THEOREME DE PYTHAGORE PROBLEMES

THEOREME DE PYTHAGORE
PROBLEMES
1
C
M.Agoche, agriculteur, donne un champ.
rectangulaire VCHE de 64 m de longueur sur 25 m de largeur en partage à ses deux enfants, Yvon et Elvire, qui veulent s'essayer à
l'élevage.
Yvon et Elvire tiennent à se partager le champ de manière égale, à l'aide d'une clôture rectiligne.
1)
2)
3)
2
C
Un passionné par l'élevage des poissons tropicaux se rend dans un magasin pour acheter un aquarium "PANORAMIC 80". Cet
aquarium est un prisme droit dont la base est représentée ci-dessous : (cotes en mm)
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3)
4)
5)
6)
7)
8)
3
C
Mesurer les longueurs des segments [EF] et [AF]
En déduire l'échelle à laquelle est représenté l'aquarium
Le polygone ABCDEF admet un axe de symétrie. Tracer, sur la figure, cet axe de symétrie.
Calculer la longueur réelle du segment [BH]
Calculer la longueur réelle du segment [AB] arrondie au mm en utilisant la propriété de Pythagore
On donne AB = 30,2 cm. Calculer le périmètre de la base ABCDEF de l'aquarium.
Calculer l'aire A de la base de l'aquarium.
Pour la suite de l’exercice, prendre : A = 28 dm².
En déduire le volume d'eau, arrondi au litre, contenu dans l'aquarium si la hauteur d'eau est de 30 cm.
Alain souhaite acheter un téléviseur, il circule donc dans les rayons d’un magasin d’électroménager. Il observe les indications
relatives aux téléviseurs en sachant qu’on considère qu’un téléviseur est de forme rectangulaire.
(Longueur : L ; largeur : l ; Diagonale : D)
1)
2)
3)
4
Quelle est la plus petite longueur de clôture qu'ils peuvent utiliser ?
Quelle est la plus grande longueur de clôture qu'ils peuvent utiliser ?
Le champ n'a qu'un accès à un chemin et chacun des deux enfants veut pouvoir sortir de son champ par ce chemin. Le
chemin part du point A, situé à 19 mètres du point C, sur le segment [VC].
Dessiner précisément la clôture (en construisant les points nécessaires avec les instruments de géométrie) et expliquer
pourquoi elle partage bien le champ en deux parties égales.
Pour le premier écran, il est indiqué que la diagonale mesure 72 cm.
Sachant que la largeur de l’écran mesure 40 cm et que la longueur de l’écran mesure 60 cm, calculer la mesure de la
diagonale (arrondir au cm près). L’indication du magasin est-elle correcte ?
La diagonale d’un autre écran mesure 50 cm et la largeur 30 cm. Calculer la longueur de l’écran.
ème
L 16
Alain se trouve maintenant devant un écran 16/9 (ce qui signifie que = )
l 9
a) Calculer la mesure de la largeur de l’écran si la longueur mesure 40 cm.
b) Calculer la mesure de la diagonale de l’écran (arrondir au cm près)
Le triangle isocèle OAB représente un escabeau de 5 marches. H est le pied de la hauteur issue de O.
On donne les longueurs : HB = 0,51m et OB = 1,5m.
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4)
5)
On précise qu'il n'y a pas de marches au sommet O de l'escabeau .Quelle est la hauteur entre deux marches (le long du
segment [OB]) ?
Calculer la hauteur OH entre le sol et le sommet de l'escabeau, arrondie au centimètre près.
Expliquer pourquoi le point H est le milieu du segment [AB].
Calculer la largeur AB entre les jambes de l'escabeau.
Afin que l'escabeau ne s'écarte pas trop, une ficelle est attachée entre deux points M et N des segments [OB] et [OA], de
manière que BM = 50 cm et (MN)//(AB).Calculer la longueur MN de la ficelle.
