. Si después de la colisión la esfera de masa 0,2kg se mueve en
dirección contraria a su dirección inicial con velocidad de 0,2m/s. Calcular la velocidad de la
esfera de 0,3kg después de la colisión. Determinar si la colisión es elástica.
33. Ejercicio
Dos pelotas idénticas chocan de frente. La velocidad inicial de una es 0.75 m/s — HACIA EL
ESTE, mientras que la de la otra es 0.43 m/s — HACIA EL OESTE. Si el choque es
perfectamente elástico, ¿cuál es la velocidad final de cada pelota?
34
34. Ejercicio
La figura representa una pista sin rozamiento en
forma de un cuarto de circunferencia de 1,20 m de
radio, que termina en un tramo horizontal sobre el
que hay un resorte cuyo extremo libre coincide con
el final de la pista circular. Una fuerza de 6000 N
comprimiría este resorte en 25,0 cm. Un objeto que
pesa 62,5 N se deja caer desde el extremo superior
de la pista con velocidad inicial nula, siendo
detenido por la acción del resorte.
a) ¿Cuál es la velocidad del objeto inmediatamente antes de chocar contra el resorte?
b) ¿Cuánto se habrá comprimido el resorte al detenerse el objeto?
c) Si se supone nula la energía potencial inmediatamente antes de que el objeto tropiece con el
resorte; ¿Cuál será la energía mecánica total del sistema, cuando el objeto haya comprimido
3,0 cm al resorte?
35. Ejercicio
Un bloque de 2 kg que se muestra en la figura se empuja
contra un resorte con masa despreciable y constante de fuerza
k = 400 N/m, comprimiéndolo 0,22 m. Al soltarse el bloque, se
mueve por una superficie sin fricción que primero es horizontal
y luego sube a 36,9°. Calcula la distancia L que la alcanza el
bloque antes de pararse y regresar.
36. Ejercicio
Un paquete de 1,00kg. se suelta en una pendiente de 30°, a
1,0 m de un resorte largo de masa despreciable cuya
constante de fuerza es de 50 N/m y que está sujeto a la
base de la pendiente. Los coeficientes de fricción entre el
paquete y la pendiente son μ s = μk = 0,30. La masa del
resorte es despreciable,
a) ¿Qué rapidez tiene el paquete justo antes de llegar al resorte?
b) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte?
c) Al rebotar el paquete, ¿qué tanto se acerca a su posición inicial?
35
TALLER – PREGUNTA TIPO PRUEBAS SABER – TRABAJO Y ENERGÍA
1. Un cuerpo se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso,
partiendo de una altura ho, con respecto al piso.
El gráfico que mejor representa cualitativamente el trabajo W
que realiza el peso del cuerpo en función de la altura h [0 < h <
ho] es
2. En el diagrama se muestran tres curvas 1, 2, 3 que describen
como varía el trabajo W efectuado por tres fuerzas distintas a
medida que transcurre el tiempo. En relación con la potencia
mecánica, la curva que mejor representa la mayor potencia
desarrollada es la
A)
B)
C)
D)
1
2
3
2y3
3. El esquema representa los cuerpos A, B, C y D con sus
respectivas velocidades. De estos cuerpos, los que poseen la
misma Energía Cinética son, respectivamente.
A)
B)
C)
D)
AyD
AyB
ByC
ByD
4. Se instala un motor en lo alto de un edificio para realizar las siguientes tareas:
I. Llevar un cuerpo de 100 Kg de masa a 20 metros de altura en 10 segundos.
II. Elevar un cuerpo de 200 Kg de masa a 10 metros de altura en 20 segundos
III. Elevar un cuerpo de 300 Kg de masa a 15 metros de altura en 30 segundos
El orden creciente de las potencias que el motor deberá desarrollar al ejecutar las tareas
anteriores es: (g = 10m/s2)
A)
B)
C)
D)
I , II, III
I, III, II
II, I, III
III, I, II
36
5. En el choque de dos cuerpos que inicialmente se mueven de la forma indicada en el dibujo
Se puede afirmar que
A) La mayor cantidad de movimiento antes del choque la tiene m1.
B) Si el choque es perfectamente inelástico no hay pérdida de energía en la deformación.
C) Si el choque es perfectamente elástico m1 se queda inmóvil después de éste.
D) Si el choque es perfectamente inelástico las dos masas de mueven juntas después de
éste.
6. Dos alpinistas de igual masa, escalan una montaña siguiendo caminos diferentes; el primero
recorre un camino corto y empinado y el segundo un trayecto largo y suave. Los puntos
inicial y final son los mismos para ambos alpinistas. Al comparar el trabajo realizado contra
la fuerza de la gravedad en los dos caminos se concluye que:
A) W 1 > W 2
B) W 1 < W 2
C) W 1 = W 2 ≠ 0
D) W 1 = W 2 = 0
7. El auto del papá de Alejandra queda sin frenos y debe ser
llevado a un taller mecánico que está en las cercanías. Hay
tres opciones de recorridos, R1, R2 y R3, para llevarlo, como
muestra la figura.
En el caso hipotético que el roce entre los neumáticos y el
pavimento sea muy pequeño. Los trabajos mecánicos que
se realizarían para llevarlo serían, respectivamente, W 1, W 2
y W 3. De acuerdo a la magnitud de los trabajos mecánicos a realizar en cada recorrido el
orden aproximado viene dado por:
A) W1 < W2 < W3
B) W1 > W2 < W3
C) W1 = W2 < W3
D) W1 = W2 = W3
37
Responda las preguntas 8, 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información
Una esfera se lanza desde el punto 1 con velocidad inicial V, hacia abajo. La esfera choca con
un resorte de constante elástica K longitud natural l, al cual comprime hasta el punto 3 como lo
indica el dibujo siguiente.
8. El diagrama de fuerza sobre la esfera en el punto 2 es
A) Peso
B)
F elástica
C) F elástica
Peso
Peso
D)
F elástica
Peso
9. La energía mecánica total de la esfera en el punto 2 es igual a la suma de sus energías
A)
B)
C)
D)
Potencial
Potencial
Potencial
Potencial
gravitacional y potencial elástica
gravitacional y cinética
elástica y cinética
gravitacional, potencial elástica y cinética
10. La altura máxima que alcanza la esfera está
A)
B)
C)
D)
la misma altura que el punto 1
entre el punto 1 y 2
más arriba de 1
a la misma altura que el punto 2
38
11. Un estudiante midió la energía potencial de un vagón
en una montaña rusa. La gráfica representa los datos
obtenidos por el estudiante.
De los siguientes modelos de montaña rusa, ¿cuál
explica la gráfica obtenida por el estudiante?
A)
C)
B)
D)
12. Considere un plano inclinado de altura h, sin
fricción. En uno de los extremos ubicamos un
bloque, como se ilustra en la figura.
Se le da un impulso, sube y luego baja por el plano inclinado. Considere las siguientes
proposiciones sobre las aceleraciones del bloque subiendo y bajando.
I. cambian su magnitud
II. cambian su dirección
III. no cambian su magnitud
IV. no cambian su dirección
Las proposiciones verdaderas, durante el movimiento en el plano inclinado son
A) I y II
B) II y III
C) I y IV
D) III y IV
39
Responde las preguntas, 13 y 14 de acuerdo a la siguiente información
En los cultivos de terraza
se necesitan sistemas
de riego que garanticen
un eficiente suministro
de agua. En algunos
lugares se dispone de
agua subterránea por lo
cual
es
necesario
emplear sistemas de
bombeo, como el que se
describe a continuación.
En una finca se utiliza
una bomba de succión
que extrae el agua del
pozo y la lleva hasta el
tanque 1.
Luego se
bombea mediante una
motobomba al tanque 2,
desde donde baja por
gravedad a través de tubos que se utilizan para irrigar cada una de las terrazas.
13. Sea h la altura del tanque 2 y h 1, h2 y h3 la altura de cada una de las tres terrazas
respectivamente, tal que h3 > h2 > h1 y además,
h = h3 como se muestra en la figura. Es
correcto afirmar que el agua llega con mayor velocidad a
A) La terraza 3, porque al estar al mismo nivel del tanque, el agua se traslada fácilmente
por el tubo
B) La terraza 1, porque entre el tanque y la terraza 1, la diferencia de altura es mayor
C) La terraza 2, porque la pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía
eléctrica
D) Las terrazas 1 y 2, porque los tubos que llegan hasta ellas son los más largos.
14. Suponga que la motobomba hace ascender un litro de agua a través del tubo en una altura
h hasta el tanque 2. Si el µ de la fricción entre el agua y las paredes del tubo es
despreciable el trabajo realizado por la motobomba en este proceso es equivalente a la
A)
B)
C)
D)
mitad de la energía mecánica total de un litro de agua a la altura h
energía mecánica total de un litro de agua a la altura h/4
energía potencial de un litro de agua a la altura h
energía cinética de un litro de agua a la altura h
40
15. Tres trabajadores A, B y C, necesitan ubicar cajas idénticas de masa M en una plataforma
de altura H. El trabajador A utiliza una polea y una cuerda, levantando la caja verticalmente;
el trabajador B utiliza una rampa con inclinación B y el trabajador C, utiliza una rampa con
inclinación c < B como se muestra en las gráficas.
Siendo FA, FB y FC la magnitud de cada una de las fuerzas aplicadas por los trabajadores A, B
y C respectivamente y considerando que los tres procesos son realizados con velocidad
constante y que las fuerzas de rozamiento entre la caja y la rampa, así como el rozamiento de
la polea se consideran nulos, se puede decir que
A) FA < FB
B) FA > Mg
C) el trabajo realizado por los tres obreros es el mismo.
D) ∆UA < ∆UB (donde ∆U es la energía potencial)
16. Un cuerpo A con masa m y un cuerpo b de masa 3m, están en reposo sobre un plano
horizontal son rozamiento. Entre ellos existe un resorte de masa despreciable que esta
comprimido por medio de una cuerda tensionada que mantiene ligados los dos cuerpos.
En un instante dado la cuerda es cortada y el resorte se descomprime, empujando las dos
masas, que se separan y pasan a moverse libremente.
Si consideramos que K es la energía cinética, se puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
9KA = KB
3KA = KB
KA = KB
KA = 3KB
41
17. Al jugar en su casa con carritos de carrera, Jorge
construye una rampa que tiene el perfil de la gráfica.
Jorge suelta una bola de goma desde la posición A, con
velocidad inicial Vo, y a medida que la bola recorre la
pista, verifica como varia la velocidad
Despreciando el rozamiento, se puede concluir que la
gráfica de la energía cinética bien dada por
A)
C)
B)
D)
18. Los cuatros bloques representados en la
figura con sus respectivas masas en forma
descendente, m, 5m, 2m, 3m son dejados
caer desde un plano inclinado que no
presenta rozamiento y terminan saliendo en
dirección horizontal
Los bloques al deslizarse por la plataforma,
describen trayectorias parabólicas en caída
libre y caen al suelo, formando de izquierda
a derecha, la secuencia
A) m; 5m; 2m; 3m.
B) m; 2m; 3m; 5m.
C) 3m; 2m; 5m; m.
D) 5m; 3m; m; 2m.
42
19. Un resorte vertical de constante k sostiene un plato de masa 2m. Desde
una altura h respecto al plato se deja caer un cuerpo de masa 4m a él,
tal como muestra la gráfica
¿Qué ocurre con la energía cinética en esta clase de choques?
