Sujet d`examen blanc Mathématiques

1
Lycée Louis Payen
BTS CGO 2 / NOM : .............................................................
Année 2014/2015
Sujet d’examen blanc
Mathématiques
Le 23/04/2015
Durée : 2 heures
Calculatrice autorisée et formulaire officiel autorisé
E XERCICE 1
Une entreprise fabrique un certain type d’articles. Sa capacité maximale de production est 80 articles.
Partie A. Suites.
Pour un entier naturel n donné, on note un le coût total de production en centaines d’euros de n dizaines
d’articles.
1. On suppose que le coût total de production de 10 articles est de 200 e c’est-à-dire que u1 = 2 et que la
suite (un ) est géométrique de raison 1,5.
(a) Calculer le coût de production de 80 articles à un euro près.
(b) On veut remplir la feuille de tableur ci-dessous. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule C2
(( pour qu’en recopiant vers la droite )) la deuxième ligne du tableau se remplisse automatiquement ?
2. On suppose toujours que le coût total de production de 10 articles est de 200 e et que celui de 80 articles
est de 3 700 euros c’est-à-dire que u1 = 2 et u8 = 37.
On fait l’hypothèse que la suite (un ) est une suite arithmétique.
(a) Démontrer que la raison de cette suite arithmétique est 5.
(b) On veut remplir la feuille de tableur ci-dessous. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule C2
(( pour qu’en recopiant vers la droite )) la deuxième ligne du tableau se remplisse automatiquement ?
Partie B. Ajustement affine.
Les hypothèses de la partie A ne s’avèrent pas satisfaisantes. Une étude statistique donne pour coût total de production, en centaines d’euros, en fonction du nombres d’articles fabriqués, le tableau suivant :
Nombre d’articles fabriqués : x
Coût total de production : y
10
2
20
3
30
5
50
8,5
70
18
80
38
2
1. On donne en annexe 1 le nuage de points associé à cette série statistique.
On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. Justifiez ce choix.
2. On effectue maintenant le changement de variable z = ln(y).
(a) Compléter le tableau donné en annexe 1 à rendre avec la copie. On arrondira les valeurs approchées à 10−2 .
(b) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de z en x obtenue par
la méthode des moindres carrés sous la forme z = ax + b où les constantes a et b sont à arrondir à
10−2 .
(c) En déduire que l’expression de y en fonction de x est y = 1,36e0,04x .
(d) A l’aide de la question précédente, donner une estimation, à un euro près, du coût total de production de 60 articles.
Partie C. Calcul intégral.
On admet que le coût total de production, en centaines d’euros, en fonction du nombres x d’articles fabriqués
par cette entreprise est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 80] par :
f (x) = 1,36e0,04x .
1. Calculer f (0). Quelle interprétation peut-on donner de ce résultat?
Z80
³
´
f (x) dx. Montrer que I = 34 e3,2 − e0,04 .
2. On note I =
1
3. En déduire une valeur arrondie à 10−2 de la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 80].
4. Donner, à l’aide d’une phrase, une interprétation de la valeur trouvée à la question précédente.
Partie D. Etude d’une fonction et applications.
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 80] par
g (x) =
1,36e0,04x
.
x
On note C g la courbe représentative la fonction g dans le plan muni d’un repère orthogonal donnée en annexe
2. Cette annexe est à rendre avec la copie.
1. On admet que la fonction g est dérivable et on désigne par g ′ sa fonction dérivée.
(a) Montrer, en détaillant les calculs que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 80],
g ′ (x) =
1,36e0,04x
x2
(0,04x − 1).
(b) Etudier le signe de g ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 80].
(c) Etablir le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 80]. On précisera les valeurs
particulières (extrémums et valeurs aux bornes).
(d) Résoudre graphiquement dans l’intervalle [1 ; 80] l’inéquation g (x) 6 0,25. On laissera sur la figure
de l’annexe 2 les traits de construction.
2. On admet que la fonction g définie dans cette partie modélise le coût moyen de production d’un article,
exprimé en centaines d’euros ; autrement dit, pour x articles fabriqués, g (x) correspond au coût moyen
de production d’un article. On suppose que l’entreprise fabrique au moins un article.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats obtenus précédemment.
(a) Combien l’entreprise doit-elle fabriquer d’articles pour que le coût moyen de production d’un article soit minimal?
