Compte rendu n°1

Compte rendu n°1
Exercice 1
Partie 1
f (x) = 5x − 2
1) f (− 4) = 5 × (− 4) – 2 = − 20 – 2 = − 22
L'image de − 4 par la fonction f est − 22.
2) f (x) = 9 ⇔ 5x – 2 = 9 ⇔ 5x = 9 + 2 ⇔ x =
Le nombre 9 admet pour antécédent
11
5
11
par la fonction f.
5
Partie 2
g (x) = (2x − 3)(4x + 2)
1) g (− 1) = (2 × (− 1) − 3)(4 × (− 1) + 2) = (− 2 − 3) (− 4 + 2) = −5 × (− 2) = 10
L'image de - 1 par la fonction g est 10.
2) Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs au moins est nul.
g (x) = 0 ⇔ (2x − 3)(4x + 2) = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 ou bien 4x + 2 = 0
3
1
⇔x=
ou bien x = −
2
2
3
1
Les antécédents du nombre 0 par la fonction g sont et − .
2
2
Exercice 2
Partie 1
Dans le triangle ABC rectangle en A, on utilise :
longueur du côté opposé
tangente d'un angle aigu =
longueur du côté adjacent
AC 9
9
tan ABC =
=
d’où ABC = tan-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 52°
AB 7
⎝7⎠
La mesure de l’angle ABC est environ 52°.
Partie 2
Dans le triangle DEF rectangle en D, on utilise :
longueur du côté adjacent
cosinus d'un angle aigu =
longueur de l’hypoténuse
ED
ED
4
cos DEF =
d’où EF =
=
≈ 8.8
EF
cos DEF cos 63°
La longueur EF est environ égale à 88 mm.
Compte rendu n°2
Exercice 1
Réponses
A
B
C
D
9
2
= ...
3
9
6
27
2
3
2
13,5
8
15
8
15
4
15
-
2-3
=…
2
2−2
2−4
0,000 2
0,062 5
Que peut-on dire
des nombres 648
et 972 ?
Ce sont des
nombres
décimaux.
Ce sont des
nombres premiers
entre eux.
Ce sont des
nombres entiers.
Ce sont des
multiples de 5.
4 8 2
− × =…
3 3 5
-
Quelle est la
valeur exacte de
48
?
2
24
3,464
2
4
15
4,894
3
Exercice 2
Question 1
30
=6
100
La réduction est donc de 6 euros pour chaque journée de ski.
La journée de ski pour Yann coûte 14 euros en effet 20 − 6 = 14.
Montant de la réduction : 20 ×
Question 2
Nombre de journées de ski pour la saison
2008-2009
5
8
11
Coût en euros avec le tarif A
100
160
220
Coût en euros avec le tarif B
130
172
214
Question 3
Tarif A : CA = 20 x.
Tarif B : CB = 14 x + 60.
Question 4
Tarif B : 14 x + 60 = 242 ⇔ 14 x = 242 – 60 ⇔ 14 x = 182
Yann a skié 13 jours.
⇔ x = 13.
Compte rendu n°3
Exercice 1
Dans le triangle ABC rectangle en B, on sait que le segment [AB] mesure 10 cm et que le segment [BC]
mesure 5 cm.
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
On a :
AC² = AB² + BC²
AC² = 10² + 5²
AC² = 125
AC = 125
AC = 5 5.
Le segment [AC] mesure 5
5 cm.
Exercice 2
M = 3 8 + 32 − 72 − 2 128
M=3×2 2+4 2−6 2−2×8 2
M = (6 + 4 – 6 – 16 ) 2
M = − 12 2
A = 28 + 63 − 700 + 112
A = 2 7 + 3 7 − 10 7 + 4 7
A = (2 + 3 – 10 + 4) 7
A=− 7
R = 3 2 + 2 4 − 2 2 + ( 2)2
R=3 2+4–2 2+2
R= 2+6
Compte rendu n°4
Exercice 1
1) Pour calculer la longueur du segment [BC] on
applique le théorème de Pythagore dans le triangle
ABC rectangle en A.
BC² = AC² + AB²
BC² = 8² + 6²
BC² = 64 + 36
BC² = 100
BC = 100
BC = 10
Le segment [BC] mesure 10 cm.
2) Pour démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles, on remarque que les droites (AE) et (BD)
sont sécantes en C.
CA 8 2
On a
=
=
CE 12 3
CB 10 2
Par ailleurs
=
=
CD 15 3
CA CB
On constate que
=
.
CE CD
En outre les points C, A et E sont dans le même ordre que les points C, B et D.
D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
3) Pour calculer la longueur du segment [DE] on remarque que les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C,
les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
CA CB AB
=
=
.
D'après le théorème de Thalès on peut écrire :
CE CD ED
CA AB
=
d’où CA × ED = AB × CE.
CE ED
AB × CE 6 × 12
=
= 9.
Finalement
ED =
CA
8
Le segment [DE] mesure donc 9 cm.
On retient
Exercice 2
Question 1
Nombre de CD achetés
2
5
11
14
Prix à payer en magasin en €
30
75
165
210
Prix à payer sur internet en €
60
90
150
180
Question 2
Le prix à payer en magasin s’écrit f(x) = 15x.
Le prix à payer par Internet s’écrit g(x) = 10x + 40.
Question 3
f(4) = 15 × 4 = 60
g(4) = 10 × 4 + 40 = 100
Le client doit acheter les 4 CD en magasin pour réaliser une économie de 40 euros.
Question 4
Avec une somme de 110 euros on a :
g(x) = 110 ⇔ 10 x + 40 = 110 ⇔
On peut acheter 7 CD.
10 x = 70 ⇔ x = 7.
Question 5
Les deux tarifs sont identiques.
f(x) = g(x) ⇔ 15 x = 10 x + 40 ⇔ 15 x − 10 x = 40 ⇔ 5 x = 40
Les tarifs proposés sont identiques pour l’achat de 8 CD.
⇔ x = 8.
Question 6
Graphique.
Question 7
Le tarif proposé par internet est plus avantageux pour le client quand le tracé de la fonction g est situé sous le
tracé de la fonction f.
D’après le graphique le tarif proposé par internet est avantageux pour un achat de 8 CD ou plus de 8 CD.
Compte rendu n°5
Exercice 1
1) Schéma.
2) [AB] est un diamètre du cercle.
C est un point situé sur le cercle.
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle et dont le plus
grand côté est un diamètre est un triangle rectangle.
ABC est un triangle rectangle en C.
3) Dans un triangle rectangle, lorsque l’on a déjà deux
mesures et que l’on doit en trouver une autre, on la
cherche avec le théorème de Pythagore.
Dans le triangle ABC rectangle en C, d' après le
théorème de Pythagore on a :
AB² = AC² + CB²
AC² = AB2 – CB2
AC2 = 121 – 43.56
AC² = 77.44
d’où AC = 8.8
Le segment [AC] mesure 8.8 cm.
A
Exercice 2
1) Figure.
R
2) Les points A, T et C sont alignés
dans le même ordre que les
points A, R et B.
Les droites (CB) et (TR) sont
parallèles.
D’après le théorème de Thalès on
AT AR
peut écrire :
=
d’où
AC AB
AC × AR 7.2 × 4.5
=
= 5.4
AT =
AB
6
Donc le segment [AT] mesure 5.4 cm.
3) On peut écrire
AT AR TR
=
=
AC AB CB
on retient
B
T
E
C
AR TR
=
AB CB
d’où TR =
Donc le segment [TR] mesure 7.5 cm.
4) Les points A, B et E sont alignés.
AE = AB + BE = 6 + 2 = 8.
5)
AT 5.4 54 3
=
=
=
AC 7.2 72 4
AB 6 3
AT AB
= =
d’où
=
.
AE 8 4
AC AE
Les points A, T et C sont alignés dans le même ordre que les points A, B et E.
Finalement les droites (TB) et (CE) sont bien parallèles.
AR × CB 4.5 × 10
=
= 7.5.
AB
6
Compte rendu n°6
Exercice 1
0–0
=0
1
0×1
=0
1×1
1+1
0×
=0
1+1
1–1
=0
1+1
0–1
1+
=0
1
1–1
=0
1
1–2
1+
=0
1
2–3
=−1
1
2–2
2+
=2
2
2
2+
= impossible !
2−2
0×1–
Exercice 2
5 12 5 × 4 × 3 3
×
=
=
4 35 4 × 7 × 5 7
15 32 4 × 3 × 5 × 8 × 4
C=4×
× =
= 48
8
5
8×5
A=
7 2×7 7
=
=
6 2×3 3
10 55 1
2 × 5 × 5 × 11
1
D=
×
×
=
=
33 4 25 3 × 11 × 2 × 2 × 5 ×5 6
B=2×
Exercice 3
A = 25 = 32
B = (−2)4 = 16
D = 22 × 52 = 100 E = − 52 = − 25
C = 103 = 1 000
F = 10 −3 = 0.001
Compte rendu n°7
Exercice 1
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a :
AB2 = AH2 + BH2 = 4 + 1 = 5
Dans le triangle AHC rectangle en H, on a :
AC2 = AH2 + CH2 = 4 + 16 = 20
Les points B, H et C sont alignés, d’où :
BC = BH + HC = 1 + 4 = 5
On compare BC2 et AB2 + AC2.
BC2 = 25
AB2 + AC2 = 5 + 20 = 25
D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 2
Triangle n°1
MN
sin MPN =
NP
MN = NP × sin MPN
MN = 5 × sin 30°
MN = 2.5
La longueur MN est égale à 2.5 cm.
Triangle n°2
PN
cos MNP =
MN
PN
MN =
cos MNP
PN
MN =
cos 25°
6
MN =
cos 25°
MN ≈ 6.6
La longueur MN est égale à 6.6 cm environ.
Triangle n°3
MN
tan NPM =
PM
MN = PM × tan NPM
MN = 2.3 × tan 57°
MN ≈ 3.5
La longueur MN est égale à 3.5 cm environ.
Compte rendu n°8
Exercice 1
1) Les points E et F sont situés sur le cercle de centre M.
Le triangle EMF est donc un triangle isocèle de sommet principal M.
2) Les points E et G sont situés sur le cercle de centre M.
Le triangle EMG est donc un triangle isocèle de sommet principal M.
3) Le triangle EFG est inscrit dans un cercle et son plus grand côté [FG] est un diamètre de ce cercle.
Le triangle FEG est donc rectangle en E.
4) Dans le triangle FEG rectangle en E, on peut écrire :
FG2 = EF2 + EG2
FG2 = 1 024 + 3 600
FG2 = 4 624
FG = 68.
1
EM = FG = 34
2
Le diamètre de ce cercle est égal à 68 cm ; le rayon de ce
cercle est égal à 34 cm.
5) Le point M est le milieu su segment [EH]. Le point M est le
milieu du segment [FG].
Le quadrilatère EGHF a ses diagonales qui se coupent en
leur milieu. Il s’agit d’un parallélogramme.
Ce parallélogramme a ses diagonales égales, il s’agit d’un
rectangle.
6) La surface du rectangle EFGH est égale à : EF × EG = 32 × 60 = 1 920 cm2.
7) Dans le triangle rectangle FEG on peut écrire :
EF 32 8
8
sin EGF =
=
=
d’où EGF = sin-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 28°.
FG 68 17
⎝17⎠
8) L’angle EMF est un angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle inscrit EGF .
EMF = 2 × EGF = 2 × 28 = 56°.
9) Dans le triangle EFM :
EFM + FEM + EMF = 180°
EFM = FEM d’où 2 FEM = 180° − EMF
1
FEM = (180° − 56°)
2
FEM = 62°
Finalement : EFM = 62°, FEM = 62° et EMF = 56°.
Dans le triangle EMG :
EMG = 180° – EMF = 180° − 56° = 124°.
MEG + EGM = 180° − 124° = 56°.
56
MEG = EGM d’où MEG =
= 28° et EGM = 28°.
2
Exercice 2
1) Le nombre maximal recherché est un diviseur commun de 432 et de 648.
Il s’agit du PGCD de ces deux nombres.
On peut le trouver en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Dividendes
648
432
Diviseurs Restes
432
216
216
0
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Le pâtissier peut fabriquer 216 sachets en utilisant toutes les viennoiseries.
2)
432
648
= 2 et
=3
216
216
Dans chaque sachet le pâtissier dépose deux pains au chocolat et trois croissants.
3) 2 × 0.60 + 3 × 0.50 = 2.70
Le prix de vente d’un sachet de viennoiseries est égal à 2.70 euros.
