Fourier - Lycée Vauban : Math

Les séries de Fourier
1
Notion de séries
1.1
Dénition
Soit
 une suite réelle (u ), on construit une nouvelle suite (S ) par :
n
n
S0 = u0





 S1 = u0 + u1
············
n

X



uk

 Sn = u0 + u1 + · · · + un =
k=0
On appelle série de terme général u la suite (S ) et on la note P u .
ˆ Si la suite (S ) converge vers un réel S , on dit que la série de terme général u est
convergente et a pour somme S . On écrit alors :
n
n
n
n
n
S = u0 + u1 + · · · + un =
ˆ
Sinon on dit que la série est divergente
+∞
X
un
n=0
Théorème 1.
Pour qu'une série de terme général u converge il faut que
.
lim un = 0
n
n7→+∞
Conséquence : Si lim u 6= 0 alors la série diverge.
Attention : lim u = 0 est une condition nécessaire mais pas susante; on peut avoir
et la série être divergente.
n7→+∞
n
n7→+∞
1.2
n
lim un = 0
n7→+∞
Deux séries de référence
1.2.1 Séries géométriques
Dénition 1.
On appelle série géométrique une série de terme général u
de la suite.
n
; étant appelé la raison
= qn q
Soit la série de terme général q , q ∈ R.
+ Si |q| ≥ 1 alors lim q 6= 0 donc la série diverge.
+ Si |q| < 1 alors lim q = 0 ; d'après le cours sur les suites géométriques, on peut écrire :
q
−1
S = 1 + q + q + 7→ +q =
donc S a pour limite 1 −1 q quand n tend vers 7→ +∞.
q−1
n
n
n7→+∞
n
n7→+∞
n+1
n
2
n
n
Théorème 2.
La série géométrique de terme général q , q ∈ R, converge si et seulement si |q| < 1.
On a alors X q = 1 −1 q .
n
+∞
n
n=0
1
A.B Vauban
Exercice 1
Étudier la convergence des séries de terme général :
(−1)n
;
;
;
n n
1
1
−
3n
2
3
1.2.2 Séries de Riemann
Dénition 2.
On appelle
série de Riemann une série de terme général
,
1
(α ∈ R)
nα
.
On admet le résultat suivant :
Théorème 3.
ˆ
ˆ
Si α > 1 alors la série de Riemann de terme général n1 converge.
Si α ≤ 1 alors la série de Riemann de terme général n1 diverge.
α
α
Exemples :
1
+ La série de terme général diverge (on l'appelle la série harmonique).
n
π
1
converge
(vers
on le démontrera à l'aide des séries de Fourier).
+ La série de terme général
n
6
2
2
2
Rappels sur les fonctions
Nous avons déjà vu les dénitions suivantes :
Dénition 3.
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I centré en 0.
+ f est paire si pour tout x de I , f (−x) = f (x).
+ f est impaire si pour tout x de I , f (−x) = −f (x).
Propriétés : Dans un repère orthogonal :
]
]
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Paire
Impaire
2
A.B Vauban
Dénition 4.
Une fonction f dénie sur un intervalle I est périodique de période T si pour tout x de I ,
appartient à I et f (x + T ) = f (x).
x+T
Par exemple, sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
Exercice 2 Représenter chacune des fonctions suivantes :
a) f est de période 2π ; f (t) = 3 sur [0; π[ et f (t) = 0 sur [π; 2π[.
b) f est paire, de période 4 ; f (t) = t sur [0; 1[ et hf (t) h= 0 sur [1; 2[.
c) f est impaire, de période π ; f (t) = π2 − t sur 0; π2 .
d) f est de période 3 ; f (t) = 1 sur [0; 1[, f (t) = −1 sur [1; 2[ et f (t) = 0 sur [2; 3[.
Exercice 3
Déniry les fonctions représentées.
y
π
2
1
π
t
π
y
y
t
π
1
π
π
2
3
t
t
Les séries de Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier
3.1
(1768-1830)
Dénition
On appelle série de Fourier une série dont le terme général est u (t) = a cos nωt + b sin nωt ;
(a ) et (b ) étant des suites réelles appelées coecients de Fourier de la série; ω ∈ R .
En remarquant que u (t) = a la série s'écrit généralement :
n
n
n
n
n
+
0
0
a0 +
X
an cos nωt + bn sin nωt
n>1
Si la série converge pour tout réel t on peut alors dénir une fonction f par
f (t) = a0 +
X
(an cos nωt + bn sin nωt)
n>1
Remarque
3.2
: f sera alors périodique, de période
T =
2π
ω
.
Calcul des coecients