3
(b) On souhaite que les coût moyen de production d’un article soit inférieur ou égal à 25 euros. Pour
quelles quantités d’articles à fabriquer cet objectif est-il atteint?
E XERCICE 2
Partie A. Un magasin spécialisé dans la vente de produits frais non stockables s’approvisionne quotidiennement
auprès de deux grossistes ADON et BRIX.
Le grossiste ADON fournit 75 % des produits et le grossiste BRIX fournit les autres produits.
93 % des produits provenant du grossiste ADON sont commercialisables et 85 % des produits provenant du grossiste
BRIX sont commercialisables.
Un jour donné, on prélève au hasard un produit parmi la totalité des produits livrés ce jour par les deux grossistes.
On suppose que tous les produits ont la même probabilité d’être prélevés.
On définit les évènements : A: (( Le produit prélevé provient du grossiste ADON ));
B: (( Le produit prélevé provient du grossiste BRIX ));
C : (( Le produit est commercialisable )).
1. Donner les probabilités suivantes : P(A), P(B), P A (C ) et P B (C ).
On rappelle que P A (C ) désigne la probabilité de l’évènement C sachant que l’évènement A est réalisé.
2. Calculer les probabilités P(A ∩C ) et P(B ∩C ).
3. En déduire la probabilité que le produit prélevé soit commercialisable.
4. Calculer la probabilité qu’un produit prélevé provienne du grossiste ADON sachant qu’il est commercialisable. On arrondira le résultat au centième.
Dans les parties B et C, les réultats demandés seront arrondis à 10−2 .
Partie B. Dans la livraison de ces produits un jour donné, on prélève au hasard 20 produits pour effectuer un
contrôle. La livraison est assez importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 produits.
On note E l’événement : (( un produit prélevé au hasard dans cette livraison n’est pas commercialisable )). On
admet que P(E ) = 0,09.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 produits, associe le nombre de produits non
commercialisables parmi ces 20 produits.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux produits non commercialisables.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins dix-neuf produits commercialisables.
Partie C. Dans cette partie, on s’intéresse à la vente d’articles d’un même type parmi l’ensemble des produits frais
proposés. Le nombre d’articles de ce type vendus par jour peut être modéisé par une variable aléatoire Y qui suit
la loi normale de moyenne 40 et d’écart type 10. Le magasin réalise sur la vente de chaque article un bénéfice de
3 euros.
1.
(a) Quelle quantité d’articles de ce type doit-on vendre un jour donné pour réaliser un bénéfice de
150 euros ?
(b) Calculer la probabilité que le bénéfice journalier sur la vente des articles de ce type soit au moins
égal à 150 euros.
2. Si la quantité d’articles de ce type en stock en début de journée est de 55 unités, quelle est la probabilité
que le magasin ne soit pas en rupture de stock sur cet article un jour donné ?
3. De quelle quantité d’articles de ce type doit-on disposer en début de journée pour que la probabilité de
rupture de stock avant la fin de la journée soit inférieure à 0,025 ?
4
NOM : .............................................................................................................................................
Annexe 1 à rendre avec la copie
Exercice n° 1, partie A, question 1.
40
+
36
32
28
24
20
+
16
12
+
8
4
O
+
5
+
+
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Exercice n°1, partie A, question 2.
Nombre d’articles fabriqués: x
z = ln(y)
10
20
30
50
70
80
5
Annexe 2 à rendre avec la copie
Exercice n° 1, partie C, question 1.d.
1,4
1,2
Cg
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
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MATHÉMATIQUES
BTS CGO 2
Année 2012/2013
Contrôle 6 : Correction
Fait le 23/04/2015
E XERCICE 1
(11 points)
Partie A. Suites.
1. On suppose le coût total de production de 10 articles est de 200 e c’est-à-dire que u1 = 2 et que la suite
(un ) est géométrique de raison 1,5.
(a) Le coût de production de 80 articles en centaines d’euro est u8 = q 8−1 u1 = (1,5)7 × 2 = 34,17.
Le coût de production de 80 articles est de 3 417 e .
(b) Dans la cellule C2, on peut par exemple écrire : =B2⋆1.5 ou =1.5∧C1/10-1⋆2... D’autres formules sont possibles.
2.
