Mod`eles financiers en temps continu
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Mod`eles financiers en temps continu
Mod`eles financiers en temps continu G. Deelstra ULB Sommaire Introduction 1 1 Calcul Stochastique 1 1.1 Martingales en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Equi-int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Les r´esultats de Doob en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 D´efinitions: Mouvement brownien et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Des martingales classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Int´egration d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 D´efinition d’une int´egrale d’Itˆo: les deux premiers pas . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Le troisi`eme pas: l’Int´egrale d’Itˆo comme processus . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Le signe d’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’ int´egrale d’Itˆo . . . . . . . . . . . . 13 1.2 1.3 1.4 1.5 Localisation et l’int´egrale d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 L’int´egrale d’Itˆo sur L2LOC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Martingales locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3 Repr´esentation de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Formule d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Le cas le plus simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 La formule d’Itˆo g´en´erale unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.3 Formule d’Itˆo multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 i 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Equations diff´erentielles stochastiques (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.1 Existence et Unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Lemme de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.1 Cas de l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes g´en´eralis´ee . . . . 31 Th´eor`eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8.1 La condition de Novikov et martingales exponentielles . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8.2 Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8.3 La r`egle de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.8.4 Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Les th´eor`emes de repr´esentation comme martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9.1 Th´eor`emes pour martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9.2 Th´eor`emes pour des martingales locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Mod`eles en temps continu: Formules de Black et Scholes 39 2.1 Calcul stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Le mouvement brownien et l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Processus d’Itˆo et quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Arbitrage et valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1 Strat´egie de financement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.2 Arbitrage et mesure martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.3 Valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Formule de Black et Scholes: cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2 Equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) de Black et Scholes . . . . . . . . . . . 49 2.3.3 Probabilit´e risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.4 Calcul explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.5 Commentaires sur la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.6 Applications : Autres options dans le mod`ele de Black et Scholes. . . . . . . . . 61 Extensions de la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.1 Strat´egies de financement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.2 Les variables d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4.3 EDP de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4.4 Probabilit´e risque-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2 2.3 2.4 ii 3 Options exotiques 3.1 Les options a` barri`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Prix de la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H, pay´e a` la date d’´ech´eance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2 Valeur de la compensation pay´e au moment du franchissement . . . . . . . . . . 79 3.1.3 Valeur d’une down-and-in call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Autres options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Options li´ees au temps d’atteinte d’une barri`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.2 Les options avec temps d’occupation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2.3 Autres produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.4 Produits d´ependant d’une date interm´ediaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.1 3.2 4 G´en´eralit´es de mod`eles de taux d’int´erˆet stochastiques 92 4.1 G´en´eralit´es des mod`eles en temps continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2 Changement de num´eraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.3 Valorisation d’une option sur obligation a` coupons . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.4 Valorisation d’une option sur z´ero-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2 5 72 Le taux spot connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2.1 EDP de l’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2.2 Le mod`ele de Vasicek (1977). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Le mod`ele de Heath, Jarrow, Morton. 114 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2 Les mouvements de la structure des taux sous P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Le mod`ele sous la probabilit´e Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 Evaluation des actifs contingents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4.2 Principes d’´evaluation sous Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 iii 5.5 5.4.3 Des probabilit´es forward-neutres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4.4 Le mod`ele sous une probabilit´e forward-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Quelques exemples de valorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.1 Options europ´eennes sur z´ero-coupon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.2 Options sur obligation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5.3 Contrat forward et future. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5.4 Valorisation des swaps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.6 Swaps / Caps / Floors / Swaptions / Captions sur LIBOR+ Mod`eles de March´es. . . . . . 135 5.7 D´eriv´ees de taux d’´echanges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 R´ef´erences 152 iv Chapitre 1 Calcul Stochastique 1.1 1.1.1 Martingales en temps continu Equi-int´egrabilit´e D´efinition 1.1.1 Une collection C des variables al´eatoires est e´ qui-int´egrable si ρ (x) = supIE |Z| 1(|Z|>x) → 0 pour x → ∞. Z∈C Lemme 1.1.1 [Equi-int´egrabilit´e et convergence en L1 ] Soit (Zn )n une suite e´ qui-int´egrable telle que p.s. Zn → Z, alors IE [|Zn − Z|] → 0 pour n → ∞. D´emonstration (*)IE [|Z|] = IE |Z| 1(|Z|≤x) + IE |Z| 1(|Z|>x) ≤ x + lim inf IE |Zn | 1(|Zn |>x) ≤ x + ρ (x) =⇒ Z ∈ L1 . (*) |Zn − Z| ≤ |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) + |Zn | 1(|Zn |>x) + |Z| 1(|Zn |>x). Nous prenons l’esp´erance et e´ tudions les trois termes dans le membre a` droite: (1) |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) ≤ |Z| + x =⇒ L1 -int´egrable. Par le Th´eor`eme de la Convergence Domin´ee (TCD), nous trouvons que: 1 h i lim IE |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) = IE lim |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) = 0. n→∞ n→∞ (2) IE |Zn | 1(|Zn |>x) ≤ ρ (x) . (3) IE |Z| 1(|Zn |>x) ≤ IE [|Z|] . Par le Th´eor`eme de la Convergence Domin´ee (TCD), nous trouvons que: lim IE |Z| 1(|Zn |>x) ≤ ρ (x) . n→∞ En conclusion de (1), (2) et (3): IE [|Zn − Z|] → 0. Lemme 1.1.2 [Equi-int´egrabilit´e et esp´erance conditionelle] p.s. Soit Zn → Z et soit (Zn )n e´ qui-int´egrable. Alors L1 IE [Zn |G ] −→ IE [Z |G ] . IP D´emonstration IE [|IE [Zn |G ] − IE [Z |G ]|] ≤ IE [IE [|Zn − Z| |G ]] = IE [|Zn − Z|] → 0. Conditions d’´equi-int´egrabilit´e Lemme 1.1.3 [Lemme de la Vall´ee Poussin] Soit φ(x) x → ∞ pour x → ∞. Soit C une collection de variables al´eatoires telles que IE [φ (|Z|)] ≤ B < ∞ Alors C est e´ qui-int´egrable. 2 ∀Z ∈ C D´emonstration Supposons x tel que φ(y) y > 0 pour tout y ≥ x. Alors, i h |Z| 1(|Z|>x) ≤ IE |Z| 1|Z|>x = IE φ (|Z|) φ(|Z|) min n B o φ(y) ,y>x y → 0 pour x → ∞. 1.1.2 Les r´esultats de Doob en temps continu Un processus continu est tel que t → Xt (ω) est continu pour tout ω ∈ Ω0 ⊂ Ω avec P [Ω0 ] = 1. D´efinition 1.1.2 [Martingale en temps continu] Un processus (Mt )t≥0 (t ∈ IR) est une martingale par rapport a` une filtration {Ft }t si pour tout t 1) Mt est Ft -mesurable 2) Mt est int´egrable (donc IE [|Mt |] < ∞) 3) IE [Mt |Fs ] = Ms pour tout s < t. D´efinition 1.1.3 [Temps d’arrˆet en temps continu] Une variable al´eatoire τ a` valeurs dans IR+ ∪ {∞} est un temps d’arrˆet par rapport a` la filtration {Ft }t si {τ ≤ t} ∈ Ft pour tout t ≥ 0. D´efinition 1.1.4 [Processus arrˆet´e] Soit (Yt )t un processus adapt´e a` la filtration {Ft }t et soit τ un temps d’arrˆet. Le processus arrˆet´e a` l’instant τ , not´ee par (Ytτ )t ou (Yt∧τ )t est d´efinie par Ytτ (ω) = Yt∧τ (ω) (ω) ∀t. D´efinition 1.1.5 Une filtration {Ft } est dite de satisfaire aux conditions usuelles si ( F0 contient tous les ensembles de probabilit´e 0 ∀t ≥ 0 Ft = ∩ Fs (continu a` droite). s>t Dans la suite, nous supposons toujours que la filtration satisfait aux conditions usuelles 3 Th´eor`eme 1.1.1 [Th´eor`eme du temps d’arrˆet de Doob en temps continu, Doob’s continuous time stopping theorem] Soit (Mt )t une martingale continue par rapport a` la filtration {Ft }. Soit τ un temps d’arrˆet par rapport a` {Ft } . Alors le processus Xt = Mt∧τ est une martingale continue par rapport a` {Ft } . Th´eor`eme 1.1.2 (In´egalit´es maximales de Doob en temps continu) . Soit (Mt )t une sous-martingale continue non-n´egative et λ > 0. Alors pour tout p ≥ 1, on a ! λp IP sup Mt > λ {t:0≤t≤T } ≤ IE MTp (1.1) et, si MT ∈ Lp (dIP ) pour un p > 1, alors p kMT kp . sup Mt ≤ {t:0≤t≤T } p−1 p 4 (1.2) 1.2 1.2.1 Le mouvement brownien D´efinitions: Mouvement brownien et processus gaussiens D´efinition 1.2.1 (Mouvement brownien) Un processus stochastique {Bt : 0 ≤ t < T } en temps continu est un mouvement brownien standard sur [0, T ) si (1) B0 = 0. (2) Les accroissements de Bt sont ind´ependants, c’est-`a-dire que pour tout ensemble fini de dates 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn < T, les variables al´eatoires Bt2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , ..., Btn − Btn−1 sont ind´ependantes. (3) Pour tout 0 ≤ s < t ≤ T , les accroissements Bt − Bs ont une loi gaussienne de moyenne 0 et variance t − s. (4) Bt (ω) est une fonction continue de t pour presque tout ω. D´efinition 1.2.2 (Processus gaussiens) Si un processus stochastique {Xt : 0 ≤ t < ∞} a la propri´et´e que le vecteur (Xt1 , Xt2 , ..., Xtn ) a une distribution gaussienne multivari´ee pour toute suite finie 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn , alors {Xt } est un processus gaussien. Exemple mouvement brownien. Remarque 1.2.1 Calculons la fonction de covariance d’un mouvement brownien. Pour tout s ≤ t : cov (Bs , Bt ) = IE [(Bt − Bs + Bs ) Bs ] = IE Bs2 = s =⇒ cov (Bs , Bt ) = min (s, t) 0 ≤ s, t < ∞. Lemme 1.2.1 Soit {Xt : 0 ≤ t ≤ T } un processus gaussien avec IE [Xt ] = 0 pour tout 0 ≤ t ≤ T et soit cov (Xs , Xt ) = min (s, t) pour tout 0 ≤ s, t ≤ T , alors le processus {Xt } a des accroissements ind´ependants. De plus, si le processus a des trajectoires continues et X0 = 0, alors {Xt }t est un mouvement brownien standard sur [0, T ] . 5 1.2.2 Des martingales classiques Th´eor`eme 1.2.1 1) (Bt )t 2) Bt2 − t t 3) exp αBt − α2 t/2 t sont des martingales classiques par rapport a` la filtration brownienne {Ft }t , qui est la famille de soustribus σ (Bs , s ≤ t) compl´et´ee par adjonction des ensembles n´egligeables. D´emonstration 1) Bt Ft -mesurable, IE Bt2 = t < ∞, IE [Bt − Bs |Fs ] = 0 parce que IE [Bt − Bs ] = 0. 2) Bt2 − t Ft -mesurable, IE Bt2 − t ≤ IE[Bt2 ] + t = 2t, h i IE Bt2 − t |Fs = IE (Bt − Bs )2 − Bs2 + 2Bt Bs − t |Fs h i = IE (Bt−s )2 |Fs − t − Bs2 + 2Bs2 = t − s − t + Bs2 . 3) IE exp αBt − α2 t/2 |Fs h i 2 2 = IE exp α (Bt − Bs ) − α2 (t − s) |Fs exp αBs − α2 s 2 2 = IE [exp (αBt−s )] exp − α2 (t − s) exp αBs − α2 s 2 = exp αBs − α2 s . 6 1.3 Int´egration d’Itˆo 1.3.1 D´efinition d’une int´egrale d’Itˆo: les deux premiers pas Notations β [0, T ] = Borel sets de [0, T ] = la plus petite tribu qui contient tous les sous-ensembles ouverts de [0, T ] . {Ft }t la filtration brownienne standard. ∀t Ft ⊗ β = la plus petite tribu contenant les ensembles produit A × B o`u A ∈ Ft et B ∈ β. On dit que f (., .) est mesurable si f (., .) est FT ⊗ β-mesurable. On dit que f (., .) est adapt´e si f (., t) ∈ Ft , ∀t ∈ (0, T ). But de la section Le but est de d´efinir: I (f ) (ω) = RT 0 f (ω, t) dBt . Nous allons d’abord nous concentrer sur des int´egrands de la classe H 2 = H 2 [0, T ] avec n hR i o T H 2 [0, T ] = f fonctions mesurables adapt´ees telles que IE 0 f 2 (ω, t) dt < ∞ . H 2 est un sous-espace ferm´e lin´eaire de L2 (dIP × dt) . Si f = 1(a,b] avec (a, b] ⊂ [0, T ], alors l’int´egrale est d´efinie par: Z b dBt = Bb − Ba . I (f ) (ω) = (1.3) a Parce qu’on veut que l’int´egrale soit lin´eaire pour la classe H02 ⊂ H 2 avec H02 = n−1 P fonctions mesurables adapt´ees telles que f (ω, t) = ai (ω) 1(ti <t≤ti+1 ) , i=0 2 avec ai ∈ Fti , IE ai < ∞ et 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T 7 (1.4) on introduit la d´efinition suivante: ∀f ∈ H02 : I (f ) (ω) = n−1 X ai (ω) Bti+1 − Bti . (1.5) i=0 Nous allons maintenant e´ tendre la d´efinition pour toutes les fonctions de H 2 . Pour cette extension, on va d’abord d´emontrer que I : H02 −→ L2 (dIP ) est une application continue. Lemme 1.3.1 (L’isom´etrie d’Ito sur H02 ) ∀f ∈ H02 , nous avons kI (f )kL2 (dIP ) = kf kL2 (dIP ×dt) . D´emonstration On calcule d’abord kf k2L2 (dIP ×dt) . Pour f de la forme (1.4), c’est-`a-dire f (ω, t) = n−1 P i=0 ai 1(ti <t≤ti+1 ) avec ai ∈ Fti , IE a2i < ∞ et 0 = t0 < t1 < ... < tn = T , on a que f 2 (ω, t) = n−1 P i=0 a2i (ω) 1(ti <t≤ti+1 ) de telle sorte que IE hR T 0 i n−1 P 2 f 2 (ω, t) dt = IE ai (ti+1 − ti ) . i=0 Calculons maintenant kI (f )k2L2 (dIP ) : " 2 # n−1 h h i n−1 2 i P P IE I (f )2 = IE ai (ω) Bti+1 − Bti = IE a2i Bti+1 − Bti i=0 i=0 8 parce que les produits doubles ont une esp´erance nulle. Ensuite, puisque Bti+1 − Bti est ind´ependant de ai ∈ Fti , nous concluons que h i n−1 P 2 IE ai (ti+1 − ti ) . IE I (f )2 = i=0 Lemme 1.3.2 (H02 est dense en H 2 ) Pour toute fonction f ∈ H 2 , il existe une suite {fn } avec fn ∈ H02 telle que kf − fn kL2 (dIP ×dt) −→ 0 pour n −→ ∞. Cons´equences Pour tout f ∈ H 2 , il existe une suite {fn } ⊂ H02 telle que fn converge vers f dans L2 (dIP × dt) . Pour tout n, les int´egrales I (fn ) sont des e´ l´ements bien-d´efinis dans L2 (dIP ) donn´es par (1.5). L’id´ee est de d´efinir I (f ) comme la limite de la suite I (fn )n dans L2 (dIP ) I (f ) = lim (I (fn )) n→∞ o`u I (f ) ∈ L2 (dIP ) et la convergence est telle que kI (f ) − I (fn )kL2 (dIP ) → 0. Nous allons maintenant v´erifier si ceci est une bonne d´efinition: * kf − fn kL2 (dIP ×dt) → 0 implique que (I (fn ))n converge dans L2 (dIP ) : En effet, d’abord la convergence de f − fn a` 0 dans L2 (dIP × dt) nous dit que {fn } est une suite de Cauchy dans L2 (dIP × dt) . Apr`es, l’isom´etrie d’Itˆo nous dit que {I (fn )} est une suite de Cauchy dans L2 (dIP ) . Parce que L2 (dIP ) est un espace m´etrique complet, la suite de Cauchy (I (fn ))n converge vers un e´ l´ement de L2 (dIP ), que nous notons I(f ). * Est-ce qu’I est bien d´efinie dans le sens que: si (fn0 )n est une autre suite telle que 9 kf − fn0 kL2 (dIP ×dt) → 0, est-ce qu’I (fn0 ) poss`ede alors la mˆeme limite dans L2 (dIP ) que I (fn )? La r´eponse est oui parce que kfn − fn0 kL2 (dIP ×dt) → 0 grˆace a` l’in´egalit´e triangulaire, et l’isom´etrie d’Itˆo implique que kI (fn ) − I (fn0 )kL2 (dIP ) → 0. Th´eor`eme 1.3.1 (Isom´etrie d’Itˆo sur H 2 [0, T ]) Pour f ∈ H 2 [0, T ], on a que kI (f )kL2 (dIP ) = kf kL2 (dIP ×dt) . D´emonstration D’abord, on choisit (fn )n ∈ H02 telles que kfn − f kL2 (dIP ×dt) → 0 pour n → ∞. L’in´egalit´e triangulaire pour la norme de L2 (dIP × dt) nous dit que kfn kL2 (dIP ×dt) → kf kL2 (dIP ×dt) . L2 (dIP ) De fac¸on analogue, puisque (I (fn ))n −→ I (f ), l’in´egalit´e triangulaire implique que kI (fn )kL2 (dIP ) → kI (f )kL2 (dIP ) . Mais on sait que sur H02 : kI (fn )kL2 (dIP ) = kfn kL2 (dIP ×dt) , donc l’unicit´e de la limite compl`ete la d´emonstration. RT Rappelons-nous la notation I(f ) = 0 f (ω, u)dBu . 10 1.3.2 Le troisi`eme pas: l’Int´egrale d’Itˆo comme processus I : H 2 → L2 (dIP ) e´ tait int´eressant et pratique mais on a en fait besoin d’une application qui envoie un processus vers un processus. On va introduire une variable de temps. On utilise pour ceci une fonction de troncature mt ∈ H 2 [0, T ] d´efini par: mt (ω, s) = si s ∈ [0, t] sinon. 1 0 Pour f ∈ H 2 [0, T ] , le produit mt f ∈ H 2 [0, T ] de L2 (dIP ) . ∀t ∈ [0, T ], donc I (mt f ) est un e´ l´ement bien-d´efini Maintenant, on va construire la martingale continue Xt telle que ∀t ∈ [0, T ], on a IP (Xt = I (mt f )) = 1. Le processus {Xt , t ∈ [0, T ]} est la version de l’int´egrale d’Itˆo comme processus. Th´eor`eme 1.3.2 (Int´egrales d’Itˆo comme martingales) Pour tout f ∈ H 2 [0, T ], il existe un processus {Xt , t ∈ [0, T ]} qui est une martingale continue par rapport a` la filtration brownienne standard (Ft )t telle que l’´ev´enement {ω : Xt (ω) = I (mt f ) (ω)} a une probabilit´e 1 pour tout t ∈ [0, T ] . 1.3.3 Le signe d’int´egrale Pour tout f ∈ H 2 [0, T ] et si {Xt : 0 ≤ t ≤ T } est une martingale continue telle que IP [Xt = I (mt f )] = 1 pour tout 0 ≤ t ≤ T , on e´ crit: 11 Xt (ω) = Rt 0 Rt 0 ∀0≤t≤T f (ω, s) dBs f (ω, s) dBs est une notation pour ce qui est bien d´efini dans le membre de gauche. Mais la notation n’est pas mal choisie parce que f∈ H2 R t 0 f =⇒ IE (ω, s) dBs 2 = IE hR t 2 0 f (ω, s) ds i ∀t ∈ [0, T ] . Et en plus: Proposition 1.3.1 Pour tout b ∈ H 2 et pour tout 0 ≤ s ≤ t, on a que "Z IE # 2 t b (ω, u) dBu |Fs Z t 2 b (ω, u) du |Fs . = IE (1.6) s s D´emonstration L’´egalit´e (1.6) est e´ quivalente a` ∀A ∈ Fs : 2 h R i Rt t IE 1A s b (ω, u) dBu = IE 1A s b2 (ω, u) du . Ceci est vrai par le Th´eor`eme 1.3.1 pour l’int´egrand modifi´e: ∧ b (ω, u) = 0 1A b (ω, u) u ∈ [0, s) ∪ (t, T ] u ∈ [s, t] 12 1.3.4 Interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’ int´egrale d’Itˆo Th´eor`eme 1.3.3 (interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’int´egrale d’Itˆo sur H 2 ) Si f ∈ H 2 est born´ee et si ν est un temps d’arrˆet tel que f (ω, s) = 0 pour presque tout ω ∈ {ω : s ≤ ν}, alors Xt (ω) = Rt 0 f (ω, s) dBs = 0 pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} . Th´eor`eme 1.3.4 (Persistance de l’identit´e sur H 2 ) Si f et g ∈ H 2 et si ν est un temps d’arrˆet tel que f (ω, s) = g (ω, s) pour presque tout ω ∈ {ω : s ≤ ν}, alors les int´egrales Xt (ω) = Rt 0 f (ω, s) dBs et Yt (ω) = sont e´ gales pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} . 13 Rt 0 g (ω, s) dBs 1.4 Localisation et l’int´egrale d’Itˆo Soit f : IR → IR une fonction continue, alors RT 0 f (Bt ) dBt devrait exister. Jusqu’`a maintenant elle est d´efinie pour des int´egrands qui satisfont IE hR T 0 i f 2 (Bt ) dt < ∞. =⇒ On va encore e´ largir le domaine de l’int´egrale stochastique en utilisant la m´ethode de localisation. 