Compte rendu n°9
Trigonométrie
Question n°1 : Le cosinus d'un angle aigu est un nombre
négatif
compris entre 0 et 1
Question n°2 : Le sinus d'un angle aigu est égal au quotient
longueur du côté opposé sur longueur du côté adjacent
longueur du côté opposé sur longueur de l'hypoténuse
longueur de l'hypoténuse sur longueur du côté opposé
Question n°3 : Deux angles complémentaires ont
des tangentes égales
des tangentes inverses
Question n°4 : Le sinus d'un angle aigu est un nombre
compris entre 0 et 1
négatif
Question n°5 : La tangente d'un angle aigu est un nombre
quelconque
obligatoirement positif
Géométrie
1) Figure.
2) ABC est un triangle rectangle en B.
Les droites (MN) et (AB) sont perpendiculaires. Les droites
(BC) et (AB) sont perpendiculaires.
Or deux droites perpendiculaires à une même troisième sont
parallèles entre elles.
Donc la droite (MN) est parallèle à la droite (BC).
Les droites (NP) et (BC) sont perpendiculaires. Les droites
(BC) et (AB) sont perpendiculaires.
Donc la droite (NP) est parallèle à la droite (AB).
3) Le quadrilatère MNPB a ses côtés opposés parallèles 2 à 2.
Or un quadrilatère possédant des côtés opposés parallèles 2
à 2 est un parallélogramme.
Donc MNPB est parallélogramme.
les droites (MB) et (BP) sont perpendiculaires.
Or un parallélogramme possédant un angle droit est un
rectangle.
Donc le quadrilatère MNPB est un rectangle.
4) Si le point N est le milieu du segment [AC] alors le point P
est le milieu du segment [BC] et le point M le milieu du
segment [AB].
La droite (MP) est « une droite des milieux » dans le
triangle ABC.
La droite (NP) est « une droite des milieux » dans le triangle ABC.
Compte rendu n°10
Question 1
A
Les droites (BC) et (ED) sont sécantes en A.
On a :
AB 30 6 × 5 5
=
=
= .
AC 42 6 × 7 7
Par ailleurs :
AE 40 8 × 5 5
=
=
= .
AD 56 8 × 7 7
AB AE
=
.
AC AD
Les points A, B et C sont dans le même ordre que les
points A, E et D.
On constate que
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les
droites (BE) et (CD) sont parallèles.
B
C
E
D
Question 2
Les droites (BC) et (ED) sont sécantes en A et les droites (BE) et (CD) sont parallèles, d'après le théorème de
Thalès on a :
AB AE BE
=
=
.
AC AD CD
On retient :
AB BE
AB × CD 30 × 21
=
d’où BE =
=
= 15.
AC CD
AC
42
Le segment [BE] mesure 15 mm.
Question 3
Sur une droite, placer les points A, B et C tel que AB = 30
mm et AC = 42 mm.
Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 56 mm.
Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 21 mm.
Soit D l'intersection des deux arcs.
Tracer la droite (AD).
Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 40 mm.
Soit E l’intersection de cet arc et de la droite (AD).
Compte rendu n°11
Exercice 1
p=
50 ×
70
= 35
100
35 filles ont réussi ce test.
75 ×
80
= 60
100
60 garçons ont réussi ce test.
35 + 60 = 95
95 sportifs ont réussi ce test.
50 + 75 = 125
Le club réunit 125 sportifs.
95
76
= 0.76 =
125
100
76% des sportifs ont réussi le test.
Exercice 2
1)
L'effectif total de cette série est...
15
50
110
La fréquence en pourcentage de la note 8 est...
12 %
5%
10 %
L'effectif des notes inférieures ou égales à 8 est...
5
10
45
16
20
25
On regroupe les notes en classes.
L’effectif de la classe 8 x < 11 est...
2)
5×1 + 6×1 + 7×3 + 8×5 + 9×6 + 10×5 + 11×9 + 12×8 + 13×6 + 14×3 + 15×3
= 10.72
50
La moyenne obtenue à ce concours en mathématiques est de 10.72.
3)
9 + 8 + 6 + 3 + 3 = 29
p=
29
58
= 0.58 =
50
100
29 candidats ont une note supérieure à la
moyenne.
58% des candidats ont reçu une note
supérieure à la moyenne.
Compte rendu n°12
1)
20 x < 24 24 x < 28 28 x < 32 32 x < 36 36 x < 40 40 x < 44
Âge
Total
Centre de
Classe
22
26
30
34
38
42
Effectif
12
30
45
36
21
6
150
Fréquence
en %
8
12
=
150 100
8%
20
30
=
150 100
20%
30
45
=
150 100
30%
24
36
=
150 100
24%
14
21
=
150 100
14%
4
6
=
150 100
4%
100%
2)
On ajoute tout les effectifs strictement inférieurs à 36, ce qui nous donne :
12 + 30 + 45 + 36 = 123
Donc 123 des employés ont moins de 36 ans.
p=
123
82
= 0.82 =
150
100
Le pourcentage des employés ayant strictement moins de 36 ans est égal à 82%.
3)
Pour trouver l'âge moyen des employés de l'entreprise, on multiplie chaque centre de classe par son
effectif et on ajoute ensuite les produits obtenus.
( 22 × 12 ) + ( 26 × 30 ) + ( 30 × 45 ) + ( 34 × 36 ) + ( 38 × 21 ) + ( 42 × 6 ) = 4 626
On divise ensuite le résultat obtenu par l'effectif total.
4 626
≈ 31
150
Donc l'âge moyen des employés de cette entreprise est environ égal à 31 ans.
Compte rendu n°13
Exercice 1
1) Lucas veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Si N est le nombre de bouquets, comme il veut utiliser toutes les fleurs et faire des bouquets de compositions
identiques, N doit être diviseur de 182 et de 78.
Comme de plus il veut faire le plus grand nombre possible de bouquets, N doit être le plus grand possible.
Alors N est le PGCD de 182 et 78.
Algorithme d'Euclide.
182 = (2 × 78) + 26
78 = (26 × 3) + 0
Le dernier reste non nul est 26, c'est donc le PGCD de 128 et 78.
Lucas peut faire 26 bouquets en utilisant toutes les fleurs.
2)
182
= 7.
26
Donc chaque bouquet contient 7 brins de muguet.
78
= 3.
26
Donc chaque bouquet contient 3 roses.
A
C
Exercice 2
1) Dans le triangle CAB rectangle en A :
AB 4.5 45 3
cos ABC =
=
=
=
BC 7.5 75 5
3
d’où ABC = cos-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 53°
⎝5⎠
2) Dans le triangle CAB rectangle en A :
BC2 = AB2 + AC2
AC2 = BC2 – AB2
AC2 = 56.25 – 20.25
AC2 = 36 d’où AC = 6
La longueur AC est égale à 6 cm.
3) Figure.
4) Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A.
De plus, les droites (BC) et (MN) sont
parallèles.
Les points M, A et B sont alignés dans le même
ordre que les points N, A et C.
AM
Alors, d'après le théorème de Thalès, on a
AB
AN MN
=
=
.
AC BC
AM × BC 3 × 7.5
AM MN
=
d’où MN =
=
= 5.
On retient
AB
AB BC
4.5
La longueur MN est égale à 5 cm.
B
Compte rendu n°14
Exercice 1
Nombre d
6 500
78.4
0.003 51
53 000 000 000
0.000 000 048 1
8.214
Entourer l’écriture scientifique du nombre d
6,5 × 102
6.5 × 10−3
6.5 × 103
7.84 × 10−2
7.84 × 102
7.84 × 101
3.51× 10−3
3.51 × 10−4
5.1 × 103
5.3 × 109
5.3 × 1010
5.3 × 1011
4.81 × 10−8
4.81× 10−9
4.81 × 10−10
8.214 × 100
8 214 × 10−3
82.14 × 10−1
Exercice 2
Nombre d
Ecriture scientifique du nombre d
6 300 × 104
6.3 × 107
450 × 106
4.5 × 108
0.000 67 × 10−5
6.7 × 10−9
81 500 000 × 1023
8.15 × 1030
6 300 × 1012
6.3 × 1015
Exercice 3
Expression
Forme factorisée
(x + 1)2 – 4
(x + 1 + 2)(x + 1 − 2) = (x + 3)(x – 1)
(x + 2)2 − 81
(x + 2 + 9)(x + 2 – 9) = (x + 11)(x – 7)
[(x + 2) + (2x – 3)] [(x + 2) − (2x – 3)]
(x + 2)2 – (2x – 3)2
= (x + 2 + 2x – 3)(x + 2 – 2x + 3)
= (3x – 1)(− x + 5)
[5 + (2x + 1)][5 − (2x + 1)]
25 – (2x + 1)2
= (5 + 2x + 1)(5 – 2x – 1)
=(2x + 6)(4 – 2x)
= 4 (x + 3)(2 – x)
[(3x – 4) + (6x + 1)][(3x – 4) − (6x + 1)]
(3x – 4)2 – (6x + 1)2
= (3x – 4 + 6x + 1)(3x – 4 – 6x – 1]
= (9x – 3)(−3x – 5)
= 3(3x – 1)((−3x – 5)
Compte rendu n°15
Exercice 1
Soit x l’âge actuel du fils.
L’âge actuel du père est 4x.
L’âge actuel du grand-père est 4x + 25.
Dans 11 ans le fils aura (x + 11) ans, le père aura (4x + 11) ans et le grand-père aura (4x + 25 + 11) ans.
Equation du problème :
(x + 11) + (4x + 11) + (4x + 25 + 11) = 130
x + 11 + 4x + 11 + 4x + 25 + 11 = 130
x + 4x + 4x = 130 – 11 – 11 – 25 − 11
9x = 72
72
x=
=8
9
x=8
Le fils a 8 ans.
4x = 4 × 8 = 32
Le père a 32 ans.
4x + 25 = (4 × 8) + 25 = 32 + 25 = 57
Le grand-père a 57 ans.
Exercice 2
E = (x − 2)2 − (x − 2)(2x − 3)
1) E = (x² − 4x + 4) – (2x² − 3x − 4x + 6)
E = x² – 4x + 4 – 2x2 + 3x + 4x – 6
E = − x² + 3x – 2
2) E = (x – 2)(x – 2) – (x – 2)(2x – 3)
E = (x – 2) [(x – 2) – (2x – 3)]
E = (x – 2) (x – 2 – 2x + 3)
E = (x – 2)(−x + 1)
2
1
1
3) E = − ⎛⎜ ⎞⎟ + 3 × − 2
2
2
⎝ ⎠
Ε=−1+6−8
4 4 4
3
E=4
4) E = 0
⇔ (x – 2)(−x + 1) = 0 ⇔ x = 2 ou bien x = 1
Compte rendu n°16
Exercice 1
20
= 24.08 euros.
100
Montant de la facture après remise : 120.40 – 24.08 = 96.32 euros.
2) Le nombre de sachets réalisés est un diviseur commun aux nombres 301et 172. Il s’agit du plus grand
diviseur.
On recherche le PGCD des nombres 301 et 172.
1) Montant de la remise : 120.40 ×
dividendes
diviseurs
301
172
172
129
129
43
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Le confiseur peut réaliser 43 sachets identiques.
301
172
= 7 et
=4
43
43
Un sachet contient sept caramels et quatre chocolats.
restes
129
43
0
F
G
Exercice 2
A
AB AC
1) D’après le théorème de Thalès :
=
.
AD AE
AB × AE 4 × 4.5
D’où AD =
=
= 6.
AC
3
La longueur AD est égale à 6 cm.
Les points A, B et D sont alignés, BD = AD – AB = 6 – 4 = 2.
La longueur BD est égale à 2 cm.
2)
B
D
C
E
AF 4.05 405 27
AG 5.4 54 27
=
=
=
et
=
=
= .
AC
AB 4 40 30
3
300 20
AF AG
=
.
AC AB
Les points F, A et C sont alignés dans le même ordre que les points G, A et B.
Les droites (AC) et (AB) sont sécantes en A.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (CB) sont parallèles.
Exercice 3
1) 15 – 6 = 9.
L’étendue de la série est égale à 9 points.
2)
6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 13 + 14 + 15
≈ 10.1.
13
La note moyenne est environ 10.1.
3) Les treize notes sont rangées dans l’ordre croissant ; on cherche la septième note qui correspond à la
note médiane.
6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15
La note médiane est 9.
Compte rendu n°17
Exercice 1
1) N = 2 + 3 + 7 + 5 + 4 + 4 = 25.
Le club compte 25 adhérents.
