התפתחות הסרטן תחת אילוצי תזונה-גרסה מדעית מלאה

‫התפתחות הסרטן תחת אילוצי תזונה‬
‫הגירסה המדעית‬
‫מאת‪ :‬אליעזר יהושע‬
‫‪ Msc‬למתמטיקה בטכניון חיפה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫פרק ‪ -1‬תמצית העבודה‪ ,‬משמעויותיה הכלכליות והבריאותיות‪ ,‬והנמקות לפרסומה‪.‬‬
‫תמצית‬
‫משמעויות כלכליות ובריאותיות‪ ,‬ברמה הלאומית‪ ,‬ברמה הבינלאומית וברמה האישית‪.‬‬
‫הנמקות לביטול דרישה לביצוע ניסויים לפני פרסום עבודה‪.‬‬
‫פרק ‪ -2‬מודל מתמטי להשפעת הדיאטה על התפתחות הסרטן ‪.‬‬
‫מודל לידה ומוות‪Growth and Decay-‬‬
‫ההשפעה על הפרמטרים השונים באמצעות טיפול רפואי‪.‬‬
‫מודל ההרעבה‪.‬‬
‫כלליות המודל‪ ,‬ותחולתו על כל סוגי הסרטן‪.‬‬
‫מסקנות ראשונות הנובעות מהמודל‪.‬‬
‫האם הסרטן יעצר?‬
‫הצורות הגרפיות של התפתחות ה ‪Psa‬‬
‫פתרון אנליטי למודל המתמטי של הדיאטה‪.‬‬
‫פתרון הפרמטרים עבור שלב א' של ההרעבה‪.‬‬
‫בחינת סבירות ערך ה ‪ ‬שקבלנו‪.‬‬
‫מציאת פרמטרים לשלב ב' של ההרעבה‪.‬‬
‫מציאת פרמטרים לשלב ג' של ההרעבה‪.‬‬
‫חישוב נת"ה עבור השלב הראשון‬
‫פרק ‪ -3‬עצמת הדיאטה‪ -‬ירידת האגרסיביות של הסרטן‪-‬ניתוח תאורטי ותוצאות‬
‫בפועל‪.‬‬
‫ירידת האגרסיביות של הסרטן‪-‬נתוח תאורטי‪.‬‬
‫ירידת האגרסיביות‪ -‬תוצאות בפועל‪.‬‬
‫עוצמת הדיאטה‪-‬הפחתת קצב עלית ה ‪ ,Psa‬החסם הליניארי‪ ,‬והמדד הליניארי‪.‬‬
‫אישוש ירידת האגרסיביות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪ -4‬הפרוגנוזה על בסיס גידול רציף בכלי הדם המזינים )אנג'יוג'נסיס(‪.‬‬
‫שיני המסור‪.‬‬
‫פרוגנוזה תחת ההנחה‪ ,‬שקיים גידול רציף בכלי הדם המזינים‪ ,‬ושמוש בפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫פרוגנוזה ללא הורמונים ‪.‬‬
‫השוואה בין הפרוגנוזות‪ ,‬ומציאת תרומת הטיפול ההורמונלי‪.‬‬
‫רכוז הנחות שהנחנו לרעת אריכות הימים‪.‬‬
‫הערה וסיכום תוצאות‪.‬‬
‫פרק ‪ -5‬פריצת הדרך– הדיאטה‪.‬‬
‫‪5-HETE‬‬
‫אנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫חומצה ארכידונית‪.‬‬
‫תפקידו של ה ‪.5-HETE‬‬
‫אינדקס גליקמי )‪ (GI‬ועומס גליקמי)‪.(GL‬‬
‫מקדם הדלקת של המזונות‪ -‬הסוכר מזון מעודד דלקות‪.‬‬
‫הדיאטה ומטרותיה‪.‬‬
‫האם הדיאטה שבנינו איננה אשלייה?‬
‫פרק ‪ -6‬שלוב הדיאטה והרפואה המודרנית‪.‬‬
‫פרק ‪ -7‬נוסחת החסם העליון המורחב‪.‬‬
‫פרק ‪ -8‬השפעת ה‪.Quercetin Plus -‬‬
‫מבוא‪.‬‬
‫טענת המיסוך של ה ‪ ,Psa‬ע"י הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫האם ה ‪ Q-P‬מקטין את סרטן הערמונית וכיצד?‬
‫הוכחת מיסוך ה ‪ Psa‬על‪-‬ידי ‪.QUERCETIN PLUS‬‬
‫משוואת ה ‪ Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫פתרון משוואת ה ‪ Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫דעיכת ה ‪ Psa‬לפי ה ‪ ‬האגרסיבי‪ ,‬בלקיחת ה‪Q-P‬‬
‫פרק ‪ -9‬המודל הכללי של האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫רשימת הנחות ומספר עובדות‪.‬‬
‫המשוואות משותפות לכל המודלים‪.‬‬
‫רציפות וגזירות פונקצית ה ‪.Psa‬‬
‫אבחנה בין ‪ ‬ובין ‪.t‬‬
‫מודל ראשון‪" :‬מודל‪ -‬אומגה"‪.‬‬
‫מודל שני‪" :‬מודל‪ -‬מיו"‪.‬‬
‫פתרון המשוואות הדיפרנציאליות של המודל אומגה‪.‬‬
‫פתרון המשוואות הדיפרנציאליות של המודל מיו‪.‬‬
‫פתרון מספרי לפרמטרים של )‪.N(t‬‬
‫פתרון מספרי‪ ,‬למודל מיו‪.‬‬
‫פתרון מספרי למודל אומגה )המשוואות )‪ (9.11) ,(9.10‬ו )‪.( (9.12‬‬
‫השוואה בין שני המודלים‪.‬‬
‫תחזיות לעתיד‪ ,‬על פי מודל מיו‪.‬‬
‫רכוז התוצאות‪ ,‬והשוואה של החישובים השונים‪.‬‬
‫ריכוז ההנחות לרעת אריכות הימים‪.‬‬
‫ההתפתחות ה"ליניארית" בשנים הראשונות‪-‬והצעה לכלי ניבוי חדש‪.‬‬
‫פתרון אנליטי ע"פ תוצאות המדגם‪.‬‬
‫פרק ‪ -10‬ההצלחה הגדולה של הדיאטה ‪-‬הפחתת האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫חישוב הפחתת קצב האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫הסיבות‪ ,‬והמנגנונים להפחתת קצב גידול כלי הדם המזינים‪.‬‬
‫הסיכוי להפחתה נוספת בקצב גידול כלי הדם המזינים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫פרק ‪ -11‬לאחר ההקרנות‪.‬‬
‫התפתחות ה‪ Psa‬לאחר ההקרנות‪.‬‬
‫השפעת ההקרנות‪ ,‬ותרומתן לאריכות הימים‪.‬‬
‫פרק ‪ -12‬הדיאטה‪ ,‬גרורות ‪ ,‬וסרטן עמיד לאנדרוגן‪.‬‬
‫האם המודל המתמטי תקף לגבי הגרורות‪-‬דיון כללי‪.‬‬
‫פיתוח החסם העליון עבור מספר מוקדים‪.‬‬
‫פרוגנוזה עבור חולה‪ ,‬בסרטן ערמונית עם גרורות‪ ,‬שלא עבר טיפול הורמונלי‪.‬‬
‫האם ניתן להגדיל תוחלת חיים‪ ,‬לחולה בסרטן העמיד כנגד חסר באנדרוגן עם גרורות?‬
‫פרק ‪ -13‬המודל והשערת האנג'יוסטטין ‪.‬‬
‫נספח ‪ -1‬השוואה בין ‪ Quercetine Plus‬לטיפול הורמונלי סטנדרטי‪.‬‬
‫נספח ‪ -2‬חישוב הנת"ה עבור שלב א' של ההרעבה‬
‫נספח ‪ -3‬רשימת נושאים למחקר‪.‬‬
‫נספח ‪ -4‬מקורות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫פרק ‪ -1‬תמצית העבודה‪ ,‬משמעויותיה הכלכליות והבריאותיות‪ ,‬והנמקות לפרסומה‬
‫תמצית העבודה‬
‫‪.1‬בעבודת מחקר זה הושגו הישגים משמעותיים ביותר בחקר הסרטן בכלל‪ ,‬וסרטן הערמונית בפרט‪,‬‬
‫היכולים להשפיע רבות על דרך המלחמה בסרטן ולהציל רבבות של בני אדם כל שנה‪ .‬היחודיות של‬
‫העבודה הינה בשמוש בחקר ביצועים‪ ,‬מבלי כמעט להכנס לתהליכים ביולוגיים כימיים‪ .‬דרך זו מאפשרת‬
‫לנו‪ ,‬ראייה מלמעלה של תופעת הסרטן‪ ,‬דבר המאפשר הבנה יותר מעמיקה של התנהגות הסרטן‪ .‬הבנה‬
‫יותר מעמיקה? יתמה הקורא‪ ,‬והתשובה היא כן‪ ,‬כדברי הפתגם האומר שמרוב עצים לא רואים את היער‪.‬‬
‫בעבודה זו יש עצים‪ ,‬אך רואים גם את היער‪ .‬כתוצאה מראיית היער‪ ,‬עולה גם רשימה מעניינת וארוכה‬
‫של נושאי מחקר בתחום‪ ,‬המופיעה בסופה של עבודה זו‪ ,‬והפתוחה לכל המעוניין‪.‬‬
‫להלן רשימה חלקית‪ ,‬של הממצאים‪ ,‬המסקנות וההישגים של העבודה ‪:‬‬
‫א‪.‬נבנה מודל מתמטי להתפתחות הסרטן תחת אילוצי תזונה‪ ,‬או במילים אחרות‪ ,‬תחת "הרעבה" של‬
‫הסרטן‪ .‬המודל מיועד לתאור ההתפתחות הסרטן עם הזמן‪ ,‬המדובר בסוגי הסרטן הדורשים כלי דם‬
‫מזינים להתפתחותם‪) ,‬אנג'יוג'נסיס(‪ ,‬לפיכך הוא נכון ומשמעותי לגבי כל סוגי הסרטן‪ .‬אם יש סוג סרטן‬
‫שאיני מכיר ושאינו נזקק לאנג'יוג'נסיס על מנת לגדול ולהתפתח‪ ,‬אזי אינני מדבר עליו‪.‬‬
‫ב‪ .‬נבנתה דיאטה‪+‬תוספים‪ ,‬שההיגיון שלה מתבסס על ממצאיו של מחקר‪ ,‬שאינו מדבר כלל על דיאטה‪.‬‬
‫הסבר מפורט וסימוכין ניתנים בגוף העבודה בפרק ‪ -5‬פריצת הדרך ‪ -‬הדיאטה‪ .‬הדיאטה תוקפת את‬
‫מקורות ה"מזון" של הסרטן בשני ראשים ושלושה נדבכים‪ ,‬כאשר כל נדבך תוקף את השאריות של‬
‫הנדבך הקודם‪ :‬בנדבך הראשון אנו מקטינים את כמות חומר הבניין של התא הסרטני‪ ,‬ובמקביל אנו‬
‫מקטינים את כמות חומר הגלם המשמש ליצירת גורמי הדלקות בגוף‪ ,‬המשמשים כשליחים וזרזים של‬
‫יצירת כלי דם מזינים לסרטן )אנג'יוג'נסיס(‪ .‬אנו עושים זאת ע"י המנעות כמעט טוטלית מצריכת שומן‬
‫מסוג אומגה ‪ . 6‬בנדבך השני אנו צורכים כמות מוגדלת של אומגה ‪ ,3‬שמתחרה מול האומגה ‪ 6‬על‬
‫אותם האנזימים‪ .‬התוצרים המופקים מהאומגה ‪ 3‬הינם הרבה פחות מעודדי דלקות‪ ,‬וחלקם אף אנטי‬
‫דלקתיים‪ .‬בנדבך השלישי‪ ,‬אנו צורכים תוספי מזון ותרופות ‪ NSAID‬המהווים מעכבים לאנזימים ‪,cox-1‬‬
‫‪ ,cox-2‬ו ‪ 5-Lipoxygenase‬המפיקים מהחומצה הארכידונית את ה ‪ 5-Hete‬ואת הלויקוטריאנים‪,‬‬
‫פרוסטגלנדינים‪ ,‬פרוסטציקלינים וטרומבוקסנים‪ ,‬שהינם חומרים המעודדים את צמיחת הסרטן בדרכים‬
‫שונות‪ .‬בראש הראשון אנו תוקפים את כמות המזון המגיעה ישירות לבניית התא הסרטני‪ .‬בראש השני‬
‫אנו תוקפים את אספקת המזון הדרושה ליצירת כלי הדם המזינים את הסרטן‪ ,‬כלומר אנו תוקפים‬
‫ומעכבים יצירת צירי אספקה נוספים‪ ,‬שיעודם להגדיל את כמות המזון המסופקת לסרטן ‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ ,‬מתמטית ומעשית‪ ,‬שתחת הדיאטה המתאימה‪ ,‬הסרטן מוגבל בקצב התפתחותו‪ ,‬וההתפתחות‬
‫הולכת ומואטת עד כדי עצירה‪ ,‬המשמעות היא שגרף התפתחות הסרטן שואף לאסימפטוטה‪ .‬הוכח‬
‫שכאשר הסרטן מתקרב לאסימפטוטה‪ ,‬הוא מוריד את האגרסיביות שלו ומתחיל להתפתח מחדש‪,‬‬
‫)הדבר נשמע כאבסורד‪ ,‬אך הוא מוכח מתמטית‪ ,‬ומוסבר היטב גם בלשון פשוטה המובנת לכל אדם‪ ,‬גם‬
‫אם אינו מתמצא במתמטיקה‪ (.‬גם בשלב זה ההתפתחות נעשית בקצב הולך ויורד תוך התקרבות‬
‫ללאסימפטוטה חדשה‪ ,‬הגבוהה כפי ‪ 2‬מהאסימפטוטה הקודמת‪ .‬כלומר‪ ,‬סרטן שאינו נמצא תחת טיפול‬
‫רפואי‪ ,‬אלא רק תחת דיאטה מתאימה‪ ,‬עובר מ"קומה" ל"קומה"‪ ,‬כאשר כל מעבר מ"קומה" לזו שמעליה‪,‬‬
‫מתבצע רק לאחר שהוא מוריד את האגרסיביות שלו‪ .‬תהליך הורדת האגרסיביות‪ ,‬יקרה מספר פעמים‪.‬‬
‫מתברר שבפועל‪ ,‬בסרטן הערמונית‪ ,‬הדבר מתבצע בקפיצות‪ ,‬כאשר בכל קפיצה האגרסיביות יורדת‬
‫ב ‪ . 50%‬תהליך הורדת האגרסיביות נכון לגבי כל סוגי הסרטן‪ ,‬למעט צורת המעבר בקפיצות‪ ,‬שניצפתה‬
‫רק בסרטן הערמונית‪ ,‬אולם איננו רואים שום סיבה להתנהגות שונה בסרטנים אחרים‪ ,‬מפני שזו הדרך‬
‫המהירה ביותר והפשוטה ביותר‪ ,‬המאפשרת לסרטן המשך צמיחה מידי‪..‬‬
‫ד‪.‬נבנה מודל לטפול בהשפעת האנג'יוג'נסיס על התפתחות הסרטן‪ ,‬והוכח שההשפעה הישירה של‬
‫הדיאטה על הקטנת כמות המזון המידית היתה גדולה‪ ,‬וכמות המזון המידית המסופקת לסרטן ירדה‬
‫לכ‪ 38%-‬מהיקפה טרום הדיאטה‪ ,‬אולם ההשפעה על האטת תהליך האנג'יוג'נסיס היתה דרמטית‬
‫‪6‬‬
‫בהרבה וקצב הצמיחה האנג'יוג'נטית היומית‪ ,‬קטן בלפחות פי חמישים וארבע )‪ ,(54‬וזהו הישגה‬
‫הגדול ביותר של הדיאטה‪ .‬בטווח הארוך הסרטן מוריד את רמת האגרסיביות שלו לרמה הנמוכה של‬
‫התפתחות כלי הדם המזינים‪ ,‬ולפיכך מספר הורדות רמת האגרסיביות יכול להגיע ל ‪ 5-6‬פעמים‪ ,‬עד‬
‫אשר רמת האגרסיביות משתווה לקצב צמיחת כלי הדם המזינים את הסרטן‪ .‬המשמעות של הקטנת קצב‬
‫גידול כלי הדם הינה‪ ,‬שבטווח הארוך‪ ,‬יעבור החולה שבמדגם שלנו‪ ,‬מזמן הכפלת ‪ Psa‬של כ‪ 23-‬יום‪,‬‬
‫לכ‪ 3.47-‬שנה‪ .‬הבדל אדיר‪ ,‬הבדל בין חיים ומוות‪ .‬המספרים ניצפו לגבי סרטן הערמונית‪ .‬יש להפריד בין‬
‫המודל המתמטי לבין הדיאטה‪ .‬המודל עצמו הוא כללי ואין הוא מניח דבר על סוג הדיאטה‪ .‬יחד עם זאת‬
‫נציין‪ ,‬שהדיאטה שהומלצה יכולה לסייע לכל סוגי הסרטן‪ ,‬המתפתחים בעזרת אנג'יוג'נסיס‪ ,‬מאחר והיא‬
‫מעכבת תהליך זה באופן ישיר‪ .‬הדבר מוסבר היטב במסמך עם הצבעה על מקורות‪ .‬הוכחנו בוודאות‬
‫שהדיאטה טובה עבור סרטן הערמונית ואנו בטוחים שהדיאטה המומלצת במחקר זה טובה גם לכל סוגי‬
‫הסרטן‪ ,‬בעיקר בגלל ההשפעה העצומה על האטת תהליך האנג'יוג'נסיס‪ ,‬שהינו משותף לכל הסרטנים‪.‬‬
‫ומפני שכל התוספים ומוצרי ה ‪ NSAIDS‬שאנו משתמשים בהם טובים גם הם לכל הסרטנים‪ .‬נדגיש‪,‬‬
‫שהמחקר עליו הסתמכנו הזכיר גם את סרטן השד‪.‬‬
‫ה‪.‬השפעת האמור בתתי הסעיפים ג' ‪ ,‬ד' היא כה דרמטית עד אשר נדמה שהסרטן חסום בגידולו ע"י קו‬
‫ליניארי‪ ,‬ונפסק גידולו האקספוננציאלי‪ .‬לגבי סרטן הערמונית‪ ,‬לאחר כריתה רדיקאלית‪ ,‬נצפתה עלייה‬
‫ליניארית בטווח של שנה בדרגת קורלציה גבוהה ביותר )‪ (R>0.98‬ומסרטן אלים באופן מיוחד‪ ,‬עם קצב‬
‫הכפלת ‪ Psa‬כל ‪ 23‬יום‪ ,‬עברנו לסרטן שקצב התפתחותו על פני שנה ירד בערך פי ‪ . 4200‬תופעת‬
‫הגידול "הליניארי" נובעת משני גורמים הפועלים בו זמנית‪ ,‬מצד אחד עליה אקספוננציאלית קטנה בקצב‬
‫אספקת המזון )אנג'יוג'נסיס(‪ ,‬ומצד שני ירידת האגרסיביות של הסרטן‪ .‬יחד עם זאת הראנו שגם כאשר‬
‫הסרטן מגיע למצב בו האגרסיביות שלו התייצבה‪ ,‬הרי לפחות בטווח של עוד ‪ 4‬שנים הוא ממשיך‬
‫להראות ליניארי‪ ,‬ברמת קורלציה גבוהה ביותר ‪ , R>0.99‬הדבר נובע מהעלייה האיטית ביותר ביצירת‬
‫כלי דם מזינים‪.‬‬
‫ו‪.‬הוכח עבור חולה בסרטן הערמונית‪ ,‬שאם מתחילים מספיק מוקדם בדיאטה המומלצת על ידנו‪ ,‬הרי‬
‫גם חולה ברמת סיכון גבוהה מאד‪) ,‬גליסון ‪ ,(8‬וברמת אגרסיביות גבוהה ביותר‪) ,‬הכפלה תוך פחות‬
‫מחודש(‪ ,‬מסוגל להאריך את חייו לפחות ל‪ 24-‬שנה‪ ,‬וזאת תחת הנחות מחמירות במיוחד הנותנות לנו‬
‫שולי בטחון של ‪ 6‬שנים‪ .‬יחד עם טפול קונבנציונלי‪ ,‬כמו הקרנות )אם הדבר אפשרי(‪ ,‬אפילו שלא יצליחו‬
‫להכחיד את המחלה ואפילו שלא יצליח להוריד את האגרסיביות‪ ,‬ניתן להגיע לאריכות ימים של ‪ 30‬שנה‬
‫וזאת ללא טיפול כימותרפי‪ ,‬וללא שולי הבטחון המוזכרים לעיל‪.‬‬
‫ז‪ .‬ניצפה שחומר מסוים‪) ,Quercetin Plus ,‬להלן ‪ ,(Q-P‬שנטען לגביו שהינו פיטואסטרוגן‪ ,‬פועל יפה‬
‫להורדת ה פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬והטסטוסטרון‪ ,‬אולם גם הוכח שהוא פועל למיסוך חזק ביותר של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬לדבר‬
‫יכולות להיות משמעויות חשובות ביותר בהתחשב במחקרים המראים שהפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬יכול לעודד את‬
‫הסרטן‪ ,‬או שסרטן עמיד לאנדרוגן ניזון מ ‪.Psa‬‬
‫ח‪ .‬נבנה מודל מתמטי לקצב ירידת סרטן הערמונית‪ ,‬תחת השפעת הורמון‪ ,‬ובמקרה שלנו‪ ,‬תחת‬
‫השפעת ה‪ .Q-P-‬הממצאים הכמותיים מצביעים‪ ,‬שדעיכת הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬נעשית בקצב של רמת‬
‫האגרסיביות הגבוהה‪ ,‬שהיתה טרום הדיאטה‪ ,‬כלומר‪ ,‬אפילו אם הסרטן הוריד את האגרסיביות במהלך‬
‫הדיאטה‪ ,‬הרי כשהוא נתון תחת השפעת ה ‪ Q-P‬הוא דועך לפי רמת האגרסיביות הגבוהה שהיתה‬
‫במקור‪ .‬ניתן בעבודה הסבר כיצד הדבר יכול לקרות‪ ,‬הסבר זה יוצר פתח למחקרים בנושא‪ ,‬שאם יאומתו‪,‬‬
‫יתרמו רבות לפיתוח תרופות חדשות בתחום המלחמה כנגד סרטן העמיד לאנדרוגן וגם סרטן הרגיש‬
‫לאנדרוגן‪.‬‬
‫ט‪.‬הראנו‪ ,‬שבמקרה של סרטן ערמונית‪ ,‬ברמת אגרסיביות גבוהה‪ ,‬שהגיע לערך ‪ ,Psa=20‬ובתנאי שלא‬
‫קבל טפול הורמונלי קודם לכן‪ ,‬יוכל החולה‪ ,‬תחת הנחות חמורות לרעה כשכולן מתרחשות יחד‪ ,‬לחיות‬
‫לפחות ‪ 12‬שנים‪ ,‬ועם שולי בטחון גבוהים של כמה שנים‪ ,‬בזמן שהפרוגנוזה כיום לגבי אדם כזה הינה‬
‫‪ 1-3‬שנים‪.‬‬
‫י‪ .‬הוכח שתרומת ההקרנות‪ ,‬לאריכות ימיו של החולה הספציפי שבמדגם‪ ,‬היתה לכל היותר ‪ 7.7‬חודשים‬
‫ללא הדיאטה‪ ,‬אך תתרום כ‪ 55-‬חודשים יחד עם הדיאטה‪ .‬הדבר מצביע על תרומה סינרגטית גבוהה‬
‫‪7‬‬
‫מאוד לפעילות רפואית סטנדרטית המשולבת עם הדיאטה‪ .‬הדבר נכון באופן מיוחד בפעולות רפואיות‬
‫הפוגעות בכלי הדם המזינים את הסרטן‪ ,‬וזאת בעקבות האמור בתת סעיף ד'‪ ,‬מאחר ולסרטן הנמצא‬
‫תחת דיאטה קשה לייצר כלי דם מזינים‪ ,‬במקום אלה שהוכחדו‪ .‬לנושא זה יכול להיות משקל מכריע אם‬
‫לבצע התערבות רפואית מסוימת או לא‪ ,‬לפי מידת פגיעתה בכלי הדם המזינים‪.‬‬
‫יא‪ .‬כל החישובים למציאת אריכות הימים של החולה נעשו תחת הנחות חמורות‪ ,‬ותמיד לרעת התוצאות‪,‬‬
‫לפיכך אנו משוכנעים שהתוצאות יכולות להיות רק טובות יותר מהמחושב על ידינו‪.‬‬
‫יב‪ .‬במגמה לשכנע להכיר בחשיבות העבודה‪ ,‬מוצגת פה‪ ,‬תוצאה משמעותית ביותר‪ ,‬המראה את‬
‫עצמתה של העבודה‪ .‬הנתונים מבוססים על נתוני האישיים‪ ,‬חולה בסרטן ערמונית‪ ,‬בעת גילוי הסרטן‬
‫היה ה ‪ 10.4=Psa‬עם ציון גליסון ‪ .PNI+8‬עברתי ניתוח כריתה רדיקלית‪ ,‬חצי שנה לאחר הניתוח היה‬
‫ברור‪ ,‬על אף היותי בטיפול הורמונלי‪ ,‬שהסרטן קיים ולא הוכחד‪ ,‬והינו אגרסיבי ביותר‪ .‬בהמשך עברתי‬
‫ניתוח ‪ ,HIFU‬ותוך חודש הובהר שהניתוח נכשל‪ ,‬והסרטן חזר לסורו‪ .‬עברתי טיפול קרינתי‪ ,‬ותוך‬
‫חודשיים התברר שהסרטן חזר לסורו‪ ,‬כשזמן ההכפלה נשאר כפי שהיה במקור כ ‪ 23-24‬יום‪ .‬נכון להיום‬
‫‪ 31‬מרץ ‪ 7 ,2013‬שנים לאחר גילוי המחלה‪ ,‬קרוב לשנתיים לאחר סיום ההקרנות‪ ,‬טפול הורמונלי קצר‬
‫של ‪ 34‬יום בלבד‪ ,‬ותחת משטר הדיאטה ‪,‬ה ‪ 0.11= Psa‬כשהוא מתקדם בקצב איטי ממוצע של פחות‬
‫מ ‪ 0.02‬לחודש‪ .‬על אף גילי )‪ ,(74‬ועל אף האגרסיביות של מחלתי‪ ,‬בכוונתי להיות פה עוד הרבה מאוד‬
‫שנים‪ .‬להלן גרף עם תוצאות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שלי כפי שהתפתחו במשך שנה‪ .‬מאפריל ‪ 2009‬ועד אפריל‬
‫‪ , 2010‬כאשר ‪ PsaDT=23.4‬יום‪ ,‬הבדיקות בוצעו תוך תהליך הדיאטה וללא לקיחת הורמונים‪ ,‬כלומר‬
‫התוצאות הטובות הינן הישג של הדיאטה בלבד‪.‬‬
‫שרטוט ‪1-‬‬
‫התוצאות הוכנסו לתוכנה גרפית‪ ,‬אשר ביצעה קירוב ליניארי לנתונים והתוצאה הינה מדהימה‪ ,‬כפי‬
‫שנראה מהשרטוט של הגרף ומהתוצאות שהציג המחשב הרי מקדם הקורלציה בריבוע הוא‬
‫‪8‬‬
‫ולכן מקדם הקורלציה הוא‬
‫‪ R=0.9801‬שזה מקדם קורלציה גבוה ביותר‪ .‬קצב הגידול‬
‫וקצב הגידול השנתי הוא‬
‫החודשי הממוצע של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הוא‬
‫‪ . 0.4057‬כאשר הבאנו בחשבון את קיומו של תהליך אנג'יוג'נטי רציף‪ ,‬כלומר קיום עליה רצופה בכמות‬
