Devoir commun de mathématiques Éléments de correction

08/04/2015
Lycée la Martinière Monplaisir
Devoir commun de mathématiques
Éléments de correction
VARIANTE A
Exercice 1 Vrai ou Faux :(5 points ; ≈ 15 minutes)
Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et indiquer clairement votre choix
dans l'annexe 1. Aucune justification n'est demandée. Il sera compté 1 point par bonne réponse, -0,5 point par
réponse incorrecte et 0 pour absence de réponse (si le total des points pour l'exercice est négatif, la note est ramenée
à 0).
Vrai ou Faux
Affirmation 1
F
Affirmation 2
F
Affirmation 3
F
Affirmation 4
V
Affirmation 5
F
x réel strictement positif , x≥
Affirmation n°1 : pour tout
1
. FAUX
x
1
1
x=0,5 , on a =2 et donc : x≤
x
x
Affirmation n°2 : Dans la série de nombre suivante, la médiane est plus grande que la moyenne. FAUX
Contre exemple : pour
7
9
5
13
4
9
6
4
15
Soit le tableau des valeurs dans l'ordre croissant.
4
4
5
6
7
9
9
13
15
72
=8
9
Affirmation n°3 : Dans tout triangle ABC, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle FAUX
La médiane est la 5ème valeur soit 7 et la moyenne est égale à
Affirmation n°4 : Les vecteurs ⃗
u (1−√ 3 ; 2) et ⃗v (−1 ;1+ √ 3) sont colinéaires. VRAI
(1−√ 3)×(1+ √ 3)−(2×(−1))=−2+ 2=0
Affirmation n°5 : Voici les notes de 35 élèves d'une seconde au DS commun de l'an dernier :
Notes
3
5
8
9
10
12
13
14
15
17
19
Nombre d'élèves
1
3
5
5
3
4
6
La moyenne de cette classe (arrondie au centième) est de 11,36. FAUX
3
3
1
1
La moyenne pondérée (
(3×1+5×3+ ..........19×1)
) est environ égal à 10,9
35
Exercice 2 ( 10 points ; ≈ 25 minutes) : étude de fonction
Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces x qu'il produit en un mois,
selon la fonction B définie pour x positif ou nul par :
B( x )=−50 x 2 + 1000 x−3750 .
Partie A :
Le bijoutier se pose le problème suivant : quel nombre de pièces produire par mois pour être certain de réaliser un
bénéfice positif ?
1. Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction B.
Comme il s'agit d'une fonction polynôme du second degré définie par B( x)=ax2 +b x+c avec
−b
a =−50, b =−1000 et c=−3750 , le sommet a pour abscisse
=10 soit x s =10 et y s =1250
2a
2. En utilisant par exemple le tableur de la calculatrice , compléter le tableau de valeurs de B(x) donné en
annexe 2.
x
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B(x)
-550
0
450
800
1050 1200 1250 1200 1050
800
3. Tracer le courbe représentant la fonction B sur le repère donné en annexe 2.
450
0
-550
4. En laissant les traits de construction, résoudre graphiquement B(x) >0. Apporter une réponse au bijoutier.
On a représenté en rouge les points de la courbe correspondant à un bénéfice positif. Il suffit alors de considérer
leurs abscisses. S = ]5 ; 15[ .
Le bijoutier doit fabriquer plus de 5 pièces et moins de 15 pièces par mois pour réaliser un bénéfice positif.
Partie B :
Cet artisan souhaite maintenant connaître le nombre de pièces à produire pour réaliser un bénéfice maximum.
1. Dresser le tableau de variation de B.
Puisque a <0 la fonction est croissante puis décroissante
x
0
10
+∞
1250
B( x)
–3750
?
2. Apporter une réponse à cet artisan. Le bijoutier doit fabriquer 10 pièces par mois pour réaliser un bénéfice
maximum.
Exercice 3 ( 12 points ;
≈
35 minutes) : Vecteurs, coordonnées et équations de droites
Soit (O ; ⃗i , ⃗j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(-2 ; 4), B(3 ; 5), C(5 ; -5) et D(0 ; -6).
1. Sur l'annexe 3, faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
Pour les autres questions voir la fin de ce document.
Exercice 4 ( 13 points ; ≈ 35 minutes) : Algèbre
Partie I : Équations
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x ) = ( x+ 3)2−16 .
1. Développer et réduire f (x ) .
f ( x ) = x 2+ 6 x−7
2. Factoriser f (x ) .
On utilise l'identité remarquable sur la différence de carré
f (x ) = ( x+ 3−4)( x +3+4) = (x−1)( x+ 7)
3. Résoudre algébriquement les équations :
f ( x ) = 0 Comme un produit de facteur est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, l'équation
a)
est équivalente à x = 1 ou x = −7 . Les solutions de l 'équation sont donc 1 et - 7.
f ( x ) = - 16 Cette équation est équivalente à ( x+3)2=0 La solution de l'équation est donc -3.
b)
Partie II : Inéquations
On considère les fonctions f
et g
définie sur
ℝ
par f (x ) = 5−4 x et g (x) =
1
x+ 7 .
3
1. Donner le tableau de signe de f .
f étant une fonction affine de coefficient directeur négatif (-4) elle est strictement décroissante et s'annule
5
pour
. On a donc le tableau suivant :
4
2. Résoudre l'inéquation
et interpréter graphiquement les résultats.
6
6
Les solutions de l'inéquation sont les réels x tels que x > −
soit l'intervalle − ; +∞ .