20. Tres bloques de masas iguales
están alineados sobre una mesa sin
fricción. El bloque 1 avanza con
velocidad constante v y choca
inelásticamente contra el bloque 2,
quedando pegado a él. Estos dos
bloques chocarán inelásticamente contra el tercero que queda pegado a los anteriores.
De acuerdo a la situación
mostrada si ahora se tuviesen n
bloques y chocasen sucesiva e
inelásticamente en igual forma.
¿Qué podemos afirmar sobre la energía cinética y la cantidad de movimiento lineal del
sistema?
43
TALLER – PREGUNTA TIPO PRUEBAS SABER – TRABAJO Y ENERGÍA
HOJA DE RESPUESTA
Rellene el cuadro cuya letra es la respuesta correcta, con lapicero. Hacerlo en más de una
opción anula la respuesta (incluye cualquier marca) No se permiten tachones ni enmendaduras.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ASIGNATURA: FÍSICA
OPCIONES
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
NOMBRE:
GRADO:
CURSO:
FECHA:
44
DINAMICA ROTACIONAL
 EL MOVIMIENTO CIRCULAR
Decimos que un objeto se mueve con movimiento circular si la trayectoria seguida por el objeto
es un circulo con centro en un punto O y radio r. Si la magnitud de la velocidad se mantiene
constante el movimiento se considera un M.C.U.
 Desplazamiento angular y velocidad angular
Ilustremos la situación de un objeto que se mueve con trayectoria circular. Tracemos un circulo
de radio con centro O y radio r; los cuales representan la posición del objeto en diferentes
instantes de tiempo. Sean P, Q y R dichos puntos.
Cuando el objeto se desplaza desde P
Dirección del movimiento
hasta Q trascurre un tiempo to y barre el
ángulo θ1; igualmente, al desplazarse
desde P hasta R pasa un tiempo t y
barre el ángulo θ2. En los puntos P, Q y
R se han trazado los vectores de las
velocidades,
v1,
v2
y
v3,
respectivamente, del objeto en su
trayectoria. Dichas velocidades son
tangentes a la trayectoria y de
magnitudes contantes.
 El desplazamiento angular (θ): se define de manera análoga al desplazamiento lineal x,
es decir, es el cambio de la posición angular, es decir, es el ángulo barrido por un objeto que
gira respecto a un radio fijo. Dado por θ = θ2 – θ1 las unidades del desplazamiento angular
son los radianes o los grados.
Un radian es la medida de un ángulo con vértice en el centro del círculo, el cual corresponde
a un arco, s, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia, un arco viene dado por
s = 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.
Un giro completo corresponde a un ángulo de 2π rad, es decir, 2πrad = 3600.
Donde 1 rad = 57.3°
 Velocidad angular (w): de acuerdo a la gráfica se puede observar que el objeto en el
instante t1 ocupa la posición determinada por el ángulo θ 1 y en un instante posterior t2 ocupa
la posición determinada por el ángulo θ 2. Por tanto la velocidad angular, w, que describe el
movimiento del objeto, es el cociente entre el ángulo de barrido θ y el tiempo empleado t.
Es decir, w = θ / t = θ2 - θ1 / t2 – t1 
w=θ/t
La velocidad angular se mide en radianes por segundo: rad/seg o simplemente s -1.
45
 Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular
Para un objeto que describe una trayectoria circular, como la mostrada en la figura, él vector
velocidad v es tangente a la trayectoria, cuya magnitud corresponde a la rapidez de v del objeto
en determinado instante. La velocidad en un movimiento circular se le denomina
velocidad lineal, v.
Cuando un objeto describe una trayectoria circular de radio r, al
desplazamiento angular θ, le corresponde una distancia
recorrida s, o sección de arco del círculo, tal como observas
en la figura.
t
Es decir, s = r. θ, de donde, θ = s / r sabemos que
w = θ / t Entonces θ = wt  wt = s / r  wr = s / t,
siendo la expresión de la derecha la velocidad lineal del objeto
es decir v,
v = wr
Cuyas unidades en el SI son el m/s
Enlace de apoyo.
- http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm
37. Ejercicio
La distancia media de la tierra al sol es 1,5x10 11m. Si se considera que la trayectoria que
describe la Tierra alrededor del Sol es circular. Determinar: la w y la rapidez de la Tierra
alrededor del Sol.
38. Ejercicio
El segundero de un reloj mide 1cm. Para el movimiento del extremo y del punto medio del
segundero determinar:
a) La velocidad angular
b) La velocidad lineal
39. Ejercicio
Una banda pasa por una rueda de 25 cm de radio, como se
muestra en la figura. Si un punto en la banda tiene una
rapidez de 5.0 m/s, ¿qué tan rápido gira la rueda?
46
 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Cuando la norma de la velocidad lineal de un objeto que describe un movimiento permanece
constante a lo largo de la trayectoria, se dice que es un movimiento circular uniforme, M.C.U.
Como v y r es constante y v = wr podemos suponer entonces que w también lo es. En
consecuencia el valor de v y w coinciden en cualquier instante de tiempo. Por tanto:
w=θ/t
 Gráfica del M.C.U
Se observa que:
Primero: en el instante t0 = 0 segundos el objeto se encuentra en
la posición P0 cuyo vector posición, con respecto al centro de
trayectoria, forma un ángulo θo con el semieje horizontal positivo.
Segundo: en el instante posterior t, el objeto se encuentra en la
posición Q cuyo vector posición, con respecto al centro de
trayectoria, forma un ángulo θ con el semieje horizontal positivo.
Luego el desplazamiento angular es θ = wt
Es importante tener en cuenta que en el M.C.U, w es constante, es decir,
“El objeto barre ángulos iguales en tiempos iguales”
Analogía entre M.U y el M.C.U
MU
MCU
v constante
w constante
x = vt
θ = wt
Cuando un objeto efectúa una vuelta completa
corresponde a un periodo.
θ = 2π rad, se dice que el intervalo t
 Periodo (T)
El tiempo que tarda un objeto en realizar un giro en la unidad de tiempo en un M.C.U, se
representa con la letra T y sus unidades son el, segundo, s.
Sea n el número de vueltas que da un objeto, entonces el periodo T, es equivalente a T = t / n
47

Frecuencia (f)
El número de vueltas que da un objeto en la unidad de tiempo en un M.C.U, se representa con
la letra f y sus unidades son el Hertz, Hz, rpm revoluciones por minuto, s- 1.
Sea n el número de vueltas que da un objeto, entonces la f, es equivalente a
f=n/t
Vemos que el periodo y la frecuencia son expresiones reciprocas es decir,
Tf = 1
Por lo tanto T = 1 / f y f = 1 / T.
La velocidad angular podemos expresarlas en función del periodo y la frecuencia, así:
w en función de T: w = 2π /T
w en función de f: como w = 2 /T y f = 1 / T entonces w = 2π f
40. Ejercicio
Los satélites geoestacionarios siempre se encuentran sobre el mismo punto de la tierra a una
distancia de 36000km de la superficie terrestre. Determinar:
a) El periodo y frecuencia de revolución de un satélite geoestacionario.
b) La distancia recorrida por el satélite en un día.
c) La velocidad angular de la trayectoria.
d) La rapidez del movimiento.
41. Ejercicio
Una sierra eléctrica gira con una frecuencia de 3000 rpm. Determina el periodo de revolución y
la velocidad angular con la que gira.
42. Ejercicio
Un ventilador gira a una tasa de 900 rpm a) Determina el periodo y la frecuencia de oscilación,
b) calcula la rapidez angular de cualquier punto que se encuentre sobre las aspas del
ventilador. c) determine la rapidez tangencial del extremo del aspa, si la distancia desde el
centro al extremo es de 20.0 cm.
48
 Aceleración centrípeta (aC)
Cuando un objeto describe un movimiento circular
uniforme su rapidez permanece constante; sin embargo,
su velocidad cambia de dirección, es decir, experimenta
aceleración.
De acuerdo a la siguiente figura
El vector velocidad se ilustra en los puntos P y Q, los
cuales corresponden a los tiempos t 1 y t2. Además se
ilustran los vectores de posición y desplazamiento para
los mismos tiempos.
Por tanto de acuerdo a la semejanza s / R = v / v despejamos v = v (r / R) dividiendo por
t  v / t = v (r / R) /t recordemos que v / t es la aceleración media de un objeto.
Luego
a = v (r / R) /t reordenando a = (v / R) (r / t) si t  0, es decir, es muy pequeño,
entonces la expresión (r / t) tiende a r / t, donde r es la distancia recorrida y t el tiempo en
que lo hace, es decir, la velocidad lineal, v luego
a = (v /R) v se obtiene la aceleración
centrípeta.
ac = v2/R
Es un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia. Sus unidades m/s 2.
Dado que v = wR, podemos expresar la aceleración centrípeta en función de w.
ac = v2/R

ac = (wR)2/R 
ac = w2R2/R  eliminando términos semejantes
ac = w2R
43. Ejercicio
Un niño hace girar sobre el andén un aro de 45cm de radio. Determinar la aceleración
centrípeta y la velocidad angular si el aro da 6 vueltas en 4 segundos.
49
 Fuerza centrípeta (FC)
Si sobre un cuerpo en movimiento no actúa fuerza alguna o la fuerza neta es cero, el cuerpo
describe un M.U. Pero si el cuerpo describe un M.C, su trayectoria no es rectilínea y, en
consecuencia, su velocidad cambia de dirección constantemente, lo cual significa que debe
actuar una fuerza sobre él. Esa fuerza se conoce como fuerza centrípeta.
De acuerdo a la segunda ley de Newton, un cuerpo que presenta
aceleración, necesariamente está bajo la acción de una fuerza neta.
Por tanto para un cuerpo de masa m, que gira con velocidad v y
describe una circunferencia de radio r, FC es igual a: FC = maC, pero
sabemos que:
ac = v2 /R  FC = maC sustituyendo queda
FC = m v2 /R
Es una fuerza neta que actúa en la dirección radial hacia el centro de la trayectoria.
Dicha fuerza centrípeta puede ser causada por fuerzas elásticas, de rozamiento, gravitacional,
eléctricas, entre otras.
 Energía en un rizo
La energía en el punto más alto del rizo es la energía potencial
gravitacional y viene dada por U = mgh, pero h = 2R, entonces,
U = 2mgR
Para que el cuerpo no se despegue del rizo en esa posición la
fuerza centrípeta debe ser igual a peso del cuerpo, es decir w = Fc,
es decir,
mg = mv2/R
→ g = v2/R → v2 = gR
v = √gR
44. Ejercicio
Un automóvil de masa 1000kg toma una curva de 200m de radio con velocidad de 108 km/h.
Determinar la fuerza de rozamiento necesaria para que el automóvil continúe su trayectoria
sobre la vía circular.
50
45. Ejercicio
Una joven de décimo grado ata un aro de 10gr al extremo de una
cuerda de 52cm de longitud. La joven hace girar el conjunto con
rapidez constante 653,6cm/s, en un círculo vertical como muestra la
figura. Determinar la tensión sobre el aro cuando este pasa por el
punto A y luego por B.
46. Ejercicio
Ana, una estudiante de décimo grado, hace girar una piedra de 200gr
en un círculo horizontal, según la figura. La piedra se mueve con
velocidad constante. La cuerda tiene 1m de longitud y forma un ángulo
de 150 con la vertical. Determinar los valores de la tensión de la cuerda
y de la velocidad de la piedra.
47. Ejercicio
Como se muestra en la figura, una cuenta de 20 g resbala desde el reposo en el punto A, a lo
largo de un alambre sin fricción. Si h tiene 25 cm y R tiene 5.0 cm, ¿cuál es la magnitud de la
fuerza que el alambre debe ejercer sobre la cuenta en a) el punto B y b) el punto D?