2)
3)
Âge
12
13
14
15
16
17
Effectif
2
3
7
5
4
4
Fréquence
8%
12%
28%
20%
16%
16%
2 × 12 + 3 × 13 + 7 × 14 + 5 × 15 + 4 × 16 + 4 × 17
= 14.72 ≈ 15.
25
L'âge moyen est environ 15 ans.
Exercice 2
PR
CR
TP
sin TRP =
TR
sin PCR =
PC
RP
PR
tan PTR =
TP
tan PRC =
Exercice 3
L’angle au centre AOC et l’angle inscrit ABC interceptent le même arc.
AOC = 2 × ABC = 2 × 35 = 70°.
[OC) est la bissectrice de l’angle AOB.
AOB = 2 × AOC = 2 × 70 = 140°.
Exercice 4
1) Nicole s’est arrêtée de la 30iéme à la
50iéme minute.
2) Entre la 50iéme et la 110iéme minute, il
s’est écoulé 60 minutes donc une
heure.
30 − 15 = 15.
Nicole a parcouru 15 kilomètres.
Elle a roulé à la vitesse de 15 km/h.
3) Graphique.
4) René part 40 minutes après Nicole.
René rattrape Nicole au temps
t = 90 minutes.
René et Nicole sont alors à 25 kilomètres du départ.
Compte rendu n°18
Exercice 1
Partie I
aire (ABCD) = x2
aire (BEFC) = 6x
L’aire totale de la figure en cm2 s’écrit : A (x) = x2 + 6x.
Partie II
1) (x + 3)² − 25 = (x2 + 6x + 9) – 25
= x2 + 6x + 9 – 25
= x2 + 6x.
L’égalité x2 + 6x – 16 = (x + 3)² − 25 est vraie pour tout nombre x.
2) (x + 3)² − 25 = (x + 3 + 5)(x + 3 − 5) = (x + 8)(x – 2).
3) x2 + 6x – 16 = 0
⇔ (x + 3)² − 25 = 0
⇔ (x + 8)(x – 2) = 0
⇔ x + 8 = 0 ou bien x − 2 = 0 ⇔ x = −8 ou bien x = 2.
Partie III
A (x) = 16 ⇔ x2 + 6x = 16 ⇔ x2 + 6x – 16 = 0 ⇔ x = −8 ou bien x = 2.
Or x désigne une longueur, on a donc x = 2.
L'aire totale de la figure est égale à 16 cm2 pour x = 2 cm.
Exercice 2
1) Les points A, E et D sont alignés.
AD = AE + ED = 4 + 1 = 5 cm.
Dans le triangle DAB on a :
DB2 = 132 = 169
AD2 + AB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
Finalement DB2 = AD2 + AB2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
DAB est rectangle en A.
2) Le segment [DA] est la hauteur de la pyramide.
aire de base × hauteur
volume (pyramide) =
3
AB × AC 12 × 20
aire (base) =
=
= 120 cm2
2
2
120 × DA 120 × 5
Volume (pyramide) =
=
= 200
3
3
Le volume de la pyramide est égal à 200 cm3.
3) Les droites (AE) et (BA) sont sécantes en D.
Les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
DE DF EF
=
=
.
DA DB AB
DE × DB 1 × 13
DE DF
On retient
=
d’où DF =
=
= 2.6.
DA DB
DA
5
La longueur DF est égale à 2.6 cm.
D’après le théorème de Thalès on peut écrire :
Compte rendu n°19
QCM
Situations
Propositions
Le PGCD de 1 053 et 325 est …
Une voiture coûtait 10 000 €.
Elle a augmenté de 34 %.
Son nouveau prix est …
25
13
9
13 400 €
14 600 €
12 300 €
Vraie
Inexacte
On ne peut
pas savoir
55°
53°
59°
300 π cm3
750 π cm3
250 π cm3
AO = 3.4 cm
OD = 9.18 cm
OB = 4.2 cm
OE = 11.34 cm
La phrase :
« Les droites (AB) et (CD) sont parallèles » est …
OL = 3 cm
OI = 4 cm
La mesure de l'angle
OLI est environ …
S
AM = 5 cm
AS = 30 cm
Le volume du cône est …
M
A
Problème
On appelle x la longueur du rectangle initial et y sa largeur.
1) La surface du grand rectangle s’écrit : (x + 2)(y +3) = xy + 3x + 2y + 6.
2) Le périmètre du rectangle initial s’écrit : 2 x + 2 y = 24 ⇔ x + y = 12.
La surface du grand rectangle s’écrit : xy + 3x + 2y + 6 = xy + 37 ⇔ 3x + 2y = 37 – 6 ⇔ 3x + 2y = 31.
⎧⎪ x + y = 12
L1
Calculer les dimensions x et y revient à résoudre le système ⎨
.
⎩⎪ 3x + 2y = 31 L2
3 L1 : 3x + 3y = 36
− L2 : − 3x – 2y = −31
d’où 3L1 – L2 : y = 5 ; on reporte y dans L1 : x = 12 – y = 7. Les nombres
trouvés sont positifs. La longueur du rectangle initial est égale à 7 cm et sa largeur est égale à 5 cm.
Compte rendu n°20
Exercice 1
1) Graphique.
2)
x
0
f(x)
0
g(x)
2
2
3
2
4
1.6
1.2
3
6
9
2
8
0.8
0.4
6
10
15
2
0
3) Lecture : I (2.2 ; 1.6).
4) f(x) = g(x)
3
⇔ x = − 0.2x +2
4
⇔ 0.75 x + 0.2x = 2
⇔ 0.95 x = 2
2
200 40
⇔ x=
=
= .
0.95 95 19
3
3 40 30
5) f(x) = x = ×
= .
4
4 19 19
Coordonnées exactes du point I : xI =
40
30
et yI = .
19
19
Exercice 2
1) A = 9x² – 25 – (3x – 5)(2x + 15)
Α = 9x² – 25 – (6x2 + 45x – 10x – 75)
A = 9x² – 25 – 6x2 − 45x + 10x + 75
A = 3x2 – 35 x + 50
2
2) B = 9x − 25
Β = (3x + 5)(3x – 5)
3) A = 9x² – 25 – (3x – 5)(2x + 15)
Α = (3x + 5)(3x – 5) − (3x – 5)(2x + 15)
Α = (3x – 5)[(3x + 5) − (2x + 15)]
Α = (3x – 5)(3x + 5 − 2x – 15)
A = (3x – 5)(x – 10)
4) A = 0
⇔ (3x – 5)(x – 10) = 0 ⇔ 3x − 5 = 0 ou bien x − 10 = 0
5
⇔
x = ou bien x = 10
3
Compte rendu n°21
Exercice 1
1) Le nombre recherché doit diviser 84 et 147.
Devant être maximal, ce nombre est le PGCD de 84 et 147.
On utilise l'algorithme d'Euclide :
Dividendes
Diviseurs
Restes
147
84
63
84
63
21
63
21
0
Le PGCD de 147 et 84 est égal à 21.
Vingt personnes et Antoine peuvent bénéficier des pâtisseries.
2)
84
147
=4
et
=7
21
21
Chaque personne recevra quatre croissants et sept pains au chocolat.
Antoine recevra également quatre croissants et sept pains au chocolat.
Exercice 2
1) Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.
Les points A, C et F sont alignés dans le même ordre
que les points B, C et G.
D’après le théorème de Thalès on peut écrire :
CA CB AB
=
=
.
CF CG FG
CA AB
=
.
On retient
CF FG
CF × AB 8.4 × 3
D’où CA =
=
= 2.25.
FG
11.2
La longueur CA est égale à 2.25 cm.
2) Dans le triangle FCG, les points F, D et C sont alignés dans le même ordre que les points F, E et G.
FD 6.3 63 3
On a
=
=
= .
FC 8.4 84 4
FE 8.4
84 3
D’autre part on a
=
=
= .
FG 11.2 112 4
FD FE
On constate que
=
.
FC FG
D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (DE) et CG) sont parallèles.
Compte rendu n°22
Exercice 1
A=
3 2 5
– ×
7 7 6
L'écriture scientifique de
0.004 7 × 10−5 est …
L'expression qui conduit à
l’égalité
E (4) = 10 est …
A=
5
42
A=
7
14
A=
4
21
4.7 × 10−8
4.7 × 108
47 × 10−9
E (x) = (x + 1)²
E (x) = (x + 1)(x − 2)
E (x) = x(x + 1)
x=6
x = −3
x=3
La solution de l’équation
2x + 6 = 0
est …
La solution de l’équation
1 + 4x = x − 3
est …
x=−
4
3
x=
3
4
x=
4
3
La solution de l’équation
3x − 5 = 2 − (1 − 4x)
x = −7
x=6
x=−6
B=8 2
B=2 8
B=3 2
est …
B = 18 + 72 − 2
Exercice2
n est l’entier inconnu.
(n + 1)2 = n2 + 25 ⇔
⇔
⇔
⇔
L’entier n recherché est 12.
n2 + 2n + 1 = n2 + 25
n2 + 2n – n2 = 25 – 1
2n = 24
n = 12
Compte rendu n°23
Exercice 1
3 2
6
6 2
18 × 8 =
12
5 2
6 2
125 − 20 =
21 5
3 5
105
12
6
4 3
4 2
32 3
2 8
2 3
2
2 3
6
3( 2 + 2) =
(2 3)2 =
96
=
3
2 6× 3
=
2
Exercice 2
30
= 4 500
100
15 000 – 4 500 = 10 500
Le prix de revente au bout d’un an est égal à 10 500 euros.
1) 15 000 ×
2) La seconde année le véhicule perd 25% de sa valeur.
25
10500 ×
= 2 625
100
10 500 – 2 625 = 7 875
Le prix de revente au bout de deux ans est égal à 7 875 euros.
La troisième année le véhicule perd 25% de sa valeur.
25
= 1 968.75
7 875 ×
100
7 875 – 1 968.75 = 5 906.25
Le prix de revente au bout de deux ans est égal à 5 906.25 euros.
La quatrième année le véhicule perd 25% de sa valeur.
25
5 906.25 ×
≈ 1 476.56
100
5 906.25 – 1 476.56 = 4 429.69 ≈ 4 430
Le prix de revente au bout de deux ans est environ égal à 4 430 euros.
Compte rendu n°24
Exercice 1
E (x) = (-3x + 2)² − (2 - 3x)(x + 7)
1) E (−7) = (− 3 × −7 + 2)2 – 0 = 529
2
2) E ⎛⎜ ⎞⎟ = 0 – 0 = 0
⎝3⎠
3) E = (9x² − 12x + 4) − (2x + 14 − 3x² − 21x)
E = 9x² − 12x + 4 – 2x – 14 + 3x2 + 21x
E = 12x2 + 7x − 10
4) E = (2 – 3x)2 − (2 − 3x)(x + 7)
Ε = (2 − 3x)(2 − 3x) − (2 − 3x)(x + 7)
Ε = (2 − 3x)[(2 – 3x) – (x + 7)]
E = (2 – 3x) (2 – 3x – x – 7)
E = (2 – 3x) (− 4x – 5)
5) E = 0
⇔ (2 – 3x) (− 4x – 5) = 0
⇔ 2 − 3x = 0 ou bien − 4x − 5 = 0
2
5
⇔ x=
ou bien x = −
3
4
Exercice 2
1) Figure.
2) Le triangle AMB est inscrit dans un demi-cercle de
diamètre [AB].
Donc le triangle AMB est rectangle en M.
3) Dans le triangle AMB rectangle en M, on a :
cos ABM =
BM 4.8 48 4
=
=
= .
AB
6 60 5
4
ABM = cos-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 37°
⎝5⎠
L’angle ABM mesure environ 37°.
4) BAM = 90° - ABM
BAM = 53°
L’angle BAM mesure environ 53°.
Compte rendu n°25
Exercice 1
1) Le triangle CAB est rectangle en A.
AB
cos ABC =
d’où AB = BC × cos ABC = 6 × cos 75°
BC
AB ≈ 1.55
La distance AB entre le pied de l’échelle et le mur est environ égale
à 155 cm.
2) Le triangle CAB est rectangle en A.
AC
sin ABC =
d’où AC = BC × sin ABC = 6 × sin 75°
BC
AC ≈ 5.80
La distance AC est environ égale à 580 cm.
Les points A, C et D sont alignés.
CD = AD – AC
CD = 7 − 5.80
CD = 1.20
La distance CD est environ égale à 120 cm.
Exercice 2
1) La Reine souhaite constituer des équipes identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de
fourmis noires et le même nombre de fourmis rouges.
