אולימפיאדה ארצית במתמטיקה 2013 שלב א` פתרונות

אולימפיאדה ארצית במתמטיקה 2013 שלב א` פתרונות

‫אולימפיאדה ארצית במתמטיקה ‪ – 2013‬שלב א'‬
‫לפניכם שאלון מתמטי בן עשר שאלות אמריקאיות‪ .‬הפותרים המצטיינים יוזמנו להשתתף‬
‫בשלב הבא‪.‬‬
‫מלאו בטבלה המצורפת את התשובה שבחרתם לכל שאלה )א‪/‬ב‪/‬ג‪/‬ד(‪ .‬אין צורך‬
‫לנמק‪.‬‬
‫אין להשתמש במחשבון‪ .‬משך המבחן‪ 60 :‬דקות‪.‬‬
‫טבלת תשובות‪) :‬רשמו את התשובה שבחרתם(‬
‫ד‬
‫‪.1‬‬
‫ד‬
‫‪.2‬‬
‫ב‬
‫‪.3‬‬
‫ד‬
‫‪.4‬‬
‫א‬
‫‪.5‬‬
‫ג‬
‫‪.6‬‬
‫ג‬
‫‪.7‬‬
‫ג‬
‫‪.8‬‬
‫א‬
‫‪.9‬‬
‫ד‬
‫‪.10‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרונות‬
‫‪ A .1‬הוא מספר המתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪ .‬נתון כי המכפלה ‪ Ai B‬מתחלקת ב‪ 6-‬ללא שארית‪.‬‬
‫מה מהבאים נכון בוודאות ?‬
‫)א( ‪ B‬הוא מספר זוגי‬
‫)ב( ‪ B‬הוא מספר המתחלק ב‪3-‬‬
‫)ג( ‪ B‬הוא מספר שאינו מתחלק ב‪3-‬‬
‫)ד( אף תשובה אינה מחייבת‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬לא ניתן להסיק דבר על ‪ .B‬ייתכן ש‪ A -‬יהיה ‪ 6‬ואז הוא יתחלק בעצמו כלומר ב‪ ,6-‬ואז ‪ B‬יוכל‬
‫להיות כל מספר שלם‪.‬‬
‫‪ .2‬הוגדרה פעולה חדשה @ הפועלת באופן הבא‪ :‬אם ‪ x > y‬אז ‪x @ y = x − y‬‬
‫אם ‪ x < y‬אז ‪ . x @ y = y − x‬אם ‪ x = y‬אז ‪. x @ y = 1‬‬
‫? = )‪(5@3)@(3@ 7‬‬
‫)א( ‪-1‬‬
‫)ב( ‪0‬‬
‫)ג( ‪1‬‬
‫)ד( ‪2‬‬
‫פתרון‪ :‬הפעולה @ מחסרת את המספר הקטן מהמספר הגדול‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪(5@3)@(3@ 7) = 2@ 4 = 2‬‬
‫‪ .3‬אורנה יצאה מנק' ‪ A‬צפונה במהירות ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬שעתיים אחריה יצאה ז'אנה‪ ,‬גם היא מנק' ‪A‬‬
‫צפונה‪ ,‬במהירות של ‪ 9‬קמ"ש‪ .‬כשהשיגה ז'אנה את את אורנה‪ ,‬הן הסתובבו וחזרו יחדיו‬
‫במהירות של של ‪ 18‬קמ"ש לנק' ‪ .A‬כמה זמן ארכה הדרך חזרה?‬
‫)א( שעה וחצי‬
‫)ב( שעתיים‬
‫)ג( שעתיים וחצי‬
‫)ד( ‪ 3‬שעות‬
‫פתרון‪ :‬שלב א'‪ :‬הדרך הלוך – אורנה רצה לבד שעתיים ויוצרת פער של ‪ 12‬ק"מ‪ .‬ז'אנה יוצאת‬
‫בעקבותיה במהירות גדלה ב‪ 3-‬קמ"ש‪ ,‬ולכן קצב סגירת הפער יהיה ‪ 3‬קמ"ש‪ .‬בשעה סוגרת ז'אנה‬