48. Ejercicio
Como se muestra en la figura, un cuerpo de 0.90 kg amarrado a una
cuerda gira en un círculo vertical de 2.50 m de radio. a) ¿Cuál debe ser la
rapidez mínima vt que debe tener el cuerpo en el punto más alto del
círculo, de modo que no salga de la trayectoria circular? b) Bajo la
condición a), ¿qué rapidez vb tendrá el objeto después de “caer” al punto
más bajo del círculo? c) ¿Cuál es la tensión FTb en la cuerda cuando el
cuerpo está en el punto más bajo del círculo y se mueve con la rapidez
crítica vb?
Consulta: aceleración centrifuga y sus efectos sobre un objeto en movimiento.
51
 MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)
La figura representa un cuerpo que describe un M.C, el
cual experimenta una variación (aumento o
disminución) de la velocidad angular.
En el instante t0 la velocidad angular es w0 y un tiempo t
posterior la velocidad angular es w. luego la aceleración
angular viene dada por  = w / t  = w – w0 / t – t0
sus unidades son el rad / s2, o s-2.
En el instante t0 la velocidad lineal es v0 = w0r y tiempo t
posterior
es v = wr. Por lo tanto  = (w – w0) / (t – t0) = (v/r – v0 / r) / (t – t0)
 = (v – v0) / r(t – t0) donde a = ( v – v0) / r(t – t0) entonces  = a/r de donde
→
at = r
La aceleración tangencial indica la variación de la velocidad lineal y tienen la misma dirección.
Un cuerpo describe un M.C.U.V, cuando la aceleración angular es constante. Si en t = 0 la
velocidad angular es w0 y un instante después t es w la aceleración angular se expresa como:
 = (w – w0) / t, es decir la velocidad angular de un M.C.U.V es
w = w0 + t
La ecuación para el desplazamiento angular vienen dado por
θ = w0t –  t2/2
 Las componentes de la aceleración
 La aceleración tangencial, at, se relaciona con la variación de la magnitud velocidad lineal.
 La aceleración centrípeta, aC, se relaciona con la variación de dirección velocidad lineal.
 La aceleración tangencial, at, tiene el mismo sentido de la velocidad v0, entonces el cuerpo
aumenta su velocidad.
 La aceleración tangencial, at, tiene sentido contrario a la velocidad v 0, entonces el cuerpo
aumenta su velocidad.
 La aceleración del sistema viene dado por a2 = a2t + a2C, es decir, se aplica el teorema de
Pitágoras.
52
49. Ejercicio
Sobre una superficie, gira un objeto atado a una cuerda de 50cm de longitud con velocidad de
5m/s. Por efecto de la fricción, el objeto disminuye su velocidad con aceleración angular
constante y se detiene a los 4s. Determinar.
a) La velocidad y aceleración angular inicial del objeto, la aceleración tangencial del objeto y
la aceleración del sistema y el desplazamiento angular del objeto.
b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el objeto.
50. Ejercicio
Una rueda de 40 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidez aumenta
uniformemente desde el reposo hasta una rapidez de 900 rpm en un tiempo de 20 s. Encuentre
a) la aceleración angular constante de la rueda y b) la aceleración tangencial de un punto que
se encuentra en su borde.
51. Ejercicio
Una polea de 5.0 cm de radio, en un motor, gira a 30 rev/s y disminuye su velocidad
uniformemente a 20 rev/s en 2.0 s. Calcule a) la aceleración angular del motor, b) el ángulo al
que da las vueltas en este tiempo y c) la longitud de la banda que se enrolla durante este lapso.
52. Ejercicio
Un automóvil tiene llantas de 30 cm de radio. Parte del reposo y (sin deslizamiento) acelera
uniformemente hasta una rapidez de 15 m/s en un tiempo de 8.0 s. Encuentre la aceleración
angular de sus llantas y el número de vueltas que da una llanta en este tiempo.
53. Ejercicio
¿Cuál es la máxima rapidez con la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio
en un camino plano si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la carretera es 0.80?
54. Ejercicio
Como se muestra en la figura, un cascarón cilíndrico delgado de radio
interior r gira de manera horizontal, en torno a un eje vertical, con una
rapidez angular w. Un bloque de madera se recarga en la superficie
interior y gira con él. Si el coeficiente de fricción estática entre el bloque y
la superficie es µe, ¿con qué rapidez debe girar el cascarón para que el
bloque no resbale y caiga? Suponga que r =150 cm y µe = 0.30.
53
 Transmisión del movimiento circular
Supongamos dos ruedas de radios R y r, unidas por una correa
según la figura
La velocidad lineal que proporciona las correas, es la misma en
toda su extensión, por ende las ruedas giran a la misma
velocidad lineal, es decir v1 = v2 sabemos que en general v = wr,
por lo tanto:
w1R = w2r
f1R = f2r
T2R = T1r
55. Ejercicio
Dos ruedas de 30cm y 20cm de diámetro, respectivamente, se unen mediante una correa. Si la
rueda de mayor radio diámetro gira a 10rev/s, ¿Cuál es la frecuencia de la otra rueda?
 El ángulo de peralte
Para un cuerpo como un vehículo o un vagón de tren que se mueven describiendo una
trayectoria curva de radio r, sobre el vehículo debe actuar una fuerza centrípeta para evitar que
continúe moviéndose en línea recta y se salga de la pista; esta es la fuerza para hacer que el
vehículo gire por la pista curva. La fuerza centrípeta necesaria la da el roce de los neumáticos o
las pestañas de las ruedas del tren.
Para no tener que confiar en el roce o reducir el desgaste de los rieles y pestañas, la carretera
o la vía pueden inclinarse, como en la figura. A la inclinación de la pista o vía se le llama ángulo
de peralte, θ. En este caso la componente de la normal dirigida hacia el centro de curvatura
proporciona la fuerza necesaria para mantener al móvil en la pista.
Para una pista curva de radio r, con ángulo de
peralte θ, para la que se considera la fuerza de
roce fr, la fuerza centrípeta corresponde a las
componentes de la normal y de la fuerza de roce
hacia el centro de curvatura de la pista. Son estas
componentes las que producen la aceleración
centrípeta que mantiene al vehículo de masa m
sobre la pista. Del diagrama de cuerpo libre de la
figura se puede calcular la fuerza de roce
necesaria para que el vehículo no se salga de la
pista, por la segunda ley de Newton, se obtiene:
54
Para el eje X
→ Fx = - NSenθ - frCosθ = - mv2/r
Para el eje Y
→ Fy = NCosθ - frSenθ - mg = 0
Multiplicando por cosα la ecuación en x y por senα la ecuación en y, y sumándolas, se obtiene:
fr = m( v2/rCosθ - gSenθ )
 Casos particulares
a) Si no se considera el roce, la fr = 0 y la ecuación anterior se reduce a:
0 = v2/rCosθ - gSenθ
→
Tanθ = v2/rg →
θ =Tan-1 (v2/rg)
Se observa que el ángulo de peralte α depende de la rapidez y del radio de la trayectoria curva
y es independiente de la masa del vehículo. Para un cierto valor del radio, no existe un ángulo
que satisfaga la ecuación para todas las rapideces, por lo tanto las curvas se peraltan para una
rapidez media.
Por ejemplo, si v = 72 km/h = 20 m/s, y r = 100 m, se obtiene: α =Tan -1 ((20m/s)2/(100m)
9,8m/s2) = 220
b) Para el caso en que la curva o vía no tiene peralte, α = 0, la expresión para f r se reduce a:
fr = m( v2/rCos0 - gSen0) →
fr = mv2/r
La rapidez máxima que puede tener el móvil al girar sobre una carretera o vía sin peralte,
corresponde a aquella en la cual está a punto de resbalar hacia afuera, en este caso debe
actuar la frmáx para obtener la rapidez máxima, que no se debe superar para que el vehículo no
se salga de la pista:
frmàx = μmàxN → frmàx = μmàxmg → mv2màx/r = μmàxmg → v2màx = μmàxrg →
vmàx = √μmàxrg
Este tratamiento completa una descripción básica para entender cómo se deben inclinar las
vías de trenes o carreteras en las curvas, para que los vehículos al entrar en las curvas no se
salgan de su pista para evitar accidentes.
56. Ejercicio
Una curva de 30 m de radio va a peraltarse para que un auto pueda tomarla con una rapidez
de 13 m/s sin depender de la fricción. ¿Cuál debe ser la pendiente de la curva (ángulo de
peralte)?
55
 LAS LEYES DE KEPLER – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) formuló un conjunto de leyes para describir el
movimiento planetario, conocidas como las leyes de Kepler.
Enlace de apoyo.
-
http://arachnoid.com/gravitation/index.html
 Primera ley o ley de las orbitas
Los planetas describen órbitas elípticas y el sol está sobre uno de los focos de la elipse.
Según esta ley, como las orbitas de los planetas son elipses y el sol se halla en uno de sus
focos, entonces la distancia del planeta Tierra al sol varia. Cuando es la distancia más mínima,
el planeta está en el perihelio y cuando es máxima, el planeta está en afelio. La excentricidad
de las elipses de los planetas está próxima a cero, por tanto, sus órbitas son casi circulares
(elípticas con poco achatamiento)
Enlace de apoyo.
- http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=9.0
 Segunda ley o ley de las áreas
La línea que une al sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
56
Según esta ley, la velocidad del planeta es uniforme, siendo mayor en el perihelio que en el
afelio, por ser la distancia al Sol menor que en el segundo. Es decir, en tiempos iguales los
arcos de elipse recorridos por un planeta son mayores cuantos más cercano se encuentra el
planeta del Sol. Esta diferencia de velocidades, como demostró Newton, es debida a la
atracción que la masa del Sol ejerce sobre el planeta, por lo que al estar el planeta próximo al
Sol la atracción aumenta y su velocidad es mayor.
Enlace de apoyo.
-
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=9.0
 Tercera ley o ley de los periodos
El cuadrado del periodo de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia
media al Sol (la mitad de la suma de la distancia mayor y la menor)
Esta ley puede expresarse mediante la siguiente formula: T2 = Kr3. La constante K es la misma
para todos los planetas, K = 2,9x10-19 s2/m3.
De esta ley se deduce que la velocidad media con la que los planetas recorren órbitas es
menor cuanto más alejados estén estos del Sol.
Gracias a estas leyes los satélites artificiales son lanzados para el servicio de comunicación y
otras actividades.
En la siguiente tabla se muestra el periodo de revolución y las distancias o radios promedios de
los planetas alrededor del Sol.
57
 Tabla de valores
 LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Los planetas describen una trayectoria elíptica
alrededor del Sol y puesto que no describen
movimiento rectilíneo uniforme, debe actuar sobre
ellos una fuerza centrípeta que produce el cambio
en la dirección del movimiento.
De acuerdo a la figura

Ley de gravitación universal: Dos cuerpos
cualesquiera de masa M y m, separados
una distancia R se atraen con una fuerza
que es directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa.
La cual se expresa como
Fg = G Mm / R2
Donde G es la constante de gravitación universal y su valor en el SI es:
G = 6,67x10-11Nm2 / kg2
g = GM/R2
58
 Velocidad de escape
Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra hemos de conseguir que la energía
mecánica total sea cero. Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra se
calcula de la siguiente forma:
Em = 1/2mv2esc – G MT m/RT = 0 → v2esc = 2GMT/RT = 2gR2T/RT → v2esc = 2gRT →
vesc = √2gRT o vesc = √2GMT/RT
Es independiente de la masa del satélite, aunque el
empuje requerido para acelerarlo, que será el producto de
la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha
velocidad, y obtener esa velocidad sí depende de la masa.