(a) D’après le cours, si on appelle r la raison de la suite arithmétique, on a :
u8 = u1 + (8 − 1)r
⇐⇒
37 = 2 + 7r
⇐⇒
37 − 2 = 7r
35 = 7r
35
7
⇐⇒
r=
⇐⇒
r =5
⇐⇒
(b) Dans la cellule C2, on peut par exemple écrire : =B2+5 ou =2+(C1/10-1)⋆5... D’autres formules
sont possibles.
B. Ajustement affine
1. On peut utiliser un argument graphique : le nuage de points n’est pas assez rectiligne et a plutôt l’allure d’une courbe .
On peut aussi calculer le coefficient de corrélation linéaire ρ ≈ 0,892 qui est trop éloigné de 1.
2.
(a) Tableau :
x
z = ln y
10
0,69
20
1,10
30
1,61
50
2,14
70
2,89
80
3,64
(b) La machine à calculer donne : z = 0,04x + 0,31 (non demandé coefficient de corr. lin. : ρ ≈ 0,992)
(c) On a :
z = ln y
⇐⇒
ez = eln y
⇐⇒
ez = y
⇐⇒
y = e0,04x+0,31
⇐⇒
y = e0,04x e0,31
⇐⇒
y = e0,04x e0,31
ce qui donne : y ≈ 1,36e0,04x car e0,31 ≈ 1,36.
2
(d) Pour x = 60, on obtient y ≈ 14,99, puisque y est exprimé en centaines d’euros, cela donne un coût
globale de production pour 60 articles fabriqués égale à 1499 e .
C. Intégrale
1. f (0) = 1,36, ce qui correspond en centaines d’euros aux coûts fixes. Les charges fixes s’élèvent à 136 e .
¸
³
´
³
´
i80
1,36 0,04x 80 h
= 34 e80×0,04 − e0,04 = 34 e3,2 − e0,04
e
= 34e0,04x
1
0,04
1
1
¡
¢
Z80
34 e3,2 − e0,04
1
3. Pa définition, la valeur moyenne de f sur [1;80] est :
f (x) d x =
≈ 10,11
80 − 1 1
79
2. I =
4.
Z80
f (x) d x =
·
Le coût globale moyen de production est égal à 1011 e (lorsque le nombre d’articles fabriqués varie de
1 à 80).
D. Etude de fonction
1.
u
e0,04x
est de la forme 1,36 avec u(x) = e0,04x et v (x) = x.
x
v
On a : u ′ (x) = 0,04e 0,04x car la dérivée de eu est u ′ eu et v ′ (x) = 1.
u
u ′ v − uv ′
Comme la dérivée de est
, on a :
v
v2
#
"
1,36e 0,04x
0,04e0,04x x − e0,04x × 1
′
=
(0,04 x − 1)
g (x) = 1,36
x2
x2
(a) g (x) = 1,36
(b) 1,36 est une constante positive, x 2 est un carré strictement positif sur [1;80], e0,04x est strictement
positif sur [1;80] car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Donc,
g ′ (x) est du signe de (0,04 x − 1) :
0,04 x − 1 6 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
0,04 x 6 1
1
x6
0.04
x 6 25
Donc g ′ (x) < 0 sur [0;25], g ′ (x) > 0 sur [25;80] et g ′ (x) = 0 pour x = 25 .
(c) Tableau de variations :
x
1
f ′ (x)
25
−
0
1,42
80
+
0,42
f (x)
0,15
la calculatrice donne : g (1) ≈ 1,4155 ; g (25) ≈ 0,14787 ; g (80) ≈ 0,4171
(d) La droite d’équation y = 0,25 coupe la courbe en deux points d’abscisses approximativement égales
à 7,3 et 60. La courbe est en-dessous de cette droite pour 7,3 < x < 60. L’ensemble des solutions est
donc approximativement l’intervalle [7,3;60] .
La calculatrice donne pour abscisses de deux points :7,278 et 60,024.
2.
(a) D’après le tableau de variations, la fonction g atteint son minimum pour x = 25. Il faut donc fabriquer 25 articles pour avoir un coût moyen unitaire de production minimal.
(b) Le coût moyen unitaire de production est inférieur à 25 e lorsque f (x) 6 0,25 (car f (x) représente le
coût unitaire en centaines d’euros). D’après la question C.1.d, il faut que x soit approximativement
dans l’intervalle [7,3;60] . Comme x représente un entier, il faut fabriquer entre 8 et 60 articles
pour avoir un coût unitaire de production inférieur ou égal à 25 e (g (60) ≈ 0,24986, donc on garde
60).
