Premi`ere S SVT Table des mati`eres

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Première S
Lycée Jean Vilar
Première S : Les contrôles et corrigés
O. Lader
1
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Table des matières
Devoir maison 1 : Les polynômes du second degré et statistiques . . . . . . . . . . . .
3
Devoir maison 1 : Les polynômes du second degré et statistiques . . . . . . . . . . . .
5
Devoir sur table 1 : Les polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Devoir sur table 1 : Les polynômes du second degré (corrigé) . . . . . . . . . . . . . .
9
Devoir maison
n◦ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Devoir maison
n◦ 2
(corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Devoir sur table 2 : Statistiques et variations de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Devoir sur table 2 : Statistiques et variations de fonctions (corrigé) . . . . . . . . . . .
22
Devoir maison 3 : Vecteurs et droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Devoir maison 3 : Vecteurs et droites du plan (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Devoir sur table 3 : Droites et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Devoir sur table 3 : Droites et vecteurs (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Devoir maison 4 : Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Devoir maison 4 : Nombre dérivé (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Devoir sur table 4 : Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Devoir maison 5 : Probabilités et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Devoir maison 5 : Probabilités et suites (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Devoir sur table 5 : Nombre dérivé et Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Devoir sur table 5 : Nombre dérivé et Probabilités (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . .
53
Devoir sur table 6 : Les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Exercices pour les révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Devoir maison
n◦ 6
: Étude de fonction et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Devoir maison
n◦ 6
: Étude de fonction et trigonométrie (corrigé) . . . . . . . . . . . .
64
Dévoir maison 7 : Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Exercices supplémentaires (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
TP : loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
TP : loi binomiale (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Devoir sur table 6 : Suite numérique, variation de fonction et trigonométrie . . . . . .
81
Devoir sur table 6 : Suite numérique, variation de fonction et trigonométrie (corrigé) .
83
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie . . . . . . . .
86
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie (corrigé) . .
88
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie (bis) . . . . .
91
Devoir maison : Four solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Devoir maison : Four solaire (corrigé)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Devoir sur table 8 : Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Devoir sur table 8 : Produit scalaire (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Interrogation 8 : Variations de fonction et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . 102
Interrogation 8 : Variations de fonction et suites numériques (corrigé) . . . . . . . . . 103
2
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison 1 : Les polynômes du second degré et statistiques
pour le jeudi 2 octobre 2014
Exercice 1. Le format d’un rectangle de longueur L et de largeur l (L ≥ l) est le quotient
Deux rectangles de même format sont dit semblables.
Soit ABCD un rectangle de longueur L = AB et de largeur l = AD.
D
F
C
A
E
B
L
l.
On dit que ce rectangle est un rectangle d’or s’il a le même format que le rectangle EBCF
obtenu en retirant le carré de côté [AD].
On pose φ = Ll .
1. Démontrer que si ABCD est un rectangle d’or, alors on a l’égalité
que φ2 = φ + 1.
L
l
l
L−l .
=
En déduire
2. Déterminer la valeur exacte de φ, puis une valeur approchée à 10−3 près.
Le nombre φ est appelé nombre d’or.
Exercice 2 (Fréquentation des salles de cinéma).
Partie 1 : Étude du nombre de films vus au cinéma dans l’année.
Dans un lycée, on a demandé à chacun des 701 élèves de Première et Terminale le nombre de
films vus au cinéma dans l’année. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-après.
Nombre de films
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Nombre d’élèves
5
10
15
30
30
30
60
67
90
85
70
60
60
40
20
10
5
8
6
1.
a) Calculer la moyenne x
¯ et l’écart type σ de cette série.
b) Déterminer l’intervalle [¯
x − 2σ, x
¯ + 2σ].
c) Vérifier que environ 95% des valeurs sont dans cet intervalle.
d) Interpréter le résultat par une phrase.
2.
a) À l’aide de la calculatrice, donner la médiane, les premier et troisième quartiles de
cette série.
b) Interpréter la valeur du quartile Q3 .
Partie 2 : Comparaison du nombre de films vus dans l’année par les élèves de deux classes.
On considère deux classes de Première de cet établissement dont l’une est composée d’élèves
ayant choisi l’option cinéma.
Ces classes, appelées A et B, ont le même effectif : 32 élèves.
On a représenté ci-dessous les diagrammes en boîte du nombre de films vus au cinéma dans
l’année pour chacune de ces classes, en plaçant aux extrémités le maximum et le minimum.
3
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
classe B
classe A
2
4
6
8
10
12
14
16
x
Dire si chaque affirmation suivante est vraie ou fausse et expliquer la réponse.
1. Dans la classe A, environ la moitié des élèves a vu moins de 14 films au cinéma.
2. Dans la classe B, environ huit élèves ont vu 10 films ou plus au cinéma.
3. Au moins la moitié des élèves de la classe A a vu plus de films au cinéma que les trois-quarts
des élèves de la classe B.
4
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison 1 : Les polynômes du second degré et statistiques
Corrigé
Exercice 1. Le format d’un rectangle de longueur L et de largeur l (L ≥ l) est le quotient
Deux rectangles de même format sont dit semblables.
Soit ABCD un rectangle de longueur L = AB et de largeur l = AD.
D
F
C
A
E
B
L
l.
On dit que ce rectangle est un rectangle d’or s’il a le même format que le rectangle EBCF
obtenu en retirant le carré de côté [AD].
On pose φ = Ll .
1. Supposons que ABCD est un rectangle d’or. Le format du rectangle ABCD est
l
l
format du rectangle EBCF est L−l
. Ainsi, par hypothèse, on a l’égalité Ll = L−l
.
L
Comme φ = l , on a L = l φ, d’où
L
l
=
φ
=
φ
=
φ
=
φ(φ − 1)
=
l
L−l
l
lφ−l
6l×1
6 l × (φ − 1)
1
φ−1
1
2
=
φ+1
φ
L
l
et le
2. De la précédente équation, on déduit que φ est un racine du polynôme du second degré
X 2 − X − 1. Son discriminant est ∆ = (−1)2 − 4 × (−1) = 5 et il a donc deux racines :
√
√
1− 5
1−2
−1
1+ 5
<
=
<0
et
x2 =
>0
x1 =
2
2
2
2
Le nombre d’or φ étant un rapport de longueurs, il est positif et donc
√
1+ 5
' 1.618
φ=
2
à 10−3 près.
Exercice 2 (Fréquentation des salles de cinéma).
Partie 1 : Étude du nombre de films vus au cinéma dans l’année.
Dans un lycée, on a demandé à chacun des 701 élèves de Première et Terminale le nombre de
films vus au cinéma dans l’année. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-après.
5
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Nombre de films
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Nombre d’élèves
5
10
15
30
30
30
60
67
90
85
70
60
60
40
20
10
5
8
6
1.
a) La moyenne de cette série est x
¯ ' 8.6 et l’écart type est σ ' 3.5. Ces valeurs sont
arrondies au dixième.
b) L’intervalle [¯
x − 2σ, x
¯ + 2σ] est [1.6; 15.6].
c) Les valeurs entre 1,6 et 15,6 sont au nombre de
15 + 30 + 30 + 30 + 60 + 67 + 90 + 85 + 70 + 60 + 60 + 40 + 20 + 10 = 667
Soit environ
667
701
' 95, 1% des valeurs sont dans l’intervalle.
d) Environ 95% des élèves de Première et de Terminale ont regardé entre 2 et 15 films
dans l’année.
2.
a) À l’aide de la calculatrice, la médiane de la série statistique est m = 9, le premier
quartile Q1 est 6 et le troisième quartile Q3 est 11.
b) Par définition du troisième quartile, on a qu’au moins 75% des élèves ont regardé
moins de 11 films dans l’année.
Partie 2 : Comparaison du nombre de films vus dans l’année par les élèves de deux classes.
On considère deux classes de Première de cet établissement dont l’une est composée d’élèves
ayant choisi l’option cinéma.
Ces classes, appelées A et B, ont le même effectif : 32 élèves.
On a représenté ci-dessous les diagrammes en boîte du nombre de films vus au cinéma dans
l’année pour chacune de ces classes, en plaçant aux extrémités le maximum et le minimum.
Q1
Q3
Me
classe B
Q1
Q3
Me
classe A
2
4
6
8
10
12
14
16
x
Considérons les affirmations suivantes :
1. Dans la classe A, environ la moitié des élèves a vu moins de 14 films au cinéma.
Cette affirmation est fausse car la médiane n’est pas égale à 14 pour la classe A mais à
11.
2. Dans la classe B, environ huit élèves ont vu 10 films ou plus au cinéma.
Cette affirmation est vraie, car le troisième quartile est 10, ainsi au moins 75% des élèves
ont vu moins de 10 films et les autres, environ 8 (25% de 32) élèves de la classe B, ont vu
plus de 10 films.
3. Au moins la moitié des élèves de la classe A a vu plus de films au cinéma que les troisquarts des élèves de la classe B.
Cette affirmation est vraie. Comme la médiane de la classe A est 11, on déduit qu’au moins
la moitié des élèves de la classe a vu plus de 11 films. D’autre part, au moins les trois-quarts
des élèves de la classe B ont vu moins de Q3 = 10 < 11 films. D’où l’affirmation.
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 1 : Les polynômes du second degré
mardi 23 septembre 2014
Exercice 1.
1. Les fonctions f : R → R définies par
a) f (x) = −x2 + x + 2
b) f (x) = (x + 2)2 − (x − 2)2
c)
1
x2
+x+1
sont-elles des fonctions polynômes du second degré ? Si oui, donner leurs coefficients.
2. Écrire sous forme canonique le polynôme du second degré suivant −x2 + x + 1.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f : R → R définie par f (x) = −x2 + x + 1.
4. Résoudre les équations :
a) x2 − 9x + 20 = 0
b) x2 + x + 1 = 0
Exercice 2. On considère les fonctions f, g : R → R défines par
f (x) = x2 − 4x + 4
et
g(x) = −x2 + 8x − 6
1. Voici les représentations graphiques de ces deux fonctions :
10
8
6
4
2
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Pour chacune de ces fonctions, indiquer laquelle des paraboles la représente, en justifiant.
2. On pose h(x) = f (x) − g(x). Vérifier que h(x) = 2x2 − 12x + 10. Dresser le tableau de
variation de la fonction h.
3. Résoudre l’inéquation h(x) < 0.
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2014/2015
4. En déduire les solutions de f (x) < g(x).
Exercice 3. Soit x2 + bx + c un polynôme du second degré avec a = 1. Supposons que son
discriminant est strictement positif.
1. Rappeler, dans ce cas, la forme factorisée de x2 + bx + c = . . ..
2. En développant la forme factorisée, démontrer que la somme de ses deux racines est égale
à −b. Que peut-on dire dire du produit des racines ?
8
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2014/2015
Devoir sur table 1 : Les polynômes du second degré
corrigé
Exercice 1.
1. La fonction f : R → R définie par f (x) = −x2 + x + 2 est une fonction polynôme du second
degré (a = −1 ; b = 1 et c = 2). Par contre, f (x) = (x + 2)2 − (x − 2)2 = 8x et x12 + x + 1
ne sont pas des polynômes de degré deux.
2. La forme canonique :
1
5
−x2 + x + 1 = −(x2 − x) + 1 = −(x − )2 +
2
4
(α =
1
2
et β = 54 ).
3. Le tableau de variation de la fonction f : R → R définie par f (x) = −x2 + x + 1 :
x
1
2
−∞
+∞
5
4
−x2
+x+1
4. Résoudre les équations :
a) x2 − 9x + 20 = 0. Calculons le discriminant :
∆ = 81 − 80 = 1 > 0
D’où, il y a deux solutions
x1 =
9−1
= 4 et x2 = 5
2
b) x2 + x + 1 = 0. La discriminant est −3, comme il est négatif, il n’y a pas de solution.
Exercice 2. On considère les fonctions f, g : R → R défines par
f (x) = x2 − 4x + 4
et
g(x) = −x2 + 8x − 6
1. Le coefficient dominant de f est 1, qui est positif, donc la parabole associée est tournée
vers le haut. De même, le coefficient dominant de g est négatif et la parabole associée est
tournée vers le bas.
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2014/2015
10
Cf
8
6
4
2
Cg
−4
−2
0
2
4
6
8
10
2. Dans un premier temps, on a
h(x) = f (x) − g(x)
= x2 − 4x + 4 − (−x2 + 8x − 6)
= 2x2 − 12x + 10
= 2(x2 − 6x + 5)
= 2(x − 3)2 − 8
(α = 3 et β = −8). D’où, le tableau de variation de h :
x
−∞
+∞
3
h(x)
−8
3. Résolvons l’équation du second degré h(x) = 0. On a
2(x − 3)2 − 8 = 0
⇐⇒
(x − 3)2 = 4
⇐⇒
√
x−3=± 4
D’où, deux solutions : x1 = 2 + 3 = 5 et x2 = −2 + 3 = 1. Complétons le tableau de
variation :
x
h(x)
−∞
1
3
0
5
0
−8
On en déduit que h(x) < 0 si et seulement si x est dans ]1; 5[.
10
+∞
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
4. Notons que f (x) < g(x) si et seulement si f (x) − g(x) < 0. D’où l’ensemble solution est
aussi l’intervalle ]1; 5[.
Exercice 3. Soit x2 + bx + c un polynôme du second degré. Supposons que son discriminant
est strictement positif. Montrons que la somme de ses deux racines est égale à −b. D’après une
propriété vue en cours, on peut écrire le polynôme sous forme factorisé :
x2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2
En identifiant les coefficients devant x, on a bien
−b = x1 + x2
De plus, en identifiant les coefficients constants, on a
c = x1 x2
C’est-à-dire le produit des racines est égal au coefficient constant.
11
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2014/2015
Devoir maison n◦ 2
pour le mardi 4 novembre 2014
d=1
Exercice 1 (Aire d’un rectangle). Le point M est situé sur un quart de cercle
de centre O, de
rayon 4 et d’extrémités A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA)
passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
B
M
P
A
O
N
On pose x = ON et on désigne par f (x) l’aire du rectangle OMNP.
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f .
√
2. Montrer que, pour tout x de D, f (x) = x 16 − x2 .
3.
a) Vérifier que, pour tout x de D, on a :
f (x) =
q
64 − (x2 − 8)2
b) En déduire que le maximum de f vaut 8.
En quelle valeur est-il atteint ?
c) Que peut-on dire du rectangle ONMP lorsque son aire est maximale ?
4.
a) À l’aide de la définition d’une fonction décroissante, montrer
√ que la fonction u définie
2
2
par u(x) = (x − 8) est décroissante sur l’intervalle [0; 2 2].
√
b) En déduire le sens de variation de f sur |0; 2 2].
√
c) Étudier les variations de f sur l’intervalle [2 2; 4].
d) Construire le tableau de variation de f sur l’intervalle [0; 4].
5. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [0; 4].
Exercice 2 (algobox).
1. Voici un programme sous algobox pour le calcul de la moyenne d’une série statistique :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE LISTE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
N EST_DU_TYPE NOMBRE
moyenne EST_DU_TYPE NOMBRE
somme EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
AFFICHER "Effectif: "
LIRE N
12
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Lycée Jean Vilar
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
2014/2015
POUR i ALLANT_DE 1 A N
DEBUT_POUR
LIRE x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "x = ["
DEBUT_POUR
AFFICHER x[i]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
AFFICHER "]"
somme PREND_LA_VALEUR 0
DEBUT_POUR
somme PREND_LA_VALEUR somme + x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "\nLa moyenne est "
moyenne PREND_LA_VALEUR somme / N
AFFICHER moyenne
29: FIN_ALGORITHME
Tester le programme avec n = 3, x1 = 1, x2 = 2 et x3 = 4.
2. Dans le programme précédent identifier la partie du code qui correspond au calcul effectif
de la moyenne :
!
n
1 X
xi
moyenne =
n i=1
3. Le programme complet suivant avec en plus le calcul de la moyenne des éléments x21 , . . . , x2n :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE LISTE
somme_carre EST_DU_TYPE NOMBRE
moyenne_carre EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
DEBUT_POUR
LIRE x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "x = ["
DEBUT_POUR
AFFICHER x[i]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
AFFICHER "]"
somme_carre PREND_LA_VALEUR ___
DEBUT_POUR
somme_carre PREND_LA_VALEUR __________
FIN_POUR
moyenne_carre PREND_LA_VALEUR __________
AFFICHER "\nLa moyenne de la série est "
AFFICHER moyenne
13
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34:
35:
2014/2015
AFFICHER "\nLa moyenne des carrés de la série est "
AFFICHER __________
36: FIN_ALGORITHME
Compléter le programme.
4. Écrire un programme qui calcul la variance des éléments x1 , x2 , . . . , xn en utilisant la
formule suivante :
!
n
1 X
2
V =
x −x
¯2
n i=1 i
5. Tester votre programme avec la série x = [1, 2, 3, 4, 5].
14
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2014/2015
Devoir maison n◦ 2
(corrigé)
d=1
Exercice 1 (Aire d’un rectangle). Le point M est situé sur un quart de cercle de centre O, de
rayon 4 et d’extrémités A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA)
passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
B
M
P
A
O
N
On pose x = ON et on désigne par f (x) l’aire du rectangle OMNP.
1. L’aire n’a de sens que si le point N se trouve sur le segment [OA] de longueur 4. Ainsi, le
domaine de définition de la fonction f est D = [0; 4].
2. Comme√M se trouve sur le cercle de centre O et rayon 4, on a que ON 2 + OP 2 = 42 . D’où
OP = 16 − x2 et
p
f (x) = x 16 − x2
pour tout x de D.
√
3. a) Soit x de D, comme x est positif, on a que x = x2 , ainsi en utilisant le fait que la
racine d’un produit est le produit des racines, on a
√
f (x)
p
x2 16 − x2
p
=
x2 (16 − x2 )
p
=
−(x4 − 2 × 8 × x2 )
p
=
−(x4 − 2 × 8 × x2 + 82 ) + 64
=
En utilisant les identités remarquables, on déduit que
f (x) =
q
64 − (x2 − 8)2
b) Notons que pour tout x dans D, (x2 − 8)2 ≥ 0, ainsi 64 − (x2 − 8)2 ≤ 64. D’autre
part, la fonction racine carrée est croissante, c’est-à-dire elle conserve l’ordre, on en
déduit que
q
√
f (x) = 64 − (x2 − 8)2 ≤ 64 = 8
D’où√le maximum
de√f vaut 8 et il est atteint (lorsque (x2 − 8)2 s’annule) en
√
x = 8 = 4 × 2 = 2 2.
√
c) Lorsque l’aire du rectangle OMNP est maximal, c’est-à-dire lorsque x est égal à 2 2,
on note que
q
√
√
OP = 16 − (2 2)2 = 8 = ON
D’où, dans ce cas, le quadrilatère OMNP est un carré.
15
Première S
4.
Lycée Jean Vilar
2014/2015
√
a) Soient x1 , x2 deux nombres réels dans [0; 2 2]. Supposons que x1 < x2 , alors
u(x1 ) − u(x2 )
=
(x21 − 8)2 − (x22 − 8)2
=
(x21 − 8 + x12 − 8)(x21 − 8 − x22 + 8)
=
(x21 + x22 − 16)(x1 + x2 )(x1 − x2 )
√
Par hypothèse, x21 ≤ (2 2)2 = 8 d’où on déduit que x21 −8 ≤ 0 et de même x22 −8 ≤ 0.
D’où x21 + x22 − 16 = (x21 − 8) + (x22 − 8) ≤ 0. Ainsi, on a
u(x1 ) − u(x2 ) = (x21 + x22 − 16) (x1 + x2 ) (x1 − x2 ) ≥ 0
}|
{z
|
≤0
}|
{z
≥0
{z
≤0
}
√
Donc, u(x1 ) ≥ u(x2 ) et u est décroissante sur l’intervalle [0; 2 2].
Autre solution : (ici on utilise les opérations sur les fonctions)
La fonction
polynôme de degré deux v(x) = x2 − 8 est croissante sur l’intervalle
√
[0; 2 2] et à valeurs négatives (dans l’intervalle ] − ∞, 0]). Ainsi, comme la fonction
carrée est décroissante sur l’intervalle ] − ∞, 0], la fonction u(x) = (x2 − 8)2 = (v(x))2
a le sens de variation
contraire de celui de v(x). C’est-à-dire u est décroissante sur
√
l’intervalle [0; 2 2].
b) Nous allons en déduire les variations de f :
x
√
2 2
0
64
u(x)
0
64
64 − u(x)
0
8
f (x)
0
c) En reprenant,√le raisonnement de la question 4.a), on montre que u est croissante sur
l’intervalle [2 2; 4] (la raison du changement de sens de variation provient du fait que
x2 − 8 ≥ 0 et la fonction carrée est √
croissante sur [0; +∞]). Ensuite, de même, on en
déduit que f est décroissante sur [2 2; 4] :
√
2 2
x
u(x)
4
64
0
64
64 − u(x)
0
8
f (x)
0
d) Résumons :
x
0
f (x)
√
2 2
8
0
0
5. Enfin, le graphe de la fonction f sur l’intervalle [0; 4] :
8
7
6
5
4
3
2
1
Cf
0
4
1 2 3 4
16
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Exercice 2.
1. Voici un programme sous algobox pour le calcul de moyenne d’une série
statistique :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE LISTE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
DEBUT_POUR
LIRE x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "x = ["
DEBUT_POUR
AFFICHER x[i]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
AFFICHER "]"
DEBUT_POUR
FIN_POUR
AFFICHER "\nLa moyenne est "
AFFICHER moyenne
29: FIN_ALGORITHME
Le programme affiche la liste entrée par l’utilisateur et ensuite calcul la moyenne et affiche
cette dernière.
2. Dans le programme précédent, la partie du code qui correspond au calcul effectif de la
moyenne :
!
n
1 X
xi
moyenne =
n i=1
va de la ligne 21 à 27.
3. Dans le programme incomplet suivant, on s’est basé sur le précédent et on a ajouté le
calcul de la moyenne des éléments x21 , . . . , x2n .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE LISTE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
DEBUT_POUR
LIRE x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "x = ["
17
Première S
Lycée Jean Vilar
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
DEBUT_POUR
AFFICHER x[i]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
AFFICHER "]"
somme_carre PREND_LA_VALEUR 0
DEBUT_POUR
somme_carre PREND_LA_VALEUR somme_carre + x[i]*x[i]
FIN_POUR
moyenne_carre PREND_LA_VALEUR somme_carre / N
AFFICHER moyenne
AFFICHER moyenne_carre
36: FIN_ALGORITHME
4. De la propriété de la variance :
n
1 X
V =
x2 − x
¯2 ,
n i=1 i
!
on déduit le programme qui calcul la variance des éléments x1 , x2 , . . . , xn :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE LISTE
variance EST_DU_TYPE NOMBRE
sigma EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
DEBUT_POUR
LIRE x[i]
FIN_POUR
AFFICHER "x = ["
DEBUT_POUR
AFFICHER x[i]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
AFFICHER "]"
somme_carre PREND_LA_VALEUR 0
DEBUT_POUR
somme_carre PREND_LA_VALEUR somme_carre + x[i]*x[i]
FIN_POUR
moyenne_carre PREND_LA_VALEUR somme_carre / N
AFFICHER moyenne
18
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
2014/2015
AFFICHER moyenne_carre
variance PREND_LA_VALEUR moyenne_carre - pow(moyenne, 2)
AFFICHER "\nLa variance est "
AFFICHER variance
AFFICHER "\nL’écart type est "
sigma PREND_LA_VALEUR sqrt(variance)
AFFICHER sigma
44: FIN_ALGORITHME
Les lignes 10, 42 et 43 sont facultatives. Elles permettent en plus d’afficher l’écart-type.
5. (Tester votre programme avec la série x = [1, 2, 3, 4, 5].)
19
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 2 : Statistiques et variations de fonctions
mardi 4 novembre 2014
Exercice 1.
1. Calculer |1 −
√
2|, |2 −
√
2| et |π − 3|.
2. Tracer le graphe de la fonction valeur absolue.
3. Résoudre |x| ≤ 1.
√
4. Résoudre x ≤ 3.
Exercice 2. Soit f : [2; 8] → R la fonction polynôme de degré deux définie par
f (x) = −x2 + 10x − 15.
1. Calculer les racines de f (x).
2. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole associée à f .
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f .
4. Montrer que pour tout x ∈ [2; 8], on a f (x) > 0.
p
5. Soit g : [2; 8] → R définie par g(x) = f (x) pour tout x ∈ [2; 8].
Déduire de l’étude de f , le tableau de variation de la fonction g.
6. Soit h : [2; 8] → R définie par
h(x) = −3 +
4
f (x)
Déterminer le tableau de variation de h.
Exercice 3. Deux groupes A et B de 20 élèves ont obtenu les notes sur 10 suivantes, lors d’un
QCM commun :
Note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
0
1
1
0
1
2
2
3
4
4
2
B
1
1
1
0
1
3
1
1
6
5
0
1.
a) Calculer la moyenne x
¯, la médiane Me, l’écart type σ et l’écart interquartile I =
Q3 − Q1 des deux séries de notes, au centième près. Porter ces résultats dans un
tableau comparatif.
2. Classer les deux groupes :
a) en comparant les couples (¯
x, σ) des deux séries ;
b) en comparant les couples (Me, I) des deux séries.
3. On se propose de construire un exemple de répartition des notes dans un groupe C (avec
20 élèves aussi) telle que la médiane soit égale à 8. Voici le tableau incomplet :
Note
C
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
5
2
5
20
10
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
a) Compléter le tableau de telle sorte que la médiane de cette série soit effectivement
égale à 8.
b) Calculer la moyenne x
¯, l’écart type σ et l’écart interquartile I = Q3 − Q1 de la série
de notes C, au centième près.
c) Comparer avec la série de notes B.
d) Quel couple de données (¯
x, σ) ou (Me, I) vous semble le plus approprié pour la série
de notes C ? Argumenter.
21
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 2 : Statistiques et variations de fonctions
corrigé
Exercice 1.
√
√
√
1. Notons que√22 > 2√> 1, d’où 2√> 2 > 1.√On en déduit que 1 − 2 < 0 et 2 − 2 > 0.
Donc, |1 − 2| = 2 − 1, |2 − 2| = 2 − 2.
Rappelons que π ' 3.14159, ainsi π − 3 > 0 et |π − 3| = π − 3.
2. Le graphe de la fonction valeur absolue :
x 7→ |x|
(
x,
si x ≥ 0,
−x, sinon.
|x| =
3. Résolvons |x| ≤ 1 : On a
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|x| ≤ 1
(
x≤1
−x ≤ 1
(
x≤1
x ≤ −1
si x ≥ 0
sinon
si x ≥ 0
sinon
−1 ≤ x ≤ 1
D’où, l’ensemble des solutions est l’intervalle fermé [−1; 1].
Autre solution : Graphiquement, on a
y
4
x 7→ |x|
3
2
1
−4
−3
−2
−1 0
x
1
2
3
4
Sur le graphique ci-dessus, on a représenté en rouge l’intervalle solution [−1; 1].
√
4. Résolvons x ≤ 3 :
√
⇐⇒
x≤3
0≤x=
√
et x ≥ 0
2
x ≤9
L’équivalent provient du fait que la fonction carrée est croissante sur [0; +∞[. D’où,
l’ensemble des solutions est l’intervalle fermé [0; 9].
Exercice 2. Soit f : [2; 8] → R la fonction polynôme de degré deux définie par
f (x) = −x2 + 10x − 15.
22
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
1. Calculons les racines de f (x) : Le discriminant est ∆ = 102 − 4 × (−1) × (−15) = 40 > 0,
d’où le polynôme du second degré f (x) a deux racines :
√
√ √
√
√
−10 − 40
10 + 4 10
2(5 + 10)
x1 =
=
=
= 5 + 10
−2
2
2
et
√
√ √
√
√
−10 + 40
10 − 4 10
2(5 − 10)
x2 =
=
=
= 5 − 10
−2
2
2
−10
2. Posons α = −b
2a = −2 = 5 et β = f (α) = 10, ainsi les coordonnées du sommet de la
parabole associée à f sont (5; 10).
Autre méthode : On aurait pu déterminer la forme canonique de f (x) :
f (x) = −x2 + 10x − 15 = −(x2 − 10x + 25 − 10) = −(x − 5)2 + 10
et en déduire que α = 5 et β = 10.
3. Le tableau de variation de la fonction f :
x
2
5
8
10
f (x)
1
1
√
√
√
4. Comme 9 < 10 < 16, on a que 3 < 10 < 4, ainsi 5 − 10 < 2 et 8 < 5 + 10. D’après
le tableau de variation précédent,
que pour tout x dans l’ intervalle [2; 8],
√ on déduit
√
qui est donc inclus dans [5 − 10; 5 + 10], l’image f (x) est supérieure strictement à
f (x1 ) = f (x2 ) = 0.
p
5. Soit g : [2; 8] → R définie par g(x) = f (x) pour tout x ∈ [2; 8]. La fonction racine
carré est croissante, donc elle conserve le sens de variation, et on en déduit le tableau de
variation de la fonction g :
x
2
5
8
10
f (x)
1
1
√
10
g(x)
1
1
6. La fonction inverse étant décroissante sur ]0; +∞[, elle renverse l’ordre, ainsi les variations
1
de f (x)
sont contraires à celles de f (x). Ensuite le fait de multiplier par 4 qui est positif
et de retrancher 3 ne change plus les variations. D’où :
x
2
5
8
10
f (x)
1
1
1
1
h(x)
−2.6
23
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Exercice 3. Deux groupes A et B de 20 élèves ont obtenu les notes sur 10 suivantes, lors d’un
QCM commun :
Note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
0
1
1
0
1
2
2
3
4
4
2
B
1
1
1
0
1
3
1
1
6
5
0
1.
a) Calculons la moyenne x
¯, la médiane Me, l’écart type σ et l’écart interquartile I =
Q3 − Q1 des deux séries de notes, au centième près :
Série A
Moyenne x
¯
Série B
Série C
Série D
6.9
6.4
6.8
7.8
Écart type σ
2.43
2.75
3.56
7.94
Premier quartile Q1
5
5
7
7
Médiane m
7.5
8
8
8
Troisième quartile Q3
9
8
9
9
Écart interquatile I
4
3
2
2
2. Classons les deux groupes :
a) à l’aide des couples (¯
x, σ) des deux séries : On note que la moyenne du groupe A est
plus haute que celle du groupe B et l’écart type du groupe A est plus faible que celui
du groupe B. Ainsi le groupe A a en moyenne de meilleurs résultats et il est plus
homogène.
b) à l’aide des couples (Me, I) des deux séries : La médiane du groupe A est plus basse
que celle du groupe B et l’écart interquartile du groupe A est plus élevé que celui du
groupe B. Ainsi, la première moitié du groupe B réussi mieux que celle du groupe A
et les résultats du groupe B sont un peu plus homogène.
3. On se propose de construire un exemple de répartition des notes dans un groupe C (avec
20 élèves aussi) telle que la médiane soit égale à 8. Voici le tableau (in)complet :
Note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
4
0
0
0
0
0
0
5
2
5
4
a) Complétons le tableau de telle sorte que la médiane de cette série soit effectivement
égale à 8. Pour que la médiane du groupe C soit égale à 8, il faut et il suffit qu’il y ait
au moins 50% des notes qui soient inférieurs ou égales à 8 et au moins 50% des notes
qui soient supérieures ou égales à 8. Pour le moment, dans le tableau incomplet, il
y a 7 notes inférieures ou égales à 8 et 7 notes supérieures ou égales à 8. D’où, l’on
déduit sans peine qu’il faut ajouter 4 notes en-dessous de 8 et 4 notes au-dessus de 8
pour qu’il y ait bien 20 notes en tout et que la médiane soit égale à 8.
b) La moyenne x
¯, l’écart type σ et l’écart interquartile I = Q3 − Q1 de la série de notes
C, au centième près, se trouvent dans le tableau de la question 1.a).
24
Première S
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2014/2015
c) Les groupes B et C ont la même médiane et l’équart interquatile du groupe C est sensiblement inférieur à celui du groupe B, ce qui suggère qu’environ la moitié (l’effectif
qui se trouve entre les deux quartiles) des notes du groupe C sont plus proches de la
médiane 8 que celles du groupe B. Par contre si l’on se base sur le couple moyenne ;
écart-type, on note que la moyenne du groupe C est à peine meilleure que celle du
groupe B. L’écart type du groupe C est considérablement plus grand que celui du
groupe B (environ plus 30%). Ainsi, les notes sont meilleurs en moyenne dans le
groupe C mais réparties de manière moins homogène que dans le groupe B.
d) Ici, le couple de données (¯
x, σ) avec la moyenne et l’écart type est plus approprié pour
la série de notes C. Ceci est dû au fait que les quartiles et la médiane ne tiennent pas
compte des valeurs extrêmes. Les 8 notes égales à 0 et 10 soient 40% de l’effectif total
doivent être prise en compte, ce qui est le cas avec le couple (¯
x, σ).
Pour insister sur ce phénomène, voici un autre exemple encore plus "exotique" :
Note -5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
D
0
0
0
0
0
0
5
2
5
4
4
Voir le tableau de la question 1.a) pour le résumé du groupe D. On note que les
quartiles et la médiane coïncident avec celui du groupe C alors que la médiane et
l’écart type ont augmenté.
25
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison 3 : Vecteurs et droites du plan
mardi 25 novembre 2014
Exercice 1. Les droites d1 , d2 , d3 et d4 ont pour équations cartésiennes respectives :
d2 : 4x + 6y − 5 = 0
√
√
d4 : √23 x + 3 y + 2 3 = 0
d1 : 6x + 9y + 18 = 0
d3 : 5x − y + 15 = 0
1.
a) Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ?
b) Même question avec d1 et d3 , puis avec d1 et d4 .
2.
a) Les droites d1 et d2 sont-elles confondues ?
b) Même question avec d1 et d4 .
3. Déterminer les coordonnées du point M (x, y) d’intersection des droites d1 et d3 .
Exercice 2. Soit un triangle RST et K le milieu de [RS].
−−→
−→
−→
−→
1. Construire les points H et L tels que T H = −3 T R et SL = −2 ST .
−→ −→
−−→
2. Montrer que T R + T S = 2 T K.
−−→
−→
−→
3. Décomposer le vecteur HL sur T R et T S.
−−→ −−→
4. En déduire que 16 HL = T K.
5. Est-ce que les droites (HL) et (T K) sont parallèles ?
Exercice 3. On considère l’algorithme suivant ?
Variables
xA, yA, xU, yU, a, b, c sont des nombres réels
Entrée
Saisir xA, yA, xU et yU
Initialisation
a prend la valeur yU
b prend la valeur -xU
c prend la valeur -a xA – b yA
Sortie
Afficher « l'équation est ax + by + c = 0 où»
Afficher a
Afficher b
Afficher c
1. À quoi sert l’algorithme ? Expliquer.
2. Compléter le programme suivant qui correspond à l’algorithme :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
VARIABLES
xA EST_DU_TYPE
yA EST_DU_TYPE
xU EST_DU_TYPE
yU EST_DU_TYPE
...
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
26
Première S
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2014/2015
7: ...
8: ...
9: DEBUT_ALGORITHME
10:
LIRE xA
11:
LIRE yA
12:
...
13:
...
14:
a PREND_LA_VALEUR yU
b PREND_LA_VALEUR -xU
15:
16:
...
17:
AFFICHER "L’équation est de la forme ax + by + c = 0"
18:
AFFICHER "\navec a = "
19:
AFFICHER a
...
20:
21:
...
22:
...
23:
...
24: FIN_ALGORITHME
Exercice 4. Coder dans AlgoBox l’algorithme suivant :
a, b, c sont des nombres
xA, yA sont des nombres
Lire a, b et c
Si a <> 0 ou b <> 0 alors
lire xA, yA
si A appartient à la droite D d’équation ax + by + c = 0 alors
Afficher "A appartient à D"
fin
fin
À quoi sert l’algorithme ?
Exercice 5 (*). On considère la droite D d’équation
6x + 15y = 3
Écrire un programme qui compte le nombre de points A appartenant à D et tels que les coordonnées soient des nombres entiers compris entre -20 et 20.
27
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2014/2015
Devoir maison 3 : Vecteurs et droites du plan
corrigé
Exercice 1. Les droites d1 , d2 , d3 et d4 ont pour équations cartésiennes respectives :
d2 : 4x + 6y − 5 = 0
√
√
d4 : √23 x + 3 y + 2 3 = 0
d1 : 6x + 9y + 18 = 0
d3 : 5x − y + 15 = 0