Le nombre cherché est un diviseur commun de 6 510 et de 4 650.
De plus la reine veut réaliser le maximum d'équipes.
Donc le nombre cherché est le PGCD des nombres 6 510 et 4 650.
Calcul du PGCD de 6 510 et 4 650 :
6 510 – 4 650 = 1 860
4 650 – 1 860 = 2 790
2 790 – 1 860 = 930
1 860 − 930 = 930
930 − 930 =
0
La dernière différence non nulle est 930.
Donc 930 est le PGCD des nombres 6 510 et 4 650.
La reine peut donc réaliser 930 équipes au maximum.
2)
4 650
6 510
=7
=5
930
930
Chaque équipe sera composée de sept fourmis noires et de cinq fourmis rouges.
Exercice 3
1) N = 4 + 7 + 10 + 3 = 24
Le club compte 24 élèves.
4 × 11 + 7 × 12 + 10 × 13 + 3 × 14
2)
= 12.5
24
L’âge moyen des élèves de ce club est 12.5 ans.
87.5
4 + 7 + 10 21 7
3) P =
=
= = 0.875 =
24
24 8
100
Le pourcentage d’élèves ayant moins de 14 ans est 87.5%.
Compte rendu n°26
Exercice 1
AB = 3 5 – 2 3
BC = 6 + 15
AC = 6 3
1) AC² = (6 3)² = 36 × 3 = 108
AB² + BC² = (3 5 – 2 3)² + (6 + 15)²
AB² + BC² = 45 – 12 15 + 12 + 36 + 12 15 + 15
AB2 + BC2 = 108
On constate AC² = AB² + BC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle
ABC est rectangle en B.
2) Le point O est le milieu du segment [AC].
D est le symétrique de B par rapport à O, le point O est le milieu du segment [BD].
Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
De plus le triangle ABC est rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.
Le parallélogramme ABCD est un rectangle.
3) AB × BC = (3 5 – 2 3)(6 + 15) = 18 5 + 15 3 − 12 3 − 6 5 = 12 5 + 3 3
L’aire du rectangle ABCD est égale à 12 5 + 3 3 m2.
Exercice 2
1) Figure.
2) AB2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98
AC2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50
AB2 + AC2 = 98 + 50 = 148
BC2 = 22 + 122 = 4 + 144 = 148
On constate : BC2 = AB2 + AC2.
Le triangle CAB est rectangle en A.
3)
1
1
× AB × AC = ×
2
2
98 ×
50
2 × 49 × 2 × 25
2
7×5×2
=
= 35.
2
L’aire du triangle ABC est égale à 35 unités
d’aire.
4) Le triangle CAB est rectangle en A.
AC
50 5 2 5
=
=
=
d’où ABC
tan ABC =
AB
98 7 2 7
5
= tan-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 36°.
⎝7⎠
L’angle ABC mesure environ 36°.
=
1×
Compte rendu n°27
Exercice 1
Première partie
a) x désigne le prix d'un croissant.
y désigne le prix d'un petit pain.
Méthode par substitution
⎧⎪ 5x + 4y = 12
⎪⎧ 5x + 4y = 12
⎨
⇔ ⎨ y = 1(15−10x)
⎩⎪ 10x + 2y = 15
⎪⎩
2
⎧⎪ −15x = −18
⎨ y = 1(15 – 10x)
⎪⎩
2
⇔
⎪⎧
⎨
⎩⎪
⇔
⎧⎪ 5x + 4×12(15 – 10x) = 12
⎨ 1
⎩⎪ y = 2(15 – 10x)
⎧⎪ 5x + 30 – 20x = 12
⇔ ⎨ y = 1(15 – 10x)
⎪⎩
2
x = 1.20
y = 1.50
Le prix d'un croissant est de 1.20 €.
Le prix d'un petit pain est de 1.50 €.
b) Si le prix du pain a diminué de 40 %, alors le prix initial est de :
Prix avant réduction
100
y
Prix après réduction
60
1.50
y × 60 = 100 × 1.50
y = 2.50
Le prix du petit pain avant que le boulanger baisse ses prix était de 2.50 €.
c) Le pourcentage de réduction accordé sachant qu’un croissant coûtait 2.80 € est :
Prix avant réduction
100
2.80
Prix après réduction
p
2.25
2.80 × p = 100 × 2.25
p=
100 × 2.25
≈ 80
2.80
100 – 80 = 20
Donc, le boulanger aurait réduit le prix d’environ 20 %.
Deuxième partie
a) Développons l’expression A.
A = (2x – 4 )² – 49
A = 4x² − 16x + 16 – 49
A = 4x² – 16x − 33
b) Factorisons l’expression A avec le modèle (a + b)(a − b).
A = (2x + 4)² – 49
A = (2x – 4 – 7 )(2x – 4 + 7)
A = (2x – 11)(2x + 3)
c) Si x = 2, alors l’expression A est égale à :
A = (2x – 11)(2x + 3)
A = (−7) ( 7)
A = − 49
d) A = 0
⇔ (2x − 11)(2x + 3) = 0
Or : on a ici une équation « produit nul »
| | Un produit est nul si l'un au moins des facteurs est nul.
Donc on a :
2x – 11 = 0 ou bien 2x + 3 = 0
11
3
x=
ou bien x = − .
2
2
11
3
Les solutions sont et - .
2
2
Exercice 2 : QCM
Les réponses exactes sont :
1) La bonne réponse est la réponse a = 27°.
2) Les bonnes réponses sont les réponses
33 33 7
et
.
21
3 7
3) La bonne réponse est la réponse 1.5 × 10
−18
.
4) Les bonnes réponses sont les réponses 18 x² − 18 et 18(x² − 1).
5) Les bonnes réponses sont les réponses « parallélogramme » et « rectangle ».
6) Les bonnes réponses sont les réponses
350
et 50 7.
7
Compte rendu n°28
Exercice 1
1) A = (6x + 4) (6x − 4) – (x² + 2x) (6x + 4)
A = 36x² – 16 – (6x³ + 4x² + 12x² + 8x)
A = 36x² – 16 – (6x³ + 16x² + 8x)
A = 36x² – 16 – 6x³ – 16x² – 8x
A = − 6x³ + 20x² – 8x – 16
2) A = (6x + 4 ) [6x – 4 – x² – 2x]
A = (6x + 4) (−x² + 4x – 4)
A = − 2(3x + 2)(x2 – 4x + 4)
A = − 2 (3x + 2)(x −2)2
3) a) A(0) = −16
b) A (1) = − 6 + 20 – 8 – 16
A (1) = −10
c) A (2) = 0
d)
[ [] ]
x
0
1
2
résultat
-16
-10
0
Les valeurs de x ne sont pas proportionnelles aux résultats obtenus.
Exercice 2
1) Le triangle ABC contient deux angles dont la valeur est 60°, le troisième angle est de 60° aussi car la
somme des angles dans un triangle est de 180° ; on remarque que les trois angles sont égaux, il s'agit donc d'un
triangle équilatéral.
2) 3) 4) Voir figure
5) Le quadrilatère C C ' C ''' C '' est un rectangle.
6) Les diagonales du rectangle C C ' C ''' C '' se coupent en leur milieu.
Il s’agit du point O car par construction le point C ''' est le symétrique du point C dans la symétrie de centre O.
Donc le point O est le milieu du
segment C C ''' ; par suite le point
O est également le milieu du
segment C 'C '' .
Compte rendu n°29
Exercice 1
1) x est le prix de vente d'un timbre «grand modèle».
y est le prix de vente d'un timbre «petit modèle».
Première vente : 11x + 20y = 52 (L1)
Seconde vente :
9x + 40y = 78 (L2)
On utilise la méthode par addition :
(-2L1) : − 22x – 40y = − 104
( L2) :
9x + 40y = 78
(-2L1) + (L2) : − 13x = − 26
26
x=
13
x=2
On calcule y dans (L2) : 40y = 78 – 9x
40y = 78 – 9 × 2
40y = 60
60
y=
= 1.5
40
Un timbre «grand modèle» coûte 2 € tandis qu'un timbre «petit modèle» coûte 1.50 €.
2) On appelle X le nombre de timbres «grand modèle» et Y le nombre de timbres «petit modèle» possédés
par Sylvain au début de la braderie.
On a donc l’égalité
X=3Y
Lors de la seconde vente Sylvain a vendu un trente cinquième de sa collection «grand modèle».
1
On en déduit l’égalité X = 9, d'où X = 9 × 35 = 315.
35
1
X ⇔ Y = 105
3
Finalement avant la braderie Sylvain possédait 420 timbres.
(315 + 105 = 420)
X=3Y
⇔
Y=
Exercice 2
a) 2x + 5 – [7x + 7] = 13
⇔ − 5x = 13 – 5 + 7
7
– 4 3)
3
5+3×2
Α=
+ π2 ×
× ( 4 – 2 × 2)
π
(5×6)
7
(7 × 5 + – 4 3)
⎡5 + 3 × 2
⎤
3
A=
+ π2 × ⎢
× (0)⎥
(5×6)
π
⎣
⎦
A=0
(7 × 5 +
b)
⇔ 2x + 5 – 7x – 7 = 13
⇔
− 5x = 15
⇔
x=5
Compte rendu n°30
Exercice 1
Question 1
Le triangle ABC est rectangle en B.
AB = 8 cm
BC = 10 cm
côté opposé
côté adjacent
10
tan CAB =
= 1.25
8
CAB = tan-1 (1.25) ≈ 51°
tangente =
donc : tan CAB =
BC
AB
Question 2
côté adjacent
.
hypoténuse
côté opposé
Définition du sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle : sinus =
.
hypoténuse
côté opposé
Définition de la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle : tangente =
.
côté adjacent
Définition du cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle : cosinus =
Question 3
On sait : Jean avait proposé d'utiliser la tangente.
Il fallait utiliser la tangente pour trouver l'angle CAB.
Donc : c'est Jean qui avait raison.
Exercice 2
Soit x le prix d'un sandwich.
Soit y le prix d'un jus de fruit.
Appliquons la méthode des combinaisons.
Echange n°1 : 4x + 5y = 22 (L1)
Echange n°2 : 3x + 7y = 23 (L2)
(-3L1) : −12x – 15y = −66
(4L2) : 12x + 28y = 92
(-3L1) + (4L2) : 13y = 26
26
y=
13
y=2
(7L1) : 28x + 35y = 154
(-5L2) : −15x – 35y = −115
(7L1) + (-5L2) : 13x = 39
39
x=
x=3
13
Le prix d'un sandwich est de 3 euros.
Le prix d'un jus de fruit est de 2 euros.
Compte rendu n°31
Exercice 1
1) Schéma.
2) Schéma.
3) Lecture : xI = 7.5 et yI ≈ 49.
4)
Nombre de séances
1
3
5
7
Dépense totale en € pour Pierre
6.50
19.50
32.50
45.50
58.50 71.50 84.50
19.50 28.50
37.50
46.50
55,50 64.50 73.50
Dépense totale en € pour Paul
9
11
13
5) La fonction g modélise les dépenses de Paul.
La droite D2 est tracée sous la droite D1 à partir de x = 7.5.
Donc à partir de 8 séances Paul sera le plus avantagé car sa dépense sera inférieure à celle de Pierre.
Exercice 2
1) On peut utiliser la méthode des soustractions.
243−189 = 54 ; 189 – 54 = 135 ; 135 − 54 = 81 ; 81 − 54 = 27 ; 54 − 27 = 27 ; 27 − 27 = 0
Jean pourra faire au maximum 27 paquets.
2)
189
243
= 7 et
=9
27
27
Dans chacun des 27 paquets il y aura 7 mokas et 9 tartes.
Compte rendu n°32
Exercice n°1
AB =
⎡
⎛2
2⎞⎤
4
−2
⎢4 400 + 10 × ⎜ + ⎟⎥ ×10 = 12
6⎠⎦
⎣
⎝3
A
D
B
C
⎡2 ×107 × 8⎤ ⎡104 × 3 × 103 ⎤
BC = ⎢
⎥ = 16
6 ⎥×⎢
6 ×107 ⎦
⎣ 5 ×10 ⎦ ⎣
Il y a 16 mètres entre les bégonias et le cerisier et 12 mètres entre l'arbuste
et les bégonias.
Le triangle ABC est rectangle en B. L'hypoténuse est [AC].
D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC²
AC² = 12² + 16²
AC² = 144 + 256
AC² = 400
AC =
400
AC = 20
La longueur de la corde tendue est de 20 mètres.
