Chapitre 11- TrigonomÃ©trie 1 page 286

Transcription

Chapitre 11- Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
Index
1 page 286................................................................................................................................................. 2
2 page 286................................................................................................................................................. 2
3 page 287................................................................................................................................................. 3
24 page 300............................................................................................................................................... 4
26 page 301............................................................................................................................................... 5
27 page 301............................................................................................................................................... 5
29 page 301............................................................................................................................................... 6
32 page 301............................................................................................................................................... 8
33 page 301............................................................................................................................................... 8
38 page 302............................................................................................................................................... 8
39 page 302............................................................................................................................................. 13
40 page 302............................................................................................................................................. 14
44 page 302............................................................................................................................................. 15
45 page 302............................................................................................................................................. 16
46 page 302............................................................................................................................................. 16
48 page 302............................................................................................................................................. 16
51 page 302............................................................................................................................................. 17
« Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
Jørn Riel in La maison de mes pères
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Points
I
réels
0
J
π
2
I'

A
π
6
B
π
4
C
π
3
M
Longueur de
l'arc
(la plus
courte)
0
π
2

π
6
π
4
π
3
x
mesure de
l'angle en °
0
90
180
30
45
60
180 x
π
mesure de
0
π
2

π
6
π
4
π
3
x
x
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l'angle en
radians
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M
(x
; y)
10
image du réel t (graduation sur le cercle trigonométrique )
M 1 (−x ;− y)
image du réel  + t
M 2 ( x ;− y)
image du réel –t
M 3 (−x ; y )
image du réel  – t
Or, cos(t) = x et sin(t) = y.
cos(−t)=cos( t)
point M par rapport à M .
{sin(−t)=−sin
(t)
π)=−cos (t)
{cossin (t+
(t+ π)=−sin(t )
(t)
{cossin(π−t)=−cos
(π−t)=sin (t)
2
0
1
0
3
π
image du réel 2 −t
2- M 4 (y ; x)
cos π −t =sin (t)
2
π
sin −t =cos (t)
2
{
(
(
0
)
)
On retrouve les propriétés des angles complémentaires.
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π
a) (⃗
OI , ⃗
OJ ) = 2 + 2k ; k  ℤ,
π
c) (⃗
OB , ⃗
OE ) = 2 + 2k ; k  ℤ,
π
e) (⃗
OC , ⃗
OI ) = – 3 + 2k ; k  ℤ,
π
b) (⃗
OL , ⃗
OK ) = – 2 + 2k ; k  ℤ
π
d) (⃗
OE ' , ⃗
OL) = 4 + 2k ; k  ℤ,
π
f) (⃗
OC ' ,⃗
OD ' ) = – 3 + 2k ; k  ℤ,
Quelques calculs,
les points sont repérés par
I
0
A
π
6
B
π
4
C
π
3
J
π
2
D
E
F
K
2π
3
3π
4
5π
6