1.



−6
−9
−
−
v2 =   sont des vecteurs directeurs des droites d1
a) Les vecteurs →
v1 =   et →
4
6
et d2 respectivement. Leur déterminant est −9 × 4 − (−6) × 6 = 0, ainsi, on en déduit
que les vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires et donc que les droites d1 et d2
sont parallèles.

 

√
−
3
1


 
−
−
v4 = 
b) De même, les vecteurs →
v3 =   et →
 sont des vecteurs directeurs des
2
√
5
3
droites d3 et d4 respectivement.
−
−
Le déterminant de →
v1 et →
v3 est −9 × 5 − 1 × 6 = −51 6= 0, d’où on déduit que d1 et
d3 sont sécantes.
√
−
−
Rappelons que √13 = 33 . Le déterminant de →
v1 et →
v4 est
√
√
√
2
3 √
−9 × √ − (− 3) × 6 = −9 × 2 ×
+ 3 × 6 = 3(−6 + 6) = 0
3
3
D’où les droites d1 et d4 sont parallèles.
2.
a) On note que le point A(0, −2) appartient à d1 car 6 × 0 + 9 × (−2) + 18 = 0. Par
contre 4 × 0 + 6 × (−2) − 5 = −17 6= 0 et donc A n’appartient pas à la droite d2 .
Ainsi, les droites d1 et d2 ne sont pas confondues.
√
b) On va multiplier l’équation caractérisant d2 par 3 3 :
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
√
√
2
√ x + 3y + 2 3 = 0
3
√ 2
√
√
√
√
3 3√ x + 3 3 × 3 y + 3 3 × 2 3 = 0
3
6 x + 9 y + 18 = 0
Donc l’équation d4 est équivalente à d1 (elles admettent les mêmes solutions). C’està-dire les droites d1 et d4 sont confondues.
3. Soit M (x, y) le point d’intersection des droites d1 et d3 , alors x et y vérifient simultanément
28
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2014/2015
les équations caractérisant d1 et d3 . C’est-à-dire
(
6x + 9y + 18 = 0
5x − y + 15 = 0
(
6x + 9y + 18 = 0
5x + 15
=y
(
6x + 9(5x + 15) + 18 = 0
y
= 5x + 15
(
51x + 153 = 0
y
= 5x + 15
(
x = −153
51 = −3
y = 5 × (−3) + 15 = 0
Donc le point M (−3; 0) est le point d’intersection des droites d1 et d3 .
Exercice 2. Soit un triangle RST et K le milieu de [RS].
−−→
−→
−→
−→
1. Construire les points H et L tels que T H = −3 T R et SL = −2 ST .
L
R
K
S
T
H
2. En utilisant la relation de Chasles, on note que
−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→
T R + T S = T K + KR + T K + KS = 2 T K + KR + KS
−−→ −−→
Par construction, K est le milieu du segment [SR], donc la somme KR + KS est nul et
−→ −→
−−→
ainsi, T R + T S = 2 T K.
−−→
3. En utilisant les relations caractérisant les points L et H, décomposons le vecteur HL sur
−→
−→
T R et T S :
−−→ −−→ −→ −→
−−→ −→
−→
−→ −→
−→
−→
−→
HL = HT + T S + SL = −T H + T S − 2 ST = −(−3) T R + T S + 2 T S = 3 T R + 3 T S
−−→
−→ −→
4. Notons que d’après la question 2, on a T K = 12 (T R + T S) =
question précédente, on déduit que
1
2
−→
TR +
1
2
−→
T S. D’où, de la
−→
3 −→ 3 −→ 1 −→ 1 −→ −−→
1 −−→ 1 −→
HL = (3 T R + 3 T S) = T R + T S = T R + T S = T K
6
6
6
6
2
2
−−→
−−→
5. De la question précédent, on déduit que, par définition, les vecteurs HL et T K sont
colinéaires. D’où les droites (HL) et (T K) sont parallèles.
29
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2014/2015
Exercice 3. On considère l’algorithme suivant ?
Variables
xA, yA, xU, yU, a, b, c sont des nombres réels
Entrée
Saisir xA, yA, xU et yU
Initialisation
a prend la valeur yU
b prend la valeur -xU
c prend la valeur -a xA – b yA
Sortie
Afficher « l'équation est ax + by + c = 0 où»
Afficher a
Afficher b
Afficher c
1. Cette algorithme permet de déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir des
coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de la droite.
2. Le programme suivant correspond à l’algorithme sous Algobox.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
VARIABLES
xA EST_DU_TYPE NOMBRE
yA EST_DU_TYPE NOMBRE
xU EST_DU_TYPE NOMBRE
yU EST_DU_TYPE NOMBRE
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE xA
LIRE yA
LIRE xU
LIRE yU
a PREND_LA_VALEUR yU
b PREND_LA_VALEUR -xU
c PREND_LA_VALEUR -a * xA - b * yA
AFFICHER "L’équation est de la forme ax + by + c = 0"
AFFICHER "\n avec a = "
AFFICHER a
AFFICHER "\n b = "
AFFICHER b
AFFICHER "\n c = "
AFFICHER c
24: FIN_ALGORITHME
Exercice 4. Voici le programme qui demande a, b et c trois nombres réels et ensuite qui teste
si a 6= 0 ou b 6= 0 et le cas échéant affiche "ax + by + c = 0" est l’équation cartésienne d’une
droite" :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
VARIABLES
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
LIRE c
30
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2014/2015
9:
SI ( a!= 0 ou b != 0 ) ALORS
10:
DEBUT_SI
AFFICHER "ax+by+c = 0 décrit une droite"
11:
12:
FIN_SI
13:
SINON
14:
DEBUT_SINON
15:
AFFICHER "ax + by + c = 0 ne décrit pas une droite"
16:
FIN_SINON
17: FIN_ALGORITHME
Exercice 5. Coder dans AlgoBox l’algorithme suivant :
a, b, c sont des nombres
xA, yA sont des nombres
Lire a, b et c
Si a <> 0 ou b <> 0 alors
lire xA, yA
si A appartient à la droite D d’équation ax + by + c = 0 alors
Afficher "A appartient à D"
fin
fin
On rappelle que le point A(xA ; yA ) appartient à la droite D si et seulement si on a l’égalité :
axA + byA + c = 0
D’où, le programme :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
VARIABLES
xA EST_DU_TYPE NOMBRE
yA EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
LIRE c
SI ( a!= 0 ou b != 0 ) ALORS
DEBUT_SI
LIRE xA
LIRE yA
SI (a*xA + b*yA + c == 0) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "A(xA;yA) appartient à la droite D"
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER "A(xA;yA) n’appartient pas à la droite D"
FIN_SINON
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER "ax + by + c = 0 ne décrit pas une droite"
FIN_SINON
FIN_ALGORITHME
Exercice 6. On considère la droite D d’équation
6x + 15y = 3
31
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Écrire un programme qui compte le nombre de points A appartenant à D et tels que les coordonnées soient des nombres entiers compris entre -20 et 20.
Avant d’écrire le programme, précisons l’algorithme (ou comment on fait pour compter ces
points). Rappelons que si l’on se donne x alors on connait y :
y=
3 − 6x
15
Ainsi, pour x allant de −20 à 20, il nous suffit de tester si y est un nombre entier compris entre
−20 et 20.
D’autre part, notons que la fonction affine f (x) = 3−6x
15 est décroissante (son coefficient directeur
6
2
est − 15 = − 5 ), ainsi pour tout −20 ≤ x ≤ 20, on a
20 ≥ 8.2 = f (−20) ≥ y = f (x) ≥ f (20) = −7.8 ≥ −20.
D’où la condition −20 ≤ y ≤ 20 est automatiquement vérifiée.
L’algorithme est alors le suivant :
1: x, y sont des nombres
2: compteur est un nombre entier
3: compteur prend la valeur 0
4: Pour x allant de -20 à 20 faire
5:
Si 3 - 6x est divisible par 15 alors
6:
incrémenter le compteur de 1
7:
y prend la valeur 3−6x
15
8:
afficher (x,y)
9:
Fin Si
10: Fin Pour
11: Afficher compteur
. initialisation
. (facultatif)
. (facultatif)
Une façon de tester si un nombre est divisible par 15 est de vérifier si le reste de sa division
euclidienne par 15 est nul. Dans le langage d’AlgoBox, le reste de la division euclidienne d’un
nombre n par 15 se calcul à l’aide la commande %, ainsi : n % 15.
Voici maintenant le programme Algobox :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE NOMBRE
y EST_DU_TYPE NOMBRE
compteur EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
compteur PREND_LA_VALEUR 0
POUR x ALLANT_DE -20 A 20
DEBUT_POUR
SI ( (3-6*x) % 15 == 0 ) ALORS
DEBUT_SI
compteur PREND_LA_VALEUR compteur + 1
y PREND_LA_VALEUR (3-6*x)/15
AFFICHER "\n("
AFFICHER x
AFFICHER ", "
AFFICHER y
AFFICHER ")"
FIN_SI
FIN_POUR
AFFICHER "\n Nombre de points: "
AFFICHER compteur
22: FIN_ALGORITHME
32
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Après éxécution du programme, on note qu’il y a 8 points à coordonnées entières.
33
2014/2015
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2014/2015
Devoir sur table 3 : Droites et vecteurs
vendredi 5 décembre 2014
→
− →
−
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormée (O, i , j ).
Soit A(−3; 5), B(3; −1), C(2; 3) et D(3; 2) quatres points du plan, on note d1 la droite passant
par A et B. Soit d2 la droite d’équation cartésienne 45 x − y + 75 = 0.
y
A
d2
C
D
→
−
j
x
−
O →
i
B
d1
1. Est-ce que le point C appartient à la droite d2 ? Justifier.
2. Est-ce que le point D appartient à la droite d2 ? Justifier.
3. Déterminer un vecteur directeur de la droite d2 .
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite d1 .
5. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
6. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
34
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2014/2015
Exercice 2 (Le centre de gravité d’un triangle). On considère un triangle quelconque ABC.
Soit I, J et K les milieux des segments [AB], [AC] et [BC] respectivement.
C
K
J
G
B
I
A
−−→ −→
On se place dans le repère (A, AB, AC).
1. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, I, J et K.
2. Vérifier que A et K appartiennent à la droite d’équation cartésienne x − y = 0.
En déduire que x − y = 0 est une équation cartésienne de la droite (AK).
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BJ).
4. Soit G(x; y) le point d’intersection de la droite (AK) et (BJ). Déterminer les coordonnées
(x; y).
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (CI).
6. En déduire que les médianes du triangle ABC sont concourantes en le point G, appelé
centre de gravité.
35
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2014/2015
Devoir sur table 3 : Droites et vecteurs
(corrigé)
9 pt
→
− →
−
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormée (O, i , j ).
Soit A(−3; 5), B(3; −1), C(2; 3) et D(3; 2) quatres points du plan, on note d1 la droite passant
par A et B. Soit d2 la droite d’équation cartésienne 45 x − y + 75 = 0.
y
A
d2
C
D
→
−
j
x
−
O →
i
B
d1
1 pt
1 pt
1 pt
1. Le point C appartient à la droite d2 , car 54 × 2 − 3 + 75 = 0.
2. Le point D n’appartient pas à la droite d2 , car 45 × 3 − 2 + 75 = 95 6= 0.
3. D’après une proposition du cours, connaissant une équation cartisienne de la droite d2 , un