Soit la série trigonométrique a + a cos nωt + b sin nωt.
Si pour tout réel t la série converge vers f (t) alors on peut exprimer les coecients a et b en fonction
de f .
3
A.B Vauban
0
+∞
X
n
n
n=1
n
n
On admettra les formules suivantes :
Z
1
a0 =
T
;
α+T
f (t) dt
α
2
an =
T
Z
α+T
f (t) cos nωt dt
α
;
2
bn =
T
Z
α+T
f (t) sin nωt dt
α
avec α ∈ R et T = 2πω
: Ceci
est vrai quel que soit α (parZpériodicité); selon les cas on prendra généralement α = 0
Z
pour obtenir ou α = − pour obtenir ce qui est intéressant lorsque f est paire ou impaire.
Remarque
T
2
T
T
2
0
3.3
− T2
Développement en série de Fourier d'une fonction
3.3.1 Introduction : TP 1 Xcas
On considère la fonctionf dénie sur R , périodique de période 2π, telle que f (x) = x si x ∈ [0; 2π[.
1) Tracer une représentation graphique de f sur l'intervalle [−6π; 6π].
2) Sous Xcas, la fonction oor est la fonction partie entière.
Pour rendre une fonction périodique de période T , il sut donc de remplacer, dans l'écriture de
f (x), x par x − oor(x/T ) ∗ T
Dénir la fonction f dans Xcas, puis tracer sa courbe dans l'intervalle [−6π; 6π] pour vérier votre
tracé de la question 1).
3) Pour que Xcas puisse simplier correctement les expressions trouvées, il faut d'abord lui dire que
n est un entier : assume(n,integer)
Pour calculer les coecients de Fourier sous Xcas : fourier_an(f(x),x,T,n) et fourier_bn(f(x),x,T,n)
Soit on donne une valeur à n soit on laisse n pour avoir les formules générales.
Calculer a , a , b puis a et b .
4) Pour écrire X h(n), h(n) étant une expression en n : somme(h(n),n,a,b) .
Tracer les courbes des développements de Fourier d'ordre 0, 1, 2, 3 et 9; comparer à C .
0
1
n=b
1
n
n
n=a
f
3.3.2 Le problème
Étant donnée une fonction f , dénie sur R , périodique de période T . On suppose que l'on peut calculer
les coecients a , a et b à l'aide des formules précédentes.
a , a et b sont appelés les coecients de Fourier de f .
X
a cos nωt + b sin nωt est la série de Fourier de f
a +
Deux questions se posent :
ˆ La série de Fourier de f converge t-elle?
ˆ Si oui, converge t-elle vers f ?
0
0
n
+∞
n
0
n
n
n
n
n=1
3.3.3 Conditions de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune-Dirichlet
(1805-1859)
Une fonction f vérie les conditions de Dirichlet si :
f est périodique, de période T .
sur [α, α + T [, f est continue et admet une dérivée continue , sauf peut être en un
nombre ni de points t .
En chacun des points t : f et f admettent des limites nies à droite et à gauche.
En pratique on prend [α, α + T [= [0, T [ ou − , i
i
0
T
2
T
2
4
A.B Vauban
Théorème 4.
Théorème de Dirichlet :
Soit f une fonction vériant les conditions de Dirichlet.
ˆSi f est continue en t alors la série de Fourier de f en t converge vers f (t ).
ˆSi f n'est pas continue en t alors la série de Fourier de f en t converge vers
1
f (t ) + f (t ) avec f (t ) = lim f (t) et f (t ) = lim f (t)
2
0
0
0
0
−
0
−
0
+
0
0
+
0
t→t−
0
t→t+
0
On dit alors que f est développable en série de Fourier.
3.3.4 Cas des fonctions paires ou impaires
Si f est paire alors b = 0 ;
ˆSi f est impaire alors a = 0 ;
ˆ
n
2
a0 =
T
an = 0
0
Exercice 4
T
2
Z
f (t) dt
0
et
4
bn =
T
;
4
an =
T
Z
T
2
Z
T
2
f (t) cos nωt dt
0
f (t) sin nωt dt
0
TP 2 Xcas
On considère la fonction f impaire, dénie sur R , périodique de période 2π, telle que
f (x) = 1 si 0 < x < π
f (0) = f (π) = 0
On admet que f vérie les conditions de Dirichlet.
1) Pour dénir une fonction par morceaux sur Xcsa on peut utiliser la fonction piecewise (voir l'aide
de Xcas pour plus de détails).
Utiliser la fonction
pour dénir une fonction g telle que
g(x) = 1 si x < π
g(x) = −1 si x > π
Puis utiliser cette fonction g pour créer notre fonction f .