F'
–
5π
6
E'
–
3π
4
D'
–
2π
3
L
π
–2
C' B' A'
π
π
π
–3 –4 –6
Une mesure de …..
Les autres mesures sont obtenus à partir d'une mesure en faisant + 2k ; k  ℤ.
π
π
π
3π
a) (⃗
OI , ⃗
OJ ) = 2 – 0 = … b) (⃗
OL , ⃗
OK ) = – 2 –  = … c) (⃗
OB , ⃗
OE ) = 4 - 4 = ...
π
π
3π
d) (⃗
– (– 2 ) = ... e) (⃗
OE ' , ⃗
OL) = –
OC , ⃗
OI ) = 0 - 3 = ...
4
π
2π
f) (⃗
– (– 3 ) = ...
OC ' ,⃗
OD ' ) = –
3
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Les autres mesures sont obtenus à partir d'une mesure en faisant + 2k ; k  ℤ.
π
a) (⃗
AB , ⃗
AC ) = 3 (modulo 2)
π
5π
b) (⃗
ou
(modulo 2)
CB , ⃗
CA) = – 3 (modulo 2)
3
π
5π
c) (⃗
ou
(modulo 2)
AB , ⃗
CB) = – 3 (modulo 2)
3
2π
4π
d) (⃗
(modulo 2)
ou
(modulo 2)
BA , ⃗
AC ) = –
3
3
Compléments :
On dit que ABC est un triangle équilatéral direct (on lit ABC en tournant dans le sens direct).
En écrivant ABCAB … toujours dans le même ordre, on a l'écriture des angles orientés dans le sens positif
π
D'où, ici : (⃗
AB , ⃗
AC ) = (⃗
BC , ⃗
BA) = (⃗
CA , ⃗
CB) = 3 (modulo 2)
(⃗
CB , ⃗
CA) = – (⃗
CA , ⃗
CB)
⃗
⃗
⃗
⃗
=
AC = – ⃗
( AB , CB)
( AB , AC ) + (⃗
AC , ⃗
CB ) et (⃗
AC , ⃗
CB ) = (⃗
CA , ⃗
CB) +  (puisque ⃗
CA )
π
π
2π
= 3 + 3 +π =
+ π =…
3
π
AC ) = (⃗
(⃗
BA , ⃗
AC ) = (– ⃗
AB , ⃗
AC ) +  = 3 +  = ….
AB , ⃗
(
)
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π
a) (⃗
CD , ⃗
CA) = 4 (modulo 2)
3π
b) (⃗
(modulo 2)
BC , ⃗
OB) = –
4
ou
5π
(modulo 2)
4
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π
c) (⃗
DO ,⃗
AC ) = 2 (modulo 2)
d) (⃗
OA ,⃗
AC ) =  (modulo 2)
e) (⃗
BA , ⃗
CD) = 0 (modulo 2)
3π
f) (⃗
(modulo 2)
OB , ⃗
AD ) =
4
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ABCD est un carré direct (on tourne en lisant les sommets ABCD dans le sens direct, on a donc :
π
(⃗
AB , ⃗
AD) = (⃗
BC ,⃗
BA) = (⃗
CD , ⃗
CB) = (⃗
DA ,⃗
DC) = 2 + 2k ; k  ℤ.
ABF est un triangle équilatéral direct, on a donc :
π
(⃗
AB , ⃗
AF) = (⃗
BF ,⃗
BA) = (⃗
FA , ⃗
FB) = 3 + 2k ; k  ℤ.
CBE est un triangle équilatéral direct, on a donc :
π
(⃗
CB , ⃗
CE) = (⃗
BE , ⃗
BC) = (⃗
EC ,⃗
EB) = 3 + 2k ; k  ℤ.
1) Comme indiqué dans l'énoncé du livre s'appuyer sur la lecture graphique pour l'orientation.
Par construction ADF est un triangle isocèle de sommet principal A puisque AD = AF (= AB).
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Notons  une mesure de l'angle orienté (⃗
FD ,⃗
FA) ( = (⃗
DA ,⃗
DF) )
D'après la relation de Chasles : (⃗
AB , ⃗
AF) + (⃗
AF ,⃗
AD) = (⃗
AB , ⃗
AD)
π
D'où, une mesure de (⃗
AF ,⃗
AD) est : (⃗
AF ,⃗
AD) = (⃗
AB , ⃗
AD) – (⃗
AB , ⃗
AF) = 6 .
D'autre part, dans tout triangle, on sait :
la somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat.
Dans le cas des angles orientés, on obtient :
(⃗
AF ,⃗
AD) + (⃗
FD ,⃗
FA) + (⃗
DA ,⃗
DF) = . (Attention à toujours tourner dans le même sens ...)
⃗
⃗
⃗
⃗
Comme ( FD , FA) = ( DA , DF) = , il vient :
π
5π
2 =  – 6 =
+ 2k ; k  ℤ.
6
5π
5π
En divisant par 2, on a deux mesures  =
et  =
+
12
12
5π
Seule la mesure  =
est acceptable dans cet exercice.
12
2) Les mêmes observations faites dans le triangle BFE donnent :
BFE est isocèle de sommet principal B.
π
π
π
L'angle (⃗
BE , ⃗
BF) a pour mesure principale (⃗
BE , ⃗
BF) = 6 + 3 = 2 .
π
Les angles de base ont par conséquent pour mesure 4 (BFE est un triangle rectangle et isocèle).
π
(⃗
FB , ⃗
FE) = 4 .
3) (⃗
FD ,⃗
FE) = (⃗
FB ,⃗
FE) (Relation de Chasles)
FD ,⃗
FA) + (⃗
FA , ⃗
FB) + (⃗
π
π
5
π
+ 3 + 4 = .
(⃗
FD ,⃗
FE) =
12
Comme l'angle (⃗
FD ,⃗
FE) vaut , les vecteurs ⃗
FD et ⃗
FE sont colinéaires de sens opposés.
Les points D, F, E sont donc alignés dans cet ordre.
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a) t ∈ ]−π ; π ] , cos(t) = –
1
.
2
On lit sur le cercle trigonométrique : t =
2π
2π
ou t = –
(bien remarquer que ces deux réels sont dans
3
3
l'intervalle ]−π ;π ] .
b) Dans ℝ, les solutions de l'équation cos(t) = –
2π
2π
1
sont les réels
+ 2k ; k  ℤ et –
+ 2k ; k  ℤ.
3
3
2
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Résolution dans ℝ :
√2
a) cos (t) =
2
Solutions : + 2k ; k  ℤ.
b) cos (t) = –1
√5
c) cos (t) = –
d) sin(t) =
f) sin(t) = 0
aucune solution
2
√3
2
e) sin (t) = –
π
π
Solutions : 4 + 2k ; k  ℤ et – 4 + 2k ; k  ℤ.
1
2
π
2π
Solutions : 3 + 2k ; k  ℤ et
+ 2k ; k  ℤ.
3
π
7π
Solutions : – 6 + 2k ; k  ℤ et
+ 2k ; k  ℤ.
6
Solutions : 0+ k ; k  ℤ.
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
a) Résoudre cos (t + 4 ) = cos 2t
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{
t
Cette équation est équivalente au système ou 
=2 t k ×2 
4