1.4.1 L’int´egrale d’Itˆo sur L2LOC L2LOC = L2LOC [0, T ] est la classe des fonctions mesurables, adapt´ees f : Ω × [0, T ] → IR telles que IP hR T 0 i f 2 (ω, t) dt < ∞ = 1. Donc, ∀g : IR → IR continue, on a que f (ω, t) = g (Bt ) ∈ L2LOC parce que la continuit´e du mouvement brownien implique que ∀ω : t 7−→ g (Bt (ω)) est une fonction born´ee sur [0, T ] . D´efinition 1.4.1 Une suite croissante de temps d’arrˆet (νn )n est appel´ee une suite de localisation en H 2 [0, T ] pour f pourvu que fn (ω, t) = f (ω, t) 1(t≤νn ) ∈ H 2 [0, T ] et que IP h ∞ i ∪ {ω, νn = T } = 1. n=1 14 ∀n L’espace L2LOC est le domain naturel pour l’int´egrale d’Itˆo parce que chaque f ∈ L2LOC a une suite de localisation. Proposition 1.4.1 (Localisation en L2LOC ) Pour tout f ∈ L2LOC [0, T ], la suite d´efinie par Rs νn = inf s : 0 f 2 (ω, t) dt ≥ n ou s ≥ T est une suite de localisation en H 2 [0, T ] pour f . D´emonstration On a que ∞ n R o T ∪ {ω, νn = T } = ω : 0 f 2 (ω, t) dt < ∞ n=1 et pour f ∈ L2LOC : i h R T IP ω : 0 f 2 (ω, t) dt < ∞ = 1. De plus, par d´efinition de νn , on a que kfn k2L2 (dIP ×dt) ≤ n, pour fn (ω, t) = f (ω, t) 1(t≤νn ) donc fn ∈ H 2 ∀n. “The L2LOC extension in a nutshell” Pour chaque f ∈ L2LOC : ∃ {νn } une suite de localisation de f . On prend gn (ω, s) = f (ω, s) 1(s≤νn (ω)) et ∀n, on prend pour {Xt,n } la martingale continue unique sur [0, T ] qui est une version de l’int´egrale d’Itˆo I (mt gn ) . On d´efinira l’int´egrale d’Itˆo de f ∈ L2LOC [0, T ] comme le processus donn´e par la limite des processus {Xt,n } pour n → ∞. En particulier, on d´emontre qu’il existe un processus continu unique {Xt : 0 ≤ t ≤ T } tel que 15 IP Xt = lim Xt,n = 1 pour tout t ∈ [0, T ] . n→∞ Pour f ∈ L2LOC on d´efinit l’int´egrale d’Itˆo, not´ee Rt 0 Rt 0 f (ω, s) dBs , par cette limite X(t): f (ω, s) dBs ≡ Xt (ω) ∀t ∈ [0, T ] . Persistance de l’identit´e en L2LOC Proposition 1.4.2 Soient f et g des e´ l´ements de L2LOC et soit ν un temps d’arrˆet tel que f (ω, s) = g (ω, s) pour tout ω ∈ {0 ≤ s ≤ ν} . Alors, les int´egrales Xt (ω) = Rt 0 f (ω, s) dBs et Yt (ω) = sont e´ gales pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} . 16 Rt 0 g (ω, s) dBs 1.4.2 Martingales locales. D´efinition 1.4.2 (Martingale locale) Soit {Mt } un processus adapt´e a` la filtration {Ft }t pour tout 0 ≤ t ≤ T. Alors {Mt , 0 ≤ t ≤ T } est appel´e une martingale locale s’il existe une suite croissante {τk } de temps d’arrˆet telle que τk → T avec probabilit´e 1 pour k → ∞ et telle que ∀k, le processus d´efini par (k) Mt = Mt∧τk − M0 pour t ∈ [0, T ] est une martingale par rapport a` la filtration {Ft }0≤t≤T . Proposition 1.4.3 (Les int´egrales d’Itˆo sur L2LOC sont des martingales locales) ∀f ∈ L2LOC [0, T ], il existe une martingale locale continue Xt telle que Rt IP Xt (ω) = 0 f (ω, s) dBs = 1. En plus, on peut prendre pour la suite de localisation o n R t τn (ω) = inf t : 0 f 2 (ω, s) ds ≥ n ou t ≥ T . D´emonstration Ceci r´esulte de la construction de l’int´egrale d’Itˆo en remarquant que fk (ω, s) = f (ω, s)1(s≤τk ) ∈ H 2 . 17 Proposition 1.4.4 (Doob’s optimal stopping time theorem) Soit Xt une martingale locale continue et τ un temps d’arrˆet. Alors Yt = Xt∧τ est une martingale locale continue. D´emonstration Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que X0 = 0. Par hypoth`ese, il existe une suite croissante de temps d’arrˆet τk avec τk → T p.s. telle que Xt∧τk est une martingale pour tout k. Alors Yt∧τk = X(t∧τ )∧τk = X(t∧τk )∧τ et parce que (Xt∧τk )0≤t<∞ est une vraie martingale, le th´eor`eme des temps d’arrˆet nous dit que X(t∧τk )∧τ : 0 ≤ t < ∞ est aussi une martingale. Par cons´equent, {Yt∧τk ; 0 ≤ t < ∞} est une martingale pour tout k, et puisque τk est une suite croissante de temps d’arrˆet avec τk → T p.s., on voit que Yt = Xt∧τ est une martingale locale. Proposition 1.4.5 Soit Xt une martingale locale continue et B une constante telle que |Xt | ≤ B pour tout t ≥ 0. Alors Xt est une martingale. D´emonstration Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que X0 = 0. Il existe une suite (non-d´e)croissante de temps d’arrˆet telle que Xt∧τk est une martingale ∀k et telle que {τk } ↑ T. ∀s ≤ t : IE [Xt∧τk |Fs ] = Xs∧τk . Parce que τk → T p.s., on a que Xs∧τk → Xs et Xt∧τk → Xt p.s. Parce que |Xt∧τk | ≤ B < ∞ la convergence domin´ee. ∀k, on peut passer a` la limite des deux cˆot´es et appliquer le th´eor`eme de 18 Proposition 1.4.6 Toute martingale locale continue {Xt : 0 ≤ t ≤ T } non-n´egative avec IE [|X0 |] < ∞, est une sur-martingale, et si IE [XT ] = IE [X0 ], alors {Xt , 0 ≤ t ≤ T } est une martingale. D´emonstration Soit {τn } une suite de localisation. Alors Xs∧τn = IE [Xt∧τn |Fs ] ∀0 ≤ s ≤ t ≤ T. Par le lemme de Fatou pour n → ∞ : Xs ≥ IE [Xt |Fs ] ∀0 ≤ s ≤ t ≤ T et par cons´equent {Xt }0≤t≤T est une sur-martingale. Si on prend des esp´erances, on trouve que IE [Xs ] ≥ IE [Xt ] pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Donc en particulier IE [X0 ] ≥ IE [Xs ] ≥ IE [Xt ] ≥ IE [XT ] ∀0 ≤ s ≤ t ≤ T. Si IE [X0 ] = IE [XT ], on a e´ galit´e partout. Si maintenant Xs > IE [Xt |Fs ] sur un ensemble de probabilit´e > 0, alors IE [Xs ] > E [Xt ] . Donc n´ecessairement p.s. Xs = IE [Xt |Fs ] pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T. 19 1.4.3 Repr´esentation de Riemann Th´eor`eme 1.4.1 Pour toute f : IR → IR continue, si on prend la partition de [0, T ] donn´ee par ti = i Tn avec 0 ≤ i ≤ n, on a que lim n→∞ n X f Bti−1 Z Bti − Bti−1 = T f (Bs ) dBs (1.7) 0 i=1 o`u la limite est prise au sens de la convergence en probabilit´e. Proposition 1.4.7 (Int´egrales gaussiennes) Soit f ∈ C[0, T ], alors le processus d´efini par Z t f (s)dBs pour tout t ∈ [0, T ] Xt = 0 est un processus gaussien de moyenne z´ero avec des incr´ements ind´ependants et avec comme fonction de covariance Z s∧t f 2 (u)du. cov(Xs , Xt ) = 0 ∗ De plus, si nous consid´erons la partition de [0, T ] donn´ee par ti = iT n pour 0 ≤ i ≤ n et ti ∈ [ti−1 , ti ], alors Z T n X ∗ f (s)dBs , lim f (ti ) Bti − Bti−1 = n→∞ 0 i=1 o`u la limite est au sense de la convergence en probabilit´e. 20 1.5 1.5.1 Formule d’Itˆo Le cas le plus simple Th´eor`eme 1.5.1 (Le cas le plus simple) Soit f : IR → IR t Z ∈ C 2 (IR, IR), alors p.s. ∀t ∈ [0, T ] 1 f (Bs ) dBs + 2 Z 1) Supposons d’abord que f est a` support compact. Pour ti = it n f (Bt ) = f (0) + 0 0 t f 00 (Bs ) ds. (1.8) 0 D´emonstration f (Bt ) − f (0) = n P pour 0 ≤ i ≤ n, nous consid´erons f (Bti ) − f Bti−1 i=1 telle que f (Bti )−f Bti−1 suffisamment petit pour appliquer une approximation de Taylor par 2 termes. Si f ∈ C 2 est a` support compact, alors ∀x, y ∈ IR : f (y) − f (x) = (y − x) f 0 (x) + 12 (y − x)2 f 00 (x) + r (x, y) o`u |r (x, y)| ≤ (y − x)2 h (x, y) ∀x. o`u h est uniform´ement continue, born´ee et h (x, x) = 0 Alors: f (Bt ) − f (0) = An + Bn + Cn avec An = Bn = |Cn | ≤ 1 2 n P f 0 Bti−1 i=1 n P i=1 n P f 00 Bti−1 Bti − Bti−1 i=1 21 Bti − Bti−1 Bti − Bti−1 2 2 h Bti−1 , Bti . Parce que f 0 est continue, la repr´esentation de Riemann implique que IP An → Nous reformulons Bn = Bn = n 1 P 00 f 2 i=1 n 1 P 00 f 2 i=1 Bti−1 Rt 0 f 0 (Bs ) dBs . Bti − Bti−1 2 comme somme centr´ee o n n 2 P Bti−1 (ti − ti−1 ) + 12 f 00 Bti−1 Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 ) . i=1 Grˆace a` la continuit´e de f 00 (Bs (ω)) en s, le premier terme converge vers une int´egrale ordinaire pour tout ω lim n P Rt f 00 Bti−1 (ti − ti−1 ) = 0 f 00 (Bs ) ds. n→∞i=1 ∧ D´esignons le deuxi`eme terme par B n , alors par l’orthogonalit´e des termes: 2 n o2 ∧ 2 n 2 1X IE f 00 Bti−1 Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 ) IE B n = 4 i=1 n n o2 2 1 2 X IE Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 ) ≤ f 00 ∞ 4 i=1 t2 f 00 2 = ∞ 2n o`u nous avons utilis´e le fait que Bti − Bti−1 v N (0, t/n) . Donc V ar ∧ Bti − Bti−1 2 = 2t2 . n2 IP Par l’in´egalit´e de Markov, il est clair que B n → 0 parce que 2 ∧ IE B n ≤ t2 2n 22 kf 00 k2∞ . n P Concentrons-nous maintenant sur |Cn | ≤ Bti − Bti−1 2 h Bti−1 , Bti . i=1 L’in´egalit´e de Cauchy implique que: IE [|Cn |] ≤ n P h Bti − Bti−1 IE h IE 4 i1/2 1/2 IE h2 Bti−1 , Bti i=1 et on remarque que a) Bti − Bti−1 v N (0, t/n) et donc: b) que h (x, x) = 0 Bti − Bti−1 4 i = 3t2 . n2 ∀x et que h est uniform´ement continue, et donc ∀ε > 0 ∃ δ = δ (ε) tel que |h (x, y)| ≤ ε pour tout x, y avec |x − y| ≤ δ. Donc IE h2 Bti−1 , Bti ≤ ε2 + khk2∞ IP Bti − Bti−1 ≥ δ h 2 i ≤ ε2 + khk2∞ δ −2 IE Bti − Bti−1 t = ε2 + khk2∞ δ −2 . n Les r´esultats a) et b) impliquent que IE [|Cn |] ≤ n 3t2 n2 1/2 ε2 + khk2∞ δ −2 nt Donc ∀ε > 0, lim IE [|Cn |] ≤ √ n→∞ et par cons´equent: IE [|Cn |] → 0 et par l’in´egalit´e de Markov: 23 3tε 1/2 IP Cn → 0. Choississons maintenant des sous-suites Anj , Bnj et Cnj qui convergent presque sˆurement. Alors (1.8) est satisfait presque sˆurement pour chaque t. Si on consid`ere tous les rationnels et si on observe que le membre de gauche et celui de droite de (1.8) sont continus, on conclut qu’il existe un Ω0 avec IP (Ω0 ) = 1 sur lequel (1.8) est vraie pour tous les t ∈ [0, T ]. 2) Traitons maintenant le cas g´en´eral: Nous rappelons que pour tout f ∈ C 2 (IR), il existe fM ∈ C 2 a` support compact tel que 0 (x) et f 00 (x) = f 00 (x) f (x) = fM (x), f 0 (x) = fM M pour tout |x| ≤ M. On sait que fM (Bt ) − fM (0) = Rt 0 0 fM (Bs ) dBs + 1 2 Rt 00 (B ) ds fM s 0 p.s.. Prenons τM = min {t : |Bt | ≥ M ou t ≥ T } . Alors pour tout ω ∈ {s ≤ τM }, on a que 0 (B ) f 0 (Bs ) = fM s et par la persistance de l’identit´e en L2LOC , on a que Rt 0 f 0 (Bs ) dBs = Rt 0 0 (B ) dB pour p.t. ω ∈ {t ≤ τ } . fM s s M Il est e´ vident que pour ω ∈ {t ≤ τM }, on a Rt 0 f 00 (Bs ) ds = Rt 0 00 fM (Bs ) ds et f (Bt ) = fM (Bt ) Donc pour p.t. ω ∈ {t ≤ τM } : Z f (Bt ) − f (0) = t f 0 (Bs ) dBs + 0 1 2 Z t f 00 (Bs ) ds Parce que τM → T avec une probabilit´e 1 pour M → ∞, (1.9) est v´erifi´e avec probabilit´e une. Exemple f (Bs ) = Bs → Rt 0 Bs dBs = 12 Bt2 − t/2. 24 (1.9) 0 Th´eor`eme 1.5.2 (Formule d’Itˆo avec variables de temps et d’espace) Pour toute fonction f ∈ C 1,2 (IR+ × IR), on a la repr´esentation f (t, Bt ) = f (0, 0) + Rt ∂f 0 ∂x (s, Bs ) dBs + Rt ∂f 0 ∂t (s, Bs ) ds + 1 2 ∂2f 0 ∂x2 Rt (s, Bs ) ds p.s. D´emonstration Par le mˆeme argument de localisation, on peut travailler sans perte de g´en´eralit´e avec f a` support compact en IR+ × IR. Maintenant, on utilise le d´eveloppement de Taylor de f (t, y) autour du point (s, x) : 2 ∂f 1 f (t, y) − f (s, x) = (t − s) ∂f ∂t (s, x) + (y − x) ∂x (s, x) + 2 (y − x) ∂2 f ∂x2 (s, x) + r (s, t, x, y) avec |r (s, t, x, y)| ≤ (y − x)2 h (x, y, s, t) + (t − s) k (x, y, s, t) o`u h et k sont des fonctions born´ees et uniform´ement continues qui sont nulles quand x = y et s = t. On applique ce d´eveloppement de Taylor aux sommes t´el´escopantes de f (t, Bt ) − f (0, 0) . On obtient alors 4 termes dont un terme qui converge vers z´ero en esp´erances et 3 termes vers les int´egrales de l’´enonc´e. Les e´ tapes finales sont comme dans la d´emonstration du Th´eor`eme 1.5.1. 1.5.2 La formule d’Itˆo g´en´erale unidimensionnelle D´efinition 1.5.1 On appelle un processus {Xt : 0 ≤ t ≤ T } un processus d’Itˆo si {Xt }t a la repr´esentation int´egrale: Xt = x0 + Rt 0 a (ω, s) ds + Rt 0 b (ω, s) dBs pour 0 ≤ t ≤ T, et o`u a (., .) et b (., .) sont des processus adapt´es, mesurables qui satisfont aux conditions d’int´egrabilit´e suivantes: IP hR T 0 i hR i T |a (ω, s)| ds < ∞ = 1, IP 0 |b (ω, s)|2 ds < ∞ = 1. 25 De plus, on d´efinit l’int´egrale Z Rt 0 f (ω, s)dXs par t Z f (ω, s)dXs = 0 t Z f (ω, s)a(ω, s)ds + 0 t f (ω, s)b(ω, s)dBs 0 pourvu que f (ω, s) est adapt´ee et f (ω, s)a(ω, s) ∈ L1 (dt) avec probabilit´e 1 et f (ω, s)b(ω, s) ∈ L2LOC . Th´eor`eme 1.5.3 (Formule d’Itˆo pour un processus d’Itˆo) Soit f ∈ C 1,2 (IR+ × IR) et {Xt , t ∈ [0, T ]} un processus d’Itˆo avec repr´esentation Xt = Rt 0 a (ω, s) ds + Rt 0 b (ω, s) dBs 0 ≤ t ≤ T, alors on a pour Yt = f (t, Xt ) que Yt = f (t, Xt ) = f (0, 0) + Rt ∂f 0 ∂t (s, Xs ) ds + Rt ∂f 0 ∂x (s, Xs ) dXS + 1 2 ∂2f 0 ∂x2 Rt (s, Xs ) b2 (ω, s) ds p.s. Traduction avec Box Algebra: dYt = ft (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) dXt + 12 fxx (t, Xt ) dXt · dXt . avec dXt · dXt = (a (ω, t) dt + b (ω, t) dBt ) · (a (ω, t) dt + b (ω, t) dBt ) = a (ω, t)2 dt · dt + 2a (ω, t) b (ω, t) dBt · dt + b (ω, t)2 dBt · dBt = b (ω, t)2 dt parce que Box Algebra: Table de Multiplication · dt dBt dt dBt 0 0 0 dt 26 1.5.3 Formule d’Itˆo multidimensionnelle Th´eor`eme 1.5.4 (Formule d’Itˆo pour 2 processus d’Itˆo) Soit f ∈ C 1,2,2 (IR+ × IR + IR) et {Xt , t ∈ [0, T ]} et {Yt , t ∈ [0, T ]} des processus d’Itˆo avec repr´esentation Xt = Rt 0 a (ω, s) ds + Rt 0 b (ω, s) dBs et Yt = Rt 0 α (ω, s) ds + Rt 0 β (ω, s) dBs . Alors Z t Z t ∂f ∂f Zt = f (t, Xt, Yt ) = f (0, 0, 0) + (s, Xs , Ys ) ds + (s, Xs , Ys ) dXs 0 ∂t 0 ∂x Z t Z ∂f 1 t ∂2f + (s, Xs , Ys ) dYs + (s, Xs , Ys ) b2 (ω, s) ds 2 0 ∂x2 0 ∂y Z Z t 2 ∂ f 1 t ∂2f + (s, Xs , Ys ) b (ω, s) β (ω, s) ds + (s, Xs , Ys ) β 2 (ω, s) ds p.s.. 2 ∂x∂y 2 ∂y 0 0 Traduit avec box Algebra dZt = ft (t, Xt , Yt ) dt + fx (t, Xt , Yt ) dXt + fy (t, Xt , Yt ) dYt + 12 fxx (t, Xt , Yt ) dXt · dXt +fxy (t, Xt , Yt ) dXt · dYt + 21 fyy (t, Xt , Yt ) dYt · dYt . On peut g´en´eraliser avec Bt1 et Bt2 avec corr dBt1 , dBt2 = ρt dt: · dt dB1t dB2t dt dB1t dB2t 0 0 0 0 dt ρt dt 0 ρt dt dt 27 Processus multidimensionnel Soit S ∗ un processus d’Itˆo d-dimensionnel: dS ∗ (t) = µ (t) dt + σ (t)dB (t) avec S ∗ = S 1 , ..., S d T , B = B 1 , ..., B k T , µ = µ1 , ..., µd T et σ = σ i,j de dimension d × k. Donc pour 0 ≤ i ≤ d: dS i (t) = µi (t) dt + σ i (t) dB (t) o`u σ i = σ i,1 , ..., σ i,k et o`u k P σ i (s) dBs = σ i,j (s) dB j (s) . j=1 On suppose que ∀ (i, j) µi est un processus adapt´e et σ i,j est un processus adapt´e tels que T Z i Z | µ (t) | dt < ∞ p.s.; 0 T | σ i,j (t) |2 dt < ∞ 0 Lemme d’Itˆo multidimensionnel Soit X = X 1 , ..., X d T un processus d’Itˆo multidimensionnel: dXt = µt dt + σt dBt o`u µt est un processus Ft -adapt´e, µt : Ω −→ IRd σt est une matrice al´eatoire (d × k) adapt´ee, Bt un mouvement brownien de dimension k, µ, σ processus verifiant (1.10). 28 p.s. (1.10) Lemme 1.5.1 Soit f ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd ; IR . On note ∂f (t, x) , ..., ∂x (t, x) le vecteur ligne d 2 fxx (t, x) la matrice ∂xi∂,∂xj f (t, x) et ft (t, x) = ∂f ∂t (t, x) . fx (t, x) = ∂f ∂x1 i,j Soit Yt = f (t, Xt ), alors dYt = ft (t, Xt ) + fx (t, Xt ) µt + 12 tr σt σtT fxx (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) σt dBt o`u pour une matrice carr´ee (Ai,j )i,j on note trA = d P Ai,i (la somme des e´ l´ements diagonaux). i=1 29 1.6 1.6.1 Equations diff´erentielles stochastiques (EDS) Existence et Unicit´e Th´eor`eme 1.6.1 (Existence et unicit´e) Supposons que les coefficients de l’EDS dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt (1.11) avec X0 = x0 et 0 ≤ t ≤ T satisfont a` une condition de Lipschitz pour la variable d’espace: |µ(t, x) − µ(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ K|x − y|2 (1.12) et a` une condition de croissance pour la variable d’espace: |µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2 ), (1.13) alors il existe une solution continue adapt´ee Xt de l’´equation (2.2) qui est uniform´ement born´ee dans L2 (dIP ): sup IE Xt2 < ∞. 0≤t≤T De plus, soient Xt et Yt deux solutions continues born´ees dans L2 de (2.2), alors: IP [Xt = Yt pour tout t ∈ [0, T ]] = 1. 30 1.7 1.7.1 Lemme de Feynman-Kac Cas de l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes g´en´eralis´ee Consid´erons les solutions de dSt = µ (t, St ) dt + σ (t, St ) dBt , S0 = x > 0 dβt = r (t, St ) βt dt avec β0 > 0 et r (t, St ) non-n´egative. Supposons que (un instrument financier avec valeur a` la date T ) Z = h (ST ) et que (le prix) C (t, St ) a` l’instant t satisfait a` ut (t, x) = − 21 σ 2 (t, x) uxx (t, x) − r (t, x) xux (t, x) + r (t, x) u (t, x) u (T, x) = h (x) , x ∈ IR. x ∈ IR, t ∈ [0, T ), (1.14) Supposons r (t, x) et h(x) born´ees, que µ (t, x) et σ (t, x) satisfont a` des conditions de Lipschitz: (µ (t, x) − µ (t, y))2 + (σ (t, x) − σ (t, y))2 ≤ A (x − y)2 et a` la condition µ2 (t, x) + σ 2 (t, x) ≤ B 1 + x2 , et que r (t, x) x satisfait a` une condition de Lipschitz: (r (t, x) x − r (t, y) y)2 ≤ C (x − y)2 , avec A, B et C des constantes. 31 Th´eor`eme 1.7.1 Soit u (t, x) ∈ C 1,2 [0, T ] la solution unique born´ee du probl`eme (1.14). Alors u (t, x) a la repr´esentation h R i T u (t, x) = IE h XTt,x exp − t r s, Xst,x ds o`u pour s ∈ [t, T ] le processus Xst,x est d´efini par l’´equation diff´erentielle stochastique: dXst,x = r s, Xst,x Xst,x ds + σ s, Xst,x dBs et Xtt,x = x et o`u pour s ∈ [0, t] : Xst,x = x. D´emonstration D´efinissons Mst =u s, Xst,x s Z exp − r v, Xvt,x dv = Us Is pour t ≤ s ≤ T. t Alors on trouve que Mtt = u (t, x) . De plus i h RT IE MTt = IE h XTt,x exp − t r v, Xvt,x dv . Donc si Mst s est une martingale pour s ∈ [t, T ], le th´eor`eme est d´emontr´e. En utilisant le lemme d’Itˆo: dMst = Is dUs + Us dIs + 0 1 2 t,x t,x t,x t,x t,x = Is u1 s, Xs + σ s, Xs u22 s, Xs ds + u2 s, Xs dXs 2 + Us Is −r s, Xst,x ds 1 = Is ds u1 s, Xst,x + σ 2 s, Xst,x u22 s, Xst,x + Xst,x u2 s, Xst,x r s, Xst,x 2 t,x −r s, Xs u s, Xst,x + Is u2 s, Xst,x σ s, Xst,x dBs . 32 (1.15) En utilisant l’hypoth`ese que u (t, x) satisfait a` l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes (1.14), on voit que dMst = Is u2 s, Xst,x σ s, Xst,x dBs , donc, Mst est une martingale locale. Par la d´efinition (1.15) de Mst s , on voit que Mst s est born´ee parce que u (t, x) est born´ee par hypoth`ese et r (t, x) est non-n´egative. Nous concluons que Mst s est une vraie martingale. s 33 1.8 1.8.1 Th´eor`eme de Girsanov La condition de Novikov et martingales exponentielles Th´eor`eme 1.8.1 (La condition suffisante de Novikov) Pour toute µ (ω, t) ∈ L2LOC [0, T ], le processus (Mt )t d´efini par Z t Z 1 t 2 Mt = exp − µ (ω, s) ds µ (ω, s) dBs − 2 0 0 est une martingale, pourvu que µ satisfasse a` la condition de Novikov: Z T 1 2 µ (ω, s) ds <∞ IE exp 2 0 (1.16) (1.17) D´emonstration Voir le livre de M. Steele page 225. 1.8.2 Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel Th´eor`eme 1.8.2 (Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel) Supposons que µ (ω, t) est un processus born´e, adapt´e sur [0, T ], que (Bt )t est un IP -mouvement brownien et que le processus (Xt )t est donn´e par Xt = Bt + Rt 0 µ (ω, s) ds. Le processus (Mt )t d´efini par Z t Z 1 t 2 Mt = exp − µ (ω, s) dBs − µ (ω, s) ds 2 0 0 (1.18) est une IP -martingale. Si IQ d´esigne la mesure sur C [0, T ] d´efinie par IQ (A) = IEIP (1A MT ) pour tout A ∈ FT , alors (Xt )t est un IQ-mouvement brownien sur [0, T ] . 34 D´emonstration En utilisant le Th´eor`eme 1.8.1, on voit imm´ediatement que (Mt )t est une IP -martingale. On va d´emontrer maintenant que sous IQ, le processus {Xt } a les mˆemes distributions jointes qu’un mouvement brownien. Nous d´emontrons d’abord que pour toute fonction born´ee d´eterministe f : [0, T ] → C, I on a la formule: Z IEIQ exp T f (s) dXs 0 Z T 1 2 = exp f (s) ds . 2 0 (1.19) En effet: Z T IEIQ exp f (s) dXs Z T Z T f (s) µ (ω, s) ds f (s) dBs + = IEIQ exp 0 0 Z T Z T Z 1 T 2 = IEIP exp (f (s) − µ (ω, s)) dBs + f (s) µ (ω, s) ds − µ (ω, s) ds 2 0 0 0 Z T Z T Z 1 1 T 2 2 = exp f (s)ds IEIP exp (f (s) − µ (ω, s)) dBs − (f (s) − µ (ω, s)) ds 2 0 2 0 0 Z T 1 2 = exp f (s)ds 2 0 0 en utilisant le Th´eor`eme 1.8.1 et donc tenant compte du fait que Z t Z 1 t 2 exp (f (s) − µ (ω, s)) dBs − (f (s) − µ (ω, s)) ds 2 0 0 est une martingale exponentielle parce que f (s) − µ (ω, s) est born´ee. Nous exploitons cette formule en prenant θj ∈ IR j = 1, 2, ..., N et 0 = t0 < t1 < ... < tN −1 < tN = T tel que f (s) = N P iθj 1(tj−1 ≤s<tj ) pour 0 ≤ s ≤ T j=1 est une fonction d´eterministe pour laquelle on peut appliquer (1.19) pour obtenir 35 " IEIQ exp i N P !# θj Xtj − Xtj−1 = exp j=1 − 12 N P θj2 (tj j=1 ! − tj−1 ) . Donc le vecteur Xt1 , Xt2 − Xt1 , ..., XtN − XtN −1 a la mˆeme fonction caract´eristique sous IQ que le vecteur des incr´ements du mouvement brownien, tel que (Xt )t est un IQ mouvement brownien. 1.8.3 La r`egle de Bayes Proposition 1.8.1 Soient µ et ν deux mesures de probabilit´e sur un espace mesurable (Ω, G) telles que dν (ω) = f (ω) dµ (ω) pour un f ∈ L1 (µ) . Soit X une variable al´eatoire sur (Ω, G) telle que IEν [|X|] = R Ω |X (ω)| f (ω) dµ (ω) < ∞ Soit H ⊂ G une sous-tribu, alors IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] = IEµ [f X |H ] p.s. D´emonstration En vertu de la d´efinition de l’esp´erance conditionnelle on a que si H ∈ H, alors R H IEν [X |H ] f dµ = R H IEν [X |H ] dν = R H Xdν = R H Xf dµ = R H IEµ [f X |H ] dµ. D’autre part, on sait que R IEν [X |H ] f dµ = IEµ [IEν [X |H ] f · 1H ] = IEµ [IEµ [IEν (X |H ) f · 1H |H]] R = IEµ [1H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ]] = H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] dµ ∀H ∈ H H d’o`u le r´esultat. Corollaire 1.8.1 (Bayes’rule) Soit (Ms )s d´efinie en (1.18) une martingale strictement positive. Pour Y une variable al´eatoire Ft mesurable telle que IEIQ |Y | < ∞, on a que pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T : IEIQ [Y |Fs ] = 1 Ms IE 36 [Y Mt |Fs ] p.s. 1.8.4 Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel (1) (d) Soit W = Wt , ...Wt un mouvement brownien de dim d sur (Ω, F, IP ). o n (1) (d) (i) avec Xt ∈ L2LOC Supposons X= X t = Xt , ..., Xt D´efinissons " ∆ Zt (X) = exp d Z X i=1 t Xs(i) dWs(i) 0 1 − 2 Z # 2 Xs ds . t (1.20) 0 Alors d P dZt (X) = Zt (X) Xti dWti i=1 en utilisant le lemme d’Itˆo parce que Zt (X) = exp Yt (X) avec d P dYt (X) = Xti dWti − i=1 d 1P 2 i=1 Xti 2 dt. Donc Z (X) est une martingale locale continue avec Z0 (X) = 1 Nous supposons que c’est une martingale et nous d´efinissons: QT (A) = IE [1A ZT (X)] A ∈ FT . Th´eor`eme 1.8.3 (Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel) Supposons que Z (X) d´efini par (1.20) est une martingale. (1) ∼ ∼ ∼ ∼ (d) D´efinissons W = W t = W t , ..., W t par ∼ (i) (i) W t = Wt − ∼ Rt 0 (i) 1 ≤ i ≤ d, Xs ds 0 ≤ t < ∞. ∀T ∈ [0, ∞) fix´e, le processus W t , Ft ; 0 ≤ t ≤ T 37 est un mouvement brownien de dim d sur (Ω, F, QT ) . 