13
13
Graphiquement, il s'agit des abscisses des points pour lesquels la courbe de g est au-dessus de celle de f
f ( x) < g ( x)
]
[
3. Résoudre les inéquations
a. (5−4 x)( 1 x +7)<0
3
Il s'agit de trouver quand un produit de facteurs du premier degré est négatif. On établit donc un tableau de signes.
x
–∞
–21
1,25
+∞
5−4 x
+
⋮
+
0
–
1
x +7
3
–
0
+
⋮
+
1
(5−4 x)( x +7)
3
–
0
+
0
–
5
Les solutions de l'inéquation sont les réels x tels que x∈]−∞ ;−21 [∪] ;+ ∞ [
4
26−3 x
b.
≤ 3
1
x+7
3
5−4 x
≤0 .
1
x+ 7
3
Soit le signe d'un quotient, donc de nouveau un tableau de signes qui est le même que précédemment sauf pour « la
valeur interdite » - 21 :
Après transformation, cela reviens à résoudre
5
Donc les solutions sont les x tels que x∈]−∞ ;−21 [∪[ ;+ ∞[
4
Bonus (2 points)
Au moment du coup de pied, le ballon de rugby se trouve au sol, en
O, face aux poteaux de pénalité à une distance de 50 mètres. Le buteur
fait partir dans le plan ( xOy) avec un angle de 50° par rapport au sol
horizontal.
Les lois de la physique permettent de modéliser la trajectoire du
2
ballon par un arc de la courbe d'équation : y=−0,02 x +1,19 x (
mesure en mètre la hauteur du ballon pour une distance au sol de x
mètres)
1° La pénalité est réussie si le ballon passe au dessus de la barre . Le
joueur a-t-il marqué la pénalité ? oui si x =50 y=9,5
2°Jusqu'à quelle hauteur le ballon s'est-il élevé ? y max =17,7013
3° A combien de mètres derrière la ligne de but le ballon est-il
retombé à terre ? Le ballon tombe 9m50 derrière la ligne de but
le
y
08/04/2015
Lycée la Martinière Monplaisir
Devoir commun de mathématiques
Éléments de correction
VARIANTE B
●
Toute réponse doit être justifiée sauf pour l'exercice 1.
●
La rédaction et la présentation du devoir seront prises en compte.
●
N'oubliez pas d'indiquer votre classe en plus du nom et prénom sur votre copie.
●
Le sujet comporte 5 pages dont 2 pages d'annexes à rendre avec vos nom, prénom et classe
●
Le barème comme le temps sont donnés à titre indicatif
Pour cette variante les justifications ne seront généralement pas données. Elles reposent sur les mêmes principes
que la variante précédente.
●
Exercice 1 Vrai ou Faux :(5 points ; ≈ 15 minutes)
Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et indiquer clairement votre choix
dans l'annexe 1. Aucune justification n'est demandée. Il sera compté 1 point par bonne réponse, -0,5 point par
réponse incorrecte et 0 pour absence de réponse (si le total des points pour l'exercice est négatif, la note est ramenée
à 0).
Vrai ou Faux
Affirmation 1
F
Affirmation 2
F
Affirmation 3
F
Affirmation 4
F
Affirmation 5
V
Pour les justifications voir la variante A
Exercice 2 ( 10 points ; ≈ 25 minutes) : étude de fonction
Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces x qu'il produit en un mois,
selon la fonction B définie pour x positif ou nul par :
B( x )=−50 x2 +800 x −1950
Partie A :
Le bijoutier se pose le problème suivant : quel nombre de pièces produire par mois pour être certain de réaliser un
bénéfice positif ?
1. Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction B. x s =8 et y s =1250
2. En utilisant par exemple le tableur de la calculatrice , compléter le tableau de valeurs de B(x) donné en
annexe 2.
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
B(x)
-550
0
450
800
1050 1200 1250 1200 1050
800
3. Tracer le courbe représentant la fonction B sur le repère donné en annexe 2.
450
0
-550
4. En laissant les traits de construction, résoudre graphiquement B(x) >0. Apporter une réponse au bijoutier.
S = ]3 ; 13[ . Le bijoutier doit fabriquer plus de 3 pièces et moins de 13 pièces par mois pour réaliser un bénéfice
positif.
Partie B :
Cet artisan souhaite maintenant connaître le nombre de pièces à produire pour réaliser un bénéfice maximum.
1. Dresser le tableau de variation de B.
x
B( x)
0
8
+∞
1250
–1950
?
2. Apporter une réponse à cet artisan. Le bijoutier doit fabriquer 8 pièces par mois pour réaliser un bénéfice
maximum.
Exercice 3 ( 12 points ; ≈ 35 minutes) : Vecteurs, coordonnées et équations de droites
Soit (O ; ⃗i , ⃗j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(0 ; 7), B(4 ; 4), C(-2 ; -4) et D(-6 ; -1).
1. Sur l'annexe 3, faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
Pour les autres questions voir la fin de ce document.
Exercice 4 ( 13 points ;
≈
35 minutes) : Algèbre
Partie I : Équations
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x )=( x+2)2−25 .
1. Développer et réduire f (x ) .
2
x + 4 x−21
2. Factoriser f (x ) .
f ( x ) = ( x+2−5)( x+ 2+5) = ( x−3)(x +7)
3. Résoudre algébriquement les équations :
f ( x )= 0 les solutions sont 3 et -7
f ( x )= −25 la solution est -2
Partie II : Inéquations (voir variante A)
On considère les fonctions f et g
définie sur ℝ par f (x ) = 5−4 x et g ( x ) =
1. Donner le tableau de signe de f .
2. Résoudre l'inéquation f ( x) < g ( x) et interpréter graphiquement les résultats.
3. Résoudre les inéquations
a. (5−4 x)( 1 x+ 7)< 0
b.
3
26−3 x
≤ 3
1
x+7
3
1
x+ 7 .
3