O Z X S Y M(X) f` b L L a

PHYSIQUE
DM 09
Une source ponctuelle monochromatique de longueur d’onde λ est placée au point focal d’une
lentille L1 et éclaire un écran opaque percé de 3 fentes équidistantes de a selon Ox et largeur b.
On étudie la figure obtenue par ce système sur un écran situé dans le plan focal d’une lentille
convergente L2 de distance focale f2′ = 1, 00 m.
2 1 - On considère que la largeur a est de l’ordre de λ. Que peut on dire des trois fentes ?
2 2 - Déterminer le déphasage entre deux rayons issus de deux sources successives arrivant en un
point M(X) de l’écran. On supposera X << f2′ .
2 3 - On note S0 le module de l’amplitude de chaque source au point M(X). Déterminer l’intensité
lumineuse I(X) sur l’écran et tracer son allure.
2 4 - On place maintenant une lame de verre devant la fente centrale entraînant un déphasage
additionnel de π/2. Montrer que l’intensité lumineuse I′ (X) sur l’écran peut s’écrire sous la forme :
[
( 4πδ )]
I(x) = I0 3 + 2 cos
λ
2 5 - Déterminer le contraste de la figure. Commenter
2 6 - On observe la figure suivante. Déterminer les valeurs de d et a.
X
M(X)
L2
L1
S
O
a
b
Y
1
f'2
10 cm
M.Barthes
Z
PHYSIQUE
♣♣♣
Solution
2 1 - Si la taille de la fente est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde alors la fente diffracte
la lumière. On pourra donc considérer que chaque fente est une source de lumière et cohérentes entre
elles. La source S étant dans le plan focal de L1 , chaque source sera cohérente et en phase avec les
autres.
2 2 - En appliquant le théorème de Malus. La différence de marche entre deux sources successives
vaut
dX
f2′
δ=
S
X
L2
L1
i
d
M(X)
Z
i
Y
d
2
δ
O
f'
2
2 3 - Prenons la fente centrale pour origine des phases, l’amplitude en M(X) de chaque source est

 s1 = S0 cos(ωt + ϕ)
s2 = S0 cos ωt

s3 = S0 cos(ωt − ϕ)
avec ϕ = 2πδ/λ.
L’intensité lumineuse est donc donnée par
I(X) =< (s1 + s2 + s3)2 >
soit
Or
I(X) =< s1 >2 + < s2 >2 + < s3 >2 +2 < s1 s2 >2 +2 < s1 s3 >2 +2 < s2 s3 >2

< s1 s2 >=< S20 cos(ωt + ϕ) cos ωt >= S20 /S cos ϕ

< s2 s3 >=< S20 cos ωt cos(ωt − ϕ) >= S20 /S cos ϕ

< s1 s3 >=< S20 cos(ωt + ϕ) cos(ωt − ϕ) >= S20 /S cos 2ϕ
Ainsi,
I=
)
S20 (
3 + 2 cos ϕ + cos 2ϕ
2
8
6
4
2
–2
–1
1
p
2 4 - L’amplitude de chacune des sources devient :

 s1 = S0 cos(ωt + ϕ)
s2 = S0 sin ωt

s3 = S0 cos(ωt − ϕ)
M.Barthes
2
PHYSIQUE
I(X) =< (s1 + s2 + s3)2 >
soit
Or
I(X) =< s1 >2 + < s2 >2 + < s3 >2 +2 < s1 s2 >2 +2 < s1 s3 >2 +2 < s2 s3 >2

< s1 s2 >=< S20 cos(ωt + ϕ) sin ωt >

< s2 s3 >=< −S20 sin ωt cos(ωt − ϕ) >

< s1 s3 >=< S20 cos(ωt + ϕ) cos(ωt − ϕ) >= S20 /S cos 2ϕ
< s1 s2 + s2 s3 >= 0
Ainsi,
I=
)
S20 (
3 + cos 2ϕ
2
5
4
3
2
1
–2
–1
0
1
p
2
2 5 - Le contraste est défini par
C=
5−1
Imax − Imin
=
= 2/3
Imax + Imin
5+1
La figure est donc peu contrastée.
2 6 - L’interfrange est la périodicité spatiale de l’intensité lumineuse, on en déduit que
λf2′
2a
On observe 13 franges sur 5, 0 cm soit : i = 3, 8mm. On en déduit que
i=
a=
λf2′
= 80 µm
2i
La source est ponctuelle et monochromatique, le facteur limitant la largeur de la figure est la diffraction au niveau des fentes. L’angle de diffraction limite est
λ
αmax =
b
On retrouve cette angle sur la largeur L ∼ 8 cm de la figure :
L
αmax ∼ ′ = 8.10−2
f2
d’où
b≈
λf2′
≈ 8 µm
L
♣♣♣
M.Barthes