1.9 1.9.1 Les th´eor`emes de repr´esentation comme martingale Th´eor`emes pour martingales Th´eor`eme 1.9.1 (Th´eor`eme de repr´esentation comme martingale) Supposons que Xt est une {Ft } martingale continue, o`u {Ft } est une filtration brownienne standard. S’il existe un T tel que IE XT2 < ∞ et si X0 = x0 , alors il existe un φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que Rt Xt = x0 + 0 φ (ω, s) dBs pour tout 0 ≤ t ≤ T. De plus, la repr´esentation est unique dIP × dt-p.s. Th´eor`eme 1.9.2 (Th´eor`eme de repr´esentation en H 2 ) Supposons que X est une variable al´eatoire FT -mesurable o`u {Ft }t est la filtration brownienne standard. Si IE X 2 < ∞, alors il existe une φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que Z T X = IE[X] + φ (ω, s) dBs . (1.21) 0 De plus, la repr´esentation dans cette e´ quation (1.21) est unique dans le sense que si ψ (ω, s) est un autre e´ l´ement de H 2 [0, T ] qui satisfait (1.21), alors ψ (ω, s) = φ (ω, s) ∀ (ω, s) ∈ Ω × [0, T ], except´e sur un ensemble de mesure dIP × dt nulle. 1.9.2 Th´eor`emes pour des martingales locales. Th´eor`eme 1.9.3 Supposons que (Mt )t est une martingale locale continue par rapport a` la filtration brownienne standard. Alors, il existe un processus adapt´e et mesurable H ∈ L2LOC tel que Mt = M0 + Rt 0 Hs dBs p.s. Th´eor`eme 1.9.4 Une martingale continue strictement positive (Mt )t adapt´ee a` la filtration brownienne avec M0 = 1 peut eˆ tre repr´esent´ee par R Rt t t≥0 Mt = exp 0 Hs dWs − 21 0 (Hs )2 ds pour un processus (Hs )s ∈ L2LOC . 38 Chapitre 2 Mod`eles en temps continu: Formules de Black et Scholes Le livre de r´ef´erence est DANA, R.-A. et M. JEANBLANC-PIQUE (1994). March´es Financiers en Temps Continu. Economica. 2.1 Calcul stochastique. (Ω, F, P ) un espace de probabilit´e [0, T ] un intervalle de temps fini 2.1.1 Le mouvement brownien et l’int´egrale stochastique D´efinition 2.1.1 B = (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien r´eel issu de 0 sur (Ω, F, IP ) si i) IP [B0 = 0] = 1 ii) ∀ 0 ≤ s ≤ t, la variable al´eatoire r´eelle Bt − Bs suit une loi normale centr´ee de variance t − s. iii) ∀ 0 = t0 < ti < ... < tp ; les variables Btk − Btk−1 , 1 ≤ k ≤ p sont ind´ependantes. iii) Bt (ω) est une fonction continue de t pour p.s. tout ω. =⇒ Un mouvement brownien est un processus a` trajectoires continues, a` accroissements ind´ependants et stationnaires. 39 D´efinition 2.1.2 B = B i , i ≤ k est un mouvement brownien k-dimensionnel si les B i sont des mouvements browniens r´eels ind´ependants. On prend Ft = σ (Bs , s ≤ t) compl´et´ee par adjonction des n´egligeables comme famille de sous-tribus (Ft )t∈IR+ . Bachelier (1900) Bachelier a suppos´e un mod`ele simple dans sa th`ese doctorale avec seulement un actif risqu´e (une action) avec prix St avec St = Bt un mouvement brownien et que le taux d’int´erˆet r = 0. Si l’on poss`ede dans ce mod`ele θ (t) actions a` l’instant t, et que l’on fait des transactions aux instants tk , k = 1, ..., K, alors la richesse a` l’instant tK d’un portefeuille auto-financ¸ant θ de valeur initiale x est e´ gale a` x+ PK k=1 θ (tk ) {B (tk ) − B (tk−1 )} . Si l’on veut pouvoir effectuer des transactions a` tout instant t, il faut d´efinir un outil math´ematique, que l’on appelle int´egrale stochastique de θ par rapport a` B (et que l’on d´efinit en gros comme e´ tant la limite dans L2 des sommes pr´ec´edentes): x+ RT 0 θ (s) dB (s) . en temps discret: θ (tk ) Ftk−1 -mesurable, donc θ est un processus pr´evisible en temps discret. en temps continu: Le processus θ est pr´evisible s’il est mesurable par rapport a` la tribu sur (Ω × IR+ ) engendr´ee par les processus adapt´es continu a` gauche, donc pour lesquels t 7−→ Xt (ω) est continue a` gauche pour presque tout ω. RT Nous travaillons (comme dans le livre de M. Steele) avec θ ∈ L2LOC , parce qu’alors 0 θ (s) dB (s) est bien d´efini et la construction de l’int´egrale est un peu plus simple. On note Θ = L2LOC l’ensemble des processus adapt´es tels que RT 0 On montre que pour θ ∈ Θ, RT 0 θ2 (t) dt < ∞ θ (s) dB (s) est bien d´efini. 40 p.s. Proposition 2.1.1 Si θ ∈ Θ et si IE hR T 0 i θ2 (s) ds < ∞ (et donc θ ∈ H 2 ), l’int´egrale stochastique Z t Mt = θs dBs ; t ≤ T 0 d´efinit un processus qui est une martingale d’esp´erance nulle et de variance Z t 2 2 IE Mt = IE θ (s) ds . 0 Exercice Montrer que B 2 (t) − t est une martingale. D´emonstration h i IE Bt2 − Bs2 | Fs = IE (B (t) − B (s))2 | Fs = IE B 2 (t − s) = t − s parce que 2B (s) IE [B (t) | Fs ] = 2Bs2 Cet exercice met en valeur l’une des difficult´es du calcul stochastique: Rt 0 B (s) dBs 6= 12 Bt2 parce que c¸a impliquerait que le processus (t)t∈IR+ est une martingale. Rt En effet 0 B (s) dB (s) = 21 Bt2 − t . 2.1.2 Processus d’Itˆo et quelques remarques Pour les processus X = (Xt )t∈[0,T ] qui sont des processus d’Itˆo a` valeurs r´eelles avec µ (t) processus adapt´e et σ (t) processus adapt´e v´erifiant RT 0 | µ (s) | ds < ∞ P p.s.; 41 RT 0 σ 2 (s) ds < ∞ P p.s. tels que Xt = X0 + Rt 0 µ (s) ds + Rt 0 σ (s) dBs , t ∈ [0, T ] o`u Bt est un mouvement brownien r´eel, on utilise souvent la forme plus concise: dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt X (0) = X0 . µ (t): la d´erive, la tendance, le drift σ (t): le coefficient de diffusion. remarque 1 Le terme de d´erive complique souvent les calculs parce qu’on a perdu le caract`ere martingale du processus (µ ≡ 0). Pour se ramener au cas µ = 0, on utilise le th´eor`eme de Girsanov, c’est a` dire sous des hypoth`eses raisonnables, on transforme un processus d’Itˆo avec un changement de probabilit´e en une int´egrale stochastique. Th´eor`eme 2.1.1 (Th´eor`eme de Girsanov) Soit (Lt )t le processus d´efini par Lt = exp nR t 0 h (s) dBs − 1 2 o 2 (s) ds , h 0 Rt o`u (h(s) , 0 ≤ s ≤ T ) est un processus adapt´e born´e. dLt = Lt ht dBt Le processus Lt est l’unique solution de L0 = 1 et IE [Lt ] = 1 ∀t ∈ [0, T ] ; et (Lt )t est une martingale. Soit Q la probabilit´e d´efinie sur (Ω, FT ) par Q (A) = IEP [1A LT ] . Rt Sous Q, le processus Bt∗ = Bt − 0 h (s) ds est un mouvement brownien. 42 Exemple Si h (t) = −µ (t) σ −1 (t) est born´e, le processus Bt∗ = Bt + brownien et le processus d’Itˆo X s’´ecrit sous Q: Rt 0 µ (s) σ −1 (s) ds est un Q-mouvement dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt∗ − µ (t) σ −1 (t) dt = σ (t) dBt∗ . Girsanov ne modifie pas le coefficient de diffusion. Si l’on suppose que les prix des actifs sont des processus d’Itˆo, on aura besoin de calculer des quantit´es du type f (t, Xt ) et de “d´eriver” ce processus pour pr´eciser sa dynamique. Ceci est fait en utilisant le lemme d’Itˆo, que nous rappelons ici en utilisant la notation C 1,2 ([0, T ] × IR, IR) = fonctions continues f (t, x) , de classe C 1 par rapport a` t, C 2 par rapport a` x . Lemme 2.1.1 (Lemme d’Itˆo) Soit f ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR, IR) et X un processus d’Itˆo v´erifiant dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt . Soit Yt = f (t, Xt ). Alors Y est un processus d’Itˆo v´erifiant dYt = ∂f ∂t (t, Xt ) dt + ∂f ∂x (t, Xt ) µ (t) dt + ∂f ∂x (t, Xt ) σ (t) dBt + 1 ∂2f 2 ∂x2 soit sous forme plus concise: dY = ∂f ∂t dt + ∂f ∂x dXt + 1 ∂2f 2 σ dt . 2 |2 ∂x{z } Exemples 1) Soit dXt = aXt dt + bXt dBt , X0 > 0 o`u a, b sont des constantes. =⇒ Xt > 0 p.s. =⇒ Yt = ln Xt dYt = 0 + aXt Xt dt + 1 Xt bXt dBt 43 − 1 1 2 Xt2 (bXt )2 dt (t, Xt ) σ 2 (t) dt Et donc b2 dt + bdBt . dYt = a − 2 Rt Rt 2 =⇒ Yt = Y0 + 0 a − b2 ds + 0 bdBs = ln X0 + a − 2 =⇒ Yt v N ln X0 + a − b2 t, var = b2 t . b2 2 t + bB (t) =⇒ (Xt )t est un processus log-normal: un brownien g´eom´etrique. 2) Soit Xt = x + Rt 0 b (s) ds + Rt 0 σ (s) dBs et Yt = exp Xt . dYt = Yt b (t) dt + Yt σ (t) dBt + 2.2 2.2.1 Yt 2 2 σ dt = Yt dXt + 12 σ 2 (t) dt . Arbitrage et valorisation Strat´egie de financement Soit Z une variable al´eatoire FT -mesurable. Peut-on r´ealiser Z avec une strat´egie de financement? Nous supposons qu’il y a d actifs risqu´es dont les prix S i , i ∈ {1, ..., d} , sont suppos´es eˆ tre des processus T d’Itˆo avec σ i = σ i,1 , ..., σ i,k ; B = B 1 , ..., B k : dS i (t) = µi (t) dt + σ i (t) dBt , o`u ∀ (i, j) µi est un processus adapt´e et σ i,j est un processus adapt´e tels que Z T | µi (t) | dt < ∞ Z p.s.; 0 T | σ i,j (t) |2 dt < ∞ p.s. (2.1) 0 Th´eor`eme 2.2.1 Un march´e financier est complet si et seulement si le nombre d des actifs risqu´es est e´ gale a` la dimension k du mouvement brownien B et si la matrice de volatilit´e σt est non-singulair presque sˆurement pour t ∈ [0, T ]. D´emonstration Voir le livre de Karatzas & Shreve Th.6.6. 44 L’actif 0 est un actif sans risque dSt0 = St0 r (t) dt; o`u r (t) est un processus adapt´e positif v´erifiant RT 0 S 0 (0) = 1; r (t) dt < ∞ p.s.. L’actif 0 est dit sans risque mˆeme si r (t) est un processus stochastique. Soit un processus vectoriel en temps continue θ = (θs )s une strat´egie d’investissement avec richesse T initiale x o`u θ = θ0 , ..., θd repr´esente le nombre de chaque type d’actifs. Soit Ss ∈ IRd le vecteur des prix. Si on suppose que la strat´egie est auto-financ¸ante, alors la richesse a` l’instant T sera x+ RT 0 θ (s) · dSs = x + RT 0 θ0 (s) S 0 (s) r (s) ds + d hR P T i=1 0 θi (s) µi (s) ds + RT 0 θi (s) σ i (s) dBs i sous conditions d’int´egrabilit´e et de mesurabilit´e sur θ. Pour pr´eciser ces notions, nous donnons les d´efinitions suivantes. D´efinition 2.2.1 Pour tout i > 0, on note Θ S i l’ensemble des processus θi tels que θi est adapt´e et RT 0 RT 0 | θi (s) µi (s) | ds < ∞ (θi (s))2 k σ i (s) k2 ds < ∞ o`u la norme d’un vecteur v est d´efini par k v k2 = k P p.s. p.s. vj2 . j=1 RT On note Θ S 0 l’ensemble des processus θ0 tels que θ0 est adapt´e et 0 | θ0 (s) | r (s) Ss0 ds < ∞ p.s.. On note θ ∈ Θ (S ) si θj ∈ Θ S j pour tout 0 ≤ j ≤ d. D´efinition 2.2.2 θ ∈ Θ (S) finance Z si i) θt · St = θ0 · S0 + ii) θT · ST = Z i) est la condition d’auto-financement. 45 Rt 0 θs · dSs ∀t ≤ T P -p.s.. P -p.s. 2.2.2 Arbitrage et mesure martingale D´efinition 2.2.3 Une opportunit´e d’arbitrage est une strat´egie auto-financ¸ante avec P (θT · ST ≥ 0) = 1 P (θT · ST > 0) > 0 P (θ0 · S0 = 0) = 1. On peut remplacer les deux premi`eres conditions par IE [θT · ST ] > 0 P [θT · ST ≥ 0] = 1 Consid´erons les deux hypoth`eses: 1) A.O.A. 2) (H): Il existe une mesure de probabilit´e Q e´ quivalente a` P telle que le vecteur des prix actualis´es Sta = SS0t soit une Q-martingale. On appelle Q une mesure martingale. t Lien en temps continu entre A.O.A. et (H). 1) Soit (H) verifi´ee et supposons un mod`ele simple avec seulement un actif risqu´e et avec St0,a = 1 un prix constant. Supposons sous Q dSt1,a = St1,a σ (t) dBt . 2 RT Alors @O.A. avec IEQ 0 θ1 (s) σ (s) Ss1,a ds < ∞ parce qu’alors Rt 0 θs dSsa est une Q-martingale et IEQ [θT · STa ] = θ0 · S0a + IEQ hR T 0 i θs1 dSs1,a = θ0 · S0a −→ A.O.A. 2) En toute g´en´eralit´e, (H) ; A.O.A. (Dudley 1977). 3) Stricker (1989): =⇒ A.O.A. parmis les strat´egies e´ l´ementaires, donc telles qu’il existe une suite de r´eels t0 < t1 < ... < tp telle que 46 θs = p−1 P i=0 1]ti ,ti+1 ] (s) ψi avec ψi variable Fti -mesurable. Rt 4) (H) =⇒ A.O.A. pour 0 θ (s) · dSsa born´e inf´erieurement. 5) A.O.A.=⇒ (H) est encore beaucoup plus d´elicat (voir Delbaen-Schachermayer 1994). 2.2.3 Valorisation D´efinition 2.2.4 Si θ est une strat´egie financ¸ant Z, θ0 · S0 est le prix d’arbitrage de Z et θt · St = π (Z)t le prix implicite a` l’instant t. Proposition 2.2.1 Sous A.O.A., le prix d’arbitrage est bien d´efini. D´emonstration. Soient θ et ϕ strat´egies auto-financ¸antes telles que θT · ST = ϕT · ST . Montrons qu’A.O.A. =⇒ θ0 · S0 = ϕ0 · S0 . Supposons θ0 · S0 > ϕ0 · S0 . Intuitivement, on va acheter le portefeuille ϕ au prix ϕ0 · S0 , vendre θ au prix θ0 · S0 et placer la diff´erence sur l’actif sans risque. En T , on vend ϕ et ach`ete θ au mˆeme prix et on r´ealise le b´en´efice du placement sans risque. 2.3 2.3.1 Formule de Black et Scholes: cas unidimensionnel Le mod`ele On se place dans un march´e financier compos´e d’un actif sans risque dont le prix St0 ob´eit a` l’ e´ quation diff´erentielle dSt0 = rSt0 dt, r constante positive S00 = 1 et d’un actif risqu´e dont le prix St1 t v´erifie l’´equation diff´erentielle stochastique dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt S01 > 0 o`u µ et σ sont constantes, σ non nulle, Bt brownien r´eel. St1 t satisfait donc bien le th´eor`eme suivant: 47 Th´eor`eme 2.3.1 (Existence et unicit´e) Supposons que les coefficients de l’EDS dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt (2.2) avec X0 = x0 et 0 ≤ t ≤ T satisfont une condition de Lipschitz en la variable d’espace: |µ(t, x) − µ(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ K|x − y|2 (2.3) et une condition de croissance en la variable d’espace: |µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2 ), (2.4) alors il existe une solution continue adapt´ee Xt de l’´equation (2.2) qui est uniform´ement born´ee dans L2 (dIP ): sup IE Xt2 < ∞. 0≤t≤T En plus, soient Xt et Yt deux solutions continues born´ees dans L2 de (2.2), alors: IP [Xt = Yt pour tout t ∈ [0, T ]] = 1. Regardons les prix actualis´es: St1,a ≡ e−rt St1 Lemme d’Itˆo: dSt1,a = St1,a [(µ − r) dt + σdBt ] Le th´eor`eme de Girsanov va nous permettre de transformer St1,a en une martingale. Soit Lt le processus v´erifiant dLt = − (µ − r) σ −1 Lt dBt L0 = 1. Le th´eor`eme de Girsanov montre que sous la probabilit´e Q v P d´efinie sur FT par dSt1,a = St1,a σdBt∗ 48 dQ dP = LT , on a o`u Bt∗ ≡ Bt + (µ − r) σ −1 t h Remarquons que St1,a = exp σBt∗ − σ2 t 2 i est un Q-mouvement brownien. S01,a , qui est une Q-martingale (classique). St0,a = 1 est aussi une Q-martingale. Sous Q, le prix de l’actif a` risque v´erifie: dSt1 = St1 (rdt + σdBt∗ ) . =⇒ On appelle Q la probabilit´e “risque-neutre” car sous Q les deux actifs ont le mˆeme rendement r. =⇒ (H) est satisfait, ∃ mesure martingale Q. 2 RT 1,a T =⇒ @ O.A. θ = (α, β) avec IEQ 0 βs σSs ds < ∞ dans notre mod`ele. 2.3.2 Equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) de Black et Scholes Maintenant: On se donne une variable al´eatoire Z = g ST1 positive FT -mesurable et on veut trouver son prix implicite et une strat´egie financ¸ant Z. Supposons qu’il existe C ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR+ , IR) telle que π (Z)t = C t, St1 , t < T g (x) = C (T, x) x ∈ IR+ Soit Yt = C t, St1 . Itˆo =⇒ 2 dYt = µSt1 Cx t, St1 + Ct t, St1 + 12 σ 2 St1 Cxx t, St1 dt + σSt1 Cx t, St1 dBt ou encore dYt = LC t, St1 dt + σSt1 Cx t, St1 dBt avec 49 (2.5) 2 LC = µxCx + Ct + 21 σ 2 x2 ∂∂xC2 avec L le g´en´erateur infinit´esimal de la diffusion (St )t . Supposons qu’il existe une strat´egie θ financ¸ant Z. Nous n’avons pas encore prouv´e l’existence d’une telle strat´egie: on va la construire: θ = (α, β)T . T On a ainsi, si St = St0 , St1 : θt · St = αt St0 + βt St1 Z t θs .dSs = θ0 · S0 + 0 Z t Z t 0 1 0 = α0 S0 + β0 S0 + αs dSs + βs dSs1 0 0 = C t, St1 = Yt =⇒ dYt = αt dSt0 + βt dSt1 = rαt St0 dt + βt µSt1 dt + σSt1 dBt = rαt St0 + µβt St1 dt + σβt St1 dBt (2.6) En identifiant les termes en dt dans (2.5) et (2.6), on obtient LC t, St1 = rαt St0 + µβt St1 En identifiant les coefficients de dBt on a σSt1 Cx t, St1 = σβt St1 =⇒ βt = Cx t, St1 , et on a toujours αt St0 + βt St1 = C t, St1 0 −1 =⇒ αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1 St 50 (2.7) Donc, nous avons obtenu la strat´egie financ¸ant Z en fonction du prix implicite. En reportant dans (2.7) LC t, St1 = r C t, St1 − St1 Cx t, St1 + µCx t, St1 St1 . En explicitant LC, cette derni`ere e´ galit´e s’´ecrit: 2 rSt1 Cx t, St1 + Ct t, St1 + 12 σ 2 St1 Cxx t, St1 = rC t, St1 t ∈]0, T [; P -p.s. et C T, ST1 = g ST1 P − p.s. (2.8) Puisque le support de la loi de St1 est (0, ∞), on peut remplacer St1 par x, x > 0. Conclusion: Th´eor`eme 2.3.2 Soit St0 le prix d’une obligation v´erifiant dSt0 = rSt0 dt et St1 le prix d’un actif risqu´e v´erifiant dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt . Soit Z = g ST1 une variable al´eatoire positive et π (Z)t son prix implicite. On suppose qu’il existe C ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR+ , IR) telle que π (Z)t = C t, St1 g (x) = C (T, x) t<T x ∈ IR+ Alors C v´erifie l’´equation parabolique rxCx (t, x) + Ct (t, x) + 12 σ 2 x2 Cxx (t, x) = rC (t, x) , C (T, x) = g (x) , x ∈]0, ∞[. x ∈]0, ∞[, t ∈]0, T [, Une strat´egie θ financ¸ant Z est donn´ee par θ = (α, β)T o`u 0 −1 αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1 St βt = Cx t, St1 . 51 (2.9) Il n’est en g´en´eral pas facile de r´esoudre explicitement l’´equation parabolique ci-dessus. Le calcul des probabilit´es fournit une expression de cette solution: Soit x et t fix´es et Zsx,t le processus index´e par s, (t ≤ s ≤ T ) d´efini par Zsx,t = x + r Rs t Zux,t du + σ Rs t Zux,t dBu . Zsx,t est issu de x au temps t, donc Ztx,t = x et suit apr`es t la mˆeme dynamique que dZu = rZu du + σZu dBu . Th´eor`eme 2.3.3 (Th´eor`eme de Feynman-Kac) Soit C (t, x) ∈ C 1,2 [0, T ] la solution unique born´ee du probl`eme (2.9) avec g(x) une fonction born´ee. Alors C (t, x) a la repr´esentation h i C (t, x) = IE g XTt,x exp (−r(T − t)) (2.10) o`u pour s ∈ [t, T ] le processus Xst,x est d´efini par l’´equation diff´erentielle stochastique: dXst,x = rXst,x ds + σXst,x dBs et Xtt,x = x et o`u pour s ∈ [0, t] : Xst,x = x. Exercice V´erifier que θ = (α, β)T ∈ Θ (S) et finance g ST1 . Remarque Notre march´e est complet par le Th´eor`eme 2.2.1, qui est bas´e sur des th´eor`emes de repr´esentation. 