Exercice n°2
Au début du jeu Xavier possède x billes.
Au début du jeu Yoann possède y billes.
Phrase n°1 : x + 1 = y − 1 (L1)
Phrase n°2 : y + 1 = 2 (x − 1) (L2)
(L1) : x – y = − 2
(L2) : 2x – y = 3
(-L1) : − x + y = 2
(L2) : 2x – y = 3
(-L1) + (L2) : x = 5
On reporte x dans (L1) : y = x + 2
y=7
Au début du jeu Xavier a cinq billes et Yoann a sept 7 billes.
Si Xavier perd alors il lui restera 4 billes contre 8 pour Yoann.
En revanche si c'est Yoann qui perd alors les deux joueurs auront 6 billes chacun.
Compte rendu n°33
Exercice 1
1) 4 x + 3 y = 26 d’où 3 y = 26 – 4 x d’où y =
1
(26 – 4 x) = 2
3
2) E = 14 x + 8 y = 14 ×7 + 8 × 3 = 122
Exercice 2
x désigne le nombre de voyageurs au départ du train.
x = 12( −8 + 2) + 2(−1 + 8) + 119
x = 61
Donc il y avait 61 passagers au départ du train.
Exercice 3
1) E = (2x + 9)² = (2x)² + 2(2x)(9) + 9² = 4x² + 36x + 81
F = (x – 8)² = (x)² – 2(x)(8) + 8² = x² – 16x + 64
G = ( 3 − 2)( 3 + 2) = 3 – 2 = 1
2) H = 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²
I = 4x² – 4x + 1 = (2x − 1)²
J = 4 x2 – 100 = 4(x2 – 25) = 4(x – 5)(x + 5)
Compte rendu n°34
Exercice 1
52 (13×4) 13
=
=
80 (20×4) 20
(π² + 3π) π ( π + 3 ) π
=
=
et 23 = 8
(2π + 6) 2 (π + 3) 2
7 8
× + 2 − (6 – 4) = 1 + 2 − 2 = 1
8 7
2
2 1 1 5 + 7 12
+
= + =
=
14 10 7 5
35
35
25 + (58 – 13) − 5 × 9 = 5 + 45 – 45 = 5
114 57 19
=
=
= 19
6
3
1
La lettre est T.
La lettre est H.
La lettre est A.
La lettre est L.
La lettre est E.
La lettre est S.
Le mot cherché est donc THALES.
Exercice 2
1) Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [AC].
AC² = 11.5² = 132.25
D’autre part : AB² + BC² = 6.9² + 9.2²
= 47.61 + 84.64
= 132.25.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore le
triangle ABC est rectangle en B.
2) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : cos ACB =
CB 9.2
=
.
CA 11.5
9.2 ⎞
D’où ACB = cos -1 ⎛⎜
⎟ ≈ 36,9 ≈ 37°.
⎝11.5⎠
3) Dans un triangle rectangle les deux angles aigus sont complémentaires donc : BAC= 90° – ACB = 53°.
L'angle BAC mesure environ 53°.
4) La réponse de Jeannot est donc :
« Monsieur, les trois angles de ma voile mesurent respectivement 53°, 37° et 90° ! ».
Compte rendu n°35
Exercice 1
A=4 8+3 8− 8
= (4 + 3 − 1) 8
=6 8
=6×2 2
= 12 2
B = 12 6 – 26 6 + 15 6
= (12 – 26 + 15) 6
=1 6
= 6
Exercice 2
On appelle x le nombre de fourmis qui participent à l’achat du trophée.
Si chaque fourmi donne dans le premier cas 8.50 € alors la somme récoltée est égale à 8.50 x.
Avec cette solution il manquera 10 €.
Le prix du trophée est (8.50 x + 10) €.
Dans le second cas si chaque fourmi donne 11 € alors la somme récoltée est égale à 11 x.
Avec cette formule il y a 10 € en trop.
Le prix du trophée est (11 x − 10) €.
L'équation du problème est :
8.50 x + 10 = 11 x − 10
⇔
⇔
⇔
8.50 x − 11 x = − 10 – 10
− 2.5 x = − 20
x=8
Huit fourmis ont participé à l’achat du trophée de la grande feuille.
Compte rendu n°36
Exercice 1
1)
A = 5x − 2 ( x + 2 ) = 5x – 2x – 4 = 3x − 4
B = 3(5x + 7) – (x – 1) (2x + 2) = 15x + 21 – (2x² + 2x – 2x − 2) = − 2x² + 15x + 23
C = (x – 1) (x + 1) = x² – 1
D = (3x − 4)² = (3x)² – 24x + 16 = 9x² – 24x + 16
2) A = (x + 5)² = x² + 10x + 25
B = (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4
C = (2x + 3) (2x – 3) = 4x² – 9
(3 – 2x)² = 4x² + 7
3)
(2x + 1)² – (3 – 2x)² = 5
⇔ 9 – 12x + 4x² = 4x² + 7
⇔
– 12x = 4x² + 7 − 4x² − 9
⇔
− 12x = − 2
1
⇔
x=
6
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(4x² + 4x + 1) – (9 – 12x + 4x²) = 5
4x² + 4x + 1 – 9 + 12x – 4x² = 5
16x = 5 – 1 + 9
16x = 13
13
x=
16
Exercice 2
D
N
M
G
F
I
K
H
B
L
D est le sommet de la pyramide ; F est le centre de la base ; G le sommet de la tête de Thalès ; H est l’empreinte
de ses pieds sur le sol ; B est le sommet de son ombre et donc de celle de la pyramide.
Ainsi : BF = FH + HB = 227 + 3 = 230 avec FH = KL = 227 et HB = ombre de Thalès = 3.
GH = 1.80
Les droites (BD) et (BF) sont sécantes en B ; G ∈ [BD] et H ∈ [BF] ; les droites (DF) et (GH) sont parallèles.
BG BH GH
BH GH
=
=
. On garde :
=
d’où BH × DF = BF × GH.
BD BF DF
BF DF
BF × GH 230 × 1.80
Finalement : DF =
=
= 138.
BH
3
La Pyramide de Chéops mesure 138 mètres.
D'après le théorème de Thalès :
Compte rendu n°37
Exercice 1
a) Développer et réduire les expressions suivantes.
A = 2(2 − x) − 5(x − 3)
A = 4 − 2x − 5x + 15
A = − 7x + 19
B = (x − 1)(−2x + 2) − 3(5x − 7)
B = − 2x2 + 2x + 2x – 2 – 15x + 21
B = − 2x2 – 11x + 19
C = (1 − x)(1 + x)
C = 1 – x2
D = (4 − 3x)2
D = 42 – 2 × 4 × 3x + (3x)2
D = 16 – 24 x + 9x2
b) Résoudre les équations.
4x2 − 7 = (3 − 2x)2 ⇔
4x2 – 7 = 9 – 12x + 4x2
(3 − 2x)2 = (2x + 1)2 + 8 ⇔
⇔
4x2 + 12x − 4x2 = 9 + 7
9 – 12x + 4x2 = 4x2 + 4x + 1 + 8
⇔ − 12x + 4x2 − 4x2 − 4x = 1 + 8 – 9
⇔
− 16x = 0
⇔
x=0
Exercice 2
a) Factoriser les expressions suivantes.
E = (4 − x)(2x + 1) + (x + 4)(2x + 1)
E = (2x + 1)[(4 − x) + (x + 4)]
E = (2x+1)(4 – x + x + 4)
E = 8(2x + 1)
F = 2(x − 1) − (x − 1)(x – 1)
F = (x − 1)[2 − (x − 1)]
F = (x − 1)(2 – x + 1)
F = (x − 1)(3 − x)
G = 16x² − 40x + 25
G = (4x)² − 2(4x)(5) + 5²
G = (4x − 5)²
b) Ecrire l'expression H sous la forme d'un produit de trois facteurs.
H = (x4 − 1)
H = ((x2)2 − 1)
H = (x² − 1)(x² + 1)
H = (x + 1)(x − 1)(x² + 1)
⇔
12x = 16 ⇔ x =
4
3
Compte rendu n°38
Exercice 1
Question 1
On note E l’expression donnée, on reconnaît l’identité remarquable de forme (a − b)(a + b) = a² − b².
E = (5x + 3)² − (4x + 11)²
E = [(5x + 3) − (4x + 11)] [(5x + 3) + (4x + 11)]
E = [5x + 3 − 4x − 11] [5x + 3 + 4x + 11]
E = (x + 3 – 11)(9x + 3 + 11)
La solution est donc la réponse 1.
Question 2
d
On note v la vitesse de la voiture, on sait par ailleurs que v = .
t
d la distance en km
v la vitesse en km/h
t le temps en h
On donne d = 180 km, t = 1 h 45 min = 1.75 h (45 min = 0.75 h).
180
≈ 102.9 ≈ 100 km/h.
1.75
La solution est donc la réponse 2.
On obtient v =
Question 3
On note E2 l’expression donnée, on a :
E2 = 10198 × 102 001 × 10−198 × 10−2 000
E2 = 10198−198 × 102 001−2 000
E2 = 1 × 10
E2 = 10
La solution est donc la réponse 1.
Question 4
On note E3 la première équation donnée, E4 la suivante et E5 la dernière ; on a :
2x − (8 + 3x) = 2
E4 : 4x + 9(5x + 4) = 32
2×(−10) – (8 + 3×(−10)) = 2
4×(−10) + 9(5×(−10) + 4) = 32
− 20 – (8 – 30) = 2
−40 + 9(−50 + 4) = 32
−20 + 22 = 2
−40 − 414 = 32
2=2
− 454 = 32
Egalité vraie
Egalité inexacte
Seule l’équation E3 a pour solution −10.
E3 :
E5 : 15 – (6x − 4) = 10
15 – (6×(−10) – 4) = 10
15 – (−60 – 4) = 10
15 + 64 = 10
79 = 10
Egalité inexacte
Question 5
On note E6 l’expression donnée, on a :
E6 = 2 180 + 5 80 − 3 125
E6 = 2 (6²×5) + 5 (4²×5) - 3 (5²×5)
E6 = 12 5 + 20 5 - 15 5
E6 = 17 5
La solution est donc la réponse 2.
Question 6
J’appelle x le nombre de filles dans la Classe C1, y le nombre de filles de la classe C2, on a :
x = 30 × 40%
et
y = 20 × 60%
x = 12
et
y = 12
Il y a 12 filles dans chaque classe.
Lorsque les deux classes sont réunies il y a donc 24 filles parmi les 50 élèves.
On note p le pourcentage de filles dans ce grand groupe.
24 48
p=
=
= 48%
50 100
La solution est donc la réponse 2.
A
Exercice 2
1) Calcul du volume de la pyramide AKDOV.
1
V1 = × aire de la base × hauteur
3
1
V1 = × (KD × DO) × AK
3
1
V1 = × (8 × 11) × 15
3
V1 = 440
Le volume de la pyramide AKDOV est de 440 cm3.
2) [AK] étant la hauteur de la pyramide, [AK] forme un
angle droit avec la base, donc dans le triangle AKD
rectangle en K, en utilisant le théorème de Pythagore
on a :
AD² = AK² + KD²
AD² = 15² + 8²
AD² = 289
AD = 289
AD = 17.
[AD] mesure donc bien 17 cm.
G
H
V
E
O
F
K
D
3) On extrait le triangle AKD.
AD 17
AK 15
=
= 1.25 et
=
= 1.25
AF 13.6
AE 12
AK AD
On constate que
=
.
AE AF
De plus les points A, E, K sont alignés dans le même ordre que les points A, F, D.
D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (EF) et (KD) sont parallèles.
4) On calcule le coefficient k de réduction de cette façon :
petite longueur
AE 12
k=
=
=
= 0.8.
grande longueur AK 15
Le coefficient k de réduction est égal à 0.8.
On sait que dans une réduction ou un agrandissement d’une figure si les longueurs sont multipliées par k
alors les volumes sont multipliés par k3 , on a donc :
V2 = k3 × V1
V2 = (0.8)3 × V1
V2 = 0.512 × V1
V2 = 225.28
Le volume V2 de la pyramide AEFGH est de 225.28 cm3.
Compte rendu n°39
Exercice 1
A=3 7+2 7− 7
A = (3 + 2 − 1) 7
A=4 7
C = 12 + 5 27 − 3
C= 4×3+5 9×3− 3
C=2 3+5×3 3− 3
C = (2 + 15 − 1) 3
C = 16 3
B = 11 5 – 25 5 + 14 5
B = (11 – 25 + 14) 5
B=0
D = 180 + 3 20 – 7 125
D = 36 × 5 + 3 4 × 5 – 7 25 × 5
D=6 5+3×2 5–7×5 5
D = (6 + 6 − 35) 5
D = − 23 5
Exercice 2
Le choix de l'inconnue : appelons x le nombre d'amies participant au cadeau.