t  =−2 t k ×2 
4
k∈ℤ
chacune des équations du système est une équation du premier degré d'inconnue t.
t= π + k ×2 π
4
Après réduction, on obtient le système ou 2π
t = −π + k ×
12
3
{
k∈ℤ
En donnant trois valeurs consécutives à k, on a :
π
si k = 0, t = – 12 ,
si k = 1, t =
7π
12
si k = 2, t =
15 π
5π
=
12
4
Représentation des images des solutions sur le cercle trigonométrique.
Les points A, B, C , D représentent les solutions.
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π
π 7π
3π
; – 12 ; 4 ;
4
12
Les mesures principales des solutions sont : –
b) Résoudre cos t = sin 2t
 2 −  ,

cette équation est équivalente à: cos t = cos  2 −2 t  ,
Comme pour tout  réel, on a: sin  = cos
{
t=
−2 t k ×2 
2



t =−
−2 t k ×2 
2
k∈ℤ
{

2
t= k ×
6
3
Après réduction, on obtient le système ou 
t= k ×2 
2
k∈ℤ
π
si k = 0, t = 6
si k = 1, t =
5π
6
si k = 2, t =
9π
3π
=
6
2
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π
π
π 5π
Les mesures principales des solutions sont : – 2 ; 6 ; 2 ;
6


c) Résoudre cos (2t – 4 ) = cos (t + 6 )
{
2 t−

=t  k×2 
4
6




2 t − =− t  k ×2 
4
6
k∈ℤ
{
t=
5
k ×2 
12
Après réduction, on obtient le système ou t=
k∈ℤ

2
k ×
36
3
π
si k = 0, t = 36
si k = 1, t =
25 π
36
si k = 2, t =
49 π
36
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d) cos t = sin t
On sait que pour tout t ∈ ℝ, sin t = cos
 2 −t  ,
l'équation cos t = sin t est équivalente à: cos t = cos
( π2 −t ) ,
t= π −t+ k ×2 π
2
ou Cette équation est équivalente au système
t=− π −t + k ×2 π
2
{
(
k∈ℤ
)
Après réduction, on obtient le système
{
t=