52 2.3.3 Probabilit´e risque-neutre Nous allons donner une autre m´ethode de valorisation, obtenue en travaillant sous la probabilit´e risqueneutre Q d´efinie par dQ = LT dP. Sous Q, l’actif a` risque v´erifie: dSt1 = St1 (rdt + σdBt∗ ) . Si l’on se constitue un portefeuille (αt , βt ) Yt = αt St0 + βt St1 , on v´erifie que sous Q: dYt = αt St0 rdt + βt St1 (rdt + σdBt∗ ) = Yt rdt + dMt , o`u Mt est d´efini par dMt = βt St1 σdBt∗ . Sous r´eserve d’int´egrabilit´e, Mt est une martingale. Ceci implique que e−rt Yt est une martingale. On a que e−rt Yt = EQ e−rT YT | Ft et donc Yt = EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft . Th´eor`eme 2.3.4 Le prix implicite de g ST1 est donn´e par h i EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft (2.11) o`u Q est la probabilit´e risque-neutre. Ceci est clairement e´ quivalent au th´eor`eme de Feynman-Kac. Comme le processus St est un processus d’Itˆo, il est un processus de Markov (voir le livre de Shreve p.e.): 53 Th´eor`eme 2.3.5 Soit 0 ≤ t0 < t1 , soit h(y) une fonction et soit X un processus d’Itˆo satisfaisant Th´eor`eme 2.3.1. D´esignons par IE t0 ,x [h(X(t1 ))] l’esp´erance de h(X(t1 )), donn´e que X(t0 ) = x. Supposons que ξ ∈ IR est fix´e et que X(0) = ξ. On a la propri´et´e de Markov: IE 0,ξ [h(X(t1 )) |Ft0 ] = IE t0 ,X(t0 ) [h(X(t1 ))] . En utilisant le fait que le processus St est un processus de Markov: Yt = EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft = C t, St1 . On retrouve ais´ement l’EDP de Black & Scholes et le portefeuille de couverture en appliquant la formule d’Itˆo a` C t, St1 . En effet, dC t, St1 = ∂C ∂t t, St1 dt + ∂C ∂x t, St1 dSt1 + 1 2 St1 σ 2 ∂2C ∂x2 t, St1 dt. En utilisant le fait que e−rt C t, St1 est une martingale sous Q, on retrouve l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2.9). On d´ecompose C t, St1 en C t, St1 = αt St0 + βt St1 avec 0 −1 αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1 St et βt = Cx t, St1 . Il suffit de reporter αt et βt dans l’expression de dCt pour v´erifier que le portefeuille (α, β) est un portefeuille de couverture autofinanc¸ant. 54 2.3.4 Calcul explicite Dans notre mod`ele, (2.10) ou (2.11) nous permet de poursuivre les calculs. On a vu qu’un processus Ss1 s v´erifiant l’´equation dZsx,t = rZsx,t ds + σZsx,t dBs , Ztx,t = x a une loi log-normale. Ici, l’instant initial est t et Zsx,t a un logarithme de loi 2 N ln Ztx,t + r − σ2 (s − t) , σ 2 (s − t) On peut ainsi calculer h i h i IEQ e−r(T −t) g ST1 | Ft = IE e−r(T −t) g ZTx,t = e−r(T −t) IE g ZTx,t R +∞ = e−r(T −t) −∞ g (eu ) fT −t (u) du, o`u fT −t (u) est la densit´e de loi normale de moyenne ln x+ r − σ2 2 (T − t) et de variance σ 2 (T − t) . Plac¸ons-nous dans le cas g (x) = (x − K)+ . Soit φ (x) = √1 2π Rx −u2 /2 du. −∞ e Alors en utilisant que R R R +∞ u u −∞ g (e ) fT −t (u) du = {u>ln K} e fT −t (u) du − K {u>ln K} fT −t (u) du, nous pouvons facilement d´emontrer le r´esultat suivant: Th´eor`eme 2.3.6 (Formule de Black et Scholes) Le prix implicite a` t est donn´e par C (t, x) = xφ (d1 (t)) − Ke−r(T −t) φ (d2 (t)) o`u d1 (t) = n x ln K + (T − t) r + √ d2 (t) = d1 (t) − σ T − t. √1 σ T −t 55 σ2 2 o , 2.3.5 Commentaires sur la formule de Black et Scholes −→ Remarque que C (t, x) ne d´epend pas de µ. a) D´ependance de C par rapport a` x. Il est int´eressant de voir comment e´ volue le prix de call en fonction de l’actif sous-jacent, c’est-`a-dire d’´evaluer la quantit´e ∂C ∂x . Cette quantit´e est appel´ee le delta et g´en´eralise le ∆ du chapitre 1. C’est la quantit´e d’actif risqu´e qui compose un portefeuille de couverture construit sur l’actif sous-jacent et sur l’obligation. Un calcul directe mais long permet d’´etablir que ∂C ∂x = φ (d1 ) > 0. Une autre m´ethode consiste a` e´ crire + x,0 −rT C (0, x) = IEQ e ZT − K avec ZTx,0 = x exp h r− σ2 2 T + σBT i d’o`u C (0, x) = IEQ = IEQ x exp σBT − σ2 T 2 σ2 2 T x exp −σBT − − − e−rT K e−rT K + + car BT a la mˆeme loi que −BT . On d´erive cette expression sous le signe IEQ . + 2 est e´ gale a` La d´eriv´ee de x exp −σBT − σ2 T − e−rT K exp −σBT − σ2 2 T 1BT √ ≤ d2 T , √ sauf aux points tels que BT = d2 T qui forment un ensemble n´egligeable. On obtient ainsi ∂C ∂x h = IEQ exp −σBT − 56 σ2 2 T 1BT √ ≤ d2 T i On d´efinit la probabilit´e P ∗ par dP ∗ = exp −σBT − σ2 T 2 dQ et nous remarquons que Bt∗ = Bt + σt est un P ∗ m.b. On a h √ √ √ i = P ∗ (BT ≤ d2 T ) = P ∗ BT + σT ≤ d2 + σ T T i h ∗ √ √ B = P ∗ √TT ≤ d2 + σ T = φ d2 + σ T = φ (d1 (0)) ≥ 0 ∂C ∂x =⇒ Donc quand le cours de l’action monte, le prix du call monte. A une fluctuation d’un euro du cours de l’action correspond une fluctuation de delta euros du prix du call. b) Sensibilit´e a` la volatilit´e. (V´ega ∂C ∂σ ) L’acheteur d’une option sp´ecule. Donc l’intuition est qu’il est prˆet a` payer un prix d’autant plus e´ lev´e que les fluctuations du sous-jacent sont grandes. Nous v´erifions cette intuition: Lorsqu’un produit financier suit la loi dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt on a coutume de dire que σ repr´esente la volatilit´e de ce produit. Intuitivement σ repr´esente l’´ecart type 1 de dS et est li´ee au risque de l’actif (plus ce coefficient est e´ lev´e, plus l’influence du terme al´eatoire est S1 1 importante). La formule d’Itˆo appliqu´ee a` C t, St conduit a` dCt = ∂C ∂t + ∂C 1 ∂x µSt + 1 2 σSt1 2 ∂2C ∂x2 et la volatilit´e du call est 1 ∂C 1 C ∂x S σ, ce que nous pouvons e´ crire υC = S 1 ∂C C ∂x υS 57 dt + ∂C 1 ∂x σSt dBt 1 En posant η = SC ∆, on obtient que la volatilit´e du call est proportionnelle a` la volatilit´e du stock sousjacent: υC = ηυS ce qui g´en´eralise le cas discret. On remarque que η= S 1 ∂C C ∂x = S 1 φ(d1 ) S 1 φ(d1 )−Ke−rT φ(d2 ) ≥ 1. Le risque de l’option est plus grand que celui de l’actif sous-jacent. D’autre part, nous avons vu que dCt Ct = µc dt + σc dBt , avec 1 Ct µc = = 1 Ct ∂C ∂t + 1 2 σSt1 2 ∂2C ∂x2 rCt − rSt1 ∂C ∂x + + ∂C 1 ∂x µSt 1 ∂C 1 Ct ∂x µSt =⇒ µc − r = St1 ∂C Ct ∂x (µ − r) = η (µ − r) ce qui g´en´eralise les r´esultats du cas discret. c) Portefeuille de march´e. On d´efinit un portefeuille de march´e comme un portefeuille comportant une obligation et une action. Sa valeur en t est Mt = St0 + St1 d’o`u dMt = rSt0 + µSt1 dt + σSt1 dBt , que l’on e´ crit dMt Mt avec µM = rSt0 +µSt1 St0 +St1 et σM = = µM dt + σM dBt σSt1 . St0 +St1 En remarquant que cov dMt dSt1 , Mt St1 on constate qu’avec µS = µ: 58 = σ 2 St1 , St0 + St1 cov µS − r = 1 dMt dSt , 1 Mt St V ar dMt /Mt (µM − r) . d) Le gamma , Coˆuts de transactions. Pratiquement, la sensibilit´e du delta aux variations du cours du sous-jacent est un param`etre important de la gestion. On introduit le gamma de l’option qui est ∂2C ∂x2 ∂2C ∂x2 = = ∂∆ ∂x (la d´eriv´ee du delta par rapport au cours de l’action): 1√ φ0 (d1 ) xσ T o`u φ0 (d1 ) = √1 2π 2 d exp − 21 > 0. Le prix du call est une fonction convexe du prix du sous-jacent. e) Temps jusqu’`a la maturit´e L’effet du temps est tr`es important pour des options arrivant a` maturit´e. On a en effet C t, St1 = St1 φ (d1 (t)) − Ke−r(T −t) φ (d2 (t)) avec d1 (t) = √1 σ T −t n ln x K + (T − t) r + σ2 2 o et ∂2C ∂x2 t, St1 = 1 √ φ0 (d1 (t)) St1 σ T −t −→ 0 cette derni`ere quantit´e tend vers 0 quand t tend vers T. Plus l’´ech´eance est e´ loign´e, plus le prix du call est e´ lev´e. Il est donc utile d’´evaluer la sensibilit´e de ce prix par rapport au temps, c’est-`a-dire, en posant τ = T − t, de calculer ∂C ∂τ . ∂C ∂τ 0 0 0 0 = xφ (d1 ) d1 (τ ) + rKe−rτ φ (d2 (τ )) − Ke−rτ φ (d2 (τ )) d2 (τ ) . 59 On remarque que 0 φ0 (d2 (τ )) = φ (d1 (τ )) e−σ 2 τ /2 eσ √ τ d1 (τ ) = x rτ 0 Ke φ (d1 (τ )) et 0 d02 (τ ) = d1 (τ ) − σ √ 2 τ d’o`u ∂C ∂τ = 0 xσ √ φ 2 τ (d1 (τ )) + Ke−rτ rφ (d2 (τ )) ; cette quantit´e est positive. Le prix d’un call est une fonction croissante de la maturit´e. f) Exercice ∂C ∂K ≤ 0, ∂2C ∂K 2 ≥ 0. Le prix du call est une fonction convexe d´ecroissante du prix d’exercice. g) Rho: ∂C ∂r >0 60 2.3.6 Applications : Autres options dans le mod`ele de Black et Scholes. 1. Une option supershare. Exercice Dans le cadre de Black et Scholes r constante dSt0 = rSt0 dt dSt St = µdt + σdBt Calculer le prix d’une “supershare” (un cas d’option binaire) avec payoff SST = Z = g (ST ) = ST K1 1{K1 <ST <K2 } Solution. SS0 = S0 K1 (φ (h1 (S0 , T )) − φ (h2 (S0 , T ))) hi (s, t) = ln(s/Ki )+(r+σ 2 /2)t √ . σ t 2. Un contrat forward. −→ Consid´erons χ = f (ST ) FT −mesurable et supposons qu’on est a` la date t. D´efinition 2.3.1 Un contrat forward sur χ, fait a` l’instant t, est un contrat qui stipule que l’acheteur du contrat paiera le prix d’exercice K a` la date T et recevra χ a` cette date d’´ech´eance T . Rien n’est pay´e ni rec¸u a` la date t, mais le prix forward K est d´etermin´e a` la date t. Notation K = f (t; T, χ) On peut voir que le montant rec¸u a` T est Y =χ−K et le prix rec¸u a` la date t est e´ gal a` 0. V risk neutral pricing: 61 E Q e−r(T −t) (χ − K) | Ft = 0 =⇒ E Q [χ | Ft ] = E Q [K | Ft ] = f (t; T, χ) parce que K est Ft −mesurable. Proposition 2.3.1 Le prix forward f (t; T, χ) contract´e a` l’instant t, sur la variable al´eatoire χ qui est FT -mesurable est f (t; T, χ) = E Q [χ | Ft ] . Si χ = ST , alors f (t, T ) ≡ f (t; T, ST ) = er(T −t) St . 3. Contrat future Un contrat future est aussi un contrat qui d´elivre χ a` T pour un certain prix d´ecid´e a` la date t mais la diff´erence est qu’il y a des payements avant T a` cause des appels de marge (“margin requirements”). Nous supposons que ces payements sont faits d’une mani`ere “continue”. Si les taux courts sont d´eterministes, les prix forward et future coincident et on a F (t; T, χ) = E Q [χ | Ft ] 4. Option sur contrat forward (et future si les taux sont d´eterministes) Call europ´eenne avec date de maturit´e T, strike K et sur un contrat future F (t, T1 ; S) = F (t, T1 ) avec T < T1 . A la date T , le payoff est (F (T, T1 ) − K)+ = er(T1 −T ) ST − K Le prix du call est donc 62 + = er(T1 −T ) ST − e−r(T1 −T ) K + c = er(T1 −T ) St φ (d1 ) − e−r(T −t) e−r(T1 −T ) Kφ (d2 ) √ avec d1 = ln St e−r(T1 −T ) K + r + σ 2 /2 (T − t) σ T − t √ et d2 = d1 − σ T − t. Proposition 2.3.2 (Black’s formula) c = e−r(T −t) [F (t, T1 ) φ (d1 ) − Kφ (d2 )] avec d1 = ln(F (t,T1 )/K)+σ 2 (T −t)/2 √ σ T −t √ d2 = d1 − σ T − t. 5. Exemple d’une option d’´echange Supposons: (0) dSt0 = rSt0 dt (1) dS1 (t) = α1 S1 (t)dt+ S1 (t)σ1 dBt1 (2) dS2 (t) = α2 S2 (t)dt + S2 (t)σ2 dBt2 avec corr Bt1 , Bt2 = 0. Le payoff de l’option d’´echange est: (S1 (T ) − S2 (T ))+ parce qu’il donne a` l’acheteur le droit mais pas l’obligation de changer un actif S2 pour l’actif S1 a` l’instant T. =⇒ EDP multidimensionnelle (voir la section suivante) 63 Ft + rs1 F1 + rs2 F2 + 12 s21 σ12 F11 + 12 s22 σ22 F22 − rF = 0 F (T, s1 , s2 ) = (s1 − s2 )+ Parce que (S1 (T ) − S2 (T ))+ est homog`ene d’ordre 1 on peut utiliser la transformation F (t, s1, s2 ) = s2 . G t, ss12 o`u G (t, z) satisfait a` Gt (t, z) + 12 z 2 Gzz (t, z) σ12 + σ22 = 0 G (T, z) = (z − 1)+ r=0 K = 1p −→ EDP de Black et Scholes avec vol = σ12 + σ22 −→ G (t, z) = zφ (d1 (z)) − φ (d2 (z)) d1 (z) = ln z+(σ12 +σ22 )(T −t)/2 √ 2 2√ (σ1 +σ2 ) T −t d2 (z) = d1 (z) − p √ σ12 + σ22 T − t. Nous avons donc comme conclusion que F (t, s1 , s2 ) = s2 G t, ss12 = s1 φ d1 ss12 − s2 φ d2 ss12 . 64 2.4 Extensions de la formule de Black et Scholes On va g´en´eraliser la formule obtenue dans le paragraphe pr´ec´edent a` un cas multidimensionnel, o`u les actions versent des dividendes. 2.4.1 Strat´egies de financement Le march´e comporte (d + 1) actifs: une obligation (sans risque) et d actions. Le vecteur des prix des (d + 1) actifs est not´e St , celui des d actifs risqu´es St∗ . On suppose que l’action i, ainsi que l’obligation, versent un dividende. On note Dti , i ≥ 0 les dividendes cumul´es pay´es par l’actif i jusqu’au temps t. Dt ∈ IRd+1 . On appelle processus de gain le processus G : Gt = St + Dt . On suppose que G est un processus d’Itˆo. Formellement, le gain total d’un portefeuille θ (capital plus dividende) est donn´e par Rt 0 θ (s) · dGS ≡ Rt 0 mais nous supposons seulement l’existence de R θ (s) · dSs + Rt 0 θ (s) · dDS θ · dG (donc θ appartient a` Θ (G)). D´efinition 2.4.1 Soit Z une variable al´eatoire positive FT -mesurable. On dit que θ ∈ Θ (G) finance Z si Z θt · St = θ0 · S0 + t θ (s) · dG (s) t ∈ [0, T ] p.s. 0 θT · ST = Z p.s. On peut g´en´eraliser cette d´efinition en consid´erant un processus ξ de consommation ou de refinancement. D´efinition 2.4.2 Soit Z ∈ FT et ξt un processus Ft adapt´e tel que RT 0 | ξ (s) | ds < ∞ p.s. On dit que θ ∈ Θ (G) finance (ξ, Z) si 65 θt · St = θ0 · S0 + θT · ST = Z p.s. Rt 0 θ (s) · dG (s) − Rt 0 ξ (s) ds t ∈ [0, T ] p.s. La quantit´e θ0 · S0 est le prix implicite a` l’instant 0 de (ξ, Z). Sous A.O.A. ce prix ne d´epend que de (ξ, Z). Le prix implicite a` l’instant t est π (ξ, Z)t = θt · St . 2.4.2 Les variables d’´etat On suppose a` pr´esent que l’´economie est d´ecrite par un vecteur d’´etat Yt ∈ IRd , v´erifiant l’EDS dYt = ν (t, Yt ) dt + η (t, Yt ) dBt (2.12) o`u Bt est un m.b. multidimensionnel donn´e de dimension m, ν est une fonction de [0, T ] × IRd a` valeurs dans IRd , η est une fonction de [0, T ] × IRd a` valeurs matricielles d × m. On suppose que ν et η sont mesurables et sont lipschitziennes en x, uniform´ement par rapport a` t, pour assurer l’existence d’un unique processus Y v´erifiant (2.12). On suppose que les prix des actifs risqu´es sont des fonctions de Yt soit St∗ = Y (t, Yt ) i o`u Y est une fonction de C 1,2 [0, T ] × IRd , IRd telle que la matrice Yy = ( ∂Y ∂yj )i,j est inversible. Nous supposons que le march´e est complet et donc que d = m et que η est inversible. Cette hypoth`ese nous permettra d’obtenir l’existence d’un portefeuille financ¸ant une variable terminale. L’obligation est suppos´ee avoir un prix constant St0 = 1. Les processus des dividendes sont donn´es par les taux, on suppose que ce sont des fonctions de Yt : dDtT dt = r (t, Yt ) , δ (t, Yt )T , o`u r (t, y) repr´esente le taux d’int´erˆet a` court terme; δ (t, y) ∈ IRd est le taux des dividendes. 66 2.4.3 EDP de Black et Scholes On consid`ere les strat´egies qui financent (ξ, Z) dans le cas o`u f : [0, T ] × IRd −→ IR ξt = f (t, Yt ) o`u g : IRd −→ IR Z = g (YT ) On suppose qu’il existe une fonction C ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd , IR telle que π (ξ, Z)t = C (t, Yt ) et un portefeuille θ financ¸ant (ξ, Z) et on va d´eterminer C. Soit Vt ≡ π (ξ, Z)t = θt · St . En utilisant le fait que θ finance (ξ, Z) on obtient dVt = θt · dGt − f (t, Yt ) dt = θt · dSt + θt · dDt − f (t, Yt ) dt = αt dSt0 + βt · dSt∗ + {αt r (t, Yt ) + βt · δ (t, Yt )} dt − f (t, Yt ) dt o`u θtT = αt , βtT avec αt ∈ IR, βt ∈ IRd . Nous utilisons le lemme d’Itˆo pour calculer dSt∗ . Nous rappelons d’abors le lemme d’Itˆo multidimensionnel: Soit X = X 1 , ..., X d multidimensionnel: dXt = µt dt + σt dBt o`u µt est un processus Ft -adapt´e, µt : Ω −→ IRd σt est une matrice al´eatoire (d × k) adapt´e, Bt un mouvement brownien de dimension k, µ, σ processus verifiant (1.10). 67 T un processus d’Itˆo Lemme 2.4.1 Soit f ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd ; IR . On note ∂f (t, x) , ..., ∂x (t, x) le vecteur ligne d 2 fxx (t, x) la matrice ∂x∂i ∂xj f (t, x) et ft (t, x) = ∂f ∂t (t, x) . fx (t, x) = ∂f ∂x1 i,j Soit Yt = f (t, Xt ), alors dYt = ft (t, Xt ) + fx (t, Xt ) µt + 12 tr σt σtT fxx (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) σt dBt o`u pour une matrice carr´ee (Ai,j )i,j on note trA = d P Ai,i (la somme des e´ l´ements diagonaux). i=1 Notation dYt = Lf (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) σt dBt o`u l’op´erateur L s’appelle le g´en´erateur infinit´esimal ou le Dynkin: Lf (t, x) = ft (t, x) + fx (t, x) µt + 21 tr σt σtT fxx (t, x) . Nous remarquons que dSt0 = 0 car St0 = 1 : dVt = d X ( βti dSti = αt r (t, Yt ) + ) βti δ i (t, Yt ) dt − f (t, Yt ) dt i=1 i=1 d X + d X βti LY i (t, Yt ) + δ i (t, Yt ) dt + [αt r (t, Yt ) − f (t, Yt )] dt i=1 + d X βti Yyi (t, Yt )η(t, Yt )dBt i=1 68 (2.13) o`u 1 i LY i (t, Yt ) = Yti (t, Yt ) + Yyi (t, Yt )ν(t, Yt ) + tr η(t, Yt )η(t, Yt )T Yyy (t, Yt ) 2 D’autre part, en utilisant Vt = C (t, Yt ) on obtient dVt = LC (t, Yt ) dt + Cy (t, Yt ) η (t, Yt ) dBt o`u (2.14) 1 LC(t, Yt ) = Ct (t, Yt ) + Cy (t, Yt )ν(t, Yt ) + tr η(t, Yt )η(t, Yt )T Cyy (t, Yt ) . 2 On identifie les coefficients de Bt dans (2.13) et (2.14) βtT Yy (t, Yt ) η (t, Yt ) = Cy (t, Yt ) η (t, Yt ) Yy1 d’o`u puisque Yy = ... est inversible Yyd βtT = Cy Yy−1 et C (t, Yt ) = αt + βt · St∗ = αt + Cy Yy−1 St∗ d’o`u αt = C − Cy Yy−1 St∗ . On identifie a` pr´esent les coefficients de dt dans (2.13) et (2.14), en remplac¸ant αt et βt par leurs valeurs. Il vient Cy Yy−1 (LY + δ − rSt∗ ) = f + LC − rC. 69 LY 1 avec LY = ... . d LY On explicite les op´erateurs LY et LC qui d´ependent des coefficients ν et η du processus Y. 2 i ∂ Y i la matrice de composantes Il vient, en notant Yyy ∂yl ∂yk l,k Cy Yy−1 Yy · ν + Yt + + δ − rSt∗ 1≤i≤d = f − rC + Cy · ν + Ct + 12 tr ηη T Cyy 1 2 i tr ηη T Yyy Yt1 T i T Y 1 , · · · , tr ηη T Y d avec Yt = ... et tr ηη T Yyy = tr ηη yy yy 1≤i≤d Ytd Apr`es simplification par Cy · ν, si l’on pose n γ (t, Yt ) = −Yy−1 (t, Yt ) Yt (t, Yt ) + 1 2 o i (t, Y )) tr(ηη T Yyy + δ − rY (t, Y ) t t 1≤i≤d on trouve Cy γ + Ct + 12 tr ηη T Cyy = rC − f ˆ l’op´erateur d´efini par Notons L ˆ = Cy γ + Ct + 1 tr ηη T Cyy LC 2 La fonction C est solution de l’EDP: ˆ − rC = −f LC (2.15) C (T, y) = g (y) . (2.16) et est soumise a` la condition fronti`ere Nous avons une repr´esentation des solutions de (2.15) et (2.16) grˆace a` la formule de Feynman-Kac. 70 Th´eor`eme 2.4.1 Sous des conditions de r´egularit´e, l’unique solution de (2.15) - (2.16) est donn´ee par hR i T C (t, y) = IE t e−φ(s) f (s, Wsy,t )ds + e−φ(T ) g WTy,t o`u Wsy,t est l’unique processus solution de ( dWsy,t = γ s, Wsy,t ds + η s, Wsy,t dBs Wty,t = y avec γ (t, x) = −Yy−1 (t, x) Yt + 1 2 i tr ηη T yyy + δ − rY (t, x) 1≤i≤d o`u φ (s) = Rs t r(u, Wuy,t )du. La fonction C repr´esente le prix implicite d’une strat´egie financ¸ant (ξ, Z) dans le cas ξt = f (t, Yt ) et Z = g (YT ) Retournons a` la derni`ere application de la section 2.3.6: St = Y (Yt ) =⇒ Y = identit´e Yy = 1 Yyy = 0 Yt = 0 =⇒ γ (t, x) = +r (t, x) x =⇒ ˆ = Cx r (t, x) x + Ct + 1 tr ηη T Cxx LCˆ − rC = 0 avec LC 2 2.4.4 Probabilit´e risque-neutre. On peut d´emontrer le th´eor`eme 2.4.1 avec le concept de probabilit´e risque-neutre en tenant compte que la probabilit´e risque-neutre Q est d´efinie en g´en´erale telle que le processus du gain actualis´e Gat est une martingale sous Q, o`u Gat est d´efinie par Z t Z s Z t a Gt = exp − ru du St + exp − ru du dDs . (2.17) 0 0 71 0 Chapitre 3 Options exotiques Dans une premi`ere section nous pr´esentons des options a` barri`eres. Dans une deuxi`eme section nous pr´esentons d’autres options exotiques. 3.1 Les options a` barri`eres Dans ce type d’options, un niveau (barri`ere) L ou H est fix´e au mˆeme moment que le prix d’exercice. Nous nous restreignons au cas des options d’achat europ´eennes. L’acheteur d’une option Down-and-out perd le droit d’exercice si le prix du sous-jacent (St )t≥0 descend sous le niveau L avant la date d’´ech´eance T . On suppose que S0 > L. Sinon le d´etenteur de l’option rec¸oit le payoff (x − K)+ pour une call option. Le prix d’un down-and-out call est h i DOC(S0 , K, L) = E Q e−rT (ST − K)+ 1(TL >T ) o`u TL est le temps d’arrˆet o`u le sous-jacent franchit pour la premi`ere fois la barri`ere, soit: TL = inf {t |St ≤ L } = inf {t |St = L }, la derni`ere e´ galit´e r´esultant de l’hypoth`ese S0 > L et de la continuit´e des trajectoires. Les options Up-and-out, Up-and-in et Down-and-in sont d´efinies de mani`ere analogue. On peut aussi consid´erer le cas o`u le d´etenteur de l’option rec¸oit une compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du bas L. Cette compensation est fix´ee a` la signature du contrat et est percue au moment du franchissement de la barri`ere ou a` la date d’´ech´eance. est major´e de h i h Le prix de l’option i Q −rT Q −rT F E e L 1(TL ≤T ) dans le premier mode de paiement et F E e 1(TL ≤T ) dans le second. On peut aussi envisager la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H. 72 h i Dans un premier paragraphe nous allons d’abord d´eriver la valeur de F E Q e−rT 1(TH ≤T ) et dans h i un deuxi`eme paragraphe celui de F E Q e−rTH 1(TH ≤T ) . Nous aurons besoin de r´esultats de Calcul Stochastique. Dans un dernier paragraphe nous nous concentrons sur la valorisation et couverture d’une option Down-and-In. Nous nous plac¸ons dans le mod`ele complet de Black et Scholes o`u sous la probabilit´e risque-neutre Q, le prix du sous-jacent est donn´e par dSt = rdt + σdBt . St Dans ce chapitre, Φ(x) = 3.1.1 exp(−u2 /2) √ du, 2π Rx −∞ x ∈ IR. Prix de la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H, pay´e a` la date d’´ech´eance En utilisant la formule de risque-neutral pricing, nous devons calculer F e−rT EQ 1(TH ≤T ) =? Parce que dSt = rdt + σdBt St on peut e´ crire que 1 2 = S0 exp r − σ t + σBt 2 r σ = S0 exp σ Bt + − t σ 2 = S0 exp (σWt ) St avec Wt = Bt + mt, avec m = r σ − σ 2 Ainsi on peut r´ee´ crire le temps de franchissement 73 TH = inf {t, St ≥ H} H = inf t : σWt ≥ ln S0 1 H = inf t : Wt ≥ ln σ S0 H 1 = Th avec h = ln σ S0 Nous concluons que la compensation est e´ gale a` " −rT Fe EQ 1(TH ≤T ) = F e−rT Q # sup Wt ≥ h 0≤t≤T " −rT = Fe # Q sup (Bt + mt) ≥ h t≤T Nous avons donc besoin de quelques r´esultats sur des mouvements Brownien, qui seront donn´es dans l’Intermezzo suivant. 74 INTERMEZZO: CALCUL STOCHASTIQUE Quelques r´esultats sur (Bt )t , un mouvement Brownien sans d´erive: I. Principe de r´eflexion. Proposition 3.1.1 Notons Mt = sup0≤s≤t Bs avec (Bs )s un m.B. Pour 0 ≤ y, x ≤ y P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = P (Bt ≥ 2y − x) . Pour x ≥ y ≥ 0 P (Mt ≥ y, Bt ≥ x) = P (Bt ≥ x) . D´emonstration Le cas x ≥ y ≥ 0 est trivial. Prenons donc le cas 0 ≤ y, x ≤ y. Soit Ty = inf {t : Bt ≥ y} le temps d’attente de y et Mt = sup0≤s≤t Bs . Par d´efinition (Ty ≤ t) = (Mt ≥ y) . Par continuit´e des trajectoires Ty = inf {t : Bt = y} et BTy = y. D’o`u P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = P (Bt ≤ x, Ty ≤ t) = P Bt − BTy ≤ x − y, Ty ≤ t = E 1Ty ≤t P Bt − BTy ≤ x − y |Ty ∼ = E 1Ty ≤t P B t−Ty ≤ x − y d et−Ty = o`u B Bt − BTy , t ≥ Ty est un mouvement brownien ind´ependant de (Bt , t ≤ Ty ), de mˆeme ∼ loi que −B. Ainsi on trouve que ∼ P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = E 1Ty ≤t P B t−Ty ≥ y − x et en remontant les calculs, on trouve que: 75 P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = E 1Ty ≤t P (Bt − BTy ≥ y − x | Ty ) = P (Bt ≥ 2y − x, Ty ≤ t) = P (Bt ≥ 2y − x) car 2y − x ≥ y. II. R´esultats pour un mouvement Brownien avec d´erive. La proposition suivante est tr`es importante pour les options a` barri`eres: Proposition 3.1.2 Notons MtX = sup (σBs + µs). 0≤s≤t Pour Xt = µt + σBt y≥0 P MtX σ>0: 2µy/σ 2 Φ −y−µt √ √ − e . ≤ y = Φ y−µt σ t σ t D´emonstration. Nous remarquons que P MtX ≥ y = P avec τ = inf t | Bt ≥ y σ sup Bs + s≤t µs σ ≥ y σ = P (τ ≤ t) − σµ t . 