 
−(−1)  1 
−
vecteur directeur de la droite d2 est →
v 2 de coordonnées 
 =  .
4
5
4
5
Remarque
: Pour
les fractions, on aurait pu mulitplier le précédent vecteur par 5 :
 
 éviter

 1  5
−
5→
v 2 = 5   =  .
4
4
5

3 pt





−−→
3 − (−3)
 6 
−b
4. Le vecteur AB est de coordonnées 
 =   =  , ainsi une équation
−1 − 5
−6
a
cartésienne de la droite (AB) est de la forme : −6x − 6y + c = 0 où c est un nombre réel
que nous allons encore déterminer. Comme A ∈ (AB), on a
−6 × (−3) − 6 × 5 + c = 0
⇐⇒
c = 12
D’où, une équation cartésienne de la droite (AB) est −6x − 6y + 12 = 0.
On pourrait éventuellement divisier par −6 pour obtenir l’équation plus élémentaire : x +
y − 2 = 0.
36
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

2 pt
2014/2015


−−→
 3 − 2  1 
5. Les coordonnées du vecteur CD sont 
 =  . Ainsi, le déterminant des vecteurs
−1
2−3
−−→
−−→
AB et CD est
6 × (−1) − 1 × (−6) = 0
−−→
−−→
On en déduit que les vecteurs directeurs AB et CD sont colinéaires et ainsi les droites
(AB) et (CD) sont parallèles.
1 pt
6. De la question précédente, comme deux côtés opposés du quadrilatère sont parallèles, on
en déduit que le quadrilatère ABDC est un trapèze.
11 pt
Exercice 2 (Le centre de gravité d’un triangle). On considère un triangle quelconque ABC.
Soit I, J et K les milieux des segments [AB], [AC] et [BC] respectivement.
C
K
J
G
B
I
A
2 pt
−−→ −→
On se place dans le repère (A, AB, AC).
−−→ −→
1. Dans le repère (A, AB, AC), on a A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1), I( 21 ; 0), J(0; 12 ) et K( 12 ; 21 ).
Précisons le calculs des coordonnées du point K :
−−→
AK
−−→ −−→
= AB + BK
−−→ 1 −−→
= AB + BC
2
−−→ 1 −−→ 1 −→
= AB + BA + AC
2
2
1 −−→ 1 −→
= (1 − )AB + AC
2
2
1 −−→ 1 −→
AB + AC
=
2
2
−−→
−−→
Ici, nous avons utilisé la relation de Chasles et le fait que BK = 21 BC
2 pt
2. Il est immédiat que les coordonnées des points A(0; 0) et K( 12 ; 12 ) vérifient l’équation x−y =
0. D’autre part, par deux points (distincts), il passe une unique droite, d’où x − y = 0 est
une équation cartésienne de la droite (AK).

2 pt

−→
−1
3. Les coordonnées du vecteur directeur BJ sont  , ainsi une équation cartésienne de
1
2
la droite (BJ) est de la forme : 12 x + y + c = 0 et on a
cartésienne de la droite (BJ) est
1
1
x+y− =0
2
2
×2
⇐⇒
37
1
2
× 1 = −c. D’où, une équation
x + 2y − 1 = 0
Première S
2 pt
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2014/2015
4. Soit G(x; y) le point d’intersection de la droite (AK) et (BJ). Alors, on a
(
x−y
x + 2y − 1
(
x =y
3y = 1
(
x = 31
y = 13
⇐⇒
⇐⇒
=0
=0
D’où, le point G est de coordonnées ( 13 ; 31 ).

2 pt
−→

5. Les coordonnées du vecteur CI sont 
1
2


 ainsi une équation cartésienne de la droite
−1
(CI) est
1
1
×2
x + y − (0 + × 1) = 0
⇐⇒
2x + y − 1 = 0
2
2
Remarque : Pour déterminer c, on a utilisé la relation c = −axC −byC comme C appartient
à la droite (CI).
1 pt
6. Notons que le point G appartient à la droite (CI) car 2 × 13 + 13 − 1 = 0. Ainsi, on en déduit
que les médianes (AK), (BJ) et (CI) du triangle ABC sont concourantes en le point G,
appelé centre de gravité.
38
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2014/2015
Devoir maison 4 : Nombre dérivé
pour le vendredi 19 décembre 2014
Exercice 1 (exercice 24 page 89). Soit f : [−5; 5] → R définie par f (x) = x3 .
1. Établir la relation x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) pour tous réels x et y.
2.
a) En déduire une factorisation de (2 + h)3 − 8.
b) Déterminer alors le nombre dérivé de la fonction f en 2.
3. On note d la droite d’équation y = f 0 (2)(x − 2) + f (2).
a) Vérifier que l’équation de d se réécrit ainsi : y = 12x − 16.
b) Avec geogbra ou sur feuille, tracer le graphe de la fonction f et la droite d. Vérifier
que d semble bien être la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point
d’abscisse 2.
Exercice 2. Préciser sur quelle partie de R, la fonction f est dérivable et calculer f 0 (x).
1. f (x) = x2 − 1 ;
2. f (x) = 3x4 − 2x3 + x2 − x + 13 ;
3. f (x) = (x + 1)2 − 3 ;
4. f (x) =
1
x
+ x.
Exercice 3. Soit f, g :]0; 1[→ R définies par f (x) = x2 + x − 2 et g(x) = x − 1.
1. Calculer f 0 (x) et g 0 (x).
2. Développer l’expression (x2 + x − 2)(x − 1).
3. On pose h :]0; 1[→ R définie par h(x) = f (x) × g(x).
a) À l’aide de l’expression développée de la question 2., calculer h0 (x).
b) Comparer h0 (x) et le produit f 0 (x) × g 0 (x).
c) Vérifier que, par contre, on a la relation suivante :
h0 (x) = f 0 (x) × g(x) + f (x) × g 0 (x)
4. On pose k :]0; 1[→ R définie par k(x) =
f (x)
g(x) .
a) Écrire sous forme factorisée le polynôme du second degré x2 + x − 2.
b) En déduire que k(x) = x + 2 pour tout x ∈]0; 1[.
c) Calculer k 0 (x) à l’aide de la relation précédente.
d) Comparer k 0 (x) avec
f 0 (x)
g 0 (x) .
e) Vérifier que, par contre, on a la relation suivante :
k 0 (x) =
f 0 (x) × g(x) − f (x) × g 0 (x)
(g(x))2
39
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2014/2015
Devoir maison 4 : Nombre dérivé
(corrigé)
Exercice 1 (exercice 24 page 89). Soit f : [−5; 5] → R définie par f (x) = x3 .
1 pt
1. Soit x et y deux nombres réels, alors, en développant, on a
2
2
2
(x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 + xyZ
−
xyZ
− y 3 = x3 − y 3
x2
y +Z
yx
−Z
1 pt
2.
a) On en déduit que
(2 + h)3 − 8
=
(2 + h)3 − 23
=
(2 + h − 2)((2 + h)2 + (2 + h) × 2 + 22 )
=
h(4 + 4h + h2 + 4 + 2h + 4)
=
h(12 + 6h + h2 )
pour tout nombre réel h.
2 pt
b) Soit h un nombre réel non nul (tel que 2 + h soit dans l’intervalle [−5; 5]), alors le
taux d’accroissement de 2 à 2 + h est égal à
(2 + h)3 − 23
h(12 + 6h + h2 )
=
= 12 + 6h + h2
h
h
Donc
lim
h→0
(2 + h)3 − 23
= 12
h
Ainsi f est dérivable en 2 et le nombre dérivé de f en 2 est f 0 (2) = 12.
3. On note d la droite d’équation y = f 0 (2)(x − 2) + f (2).
1 pt
a) On a vu que f 0 (2) = 12, f (2) = 23 = 8, d’où l’équation de d se réécrit ainsi :
y = 12(x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
0.5 pt
b) Tracons le graphe de la fonction f et la droite d :
y
28
24
20
16
12
8
4
−1
x
0
1
2
3
Effectivement la droite d semble bien être la tangente à la courbe représentative de
la fonction f au point d’abscisse 2.
40
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Exercice 2. Préciser sur quelle partie de R, la fonction f est dérivable et calculer f 0 (x).
1 pt
1 pt
1. La fonction f (x) = x2 − 1 est une fonction polynôme, donc dérivable sur R et on a
f 0 (x) = 2x ;
2. La fonction f (x) = 3x4 − 2x3 + x2 − x + 13 est aussi une fonction polynôme, donc dérivable
sur R et on a
f 0 (x) = 3 × 4x3 − 2 × 3x2 + 2x − 1 = 12x3 − 6x2 + 2x − 1
1 pt
1 pt
3. La fonction f (x) = (x + 1)2 − 3 = x2 + 2x − 2 est aussi une fonction polynôme, donc
dérivable sur R et on a f 0 (x) = 2x − 2 ;
4. La fonction f (x) = x1 + x est une somme de la fonction inverse dérivable sur R∗ et de la
+ 1.
fonction identité dérivable sur R. Donc, f est dérivable sur R∗ et f 0 (x) = −1
x2
Exercice 3. Soit f, g :]0; 1[→ R définies par f (x) = x2 + x − 2 et g(x) = x − 1.
1 pt
1. On a f 0 (x) = 2x + 1 et g 0 (x) = 1.
1 pt
2. Développons l’expression (x2 + x − 2)(x − 1) = x3 + x2 − 2x − x2 − x + 2 = x3 − 3x + 2.
1 pt
3. On pose h :]0; 1[→ R définie par h(x) = f (x) × g(x).
1 pt
1 pt
1 pt
a) À l’aide de l’expression développée de la question 2., on a h0 (x) = 3x2 − 3.
b) D’autre part f 0 (x) × g 0 (x) = (2x + 1) × 1 = 2x + 1 est différent de 3x2 − 3. Donc
(f (x) × g(x))0 6=f 0 (x) × g 0 (x) pour tout x dans ]0; 1[.
c) Par contre, f 0 (x) × g(x) + f (x) × g 0 (x) = (2x + 1)(x − 1) + (x2 + x − 2) × 1 = 3x2 − 3 =
h0 (x), on a donc la relation suivante :
(f (x) × g(x))0 = f 0 (x) × g(x) + f (x) × g 0 (x)
4. On pose k :]0; 1[→ R définie par k(x) =
1.5 pt
f (x)
g(x) .
a) Le discriminant du polynôme du seconde degré x2 +x−2 est ∆ = 12 −4×1×(−2) = 9
et donc ses deux racines sont
√
−1 − 9
−1 + 3
x1 =
= −2
et
x2 =
=1
2
2
D’où, la forme factorisée le polynôme du second degré x2 + x − 2 est
x2 + x − 2 = a(x − x1 )(x − x2 ) = (x − (−2))(x − 1) = (x + 2)(x − 1).
1 pt
b) On en déduit que
k(x) =
x2 + x − 2
(x + 2)
(x
−1)
==
=x+2
x−1
x−
1
pour tout x ∈]0; 1[.
1 pt
c) Ainsi, à l’aide de la relation précédente, k 0 (x) = 1.
1 pt
d) D’autre part, on a
f 0 (x)
g 0 (x)
=
2x+1
1
= 2x + 1 6= 1. D’où
41
0 (x)
f (x) 0
6= fg0 (x)
.
g(x)
Première S
1 pt
Lycée Jean Vilar
e) Par contre,
f 0 (x) × g(x) − f (x) × g 0 (x)
(g(x))2
(2x + 1)(x − 1) − (x2 + x − 2) × 1
=
(x − 1)2
2
2x − 2x + x − 1 − x2 − x + 2
=
(x − 1)2
2
x − 2x + 1
=
(x − 1)2
2
(x
−
1)
= (x
− 1)2
= 1
Ainsi, on a la relation suivante :
f (x)
f (x)
0
=
f 0 (x) × g(x) − f (x) × g 0 (x)
(g(x))2
42
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
Devoir sur table 4 : Nombre dérivé
Vendredi 9 janvier 2015
Sujet A
1. (u × v)0 =
2. ( u1 )0 =
3. Si f (x) = x3 , alors f 0 (x) =
4. Si f (x) =
√
x, alors f 0 (x) =
5. Si f (x) = 3x2 − 5x + 43 , alors f 0 (x) =.
6. Si f (x) = (x + 1)(x − 2), alors f 0 (x) =
7. Si f (x) =
x+1
x−2 ,
alors f 0 (x) =
43
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
Devoir sur table 4 : Nombre dérivé
Vendredi 9 janvier 2015
Sujet B
1. ( uv )0 =
2. ( v1 )0 =
3. Si f (x) = x2 , alors f 0 (x) =
4. Si f (x) = x1 , alors f 0 (x) =
5. Si f (x) = −7x2 + 10x − 43 , alors f 0 (x) =
6. Si f (x) = (x − 1)(x + 2), alors f 0 (x) =
7. Si f (x) =
x−1
x+2 ,
alors f 0 (x) =
44
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison 5 : Probabilités et suites
pour le vendredi 13 février 2015
Exercice 1. On lance un dé dodécaédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1
à 12.
Si la face obtenue est paire, le joueur gagne 1 point.
Si la face obtenue est un multiple de 3, le joueur gagne 3 points.
Si la face obtenue est supérieure ou égale à 10, le joueur gagne 4 points.
Sinon le joueur perd 5 points.
Ces gains sont cumulables si la face obtenue réalise plusieurs de ces conditions.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe à un lancer le gain
obtenu.
2. Déterminer l’espérance mathématique E(X) de X. Ce jeu est-il équitable ?
3. Quel montant devrait-on réclamer au joueur lorsqu’il perd pour que le jeu soit équitable ?
Exercice 2. On considère la suite (vn )n∈N définie par
(
v0 = 2;
vn+1 = 2vn − 1
pour tout n ≥ 0
1. Calculer v1 , v2 et v3 .
2. Dans algobox taper le programme suivant :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
v EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
v PREND_LA_VALEUR 2
AFFICHER "\nv_0 = "
AFFICHER v
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
v PREND_LA_VALEUR 2*v - 1
AFFICHER "\nv_"
AFFICHER k
AFFICHER " = "
AFFICHER v
FIN_POUR
18: FIN_ALGORITHME
Expliquer ce que fait ce programme.
3. Pour tout entier naturel n, on pose un = vn − 1.
a) Montrer que la suite (un )n∈N est géométrique.
b) Exprimer un en fonction de n
c) En déduire vn en fonction de n.
4. Utilisation de l’outil informatique :
Écrire un programme qui demande l’entier n à l’utilisateur et retourne la somme des n
premiers termes de la suite (vn ), c’est-à-dire le nombre v0 + v1 + . . . + vn .
5. Raisonnement mathématiques : Soit n un entier naturel.
45
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
a) Exprimer u0 + . . . + un en fonction de n.
b) En déduire que v0 + . . . + vn = 2n+1 + n.
6. Pour n = 10, comparer les résultats obtenues aux questions 4. et 5.
Exercice 3 (Faculatif). On considère (un ) la suite de Fibonacci définie par :