En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido a
que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el
sentido de giro de la Tierra, es decir, en sentido OesteEste ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería
menor. Y, si el lanzamiento se hace cerca del Ecuador
mayor será esa velocidad relativa.
Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra,
entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape de la
acción del campo gravitatorio terrestre sería:
Em = 1/2mv2esc – G MT m/(RT + h) = 0 → v2esc = 2GMT/(RT + h) = 2gR2T/(RT + h)
→
vesc = √2gR2T/(RT + h)
57. Ejercicio
Aunque la trayectoria de los planetas es elíptica, determinar la masa del Sol, a partir del
periodo de revolución de la Tierra alrededor de él y de la distancia que los separa, asumiendo
que la trayectoria es circular.
58. Ejercicio
Calculate the escape speed from the Earth for a 5000kg spacecraft, and determine the kinetic
energy it must have at the Earth’s surface in order to move infinitely far away from the Earth.
59. Ejercicio
Considerar que la trayectoria del Sol es circular y calcular la rapidez del movimiento de Plutón
alrededor del Sol. Compararla con la rapidez de la Tierra cuyo valor es 2,9x10 4m/s.
59
 ROTACIÓN DE SOLIDOS
Anteriormente, habíamos considerado los objetos como objetos puntuales, y se establecimos
que una condición para que una partícula permanezca en reposo es que a suma de las fuerzas
que actúan sobre ella es cero. Cuando consideramos que los objetos tienen dimensiones y
que no son simplemente partículas puntuales, necesitamos una condición adicional para que
un objeto con dimensiones se encuentre en reposo, pues no basta que la fuerza neta sea igual
a cero.
 Definición: un cuerpo rígido son sólidos cuya forma es definido debido a que las partículas que
los conforman se encuentran en posiciones fijas unas con respecto a otras.
Cuando se aplican fuerzas sobre un cuerpo rígido, se produce un movimiento de rotación sobre
él, que depende de la dirección de las fuerzas y de su punto de aplicación.
Podemos interpretar un cuerpo en rotación como un sistema de partículas que se mueven
alrededor de un eje fijo, describiendo trayectorias circulares. Cabe anotar que la fuerza externa
aplicada en un punto no incida sobre el movimiento del centro de masa del cuerpo, si afecta el
movimiento de rotación de éste. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto
tenga movimiento de vibración.
Para analizar las fuerzas que actúan sobe un cuerpo rígido en rotación, es necesario
considerar la distancia entre el eje de rotación y el punto donde se aplica la fuerza. Así se
introduce el concepto de momento o torque.
 Torque o momento de una fuerza
En la siguiente figura se representa una llave sobre la cual se aplica una fuerza F en el punto
P. En donde d es la distancia entre el eje de rotación O y el punto de aplicación de la fuerza;
mientras que θ es el ángulo que forma la fuerza con la línea OP.
Dirección de la rotación
Para la fuerza F se pueden determinar dos
componentes perpendiculares, una paralela
a la línea OP que se nota con F║ y otra
perpendicular a la misma línea que se nota
con F.
Esta última es la que produce la rotación de
la llave. Produce el llamado torque.
Torque: producto del valor de la componente perpendicular de la fuerza aplicada sobre un
objeto por la distancia al eje de rotación. La distancia d se le llama brazo.
60
Se expresa  = Fd, (, Tao). Puesto que la línea que une el eje de rotación y el punto de
aplicación forma con la fuerza F un ángulo θ, entonces Senθ = F  / F 
F = F Senθ
sustituyendo en la ecuación.
 = Fd Senθ
En el sistema SI el torque se expresa en Nm
Si la fuerza aplicada produce una rotación en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj,
consideramos que el torque es positivo de acuerdo
la figura anterior.
Se considera negativo cuando dicho movimiento es
en sentido inverso movimiento de las manecillas del
reloj, de acuerdo a la siguiente figura.
Aplicando la definición de torque veamos los casos
posibles.
 Si la fuerza aplicada es perpendicular a la línea
que une el eje de rotación y el punto de
aplicación de la fuerza.
El ángulo formado es θ = 900 
 = Fd Senθ 
0
0
 = Fd Sen90 , como Sen90 = 1 
 = Fd(1) 
 = Fd.
 Si la fuerza aplicada es perpendicular a la línea
que une el eje de rotación y el punto de aplicación
de la fuerza.
El ángulo formado es θ = 00   = Fd Senθ 
 = Fd Sen00, como Sen00 =   = Fd(0)
=
0.
 Si la fuerza se aplica sobre el eje de rotación.
El ángulo formado es θ = 00   = Fd Senθ   = Fd
Sen00, como Sen00 = 0   = Fd(0)   = 0.
61
60. Ejercicio
En la figura se muestran tres barras de 2 metros de
largo que pueden girar alrededor de un pivote O. En
uno de los extremos se aplica una fuerza de 50N que
forma con la barra un ángulo de 30 0. Determinar el
valor del torque en cada caso.
61. Ejercicio
De acuerdo a la figura, calcular el valor del torque en los
siguientes casos:
a) La fuerza F mide 50N, es aplicada a 0,7m del eje y el
ángulo  entre la fuerza y la barra mide 370.
b) La fuerza F mide 50N, es aplicada a 0,7m del eje y el ángulo  entre la fuerza y la barra mide
530.
 EL EQUILIBRIO
Cuando el estado de movimiento de un cuerpo no cambia, se dice que el objeto está en
equilibrio. El requisito para que exista equilibrio es que la fuerza neta sobre
un objeto sea cero. El equilibrio puede ser estable, inestable o indiferente.
 Equilibrio estable: Un pequeño desplazamiento conduce a una fuerza
no equilibrada que hace que la partícula vuelva a su posición de equilibrio.
 Equilibrio inestable: Cualquier pequeño desplazamiento conduce a una
fuerza no equilibrada que aumenta aún más el desplazamiento con
respecto a su posición de equilibrio.
 Equilibrio indiferente: Aunque la partícula se desplace no aparecen
fuerzas no equilibradas
62
 CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA CUERPOS RÍGIDOS
En la siguiente figura, se representa una barra
homogénea de longitud L sujeta a una pared
mediante un pivote. Una cuerda que forma con
la barra un ángulo  la sostiene por el otro
extremo.
Cuando la barra permanece en equilibrio
estático, se debe cumplir que la suma de las
fuerzas que actúan sobre ella sea igual a cero.
 Primera condición de equilibrio: la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es cero, es
decir: FN = 0
Como la barra no experimenta movimiento de rotación, las sumas de los torque producidas por
las fuerzas que actúan sobre ella es igual a cero. Esto es equivalente a afirmar que, la suma de
los torques de las fuerzas que producen rotación en el sentido de las manecillas del reloj, es
igual a la suma de los torques de las fuerzas que producen rotación en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
 Segunda condición de equilibrio: el torque neto (suma de los torque) con respecto a
cualquier eje de rotación es cero, es decir:
-mg + T + F = 0
(F = 0)
62. Ejercicio
Una barra homogénea de 14m de longitud descansa apoyada en sus extremos P y Q, como lo
ilustra la figura. La barra soporta dos masas de 60kg y otra de 120kg. La masa de la barra es
30kg. Determinemos la fuerza de reacción en los apoyos P Y Q.
Enlace de apoyo.
-
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Torque
63
63. Ejercicio
A seesaw consisting of a uniform board of mass M and length l
supports a father and daughter with masses mf and md,
respectively, as shown in Figure. The support (called the fulcrum)
is under the center of gravity of the board, the father is a distance
d from the center, and the daughter is a distance l/2 from the
center. Determine where the father should sit to balance the
system. R: d = (md/mf)l/2
64. Ejercicio
Una tabla uniforme, 4m de largo y peso de 200N
está sujeta por uno de sus extremos a una pared
vertical en el punto O y el otro extremo está atado
al techo por medio de una cuerda como se
muestra en la figura. Una mujer de 600N de peso
está a 3m de la pared.
Determina: la tensión que soporta la cuerda y la
fuerza ejercida por el pivote O sobre la barra.
65. Ejercicio
La barra mostrada en la figura puede girar alrededor de su
eje central y está en equilibrio. Calcular el número de
bloques, iguales a cualquiera de los dos que cuelgan a la
derecha, que contiene la bolsa es para mantener el
equilibrio.
66. Ejercicio
La barra AC de masa 10 kg y de longitud 14 m, está
en equilibrio en forma horizontal articulada en B y
apoyada en C, como se indica en la figura. Actúan
además dos fuerzas verticales de magnitudes
F1 = 20 N, F2 = 50 N en los puntos que se indican.
Determinar la reacción vertical en B y en C.
64
67. Ejercicio
Las magnitudes de las fuerzas que se señalan en la
figura son iguales. ¿Cuál de ellas realiza mayor y cuál
realiza menor torque? El eje de giro, o de rotación, está
representado por un círculo.
68. Ejercicio
La figura muestra dos personas, P y Q, que realizan
fuerzas sobre una puerta con las bisagras en O. La puerta
está en equilibrio. a) ¿Cuál de las personas realiza mayor
torque?, b) ¿cuál de las personas ejerce mayor fuerza?
69. Ejercicio
Un cartel publicitario está colgando de la pared de una
sociedad muy importante, como se muestra en la figura.
Si consideramos eje de rotación, o de giro, el soporte de
la viga en la pared. a) ¿Cuáles son las fuerzas que
realizan torque?, b) ¿cuál fuerza, aparentemente, realiza
mayor torque?
70. Ejercicio
Escriba las ecuaciones, correspondientes a las condiciones de equilibrio, en cada una de las
siguientes situaciones. En todos los casos la viga es uniforme y de masa m. El triángulo
representa el, o los, punto de apoyo(s). En todas las situaciones el sistema está en equilibrio.
a)
b)
d)
c)
65
71. Ejercicio
En un tablón uniforme de 200 N y longitud L se cuelgan dos objetos: 300 N a L/3 de un
extremo, y 400 N a 3L/4 a partir del mismo extremo. ¿Qué fuerza debe aplicarse para que el
tablón se mantenga en equilibrio? (900 N a 0,56 del extremo izquierdo)
72. Ejercicio
En la siguiente figura. La viga uniforme de 600 N está sujeta a un gozne en el punto P. Calcular
la tensión en la cuerda y las componentes de la fuerza que ejerce el gozne sobre la viga.
(2280N, 1750 N, 65,6 N)
 La cantidad de movimiento angular
Un cuerpo realiza un giro de radio r, por lo
tanto posee una velocidad v, por ende una
cantidad de movimiento p en el punto A.
decimos que el valor de la cantidad de
movimiento angular L, de dicha partícula es L
= rp. Pero p = mv sustituyendo
L = rmv
como v = w r, remplazando L = rm(wr) 
L=mwr2
Si L se conserva si r disminuye y aumenta su
velocidad angular w
73. Ejercicio
Calcular el momento angular de un apelota de 200gr que gira en el extremo de un hilo, en un
círculo de 1m de radio, a una velocidad de 9,54rad/s.
66
 MOMENTO DE INERCIA
Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si
fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen
velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como
un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se
simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido.
Cuando un sistema de partículas está rotando alrededor de un eje de referencia, tiene una
energía cinética de rotación.
