Exercice N° 78 page 175

Exercice N° 78 page 175
Un laboratoire fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut fabriquer de 5 à 30
kg de ce produit par jour.
1/ Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par la fonction C définie sur
1
[ 5 ; 30 ] par C ( x ) = x 3 - 11 x 2 + 100.x + 72.
3
a/ Tracer à la calculette la représentation de la fonction C.
Il faut régler correctement la fenêtre d’affichage. On tape fenêtre ou window.
C est définie sur [ 5 ; 30 ] donc on choisit Xmin = 5 et Xmax = 30.
Le coût est positif donc on choisit Ymin = 0.
Pour Ymax, on essaye et on finit par trouver qu’une valeur comprise entre 2200 et 3000 est un
bon choix.
b/ Conjecturer le sens de variation de la fonction C.
La meilleure façon de donner les variations d’une fonction est un tableau de variations.
Avec la touche Trace les valeurs sont données avec une bonne précision.
x
5
7
16
350
30
2200
C(x)
340
200
2/ Le prix de vente du produit est 60 euros par kilogramme.
a/ Donner en fonction de x la fonction R modélisant la recette (5  x  30).
Si chaque kilogramme est vendu 60 euros, x kilogrammes sont vendus 60 x euros
donc R ( x ) = 60 x.
b/ Ajouter au graphique précédent la courbe représentative de la fonction R.
c/ Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles le laboratoire réalise un
bénéfice.
Il y a un bénéfice si la recette est supérieure au coût, c’est-à-dire si la droite est au-dessus de la
courbe.
Cela se produit si 5,8 < x < 28,5.
3/ a/ Soit B ( x ) le bénéfice réalisé en produisant en en vendant x kg du produit (5  x  30).
Exprimer la fonction B en fonction de x.
Pour trouver le bénéfice, retranche le coût du bénéfice:
B(x)=R(x)-C(x)
1
= 60 x - ( x 3 - 11 x 2 + 100 x + 72 )
3
1 3
= 60 x - x + 11 x 2 - 100 x - 72
3
1
B ( x ) = - x 3 + 11 x 2 - 40 x - 72
3
b/ Donner le tableau de variations de la fonction B.
On peut étudier les variations de B en utilisant le signe de la dérivée.
B ’( x ) = - x 2 + 22 x - 40
C’est un polynôme du second degré. On étudie son signe comme d’habitude.
a = - 1 ; b = 22 et c = - 40.
 = 22 2 - 4  ( - 1 )  ( - 40 ) = 484 - 160 = 324
22  18 40
22  324
Les racines sont
=
=
= 20
2
2  ( 1)
2
et
22  18
4
22  324
=
=
= 2.
2
2
2  ( 1)
Cela permet de représenter la dérivée
On en déduit le tableau de signes de B ’ puis le tableau de variations de B.
x
2
B ’( x )
-
0
20
+
0
-
B(x)
La fonction B est définie sur [ 5 ; 30 ] donc on réduit l’étude à cet intervalle.
x
5
B ’( x )
20
+
0
30
-
861
B ( x ) - 39
- 372
c/ À partir de quelle quantité de produit fabriqué et vendu le bénéfice baisse-t-il ?
Le bénéfice baisse à partir d’une production de 20 kg.