‫המזון המסופקת לסרטן‪ ,‬הרי שהגרף בטווחים ארוכים מאוד של הזמן פסק מלהיות ליניארי‪ ,‬אך גם‬
‫במקרה זה הוכחנו‪ ,‬שיחד עם טיפול הורמונלי מתאים‪ ,‬נוכל להגיע לפחות ל‪ 24‬שנה‪.‬‬
‫להלן גרף השוואתי בין התוצאות בפועל‪ ,‬למה שהיה קורה ללא הדיאטה וללא טיפול הורמונלי‪,‬‬
‫בהתחשב שה ‪ PsaDT‬שלי )זמן הכפלת ה ‪ (Psa‬היה באותו זמן כ ‪ 23.4‬יום‪.‬‬
‫שרטוט ‪2-‬‬
‫ההבדל בין שני המצבים הוא כל כך קיצוני שלא ניתן להציגו בגרף רגיל ‪ ,‬על כן נאלצתי להציגו בגרף‬
‫חצי לוגריתמי‪ .‬גם כך המראה משכנע‪ ,‬אך הוא לא מייצג את המשמעות האמיתית‪ ,‬אותה נוכל לקלוט‬
‫ולהבין רק אם נסתכל על המספרים‪ ,‬שהם תאורטיים לחלוטין‪ ,‬מאחר שהייתי הופך ל"מנוח" הרבה‬
‫לפני תום השנה ‪.‬‬
‫משמעויות כלכליות ובריאותיות ברמה הלאומית הבינלאומית והאישית‪.‬‬
‫‪ .2‬בכדי להבין את משמעות ההישגים של עבודה זו‪ ,‬וגודל ההשפעה שיכולה להיות לה‪ ,‬עלינו לברר‪,‬‬
‫קודם לכל‪ ,‬מהו היקף הבעייה עליה אנו מדברים? להלן צטוט מדו"ח משרד הבריאות )סימוכין ‪ (.53‬על‬
‫"סיבות מוות מובילות בישראל ‪"2000-2009‬‬
‫שיעור הפטירות בגיל ‪ ,1-74‬ללא תמותת תינוקות ופטירות קשישים בגיל ‪ 75‬ומעלה‪ ,‬מראה שסרטן‬
‫מהווה סיבת המוות הראשונה ומחלות לב הסיבה השנייה‪ .‬בשנת ‪ , 2009‬שיעור הפטירות מסרטן היה‬
‫גבוה פי ‪ 4.8‬בהשוואה לשיעור ממחלות לב אצל נשים ופי ‪ 2.4‬אצל גברים‪ .‬פטירות מסרטן מהוות כשליש‬
‫מכלל הפטירות בקרב גברים וקרוב למחצית מהפטירות בקרב נשים בשנים האחרונות )לגברים ‪32%‬‬
‫בשנת ‪ 2009‬ו ‪- 28%‬בשנת ‪ 2000‬ולנשים ‪ 46%‬ו ‪- 40% ,‬בהתאמה(‬
‫‪9‬‬
‫ועוד נאמר בדו"ח "סרטן היא סיבת המוות המובילה בישראל ‪,‬בארה"ב ובמרבית מדינות אירופה‬
‫)בריטניה ‪,‬אירלנד ‪,‬צרפת ‪,‬איטליה‪ ,‬בלגיה שוודיה‪ ,‬נורבגיה ‪,‬דנמרק ‪,‬ספרד ‪,‬פורטוגל והולנד( ומחלת לב‬
‫הינה הסיבה השנייה ‪ .‬בפינלנד ‪,‬הונגריה‪ ,‬סלובקיה ‪,‬רומניה ‪,‬גרמניה ‪,‬אוסטריה ‪,‬פולין וצ'כיה מחלת לב‬
‫הינה הסיבה הראשונה וסרטן הסיבה השנייה‪.‬‬
‫לאור האמור בדו"ח הנ"ל של משרד הבריאות‪ ,‬ברור שעבודתנו זו הינה חשובה ויכולות להיות תוצאות‬
‫בעלות משמעות ברמה האישית של האדם הבודד‪ ,‬ומשמעויות כלכליות ברמה הלאומית והבינלאומית‪.‬‬
‫מכיון שהיא מביאה לכך שבחלק גדול מהמיקרים תוכל המחלה להחשב כמחלה כרונית לא קשה‪,‬‬
‫במקום מחלה סופנית‪ .‬בביקורי האחרון אצל האונקולוג בחודש מרץ ‪ 2013‬הוא כתב על טופס סכום‬
‫הבקור‪ ,‬מחלה פעילה‪ ,‬והזמין אותי לבקורת בעוד ‪ 6‬חודשים‪ ,‬אך לי הוא אמר בערך כך‪ :‬אני יכול‬
‫לסכם שהמחלה שלך לא חמורה‪ ,‬וכאשר הערתי לו שהמחלה מאד אגרסיבית‪ ,‬ושהוא יודע זאת‪,‬‬
‫והתוצאות הנוכחיות הן בזכות הדיאטה‪ ,‬ענה לי‪ :‬אתה מרגיש טוב? כן אני מרגיש מצוין‪ ,‬וכל אחד‬
‫ששואל אותי אני אומר שאני בריא‪ .‬נו‪ ,‬אז זה מה שחשוב‪ ,‬אני מכיר אותך כבר שנתיים‪ ,‬בהן ניהלת‬
‫את עיניינך טוב מאוד‪ ,‬ובדרך שאתה עושה זאת‪ ,‬אתה יכול להחשב בריא‪ .‬אני מניח שזה מה שכל‬
‫חולה היה רוצה לשמוע‪ ,‬ולמיטב ידיעתי והבנתי חלק ניכר מחולי הסרטן יוכל להיות במצב זה‪,‬‬
‫בתנאי שנצליח להביא את העבודה הנוכחית לתודעת הממסד הרפואי והרופאים עצמם‪ .‬בנוסף לאמור‬
‫לעיל‪ ,‬דיאטה זו טובה‪ ,‬לטיפול בהרבה מאד מחלות‪ ,‬כמו‪ :‬פסוריאזיס‪ ,‬אוסטאוארטריטיס‪ ,‬אסתמה‪ ,‬טרשת‬
‫נפוצה‪ ,‬מחלות לב‪ ,‬ועוד הרבה מחלות‪ ,‬ובכך תביא לתרומה נוספת להעלאת רמת הבריאות הכללית‪.‬‬
‫היא תעלה גם את רמת בריאותם של חולי הסרטן שעברו לדיאטה המומלצת‪ ,‬מעבר לשפור מצבם‬
‫מבחינת הסרטן‪ ,‬מכיון שזה יעלה את בריאותם בתחום מחלות הלב‪ ,‬וכל שאר התחומים שדיאטה זו‬
‫עוזרת להם‪.‬‬
‫ברור לנו שהדיאטה המוצעת אינה נוחה‪ ,‬ודורשת ויתורים מסויימים‪ ,‬לכן איננו משלים את עצמנו ואיננו‬
‫מציעים זאת במסגרת רפואה מונעת‪ ,‬אך כן מציעים זאת כדרך לטפול במחלות שכבר חלינו בהם‪,‬‬
‫והדיאטה הופכת להיות דרך חיים‪.‬‬
‫למה לקדם ולפרסם את העבודה?‬
‫‪ .3‬נשאלת השאלה‪ ,‬ממתי מי שרוצה לפרסם ספר צריך להביא הנמקות לפרסום? העיניין הוא פשוט‪,‬‬
‫מכיון שהעבודה בוצעה כעבודה מדעית מקצועית‪ ,‬לא ראיתי אפשרות להוציא ספר מדעי‪ ,‬בתחום ספציפי‪,‬‬
‫שהציבור הרחב יוכל להגיע אליו ולהבינו‪ ,‬ולכן אם הייתי הולך בדרך זו היתה זו עבודה לחינם‪ ,‬והוצאה‬
‫כספית גדולה שלא היתה משיגה שום דבר‪ ,‬חוץ מאשר להקטין משמעותית את חשבון הבנק שלי‪ .‬לכן‬
‫ניסיתי לעניין את אחד המוסדות האקדמאיים בישראל‪ ,‬בעבודתי וחשבתי שאוכל לפרסמה במסגרת‬
‫עבודה לדוקטורט‪ ,‬לא מתוך הרצון להשגת תואר‪ ,‬אלא מתוך המחשבה שפרסומה במסגרת של מוסד‬
‫אקדמי מכובד‪ ,‬יעזור לנכונות של הרופאים ואנשי המדע העוסקים בנושא‪ ,‬לקבל את הרעיונות שבעבודה‪,‬‬
‫כרעיונות רציניים וממשיים‪ ,‬ולקבל את העובדה שיכולות להיות לעבודה זו‪ ,‬השלכות אדירות בתחום‬
‫הרפואי‪-‬בריאותי‪ ,‬אף על פי שמי שכתב אותה‪ ,‬איננו רופא אונקולוג‪ ,‬או ביולוג‪ ,‬אלא חולה סרטן‪ .‬אולם‬
‫בהיותי ער לדרישות לתת תוצאות של ניסויים רפואיים‪ ,‬כתנאי לפרסום‪ ,‬ומכיוון שהייתי צריך להציג‬
‫תקציר של העבודה‪ ,‬החלטתי שבהזדמנות של הגשת התקציר‪ ,‬אציג הנמקות מדוע רצוי וכדאי לפרסם‬
‫עבודה זו‪ ,‬אף על פי שהמדגם שלי כולל כ ‪ 70‬דגימות של אדם אחד ורק של חולה בסרטן הערמונית‪.‬‬
‫ההנמקות לא עזרו לי ונאמר לי שאחד המכשולים העומדים בפני‪ ,‬להסכמה לפרסום העבודה בתוך‬
‫מסגרת של מוסד אקדמי‪ ,‬או בעתון מקצועי‪ ,‬הינה הדרישה לניסויים שיאשרו את ממצאי העבודה‪ .‬מעבר‬
‫לכך נדרשתי גם ללמוד כמקובל לקראת קבלת תואר‪ .‬כמובן שאין זה ריאלי שאשב בגיל ‪ 74‬על ספסל‬
‫הלימודים במוסד אקדמי ואלמד מקצועות קשים ביותר‪ ,‬במיוחד ממרחק של ‪ 50‬שנה‪ ,‬מלימודי לתואר‬
‫השני‪ ,‬כאשר בתקופה זו נוספה כמות ידע אדירה‪ ,‬ונוצרו פערים בידע שעלי להשלימם‪ ,‬שסביר שלא יהיה‬
‫לי בהם שום תועלת לעבודה הנוכחית ולא למהלך חיי בעתיד‪ .‬יש לי השגות רציניות ביותר לגבי התנאים‬
‫הללו‪ ,‬אך כמובן שאין ביכולתי לשנות סדרי עולם‪ ,‬רק מפני שאני חושב שעבודתי ראוייה לפרסום‪ ,‬גם‬
‫ללא קיומם של התנאים הללו‪ .‬לפיכך החלטתי לפרסם את העבודה באופן עצמאי דרך האינטרנט כמו‬
‫שהיא‪ ,‬אך גם להציג בהמשך‪ ,‬גרסאות עממיות של הפרקים השונים‪ ,‬אם זה אפשרי‪ ,‬על מנת לאפשר‬
‫גישה לידע חשוב זה‪ ,‬לציבור רחב ככל האפשר‪ .‬כתוצאה מכל האמור לעיל נשאר לכאורה החלק המיותר‬
‫של ההנמקות לפרסום‪ ,‬באשר אינני צריך כעת לשכנע אף אחד בכדאיות הפרסום של העבודה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫מכיון שאני רואה בתקציר זה חלק של החומר בגרסתו העממית‪ ,‬הרי שבקריאה חוזרת של החומר הזה‪,‬‬
‫הורדתי את כל ההנמקות המקצועיות שאינן נוגעות לצבור הרחב‪ ,‬והשארתי את ההנמקות‪ ,‬המביאות את‬
‫תוכנה המיוחד של העבודה‪ ,‬ושמדברות על נושאים המייחדים עבודה זו מהרבה עבודות אחרות‪ ,‬ובעצם‬
‫בכך מהוות חלק של התקציר‪ ,‬כשהן מציגות את המיוחד שבעבודה‪ ,‬לא רק מבחינת התוכן‪ ,‬אלא גם‬
‫מבחינת הדרך שנבחרה לבצוע העבודה‪ .‬להלן עקרי הדברים‪:‬‬
‫א‪ .‬הסיבה הראשונה והעקרית הינה הרצון לעזור‪ ,‬בצורה משמעותית ביותר‪ ,‬לכמות גדולה מאד של בני‬
‫אדם‪ ,‬ומבלי שהם יצטרכו להתרושש על מנת להציל את חייהם‪ .‬מכיון שעבודה זו מסוגלת לעשות זאת‪,‬‬
‫מן הראוי לפרסמה‪ .‬רמזים למשמעויות המספריות‪ ,‬הכלכליות והרפואיות מופיעים בסעיף ‪ 2‬לעיל‪ ,‬וכל מי‬
‫שעיניו בראשו יכול להרחיבן מאוד‪ .‬לעיתים קרובות כאשר אני שומע על אדם זה או אחר שנפטר בגלל‬
‫מחלת הסרטן‪ ,‬אני חושב לעצמי‪" :‬הנה עוד אדם שמת לחינם‪ ".‬וכפי שכתב לי‪ ,‬פרופסור מכר‪" :‬אם אני‬
‫מבין נכון‪ ,‬אין לך כוונה לשמור את הדיאטה בסוד‪ ,‬אלא להביאה לידיעת הציבור וכך ראוי לעשות‪ ".‬ואכן‬
‫כך אני עושה‪ .‬השפור המשמעותי והתרומה האדירה של הדיאטה‪ ,‬הינם מיוחדים במינם בנוף התרופות‬
‫המטפלות בסרטן‪ .‬להלן תרגום מאנגלית של הכתוב בויקיפדיה על תרופת האבירטרון‪ :‬לאחר סקירה‬
‫מזורזת של שישה חודשים ה ‪ abiraterone‬אושר על ידי מנהל המזון והתרופות האמריקאי )‪(FDA‬‬
‫בחודש אפריל ‪ . 2011‬בניסויים בשלב ‪ III‬התברר שהוא האריך את חציון ההישרדות ל ‪ 14.8‬חודשים‬
‫לעומת ‪ 10.9‬חודשים בחולים שקבלו פלצבו‪ .‬הניסוי הופסק בגלל התוצאה המוצלחת‪ .‬שימו לב ‪ :‬הדרך‬
‫המוצעת יכולה להאריך חיים ב ‪ 15‬שנה ואף יותר לעומת פחות מ ‪ 4‬חודשים של האבירטרון‪ ,‬שנחשבת‬
‫למוצלחת מאוד‪ .‬אז שלא ארצה להביא זאת לידיעת הציבור הרחב? ויותר מכך‪ ,‬באנגליה התרופה לא‬
‫אושרה‪ ,‬על בסיס שיקולי עלות‪-‬תועלת‪ ,‬מאחר והיא עולה כ ‪ $4500‬לחודש לחולה‪ ,‬בעוד שהעלויות על פי‬
‫מחקרנו הינן זניחות ביחס לכך‪ ,‬והן כרוכות בקניית מספר תוספים ותרופות סטנדרטיות כמו אספירין‬
‫ו ‪ celebra‬שנתן לקנותה מקופת חולים‪ .‬וגם זה לא חובה למי שלא יכול‪ ,‬אז שלא ארצה להביא זאת‬
‫לידיעת הציבור?‬
‫ב‪ .‬יש בעבודה זו חידושים ודגשים‪ ,‬שראויים לתשומת לב הקהילה המדעית‪ ,‬ובמיוחד העובדה שאפשר‬
‫לנסח מתמטית‪ ,‬תופעות ביולוגיות ורפואיות‪ ,‬ועי"כ להשיג תוצאות ולהגיע למסקנות‪ ,‬שאי אפשר היה‬
‫להגיע אליהן בדרך אחרת והמנוגדות לכל אינטואיציה שיש לנו‪ ,‬כגון העובדה שבתנאים מסוימים ולא‬
‫נדירים‪ ,‬והנמצאים בשליטתנו‪ ,‬חייב הסרטן להוריד את האגרסיביות שלו על מנת להמשיך ולצמוח‪.‬‬
‫אינטואיטיבית‪ ,‬מסקנה זו נראית בלתי הגיונית לחלוטין‪ ,‬אך דרך המתמטיקה אנו רואים עד כמה זה‬
‫הגיוני‪ .‬יש חשיבות רבה לניסיון המוצלח הזה‪ ,‬מאחר שרוב כמעט מוחלט של בני האדם לא מעלים על‬
‫דעתם שניתן לעשות זאת‪ ,‬כולל מתמטיקאים‪ ,‬ביולוגים‪ ,‬רופאים וביניהם האונקולוגים‪ ,‬ובכך מאבדים כלי‬
‫חזק‪ .‬כחלק מהגישה המתמטית‪ ,‬הראנו שאפשר גם בשטח זה לבצע ניתוחי רגישות לגבי התוצאות‬
‫הצפויות כשאנו מניחים הנחות לגבי ערכם המספרי של פרמטרים ולהגיע למסקנות אמינות מאד על אף‬
‫העובדה שאין אנו יודעים את הפרמטר האמיתי‪.‬‬
‫ג‪.‬הבאה לתשומת הלב את החשיבות האדירה של הראייה האינטגרטיבית גם במודלים ביולוגיים‪,‬‬
‫חשיבות שאינה פחותה מכל המחקרים הפרטניים של התהליכים הביולוגיים כולל בתחום הגנטיקה‪.‬‬
‫המחקרים הללו חשובים ביותר‪ ,‬באשר ללא מחקרים כאלה‪ ,‬פחותים הסיכויים למציאת תרופות‬
‫והרבה פעמים לא ניתן לבצע עבודה ברמת המקרו‪ ,‬מבלי שיהיו לנו קודם נתוני המיקרו‪ ,‬אלה שתי‬
‫גישות שמטרתן אחת והן חייבות להזין אחת את השנייה‪ .‬הבעיה הינה שבמירב המיקרים החוקרים‬
‫שקועים כל כולם בפרטי הפרטים של המחקר ברמת המיקרו‪ ,‬ואינם מפנים את ראשם לכוון המקרו‪ .‬כיום‬
‫זה הולך ביתר עצמה לכוון המיקרו‪ ,‬כאשר מדברים על רפואה מוכוונת אישית‪ ,‬בה מנסים לראות מה‬
‫מיחד את הסרטן אצל אדם ספציפי‪ .‬זוהי דרך לגיטימית‪ ,‬שמובילה למחקרים דווקא ברמת המיקרו של‬
‫המיקרו‪ ,‬דהיינו מחקרי מיקרו עבור אוכלוסיית מיקרו‪ ,‬אך לדעתי המזור שימצא בדרך זו לא יהיה כללי גם‬
‫בעוד עשרות שנים‪ ,‬מאחר ולחברות התרופות לא ישתלם לחפש תרופות המבוססות על מוטציה של גן‬
‫ספציפי ונוגעת לחלק קטן של האוכלוסיה‪ .‬עבודה זו שמה דגש דווקא על הניסיון למצוא את המשותף‬
‫במובן הרחב ביותר‪ ,‬בניגוד לחיפוש המבדיל ברמה הפרטנית ביותר‪ .‬אנו מנסים למצוא את המשותף לכל‬
‫הסרטנים‪ ,‬העובדה הינה שהניסיון לראות את המשותף‪ ,‬במקום לנתח את המפריד‪ ,‬מניב לעיתים‬
‫פירות מפתיעים ביותר בעוצמתם‪ ,‬הדבר בולט במיוחד במתמטיקה ובפיסיקה‪ ,‬כך גם פה הניסיון‬
‫לראות את המשותף לכל סוגי הסרטן הניב תוצאה משמעותית ביותר ופשוטה ביותר‪ ,‬והניבה כלי עוצמתי‬
‫הטוב לכל סוגי הסרטן‪ .‬מסתבר שגישת מחקר המקרו מפרה גם את מחקרי המיקרו‪ ,‬מכיוון שהרבה‬
‫פעמים אנו נתקלים בשאלה חשובה‪ ,‬שאנשי מחקר המיקרו לא נתנו עליה את דעתם‪ .‬ובעניין זה אני‬
‫‪11‬‬
‫חייב לציין את תרומתו המיוחדת במינה של ד"ר יהודה פולקמן‪ ,‬על עבודתו החשובה בתחום‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ ,‬באשר תהליך האנג'יוג'נסיס הינו תהליך המשותף לכל בני האדם‪ ,‬לכל סוגי הסרטן‪,‬‬
‫ולהרבה מאוד בעלי חיים‪ .‬ראיית המקרו שלו הובילה להרבה מחקרים נוספים שלו ושל עמיתיו‪,‬‬
‫בתחום המיקרו של הצמיחה האנג'יוגנטית‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמתמטיקאי וכמי שהנחה ובצע עשרות עבודות מחקר בתחום חקר ביצועים של אמצעי לחימה‬
‫ונושאים כלכליים שונים‪ ,‬תוך הקפדה על ביצוע מדויק ומנומק של העבודות‪ ,‬שזכו תמיד לשבחים‪ ,‬נראה‬
‫לי שיש בידי את הכלים וחוש הבקורת המתאים כדי לבחון האם העבודה‪ ,‬אכן מייצגת את המציאות‪,‬‬
‫והאם ניתן לסמוך עליה אינני חושש לפרסם עבודה זו וניסיון עשיר של עשרות עבודות מוצלחות‪ ,‬נותן‬
‫בסיס מוצק לכך‪ .‬וכמנהגי במחקרים כל דבר משמעותי מנותח מנומק‪ ,‬ואם יש ספקות‪ ,‬גם הן מוצגות‪.‬‬
‫קיימים הרבה סיפורים על התגברות על המחלה‪ ,‬שרובם ככולם אינם ניתנים לשחזור אצל מישהו אחר‪,‬‬
‫ואינם מלווים בהסבר הגיוני מוכח‪ ,‬המראה על הקשר שבין דרך הטיפול לתוצאה‪ .‬במקרה שלנו‪ ,‬יש מודל‬
‫התנהגות של הסרטן‪ ,‬שיש לו הסבר פיזיקלי פשוט‪ ,‬שקבל נסוח מתמטי ברור‪ ,‬שכל אחד יכול לבחון את‬
‫ההיגיון שלו‪ ,‬ואם אי אפשר לסתרו הרי שהוא ראוי לפרסום‪ ,‬נבהיר שאין פה השערה על מודל התנהגות‬
‫של הסרטן‪ ,‬שצריך להוכיח אותה על ידי ניסויים‪ ,‬יש פה הוכחה תאורטית המבוססת על חוק שמור‬
‫החומר‪ ,‬וקצת מתמטיקה‪ ,‬ואין זה שונה מכל עבודה תאורטית אחרת‪ ,‬בתחום הפיסיקה או המתמטיקה‪.‬‬
‫יכול מישהו לאמר‪ ,‬שמע התאוריה יפה‪ ,‬אבל אם אין דיאטה כזו שיכולה להרעיב את הסרטן‪ ,‬אזי זו‬
‫תאוריה שתחום ההגדרה שלה ריק‪ ,‬אז מה הטעם בדבריך? ועל כך נענה שהעבודה מפרטת דיאטה כזו‪,‬‬
‫שתוצאותיה לגבי הינן מדהימות‪ ,‬היא מצביעה על עבודות מחקר מדעיות שפורסמו‪ ,‬ניתן סימוכין מלא‬
‫לטענת המחקר הנ"ל‪ ,‬כל אחד יכול להכנס אליו ולבדוק אותו‪ ,‬וניתן הסבר הגיוני מלא‪ ,‬כיצד נוצרה‬
‫הדיאטה על בסיס המחקר הנ"ל‪ .‬בנוסף ניתן הסבר מלא כיצד הדיאטה משפיעה על האנג'יוג'נסיס‪ ,‬וזאת‬
‫בהתבסס על מחקרים נוספים שפורסמו‪ ,‬ואי אפשר לסתור את ההיגיון של הדיאטה‪ ,‬מבלי לסתור את‬
‫הממצאים של כל המחקרים עליהם היא מתבססת‪ ,‬הדבר דומה לכל הוכחה במתמטיקה המסתמכת על‬
‫משפטים קודמים על מנת להוכיח משפטים חדשים‪.‬‬
‫ה‪ .‬כדוגמה היסטורית‪ ,‬בולטת ביותר‪ ,‬לחיזוק האמור פה‪ ,‬אביא את תורת היחסות הפרטית של‬
‫איינשטיין‪ ,‬שהתבססה על שיקולים תאורטיים וגם הניחה הנחות מסוימות‪ ,‬שהתפרסמה עם כל‬
‫מסקנותיה המוזרות‪ ,‬בשנת ‪ ,1905‬מבלי שהיו מספיק הוכחות לאישושה‪ .‬נשים לב שאלברט איינשטיין‬
‫קבל את פרס הנובל לפיסיקה‪ ,‬בשנת ‪ ,1921‬בזכות ההסבר שלו את האפקט הפוטואלקטרי ולא עבור‬
‫תורת היחסות‪ ,‬שהיתה עדיין שנויה במחלוקת‪ ,‬כאשר חלקים גדולים בקהילה הפיסיקלית שללו אותה‬
‫מכל וכל‪ .‬נתאר לנו מצב שבו התאוריה שלו לא היתה מתפרסמת‪ ,‬עד אשר הוא היה מספק הוכחות‬
‫בניסויים לכל טענותיו‪ ,‬יש להניח שבמצב כזה התאוריה לא היתה מתפרסמת גם לאחר עשרות שנים‪.‬‬
‫עצם הפרסום גרם ללימוד שלה‪ ,‬ולניסיונות לאשש אותה‪ ,‬או להפריך אותה‪ ,‬ע"י הקהילה המדעית‪,‬‬
‫כתוצאה מכך עבדו על הנושא הרבה מוחות‪ .‬אילו לא התפרסמה לא היה מי שיבדוק אותה וישתמש בה‪.‬‬
‫ו‪ .‬אסתפק בכך‪ ,‬ואציין שיש בכוונתי לקיים דיון מיוחד‪ ,‬בנושא זה‪ ,‬של מדיניות הפרסום וההכרה‬
‫האקדמית‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ -2‬מודל מתמטי להשפעת הדיאטה על התפתחות הסרטן ‪.‬‬
‫מודל לידה ומוות‪Growth and Decay-‬‬
‫‪ .4‬אוכלוסית הסרטן הינה אוכלוסיה ככל אוכלוסיה אחרת‪ ,‬שקיימת בה ילודה ותמותה‪ .‬אם קצב הילודה‬
‫של האוכלוסיה‪ ,‬קטן מקצב התמותה‪ ,‬אזי האוכלוסיה גדלה‪ .‬אם יש שוויון בין ילודה לתמותה‪ ,‬אזי גודל‬
‫האוכלוסיה קבוע‪ .‬במקרה בו התמותה גבוהה מהילודה‪ ,‬האוכלוסיה מתמעטת‪ .‬המיוחד בסרטן הינו‪,‬‬
‫שבדרך כלל‪ ,‬התרבות התאים גבוהה ביותר ואין תמותה של תאי סרטן ללא התערבות רפואית‪ ,‬כתוצאה‬
‫מכך הסרטן הולך ומתפשט‪ ,‬עד שהוא הורס איברים חיוניים בגופנו שבלעדיהם אין לנו חיים‪ .‬כל אחד‬
‫מאתנו שמע על מקרים בהם הסרטן נעצר ונשאר קבוע והאדם המשיך לחיות עם הסרטן בגופו‪ ,‬או אפילו‬
‫על מקרים בהם הסרטן נסוג ונעלם‪ .‬כל המצבים הללו של הסרטן ניתנים לתאור מתמטי אחד‪ ,‬כאשר‬
‫המצבים השונים שבמציאות מותנים בערך של הפרמטרים הקיימים במודל‪ .‬לכל אדם הפרמטרים שלו‬
‫ולפעמים הוא יכול להשפיע עליהם‪ .‬קיים מודל ידוע במתמטיקה ובסטטיסטיקה המתאר מצבים אלה‪,‬‬
‫מודל זה נקרא‪" ,‬מודל לידה ומוות" או ‪.Growth and Decay‬‬
‫‪.5‬כל אחד מאתנו מבין שבאוכלוסיה הגדלה בקצב של ‪ 3%‬בשנה‪ ,‬כמות הנפשות הנוספות בשנה‬
‫הוא השינוי בגודל‬
‫כאשר‬
‫תלויה בגודל האוכלוסיה‪ ,‬שנסמנה ב ‪ ,N‬ומתקיים‬
‫אזי‬
‫והתמותה‬