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PROBLEMES
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Un particulier veut faire construire un escalier d’accès à son jardin
depuis sa terrasse selon le schéma ci contre :
Il souhaite que cet escalier possède 7 marches :
6 marches identiques de hauteur h et de profondeur l ;
la dernière marche de hauteur h se terminant par la
terrasse.
1)
2)
3)
4)
5)
Calculer en cm, la hauteur h de chacune des marches.
Arrondir à l’unité.
Calculer la côte AD. Arrondir au cm.
En déduire la profondeur l.
On estime qu’un escalier est « confortable » si le nombre
2h + l est compris entre 62 et 64. Montrer que cet escalier
n’est pas confortable.
Pour rendre l’escalier confortable, on se propose de
modifier la profondeur l des marches sans modifier leur
hauteur. Quelles sont les valeurs possibles de l ?
6
Un fabricant de voiles veut diminuer ses pertes lors de la découpe des
différentes parties d’une voile. Pour cela, il s’efforce d’avoir un maximum de
coupes à angle droit. Sur le modèle ci contre, voici les côtes dont il dispose :
WI = 4,20 m ; ID = 1,90 m ; IN = 2,20 m ; SU = 1,20 m ; NW = 4,80 m ;
UR = 1,00 m.
1) Le triangle WIN est-il rectangle ?
2) Calculer l’aire A1 de ce triangle ; Arrondir au centième.
3) Pour des raisons de rentabilité, la fenêtre transparente SUR doit être
un triangle rectangle. Déterminer la longueur RS. Arrondir au
centimètre.
4) Calculer l’aire A2 de ce triangle.
5) Quel pourcentage représente l’aire de la fenêtre par rapport à l’aire
totale de la voile ? Donner le résultat à un pour cent près.
7
Le schéma ci-dessous représente une charpente de soutien du toit d'un abri.
Elle est constituée de quatre poutrelles dont trois de longueurs inconnues (p1 = AE ; p2 = CD ; p3 = AD).
On demande de calculer la longueur de chacune d'elles (à 0,01 m).
EDA est un triangle isocèle et AD = 1,63 m.
8
C
9
C
10
C
Un rectangle a une aire de 29,52 cm² et un côté de 8cm de long. Calculer la longueur de ses diagonales.
11
C
A1MN est un triangle rectangle isocèle en A1 tel que A1M=8cm.
On construit les points A2, A3 et A4 tels que les triangles A1A2M, A2A3M, et A3A4M soient rectangles et isocèles respectivement en A2,
A3 et A4. Calculer le périmètre du polygone NA1A2A3A4M.
ZER est un triangle rectangle en Z dont l’aire est 2520 mm² et tel que ZE= 90mm. Calculer le périmètre de ce triangle.
Une boîte à la forme d’un parallélépipède rectangle. Le fond de la boîte est un carré de côté a. La hauteur de la boite est égale à
0,8m. Trouver la valeur minimale de a pour laquelle une baguette de 1 peut être mise dans la boîte.
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C
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Tracer un segment AB de 61mm. De part et d’autre de (AB), construire deux triangles ABC et ABD tels que AC = AD = 77 mm et BC =
BD = 47 mm. Les points C, B, D sont-ils alignés ?
La figure suivante a été réalisée à main levée. On a AE=BE=8 cm ; ED= 6 cm ; BEC rectangle en E ; BAE = 70° et ECD est un triangle
équilatéral.
B
1)
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3)
4)
5)
C
A
E
Réaliser la figure en vraie grandeur.
Calculer la valeur de l’angle AEB
Calculer EC
Calculer la valeur de l’angle CED
Les points A, E et D sont-ils alignés ?
D
14
C
ABC est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [BC]. AB = 7,2 cm ; AC = 9,6 cm
1) Tracer la hauteur AH
2) Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle AHI et préciser la position du centre de ce cercle.
15
C
Calculer le périmètre et l’aire du quadrilatère ABCD.