2 −2µ/σ Bt −2 µ2 t σ Puisque e est une martingale: t Z µ2 e−2µ/σ Bt −2 σ2 t dP Z = (τ ≤t) µ2 e−2µ/σ Bτ −2 σ2 τ dP (τ ≤t) Z = y µ (τ ≤t) 2 = e−2µy/σ P (τ ≤ t) 76 µ2 e−2µ/σ( σ − σ τ )−2 σ2 τ dP Par cons´equent : MtX P ≥y = P (τ ≤ t) = e 2µy/σ 2 2µ2 Z e−2µ/σ Bt − σ2 t dP (τ ≤t) 2 −2µ/σ Bt − 2µ2 t 2µy/σ 2 σ 1(τ ≤t) = e EP e En utilisant le th´eor`eme de Girsanov dans le cas et est un mouvement brownien. Ainsi: B dQ dP |Ft = " P MtX ≥y 2µy/σ 2 = e EP e " 2µy/σ 2 = e EQ e " 2µy/σ 2 = e EQ e µ2 e−µ/σ Bt − 2σ2 t , on sait que sous Q : Bt + σµ t = 2t 2σ 2 µ −σ Bt − µ 2 µ e −σ Bt − µ 2t 2σ 2 µ e −σ Bt − µ 2t 2σ # 2 µ − µ2t −σ (Bt + µt σ ) 2σ e e 1τ ≤t # 1τ ≤t # 1Mt ≥y/σ es sous Q telle que: avec Mt = sup0≤s≤t B h Q Mt ≥ a, h Q Mt ≥ a, i et ≤ x = Q B et ≤ x − 2a B i et ≥ x et ≥ x = Q B B x≤a x>a n o et = y/σ , et on obtient par le principe de r´eflexion. En plus on sait que τ = inf t | B 77 P MtX ≥ y 2µy/σ 2 Z 2µy/σ 2 Z = e 1(Mt ≥y/σ) e y/σ = e e 2 µ e −σ Bt − µ 2t 2σ 2t 2σ 2 µ −σ x− µ fBet (x − 2y/σ) dx + e −∞ = = = = dQ 2µy/σ 2 Z +∞ e 2 µ −σ x− µ 2t 2σ y/σ fBet (x) dx. Z +∞ µ µ2 t − σ x− 2 dx dx 2 2 2σ ) √ e e e−( e e−x /2t √ + e2µy/σ 2πt 2πt −∞ y/σ ! Z Z y/σ 2 +∞ 2 dx 2y µt 1 1 µt 2 dx exp − e− 2t (x−( σ − σ )) √ + x+ e2µy/σ √ 2t σ 2πt 2πt y/σ −∞ Z −y+µt Z 2 2 √ +∞ σ t e−u /2 e−u /2 2 √ √ du + e2µy/σ du y 2π 2π √ √ −∞ + µt σ t σ t −y + µt −y − µt 2 2µy/σ √ √ Φ +e Φ σ t σ t 2µy/σ 2 Z y/σ 2t 2σ 2 µ −σ x− µ o`u nous avons utilis´e les substitutions u = 2 x− 2y /2t σ x−( 2y − µt σ σ ) √ t et u = x+µt/σ √ . t Par la sym´etrie d’une loi normale, on obtient le r´esultat: P MtX ≤ y = P (τ ≥ t) = Φ y − µt √ σ t −e 2µy/σ 2 Φ −y − µt √ σ t . Fin de l’Intermezzo calcul stochastique 78 Nous allons maintenant appliquer les r´esultats pr´ec´edents a` la valeur de compensation: " # F e−rT EQ [1TH ≤ T ] = F e−rT Q sup (Bt + mt) ≥ h t≤T = F e−rT = F e−rT en substituant l’expression m = 3.1.2 r σ −h − mT −h + mT 2mh √ √ +e Φ Φ T T 2 hσ + rT − σ 2 /2 T −hσ + rT − σ T /2 2(r−σ 2 /2)h/σ √ √ +e Φ − Φ σ T σ T − σ2 . Maintenant h peut encore eˆ tre substitu´e. Valeur de la compensation pay´e au moment du franchissement Maintenant nous d´erivons le prix F EQ e−rTh 1(Th ≤T ) de la compensation F en cas de franchissement d’une barri`ere du haut H pay´e au moment du franchissement EQ e−rTH 1(TH ≤T ) = ER exp mWTh − 12 m2 Th e−rTh 1(Th ≤T ) avec dR dQ |t = exp −mBt − 21 m2 t ou dQ dR |t = exp mWt − 21 m2 t sous R : Wt = Bt + mt est un mouvement brownien standard. Donc i h 2 EQ e−rTH 1(TH ≤T ) = emh ER 1(Th <T ) exp − 2r+m Th 2 avec TH = Th = inf t : Wt ≥ 1 σ ln H x =h et avec Wt un mouvement brownien standard sous R. Nous avons a` nouveau besoin d’un r´esultat sur le mouvement Brownien. 79 Un r´esultat sur le mouvement brownien (Bt )t≥0 . Proposition 3.1.3 √ √ p p −µTy √ y −y 2µ + e 2µy Φ −y/ a − 2µa EQ e 1(Ty <a) = e Φ 2µa − √ a avec Ty = inf {t : Bt ≥ y} avec Bt mouvement brownien sous Q D´emonstration: h √ i √ EQ e−µTy 1(Ty <a) = e−y 2µ EQ e 2µBTy e−µTy 1(Ty <a) Nous utilisons le th´eor`eme de Girsanov avec ∼ dQ dQ ∼ Sous Q, = eBt √ 2µ−µt . n o ∼ √ et + √2µt = y Bt = Bt − 2µt est un mouvement brownien. Donc avec Ty = inf t, B −µTy EQ e 1Ty <a √ −y 2µ √ e E ∼ 1Ty < a = e−y 2µ Q p sup 2µs ≥ y = e Q 0≤s≤a p √ √ √ −y p 2µy −y 2µ √ Φ Φ = e 2µa − y/ a + e − 2µa a es + B parce que pour Xt = σBt + µt 2µy/σ 2 Φ −y−µt √ √ + e Q MtX ≥ y = Φ −y+µt σ t σ t 80 Application de ce r´esultat a` la valeur de compensation: −rT 1 2 −rTh H EQ e 1(TH ≤T ) = ER exp mWTh − m Th e 1(Th <T ) 2 2r + m2 mh Th = e ER 1(Th <T ) exp − 2 n o avec Th = inf t : Wt ≥ h = σ1 ln SH0 et Wt = Bt + mt un mouvement brownien sous R tel qu’on peut utiliser la proposition ci-dessus: −rT −hσ + rT + σ 2 T /2 −hσ − rT − σ 2 T /2 −hσ 2rh/σ H √ √ EQ e 1(TH ≤T ) = e Φ +e Φ . σ T σ T 3.1.3 Valeur d’une down-and-in call. Nous proc´edons maintenant a` la d´erivation du prix d’un Down-and-In call. Proposition 3.1.4 Supposons x = S0 > L. DIC (S0 , L, K) = e−rT EQ (ST − K)+ 1(TL <T ) . Pour K ≤ L DIC (S0 , L, K) = S0 Φ (z1 ) − Φ (z2 ) + L S0 2r2 +1 σ ! Φ (z3 ) − Ke−rT Φ (z4 ) − Φ (z5 ) + avec: h i √ σ2 x r + T + ln ; z = z − σ T 4 1 2 K σ T i h √ 2 z2 = σ√1 T r + σ2 T + ln Lx ; z5 = z2 − σ T i h √ 2 z3 = σ√1 T r + σ2 T − ln Lx ; z6 = z3 − σ T . z1 = 1 √ Pour K > L 81 L S0 2r2 −1 σ ! Φ (z6 ) DIC (x = S0 , L, K) = L S0 1+2r/σ2 KS 2 C S0 , L20 , ce qui permet de donner une strat´egie de couverture de l’option barri`ere avec des calls europ´eens. Ou bien DIC (x = S0 , L, K) = L S0 1+ 2r2 h σ S0 Φ (z7 ) − KS02 −rT e Φ (z8 ) L2 i avec z7 = 1 √ σ T + r+ √ z8 = z7 − σ T . h ln L2 S0 K σ2 2 i T Pour la d´emonstration, nous nous limitons au cas o`u K > L. Nous utilisons la sym´etrie de Peter Carr. Proposition 3.1.5 Sym´etrie de Peter Carr Supposons que r = 0 et dSt St = σdWt sous Q. Alors, on a Call (t, St , K, T ) = KSt Put t, S1t , K1 , T = Put (t, K, St , T ) D´emonstration. La derni`ere e´ galit´e est obtenue parce que l’homog´en´eit´e implique que Put (t, ax, aK, T ) = a Put (t, x, K, T ) . Maintenant: Call(t, St , K, T ) = EQ (ST − K)+ |Ft = KEQ ST K1 − 1 ST + Nous introduisons une standardisation: St = xMt avec M0 = 1, dMt Mt = σdWt . En utilisant le lemme d’Ito, on v´erifie que d M1t = − M12 (Mt σdWt ) + t 2 Mt2 σ 2 dt 2Mt3 82 = − Mσt (dWt − σdt) |Ft . D´efinissons dR dQ = Mt = exp σWt − σ2 2 t . ∼ Alors, on a que W t = Wt − σt est un mouvement brownien sous R. ∼ Donc sous R, d M1t = − Mσt dW t . D´efinissons aussi Zt = x St . Nous rappellons la formule de Bayes: ER (A |Ft ) = EQ [AMT |Ft ] . Mt En utilisant ces notations et ces r´esultats, on trouve que Call(t, St , K, T ) = KxMt ER 1 K − ZT x + sur un actif avec dynamiques d Zxu = −σ Zxu dWu de valeur sym´etrie de Peter Carr est termin´ee. |Ft = KSt Put t, S1t , , K1 , T 1 St a` l’instant t. Ainsi la d´emonstration de la D´emonstration. Maintenant, nous d´emontrons le prix d’une down-and-in call dans le cas K > L comme corollaire de la sym´etrie de Peter Carr. Nous commenc¸ons par le cas o`u r = 0. EQ (ST − K)+ 1(TL <T ) = EQ 1(TL <T ) EQ (ST − K)+ | FTL o`u EQ (ST − K)+ | FTL = call (TL , L, K, T ) = Put (TL , K, L, T ) par la sym´etrie de Peter Carr. En utilisant l’homog´en´eit´e, on trouve que i h 2 EQ (ST − K)+ 1TL <T = EQ 1TL <T K/L Put TL , L, LK , T = On remarque que pour L2 K K L EQ − ST > 0, on a que TL < T ; donc on conclut que 83 1TL <T EQ L2 K − ST + | FTL . EQ (ST − K)+ 1TL <T = = = = K L2 Put x, L K 2 K L call ,x L K K call L, x L L Kx2 call x, 2 x L (3.1) Et nous trouvons donc bien le r´esulat dans le cas o`u r = 0, avec S0 = x: DIC (x = S0 , L, K) = L S0 1+2r/σ2 KS 2 C S0 , L20 , Avant de consid´erer le cas de taux d’int´erˆet non-nuls, nous observons qu’en d´erivant (3.1) par rapport a` K, on obtient Q (ST > K, min St ≤ L) = Kx2 x Q ST > 2 L L parce que L call L, K L x = EQ (ST x − Kx + L ) et donc d dK call x L L, K L x = − L Q ST x > Kx L Nous d´erivons maintenant le prix d’un Down- and-In option dans le cas r 6= 0. Soit S de dynamique dSt = St (rdt + σdBt ) et d´ ef γ −1 = 1 − 84 2r σ2 (3.2) En utilisant le lemme d’Ito, on trouve que St = S0 (Mt )γ avec dMt Mt = σγ −1 dBt parce que γ 2 − 12 σ2 t+σγ −1 Bt r−σ 2 /2)t+σBt ( St = S0 e = S0 e γ Nous remarquons que Q (ST ≥ K, min St ≤ L) = Q MT ≥ K S0 1/γ , min Mt ≤ L S0 1/γ ! Nous utilisons maintenant (3.2) ici avec S0 = x: ! Kx 1/γ Q MT > Q (ST ≥ K, min St ≤ L) = L L2 x 1/γ Kx2 = Q ST > 2 L L x 1/γ En int´egrant on trouve le r´esultat: + EQ (ST − K) 1TL ≤T Z +∞ Q (ST > k, min St ≤ L) dk x 1/γ L2 EQ ST 2 − K = L x + 2r2 −1 2 L x2 K L σ EQ ST − 2 . = x x L + = K 3.2 Autres options. Ce paragraphe est tir´e du livre de Dana & Jeanblanc-Picqu´e. Nous donnons en exemple quelques-unes des options trait´ees sur les march´es. Nous ne d´etaillons pas les calculs, souvent tr`es p´enibles. Nous n’abordons pas le probl`eme primordial de couverture, encore plus complexe que la valorisation. 85 3.2.1 Options li´ees au temps d’atteinte d’une barri`ere. Les options type digitales. - Les options asset-or-nothing sont li´ees a` un ”prix d’exercice” K. Le flux terminal est e´ gal a` la valeur du sous-jacent si celui-ci est ”dans la monnaie” a` maturit´e, soit ST 1ST ≥K , et a` 0 sinon. Le ”prix d’exercice” joue le role d’une barri`ere. La valeur d’une telle option est e−rT EQ (ST 1ST ≥K ) et est facile a` e´ valuer (c’est le premier terme du prix Black et Scholes). -Les options digitales sont associ´ees a` une barri`ere. Le payoff d’une option digitale up-and-out est 1 si le sous-jacent n’a pas franchi la barri`ere avant maturit´e, 0 sinon. Le prix d’une telle option est e−rT EQ (1TL >T ) = e−rT Q (TL > T ) . La loi de TL sous Q est la loi du premier temps d’atteinte d’une barri`ere l= 1 σ ln SL0 par le brownien drift´e σr t + Bt . Le calcul correspondant a` e´ t´e fait lors du calcul de la compensation. -Les options asset-or-nothing peuvent e´ galement avoir un caract`ere up-and-in li´e a` une barri`ere. Leur prix sera alors e−rT EQ (ST 1ST ≥K 1TL ≥T ) . Elles sont utilis´ees pour obtenir des portefeuilles de couverture d’options barri`eres. Les options barri`eres forward-start. Dans ce type d’options, la barri`ere n’est mise en place qu’`a un instant t < T o`u T est la maturit´e. Leur payoff est (ST − K)+ 1THt ≥T avec THt = inf {u ≥ t : Su ≥ H} . 86 Les options early-ending ont une barri`ere qui n’est op´erante qu’entre l’´emission et une date t. Les boost. Une option boost est associ´ee a` deux barri`eres: une barri`ere haute H et une barri`ere basse L. Le payoff d’une telle option est proportionnel au temps pass´e entre les barri`eres avant le premier instant de sortie. Le calcul de la valeur d’une option boost se fait au moyen de la transform´ee de Laplace de T ∗ = TH,L ∧T, d´ ef o`u TH,L est le premier instant de sortie du “tunnel” TH,L = TH ∧ TL . Cette transform´ee de Laplace est ∗ d´efinie par ψ (λ) = EQ e−λT . La connaissance de cette fonction donnera le r´esultat voulu par d´erivation par rapport a` λ qui conduit a` 0 −ψ (λ) = EQ T ∗ e−λT Pour calculer ψ, on d´ecompose EQ e−λT EQ e−λT ∗ ∗ ∗ . en deux parties: = EQ e−λTH,L 1TH,L <T + e−λT Q (TH,L > T ) . La loi de TH,L est connue et est donn´ee par une s´erie double. - Si le paiement a lieu a` maturit´e, le prix d’une option boost est, au coefficient de proportionalit´e pr`es 0 EQ e−rT T ∗ = −e−rT ψ (0) . - Si le paiement a lieu ’at hit”, le prix est ∗ 0 EQ e−rT T ∗ = −ψ (r) . 3.2.2 Les options avec temps d’occupation. Les options cumulatives. Ce sont des options qui disparaissent si le sous-jacent a pass´e plus d’un certain temps, pr´ecis´e dans le contrat, au-dessus d’une barri`ere.R Si L est la barri`ere et D le temps a` ne pas d´epasser, le payoff T s’´ecrit (ST − K)+ 1AT ≤D o`u AT = 0 1St ≥L dt mesure le temps pass´e par le sous-jacent au-dessus de la barri`ere L. Le probl`eme est alors r´esolu en calculant la loi du couple (AT , ST ) ce qui n´ecessite des calculs que nous ne pouvons reproduire. On pourra consulter Chesney et al. (1997) et Hugonnier (1998). 87 Les options boost-cumultatives. Les Rboost cumulatives unilat´erales ont un payoff proportionnel au temps pass´e au-dessus de la barri`ere, T soit 0 1St ≥L dt. Leur valeur est RT BC = EQ e−rT 0 1St ≥L dt ce qui se calcule facilement BC = e−rT RT 0 Q (St ≥ L) dt et le terme Q (St ≥ L) s’exprime, comme dans la formule de Black et Scholes, au moyen de la fonction de r´epartition de la loi gausienne. Les step-options. RT L Introduites par Linetzky (1997), leur payoff est e−νAT (ST − K)+ o`u AL T = 0 1St ≤L dt et ν est un coefficient positif, pr´ecis´e comme les autres param`etres K et L au moment de la signature. Ce payoff est plus petit que le payoff europ´een de mˆeme prix d’exercice, avec e´ galit´e si le sous-jacent est rest´e en dessous de labarri`ere entre l’´emission et la maturit´e. Linetzky les valorise en d´eterminant la loi du couple ST , AL . On peut e´ galement transformer l’expression en utilisant le brownien W et la loi du RTT couple WT , 0 1Wt ≤l dt qui figure dans l’ouvrage de Borodin-Salminen (1997). Les options quantiles. Introduites par Akahori (1995), leur payoff est (AαT − K)+ o`u n o RT AαT = inf x ∈ R : 0 1St ≤x dt ≥ αT . Les options parisiennes. Ce sont des options ayant des points communs avec les cumulatives, mais o`u ne cumule pas le temps. L’option disparaˆıt si le sous-jacent reste pendant un intervalle de temps de longueur D au-dessus d’un certain niveau L. Elles sont beaucoup plus difficiles a` valoriser. La premi`ere e´ tape est d’´ecrire le payoff de fac¸on math´ematique. Pour cela, on introduit le dernier instant avant t o`u le sous-jacent a atteint le niveau L que l’on note gt = sup {s ≤ t |Ss = L} , puis le temps d’arrˆet H o`u l’option meurt par 88 H = inf {t |(t − gt ) ≥ D, St ≤ L} . Dans cette expression, t − gt ≥ D signifie que, entre gt et t le sous-jacent ne prend pas la valeur L, et l’in´egalit´e St ≤ L pr´ecise qu’`a l’instant t la valeur du sous-jacent est sous le niveau L. La valeur de l’option est EQ e−rT (ST − K)+ 1H≥T . Cette quantit´e demande la connaissance de la loi du couple (ST , H) ce qui n’est pas ais´e. On calcule la transform´ee de Laplace en temps du prix (Chesney et al. (1997) et Yor et al. (1997)), c’est-`a-dire R∞ 0 dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≥t . En fait il est plus facile de calculer Z ∞ dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≤t Z0 ∞ Z + −λt −rt = dte EQ e (St − K) − 0 ∞ dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≥t 0 La premi`ere int´egrale du second membre se calcule explicitement au moyen de la formule de Black et Scholes. Cette technique permet d’appliquer la propri´et´e de Markov au temps H. 3.2.3 Autres produits. Les options asiatiques ou options sur moyenne. Ce sont des options de maturit´e fix´ee T dont le payoff terminal est R 1 T T 0 Su du − K + . Les formules exactes de valorisation sont connues, et leur mise en place n´ecessitent des connaissances qui d´epassent le cadre de ce cours. Nous renvoyons le lecteur a` l’article de Geman-Yor, qui utilise de mani`ere intensive les processus de Bessel. L’id´ee essentielle est de calculer, non pas le prix, mais la transform´ee de Laplace en temps de ce prix, c’est-`a-dire 89 R∞ 0 e−λt EQ R 1 t t 0 Su du − K + dt. Les calculs sont possibles grˆace au r´esultat, dˆu a` Lamperti, qui exprime St en fonction d’un processus de Bessel e´ valu´e en un instant diff´erent de t (formule de changement de temps). Une autre approche, d´evelopp´ee par Stanton (1994), Rogers et Shi (1995) et Descamps et Koehl (1997) consiste a` e´ crire l’´equation aux d´eriv´es partielles de valorisation. La valeur d’une option asiatique est donn´ee par CtAs = X (t) A (t, Yt ) o`u d´ ef Yt = 1 X(t) R 1 t t X (u) du − K , 0 et o`u A est solution de ∂A ∂t + 1 T − ry ∂A ∂y 2 + 12 σ 2 y 2 ∂∂yA2 = 0 et satisfait a` la condition fronti`ere A (T, y) = y + . Sur les march´es, on traite des produits bas´es sur la moyenne arithm´etique payoff 1 n n P ! S jT j=1 n n 1/n ou (ce qui est plus simple) sur la moyenne g´eom´etrique payoff Π S jT . j=1 3.2.4 n Produits d´ependant d’une date interm´ediaire. Dans les produits suivants, on consid`ere la maturit´e T et une date fix´ee t1 telle que t1 < T. Les options compos´ees. Aussi appel´ees options sur option. On distingue l’option m`ere et l’option fille. A la date 0, l’acheteur ach`ete une option de maturit´e t1 de strike K1 sur une option de maturit´e T > t1 de strike K. Elles se valorisent en remarquant que le payoff en t1 est, pour call sur call, (C (t1 , K, T ) − K1 )+ . Les options chooser. L’acheteur de l’option a la possibilit´e de d´ecider, a` une date t1 < T fix´ee, la nature du produit achet´e: call ou put. En utilisant la parit´e call-put, il est facile de montrer que le payoff d’une telle option est, dans le cas o`u les maturit´es et prix d’exercices du call et du put sont identiques 90 max (C (t1 ) , P (t1 )) = C (t1 ) + Ke−r(T −t) − St1 + et la valorisation est facile. Les options cliquet. Leur payoff est max (ST − K, St1 − K, 0) . On peut imaginer des options cliquets portant sur plusieurs dates interm´ediaires. Les Bermuda. Elles sont a` “mi-chemin” entre les europ´eennes et les am´ericaines, d’o`u leur nom. Le d´etenteur d’une telle option peut exercer son droit avant maturit´e, mais uniquement en certaines dates pr´ed´efinies. Encore d’autres produits. Nous allons nous contenter de donner la d´efinition de quelques produits, notre liste n’´etant pas exhaustive. Les options quanto sont des options faisant intervenir deux pays et le taux de change entre ces deux pays. Ces options ont e´ t´e e´ tudi´ees par Ch´erif (1996). Leur valorisation repose sur le principe qu’un actif e´ tranger transcrit en monnaie domestique est un actif domestique. + Un exemple est un call sur un actif e´ tranger avec strike en monnaie e´ trang`ere. Le payoff est STf − K f o`u nous avons succomb´e a` la notation f pour d´esigner le pays e´ tranger. Ce flux est transform´e en monnaie “domestique” par le taux de change X et est alors valoris´ utilisant la probabilit´ e risque neutre e en + f f d . Une autre approche domestique, index´ee par d, ce qui conduit au calcul de E XT ST − K consiste a` valoriser le produit en monnaie e´ trang`ere en utilisant e risque neutre e´ trang`ere et la probabilit´ + f en transcrivant la valeur grˆace au taux de change, soit Xt E f ST − K f . Les deux approches sont identiques par absence d’arbitrage, ce qui lie les probabilit´es risque neutre des deux pays. Les options russes. d´ ef Elles sont de type am´ericain. Exerc´ees au temps τ leur payoff est Zτ = K ∨ maxt≤τ St . Il s’agit de ∗ r(τ −t) trouver τ qui optimise E Zτ e . Les options Rainbow. Elles portent sur deux sous-jacents. Leur payoff est max (S1 (T ) , S2 (T ) , K) . 91 Chapitre 4 G´en´eralit´es de mod`eles de taux d’int´erˆet stochastiques 4.1 4.1.1 G´en´eralit´es des mod`eles en temps continu. D´efinitions. On appelle z´ero-coupon de maturit´e T , un titre versant un euro a` la date T , et ne donnant aucun flux entre t et T . On suppose que, pour tout T , il existe un z´ero-coupon de maturit´e T . Le prix a` la date t d’un z´ero-coupon de maturit´e T est not´e P (t, T ) ou B(t, T ). Dans un premier temps, nous utiliserons la notation P (t, T ). Il est clair que P (T, T ) = 1. On introduit “le rendement a` l’´ech´eance” en t ou le “taux a` terme pour la p´eriode [t, T ]” (= “yield to maturity” en t), soit Y (t, T ), d´efini par P (t, T ) = exp (−Y (t, T )(T − t)) . Le “taux spot forward” ou le “taux a` terme instantan´e” en t pour la maturit´e T est: 92 f (t, T ) = − ∂ ln P (t,θ) ∂θ θ=T et on a donc R T P (t, T ) = exp − t f (t, u)du et RT Y (t, T ) = T 1−t t f (t, u)du. Le taux spot instantan´e est r(t) = lim Y (t, T ) ≡ − T →t ∂ ln P (t,T ) ∂T T =t = f (t, t). La courbe des taux est une des fonctions θ → Y (t, θ), θ → P (t, θ), θ → f (t, θ). Le facteur d’actualisation est R(t) ≡ exp − Rt 0 r(s)ds. Dans un mod`ele d´eterministe, on doit avoir P (t, T ) = P (t, u)P (u, T ) ∀t 6 u 6 T, pour e´ viter les opportunit´es d’arbritage. Ceci n’est pas le cas dans un mod`ele stochastique. Dans un mod`ele stochastique, on se donne comme toujours un espace probabilis´e muni d’une filtration Ft que l’on supposera eˆ tre une filtration brownienne. 93 On suppose que les variables P (t, .) sont Ft mesurables. On suppose que les processus P (., T ) sont ∀T positifs, adapt´es, continus et que P (t, T ) est d´erivable par rapport a` T , de d´eriv´ee continue. On suppose qu’il existe une probabilit´e IQ sous laquelle les processus de gain actualis´es (donc prix actualis´e + toutes les dividendes actualis´ees cumul´ees) sont des martingales de carr´e int´egrable. En particulier, dans le cas sans dividendes, le processus R(t) P (t, T ) est une martingale sous IQ. Cette propri´et´e entraˆıne des r´esultats int´eressants. Tout d’abord, puisque P (T, T ) = 1, on obtient que h R i T P (t, T ) = IE IQ exp − t ru du | Ft . Remarque dIQ En notant LT = dI P et Lt = IE IP (LT | Ft ) , on montre (voir Lamberton et Lapeyre p. 121 ou p. 114) qu’il existe un processus adapt´e q ∈ L2LOC tel que R Rt t Lt = exp − 0 q(s)dBs − 21 0 q 2 (s)ds . On en d´eduit que, pour chaque maturit´e T , il existe un processus adapt´e σ(t, T ) ∈ L2LOC tel que sous IP ∼ dP (t, T ) = P (t, T ) (rt + qt σ(t, T ))dt + σ(t, T )dB t ∼ o`u (B t )t est un IP − Ft m.b.. La quantit´e q(t)σ(t, T ) est la diff´erence entre le taux moyen du z´erocoupon et le taux sans risque. Le processus q est appel´e prime de risque, prix de march´e du risque. ∼ Rt Sous IQ, Bt = B t + 0 qs ds est un m.b. et donc sous IQ: dP (t, T ) = P (t, T ) (rt dt + σ(t, T )dBt ) . 