‫פער של ‪ 3‬ק"מ‪ .‬פער גדול פי ‪ 12) 4‬ק"מ( יסגור בפי ‪ 4‬זמן – ‪ 4‬שעות‪ .‬אם ז'אנה רצה ‪ 4‬שעות עד‬
‫המפגש ‪ ,‬הרי שנפגשו במרחק ‪ 36‬ק"מ מנק' ‪.A‬‬
‫שלב ב'‪ :‬הדרך חזרה – עליהן לחזור מרחק של ‪ 36‬ק"מ‪ .‬הם עוברות ‪ 18‬ק"מ בשעה‪ .‬מרחק כפול‬
‫)‪ 36‬ק"מ( יעברו בזמן כפול – שעתיים‪.‬‬
‫‪ .4‬איזו צורה מקבלים כשמחברים את אמצעי הצלעות של מעוין?‬
‫)א( ריבוע‬
‫)ב( מקבילית‬
‫)ג( מעוין‬
‫)ד( מלבן‬
‫פתרון‪ :‬אלכסוני של המעוין מאונכים זה לזה‪ .‬הקווים שמחברים את אמצעי הצלעות מקבילים‬
‫לאלכסוני המעוין‪ ,‬ולכן ניתן להראות כי הזוויות המתקבלות הן בנות ‪ 90‬מעלות‪ .‬מכאן שגם זוויות‬
‫המרובע עצמו הן ‪ 90‬מעלות ולכן מדובר במלבן‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו היא בת ‪ 60‬מעלות‪ ,‬ואורכו של הניצב שמולה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫מהו שטחו של המשולש?‬
‫)א( ‪ 24 3‬סמ"ר‬
‫)ב( ‪ 30 3‬סמ"ר‬
‫)ג( ‪ 36 3‬סמ"ר‬
‫)ד( ‪ 48 3‬סמ"ר‬
‫פתרון‪ :‬מדובר במשולש זהב שאורך הניצב הגדול בו הוא ‪ 12‬ס"מ‪ .‬אורך הניצב הקטן יהיה‪:‬‬
‫‪12i4 3‬‬
‫‪12 12 3 12 3‬‬
‫‪ .‬שטח המשולש שווה למחצית מכפלת ניצביו‪= 24 3 :‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=4 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪ .6‬המרחק בין חדר האוכל לכולבו במלון חלומטיקה הוא ‪ 56‬מטרים‪ .‬המרחק בין חדר האוכל לאולם‬
‫הקולנוע של המלון הוא ‪ 30‬מטרים‪ .‬נעם הלך את חצי הדרך בין הכולבו לאולם הקולנוע‪.‬‬
‫מה מהבאים יכול להיות המרחק שעבר נעם‪ ,‬בהנחה שכל המקומות אינם על קו ישר?‬
‫)א( ‪ 12‬מטרים‬
‫)ב( ‪ 13‬מטרים‬
‫)ג( ‪ 40‬מטרים‬
‫)ד( ‪ 45‬מטרים‬
‫פתרון‪ :‬בין שלושת האתרים נוצר משולש‪ .‬ידוע כי סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית‪ .‬לכן‬
‫המרחק בין הכולבו לאולם הקולנוע גדול מ‪ 26-‬מטרים‪ ,‬וקטן מ‪ 86-‬מטרים‪ .‬לפיכך חצי המרחק גדול‬
‫מ‪ 13-‬מטרים וקטן מ‪ 4-‬מטרים‪ .‬התשובה היחידה שעונה על תנאים אלו היא ‪ 40‬מטרים‪.‬‬
‫‪ .7‬איתן רוצה לקנות מיטה‪ ,‬ספה וכיסא נוח לביתו החדש‪ .‬הוא מתלבט בין ‪ 4‬כורסאות‪,‬‬