‫האוכלוסיה במשך השנה‪ .‬לכן יובן הנסוח המתמטי האומר שאם קצב הילודה הוא‬
‫נקבל‪:‬‬
‫כאשר ‪ t‬הוא הזמן‪ .‬מכאן נובע מידית ‪:‬‬
‫או‬
‫נסמן‬
‫)‪(2.0‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫)‪(2.3‬‬
‫ונקבל‬
‫נציב ‪ t=0‬ונקבל‬
‫עיון ב )‪ (2.4‬מראה לנו את כל האפשרויות בהתפתחות הסרטן‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪(2.4‬‬
‫הסרטן הולך ומתפשט‪.‬‬
‫הסרטן יציב ‪.‬‬
‫הסרטן נסוג ומתמעט‪.‬‬
‫‪.6‬כאשר מדובר בסרטן‪ ,‬בד"כ הוא מתרבה והתאים אינם מתים‪ ,‬במקרה זה הנוסחה המתאימה הינה‬
‫)‪ (2.5‬כאשר ‪ . ‬על מנת שנבין את משמעותה של נוסחה זו נשרטט גרף‬
‫לדוגמה‪ ,‬של סרטן שזמן הכפלת ה‪ (PsaDT) Psa-‬שלו הוא חודש‪ .‬סרטן כזה הוא אגרסיבי ביותר‪ ,‬אך‬
‫זהו גם מצב ריאלי ביותר‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫להלן הגרף‪:‬‬
‫שרטוט‪3-‬‬
‫במצב זה הסרטן מכפיל את עצמו פי ‪ 4096‬תוך שנה‪ .‬אדם עם נתון כזה לא ישרוד שנה‪ ,‬אם לא יקבל‬
‫טיפול רפואי מתאים‪ .‬למזלנו הדיאטה שלנו משנה מצב זה לחלוטין‪ .‬לו שרטטתי את הגרף המתאים‬
‫לדיאטה שלנו יחד עם הגרף שלעיל‪ ,‬לא היינו מסוגלים להבחין בינו ובין ציר ה‪ .x-‬על מנת לאפשר‬
‫השוואה כזו יש לצייר את הגרף על גבי נייר חצי לוגריתמי כפי שעשיתי בשרטוט‪ , 2-‬אלא ששם זמן‬
‫ההכפלה היה כל ‪ 23.4‬יום כפי שהיה אצלי ללא הדיאטה‪.‬‬
‫ההשפעה על הפרמטרים השונים באמצעות טיפול רפואי‪.‬‬
‫‪.7‬הסרטן הינה מחלה רבת פרמטרים וקשה מאד לשלוט עליה‪ ,‬לדוגמא בסרטן הערמונית ישנם הרבה‬
‫מאד סוגי קולטנים )רצפטורים(‪ ,‬הלוקחים חלק בהתפתחות המחלה‪ ,‬כגון‪ :‬קולטנים לאנדרוגן‪ ,‬לאסטרדיול‬
‫לפרולקטין‪ ,‬ואפילו ל ‪ .Psa‬ישנם גנים שונים המעודדים התרבות תאי הסרטן ויש כאלה שהם מעודדי‬
‫אפופטוזיס )מוות מתוכנת של תאים( ‪ ,‬למשל הגן ‪ p53‬שנקרא " גן מדכא סרטן" ) ‪Tumor suppressor‬‬
‫‪ .(15) (gene‬סרטן השד וסרטן הערמונית הינם הורמונליים‪ ,‬ואחד האמצעים של הרפואה המודרנית‬
‫להאריך את חיי החולה הינו באמצעות תרופות המשפיעות על ייצור ההורמונים‪ ,‬או על קליטתם ע"י‬
‫ואילו דרך‬
‫הקולטנים שלהם‪ .‬אם יש דרך רפואית לעודד את האפופטוזיס‪ ,‬הרי שדרך זו משנה את‬
‫‪ .‬דרך זו ממצה את עצמה‪ ,‬ובסופו של דבר סרטן‬
‫רפואית המשנה את קצב ההתרבות משנה את‬
‫הערמונית הופך להיות עמיד לטיפולים כאלה‪ ,‬וכך קורה גם לחולים בסוגי סרטן אחרים‪ ,‬כאשר הסרטן‬
‫הופך להיות עמיד לטפול כימותרפי כזה או אחר‪ .‬לכן יש חשיבות רבה למציאתם של מעכבים שאינם‬
‫הורמונליים‪ ,‬או כימותרפיים‪ .‬פתרון כזה‪ ,‬אם נמצא אותו‪ ,‬יתן אמצעי נוסף למלחמה בסרטן‪ ,‬אמצעי שיוכל‬
‫לחסוך בטפול ההורמונלי או הכימותרפי המתכלה‪ ,‬יאפשר לשלב ביניהם ובכך לנהל טיפול אינטרמיטנטי‬
‫משמעותי‪) .‬נושא זה יוסבר בפרוט בהמשך(‪ .‬למצוא מעכב כזה‪ ,‬שיוכל להיות מעכב אוניברסלי‪ ,‬לכל‬
‫סוגי הסרטן‪ ,‬זה משהו שקשה אפילו לחלום עליו‪ .‬אני מצהיר בזאת שהחלום הזה מתגשם בצורה ממשית‬
‫ומשמעותית‪ ,‬בעזרת הדיאטה שבנינו דיאטת ‪.CUNC‬‬
‫‪14‬‬
‫מודל ההרעבה‬
‫‪ .8‬אם נתבונן בטבע נראה אוכלוסיות שמתמעטות בגלל מלחמה‪ ,‬או בגלל חוסר במזון‪ .‬הפחתת‬
‫אוכלוסית סרטן ערמונית‪ ,‬באמצעות הורמונים וכימותרפיה‪ ,‬היא זמנית בלבד‪ ,‬כאשר ידוע שלאחר פרק‬
‫זמן מסוים הטיפולים ההורמונליים מפסיקים להשפיע והטיפול הכימותרפי כמעט שאינו מאריך חיים‬
‫וגורם למטופל סבל רב‪ .‬אך מה בדבר הרעבתו? בהנחה שקיים משהו שבלעדיו הסרטן לא יכול‬
‫להתקיים‪ ,‬הרי מניעתו פרושו הפחתת אוכלוסיה‪ ,‬או הקטנת קצב צמיחתה‪ .‬על פניו נראה שטיפול‬
‫הורמונלי הינו כזה‪ ,‬אך לא על כך אני מדבר‪ ,‬אלא על עכוב או הפחתה בעזרת שינוי התזונה‪ ,‬כפי שגובש‬
‫על ידי בעקבות המאמר על ה ‪ . (16) 5-HETE‬ידוע מהמחקרים השונים שזמן התחלקות התא הסרטני‬
‫הוא זמן רגיש ביותר‪ ,‬ובפרק זמן זה הוא פגיע במיוחד‪ ,‬הדבר בא לידי ביטוי בזמן טיפול קרינתי‪ ,‬או‬
‫כאשר מנסים להלחם בסרטן בעזרת ארטמיסינין )‪ ,(11‬אשר מקטין את מקורות הברזל הנחוצים לבניית‬
‫תא הסרטן‪ ,‬או באמצעות מניעה של חומר חיוני אחר הנחוץ לבניית התא הסרטני‪ .‬מהאמור במאמר‬
‫)‪ ,(16‬ברור ש ה ‪ 5-HETE‬הוא חומר חיוני לסרטן לצורך ההתרבות וכן הינו חיוני לצורך מניעת‬
‫האפופטוזיס‪ ,‬האם חומר זה חיוני גם לבניית התא? אינני יודע‪ ,‬אך אני דן על כך בנפרד‪ ,‬בסעיף ‪.43‬‬
‫וראוי לקרוא בהקשר זה את פרק ‪ -5‬פריצת הדרך – הדיאטה‪ .‬ניתוח העובדות וההיגיון הכללי של‬
‫תוצאות המחקר הנ"ל והמחקר הנוכחי‪ ,‬מצביעים על כך שקיים סיכוי גבוה שחומר זה חיוני להשלמת‬
‫התחלקות התא סרטני‪ ,‬וכנראה הסרטן מכין חומר זה לקראת התחלקות התא‪ .‬יתכן שיש עוד חומרים‬
‫חיוניים שהדיאטה מונעת ושייכים ישירות לשלב התחלקות התא‪ .‬הנושא העיקרי של הדיאטה שלנו‬
‫"דיאטת ‪ "CUNC‬הוא השומן מסוג אומגה ‪ 6‬ולמעשה החומצה הארכידונית‪ .‬אינני יודע מה הם כל‬
‫החומרים הנמנעים על ידי הדיאטה‪ ,‬אך אי זיהוי החומר הספציפי‪ ,‬החיוני‪ ,‬איננו מגביל כלל את פיתוח‬
‫המודל‪ .‬הפיתוח תאורטי באופן מוחלט‪ ,‬ואינו משתמש בתכונותיו של החומר החיוני‪ .‬הפיתוח מניח רק‬
‫שחומר חיוני כזה קיים ושאנו מגבילים אותו‪ .‬ברור לחלוטין שמעבר לתאוריה‪ ,‬יש צורך בפרקטיקה‪ ,‬ופה‬
‫נחוץ למצוא את הדיאטה המתאימה‪ .‬התוצאות המצוינות שקיבלתי בדיאטת ‪ CUNC‬מצביעות על כך‬
‫שאכן פעולת הרעבה כזאת מתבצעת‪ ,‬על ידי הדיאטה הספציפית שיצרתי‪.‬‬
‫‪.9‬נסמן את קצב אספקת המזון‪ ,‬אותו אנו מגבילים‪ ,‬ב‪ ,k-‬כלומר ‪ k‬היא הכמות המסופקת ביחידת זמן ‪dt‬‬
‫‪ .‬נניח שכל תא דורש לצורך הבניה כמות תזונה ‪ .L‬יהי קצב התחלקות הסרטן‪ ,‬כלומר מספר התאים‬
‫עודף המזון המסופק ביחידת זמן ‪ dt‬ויהי )‪ N(t‬מספר‬
‫המתחלקים ביחידת הזמן ‪ dt‬הוא )‪ ‬ויהי‬
‫)‪(2.6‬‬
‫התאים הסרטניים בגופנו בזמן ‪ t‬אזי‪:‬‬
‫)‪ ‬אינו קשור לנגזרות בזמן‪ ,‬הוא איננו שינוי של ‪ k‬בזמן‪ ,‬זה פשוט הפרש בין שני גדלים‪ (.‬נשים לב‬
‫תאים ולכן יש לנו‬
‫כקצב התחלקות הסרטן‪ ,‬לפיכך בכל יחידת זמן מתחלקים‬
‫שהגדרנו את‬
‫"חצאי תאים" חדשים‪ ,‬שכל אחד מהם דורש כמות מזון ‪ L‬לצורך השלמת בניית התא‪ .‬אנו‬
‫כעת‬
‫התאים שהתחלקו‬
‫תאים חדשים‪ ,‬הרי בו זמנית נעלמו‬
‫צריכים להביא בחשבון שאם יש‬
‫תאים חדשים‪ .‬בכדי למנוע בלבול בעתיד עלי להגדיר כמה מושגים‪:‬‬
‫ולכן האוכלוסיה גדלה נטו ב‬
‫לכל אוכלוסיה יש קצב ילודה‪ ,‬כאשר קצב הילודה ליחידת זמן הוא האחוז שמהווים הנולדים באותה‬
‫יחידת זמן מתוך סך האוכלוסיה הממוצעת באותה יחידת זמן‪ ,‬לדוגמא‪ :‬אם אוכלוסיה מסוימת היתה ‪3‬‬
‫מיליון ובאותה שנה נולדו ‪ 90,000‬פרטים נאמר שקצב הילודה השנתי הוא ‪ .3%‬באותה צורה נגדיר‬
‫שקצב התמותה השנתי הוא אחוז הפרטים שמתו באותה שנה‪ ,‬מתוך סך האוכלוסיה הממוצעת ואילו‬
‫קצב הגידול השנתי הוא קצב הילודה פחות קצב התמותה‪ .‬במקרה שלנו ‪ ‬הוא קצב ההתחלקות‪,‬‬
‫‪‬הוא קצב הילודה כל עוד לא קיימת מגבלת תזונה‪ ,‬ו ‪ ‬הוא גם קצב התמותה‪ ,‬כי על כל תא שמתחלק‬
‫נוצרים שני תאים חדשים‪ ,‬אבל נעלם תא ישן‪ .‬כתוצאה מכך ‪ ‬הוא גם קצב הגידול‪ .‬תחת משטר של‬
‫דיאטה הכל נשאר אותו דבר‪ ,‬למעט העובדה שקצב הילודה כבר איננו ‪ ‬וקצב הגידול הינו נמוך מ ‪.‬‬
‫‪ ‬מבלי שהתזונה מגבילה‬
‫הסרטן גדל בקצב הפנימי שלו‪ ,‬דהיינו‬
‫כיצד זה קורה? כל עוד‬
‫אותו‪ ,‬אולם כאשר‪ t‬מספיק גדול אנו מגיעים לרגע בו‬
‫)‪(2.7‬‬
‫בשלב זה הסרטן לא נעצר והוא עדיין ממשיך וגדל‪ ,‬אבל עכשיו לא בקצב קבוע אלא בקצב הולך וקטן‪,‬‬
‫שצורתה‪:‬‬
‫המשתנה כפונקציה של הזמן‪ ,‬יש לנו כעת פונקצית קצב ילודה‬
‫)‪(2.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪  (2.8‬נובע ישירות מ )‪ (2.6‬ומ )‪ (2.7‬ואנו יכולים להגדיר את קצב הילודה‬
‫כלהלן‪:‬‬
‫)‪(2.9‬‬
‫קצב הילודה‬
‫‪ ,‬קצב הילודה שווה לפעמיים קצב ההתחלקות ‪ ,‬כאשר‬
‫כלומר‪ :‬כל עוד‬
‫אנו קוראים‬
‫שונה מפעמיים קצב ההתחלקות‪ ,‬שממשיך להיות ‪ .‬לרגע הראשון שבו‬
‫נקודת תחילת ההרעבה‪ ,‬או בקצור נת"ה‪ .‬כשנאמר בעתיד "נקודת תחילת ההרעבה" או נת"ה נתכוון‬
‫לגודלו של הסרטן‪ ,‬כפי שהוא היה‪ ,‬ברגע בו התחילה ההרעבה להגביל את מספר התאים הנוצרים‬
‫ביחידת הזמן ‪ . dt‬גודלו של הסרטן‪ ,‬יכול להנתן כגודל פיסי‪ ,‬או בגודלו של סמן המיצג את גודל הסרטן‬
‫)בסרטן הערמונית של מי שעבר כריתה רדיקלית‪ ,‬ה ‪ Psa‬מהווה סמן כזה‪ ,‬בעתיד כשנדבר על ה ‪Psa‬‬
‫יתכן שנרשום אותו לפעמים באות ‪ , p‬במיוחד כאשר נלווה לזה ערך מספרי‪ ,‬לדוגמא‪.(p :‬‬
‫הערה דידקטית‪:‬‬
‫נדגיש מפורשות‪ ,‬שהמודלים המתמטיים המטפלים בהתפתחות הסרטן‪ ,‬תחת אילוצי תזונה‪ ,‬נוגעים לכל‬
‫סוגי הסרטן‪ ,‬ולאו דווקא סרטן הערמונית‪) ,‬אנו נוכיח זאת בסעיפים ‪ .11‬ו ‪ (.12‬וכל סרטן שיש לו סמן‬
‫)מרקר( חד משמעי המייצג את גודל הסרטן‪ ,‬יוכל להשתמש באותה דרך‪ ,‬לבחינת התפתחות הסרטן‬
‫ולמציאת ערך הפרמטרים שלו‪ .‬ולכן אם נדבר בעתיד על ‪ ,Psa‬יש לזכור את שאמרנו‪ ,‬שזה יכול להיות כל‬
‫מרקר של סרטן אחר המייצג את גודל הסרטן‪ ,‬או אפילו מדידה ישירה של גודל הסרטן‪ .‬בהעדר מרקר‬
‫כזה‪ ,‬קשה יהיה לבחון את התאמתו של המודל למציאות עבור סרטן כלשהו‪ ,‬אלא אם תמצא דרך פשוטה‬
‫לבחון ישירות ולעתים מזומנות את גודלו הפיזי של הסרטן‪ ,‬בכל מקרה העדרו של סמן כזה לא יכול‬
‫להפחית מההגיון של המודל‪.‬‬
‫להלן הסבר מילולי למתמטיקה‪ :‬‬
‫‪ ,‬כמות המזון המסופקת‪ ,‬ביחידת זמן‪ ,‬מספיקה בדיוק ‪‬עבור מספר‬
‫ברגע הראשון‪ ,‬בו מתקיים‬
‫וגודל הסרטן נותנים ‪ 500,000‬תאים‬
‫התאים החדשים‪ .‬נקח כדוגמא מקרה‪ ,‬בו קצב ההתחלקות‬
‫המתחלקים כל שניה ‪ 500,000 .‬תאים אלה‪ ,‬הופכים בגלל ההתחלקות‪ ,‬למיליון תאים ונניח שכמות‬
‫המזון מספיקה בדיוק ליצירת מיליון תאים חדשים בשניה‪ .‬כתוצאה מכך הסרטן גדל ב‪ 500,000‬תאים‪.‬‬
‫נניח כעת שהסרטן גדל במשך הזמן ב‪ , 50%‬לכן בכל שניה יתחלקו ‪ 750,000‬תאים‪ ,‬שירצו להפוך ל‬
‫‪ 1.5‬מיליון תאים חדשים‪ ,‬אבל אנו יודעים שקצב אספקת המזון מספיק רק למיליון תאים חדשים בשניה‪,‬‬
‫לכן גם עכשיו יווצרו מיליון תאים חדשים‪ ,‬אלא שהפעם מתים ‪ 750,000‬תאים והסרטן גדל רק‬
‫ב‪ 250,000‬תאים‪ ,‬במקום ב‪ 500,000‬שהוא גדל קודם‪ .‬כלומר קצב גידול הסרטן הולך וקטן עם הזמן‪.‬‬
‫הסרטן יגדל מספיק ויגיע למצב בו מיליון תאים בשניה‪ ,‬מתחלקים ל ‪ 2‬מיליון תאים‪ ,‬אך מכיוון שכמות‬
‫המזון‪ ,‬המסופקת‪ ,‬מאפשרת יצירה רק של מיליון תאים בשניה‪ ,‬הרי שנוצר איזון‪ ,‬ויווצרו רק מיליון תאים‬
‫חדשים‪ ,‬במקום המיליון שהתחלקו וכתוצאה מכך‪ ,‬הסרטן יגיע למצב בו הוא לא גדל כלל‪ .‬לכאורה‪,‬‬
‫מבחינה תאורטית‪ ,‬הוא יעצר ברמה אליה הוא הגיע‪ .‬אנו נדון בנושא זה במפורט בהמשך‪ .‬הדוגמאות‬
‫שנתנו מבהירות‪ ,‬שמרגע שאנו מרגישים את השפעת הדיאטה‪) ,‬כלומר הרגע בו אנו נמצאים בנת"ה(‪,‬‬
‫ועד שהגידול "יעצר"‪ ,‬צפוי שהסרטן יגדל פי ‪ 2‬וכך גם ה סמן‪) .‬המספר ‪ 2‬חשוב ‪ ,‬ומופיע הרבה פעמים‬
‫במחקר זה והוא נובע מהעובדה שתא סרטני מתחלק ל ‪ 2‬תאים(‪.‬‬
‫)‪(2.10‬‬
‫‪ .10‬נעבור כעת להמשך פיתוח המודל המתמטי‪ :‬מתוך )‪ (2.0‬נובע‬
‫קצב התמותה‪ .‬על פי מה שפותח לעיל‪ ,‬בשעה שמתקימת מגבלת‬
‫זה קצב הילודה ו‬
‫כאשר‬
‫לכן לפי )‪(2.9‬‬
‫המזון‪ ,‬דהיינו מתקיימת המשוואה )‪ ,(2.7‬הרי מתקיים שפונקצית קצב הילודה היא‬
‫ונקבל‬
‫נציב‬
‫במודל שלנו קצב התמותה זהה לקצב ההתחלקות‪ ,‬כלומר‬
‫מהמשתנה‬
‫מהאמור לעיל נובע‪:‬‬
‫)‪(2.11‬‬
‫שהוא גודל קבוע השונה‬
‫)‪(2.12‬‬
‫‪16‬‬
‫נוציא אינטגרל בלתי מסוים משני הצדדים‬
‫)‪(2.13‬‬
‫פתרון המשוואה הינו ‪:‬‬
‫נעלה את ‪ e‬בחזקת שני הצדדים ונקבל ‪,‬‬
‫על מנת לפשט את הנוסחה נחליף שמות של הקבועים‪ ,‬ונסמן‬
‫נעביר אגפים ונחלק ב ‪ ‬ונקבל‪:‬‬
‫וזוהי הנוסחה היסודית שלנו למודל ההרעבה‪.‬‬
‫ו‬
‫)‪(2.14‬‬
‫)‪(2.15‬‬
‫)‪(2.16‬‬
‫ונקבל‬
‫נבדוק מה קורה כאשר‬
‫וזוהי האסימפטוטה של )‪ (2.15‬אנו רואים שלכאורה קיים גבול להתפתחות הסרטן‪.‬‬
‫אנו צריכים להבין ש ‪ C‬הוא כלשהו‪ ,‬שנובע מהפתרון הכללי של המשוואה ואין היא חלק מהנתונים‬
‫הבסיסיים של הסרטן‪ ,‬כגון ‪ ,L , k , ‬ולכן גם ‪ C .S‬הוא קבוע‪ ,‬שנקבע ע"י הרגע שבו אנו רוצים‬
‫להתחיל להפעיל את המשוואה‪ ,‬והוא תלוי בגבול התחתון של האינטגרציה‪ .‬כדי לראות זאת נציב ‪t=0‬‬
‫)‪(2.16.1‬‬
‫ונקבל‬
‫‪ S‬הוא נתון של המזון‪  ,‬מייצג את רמת האגרסיביות של הסרטן ו ‪ ‬הוא ה ‪ Psa‬ברגע התחלת‬
‫המדידות‪ .‬מאחר ו‪ C-‬מתקבל מ )‪ (2.16.1‬הרי שהוא קבוע התלוי בגודלו של )‪ N(0‬ברגע התחלת‬
‫המדידות‪.‬‬
‫כלליות המודל‪ ,‬ותחולתו על כל סוגי הסרטן‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 11‬בפיתוח המודל הנחנו מספר הנחות‪ ,‬ברורות או מוסוות‪ ,‬שעומדות בבסיסו של המודל‪ .‬אם נוכל‬
‫להראות שהנחות אלה‪ ,‬אינן מסתמכות על תכונה של סרטן ספציפי‪ ,‬אלא על תכונות משותפות לכל‬
‫הסרטנים‪ ,‬הרי שאם המודל נכון לגבי סרטן אחד‪ ,‬סביר שהוא חל על כל סוגי הסרטן‪ .‬ההנחות הינן‪:‬‬
‫א‪.‬התא הסרטני וגם הלא סרטני מתרבה על ידי התחלקותו לשניים‪ .‬עובדה זו משותפת לכל סוגי הסרטן‬
‫ולכל התאים והינה עובדה מוכחת‪ׁ .‬‬
‫ב‪.‬לצורך השלמת חלוקתו‪ ,‬התא נזקק לחומרי ביניין‪ ,‬אם חומרי הבינין חסרים התא לא יוכל להשלים את‬
‫ההתחלקות‪ .‬זו עובדה פיסיקלית ידועה‪ ,‬לפיה אין ליצור יש מאין‪ .‬וראה גם הסבר בסעיף ‪.71‬ג‪ .‬הקשור‬
‫למצבים השונים בזמן חלוקת התא‪.‬‬
‫ג‪.‬הנחנו הנחה מוסווית שייתכן להקטין את המזון לסרטן‪ ,‬מבלי שיווצר מחסור לשאר הרקמות שאינן‬
‫סרטניות‪ .‬האפשרות שמזון יחסר יכולה להווצר משני כוונים‪:‬‬
‫‪ (1‬הגבלה הנוצרת מהיצע קטן‪ ,‬במקרה שלנו הדיאטה‪ .‬הגבלה זאת נוצרת בכל חלקי הגוף‪ ,‬מאחר‬
‫והמזון עובר לכל חלקי הגוף דרך הדם‪.‬‬
‫‪ (2‬הגבלה הנוצרת מביקוש גבוה‪ .‬במקרה שלנו הביקוש נוצר ע"י התחלקות מהירה מאד של תאי‬
‫הסרטן‪ ,‬בניגוד להתחלקותם של תאים רגילים‪ ,‬הגבלה זו היא מקומית ליד הגידול‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫על כן על אף שעובדות א‪ .‬ו ב‪ .‬משותפות לכל התאים הרי עובדה ג‪ (2.‬יוצרת הבדלה ברורה ביניהם‪,‬‬
‫המראה שניתן להגביל את המזון לסרטן מבלי ליצור מחסור זהה בכל חלקי הגוף‪ .‬עובדה זו חשובה‬
‫ביותר‪ ,‬על אף שאיננו נותנים את הדעת על חשיבותה‪ .‬הרוב המכריע של הדיאטות מבוסס על רעיונות‬
‫של המנעות מחומרים היכולים לעודד סרטן‪ ,‬או על צריכה של חומרים שילחמו בסרטן וכנ"ל לגבי‬
‫תרופות‪ ,‬פה אנו מדברים על האפשרות להלחם בסרטן ע"י מניעה של חומרי בנייה של תא‪ ,‬או ע"י צמצום‬
‫ניכר שלהם‪ .‬זהו פתח למחקרים שיכולים להיות משמעותיים‪ ,‬שהנושא שלהם הוא הרכב החומרים מהם‬
‫בנוי התא הסרטני‪ .‬והאמור פה חשוב במיוחד אם חומר מסוים הינו חומר חיוני גם לתא רגיל‪ ,‬ואנו מבינים‬
‫שאין בכך מגבלה חמורה בגילים מבוגרים‪ ,‬בגלל האמור ב ג‪ (1.‬ו ג‪. (2.‬‬
‫ד‪.‬מבלי להצהיר על כך‪ ,‬הנחנו ש ‪ k‬הינו גודל קבוע‪ ,‬המייצג את קצב אספקת המזון לגידול והוא תלוי‬
‫בדיאטה שלנו ולכן לפי )‪ (2.14‬אנו מניחים שגם ‪ S‬קבוע‪ .‬ההנחה ש ‪ S‬קבוע לא בהכרח נכונה‪ ,‬ייתכן‬
‫שעם הזמן יתפתחו באזור הסרטן כלי דם מזינים נוספים‪ ,‬בתהליך הידוע כאנג'יוג'נסיס‪ ,‬שיגדילו את‬
‫אספקת המזון המקומית לסרטן‪ .‬בהמשך עבודה זו אנו מטפלים בצורה נרחבת בנושא זה‪ .‬אולם‪ ,‬עוד‬
‫לפני הניתוח המתמטי הנרחב בנושא האנג'יוג'נסיס‪ ,‬אנו מראים שבפועל קצב הגידול של ‪ S‬נמוך מאוד‪,‬‬
‫ולכן נוכל להתייחס אליו בפרקי זמן קצרים כאל קבוע‪ ,‬דבר שיקל על הפיתוח התאורטי וכן יקל על ניתוח‬
‫התוצאות שבפועל‪ ,‬זאת מבלי לפגוע כלל במסקנות העבודה‪ .‬בטווח הארוך אנו מביאים בחשבון את‬
‫גידולו של ‪ S‬ואף עושים ניתוח רגישות מקיף לשינויים אפשריים בגודלו של ‪ .S‬האמת הינה שאין לנו‬
‫ברירה אלא לחלק את הזמן לקטעי זמן בעלי תכונה משותפת‪ ,‬בלי שום קשר להנחה לגבי ‪ .S‬על מנת‬
‫להבהיר זאת‪ ,‬אין לי ברירה אלא להקדים ולהתבסס על עובדה שנווכח בה בהמשך‪ ,‬שהסרטן מוריד‬
‫אגרסיביות בקפיצות‪ ,‬ומבחינתי טווח זמן בעל תכונה משותפת הינו הטווח שבו ‪ ‬נשאר קבוע‪ .‬נבהיר‬
‫שאם ‪ ‬משתנה אזי לא נוכל לאמר שהפתרון של )‪ (2.12‬הוא )‪ ,(2.13‬אולם בתחום הזמן בו ‪ ‬קבוע‪,‬‬
‫הפתרון כן נכון‪ ,‬זאת אומרת שהזמן מתחלק לתחומים‪ ,‬שבכל אחד מהם אנו יכולים להוציא אינטגרל‬
‫ולקבל את אותה נוסחה‪ .‬בניתוחים שלנו אין אנו יכולים סתם לקחת נתונים משלבים שונים ולערבבם‪,‬‬
‫מאחר ולפחות הפרמטר ‪ ‬משתנה באופן משמעותי‪ ,‬לפיכך אין לנו ברירה‪ ,‬אלא לזהות את הנתונים‬
‫השייכים לשלב אחד‪ ,‬לזהות מתי מתחיל שלב ומתי הוא נגמר‪ ,‬ועל כל שלב כזה עלינו לעשות את עבוד‬
‫הנתונים בנפרד‪ ,‬מאחר שגם אם הנוסחה המתמטית היא אותה נוסחה‪ ,‬הרי הערכים המספריים של‬