D'une part, si chacune donne 5.50 € alors la somme récoltée est 5.5 x ; mais puisqu'il manque 6 € le
cadeau coûte donc 5.5x + 6.
D'autre part, si chacune donne 7 €, alors la somme récoltée est 7x ; mais puisqu'il y a 6 € en trop, le
cadeau coûte donc 7x − 6.
L'équation du problème est donc :
5.5x + 6 = 7x − 6
5.5x − 7x = − 6 − 6
−1.5x = −12
1.5x = 12
x = 8.
Huit amies participent au cadeau d'anniversaire d'Elodie.
Compte rendu n°40
Exercice 1
a
b
a+b
a−b
ab
a
b
−7
−4
− 11
−3
28
7
4
−6
9
3
− 15
− 54
−
−9
3
−6
− 12
− 27
−3
55
− 22
33
77
− 1 210
2
2
2 2
0
2
−2 3
8 3
− 45
3 3
−5 3
Exercice 2
[AB] est un diamètre de centre O.
Le point C du cercle se projette orthogonalement en O sur la droite (AB).
1) Quelle est la mesure de l'angle CEA ?
L'angle CEA est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l'arc AC.
L'angle au centre qui intercepte le même arc est COA.
Donc CEA mesure la moitié de COA qui est un angle droit.
Donc CEA = 45°.
2) Quelle est la mesure de l'angle CDA ?
L'angle CDA est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l'arc AC commeCEA.
Or deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, donc CDA = 45°.
3) Quelle est la mesure de l'angle BEA ?
E est un point du cercle de diamètre [AB], donc ABE est un triangle rectangle en E.
BEA = 90°.
4) Quelle est la mesure de l'angle BEC?
BEC est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l'arc BC.
L'angle au centre qui intercepte le même arc est COB. Donc BEC = 45°.
5) Que représente la droite (CE) pour l'angle BEA ?
La droite (EC) partage l'angle BEA en deux angles égaux de 45°, CEA et BEC.
Ces angles ont le même sommet E, ils sont situés de part et d’autre de la droite (CE).
Donc (CE) est la bissectrice de l'angleBEA.
−
2
3
5
2
1
−
3
5
Compte rendu n°41
Exercice 1
2
8
9
6
4
7
5
3
1
4
7
2
8
9
6
3
1
5
1
2
8
9
5
3
7
6
4
1
3
7
5
9
8
4
2
6
8
6
1
7
5
3
2
4
9
9
7
4
6
1
2
3
8
5
4
6
5
3
1
2
9
7
8
5
3
9
1
2
4
7
8
6
6
5
3
8
4
7
2
9
1
Exercice 2
1) Compléter.
sin 70° =
AC
20
cos 70° =
AB
20
A
90°
2) Calculer à 0.000 1 près.
70°
B
sin 70° ≈ 0.939 7
cos 70° ≈ 0.342 0
3) Calculer la longueur AB à 0.1 près.
cos 70° =
AB
d’où AB = 20 × cos 70°
20
AB ≈ 6.8
La longueur AB est environ égale à 6.8 cm.
4) Calculer la longueur AC à 0.1 près.
sin 70° =
AC
d’où AC = 20 × sin 70°
20
AC ≈ 18.8
La longueur AC est environ égale à 18.8 cm.
C
20 cm
Compte rendu n° 42
Exercice 1
5x − 6 = 2x + 9 ⇔
3x = 15
⇔
x=5
7
3
7
1
A=
=
=
=
4
4×7 4×7 4
×7
3
3
3–
2
3
B = (4 – 6)2 – (7 – 9 )3 = 4 – (−8) = 12
C = − x2 + 4x – 3 = − 9 + 12 – 3 = 0
D=
4×
E=
9 + 16 − (−5)2 =
cos 65° =
9=2×3=6
25 − 25 = 5 – 25 = − 20
x
d’où x = 12 × cos 65° ≈ 5.071
12
Exercice 2
1) 140 + 120 + 290 + 250 = 800
800 saladiers sont vendus.
2) 800 × 5.50 = 4 400
Le montant de la recette s'élève à 4 400 euros.
120 3
15
=
= 0.15 =
800 20
100
Le pourcentage de saladiers vendus par Natacha est de 15%.
3) p =
4)
80
× n = 800 d’où n = 800 × 100 = 1 000.
80
100
Il reste 1000 saladiers invendus.
5) x × 5.50 = 6 600
d’où x =
6 600
= 1 200.
5.50
Pour espérer une recette de 6 600 euros il faut vendre 1 200 saladiers.
Compte rendu n°43
Partie Numérique
Problème n°1
Recherche du nombre de disciples :
x désigne le nombre de disciples.
x est un nombre entier positif supérieur à 3 (il y a trois femmes).
on obtient donc l'équation :
x + x + x + 3 = x ⇔ 14x + 7x + 4x + 84 = 28x
28 28 28 28
28
2 4 7
⇔
28x – 25x = 84
⇔
14x + 7x + 4x + 84 = 28x
⇔
3x = 84
⇔
⇔
25x + 84 = 28x
x = 28
La solution de cette équation est 28.
28 est bien un entier supérieur à 3.
Il y a 28 disciples dans l'école de Pythagore.
Problème n°2
7 068 – 2 604 = 4 464
4 464 – 2 604 = 1 860
2 604 – 1 860 = 744
1 860 – 744 = 1 116
1 116 – 744 = 372
744 – 372 = 372
372 − 372 = 0
Le PGCD des nombres 7 068 et 2 604 est 372 car c'est le dernier reste non nul.
Tableau code
S
I
N U S
2
8
3
7
2
SINUS : le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est défini par le rapport de deux longueurs, celle du côté
opposé à l’angle aigu sur celle de l'hypoténuse du triangle rectangle.
Géométrie
En observant le schéma :
AB2 = 32 + 12
AB2 = 10
BC2 = 12 + 32
BC2 = 10
AC2 = 22 + 22
AC2 = 8
Finalement AB = BC =
10.
Le triangle ABC est isocèle de sommet principal B.
Bonus
1) Définition.
Un cuboctaèdre est un solide (polyèdre) qui compte 14 faces régulières,
12 sommets et 24 arêtes.
Autour de chaque sommet de ce polyèdre se répartissent quatre
polygones réguliers qui sont toujours dans le même ordre :
un triangle équilatéral,
un carré,
un triangle équilatéral,
un carré.
2) Patron.
3) Inventaire des différents polygones utilisés.
On dénombre six carrés et huit triangles équilatéraux.
4) Travail manuel.
5) Le solide.
Bonus la suite …
Le cube est également appelé hexaèdre.
H
G
E
F
D
C
A
B
Compte rendu n°44
Exercice 1
a) On peut organiser la série de notes en construisant un tableau résumé :
Notes xi 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Effectifs ni 1 0 3 5 0 5 0 0 2 0 0 9
b) Voici un diagramme constitué de rubans verticaux pour visualiser cette série.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
notes
c) La note la plus fréquente est la note 18.
d) La note moyenne est
7 × 1 + 9 × 3 + 10 × 5 + 12 × 5 + 15 × 2 + 18 × 9
= 13.44.
25
e) Il y a (1 + 3 + 5 + 5) = 14 notes inférieures à la note moyenne ; ce qui correspond à un pourcentage
14
p=
= 56% des notes.
25
Il y a (2 + 9) = 11 notes supérieures à la note moyenne ; ce qui correspond à un pourcentage
11
p’ = = 44% des notes.
25
f) On écrit la liste ordonnée des 25 notes de la plus petite à la plus grande et on recherche la note médiane
située au rang 13 :
7 9 9 9 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 15 15 18 18 18 18 18 18 18 18 18
La treizième note est la note 12.
La note médiane est 12.
Il y a autant de notes inférieures à 12 que de notes supérieures à 12.
Exercice 2
a) 2x + 9 = 1
x
b) – 9 = −1
2
c) 2x − 9 = −1
x
d) − + 9 = 1
2
e) 2x + 9 = 1
x
f)
–9=1
2
x=−4
x = 16
x=4
x = 16
x=-4
f) x = 20
a)
b)
c)
d)
e)
g) 2x − 9 = −1
x
h) − + 9 = 1
2
i) 3x + 5 = 4
j) 3x – 5 = 4
x
k) + 5 = 4
3
3
l) x = 4
5
g) x = 4
h) x = 16
1
i) x = −
3
j) x = 3
k) x = − 3
20
l) x =
3
Exercice 3
Marine
8x + 5 = 3(4x − 1)
8x + 5 = 12x − 3
3 + 5 = 12x + 8x
8 = 20 x
x = 0.4
Martin
8x + 5 = 3(4x −1)
8x + 5 = 12x − 1
8x − 12x = 5 − 1
− 4x = 4
x = −1
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
8x + 5 = 3(4x − 1)
8x + 5 = 12x − 3
3 + 5 = 12x − 8x
8=4x
x=2
8x + 5 = 3(4x −1)
8x + 5 = 12x − 3
8 x – 12 x = − 5 − 3
−4x=−8
x=2
Compte rendu n°45
Exercice 1
1°) Dans le triangle MAH, le côté [HA] est un
diamètre du cercle c, et le triangle MAH est
inscrit dans le cercle c.
Donc le triangle MAH est rectangle M.
2°) Le triangle MAH est rectangle en M, donc :
MA 5.3
sin MHA =
=
AH
9
5.3
MHA = sin-1 ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 36°
⎝9⎠
L'angle MHA mesure environ 36°.
3°) Calcul de HAM.
Le triangle HAM est rectangle en M, donc
l'angle HMA mesure 90°. La somme des
mesures des angles d'un triangle est toujours
égale à 180°. Donc : HAM = 180 - HMA - MHA
HAM = 180 – 90 – 36 = 54°
L'angle HAM mesure environ 54°.
Déterminer HTM
Les angles inscrits HTM et HAM interceptent le même arc de cercle dans le cercle c.
Donc HAM = HTM = 54°.
L'angle HTM mesure environ 54°.
Exercice 2
1)
Nombre
choisi
−2
0
4
3
1
Résultat final
7
−5
27
16
2) A = (3x + 2)² − 3² ⇔ A = (3x + 2 − 3)(3x + 2 + 3) ⇔ A = (3x − 1)(3x + 5)
L'expression A cherchée est (3x + 2)² − 3² et l'expression A factorisée est (3x − 1)(3x + 5).
3) (3x − 1)(3x + 5) = 0 ⇔ 3x – 1 = 0 ou 3x + 5 = 0 ⇔ x =
1
5
ou x = −
3
3
5⎪⎫
⎪⎧1
L'ensemble des solutions est ⎨ ; − ⎬.
3⎭⎪
⎩⎪3
1
5
Pour obtenir un résultat final égal à 0, il faut choisir le nombre ou le nombre - .
3
3
Compte rendu n°46
Exercice 1
x2 + 4 x + 4
9 x2 + 30 x + 25
6 x + 9 + x2
− 10 x + 25 x2 + 1
4 x2 + 1
36 x2 + 12 x − 1
(x + 2)²
(3x + 5)²
(x + 3)2
(5x – 1)2
non
non
4 x2 – 20 x + 25
16 x2 – 88 x + 121
4 x2 − 1
− x2 + 169
− 4 x2 − 9
100 x2 − 7
(2x − 5)²
(4x − 11)²
(2x – 1 )(2x + 1)
(13 – x)(13 + x)
non
(10 x − 7)(10 x + 7)
Exercice 2
x–3 =1
x=4
1
x=
3
x×3=1
x
=1
3
x=3
x–5=7
x = 12
5–x=7
x
=0
5
x=−2
x+x+x=−3
x = −1
x=0
Exercice 3
3
2
x− =0 ⇔ x=0
2
3
3
−x− =0 ⇔ x=−3
2
4
3
– x=0 ⇔ x=
3
4
L'équation 5 x − 3(x + 1) = x + 1 admet −1 pour solution.