AB = AC = 10 cm ; BC = 7,2 cm ; CD = 9,6 ; BCD rectangle
A
D
B
16
C
ABCD est un rectangle avec AB = 9,6 cm et BC = 8 cm. E est le milieu de AD et F le point de [DC] tel que EF = 5 cm.
1)
2)
3)
17
C
C
Le triangle EBF est-il isocèle ?
Calculer l’aire du triangle EBF
Construire la hauteur [BO] du triangle EBF. Calculer BO puis EO
On donne AD = 25, DC = 20, AB = 12 et BC = 9. On sait que ACD est rectangle en C
D
A
C
B
1)
2)
18
C
Calculer la longueur AC
Le triangle ABC est-il rectangle en B ?
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC = 156 mm et AB = 65 mm.
Soit H le pied de la hauteur issue de A.
1)
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4)
5)
Réaliser la figure en vraie grandeur.
Calculer BC.
Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de AC et AB. La calculer.
Exprimer son aire en fonction de BC et AH. En déduire que AH = 60 mm.
Calculer alors CH puis HB.
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C
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PROBLEMES
ABCD est un rectangle de longueur 8 cm et largeur 4 cm. Calculer le périmètre du triangle EAF. Arrondir au dixième.
Dessiner avec une règle graduée un segment de droite de longueur 1 cm.
Construire avec une règle non graduée et un compas des segments de droites mesurant respectivement :
2 cm ; 5 cm ; 10 cm ; 15 cm et 6 cm .
21
C
Le triangle ABC est rectangle en A. AC = 6 cm et DC = 4.9 cm.
D est le pied de la hauteur issue de A et E est le pied de la hauteur issue de D.
1) Calculer AD.
2) Calculer l’aire du triangle ADC.
3) Calculer ED.
22
C
Dans la figure ci-dessous on donne AH = 120 cm. Calculer les longueurs AB, BH, HC, BC et AC.
23
C
Dans la figure ci-dessous, on donne AB = 12 cm. AECD est un carré. Calculer le périmètre de la figure.
24
ACM est un triangle rectangle en A. B un point du segment [AM]. On donne AC = 6 ; AB = 5 et BM = y.
Pour quelles valeurs de y l'aire du triangle AMC est-elle supérieure à 40 cm².
25
Soit ABC un triangle tel que AB = 15 et AC = 41. H est le pied de la hauteur issue de A. On donne BH = 12.
Calculer l’aire du triangle ABC.
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Soit EFG un triangle rectangle en E tel que EF = 9 et FG = 15
1)
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3)
4)
5)
27
Construire le triangle EFG.
Tracer la hauteur issue de E. On note H le point d’intersection de la hauteur avec (FG).
Calculer EG
Calculer l’aire du triangle EFG
En déduire EH.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 9 et AC = 6
1)
2)
3)
4)
5)
Construire le triangle ABC.
Tracer la hauteur issue de A. On note H le point d’intersection de la hauteur avec (BC).
Calculer BC
Calculer l’aire du triangle ABC
En déduire AH.
28
Tracer un cercle C de centre O de rayon 5cm et une corde [AB] de longueur 7cm. On appelle I le milieu du segment [AB].
1) Démontrer que la droite (OI) est perpendiculaire à (AB).
2) Calculer la distance OI (donner la valeur exacte puis l’arrondi à 0,1 cm).
29
Sur un cercle C de centre O de rayon 5 cm, placer trois points A, B et C tels que CA=CB=7cm.
1) Les points A, O et B sont-ils alignés ?
2) Placer sur l’arc de cercle AC le point D tel que CD = 4cm. Les segments [OD] et [AC] se coupent en M. La droite (OD) est-elle
la médiatrice du segment [AC] ?
30
Les deux cercles de centre O sont concentriques.
[MN] est une corde tangente au plus petit des deux.
Calculer l’aire de la couronne circulaire sachant que MN = 8
cm
31
La figure ci contre a la forme d’un œuf.