‫הפרמטרים של שלב אחד שונים מערכם בשלב הבא‪ .‬מכיון שאנו מתייחסים לכל שלב בנפרד‪ ,‬וטווח הזמן‬
‫של שלב כזה הוא קצר יחסית‪ ,‬ובטווח זמן זה השינויים ב ‪ S‬אינם גדולים הרי שהטעות הנובעת מבחירת‬
‫‪ S‬קבוע‪ ,‬שהינו ה ‪ S‬הממוצע של אותה תקופה‪ ,‬אינה גדולה‪ .‬כלומר החלוקה של הזמן לטווחים קצרים‪,‬‬
‫איננה חלוקה מלאכותית‪ ,‬היא מחוייבת המציאות‪ ,‬בגלל צורת ההתפתחות של הסרטן‪ ,‬הנתון תחת‬
‫מגבלות דיאטה‪ .‬אם הדברים אינם ברורים דיים‪ ,‬אל דאגה‪ ,‬מפני שלאחר שנלמד דברים בהמשך‬
‫העבודה‪ ,‬הדברים יהיו מובנים בהחלט‪ .‬נציין גם שמבחינת נתוח הנתונים לא יכולה להווצר טעות‬
‫מצטברת‪ ,‬באשר לכל שלב מתבצע ניתוח נתונים נפרד הכולל את הנתונים בפועל של אותו שלב בלבד‪.‬‬
‫על אף שאנו מטפלים בהמשך בצורה מדויקת ב ‪ ,S‬אנו מעונינים גם בפתרונות ובמסקנות הנובעים‬
‫מהמודל בו ‪ S‬קבוע‪ ,‬מסקנות שיקל עלינו להשיגם בדרך זו‪ ,‬ובמיוחד שמסקנות אלו מתאמתות במציאות‪.‬‬
‫הדבר דומה לשמוש שעשה ועדיין עושה המדע בנוסחאות המכניקה של ניוטון‪ ,‬אף על פי‪ ,‬שאנו יודעים‬
‫בברור‪ ,‬שהנוסחאות לא מדויקות ולא נכונות כאשר מדובר על תנועה במהירויות גבוהות‪ ,‬ובכל זאת‬
‫המדע והאנושות זכו להישגים נפלאים הודות לתאוריה של ניוטון‪ .‬נבהיר שסך כל הטווחים בהם ניתן‬
‫להתייחס אל ‪ S‬כאל קבוע מגיע לכ ‪ 5‬שנים ואף יותר‪ ,‬ואנו נוכיח זאת בהמשך‪ .‬אפשר לתת לטענה ש ‪S‬‬
‫קבוע חיזוק בשתי דרכים‪ ,‬האחת לבצע התאמת תוצאות ה ‪ Psa‬לגרף הבנוי על בסיס המודל בו ‪ S‬קבוע‪,‬‬
‫ואם התאמה זו נותנת קורלציות גבוהות מאד אזי יש הצדקה להנחה ש ‪ S‬כמעט קבוע‪ ,‬וראה שרטוט‪ 8-‬ו‬
‫שרטוט‪ 9-‬שם אנו מקבלים קורלציות של ‪ 0.9943‬ו ‪ 0.9583‬בהתאמה‪ .‬חיזוק נוסף נקבל דרך העובדה‬
‫שההבדלים בגודל ‪ S‬בין תקופה לתקופה הינם קטנים ביותר‪ .‬חיזוק בדרך שלישית מבוסס על כך‪ ,‬שאם‬
‫‪ S‬קבוע‪ ,‬הרי התפתחות ה ‪ Psa‬מוגבלת ע"י חסם שהינו קו ליניארי )אנו נראה זאת בהמשך(‪ ,‬ואם נראה‬
‫שהתפתחות ה‪ Psa‬בפועל‪ ,‬על פני תקופה רצופה שמשתרעת על פני כמה שלבים של ירידת‬
‫אגרסיביות‪ ,‬מראה קורלציה גבוהה מאד לקו ליניארי‪ ,‬ראה שרטוט‪ , 1-‬שם הקורלציה הינה ‪,0.9801‬‬
‫)אף על פי שהמודל בכל שלב אינו ליניארי(‪ ,‬הרי שזה נותן חיזוק נוסף לכך שמבחינה מעשית ניתן‬
‫להתיחס אל ‪ S‬כאל קבוע במשך אותה תקופה‪ .‬אנו מקדימים במקצת את המאוחר‪ ,‬על מנת להסביר‪,‬‬
‫שאין פה שגיאה או הזנחה מבלי משים‪ .‬בכל אופן‪ ,‬בכל שימוש שנעשה בגודל ‪ ,S‬זה יעשה תוך צידוק‬
‫מתמטי מלא‪ ,‬והיכן שיהיה צורך להתחשב בכך שאין הוא קבוע‪ ,‬אנו נעשה זאת‪ .‬יותר מכך‪ ,‬בפרק ‪ 9‬בו‬
‫‪18‬‬
‫אנו מטפלים במודלים בהם ‪ S‬איננו קבוע והוא פונקציה של הזמן‪ ,‬מתקבל שהפתרון שלנו‪ ,‬בו ‪ S‬קבוע ‪,‬‬
‫הוא מקרה פרטי של המקרה הכללי שאנו פותרים‪ .‬כמו‪ -‬כן מכיון ש ‪ S‬באמת לא קבוע אנו ניתקל‬
‫במספרים שונים שלו והדבר נובע מהחישוב של ערכו בכל מיני תקופות זמן בהתאם לצרכי החישובים‬
‫שלנו‪ ,‬ובהתאם לדיוקי המדידות‪.‬‬
‫‪.12‬ההנחות שלעיל וההסברים שמלווים אליהם מראים שלא הסתמכנו על שום תכונה של סרטן ספציפי‬
‫לצורך פתוח המודלים‪ ,‬אולם השתמשנו בנתונים של חולה בסרטן הערמונית לצורך אימות המודלים‪.‬‬
‫והכל זהה לכל סוגי הסרטן‪ .‬בכוונה הדגשנו את ההבדלים בין התאים הרגילים לסרטניים‪ ,‬מאחר שחלק‬
‫מההנחות מתאימות גם להם‪ ,‬והיה צורך להסביר מדוע דיאטה מסוימת יכולה לפגוע בתאי הסרטן מבלי‬
‫שתפגע בהכרח גם בתאים רגילים‪ .‬כל המודלים הבסיסיים אינם תלויים בסוג הסרטן‪ ,‬אולם טענות‬
‫הקשורות לתוצאות מספריות המבוססות על המדגם בעבודה זו‪ ,‬מוכחות לגבי סרטן הערמונית בלבד‪ ,‬אם‬
‫כי אין אין לנו סיבה מיוחדת להניח שלא כך יהיה הדבר בסרטן אחר‪ .‬ההוכחות בהמשך אינן מסתמכות‬
‫על סרטן ספציפי‪ ,‬למשל הטענה על ירידת האגרסיביות‪ ,‬הטענה שהגידול מפסיק לגדול אקספוננציאלית‬
‫בשלבים הראשונים של הדיאטה‪ ,‬דרך החישוב של השפעת האנג'יוג'נסיס‪ ,‬כל אלה אינם תלויים בסרטן‬
‫הספציפי‪ .‬הטענות הקשורות לסרטן הערמונית בלבד הנן אלה הקשורות לטפול ההורמונלי בעזרת‬
‫הפיטואסטרוגן ‪ ,‬אולם מודלים כמו שיטת המסור )ראה סעיף ‪ (.33‬ניתן לפתח לגבי כל סרטן שיש לו כלים‬
‫רפואיים תרופתיים להקטנת הגידול‪ .‬הצד המעשי‪ ,‬של ההנחה שבתת סעיף ‪ .11‬ד'‪ ,‬הוכח דרך המדידות‬
‫בשטח שנעשו על חולה בסרטן הערמונית‪ ,‬אין זה אומר שאותן עובדות לא תתקיימנה בסרטן אחר‪ .‬אנו‬
‫נראה בעתיד‪ ,‬שהדיאטה שלנו גורמת‪ ,‬באופן ישיר‪ ,‬להאטת האנג'יוג'נסיס‪ ,‬הרבה יותר‪ ,‬ממה שהיא‬
‫גורמת באופן ישיר‪ ,‬להאטת תהליך הגדילה של הסרטן‪ .‬עקרונות הלחימה באנג'יוג'נסיס הם עקרונות‬
‫כלליים‪ ,‬ואינם נובעים מתכונותיו של איזשהו סרטן ספציפי‪ ,‬כך שסביר להניח‪ ,‬שנמצא את אותה התופעה‬
‫גם בסרטנים אחרים‪ .‬העובדה שאנו משתמשים ב ‪ Psa‬כאמצעי מדידה‪ ,‬אינה פוגעת בכלליות המודל‪,‬‬
‫וכל סרטן שיש לו סמן )מרקר( משמעותי‪ ,‬יוכל להשתמש בסמן שלו לצרכי המדידה‪ .‬העדרותו של מרקר‬
‫איננה אומרת שהמודל לא עובד לגבי סרטן מסוים‪ ,‬זה רק אומר שקיים קושי למדוד את השפעת‬
‫הדיאטה‪ ,‬או כל פעולה אחרת‪ ,‬בצורה מדויקת‪ .‬ההסתמכות על נתוני הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬להוכחת נכונות הניתוח‬
‫המתמטי‪ ,‬אינה גורעת מכלליותו של המודל‪ ,‬היא רק מוכיחה שסרטן הערמונית מתאים בהחלט למודל‪.‬‬
‫בעזרת ה ‪ Psa‬אנו מוצאים את ערכם הספציפי של גדלים מסוימים‪ ,‬כגון ‪ ‬או ‪ . S‬ערכם של הגדלים‪,‬‬
‫לא יכול לפגוע בתקפותו של המודל‪ ,‬הם יכולים לכל היותר להצביע על מידת היעילות של הדיאטה‬
‫שנבחרה‪ .‬אם היה לנו סמן אחר הרי שהיינו יכולים למצוא‪ ,‬בדיוק באותה צורה‪ ,‬את ערכם של אותם‬
‫הפרמטרים‪.‬‬
‫מסקנות ראשונות הנובעות מהמודל‪.‬‬
‫‪.13‬בהנחה שרמת ה ‪ Psa‬היא פונקציה של גודל הרקמה הסרטנית‪ ,‬נוכל מרגע זה להתייחס אל )‪N(t‬‬
‫כאל ה ‪ Psa‬או אל גודל הסרטן‪ ,‬כרצוננו‪) .‬אני משתמש במונח ‪ Psa‬מכיון שזהו הסמן של מחלתי‪ ,‬אך כל‬
‫עוד אני עוסק בהוכחה תאורטית‪ ,‬הרי זה יכול להיות סמן של כל סוג סרטן‪ ,‬כל עוד ערכו הוא פונקציה‬
‫של גודל הגידול‪ (.‬מנוסחה )‪ (2.16‬נובע שהגבול העליון של ה‪ Psa -‬תלוי ב‪ S-‬וב ‪ ,‬אנו יודעים‬
‫ש ‪ S=k\L‬כי כך הגדרנו זאת‪ ,‬כמו כן אנו יודעים ש ‪ K‬תלוי בכמות המזון שאנו אוכלים ובסוגו‪ L ,‬היא‬
‫קונסטנטה‪ ,‬הנובעת מהכימיה המתחוללת בתא הסרטני ואילו הוא קצב ההתחלקות של הסרטן‪.‬‬
‫הפרמטר מיצג את מידת האגרסיביות של הסרטן‪ ,‬וכאשר אין מגבלת מזון הוא מיצג גם את קצב גידול‬
‫הסרטן‪ .‬המשוואה היסודית של מודל ההרעבה הינה בעלת ‪ 3‬פרמטרים‪ ,‬ועל מנת לפתרה אנו זקוקים‬
‫קטן‬
‫גדול יותר כך‬
‫לפחות לשלוש מדידות של ה ‪ .Psa‬מנוסחה )‪ (2.16‬ניתן לראות שככל‬
‫יותר‪ ,‬כלומר הסרטן נעצר ברמה יותר נמוכה‪ .‬המשמעות הינה‪ ,‬שככל שהסרטן אגרסיבי יותר‪ ,‬הדיאטה‬
‫משפיעה עליו מהר יותר וחזק יותר‪.‬‬
‫מטעמי נוחיות כתיבה נסמן‬
‫נגדיר כ‪ t=0-‬את הרגע בו מתחילה מגבלת המזון לפעול‪ ,‬כלומר הרגע בו‬
‫‪19‬‬
‫)‪(2.17‬‬
‫)‪(2.18‬‬
‫על פי )‪ (2.6‬קיים באותו הרגע‬
‫)‪(2.19‬‬
‫אבל על פי מה שהגדרנו ב )‪ (2.17‬ומתוך )‪ (2.16‬נקבל‬
‫)‪(2.20‬‬
‫ומכאן נובע‬
‫כלומר ה ‪ Psa‬המכסימלי‪) ,‬לכאורה(‪ ,‬שווה לפעמיים ה ‪ ,Psa‬כפי שהוא היה‪ ,‬ברגע שבו התחילה‬
‫מגבלת המזון‪) ,‬נת"ה( עובדה זו הוסקה על ידנו מהדוגמא המספרית בסוף סעיף ‪.9‬‬
‫נציב ‪ t=0‬ב )‪ (2.15‬ונקבל‬
‫מזה ומ )‪ (2.18‬נקבל‬
‫)‪(2.20.1‬‬
‫ומכאן‬
‫כלומר אם אנו מגדירים ‪ t=0‬בנקודת הנת"ה אנו מקבלים את )‪ (2.20.1‬מהאמור עד כה אנו מסיקים את‬
‫הדברים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬סרטן תחת השפעת דיאטה מוגבל לכאורה בצמיחתו‪ ,‬עד גודל מסוים שהינו ערך האסימפטוטה‬
‫המופיעה בנוסחה )‪(2.16‬‬
‫ב‪ .‬ככל שהסרטן אגרסיבי יותר‪ ,‬האסימפטוטה שלו נמוכה יותר‪ ,‬והוא נעצר ברמה נמוכה יותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬האסימפטוטה שווה לפעמיים ערך ה ‪ Psa‬בנת"ה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ t=0‬היא נקודת תחילת ההרעבה אזי ערכו של ‪ C‬הוא חצי מערכו של ‪ S‬ואז יתקיים‬
‫)‪(2.20.2‬‬
‫נוסחה זו נכונה אך ורק כאשר ‪ , t=0‬הוא הרגע בו היה הסרטן בנת"ה‪.‬‬
‫התוצאות של המודל הינן מפתיעות ומדהימות בעיני ובמיוחד המסקנות א‪ .‬וב‪ .‬ויכולות להשאל ובצדק‬
‫כמה שאלות‪ ,‬כגון‪ :‬האם יש בכלל תזונה כזאת שמגבילה את הסרטן? האם נכון שהסרטן יעצר בגודל‬
‫מסוים? מהו גודל זה? מה בכלל נותן המודל? תשובות לכך תנתנה בהמשך העבודה‪ ,‬אולם אקדים‬
‫ואומר‪ ,‬שהמודל נותן תמונה אמיתית ונאמנה של התנהגות הסרטן‪ ,‬נותן הבנה לעומק מדוע הוא מתנהג‬
‫כך‪ ,‬וכתוצאה מכך גם עולים רעיונות חדשים בקשר להתנהגות הצפויה בעתיד‪ ,‬ורעיונות לנושאי מחקר‬
‫חדשים‪ .‬אבל החשוב ביותר הינו שהמודל מאפשר לנו להוכיח שנוכל להגיע לאריכות ימים ניכרת‬
‫ובתנאים מצויינים‪.‬‬
‫האם הסרטן יעצר?‬
‫‪ .14‬ברור שהתוצאה ב )‪ (2.16‬מדהימה ובמיוחד המסקנה שככל שהסרטן אגרסיבי יותר‪ ,‬כך הוא יעצר‬
‫ברמת ‪ Psa‬נמוכה יותר‪ .‬תוצאה זו מעוררת ספקות על אף המתמטיקה שעומדת מאחריה‪ .‬לאור‬
‫המסקנות שלעיל‪ ,‬עלינו להשתדל ולהפרד ממחשבות הנובעות בעקר מהכשלונות הרבים בטיפול בסרטן‪,‬‬
‫היוצרים את הרושם שהסרטן יכול להתפתח אך ורק בכוון של הגדלת אגרסיביות‪ ,‬ולדמיין לנו שסרטן יכול‬
‫גם "מרצונו" להוריד אגרסיביות‪ ,‬ואם הוא יעשה כך‪ ,‬הרי שהמודל מראה שהוא יוכל להמשיך ולגדול‪.‬‬
‫תוצאה זו ניראית אבסורדית‪ ,‬ובלתי מתקבלת על הדעת‪ ,‬אך המתמטיקה הפשוטה אומרת שהיא נכונה‪.‬‬
‫הדרך הטובה ביותר לשכנע בנכונות הניתוח המתמטי‪ ,‬היא לתת הסבר פיסיקלי פשוט‪ ,‬שאנו מסוגלים‬
‫להבין אותו ולהשתכנע בהיגיון שבו‪ .‬וכן להראות שהדבר קורה במציאות‪ .‬להלן ההסברים והנתונים‪:‬‬
‫א‪ .‬הסבר פיסיקלי למתמטיקה‪ :‬לצורך ההבנה נחזור לדוגמה ולהסברים בסעיף ‪ .9‬שם הגענו לתאור‬
‫מצב‪ ,‬בו הסרטן גדל עד שהוא מפצל מיליון תאים בשניה‪ ,‬ההופכים ל ‪ 2‬מיליון תאים‪ ,‬הצריכים להשלים‬
‫את בנייתם‪ .‬אולם מכיון שהמזון בדוגמה‪ ,‬מספיק רק ל ‪ 1‬מיליון תאים‪ ,‬הרי נוצרו מיליון תאים חדשים‬
‫ומתו מיליון תאים )התאים שהתחלקו( וכך נוצר שיווי משקל בו הסרטן לא פוחת ולא גדל‪ .‬בדרך זו‬
‫הסברנו בלשון פשוטה את האפשרות שהסרטן יעצר כפי שנראה מהמתמטיקה‪ .‬אם בשלב זה "יחליט"‬
‫הסרטן להוריד אגרסיביות ל ‪ 50%‬מגודלו המקורי‪ ,‬הרי שכעת במקום לפצל מיליון תאים ‪ ,‬הוא יפצל רק‬
‫חצי מיליון תאים‪ ,‬שיהפכו למיליון תאים שצריכים להשלים את בנייתם‪ ,‬ומכיון שיש מספיק מזון למיליון‬
‫תאים חדשים‪ ,‬הרי שכל התאים יושלמו וכך קבלנו מיליון תאים חדשים‪ ,‬במקום חצי מיליון תאים‬
‫‪20‬‬
‫שהתחלקו‪ ,‬ולכן הסרטן הצליח לגדול בחצי מיליון תאים‪ .‬אנו רואים באמצעות דוגמה פשוטה‪ ,‬כיצד‬
‫ההיגיון המתמטי הופך להיגיון פשוט ורגיל‪ ,‬שכל אחד מבין‪ ,‬בעוד שלפני כן זה נשמע כאבסורד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתוך ידיעה שלא כל כך פשוט לעצור את הסרטן‪ ,‬אנו יכולים לשער שאכן הסרטן יוריד אגרסיביות‬
‫וימשיך לצמוח‪ ,‬אף על פי שאין אנו יודעים איך הוא "יודע" שהוא נעצר‪ ,‬או איך הוא מוריד או מעלה את‬
‫האגרסיביות‪ .‬אולם השערות ותאוריות לבד לא מספיקות‪ ,‬לכן אביא טבלה ממנה נוכל לראות שאכן משהו‬
‫קורה במציאות‪ .‬להלן טבלת ה‪ Psa-‬ותאריכי הבדיקות שלי‪:‬‬
‫טבלה‪1-‬‬
‫ימים‬
‫שעברו‬
‫תאריך‬
‫מספר‬
‫מאז‬
‫סידורי הבדיקה‬
‫הבדיקה‬
‫הקודמת‬
‫ג‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪0‬‬
‫‪23.04.09‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪33‬‬
‫‪26.05.09‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪31.05.09‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30.06.09‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪26‬‬
‫‪26.07.09‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪35‬‬
‫‪30.08.09‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪31‬‬
‫‪30.09.09‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25.10.09‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪10.11.09‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪29‬‬
‫‪09.12.09‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪48‬‬
‫‪26.01.10‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪23‬‬
‫‪18.02.10‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪28‬‬
‫‪18.03.10‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪7‬‬
‫‪25.0310‬‬
‫‪.14‬‬
‫‪31‬‬
‫‪25.04.10‬‬
‫‪.15‬‬
‫* נראה לי שהתוצאה שגויה‪.‬‬
‫רמת ה‬
‫‪Psa‬‬
‫שנמדדה‬
‫במעבדה‬
‫ימים‬
‫מצטברים‬
‫מהבדיקה‬
‫הראשונה‬
‫ה‬
‫‪0‬‬
‫‪33‬‬
‫‪38‬‬
‫‪68‬‬
‫‪94‬‬
‫‪129‬‬
‫‪160‬‬
‫‪185‬‬
‫‪201‬‬
‫‪230‬‬
‫‪278‬‬
‫‪301‬‬
‫‪329‬‬
‫‪336‬‬
‫‪367‬‬
‫ד‬
‫‪0.00‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.11‬‬
‫‪0.14‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.22‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.30‬‬
‫‪0.35‬‬
‫‪0.38‬‬
‫‪* 0.34‬‬
‫‪0.40‬‬
‫‪0.40‬‬
‫‪0.47‬‬
‫ימים‬
‫מצטברים‬
‫מהבדיקה‬
‫השניה‬
‫ו‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪35‬‬
‫‪61‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ Psa‬מחושב על פי‬
‫נוסחת ההרעבה‬
‫תוצאה‬
‫תוצאה‬
‫מחושבת מעוגלת‬
‫ז‬
‫ח‬
‫‪0.1002‬‬
‫‪0.1094‬‬
‫‪0.1430‬‬
‫‪0.1554‬‬
‫‪0.1622‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.11‬‬
‫‪0.14‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.16‬‬
‫עיון בטבלה שלעיל בעמודה ד' מראה‪ ,‬שיש פה לכאורה שתי קבוצות מספרים כשבסופה של כל אחת‬
‫מהן התמתנות בעליית ה ‪ ,Psa‬שלאחריה קפיצה‪:‬‬
‫א‪ .‬בשורות ‪ 4-6‬אנו רואים את התייצבות ה ‪ Psa‬לקראת הערך ‪ 0.16‬ובתאריך ‪ 30.09.09‬אנו רואים‬
‫קפיצה ב ‪.Psa‬‬
‫ב‪ .‬לאחר הקפיצה אנו רואים עליה מתונה במשך תקופה של מספר חודשים‪ ,‬התייצבות לקראת‬
‫התוצאות ‪ 11-14‬ולאחר מכן קפיצה נוספת ב ‪25.04.10‬‬
‫‪ .15‬הקפיצות שלעיל מצביעות על האפשרות שאכן הסרטן הוריד אגרסיביות‪ ,‬לאחר שהוא "נוכח"‬
‫בבלימתו לקראת האסימפטוטה ‪ p‬וכן כאשר הוא "נוכח" בבלימה נוספת לקראת האסימפטוטה‬
‫‪ . p‬את ההוכחה הסופית והברורה לכך נקבל כאשר נמצא קורלציות גבוהות ביותר בין המודל‬
‫והתוצאות בפועל‪ ,‬כאשר פתרון הפרמטרים של המודל יראה אכן ירידת אגרסיביות משמעותית‪.‬‬
‫התאוריה תקבל חיזוק נוסף כאשר ניתן הסבר מתמטי לגודל הירידה באגרסיביות‪ ,‬וכן הסבר לגודל‬
‫הקפיצה‪ .‬את קבוצת התוצאות שבין קפיצה לקפיצה אנו מגדירים כשלב בהתפתחות הסרטן‪ ,‬או לפעמים‬
‫‪21‬‬
‫כשלב בתהליך ההרעבה‪ .‬מרגע זה ואילך כאשר נזכיר שלב א' ‪ ,‬שלב ב' או ג' נתכוון לקבוצת תוצאות‬
‫השייכת לרמת אגרסיביות אחת‪.‬‬
‫הצורות הגרפיות של התפתחות ה ‪Psa‬‬
‫‪.16‬‬
‫יהיה הזמן ‪ t=0‬הזמן בו אנו מתחילים בדיאטה וכמו כן נניח שברגע ‪ t=0‬נוסחת ההרעבה כבר‬
‫בהעברת אגפים נקבל‬
‫פועלת‪ .‬מ‪ (2.15) -‬נובע‬
‫)‪(2.21‬‬
‫נציב זאת ב )‪ (2.15‬ונקבל‬
‫)‪(2.22‬‬
‫ואפשרות נוספת לרשום זאת הינה‪:‬‬
‫)‪(2.23‬‬
‫את )‪ (2.22‬נוכל לרשום בצורה נוספת‬
‫)‪(2.24‬‬
‫אם נניח ש‬
‫אבל מכיון ש‬
‫הגרף תהיה כלהלן‪:‬‬
‫)‪(2.25‬‬
‫אזי מזה ומ‪ (2.24)-‬ינבע‬
‫אזי נובע מ )‪ (2.25‬ש )‪ N(t‬שואפת לאסימפטוטה שלה מלמעלה וצורת‬
‫שרטוט‪4-‬‬
‫אציין שצורת גרף זו היא תאורטית לחלוטין ובתנאי דיאטה היא יכולה להתקיים רק זמן קצר‪ ,‬שלאחריו‪,‬‬
‫כפי שיתברר בהמשך‪ ,‬הסרטן מבצע שינוי של הורדת אגרסיביות‪ ,‬כלומר ה ‪ ‬קטן וכתוצאה מכך‬
‫האסימפטוטה מקבלת ערך גבוה יותר והסרטן מתחיל לעלות מחדש‪ .‬אם נניח ש‬
‫כלומר‬
‫)‪(2.26‬‬
‫‪ ,‬מזה ומ‪ (2.22) -‬נקבל ש‬
‫כלומר )‪ N(t‬קטן מהאסימפטוטה בשביל כל ‪ ,t‬לכן )‪ N(t‬שואף לאסימפטוטה מלמטה וצורת הגרף תהיה‬
‫כלהלן‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫שרטוט‪5-‬‬
‫פתרון המודל המתמטי של הדיאטה‬
‫‪.17‬סעיף זה עוסק בפיתוח פתרון אנליטי לפרמטרים של המודל המתמטי‪ ,‬המופיע בנוסחה )‪ ,(2.15‬על‬
‫בסיס מדידות ה ‪ . Psa‬הסעיף הינו מתמטי טהור‪ ,‬ואינו תורם דבר להבנת המודל או להתנהגות הסרטן‪,‬‬
‫לפיכך מי שימצא אותו מסובך מידי‪ ,‬או משעמם מידי‪ ,‬יכול לדלג עליו‪ ,‬אך אם יעשה זאת יצטרך להאמין‬
‫שנמצאה דרך יחסית פשוטה לפתור את הפרמטרים החסרים‪.‬‬
‫כפי שראינו פיתוח המודל המתמטי נתן לנו את נוסחה )‪ (2.15‬שיש לה ‪ 3‬פרמטרים ‪ s ,c‬ו‪ -‬וצורתה‬
‫)‪(2.27‬‬
‫אם יש לנו תוצאות‪ ,‬של בדיקות ‪ ,Psa‬נוכל לפתור את הפרמטרים הללו‪ .‬חשוב מאד לקיים רצף בדיקות‬