3
E XERCICE 2
(9 points)
A
¯ = 0,25 ; P A (C ) = 0,93 ; P B (C ) = 0,85 .
1. D’après l’énoncé : P(A) = 0,75 ; P(B) = P( A)
0, 93
b
C
b
C
b
C
b
C
A
b
0, 75
0, 07
b
0, 85
0, 25
B
b
0, 15
2. D’après la définition des probabilités conditionnelles :
P A (C ) =
P (A ∩C )
⇐⇒ P (A ∩C ) = P A (C )P(A)
P(A)
Donc :
• P (A ∩C ) = P A (C )P(A) = 0,93 × 0,75 = 0,6975 ≈ 0,70 ;
• P (B ∩C ) = P B (C )P(B) = 0,85 × 0,25 = 0,2125 ≈ 0,21 .
3. P(C ) = P (A ∩C ) + P (B ∩C ) = 0,91 .
4. PC (A) =
P (A ∩C ) 0,6975 279
=
=
≈ 0,76648 ≈ 0,77
P(C )
0,91
364
B
1. On reconnaît le schéma de de Bernouilli :
(a) on a 20 tirages successifs et indépendants car l’énoncé assimile les prélèvements à des tirages avec
remise ;
(b) chaque tirage a deux issues :
• succès (( le produit est non commercialisable )) (événement E ) ;
• échec (( le produit est commercialisable )) (événement E ).
(c) X associe aux 20 tirages le nombre de succès
D’après le cours, X suit B(20;0,09)
2
2. P(X = 2) = C 20
0,092 0,9118 ≈ 0,2818 ≈ 0,28 (à la calculatrice : binompdf(20,0.09,2))
0
1
3. P(X 6 1) = P(X = 0)+P(X = 1) = C 20
0,090 0,9120 +C 20
0,091 0,9119 = 0,9120 +20×0,09×0, 9119 ≈ 0,4516 ≈
0,45
(à la calculatrice : binomcdf(20,0.09,1) en anglais ; binomfrép(20,0.09,1) en français)
C
1.
(a) Chaque article vendu apporte un bénéfice de 3 e. Pour faire un bénéfice globale de 150 e, il faut
150
en vendre :
= 50
3
(b) On cherche P(Y > 50).
On peut utiliser :
• soit la calculatrice en anglais : normalcdf(50,1E99,40,10) ≈ 0,158655 ≈ 0,16 ;
4
• soit la calculatrice en français : normalfrép(50,1E99,40,10) ≈ 0,158655 ≈ 0,16 ;
• soit la table de la loi normale centrée réduite en considérant Z =
P(Y > 50)
=
50 − 40
Y − 40
>
10
10
P (Z > 1)
=
1 − P (Z < 1)
=
1 − Π(1)
=
P
µ
Y − 40
qui suit N (0;1) :
10
¶
ce qui donne P(Y > 50) ≈ 1 − 0,8413 ≈ 0,1587 ≈ 0,16
2. Pour ne pas être en rupture de stock, il faut que les ventes ne dépassent pas 55 articles :
P(Y 6 55) ≈ 0,9331977 ≈ 0,93
On utilise comme dans la question précédente soit la calculatrice soit la table de la loi normale centrée
réduite. Il y a donc 93% de chance de ne pas être en rupture de stock.
3. On cherche la quantité a telle que :
P(Y > a) = 0,025 ⇐⇒ P(Y 6 a) = 0,975
ce qui donne avec la calculatrice en anglais : a = invNorm(0.975,40,10) ≈ 59,5996 ≈ 60.
Avec la calculatrice en français : a = fracNorm(0.975,40,10) ≈ 59,5996 ≈ 60.
On peut aussi utiliser la table de la loi normale centrée réduite :
P(Y > a) = 0,025
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P(Y 6 a) = 0,975
¶
µ
a − 40
Y − 40
6
= 0,975
P
10
10
µ
¶
a − 40
P Z6
= 0,975
10
a − 40
= 1,96 ⇐⇒ a = 19,6 + 40 = 59,6 Il faut donc vendre au moins 60 articles pour
10
que la probabilité d’être en rupture de stock en fin de journée soit inférieure à 0,025.
La table donne :