Fonctions carré et inverse – Exercices

9 Donner dans chacun des cas le meilleur encadrement
possible de
a.
b.
c.
e.
d.
f.
Fonctions carré et inverse – Exercices
Fonction carré
1 À l’aide d’un contre-exemple, montrer que les affirmations suivantes sont fausses.
a. Deux nombres et leurs carrés sont rangés dans le même
ordre.
b. Pour tout réel , on a
.
c. Si
, alors
.
d. Un réel est toujours inférieur à son carré.
2 Comparer sans calculatrice
cas suivants.
a.
et
.
b.
et
.
c.
et
.
d.
et
.
e.
et
.
et
10 Indiquer le minimum et le maximum de la fonction
inverse sur les intervalles suivants.
a.
b.
c.
Signe d’une fonction
11 Soit une fonction dont le tableau de signe est donné
ci-dessous.
dans chacun des
3 Donner le meilleur encadrement possible de
chacun des cas suivants.
a.
b.
d.
c.
Signe de
1. Déterminer les signes de
2. Résoudre les inéquations
dans
4 Donner le minimum et le maximum de la fonction carré
sur les intervalles suivants.
a.
b.
c.
5 Comparer sans calculatrice les nombres
a.
et
.
b.
et
.
,
,
et
et
.
.
12 Dresser les tableaux de signe des fonctions représentées ci-dessous.
a.
b.
13 (Règle des signes)
1. Rappeler la règle des signes d’un produit.
2.
et sont des fonctions dont les tableaux de signes
sont les suivants.
Signe de
6 On considère les cinq propositions suivantes :
[1]
ou
[2]
[3]
[4]
ou
[5]
1. L’implication [1]
est-elle vraie ?
2. Dresser la liste des implications du type …
qui sont vraies.
3. Dresser la liste des implications du type
…
qui sont vraies.
4. En s’inspirant des questions précédentes, dresser une
liste de quatre conditions impliquant
.
Fonction inverse
7 Vrai ou faux ? Justifier.
a. Un nombre réel non nul et son inverse sont de même
signe.
b. Si et sont deux réels non nuls tel que
, alors
.
c. Il n’existe aucun couple de réels
vérifiant
et
.
d. Si
alors
.
8 Dans chacun des cas suivants, comparer, si c’est possible et .
a.
b.
c.
d.
e.
et
Signe de
Compléter le tableau de signe de
.
Signe de
3. Résoudre les inéquations
et
.
14 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions
suivantes.
a.
b.
c.
d.
15 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions
suivantes.
a.
b.
16 On considère la fonction
.
1. Représenter graphiquement et conjecturer son signe.
2. Vérifier que
3. Dans un même tableau, faire apparaître le signe de
et celui de
. En déduire le tableau de signe
de .
4. Résoudre les inéquations
et
.
Fonctions carré et inverse – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier
17 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions
suivantes.
a.
b.
c.
18 Soit
.
1. Résoudre graphiquement
.
2. Montrer que
.
3. Justifier que pour tout , on a
4. Résoudre par le calcul
.
.
Position relative de deux courbes
24 On a tracé dans le repère ci-contre la courbe
d’équation
. Soit la droite d’équation
.
1. Tracer la droite et conjecturer la position relative de et
.
2. Montrer que
3. Construire le tableau de signe
de
et prouver
la conjecture.
.
19 Soit
1. Pour quelle valeur de
le dénominateur de
s’annule-t-il ? Donner l’ensemble de définition de .
2. Construire le tableau de signe de .
3. Résoudre les inéquations
et
.
Résolution d’inéquations
20 On considère la fonction
définie sur par
1. a. Résoudre graphiquement
l’inéquation
b. Montrer que cette inéquation équivaut à
25 Un nombre est-il toujours plus grand que son carré ?
Émettre une conjecture graphique et la démontrer.
Même question avec l’inverse.
26 Soit
. Pour tout
, on considère la droite
.
1. Tracer ainsi que les droites
pour quelques valeurs
de . Que constate-t-on ? On pourra utiliser GeoGebra
et créer un curseur pour .
2. Factoriser
et conclure.
3. Mêmes question avec
et les droites
(pour
).
27 Soit l’hyperbole
et la droite
.
et retrouver les solutions
grâce à une étude de signe.
2. a. Résoudre graphiquement l’inéquation
.
b. Transformer l’inéquation et la résoudre à l’aide d’un
tableau de signe.
21 Soit
la fonction définie sur
par
. On a représenté ci-dessous sa courbe représen-
tative .
1. En utilisant le graphique, résoudre
a.
b.
2. a. Montrer que résoudre
.
1. Tracer la droite et conjecturer la position relative de
et .
revient à résoudre
b. Construire le tableau de signe de
.
c. Retrouver le résultat de la question 1.a.
3. Résoudre par le calcul l’inéquation de la question 1.b.
22 Résoudre graphiquement l’inéquation
23 Résoudre par le calcul les inéquations suivantes.
a.
b.
c.
a’.
b’.
c’.
.
2. Prouver que
conjecture.
28 (Comparaison de
puis démontrer la
et )
1. Justifier que pour
, on a
.
2. Conjecturer à l’aide de la calculatrice la comparaison de
et .
3. On note
et
.
a. Compléter le raisonnement suivant.
La fonction est . . . . . sur l’intervalle
,
donc pour
,
. .
, c’est-à-dire . .
La fonction est . . . . . sur l’intervalle
,
donc pour
,
. .
, c’est-à-dire . .
Finalement pour tout
, . . . . .
b. Reprendre cette démonstration pour
.
4. Démonstration algébrique.
a. Montrer que pour tout non nul, on a
b. Montrer que
duire le signe de
.
c. Construire le tableau de signe de
Fonctions carré et inverse – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier
et en déet conclure.