‫‪ 8‬מיטות ו‪ 2-‬כיסאות נוח‪ .‬לאחר מדידות גילה איתן כי בגלל אורכן‪ 3 ,‬מהמיטות אינן‬
‫מתאימות עם ‪ 3‬מהכורסאות‪.‬‬
‫כמה אפשרויות לריהוט הבית יש לאיתן?‬
‫)א( ‪64‬‬
‫)ב( ‪18‬‬
‫)ג( ‪46‬‬
‫)ד( ‪82‬‬
‫פתרון‪ :‬איתן מתלבט בין ‪ 4‬כורסאות‪ 8 ,‬מיטות ו‪ 2-‬כיסאות נוח‪ ,‬לכן מספר הצירופים הוא‪:‬‬
‫‪ . 2i8i 4 = 64‬ישנן ‪ 3‬מיטות אשר אינן מתאימות עם ‪ 3‬כורסאות ולכן‪ . 3i3 = 9 :‬כמובן שחובה‬
‫להתייחס לכיסאות נוח ולכן החישוב הכולל של הצירופים שאינם מתאימים יהיה‪. 3i3i2 = 18 :‬‬
‫מכאן נחסר מסך כל הצירופים את סך הצירופים שאינם מתאימים ונקבל‪. 64 − 18 = 46 :‬‬
‫‪ A .8‬הוא מספר זוגי ו‪ B -‬הוא מספר אי זוגי‪.‬‬
‫מה מהבאים נכון בהכרח?‬
‫)א( הממוצע שלהם זוגי‪.‬‬
‫)ב( הממוצע שלהם אי זוגי‪.‬‬
‫)ג( הממוצע שלהם הוא מספר לא שלם‪.‬‬
‫)ד( אף תשובה אינה נכונה בהכרח‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬מספר זוגי ועוד מספר אי זוגי יתנו תמיד תוצאה אי‪-‬זוגית‪ ,‬חלוקה ב‪ 2-‬של מספר אי‪-‬זוגי‬
‫בהכרח תיתן מספר שאינו שלם‪ .‬כלומר‪ ,‬הממוצע של ‪ A‬ו‪ B -‬הוא בהכרח מספר לא שלם‪.‬‬
‫‪ .9‬ניר תופס במכה אחת ‪ 3‬ציפורים או ‪ 5‬צבי נינג'ה‪ .‬ידוע כי לאחר שהכה מספר מכות‪ ,‬היו ברשותו‬
‫‪ 22‬בעלי חיים‪ .‬כמה מכות הכה ניר?‬
‫)א( ‪ 6‬מכות‬
‫)ב( ‪ 8‬מכות‬
‫)ג( ‪ 10‬מכות‬
‫)ד( ‪ 15‬מכות‬
‫פתרון‪ :‬אם נפחית ‪ 10‬צבים מהסה"כ נקבל שנותרו ‪ 12‬ציפורים‪ .‬ל‪ 10-‬צבים צריך ‪ 2‬מכות‪ ,‬ול‪12-‬‬
‫ציפורים צריך ‪ 4‬מכות נוספות‪ .‬סה"כ ‪ 6‬מכות‪.‬‬
‫‪ .10‬טענה‪ :‬רק מי ששותה פטל משחק טאקי‪ .‬מסקנה‪ :‬כל מי שמשחק טאקי לובש חאקי‪.‬‬
‫המסקנה תהיה נכונה אם ‪-‬‬
‫)א( רוב מי ששותה פטל לובש חאקי‬
‫)ב( כל מי שמשחק טאקי שותה פטל‬
‫)ג( כל מי שלובש חאקי שותה פטל‬
‫)ד( רק מי שלובש חאקי שותה פטל‬
‫פתרון‪ :‬נשים לב כי לפי הטענה‪ :‬משחק טאקי ← שותה פטל‪ .‬והמסקנה‪ :‬משחק טאקי ← לובש חאקי‪.‬‬
‫ברצוננו להגיע מטאקי לחאקי‪ .‬הטענה הנתונה מאפשרת לנו להגיע מטאקי אל פטל ולכן חסר לנו חוק‬
‫שיביא אותנו מפטל אל חאקי‪ .‬כלומר‪ ,‬הטענה החסרה היא‪ :‬שותה פטל ← לובש חאקי‪ .‬ובמלל‪ :‬רק מי‬
‫שלובש חאקי שותה פטל‪.‬‬