94 (4.1) 4.1.2 Changement de num´eraire. a/ Probabilit´e forward - neutre La valeur a` la date t d’un flux d´eterministe F rec¸u a` la date T est h R i T F IEIQ exp − t ru du | Ft = F P (t, T ). Si ce flux FT est al´eatoire, la valeur a` la date t de ce flux est h R i T IEIQ FT exp − t ru du | Ft . Il est possible d’interpr´eter cette formule en l’´ecrivant Fc P (t, T ), o`u Fc est l0 e´ quivalent certain de FT et est d´efini par Fc = 1 P (t,T ) IEIQ i h R T FT exp − t ru du | Ft . Nous allons e´ crire cette derni`ere e´ galit´e en utilisant un changement de probabilit´e. Par hypoth`ese, le processus R(t)P (t, T ) est une martingale strictement positive, son esp´erance est constante, e´ gale a` P (0, T ). Pour tout T , le processus ζtT = R(t)P (t,T ) P (0,T ) est une IQ-martingale strictement positive d’esp´erance 1. On peut donc utiliser ζtT comme densit´e de changement de probabilit´e. Soit QT la mesure de probabilit´e d´efinie sur (Ω, FT ) par QT (A) = IEIQ ζtT 1A pour tout A ∈ Ft . Lorsque T est fix´e, on notera ζt = ζtT . La probabilit´e QT d´efinie sur Ft par dQT dIQ |Ft = ζtT est appel´ee probabilit´e forward - neutre de maturit´e T . Nous d´emontrons maintenant la R`egle de Bayes pour la formule du changement de probabilit´e dans les esp´erances conditionnelles: 95 Proposition 4.1.1 Soient µ et ν deux mesures de probabilit´e sur un espace mesurable (Ω, G) telles que dν (ω) = f (ω) dµ (ω) pour une f ∈ L1 (µ) . Soit X une variable al´eatoire sur (Ω, G) telle que IEν [|X|] = R Ω |X (ω)| f (ω) dµ (ω) < ∞. Soit H ⊂ G une sous-tribu, alors IEν [X |H ] IEµ [f |H ] = IEµ [f X |H ] p.s. D´emonstration En vertu de la d´efinition de l’esp´erance conditionnelle on a que si H ∈ H, alors R H IEν [X |H ] f dµ = R H IEν [X |H ] dν = R H Xdν = R H Xf dµ = R H IEµ [f X |H ] dµ. D’autre part, on sait que R IEν [X |H ] f dµ = IEµ [IEν [X |H ] f · 1H ] = IEµ [IEµ [IEν (X |H ) f · 1H |H ]] R = IEµ [1H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ]] = H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] dµ ∀H ∈ H H d’o`u le r´esultat. Corollaire 4.1.1 (Bayes’rule) Soit la fonction de densit´e de Radon-Nikodym ζsT s une martingale strictement positive. Pour Y une variable al´eatoire Ft mesurable tel que IEQT |Y | < ∞, on a que pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T : IEQT [Y |Fs ] = 1 ζsT IEIQ Y ζtT |Fs p.s. Donc avec les notations ci-dessus: Fc = IEQT [FT | Ft ] . Remarquons que lorsque r est d´eterministe QT = IQ. La mesure QT est la mesure martingale associ´ee au choix du z´ero-coupon de maturit´e T comme num´eraire, comme l’explicite la propri´et´e suivante. 96 Proposition 4.1.2 Si Xt est un processus de prix (sans dividendes), le prix forward Xt /P (t, T ) est une martingale sous QT . D´emonstration Soit T fix´e. Nous savons que (Xt Rt )t est une IQ-martingale. D’apr`es la formule du changement de probabilit´e dans les esp´erances conditionnelles (R`egle de Bayes), on a IEQT Xt | Fs P (t, T ) Xt ζtT P (t,T ) IEIQ ζtT | h i | Fs = Fs IEIQ [Xt Rt | Fs ] Xs Xs R(s) = = = . R(s)P (s,T ) P (0, T )ζsT P (s, T) P (0, T ) P (0,T ) IEIQ (4.2) 97 b/ Contrats forward et futures Un contrat forward (ou contrat a` terme), d’´ech´eance T et de sous-jacent un actif dont le prix a` l’instant t est Vt , est un contrat qui permet a` son d´etenteur d’acheter ou de vendre l’actif a` l’instant T a` un prix fix´e au moment de la signature du contrat en t. Ce contrat ne donne lieu a` aucun e´ change de flux au moment de sa conclusion. On appelle prix du contrat, le prix Gt convenu a` la signature en t auquel la transaction se fera a` l’instant T. Un contrat future d’´ech´eance T , e´ crit sur un actif de prix Vt a` l’instant t, est un contrat qui fixe un prix Ht (le prix du contrat) sur la base duquel on pratique les “appels de marge”. Chaque op´erateur verse un d´epˆot de garantie dont le montant lui est cr´edit´e sur un compte courant. A la clˆoture quotidienne, la position de chaque op´erateur est ajust´ee. Si une perte apparait, l’op´erateur doit en assurer le financement, dans le cas contraire, son compte est cr´edit´e. Proposition 4.1.3 Le prix a` la date t d’un contrat forward de maturit´e T sur un actif dont le processus de prix est V (s) est G(t) = IEQT [V (T ) | Ft ] . Le prix d’un contrat future avec des modalit´es des ”appels de marge” simplifi´ees, est H(t) = IEIQ [V (T ) | Ft ] (= prix future). Si r est d´eterministe, prix future et forward sont e´ gaux. D´emonstration 1/ Pour d´eterminer le prix d’un contrat forward on utilise le fait que le processus Xt d´efini par Xt = 0 pour t < T XT = VT − Gt en T , 98 est un processus de prix. Donc par risk-neutral pricing: Z T ru du (V (T ) − Gt ) | Ft = 0. EIQ exp − t En utilisant la probabilit´e forward-neutre et en simplifiant: 0 = IEQT [V (T ) − G(t) | Ft ] . On obtient le r´esultat parce que G(t) est Ft -mesurable. 2/ Un contrat future est caract´eris´e comme un actif dont le processus de dividendes est le processus H, et dont le processus de prix S est nul. On cherche a` calculer le prix “future” associ´e a` l’obtention de VT ,Rc’est-`a-dire la valeur en t d’un processus de dividendes cumul´es tel que HT = VT . Soit Rut = u exp − t rv dv. Le processus de dividendes actualis´es cumul´es HsR = Rs t Rut dHu est une IQ-martingale (voir (2.17)). Nous pouvons supposer que IEIQ [(HTR )2 ] < ∞ tel que nous pouvons utiliser le th´eor`eme 4.1.1 ci-dessous (voir aussi le chapitre de Calcul Stochastique). Si l’on suppose r born´e, le processus R est born´e inf´erieurement et sup´erieurement, et de l’´egalit´e dHsR = Rst dHs , on d´eduit que H est une IQ-martingale, d’o`u Ht = IEIQ [HT | Ft ] et HT = VT . On conclue que lorsque FT est la valeur d’un titre, l’´equivalent certain Fc est appel´e le prix a` terme (prix forward) de FT . Par exemple, si S(t) est le prix d’un actif financier en unit´es de la date t, on appelle prix forward SF (t) de S le prix exprim´e en unit´es de la date T , soit SF (t) = 99 S(t) P (t,T ) . Th´eor`eme 4.1.1 (Th´eor`eme de repr´esentation comme martingale) Supposons que Xt est une {Ft } martingale continue, o`u {Ft } est une filtration brownienne standard. S’il existe un T tel que IE XT2 < ∞ et si X0 = x0 , alors il existe un φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que Xt = x0 + Rt 0 φ (ω, s) dBs pour tout 0 ≤ t ≤ T. De plus, la repr´esentation est unique dIP × dt-p.s. 4.1.3 Valorisation d’une option sur obligation a` coupons Le prix d’une option europ´eenne de payoff h(T ) a` la date T est donn´e par C(t) = Rt−1 IEIQ [h(T )RT | Ft ] . Consid´erons une option de maturit´e T sur un produit qui verse des flux d´eterministes Fn aux dates Tn telles que T < T1 < · · · < Tn < Tn+1 < · · · < TN et soit V (t) = N P Fn P (t, Tn ). n=1 Ceci est une obligation a` coupons. Th´eor`eme 4.1.2 Le prix d’une option europ´eenne de prix d’exercice K et de maturit´e T sur un produit qui verse des flux Fn aux dates Tn est C(0) = N P Fn P (0, Tn )Qn [V (T ) > K] − KP (0, T )QT [V (T ) > K] n=1 100 o`u Qn est la probabilit´e forward neutre de maturit´e Tn . D´emonstration Par d´efinition, i h P F P (T, T ) − K) C(0) = IEIQ RT (V (T ) − K)+ = IEIQ RT ( N n n + n=1 ce qui s’´ecrit C(0) = N P Fn IEIQ [RT P (T, Tn )1{V (T )>K} ] − KIEIQ RT 1{V (T )>K} . n=1 Par d´efinition de Qn on a IEIQ RT P (T, Tn ) 1{V (T )>K} = P (0, Tn )IEQn 1{V (T )>K} ce qui donne le r´esultat. 4.1.4 Valorisation d’une option sur z´ero-coupon D´eterminer le prix a` la date t d’un call europ´een d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T et prix d’exercice K, dans le cas o`u σ(t, T ) ∈ C[0, T ] est d´eterministe: Z S Ct = IE IQ exp(− ru du)(P (S, T ) − K)+ | Ft t R(S)P (S, S) IQ = IE (P (S, T ) − K)+ | Ft P (t, S) R (t) P (t, S) avec R(t) = exp − Rt 0 rs ds, donc: S Ct = IE Q [(P (S, T ) − K)+ | Ft ] P (t, S). ) Nous cherchons la loi de P (S, T ) sous QS . Nous savons que sous QS , PP (t,T (t,S) est une martingale et nous allons retrouver ainsi ce que doit eˆ tre la bonne densit´e de Radon-Nikodym. Nous savons que dP (t,T ) P (t,T ) = rt dt + σ(t, T )dBt sous IQ, et donc que 101 Rt Rt Rt P (t, T ) = P (0, T ) exp( 0 ru du + 0 σ(u, T )dBu − 21 0 σ 2 (u, T )du) et ensuite que Z t Z P (t, T ) P (0, T ) 1 t 2 2 (σ (u, T ) − σ (u, S))du = exp + (σ(u, T ) − σ(u, S))dBu − P (t, S) P (0, S) 2 0 0 Z Z t P (0, T ) 1 t (σ(u, T ) − σ(u, S))2 du + (σ(u, T ) − σ(u, S))(dBu − σ(u, S)du) = exp − P (0, S) 2 0 0 Z Z t P (0, T ) 1 t = (σ(u, T ) − σ(u, S))2 du + (σ(u, T ) − σ(u, S))dBuS ) exp(− P (0, S) 2 0 0 avec dBuS = dBu − σ(u, S)du. ) S efinir cette mesure comme celle qui transforme Pour que PP (t,T (t,S) t soit une martingale sous Q , il faut d´ S Bt t en un m.b. standard. D’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, la densit´e de QS par rapport a` IQ doit alors eˆ tre e´ gale a` : dQS dIQ Rt Rt = exp − 12 0 σ(s, S)2 ds + 0 σ(s, S)dBs = R(t)P (t,S) P (0,S) . Le lemme suivant est tr`es utile: Lemme 4.1.1 Si ln X | Ft suit une loi gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 , alors IE [(X − K)+ | Ft ] = IE [X | Ft ] Φ(d1 ) − KΦ(d2 ) o`u Φ(.) est la fonction de r´epartition de la loi gaussienne centr´ee, r´eduite et o`u: 102 d1 = µ−ln K+σ 2 σ d2 = d1 − σ. Si on note ∼2 σ (t, S) = RS t (σ(u, T ) − σ(u, S))2 du, le lemme s’applique ici pour X = P (S, T ) avec loi ln X | Ft = N ln ∼2 ∼2 − 12 σ (t, S), σ (t, S) P (t,T ) P (t,S) parce que P (S,T ) P (S,S) = R RS S − 12 t (σ(u, T ) − σ(u, S))2du+ t (σ(u, T ) − σ(u, S))dBuS P (t,T ) P (t,S) exp et parce que la proposition suivante dit que : Proposition 4.1.4 (Int´egrales gaussiens) Soit f ∈ C[0, T ], alors le processus d´efini par Z t f (s)dBs pour tout t ∈ [0, T ] Xt = 0 est un processus gaussien de moyenne z´ero, d’incr´ements ind´ependants et de fonction de covariance Z s∧t cov(Xs , Xt ) = f 2 (u)du. 0 En plus, si nous consid´erons pour t ∈ [0, T ] la partition de [0, t] donn´ee par ti = si nous prenons t∗i ∈ [ti−1 , ti ] pour 0 ≤ i ≤ n, alors lim n→∞ n X f (t∗i ) Z Bti − Bti−1 = f (s)dBs , 0 i=1 o`u la limite est prise au sens de la convergence en probabilit´e. 103 t it n pour 0 ≤ i ≤ n et Nous concluons que Proposition 4.1.5 Soit sous IQ: dP (t,T ) P (t,T ) = rt dt + σ(t, T )dBt avec (σ(t, T ))t ∈ C[0, T ] d´eterministe. Le prix a` la date t d’une option d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T est donn´e par Ct = P (t, S) h P (t,T ) P (t,S) Φ(d1 ) i − KΦ(d2 ) ⇐⇒ Ct = P (t, T )Φ(d1 ) − KP (t, S)Φ(d2 ) avec ∼ d1 = ln P (t, T )/P (t, S) − ln K + σ(t, S)2 2 ∼ σ(t, S) ∼ d2 = d1 − σ(t, S) Z S ∼2 σ (t, S) = (σ(u, T ) − σ(u, S))2 du. t 104 4.2 Le taux spot connu Diff´erentes approches sont utilis´ees en temps continu. La premi`ere consiste a` utiliser le taux spot comme variable explicative. Une autre approche consiste a` mod´eliser le prix des z´ero-coupons en respectant l’hypoth`ese d’AOA et a` en d´eduire l’expression du taux spot. 4.2.1 EDP de l’´evolution Maintenant, on suppose que le taux spot est connu et on cherche a` d´ecrire la courbe des taux. Supposons que le taux spot r(t) suive, sous la probabilit´e historique IP , un processus d’Itˆo d´efini par ∼ dr(t) = f (t, rt )dt + ρ(t, rt )dBt (4.3) ∼ o`u B est un IP − m.b. unidimensionnel, et f , ρ sont des fonctions continues satisfaisant a` des conditions de croissance et de Lipschitz de telle sorte que (4.3) admette une solution unique. Comme dans la formule de Black et Scholes, on suppose que la valeur P (t, T ) d’un z´ero-coupon est une fonction de r(t), que l’on note P (t, T ; r(t)), o`u P (t, T ; r) appartient a` C 1,2,2 (IR+ × IR+ × IR). Maintenant on note P (t, T ) et on fixe T : La formule d’Itˆo conduit a` dP (t, T ) = ∂P ∂t 2 1 + f ∂P ∂r + 2 ρ ∂2P ∂r2 ∼ (t, T )dt + ρ ∂P ∂r (t, T )dB t ∼ = P (t, T )(µ(t, T )dt + σ(t, T )dB t ) avec µ(t, T ) = 1 P (t,T ) ∂P ∂t σ(t, T ) = 1 2 ∂2P + f ∂P + ρ (t, T ) ∂r 2 ∂r2 ρ(t,r(t)) ∂P P (t,T ) ∂r (t, T ). 105 On regarde un portefeuille V avec des pourcentages uS en P (t, S) et uT en P (t, T ). Les dynamiques du portefeuille relatif sont dP (t, S) dVt dP (t, T ) = uS + uT Vt P (t, S) P (t, T ) ∼ = (uS µ(t, S) + uT µ(t, T ))dt + (uS σ(t, S) + uT σ(t, T ))dB t avec uS + uT = 1. Nous choississons uS et uT tels que uS σ(t, S) + uT σ(t, T ) = 0 parce que l’id´ee est de construire un portefeuille sans risque et d’exiger que son rendement soit e´ gal a` r(t). ( =⇒ uT = uS = −σ(t,S) σ(t,T )−σ(t,S) σ(t,T ) σ(t,T )−σ(t,S) A.O.A. exige que dVt Vt = rt dt =⇒ uS µ(t, S) + uT µ(t, T ) = rt ⇐⇒ σ(t, T )µ(t, S) − σ(t, S)µ(t, T ) = rt [σ(t, T ) − σ(t, S)] ⇐⇒ µ(t, T ) − rt µ(t, S) − rt = = q(t) σ(t, S) σ(t, T ) (4.4) Donc s’il n’y a pas d’O.A., il existe un processus q(t) tel que (4.4) pour tout t et toutes les dates d’´ech´eance. En utilisant le fait que qt = µ(t,T )−rt σ(t,T ) , on trouve l’´equation d’´evolution: ∂P 1 ∂2P ∂P + (f − ρq) + ρ2 2 − rt P = 0 ∂t ∂r 2 ∂r On retrouve aussi que 106 (4.5) dP (t,T ) P (t,T ) ∼ = (rt + qt σ(t, T ))dt + σ(t, T )dBt mais on sait en plus exprimer la fonction σ(t, T ): ∼ ∂P dP (t, T ) = (P (t, T )rt + ρq ∂P ∂r )dt + ρ ∂r dBt L’EDP (4.5) s’applique a` n’importe quel titre li´e au taux d’int´erˆet, a` condition qu’il ne distribue pas de coupons. Pour une r´esolution num´erique, il faut lui associer une condition terminale. Pour un z´erocoupon cette condition terminale est P (T, T ) = 1. Par le lemme de Feynman-Kac, la solution de (4.5) a une repr´esentation: h i RT P (t, T ) = IE IQ exp − t r(s)ds | Ft o`u les dynamiques du taux court sous IQ sont d´etermin´ees par rt = r drs = (f − ρq)ds + ρdBs s≥t ∼ avec (Bs )s un IQ m.b., et donc sous IP : drs = f ds + ρdB s . On obtient ces r´esultats aussi en utilisant le th´eor`eme de Girsanov. En effet nous allons utiliser le th´eor`eme de Girsanov avec dIQ dIP |Ft = Lt avec dLt = −qt Lt dBt o`u q(s) = µ(s,T )−r(s) σ(s,T ) . Nous obtenons ainsi que les prix P (t, T ) actualis´es sont des IQ-martingales. Donc dP (t,T ) P (t,T ) = rt dt + σ(t, T )dBt 107 avec ∼ dBt = dBt + qt dt un IQ-m.b. En particulier h i Rt P (s, t) = IEIQ P (t, t) exp − s ru du | Fs s6t ou, en utilisant la probabilit´e historique h i Rt Rt Rt P (s, t) = IEIP exp(− s qu dBu − 21 s qu2 du − s ru du) | Fs 4.2.2 Le mod`ele de Vasicek (1977). a/ Le mod`ele Dans ce mod`ele, on suppose que le taux spot v´erifie, sous IP , l’´equation diff´erentielle stochastique drt = a(b − rt )dt + ρdWt , r(0) = r0 avec a, b, ρ des constantes strictement positives. Ce processus est connu sous le nom de processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec retour a` la moyenne a` long terme b. La moyenne instantan´ee est proportionnelle a` l’´ecart entre une valeur b et la valeur r (t) . Une force de rappel tend a` rapprocher r (t) de la valeur b. On suppose aussi que la prime du risque est une constante q (t) = +λ avec λ ∈ IR. Alors sous IQ ∼ ∼ λρ drt = a b − − r (t) dt + ρdW t avec W t = Wt + λt a On note ∼ drt = a (b∗ − r (t)) dt + ρdW t avec b∗ = b − λρ a , qui suit aussi un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. On voit clairement quand on e´ crit la solution sous IP : rt = (r0 − b)e −at Z +b+ρ 0 108 t e−a(t−u) dWu que ces taux sont gaussiens et peuvent donc devenir n´egatifs: Z t 1 − e−2at e−2a(t−u) du = ρ2 rt v N (r0 − b)e−at + b, ρ2 2a 0 On a le r´esultat analogue sous IQ, en remplac¸ant b par b∗ . D´emonstration. Il suffit de remarquer qu’en utilisant le lemme d’Itˆo, on a d eat rt = aeat rt dt + eat a(b − r (t))dt + eat ρdWt = abeat dt + eat ρdWt et en int´egrant cette e´ quation on obtient Z at t Z as abe ds + e rt = r0 + t eas ρdWs 0 0 Par cons´equent: −at at −at −at Z + b −1 + e e +e Z t e−a(t−s) ρdWs = (r0 − b) e−at + b + rt = (r0 ) e t eas ρdWs 0 0 Si r(0) est une constante, r(t) est une variable gaussienne de moyenne (r0 − b) e−at + b et de variance ρ2 −2at . En particulier, ce n’est pas une variable positive. 2a 1 − e On peut e´ galement calculer l’esp´erance et la variance conditionnelle de rt . b/ Le prix d’un z´ero-coupon en utilisant IQ. On veut calculer le prix a` la date s d’un z´ero-coupon d’´ech´eance t, not´e P (s, t) dans les sections pr´ec´edentes mais aussi not´e B(s, t) dans la lit´erature, une notation que nous utiliserons dans cette section: Z t B (s, t) = P (s, t) = IEIQ exp − ru du |Fs s Z t Z t 1 IQ = exp −IEIQ ru du |Fs + V ar ru du |Fs (Gaussien) 2 s s Parce que sous Q ∗ −a(u−s) ru = (rs − b ) e ∗ Z +b + s 109 u ∼ e−a(u−v) ρdW v on d´eduit que " 1 − e−a(t−s) ru du |Fs = b∗ (t − s) + (rs − b∗ ) 1) IEIQ a s Z tZ t Z t cov IQ (ru , rv |Fs ) dudv ru du |Fs = 2) V arIQ Z t s s # s avec IQ u Z 2 −a(u−l) ∼ Z e dW l cov [ru , rv |Fs ] = ρ IEIQ s Z u∧v 2 e−a(u+v−2l) dl = ρ v −a(v−k) e ∼ dW k |Fs s s = ρ2 e−a(u+v) e2a(u∧v) − e2as . 2a On trouve que la variance est e´ gale a` Z t Z tZ v Z tZ t e2au − e2as e2av − e2as IQ ru du |Fs = ρ2 e−a(u+v) dudv + ρ2 e−a(u+v) dudv V ar 2a 2a s s s s v ! 2 ρ2 −a(t−s) 1 − e ρ2 = − 3 1 − e−a(t−s) + 2 (t − s) − 2a a a =⇒ b∗ − ρ2 B (s, t) = exp − b∗ − 2 (t − s) + 1 − e−a(t−s) 2a ρ2 2a2 − r (s) a ! 2 ρ2 − 3 1 − e−a(t−s) 4a = exp [− (t − s) Y (s, t)] avec Y (s, t) le taux a` terme pour la p´eriode [s, t] . Le taux Y (t, T ) = − T 1−t ln B (t, T ) se calcule facilement: 1 − e−a(T −t) ρ2 1 − e−a(T −t) + 3 Y (t, T ) = Y (∞) + (r (t) − Y (∞)) a (T − t) 4a T −t 2 et a` la limite Y (∞) = lim Y (s, t) = t−s−→∞ lim (t−s)−→∞ − ln B (s, t) t−s = b∗ − ρ2 λρ ρ2 = b − − 2a2 a 2a2 Y (∞) s’interpr`ete comme taux a` long terme. Notons qu’il ne d´epend pas du “taux spot instantan´e ” r. Cette derni`ere propri´et´e est consid´er´ee par les financiers comme un d´efaut du mod`ele. 110 ! Si on e´ tudie la courbe T −→ Y (t, T ) on voit que - si r (t) ≤ Y (∞) − ρ2 ρ2 , 4a2 la courbe est strictement croissante, ρ2 , 2a2 - si Y (∞) − 4a2 ≤ r (t) ≤ Y (∞) + - si Y (∞) + ρ2 2a2 < r (t), elle est strictement d´ecroissante. elle est croissante puis d´ecroissante, Remarque. Sous IP h i ) ) dB (t, T ) = B (t, T ) r (t) + ρq (t) ∂B(t,T dt + ρ ∂B(t,T ∂r ∂r dWt nh −a(T −t) i o = B (t, T ) r (t) − ρλ 1−e a dt − aρ (1 − e−a(T −t) )dWt Sous IQ dB (t, T ) = B (t, T ) r (t) dt − ρ a (1 − ∼ e−a(T −t) )dW t Discussion. Avantages: 1) tr`es traitable −→ bond options 2) retour a` la moyenne 3) On a |σ (t, T )| = ρ a 1 − e−a(T −t) : plus la dur´ee r´esiduelle est grande, plus la volatilit´e est grande. D´esavantages: 1- taux n´egatif 2- lim σ (t, T ) = T −t−→∞ ρ a 3- calage: seulement 3 param`etres pricer: une erreur de 1 % sur un bond implique souvent une erreur de 20 a` 30% sur produits d´eriv´es, comment couvrir le risque? pas fiable 4- la courbe de taux n’est pas assez flexible 5- corr(Y (t, T1 ), Y (t, T2 )) = 1, ce qui n’est pas observ´e sur le march´e. 111 c/ Prix de z´ero-coupon: Equation d’´evolution Nous indiquons maintenant une autre m´ethode pour d´eterminer le prix a` l’instant t d’un z´ero-coupon avec date d’´ech´eance T explicitement. On recherche une solution de l’´equation ∂P ∂P 1 ∂2P + (a (b − r) − ρλ) + ρ2 2 − rP = 0 ∂t ∂r 2 ∂r P (T, T ) = 1 sous la forme B (t, T ) = exp (α (T − t) r (t) + β (T − t)) D´esignons T − t par θ =⇒ 1 0 0 −Bα (θ) r − Bβ (θ) + (a (b − r) − ρλ) α (θ) B + ρ2 α2 (θ) B − rB = 0 2 On recherche α et β comme solutions de ( 0 α (θ) + aα (θ) + 1 = 0 0 −β (θ) + (ab − ρλ) α (θ) + ρ2 2 2 α (θ) = 0. avec les conditions initiales α (0) = 0 et β (0) = 0 qui proviennent de B (T, T ) = 1. Ce qui donne ( −aθ − 1 e ρ2 β (θ) = − b − ρλ θ − b− − 2 a 2a α (θ) = 1 a ρλ a − ρ2 a2 e−aθ a − ρ2 e−2aθ 4a3 −K avec K telle que β (0) = 0. On trouve que 1 − e−aθ β (θ) = −Y (∞)θ + a ρ2 ρ2 Y (∞) − 2 + 3 1 − e−2aθ 2a 4a avec Y (∞) repr´esentant le rendement d’un z´ero-coupon de maturit´e infinie. Y (∞) = b − λρ − ρ2 /2a2 . a 112 On retrouve l’expression du z´ero-coupon. d/ Valorisation d’une option sur z´ero-coupon Exercice Dans le mod`ele de Vasicek, d´eterminer le prix a` la date t d’un call europ´een d’´ech´eance S sur un z´erocoupon d’´ech´eance T et prix d’exercice K. R´eponse Utilisez σ(t, T ) = −ρ a (1 − e−a(T −t) ) et la section 4.1.4. 113 Chapitre 5 Le mod`ele de Heath, Jarrow, Morton. 5.1 Introduction Les premiers mod`eles de taux d’int´erˆet en temps continu sont apparus avant le mod`ele discret de Ho et Lee, vers ± 1975 a` la suite des travaux de Black-Scholes sur l’´evaluation des prix d’option sur actions et ceci pour une th´eorie propre au march´e des titres d´ependant de la structure des taux. Comme vu dans le chapitre pr´ec´edent, le point de d´epart e´ tait le taux court (rt )t d´etermin´e par une e´ quation diff´erentielle stochastique. Un des grands d´esavantages de ce genre de mod`eles est qu’il est difficile d’obtenir une structure de volatilit´e r´ealiste pour des taux forward (= taux a` terme instantan´es). Voila pourquoi Heath, Jarrow et Morton prennent comme point de d´epart les taux forward (f (0, t))t . On obtient ainsi un calage parfait au taux forward, mais les taux courts (rt )t sont gaussiens dans les cas traitables. Nous d´enotons dans ce chapitre les probabilit´es par P , Q, . . . et la filtration par (Ft )t . 5.2 Les mouvements de la structure des taux sous P Heath, Jarrow et Morton choisissent de sp´ecifier les taux a` terme instantan´es: Z t Z t 0 f (t, T ) = f (0, T ) + α (s, T ) ds + σ (s, T ) dWs 0 (5.1) 0 o`u (f (0, T ))T d´ecrit la structure des taux initiale et est suppos´ee donn´ee et o`u (Wt ) est un mouvement brownien de dimension K sous la probabilit´e P , o`u P est la probabilit´e “objective” des e´ v´enements. 