TD 18 Induction bis - Le site de M. Barthes

PHYSIQUE
TD 18 Induction bis
Exercice 1
Une tension électrique ve (t) est transformé en signal sonore par le biais d’un haut-parleur.
La membrane et la bobine du haut parleur sont solidaires l’une de l’autre. L’ensemble est
appelé équipage mobile et sa masse est notée m. La bobine circulaire est réalisée par l’enroulement d’un fil de longueur ℓ = 2πNa. On pourra la considérer comme l’union de N spires
identiques de rayon a. L’équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k, d’axe
Oz. La bobine évolue dans l’entrefer d’un aimant imposant un champ magnétique radial.
alimentation
vue de profil
vue de face
y
ve
HP
B
eθ
er
i(t)
θ
O z
i
B
x
B
Du point de vue mécanique,
– on note respectivement z et v = v ⃗ez les positions et les vitesses de l’équipage mobile qui
se translate sans frottements solides ;
– on prendra z = 0 lorsque l’équipage mobile est au repos ;
– on note ⃗Fr la force de rappel élastique exercée par le ressort ;
– on note ⃗Ff = −f⃗v , la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses
déplacements dans l’air.
Du point de vue électrique,
– on notera R, la résistance du bobinage et L, son inductance ;
– un courant électrique d’intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l’effet de la
tension ve (t).
1 - Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane
de celui-ci. Expliquer qualitativement l’origine de ce mouvement ainsi que le mécanisme à la
base de l’émission sonore.
2 - À l’aide d’un schéma clair et détaillé d’un tronçon de spire, représenter et exprimer la
force élémentaire s’exerçant sur l’élément de courant d⃗ℓ. Calculer sa résultante, notée ⃗FL , sur
l’ensemble de la spire.
3 - Le mouvement de l’équipage mobile dans l’entrefer est responsable de l’apparition d’une
tension électrique e = vBℓ. Justifier qualitativement son existence. Établir un schéma électrique équivalent à la bobine en faisant apparaître, si nécessaire, les conventions employées.
4 - Établir l’équation différentielle électrique (E) que vérifie l’intensité i(t) du courant circulant dans la bobine alimentée par la tension ve (t).
5 - Établir l’équation différentielle (M) du mouvement de l’équipage mobile. On remarquera
que l’origine et l’orientation de l’axe Oz permet de simplifier certaines forces.
6 - Dans cette question, on s’intéresse à la réponse du système soumis à une excitation
électrique sinusoïdale de la forme :
ve = V0 cos ωt
Exprimer l’impédance du haut-parleur sous la forme Z = R + jLω + Zem , dans laquelle Zem
dépend de B, ℓ, f , m, k et ω. L’impédance du haut parleur permet d’écrire : v e = Zi.
M.Barthes
PHYSIQUE
♣♣♣
Solution
1 - Lorsque le haut parleur est alimenté, l’apparition d’un courant dans un champ magnétique va
générer une force de Laplace qui provoquera le mouvement de la membrane. Celle-ci déplaçant les
molécules d’air, il y aura une émission sonore.
2 - Le champ étant radial, la force de Laplace vaut
∫
⃗ ∧B
⃗FL = idℓ
⃗ = −iℓB ⃗ez
dl
B
I
FL
3 - Le mouvement d’un conducteur dans un champ magnétique va induire une f.e.m. dans le circuit.
D’après l’intégrale du champ électromoteur, on obtient
H
⃗ = vBℓ
⃗ dℓ
e = ⃗v ∧ B.
e
v
dl
B
i
ve
i
L
R
4 - D’après le schéma équivalent ci d-dessus, l’application de la loi des mailles conduit à
di
ve + e = Ri + L
dt
d’où
ve + vBℓ = Ri + L
di
dt
5 - Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, l’équipage mobile est soumis à
⃗;
– son poids P
⃗;
– la réaction du support R
– ⃗Fr la force de rappel élastique ;
– ⃗Ff la force de frottement fluide ;
– ⃗FL la résultante des forces de Laplace.
Le poids et la réaction du support sont perpendiculaires à l’axe Oz, le choix de l’origine de l’axe
permet de simplifier l’expression de ⃗Fr = −kz.
L’application du principe fondamental de la dynamique projeté selon Oz conduit à
maz = Frz + Ff z + FLz
d’où
m¨
z = −kz − f z˙ − iBℓ
6 - En notation complexe, les équations électromécaniques précédentes deviennent
M.Barthes
PHYSIQUE
{
soit
{
di
ve + vBℓ = Ri + L
dt
m¨
z = −kz − f z˙ − iBℓ