2) Tracer une représentation graphique de f sur l'intervalle [−4π, 4π]
3) Déterminer le développement en série de Fourier de f .
4) Tracer la courbe correspondant au développement de Fourier d'ordre 5 de f .
5) Déduire du développement de f la valeur de X 2p(−1)+ 1 .
piecwise
+∞
p
p=0
On donne trois séries de Fourier et
la représentation du signal dont elles proviennent.
Associer chaque graphique à sa série.
y
Exercice 5
+∞
+∞
X
π 2 X 4 cos(nt)
sin(nt)
+
Sg(t)
=
2
3
n
n
n=1
n=1
+∞
X 1
2nπ
Sh(t) =
sin
cos(2nπt)
nπ
5
0, 5
Sf (t) =
n=1
t
y
y
π
2
π
t
2
π
5
t
A.B Vauban
3.4
Analyse spectraleFormule de Parseval
Soit f une fonction périodique de période T satisfaisant aux conditions de Dirichlet, de série de Fourier :
a0 +
+∞
X
an cos nωt + bn sin nωt
n=1
3.4.1 Analyse spectrale
On pose A = pa + b ; il existe un réel ϕ tel que : cos ϕ = Aa et sin ϕ = Ab .
On peut écrire : a cos nωt + b sin nωt = A (cos ϕ cos nωt + sin ϕ sin nωt) = A cos (nωt
−ϕ )
2π
f se décompose donc en somme de fonctions sinusoïdales, d'amplitude A , de période
, de phase à
nω
l'origine ϕ .
ˆ a est la valeur moyenne de f sur une période.
ˆ a cos ωt + b sin ωt = A cos (ωt − ϕ ) est le fondamental.
ˆ a cos nωt + b sin nωt = A cos (nωt − ϕ ) est l'harmonique de rang n
Le spectre des fréquences du signal est le diagramme en bâtons représentant les A en fonction de
n.
2
n
n
n
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
n
1
n
n
n
n
Spectre des fréquences du signal du TP 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
n
15
3.4.2 Formule de Parseval
(1755-1836)
Le carré de la valeur ecace de f sur une période est :
Marc Antoine Parseval
2 (f )
Vef
f
1
=
T
Z
T
2
f (t) dt =
0
a20
+∞ 2
X
an + b2n
1 2
+
= a20 +
A1 + A22 + · · ·
2
2
n=1
En pratique la formule de Parseval permet de déterminer la part des harmoniques qui transportent la
puissance d'un signal.
En notant S le développement en série de Fourier de f à l'ordre N et V (S ) = a + 21 X A .
On arrête le développement lorsque le quotient VV (S(f )) est susamment proche de 1.
Bien souvent on a N 6 5.
N
2
ef f
N
N
2
n
2
0
n=1
ef f
N
ef f
6
A.B Vauban
Reprenons le TP1 :
f est dénie sur R , périodique de période 2π , telle que f (x) = x si x ∈ [0; 2π[.
On a trouvé : a = π et pour n > 1, a = 0 et b = − n2 .
1) Tracer le spectre des fréquences de f .
2) Calculer la valeur ecace de f .
3) Calculer V (S ) = a + 21 X A .
Exercice 6
0
n
n
5
2
ef f
5
2
n
2
o
n=1
Exercice 7
+∞
X
p=0
En reprenant les résultats du TP 2 et en utilisant la formule de Parseval, calculer :
1
(2p + 1)2
Exercice 8
1) Soit n un entier naturel non nul;Vérier, à l'aide du logiciel Xcas, que
Z
π
t(π − t) cos 2nt dt = −
J=
0
π
2n2
2) On considère la fonction u dénie sur R , périodique, de période π, dénie par :
u(t) = t(π − t) si t ∈ [0, π[
→
− →
−
a) Tracer, dans un repère orthogonal O; i , j , la courbe représentative de u sur l'intervalle
[−2π; 2π].
b) En remarquant que u est une fonction paire, calculer ses coecients de Fourier.
c) On admet que u satisfait aux conditions de Dirichlet.
En déduire que, pour tout réel t : u(t) = π6 − X cosn2nt .
+∞
2
2
n=1
d) En donnant à t une valeur particulière, montrer que : X (−1)
n
+∞
n
=−
2
n=1
π2
12
u (t) dt.
3) a) La valeur ecace Ue de la fonction u est telle que : e
Calculer Ue.
b) On rappelle la formule de Parseval : Ue = a + 21 X(a + b ).
On décide de ne prendre que les six premiers
termes,
soit P = a + 21 a + a + a + a + a .
Donner une approximation P de P à 10 près par excès.
On peut observer que UP est supérieur à 0, 999. P est donc une bonne approximation de Ue.
e
1
=
π
U2
Z
π
2
0
2
+∞
2
2
n
2
0
2
n
n=1
2
0
2
1
2
2
2
3
1
2
4
2
5
−3
1
2
1
7
2
A.B Vauban