u0
u
1


u
n+2
=1
=1
= un+1 + un
pour tout entier naturel n.
1. Calculer u2 , u3 , u4 .
2. Résoudre l’équation
x2 − x − 1 = 0
On note p la plus petite racine et q la plus grande racine des deux.
3. En factorisant par p et en utilisant l’équation (E), calculer p3 − p2 − p.
4. Généralisation, soit n un entier naturel, montrer que pn+2 − pn+1 − pn = 0.
5. De même, montrer que pour tout entier naturel n, on a q n+2 − q n+1 − q n = 0.
6. On pose vn =
√
5− 5
10
pn +
√
5+ 5
10
q n pour tout entier n.
a) Calculer v0 , v1 , v2 .
b) Justifier que les suites (un ) et (vn ) sont égales.
7. Calculer u20 .
46
(E)
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2014/2015
Devoir maison 5 : Probabilités et suites
corrigé
Exercice 1. On lance un dé dodécaédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1
à 12.
Si la face obtenue est paire, le joueur gagne 1 point.
Si la face obtenue est un multiple de 3, le joueur gagne 3 points.
Si la face obtenue est supérieure ou égale à 10, le joueur gagne 4 points.
Sinon le joueur perd 5 points.
Ces gains sont cumulables si la face obtenue réalise plusieurs de ces conditions.
1. Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe à un lancer le gain
obtenu.
Dans un premier temps, nous allons déterminer le gain du joueur en fonction du résultat
obtenu avec le dé.
dé
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
gain
-5
1
3
1
-5
1+3=4
-5
1
3
1+4=5
4
1+3+4=8
On en déduit la loi de la variable alétoire X :
x
-5
1
3
4
5
8
P(X = x)
1
4
1
4
1
6
1
6
1
12
1
12
2. L’espérance mathématique de X est
E(X) =
1
1
1
1
1
1
× (−5) + × 1 + × 3 + × 4 +
×5+
× 8 = 1.25
4
4
6
6
12
12
Comme, le gain moyen n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable.
3. Posons m le nombre de points qu’on devrait perdre pour que le jeu soit équitable. Ainsi,
au lieu d’avoir P (X = −5) = 41 , on a P (X = −m) = 14 . D’où
E(X) =
1
1
1
1
1
1
1
× (−m) + × 1 + × 3 + × 4 +
×5+
× 8 = − m + 2.5 = 0
4
4
6
6
12
12
4
implique que m = 10. En résumé, pour que le jeu soit équitable il faut remplacer la perte
de 5 points par une perte de 10 points.
Exercice 2. On considère la suite (vn )n∈N définie par
(
v0 = 2;
vn+1 = 2vn − 1
pour tout n ≥ 0
1. À l’aide de la relation de récurrence qui définie la suite (vn ), on a v1 = 3, v2 = 5, v3 = 9.
2. Dans algobox taper le programme suivant :
1:
2:
3:
4:
VARIABLES
47
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
5: DEBUT_ALGORITHME
6:
LIRE n
7:
v PREND_LA_VALEUR 2
8:
AFFICHER "\nv_0 = "
9:
AFFICHER v
10:
11:
DEBUT_POUR
12:
13:
AFFICHER "\nv_"
14:
AFFICHER k
15:
AFFICHER " = "
16:
AFFICHER v
17:
FIN_POUR
18: FIN_ALGORITHME
Le précédent programme demande à l’utilisateur un entier n et ensuite affiche les n + 1termes v0 , v1 , . . . , vn de la suite.
3. Pour tout entier naturel n, on pose un = vn − 1.
a) Montrons que la suite (un )n∈N est géométrique : Soit n un entier naturel,
un+1
vn+1 − 1
2(vn − 1)
=
= 2vn − 1 − 1vn − 1 =
=2
un
vn − 1
vn − 1
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 2un . Ainsi, la suite (un ) est bien
géométrique de raison 2.
b) Soit n un entier naturel, d’après le cours, un = u0 × q n = 1 × 2n = 2n .
c) Par définition, un = vn − 1, d’où, pour tout entier naturel n, vn = un + 1 = 2n + 1.
4. Utilisation de l’outil informatique :
Voici un programme qui demande l’entier n à l’utilisateur et retourne la somme des n
premiers termes de la suite (vn ), c’est-à-dire le nombre v0 + v1 + . . . + vn .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
VARIABLES
S EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
v PREND_LA_VALEUR 2
S PREND_LA_VALEUR 2
DEBUT_POUR
// à ce moment dans le programme la variable v est égale à v_k
S PREND_LA_VALEUR S + v
// S = (v_0 + ... + v_(k-1) ) + v_k
FIN_POUR
AFFICHER "v_0 + v_1 + ... + v_n = "
AFFICHER S
FIN_ALGORITHME
5. Raisonnement mathématiques : Soit n un entier naturel.
a) D’après le cours et la question 3.b), u0 +. . .+un = 1+2+. . .+2n =
b) Si l’on revient à la définition de un , on en déduit que
v0 + v1 + . . . + vn
2n+1 −1
2−1
=
(u0 + 1) + (u1 + 1) + . . . + (un + 1)
=
u0 + . . . + un + 1 + . . . + 1
| {z }
=
2n+1 − 1 + n + 1
=
2n+1 + n
n+1 fois
48
= 2n+1 −1.
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2014/2015
6. Pour n = 10, la somme v0 + . . . + v10 vaut 211 + 10 = 2058 et on trouve le même résultat
à l’aide du programme précédent.
Exercice 3. On considère (un ) la suite de Fibonacci définie par :


u0

u
1


u
n+2
=1
=1
= un+1 + un
pour tout entier naturel n.
1. On note que
u2 = u1 + u0 = 2,
u3 = u2 + u1 = 2 + 1 = 3
et
u4 = u3 + u2 = 3 + 2 = 5
2. Résolvons l’équation du second degré
x2 − x − 1 = 0.
Son discriminant est ∆ = b2 −4 a c = (−1)2 −4×1×(−1) = 5. D’où, deux racines p =
√
(E)
√
1− 5
2
et q = 1+2 5 .
On notera une analogie entre les exposants de l’équation x2 − x1 − 1 = 0 et les indices dans
la relation de récurrence définissant la suite de Fibonacci : un+2 − un+1 − un = 0.
La technique que nous allons mettre en oeuvre dans la suite de l’exercice se généralise
aux suites numériques récurrentes linéaires (Pour en savoir un peu plus, voir : http:
// fr. wikipedia. org/ wiki/ Suite_ récurrente_ linéaire ).
3. En factorisant par p et en utilisant l’équation (E), on note que p3 − p2 − p = p(p2 − p − 1) =
p × 0 = 0.
4. Généralisation, soit n un entier naturel, on note de même que
pn+2 − pn+1 − pn = pn p2 − pn p − pn = pn (p2 − p − 1) = pn × 0 = 0
5. De même, comme q est aussi une racine de la précédente équation du seconde degré, on
déduit que pour tout entier naturel n,
q n+2 − q n+1 − q n = q n (q 2 − q − 1) = q n × 0 = 0
6. On pose vn =
a) On a
√
5− 5
10
pn +
v0
√
5+ 5
10
=
=
v1
=
=
=
=
=
=
q n pour tout entier n.
√
√
5− 5 0 5+ 5 0
p +
q
10√
√10
5− 5 5+ 5
+
=1
10√
10 √
5− 5 1 5+ 5 1
p +
q
10√
√10
√ √ 5− 5 1− 5
5+ 5 1+ 5
+
10
2
10
2
√ √ √ √ 5− 5 1− 5
5+ 5 1+ 5
+
10
2
10
2
√
√
√
√ 1 (5 − 5)(1 − 5) + (5 + 5)(1 + 5)
20
√
√
1 5 + −6 5 + 5 + 5 + 6 5 + 5
20
1
49
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
Comme p et q sont des racines de l’équation (E), on en déduit que p2 = p + 1 et
q 2 = q + 1, d’où
v2
=
√
√
5− 5 2 5+ 5 2
p +
q
10√
10
√
5+ 5
5− 5
(p + 1) +
(q + 1)
10√
√ 10
√
√
5− 5
5+ 5
5− 5 5+ 5
p+
q+
+
10
10
10
10
v1 + v0
=
2
=
=
=
b) Soit n un entier naturel, d’après les questions 2. et 3., on a que pn+2 = pn+1 + pn et
q n+2 = q n+1 + q n . Ainsi, comme dans la question précédente, on note que
vn+2
=
=
=
vn+2
=
√
√
5 − 5 n+2 5 + 5 n+2
p
+
q
10√
10
√
5 − 5 n+1
5 + 5 n+1
(p
+ pn ) +
(q
+ qn )
10√
10
√
√
√
5 − 5 n+1 5 + 5 n+1 5 − 5 n 5 + 5 n
p
+
q
+
p +
q
10
10
10
10
vn+1 + vn
On vient donc de voir que les suites (un ) et (vn ) ont leurs deux premiers termes qui
sont égaux et vérifient la même relation de récurrence. Ainsi, par récurrence, les deux
suites sont égales.
7. On en déduit que u20 = v20 =
√
5− 5
10
p20 +
√
5+ 5
10
q 20 = 10 946.
Dans cette exercice, on vient de voir que la croissance de la suite de Fibonacci est analogue à
celle d’une suite géométrique. On dit d’ailleurs, que la croissance est exponentielle. Voici une
illustration graphique :
Suite de Fibonacci
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
50
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2014/2015
Devoir sur table 5 : Nombre dérivé et Probabilités
mardi 3 février 2015
Exercice 1. Calculer les dérivées des fonctions f :]3; 10[→ R suivantes :
1. f (x) = 4x3 + 5x2 − 3x + 154 ;
2. f (x) =
1
x
+ 4;
3. f (x) = (x3 + x − 5)(3x + 7) ;
4. f (x) =
1
3x+4
;
√
5. f (x) = 1 + 3 x.
Exercice 2. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x3 − 9x et Cf sa courbe représentative
dans un repère du plan. Soit A et B deux points distincts de la courbe Cf , d’abscisses respectives
a = −3 et b = 3.
1. Écrire f (x) sous forme d’un produit de trois facteurs.
2. Calculer l’ordonnée des points A et B.
3. Déterminer la fonction dérivée f 0 de la fonction f .
4. Montrer que l’équation, d’inconnue x, f 0 (x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 .
5. Est-ce que les tangentes à Cf aux points d’abscisses x1 et x2 sont parallèles à la droite
(AB) ? Justifier.
Exercice 3. Un sac contient les jetons numérotés ci-dessous.
1
2
1
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
On pioche au hasard un jeton du sac.
1. Un jeu est organisé ainsi : pour une mise de trois euros, on gagne autant d’euros qu’indiqué
sur le jeton. On définit la variable aléatoire X qui associe le bénéfice d’un joueur.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs que X peut prendre.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’expérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X et interpréter ce
résultat.
d) Calculer l’écart type σ(X).
2. Pour rendre ce jeu équitable (c’est-à-dire tel que E(X) = 0), on décide de modifier le gain
correspondant au jeton numéroté 6.
Déterminer le gain à effectuer au tirage du jeton numéro 6.
Exercice 4. Soit a et b deux nombres réels. Soit X une variable aléatoire de loi :
51
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
xi
x1
x2
...
xn
P(X = xi )
p1
p2
...
pn
Posons Y = aX + b.
1. On suppose que n = 3.
a) Quelles sont les valeurs que Y peut prendre ?
b) Déterminer P(Y = ax1 + b).
c) Déterminer la loi de Y .
d) En déduire que E(Y ) = aE(X) + b.
2. On suppose n quelconque, démontrer que E(Y ) = aE(X) + b.
52
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 5 : Nombre dérivé et Probabilités
corrigé
Exercice 1. Calculer les dérivées des fonctions f :]3; 10[→ R suivantes :
1. f (x) = 4x3 + 5x2 − 3x + 154, f 0 (x) = 12x2 + 10x − 3 ;
2. f (x) =
1
x
+ 4, f 0 (x) =
−1
x2
;
3
3. f (x) = (x + x − 5) (3x + 7), d’où
|
{z
u(x)
}|
{z
v(x)
f 0 (x)
}
=
3
(3x2 + 1) (3x + 7) + (x3 + x − 5) × |{z}
{z
}
| {z } | {z } |
u0 (x)
4. f (x) =
1
3x+4
=
v(x)
u(x)
v 0 (x)
=
9x3 + 21x2 + 3x + 7 + 3x3 + 3x − 15
=
12x3 + 21x2 + 6x − 8
1
u(x) ,
f 0 (x) =
√
5. f (x) = 1 + 3 x, f 0 (x) = 3 ×
1
√
2 x
=
−3
−u0 (x)
=
2
[u(x)]
(3x + 4)2
3
√
.
2 x
Exercice 2. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x3 − 9x et Cf sa courbe représentative
dans un repère du plan. Soit A et B deux points distincts de la courbe Cf , d’abscisses respectives
a = −3 et b = 3.
1. On note que f (x) = x3 − 9x = x(x2 − 9) = x(x − 3)(x + 3).
2. L’ordonnée du point A est f (a) = f (−3) = −3(−3 − 3)(−3 + 3) = 0 et l’ordonnée du point
B est f (b) = f (3) = 3(3 − 3)(3 + 3) = 0.
3. La fonction dérivée f 0 de la fonction f est définie par f 0 (x) = 3x2 − 9.
√
√
4. Notons que f 0 (x) = 3x2 − 9 = 3(x2 − 3) = √
3(x − 3)(x√+ 3), ainsi l’équation, d’inconnue
x, f 0 (x) = 0 admet deux solutions x1 = − 3 et x2 = 3.
5. Est-ce que les tangentes à Cf aux points d’abscisses x1 et x2 sont parallèles à la droite
(AB) ? Oui.
En effet comme l’ordonnée de A est égale à celle de B, la droite (AB) est horizontale et donc
son coefficient directeur est nul. D’autre part, le nombre dérivée en x1 (respectivement x2 )
est le coefficient directeur de la tangente en x1 (respectivement x2 ). Deux droites ayant le
même coefficient directeur sont parallèles.
53
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Lycée Jean Vilar
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
−3
√
−2− 3
−1
2014/2015
y
Cf
√
1
0−1
3
B
2
3
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
Exercice 3. Un sac contient les jetons numérotés ci-dessous.
1
2
1
3
2
1
4
3
2
1
5
4
5
3
2
1
6
4
3
2
1
On pioche au hasard un jeton du sac.
1. Un jeu est organisé ainsi : pour une mise de trois euros, on gagne autant d’euros qu’indiqué
sur le jeton. On définit la variable aléatoire X qui associe le bénéfice d’un joueur.
a) Les différents gains possibles à ce jeu sont −3+1 = −2, −3+2 = −1, −3+3 = 0, −3+
4 = 1, 2, 3. D’où l’ensemble des valeurs que X peut prendre est {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
b) On note qu’il y a 6×7
2 = 21 jetons dans le sac. L’événement "X=-2" correspond à
l’événement tirer une boule avec le numéro 1. Comme, il y a 6 jetons avec le numéro
6
un et que l’expérience est équiprobable, on a P(X = −2) = 21
= 72 . De même, on
compléte le tableau de probabilités suivant :
xi
P(X = xi )
-2
-1
0
1
2
3
2
7
5
21
4
21
1
7
2
21
1
21
c) L’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est
E(X) =
2
5
4
1
2
1
−7
−1
× (−2) +
× (−1) +
×0+ ×1+
×2+
×3=
=
7
21
21
7
21
21
21
3
En moyenne, le joueur perd environ 33 cents.
54
x
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2014/2015
d) Notons que la moyenne quadratique est :
E(X 2 ) =
2
5
4
1
2
1
7
× (−2)2 +
× (−1)2 +
× 02 + × 12 +
× 22 +
× 32 =
7
21
21
7
21
21
3
D’où la variance de X est V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 =
type de X est σ(X) =
q
20
3
7
3
2
− ( −1
3 ) =
20
3 .
Ainsi, l’écart
' 1.49.
2. Pour rendre ce jeu équitable (c’est-à-dire tel que E(X) = 0), on décide de modifier le gain
correspondant au jeton numéroté 6.
Notons a le gain du joueur lorsqu’il tire le jeton numéro 6, alors la loi de X est :
xi
P(X = xi )
-2
-1
0
1
2
a
2
7
5
21
4
21
1
7
2
21
1
21
D’où,
E(X) = 0
5
4
1
2
1
2
× (−2) +
× (−1) +
×0+ ×1+
×2+
×a = 0
7
21
21
7
21
21
−10 + a
= 0
21
a = 10
Ainsi, pour que le jeu soit équitable, il faut que le gain associé au jeton numéro 6 soit de
a + 3 = 13 e .
Exercice 4. Soit a et b deux nombres réels. Soit X une variable aléatoire de loi :
xi
x1
x2
...
xn
P(X = xi )
p1
p2
...
pn
Posons Y = aX + b, démontrer que E(Y ) = aE(X) + b.
Dans un premier temps, supposons que n = 3, alors la loi de X est
xi
x1
x2
x3
P(X = xi )
p1
p2
p3
Ainsi, la loi de Y est
yi
ax1 + b
ax2 + b
ax3 + b
P(Y = yi )
p1
p2
p3
et donc, on a
E(Y )
=
p1 (ax1 + b) + p2 (ax2 + b) + p3 (ax3 + b)
= ap1 x1 + bp1 + ap2 x2 + bp2 + ap3 x3 + bp3
= a(p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 ) + b(p1 + p2 + p3 )
= aE(X) + b × 1
E(aX + b)
=
aE(X) + b
55
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2014/2015
La preuve dans le cas général pour n quelconque est la suivante :
E(aX + b)
=
n
X
pi (axi + b)
i=0
=
p
n
X
X
a(
pi xi ) + b(
pi )
i=1
= aE(X) + b × 1
= aE(X) + b
56
i=1
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Devoir sur table 6 : Les suites numériques
mardi 3 mars 2015
Sujet A
On privilégiera l’utilisation des formules du cours aux outils de la calculatrice.
1. On considère la suite (un ) définie par
(
u0
un+1
=1
= 3 un − 1
Calculer u1 , u2 , u3 et u4 .
2. Soit (un ) la suite arithmétique de raison -2 et de termine initial u0 = 5. Calculer u1 et u10 .
3. Soit (un ) la suite géométrique de raison 1.5 et de termine initial u0 = 3. Calculer u1 et
u10 .
4. Calculer la somme des dix premiers entiers 1 + 2 + . . . 10.
5. Calculer la somme de puissances suivante : 1 + 5 + . . . + 55 .
6. Calculer la somme de puissances suivante : 1 − 5 + . . . − 55 .
57
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2014/2015
Devoir sur table 6 : Les suites numériques
mardi 3 mars 2015
Sujet B
On privilégiera l’utilisation des formules du cours aux outils de la calculatrice.
1. On considère la suite (un ) définie par
(
u0
un+1
=1
= 4 un − 1
Calculer u1 , u2 , u3 et u4 .
2. Soit (un ) la suite arithmétique de raison -2 et de termine initial u0 = 6. Calculer u1 et u11 .
3. Soit (un ) la suite géométrique de raison 1.5 et de termine initial u0 = 2. Calculer u1 et
u11 .
4. Calculer la somme des dix premiers entiers 1 + 2 + . . . 12.
5. Calculer la somme de puissances suivante : 1 + 4 + . . . + 45 .
6. Calculer la somme de puissances suivante : 1 − 4 + . . . − 45 .
58
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2014/2015
Exercices pour les révisions
Lundi 23 février 2015
Exercice 1 (54 page 146). On a consigné sur un tableau les résultats de mesures expérimentales
obtenues lors de l’étude d’une population de bactéries.
Différence an+1 − an
Quotient
an+1
an
Heures
population bactérie A
0
10 000
1
12 400
2400
1,2400
2
15 405
3005
1,2423
3
19 082
3677
1,2387
4
23 651
4569
1,2394
5
29 304
5653
1,2390
6
36 361
7057
1,2408
On note an le nombre de bactéries au bout de n heures.
1. Dans les troisièmes et quatrèmes colonnes ont a calculé les différences et les quotients
successifs.
2. On note que les quotients successifs sont tous environs égaux à 1.24. On pourrait donc
modéliser l’évolution de la population de bactéries par une suite géométrique de raison
q = 1.24 et de terme initial a0 = 10 000.
3. D’après ce modèle, il y aura a12 = 10 000×1.2412 ' 132 148 bactéries au bout de 12 heures.
Exercice 2 (55 page 278). Soit ABC un triangle. Les points M , N et P sont tels que
−−→ 3 −→
AM = AC,
2
−−→ 3 −−→
AN = AB
4
et
−−→ 1 −−→
BP = BC
2
1. À l’aide de la relation de Chasles et des relations précédentes, on déduit que
−−→
MN
=
=
=
−−→
NP =
=
=
=
−−→ −−→
M A + AN
3 −→ 3 −−→
− AC + AB
2
4
3 −−→ 3 −→
AB − AC
4
2
−−→ −→
N A + AP
−3 −−→ −−→ −−→
AB + AB + BP
4
1 −−→ 1 −−→ −→
AB + (BA + AC)
4
2
−1 −−→ 1 −→
AB + AC
4
2
Pour réussir à mieux suivre les calculs, il peut être utile de faire une figure...
−−→ −−→
2. De la question précédente, on déduit que −3 N P = M N . Ainsi, par définition, les vecteurs
−−→ −−→
N P et M N sont colinéaires. D’où, les points M , N et P sont alignés.
59
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2014/2015
Autre solution :
−−→ −→
On se place dans le repère (A, AB, AC). D’après la question précédente,

−−→ 
MN 
3
4
−3
2


NP 
et



−1
−−→  4 
1
2

−−→
−−→
−3
On note que 34 × 12 − −1
4 × 2 = 0. Ainsi, les vecteurs N P et M N sont colinéaires et les
points M , N et P sont alignés.
Exercice 3. Soit d1 : 5x − 2y − 1 = 0 et d2 : −10x + 4y + 2 = 0.
1. Le point A(1; 2) appartient à la droite d1 car 5 × 1 − 2 × 2 − 1 = 0. Il appartient aussi à
la droite d2 car −10 × 1 + 4 × 2 + 2 = 0.
2. Si l’on multiplie l’équation déterminant la droite d1 par −2, on obient l’équation de la
droite d2 . Ainsi, les droites d1 et d2 sont confondus et donc pas sécantes.