Sabemos que L = mwr2, donde, Icm = mr2 se le llama momento de inercia, que es el
equivalente de la masa en el movimiento de traslación, esto es, la inercia es la capacidad que
tiene una partícula o un sistema de partículas para oponerse a cambios de rotación. Podríamos
decir que mientras más momento de inercia exista, una partícula o un sistema de partículas
tenderán a rotar menos, y viceversa. La velocidad angular es la misma para todo el sistema de
partículas. El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño
y la forma del objeto
 Energía cinética y trabajo de rotación
Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje fijo
con velocidad angular ω constante, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de
traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:
K = 1/2miv2i, sabemos que vi = ωri sustituyendo K = 1/2mi(ωri)2 → K = 1/2mi ω 2r2i
Asociando términos K = 1/2 ω 2(mi r2i) de donde K = 1/2Icmω 2.
Como W = K entonces
W = 1/2Icmω 2
Sus unidades de medida en el SI son kgm2.
La energía cinética de rotación no es una nueva forma de energía, sino que es el equivalente
rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La
analogía entre ambas energías ½mv2 y ½Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de
rotación son análogas a m y v del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional
de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida,
igual que m, por lo que generalmente se da como un dato.
67
Si el eje de rotación no pasa por el centro de masa, se utiliza el Teorema de los ejes paralelos
o Teorema de Steiner, que está dado por I = ICM + md2.
Aquí ICM es el momento de inercia con respecto al centro de masa, d es la distancia que existe
desde el centro de masa hasta el eje de rotación.
 Relación entre torque y aceleración angular.
Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la
figura, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza
tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para
mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la
aceleración tangencial at por Ft = mat. El torque alrededor del
centro del círculo producido por F t es:
τ =Ft r = (mat)r
Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = rα, el torque se puede escribir como:
τ = (mrα) r = (mr2)α y como mr 2 es el momento de inercia de la masa m que gira en torno al
centro de la trayectoria circular, entonces:
τ = Ιcmα
El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α, donde I cm
es la constante de proporcionalidad. Observar que τ = I cmα es el análogo rotacional de la
segunda ley de Newton F = ma.
Se puede extender este análisis a un cuerpo rígido arbitrario que rota en torno a un eje fijo que
pase por su Ο.
 Potencia de rotación
La potencia instantánea viene dada P = Ftv, → P = matv = m(rα)v → α= τ/Icm
Sustituyendo P = mr(τ/ Icm)v, asociando P = τ(mrv/Icm)
De donde w = mrv/Icm
Por lo tanto
P = τω
Sus unidades de medida en el SI es el Watt.
68
74. Ejercicio
Como se muestra en la figura, una fuerza
constante de 40 N se aplica tangencialmente al
borde de una rueda de 20 cm de radio. La rueda
tiene un momento de inercia de 30 kgm2.
Encuentre a) la aceleración angular, b) la rapidez
angular después de 4.0 s si parte del reposo y c)
el número de revoluciones realizadas en 4.0 s. d)
Demuestre que el trabajo efectuado sobre la
rueda en los 4.0 s es igual a la K de la rueda al
cabo de los 4.0 s.
75. Ejercicio
Como se muestra en la figura, una masa m = 400 g cuelga del borde de una
rueda de radio r = 15cm. Cuando se suelta desde el reposo, la masa cae 2.0 m
en 6.5 s. Determine el momento de inercia de la rueda.
76. Ejercicio
Un volante tiene un momento de inercia de 3.8 kgm2. ¿Qué torca constante se
requiere para aumentar su frecuencia de 2.0 rev/s a 5.0 rev/s en 6.0
revoluciones?
77. Ejercicio
Un hombre está de pie sobre una plataforma que puede girar libremente, como se muestra en
la figura. Con sus brazos extendidos, su frecuencia de rotación es de 0.25 rev/s; pero cuando
los contrae hacia él, su frecuencia es de 0.80 rev/s. Encuentre la razón de su momento de
inercia en el primer caso con respecto al segundo.
69
 MAQUINA SIMPLE: LA PALANCA (tomado de MecanESO)
La palanca es una máquina simple que tiene como función transmitir una fuerza y un
desplazamiento. Está compuesta por una barra rígida que puede girar libremente alrededor de
un punto de apoyo llamado fulcro o punto de rotación. Puede utilizarse para amplificar la
fuerza mecánica que se aplica a un objeto, para incrementar su velocidad o la distancia
recorrida, en respuesta a la aplicación de una fuerza.
El descubrimiento de la palanca y su empleo en la vida cotidiana proviene de la época
prehistórica. Su empleo cotidiano, en forma de cigoñales, está documentado desde el tercer
milenio a. C. –en sellos cilíndricos de Mesopotamia– hasta nuestros días. El manuscrito más
antiguo que se conserva con una mención a la palanca forma parte de la Sinagoga o Colección
matemática de Pappus de Alejandría, una obra en ocho volúmenes que se estima fue escrita
alrededor del año 340. Allí aparece la famosa cita de Arquímedes:
«Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo».
Al heleno Arquímedes se le atribuye la primera
formulación matemática del principio de la palanca.
 Fuerzas actuantes
Sobre la barra rígida que constituye una palanca actúan tres fuerzas:
 La potencia (P): es la fuerza que aplicamos voluntariamente con el fin de obtener un
resultado; ya sea manualmente o por medio de motores u otros mecanismos.
 La resistencia (R): es la fuerza que vencemos, ejercida sobre la palanca por el cuerpo a
mover. Su valor será equivalente, por el principio de acción y reacción, a la fuerza
transmitida por la palanca a dicho cuerpo.
 La fuerza de apoyo: es la ejercida por el fulcro sobre la palanca. Si no se considera el peso
de la barra, será siempre igual y opuesta a la suma de las anteriores, de tal forma de
mantener la palanca sin desplazarse del punto de apoyo, sobre el que rota libremente.
 Brazo de potencia (Bp): la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza de potencia y
el punto de apoyo.
 Brazo de resistencia (Br): distancia entre la fuerza de resistencia y el punto de apoyo.
70
 LEY DE LA PALANCA
Siendo P la potencia, R la resistencia, y Bp y Br las
distancias medidas desde el fulcro hasta los puntos de
aplicación de P y R respectivamente, llamadas brazo
de potencia y brazo de resistencia.
En física, la ley que relaciona las fuerzas de una
palanca en equilibrio se expresa mediante la ecuación:
P.BP = R.BR
Esta expresión matemática representa una proporción inversa entre la "potencia" y su brazo
por un lado y la "resistencia" y el suyo por el otro.
Por tanto, para una "resistencia" dada, aumentos de la "potencia" obligan a disminuir su brazo,
mientras que aumentos del brazo de potencia supondrán disminuciones de su intensidad. Por
esta razón es lo mismo emplear una potencia de 8 N y un brazo de potencia de 0,25 m, que
una "potencia" de 0,5 N y un brazo de potencia de 4 m, pues su producto es equivalente.
Algunas otras posibilidades las podemos ver en la tabla siguiente:
¿En qué se basa la Ley de las Palancas?
A continuación analizaremos los tipos de palancas y sus características su uso involucra
siempre un movimiento rotatorio. Bien, cada vez que se realiza, o se intenta realizar, un
movimiento rotatorio se realiza lo que denominamos “torque”.
Torque, como se vio es la acción que se realiza mediante la aplicación de una fuerza a un
objeto que debido a esa fuerza adquiere o puede adquirir un movimiento rotatorio.
 Abrir una puerta involucra la realización de torque. El eje de rotación son las bisagras.
 Abrir un cuaderno involucra la realización de torque. El eje de rotación es el lomo o el
espiral.
 Jugar al balancín es hacer torque. El eje de rotación es el punto de apoyo.
 Al mover un brazo se realiza torque. El eje de rotación es el codo.
Dos situaciones excepcionales hay que distinguir:
 Cuando se aplica la fuerza en el eje de rotación no se produce rotación, en consecuencia no
hay torque. ¿Se imaginan ejercer una fuerza en una bisagra para abrir una puerta?
 Cuando se aplica la fuerza en la misma dirección del brazo tampoco se realiza rotación, por
lo tanto tampoco hay torque. O, mejor dicho, el torque es nulo.
71
Imagínense atar una cuerda al borde de la tapa de un libro y tirar de él, paralelo al plano del
libro, tratando de abrirlo.
Ya que mencionamos el caso de situaciones particulares donde el torque que se realiza resulta
ser nulo, destaquemos también que el torque es máximo cuando el ángulo entre el brazo y la
fuerza a aplicar es un ángulo recto (900 y 2700).
Otros casos, donde el ángulo entre la fuerza aplicada y el brazo no es ni recto ni nulo ni
extendido (00 o 1800) necesitan de matemática que en estos momentos no están al alcance.
Recordemos el concepto, matemático de torque, como el producto entre la fuerza aplicada, la
longitud del brazo y el seno del ángulo que forman la fuerza aplicada y el brazo.

NOTA: Si una palanca se encuentra rotando aceleradamente, como en el caso de una
catapulta, para establecer la relación entre las fuerzas y las masas actuantes deberá
considerarse la dinámica del movimiento en base a los principios de conservación de
cantidad de movimiento y momento angular.
 TIPOS DE PALANCA
Las palancas se dividen en tres géneros, también llamados órdenes o clases, dependiendo de
la posición relativa de los puntos de aplicación de la potencia y de la resistencia con respecto al
fulcro (punto de apoyo). El principio de la palanca es válido indistintamente del tipo que se
trate, pero el efecto y la forma de uso de cada uno cambian considerablemente.
 Palanca de primera clase
En la palanca de primera clase, el fulcro se encuentra situado entre la potencia y la resistencia.
Se caracteriza en que la potencia puede ser menor que la resistencia, aunque a costa de
disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia. Para que esto
suceda, el brazo de potencia Bp ha de ser mayor que el brazo de resistencia Br.
72
 CLAVE: Cuando lo que se requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto, o la
distancia recorrida por éste, se ha de situar el fulcro más próximo a la potencia, de manera
que Bp sea menor que Br.
Ejemplos de este tipo de palanca son el balancín, las tijeras, las
tenazas, los alicates o la catapulta (para ampliar la velocidad). En el
cuerpo humano se encuentran varios ejemplos de palancas de primer
género, como el conjunto tríceps braquial - codo - antebrazo.
 Análisis de las palancas de primer género (Intermóviles)
La palanca de primer grado permite situar la carga (R, resistencia) a un lado del fulcro y el
esfuerzo (P, potencia) al otro, lo que puede resultar muy cómodo para determinadas
aplicaciones (alicates, patas de cabra, balancines...). Esto nos permite conseguir que la
potencia y la resistencia tengan movimientos contrarios cuya amplitud (desplazamiento de la
potencia y de la resistencia) dependerá de las respectivas distancias al fulcro.
Tienen el punto de apoyo cerca de la resistencia, quedando con un brazo de palanca
muy corto
Con estas posiciones relativas se pueden obtener tres posibles soluciones:
1. Fulcro centrado: lo que implicaría que los brazos de potencia
y resistencia fueran iguales (BP =BR )
Este montaje hace que el esfuerzo y la carga sean iguales (P = R),
como también lo serán los desplazamientos de la potencia y de la
resistencia (DP = DR). Es una solución que solamente aporta
comodidad, pero no ganancia mecánica.
2. Fulcro cercano a la resistencia: con lo que el brazo de
potencia sería mayor que el de resistencia (BP > BR)
Esta solución hace que se necesite un menor esfuerzo (potencia)
para compensar la resistencia (P < R), al mismo tiempo que se
produce aun mayor desplazamiento de la potencia que de la
resistencia (DP > DR). Este sistema aporta ganancia mecánica y
es el empleado cuando necesitamos vencer grandes resistencias
con pequeñas potencias.