3
= 0 faux
2
3
= 0 faux
2
−
− 1 = 0 faux
− 5 – 3 (− 1 + 1 ) = − 1 + 1
− 5 = 0 faux
Compte rendu n°47
Partie 1
1) La solution de l'équation
1
2
x=2
x = 11
x=
7
= 3.5 est
x
……
……
……
2) L’égalité vraie est
13 × 51 – 13 × 17 = (51 – 17) − 13
……
(51 + 17) 13 = 51 × 13 + 13 × 17
……
13 × (51 – 17) = 13 × 51 – 17
……
2 1
+
est
3 12
2×1
3 1
2 1
+
=
=
=
3 12 3×12 15 5
2+1
3 1
2 1
+
=
=
=
3 12 3 + 12 15 5
9 3
2 1 2×4 1
+
=
+
=
=
3 12 3×4 12 12 4
3) Le calcul exact de
5 3
× est égal à
4 8
5 3 5 3 15
× = × =
4 8 1 2 2
5 3 5×3 15
× =
=
4 8 4×8 32
5 3 40 12 52
× = × =
4 8 32 32 32
……
……
……
4) Le produit
……
……
……
Partie 2
1) Un point M de coordonnées x et y est situé sur l'axe des abscisses si
x = 0.
……
y = 0.
……
y = 1.
……
2) Les coordonnées du point A sont −2 et −3.
Les coordonnées du point B sont −2 et 1.
La droite (AB) est
parallèle à l'axe des abscisses.
……
parallèle à l'axe des ordonnées.
……
passe par l’origine du repère.
……
3) Les coordonnées du point A sont −2 et −3.
Les coordonnées du point B sont −1 et −3.
La droite (AB) est
parallèle à l'axe des abscisses.
……
parallèle à l'axe des ordonnées.
……
passe par l’origine du repère.
……
4) Si AB = AC et si BAC = 60° alors le triangle ABC est
rectangle.
……
équilatéral.
……
scalène.
……
5) Si ABC = 61° et si BAC = 59° alors le triangle ABC est
rectangle.
……
équilatéral.
……
scalène.
……
« scalène signifie quelconque »
6) Trouver la phrase correcte.
Si un triangle est isocèle alors il est équilatéral.
……
Si un triangle est isocèle alors il ne peut pas être rectangle.
……
Si un triangle est équilatéral alors il est isocèle.
……
Compte rendu n°48
Exercice 1
IR = 80 mm
RP = 100 mm
IT = 50 mm
IP = 40 mm
IR 80
1)
=
= 0.8
IS 100
IP 40
=
= 0.8
IT 50
IN = 60 mm
IM = 28 mm
IR IP
= donc d'après la réciproque du théorème de
IS IT
Thalès les droites (RP) et (ST) sont parallèles.
IS = 100 mm
S
2) Les droites (SR) et (TP) sont sécantes
en I, les droites (RP) et (ST) sont parallèles et
les points S, R et I sont alignés et T, P et I sont
aussi alignés donc d'après le théorème de
Thalès :
IS IT ST
= =
IR IP RP
100 50 ST
50 × 100
=
=
d’où ST =
= 125.
80 40 100
40
R
M
I
Donc la longueur ST est égale à 125 mm.
IM 28
=
= 0.7
IP 40
P
T
IN 60
=
= 0.75
IR 80
IM IN
≠
IP IR
D'après la contraposée du théorème de Thalès les droites (MN) et (PR) ne sont pas parallèles.
3)
Exercice 2
A = (4x + 5)² = (4x)² + 40x + 5² = 16x² + 40x + 25
B = (2x – 7)² = (2x)² – 28x + 7² = 4x² – 28x + 49
2
C = (5x + 3)(5x + 3) = (5x + 3)2 = (5x)2 + 30x + 32 = 25x + 30 x + 9
2
D = (x – 3)(x + 2) = x² + 2x – 3x – 6 = x – x – 6
E = 5(x − 3) + 2(5 – x) = 5x − 15 + 10 − 2x = 3x − 5
F = x(2 + 3x) + 3(7 – x2) − 1 = 2x + 3x² + 21 – 3x² – 1 = 2x + 20
N
Compte rendu n°49
Exercice 1
1/ Pour répondre à la question on cherche le PGCD de (7 716 ; 1 062) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
dividendes
diviseurs
restes
7 716
1 062
282
1 062
282
216
282
216
66
216
66
18
66
18
12
18
12
6
12
6
0
PGCD (7 716 ; 1 062) = 6.
Le vendeur peut faire au maximum 6 lots.
7 716
1 062
= 1 286
et
= 177
6
6
Dans un lot, le vendeur peut mettre 1 286 T-shirts «I ♥ Paris» et 177 T-shirts «I ♥ NY».
2/
Exercice 2
L = 3x + 9(5x + 34) – x
L = 3x + 45x + 306 – x
L = 47x + 306
M = 27 – 2(42x – 6) + 3 – 30x
M = 27 – 84x + 12 + 3 – 30x
M = −114x + 42
N = (6x – 4x)(19x – 1) – 6(x + 44)
N = 114x² – 6x – 76x² + 4x – 6x – 264
N = 38x² – 8x – 264
Compte rendu n°50
Exercice 1
2
On donne l’expression f(x) = 9x – 6x.
a) Factoriser l’expression f(x). f(x) = 9x2 – 6x = 3x (3x – 2)
b) Résoudre l'équation f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ 3x (3x – 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x =
2
3
c) Compléter le tableau de valeurs.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
0
3
24
63
120
195
288
399
528
675
840
†2
26
11
12
1 023 1 224
Exercice 2
1) Cocher les bonnes réponses.
a)
100 +
b)
12 = ?
c)
25 + 100 = ?
† 15
d)
(−5)2 = ?
† -5
e)
(2
4=?
†
5)2 = ?
12
† 12
†6
†4
†4
3
†2
3
†
125
†5
5
25
†5
†
5
† 100
† 20
2) Développer les expressions suivantes.
A = −5(2x + 1) = − 10x − 5
B = (5 – 2x)2 = 25 − 20x + 4 x2
3) Factoriser les expressions.
C = 25 – 9x2 = (5 + 3 x)(5 – 3x)
D = 64 – 48x + 9x2 = (8 – 3x)2
Ε = (7x + 1)(x + 3) – (x + 3)2 = (7x + 1)(x + 3) – (x + 3)(x + 3) = (x + 3) [(7x + 1) – (x + 3)]
= (x + 3) (6x −2)
= 2(x + 3)(3x – 1)
Compte rendu n°51
Exercice 1
A
Situations
B
AC = AB + BC
AC =
AB2 +
C
BC2
AB2 = AC2 − BC2
AC2 = ΑΒ2 + ΒC2
Pour calculer
l'hypoténuse on utilise la formule …
Le volume du solide se calcule avec la
formule …
rayon R
hauteur h
2πRh
π R2
π h R2
Le théorème de
Pythagore
Le théorème des
milieux
Le théorème de
Thalès
les droites (d) et (BC) sont parallèles.
Le théorème illustré est …
Exercice 2
A = (2 + 1)(2 - 1)(3 + 8) = 3 × 1 × 11 = 33
B = 2 + 1/2 - 1/3 + 8 = 2 + 1/6 + 8 = 10 + 1/6 =
61
6
C = (2 + 1)/(2 – 1) + 3/8 = 3/1 + 3/8 = 24/8 + 3/8 =
D = 2 + (1 – (2 – 1))3/8 = 2 + (1 – 1)3/8 = 2 + 0 = 2
27
8
Compte rendu n°52
Exercice 1
Lettre n°1
Prendre la moitié du nombre
100.
52
100 = 100 = 4 et 1 × 4 = 2
2
52 25
lettre B
Lettre n°2
Prendre le triple du dénominateur du quotient simplifié
56.
35
56 = 7 × 8 = 8 et 3 × 5 = 15 lettre Ο
35 7 × 5 5
Lettre n°3
⎛7 8
⎞
Trouver le résultat simplifié de ⎜ × + 2⎟ × (2 × 5 − 4 + 1).
⎝8 7
⎠
⎛7 8
⎞
⎜ × + 2⎟ × (2 × 5 − 4 + 1) = (1 + 2) × 7 = 21
⎝8 7
⎠
lettre U
Lettre n°4
Prendre le numérateur du résultat de la somme simplifiée
4 + 14 18
4
4
+ 2.
+2=
=
d'où 18 donne lettre R
7
7
7
7
Lettre n°5
Trouver le résultat de la somme
25 − (13 – 55) – 5 × 9. 25 − (13 – 55) – 5 × 9 = 5 + 42 – 45 = 2 lettre B
Lettre n°6
0
0
Prendre l'entier caché sous la forme 10 . 10 = 1
lettre Α
Lettre n°7
Prendre la somme des chiffres de l’année 2009.
2 + 0 + 0 + 9 = 11
lettre K
Lettre N°8
Mettre la somme 2 50 − 2 8 + 18 sous la forme a 2 avec a nombre entier et prendre a.
2 50 − 2 8 + 18 = 2 × 5 2 − 2 × 2 2 + 3 2 = (10 – 4 + 3) 2 = 9 2
lettre I
Mot inconnu : BOURBAKI
Il s’agit d’un groupe formé à l’origine de normaliens qui décidèrent un jour de 1934 d’écrire un cours pour la
licence et l’agrégation en remplacement du cours en vigueur qu’ils jugeaient insuffisant. Ces mathématiciens
ont innové dans la façon de raisonner et d’explorer. Les mathématiciens du monde entier ont été influencés par
les travaux du groupe Bourbaki qui existe encore.
Exercice 2
3
8
2
4
9
5
6
7
1
4
9
1
7
3
6
8
5
2
5
6
7
1
2
8
4
9
3
7
2
6
5
1
3
9
8
4
8
3
9
2
7
4
1
6
5
1
4
5
6
8
9
2
3
7
2
7
8
9
5
1
3
4
6
9
5
4
3
6
2
7
1
8
6
1
3
8
4
7
5
2
9
Compte rendu n°53
Exercice 1
(2x − 3)² =
4x² + 12x + 9
4x² − 12x + 9
4x² − 9
4x ²− 36x² + 9
15 3
2
+
+
=
18 18 27
20
63
2
27
22
45
29
27
(10²)4
=
10−3
1011
109
105
103
Pour x = −4, l’expression
x² − 6x + 2
vaut
10
−38
42
−6
(6x − 2)−(6x − 2)(x + 7) =
(6x − 2)(x + 8)
(6x − 2)(−x − 6)
(6x − 2)(−x − 7)
(6x − 2)(x + 7)
f (x) = −8x + 3
L'image de 4 par f est
−29
−35
−56
35
g (x) = 3x − 2
Le nombre qui admet 4 pour
image par g est
2
5
−2
10
L'écriture scientifique de
0.25 × 103 est
2.5 × 104
25 × 101
2.5 × 10²
250
Exercice 2
OC
OC
6
1
=
=
= .
A
ON OC + CN 6 + 18 4
O
BC 8
1
D'autre part
=
= .
MN 32 4
D
OC BC
C
D’où
=
.
ON MN
Les droites (OC) et (OM) sont sécantes en O.
Les points O, C et N sont alignés dans cet ordre.
Les points O, B et M sont alignés dans cet ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
1) D'une part
M
B
N
2) ABCD est un parallélogramme.
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
On sait que (BC) et (MN) sont parallèles et que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Donc les droites (MN) et (AD) sont parallèles.
3) Dans le triangle OCB rectangle en C, on a :
BC 8 4
4
tan BOC =
= =
d’où
BOC = tan-1 ⎛⎜ ⎞⎟
BOC ≈ 53°.
OC 6 3
⎝3⎠
4) Les angles BOC et AOD sont des angles opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. Donc AOD = BOC = 53°.
5) Dans le triangle OCB rectangle en C, on a d'après le théorème de Pythagore :
BO² = BC² + CO² ⇔ BO² = 8² + 6² ⇔ BO² = 100
BO = 100 = 10
BD = 2 BO = 20.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu ; O est donc le milieu de
la diagonale [BD].
La longueur OB est égale à 10 cm et la longueur BD est égale à 20 cm.
Compte rendu n°54
Calcul mental !
N°1
N°2
−1 + 3
32 × 2
2
N°3
1×
18
N°4
1
1
N°11
(2×3)2
2
53
5 25
18
5
N°16
22
N°7
N°8
N°9
1 + 3×7 −1
2×5
5×2
(22)2 + 3
1
19
N°6
31 × 51 24 + 22
2(−7 + 18)
1
N°10
N°5
15
20
N°12
21
2
3
N°13
N°14
N°15
3(1+2)×2 + 1
1 + 22 + 32 + 42 − 11
(−2)3−1
0−1
21
19
19
9
N°17
N°18
N°19
N°20
N°21
23×3
2
1 3 5 7
+ + + −3
2 2 2 2
33 − 3
22 + 22 + 23 + 2
12 − 32
12
5
24
18
3
121 + 2×5
5
N°23
N°24
2–1+3–2+4−3
32 + 23 – 3×22
3
5
N°22
81
8 + 5 −2 2
9
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Résultat
2
18
1
22
15
20
21
1
19
18
5
21
19
19
9
12
5
24
5
18
3
9
3
5
Lettre
b
r
a
v
o
t
u
a
s
r
e
u
s
s
i
l
e
x
e
r
c
i
c
e
Calcul
Message codé :
Bravo, tu as réussi l’exercice !