114 0 σ (t, T ) est la volatilit´e des taux a` terme instantan´es et σ (t, T ) = (σ1 (t, T ) , . . . , σK (t, T )) sa transpos´ee. α (t, T ) et σ (t, T ) sont a priori quelconques et peuvent eˆ tre al´eatoires, mais sont des processus adapt´es a` valeurs dans IR et IRd . Elles doivent toutefois satisfaire des conditions de r´egularit´e assurant l’existence d’une solution pour l’´equation et la l´egitimit´e des calculs qui vont suivre. Voir le papier de r´ef´erence pour les hypoth`eses pr´ecises de r´egularit´e. Sous forme d’´equation de diffusion: df (t, T ) = α (t, T ) dt + K X σi (t, T ) dWit i=1 ou encore 0 df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dWt . Hypoth`ese 5.2.1 La fonction de volatilit´e satisfait: 0 σ (t, T1 ) .. . est inversible pour tout t et tout (T1 , ..., TK ) distincts. 0 σ (t, TK ) Le processus du taux court est obtenu en choississant T = t : Z t Z t 0 rt = f (t, t) = f (0, t) + α (s, t) ds + σ (s, t) dWs 0 (5.2) 0 =⇒ le processus des prix z´ero-coupon, not´e B(t, T ) est d´eduit a` partir de la formule usuelle Z T B (t, T ) = exp − f (t, s) ds . t En remplac¸ant f (t, s) par son expression Z f (t, s) = f (0, s) + t Z α (u, s) du + 0 t 0 σ (u, s) dWu 0 et en utilisant le th´eor`eme de Fubini pour les int´egrales stochastiques, on obtient: Z T Z T Z t Z T Z t 0 ln B (t, T ) = − f (0, s) ds − ds α (u, s) du − ds σ (u, s) dWu t Z = − t T Z f (0, s) ds − t 0 t Z 0 Z t Z α (u, s) ds − du 0 t T t 115 0 T σ (s, τ ) dτ 0 t dWs . On sait que T Z ln B (0, T ) = − f (0, τ ) dτ. 0 D’apr`es l’´equation (5.2) on a: Z t Z Z t Z t dτ f (0, τ ) dτ + rτ dτ = Z t t Z Z 0 σ (s, τ ) dWs 0 0 t 0 σ (s, τ ) dτ α (s, τ ) dτ + 0 s 0 0 τ Z dτ Z t Z ds f (0, τ ) dτ + = t Z α (s, τ ) ds + 0 t 0 0 0 τ dWs s pour tout 0 ≤ s ≤ τ ≤ t. Donc Z t ln B (t, T ) = ln B (0, T ) + f (0, τ ) dτ + − t Z 0 T Z t Z 0 t 0 α (s, τ ) dτ + σ (s, τ ) dτ 0 dWs Z T Z t Z α (s, τ ) dτ − s 0 T σ (s, τ ) dτ 0 Z d ln B (t, T ) = rt − T Z α (t, τ ) dτ dt + − t dWs s =⇒ dWs s 0 T ds 0 0 t s t Z rs ds − = ln B (0, T ) + Z t Z σ (s, τ ) dτ s Z t s α (s, τ ) dτ − ds 0 Z ds 0 Z t Z 0 T σ (t, τ ) dτ dWt t En utilisant le lemme d’Itˆo. 0 dB (t, T ) = [r (t) + b (t, T )] B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dWt o`u b (t, T ) et σ e (t, T ) d´esignent: RT σ e (t, T ) = − t σ (t, τ ) dτ RT σ (t, T )k2 b (t, T ) = − t α(t, τ )dτ + 12 ke Proposition 5.2.1 Si la dynamique des taux a` terme instantan´es s’´ecrit: Z t Z t 0 f (t, T ) = f (0, T ) + α (s, T ) ds + σ (s, T ) dWs 0 0 alors les prix z´ero-coupon et le taux court instantan´e s’´ecrivent: 0 B (t, T ) = B (0, T ) exp R t r − R T α (s, τ ) dτ ds + R t − R T σ (s, τ ) dτ dW s s 0 s 0 s R R t t rt = f (0, t) + 0 α (s, t) ds + 0 σ (s, t)0 dWs 116 (5.3) 5.3 Le mod`ele sous la probabilit´e Q. En fait, on va v´erifier si dans c’est-`a-dire ∃Q R ele, il existe une mesure de martingale e´ quivalente, ce mod` t B(t,T ) est une martingale sous Q avec βt = exp 0 ru du = 1/R(t). probabilit´e Q v P tel que βt t Proposition 5.3.1 ∃Q v P mesure de martingale e´ quivalente ⇐⇒ Q v P probabilit´e e´ quivalente donc ∃ processus ϕ avec ϕ (t) Ft mesurable tel que 1) Z t Z 0 dQ 1 t 2 = Lt = exp ϕ (s) dW (s) − kϕ (s)k ds dP t 2 0 0 et ∼ Z W t = Wt − est une P − martingale t est un Q − mouvement brownien. ϕ (s) ds 0 0 et 2) ∃ϕ = (ϕ1 , ..., ϕK ) tel que ∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T 0 b (t, T ) = −ϕ (t) σ e (t, T ) ou de fac¸on e´ quivalente: 0 0 α (t, T ) + σ e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T ) avec Z σ e (t, T ) = − T σ (t, s) ds t Preuve de 2), donc que l’absence d’opportunit´es d’arbitrage implique: 0 0 ∃ϕ = (ϕ1 , ...., ϕK ) tel que: b (t, T ) = −ϕ (t) σ e (t, T ) 0 ∀t ≤ T ou de fac¸on e´ quivalente: 0 α (t, T ) + σ e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T ) . Preuve: On sait que 1 dB (t, T ) = B (t, T ) d ln B (t, T ) + < d ln B (t, T ) > 2 0 = [r (t) + b (t, T )] B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dWt avec 117 RT σ e (t, T ) = − t σ (t, u) du RT b (t, T ) = − t α (t, u) du + 21 ke σ (t, T )k2 Sous Q, on veut que 0 ∼ dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t ∼ avec dW t = dWt − ϕ (t) dt un mouvement brownien sous Q, par Girsanov. Ceci est satisfait si et seulement si ∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T : 0 b (t, T ) = −ϕ (t) σ e (t, T ) ou bien T Z − t 2 Z T Z T 0 1 σ (t, u) du α (t, u) du + σ (t, u) du = +ϕ (t) 2 t t La contrainte d’absence d’opportunit´es d’arbitrage impose donc des restrictions sur les termes de d´erive et de volatilit´e de la dynamique des prix z´ero-coupon. En d´erivant cette condition par rapport a` T , on obtient de fac¸on e´ quivalente une contrainte sur les termes de d´erive et de volatilit´e correspondant aux taux a` terme instantan´es. 0 0 α (t, T ) + σ e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T ) Regardons cette relation un peu Z K X α (t, T ) = σi (t, T ) i=1 T σi (t, s) ds − t K X σi (t, T ) ϕi (t) i=1 ∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T Syst`eme lineaire en ϕi (t) de dimension infinie. Il y a clairement une relation entre le terme de d´erive α et la fonction de volatilit´e σ. −→ par exemple on peut sp´ecifier les volatilit´es σ (t, T ) pour toutes les maturit´es. On peut fixer des maturit´es T1 , ...., TK quelconques et d´eterminer aussi d’une mani`ere exog`ene les termes α (t, T1 ), ...., α(t, TK ) . Sous l’hypoth`ese que σ (t, T1 )0 .. . est inversible pour tout t et tout T1 , ...., TK distincts 0 σ (t, TK ) 118 (qui est satisfait si les incertitudes ne sont pas redondantes), (ϕ1 (t) , ....., ϕK (t)) est d´etermin´e d’une mani`ere unique par le syst`eme lin´eaire des e´ quations: Z K X α (t, Tj ) = σi (t, Tj ) K X Tj σi (t, s) ds − t i=1 σi (t, Tj ) ϕi (t) j = 1, ...., K i=1 −→ Q d´etermin´e et en plus α (t, T ) d´etermin´e pour T 6= Tj j = 1, . . . , K. En terme des z´ero-coupons, c¸a veut dire que nous pouvons choisir les volatilit´es des prix z´ero-coupons et les termes de d´erive pour K z´ero-coupons. −→ tous les prix des autres z´ero-coupon sont d´etermin´es par la suite. −→ donc K sources ind´ependantes d’incertitude =⇒ le march´e est complet si on sp´ecifie K prix de z´ero-coupon. Nous concluons de cette section que, comme dans les mod`eles en temps discret, l’absence d’opportunit´es d’arbitrage implique l’existence d’une nouvelle mesure de probabilit´e dite risque-neutre, not´ee Q sous laquelle les processus de prix actualis´es sont martingales. En effet on voit que: 0 ∼ dB (t, T ) = rt B (t, T ) + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t avec ∼ dW t = dWt − ϕ (t) dt Les ϕ1 (t) , ...., ϕK (t) s’interpr`etent comme des prix du risque associ´es a` chacun des processus browniens. ) est alors martingale sous la mesure de probabilit´e Le processus des prix actualis´es Z (t, T ) = B(t,T βt t ∼ ) qui fait de W t un mouvement brownien standard et le processus Z (t, T ) = B(t,T est donc marβt t tingale sous Q puisque 0 ∼ dZ (t, T ) = Z (t, T ) σ e (t, T ) dW t . Comme B (T, T ) = 1, on a alors B (t, T ) = E Q Z T βt |Ft = E Q exp − rs ds |Ft βT t ou encore, en utilisant la probabilit´e P : B (t, T ) = E P Z exp − t 119 T LT rs ds |Ft . Lt Ayant d´efini ce changement de probabilit´e, on peut exprimer tous les processus de diffusion donn´es jusqu’`a pr´esent (taux a` terme instantan´es, prix z´ero-coupon, taux court,...) sous cette nouvelle mesure de probabilit´e. On obtient tr`es simplement la dynamique des taux a` terme instantan´es a` partir de l’´equation de base: Z 0 0 T df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dWt = σ (t, τ ) dτ 0 ∼ σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW (t) t t Z f (t, T ) = f (0, T ) + σ (s, T )0 Z T σ (s, τ ) dτ ∼ 0 σ (s, T ) dW s s 0 t Z ds + 0 Exemple Volatilit´e constante. σ (t, T ) = σ et K = 1 (Ho-Lee) =⇒ ∼ df (t, T ) = σ 2 (T − t) dt + σdW t Soit en int´egrant: ∼ t2 + σW t. f (t, T ) = f (0, T ) + σ T t − 2 2 On retrouve ainsi comme cas particulier le mod`ele de Ho et Lee. On pourrait retrouver de mˆeme les mod`eles a` volatilit´e exponentielle en prenant σ (s, t) de la forme σe−λ(t−s) . Processus du taux court. ∼ Le processus du taux court s’´ecrit d´esormais a` l’aide de W t : t Z t Z (∗) rt = f (0, t) + 0 t σ (s, τ ) dτ 0 Z σ (s, t) ds + s t 0 ∼ σ (s, t) dW s 0 Ainsi, sous Q, le processus suivi par (rt ) ne d´epend plus du prix du risque de mˆeme que les prix des titres z´ero-coupon. Volatilit´e constante et volatilit´e exponentielle et K = 1. Lorsque la volatilit´e est constante, (*) devient rt = f (0, t) + σ 2 120 ∼ t2 + σW t 2 ou ∼ drt = µ (t) dt + σdW t avec µ (t) = σ 2 t + ∂2 f (0, t) Le processus (rt ) est donc un mouvement brownien avec d´erive. Lorsque la fonction de volatilit´e est exponentielle: σ (s, τ ) = σe−λ(τ −s) , alors rt est e´ gale a` : σ2 rt = f (0, t) + λ t Z e −λ(t−s) −λ(t−s) 1−e t Z fs e−λ(t−s) dW ds + σ 0 0 (rt ) suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck de la forme: ∼ drt = (θ (t) − λrt ) dt + σ dW t avec 1 − e−2λt . 2λ Il faut remarquer que le processus du taux court est e´ galement un processus de type Ornstein-Uhlenbeck sous P si le prix du risque est une fonction non al´eatoire du temps. Dans ce cas, seule la fonction θ (t) est modifi´ee. θ (t) = ∂2 f (0, t) + λf (0, t) + σ 2 Les prix z´ero-coupon. Sous Q, le processus des prix v´erifie: ∼ 0 dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t Nous r´ecapitulons ces r´esultats sous la proposion suivante: Proposition 5.3.2 Sous Q, les taux a` terme instantan´es et les prix z´ero-coupon suivent les e´ quations de diffusion suivantes: Z df (t, T ) = 0 T σ (t, τ ) dτ 0 ∼ σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW (t) t 0 ∼ dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t 121 (∗∗) avec T Z σ e (t, T ) = − σ (t, τ ) dτ t et la dynamique du taux court instantan´e s’´ecrit: Z t Z 0 t Z σ (s, τ ) dτ rt = f (0, t) + 0 t σ (s, t) ds + s ∼ σ (s, t)0 dW s 0 ∼ o`u W t est un mouvement brownien sous Q. On voit a` ce stade qu’on aurait pu sp´ecifier les prix z´ero-coupon en disant qu’il existe une mesure de probabilit´e Q telle que les prix z´ero-coupon suivent une diffusion du type (**). Le mod`ele est alors param´etr´e par la fonction σ e (., .) et non plus par σ (., .) . La dynamique des taux a` terme instantan´es s’en d´eduit par la formule: f (t, T ) = −∂2 ln B (t, T ) en remarquant que les deux param´etrages σ e (., .) et σ (., .) sont e´ quivalents: T Z σ e (t, T ) = − σ (t, τ ) dτ t ⇐⇒ σ (t, T ) = −∂2 σ e (t, T ) σ e (t, t) = 0 ∀t Cette approche est utilis´e par El Karoui et al. (1992). Exemple: B (t, T ) = E Q βt |Ft βT soit Z B (t, T ) = E exp − Q T rs ds |Ft t La loi de rs est donn´ee sous Q par l’´equation: Z t Z rt = f (0, t) + 0 t σ (s, τ ) dτ 0 s Z σ (s, t) ds + 0 ∼ σ (s, t) dW s 0 122 t Dans le cas o`u les fonctions de volatilit´e sont d´eterministes, (rt ) est un processus gaussien sous Q. RT −→ t rs ds est donc aussi gausienne et B (t, T ) est e´ gale a` V (t, T ) B (t, T ) = exp −M (t, T ) + 2 o`u M (t, T ) = E Q Z T rs ds |Ft t V (t, T ) = V ar Q T Z rs ds |Ft t Partons de la dynamique de (rt ) sous l’hypoth`ese de volatilit´e constante (avec K = 1): rt = f (0, t) + ∼ σ 2 t2 + σW t. 2 Par cons´equent, le taux rτ suit conditionnellement a` Ft une loi gausienne d’esp´erance rt − f (0, t) + f (0, τ ) + σ2 2 τ − t2 2 et de variance σ 2 (τ − t) . La variance al´eatoire Y = RT t rτ dτ suit donc elle-mˆeme une loi gaussienne: Q Y Ft v N (M (t, T ) ; V (t, T )) avec Z T M (t, T ) = (T − t) (rt − f (0, t)) + f (0, τ ) dτ + t et V (t, T ) = σ2 (T − t)3 3 123 σ2 (T − t)2 (T + 2t) 6 En effet, V arQ Z T ru du |Ft = EQ "Z T ∼ ∼ 2 # |Ft σ W τ − W t dτ t t = V arQ T Z t = V ar Q τ Z t T Z ∼ = σ V ar Z Q T σdτ |Ft dW s s t 2 ∼ dW s |Ft σdτ Z T ∼ (T − s) dW s |Ft t = σ 2 Z T (T − s)2 ds t = σ2 Z T −t (v)2 dv 0 = σ2 5.4 5.4.1 (T − t)3 3 Evaluation des actifs contingents. Introduction. L’un des buts essentiels d’un mod`ele est d’une part permettre d’´evaluer des biens contingents d´ependant de la structure des taux et d’autre part de construire les portefeuilles de couverture associ´ees. 5.4.2 Principes d’´evaluation sous Q. Les conditions et hypoth`eses du mod`ele de Heath-Jarrow-Morton permettent d’´evaluer le prix a` la date t d’un titre g´en´erant des flux al´eatoires d´ependant de la structure des taux. Proposition 5.4.1 Le prix en t, not´e Ct , d’un titre d´elivrant en s (s > t) le flux al´eatoire Xs Fs mesurable est donn´e par: h i Rs Q βt Ct = E Xs |Ft = E Q Xs e− t ru du |Ft βs 124 Par extension, on peut donner le prix en t d’un titre g´en´erant plusieurs flux futurs al´eatoires Xt+1 , ...., Xs s X Ct = E Q τ =t+1 βt Xτ |Ft βτ Sous cette forme, le prix d’un bien contingent ne n´ecessite pour eˆ tre calcul´e que la dynamique actualis´ee du mod`ele sous la probabilit´e risque-neutre Q. 5.4.3 Des probabilit´es forward-neutres. B(t,T ) Nous cherchons la mesure de probabilit´e qui rend B(t,m) martingale. Cette probabilit´e est alors la t m probabilit´e associ´ee au num´eraire de la date m et est not´ee Q . D´efinissons Lm t = B (t, m) . βt Il est clair que Lm t = B (t, m) = E Q [Lm s |Ft ] βt ce qui nous permet de d´efinir la nouvelle mesure de probabilit´e Qm pour toute variable Fs -mesurable par Lm s Qm Q E [Xs |Ft ] = E Xs m |Ft Lt En particulier E Qm B (s, T ) βt B (t, T ) Q B (s, T ) B (s, m) |Ft = E |Ft = B (s, m) B (s, m) βs B (t, m) B (t, m) On voit alors rapidement que, pour tout T, B(t,T ) B(t,m) t est martingale sous cette nouvelle mesure. Cette nouvelle mesure permet de simplifier les calculs. Cependant pour pouvoir concr`etement utiliser ce r´esultat il est n´ecessaire de r´ee´ crire le mod`ele de base sous ces diff´erentes mesures. 5.4.4 Le mod`ele sous une probabilit´e forward-neutre. Partons de l’´equation de diffusion des prix (B (t, T )) sous Q: 0 ∼ dB (t, T ) = r(t)B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t 125 ∼ o`u W t est un mouvement brownien standard sous Q. m ∼ Nous allons d´eterminer quel nouveau mouvement brownien W t rend le processus Ztm = B(t,T ) B(t,m) martingale. En utilisant le lemme d’Ito, nous obtenons que 0 ∼ d ln B (t, T ) = rt dt + σ e (t, T ) dW t − 1 ke σ (t, T )k2 dt, 2 et donc Z t (∗) B(t, T ) = B(0, T ) exp 0 Z t ∼ 0 1 2 σ e (s, T ) dW s rs − ke σ (s, T )k ds + 2 0 ce qui donne pour Ztm : Ztm Z Z t ∼ 0 B (0, T ) 1 t 2 2 = exp − ke σ (s, T )k − ke σ (s, m)k ds + (e σ (s, T ) − σ e (s, m)) dW s B (0, m) 2 0 0 Notons alors ∼m ∼ Z Wt = Wt − 0 t σ e (s, m) ds. Ztm s’´ecrit alors: Ztm Z Z t ∼m 0 1 t B (0, T ) 2 exp − ke σ (s, T ) − σ e (s, m)k ds + (e σ (s, T ) − σ e (s, m)) dW s . = B (0, m) 2 0 0 =⇒ 0 vm dZtm = Ztm (e σ (t, T ) − σ e (t, m)) dW t m m Pour mque (Zt )t soit martingale sous Q , il faut d´efinir cette mesure comme celle qui transforme ∼ Wt en mouvement brownien standard. D’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, la densit´e de Qm par rapport a` Q doit alors eˆ tre e´ gale a` : Z Z t ∼ 0 dQm 1 t B (t, m) Lm = exp − ke σ (s, m)k2 ds + σ e (s, m) dW s = = tm . dQ 2 0 βt B (0, m) L0 0 Ayant caract´eris´e le changement de brownien associ´e au changement de mesure, on peut alors tr`es facilement e´ crire les e´ quations de diffusion sous Qm des prix z´ero-coupon, des taux a` terme instantan´es etc. Proposition 5.4.2 Sous Qm , m ∼ ∼ Rt Wt = Wt − 0 σ e (s, m) ds est un mouvement brownien standard. Le processus des prix z´ero-coupon est donn´e par ∼m 0 0 (∗) dB (t, T ) = rt + σ e (t, T ) σ e (t, m) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t . 126 Le processus des prix actualis´es par le num´eraire de la date m est donn´e par: 0 ∼ m B (t, T ) B (t, T ) dZtm = d = (e σ (t, T ) − σ e (t, m)) dW t . B (t, m) B (t, m) Le processus des taux a` terme instantan´es est donn´e par: 0 ∼m 0 (∗∗) df (t, T ) = (e σ (t, m) − σ e (t, T )) σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW t Le taux court s’´ecrit: Z rt = f (0, t) + 0 t Z 0 (e σ (s, m) − σ e (s, t)) σ (s, t) ds + t 0 ∼m σ (s, t) dW s 0 Ceci implique en particulier que t E Q [rt |F0 ] = f (0, t) (si m = t) et plus g´en´eralement: T f (t, T ) = E Q [rT |Ft ] Les taux a` terme instantan´es sont donc e´ gaux a` l’esp´erance des taux courts futurs sous la probabilit´e forward-neutre correspondante. 5.5 Quelques exemples de valorisation. Dans des cas simples des calculs explicites sont possibles. Nous nous limiterons au cas des volatilit´es d´eterministes qui est quasiment le seul a` fournir des formules de prix explicites. 5.5.1 Options europ´eennes sur z´ero-coupon. Consid´erons en t une option d’´ech´eance S dont le sous-jacent est un z´ero-coupon d’´ech´eance T. Le prix d’une telle option a` la date t s’´ecrit: h i RS Ct = E Q (B (S, T ) − K)+ e− t ru du |Ft En utilisant la mesure de probabilit´e QS on obtient imm´ediatement: S Ct = B (t, S) E Q (B (S, T ) − K)+ |Ft βt + Q B (S, S) (B (S, T ) − K) |Ft = B (t, S) E βS B (t, S) 127 On a sous QS B (S, T ) = = B (S, T ) B (S, S) B (t, T ) exp B (t, S) Z S t ∼S 1 (e σ (τ, T ) − σ e (τ, S)) dW τ − 2 0 Z S t 2 ke σ (τ, T ) − σ e (τ, S)k dτ La variable B (S, T ) suit donc une loi lognormale si les volatilit´es sont d´eterministes. On va utiliser le lemme suivant: Lemme 5.5.1 Si ln X suit une loi gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 , alors: E (X − K)+ = E (X) N (d1 ) − KN (d2 ) o`u N (.) est la fonction de r´epartition de la loi gaussienne centr´ee et o`u: d1 = µ−ln σK+σ d2 = d1 − σ Si on note Z 2 σ = t S 2 ke σ (τ, T ) − σ e (τ, S)k2 dτ, le lemme s’applique ici pour X = B (S, T ) avec 1 2 B (t, T ) 2 d ln X = N − σ + ln ;σ 2 B (t, S) ce qui donne: Proposition 5.5.1 Le prix a` la date t d’une option d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T est donn´e par B (t, T ) Ct = B (t, S) N (d1 ) − KN (d2 ) = B (t, T ) N (d1 ) − KB (t, S) N (d2 ) B (t, S) avec ln B (t, T ) − ln B (t, S) − ln K + σ 2 /2 σ = d1 − σ Z S ke σ (τ, T ) − σ e (τ, S)k2 dτ. = d1 = d2 σ2 t 128 5.5.2 Options sur obligation. Supposons dans ce paragraphe que K = 1 (un facteur). Consid´erons une option d’´ech´eance S sur une obligation de prix PS (de date d’´ech´eance T ). Si on note (cτ )τ les flux (non al´eatoires) g´en´er´es par cette obligation, alors le prix PS s’exprime par: PS = T X cτ B (S, τ ) τ =S+1 Le prix de l’option a` la date t est donn´e par: βt |Ft Ct = E (PS − K)+ βS Q Lemme 5.5.2 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation peut se mettre sous la forme: T X Ct = τ cτ B (t, τ ) E Q S 1(PS ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft τ =S+1 Preuve. T X + (PS − K) = cτ B (S, τ ) 1(PS ≥K) − K1(PS ≥K) τ =S+1 et par cons´equence " Ct = βt E Q T X # B (S, τ ) Q βt 1 |Ft B (t, τ ) − KE 1 |Ft cτ βS B (t, τ ) (PS ≥K) βS (PS ≥K) τ =S+1 T X = cτ B (t, τ ) E Q τ S 1(PS ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft τ =S+1 Lemme 5.5.3 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation d’´ech´eance T peut s’´ecrire: Ct = T X cτ B (t, τ ) E τ =S+1 QS B f (S, S, τ ) S 1(Ps ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft f B (t, S, τ ) 129 Preuve. B f (t, S, τ ) = E B(t,τ ) B(t,S) QS B f (S, S, τ ) XS |Ft B f (t, S, τ ) τ = E Q [XS |Ft ] B (S, τ ) βt = EQ XS |Ft βS B (t, τ ) Pour trouver Ct , il faut donc connaˆıtre sous QS les lois des diff´erentes variables al´eatoires intervenant dans les esp´erances. En th´eorie il n’y a pas de difficult´es puisque tous les r´esultats ont d´ej`a e´ t´e donn´es sous QS mais techniquement, PS apparaˆıt comme une somme de variables al´eatoires lognormales non ind´ependantes, ce qui conduit a` des calculs inextricables. Regardons au cas particulier d’un mod`ele a` un facteur (K = 1) et a` volatilit´e d´eterministe, par exemple exponentielle avec σ (t, T ) = σe−λ(T −t) . Alors on peut obtenir une expression quasi-explicite. Ecrivons B (S, τ ) sous la forme Z S Z ∼S B (S, τ ) B (t, τ ) 1 S 2 B (S, τ ) = (e σ (u, τ ) − σ e (u, S)) du + (e σ (u, τ ) − σ e (u, S)) dW u = exp − B (S, S) B (t, S) 2 t t avec τ Z σ e (u, τ ) = − −λ(s−u) σe u Or les variables al´eatoires Z σ 1 − e−λ(τ −u) ds = λ S ∼S (e σ (u, τ ) − σ e (u, S)) dW u Zτ = t d peuvent eˆ tre e´ crites comme Zτ = V (S, τ ) Z avec Z une variable gaussienne sous QS centr´ee et r´eduite (N (0, 1)) et la volatilit´e Z V (S, τ ) = t S 1/2 (e σ (u, τ ) − σ e (u, S)) du 2 On peut alors e´ crire B (S, τ ) comme B (t, τ ) 1 2 B (S, τ ) = exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) Z B (t, S) 2 d Comme V (S, τ ) ≥ 0, PS est une fonction croissante de Z, l’´ev´enement PS ≥ K peut encore s’´ecrire d {PS ≥ K} ≡ {Z ≥ d0 } 130 o`u d0 est d´efini par: T X 1 B (t, τ ) 2 exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) d0 = K cτ B (t, S) 2 τ =S+1 Preuve. T X ( {PS ≥ K} = ) cτ B (S, τ ) ≥ K τ =S+1 ( d = T X ) 1 B (t, τ ) exp − V (S, τ )2 + V (S, τ ) Z ≥ K cτ B (t, S) 2 τ =S+1 On peut alors calculer le prix de l’option a` partir de la valeur d0 . En effet, on a: EQ E QS S 1(Z≥d0 ) |Ft = N (−d0 ) B f (S, S, τ ) 1 |Ft B f (t, S, τ ) [PS ≥K] = = = = = Z v N (0, 1) 1 2 E exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) Z 1(PS ≥K) |Ft 2 Z ∞ 1 1 2 exp − V (S, τ )2 exp (V (S, τ ) x) √ e−x /2 dx 2 2π d0 Z ∞ (x−V (S,τ ))2 1 2 √ e− dx 2π d0 Z ∞ 1 2 √ e−y /2 dy 2π d0 −V (S,τ ) N (− (d0 − V (S, τ ))) = N (−d0 + V (S, τ )) . QS Comme conclusion: Proposition 5.5.2 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation d’´ech´eance T avec (cτ )τ T P les flux non al´eatoires PS = cτ B (S, τ ) s’´ecrit: τ =S+1 Ct = T X cτ B (t, τ ) N (−d0 + V (S, τ )) − KB (t, S) N (−d0 ) τ =S+1 131 o`u Z S V (S, τ ) = t 1/2 [e σ (u, τ ) − σ e (u, S)]2 du avec σ e (t, T ) = σ 1 − e−λ(T −t) λ et o`u d0 est solution de: T X τ =S+1 5.5.3 B (t, τ ) 1 2 cτ exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) d0 = K B (t, S) 2 Contrat forward et future. Les prix en t d’un contrat forward et future d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T sont donn´es par: S 1) B f (t, S, T ) = E Q [B (S, T ) |Ft ] ) Ceci est triviale parce que B(u,T est une martingale sous QS : donc B(u,S) u S B f (t, S, T ) = E Q B (S, T ) B (t, T ) |Ft = B (S, S) B (t, S) 2) B F (t, S, T ) = E Q [B (S, T ) |Ft ] On peut expliciter l’expression en e´ crivant: B(S, T ) = E Q Z T exp − ru du |FS S Donc T Z B F (t, S, T ) = E Q exp − ru du |Ft S et a` l’aide du lemme usuelle si (ru )u gaussien V (t, S, T ) B (t, S, T ) = exp −M (t, S, T ) + 2 F avec M (t, S, T ) = E Q Z T ru du |Ft S V (t, S, T ) = V ar Q Z T ru du |Ft S 132 On peut effectuer les calculs de M et V en fonction de la structure des taux a` la date t et de la fonction de volatilit´e. Exemple. Dans le cas que la volatilit´e est constante: σ (t, T ) = σ. D’abord la moyenne vaut: Z T M (t, S, T ) = i σ2 h (T − t)3 − (S − t)3 6 f (t, u) du + S En effet parce que Z T E Q [ru |Ft ] du = S Z T f (t, u) du + S i σ2 h (T − t)3 − (S − t)3 6 parce que d’une cˆot´e ru = f (0, u) + σ 2 et d’autre cˆot´e ∼ u2 + σW u 2 ∼ t2 f (0, u) = f (t, u) − σ ut − − σW t. 2 2 Donc au totale: ru ∼ ∼ σ2 2 2 = f (t, u) + u − 2ut + t + σ W u − W t 2 ∼ ∼ σ2 2 = f (t, u) + (u − t) + σ W u − W t . 