‫‪ ,Psa‬בתדירות של לפחות פעם בחודש‪ .‬מאחר ש ‪ p‬עולה מהר‪ ,‬הרי אם מרווחי הזמן בין הבדיקות יהיו‬
‫גדולים‪ ,‬לא נבחין כלל בקפיצות ב ‪ ,Psa‬וכתוצאה מכך יתכן ולא נוכל לאמת את המודל‪ ,‬או שלא יהיו לנו‬
‫מספיק תוצאות‪ ,‬עבור שלב מסויים בהתפתחות ה ‪ ,Psa‬על מנת לקבל פתרון אמין לפרמטרים‪.‬‬
‫היא התוצאה בזמן ‪.‬התוצאות שישנן‬
‫‪ , i=1,2,3,…r‬כאשר‬
‫יהיו ‪ r‬תוצאות ‪ ,Psa‬שנסמנם ב‬
‫בידי‪ ,‬מעוגלות לספרה השניה לאחר הנקודה העשרונית‪ .‬אנו ננסה למצוא את את הפרמטרים אשר‬
‫יגדירו עקום שעובר קרוב ככל האפשר אל התוצאות המדודות‪.‬‬
‫)‪(2.28‬‬
‫נגדיר את הפונקציה ‪:‬‬
‫שהינה סכום ריבועי המרחקים‪ ,‬של תוצאות המודל מהתוצאות בפועל‪ .‬אנו נחפש מינימום לפונקציה‬
‫‪ .‬המינימום חייב לקיים כמה דרישות לגבי הנגזרות‪:‬‬
‫)‪(2.29‬‬
‫מאחר ו‬
‫)‪(2.30‬‬
‫הרי ש ‪:‬‬
‫כמו כן חייב להתקיים‪:‬‬
‫מאחר ו‬
‫)‪(2.31‬‬
‫)‪(2.32‬‬
‫הרי ש ‪:‬‬
‫‪23‬‬
‫נגזור לפי‬
‫)‪(2.33‬‬
‫ונקבל‬
‫)‪(2.34‬‬
‫נציב את )‪ (2.30‬ואת )‪ (2.32‬בתוך )‪ (2.33‬ונקבל‬
‫נפתח את )‪ (2.30‬ונקבל‬
‫)‪(2.35‬‬
‫נפתח את )‪ (2.32‬ונקבל‬
‫)‪(2.36‬‬
‫נפתח את )‪ (2.34‬ונקבל‬
‫)‪(2.37‬‬
‫לנוחיות החשובים נסמן את הסכימות השונות כלהלן‪:‬‬
‫נכפיל את )‪ (2.35‬ב ‪ F‬ואת )‪ (2.36‬ב ‪ r‬ונפחית אחד מהשני ונסמן את ההפרש ב ‪ A‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(2.38‬‬
‫נכפיל את )‪ (2.35‬ב ‪ H‬ואת )‪ (2.37‬ב ‪ r‬ונפחית אחד מהשני ונסמן את ההפרש ב ‪ B‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(2.39‬‬
‫נציבם בצורה שונה ונקבל‪:‬‬
‫וכן‬
‫נסמן כעת‬
‫ו‬
‫וכן‬
‫נכפיל את‬
‫ב‬
‫)‪(2.40‬‬
‫ונקבל‬
‫)‪(2.41‬‬
‫ב‬
‫ואת‬
‫ונפחית אחד מהשני ועי"כ נפטר מ‬
‫ונקבל ‪:‬‬
‫)‪(2.42‬‬
‫וקבלנו משוואה אחת עם נעלם אחד‪ , ,‬אותה אפשר לפתור‬
‫בלבד‪.‬‬
‫נשים לב שכל הגדלים ‪ D E F G H J K L Q‬הם פונקציה של‬
‫לאחר מציאת אנו יכולים לפתור את כל הגדלים הללו וכן את ‪ c‬ואת ‪. s‬‬
‫)‪(2.43‬‬
‫מתוך )‪ (2.40‬נקבל את ‪c‬‬
‫)‪(2.44‬‬
‫ואפשר גם לחלצו מ )‪(2.41‬‬
‫)‪(2.45‬‬
‫)‪(2.46‬‬
‫ולאחר שינוי סדר‬
‫ומנוסחה )‪ (2.35‬נקבל‬
‫שמצאנו‪,‬‬
‫נשים לב ש )‪ (2.44‬ו )‪ (2.45‬הן פונקציות של והערך הנכון של ‪ c‬מתקבל עבור הפתרון‬
‫אין אלה משוואות זהות‪ ,‬אבל עבור הפתרון אנו מקבלים ערך זהה‪ .‬כלומר אם נשרטט את שני הגרפים‬
‫הנכון‪.‬‬
‫הללו הרי החתוך שלהם יתן לנו את הפתרון‬
‫פתרון הפרמטרים עבור שלב א' של ההרעבה‬
‫‪.18‬לצורך פתרון המשוואה )‪ (2.43‬עבדתי עם תכנה גרפית בשם ‪) ,Graph‬סימוכין ‪ (.18‬בעזרתה‬
‫פתרנו את הערך של ‪ .‬ובעזרת ‪ ‬נמצאו שאר הפרמטרים של המשוואה‬
‫בשלב ראשון אשתמש בחמשת הנתונים שורות ‪ 2-6‬שבטבלה‪) 1-‬בהמשך יוסבר מדוע(‪,‬‬
‫‪24‬‬
‫)‪(2.47‬‬
‫את הגרף הבא‪:‬‬
‫ונקבל עבור‬
‫שרטוט‪6-‬‬
‫‪ .‬הפתרון‬
‫וכן עבור‬
‫עבור‬
‫אנו רואים שאנו מקבלים פתרון‬
‫איננו פתרון פיזי אפשרי‪ ,‬כי פרושו שאין התרבות סרטן בכלל‪ ,‬כי במקרה כזה ה ‪ Psa‬אינו תלוי ב ‪t‬‬
‫(‪ ,‬ועל כן הוא יהיה קבוע‪ .‬תוצאה כזו לא תתן לנו מינימום של סכומי ריבוע המרחקים‪.‬‬
‫)‬
‫הפתרונות שמצאנו הינם‪:‬‬
‫וכן‬
‫ופונקצית ה ‪ Psa‬הינה‬
‫)‪(2.48‬‬
‫להלן השרטוט של הפונקציה והתוצאות המחושבות של ה פי‪.‬אס‪.‬אי לפי הנוסחה שלעיל‪:‬‬
‫שרטוט‪7-‬‬
‫‪25‬‬
‫התוצאות המחושבות הוכנסו ל טבלה‪ 1-‬שלעיל‪ ,‬ואנו רואים שהתוצאות המחושבות‪ ,‬כשהן מעוגלות‬
‫לרמת הדיוק של המעבדה‪ ,‬נותנות התאמה של ‪ 100%‬בין התוצאות המחושבות לתוצאות בפועל‪.‬‬
‫להלן שרטוט נוסף‪:‬‬
‫שרטוט‪8-‬‬
‫הזנו למחשב את נקודות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬המקוריות‪ ,‬את הצורה הכללית של הנוסחה‪ ,‬ופתרון מקורב של‬
‫הפרמטרים שלה‪ .‬תוכנת הגרף מצאה פתרונות מדויקים יותר‪ ,‬מהפתרון המקורב שהזנו לתוכה‪ ,‬וכן את‬
‫מקדם הקורלציה‪ .‬אנו רואים שהנוסחה שהוציא המחשב זהה כמעט לחלוטין לנוסחה שאנו מצאנו )יש‬
‫לזכור שהמחשב עובד גם הוא בשיטת הקרובים ולא נותן פתרון אנליטי(‪ ,‬כמו כן מתקבל שמקדם‬
‫הקורלציה הוא ‪ R=0.9943‬שזו קורלציה יוצאת דופן ‪.‬‬
‫‪.19‬ברצוני להסב כבר פה למספר נקודות‪:‬‬
‫א‪.‬נקודה ראשונה‪ :‬אף על פי שבתאוריה יש אסימפטוטה בסביבות ‪ , Psa=0.17‬התוצאות בהמשך חרגו‬
‫מעבר לכך‪ ,‬וכבר הצבענו על כך שקיימת אפשרות כזו‪) ,‬סעיפים ‪.13‬עד ‪ .(.15‬בהמשך הדיונים נוכיח‪,‬‬
‫שהדבר קרה מכיון שהסרטן הוריד בנקודה זו את האגרסיביות שלו‪ ,‬דבר שאיפשר לו להמשיך ולגדול ‪.‬‬
‫ב‪.‬נקודה שניה‪ :‬הנתון הראשון בטבלה‪ 1-‬מופיע ב ‪ 23.04.09‬תאריך זה איננו תחילת המחלה‪ .‬כמה‬
‫חודשים‪ ,‬לפני התאריך הראשון שבטבלה‪ ,‬התחלתי בטיפול בעזרת פיטואסטרוגן‪ ,‬הקוורצטין פלוס‪),‬להלן‬
‫‪ ,(Q-P‬שהינו למעשה טיפול הורמונלי‪ .‬בתאריך שלעיל הפסקתי את לקיחת הפיטו אסטרוגן‪ ,‬קצת לפני כן‬
‫התחלתי בדיאטה‪ ,‬כך שאלו הן התוצאות הרלוונטיות‪ ,‬לצורך הערכת התרומה של הדיאטה לעכוב בקצב‬
‫עליית ה ‪.Psa‬‬
‫ג‪.‬נקודה שלישית‪ :‬אי הכללתה של הנקודה בה היה ‪ Psa=0‬בתוך סט המדידות איננו שרירותי‪ .‬ברור‪,‬‬
‫שערכו של ‪ p‬לא היה אפס מוחלט‪ ,‬מכיון שלא ייתכן שבתוך חודש יעלה הפי‪.‬אס‪.‬אי ל ‪ , 0.1‬אפילו אם ה‬
‫פי‪.‬אס‪.‬אי האמיתי היה ‪ . 0.01‬מכיון שלא רציתי להכניס נתון שגוי לא כללתי אותו‪ .‬כהערת אגב אומר‪,‬‬
‫‪26‬‬
‫שיש כאלה הסוברים שהשמוש בפיטואסרוגן ממסך את הפי‪.‬אס‪.‬אי ולכן אין הפי‪.‬אס‪.‬אי במקרים אלה‬
‫מציג את המצב האמיתי של הגידול‪ .‬תוצאות הבדיקות שלי‪ ,‬מיד אחרי פסק הזמן בשמוש ב ‪,Q-P‬‬
‫מצדיקות את הטענה הזאת‪ .‬בהמשך נחשב את מידת המיסוך ומה היה הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬האמיתי בזמן‬
‫הפסקת הטיפול‪.‬‬
‫ד‪.‬נקודה רביעית‪ :‬בנוסף לאמור לעיל יש סיבה לחשוב שברגע הפסקת השימוש ב‪ QP-‬הסרטן לא היה‬
‫‪) ,‬זאת מפני שהטפול ההורמונלי צימק את הגידול‬
‫עדיין תחת מגבלת המזון ‪ ,‬כלומר המצב בו‬
‫ולכן דרישתו למזון היתה קטנה יותר‪ (,‬ולכן הכללת קטע הזמן הזה היתה נותנת פרמטרים שונים במקצת‬
‫מהמצב של הימצאות בתקופה שכולה תחת מגבלת מזון‪ .‬איך אפשר לדעת אם אנו תחת מגבלת מזון או‬
‫לא? התשובה לכך פשוטה‪ ,‬אם קצב עלית ה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי בתקופה‪ ,‬נמוך מאשר הקצב ללא הדיאטה‪ ,‬הרי‬
‫שאנו נמצאים כבר תחת מגבלת המזון‪.‬‬
‫ה‪.‬נקודה חמישית‪ :‬גם כאשר הוספתי את הנקודה הראשונה התוצאות המחושבות היו דומות מאוד‬
‫לתוצאות הקודמות וגם כאן קבלתי התאמה של ‪ 100%‬לתוצאות המעבדה‪ ,‬אך בהבדל קטן של‬
‫הפרמטרים ‪ S‬ו‪ ‬שהם הפרמטרים החשובים‪ .‬על פי ששת הנקודות קבלתי את הנתונים הבאים‪:‬‬
‫אנו רואים שההבדל‬
‫הגדול הוא ב ‪ c‬אבל נתון זה איננו נתון יסודי‪ ,‬שנובע מתכונות הדיאטה או הסרטן‪ ,‬הוא מושפע‬
‫בעיקר מגודלו של ה ‪ Psa‬בנקודת ההתחלה‪ ,‬דהיינו מערכו של )‪ , N(0‬כמוסבר ב )‪ . (2.16.1‬ציינתי את‬
‫הנקודה החמישית על מנת להסיר חשד‪ ,‬שהנקודה הושמטה מכיון שאולי התוצאות לא היו נוחות‪ .‬על אף‬
‫הדימיון בנתונים חשוב לנסות ולמצוא ערכים מדויקים יותר‪ ,‬תוך המנעות משימוש בנקודות שאינן‬
‫רלוונטיות‪.‬‬
‫בחינת סבירות ערך ה ‪ ‬שקבלנו‬
‫‪‬‬
‫‪.20‬בבניית המודל הנחתי שתאי סרטן‪ ,‬ללא טיפול כלשהו‪ ,‬לא מתים ואם הם מתים זוהי תוצאה של‬
‫הדיאטה‪ .‬ה‪ -‬במודל מייצג את קצב התרבות הסרטן‪ ,‬כאשר איננו מקבלים טיפול‪ .‬ברצוני לבחון את‬
‫ההיגיון הזה נוכח התוצאות שקבלתי‪ .‬קיים המונח ‪ , PsaDT‬זהו פרק הזמן בו מוכפל ה ‪ . Psa‬אנו‬
‫יודעים שבמצב ללא דיאטה מתקיים‬
‫יהיה ‪ ‬זמן הכפלה בימים אותו אנחנו מחפשים‪ .‬ויהיה‬
‫צריך‬
‫להתקיים‬
‫ולכן‬
‫)‪(2.49‬‬
‫ה‪ Psa-‬ברגע ‪ ,t=0‬לכן ברגע ההכפלה‬
‫ומכאן‬
‫או‬
‫)‪(2.50‬‬
‫‪23‬‬
‫כלומר בערך ‪ 23‬יום‪.‬‬
‫אנו מקבלים‬
‫בהתחשב בכך שמצאנו ש‬
‫יום‪ ,‬פרושו סרטן אגרסיבי ביותר‪ .‬הספקנים ישאלו‪ ,‬איך זה ייתכן שהחזקת מעמד כל כך הרבה זמן עם‬
‫סרטן אגרסיבי כל כך ? משהו חייב להיות לא נכון במודל שלך!! למזלי‪ ,‬יש לי נתונים נוספים המראים‬
‫שהתוצאה נמצאת בטווח ההגיוני‪ .‬בשלב ראשון נבצע נתוח רגישות של התוצאות ובמיוחד של ‪, ‬לפיכך‬
‫נבדוק את טווח התוצאות האפשרי‪ ,‬כאשר אנו מזיזים את תוצאות המעבדה למעלה ולמטה‪ ,‬בתוך טווח‬
‫דיוק המדידה של המעבדה‪ .‬להבהרת הנושא‪ :‬המעבדה נתנה לנו תוצאה ‪ , 0.10‬אבל כל תוצאה בתחום‬
‫ל‪ . 0.10-‬כתוצאה מכך והעובדה שה פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שנמדדו‬
‫‪ 0.0951-0.1049‬המעבדה היתה מעגלת‬
‫היו נמוכים‪ ,‬הרי שאי הדיוק יכול להגיע לאחוז ניכר של התוצאה‪ ,‬דבר שיכול להשפיע גם על התוצאות‬
‫של המודל‪ .‬להלן טבלה המציגה את תוצאות נתוח הרגישות‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫טבלה‪2-‬‬
‫סוג הנתון‬
‫תאריך‬
‫הבדיקה‬
‫א‬
‫‪Psa-1‬‬
‫‪Psa-2‬‬
‫‪Psa-3‬‬
‫‪Psa-4‬‬
‫‪Psa-5‬‬
‫‪‬‬
‫ב‬
‫‪26.05.09‬‬
‫‪31.05.09‬‬
‫‪30.06.09‬‬
‫‪26.07.09‬‬
‫‪30.08.09‬‬
‫ימים‬
‫שעברו‬
‫מאז‬
‫הבדיקה‬
‫הקודמת‬
‫ג‬
‫‪5‬‬
‫‪30‬‬
‫‪26‬‬
‫‪35‬‬
‫רמת‬
‫ה ‪Psa‬‬
‫שנמדדה‬
‫במעבדה‬
‫ימים‬
‫מצטברים‬
‫מהבדיקה‬
‫הראשונה‬
‫ד‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.11‬‬
‫‪0.14‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.16‬‬
‫ה‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪35‬‬
‫‪61‬‬
‫‪96‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S\‬‬
‫‪c\‬‬
‫‪PsaDT‬‬
‫תוצאות‬
‫בטווח‬
‫האפשרי‬
‫הנותנות‬
‫‪ ‬מינימלי‬
‫ו‬
‫‪0.1049‬‬
‫‪0.1149‬‬
‫‪0.1351‬‬
‫‪0.1551‬‬
‫‪0.1649‬‬
‫‪0.014334‬‬
‫‪0.000002‬‬
‫‪0.0027‬‬
‫‪0.1856‬‬
‫‪0.0789‬‬
‫‪48.36‬‬
‫תוצאות‬
‫בטווח‬
‫האפשרי‬
‫הנותנות‪‬‬
‫מכסימלי‬
‫ז‬
‫‪0.0951‬‬
‫‪0.1149‬‬
‫‪0.1449‬‬
‫‪0.1551‬‬
‫‪0.1552‬‬
‫‪0.06104‬‬
‫‪0.000002‬‬
‫‪0.0095‬‬
‫‪0.1549‬‬
‫‪0.058‬‬
‫‪11.36‬‬
‫‪ Psa‬מחושב על פי‬
‫נוסחת ההרעבה‬
‫תוצאה‬
‫תוצאה‬
‫מעוגלת‬
‫מחושבת‬
‫ח‬
‫‪0.1002‬‬
‫‪0.1094‬‬
‫‪0.1430‬‬
‫‪0.1554‬‬
‫‪0.1622‬‬
‫‪0.030185‬‬
‫ט‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.11‬‬
‫‪0.14‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪0.0050‬‬
‫‪0.1658‬‬
‫‪0.0656‬‬
‫‪22.96‬‬
‫בעמודות ו'‪ ,‬ז' הצבנו מספרים אמיתיים אפשריים של ‪ ,Psa‬שאם היינו מעגלים אותם על פי השיטה של‬
‫קופת חולים‪ ,‬היינו מקבלים את תוצאות המעבדה שלנו‪ .‬כלומר‪ ,‬בהחלט ייתכן שהן אמיתיות ומצאנו‬
‫עבורם את הגרפים המתאימים‪ ,‬שהפרמטרים שלהם נתונים בשש השורות האחרונות של הטבלה‪.‬‬
‫מהאמור בטבלה ברור שה ‪ PsaDT‬יכול להמצא בתחום ]‪ [11.36-48.36‬כאשר גם הנקודה הקיצונית‬
‫‪ 48.36‬הינה אגרסיבית ביותר‪ .‬התבוננות בטבלה יכולה ליצור רושם שישנה טעות בעמודות ו' ‪ ,‬ז' ‪ ,‬כי‬
‫אם נסתכל על עמודה ז' שורה ‪ 5‬אנו יכולים לחשוב שאילו היינו לוקחים בחשבון את התוצאה ‪0.1649‬‬
‫במקום ‪ 0.1552‬היינו מקבלים ‪ ‬גדול יותר ועל כן אגרסיביות יותר גבוהה ולכן ‪ PsaDT‬קטן יותר‪ ,‬אך לא‬
‫כך הדבר‪ ,‬כי כפי שראינו‪ ,‬ככל שאגרסיביות גדולה יותר כך הגרף נעצר מהר יותר‪ ,‬והוא הרבה יותר‬
‫שטוח‪ ,‬כאשר גדלים עם הזמן‪ ,‬מאשר במקרה של אגרסיביות נמוכה‪ .‬ולכן על מנת למצוא את האפשרות‬
‫של האגרסיביות הגבוהה‪ ,‬עלינו לבחור את התוצאות האפשריות הנותנות את השטיחות הגדולה ביותר‬
‫באזור הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הגבוה‪ .‬תופעה מקבילה‪ ,‬אך הפוכה‪ ,‬קורית בנקודות ההתחלה‪ .‬התחום האמיתי יכול‬
‫להיות עוד יותר רחב‪ ,‬מאחר שלא באמת מצאנו בעמודות ו' ‪ ,‬ז' מינימום ומקסימום‪ .‬מה שמצאנו הינו ‪‬‬
‫מספיק נמוך ו ‪ ‬מספיק גבוה הנותנים טווח מספיק רחב של תוצאות אפשריות‪.‬‬
‫נסתכל כעת על התוצאות שלפני התחלת הדיאטה‪ .‬להלן טבלת נתונים‪ ,‬המראים את ה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי ברגע‬
‫שהוא התחיל לעלות‪ ,‬כשנה לאחר קבלת הזריקה האחרונה ‪.‬‬
‫טבלה‪3-‬‬
‫תאריך‬
‫הבדיקה‬
‫א‬
‫‪07.07.08‬‬
‫‪12.10.08‬‬
‫‪13.11.08‬‬
‫‪11.12.08‬‬
‫ימים‬
‫שעברו‬
‫מאז‬
‫הבדיקה‬
‫הראשונה‬
‫ב‬
‫‪0‬‬
‫‪97‬‬
‫‪129‬‬
‫‪157‬‬
‫רמת‬
‫ה ‪Psa‬‬
‫שנמדדה‬
‫במעבדה‬
‫תוצאה‬
‫אמיתית‬
‫מינימלית‬
‫אפשרית‬
‫תוצאה‬
‫אמיתית‬
‫מכסימליתא‬
‫פשרית‬
‫ד‬
‫‪0.01‬‬
‫‪0.09‬‬
‫‪0.13‬‬
‫‪0.21‬‬
‫ה‬
‫‪0.00501‬‬
‫‪0.08501‬‬
‫‪0.12501‬‬
‫‪0.20501‬‬
‫ו‬
‫‪0.01499‬‬
‫‪0.09499‬‬
‫‪0.13499‬‬
‫‪0.21499‬‬
‫גידול‬
‫מכסימלימ‬
‫ול‬
‫‪7.07.08‬‬
‫ז‬
‫‪18.96‬‬
‫‪26.94‬‬
‫‪42.91‬‬
‫גידול‬
‫‪‬קצב התרבות ‪ ‬‬
‫מינימלי‬
‫‪‬‬
‫מול‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪7.07.08‬‬
‫מינימלי‬
‫מכסימלי‬
‫ח‬
‫‪5.671‬‬
‫‪8.339‬‬
‫‪13.676‬‬
‫ט‬
‫‪0.0303‬‬
‫‪0.0255‬‬
‫‪0.0239‬‬
‫י‬
‫‪0.0181‬‬
‫‪0.0164‬‬
‫‪0.0167‬‬
‫מה‪ -‬המכסימלי והמינימלי של השורה השניה נובע שה‪ PsaDT-‬נמצא בתחום ] ‪[ 38.72 - 22.88‬‬
‫השורות ‪ 3‬ו‪ 4-‬פחות אמינות‪ ,‬מאחר ובתקופות הללו התחלתי לקחת תוספים רבים ולא ברורה לי‬
‫‪28‬‬
‫ההשפעה‪ ,‬שהיתה להם‪ ,‬אם בכלל‪ ,‬על ה ‪ , Psa‬נמצא שיש תחום חפיפה גדול‪ ,‬בין ההתחום האפשרי‬
‫ע"פ נוסחת ההרעבה לבין התחום האפשרי ללא הרעבה‪ ,‬התחום המשותף הגדול ביותר ביניהם‪ ,‬אם‬
‫נתחשב בתוצאות של שורה ‪ ,2‬הינו ]‪ ,[22.88-38.72‬כאשר התוצאה הספציפית שמצאנו של נוסחת‬
‫ההרעבה נמצאת עדיין בפנים התחום ממש על קצהו אך עדיין בפנים‪ .‬בהמשך נראה שה‪-‬האמיתי‪ ,‬של‬
‫מודל ההרעבה שלנו‪ ,‬כנראה קצת יותר קטן והוא נכנס קצת יותר‪ ,‬לתוך התחום של התוצאות‬
‫האפשריות‪ ,‬על פי המדידות ללא הרעבה‪ ,‬כך שזה נותן לנו אינדיקציה שאכן מדובר באותו ‪. ‬‬
‫מציאת פרמטרים לשלב ב' של ההרעבה‬
‫‪ .21‬הראנו‪ ,‬שהדרך שבה הסרטן יכול להמשיך ולהתפתח תחת הדיאטה‪ ,‬הינה ע"י הקטנת קצב‬
‫ההתרבות‪ ,‬דהיינו הקטנת האגרסיביות של הסרטן‪ .‬לאזורים בהם קיימת אותה רמת אגרסיביות‪ ,‬אנו‬
‫קוראים שלב של ההרעבה‪ .‬עיון בטבלה‪ 1-‬מראה לנו ששלב ב' נמשך משורה ‪ 7‬עד שורה ‪) 14‬כולל(‬
‫כאשר בשורה ‪ 14‬מתבצעת שוב קפיצה‪ .‬ברצוני לבחון את הפרמטרים משורה ‪ 7‬עד שורה ‪) 14‬כולל(‬
‫ונקבל את הטבלה הבאה‪:‬‬
‫טבלה‪4-‬‬
‫סוג‬
‫הנתון‬
‫תאריך‬
‫הבדיקה‬
‫א‬
‫‪Psa-1‬‬
‫‪Psa-2‬‬
‫‪Psa-3‬‬
‫‪Psa-4‬‬
‫‪Psa-5‬‬
‫‪Psa-6‬‬
‫‪Psa-7‬‬
‫‪Psa-8‬‬
‫‪‬‬
‫ב‬
‫‪30.09.09‬‬
‫‪25.10.09‬‬
‫‪10.11.09‬‬
‫‪09.12.09‬‬
‫‪26.01.10‬‬
‫‪18.02.10‬‬
‫‪18.03.10‬‬
‫‪25.03.10‬‬
‫ימים‬
‫שעברו‬
‫מאז‬
‫הבדיקה‬
‫הקודמת‬
‫ג‬
‫‪31‬‬
‫‪25‬‬
‫‪16‬‬
‫‪29‬‬
‫‪48‬‬
‫‪23‬‬
‫‪28‬‬
‫‪7‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S\‬‬
‫‪c\‬‬
‫‪PsaDT‬‬
‫נוסחת הגרף שמצאנו הינה‪:‬‬
‫רמת‬
‫ה ‪Psa‬‬
‫שנמדדה‬
‫במעבדה‬
‫ד‬
‫‪0.22‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.30‬‬
‫‪0.35‬‬
‫‪0.38‬‬
‫‪0.34‬‬
‫‪0.40‬‬
‫‪0.40‬‬
‫ימים‬
‫מצטברים‬
‫מהבדיקה‬
‫הראשונה‬
‫תוצאות‬
‫מחושבות‬
‫על‪-‬פי המודל‬
‫ה‬
‫‪0‬‬
‫‪25‬‬
‫‪41‬‬
‫‪70‬‬
‫‪118‬‬
‫‪141‬‬
‫‪169‬‬
‫‪176‬‬
‫ו‬
‫‪0.2138‬‬
‫‪0.2691‬‬
‫‪0.2960‬‬
‫‪0.3324‬‬
‫‪0.3689‬‬
‫‪0.3797‬‬
‫‪0.3891‬‬
‫‪0.3910‬‬
‫‪0.013236‬‬
‫‪0.0000005‬‬
‫‪0.0054‬‬
‫‪0.4101‬‬
‫‪0.1963‬‬
‫‪52.37‬‬
‫)‪(2.51‬‬
‫‪29‬‬
‫שרטוט‪9-‬‬
‫נתתי לתוכנה הגרפית לקרב לנקודות הכחולות גרף שצורתו דומה לגרף שלנו‪ ,‬להלן תוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫וכפי שאנו רואים‪ ,‬הקרוב זהה לשלנו‪ ,‬ומקדם הקורלציה של הגרף לנקודות המדגם הוא ‪R=0.9583‬‬
‫שזה מקדם קורלציה גבוה ביותר‪ .‬אם הייתי כולל את הנקודה משורה ‪ 6‬שבטבלה‪ ,1-‬מתאריך ‪30.08.09‬‬
‫היינו מקבלים מקדם קורלציה הרבה יותר גבוה ‪ R=0.975‬ו ‪ ‬עוד יותר נמוך‪ .‬האמת שאינני יכול לכלול‬
‫נקודה זאת בתוך שלב ב' מאחר שכמעט בוודאות מוחלטת נקודה זו שייכת לשלב א' של ההרעבה ולא‬
‫לשלב ב'‪.‬‬
‫מציאת פרמטרים לשלב ג' של ההרעבה‬
‫‪ .22‬בטבלה‪ 1-‬רואים‪ ,‬תהליך של התכנסות הנתונים לאסימפטוטה‪ ,‬וקפיצה נוספת‪ ,‬בין שורה ‪14‬‬
‫לשורה ‪ ,15‬המהווה מעבר לרמה נוספת שלישית‪ ,‬כלומר הסרטן שוב מוריד את האגרסיביות‪ .‬מאחר‬
‫שרציתי להשאר בערכים של ‪ , p<0.5‬התחלתי לקחת את הפיטואסטרוגן באותו מועד‪ ,‬ולכן אין לי נתוני‬
‫המשך‪ ,‬לפיהם אוכל למצוא את הפרמטרים המדויקים‪ .‬אך הצלחנו להראות שמתקיים‬
‫‪ , 0.0052022    0.00675‬ההוכחה לכך נמצאת בנוסחה )‪. (3.21‬‬
‫חישוב נת"ה עבור השלב הראשון‪.‬‬
‫‪.23‬בסעיף ‪ .9‬הגדרנו את מושג הנת"ה=נקודת תחילת ההרעבה‪ .‬נדגיש‪ ,‬שהתחלנו את בנית הגרפים‪,‬‬
‫מנקודה שבא ההרעבה כבר קיימת‪ ,‬לכן מאבדים את הנתון‪ ,‬של הרגע בו מתחילה ההרעבה‪ ,‬שהינו‬