 
 
5
2
−b
−
−
−
v et →
u   ne sont pas colinéaires.
3. D’après le cours →
v   =  . Or les vecteurs →
2
5
a
→
−
Ainsi, le vecteur u n’est pas un vecteur directeur de la droite d2 .
4. On a vu que les droites d1 et d2 sont confondus, ainsi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Question supplémentaire :
On considère la droite d3 : 3x − 2y + 1 = 0.
5. Montrer que les droites d1 et d3 sont sécantes en un point, dont on déterminera les coordonnées.
Exercice 4 (18 p 193). On suppose que les personnes sont uniformément réparties au sein des
intervalles, ainsi on peut considérer les milieux des intervalles pour le calcul de la moyenne et
de l’écart type.
D’après le sondage l’âge moyen des auditeurs de la radio est de x
¯ ' 17 et l’écart type σx ' 6.
Exercice 5 (99 page 69).
1. La fonction racine carrée est strictement croissante, d’où lorsqu’on la multiplie par un
nombre négatif (l’inégalité change de sens et donc on ne conserve plus l’ordre), par exemple
√
x 7→ −6 x, elle est strictement décroissante. Le fait d’ajouter 2 à l’image ne change pas
√
les variations. On en déduit que la fonction f : [0; +∞[→ R définie par f (x) = 2 − 6 x
est strictement décroissante.
En résumé,
x
√
x
√
−6 x
√
2−6 x
+∞
0
0
0
2
2. La fonction f : R∗ → R, définie par f (x) = 3 −
et sur ]0; +∞[.
60
2
x
est strictement croissante sur ] − ∞; 0[
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2014/2015
3. La fonction f : R∗ → R, définie par f (x) = 3|x| − 1 est strictement décroissante sur
] − ∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
4. La fonction affine u : x 7→ −x + 3 est strictement décroissante car son coefficient directeur
1
1
−1 est négatif. On en déduit que son inverse x 7→ u(x)
= −x+3
est strictement croissante
(la fonction inverse est strictement décroissante, elle renverse l’ordre et change donc les
2
variations). D’où f : R − {3} → R définie par f (x) = −x+3
est strictement croissante.
5. La fonction affine u : x 7→ x−3 est strictement
croissante,
ainsi par composition, la fonction
p
√
f : [3; +∞[→ R, définie par f (x) = u(x) = x − 3 est aussi strictement croissante (la
fonction racine carrée conserve l’ordre et les variations...).
Exercice 6 (2 page 167). Déterminons le coefficient directeur de la tangente à la courbe C :
y = 2x3 − 3x + 5 au point d’abscisse 0.
On pose f : R → R, définie par f (x) = 2x3 − 3x + 5. Alors f 0 (x) = 6x2 − 3 et donc le coefficient
directeur est f 0 (0) = −3.
Au passage, on peut dérerminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 :
y
= f 0 (0)(x − 0) + f (0)
y
= −3x + 5
y
15
C
10
1
5
f 0 (0) = −3
x
−2
−1
1
0
61
2
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2014/2015
Devoir maison n◦ 6 : Étude de fonction et trigonométrie
pour le jeudi 26 mars 2015
Exercice 1. Déterminer le domaine de définition, justifier la dérivabilité sur le domaine, calculer
la dérivée f 0 , puis dresser le tableau de variation complet des fonctions f suivantes :
1. f (x) = x2 + x + 1 ;
2. f (x) =
2x−1
5−3x .
Exercice 2. Le coût moyen journalier, en euros, d’un équipement industriel en fonction de la
durée d’utilisation est modélisé par la fonction CM définie sur l’intervalle [200; 4 000] par :
CM (x) = 1 500 + 2x +
2 000 000
x
où x est exprimé en jours.
0 (x) et montrer que
1. Calculer la dérivée CM
0
CM
(x) =
2(x − 1 000)(x + 1 000)
x2
0 (x) sur [200; 4 000].
2. Déterminer le tableau de signe de la dérivée CM
3. En déduire, le tableau de variation de la fonction CM (x) sur [200; 4 000].
4. Déterminer, en jours, la durée d’utilisation de l’équipement qui correspond à un coût moyen
journalier minimal et donner en euros, ce coût moyen journalier minimal.
Exercice 3.
1. Transformer cos(t − π4 ) et sin(t − π4 ).
2. Résoudre dans R les équations :
√
a) cos(t) + sin(t) = 2 ;
√
b) cos(t) − sin(t) = 2 ;
Exercice 4 (Le pentagone). On considère les points A, B, C et D sur le cercle trigonométrique
tels que
−→ −→
2π
,
(OI, OA) =
5
−→ −−→
4π
(OI, OB) =
,
5
−→ −−→
6π
(OI, OC) =
5
J
A
B
I
O
C
D
62
et
−→ −−→
8π
(OI, OD) =
5
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1.
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2014/2015
−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
a) Déterminer une mesure des angles (OI, OA), (OA, OB), (OB, OC), (OC, OD),
−−→ −→
(OD, OI).
b) Quelle est la nature du polygone IABCD ?
−−→ −
→ −→ −−→ −−→ −→
2. Déterminer une mesure des angles (AB, AI), (BI, BA), (BC, IB).
3. Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D.
−→ −→ −−→ −−→ −−→
−
4. Soit →
u = OI + OA + OB + OC + OD.
−
L’objectif de cette question, au travers de l’étude du vecteur →
u , est de montrer l’identité
suivante :
4π
2π
1
cos( ) + cos( ) + = 0
(?)
5
5
2
−
a) Exprimer l’abscisse de →
u en fonction de cos( 2π ) et de cos( 4π ).
5
5
b) Montrer que (OC) est la médiatrice du segment [AI] et du segment [BD].
−→ −→
−−→
c) En déduire que OA + OI est colinéaire à OC.
−→ −→ −−→ −−→ −−→
−−→
−
d) Montrer que →
u = OI + OA + OB + OC + OD est colinéaire à OC.
−→
−
e) De même, montrer que →
u est colinéaire à OA.
−
f) En déduire que →
u est le vecteur nul et ensuite l’équation (?).
5.
a) À l’aide de l’identité (?) et des formules de trigonométrie, montrer qu’on a
4 cos2 (
2π
2π
) + 2 cos( ) − 1 = 0
5
5
b) Déterminer les racines de l’équation du second degré 4x2 + 2x − 1 = 0.
c) En déduire que
2π
−1 +
cos( ) =
5
4
√
5
6. Construction à la règle et au compas :
−→ −→
1
Dans un repère (O; OI; OJ) orthonormée, on considère les points K( −1
4 ; 0), L(0; 2 ) et M
le point d’intersection du cercle de centre K passant par L et de l’axe des abscisses.
a) Faire une figure avec les 3 points.
b) Montrer que OM =
√
−1+ 5
.
4
c) Suggérer une construction à la règle et au compas du pentagone régulier et la réaliser
sur votre feuille.
63
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2014/2015
Devoir maison n◦ 6 : Étude de fonction et trigonométrie
corrigé
Exercice 1.
1. On considère la fonction polynôme du seconde degré f définie par f (x) =
x2 + x + 1, son domaine de définition est R. Sa dérivée est définie par f (x) = 2x + 1. D’où,
le tableau de variation de f :
− 21
−∞
x
f 0 (x) = 2x + 1
-
+∞
+
0
f (x) = x2 + x + 1
3
4
2. On considère maintenant la fonction f définie par f (x) = 2x−1
5−3x . Pour que f (x) soit définie,
il faut et il suffit que 5 − 3x soit non nul, or 5 − 3x = 0 implique que x = 53 . Ainsi, le
domaine de définition de la fonction f est Df = R \ { 35 }.
La dérivée de f est définie par
f 0 (x) =
7
2(5 − 3x) − (−3)(2x − 1)
=
.
2
(5 − 3x)
(5 − 3x)2
Comme le dénominateur de f 0 (x) est une expression non nul au carrée, on déduit que
f 0 (x) > 0. Ainsi, f est strictement croissante sur les intervalles ] − ∞; 53 [ et ] 53 ; +∞[.
Exercice 2. Le coût moyen journalier, en euros, d’un équipement industriel en fonction de la
durée d’utilisation est modélisé par la fonction CM définie sur l’intervalle [200; 4 000] par :
CM (x) = 1 500 + 2x +
2 000 000
x
où x est exprimé en jours.
0 (x) = 2 + 2000000 ×
1. La dérivée de la fonction CM (x) est CM
x > 0, on a
−1
.
x2
D’autre part, pour tout
2(x − 1 000)(x + 1 000)
2(x2 − 10002 )
2x2 − 2000000
0
=
=
= CM
(x)
x2
x2
x2
0 (x) est celui du
2. Notons que pour tout x non nul, x2 est positif et ainsi le signe de CM
précédent numérateur 2(x − 1000)(x + 1000). On déterminera le signe plus précisément
dans la question suivante.
3. Le tableau de variation de la fonction CM (x) sur [200; 4 000] est
x
200
1 000
4 000
x + 1000
+
+
x − 1000
−
0
+
0 (x)
CM
−
0
+
11 900
10 000
CM (x)
5 500
64
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2014/2015
4. Sur 1000 jours, le coût moyen journalier est minimal et vaut 5 500 euros.
Exercice 3.
1. D’après les formules de trigonométrie, on a
√
π
2
π
π
cos(t − ) = cos(t) cos( ) + sin(t) sin( ) =
(cos(t) + sin(t))
4
4
4
2
et
√
2
π
π
π
sin(t − ) = sin(t) cos( ) − cos(t) sin( ) =
(sin(t) − cos(t))
4
4
4
2
2. Résolvons dans R les équations suivantes :
√
2 ; D’après la question précédente, cette équation est équivalente
a) cos(t) + sin(t) =
√ √
2
π
à cos(t − 4 ) = 2 2 = 1. Ainsi, on déduit que x est une solution si et seulement s’il
existe k un entier relatif tel que
x−
π
= 0 + 2kπ
4
⇐⇒
x=
π
+ 2kπ
4
√
b) cos(t) − sin(t) = 2 ; De même,
d’après la question précédente, cette équation est
√ √
2
π
équivalente à sin(t − 4 ) = − 2 2 = −1. Ainsi, on déduit que x est une solution si
et seulement s’il existe k un entier relatif tel que
x−
π
π
= − + 2kπ
4
2
⇐⇒
x=−
π
+ 2kπ
4
Exercice 4 (Le pentagone). On considère les points A, B, C et D sur le cercle trigonométrique
tels que
−→ −→
2π
,
(OI, OA) =
5
−→ −−→
4π
(OI, OB) =
,
5
−→ −−→
6π
(OI, OC) =
5
J
et
−→ −−→
8π
(OI, OD) =
5
A
B
I
O
C
D
1.
−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→
a) Notons que les angles (OI, OA), (OA, OB), (OB, OC), (OC, OD), (OD, OI) sont
tous égaux à 2π
5 .
b) Les triangles OIA, OAB, OBC, OCD et OCI sont tous isocèles en O avec le même
angles en O et les côtés de mêmes longeurs qui sont deux longeurs 1. Ainsi, les côtés
du polygone IABCD sont de même longeurs. De même, on déduit que les angles en les
3π
sommets sont tous égaux à π − 2π
5 = 5 . Ainsi, le polygone IABCD est un pentagone
régulier.
−−→ −
→
−−→ −→
−→ −
→
2. D’après la relation de Chasles sur les angles, on a (AB, AI) = (AB, AO) + (AO, AI).
2π
−→ −
→
π−
Or dans le triangle isocèle AOI, on a (AO, AI) = 2 5 = 3π
10 modulo (2π). De même,
65
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
−−→ −→
−−→ −
→
3π
(AB, AO) = 3π
10 , ainsi (AB, AI) = 5 modulo (2π).
−
→
−
→
−→ −−→
−→ −−→
BI)
De même, (BI, BA) = π−(BA,
dans le triangle isocèle ABI et donc (BI, BA) =
2
π
5 . Enfin,
−−→ −→
(BC, IB)
π− 3π
5
2
=
−−→ −→
−→ −→
(BC, BI) + (BI, IB)
−−→ −→
= (BC, BI) + π
−−→ −−→
−−→ −→
= (BC, BA) + (BA, BI) + π
−→ −−→
3π
=
− (BI, BA) + π
5
3π π
=
− +π
5
5
7π
=
modulo (2π)
5
=
2π
4π
4π
3. Par définition des fonctions cosinus et sinus, on déduit que A(cos( 2π
5 ); sin( 5 )), B(cos( 5 ); ; sin( 5 )),
6π
8π
8π
C(cos( 6π
5 ); sin( 5 )) et D(cos( 5 ); sin( 5 )).
−
→
−
→
−
−
→
−
−
→
−
−
→
−
4. Soit →
u = OI + OA + OB + OC + OD.
−
L’objectif de cette question, au travers de l’étude du vecteur →
u , est de montrer l’identité
suivante :
4π
2π
1
) + cos( ) + = 0
(?)
5
5
2
−
4π
a) Exprimons l’abscisse de →
u en fonction de cos( 2π
5 ) et de cos( 5 ). Comme l’abscisse de
−→
O est nul, l’abscisse du vecteur OI, par exemple, coïncide avec l’abscisse de I. Ainsi,
−
en utilisant la question 3., on déduit que l’abscisse de →
u est :
cos(
2π
4π
6π
8π
) + cos( ) + cos( ) + cos( )
5
5
5
5
4π
4π
2π
2π
1 + cos( ) + cos( ) + cos(− ) + cos(− )
5
5
5
5
2π
4π
4π
2π
1 + cos( ) + cos( ) + cos( ) + cos( )
5
5
5
5
2π
4π
1 + 2 cos( ) + 2 cos( )
5
5
1 + cos(
=
=
=
b)
c)
d)
e)
f)
Pour la deuxième identié, on a utilisé le fait que la fonction cosinus est paire :
cos(−t) = cos(t) pour tout nombre réel t.
−→ −−→
−−→ −→
On note que OA = OC = OI et (OA, OC) = 4π
5 = (OC, OI), ainsi les triangles
AOC IOC sont isométriques (on peut les superposer) et donc CA = CI. Les points
O et C sont donc équidistants de A et I. D’où, ils appartiennent à la médiatrice de
[AI].
Les segments [OB] et [OD] sont des rayons du cercle, donc de même longeur et ainsi
la droite (OC) est la médiatrice du segment [BD].
−−→ −−→
Comme (OC) est la médiatrice du segment [AI], on en déduit que OB + OD est
−−→
colinéaire à OC.
−→ −→
−−→
De même, OA + OI est colinéaire à OC. D’où, en combinant les deux résultats
−−→
−
précédents, on déduit que la somme des 5 vecteurs définissant →
u est colinéaire OC.
−→
−
De même, on peut montrer que →
u est colinéaire à OA.
−→ −−→
−
On vient de voir que →
u est colinéaire à OA et OC à la fois. Or ces deux derniers vec−
teurs non nuls ne sont pas colinéaires. D’où, nécessairement →
u est nul. En particulier
→
−
l’abscisse de u est nul. D’après la question 4.a), on a alors,
2π
4π
) + 2 cos( ) = 0
5
5
c’est-à-dire l’équation (?).
⇐⇒
1 + 2 cos(
66
cos(
4π
2π
1
) + cos( ) + = 0
5
5
2
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5.
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2014/2015
a) En utilisant les formules de trigonométrie, on note que
cos(
4π
2π
2π
) = cos(2 ×
) = 2 cos2 ( ) − 1
5
5
5
D’où, d’après (?), on a
⇐⇒
⇐⇒
1
2π
4π
+ cos( ) + cos( ) = 0
2
5
5
2π
1
2 2π
+ cos( ) + 2 cos ( ) − 1 = 0
2
5
5
2π
2 2π
4 cos ( ) + 2 cos( ) − 1 = 0
5
5
b) Le discriminant l’équation√du second
4x2 + 2x − 1 = 0 est ∆ = b2 − 4ac =
√ degré √
2
2 − 4 × 4 × (−1) = 20 et ∆ = 4 × 5 = 2 5. L’équation 4x2 + 2x − 1 = 0 admet
donc deux solutions :
√
√
√
−2 − ∆
−1 − 5
−1 + 5
x1 =
=
<0
et
x2 =
>0
8
4
4
2π
2 2π
c) Notons que d’après la figure précédente, cos( 2π
5 ) ≥ 0 et comme 4 cos ( 5 )+2 cos( 5 )−
1 = 0, on déduit de la question précédente que cos( 2π
5 )=
√
−1+ 5
.
4
6. Construction à la règle et au compas :
1
Reprenons la figure précédente et ajoutons les points K( −1
4 ; 0), L(0; 2 ) et M le point
d’intersection du cercle de centre K passant par L et de l’axe des abscisses.
J
A
B
L
I
K
O
M
C
D
√
En appliquant le théorème de Pythagore, on montre que OM = −1+4 5 . Ainsi, la construction suggérée dans la figure précédente, permet de construire à l’aide de la règle et du
compas seul le pentagone régulier.
67
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2014/2015
Devoir maison 7 : Exercices supplémentaires
pour le vendredi 10 avril 2015
Les exercices 1 à 4 sont facultatifs.
Exercice 1 (Dérivation). Déterminer le domaine de dérivabilité ainsi que la dérivée des fonctions suivantes :
1. f (x) = x3 + 4x − 12 ;
√
2. g(x) = ( x + 3 − 1)(x + 5) ;
3. h(x) =
−x2 +6x+11
.
5x−7
Exercice 2 (Équations de droites et vecteurs). On se place dans le plan muni d’un repère
orthonormé. On considère trois points : A(1, 2), B(5, 0) et C(5, 5) et la droite d d’équation
−2x + y + 5 = 0.
1. Faire une figure avec les trois points et la droite d.
2. Déterminer un vecteur directeur de la droite d.
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
4. Est-ce que les droites d et (AB) sont parallèles ?
5. Déterminer les coordonnées du point I intersection des droites d et (AB).
6. * Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
Exercice 3 (Repère du plan). On considère un triangle ABC non aplati. Le point D est tel que
−−→
−−→ −→
AD = 2(AB + AC). I est le milieu du segment [AB] et J celui de [CD].
1.
a) Faire la figure.
−−→
−−→ −−→ →
−−→
−
b) Le point E est tel que 3EB + ED = 0 . En déduire que ED = − 34 DB puis construire
le point E.
−→ −−→ →
−
c) Le point F est tel que 3F A + F C = 0 . De même, construire le point F .
d) Construire le point K milieu de [EF ].
−−→ −→
2. On se place dans le repère (A; AB, AC).
a) Déterminer les coordonnées des points dans ce repère.
b) Montrer que les points I, K et J sont alignés et préciser la position de K sur le
segment [IJ].
Exercice 4 (Probabilités). On souhaite comparer deux jeux de hasard en étudiant les variables
aléatoires X et Y qui associent à chaque jeu le gain correspondant en euros. Les lois de probabilité
de X et Y sont les suivantes :
xi
-2
1
2
5
10
P(X = xi )
1
4
1
3
1
4
1
12
1
12
yi
-5
1
2
5
10
P(Y = yi )
1
3
1
6
1
12
1
4
1
6
68
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2014/2015
1. Vérifier que les tableaux ci-dessus décrivent bien des lois de probabilités.
2. Calculer les espérances de X et Y . À l’aide de ce calcul, comparer les deux jeux.
3. Calculer les écarts type de X et Y . À l’aide de ce calcul, comparer les deux jeux.
Exercice 5 (Suites numériques). Soit (un ) la suite définie par
(
u0 = −1;
un+1 = 3 un + 7,
∀ n ≥ 0.
Soit c, d deux nombres réels. On pose vn = cun + d pour tout entier naturel n.
1. Exprimer vn+1 en fonction de un .
2. Déterminer c et d tels que vn+1 = 3vn .
3. En déduire une expression de vn en fonction de n.
4. Soit S = u0 + . . . + u10 .
a) Calculer T = v0 + . . . + v10 .
b) En revenant à la définition de vn , exprimer S en fonction de T . En déduire la valeur
de S.
Exercice 6 (Étude de fonction). Une entreprise fabrique et commercialise un produit chimique.
La capacité de production est limitée à 9 tonnes par jour.
On note C(x) le coût total en milliers d’euros pour fabriquer C sur l’intervalle [0; 9] par C(x) =
0.2x2 + 3.2. Ce produit est vendu 2 000 euros la tonne, ainsi la recette en milliers d’euros obtenue
en vendant x tonnes de ce produit est R(x) = 2 x milliers d’euros.
1. Déterminer le montant en euros des coûts lorsque la production est nulle (Cette somme
correspond à ce qu’on appelle : "les coûts fixes").
2. On note B(x) le bénéfice lorsque l’entreprise produit et vend x tonnes de produit. Justifier
qu’on a B(x) = −0.2x2 + 2x − 3.2.
3. Déterminer la fonction dérivée B 0 de B sur [0; 9].
4. Étudier le signe de B 0 (x) et en déduire le tableau de variations de B sur [0; 9].
5. Déduire de ce qui précède le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser, en précisant
la production journalière correspondante.
Exercice 7 (Trigonométrie).
1. Simplifier l’expression cos(t + π3 ).
2. Résoudre dans R les équations :
a) cos(3t + π) = 0 ;
√
b) 3 cos(t) − sin(t) = 1.
69
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2014/2015
Exercices supplémentaires
corrigé
Exercice 1 (Dérivation).
1. La fonction f définie par f (x) = x3 + 4x − 21 est une fonction polynôme, donc dérivable
sur R. Sa dérivée est définie par f 0 (x) = 3x2 + 4.
√
2. Notons que la fonction x 7→ x + 3 est définie lorsque x + 3 est positif.
√ C’est-à-dire sur
] − 3; +∞[, ainsi, on en déduit que la fonction g définie par g(x) = ( x + 3 − 1)(x + 5)
comme produit et somme de fonctions dérivables sur ]−3; +∞[ est dérivable sur ]−3; +∞[.
Sa dérivée est définie par
g 0 (x)
=
=
√
√
( x + 3 − 1)0 (x + 5) + ( x + 3 − 1) (x + 5)0
√
x+5
√
+ x+3−1
2 x+3
√
Remarque : Le calcul de la dérivée de k(x) = x + 3 est hors programme en première S mais
√
u0
sera vu en terminale. La formule de référence qu’il faut utiliser est ( u)0 = 2√
, ainsi avec
u
1
u(x) = x + 3, comme u0 (x) = 1, on a k 0 (x) = 2√x+3
.
On aurait aussi pu revenir à la définition du nombre dérivé : Soit a ∈] − 3; +∞[ et h 6= 0 proche
de zéro,
k(a + h) − k(a)
h
√
=
=
=
=
=
=
√
a+h+3− a+3
h
√
√
√
√
( a + h + 3 − a + 3)( a + h + 3 − a + 3)
√
√
h( a + h + 3 + a + 3)
√
√
2
2
a+h+3 − a+3
√
√
h( a + h + 3 + a + 3)
a + h + 3 − (a + 3)
√
√
h( a + h + 3 + a + 3)
6h
√
√
6 h( a + h + 3 + a + 3)
1
√
√
a+h+3+ a+3
D’où, la limite de ce taux d’accroissement est défini et
k 0 (a) = lim
h→0
k(a + h) − k(a)
1
1
1
√
√
= lim √
=√
= √
h→0
h
a+3+ a+3
2 a+3
a+h+3+ a+3
2
+6x+11
3. Soit h la fonction définie par h(x) = −x 5x−7
. On note que 5x − 7 = 0 si et seulement si
7
x = 5 . On en déduit que le domaine de définition et donc dérivabilité de la fonction h est
R − { 75 }.
0
0
Appliquons la formule de dérivation d’un quotient ( uv )0 = u v−uv
pour déterminer la dérivée
v2
de h :
h0 (x)
=
=
=
(−2x + 6)(5x − 7) − (−x2 + 6x + 11)5
(5x − 7)2
2
−10x + 14x + 30x − 42 + 5x2 − 30x − 55
(5x − 7)2
2
−5x + 14x − 97
(5x − 7)2
70
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2014/2015
Exercice 2 (Équations de droites et vecteurs). On se place dans le plan muni d’un repère
orthonormé. On considère trois points : A(1, 2), B(5, 0) et C(5, 5) et la droite d d’équation
−2x + y + 5 = 0.
y
C
A
1
0
x
1
B
1.