73
3. Fulcro cercano a la potencia: por lo que el brazo
de potencia sería menor que el de la resistencia
(BP < BR).
Esta solución hace que sea mayor el esfuerzo que la
carga (P > R) y, recíprocamente, menor el
desplazamiento de la potencia que el de la resistencia
(DP < DR). Esta solución no aporta ganancia mecánica,
por lo que solamente se emplea cuando queremos
amplificar el movimiento de la potencia.
La palanca de primer grado se emplea siempre que
queramos invertir el sentido del movimiento. Además:
Podemos mantener la amplitud del movimiento
colocando los brazos de potencia y resistencia iguales.
Al ser una disposición que no tiene ganancia mecánica, su
utilidad se centra en los mecanismos de comparación o
simplemente de inversión de movimiento. Esta disposición
se emplea, por ejemplo, en balanzas, balancines de los
parques infantiles...
Podemos reducir la amplitud del movimiento
haciendo que el brazo de potencia sea mayor que el
de resistencia.
Este montaje es el único de las palancas de primer grado
que tiene ganancia mecánica, por tanto es de gran
utilidad cuando queremos vencer grandes resistencias
con pequeñas potencias, a la vez que invertimos el
sentido del movimiento. Se emplea, por ejemplo, para el
movimiento de objetos pesados, balanzas romanas,
alicates de corte, patas de cabra, timones de barco...
Podemos aumentar la amplitud del movimiento
haciendo que el brazo de la resistencia sea mayor
que el de la potencia.
Esta solución presenta la ventaja de que a pequeños
desplazamientos de la potencia se producen grandes
desplazamientos de la resistencia, por tanto su utilidad
se centra en mecanismos que necesiten amplificar e
invertir el movimiento. Se utiliza, por ejemplo, en barreras
elevables, timones laterales, pinzas de cocina...
74
 Palanca de segunda clase
En la palanca de segunda clase, la resistencia se encuentra entre la potencia y el fulcro. Se
caracteriza en que la potencia es siempre menor que la resistencia, aunque a costa de
disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia.
Ejemplos de este tipo de palanca son la carretilla, los remos y el cascanueces.
 Análisis de las palancas de segundo género (Interresistentes)
La palanca de segundo grado permite situar la carga (R,
resistencia) entre el fulcro y el esfuerzo (P, potencia). Con
esto se consigue que el brazo de potencia siempre será
mayor que el de resistencia (BP > BR) y, en
consecuencia, el esfuerzo menor que la carga (P < R).
Este tipo de palancas siempre tiene ganancia mecánica.
Esta disposición hace que los movimientos de la potencia
y de la resistencia se realicen siempre en el mismo
sentido, pero la carga siempre se desplaza menos que la
potencia
(DR < DP), por tanto es un montaje
que atenúa el movimiento de la potencia.
Al ser un tipo de máquina cuya principal ventaja es su
ganancia mecánica, su utilidad principal aparece siempre
que queramos vencer grandes resistencias con pequeñas
potencias. Se emplea en cascanueces, carretillas,
cortaúñas, remos...
75
 Palanca de tercera clase
En la palanca de tercera clase, la potencia se encuentra entre la resistencia y el fulcro. Se
caracteriza en que la fuerza aplicada es mayor que la resultante; y se utiliza cuando lo que se
requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto o la distancia recorrida por él.
Ejemplos de este tipo de palanca son el quitagrapas y la pinza de cejas; y en el cuerpo
humano, el conjunto codo - bíceps braquial - antebrazo, y la articulación temporomandibular.
 Análisis de las palancas de tercer género (Interpotentes)
La palanca de tercer grado permite situar el esfuerzo (P, potencia) entre el fulcro (F) y la
carga (R, resistencia). Cn esto se consigue que el brazo de la resistencia siempre será mayor
que el de la potencia (BR > BP) y, en consecuencia, el esfuerzo mayor que la carga (P > R).
Este tipo de palancas nunca tiene ganancia mecánica.
Esta disposición hace que los movimientos de la potencia y de la resistencia se realicen
siempre en el mismo sentido, pero la carga siempre se desplaza más que la potencia (DR >
DP). Es un montaje, por tanto, que amplifica el movimiento de la potencia, lo que constituye su
principal ventaja.
Al ser un tipo de máquina que no tiene ganancia mecánica, su utilidad práctica se centra
únicamente en conseguir grandes desplazamientos de la resistencia con pequeños
desplazamientos de la potencia. Se emplea en pinzas de depilar, cortaúñas, cañas de pescar.
Es curioso que está palanca sea la única presente en la naturaleza, pues forma parte del
sistema mecánico de los vertebrados.
76
 REGLA: Si en una palanca los brazos difieren en longitud, el sistema se equilibraría
con grandes pesos y pequeños si las masas de los cuerpos están en una relación
inversa (proporcional) a sus distancias de equilibrios.
La capacidad de una máquina para mover una carga se describe por medio de su ventaja
mecánica VM, donde VM = carga / esfuerzo.
Otro parámetro de gran interés relacionado con las máquinas es la eficiencia e, donde
e = Trabajo útil producido / Trabajo suministrado.
Es posible que la ventaja mecánica de una máquina sea grande y que, sin embargo, su
eficiencia sea baja.
Un tercer parámetro de interés es la ventaja de velocidad V V, donde
VV = velocidad alcanzada por la carga / velocidad del punto de aplicación del esfuerzo.
El valor de la VV coincide con el cociente entre los desplazamientos realizados por la carga y el
punto de aplicación del esfuerzo en un cierto tiempo t.
Debemos decir que una VM alta (mayor que la unidad) implica normalmente una VV baja
(menor que la unidad) y viceversa, ya que se puede demostrar que se cumple que:
VM ·VV = e
La distancia perpendicular entre el punto de apoyo y la línea de acción del esfuerzo se
denomina brazo de palanca efectivo, en tanto que la distancia entre el punto de apoyo y la
línea de acción de la carga se denomina brazo de carga efectivo. Se puede demostrar que la
ventaja mecánica para los tres tipos de palancas viene dado por la siguiente expresión:
VM = e · (Bp / Br)
78. Ejercicio
Una palanca está provista de un brazo efectivo de
89 cm de un brazo de carga efectivo de 3.3 cm.
¿Cuál es la ventaja mecánica si la eficiencia es: a)
casi del 100 %, b) 97%, c) 93 %?
79. Ejercicio
¿Qué carga puede levantar la palanca que se muestra en el dibujo suponiendo que la eficiencia
es cercana al 100% y que el hombre tiene una masa de 78 kg?
77
80. Ejercicio
Se requiere una palanca de segundo género con una VM de 7.0. La eficiencia es casi del 100%
y la longitud del brazo de carga debe ser de 15.7 cm. a) ¿A qué distancia del punto de apoyo
debe aplicarse el esfuerzo?; b) ¿Qué carga se moverá con un esfuerzo de 431.6N?
81. Ejercicio
Un minero necesita levantar una roca que pesa 400 kg (fuerza) con una palanca cuyo brazo de
palanca (a) mide 3 m, y el de resistencia (b) 70 cm, ¿qué fuerza se necesita aplicar para mover
la roca?
82. Ejercicio
¿Qué longitud tiene el brazo de palanca (a) de una carretilla, si al aplicarle una fuerza de 4 kgf
levanta una carga de 20 kgf de arena (R) y su brazo de palanca mide 0.20 m?
83. Ejercicio
La fuerza (F) que se aplica a unas cizallas es de 20 N, siendo su brazo de palanca a) de 60
cm. ¿Cuál será la resistencia de una lámina si se encuentra a 20 cm b) del punto de apoyo?
84. Ejercicio
Un columpio tiene una barra de 5m de longitud y en ella se sientan dos personas, una de 60kg.
Calcular en qué posición debe ubicarse le fulcro para que el columpio este en equilibrio
85. Ejercicio
Un mecanismo para poner tapones manualmente a las botellas
de vino es como se muestra en el esquema de la figura. Si la
fuerza necesaria para introducir un tapón en es 50N.
¿Qué fuerza es preciso ejercer sobre el mango?
78
 LA PÓLEA
Las poleas son ruedas que tienen el perímetro exterior diseñado especialmente para facilitar el
contacto con cuerdas o correas.
En toda polea se distinguen tres partes: cuerpo, cubo y garganta.
El cuerpo es el elemento que une el cubo con la garganta. En algunos tipos de poleas está
formado por radios o aspas para reducir peso y facilitar la ventilación de las máquinas en las
que se instalan. El cubo es la parte central que comprende el agujero, permite aumentar el
grosor de la polea para aumentar su estabilidad sobre el eje. Suele incluir un chavetero que
facilita la unión de la polea con el eje o árbol (para que ambos giren solidarios).
La garganta (o canal) es la parte que entra en contacto con la cuerda o la correa y está
especialmente diseñada para conseguir el mayor agarre posible. La parte más profunda recibe
el nombre de llanta. Puede adoptar distintas formas (plana, semicircular, triangular...) pero la
más empleada hoy día es la trapezoidal.
Las poleas empleadas para tracción y elevación de cargas tienen el perímetro acanalado en
forma de semicírculo (para alojar cuerdas), mientras que las empleadas para la transmisión de
movimientos entre ejes suelen tenerlo trapezoidal o plano (en automoción también se emplean
correas estriadas y dentadas)
Básicamente la polea se utiliza para dos fines: cambiar la dirección de una fuerza mediante
cuerdas o transmitir un movimiento giratorio de un eje a otro mediante correas.
79
 TIPOS DE POLEAS
 LA POLEA DE CABLE: es un tipo de polea cuya garganta (canal) ha sido diseñada
expresamente para facilitar su contacto con cuerdas, por tanto suele tener forma
semicircular. La misión de la cuerda (cable) es transmitir una potencia (un movimiento o
una fuerza) entre sus extremos.
El mecanismo resultante de la unión de una polea de cable con una cuerda se denomina
aparejo de poleas.
Esta polea podemos encontrarla bajo dos formas básicas: como polea simple y como polea de
gancho.

Polea simple
Una polea simple es, básicamente, una polea
que está unida a otro operador a través del
propio eje. Siempre va acompañada, al menos,
de un soporte y un eje.
El soporte es el que aguanta todo el conjunto y
lo mantiene en una posición fija en el espacio.
Forma parte del otro operador al que se quiere
mantener unida la polea (pared, puerta del
automóvil, carcasa del video...).
El eje cumple una doble función: eje de giro de
la polea y sistema de fijación de la polea al soporte (suele ser un tirafondo, un tornillo o un
remache).
Además, para mejorar el funcionamiento del conjunto, se le puede añadir un casquillo de
longitud ligeramente superior al grueso de la polea (para facilitar el giro de la polea) y varias
arandelas (para mejorar la fijación y el giro).
También es normal que la polea vaya dotada de un cojinete para reducir el rozamiento.
80
 Polea de gancho
La polea de gancho es una variación de la polea simple consistente en sustituir el soporte por
una armadura a la que se le añade un gancho; el resto de los elementos básicos (eje, polea y
demás accesorios) son similares a la anterior.
El gancho es un elemento que facilita la conexión de la "polea de gancho" con otros operadores
mediante una unión rápida y segura. En algunos casos se sustituye el gancho por un tornillo o
un tirafondo.