‫הרגע שבו שפוע הגרף הכי גבוה‪ .‬בסעיפים ‪.19‬ג' ו ‪.19‬ד' הזכרנו את המוצר ‪ Q-P‬שבו השתמשנו‪,‬‬
‫ואמרנו שלא יתכן שבסוף תקופת השימוש של ה ‪ ,Q-P‬היה ‪ , p=0‬ולכן הטענות ששמענו‪ ,‬שחומר זה‬
‫ממסך את תוצאות ה‪ ,Psa‬כנראה מוצדקות‪ .‬מאחר והשתמשנו במוצר זה במקום שימוש בהורמונים‪,‬‬
‫‪30‬‬
‫ומאחר וברצוננו לבצע חישובים לגבי אריכות הימים האפשרית של החולה‪ ,‬הרי שעלינו להכיר את ביצועי‬
‫החומר ולנסות להגדיר את ביצועיו באופן מתמטי‪ .‬לצורך הגדרת הביצועים עלינו לדעת את המצב‬
‫האמיתי של ה‪ Psa‬ולא את הנתונים הממוסכים‪ .‬הנתון של ה‪ Psa‬האמיתי בסוף תקופת השימוש הינו‬
‫חיוני לצורך הגדרת ביצועי הפיטואסטרוגן‪ .‬אם נצליח למצוא את הנת"ה הרי שנוכל למצוא את ערכו‬
‫האמיתי של ‪ p‬בסוף תקופת השימוש בפיטואסטרוגן‪ ,‬דהיינו ב ‪ , 23.04.09‬זאת מפני שלפני נקודת‬
‫הנת"ה לא קיימת מגבלת מזון‪ ,‬ובכל זמן שהיא אינה קיימת ה‪ Psa‬מתקדם בקצב המכסימלי‪ ,‬לכן מידיעת‬
‫הנת"ה ו‪ p-‬בנת"ה‪ ,‬נוכל לרדת בחזרה לפי קצב הצמיחה המכסימלי ולמצוא את ‪ p‬ב ‪. 23.04.09‬‬
‫)‪(2.52‬‬
‫‪ .24‬אנו ראינו שנוסחת ההרעבה היא‬
‫)‪(2.53‬‬
‫נסמן ב ‪ t=0‬את הנת"ה‪ .‬מנוסחאות )‪ (2.19‬ו )‪ (2.20‬נובע שקיים‬
‫)‪(2.54‬‬
‫ובנוסחה )‪ (2.20.1‬קבלנו‬
‫מעיון בטבלה‪ 1-‬ברור לנו שהנת"ה חלה איפה שהוא בתקופה שבין ‪ 23.04.09‬לבין ‪ . 26.05.09‬על מנת‬
‫לפתור את בעייתנו‪ ,‬השתמשתי בתוכנית הגרפית )סימוכין ‪ ,(.18‬ובעזרתה‪ ,‬ושיטת נסה וטעה‪ ,‬מצאנו את‬
‫הפתרון המתאים כלהלן‪ :‬בשלב ראשון בחרנו יום כלשהו בתור היום של תחילת ההרעבה וסמנו יום זה‬
‫בתור ‪ t1‬וערכו היה מספר הימים שעברו מאז ה ‪ 23.04.09‬ואלצנו את הפתרון לקיים באותו יום את‬
‫הנוסחה )‪ (2.54‬שזו התכונה שמתקיימת בנת"ה‪ ,‬ומצאנו את סכום ריבועי ההפרשים ‪ ‬של נקודות‬
‫המדגם מהפתרון‪ .‬כך עברנו על פני מספר ימים ובסופו של דבר בחרנו את הפתרון שנתן לנו ‪‬‬
‫מינימלי‪ .‬חישוב והסבר יותר מפורט בנספח‪ .2-‬להלן תוצאות החישובים השונים‪:‬‬
‫טבלה‪5-‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪0.08715‬‬
‫‪0.08615‬‬
‫‪0.08502‬‬
‫‪0.08440‬‬
‫‪0.08370‬‬
‫‪0.08300‬‬
‫‪0.08250‬‬
‫‪0.08195‬‬
‫‪0.08140‬‬
‫‪0.08110‬‬
‫‪0.08085‬‬
‫‪S\‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.1743‬‬
‫‪0.1723‬‬
‫‪0.1704‬‬
‫‪0.1688‬‬
‫‪0.1674‬‬
‫‪0.1661‬‬
‫‪0.1649‬‬
‫‪0.1639‬‬
‫‪0.1629‬‬
‫‪0.1622‬‬
‫‪0.1617‬‬
‫‪0.02000613‬‬
‫‪0.02173290‬‬
‫‪0.02356770‬‬
‫‪0.02546546‬‬
‫‪0.02747700‬‬
‫‪0.02963003‬‬
‫‪0.03183290‬‬
‫‪0.03423700‬‬
‫‪0.03676770‬‬
‫‪0.03933540‬‬
‫‪0.04087910‬‬
‫‪PsaDT‬‬
‫‪34.64‬‬
‫‪31.89‬‬
‫‪29.41‬‬
‫‪27.29‬‬
‫‪25.23‬‬
‫‪23.39‬‬
‫‪21.77‬‬
‫‪20.25‬‬
‫‪18.85‬‬
‫‪17.76‬‬
‫‪16.96‬‬
‫‪S‬‬
‫‪8.94‬‬
‫‪7.20‬‬
‫‪5.74‬‬
‫‪4.65‬‬
‫‪3.90‬‬
‫‪3.55‬‬
‫‪3.67‬‬
‫‪4.35‬‬
‫‪5.75‬‬
‫‪7.88‬‬
‫‪10‬‬
‫‪C/‬‬
‫‪0.083 0.00492‬‬
‫אנו רואים שנקודת המינימום מתקבלת ביום ה‪ 25-‬מאז הפסקת לקיחת ה ‪ Q-P‬להלן ההצגה גרפית של‬
‫תוצאות‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫שרטוט‪10-‬‬
‫המסקנה הינה שה‪ PsaDT-‬המותאם שנותן לנו המודל הוא ‪ 23.39‬יום וה ‪ ‬המותאם הוא‬
‫)‪(2.55‬‬
‫‪ ,0.02963003‬ופונקצית ההרעבה היא‪:‬‬
‫כמו כן מתברר שנקודת תחילת ההרעבה היתה ביום ה ‪ 25‬מאז הפסקת לקיחת הפיטואסטרוגן‬
‫והפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬היה אז ‪ 0.083‬מזה נוכל לחשב שהפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ביום הפסקת לקיחת הפיטו היה כערך ‪0.04‬‬
‫)‪(2.55.1‬‬
‫לפיהחישוב הבא‪:‬‬
‫‪.25‬המטרה של כל החישובים של מציאת הנת"ה היתה לאפשר לנו לחשב את ה ‪ Psa‬ברגע הפסקת‬
‫לקיחת הפיטואסטרוגן‪ ,‬וזאת עשינו בעמוד הקודם בנוסחה )‪. (2.55.1‬יכולה להיות הסתייגות מהחישוב‬
‫שלעיל מכל מיני סיבות‪ ,‬לכן נשיג את הנתון הנ"ל שהינו חשוב ביותר להערכת תוצאות השמוש‬
‫בפיטואסטרוגן גם בדרך אחרת‪ .‬מאחר ומצאנו את הערך של ‪ ‬שהינו קצב גידול הסרטן ללא מגבלות‬
‫הדיאטה‪ ,‬נוכל לאמר שהקצב המכסימלי שהסרטן היה יכול לעלות‪ ,‬הינו כאילו בכל התקופה הוא לא היה‬
‫תחת דיאטה‪ .‬לכן אם נסמן את ה‪ Psa‬ברגע הפסקת הדיאטה ב ‪ PL‬נקבל‬
‫)‪(2.56‬‬
‫תוצאה הקרובה מאוד לתוצאה ש ב )‪ (2.55.1‬ונוכל להסתפק בה לצורך ניתוח הנתונים הקשורים‬
‫לשימוש בפיטואסטרוגן‪ .‬אפשר לתהות על העובדה ששני המספרים קרובים‪ ,‬אך אין בכך פלא‪ ,‬כי מצורת‬
‫הגרף‪ ,‬ומנוסחה )‪ (2.15‬ברור שהעליה בימים הראשונים של תחילת ההרעבה‪ ,‬הינה החזקה ביותר‬
‫וקרובה לעליה ללא דיאטה‪ ,‬וככל שאנו מתקדמים עם הימים הגרף נעשה יותר שטוח‪ .‬נשים לב‬
‫שהשתמשנו פה ב ‪ ‬שמצאנו בטבלה‪ 1-‬אם היינו משתמשים ב ‪ ‬המקורי‪ ,‬היינו מקבלים‪:‬‬
‫)‪(2.56.1‬‬
‫שגם הוא לא רחוק מהתוצאות האחרות ובסופו של דבר ההבדל ביניהם לא ישפיע מהותית על נוסחת‬
‫הפיטואסטרוגן כפי שנפתח אותה בפרק ‪ .8‬וראה גם סעיף ‪.67‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ -3‬עצמת הדיאטה‪ -‬ירידת האגרסיביות של הסרטן‪-‬ניתוח תאורטי ותוצאות בפועל‪.‬‬
‫ירידת האגרסיביות של הסרטן‪-‬נתוח תאורטי‬
‫‪ .26‬מתוך טבלה‪ , 1-‬רואים שהפי‪.‬אס‪.‬אי עלה‪ ,‬תוך ‪ 299‬יום‪ ,‬מ ‪ 0.14‬ל ‪ .0.47‬ונזכור שזה ללא שום‬
‫טיפול רפואי בתקופה זו‪ ,‬חישוב פשוט מראה שעבור חולה עם ‪ , ‬ללא הדיאטה‪ ,‬היה ‪p‬‬
‫עולה בתקופה זו פי ‪ 7040‬והיה מגיע לכ‪ 986-‬במקום ‪ . 0.47‬אפילו אם נניח הנחה בלתי סבירה לרעת‬
‫החישוב‪ ,‬לפיה ה ‪ Psa‬מכפיל עצמו אחת לחודש‪ ,‬במקום אחת ל‪ 23-24‬יום כפי שמצאנו בפועל‪ ,‬היינו‬
‫מקבלים שהסמן היה עומד על ‪ p=128‬במקום ‪ ,p=0.47‬ברור לכן שללא הדיאטה אם לא הייתי מקבל‬
‫טפול הורמונלי בתקופה‪ ,‬הייתי גמור בתוך שנה ואולי אף פחות מכך‪ .‬כלומר ברור לחלוטין שקבלנו‬
‫תוצאות פנטסטיות‪ ,‬ולדיאטה עוצמה אדירה‪ ,‬יותר מאשר כל טיפול תרופתי‪ ,‬בעשרות מונים‪ ,‬לפחות לגבי‬
‫סרטן הערמונית‪ .‬לאחר שראינו חלק מהתוצאות בפועל ברצוני להכנס לניתוח תאורטי לגבי התפתחות ה‬
‫‪ ‬ותהליך ירידת האגרסיביות‪ ,‬ולראות בהמשך כיצד התאוריה משתלבת עם המציאות‪.‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ k‬הינו‬
‫‪ .27‬נבדוק כעת מה קורה ל ‪ ? ‬בנוסחה )‪ , (2.6‬ראינו שקיים‬
‫עודף המזון המסופק ביחידת זמן ‪ , dt‬ברגע שבו ‪ k=0‬מגבלת המזון מתחילה לפעול‪ .‬נסמן רגע זה‬
‫ב ‪ , t=0‬וברגע זה מתקיים ‪ . 2N(0)=k/L‬אנו הגדרנו שהסרטן מתחלק בקצב של )‪,N(t‬‬
‫כלומר‪t‬תאים מתחלקים בפרק הזמן ‪ dt‬ומבחינתנו ברגע זה מתו )‪ N(t‬תאים‪ ,‬ורוצים להווצר‬
‫)‪ 2N(t‬תאים חדשים‪ ,‬אבל בגלל מגבלת המזון יכולים להווצר רק ‪ k/L‬תאים חדשים‪ ,‬לכן‪ ,‬כל עוד‬
‫או ‪t‬הסרטן ימשיך לגדול‪ ,‬ברגע שבו מתקיים ‪ t‬הסרטן‬
‫מפסיק לגדול‪ .‬אנו רואים שוב‪ ,‬את שראינו כבר בעבר‪ ,‬שהערך המכסימלי של )‪ N(t‬שווה )‪ ,2N(0‬כלומר‬
‫)‪(3.0‬‬
‫מתקיים‪,‬‬
‫כשהסרטן מפסיק לגדול‪ ,‬הרי על פי הנחתנו מתחולל בו איזשהו שינוי‪ ,‬והוא מקטין את האגרסיביות שלו‪,‬‬
‫על מנת שהוא יוכל להמשיך ולגדול תחת מגבלת הדיאטה‪ .‬נקודת תחילת ההרעבה החדשה תלויה כעת‬
‫בקצב ההתחלקות החדש‪ ,‬שנסמנו כעת ב ‪ . ‬תהיה נקודת ההרעבה החדשה )‪.N1(0‬‬
‫מתוך )‪ (2.7) (2.6‬בנקודת תחילת ההרעבה צריך להתקיים‬
‫)‪(3.1‬‬
‫או‬
‫)‪(3.2‬‬
‫ומתוך )‪ (3.1‬נובע‬
‫הרגע שבו מתחולל השינוי‪ ,‬אינו ידוע לנו במדויק‪ ,‬אך הוא מתחולל כאשר ערך הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬מתקרב לערך‬
‫האסימפטוטה‪ .‬יחד עם זאת נקודת התחוללות השינוי איננה מכתיבה בהכרח את גודלו של ‪ ‬ויכול‬
‫‪ ,‬שיהיה יותר קטן מה ‪ Psa‬הנוכחי‬
‫להיות תאורטית שהסרטן יבחר ב ‪ ‬כזה‪ ,‬שיתן מתוך )‪(3.1‬‬
‫‪ .‬מצב כזה‬
‫לכן במצב זה מתקיים‬
‫שאסמנו ב ‪ . p1‬לצורך נוחיות הניתוח אסמן גם‬
‫מוצג בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫שרטוט‪11-‬‬
‫ברצוני להוכיח שבחירה כזו לא תהיה בחירה אופטימלית עבור הסרטן‪‬בחירה לא אופטימלית מבחינת‬
‫הסרטן פרושה‪ ,‬שהוא לא יגדל במהירות בה היה יכול לגדול אילו בחר את ‪ ‬כך ש ‪) p‬הפי‪.‬אס‪.‬אי‪.‬‬
‫הנוכחי(‪ ,‬יהווה את נקודת תחילת ההרעבה במקום ‪ . p‬המספרים בגרף משמשים רק כדוגמא‪ ,‬שתעזור‬
‫בהמחשת ההוכחה‪.‬‬
‫כך ש ‪) p1‬הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הנוכחי( יהווה את נקודת‬
‫נניה כעת שהסרטן היה בוחר במקום ‪ ‬את‬
‫תחילת ההרעבה במקום ‪ . p0‬מתוך )‪ (3.1‬ינבעו הקשרים הבאים‬
‫)‪(3.3‬‬
‫וכן‬
‫)‪(3.4‬‬
‫ומשני אלה נובע‬
‫)‪(3.5‬‬
‫ומתוך ש ‪ p1> p0‬נובע‬
‫בהתבסס על האמור בנוסחאות )‪ (3.5‬והגרף לדוגמא‪ ,‬נמצא את הערכים המתאימים לצורך הגדרת‬
‫מאחר ש ‪ 0.3= p1‬המופיע בגרף‬
‫נוסחת הגרף החדש‪.‬‬
‫הירוק‪ ,‬מוגדר כעת כנקודת תחילת ההרעבה החדשה‬
‫)‪ (3.0‬נובע‬
‫הגרף הישן‪:‬‬
‫ומ )‪ (2.54‬נובע‬
‫‪34‬‬
‫‪ ,‬הרי שמתקיים‬
‫אבל מתוך‬
‫כעת נוכל לשרטט את הגרף החדש ליד‬
‫שרטוט‪12-‬‬
‫ברור מהשרטוט שמבחינת הסרטן עדיף לו להיות על הגרף האדום‪ ,‬מאשר להיות על הגרף הירוק‪ ,‬זו‬
‫איננה הוכחה פורמלית אך היא ממחישה היטב את הטענה‪ .‬נעבור כעת להוכחה הפורמלית‪ :‬הצמיחה‬
‫ע"פ שני הגרפים מתחילה מאותו פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ובאותו הזמן‪ ,‬כאשר ‪ p1‬זה הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬בו מתרחשת הקפיצה‬
‫ברמת האגרסיביות‪ .‬אני מבקש שנבחין היטב בין נקודת התרחשות הקפיצה לבין נקודת תחילת‬
‫ההרעבה‪ ,‬בגרף האדום זו אותה נקודה‪ ,‬אך בגרף הירוק אין זה כך‪ ,‬בגרף הירוק נקודת התרחשות‬
‫הקפיצה היא ב ‪ , p1‬אך נקודת תחילת ההרעבה של גרף זה היא ב ‪ . p0‬אני מדגיש עובדות אלה מאחר‬
‫והן משמעותיות בבואנו לקבוע מהי הנוסחה המתמטית המתאימה לכל גרף‪ .‬נוסחת הגרף הירוק הינה‬
‫)‪(3.6‬‬
‫ונוסחת הגרף האדום הינה‬
‫ובהתבסס על )‪ (3.5‬הינה‪:‬‬
‫נזכור ש‬
‫)‪(3.7‬‬
‫‪ ,‬נציב זאת ב )‪ (3.6‬ונקבל‬
‫)‪(3.8‬‬
‫ומכאן ינבע‬
‫נגזור את )‪ (3.6) N(t‬ונקבל‬
‫ומכאן נובע‬
‫נגזור את‬
‫לפי ניסוחו ב )‪(3.7‬‬
‫מ ‪ p1> p0‬נובע‬
‫)‪(3.9‬‬
‫ולכן‬
‫אך מכיון‬
‫ונקבל‬
‫הרי‬
‫)‪(3.10‬‬
‫מ )‪ (3.9‬ומ )‪ (3.10‬נקבל‬
‫)‪(3.11‬‬
‫‪35‬‬
‫)‪(3.12‬‬
‫ולכן‬
‫אבל‬
‫)‪(3.13‬‬
‫לכן‬
‫ובכך השלמנו את ההוכחה הפורמלית‪ ,‬שבחירת ‪ ‬הנותן‪ ,‬על פי )‪ , (3.3‬את ‪ p0‬כנקודת התחלת‬
‫הרעבה‪ ,‬כאשר ‪ p0‬קטן מ ‪ p1‬שהינו הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ברגע ביצוע השינוי של ‪ ,‬לא יכול להיות אופטימלי‬
‫( הנותן‪ ,‬על פי )‪ , (3.3‬את ‪ p1‬כנקודת התחלת הרעבה‪ ,‬תתן‬
‫)‬
‫מבחינת הסרטן ובחירת‬
‫לסרטן צמיחה הרבה יותר מהירה‪ .‬נדגיש שההוכחה הפורמלית לא התבססה על השרטוט אלא על‬
‫ההנחות הבאות‪ :‬במקרה הראשון הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הנוכחי הוא ‪ p1‬ונקודת תחילת ההרעבה היא ‪ p0‬כאשר‬
‫‪ p0<p1‬גם במקרה השני הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הנוכחי הוא ‪ p1‬כאשר ‪ p1‬היא גם נקודת תחילת ההרעבה‪..‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם יש לסרטן הגיון ביולוגי מקובל‪ ,‬האומר שהגנים משתדלים להפיץ את עצמם בדרך‬
‫המהירה ביותר‪ ,‬הרי כאשר הוא משנה את האגרסיביות שלו‪ ,‬הוא בוחר את קצב ההתחלקות החדש‬
‫כך‪ ,‬שבמקום להימצא במצב הרעבה‪ ,‬הוא ימצא את עצמו לפני מצב הרעבה‪ ,‬או לכל היותר על גבול‬
‫מצב הרעבה‪ .‬כל נת"ה חדשה חייבת להיות מעל ה‪ .Psa-‬הנוכחי‪ .‬אם הוא נוהג אחרת‪ ,‬אזי זה‬
‫לטובת החולה‪.‬‬
‫להשלמת הטענה הפורמלית‪ ,‬אציין שאי אפשר להשוות בין שני הגרפים עד אינסוף‪ ,‬מכיוון שבאיזשהו‬
‫רגע יכול הסרטן‪ ,‬על פני הגרף הירוק‪ ,‬לשנות את האגרסיביות‪ ,‬בעוד שעל פני הגרף האדום הוא עדיין‬
‫לא ישנה אגרסיביות ואז לכאורה הוא יוכל להתקדם מהר יותר‪ .‬בנקודה זו אציין‪ ,‬שאילו נערכה תחרות‬
‫בין הסרטן שעל הגרף הירוק וזה של האדום‪ ,‬לאדום יש תמיד אסטרטגיה טובה‪ ,‬לפחות כמו של הירוק‪,‬‬
‫מפני שכל פעם שהירוק משנה אגרסיביות‪ ,‬יוכל האדום לשנות לאותה רמת אגרסיביות ובאותו הרגע‪ ,‬אך‬
‫הוא מתחיל את התקדמותו באגרסיביות החדשה מרמת פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬יותר גבוהה‪ ,‬וייתכן שאף תהיה לו‬
‫אסטרטגיה טובה יותר‪.‬‬
‫ירידת האגרסיביות‪ -‬תוצאות בפועל‬
‫‪.28‬‬
‫במציאות ראינו שנקודת הקפיצה‪ ,‬כלפי מטה באגרסיביות‪ ,‬קורית כאשר הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬מתקרב‬
‫יסמן את נקודת תחילת ההרעבה‬
‫לאסימפטוטה‪ ,‬לכן על פי ההיגיון של ההוכחה הקודמת‪ ,‬אם‬
‫החדשה אזי נקודה זאת יכולה להיות קטנה במקצת מערך האסימפטוטה או שווה לה או גבוהה ממנה‪,‬‬
‫על פי מקומה של נקודת התרחשות הקפיצה‪ ,‬בכל מקרה היא צריכה להיות יותר גבוהה מנקודת‬
‫התרחשות הקפיצה‪ .‬ערך האסימפטוטה הוא ‪ S/‬לכן‬
‫כאשר ‪ ‬יכול להיות גם קטן מ‬
‫)‪(3.14‬‬
‫‪ 0‬נציב זאת בתוך )‪ (3.2‬ונקבל‬
‫)‪(3.15‬‬
‫ומכאן נקבל‬
‫ברור מנתוני הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שאם‪  ‬אזי הוא קטן מאוד‪ ,‬מ טבלה‪ 1-‬אנו רואים שהקפיצה נעשתה‬
‫איפשהו בין פי‪.‬אס‪.‬אי‪ 0.16 .‬ל ‪ 0.22‬אולם מאחר ש ‪ S ‬ואנו מניחים ש‪   ‬הרי שהקפיצה‬
‫נעשתה בין ‪ 0.16‬ל ‪ 0.166‬ולכן‬
‫ומכאן‬
‫‪36‬‬
‫‪ ‬ומכאן נובע ש‬
‫)‪(3.16‬‬
‫נבהיר שזו ההערכה החמורה ביותר‪ ,‬ואין סיבה לחשוב שהגבול התחתון‪ ,‬אכן מושג בפועל‪ ,‬זו תוצאה‬
‫מקרית שנובעת מהעובדה שהמרחק בין מדידה למדידה הוא בסביבות חודש‪ .‬במיוחד ש ‪ 0.16‬לא מיצגת‬
‫את נקודת ההרעבה החדשה אלא לכל היותר את נקודת הקפיצה‪ .‬כאשר ‪ ‬נקודת תחילת ההרעבה‬
‫היא האסימפטוטה לכן סביר יותר שהקפיצה תעשה אל מעבר לאסימפטוטה‪ ,‬ואז מתקיים ‪ ‬וזה ומ‬
‫)‪ (3.15‬ינבע‬
‫זו תוצאה הרבה יותר סבירה‪.‬‬
‫במציאות מצאנו‬
‫)‪(3.17‬‬
‫)טבלה‪ (4-‬והיחס במקרה זה הוא‬
‫)טבלה‪(5-‬‬
‫כלומר במציאות‪ (3.17) ,‬מתקיים‪.‬‬
‫‪ .29‬ננסה לתת אישוש נוסף לעובדת ירידת האגרסיביות וגודל הירידה הזו‪ ,‬דרך השלב הבא‪ ,‬שזו‬
‫הקפיצה מ ‪ 0.40‬ל ‪ 0.47‬תוך ‪ 31‬יום )ראה טבלה‪ .( 1-‬בשלב ראשון נמצא את‪ ‬על פי נוסחת‬
‫התפתחות הסרטן ללא דיאטה‪:‬‬
‫אבל מאחר והיינו תחת‬
‫מכאן נובע‪:‬‬
‫דיאטה‪ ,‬הרי ייתכן‪ ,‬שבאיזשהו חלק של תקופת ה ‪ 31‬יום‪ ,‬היינו תחת השפעת מגבלות הדיאטה‬
‫והמשמעות הינה‪ ,‬שהתוצאה הנ"ל יכולה להיות שווה או נמוכה מה ‪ ‬האמיתית‪ ,‬מאחר ותחת דיאטה‬
‫קצב הגידול שאנו רואים ומודדים‪ ,‬נמוך מקצב הפיצול‪ ,‬כלומר חייב להתקיים‪(3.18)  0.0052022 :‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אם נלך לפי נוסחת ההרעבה ‪ ,‬ובהתחשב שראינו כבר שהערך המכסימלי של ‪ t‬שווה‬
‫‪ , ‬כש‪  -‬הוא הנת"ה של השלב השלישי‪ ,‬הרי מ )‪ (3.0‬חייב להתקיים‪(3.19) S :‬‬
‫אבל ‪ ‬האמיתי לא שווה בדיוק ל ‪ , 0.4‬מפני שאיננו יודעים מתי בדיוק חלה הקפיצה ב‪ ,‬לכן חייב‬
‫להתקיים‪  ‬מזה ומ )‪ (3.19‬נובע‪ S 0.80 :‬או בצורה אחרת‬
‫‪ ,‬ראינו‬
‫ש ‪) S‬טבלה‪ , (4-‬ומכך נובע‬
‫‪    ‬‬
‫נאחד את ‪ 2‬הנוסחאות )‪ (3.18‬ו )‪ (3.20‬ונקבל‬
‫זה מאשר מחדש את העובדה שהאגרסיביות יורדת משלב לשלב בסביבות ‪ 50%‬ואולי יותר‪.‬‬
‫כלומר הסרטן מוריד את האגרסיביות שלו‪ ,‬בערך ל ‪ 50%‬מרמת האגרסיביות הקודמת ואפילו נמוך מזה‪.‬‬
‫נדגיש שנוסחה )‪ (3.17‬נובעת מהתוצאות שבשטח ומרמזת שהסרטן מסוגל לכאורה "לבצע חישובים"‪,‬‬
‫ולהשתנות בצורה שתאפשר לו גידול מקסימלי‪ .‬כעובדה‪ ,‬ראיתי במציאות את השתנות הקצב‪ ,‬ממצב של‬
‫בלימה‪ ,‬למצב של קפיצה בעלית הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ ,‬והמשך תהליך בלימה ושוב קפיצה‪ .‬וכל מי שמכיר תופעות‬
‫של סרטן יודע שהוא מתאים את עצמו למצבים המשתנים‪ ,‬ובמיוחד כשמדובר בסרטן הורמונלי‪ .‬אנו‬
‫יכולים להיות מלאי פליאה נוכח היכולת המופלאה הזאת של הסרטן‪ ,‬אך איננו יכולים לבטל אפשרות‬
‫כזאת‪ .‬יותר מכך‪ ,‬אם אנו מכירים בעובדה שהסרטן יכול‪ ,‬ולא משנה באיזו דרך‪ ,‬להכיר בעובדה שהוא‬
‫מפסיק לגדול‪ ,‬ול"דעת" שלצורך המשך הגידול הוא צריך להקטין את קצב הגידול )בניגוד להיגיון הפשוט‬
‫שלנו(‪ ,‬אין להתפלא שהוא "יודע" למצוא את הפתרון האופטימלי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(3.20‬‬
‫)‪(3.21‬‬
‫עוצמת הדיאטה‪-‬הפחתת קצב עלית ה ‪—Psa‬החסם הליניארי‪ ,‬והמדד הליניארי‪.‬‬
‫‪ .30‬היינו שמחים מאוד אילו הסרטן היה נעצר ברמת פי‪.‬אס‪.‬אי של ‪ 0.17‬או או כל מספר קרוב אחר‬
‫אלא שבניגוד לכאורה למודל המתמטי הוא לא נעצר שם‪ ,‬הוא הראה סימני עצירה בסביבות ה ‪ 0.16‬אבל‬
‫פתאום קפץ בבת אחת ל ‪ 0.22‬והמשיך לעלות בממוצע פחות מ ‪ 0.04‬לחודש‪ ,‬וזה כאשר ה‪PsaDT‬‬