−1
−
2. D’après une propriété du cours, le vecteur →
u   est vecteur directeur de la droite d.
−2
3. Déterminons a, b et c tels que ax
 + by
 + c = 0 est une équation cartésienne de la droite
−−→  4 
(AB). Du vecteur directeur AB  , on déduit que −b = 4 et a = −2. D’où l’équation
−2
est de la forme −2x − 4y + c = 0. Des coordonnées du point A appartenant à (AB), on
déduit que −2 × 1 − 4 × 2 + c = 0, ainsi c = 6.
En résumé, une équation de la droite (AB) est −2x − 4y + 10 = 0 ou bien x + 2y − 5 = 0
(en divisant par -2).




−−→  4  − −1
u   est 4×(−2)−(−1)×(−2) =
4. Le déterminant des vecteurs directeurs AB   et →
−2
−2
−10 6= 0. On en déduit que les droites d et (AB) ne sont pas parallèles.
5. Soit I(x; y) le point intersection des droites d et (AB), alors
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(
−2x + y + 5 = 0
x + 2y − 5
=0
(
y
= 2x − 5
x + 2(2x − 5) − 5 = 0
(
y
= 2x − 5
5x = 15
(
y = 2x − 5 = 2 × 3 − 5 = 1
x =3
D’où le point d’intersection est de coordonnées (3; 1).
6. On note que AC 2 = (xC − xA )2 + (yC − yA )2 = 42 + 32 = 25, ainsi AC = 5 et de même,
BC = 5. Ainsi, le triangle ABC est isocèle en C.
71
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2014/2015
Exercice 3 (Repère du plan). On considère un triangle ABC non aplati. Le point D est tel que
−−→
−−→ −→
AD = 2(AB + AC). I est le milieu du segment [AB] et J celui de [CD].
1.
a)
D
J
C
K
F
A
E
I
B
−−→ −−→ →
−
b) Soit E le point tel que 3EB + ED = 0 . D’après la relation de Chasles, on a
−−→
−−→ −−→ →
−
3ED + 3DB + ED = 0
−−→
−−→
4ED = −3DB
⇐⇒
⇐⇒
−−→ −3 −−→
ED =
DB
4
−−→
−−→
C’est-à-dire, DE = 43 DB. Ainsi, le point E se trouve au trois quarts du segment [DB]
en partant du point D.
−→ −−→ →
−
c) Le point F est tel que 3F A + F C = 0 . De même, d’après la relation de Chasles, on
a
−−→
−→ −−→
−−→
−→ →
−−→ 3 −→
−
3F C + 3CA + F C = 4F C + 3CA = 0
⇐⇒
CF = CA
4
et le point F se trouve au trois quarts du segment [CA] en partant de C.
d) (Construire le point K milieu de [EF ].)
−−→ −→
2. On se place dans le repère (A; AB, AC).
−−→
−−→
−→
a) Dans ce repère, on a A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1). Par construction, AD = 2AB + 2AC,
d’où D(2; 2).
−−→
−−→
On a vu que ED = −3
4 DB, d’où, en utilisant la relation de Chasles :
−→
AE
−−→ −−→
AD + DE
−−→
−→ 3 −−→
= 2AB + 2AC + DB
4
−−→
−→ 3 −−→ −−→
= 2AB + 2AC + (DA + AB)
4
−−→
−→ 3 −−→ −−→
= 2AB + 2AC + (−AD + AB)
4
−−→
−→ 3
−−→ −→
−−→
= 2AB + 2AC + (−2(AB + AC) + AB)
4
−−→
−→ 3
−→
−−→
= 2AB + 2AC + (−2AC) − AB)
4
5 −−→ 1 −→
=
AB + AC
4
2
=
D’où E( 45 ; 12 ).
−−→
−→
−→
−→
De la relation CF = 34 CA, on déduit que AF = 14 AC, d’où F (0; 14 ).
72
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2014/2015
Le point I étant le milieu du segment [AB], il est immédiat que I( 12 ; 0).
−−→
−→
Comme le point J est le milieu du segment [CD], CJ = 12 CD et donc
−→
AJ =
−→ −→
AC + CJ
−→ 1 −→ −−→
= AC + (CA + AD)
2
−−→ −→
−→ 1 −→ 1
= AC − AC + × 2(AB + AC)
2
2
−−→ 3 −→
= AB + AC
2
Ainsi J(1; 23 ).
Par construction, K est le milieu de [F E], ainsi
xK =
0+
xF + xE
=
2
2
5
4
5
8
=
yK =
et
yF + yE
=
2
1
4
+
2
1
2
=
3
8
C’est-à-dire K( 58 ; 83 ).
 
