TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE

TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE
a² = b² + c² − 2bc cos A
Soit ABC un triangle quelconque.
Al-Kashi :
b² = a² + c² − 2ac cos B .
c² = a² + b² − 2ab cos C
Si l’angle A est droit, alors cos A = 0 et la relation devient : a² = b² + c². Elle
correspond au théorème de Pythagore.
Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque
connaissant :
les trois côtés
ou deux cotés et l’angle compris entre ces deux côtés.
L’aire d’un triangle quelconque est donné par :
1
1
1
ab sin C = bc sin A = ac sinB
2
2
2
Relation des sinus :
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque
connaissant :
un côté et deux angles
ou deux cotés et un angle non compris entre des deux cotés.
1
C
Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°.
1) Construire le triangle ABC
-1
2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10 )
2
C
On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°.
Calculer la mesure de EF
3
C
On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 °
Calculer la mesure de BC
4
C
ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 °
1) Construire le triangle ABC.
2) Calculer l’aire du triangle ABC.
3) Calculer AC.
4) Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près.
5
C
ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°.
Calculer les angles et les côtés manquants.
6
C
ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80°
Calculer les angles et les côtés manquants.
7
C
8
C
9
C
10
C
11
C
12
C
Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm
Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°.
Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants.
Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC.
Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité.
DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°.
1)
2)
3)
4)
5)
Construire le triangle DEF.
Calculer l’aire de DEF.
H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH.
Calculer DF. Arrondir au centième.
Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près.
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13
C
Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes :
1)
2)
3)
4)
On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5.
On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°.
On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35°
On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°.
14
C
Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous.
On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC.
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calculer la longueur CD
15
C
Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture
dépasse sur chaque côté de 0,25m.
Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ?
16
C
Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un
message de détresse en provenance d’un transporteur T.
Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague.
Dans le premier cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH).
Dans le deuxième cas, il fait un angle de 22° avec la droite (CH).
La situation est représentée par le schéma suivant :
[CH = 32 km]
S = 59° et H = 22°
Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH.
Calculer en km la distance TH.
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C
Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm
Calculer :
1) la mesure de BD
2) les mesures de BC et CD
3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC
4) la mesure de AC
18
C
Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques.
Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale.
1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles.
2) En déduire la côte x.
19
C
Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin.
Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et
OB = 500 mm.
La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm.
Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α.
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CORRIGE :
1
2
3
4
Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°.
1) Construire le triangle ABC
-1
2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10 )
AC² = AB² + BC² − 2ABxACx cos 45 = 7² + 4² − 2x7x 4x cos 45 = 25,402
donc AC = 5,04 cm
On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°.
Calculer la mesure de EF
EF
6
6x sin 58
=
⇒ EF =
= 5,13 cm
sin 58 sin 83
sin 83
On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 °. Calculer la mesure de BC
BC² = AB² + BC² − 2ABxBCx cos 51 = 5² + 6.1² − 2x 5x6.1x cos 51 = 23,82 donc BC = 4 ,88 cm
ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 °
1) Construire le triangle ABC.
1
2) Calculer l’aire du triangle ABC. 7x3x sin 40 = 6,75 cm²
2
3) Calculer AC. AC² = 3² + 7² − 2x 3x7x cos 40 = 31 donc AC = 5,57 cm
4)
5
6
Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près.
5.57
3
7
=
=
⇒ C = 20.3° et A = 119.7°
sin 40 sin C sin A
ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°. Calculer les angles et les côtés manquants.
A = 65°
AC
AB
5
=
=
⇒ AB = 1,70 cm et AC = 5,48 cm
sin97 sin18 sin 65
ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80°. Calculer les angles et les côtés manquants.
90
60
=
⇒ A = 41°
sin 80 sin A
B = 180 − 80 − 41 = 59°
BC² = 90² + 60² − 2x90x60x cos 41 ⇒ BC = 59 ,57 cm
7
8
9
10
11
12
Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm
5
6² = 5² + 4² − 2x 5x 4x cos A ⇒ cos A =
⇒ A = 82,8°
40
45
4² = 5² + 6² − 2x 5x6x cos B ⇒ cos B =
⇒ B = 41,4°
60
27
5² = 6² + 4² − 2x6x 4x cos C ⇒ cos C =
⇒ C = 55,8°
48
Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°.
AC² = 12² + 6² − 2x12x6x cos 125 ⇒ AC = 16 ,2 cm
Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants.
TS
RT
7
=
=
⇒ TS = 3,55 cm et RT = 6,68 cm
sin 30 sin 70 sin 80
Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC.
5
7
=
⇒ B = 38°
sinB sin 60
Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité.
42
8² = 5² + 9² − 2x 5x9x cos M ⇒ cos M =
⇒ M = 62°
90
8
9² = 5² + 8² − 2x 5x8x cos N ⇒ cos N =
⇒ N = 84°
80
120
5² = 8² + 9² − 2x8x 9x cos P ⇒ cos P =
⇒ P = 34°
144
DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°.
1) Construire le triangle DEF.
1
2) Calculer l’aire de DEF. x6x 4x sin 70 = 11.28 cm²
2
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3)
4)
5)
EH
⇒ EH = 4x cos 70 = 1,37 cm
4
Calculer DF. Arrondir au centième. DF² = 4² + 6² − 2x 4x6x cos 70 ⇒ DF = 5.97 cm
Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près.
6
4
5.97
=
=
⇒ D = 71° et F = 39°
sinD sinF sin 70
H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH. cos 70 =
13
Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes :
1) On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5. A = 98° ; B = 52° ; C = 30°.
2) On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°. c = 5.56 cm ; A = 52° ; B = 81°.
3) On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35°. a = 6.87 cm ; A = 99° ; B = 46°.
4) On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°. c = 15.4 cm ; B = 24° ; C = 116°.
14
Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous.
On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Calculer la longueur CD.
BE² = 14,6² + 18,6² - 2x14.6x18.6xcos150 = 1029.48.
CD = BE = 32.09 cm
Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture
dépasse sur chaque côté de 0,25m. Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ?
9.5
AB
BC
=
=
⇒ AB = 6.50 m et BC = 5.05 m
sin110 sin 40 sin 30
S = 6.50x14.5 + 5.05x14.5 = 167.475 m².
15
16
Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un
message de détresse en provenance d’un transporteur T.
Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague. Dans le premier
cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH). Dans le deuxième cas, il fait un angle de
22° avec la droite (CH). La situation est représentée par le schéma suivant : [CH = 32 km]
S = 59° et H = 22°
Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH.
Calculer en km la distance TH.
T = 180 − 121 − 22 = 37°
TH
32
=
⇒ TH = 45.58
sin121 sin 37
17
Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm
Calculer :
1) la mesure de BD : 85.44 mm
2) les mesures de BC et CD : CD = 26.72 mm et BC = 64.69 mm.
3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC : 21°.
4) la mesure de AC : 67.83 mm.
18
Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques.
Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale.
1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles. OA = 7.8 m et OB = 2.7 m.
2) En déduire la côte x. x = 1.35 m.
19
Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin.
Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et OB =
500 mm. La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm.
Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α.
570000
Valeur minimale : 200² = 500² + 600² − 2x 500x 600x cos α ⇒ cos α =
⇒ α = 18.2°
600000
250000
Valeur maximale : 600² = 500² + 600² − 2x 500x600x cos α ⇒ cos α =
⇒ α = 65.4°
600000
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