‫ללא דיאטה הינו כ‪ 23.5-‬יום‪ .‬אילו היינו מתייאשים ןמפסיקים את הדיאטה לאחר הקפיצה‪ ,‬הרי היינו‬
‫מקבלים שה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי בסוף התקופה‪) ,‬לאחר ‪ 207‬יום(‪ ,‬היה צריך להיות כ‪ 101-‬לעומת ‪ , 0.47‬הבדל‬
‫משמעותי ביותר‪ ,‬שאיפשר לי לחיות ללא חשש ומתיחות‪ ,‬ולהמשיך ולחפש פתרונות בנחת‪ .‬השקעתי‬
‫הרבה מחשבה בנושא‪ ,‬והגעתי למסקנה‪ ,‬שהרעיון הבסיסי והמודל הבסיסי תקפים בהחלט‪ ,‬והתוצאות‬
‫‪37‬‬
‫ניתנות ליישוב עם המודל‪ ,‬וכפי שהראנו‪ ,‬הדרך הפשוטה ביותר של הסרטן הינה להגדיל את קצב‬
‫התרבותו‪ ,‬על ידי הקטנת קצב ההתחלקות‪ ,‬או ע"י השריית אפופטוסיס‪ .‬כפי שראינו בניתוח הנתונים‬
‫שלב א'‪ ,‬היתה התאמה מצוינת בין הנתונים למודל‪ ,‬כמו כן ראינו שערכו של ה‪ -‬שמצאנו על פי המודל‪,‬‬
‫נמצא בטווח התוצאות האפשרי של ה ‪ , ‬כאשר לא נמצאים תחת משטר של דיאטה‪ ,‬וזאת אף על פי‬
‫שקיים הבדל עצום בקצב התפתחות הסרטן בשני המצבים הללו‪ ,‬ולכאורה קשה לראות בכלל את הקשר‬
‫שבין שני המצבים‪ .‬ראינו גם התאמה מצוינת בין הנתונים למודל בניתוח הנתונים של שלב ב'‪ .‬אנו ראינו‬
‫ב )‪ (2.14‬שקיים ‪ ,S=k\L‬כאשר‪ k‬הוא נתון של התזונה‪ ,‬ו ‪ L‬היא כמות המזון הנדרשת ע"י תא סרטני‬
‫אחד‪ .‬נובע מכך ש‪S-‬הוא גודל שתלוי בדיאטה‪ ,‬ובתכונה כימית של התא הסרטני‪ ,‬ולכן הוא אמור‬
‫להשאר קבוע‪ ,‬במסגרת שינויים קלים אפשריים בדיאטה‪ ,‬או כתוצאה מצמיחה של כלי הדם המזינים‬
‫)אנג'יוג'נסיס(‪ .‬אם נצליח להראות שתוצאות המודל בתקופה השניה‪ ,‬נותנות ‪ S‬דומה לתקופה הראשונה‪,‬‬
‫והשוני העיקרי הוא ב‪ , -‬הרי שזה יאשש את המחשבה שהסרטן עבר תמורה בכוון הקטנת האגרסיביות‬
‫וגם יאשש את ההנחה שהשינויים ב ‪ S‬הינם קטנים‪ ,‬עובדה המאפשרת לנו להתייחס אל ‪ S‬כאל קבוע‪,‬‬
‫בפרק הזמן שבו ‪ ‬נשאר קבוע ‪ .‬בהנחה שנצליח להראות זאת‪ ,‬ברצוני להראות את גבול הגידול החודשי‬
‫האפשרי תחת הדיאטה‪.‬‬
‫‪ .31‬ע"פ כל ההגדרות וההסברים שנתנו בעת בניית המודל‪ ,‬הרי שהביטוי ‪ k\2L‬נותן לנו את קצב‬
‫הגידול הכמותי המכסימלי האפשרי במספר התאים הסרטניים‪ .‬כלומר אם ‪ k‬היא כמות המזון המסופקת‬
‫ביחידת זמן ‪ dt‬אזי ‪ k\2L‬הוא המספר המכסימלי האפשרי של תוספת תאים סרטניים חדשים באותה‬
‫יחידת זמן‪ ,‬לכן קצב השינוי המכסימלי האפשרי הינו‪:‬‬
‫)‪(3.22‬‬
‫)‪(3.23‬‬
‫נוציא אינטגרל ונקבל‬
‫נשים לב שנוסחה )‪ (3.23‬טובה גם למקרה בו ‪ S‬איננו גודל קבוע אלא פונקציה של ‪ t‬אם נניח ש ‪S‬‬
‫)‪(3.24‬‬
‫קבוע נקבל‬
‫נזכיר גם שהגידול המכסימלי האפשרי‪ ,‬מתקבל בנת"ה‪ ,‬מפני שעד אותו רגע לא היתה מגבלת מזון‪ ,‬ולכן‬
‫לא נוצל כל המזון האפשרי לצורך גידול‪ ,‬אלא רק חלקו‪ .‬בנת"ה המזון מנוצל במלואו והגדול הינו‬
‫מכסימלי‪ ,‬לעומת זאת מעבר לנת"ה מתחילים למות תאים שניסו להתחלק והמזון לא הספיק להם‪ ,‬וקצב‬
‫הגדול הולך ודועך ועקומת הגדול שואפת לאסימפטוטה‪.‬‬
‫אני מפנה שוב לסעיף ‪.11‬ד' בו הסברנו שהנוסחאות שאנו מדברים עליהן טובות לאזורי זמן )שלב‬
‫בהתפתחות הסרטן ( בהם ‪ ‬קבוע‪ ,‬אך נוסחה זו יכולה להיות טובה לכמה איזורי זמן‪ ,‬אם נתן ל ‪ S‬את‬
‫ערכו המכסימלי בתחום קבוצת איזורי הזמן הללו‪ .‬נוסחה זו מגדירה את החסם העליון לקצב התקדמות‬
‫הסרטן‪ ,‬בתקופת זמן שבה ‪ ‬קבוע‪ . ,‬כלומר‪ ,‬הפרש ה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי בין שתי נקודות זמן‪ ,‬קטן מפונקציה‬
‫ליניארית בזמן‪ ,‬כלומר‪ ,‬במקום שהסרטן יעלה באופן אקספוננציאלי‪ ,‬הוא חסום כעת ע"י פונקציה‬
‫ליניארית‪ .‬ניתן להעלות טענה שלנוסחה )‪ (3.24‬אין שום ערך‪ ,‬מאחר שאם נבחר ‪ S‬מספיק גדול‪ ,‬הרי‬
‫שנוסחה זו תהיה נכונה תמיד‪ .‬התשובה לכך הינה פשוטה‪ :‬קודם כל ‪ S‬בנוסחה הנ"ל איננו מספר שאנו‬
‫בוחרים כרצוננו‪ ,‬אלא הוא תוצאה של חישובים המתבססים על מדידות ‪ Psa‬בפועל‪ ,‬בנוסף לכך ‪, S/2‬‬
‫שהינו החסם לגידול החודשי ב‪ ,Psa‬הינו מספר קטן ביותר יחסית לאפשרויות הגידול טרום הדיאטה‪,‬‬
‫שהלכו וגדלו באופן אקספוננציאלי‪ .‬לכן אם בבדיקת נתוני ההמשך יתברר לנו שה‪ S‬נשאר קבוע או‬
‫משתנה בקצב איטי ‪ ,‬בנוסף לעובדה ש ‪ ‬מקיים את )‪ (3.17‬דהיינו מוריד את גודלו בסביבות ה‪50%‬‬
‫ויותר‪ ,‬ובנוסף מקדמי הקורלציה לגרפים של כל שלב יהיו גבוהים מאד‪ ,‬אפילו שאנו מניחים ש ‪ S‬קבוע‪,‬‬
‫הרי שזה יהווה תמיכה חזקה ביותר במודל המתמטי‪ ,‬כמודל מעשי‪ ,‬המתאר בצורה אמיתית‪ ,‬את תהליך‬
‫גידול הסרטן‪ ,‬תחת משטר הדיאטה שלנו‪ ,‬לפחות בשלבים הראשונים של הדיאטה‪ .‬וכתשובה סופית‬
‫ומכרעת אתן את הדוגמה הבאה‪ :‬אם נסתכל על טבלה‪ 1-‬שורה ‪ 7‬לעומת שורה ‪ 6‬נראה עליה של‬
‫‪ 37.5%‬במשך ‪ 31‬יום‪ .‬בידיעה שהסרטן עולה אקספוננציאלית הרי רופא שיסתכל על זה יאמר שלאחר‬
‫עוד ‪ 207‬יום כלומר ב ‪ 25.04.10‬צפוי ה ‪ Psa‬להיות ‪ p=1.84‬והיה אומר ש ב‪ 30.09.2011‬צפוי להיות‬
‫‪ p=397‬לעומתו רופא שמכיר את המודל‪ ,‬היה יודע שהעלייה החודשית אינה יכולה לעלות על כ ‪0.075‬‬
‫‪38‬‬
‫לחודש ולכן ב ‪ 25.04.10‬יהיה ‪ p<0.73‬ואכן בפועל הוא היה ‪ p=0.47‬והוא היה מנבא שהוא יעמוד ב‬
‫‪ 30.09.2011‬לכל היותר על ‪ p=2.07‬במקום הניבוי של ‪ . p=397‬הבדל זה מצביע שתחת משטר דיאטה‬
‫מתאים אבד הכלח על התחזיות המקובלות‪ ,‬ויש צורך לשנות את הגישה והתפישה‪ ,‬ועדיף בצורה‬
‫משמעותית להסתכל על כך כגידול ליניארי במקום אקספוננציאלי‪ .‬דבר זה נכון לפחות ב‪ 5-‬השנים‬
‫הראשונות וראה שרטוט‪ 33-‬ונוסחה )‪.(9.72‬‬
‫להלן שרטוט עם תוצאות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שלי כפי שהתפתחו במשך שנה‪ ,‬שבוצעו תוך תהליך הדיאטה וללא‬
‫לקיחת הורמונים‪ ,‬כלומר התוצאות הינן הישג של הדיאטה בלבד‪.‬‬
‫שרטוט‪13-‬‬
‫התוצאות הוכנסו לתוכנה הגרפית‪ ,‬אשר ביצעה קירוב ליניארי לנתונים והתוצאה הינה מדהימה‪ .‬כפי‬
‫שנראה מהשרטוט של הגרף ומהתוצאות שהציג המחשב הרי מקדם הקורלציה בריבוע הוא‬
‫ולכן מקדם הקורלציה הוא ‪ R=0.9801‬שזה מקדם קורלציה גבוה ביותר על גרף הנבנה‬
‫על ‪ 15‬נקודות‪.‬‬
‫בטבלה‪ 5-‬ראינו ש ‪ S=0.00492‬עבור השלב הראשון ולכן אם נקח תקופה של חודש‪ ,‬נקבל שהפי‪.‬אס‪.‬אי‬
‫‪ g/ml‬בחודש‪(3.23.1) ,‬‬
‫חסום ואינו יכול לעלות מעבר לגודל הבא‬
‫שזה בערך ‪ 0.9‬בשנה‪ .‬לעומת זאת אנו רואים מהנוסחה המופיעה בתוך הגרף שקצב הגידול היומי של‬
‫ה‪ Psa‬הינו ‪ 0.0011117371‬ולכן החודשי הינו ‪ 0.0338‬והשנתי הינו ‪ , 0.4056‬שזה כ‪ 45%-‬מהחסם‬
‫אותו מצאנו‪ .‬לעובדה זו יש הסבר פשוט הנובע מהפיסיקה ובא לידי ביטוי במתמטיקה‪ .‬אנו רואים‪,‬‬
‫שהתוצאות במציאות‪ ,‬נותנות תוצאות מצוינות‪ ,‬והתאמה יפה לניבויים של המודל‪ .‬אין זה פלא שהתוצאות‬
‫במציאות טובות מאשר החסם של המודל‪ ,‬באשר זה טבעו של חסם‪ ,‬ולעומת זאת היה זה פלא גדול אילו‬
‫המציאות היה שווה לחסם‪ ,‬מאחר ודבר זה היה מראה שכאילו יש לסרטן איזשהו מחשב‪ ,‬המאפשר לו‬
‫לחשב בדיוק את מספר התאים שעליו לפצל בכל רגע ורגע‪ ,‬עצם ההנחה‪ ,‬שהסרטן מקטין את קצב‬
‫ההתחלקות‪ ,‬על מנת להמשיך ולגדול‪ ,‬הינה קשה להבנה‪ ,‬לתפיסה ולהוכחה‪ ,‬אבל עובדות החיים‬
‫מצביעות שיש כנראה משהו אמיתי במודל‪ .‬להלן שרטוט המציג בצורה ויזואלית את מה שאמרנו‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫המחשה זו חשובה‪ ,‬להפנית תשומת לב‪ ,‬לעובדה כל כך חשובה שגילינו‪ ,‬על יכולתה האדירה של‬
‫הדיאטה‪ ,‬להאריך את חיי החולה‪ ,‬כשיחד עם עוד אמצעי פשוט וקטן מהווים כלי רב עצמה‪ ,‬שהרפואה‬
‫המודרנית לא מכירה אותו‪ ,‬גם לא אלה הדוגלים ברפואה אינטגרטיבית‪.‬‬
‫על מנת שנוכל לראות את תרומתה האמיתית של הדיאטה‪ ,‬אציג גרפים להשוואה‪ ,‬בין התוצאות בפועל‬
‫לבין מה שהיה קורה ללא דיאטה וללא טיפול הורמונלי‪ ,‬ובהתחשב שה ‪ PsaDT‬שלי עמד באותו זמן על‬
‫כ ‪ 23.4‬יום‪.‬‬
‫שרטוט‪14-‬‬
‫ההבדל בין שני המצבים הוא כל כך קיצוני שלא ניתן להציגו בגרף רגיל ‪ ,‬על כן נאלצתי להציגו בגרף חצי‬
‫לוגריתמי‪ ,‬שגם הוא לא יכול ליצג ויזואלית את המשמעות האמיתית של הדיאטה‪ ,‬אמנם גם כך המראה‬
‫משכנע‪ ,‬אך לא מייצג את המשמעות האמיתית אלא אם כן נסתכל על המיספרים‪ .‬המספרים אומרים‬
‫מ ‪ , p=0.16‬הרי בתוך‬
‫שתוך שנה היה עולה ה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי שלי בערך פי ‪ 49,000‬ואם הייתי מתחיל‬
‫שנה‪ ,‬היה ‪ , p>7,800‬ופרושו מוות וודאי תוך פחות משנה במקום מקסימום של כ ‪ p=1.1‬על פי החסם‬
‫של המודל‪ ,‬ול ‪ 0.47‬על פי התוצאות בפועל‪ .‬דבר זה מצביע על העצמה העצומה הטמונה בדיאטה‪,‬‬
‫מבחינת היכולת לעכב את התפתחות הסרטן‪ .‬חישובינו מראים שגם כאשר הנחנו קיום של אנג'יוג'נסיס‬
‫רציף‪ ,‬הרי יחד עם טיפול הורמונלי נוכל להגיע לאריכות ימים של כ ‪ 24‬שנה‪ ,‬עם שולי בטחון של עוד כ ‪6‬‬
‫שנים ‪ .‬נדגיש שהמודל של כל שלב איננו ליניארי‪ ,‬והוא עובד לפי נוסחה )‪ (2.15‬ופונקצית התקדמות‬
‫ה ‪ Psa‬מורכבת משלבים כשבתחילת כל שלב עליית ה‪ Psa‬חזקה‪ ,‬אך היא הולכת ומתמתנת בהמשך‪,‬‬
‫כך שלאורך זמן ולאורך כמה שלבים התמונה הכללית הממוצעת מראה התקדמות ליניארית עם מקדם‬
‫קורלציה מאוד גבוה‪ .‬אם מניחים ש ‪ S‬גדל אקספוננציאלית עם מקדם ‪ ‬נקבל שהאיבר הראשון בנוסחה‬
‫)‪ (2.15‬עולה אקספוננציאלית‪ ,‬בעוד שהאיבר השני דועך אקספוננציאלית‪ ,‬כך שנוצר פה קזוז המביא‬
‫בתקופות הראשונות של הדיאטה לתמונה ליניארית המשתרעת על פני כמה שלבים של הדיאטה‪ .‬אנו‬
‫הראנו בנוסחה )‪ (4.0.1‬ש ‪ ‬בעוד בשלב הראשון היה ‪ ‬כלומר גורם הדעיכה‬
‫האקספוננציאלית היה גדול כפי ‪ 57‬מגורם העליה האקספוננציאלית וכתוצאה מכך ה‪ Psa‬גדל בקצב‬
‫שהינו נמוך משמעותית מהחסם‪ .‬אין אנו טוענים שתמונה זו תשאר כך לנצח אך סביר שהיא תשאר כזו‬
‫למשך מספר שנים כל עוד הסרטן מוריד אגרסיביות‪ .‬במודל הכללי בפרק ‪ .9‬אנו מראים שהסרטן מוריד‬
‫את רמת האגרסיביות עד אשר ‪ ‬משתווה ל ‪ ‬ואז האיבר השני ב)‪ (2.15‬דועך לאפס ומשם הוא מפסיק‬
‫להשפיע יותר ומאותו רגע הסרטן עולה בהתאם לחסם בצורה אקספוננציאלית מלאה‪ .‬בגלל ההפרש‬
‫העצום בין ‪ ‬ל ‪ ‬הרי‪ ,‬במשך מספר שלבים של ירידת אגרסיביות‪ ,‬נשמרת צורת ההתקדמות הדומה‬
‫‪40‬‬
‫לליניארית‪) .‬ניתן להראות שהסרטן מוריד אגרסיביות בערך ‪ 6‬פעמים( תקופה זו יכולה להמשך לפחות ‪5‬‬
‫שנים‪ .‬אני מדגיש נושא זה באופן מיוחד מהסיבה של הניבוי העתידי שכבר דברנו עליו והבאנו דוגמאות‬
‫לגביו בתחילת הסעיף‪ .‬בהתבסס על החסם הליניארי וההתנהגות הליניארית‪ ,‬אנו מציעים בהמשך‬
‫העבודה מדד חדש לניבוי ה ‪ Psa‬בתנאי הדיאטה שיתן אפשרות לרופא לנבא נכונה את ה ‪Psa‬‬
‫בהתבסס על החסם הליניארי במקום המדד האקספוננציאלי‪ ,‬שהינו חסר ערך לפחות בחמש השנים‬
‫הראשונות מתחילת הדיאטה‪ ,‬וראה סעיף ‪.91‬‬
‫‪‬אישוש ירידת האגרסיביות‬
‫‪.32‬ברור ש שרטוט‪ , 13-‬נותן חיזוק רציני ביותר‪ ,‬לאישוש נוסחת החסם העליון‪ ,‬מהצד הפרקטי אולם‬
‫אני רואה צורך לאשש זאת‪ ,‬גם דרך הפרמטר המייצג את התזונה במודל המתמטי שלנו‪ .‬כפי שאמרנו‬
‫בסוף סעיף ‪ ,30‬אם נצליח להראות‪ ,‬שתוצאות המודל בתקופה השניה‪ ,‬נותנות ‪ S‬הדומה לתוצאות של‬
‫התקופה הראשונה‪ ,‬והשוני העיקרי הוא ב‪ , -‬הרי שזה יאשש את המחשבה‪ ,‬שהסרטן עבר תמורה בכוון‬
‫הקטנת האגרסיביות‪ ,‬כי אם התזונה נשארת כמו שהיא ולא עולה‪‬או שהעלייה היא קטנה‪ ,‬הרי עליית‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬תתכן רק אם האגרסיביות יורדת‪ .‬אם בבדיקת נתוני ההמשך יתברר לנו שגם ה ‪ S‬נשאר‬
‫כמעט קבוע וגם ה ‪ ‬מקיים את )‪ (3.15‬דהיינו מוריד את גודלו בסביבות ה‪ 50%‬ויותר‪ ,‬וגם שהקפיצות‬
‫ב ‪ Psa‬משלב לשלב מוגבלות במסגרת של ‪ S/2‬הרי שזה יהווה תמיכה חזקה ביותר למודל המתמטי‪,‬‬
‫כמתאר בצורה אמיתית את תהליך גידול הסרטן תחת משטר הדיאטה שלנו‪.‬לגבי ה ‪ ‬כבר הוכחנו זאת‪,‬‬
‫אך נעשה זאת מחדש בצורה מרוכזת‪ .‬נשווה בין התוצאות שקבלנו בשלב א' של ההרעבה שהן‪:‬‬
‫‪) S=0.00492 , 0.02963003‬טבלה‪ ,(5-‬לתוצאות של שלב ב' שהיו ‪S=0.0054 0.013236‬‬
‫‪)‬טבלה‪ (4-‬ובנוסחה )‪ (3.20‬הראנו שבשלב השלישי של ההרעבה מתקיים‬
‫‪ .     ‬אנו רואים שה‪ , S-‬שכפי שאנו כבר יודעים‪ ,‬המייצג את התזונה בלבד‪,‬‬
‫דומה מאד בשני המקרים‪ ,‬בעוד שה‪ -‬ירד לכ ‪ 44%‬מגודלו המקורי‪ ,‬במעבר משלב א' לשלב ב'‪,‬‬
‫ובמעבר לשלב השלישי ירדה האגרסיביות‪ ,‬בין פי ‪ ‬לפי ‪ ‬קיומן של עובדות אלו שנגזרו מהמודל‬
‫ונובאו על ידו‪ ,‬נותנות תמיכה חזקה ביותר למחשבה שאכן המודל מתאר בצורה טובה מאד את‬
‫המציאות‪ .‬בנוסף לכך מטבלה‪ 1-‬ראינו שתי קפיצות גדולות ב ‪ Psa‬בטווח של חודש שהגבוהה שבהן‬
‫‪ Ng/ml‬בחודש‪.‬‬
‫היתה כ‪ 0.07-‬בחודש בהתאמה מלאה לנוסחה )‪(3.23.1‬‬
‫)כמו‪-‬כן ראינו בפרק‪ ,10-‬שלאחר ההקרנות היו לנו שתי קפיצות בגודל ‪ 0.04‬גם הן בהתאמה מלאה‬
‫לחסמים‪ (.‬השוני ב‪ S-‬בשתי התקופות איננו משמעותי והוא במסגרת הסביר‪ ,‬בהתחשב בכך שמדובר על‬
‫התזונה שאנו מכניסים לגופנו שאיננה זהה בכל רגע וצריך להביא בחשבון גם את נושא האנג'יוג'נסיס‬
‫)‪ .(angiogenesis‬כפי שידוע‪ ,‬לסרטן יש מנגנון שמנצל את תכונות הריפוי של הגוף לטובתו‪ ,‬שבעזרתו‬
‫הוא דואג שגופנו ייצר כלי דם נוספים‪ ,‬אותם הוא תופס ודרכם הוא מקבל מזון נוסף‪ ,‬כלומר אם במקרה‬
‫שלנו מתקיים משהו מתהליך האנג'יוג'נסיס‪ ,‬הרי צפוי שה‪ S-‬יגדל‪ .‬אמנם אין אנו אוכלים יותר‪ ,‬אך מכיון‬
‫שהמזון עובר דרך כלי הדם‪ ,‬הרי סביר‪ ,‬שיותר מזון יגיע לאזור כאשר כלי הדם המספקים מזון לאזור‬
‫מתפתחים‪ .‬הדבר דומה ליצירת יותר כבישים ומסילות ברזל לאזור מסוים‪ ,‬המאפשרים העברת חומרים‬
‫בקצב יותר מהיר לצורך פתוחו‪ .‬אני אדון בנושא זה ביתר פרוטרוט בהמשך‪ ,‬בדיון איכותי וגם בדיון‬
‫מתמטי‪ .‬על כל פנים התוצאות של הפרמטרים הגיוניים עד מאוד‪ .‬יחד עם זאת התוצאות לגבי ‪S‬‬
‫מאשרות שלצרכים הפרקטיים של החישובים שלנו ושל המסקנות ניתן ומותר היה להתייחס ל‪ S-‬כאל‬
‫קבוע‪ ,‬בתוך כל תקופה שבה היה ה‪ -‬קבוע‪ ,‬וכל עוד אנו נמצאים בשלבים המוקדמים של הדיאטה‬
‫שבהם הסרטן מוריד אגרסיביות‪ .‬אנו נראה שכשהסרטן מגיע לשיווי משקל עם האנג'יוג'נסיס‪ ,‬הוא‬
‫מפסיק להוריד אגרסיביות‪ ,‬ומאותו רגע המודל השולט הוא המודל האקספוננציאלי‪ ,‬אולם רמת‬
‫האגרסיביות כל כך נמוכה שעדיין למי שלא עושה חישובים מדויקים זה נראה ליניארי בטווח של כ ‪5‬‬
‫שנים‪ .‬ושוב נזכיר את חוקי ניוטון‪ ,‬הטובים גם כיום כמעט לכל הצרכים הפרקטים של חיינו‪ ,‬והקשורים‬
‫לתחום המכניקה‪ .‬בהמשך כאשר נרצה לנבא את מידת אריכות הימים שאפשר יהיה להגיע אליה‪ ,‬לא‬
‫נדבר יותר על המודל הליניארי‪ ,‬באשר אנו מדברים על אריכות ימים גדולה ביותר‪ ,‬מעבר לכל מה‬
‫שמצופה כיום‪ ,‬ומדובר אפילו לגבי חולי סרטן שהאגרסיביות של מחלתם מאד גבוהה‪ ,‬ובתנאי שאין‬
‫החולה מתחיל בדיאטה מאוחר מידי‪ ,‬כלומר כאשר אין בידי הרפואה המודרנית שום כלי היכול לסייע לו‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫פרק ‪-4‬הפרוגנוזה על בסיס גידול רציף בכלי הדם המזינים )אנג'יוג'נסיס(‬
‫שיני המסור‬
‫‪.33‬חלק מהרעיון של ההשרדות‪ ,‬הוא שלוב דיאטה עם טפול הורמונלי אינטרמיטנטי‪ .‬וזה מה שאנו‬
‫עושים למעשה בחישובים שלנו לגבי אורך החיים הצפוי לנו כמפורט בסעיפים ‪ .34‬ואילך‪ .‬מה פרוש‬
‫השם "שיטת שיני המסור"? פרושו טיפול הורמונלי אינטרמיטנטי )במקרה שלנו פיטואסטרוגן(‪ ,‬בצורה‬
‫שיטתית כלהלן‪ :‬ברמת ‪ Psa=P1‬כלשהי‪ ,‬אותה אנו בוחרים כרצוננו‪ ,‬אנו מתחילים לקחת הורמון‪ ,‬לפרק‬
‫זמן מוגבל‪ .‬בתקופה זו ‪ p‬יורד‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬אנו מפסיקים את השימוש בהורמון‪ ,‬וממשיכים כל העת‬
‫בדיאטה‪ P ,‬מתחיל לעלות מחדש‪ ,‬עד שהוא מגיע שוב לרמה ‪ .P1‬פה אנו שוב מתחילים לקחת את‬
‫ההורמון‪ ,‬לאותו פרק הזמן כמו קודם‪ P .‬יורד בתקופה זו‪ ,‬ולאחר הפסקת ההורמון הוא שוב עולה‪ ,‬עד‬
‫שנגיע מחדש ל ‪ P1‬וחוזר חלילה‪ .‬כתוצאה מכך‪ ,‬התנודות ב ‪ Psa‬לאורך זמן‪ ,‬נראות כמו שיני מסור בין‬
‫שני קווים מקבילים‪ ,‬ראה שרטוט‪ .15-‬שרטוט זה הינו סכמטי בלבד ואנו מניחים שאורכי השיניים הולכים‬
‫ומתקצרים בקטע של הדיאטה בלבד‪ ,‬כלומר בקטע הירוק של הגרף‪ .‬הסיבה להתקצרות זאת היא‬
‫ההנחה שיש גידול רציף בכלי הדם המזינים‪ ,‬ולכן עם ההתקדמות בזמן‪ ,‬קצב הגידול של ה ‪Psa‬‬
‫)הסרטן( מהיר יותר‪ .‬אנו יוצאים מתוך הנחה‪ ,‬שבזמן הטיפול ההורמונלי וכתוצאה ממנו אין פגיעה בכלי‬
‫הדם המזינים את הסרטן‪ .‬אינני יודע אם זה נכון‪ ,‬אך הנחה זו פועלת רק לרעת החישובים‪ ,‬לכן אם‬
‫למרות הנחות גרועות נראה אריכות ימים‪ ,‬הרי שהשגנו את מטרתנו‪ .‬אנו יוצאים מתוך הנחה שבטיפול‬
‫אינטרמיטנטי‪ ,‬שבו המרחק בין טיפול לטיפול גדול‪ ,‬בממוצע כ‪ 15-‬חודש ומשך כל טיפול כחודשיים‪,‬‬