 El aparejo de poleas (combinación de poleas de cable y cuerda)
se emplea bajo la forma de polea fija, polea móvil o polipasto:
o La polea fija de cable se caracteriza porque su eje se mantiene
en una posición fija en el espacio evitando su desplazamiento.
Debido a que no tiene ganancia mecánica su única utilidad
práctica se centra en:
 Reducir el rozamiento del cable en los cambios de dirección
(aumentando así su vida útil y reduciendo las pérdidas de
energía por rozamiento)
 Cambiar la dirección de aplicación de una fuerza.
Se encuentra en mecanismos para el accionamiento de puertas automáticas, sistemas de
elevación de cristales de automóviles, ascensores, tendales, poleas de elevación de cargas... y
combinadas con poleas móviles formando polipastos.
Esta polea se emplea para tres utilidades básicas: Transformar un movimiento lineal continuo
en otro de igual tipo, pero de diferente dirección o sentido; reducir el rozamiento de las cuerdas
en los cambios de dirección y obtener un movimiento giratorio a partir de uno lineal continuo.
Las dos primeras son consecuencia una de la otra y la tercera es muy poco empleada.
81
 Modificar la dirección de un movimiento lineal y reducir el rozamiento de la cuerda en
los cambios de dirección.
Si queremos que el movimiento de la resistencia (el
objeto que queremos mover; "efecto") se realice en
dirección o sentido diferente al de la potencia (fuerza que
nosotros realizamos para mover el objeto; "causa") es
necesario que la cuerda que une ambas fuerzas (potencia
y resistencia) presente cambios de dirección en su
recorrido.
Esos cambios de dirección solamente pueden conseguirse
haciendo que el cable roce contra algún objeto que lo sujete;
pero en esos puntos de roce se pueden producir fricciones
muy elevadas que pueden llegar a deteriorar la cuerda y
producir su rotura.
Una forma de reducir este rozamiento consiste en colocar
poleas fijas de cable en esos puntos.
Por tanto, la polea fija de cable se emplea para reducir el rozamiento de la cuerda en los
cambios de dirección y la encontramos bajo la forma de polea simple de cable en mecanismos
para el accionamiento de puertas automáticas, sistemas de elevación de cristales de
automóviles, ascensores, tendales, poleas de elevación de cargas... y bajo la forma de polea
de gancho en los sistemas de elevación de cargas, bien aisladas o en combinación con poleas
móviles formando polipastos.
 Convertir movimiento lineal en giratorio
Al halar de la cuerda del aparejo se produce el giro de la polea, lo que puede aprovecharse
para conseguir que también gire el propio eje sin más que conectar polea y eje entre sí. Esta
utilidad es muy poco empleada en la actualidad, pero podemos encontrar una variación de ella
en los sistemas de arranque de los motores fueraborda.
La polea fija de cable es una polea simple, o una de gancho, cuyo eje no se desplaza cuando
tiramos de la cuerda que la rodea.
82
En estas poleas se distinguen los siguientes elementos tecnológicos básicos:
- Resistencia (R). Es el peso de la carga que queremos
elevar o la fuerza que queremos vencer.
- Tensión (T). Es la fuerza de reacción que aparece en el
eje de la polea para evitar que la cuerda lo arranque. Tiene
el mismo valor que la suma vectorial de la potencia y la
resistencia.
- Potencia (P). Es la fuerza que tenemos que realizar para
vencer la resistencia. Esta fuerza coincide la que queremos
vencer.
Las poleas de cable soportan una fuerza de reacción (Tensión, T) que se compensa con la
suma vectorial de las fuerzas de la Potencia (P) y la Resistencia (R). El funcionamiento de este
sistema técnico se caracteriza por:

Potencia y resistencia tienen la misma intensidad (valor numérico), por lo que el
mecanismo no tiene ganancia mecánica.

La cuerda soporta un esfuerzo de tracción igual al de la carga (por lo que este mecanismo
necesita emplear cuerdas el doble de resistentes que las empleadas para elevar la misma
carga con una polea móvil).

La potencia se desplaza la misma distancia que la carga (pues está unida directamente a
ella a través de la cuerda), pero en diferente dirección o sentido.
De lo anterior deducimos que la ventaja de emplear este mecanismo para elevar pesos solo
viene de la posibilidad de que podemos ayudarnos de nuestro propio peso corporal ejerciendo
la fuerza en dirección vertical hacia abajo, en vez de hacia arriba.
o
La polea móvil de cable es aquella que va unida a la carga y se desplaza con ella. Debido
a que es un mecanismo que tiene ganancia mecánica (para vencer una resistencia "R" es
necesario aplicar solamente una potencia "P" ligeramente superior a la mitad de su
valor “P > R/2") se emplea en el movimiento de cargas, aunque no de forma aislada, sino
formando parte de polipastos.
Debido a que es un mecanismo que tiene ganancia mecánica (empleando pequeñas potencias
se pueden vencer resistencias mayores), se emplea para reducir el esfuerzo necesario para la
elevación o el movimiento de cargas. Se suele encontrar en máquinas como grúas,
montacargas, ascensores...
Normalmente se encuentra formando parte de mecanismos más complejos denominados
polipastos.
83
La polea móvil no es otra cosa que una polea
de gancho conectada a una cuerda que tiene
uno de sus extremos anclados a un punto fijo
y el otro (extremo móvil) conectado a un
mecanismo de tracción.
Estas poleas disponen de un sistema armadura-eje que les permite permanecer unidas a la
carga y arrastrarla en su movimiento (al tirar de la cuerda la polea se mueve arrastrando la
carga).
En algunas versiones se montan varias
poleas sobre una misma armadura con
la finalidad de aumentar el número de
cuerdas y por tanto la ganancia
mecánica del sistema. En otras se
sustituye la armadura por una carcasa
metálica que recoge a la polea en su
interior, mejorando así la presentación
estética y la seguridad en su
manipulación.
En ellas se distinguen los siguientes elementos tecnológicos básicos:
 Resistencia (R). Es el peso de la carga que queremos elevar
o la fuerza que queremos vencer.
 Tensión (T). Es la fuerza de reacción que aparece en el punto
fijo para evitar que la cuerda lo arranque. Tiene el mismo valor
que la potencia.
 Potencia (P). Es la fuerza que tenemos que realizar para
vencer la resistencia. Esta fuerza es la única que nosotros
tenemos que aplicar, pues la tensión es soportada por el
punto de anclaje de la cuerda.
Podemos ver que la polea móvil está colgando de dos tramos de cuerda; además también
vemos que la resistencia (R) tira hacia abajo, mientras que la potencia (P) y la tensión (T) lo
hacen hacia arriba, por tanto, en este mecanismo la resistencia queda anulada o compensada
con las fuerzas de la potencia y la tensión, cumpliéndose que su suma vectorial es nula.
El funcionamiento de este sistema técnico se caracteriza por: Podemos elevar un objeto
pesado (resistencia, R) ejerciendo una fuerza (potencia, P) igual a la mitad del peso de la carga
(P = R/2). La otra mitad del peso (tensión) la soporta el otro extremo de la cuerda, que
permanece unido a un punto fijo (F = R/2).
84
La cuerda solamente soporta un esfuerzo de tracción equivalente a la mitad de la carga (T =
R/2). Por eso con este mecanismo se pueden emplear cuerdas la mitad de resistentes que en
el caso de emplear una polea fija.
La carga y la polea solamente se desplazan la mitad del recorrido (L/2 metros) que realiza el
extremo libre de la cuerda (L metros).
El inconveniente de este montaje es que para elevar la carga tenemos que hacer fuerza en
sentido ascendente, lo que resulta especialmente incómodo y poco efectivo. Para solucionarlo
se recurre a su empleo bajo la forma de polipasto (combinación de poleas fijas con móviles).
 EL POLIPASTO es una combinación de poleas fijas y
móviles. Debido a que tiene ganancia mecánica su principal
utilidad se centra en la elevación o movimiento de cargas. La
podemos encontrar en grúas, ascensores, montacargas,
tensores...
Se emplea en la elevación o movimiento de cargas siempre que
queramos realizar un esfuerzo menor que el que tendríamos
que hacer levantando a pulso el objeto.
Es una combinación de poleas fijas y móviles recorridas por una
sola cuerda que tiene uno de sus extremos anclado a un punto
fijo.
Los elementos técnicos del sistema son los siguientes:
 La polea fija tiene por misión modificar la dirección de la fuerza (potencia) que ejercemos
sobre la cuerda. El hecho de ejercer la potencia en sentido descendente facilita la elevación
de cargas, pues podemos ayudarnos de nuestro propio peso.
 La polea móvil tiene por misión proporcionar ganancia mecánica al sistema. Por regla
general, cada polea móvil nos proporciona una ganancia igual a 2.
 La cuerda (cable) transmite las fuerzas entre los diferentes elementos. Su resistencia a la
tracción ha de estar en función del valor de la resistencia y de la ganancia mecánica del
sistema, que a su vez depende del número de poleas móviles y de su combinación con las
fijas.
85
En este mecanismo la ganancia mecánica y el desplazamiento de la carga van en función
inversa: cuanto mayor sea la ganancia conseguida menor será el desplazamiento. La ganancia
de cada sistema depende de la combinación realizada con las poleas fijas y móviles, por
ejemplo, podremos obtener ganancias 2, 3 ó 4 según empleemos una polea fija y una móvil,
dos fijas y una móvil o una fija y dos móviles respectivamente, (F = R/2n).
Este sistema tiene el inconveniente de que la distancia a la que puede elevarse un objeto
depende de la distancia entre poleas (normalmente entre las dos primeras poleas, la fija y la
primera móvil). Para solucionarlo se recurre a mecanismos en los que varias poleas fijas y
móviles acoplados respectivamente en ejes comunes, son recorridos por la misma cuerda.
Para el caso de los polipastos (F = R/n).
 POLEA DE CORREA
 La polea de correa trabaja necesariamente como polea
fija y, al menos, se une a otra por medio de una correa, que
no es otra cosa que un anillo flexible cerrado que abraza
ambas poleas.
Este tipo de poleas tiene que evitar el deslizamiento de la
correa sobre ellas, pues la transmisión de potencia que
proporcionan depende directamente de ello. Esto obliga a que
la forma de la garganta se adapte necesariamente a la de la
sección de la correa empleada.
Básicamente se emplean dos tipos de correas: planas y trapezoidales.
86
 Las correas planas exigen poleas con el perímetro
ligeramente bombeado o acanalado, siendo las
primeras las más empleadas.
En algunas aplicaciones especiales también se emplean
correas estriadas y de sincronización que exigen la
utilización de sus correspondientes poleas.
 Las correas trapezoidales son las más empleadas existiendo una gran variedad de
tamaños y formas. Su funcionamiento se basa en el efecto cuña que aparece entre la correa
y la polea (a mayor presión mayor será la penetración de la correa en la polea y, por tanto,
mayor la fuerza de agarre entre ambas). Esto obliga a que la correa no apoye directamente
sobre la llanta de la garganta, sino solamente sobre las paredes laterales en forma de "V".
Su utilidad se centra en la transmisión de movimiento
giratorio entre dos ejes distantes; permitiendo aumentar,
disminuir o mantener la velocidad de giro, mientras
mantiene o invierte el sentido.
La podemos encontrar en lavadoras, ventiladores,
lavaplatos, pulidoras, videos, motocultores, cortadores de
carne, taladros, generadores de electricidad, cortadoras
de césped, transmisiones de motores, compresores,
tornos... en forma de multiplicador de velocidad, caja de
velocidades o tren de poleas.
