Examen_2014

L3 PAPP 2013-2014
Électromagnétisme II
Épreuve du 30 avril 2014
Durée : 3 heures. Aucun document n’est autorisé. Les calculatrices sont interdites.
Les constantes, données et formules utiles sont rassemblées à la fin de l'énoncé.
Les réponses aux questions de cours et aux exercices seront rédigées sur des copies différentes.
I. Questions de cours
1)
Considérons un matériau plongé dans un champ magnétique. Nous pouvons écrire la
relation suivante : B = μ0 (H + M).
a)
b)
c)
d)
2)
On considère un gaz monoatomique. On suppose que ses atomes possèdent un spin
total S=1/2 et que la contribution orbitale au moment magnétique est nulle.
a)
b)
c)
3)
Calculer la susceptibilité paramagnétique χ. On traitera le spin comme un
moment angulaire quantique. Dans ce cas le moment magnétique atomique
est donné par Mz= -g µB Sz, où g=2 est le facteur de Landé et µB le magnéton
de Bohr. On vous rappelle que l'énergie magnétique de chaque atome,
lorsqu'on applique un champ magnétique B extérieur, est en général donnée
par W= - B·M. Faire un raisonnement statistique.
Sauriez-vous décrire une expérience capable de démontrer que la contribution
au moment magnétique dans ce gaz provient en effet d'un seul spin par
atome?
Sauriez-vous donner un ordre de grandeur de χ ?
Énoncer les équations de Maxwell.
a)
b)
4)
Quel sens physique donne-t-on au vecteur H ?
Réécrire la relation précédente en supposant que M = χ H
( χ est la susceptibilité magnétique) et en définissant la perméabilité
magnétique μr = 1 + χ.
Définir les matériaux magnétiques en fonction de χ,
et décrire une expérience permettant de les distinguer .
En utilisant alors le théorème de Gauss calculer le champ électrique à
l'intérieur et à l'extérieur d'une sphère métallique de rayon R et possédant une
charge Q.
En utilisant le théorème d'Ampère calculer le champ magnétique à l'intérieur
et à l'extérieur d'un solénoïde de longueur infinie, parcouru par un courant I et
avec densité linéaire de spires n.
Décrire la théorie phénoménologique de la supraconductivité des frères London, en
dérivant (de façon non rigoureuse!) les 2 équations liant la densité de courant
supraconducteur Js aux champs électrique E et magnétique B.
II. Exercices
1)
a)
Calculer le champ électrique E engendré par une charge uniformément distribuée à
l'intérieur d'une sphère de rayon R avec densité ρ. Donner une représentation
graphique de E(r), en supposant ρ= 8,85 10−6 C/m3 et R= 1 cm.
b)
On suppose maintenant que le noyau d'un
atome peut être considéré comme une charge
ponctuelle +Ze placée au centre d'un nuage
d'électrons, ce dernier étant modélisé par une
sphère de rayon R uniformément chargée, de
charge totale -Ze. Calculer la polarisation p de
l'atome soumis à un champ électrique extérieur
Eext et déterminer la susceptibilité électrique α.
Οn rappelle que p=ε0 α Eext et on interprétera p
comme un dipôle dont amplitude est p= Ze d
(voir figure). En sachant que pour l'hélium
gazeux α≈ 3.0× 10−30 m3, calculer le rayon R de
l'atome d'hélium. Commenter l'ordre de grandeur trouvé pour R.
2)
Une boucle circulaire de rayon R est parcourue par un courant i. Calculer le
champ magnétique B(z) produit sur l'axe de la boucle et calculer sa valeur
au centre de la boucle (z=0). Montrer que ce résultat vérifie le théorème
d'Ampère (considérer une boucle "infinie" ayant comme côté l'axe de la
boucle) .
Suggestion : exprimer B en fonction de θ et R.
3)
La figure montre la méthode de Gouy pour
mesurer la susceptibilité magnétique χ. Une
barrette cylindrique de rayon R= 2.5 mm est
pendue d'un côté d'une balance plongée entre
les pôles d'un aimant produisant un champ
magnétique horizontal B= 1 T. On constate
que la masse apparente de la barrette augmente
de 1,5 g. Calculer χ. Le matériau est-il
diamagnétique ou paramagnétique?
4)
Un électron orbite à vitesse constante v= ω0 r autour d'un proton, décrivant une trajectoire
circulaire de rayon r.
a)
b)
c)
d)
e)
Calculer le rapport gyromagnétique γ, entre le moment magnétique µ et le moment
cinétique L.
Montrer ensuite que la fréquence de précession d'un moment cinétique L plongé dans
eB
un champ magnétique B est donnée par ω L=
.
2m
On applique maintenant, orthogonalement au plan de l'orbite, un champ magnétique
uniforme qui a le même sens que L. Ce champ est initialement nul et augmente
jusqu'à atteindre la valeur B au temps tf. On constate que la vitesse angulaire de
l'électron augmente de ω0 à ω0 + ωL. Calculer la variation du moment magnétique
∆µ en fonction de B. On supposera que le rayon de l'orbite ne change pas pendant le
processus.
Déterminer la perméabilité magnétique associée à ce phénomène. De quel type de
phénomène s'agit-il en effet?
Pourriez-vous démontrer que le changement de rayon de l'orbite, négligé au point c),
peut être en effet considéré nul, même si la vitesse de rotation de l'électron est
évidement augmentée?
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Formules utiles :
tanh ( x)≃x si x≪1
Périmètre d'un cercle : 2π R, surface d'un cercle : π R2
Surface d'une sphère : 4π R2, volume d'une sphère : (4/3) π R3
La formule de Biot et Savart :
μ0 i dl×r
dB=
4π r 3
L'expression de la densité volumique de force :
f=
χ
∇ B2
2μ0
Moment magnétique d'une boucle de courant i enfermant une surface S, µ= S i
La variation d'un moment cinétique L dans un champ magnétique B est donnée par
dL
=μ ×B
dt
Données utiles :
ε0= 8.85 10-12 SI , µ0 = 4π 10-7 SI