Compte rendu n°55
Exercice 1
1) Placer les points A, B et D sur une
droite en respectant les consignes.
Construire un arc de cercle de centre A
et de rayon 6.
Construire un arc de cercle de centre B
de rayon 7.5.
L’intersection de ces deux arcs est le
point C.
2) Dans le triangle ABC comparer BC² et
AB² + AC².
BC2 = 7.52 = 56.25
AB² + AC² = (10.5 – 6)² + 62
= 20.25 + 36 = 56.25
On a donc BC² = AB² + AC²
D'après la réciproque du théorème de
Pythagore le triangle ABC est un triangle
rectangle en A.
3) Voir figure
4) ABC étant rectangle en A, les droites
(BD) et (AC) sont perpendiculaires en
A.
En considérant les triangles ABC et ADE : les droites (BC) et (DE) sont parallèles ; les points B, A et D
sont alignés dans cet ordre et les points C, A et E sont alignés dans cet ordre.
AB AC BC
D'après le théorème de Thalès on peut écrire
=
=
.
AD AE DE
AB AC
AC × AD
6×6
36
On retient
=
d’où AE =
=
=
= 8.
AD AE
AB
10.5 − 6 4.5
La longueur AE est égale à 8 cm.
Exercice 2
1) ABC est un triangle rectangle en A.
BC² = AC² + AB²
AB2 = BC2 – AC2
AB² = 225 – 81
AB² = 144
AB = 12
La longueur AB est égale à 12 cm.
2) Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
AC 9 3
sin ABC =
=
= = 0.6.
BC 15 5
3) Dans le triangle rectangle ABC en A on a :
AC 9 3
cos ACB =
= = = 0.6.
BC 15 5
4) Dans le triangle rectangle ABC en A on a :
AB 12 4
tan BCA =
= = .
AC 9 3
Compte rendu n°56
A = (4x + 6)² – (2x − 3)²
Exercice 1
1) Développement.
A = 16x² + 48x + 36 − (4x² – 12x + 9)
A = 16x² + 48x + 36 − 4x² + 12x − 9
A = 12x² + 60x – 27
2) Factorisation.
A = [(4x + 6) − (2x − 3)][ (4x + 6) + (2x − 3)]
A = (4x + 6 – 2x + 3) (4x + 6 + 2x − 3)
A = (2x + 9) (6x + 3)
A = 3 (2x + 9)(2x + 1)
3) A = 0
⇔ 3 (2x + 9)(2x + 1) = 0
On a ici une équation « produit nul ».
Or « Un produit est nul si est seulement si l'un au moins des facteurs est nul ».
A=0
⇔
2x + 9 = 0 ou 2x + 1 = 0
⇔
x=−
9
1
ou x = −
2
2
Exercice 2
A
B
C
1
55
est un nombre
2
entier
négatif
décimal
2
-
9
est un nombre
3
entier
positif
décimal
3
36
est égal à
33
39
32
33
4
(68)4 est égal à
64
632
612
5
59 × 54 est égal à
55
2536
513
6
Le cosinus d'un angle aigu dans
un triangle rectangle est égal à
hypoténuse
côté adjacent
côté adjacent
hypoténuse
côté opposé
côté adjacent
7
Le sinus d'un angle aigu dans un
triangle rectangle est égal à
côté opposé
hypoténuse
hypoténuse
côté opposé
hypoténuse
côté adjacent
8
La tangente d'un angle aigu dans
un triangle rectangle est égale à
côté opposé
côté adjacent
hypoténuse
côté adjacent
côté adjacent
côté opposé
Compte rendu n°57
Exercice 1
1) Les points M, L et N sont alignés.
Les points U, L et A sont alignés.
Les droites (MU) et (AN) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
LM LU MU
=
=
.
LN LA NA
LM LU
LM × LA
On retient
=
d’où LU =
LN LA
LN
4 × 8.4
LU =
6
LU = 5.6.
La longueur UL est égale à 5.6 cm.
M
A
L
N
U
LU MU
LA × MU
=
d’où NA =
LA NA
LU
8.4 × 3
NA =
5.6
NA = 4.5.
La longueur NA est égale à 4.5 cm.
2) On retient
Exercice 2
1) Le nombre de cartes doit être un diviseur de 411 et de 685 (car il faut utiliser tous les autocollants) et il
doit être le plus grand possible. Il faut donc trouver le PGCD de 685 et 411.
2)
Dividendes
Diviseurs
Restes
685
411
274
411
274
137
274
137
0
Le PGCD des nombres 685 et 411 est 137.
L'association peut fabriquer 137 cartes en utilisant tous les autocollants.
3)
685
=5
137
et
411
= 3.
137
Sur chaque carte seront collés cinq autocollants des Aristochats et trois autocollants de la Petite Sirène.
Compte rendu n°58
La légende de SESSA
1) 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16 ; 25 = 32
2)
1
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
3) Q = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 ... + 263
4)
1 + 2 = 22 − 1
conduit à
3=4−1
égalité vraie
1 + 2 + 22 = 23 − 1
conduit à
7=8−1
égalité vraie
1 + 2 + 22 + 23 = 24 – 1
conduit à
15 = 16 − 1
égalité vraie
1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 25 – 1
conduit à
31 = 32 − 1
égalité vraie
5) On suppose vraie cette égalité 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n−1 = 2n – 1.
La somme 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n−1 + 2n s’écrit donc (2n – 1) + 2n soit
2n – 1 + 2n = 2 × 2n – 1 = 2n+1 – 1.
2
3
4
n−1
n
n+1
Finalement on a bien 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 2 – 1, formule vraie pour tout
entier n.
6) Q = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 ... + 263 = 263 + 1 − 1.
7) Q = 263 + 1 − 1 ≈ 1.8 × 1019.
8) Un cube d’arête 1 m a un volume de 1 m3.
Si dans 1 m3 on peut ranger 1.5 millions de grains de blé alors il faudra environ 1.2 × 1013 m3 pour
ranger la quantité Q.
En effet :
1.8 × 1019 × 1
≈ 1.2 × 1013.
1.5
Le volume du grand grenier est égal à
50 h = 1.2 × 1013
⇔
h=
1.2 × 1013
50
V = 5 × 10 × h = 50 h
⇔
(en m3).
h = 2.4 × 1011
Il faudrait prévoir une hauteur h de 2.4 × 1011 m soit une hauteur de 2.4 × 108 km.
9) La distance Terre-Soleil est égale à environ d ≈ 1.5 × 108 km.
h 2.4 × 1011
3
=
8 = 1.6 × 10 = 1 600 d’où h = 1 600 d
d 1.5 × 10
On ne peut pas construire un grenier d’une telle hauteur !!!
10) Si en six mois on compte 1 m3 de grains alors en un an on compte 2 m3 de grains.
Pour compter la quantité Q ≈ 1.8 × 1019 qui correspond à environ 1.2 × 1013 m3 il faudrait dans ces
1.2 × 1013
conditions
= 6 × 1012 années !!!
2
Il faudrait au Brahmane six billions d’années pour dénombrer tous les grains de blé.
Moquettes
x
200
60
300
N°1
300
180
N°2
400
y
N°3
a
50
x
x
100
50
x
80
y
x
z
N°6
N°5
a
y
N°4
x
500
x
100
y
1) L’expression (180 x) – (200 y) représente la surface de moquette nécessaire pour recouvrir la
pièce 3.
2)
Pièce 1
Pièce 2
Pièce 3
Pièce 4
Pièce 5
Pièce 6
300(400 – x)
a(300 – 60)
180 x− 200 y
500 a – (a – y)(500 – x)
(100 + 50)(80 + x) – 100 x – 100 x
1
1
(z + x) (50 + y) – (50 z) – (x y) – xy
2
2
3)
300(400 – x) = 120 000 – 300 x
a(300 – 60) = 240 a
180 x− 200 y = 180 x – 200 y
500 a – (a – y)(500 – x) = 500 a – (500 a – ax – 500 y + xy) = a x + 500 y − xy
(100 + 50)(80 + x) – 100 x – 100 x = 8 000 + 100 x + 4 000 + 50 x – 200 x
= 12 000 – 50 x
1
1
(z + x) (50 + y) – (50 z) – (x y) – xy = 50 z + yz + 50 x + xy – 25 z − 0.5 xy – xy
2
2
= 50 x + 25 z − 0.5 xy + yz
4) Pièce 1.
120 000 – 300 x = 120 000 – 300 × 60 = 102 000.
Il faut 102 000 cm2 de moquette soit 10.2 m2 pour recouvrir la pièce 1.
5) Pièce 2.
240 a = 240 × 500 = 120 000.
Il faut 120 000 cm2 de moquette soit 12 m2 pour recouvrir la pièce 1.
6) Pièce 4.
a x + 500 y − xy = 50 × 160 + 500 × 100 – 50 × 100 = 53 000.
Il faut 53 000 cm2 de moquette soit 5.3 m2 pour recouvrir la pièce 4.
7) Pièce 6.
50 x + 25 z − 0.5 xy + yz = 50 × 40 + 25 × 90 – 0.5 × 40 × 100 + 100 × 90 = 11 250.
Il faut 11 250 cm2 de moquette soit 1.125 m2 pour recouvrir la pièce 6.
8) Pièce 1.
120 000 – 300 x = 110 400 ⇔ − 300 x = 110 400 – 120 000 ⇔ − 300 x = − 9 600 ⇔ x = 32
La longueur x doit être égale à 32 cm.
9) Pièce 2.
240 a = 77 040 ⇔ a =
77 040
⇔ a = 321.
240
La longueur a doit être égale à 321 cm.
10) Pièce 5.
12 000 – 50 x = 11 700 ⇔ − 50 x = 11 700 – 12 000 ⇔ − 50 x = − 300 ⇔ x = 6.
La longueur x doit être égale à 6 cm.
11) Pièce 3.
34 760
− 180
x+
− 200
− 200
⇔ y = 0.9 x − 173.8.
180 x – 200 y = 34 760 ⇔ − 200 y = − 180 x + 34 760 ⇔ y =
On reconnaît l’équation d’une droite.
Les contraintes sur les longueurs x et y sont :
x – 200 > 0 donc x > 200
et 180 – y > 0 donc y < 180.
On peut construire un tableau de valeurs qui respectent ces contraintes.
x
y
250 300 350
400
51.2 96.2 141.2 186.2
La dernière colonne ne convient pas car 186.2 > 180.
Compte rendu n°59
Exercice 1
a)
x² = 36
x² – 6² = 0
(x + 6) (x – 6) = 0
x – 6 = 0 ou x + 6 = 0
x = 6 ou x = − 6
Donc l'équation a deux solutions: (6) et (-6).
Sachant qu'une longueur est positive, AB = 6 cm.
b)
B
A
55
x = 110
4
110
x=
55
4
110 × 4
x=
55
440
x=
55
x=8
L'équation a une solution: (8). Donc AC = 8 cm.
c)
8x + 4 = 94 − x
9x + 4 = 94
9x = 90
x = 10
L'équation a une solution: 10. Donc BC = 10 cm.
d) Comparons BC² et AB² + AC².
BC² = 10² = 100.
AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Donc BC² = AB² + AC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
C
Exercice 2
1)
2)
3) Les droites (FF') et (HH') passent
respectivement par les deux sommets F et H du triangle EFH et par les milieux respectifs
des segments [EH] et [EF].
Une médiane est une droite qui passe par un sommet d'un triangle et par le milieu du côté
opposé à ce sommet.
Donc (FF') et (HH') sont deux médianes du triangle EFH.
Le point P est l'intersection des deux médianes (FF') et (HH') dans le triangle EFH.
Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.
Donc P est le centre de gravité du triangle EFH.
4) Le
FF’ =
FP
=
FF’
centre de gravité se trouve aux deux tiers des médianes à partir du sommet.
2.95 et FP = 1.96.
1.96
2
≈ 0.66 ≈ .
2.95
3
2 FF’ ≈ 3 FP.