Voici devoir #7 - Université d`Ottawa

MAT1725 : Devoir # 7
Professeure : Monica Nevins
` remettre : mercredi le 8 avril avant 13h00
A
au d´epartement de math´ematiques et de statistique (KED)
On ne fournit pas d’agrafeuse au d´epartement.
Directions :
(1) Lisez chaque question attentivement. Si vous avez des questions, posez-les avant la date limite.
(2) Vos r´eponses doivent ˆetre justifi´ees logiquement : vous devez me convaincre que vous votre solution
est correcte, et que vous comprenez pourquoi qu’elle l’est. Vous pouvez utiliser n’importe quel
r´esultat prouv´e en classe sans preuve, mais si le th´eor`eme ou la propri´et´e a un nom, le citer lorsque vous
l’utilisez. Et v´
erifiez explicitement que les hypoth`
eses sont satisfaits !
(3) Veuillez soumettre un travail propre et lisible. Laissez assez d’espace alentour de vos r´eponses pour les
commentaires du correcteur.
(4) Vous allez avoir besoin de papier brouillon pour organiser vos id´ees ; il ne faut pas remettre le
brouillon. (Si jamais vous avez besoin de papier brouillon, j’en ai beaucoup `a partager.)
(5) Vous pouvez prendre pour acquis tous vos connaissances de MAT1720 concernant les d´eriv´ees et les
int´egrales.
(6) La question not´e Bonus est optionnelle. Vous pouvez alors gagnez plus de 100% sur ce devoir.
(7) Vous pouvez remettre le devoir directement `a moi, ou dans la boˆıte “MAT1725” dans l’armoire `
a l’entr´ee
du bˆatiment KED `
a la date pr´evue, avant 13 heures.
Nom de famille :
Pr´enom :
Num´ero d’´etudiant :
Le tableau suivant n’est que pour le correcteur.
Question
1
Points max
Points
accord´es
2
1
3
4
5
2
1
1
1. D´eterminer la longueur d’arc de la courbe y = x2 − ln(x) entre x = 2 et x = 4. Tracer la courbe, afin de
2
4
v´erifier que votre r´eponse soit raisonnable.
3
2. Soit la surface d´efinie par l’´equation
1
−x2 + y 2 + z 2 = 1.
4
(a) Sur un seul graphique du plan xy, tracer les courbes de niveau par rapport `a z, avec z ∈ {0, 1, 2}.
(b) Sur un seul graphique du plan yz, tracer les courbes de niveau par rapport `a x, avec x ∈ {0, 1, 2}.
(c) Sur un seul graphique du plan xz, tracer les courbes de niveau par rapport `a y, avec y ∈ {0, 2, 4}.
(d) Avec ses informations, nommer et dessiner cette surface quadrique.
4
x+y
.
x−y
(a) Quel est le domaine D de cette fonction ? Identifie-le sur un graphique du plan xy.
3. Soit f la fonction f (x, y) =
(b) Sur ce mˆeme graphique, tracer les courbes de niveau de z = f (x, y) pour z ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.
(c) Est-ce que c’est possible de poser une valeur de f (0, 0) afin que la fonction ainsi d´efinie serait continue en
(0, 0) ? Justifier, en faisant r´ef´erence aux courbes de niveau.
(d) D´eduire la forme du graphe de la fonction f avec l’aide de vos r´eponses `a (a), (b) et (c). (Donner un dessin
et/ou d´ecrire le graphe en mots.)
5
4. D´emontrer, avec la d´efinition de la limite et les m´ethodes vues en classe, que la limite suivante n’existe pas :
xy 3
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 6
lim
6
5. Calculer les d´eriv´ees partielles par rapport `
a x et `a y, et puis tous les d´eriv´ees partielles d’ordre 2, des fonctions
suivantes :
(a) f (x, y) = cos(x2 y) + sin(y) − y sec(x)
(b) g(x, y) = ln(2x + 4y − 1) + x1
2
2p
(c) (bonus) h(x, y) = ex +y ln(x + 2y)