2 En ce qui concerne la variance: V (t, S, T ) = V ar Q Z T S Z σ u ∼ dW s du |Ft t 1 = σ (T − S) S − t + (T − S) 3 Soit au total: B F (t, S, T ) = B f (t, S, T ) exp − 21 (T − S) (S − t)2 2 2 La r´ealit´e est en fait plus complexe. Par exemple, le contrat Matif sur le notionnel est certe un contrat de type Future mais sur une obligation fictive (et non un z´ero-coupon). Cependant le prix d’un tel contrat peut encore eˆ tre calcul´e par la formule habituelle. 133 5.5.4 Valorisation des swaps. (El Karoui et Geman (1991)). Un swap de taux est un e´ change d’int´erˆet: un taux d’int´erˆet variable contre un taux fixe. Le prix d’un swap sera ce taux fixe: 2 parties A et B font un swap lorsque * A verse a` B un int´erˆet variable sur un capital fictif (de valeur donn´ee initialement). * B verse a` A un int´erˆet fixe sur ce mˆeme capital. Les dates auxquelles ont lieu ces versements sont not´ees s = t + 1, ...., T. Supposons que la r´ef´erence variable soit un taux de maturit´e θ donn´ee: Y (s, s + θ) . Alors: * A verse a` B: Y (s, s + θ) a` chaque date s. * B verse a` A: Rt a` chaque date s o`u Rt est le taux fixe convenu au d´epart entre ces deux parties (Rt est le “prix” du swap). Comme aucun flux n’a lieu au moment de la conclusion du contrat, Rt doit eˆ tre tel que " T # X Y (s, s + θ) − Rt Q E |Ft = 0 βs s=t+1 ou bien Rt T X E Q T X 1 Q Y (s, s + θ) |Ft = E |Ft βs βs s=t+1 s=t+1 ou encore T P Rt = s E Q [Y (s, s + θ) |Ft ] B (t, s) s=t+1 T P B (t, s) s=t+1 Il faut donc connaˆıtre la loi de Y (τ, τ + θ) sous la probabilit´e Qτ . Or sous Qτ nous savons que Z τ Z ∼τ 0 B (t, τ + θ) 1 τ 2 exp [e σ (u, τ + θ) − σ e (u, τ )] dW u − ke σ (u, τ + θ) − σ e (u, τ )k du B (τ, τ + θ) = B (t, τ ) 2 t t en utilisant 1 Y (τ, τ + θ) = − ln B (τ, τ + θ) θ et donc E Qτ 1 B (t, τ + θ) 1 − [Y (τ, τ + θ) |Ft ] = − ln θ B (t, τ ) 2 Z t τ ke σ (u, τ + θ) − σ e (u, τ )k2 du. En pratique, la variable de r´ef´erence n’est pas aussi simple qu’un taux Y (s, s + θ) et les calculs d’esp´erance sont alors plus compliqu´ees. 134 5.6 Swaps / Caps / Floors / Swaptions / Captions sur LIBOR+ Mod`eles de March´es. 1) Les swaps de taux d’int´erˆet. On a d´ej`a e´ tudi´e un swap de taux d’int´erˆet o`u le taux d’int´erˆet variable e´ tait un taux a` terme Y (s, s + θ). Ceci n’est presque pas vendu sur le march´e. Le plus souvent le taux d’int´erˆet variable est un taux LIBOR. (London Interbank Offered Rate). Regardons un peu plus en d´etails: Donc un swap de taux est un e´ change d’un taux d’int´erˆet variable contre un taux fixe. On appelle “forward start payer swap settled in arrears”, swap a` terme in fine (du point de vue de l’acheteur) le swap avec dates de versement Tj , j = 1, ...., n, avec Tj − Tj−1 = δ ∀ j = 1, ....., n. T0 est appel´ee la date initiale. Le taux variable L (Tj ) est rec¸u a` la date Tj+1 . LTj est fix´e a` la date Tj en utilisant la formule suivante: 1 = 1 + (Tj+1 − Tj ) L (Tj ) = 1 + δL (Tj ) . B [Tj , Tj+1 ] Ce sont des quotations du LIBOR au comptant. En g´en´eral, le taux LIBOR a` terme L (t, Tj ) pour la p´eriode future [Tj, Tj+1 ] satisfait 1 + (Tj+1 − Tj ) L (t, Tj ) = B (t, Tj ) = B f (t, Tj , Tj+1 )−1 B (t, Tj+1 ) Aux dates de versement Tj , j = 1, ...., n les flux d’un “payer swap” sont L (Tj−1 ) δN et −KδN o`u K est un taux d’int´erˆet fix´e ( et le nominal = 1). n est appel´e la longueur du swap. Un cas sp´ecial est le taux fixe κ qui annule la valeur d’un swap a` terme. Ce taux est appel´e le “forward” swap rate κ (t, T, n) . 135 En g´en´eral la valeur a` la date t d’un swap a` terme avec taux d’int´erˆet fixe est d´enot´e par F St (κ) avec n X β t F St (κ) = EQ (L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft βTj j=1 n X βt −1 = B (Tj−1 , Tj ) − (1 + κδ) |Ft EQ βTj j=1 X n n X βTj−1 βt βt −1 FT − = B (T , T ) |F (1 + κδ) E EQ EQ |F j−1 j t t Q j−1 βTj−1 βTj βTj j=1 j=1 n n X X βt βt |Ft − (1 + κδ) EQ |Ft = EQ βTj−1 βTj = j=1 j=1 n X B (t, Tj−1 ) − (1 + κδ) j=1 n X B (t, Tj ) j=1 = B (t, T0 ) − = B (t, T0 ) − n−1 X B (t, Tj ) κδ − (1 + κδ) B (t, Tn ) j=1 n X cj B (t, Tj ) ∀t ∈ [0, T ] . j=1 o`u cj = κδ pour j = 1, ..., n − 1 et cn = 1 + κδ On a aussi celui regl´e a` l’avance (“in advance”). Les flux a` Tj en US et Europe sont d´efinis par: L (Tj ) δ (1 + L (Tj ) δ)−1 et − κδ (1 + L (Tj ) δ)−1 n−1 X βt (L (Tj ) − κ) δ |Ft F St∗ (κ) = EQ β 1 + L (Tj ) δ j=0 Tj n−1 X βt = EQ (L (Tj ) − κ) δB (Tj , Tj+1 ) |Ft βTj j=0 n X βt = EQ (L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft βTj j=1 = F St (κ) = B (t, T0 ) − n−1 X κδB (t, Tj ) − (1 + δκ) B (t, Tn ) j=1 136 Maintenant, d´eterminons aussi le taux swap a` terme κ(t, T, n) avec T = T0 . Puisqu’il annule le swap a` terme: B (t, T ) − B (t, Tn ) κ (t, T, n) = n P δ B (t, Tj ) j=1 Un swap est un swap a` terme avec t = T . Un taux swap est un taux swap a` terme avec t = T. Donc κ (T, T, n) = 1 − B (T, Tn ) n P δ B (T, Tj ) j=1 2) Les caps et floors a` terme. A ceiling rate agreement (CRA) ou un cap de taux est un contrat dans lequel le vendeur a l’obligation de payer des flux a` l’acheteur si un taux d’int´erˆet devient plus haut qu’un certain niveau convenu et cela a` des dates futures fix´es. Analogue: Un floor de taux d’int´erˆet est un contrat dans lequel le vendeur a l’obligation de payer des flux a` l’acheteur si un taux d’int´erˆet devient plus bas qu’un certain niveau convenu et cela a` des dates futures fix´es. Comme des swaps, les caps et floors peuvent eˆ tre “in fine” ou “in advance”. Regardons un cap a` terme “in fine” (in arrears) aux dates Tj , j = 1, ..., n o`u Tj − Tj−1 = δ et T0 = T. Les flux aux dates Tj sont (L (Tj−1 ) − κ)+ δ et on rappelle que le taux LIBOR instantan´e est: B (Tj−1 , Tj )−1 = 1 + L (Tj−1 ) (Tj − Tj−1 ) Le prix d’un cap a` terme est alors (et un terme est appel´e un caplet): F Ct n X βt + = EQ (L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft βTj j=1 " # + n X 1 1 βt −1 −κ δ |Ft = EQ βTj B (Tj−1 , Tj ) δ j=1 " # n X ∼ + βt 1 = EQ −δ |Ft βTj B (Tj−1 , Tj ) j=1 137 ∼ avec δ = 1 + κδ. Donc: F Ct = n X " EQ βTj−1 j=1 = n X j=1 = n X " EQ βt βt βTj−1 βTj−1 FT j−1 βTj + ∼ 1 # −δ |Ft B (Tj−1 , Tj ) # + ∼ 1 − δB (Tj−1 , Tj ) ∀t ∈ [0, T ] |Ft EQ B (t, Tj−1 ) E QTj−1 " ∼ 1 − δB (Tj−1 , Tj ) # + |Ft j=1 ∼ Donc un cap a` terme est la somme des options puts sur δ z´ero-coupon. A) Supposons qu’on est maintenant dans le mod`ele HJM et en plus particulier dans le mod`ele gaussien (donc avec volatilit´e d´eterministe). Nous rappelons que sous Qm : ∼m 0 0 dB (t, T ) = rt + σ e (t, T ) σ e (t, m) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ e (t, T ) dW t avec Z σ e (t, T ) = − et donc T σ (t, u) du t ∼m 0 B (t, T ) [e σ (t, T ) − σ e (t, m)] dW t B (t, m) et on rappelle aussi que pour ln X v N m, σ 2 d B (t, T ) B (t, m) = E (κ − X)+ = −E [X] N (−d1 ) + κN (−d2 ) avec m − ln κ + σ 2 σ = d1 − σ d1 = d2 Donc ∀t ≤ T0 le prix d’un cap de taux d’int´erˆet avec niveau d’exercice κ, “settled in arrears” a` des dates de versement Tj , j = 1, ..., n F Ct = n X ∼ j j f B (t, Tj−1 ) N −d2 (t) − δB (t, Tj−1 , Tj ) N −d1 (t) j=1 138 o`u B f (t, Tj−1 , Tj ) est le prix a` temps t d’un Tj−1 maturity contrat a` terme sur un z´ero-coupon de maturit´e Tj et o`u ∼ dj1 (t) = + ln B f (t, Tj−1 , Tj ) + ln δ + σj2 (t)/2 σj (t) dj2 (t) = dj1 (t) − σj (t) Z Tj−1 σj2 (t) = ke σ (τ, Tj ) − σ e (τ, Tj−1 )k2 dτ. t En effet, puisque Z Tj−1 ∼ Tj−1 0 B (t, Tj ) (e σ (τ, Tj ) − σ e (τ, Tj−1 )) dW τ × exp B (t, Tj−1 ) t Z 1 Tj−1 × exp − ke σ (τ, Tj ) − σ e (τ, Tj−1 )k2 dτ 2 t B (Tj−1 , Tj ) = on a que h i ∼ ∼ e (Tj−1 , Tj ) = B (t, Tj ) δ = B f (t, Tj−1 , Tj ) δ E [X] = E δB B (t, Tj−1 ) et que σj2 (t) = Z Tj−1 t ke σ (τ, Tj ) − σ e (τ, Tj−1 )k2 dτ. Les flux pour le floor a` terme aux dates Tj sont e´ gaux a` (κ − L (Tj−1 ))+ δ F Ft = n X j=1 E Q βt (κ − L (Tj−1 ))+ δ |Ft βTj Donc on peut refaire le raisonnement mais on peut aussi utiliser la parit´e cap-floor. En effet, puisque (κ − L (Tj−1 ))+ δ = (L (Tj−1 ) − κ)+ δ − (L (Tj−1 ) − κ) δ on a que F C(t) − F F (t) = F S(t) cap a` terme - floor a` terme = swap a` terme. =⇒ F Ft = n ∼ X δB (t, Tj ) N +dj1 (t) − B (t, Tj−1 ) N +dj2 (t) j=1 Comme avant, on parle d’un cap ou floor spot si t = T. 139 B) Mod`eles de taux LIBOR a` terme. Parce que les produits d´eriv´es du LIBOR sont e´ norm´ement trait´es, on peut mod´eliser les taux LIBOR directement. Mentionnons par exemple les r´ef´erences: Sandmann et al. (1995) Jamshidian (1997) Miltersen (1997) Musiela and Rutkowski (1997) Brace et al. (1997) Ils mod´elisent les taux LIBOR par un mod`ele lognormal parce que c¸a e´ tait d´ej`a depuis longtemps la m´ethode utilis´ee par les practiciens. Les dynamiques des taux LIBOR a` terme L (t, Tj−1 ) sous la probabilit´e forward-neutre QTj sont Tj dL (t, Tj−1 ) = L (t, Tj−1 ) λ (t, Tj−1 )0 dWt o`u W Tj sont des mouvements browniens de dimension d sous la probabilit´e forward-neutre QTj et λ (., Tj−1 ) : [0, Tj−1 ] −→ Rd est une fonction d´eterministe. On rappelle que le prix d’un cap a` terme F Ct = n P Cpltj est e´ gal a` j=1 F Ct = n X j=1 E Q X n Tj βt + (L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft = B (t, Tj ) E Q (L (Tj−1 , Tj−1 ) − κ)+ δ |Ft βTj j=1 Donc le prix a` la date t ∈ [0, T ] est e´ gale a` F Ct = δ n X j j ∼ ∼ B (t, Tj ) L (t, Tj−1 ) N d 1 (t) − κN d 2 (t) j=1 avec d 1 (t) = ln (L (t, Tj−1 ) /κ) + υj2 (t)/2 υj (t) ∼j ∼j ∼j d 2 (t) = d 1 (t) − υj (t) Z Tj−1 ∼2 υ j (t) = kλ (u, Tj−1 )k2 du t parce que 140 L (Tj−1 , Tj−1 ) = L (t, Tj−1 ) exp R Tj−1 t T λ (u, Tj−1 ) dWu j − 1 2 R Tj−1 t kλ (u, Tj−1 )k2 du Remarques. Les dynamiques sous les probabilit´es forward-neutres sont obtenus dans des mod`eles sans arbitrages. La pratique du march´e e´ tait ou est de regarder sous Q dL (t, Tj ) = L (t, Tj ) σdWt ∀j ∀t ≤ Tj Facile pour d´eterminer les prix mais le mod`ele a des d´efauts −→ arbitrage. Lien avec HJM. −→ Sous QTj+1 T dL (t, Tj ) = L (t, Tj ) λ (t, Tj ) dWt j+1 B (t, Tj ) 1 −1 L (t, Tj ) = δ B (t, Tj+1 ) Sous QTj+1 dans le mod`ele HJM: d 0 B (t, Tj ) B (t, Tj ) T = (e σ (t, Tj ) − σ e (t, Tj+1 )) dWt j+1 B (t, Tj+1 ) B (t, Tj+1 ) Donc par cons´equence: 0 1 B (t, Tj ) T (e σ (t, Tj ) − σ e (t, Tj+1 )) dWt j+1 δ B (t, Tj+1 ) 0 1 T = (1 + δL (t, Tj )) (e σ (t, Tj ) − σ e (t, Tj+1 )) dWt j+1 δ T = L (t, Tj ) λ (t, Tj ) dWt j+1 dL (t, Tj ) = avec λ (t, Tj ) = 1+δL(t,Tj ) δL(t,Tj ) (e σ (t, Tj ) − σ e (t, Tj+1 )) Maintenant on suppose λ (., Tj ) function d´eterministe!!! 3) Autres produits r´eli´es aux swaps et caps. Caption: 141 call option sur un cap + n X β t CCt = E Q CplTj − κ |Ft βT j=1 payer swaption: avec taux d’exercise κ, de maturit´e T = T0 qui donne le droit a` l’acheteur d’obtenir un payer swap a` terme qui est sous-jacent. + Q βt (F ST (κ)) |Ft P St = E βT + n X βt Q βT = EQ E (L(Tj−1 ) − κ) δ |Ft |Ft βT βTj j=1 + n X β t 1− cj B (T, Tj ) |Ft = EQ βT j=1 Put option sur une obligation avec coupons cj = κδ for j = 1, . . . , n. Options sur un spread de taux swap: swap rate spread. payoff avec swap rates avec m1 6= m2 . CT (κ, m1 , m2 ) = (κ (T, T, m1 ) − κ (T, T, m2 ) − κ)+ Exotic caps. 5.7 D´eriv´ees de taux d’´echanges. A. Mod`eles de deux e´ conomies (Amin Jarrow (1991)) qui sont reli´es entre elles par un taux d’´echange. Maintenant on a besoin d’un mod`ele qui d´ecrit plusieurs march´es reli´es par un taux de change. Nous nous restreignons a` deux e´ conomies: domestique et e´ trang`ere. La mod´elisation ici est celle de Amin et Jarrow (1991) et s’inspire directement du mod`ele Heath-JarrowMorton (1992). 142 La seule diff´erence provient de la pr´esence simultan´ee de deux num´eraires (associ´es a` chacune des e´ conomies). Dans la plupart des cas, nous privil´egierons le point de vue domestique, et nous raisonnerons a` partir du num´eraire de l’´economie domestique. 1. Notations. Nous noterons d’un indice d tout ce qui se r´ef`ere a` l’´economie domestique et d’un indice f (foreign) pour ce qui concerne l’´economie e´ trang`ere. - B d (t, T ) = le prix d’un titre z´ero-coupon donnant droit a` une unit´e de num´eraire domestique a` la date T (donc B d (T, T ) = 1). - B f (t, T ) = ...... num´eraire e´ tranger - rtd = les taux courts domestiques - rtf = les taux courts e´ trangers - S(t) = le taux de change = le prix exprim´e en num´eraire domestique d’une unit´e de num´eraire e´ tranger: 1£ = 1,5 Euro (num´eraire domestique = 1 Euro) 2. L’absence d’opportunit´es d’arbitrage pour l’´economie domestique. Comme nous prenons le point de vue domestique, on est ici dans le cadre de ce pr´esent chapitre et on caract´erise l’absence d’opportunit´es d’arbitrage par l’existence d’une probabilit´e Qd sous laquelle les prix actualis´es sont martingales 0 ∼ dB d (t, T ) = rtd B d (t, T )dt + B d (t, T )σ d (t, T ) dW t ∼ o`u W t est un mouvement brownien standard de dimension n. σ d (t, T ) est un processus continu, adapt´e tel que σ d (t, t) = 0 pour tout t. 3. Absence d’opportunit´es d’arbitrage pour l’´economie e´ trang`ere. Il n’y a aucune raison pour penser que les prix e´ trangers actualis´es au taux court rtf puissent eˆ tre martingales sous la mˆeme probabilit´e Q = Qd . Regardons a` l’op´eration qui consiste a` changer une quantit´e St de num´eraire domestique (`a la date t) en num´eraire e´ tranger que l’on replace continˆument au taux Rcourt e´ tranger rf jusqu’en T puis qu’on T f reconvertit en num´eraire domestique en T pour obtenir S(T )e t rs ds (en monnaie domestique). 143 Il s’agit d’une op´eration “domestique” puisque l’investissement et l’unique flux terminal sont r´ef´erenc´es en num´eraire domestique. Donc cet investissement initial doit eˆ tre e´ gal a` l’esp´erance du flux terminal actualis´e au taux rd , soit: i h RT d RT f d ∀t ≤ T. S(t) = E Q e− t rs ds S(T )e t rs ds |Ft Ceci implique que, sous la probabilit´e risque-neutre Qd , la dynamique du taux de change doit s’´ecrire: ∼ 0 dS(t) = rtd − rtf S(t)dt + S(t)σ S (t) dW t o`u σ S (t) est la volatilit´e du taux de change. Une autre fac¸on de voir les choses est de dire que le taux de change est le prix d’un actif domestique qui d´elivrerait continˆument un dividende e´ gal a` rtf . Pour d´ecrire la dynamique des prix z´ero-coupon e´ tranger sous Qd , consid´erons l’op´eration qui consiste a` acheter en t un titre z´ero-coupon e´ tranger d’´ech´eance T au prix domestique S(t)B f (t, T ) puis de le 0 0 0 revendre en t pour r´ecup´erer S(t )B f (t , T ). Il s’agit ici aussi d’une op´eration “domestique” et donc sous Q = Qd : f S(t)B (t, T ) = E Q 0 f 0 − S(t )B (t , T )e R t0 t rsd ds |Ft Autrement dit, le processus de prix domestiques S (t) B f (t, T ) actualis´es par rd est martingale sous Qd . Par cons´equent sous Q: ∼ d S(t)B f (t, T ) 0 d d,f = r dt + σ (t, T ) d W t. t S(t)B f (t, T ) =⇒ en utilisant la formule d’Itˆo: ∼ dB f (t, T ) 0 f f S = rt dt + σ (t, T ) dW t − σ (t)dt B f (t, T ) avec σ f (t, T ) = σ d,f (t, T ) − σ S (t). Donc, les prix e´ trangers actualis´es par le taux court e´ tranger rf sont bien martingale mais sous une autre probabilit´e, sous Qf o`u Qf v´erifie 144 Z Z T ∼ 2 0 1 T dQf S S = exp − σ (s) ds + σ (s) dW s dQ T 2 0 0 ∼ tel que W t − Rt 0 σ S (u) du est un mouvement brownien sous Qf . B. Options sur taux de change On veut d´eterminer le prix d’un call europ´een sur taux de change avec payoff a` la date d’´ech´eance: (S (T ) − K)+ o`u K est le taux de change d’exercice, T la date d’´ech´eance et S (T ) est le taux de change aussi d´ecrit par S (T ) = FS (T, T ) o`u FS (t, T ) est le taux de change a` terme qui peut eˆ tre interprˆet´e comme le taux a` terme a` la date T d’une unit´e de la monnaie e´ trang`ere. =⇒ FS (t, T ) = B f (t, T )S(t) B d (t, T ) ∀t ∈ [0, T ] . = forward exchange rate for the settlement date T. ∼ dFS (t, T ) = FS (t, T ) σ S (t) + σ f (t, T ) − σ d (t, T ) (dW t − σ d (t, T )dt) ∼ o`u (dW t − σ d (t, T )dt) est e´ gale a` dWtT sous QT . =⇒ Si σ S (t) + σ f (t, T ) − σ d (t, T ) est d´eterministe, alors c’est facile d’obtenir des expressions pour les prix d’option. + Qd β t Ct = E (FS (T, T ) − K) |Ft βT parce que l’option est exprim´e en monnaie domestique, on peut prendre l’esp´erance du payoff actualis´e sous la probabilit´e risque-neutre domestique, ou sous la probabilit´e forward-neutre T Ct = B(t, T )E Q (FS (T, T ) − K)+ |Ft On a une loi lognormale 1 ln FS (T, T ) v N (ln FS (t, T ) − υS2 (t, T ), υS2 (t, T )) 2 145 o`u υS2 (t, T ) Z = t T 2 S σ (u) + σ f (u, T ) − σ d (u, T ) du Nous concluons que Ct = B (t, T ) [FS (t, T ) N (d1 ) − KN (d2 )] avec ln (FS (t, T ) /K) + υS2 (t, T ) /2 υS (t, T ) = d1 − υS (t, T ) . d1 = d2 146 C. Exercice Consid´erez le mod`ele de Amin-Jarrow (1991) dans lequel deux e´ conomies sont reli´ees entre elles par un taux d’´echange et o`u il n’y a pas d’opportunit´es d’arbitrage. a/ Notons B d (t, T ) (et B f (t, T ) respectivement) le prix d’un titre z´ero-coupon donnant droit a` une unit´e de num´eraire domestique (´etranger) a` la date T . Supposons que l’EDS de B d (t, T ) sous la probabilit´e risque-neutre Qd du march´e domestique est e´ gale a` 0 ∼d dB d (t, T ) = rtd B d (t, T )dt + B d (t, T )σ d (t, T ) dW t . Donnez l’EDS analogue pour B f (t, T ) sous la probabilit´e risque-neutre Qf du march´e e´ tranger. ∼f Utilisez la notation W t pour un mouvement Brownien sous Qf et le fait que le taux de change suit l’EDS: ∼d 0 dS(t) = rtd − rtf S(t)dt + S(t)σ S (t) dW t . ∼d b/ Supposons maintenant que σ S , rd et rf sont des constantes et que W t est un mouvement Brownien unidimensionnel. Notons Stf le prix d’une action, not´ee dans le num´eraire e´ tranger, avec EDS sous la probabilit´e risqueneutre Qf : ∼f dStf = Stf (rf dt + σS f dW t ), avec σS f une constante. Donnez l’EDS et la solution de cette EDS sous la probabilit´e risque-neutre Qd . c/ Consid´erez un produit d´eriv´e (appel´e equity-linked foreign exchange call) avec payoff a` la date de maturit´e T : CT = (ST − K)+ STf , avec K le strike, et exprim´e dans le num´eraire domestique. D´emontrez que son prix a` la date t est e´ gal a` : Ct = Stf (St N (d1 (St , T − t)) − Ke−γ(T −t) N (d2 (St , T − t))) avec γ = rd − rf + σ S σS f et d1,2 (s, t) = ln( Ks ) + (γ ± 12 |σ S |2 )t √ . σS t Hint: Introduisez la probabilit´e Q∗∗ : ∼d dQ∗∗ 1 = exp(σS f W T − |σS f |2 T ). d 2 dQ 147 R´ef´erences [1] Abate J. and W. Whitt, 1995, ”Numerical Inversion of Laplace Transforms of Probability Distributions”, ORSA Journal on Computing, 7(1), 36-43. 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