87
 APLICACIONES DE POLEAS COMO MULTIPLICADORAS DE VELOCIDAD
Se emplea para transmitir un movimiento giratorio entre
dos ejes distantes permitiendo aumentar, disminuir o
mantener la velocidad de giro del eje conductor, al
tiempo que mantener o invertir el sentido de giro de los
ejes.
Este mecanismo es muy empleado en aparatos
electrodomésticos (neveras, lavadoras, lavavajillas...), electrónicos (aparatos de vídeo y audio,
disqueteras...) y en algunos mecanismos de los motores térmicos (ventilador, distribución,
alternador, bomba de agua...).
Normalmente los ejes tienen que ser paralelos, pero
el sistema también puede emplearse con ejes que
se cruzan en ángulos inferiores o iguales a 900.
El multiplicador de velocidad por poleas más
elemental que puede construirse emplea, al menos,
los siguientes operadores: dos ejes (conductor y
conducido), dos poleas fijas de correa (conductora y conducida), una correa y una base sobre
la que fijar todo el conjunto; a todo ello se le pueden añadir otros operadores como poleas
tensoras o locas cuya finalidad es mejorar el comportamiento del sistema.
La utilidad de cada operador es la siguiente:
 El eje conductor es el eje que dispone del movimiento que queremos trasladar o
transformar (en una lavadora sería el propio eje del motor).
 El eje conducido es el eje que tenemos que mover (en una lavadora sería el eje al que está
unido el bombo).
 Polea conductora es la que está unida al eje conductor.
 Polea conducida es la que está unida al eje conducido.
 La correa es un aro flexible que abraza ambas poleas y transmite el movimiento de una a
otra. Es interesante observar que los dos tramos de la correa no se encuentran soportando
el mismo esfuerzo de tensión: uno de ellos se encuentra bombeado (flojo) mientras que el
otro está totalmente tenso dependiendo del sentido de giro de la polea conductora (en la
figura se puede observar que el tramo superior está flojo mientras que el inferior esta tenso).
 La base es la encargada de sujetar ambos ejes y mantenerlos en la posición adecuada. En
algunas máquinas este operador dispone de un mecanismo que permite aumentar o
disminuir la distancia entre los ejes para poder tensar más o menos la correa.
Para aumentar la eficacia de este mecanismo se pueden añadir los operadores siguientes:
88
 La polea tensora es un
cilindro (u otra polea de
correa) que apoya sobre la
correa y permite aumentar su
tensión
adecuadamente.
Puede deslizarse sobre una
guía a la que se sujeta
mediante un tornillo que
también hace de eje.
 La polea loca puede ser una
polea como la anterior o estar
formada por dos poleas
solidarias de igual o diferente
diámetro que no mueven
ningún eje motriz. Permiten
enlazar
dos
correas
y
tensarlas,
multiplicar
velocidades,
modificar
la
dirección de las fuerzas...
 Relación de velocidades
La transmisión de movimientos entre dos ejes mediante poleas está en función de los
diámetros de estas, cumpliéndose en todo momento:
Dónde:
D1 Diámetro de la polea conductora
D2 Diámetro de la polea conducida
N1 Velocidad de giro de la Polea Conductora
N2 Velocidad de giro de la Polea Conducida
Definiendo la relación de velocidades (i) como:
Este sistema de transmisión de movimientos tiene importantes ventajas: mucha fiabilidad, bajo
coste, funcionamiento silencioso, no precisa lubricación, tiene una cierta elasticidad.
Como desventaja se puede apuntar que cuando la tensión es muy alta, la correa puede llegar a
salirse de la polea, lo que en algunos casos puede llegar a provocar alguna avería más seria.
89
 Posibilidades del multiplicador de velocidades
Teniendo en cuenta la relación de velocidades que se establece en función de los diámetros de
las poleas, con una adecuada elección de diámetros se podrá aumentar (D1 > D2), disminuir
(D1< D2) o mantener (D1=D2) la velocidad de giro del eje conductor en el conducido.

Disminuir de la velocidad de giro
Si la Polea conductora es menor que la
conducida, la velocidad de giro del eje conducido
será menor que la del eje conductor.

Mantener la velocidad de giro
Si ambas poleas tienen igual diámetro, las
velocidades de los ejes serán también iguales

Aumentar la velocidad de giro
Si la Polea conductora tiene mayor diámetro que
la conducida, la velocidad de giro aumenta.

Invertir el sentido de giro
Empleando poleas y correas también es posible invertir el sentido de giro de los dos ejes sin
más que cruzar las correas.
90
TALLER – PREGUNTA TIPO PRUEBAS SABER – DINÁMICA ROTACIONAL
1. Los puntos B y C de la figura están ubicados sobre la misma línea radial de un disco, que
gira uniformemente en torno a su centro 0.
O
B
C
Se puede afirmar que:
A)
B)
C)
D)
vB = vC
vB > vC
vB < vC
vB < vC
y
y
y
y
wB = wC
wB > wC
wB < wC
wB = wC
2. Un motociclista está dando vueltas dentro de una “jaula de la muerte”,
la cual es esférica de radio r como muestra la figura. La masa del
conjunto moto-motociclista es m.
La fuerza centrípeta F ejercida sobre el conjunto moto-motociclista en
el punto A es la mostrada en
A)
B)
C)
3. Si un ciclista pedalea a 60 r.p.m. en forma constante,
podemos afirmar que:
La rapidez circunferencial del plato y piñón son
iguales
II. La rapidez angular del piñón y de la rueda son
iguales
III. La rapidez angular del plato y la rueda son iguales
D)
Rueda
I.
Piñón
De estas afirmaciones es (son) verdadera (s):
A)
B)
C)
D)
Sólo I
Sólo II
Solo III
Sólo I y II
Plato
91
4. La esfera de un péndulo se suelta desde la posición A
indicada en la figura. En el punto 0 hay una barra delgada
que la obliga a moverse en la trayectoria descrita.
La grafica que mejor se representa la relación velocidad
tiempo es
A)
B)
D)
C)
5. Una viga uniforme tiene 4m de largo y peso
despreciable. Un objeto de 80Kg está situado a
1m del apoyo A, tal como lo muestra la gráfica:
Las reacciones en los apoyos A y B en Newton
son:
A) 40 y 40
B)
50 y 30
C)
20 y 60
D)
70 y 10
6. A rod is pivoted about its center. A 5N force is applied 4m from the pivot and another 5N
force is applied 2m from the pivot, as shown. The magnitude of the total torque about the
pivot (in Nm) is:
A) 0
B)
5
C) 26
D)
15
7. A force with a given magnitude is to be applied to a wheel. The torque can be maximized
by:
A) applying the force near the axle, radially outward from the axle
B) applying the force near the rim, radially outward from the axle
C) applying the force near the axle, parallel to a tangent to the wheel
D) applying the force at the rim, tangent to the rim
92
8. Un acto de circo consiste en que un payaso en
bicicleta se deja caer desde una altura (H) y sin
tener que pedalear da la vuelta completa en un
bucle de radio (R), como se muestra en la figura.
En el circo hay tres payasos: Pepini de 50 kg, Mecatin de 70 kg y Furny de 90 kg. La siguiente
tabla muestra los datos cuando dos payasos dan la vuelta o se caen.
Para que Mecatin pueda dar la vuelta sin caerse, debe lanzarse
A)
B)
C)
D)
desde una altura promedio de 16 m.
hacia un bucle de radio promedio de 2 m.
desde una altura inicial que sea el triple del radio del bucle.
hacia un bucle donde el radio sea la mitad de la altura inicial.
9. Si se considera que el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es circular y que tarda
28 días en recorrer su órbita, se puede afirmar que la Luna describe un movimiento circular
A) uniforme, porque su velocidad angular se incrementa linealmente con el tiempo.
B) uniforme, porque su velocidad angular permanece constante con el tiempo.
C) uniformemente acelerado, porque su velocidad angular permanece constante con el
tiempo.
D) uniformemente acelerado, porque su velocidad angular se incrementa linealmente con el
tiempo.
10. Un hombre que sostiene un peso m en una posición fija, el cual está suspendido por una
cuerda a una altura h sobre el suelo:
A)
B)
C)
D)
Realiza un trabajo mayor cuanto mayor es m y menor es h
Realiza un trabajo mayor cuanto menor es m y mayor es h
No realiza ningún trabajo.
El trabajo que está realizando depende de la altura h.
93
11. El sistema de poleas de la figura está elevando un peso P. la fuerza que
hay que hacer para que suba con velocidad constante es
A)
B)
C)
D)
P/2
P/4
P/8
P/16
12. En el sistema de poleas mostrado en la figura si se quiere elevar un
peso P a velocidad constante se debe hacer una fuerza de
A)
B)
C)
D)
P/2
P/4
P/8
P/16
13. En el caso de que el engranaje A girase en el sentido indicado en la figura.
Sobre el giro del engranaje B se puede decir que
A) No se puede determinar
B) Es indistinto hacia 1 o 2
C) Lo hará en el sentido 1
D) Lo hará en el sentido 2
14. Si el engranaje A gira en el sentido que marca la flecha, sobre el giro del engranaje D se
puede decir que
A) Lo hará en el sentido 1
B) Lo hará en el Sentido 2
C) No se puede determinar
D) Es indistinto hacia 1 o 2
15. Cuando el engranaje A gire en el sentido indicado, ¿en qué
dirección girará el engranaje B?
A)
B)
C)
D)
No se puede determinar
Indistintamente hacia 1 o 2
1
2
94
16. Si hacemos girar la polea en el sentido indicado, ¿en
qué sentido girará el ventilador?
A)
B)
C)
D)
1
2
Indistintamente hacia 1 o 2
17. ¿En qué sentido girará la polea B, en el supuesto de
que la polea A lo hiciese en el sentido que marca la
flecha?
A)
B)
C)
D)
No giraría
Sentido 1
Sentido 2
18. Observa el siguiente esquema
La rueda 1 gira en el sentido de las agujas
del reloj.
De acuerdo a lo anterior podemos afirmar
que
A) las ruedas 2 y 4 giran al contrario que las agujas del reloj y la rueda 3 igual que las
agujas del reloj.
B) las ruedas 2 y 3 giran al contrario que las agujas del reloj y la rueda 4 igual que las
agujas del reloj.
C) las ruedas 3 y 4 giran al contrario que las agujas del reloj y la rueda 2 igual que las
agujas del reloj.
D) las ruedas 2 y 3 giran al igual que las agujas del reloj y la rueda 4 gira al contrario que
las agujas del reloj.
95
19. Observa el siguiente esquema
Cada cuadrado pesa 1 kg y cada segmento de la palanca mide 1 m.
Donde la palanca se moverá
A)
B)
C)
D)
Hacia la izquierda, tienen el mismo peso pero el brazo es más largo
Hacia la derecha, tienen el mismo peso pero el brazo es más largo
Hacia la izquierda, aunque el brazo es más corto hay mucho más peso
Hacia la derecha, aunque el brazo es más corto hay mucho más peso
20. Si queremos empujar una puerta con el mínimo esfuerzo ¿en qué punto es conveniente
poner la mano para ejercer la potencia?
96
TALLER – PREGUNTA TIPO PRUEBAS SABER – DINÁMICA ROTACIONAL
HOJA DE RESPUESTA
Rellene el cuadro cuya letra es la respuesta correcta, con lapicero. Hacerlo en más de una
opción anula la respuesta (incluye cualquier marca) No se permiten tachones ni enmendaduras.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ASIGNATURA: FÍSICA
OPCIONES
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
NOMBRE:
GRADO:
CURSO:
FECHA:

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