k×
4
k∈ℤ
ou aucune solution 39 page 302
Résoudre
a) 2 sin²t – 3 sin t + 1 = 0
cette équation est équivalente au système :
{
X =sin t
2 X −3 X + 1=0
2
L'équation du second degré 2X² – 3X + 1 = 0 a pour solutions :
On a donc : 2 sin²t – 3 sin t + 1 = 0 équivaut à
{
1
et 1. ( = 9 – 8 = 1, ...)
2
X =sin t
1
X = ou X =1
2
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1
ou sin t = 1
2
π
1
5π
sin t =
équivaut à t = 6 + 2k ; k  ℤ ou t =
+ 2k ; k  ℤ
2
6
π
sin t = 1 équivaut à t = 2 + 2k ; k  ℤ.
π
π 5π
Les solutions appartenant à ]– ; ] sont : 6 ; 2 ;
.
6
Il reste à résoudre sin t =
b) a) 2 cos²t – 3 √ 3 cos t + 3 = 0
cette équation est équivalente au système :
{
X =cost
2 X −3 √ 3 X + 3=0
2
L'équation du second degré 2X² – 3 √ 3 X + 3 = 0 a pour solutions :
On a donc : 2 cos²t – 3 √ 3 cos t + 3 = 0 équivaut à
Il reste à résoudre cos t =
{
√ 3 et 3 . ( = 27 – 24 = 3, ...)
√
2
X =cos t
3
X = √ ou X =√ 3
2
√3 ou cos t = 3
√
2
cos t =
√3 équivaut à t = π + 2k ; k  ℤ ou t = – π + 2k ; k  ℤ
6
6
cos t =
√ 3 n'a aucune solution puisque √ 3 > 1
2
π
π
Les solutions appartenant à ]– ; ] sont : 6 ; – 6
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1)  ∈ [0 ; ] et cos  = 0,8
a) Construction (Le point d'abscisse 0,8 sur le cercle trigonométrique dans le premier quadrant est associé à )
b) b) sin² = 1 - cos² = 1 – 0,64 = 0,36
Comme  ∈ [0 ; ], sin  > 0, d'où, sin  = 0,6
c)  ≈ 0,64 rad à 10–2 près par défaut
2) Si  ∈ ]– ; 0], le point associé à  est dans le quatrième quadrant.
Le sinus est alors négatif.
sin  = –0,6 et  ≈ –0,64 rad à 10–2 près par excès.
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π
a = sin
7
sin −π = –a
7
( )
sin
cos
(sin(–x) = –sinx)
8π
8π
= – a car
= π +  et (sin(x + ) = –sinx)
7
7
7
π
π
5π
5π
= a car 2 – π =
et cos ( 2 - x) = sin x.
14
14
7
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{
5+ 1
π
cos π = √
5
4
1) On sait que
, d'où, sin² 5 = 1 –
cos 2 (x )+ sin 2( x)=1
π
π
π
Comme 0 < 5 < 2 , on sait que sin 5 > 0.
π
sin 5 =
√
π
2) sin – 5
10−2 √ 5 =
16
( ) =–
comme
( )
4
2
)
16−5−2 √ 5−1
10−2 √ 5
=
16
16
=
√10−2 √ 5 .
√10−2 √ 5
4
(
√ 5+ 1
4
;
π
4π
4π
=  – 5 , sin
=
5
5
√10−2 √ 5
4
π
π
π
3π
3π
Comme 2 – 5 =
, sin
= cos 5 =
10
10
√ 5+ 1
4
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π π
5π
a) b) Comme 4 + 6 =
, on a :
12
cos
π
π
π
π
5π
√2 ×√3 − √2 × 1 =
= cos 4 ×cos 6 −sin 4 ×sin 6 =
12
2
2
2 2
et sin
π
π
π
π
5π
√ 2 × √ 3 + √2 × 1 =
= sin 4 ×cos 6 +sin 6 ×cos 3 =
12
2
2
2 2
√ 2(√ 3−1)
4
√ 2(√ 3+1)
4
√ 2(√ 3−1)
( )
4
5π
11 π
√ 2(1+ √ 3)
et cos (
= –sin
=–
)
12
12
4
5π
11 π
11 π
Comme π +
=
, on a : sin
2 12
12
12
= cos
5π
=
12
48 page 302
π
π
π
√2 ,
a)b) 2× 8 = 4 et cos 4 =
2
π
2 π
2π
or, cos 4 = 2 cos 8 −1 , d'où, cos 8 =
(√ )
π
π
π
π
Comme 0 < 8 < 2 , cos 8 > 0, cos 8 =
2
1
+1 × =
2
2
√ 2+1
4
√(√ 2+1)
2
π
2 π
1−√ 2
2 sin2 π
et, cos 4 = 1 –
, d'où, sin 8 =
4
8
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π
π
π
π
Comme 0 < 8 < 2 , sin 8 > 0, sin 8 =
√(1−√ 2)
2
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π
π
π
1) cos (t – 4 ) = cos t× cos 4 + sin t × sin 4
√ 2 cos t + √ 2 sin t
=
2
2
√ 2 (cos t + sin t)
=
2
π
π
π
sin (t – 4 ) = sin t× cos 4 – cos t × sin 4
√ 2 sin t – √ 2 cos t
=
2
2
2
√
=
(sin t – cos t)
2
2) soit (1) l'équation : cos t + sin t = √ 2
1
√ 2 (cos t + sin t) = 1
√2 )
cos t + sin t = √ 2 équivaut à
(En effet :
=
2
2
√2
π
cos t + sin t = √ 2 équivaut à cos (t – 4 ) = 1
Comme cos 0 = 1
π
π
On en déduit : cos t + sin t = √ 2 équivaut à t – 4 = 0+ 2k ; k  ℤ , soit : t = 4 + 2k ; k  ℤ
L'ensemble des solutions de (1) est :
π
s(1) = { 4 + 2k ; k  ℤ}
soit (2) l'équation : cos t – sin t = √ 2
1
√ 2 (cos t – sin t) = 1
√2 )
cos t – sin t = √ 2 équivaut à
(En effet :
=
2
2
√2
π
cos t – sin t = √ 2 équivaut à sin (t – 4 ) = –1
−π
Comme sin 2 = –1
π
π
π
On en déduit : cos t – sin t = √ 2 équivaut à t – 4 = – 2 + 2k ; k  ℤ , soit : t = – 4 + 2k ; k  ℤ
L'ensemble des solutions de (2) est :
π
s(2) = {– 4 + 2k ; k  ℤ}
( )
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29/05/15

Chapitre 11- TrigonomÃ©trie 1 page 286

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