 
1
−→  8 
1
−
→ 
−→ −
→
b) Notons que IK   et IJ  2 . Ainsi, 4 IK = IJ et donc les points I, K et J sont
3
8
3
2
alignés et précisement le point K se trouve à un quart du segment [IJ] en partant de
I.
Exercice 4 (Probabilités). On souhaite comparer deux jeux de hasard en étudiant les variables
aléatoires X et Y qui associent à chaque jeu le gain correspondant en euros. Les lois de probabilité
de X et Y sont les suivantes :
xi
-2
1
2
5
10
P(X = xi )
1
4
1
3
1
4
1
12
1
12
yi
-5
1
2
5
10
P(Y = yi )
1
3
1
6
1
12
1
4
1
6
1
1
1. On note que 14 + 13 + 14 + 12
+ 12
= 1 et
décrivent bien des lois de probabilités.
2. On a
E(X) =
et E(Y ) =
19
12 .
1
3
1
+ 16 + 12
+ 14 + 16 = 1, ainsi les tableaux ci-dessus
5
10
19
−2 1 2
+ + +
+
=
4
3 4 12 12
12
Le gain moyen à ces deux jeux est le même.
3. À l’aide de la calculatrice, on a l’écart type de X σ(X) ' 3.2 est inférieur à celui de Y
σ(Y ) ' 5.4. Ainsi, le jeu X est moins risqué. Le gain fluctue moins autour de la moyenne
avec le jeu X.
Exercice 5 (Suites numériques). Soit (un ) la suite définie par
(
u0 = −1;
un+1 = 3 un + 7,
∀ n ≥ 0.
Soit c, d deux nombres réels. On pose vn = cun + d pour tout entier naturel n.
73
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1. Soit n un entier naturel,
vn+1 = cun+1 + d = c(3un + 7) + d = 3 c un + 7 c + d
2. On note que 3 vn = 3 c un +3 d. Ainsi, d’après la question précédente, pour que vn+1 = 3vn ,
il suffit que
⇐⇒
3 c un + 7 c + d = 3 c un + 3 d
On choisit par exemple c = 1, alors d =
7
2
7c + d = 3d
⇐⇒
d=
7
c
2
et
vn = un +
7
2
3. On a choisit c et d tels que vn+1 = 3 vn . Ainsi, la suite (vn ) est géométrique de raison q = 3
et v0 = u0 + 27 = 25 . D’où
5
vn = × 3n
2
7
En revenant à la définition de vn = un + 2 , on déduit que
un = vn −
7
5
7
= × 3n −
2
2
2
4. Soit S = u0 + . . . + u10 .
a) On a
5 311 − 1
5
5
= (311 − 1)
T = v0 + . . . + v10 = (30 + 31 + . . . + 31 0) =
2
2 3−1
4
b) En revenant à la définition de vn = un + 72 , on note que
S
=
=
=
u0 + . . . + u10
7
7
v0 − + . . . + v10 −
2
2
7
7
T − + ... +
|2 {z 2}
11 fois
=
=
=
T − 11 ×
7
2
5 11
77
(3 − 1) −
4
2
221 394
Exercice 6. Une entreprise fabrique et commercialise un produit chimique. La capacité de
production est limitée à 9 tonnes par jour.
On note C(x) le coût total en milliers d’euros pour fabriquer C sur l’intervalle [0; 9] par C(x) =
0.2x2 + 3.2. . Ce produit est vendu 2 000 euros la tonne, ainsi la recette en milliers d’euros
obtenue en vendant x tonnes de ce produit est R(x) = 2 x milliers d’euros.
1. Le montant en euros des coûts lorsque la production est nulle est C(0) = 3.2 milliers
d’euros (Cette somme correspond à ce qu’on appelle : "les coûts fixes").
2. On note B(x) le bénéfice lorsque l’entreprise produit et vend x tonnes de produit. Alors,
B(x) = R(x) − C(x) = −0.2x2 + 2x − 3.2.
3. La fonction dérivée B 0 de B sur [0; 9] est définie par
B 0 (x) = −0.2 × 2x + 2 = −0.4x + 2
74
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
4. La fonction B 0 (x) est affine de coefficient directeur −0.4 négatif et
B 0 (x) = 0
⇐⇒
−0.4x + 2 = 0
⇐⇒
x=
−2
= 5.
−0.4
Ainsi, B 0 (x) est positif lorsque x ≤ 5 et négatif sinon. On en déduit le tableau de variations
de B sur [0; 9] :
x
0
5
B 0 (x) = −0.4x + 2
+
9
-
0
1.8
B(x) = −0.2x2 + 2x − 3.2
-3.2
-1.4
5. De ce qui précède, on déduit que le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est de
1 800 euros en produisant et vendant 5 tonnes par jour.
Exercice 7 (Trigonométrie).
1. cos(t + π3 ) = cos(t) cos( π3 ) − sin(t) sin( π3 ) =
2.
1
2
√
cos(t) −
3
2
sin(t).
a) cos(3t+π) = 0. En obsevant le cercle trigonométrique, on note que 0 = cos( π2 ) = cos( −π
2 ).
Ainsi, on observe qu’il n’y a que deux solutions dans l’intervalle ] − π; π] : π2 et − π2 .
D’où, si t est solution de la première équation, il existe un entier relatif k tel que
3t + π =
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
π
+ 2kπ
2
ou
3t + π = −
π
+ 2kπ
2
π
π
− π + 2kπ
ou
3t = − − π + 2kπ
2
2
−π
3π
3t =
+ 2kπ
ou
3t = −
+ 2kπ
2
2 1
3π
1 −π
+ 2kπ
ou
t=
−
+ 2kπ
t=
3
2
3
2
−π 2
3π 2
t=
+ kπ
ou
t=−
+ kπ
6
3
6
3
π 2
−π 2
+ kπ
ou
t = − + kπ
t=
6
3
2
3
3t =
Les solutions de l’équation précédente sont donc de la forme
où k est un entier relatif.
−π
6
+ 23 kπ ou − π2 + 23 kπ
b) Notons que
√
π
π
π
) = 2(cos(t) cos( ) − sin(t) sin( )) = 3 cos(t) − sin(t)
6
6
6
√
D’où, l’équation 3 cos(t) − sin(t) = 1 est équivalente à cos(t + π6 ) = 12 = cos( π3 ) =
cos(− π3 ). Si t est solution de la précédente équation, alors il existe k un entier relatif
tel que
2 cos(t +
π
π
= + 2 kπ
ou
6
3
π π
t = − + 2kπ
ou
3
6
π
t = + 2kπ
ou
t=
6
t+
⇐⇒
⇐⇒
75
π
π
= − + 2 kπ
6
3
π π
t = − − + 2kπ
3
6
−π
+ 2kπ
2
t+
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
TP : loi binomiale
jeudi 9 avril 2015
Exercice 1.
1. Éxécuter plusieurs fois le programme suivant :
1: VARIABLES
2: X EST_DU_TYPE NOMBRE
3: DEBUT_ALGORITHME
4:
X PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(0,3)
5:
SI (X > 0) ALORS
6:
DEBUT_SI
7:
X PREND_LA_VALEUR 1
8:
FIN_SI
9:
AFFICHER X
10: FIN_ALGORITHME
Justifier que le programme simule une variable aléatoire X de Bernoulli de paramètre 34 .
2. Écrire un programme qui simule 10 fois l’expérience de Bernoulli de paramètre
la somme Y .
3
4
et retourne
3. Justifier que Y suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 34 .
AlgoBox : Deux commandes :
• Pour calculer le nombre nk avec algobox, on utilise la fonction :
ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(n,k)
• Pour calculer le nombre xk , on utilise la fonction :
pow(x, k)
Exercice 2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et
p = 34 .
1. Compléter le programme suivant pour qu’il affiche les différentes probabilités P (Y = k).
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
VARIABLES
p EST_DU_TYPE NOMBRE
P EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
n PREND_LA_VALEUR 10
p PREND_LA_VALEUR 3/4
DEBUT_POUR
AFFICHER "\nP( Y = "
AFFICHER k
AFFICHER " ) = "
P PREND_LA_VALEUR ...
AFFICHER P
FIN_POUR
17: FIN_ALGORITHME
2. Déterminer (à l’aide d’un programme ou pas) les nombres a et b tels que :
• a est le plus entier tel que P (Y ≤ a) > 0.025 ;
• b est le plus petit entier tel que P (Y ≤ b) ≥ 0.975.
76
Première S
a
C’est-à-dire, tels que [ 10
;
Y
.
10
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b
10 ]
2014/2015
soit un intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence
Exercice 3. Ecrire un programme qui demande les valeurs n et p et qui renvoie les bornes de
l’intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence F = X
n où X suit la loi binomiale B(n; k).
Exercice 4. Écrire un programme un programme qui demande les valeurs n et p et qui renvoie
l’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n, p).
Exercice 5 (Facultatif).
Résoudre le problème 53 à l’adresse https://projecteuler.net/problem=53.
Indication
: Pour
résoudre le problème, il peut être utile de coder dans une liste L les coefficients
n n
n
0 , 1 , . . . , n et pour passer à l’étape suivante (n + 1) d’utiliser la relation de Pascal.
Un exemple d’utilisation d’une liste avec Algobox :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
VARIABLES
l EST_DU_TYPE LISTE
DEBUT_ALGORITHME
POUR k ALLANT_DE 1 A 10
DEBUT_POUR
l[k] PREND_LA_VALEUR k
FIN_POUR
DEBUT_POUR
AFFICHER l[k]
AFFICHER ", "
FIN_POUR
14: FIN_ALGORITHME
77
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
TP : loi binomiale
corrigé
Exercice 1.
1. Éxécuter plusieurs fois le programme suivant :
1: VARIABLES
2: X EST_DU_TYPE NOMBRE
3: DEBUT_ALGORITHME
4:
5:
SI (X > 0) ALORS
6:
DEBUT_SI
7:
X PREND_LA_VALEUR 1
8:
FIN_SI
9:
AFFICHER X
10: FIN_ALGORITHME
D’après l’aide du logiciel Algbox, la commande ALGOBOX_ALEA_ENT(0,3) retourne un
nombre entier aléatoire compris entre 0 et 3. Il y a 3 entier strictement posifitfs : 1,2
et 3. Ainsi, il y a 3 chance sur 4 que le nombre retourné soit strictement positif. Dans ce
cas, le programme associe la valeur 1 à la variable X et sinon 0. Ainsi, effectivement, le
programme simule une variable aléatoire X de Bernoulli de paramètre 34 .
2. Voici le programme qui simule 10 fois l’expérience de Bernoulli de paramètre
la somme Y :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
3
4
est retourne
VARIABLES
X EST_DU_TYPE NOMBRE
Y EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
Y PREND_LA_VALEUR 0
DEBUT_POUR
SI (X>0) ALORS
DEBUT_SI
X PREND_LA_VALEUR 1
FIN_SI
Y PREND_LA_VALEUR Y + X
FIN_POUR
AFFICHER "Y = "
AFFICHER Y
18: FIN_ALGORITHME
3. La variable aléatoire Y est la somme de dix variables aléatoires indépendantes de Bernoulli
de paramètre p = 43 . Notons que cette somme correspond au nombre de fois qu’on a obtenu
1 lors des 10 répétitions de l’expérience de Bernoulli. Ainsi, par définition, Y suit une loi
binomiale de paramètres n = 10 et p = 43 .
AlgoBox : Deux commandes :
• Pour calculer le nombre nk avec algobox, on utilise la fonction :
ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(n,p)
• Pour calculer le nombre xk , on utilise la fonction :
pow(x, k)
78
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2014/2015
Exercice 2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et
p = 34 .
1. Compléter le programme suivant pour qu’il affiche les différentes probabilités P (Y = k).
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
VARIABLES
DEBUT_ALGORITHME
DEBUT_POUR
AFFICHER "\nP( Y = "
AFFICHER k
AFFICHER " ) = "
P PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(n,k)*pow(p,k)*pow(1-p,n-k)
AFFICHER P
FIN_POUR
17: FIN_ALGORITHME
2. Déterminons à l’aide d’un programme les nombres a et b tels que :
• a est le plus entier tel que P (Y ≤ a) > 0.025 ;
• b est le plus petit entier tel que P (Y ≤ b) ≥ 0.975.
b
a
; 10
] soit un intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence
C’est-à-dire, tels que [ 10
Y
10 .
Notons que, par exemple, P (Y ≤ 3) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3).
D’où, le programme suivant qui affiche les probabilités P (Y ≤ k) pour k allant de 0 à 10 :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
VARIABLES
S EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
S PREND_LA_VALEUR 0
DEBUT_POUR
P PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(n,k)*pow(p,k)*pow(1-p,n-k)
TRACER_POINT (k,P)
S PREND_LA_VALEUR S + P
AFFICHER "\nP( Y <= "
AFFICHER k
AFFICHER ") = "
AFFICHER S
FIN_POUR
21: FIN_ALGORITHME
Le
P(
P(
P(
P(
P(
P(
résultat affiché à l’écran : P( Y <= 0) = 9.5367432e-7
Y <= 1) = 0.000029563904
Y <= 2) = 0.000415802
Y <= 3) = 0.0035057068
Y <= 4) = 0.019727707
Y <= 5) = 0.078126907
Y <= 6) = 0.22412491
79
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
P( Y <= 7) = 0.4744072
P( Y <= 8) = 0.75597477
P( Y <= 9) = 0.94368649
P( Y <= 10) = 1
D’où a = 5 et b = 10 et l’intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence
[ 12 ; 1].
80
Y
10
est
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 6 : Suite numérique, variation de fonction et trigonométrie
mardi 7 avril 2015
Exercice 1 (Évolution d’une population). Des relevés satistiques effectués sur une rivière
montrent que sa population de truites diminue de 20% chaque année. Le nombre de truites
en 2000 est estimé à 200 truites par hectare.
On note Tn le nombre de truites par hectare l’année 2000 + n.
1.
a) Justifier que pour tout n ≥ 0, Tn+1 = 0.8 Tn . Quelle est la nature de la suite (Tn ) ?
b) En déduire Tn en fonction de n.
c) Calculer T1 et T3 . Que représentent ces deux nombres ?
d) Combien y-aura-t’il de truites en 2015 ?
e) Au bout de combien d’années les truites auront-elles totalement disparu de la rivière ?
2. On décide d’introduire par alevinage 200 truites par hectare chaque année et on suppose
qu’il n’y a pas de pertes.
a) Montrer que pour tout n ≥ 0, on a maintenant Tn+1 = 0.8 Tn + 200.
b) Calculer T0 , T1 , T2 , T3 , T4 .
c) Soit un = Tn − 1000 pour tout n ≥ 0.
Montrer que la suite (un ) est géométrique.
d) Exprimer un en fonction de n.
e) En déduire Tn en fonction de n, puis justifier que la disparition des truites est enrayée.
Exercice 2. Soit f : [−2; 5] → R une fonction définie par f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 15.
1. Calculer la dérivée f 0 de f .
2. Déterminer x1 et x2 dans l’ordre croissant tels que f 0 (x) = 0.
3. Calculer f (x1 ) et f (x2 ). Justifier que ce sont des extremums locaux.
4. Montrer que pour tout x ∈ [−2; 5], on a f 0 (x) = 3(x + 1)(x − 3).
6. Déterminer le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [−2; 5].
Exercice 3.
1. Calculer
π
3
− π4 .
π
π
2. En déduire cos( 12
) et sin( 12
).
3. Calculer cos( −π
12 ).
Exercice 4. Résoudre les équations :
1. cos(x + π7 ) =
2.
cos( 32 x
+
π
4)
√
3
2
;
= cos( 12 x + π3 ).
81
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Propriété 0.1. Pour tout réel α, on a
1. cos(−α) = cos(α) et sin(−α) = − sin(α) ;
2. cos(π + α) = − cos(α) et sin(π + α) = − sin(α) ;
3. cos(π − α) = − cos(α) et sin(π − α) = sin(α) ;
4. cos( π2 + α) = − sin(α) et sin( π2 + α) = cos(α) ;
5. cos( π2 − α) = sin(α) et sin( π2 − α) = cos(α).
Propriété 0.2 (Formules d’addition et de duplication). Quels que soient les réels a et b, on a
1. cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) ;
2. cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ;
3. sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) ;
4. sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) ;
Propriété 0.3 (Formules de duplication). Quel que soit le réel a, on a
1. cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) ;
2. sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
82
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2014/2015
Devoir sur table 6 : Suite numérique, variation de fonction et trigonométrie
corrigé
Exercice 1 (Évolution d’une population). Des relevés satistiques effectués sur une rivière
montrent que sa population de truites diminue de 20% chaque année. Le nombre de truites
en 2000 est estimé à 200 truites par hectare.
On note Tn le nombre de truites par hectare l’année 2000 + n.
1.
a) Diminuer de 20%, revient à multiplier par 1 −
tout entier n ≥ 0.
20
100
= 0.8. D’où, Tn+1 = 0.8 × Tn pour
b) D’après, la question précédente, la suite (Tn ) est une suite géométrique de raison 0.8
et terme initial 200. Ainsi, Tn = T0 × q n = 200 × 0.8n pour tout entier n.
c) On note que T1 = 0.8 × T0 = 0.8 × 200 = 160, ainsi il y aura 160 truites en 2001. En
2003, il y aura T3 = 200 × 0.83 ' 102 truites par hectare.
d) En 2015, il y aura T15 = 200 × 0.815 ' 7 truites par hectare.
e) Si l’on arrondi à l’entier les valeurs de la suite Tn , on note que T26 ' 1 et T27 ' 0.
Ainsi, au bout de 27 années les truites auront totalement disparu de la rivière.
2. On décide d’introduire par alevinage 200 truites par hectare chaque année et on suppose
qu’il n’y a pas de pertes.
a) Durant l’année 2000 + n, on perd 20% des truites, il en reste donc 0.8 × Tn . Ensuite,
au début de l’année suivant, on ajoute 200 truites, d’où le nombre de truite l’année
2000 + n + 1 est Tn+1 = 0.8 Tn + 200.
b) Calculer T0 = 200, T1 = 360, T2 = 488, T3 ' 590, T4 ' 672.
c) Soit un = Tn − 1000 pour tout n ≥ 0.
Soit n un entier, alors
un+1 = Tn+1 −1000 = 0.8Tn +200−1000 = 0.8Tn −0.8×1000 = 0.8(Tn −1000) = 0.8un
On en déduit que la suite (un ) est géométrique de raison q = 0.8 et de terme initial
u0 = T0 − 1000 = 200 − 1000 = −800.
d) Soit n un entier, alors un = u0 × q n = −800 × 0.8n .
e) Si l’on revient à la définition de un , on déduit que
Tn = un + 1000 = 1000 − 800 × 0.8n .
On note que dans l’expression qui définit Tn , le terme 800×0.8n+1 = (800×0.8n )×0.8
diminue continuellement et s’approche indéfiniement de 0. Ainsi, le nombre de truites
par hectares tend à être de plus en plus proche de 1000 et donc la disparition des
truites est enrayée.
Remarque : On note que si Tn = 1000 alors, Tn+1 = 0.8Tn + 200 = 1000 = Tn . Le
nombre de truites tend à être stable.
Exercice 2. Soit f : [−2; 5] → R une fonction définie par f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 15.
1. La dérivée de f est f 0 (x) = 3x2 − 6x − 9.
2. L’équation f 0 (x) = 0 équivaut à x2 − 2x − 3 = 0 (on a divisé par 3). Le discriminant de
cette équation
du second degré est ∆ = 22 − 4 × (−3) = 16 > 0. Ainsi, il y a deux solutions
√
x1 = 2−2 16 = −1 et x2 = 2+4
2 = 3.
83
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
3. On note que f (−1) = 20 et f (3) = −12. La fonction dérivée f 0 (x) est une fonction
polynôme de degré deux qui s’annule en ses deux racines −1 et 3. Ainsi d’après l’étude
des polynômes de degré deux, ces derniers changent de signe au voisinage de leurs racines.
Ainsi, d’après un résultat du cours, le fonction f admet un extremum local en −1 et en 3.
4. Soit x ∈ [−2; 5], alors 3(x+1)(x−3) = 3(x2 −3x+x−3) = 3(x2 −2x−3) = 3x2 −6x−9 =
f 0 (x).
5. Le tableau de variation de la fonction f :
−2
x
−1
x+1
−
x−3
−
f 0 (x)
+
3
+
0
0
5
+
−
0
+
−
0
+
20
20
f (x)
−12
13
6. D’après le précédent tableau de variation, le maximum de f sur l’intervalle [−2; 5] est 20
et le minimum est −12.
Exercice 3.
1. On note que
π
3
−
π
4
=
4−3
12 π
=
π
12 .
2. En utilisant les formules de trigonométrie, on déduit que
√
√
√
√
√
2
3
2
2+ 6
π
π π
π
π
π
π
1
cos( ) = cos( − ) = cos( ) cos( ) + sin( ) sin( ) = ×
+
×
=
12
3 4
3
4
3
4
2
2
2
2
4
et
√
√
√
√
√
π π
π
π
π
π
π
3
2 1
2
6− 2
×
− ×
=
sin( ) = sin( − ) = sin( ) cos( ) − cos( ) sin( ) =
12
3 4
3
4
3
4
2
2
2
2
4
π
3. En utilisant encore une fois les formules de trigonométrie, on a cos( −π
12 ) = cos( 12 ) =
Exercice 4.
√
√
2+ 6
.
4
1. Sur le cercle trigonométrique,
π
6
1
2
√
3
2
−1
2
−π
6
√
on note que les solutions X de cos(X) =
en déduit que
3
2
dans l’intervalle ] − π; π[ sont
√
π
3
cos(x + ) =
7
2
84
π
6
et
−π
6 .
On
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que
π
π
π
−π
= + 2kπ
ou
x+ =
+ 2kπ
7
6
7
6
−π π
π π
ou
x=
− + 2kπ
x = − + 2kπ
6
7
6
7
π
−13π
x=
+ 2kπ
ou
x=
+ 2kπ
42
42
x+
2. On a vu en cours le fait suivant : Pour tous nombres réels α, β, on a
cos(α) = cos(β)
⇐⇒
α = β + 2kπ
ou
α = −β + 2kπ
pour un certain entier k.
Ainsi, si x est un nombre tel que cos( 23 x + π4 ) = cos( 21 x + π3 ), alors il existe un entier k tel
que
2
π
1
π
2
π
1
π
x + = x + + 2kπ ou
x + = − x − + 2kπ
3
4
2
3
3
4
2
3
La première équation équivaut à
⇐⇒
⇐⇒
2
1
π π
x − x = − + 2kπ
3
2
3
4
π
1
x=
+ 2kπ
6
12
π
x = + 12kπ
2
De même, la second équation équivaut à
⇐⇒
⇐⇒
2
1
π π
x + x = − − + 2kπ
3
2
3
4
7π
7
x=−
+ 2kπ
6
12
π
x = − + 12kπ
2
En résumé, les solutions de l’équation cos( 23 x + π4 ) = cos( 12 x + π3 ) sont les nombres réels
de la forme π2 + 12kπ ou − π2 + 12kπ où k est un entier relatif.
85
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie
jeudi 7 mai 2015
Exercice 1 (Élu). Monsieur Dupont affronte monsieur Dupond aux élections nationales. Chacun est impatient de savoir s’il va être élu. Ils demandent donc à un institut d’organiser un
sondage “sortie des urnes".
Partie A. Étude théorique
On suppose que parmi les bulletins de vote qui se trouve dans une urne, exactement la
moitié comporte une voix pour monsieur Dupont et l’autre moitié une voix pour monsieur
Dupond. On prélève un échantillon de 151 bulletins dans cette urne.
1. Si l’on choisit un bulletin au hasard dans l’urne, quelle est la probabilité que ce soit
une voix pour monsieur Dupont ?
2. Quelle loi suit la variable aléatoire X qui donne le nombre de bulletins de vote pour
monsieur Dupont figurant dans de tels échantillons de 151 bulletins ?
3. * Un petit calcul de probabilité annexe :
a) Calculer la probabilité qu’il y ait 75 voix pour monsieur Dupont dans l’échantillon.
b) Justifier que P (X ≤ 75) = 0.5.
c) En déduire P (X < 75).
4. Déterminer, au seuil de 95%, un intervalle de fluctuation de la fréquence des votants
pour monsieur Dupont dans l’échantillon.
Partie B. Le sondage
On admet que la manière de choisir les personnes permet d’obtenir des échantillons et que
toutes les personnes interrogées disent la vérité aux sondeurs.
Dans un sondage demandé par monsieur Dupont, sur les 151 personnes interrogés, 90 ont
déclaré avoir voté pour lui.
1. À l’aide de l’intervalle de fluctuation déterminé dans la question 4., tester l’hypothèse :
“la probabilité qu’un bulletin porte une voix pour monsieur Dupont est 0.5".
2. Monsieur Dupont affirme : “On nous donnait à égalité, mais je suis certain de gagner !".
Qu’en pensez-vous ?
Exercice 2. On considère la fonction f : [−2; 2] → R définie par f (x) =
−x3 +5x
.
x2 +3
1. Calculer f 0 la dérivée de f .
2. Montrer que f 0 (x) =
(1−x2 )(x2 +15)
.
(x2 +3)2
3. Que peut-on dire du signe du dénominateur de la précédente fraction et du signe de x2 +15 ?
En déduire que le signe de f 0 (x) dépend uniquement de 1 − x2 .
4. Justifier que f 0 (x) = 0 si et seulement si 1 − x2 = 0.
5. Résoudre f 0 (x) = 0.
6. Dresser le tableau de variation de f .
7. En déduire le minimum et le maximum de la fonction f .
86
Première S
Lycée Jean Vilar
Exercice 3. Résoudre les équations trigonométriques :
√
1. cos(t) = −
3
2
2. sin(5t − 3) =
;
√
2
2
;
Exercice 4. Montrer que pour tout nombre réel t :
cos(3t) = cos3 (t) − 3 sin2 (t) cos(t) = 4 cos3 (t) − 3 cos(t)
Indication : 3t = 2t + t et quelques formules de trigonométrie :
• cos(−α) = cos(α) et sin(−α) = − sin(α) ;
• cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) ;
• cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ;
• sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) ;
• sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) ;
• cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) ;
• sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
87
2014/2015
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie
corrigé
Exercice 1 (Élu). Monsieur Dupont affronte monsieur Dupond aux élections nationales. Chacun est impatient de savoir s’il va être élu. Ils demandent donc à un institut d’organiser un
sondage “sortie des urnes".
Partie A. Étude théorique
On suppose que parmi les bulletins de vote qui se trouve dans une urne, exactement la
moitié comporte une voix pour monsieur Dupont et l’autre moitié une voix pour monsieur
Dupond. On prélève un échantillon de 151 bulletins dans cette urne.
1. Si l’on choisit un bulletin au hasard dans l’urne, la probabilité que ce soit une voix
pour monsieur Dupont est de 0.5.
2. La variable aléatoire X qui donne le nombre de bulletins de vote pour monsieur
Dupont figurant dans de tels échantillons de 151 bulletins est une loi binomiale de
paramètres n = 151 et p = 0.5.
3. * Un petit calcul de probabilité annexe :
a) La probabilité qu’il
y ait 75 voix pour monsieur Dupont
dans l’échantillon est
75 × (1 − 0.5)151−75 = 151 × 2151 ' 0.065.
P (X = 75) = 151
×
0.5
75
75
b) La probabilité qu’une voix soit pour monsieur Dupont est 0.5 et donc la probabilité qu’elle soit pour monsieur Dupond est aussi 0.5. On en déduit que
P (X = k) =
151
151
151
0.5
=
0.5151−k = P (X = 151 − k)
k
151 − k
Or
P (X ≤ 75)
= P (X = 0)
+ P (X = 1)
+ . . . + P (X = 75)
=
P (X = 151) + P (X = 150) + . . . + P (X = 76)
=
P (X > 75)
et P (X ≤ 75) = 1 − P (X > 75), d’où P (X ≤ 75) =
1
2
= 0.5.
c) On en déduit que P (X < 75) = P (X ≤ 75) − P (X = 75) ' 0.5 − 0.065 ' 0.435.
4. Comme 0.2 < p < 0.8 et n ≥ 30, au seuil de 95%, un intervalle de fluctuation de la
fréquence des votants pour monsieur Dupont dans l’échantillon est
1
1
1
1
[p − √ ; p − √ ] = [0.5 − √
; 0.5 + √
] ' [0.419; 0.581]
n
n
151
151
Partie B. Le sondage
On admet que la manière de choisir les personnes permet d’obtenir des échantillons et que
toutes les personnes interrogées disent la vérité aux sondeurs.
Dans un sondage demandé par monsieur Dupont, sur les 151 personnes interrogés, 90 ont
déclaré avoir voté pour lui.
1. Testons l’hypothèse : “la probabilité qu’un bulletin porte une voix pour monsieur
90
Dupont est 0.5". La fréquence observée dans l’échantillon est f = 151
' 0.596. Elle
n’appartient pas à [0.419; 0.581], intervalle de fluctuation au seuil 95%, et donc on
devrait rejeter l’hypothèse “p = 0.5".
88
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2014/2015
2. Monsieur Dupont affirme : “On nous donnait à égalité, mais je suis certain de gagner !".
Monsieur Dupont peut effectivement rejeter l’hypothèse qu’il soit à égalité avec un
risque de 5% de se tromper et il a de forte de chance de gagner sans pouvoir en être
certain.
−x3 +5x
.
x2 +3
x2 + 3. Rappelons
1. La fonction f est de la forme
0
0
( uv )0 = u v−uv
, ainsi on a :
v2
f 0 (x)
u
v
=
=
=
avec u(x) = −x3 + 5x et v(x) =
que
(−3x2 + 5)(x2 + 3) − (−x3 + 5x)2x
(x2 + 3)
4
2
−3x − 9x + 5x2 + 15 + 2x4 − 10x2
(x2 + 3)2
4
2
−x − 14x + 15
(x2 + 3)2
2. Soit x un réel de l’intervalle [−2; 2], alors on a
(1 − x2 )(x2 + 15)
x2 + 15 − x4 − 15x2
−x4 − 14x2 + 15
=
=
= f 0 (x)
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
3. On note que le dénominateur (x2 + 3)2 de la précédente fraction et le terme x2 + 15 sont
positifs strictement ainsi le signe de f 0 (x) dépend uniquement de 1 − x2 .
4. Les deux termes évoqué dans la question précédente sont en particulier non nul, d’où
l’équation f 0 (x) = 0 se simplifie en 1 − x2 = 0.
5. Résoudre f 0 (x) = 0 revient donc à résoudre 1 − x2 = 0. C’est-à-dire 1 = x2 , d’où les
solutions sont −1 et 1.
6. L’expression 1 − x2 est un polynôme du second degré avec pour coefficient dominant −1.
Ainsi la parabole associée est orientée vers le bas et on déduit la seconde ligne du tableau
de variation de f :
x
−2
−1
1
2
1 − x2
−
0
+
0
−
f 0 (x)
−
0
+
0
−
1
−0.29
f (x)
−1
0.29
7. D’où le minimum de la fonction f est −1 et le maximum est 1.
Exercice 3. Résolvons les équations suivantes :
√
√
3
5π
1. cos(t) = − 23 : On note que cos( 5π
6 ) = − 2 , ainsi l’équation équivaut à cos(t) = cos( 6 ).
Donc, le nombre réel t est solution de l’équation trigonométrique si et seulement si il existe
un entier k tel que
5π
5π
t=
+ 2 kπ
ou
t=−
+ 2 kπ.
6
6
89
Première S
Lycée Jean Vilar
√
√
2. sin(5t − 3) = 22 : On note que sin( π4 ) =
trique si et seulement si
2
2 ,
π
+ 2 kπ
4
π
5t = 3 + + 2 kπ
4
3
π
2
t= +
+ kπ
5 20 5
5t − 3 =
⇐⇒
⇐⇒
2014/2015
ainsi t est solution de l’équation trigonoméou
5t − 3 = π −
ou
5t = 3 +
ou
π
+ 2 kπ
4
3π
+ 2 kπ
4
3 3π 2
t= +
+ kπ
5
20
5
Exercice 4. Soit t un nombre réel, à l’aide des formules de trigonométrie :
1. cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ;
2. cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) ;
3. sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
4. cos2 (a) + sin2 (a) = 1.
on a :
cos(3t)
C’est-à-dire : cos3 (t) =
1
4
=
cos(2t + t)
1.
=
cos(2t) cos(t) − sin(2t) sin(t)
2.
=
(cos2 (t) − sin2 (t)) cos(t) − sin(2t) sin(t)
=
3.
cos3 (t) − sin2 (t) cos(t) − 2 sin(t) cos(t) sin(t)
=
cos3 (t) − sin2 (t) cos(t) − 2 sin2 (t) cos(t)
=
cos3 (t) − 3 sin2 (t) cos(t)
=
4.
cos3 (t) − 3(1 − cos2 (t)) cos(t)
=
4 cos3 (t) − 3 cos(t)
cos(3t) + 34 cos(t).
90
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Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 7 : Loi binomiale, variation de fonction et trigonométrie (bis)
mardi 19 mai 2015
Exercice 1. Une étude indique que 30% des employés fréquentant le restaurant d’une entreprise
ne sont pas satisfaits des repas servis.
Sur un échantillon, prélevé au hasard et avec remise, de 120 employés fréquentant le restaurant,
50 se déclarent non satisfaits des repas servis.
1. Déterminer la fréquence f des employés satisfaits des repas dans l’échantillon.
2. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des employés satisfaits.
3. Est-ce que f appartient à l’intervalle de fluctuation ?
4. À partir de cet échantillon, peut-on accepter, au risque de 5%, le résultat de l’étude ?
Exercice 2.
1. Soit f : [−5; 10] → R définie par f (x) = x3 − 32 x − 6x + 1.
a) Montrer que f 0 (x) = 3(x + 1)(x − 2).
b) Déterminer le tableau de variation de la fonction f sur son domaine de définition.
c) Déterminer les extremums de la fonction f .
2. Soit g : [−5; 6] → R définie par g(x) =
3x+4
.
x2 +1
a) Pour tout x dans l’intervalle [−5; 6], calculer le nombre dérivé g 0 (x).
b) Déterminer le tableau de variation de la fonction g sur son domaine de définition.
c) Déterminer les extremums de la fonction g.
Exercice 3. Résoudre les équations trigonométriques sur R :
1. sin(t) =
1
2
2. cos(7t) +
;
√
√
3 sin(7t) = − 3.
91
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Exercice 4. On considère la variable aléatoire X égale au résultat produit par la calculatrice
lorsqu’on tape la commande :
Int( 10/729×Rand#ˆ 3 + 1/9×Rand#ˆ 2 + Rand# )
Tests statistiques :
On admet que X ne prend que les valeurs 0 et 1.
1. Essayer la commande plusieurs fois. Conjecturer si les résultats de cette expérience
aléatoire sont équiprobables ?
2. Justifier que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p qu’on ne déterminera pas
pour le moment.
3. À l’aide de la calculatrice produire un échantillon de taille 30 de réalisations de la
commande précédente.
Calculer la fréquence f d’apparition du résultat 1 dans votre échantillon.
4. On suppose que p =
1
2
:
a) Déterminer l’intervalle de fluctuation I au seuil 95% de la fréquence sous l’hypothèse p = 21 dans un échantillon de taille 30.
b) Est-ce que f appartient à l’intervalle I ? Que peut-on en déduire sur l’hypothèse
p = 21 ?
5. On suppose que p =
1
10
:
a) Déterminer l’intervalle de fluctuation J au seuil 95% de la fréquence sous l’hy1
pothèse p = 10
dans un échantillon de taille 30.
b) Est-ce que f appartient à l’intervalle J ? Que peut-on en déduire sur l’hypothèse
1
p = 10
?
Étude de la commande :
On considère la fonction f : [0; 1] → R définie par f (x) =
10 3
729 x
+ 91 x2 + x.
2. Quel est le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0; 1] ?
9
3. Calculer f ( 10
). Ajouter cette information dans le précédent tableau de variation.
4. En déduire une démonstration que la commande ne prend que les valeurs 0 ou 1.
5. Rappel : La commande Rand# retourne un nombre au hasard compris entre 0 et 1.
Ainsi, pour tout nombre réel a dans l’intervalle [0; 1], on a P(Rand# ≤ a) = a.
Justifier, le plus précisément possible, que X suit une loi de Bernoulli de paramètre
1
p = 10
.
92
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison : Four solaire
pour le mardi 2 juin 2015
L’objet de ce travail est d’étudier la trajectoire d’un rayon lumineux venant à la vertical sur la
parabole P d’équation y = x2 . Ci-dessous, un schéma illustrant la configuration.
n
yo
ra
tan
gen
te
rayon incident
y = x2
A
hi
éc
éfl
r
0
Exercice 1 (Un exemple de rayon). On suppose que le rayon incident est sur la droite d’équation
x = 1 et on note A le point de coordonnées (1, 1).
C
2.25
2
gen
te
tan
2
x
y=
2.5
T
rayon incident
y
B
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
n
yo
ra
A
i
ch
flé
ré
D
0.25
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
1. Déterminer l’équation réduite de la tangente T .
2. Déterminer l’équation réduite de la droite D perpendiculaire à la tangente T et passant
par A.
3. Placer sur la figure le symétrique B 0 et C 0 des points B(1.5, 2) et C(1, 2.25) par rapport
à la droite D.
−−→ −−→
−→ −−→
4. Comparer CA · AB et AC 0 · AB.
5. Déterminer une équation de la droite (C 0 A) contenant le rayon récléchi.
Exercice 2. La loi de reflexion de Snell-Descartes, affirme que l’angle d’incidence d’un rayon
lumineux est égal à l’angle de réflexion. La figure suivante illustre cette propriété.
93
Première S
Lycée Jean Vilar
rayon incident
2014/2015
Normale au point d’incidence
−
→
w
−
→
v
rayon réfléchi
−
→
u
−
−
−
où →
u,→
v et →
w sont trois vecteurs unitaires.
−
−
−
−
1. Justifier que la loi de réflexion équivaut à l’égalité (→
u, →
v ) = (→
w, →
u ).
→
−
−
−
2. En déduire que les trois vecteurs unitaires deux à deux distincts u , →
v et →
w vérifient la
−
−
−
−
−
−
−
relation (→
u, →
v ) = (→
w, →
u ) modulo (2π) alors le produit scalaire →
u · (→
v −→
w ) est nul.
 