Calculer la hauteur EF si la BC = 10 cm.
32
Tracer un cercle de diamètre [AB] tel que AB = 4,8 cm. tracer la tangente d au cercle en A.
M est un point de d tel que AM = 3,6 cm. La droite (BM) coupe le cercle en E
1) Calculer BM
2) Que représente la droite (EA) pour le triangle ABM ?
3) Calculer l’aire du triangle ABM. En déduire AE
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ABC est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [BC]. AB = 7,2 cm ; AC = 9,6 cm.
1)
2)
Tracer la hauteur AH
Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle AHI et préciser la position du centre de ce cercle.
Problèmes théoriques :
1
ABC est un triangle rectangle en A. La hauteur issue de A coupe [BC] en H.
Démontrer les relations suivantes :
AH²=BC²–AC²–BH² et AH²=BC²–AB²–CH².
2
Démontrer les propriétés suivantes :
1)
2)
Si ABC est un triangle rectangle en A, et si H est le point de [BC] tel que les droites (AH) et (BC) soient perpendiculaires,
alors AB²–AC²=HB²–HC².
Si ABCD est un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires alors AB²+CD²=BC²+AD².
3
LES LUNULES D’HYPPOCRATE.
Etant donné un triangle ABC rectangle en A, on construit les demi-cercles de diamètres [AB], [AC] et [BC] ; On donne AC=7cm ;
AB=2,4 cm.
1) Comparer l ‘aire du triangle ABC et la somme des aires des deux lunules.
2) Ce résultat est-il toujours vrai ? (on posera AC=2b et AB=2c)
4
Si on double les dimensions des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, double-t-on son hypoténuse ?
Son périmètre ? Son aire ?
5
O et O’ sont deux points distants de 3,5 cm. Le cercle C de centre O et de rayon 2,5 cm et le cercle C’ de centre O’ et de rayon 2,5 cm
se coupent en A et B.
1) Prouver que OAO’B est un losange
2) OAO’B est-il un carré ?
3) Calculer l’aire de OAO’B à 1 mm² près.
6
O et O’ sont deux points distants de 3 cm.
Le cercle C de centre O et de rayon 2,5 cm et le cercle C’ de centre O’ et de rayon 1,5 cm se coupent en A et B.
La droite (OA) est-elle tangente au cercle C ?
REPONSES :
1
1)
2)
25 m
68.7 m
2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
EF = 2 cm et AF = 2.3 cm
1/10
.
170 mm
AB = 302 mm
P = 1620.4 mm
A = 277 500 mm²
3
84 dm = 84 L
3
1)
2)
3)
d = 72 cm
L = 40 cm
a)
b)
4
5
6
7
8
9
10
11
l = 22.5 cm
d = 45.89 cm
8.81 cm
106 + 56 + 90 = 252 cm
0.42 m
8 + 5.66 + 4 + 2.83 + 2.83 + 11.31 = 34.63 cm
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28
29
30
31
32
33
1) .
2) 40°
3) 10
4) 60°
5) non ; l’angle AED mesure 190°
1)
2) 2.88 cm
Périmètre : 33.55 cm. Aire : 64.96 cm².
1) EF = 5 cm ; BF = 10.37 cm ; EB = 10.4 cm
2) 25.2 cm²
3) BO = 10.08 : EO = 2.56 cm
a) AC = 15
b) oui
1) Réaliser la figure en vraie grandeur.
2) BC = 169 mm
3) 5070 mm²
4) AH = 60 mm.
5) CH = 144 mm ; HB = 25 mm
AE = 5 ; EF = 5.4 ; AF = 8.3. Périmètre : 18.7 cm
1) AD = 3.46 cm.
2) Aire = 8.48 cm²
3) ED = 2.83
BH = 120 ; AB = 170 ; AC = 240 ; HC = 208 ; BC = 328
Périmètre : 63.9 cm
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