 v e = (R + jLω)i − vBℓ
Bℓ
 v = −i
jmω + k/jω + f
Ainsi,
→
v e + vBℓ = (R + jLω)i
v
jmωv = −k
− f v − iBℓ
jω
(
soit v e = R + jLω +
Zem =
)
B2 ℓ2
i
jmω + k/jω + f
B2 ℓ2
jmω + k/jω + f
♣♣♣
Exercice 2
D’après Centrale 06
On peut représenter un alternateur de bicyclette de la façon suivante :
⃗ tourne dans
– un aimant permanent, assimilable à un dipôle magnétique de moment M
le plan (O, y, z) en faisant avec l’axe (O, ⃗ey ) un angle θ = ωt , avec ω constante ;
– une bobine comportant N tours de fil, chaque tour étant assimilable à une spire de
rayon a , de résistance nulle et d’inductance négligeable est placée dans le plan (O, x, z)
, centrée en O , sa normale étant dans le sens de ⃗ey . Cette bobine, branchée en série
avec une résistance R représentant les lampes de la bicyclette, est parcourue par un
courant i(t).
bobine
x
z
n
θ
O
i
θ
y
R
S
θ
y
y
spire équivalente
1 - On note BM , la norme du champ magnétique crée par l’aimant suivant son axe au niveau
de la bobine. On supposera ce champ uniforme sur toute la section de la bobine. Soit UR la
tension maximale aux bornes de la résistance R. Calculer la puissance instantanée absorbée
par R. En déduire la puissance électrique moyenne < Pelec > absorbée par les lampes de la
bicyclette.
⃗ plongé dans un
2 - Rappeler l’expression du couple Γ exercé sur un dipôle magnétique M
⃗
champ magnétique extérieur B uniforme. En admettant que le champ créé par la bobine est
uniforme au niveau de l’aimant tournant, calculer le couple instantané qu’il faut appliquer
sur l’aimant pour que la vitesse angulaire ω de ce dernier soit constante, ainsi que la puissance mécanique instantanée fournie correspondante.
3 - Exprimer le rendement énergétique de l’alternateur ainsi modélisé en fonction de BM , M,
µ0 et a.
Données : champ au centre d’une bobine constituée de N spires jointives de rayon a par⃗ 0 = µ0 Ni(t)/2a ⃗ey où ⃗ey est l’axe de la bobine.
courue par un courant i(t) en son centre : B
♣♣♣
Solution
M.Barthes
PHYSIQUE
1 - Le flux de champ magnétique au niveau des N spires est donné par
⃗ M ) = Nπa2 BM cos ωt
ΦS (B
On en déduit que la tension aux bornes de la bobine est
UR = −
dΦS (BM )
= Nπa2 BM ω sin ωt
dt
La puissance instantanée est donc
Pelec = u2R /R = N2 π 2 a4 B2M ω 2 sin2 ωt
La puissance moyenne vaut
< Pelec >=
N2 π 2 a4 B2M ω 2
2
2 - Le couple est défini par
⃗Γ = M
⃗ ∧B
⃗ = MB0 sin θ
Le champ crée par la bobine en son centre est
Nµ0 i(t)
⃗
B(O)
=
2a
avec i(t) = UR /R.
Ainsi,
d’où
Γ=M×
Nµ0 i(t)
N2 a2 BM πµ0
sin ωt = M
ω sin2 ωt
2a
2a

2

 Pmeca = Γω = M N aBM πµ0 ω 2 sin2 ωt
2
N2 aBM πµ0 2


< Pmeca >= M
ω
4
3 - Le rendement de l’alternateur est défini par
< Pelec >
η=
< Pmeca >
d’où
η=
2µ0 πa3 BM
M
♣♣♣
M.Barthes