1
1 −  2 
−
v  √  dans le plan muni d’un repère orthonormé.
3. Un exemple : Soit →
u  , →
3
0
2
−
−
−
−
−
−
Déterminer les coordonnées de →
w tel que ||→
w || = 1 et (→
u, →
v ) = (→
w, →
u ) et reproduire la
figure correspondante.
On admet une petite généralisation de la propriété vue dans l’exercice précédent :
−
Propriété Soient trois vecteurs non nuls et deux à deux distincts →
u,
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
que || v || = || w ||. Les vecteurs vérifient la relation ( u , v ) = ( w ,
→
−
−
−
u · (→
v −→
w ) = 0.
→
−
−
v et →
w et supposons
→
−
u ) si et seulement si
Exercice 3. On considère donc la fonction polynôme du second degré f (x) = x2 .
On se donne a dans l’intervalle [−2; 2] et on pose A(a; f (a))
à P. 
 appartenant



0
 1  −  −4a 

−
→
−
On note T la tangente à P passant par A. On pose →
u  , →
v 
 et w 
.
2a
1 − 4a2
−4a2 − 1
1. Montrer que l’équation réduite de la tangente T est y = 2ax − a2 .
−
2. Montrer que →
u est un vecteur directeur de la droite T .
−
3. À l’aide de la propriété et de l’exercice précédent, montrer que →
v détermine la direction
du rayon réfléchi.
4. Faire la figure avec Geogebra :
Créer un curseur a allant de -2 à 2 avec un pas de 0.1 et taper les commandes :
f(x) = x^2
A = (a, f(a))
T = Tangente[A,f]
M = (a, f(a) + 1)
N = (-3*a, 1 - 4*a^2 + f(a) )
DemiDroite[A,M]
DemiDroite[A,N]
Ensuite, faire varier le paramètre a. Qu’observe-t-on ?
−→
−
5. On pose F (0, 0.25). Montrer que F A est colinéaire à →
v.
6. Justifier que, dans un four solaire de section parabolique et bien orienté, les rayons lumineux sont concentrés vers le foyer.
94
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir maison : Four solaire
corrigé
L’objet de ce travail est d’étudier la trajectoire d’un rayon lumineux venant à la vertical sur la
parabole P d’équation y = x2 . Ci-dessous, un schéma illustrant la configuration.
tan
gen
te
rayon incident
y = x2
A
i
ch
flé
n
yo
ra
ré
0
Exercice 1 (Un exemple de rayon). On suppose que le rayon incident est sur la droite d’équation
x = 1 et on note A le point de coordonnées (1, 1).
T
gen
te
2.5
tan
2
x
y=
rayon incident
y
C
2.25
2
B
1.75
1.5
1.25
1
A
hi
éc
0.75
n
yo
ra
0.5
0.25
fl
ré
D
C0
B0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
1. D’après le cours, l’équation de la tangente à la parabole au point A d’abscisse 1 est y =
f 0 (1)(x − 1) + f (1) soit y = 2x − 1.
2. Graphiquement, on note que l’équation réduite de la droite D perpendiculaire à la tangente
T et passant par A est y = − 12 x + 1.5 (en effet lorsqu’on avance d’un on décent de 0.5).
95
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
3. Placer sur la figure le symétrique B 0 et C 0 des points B(1.5, 2) et C(1, 2.25) par rapport
à la droite D.

 

0
−−→
−→

0.5

4. Les coordonnées du vecteur CA sont 
 et celles du vecteur AB sont  . D’où
1
−1.25
−→ −−→
CA · AB = 0 × 0.5 − 1.25 × 1 = −1.25.


−−→ −−→
−−→
 −1 
Les coordonnées du vecteur AC 0 sont 
, d’où AC 0 ·AB = −1×0.5−0.75×1 = −1.25.
−0.75
−−→0 −−→
−→ −−→
Ainsi, on a CA · AB = −AC · AB.
5. Une équation de la droite (C 0 A) contenant le rayon récléchi est y = 0.75x + 0.25.
Exercice 2. La loi de reflexion de Snell-Descartes, affirme que l’angle d’incidence d’un rayon
lumineux est égal à l’angle de réflexion. La figure suivante illustre cette propriété.
Normale au point d’incidence
rayon incident
−
→
w
rayon réfléchi
−
→
v
−
→
u
−
−
−
où →
u,→
v et →
w sont trois vecteurs unitaires.
−
−
−
−
1. Justifier que la loi de réflexion équivaut à l’égalité (→
u, →
v ) = (→
w, →
u ).
→
−
−
−
2. En déduire que les trois vecteurs unitaires deux à deux distincts u , →
v et →
w vérifient la
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
relation ( u , v ) = ( w , u ) si et seulement si u · ( v − w ) = 0.
 


1
1 −  2 
−
v  √  dans le plan muni d’un repère orthonormé. Déterminer
3. Un exemple : Soit →
u  , →
3
0
2
−
−
−
−
−
les coordonnées de →
w tel que (→
u, →
v ) = (→
w, →
u ) et reproduire la figure correspondante.
On admet une petite généralisation de la propriété vue dans l’exercice précédent :
−
Propriété Soient trois vecteurs non nuls et deux à deux distincts →
u,
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
que || v || = || w ||. Les vecteurs vérifient la relation ( u , v ) = ( w ,
→
−
−
−
u · (→
v −→
w ) = 0.
→
−
−
v et →
w et supposons
→
−
u ) si et seulement si
Exercice 3. On considère donc la fonction polynôme du second degré f (x) = x2 .
On se donne a dans l’intervalle [−2; 2] et on pose A(a; f (a))
à
P.
 appartenant



1
0
−4a
  − 


−
→
−
On note T la tangente à P passant par A. On pose →
u  , →
v 
 et w 
.
2
2
2a
−4a − 1
1 − 4a
1. L’équation réduite de la tangente T est y = f 0 (a)(x − a) + f (a) soit y = 2a(x − a) + a2 .


1
−
2. D’après le cours, le vecteur →
u   est un vecteur directeur de la droite T .
2a
96
Première S
Lycée Jean Vilar
3. Notons que :
2014/2015
−
||→
v ||2 = 02 + (−4a2 − 1)2 = 16a4 + 8a2 + 1
−
−
||→
w ||2 = (−4a)2 + (1 − 4a2 )2 = 16a2 + 1 − 8a2 + a4 = ||→
v ||2
−
−
D’où l’on déduit que les deux vecteurs →
v et →
w sont de même longueur. De plus,
→
−
−
−
u · (→
v −→
w ) = 1 × 4a + 2a × (−4a2 − 1 − (1 − 4a2 )) = 4a − 2a × (−2) = 0
−
−
−
−
Ainsi, d’après la propriété précédente, les angles (→
u,→
v ) et (→
w,→
u ) sont égaux et d’après
−
l’exercice précédent, le vecteur →
w détermine bien la direction du rayon réfléchi.
4. Faire la figure avec Geogebra :
Créer un curseur a allant de -2 à 2 avec un pas de 0.1 et taper les commandes :
f(x) = x^2
A = (a, f(a))
T = Tangente[A,f]
M = (a, f(a) + 1)
N = (-3*a, 1 - 4*a^2 + f(a) )
DemiDroite[A,M]
DemiDroite[A,N]
Ensuite, faire varier le paramètre a. Qu’observe-t-on ?
−→
−
5. On pose F (0, 0.25). Montrer que F A est colinéaire à →
w . En déduire que quel que soit le
rayon incident venant à la vertical sur la parabole, le rayon réfléchi passe par F .
6. * À l’aide du premier devoir maison, montrer que le point F (0;
D d’équation y = −1
4 est la directrice de la parabole P.
1
4)
est le foyer et la droite
7. Justifier que, dans un four solaire de section parabolique et bien orienté, les rayons lumineux sont concentrés vers le foyer.
97
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 8 : Produit scalaire
vendredi 29 mai 2015
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. Soit A(1; 6), B(3; 2) et
C(−2; 3) trois points du plan.
1. Faire une figure que vous compléterez au fil des questions.
2. Déterminer les coordonnées de I le milieu de [AB].
3. On note D la médiatrice du segment [AB]. Déterminer une équation cartésienne de D.
4. On pose O( 23 ;
[AC] et [BC].
10
3 )
et on admet que J( −1
2 ;
9
2)
et K( 12 ;
5
2)
sont les milieux des segments
a) Vérifier que O appartient à la droite D.
b) Montrer que (JO) est perpendiculaire à la droite (AC).
c) Montrer que (KO) est perpendiculaire à la droite (BC).
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des médiatrices du triangle ABC.
6. Déterminer une valeur approchée au centième de OB.
7. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 2. Soit A, B et C trois points tels que AB = 5cm, AC = 8cm.
−−→ −→
1. Est-il possible d’avoir AB · AC = 60 ?
−−→ −→
On prend maintenant AB · AC = 20.
\?
1. Quelle est la valeur de BAC
2. Représenter le triangle ABC
3. * Calculer BC.
−−→ −−→
−→ −−→
4. * Calculer les produits scalaires BA · BC et CA · CB.
5. * Quelle est l’aire du triangle ABC ?
98
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Devoir sur table 8 : Produit scalaire
corrigé
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. Soit A(1; 6), B(3; 2) et
C(−2; 3) trois points du plan.
y
A
J
I
O
C
K
B
1
0
1.
x
1
2. Les coordonnées de I le milieu de [AB] sont xI =
xA +xB
2
= 2 et yI =

yA +yB
2
= 4 : I(2; 4).

−−→  2 
3. On note D la médiatrice du segment [AB]. Le vecteur AB   est normal à la droite
−4
D, ainsi une équation cartésienne de D est de la forme 2x − 4y + c = 0. Or D passe par
I(2; 4), d’où 2 × 2 − 4 × 4 + c = 0. C’est-à-dire c = 12. Donc 2x − 4y + 12 = 0 est une
équation cartésienne de la droite D.
4. On pose O( 23 ;
[AC] et [BC].
10
3 )
et on admet que J( −1
2 ;
a) On note que 2 ×
2
3
−→ 
b) Notons que JO 
−4×
7
6
−7
6
10
3
9
2)
et K( 12 ;
5
2)
sont les milieux des segments
+ 12 = 0, ainsi le point O appartient à la médiatrice D.



−→ −3

 et AC   sont orthogonaux car :
−3
−→ −→ 7
−7
JO · AC = × (−3) +
× (−3) = 0.
6
6
D’où la droite (JO) est perpendiculaire à la droite (AC).
 
1
−−→  6 


−−→ −5
c) De même, KO   et BC   sont orthogonaux car
5
1
6
−−→ −−→ 1
5
KO · BC = × (−5) + × 1 = 0.
6
6
D’où la droite (KO) est perpendiculaire à la droite (BC).
5. On vient de voir que les droites (OI), (OJ) et (OK) sont les médiatrices du triangle ABC
et donc elles se coupent en O( 23 ; 10
3 ).
99
Première S
Lycée Jean Vilar
q
−−→2 q 7 2
65
2 =
)
OB = ( 3 ) + ( −4
3
9 =
q
6. La distance OB =
2014/2015
65
3
' 2.69.
7. Le point d’intersection O est le centre du cercle circonscrit et on vient de voir que son
rayon au carré est r2 = 65
9 . D’où, une équation du cercle circonscrit au triangle ABC est :
10
65
2
(x − )2 + (y − )2 =
3
3
9
En multipliant par 9, on a plus simplement :
(3x − 2)2 + (3y − 10)2 = 65
Exercice 2. Soit A, B et C trois points tels que AB = 5cm, AC = 8cm.
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
1. On rappelle que AB · AC = AB × AC × cos(AB, AC) = 40 cos(AB, AC). Or pour tout
nombre réel α, −1 ≤ cos(α) ≤ 1, d’où
−−→ −→
AB · AC ≤ 40.
−−→ −→
Ainsi, il est impossible d’avoir AB · AC = 60.
−−→ −→
On prend maintenant AB · AC = 20.
−−→ −→
1
\ π
1. Alors, cos(AB, AC) = 20
40 = 2 . D’où, l’on déduit que BAC = 3 .
2. Représenter le triangle ABC
3. * Calculer BC.
−−→ −−→
−→ −−→
4. * Calculer les produits scalaires BA · BC et CA · CB.
5. * Quelle est l’aire du triangle ABC ?
100
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Exercice 3. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On considère les points
A(2; 6), B(8; 2) et C(−3; −9) ainsi que le cercle C d’équation (x − 1)2 + (y + 2)2 = 65.
1. Déterminer les coordonnées de O le centre du cercle C et le rayon de C.
2. Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle C.
3. Représenter le triangle ABC et le cercle circonscrit C. Vous compléterez aussi la figure au
fil des questions.
4. Déterminer une équation de la hauteur ∆ du triangle ABC issue de A.
Soit H(5; 3).
5. Démontrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.
6. Vérifier que A0 (7; 1) est la projeté orthogonal de H sur (BC).
7. Déterminer les coordonnées de H1 symétrique de H par rapport à la droite (BC).
8. Vérifier que dans le triangle ABC, le symétrique de l’orthocentre par rapport au côté [BC]
appartient au cercle circonscrit.
Remarque : La propriété vue dans la dernière question est vraie quel que soit le triangle.
101
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Interrogation 8 : Variations de fonction et suites numériques
vendredi 30 mai 2014
−x3 +5x
.
x2 +3
1. Calculer f 0 la dérivée de f .
2. Montrer que f 0 (x) =
(1−x2 )(x2 +15)
.
(x2 +3)2
3. Que peut-on dire du signe du dénominateur de la précédente fraction et du signe de x2 +15 ?
4. Justifier que f 0 (x) = 0 si et seulement si 1 − x2 = 0.
5. Résoudre f 0 (x) = 0.
6. Dresser le tableau de variation de f .
7. En déduire le minimum et le maximum de la fonction f .
Exercice 2. On dispose au départ d’un chemin rectiligne de longeur 5cm. À chaque étape, on
remplace les bouts de chemin rectiligne par “des détours en forme de triangles équilatéraux",
voir figure ci-dessous :
étape 1
5 cm
étape 2
5
3
À chaque étape n, on note un la longeur des segments, vn le nombre de segments et Ln la
longueur du chemin.
1. Justifier que u1 = 53 , v1 = 4 et L1 =
20
3 .
2. Calculer u2 , v2 et L2 .
3. Compléter le chemin obtenu à l’étape 3 :
4. Calculer u3 , v3 et L3 .
5. Quelle est la nature de la suite (un ), de la suite (vn ).
6. Exprimer Ln en fonction de un et vn .
7. Justifier que pour tout entier n, on a Ln = 5 ×
n
4
3
.
8. Déterminer le rang n0 à partir du quel on a Ln ≥ 1 km pour tout n ≥ n0 .
9. Conjecturer la limite de la suite (Ln ).
10. * On suppose qu’on assemble toutes les courbes en une seule longue courbe. On note dn
la longeur de l’assemblage des courbes construites jusqu’à la n-ème étape.
a) Justifier que dn = 5 + L1 + L2 + . . . + Ln .
b) Exprimer dn en fonction de n.
102
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
Interrogation 8 : Variations de fonction et suites numériques
corrigé
−x3 +5x
.
x2 +3
2
x + 3. Rappelons
1. La fonction f est de la forme
0
0
, ainsi on a :
( uv )0 = u v−uv
v2
f 0 (x) =
u
v
avec u(x) = −x3 + 5x et v(x) =
que
(−3x2 + 5)(x2 + 3) − (−x3 + 5x)2x
−x4 − 14x2 + 15
−3x4 − 9x2 + 5x2 + 15 + 2x4 − 10x2
=
=
(x2 + 3)
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
2. Soit x un réel de l’intervalle [−2; 2], alors on a
(1 − x2 )(x2 + 15)
x2 + 15 − x4 − 15x2
−x4 − 14x2 + 15
=
=
= f 0 (x)
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
3. On note que dénominateur (x2 + 3)2 de la précédente fraction et le terme x2 + 15 sont
positifs strictement.
4. Les deux termes évoqué dans la question précédente sont en particulier non nul, d’où
l’équation f 0 (x) = 0 se simplifie en 1 − x2 = 0.
5. Résoudre f 0 (x) = 0 revient donc à résoudre 1 − x2 = 0. C’est-à-dire 1 = x2 , d’où les
solutions sont −1 et 1.
6. Le tableau de variation de f :
x
−2
−1
1
2
1 − x2
−
0
+
0
−
f 0 (x)
−
0
+
0
−
1
−0.29
f (x)
0.29
−1
7. D’où le minimum de la fonction f est −1 et le maximum est 1.
Exercice 2. On dispose au départ d’un chemin rectiligne de longeur 5cm. À chaque étape, on
remplace les bouts de chemin rectiligne par “des détours en forme de triangles équilatéraux",
voir figure ci-dessous :
étape 1
étape 2
5
3
5 cm
À chaque étape n, on note un la longeur des segments, vn le nombre de segments et Ln la
longueur du chemin.
1. Il est immédiat que u1 = 53 , v1 = 4. Enfin, L1 = u1 × v1 =
2. On a u2 =
1
3
× u1 = 59 , v2 = 4v1 = 16 et L2 = u2 × v2 =
103
20
3 .
5×16
80
9 = 9 .
Première S
Lycée Jean Vilar
2014/2015
3. Étape 3 :
4. On a u3 = 13 v2 =
5
27 ,
v3 = 4 × v2 = 64 et L3 = u3 × v3 =
320
27 .
5. On note qu’à chaque étape, on divise la longueur des segments par trois, d’où la relation
de récurrence un+1 = 13 un et la suite (un ) est géométrique de raison 13 . D’autre part, à
chaque étape, le nombre de segments est multiplier par 4, d’où la relation de récurrence
vn+1 = 4vn et la suite (vn ) est géométrique de raison 4.
6. On note que la longueur Ln du chemin à l’étape n est égale au nombre de ségments fois
la longueur de l’un d’eux. C’est-à-dire Ln = un × vn .
7. Comme les suites un et vn sont géométriques, on déduit que un = u1 ×
v1
× 4n−1
=
4n .
Ainsi, de la question précédente, on déduit que Ln =
5
3n
1
3n−1
=
× 4n
5
3n
et vn =
= 5×
n
4
3
.
8. À l’aide de la calculatrice, on note que L35 > 100 000cm. Comme la suite (Ln ) est croissante
(car sa raison est supérieur strictement à 1), on déduit que pour tout entier n ≥ 35, on a
Ln ≥ 1 km.
9. En calculant les premières valeurs et de la question précédente, on peut conjecturer que la
suite (Ln ) tend vers l’infini.
10. * On suppose qu’on assemble toutes les courbes en une seule longue courbe. On note dn
la longeur de l’assemblage des courbes construites jusqu’à la n-ème étape.
a) Il est immédiat que dn est la somme des longueurs des différents chemins, c’est-à-dire :
dn = 5 + L1 + L2 + . . . + Ln .
b) Calculons dn :
dn
5 + L1 + L2 + . . . + Ln
4
4
4
= 5 + 5( ) + 5( )2 + . . . + 5( )n
3
3
3
4
4 2
4 n
= 5 1 + + ( ) + ... + ( )
3
3
3
4 n+1
(3)
−1
= 4
4
3 −1
4 n+1
(3)
−1
= 4
1
=
=
3
!
n+1
4
12
−1
3
104

Premi`ere S SVT Table des mati`eres

Transcription

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