‫הסה"כ המצטבר של ימי הטיפול יהיה לפחות שנתיים‪ ,‬לפני שהסרטן יהפוך להיות עמיד לטיפול‪ ,‬שזה‬
‫הזמן הממוצע לטיפול הורמונלי סטנדרטי רציף‪ .‬האם ההשפעה של הטיפול ההורמונלי לסירוגין‪ ,‬עד‬
‫להפיכת הסרטן לעמיד לאנדרוגן‪ ,‬היא באמת מצטברת? ואם כן לאיזה פרק זמן? זה נושא הפתוח‬
‫למחקר‪ ,‬יחד עם זאת‪ ,‬לא סביר בעיני שהתוצאה של ‪ 12‬טיפולים בני חודשיים כל אחד המשתרעים על‬
‫פני ‪ 17‬שנה‪ ,‬תהיה אקווילנטית מבחינת השפעתם השלילית לטיפול רצוף של שנתיים‪ ,‬אני מאמין‬
‫ששיטה זו תביא להארכה ניכרת ביותר של חיי החולה ואני מאמין שאף הרבה יותר מאשר מה שחושב‬
‫פה‪ ,‬מאחר שיש מחקרים המראים שהפיטואסטרוגנים מעכבים את הפיכת הסרטן לעמיד לאנדרוגן‪ .‬יותר‬
‫מכך בעדויות בסימוכין ‪ .24‬נתן למצוא עדויות על תקופות ממושכות בהרבה ‪ 9 ,8 ,7‬שנים שלא נגמרו‬
‫עדיין‪ ,‬של לקיחה רצופה שלה ‪ Q-P‬כמו כן אוכיח בהמשך שהפיטואסטרוגן ממסך חזק את תוצאות ה‬
‫‪ ,Psa‬כלומר הוא מונע מהסרטן לייצר ‪ ,Psa‬וישנם מחקרים המצביעים על כך‪ ,‬שסרטן עמיד לאנדרוגן‬
‫משתמש בחלבון זה כחומר הדלק שלו במקום הטסטוסטרון‪) ,‬סימוכין ‪ (.26 .25‬לכן אם ה ‪ Q-P‬ממסך‬
‫את ה‪ ,Psa-‬הרי שזה תורם לעכוב הפיכת הסרטן לעמיד‪ ,‬ויש עדויות שה ‪ Q-P‬פועל גם על סרטו עמיד‬
‫לטפול הורמונלי סטנדרטי‪ .‬ההנחה של טיפול מצטבר של שנתיים בלבד תחת כל התנאים והנתונים‬
‫שלעיל ‪ ,‬הינה הנחה מחמירה באופן מיוחד‪ .‬יכול מישהו לשאול מה המיוחד פה הרי גם הרופאים מציעים‬
‫טיפול אינטרמיטנטי? והתשובה היא שבהבדל ממה שמציעים הרופאים ‪ ,‬אנו מציעים‪ ,‬שהחולה יעשה כל‬
‫הזמן את הדיאטה המוצעת על ידנו‪ ,‬ועל כן דיאטה זו המעכבת את הסרטן‪ ,‬תגדיל בצורה ניכרת את‬
‫מרווח הזמן העובר בין טיפול לטיפול‪ ,‬ותאריך בכך בצורה ניכרת את חיי החולה‪ .‬בנוסף לכך‪ ,‬מרווח הזמן‬
‫הארוך יותר בין טיפול לטיפול‪ ,‬אינטואיטיבית‪ ,‬מגדיל את סיכויי החולה להרחקה של הפיכת הסרטן‬
‫לעמיד להורמונים‪ ,‬אם כי איננו בטוחים בזה‪ .‬דבר זה תלוי במידה רבה בסוג הטיפול ההורמונלי שהחולה‬
‫לוקח ואנו נצביע על כך שישנם טיפולים אינטרמיטנטיים לכאורה‪ ,‬שהרופאים ממליצים עליהם‪ ,‬שאינם‬
‫באמת כאלה‪) .‬ראה‪ ,‬נספח‪ 1-‬השוואה בין ‪ Quercetine Plus‬לטיפול הורמונלי סטנדרטי(‪.‬‬
‫הגרף המשלב בין ההורמונים לדיאטה מופיע בשרטוט‪ ,15-‬שהינו סכמטי ביותר‪ .‬צורת גרף ה ‪ Psa‬תהיה‬
‫בצורת שיני מסור‪ ,‬כאשר מישכה של כל שן תלוי בהרבה גורמים ‪ .‬זה תלוי בכמות כדורי הפיטואסטרוגן‬
‫שהאדם לוקח ליום‪) ,‬אני לקחתי בממוצע ‪ 3‬כדורים ליום( ‪ ,‬תלוי במידת הדבקות בשמירה על הדיאטה‪,‬‬
‫תלוי במידת הענות גופו לטיפול ההורמונלי‪ ,‬האם הוא קבל כבר בעבר טיפול הורמונלי‪ ,‬האם ה ‪ Psa‬שלו‬
‫עבר אי פעם גודל מסוים ‪ ,‬תלוי במידת האגרסיביות של המחלה ואולי עוד גורמים נוספים‪ .‬באשר לצד‬
‫המעשי‪ ,‬בעזרת הפיתוח המתמטי‪ ,‬ובעזרת תוצאות של בדיקות הדם‪ ,‬יבנו הפרמטרים עבור כל אחד‬
‫ואחד )במידה והפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שלו אכן מייצג את גודל הסרטן(‪ .‬להלן הגרף הסכמטי‪ ,‬המתאר את תהליך‬
‫שיני המסור‪ ,‬המספרים אינם מייצגים תהליך ממשי כלשהו והגרף בא רק כדי להמחיש את הרעיון והשם‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫שרטוט‪15-‬‬
‫פרוגנוזה תחת ההנחה‪ ,‬שקיים גידול רציף בכלי הדם המזינים‪ ,‬ושמוש בהורמונים‪.‬‬
‫‪.34‬נושא זה הינו חשוב מאד להבנת המציאות ולהבנת המודל המתמטי‪ .‬דיברנו במודל על מגבלת‬
‫המזון כדבר ברור‪ .‬הנחנו שקיימת אספקת מזון חיוני לסרטן‪ ,‬בקצב קבוע‪ ,‬בכמות ‪ k‬ביחידת הזמן ‪, dt‬‬
‫הסיבה שיכולה להביא להבדלים עצומים בערכו של ‪ ,k‬בין שני אנשים שונים‪ ,‬הינה "התחבורה"‪ .‬נזכור‪,‬‬
‫שהחומרים החיוניים עוברים לתאים דרך הדם‪ ,‬כלי הדם הם המאפשרים את מעבר האספקה לכל חלקי‬
‫הגוף‪ ,‬כלי הדם בגוף הם כמו הכבישים ומסילות הברזל ברחבי המדינה‪ ,‬באמצעותם אנו מעבירים‬
‫חומרים ואנשים לכל מקום‪ .‬כאשר ברצוננו לפתח אזור‪ ,‬הרי הדבר הראשון שצריך‪ ,‬הוא ליצור דרכי גישה‪.‬‬
‫זה בדיוק מה שהסרטן עושה‪ ,‬גורם לגוף דלקות באזור הגידול‪ ,‬וכשהגוף מייצר כלי דם חדשים‪ ,‬על מנת‬
‫להזרים דם הכולל איתו את כל האמצעים למלחמה בגורמי הדלקות‪ ,‬הסרטן תופס כלי דם אלה ומנצל‬
‫אותם לצרכיו‪ .‬בדרך זו מגדיל הסרטן את הספקת המזון לאזור‪ .‬אנו צריכים להבין‪ ,‬שאם יש מוקדים‬
‫בכמה מקומות שונים‪ ,‬הרי שהמזון מגיע לכל המוקדים‪ ,‬וכל מוקד פועל בנפרד לפי המודל‪ ,‬והתוצאה‬
‫הסופית היא סכום פעולתם של כל המוקדים‪ .‬מגבלת המזון פועלת על המוקד המקומי‪ ,‬מאחר והוא‬
‫מוגבל מקומית ע"י רשת כלי הדם המגיע אליו‪ .‬מגבלה מקומית כזו‪ ,‬לא משפיעה על מוקד אחר הפועל‬
‫לפי המצב הספציפי באזור הצמוד לו‪ .‬מכאן שאם יש שני אנשים החולים בסרטן עם אותה רמת‬
‫אגרסיביות המתחילים את הדיאטה ברמה שונה של פי‪.‬אס‪.‬אי לדוגמא‪ :‬אחד ברמה של ‪ 100‬והשני‬
‫ברמה של של ‪ ,0.1‬אין לצפות שהדיאטה תביא אותם לאותה רמת פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ולא צפוי שהיא תקנה להם‬
‫אותה אריכות ימים‪ .‬צפוי שרשת כלי הדם שפיתח סרטן שהגיע לרמה ‪ 100‬תהיה מסוגלת לספק מזון‬
‫למספר מוקדים‪ ,‬שכל אחד מהם מיצר פי‪.‬אס‪.‬אי ושסכום כולם נותן ‪ , 100‬שזה פי ‪ 1000‬מאשר גידול‬
‫ברמה ‪ . p=0.1‬דוגמה זו מצביעה על החשיבות הגדולה של התחלת הדיאטה מוקדם ככל האפשר‪,‬‬
‫מאחר ואם התחלת מוקדם‪ ,‬יעברו הרבה מאוד שנים לפני שתזדקק לתרופה כלשהי‪ ,‬ולעומת זאת אם‬
‫נתחיל בכך מאוחר מידי‪ ,‬התועלת מהדיאטה תהיה פחותה בהרבה‪ ,‬ולעיתים אף זניחה‪.‬‬
‫‪.35‬המסקנות הכמותיות של המודל המוסקות מ שרטוט‪ 13-‬הינן פנטסטיות‪ ,‬אך לצערנו המצב‬
‫במציאות לא כל כך פשוט‪ ,‬ועלינו להביא בחשבון את האפשרות של התפתחות כלי דם חדשים‪ ,‬שיאפשרו‬
‫העברת מזון נוסף לאזור הנגוע‪ ,‬ויאפשרו את התפשטות הסרטן‪ ,‬במהירות הגבוהה מהמהירות שחושבה‬
‫‪43‬‬
‫על ידנו לגבי השנים הראשונות‪ .‬מטרתי הינה לפתח את המודל‪ ,‬על מנת שיכלול גם את נושא‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ .‬בגרף הסכמטי של שיני המסור‪ ,‬אנו רואים שתרומת הזמן של הדיאטה הולכת ומתקצרת‬
‫משן לשן‪ ,‬הדבר נובע מהנחתנו שבשן הקודמת‪ ,‬בשלב הדיאטה‪ ,‬הסרטן גרם לצמיחת כלי דם נוספים‪,‬‬
‫לכן אם נוריד את הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬בעזרת הורמונים‪ ,‬ולאחר זאת נפסיק אותם וניתן לסרטן לגדול מחדש‪,‬‬
‫סביר שהוא יעלה מהר יותר את הקטע שעד השיא האחרון שלו‪ ,‬מפני שכעת יש לו יותר מזון‪ .‬למזלנו‬
‫הדיאטה שאנו נוקטים בה‪ ,‬כפי שמוסבר בפרק על הדיאטה‪ ,‬הינה דיאטה המעכבת גם את התפתחות‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ ,‬מאחר וכל הגורמים מעוררי הדלקות נוצרים מהחומצה הארכידונית‪ ,‬וממנה אנו נמנעים‪.‬‬
‫אנו גם צורכים מוצרים‪ ,‬המעכבים את פעולת האנזימים שבעזרתם מופקים גורמי הדלקות‪ ,‬וכן צורכים‬
‫תוספי מזון ותרופות שמסיעות לעכוב‪ ,‬כגון‪ :‬רסברטרול ‪ ,‬כורכומין‪ ,‬תה סיני‪ ,5-Loxin ,‬שהינו מעכב של‬
‫ה‪ ,5-Lipoxygenase -‬אספירין‪ Celecoxib ,‬ועוד‪ ,‬לכן צפוי שגם אם תהיה התפתחות של כלי דם‬
‫נוספים היא תהיה מוגבלת בקיצבה בצורה ניכרת‪ ,‬והמגבלה הישירה על התפתחות כלי הדם תהיה‬
‫חזקה בהרבה מאשר המגבלה הישירה על התפתחות הסרטן עצמו‪ .‬ולכן גם אם תהיה צמיחה של כלי‬
‫דם‪ ,‬עדיין יתאפשר לנו חיים בריאים ותקינים‪ .‬על נושא זה אדון בנפרד וביתר פרוט בהמשך העבודה‪.‬‬
‫)‪(4.0‬‬
‫בסעיף ‪ .31‬ראינו את נוסחת החסם העליון לקצב התקדמות הסרטן‪,‬‬
‫ופרוש הדבר שהגידול היומי המכסימלי של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הינו בערך ‪ S\2=0.005/2=0.0025‬או ‪0.075‬‬
‫בחודש‪ .‬מכיון שהגידול עולה מהר מיד אחרי הקטנת האגרסביות ולאט בסוף התהליך‪ ,‬ממש לפני שהוא‬
‫מקטין פעם נוספת את האגרסיביות‪ ,‬הרי שבבמוצע הוא עולה בחודש‪ ,‬בערך מחצית של החסם העליון‪,‬‬
‫ואכן ראינו שבממוצע הוא עלה ‪ 0.03368‬בחודש ‪ ,‬ועל פי שרטוט‪ 13-‬זה היה ‪ 0.033815‬שזה כ ‪45%‬‬
‫מהחסם העליון‪ .‬יחד עם זאת מאחר והורדת האגרסיביות לא תמשך לנצח‪ ,‬ומאחר וברצוני להמצא על‬
‫הצד הבטוח‪ ,‬הרי אשתמש בחסם המקסימלי שהינו כ ‪ 0.075‬בחודש‪ .‬בהנחה שקיים אנג'יוג'נסיס‪ ,‬הרי‬
‫שהוא מגדיל את ‪ S‬ועל כן הוא גם מגדיל את העליה החודשית בהתאם‪ .‬על בסיס הנתונים שראינו בסעיף‬
‫‪ S .32‬גדל מ ‪ 0.00492‬ל ‪ 0.0054‬ואם נקח את זמן הגידול מאמצע השלב הראשון של ההרעבה שהינו‬
‫בערך ב ‪ 30.06.09‬עד אמצע השלב השני שהינו בסביבות ‪ , 25.12.09‬כלומר התפתחות על פני‬
‫תקופה של כ ‪ 180‬יום ‪ ,‬נוכל לקבל הערכה של קצב הגידול היומי של ‪ S‬שנסמנו ב‪  -‬כלהלן‪:‬‬
‫)‪(4.0.1‬‬
‫כלומר ‪ ‬ליום ‪ .‬נבהיר שגורם חשוב המשפיע על ‪ S‬הינה מידת האדיקות שלנו בדיאטה‪.‬‬
‫נשים לב שהנחנו‪ ,‬בדרך החישוב שלעיל‪ ,‬ש ‪ S‬גדל אקספוננציאלית‪ .‬זו הנחה קשה לרעת חישובי‬
‫ההשרדות‪ ,‬אם כי נראה לנו שזו הנחה ריאלית למדי‪ .‬נבדוק מה יקרה אם ‪ ‬כפי שמצאנו‬
‫)‪ 30.4‬זה מספר‬
‫לעיל‪ .‬פרוש הדבר שהחסם החודשי מוכפל כל חודש ב‬
‫ואילו‬
‫הימים הממוצע בחודש( ונוצר לנו טור גאומטרי שבו‬
‫נוכל כעת להפעיל את נוסחת הסכום של טור גאומטרי עולה‪:‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫את התוספת ל‪ Psa‬בתוך ‪ n‬חודשים‪ ,‬ונקבל‬
‫נסמן ב‬
‫אנו מעונינים לפתור את ‪ ,n‬שזה מספר החודשים הדרוש על מנת שה ‪ Psa‬יעלה ב‬
‫)‪(4.1.1‬‬
‫יחידות‪ .‬מתוך‬
‫)‪(4.1.2‬‬
‫)‪ (4.1.1‬נקבל‬
‫נקבל ‪ , n=63‬כלומר אם ניתן לסרטן לצמוח במשך ‪ 63‬חודש ללא‬
‫ו‬
‫אם נציב‬
‫שמוש בהורמונים ותחת דיאטה בלבד נקבל שה‪ Psa‬יגדל ב ‪ 8‬יחידות בלבד‪ .‬תוצאה מפתיעה ביותר‪,‬‬
‫נוכח העובדה‪ ,‬שלחולה כמוני המקבל את כל הטיפולים של הרפואה המודרנית‪ ,‬צפוי כיום‪ ,‬על פי‬
‫הסטטיסטיקה‪ ,‬אורך חיים ממוצע של ‪ 5‬שנים‪.‬‬
‫)‪(4.1.3‬‬
‫לאור )‪ (4.1.1‬ו)‪ (4.1.2‬אנו מקבלים‬
‫ואם נתחיל מפי‪.‬אס‪.‬אי של ‪ 0.04‬כמו שאני התחלתי‪ ,‬הרי אחרי ‪ 63‬חודש יהיה ‪ , p=8.04‬תוצאה מאד‬
‫נוחה וזאת מבלי להשתמש בפיטואסטרוגן‪ ,‬או הורמון כלשהו‪ .‬חישוב זה מחזק את כל המסקנות‬
‫‪44‬‬
‫הקודמות ביחס למה שניתן להשיג‪ .‬אם בעוד ‪ 63‬חודש ניקח פיטואסטרוגן או כל הורמון אחר ונצליח‬
‫להוריד את הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬לרמות נמוכות למשל לרמה של ‪ ,p=2.04‬דבר בר השגה ללא קושי‪ ,‬למי שלא‬
‫השתמש בהורמונים‪ .‬על פי מה שמצאנו בסעיפים ‪ .58‬עד ‪ .70‬שבהמשך העבודה‪ ,‬הרי יספיקו לנו כ ‪60‬‬
‫ימים‪ ,‬של לקיחת פיטואסטרוגן‪ ,‬על מנת לחזור לרמה של ‪) ,p=2.04‬ראה סעיף ‪ .68‬שרטוט‪ (26-‬כלומר‬
‫יהיה שווה‬
‫נוכל לבצע ‪ 12‬מחזורי חישוב )שיני מסור(‪ .‬לאחר ‪ 63‬חודש הגידול החודשי‬
‫)‪(4.2‬‬
‫לאחר שהגענו לערך ‪) p=2.04‬חודשיים שמוש בפיטואסטרוגן‪ 3 ,‬קפסולות ליום( נפסיק את השמוש ב‪Q-‬‬
‫‪ P‬ונמשיך בדיאטה עד שנגיע מחדש לערך ‪ p=8.04‬שזה הגובה של שן המסור אותו אני בודק כרגע‪ .‬אנו‬
‫צריכים לעלות ב ‪ 6‬יחידות ‪ Psa‬על מנת להגיע מחדש לערך זה‪ .‬נחשב מהו פרק הזמן הדרוש לשם כך‬
‫)‪(4.3‬‬
‫‪ .‬מתוך )‪ (4.1‬נובע‬
‫)‪(4.4‬‬
‫ומ )‪ (4.1.2‬נובע שהפתרון הינו‬
‫ונקבל‬
‫במקום‬
‫‪ ,‬בשלב הבא נציב את‬
‫ונקבל‬
‫נציב את‬
‫כאשר במקום‬
‫‪ ,‬אנו ממשיכים ‪ 12‬פעמים ומקבלים‬
‫ומקבלים‬
‫‪ ,‬כעת אנו מציבים את‬
‫‪183.41=63+24.53+17.54+13.84+11.33+9.66+8.34+7.41+6.58+6.02+5.49+5.02+4.65‬‬
‫חודש פלוס ‪ 24‬חודשי פיטואסטרוגן‪ ,‬ובסה"כ קיבלנו ‪ 207.41‬חודשים שהם ‪ 17.28‬שנה‪.‬‬
‫לצורך המשך הדיונים בסעיפים הבאים נזכיר שבתום התקופה הזו קיים ‪. Psa=8.04‬‬
‫פרוגנוזה ללא הורמונים ‪.‬‬
‫‪ .36‬בסעיף זה נבצע חישוב סכמטי על אורך חיים אפשרי‪ .‬ידוע שניתן להגיע בקלות ל ‪) Psa=200‬ראה‬
‫דיון בסעיף ‪ .108‬ואני אישית מכיר כאלה שהגיעו לרמות אלו( ואף הרבה יותר ועדיין להשאר בחיים‪,‬‬
‫לפיכך נחשב על בסיס נוסחה )‪ (4.1.2‬כמה זמן ניתן לחיות עד שנגיע ל ‪ .Psa=200‬נתחיל מנתוני‬
‫ו ‪ p=0.04‬ואנו צריכים לחשב כמה זמן יקח ל ‪ Psa‬לעלות ל ‪ , p=200‬כלומר‬
‫הפתיחה שלי‪:‬‬
‫לעלות ב ‪ 199.96‬יחידות ‪ .‬נשתמש בנוסחה )‪ (4.1.2‬ונציב ‪ p1=199.96‬ונקבל‬
‫)‪(4.4.1‬‬
‫כלומר התהליך ימשך ‪ 239.5‬חודש שזה ‪ 19.96‬שנה‪.‬‬
‫השוואה בין הפרוגנוזות ומציאת תרומת הטיפול ההורמונלי‬
‫‪ .37‬אנו מדברים על טיפול הורמונלי‪ ,‬אך בסרטנים אחרים יתכן טיפול מסוג אחר שיהיה אינטרמיטנטי‪,‬‬
‫אם יש טפול כזה‪ ,‬אזי כמובן שהרעיון לחישובים הוא אותו רעיון‪ ,‬אך יהיה צורך למצוא גרף דעיכה מתאים‬
‫של הסרטן המדובר‪) ,‬בתנאי שיש מרקר מתאים( וזה נושא למחקר נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬נשאלת השאלה‪ :‬איזה יתרון יש לחולה מהשימוש בהורמונים? על מנת לחשב זאת נצא מההנחה‪,‬‬
‫שלאחר שימוש מצטבר של ‪ 24‬חודש בפיטואסטרוגן יהפוך החולה לעמיד לחסר באנדרוגן‪ .‬לאחר‬
‫שהחולה הופך לעמיד לאנדרוגן‪ ,‬הוא ממשיך אך ורק בדיאטה עד שהוא מגיע ל ‪ ,p=200‬לכן עלינו‬
‫לחשב כמה זמן יקח לסרטן לעלות מ ‪) p=8.04‬ראה שורה אחרונה בסעיף ‪ (35‬ל ‪ p=200‬ולהוסיף לזה‬
‫את פרק הזמן שנמשך התהליך בזמן שלקחנו הורמונים‪ .‬ע"פ החישובים שלנו‪ ,‬הדיאטה ללא תקופת‬
‫שזה קצב הגידול החודשי‬
‫השמוש בפיטואסטרוגן‪ ,‬נמשכה ‪ 183.41‬חודש ‪ ,‬לפיכך עלינו לחשב את‬
‫‪ .‬נציב זאת כעת בתוך )‪(4.1.2‬‬
‫לאחר ‪ 184‬חודש ונקבל‬
‫וכן נציב ‪ p1= 200-8.04=191.96‬ונקבל ‪ . n=75.55‬סה"כ הטיפול ההורמונלי ‪ +‬הצמיחה‬
‫במקום‬
‫ללא הורמונים בהמשך עד לרמה של ‪ p=200‬מגיע ל ‪ 282.96‬חודש או כ‪ 23.58 -‬שנה‪ .‬סה"כ תוספת‬
‫של כ‪ 43.5-‬חודשים‪ ,‬לעומת מצב בו אין טיפול הורמונלי בכלל‪ .‬זוהי תוספת גדולה יחסית אך היא עלולה‬
‫לא להיות משמעותית אם חלית בסרטן בגיל מבוגר‪ ,‬מאחר שיש אפשרות לזכות באריכות ימים נורמלית‪,‬‬
‫‪45‬‬
‫אך ורק בעזרת הדיאטה בלבד‪ ,‬לכן נשאלת השאלה למה אם כן להשתמש בטיפול ההורמונלי‪ ,‬אם‬
‫ההבדל הוא כזה? התשובה הינה שתלוי איזה טיפול הורמונלי‪ .‬הטפול ההורמונלי עם ה ‪ Q-P‬הוא מאוד‬
‫נוח ללא תופעות לוואי רציניות‪ ,‬כל טיפול הוא קצר‪ ,‬השפעתו חולפת מהר ומשך הזמן עד הטיפול הבא‬
‫ארוך‪ .‬כמו כן עדיף להמצא ברמות ‪ Psa‬נמוכות ולא לפתח גרורות שמא בזמן זה יתפתח משהו חיובי‬
‫בתחום הרפואי הקונבנציונלי‪ .‬אני שמרתי על רמות נמוכות מאוד של ‪ Psa‬מתחת ל ‪ ,0.5‬במשך הזמן‬
‫גילו אצלי את הנקודה בה התחדש הסרטן‪ ,‬ועברתי הקרנות מרוכזות לאזור‪ ,‬כאשר הגידול היה עדיין‬
‫קטן‪ .‬הימצאות ברמות נמוכות של ‪ ,Psa‬עם הפסקות ארוכות ללא טיפול הורמונלי‪ ,‬מקנה לחולה שקט‬
‫נפשי וחיים ללא חשש‪ ,‬מאחר והוא שולט במחלתו‪ .‬התוספת של ‪ 43.5‬חודש יכולה להיות משמעותית‬
‫ביותר אם חלית בגיל צעיר‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשאלת השאלה‪ ,‬האם יש יתרון לטפול הורמונלי אינטרמיטנטי ‪ +‬דיאטה‪ ,‬לעומת טפול רציף ‪+‬דיאטה?‬
‫אם נניח טפול הורמונלי רציף של ‪ 24‬חודש שלאחריו הסרטן הופך עמיד לשלילת האנדרוגן ונתחיל אז‬
‫בדיאטה‪ ,‬הרי לפי סעיף ‪ 36‬מרגע זה עד שנגיע ל ‪ p=200‬יעברו ‪ 239.5‬חודשים ובתוספת ה‪ 24‬חודש‬
‫של הטיפול ההורמונלי הרציף נקבל ‪ 263.5‬חודש לעומת כ ‪ 283‬חודש כמופיע ב ‪.37‬א כאן כלומר‬
‫תוספת של כ ‪ 20‬חודש‪ .‬כלומר הטפול ההורמונלי לסירוגין יחד עם הדיאטה תורם תוספת של ‪ 20‬חודש‬
‫לאריכות הימים‪ ,‬לעומת טיפול רציף שלאחריו הדיאטה‪ .‬אף על פי שהנחנו שמבחינת יצירת עמידות‬
‫לשלילת האנדרוגן‪ ,‬אין הבדל בינהם ובשני המקרים זה הופך לעמיד לאחר שמוש של ‪ 24‬חודש‪.‬‬
‫רכוז הנחות שהנחנו לרעת אריכות הימים‪.‬‬
‫‪ .38‬בדרך החישוב פעלנו והנחנו הנחות אך ורק לרעת החישובים והתוצאות שניתן להשיג במציאות ‪,‬‬
‫לא הנחנו שום הנחה היכולה להאריך את משך החיים המחושב‪ ,‬להלן הפרוט‪:‬‬
‫א‪ .‬החישוב הראשוני של עליה במשך ‪ 63‬חודש ל ‪ p=8.04‬ומשם ירידה ל ‪ p=2.04‬הוא שרירותי ולא‬
‫בטוח שזהו התהליך האופטימלי‪ ,‬אולם נוכח התוצאות המצוינות אינני רואה צורך לחפש נקודות טובות‬
‫יותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנחנו שניתן להשתמש בפיטואסטרוגן במצטבר רק ‪ 24‬חודש‪ ,‬דבר שאינו מתקבל על הדעת‪,‬‬
‫בהתחשב בכל האינפורמציות הקיימות לטובת הפיטואסטרוגן‪ ,‬לעומת הטיפול ההורמונלי הקונבנציונלי‪,‬‬
‫מה גם שטפול זה מפוזר על פני ‪ 17‬שנה‪ .‬להערכתי הנחה זו מחמירה ביותר לאור העובדה שה ‪Q-P‬‬
‫מפריע לייצור ה‪ Psa‬ומחקרים המראים שה‪ Psa‬עצמו מהווה חומר דלק לסרטן הערמונית‪) ,‬סימוכין ‪.25‬‬
‫‪ ,(.26‬ולאור עדויות רבות על שימוש ממושך של למעלה מ ‪ 9‬שנים‪) .‬ראה ‪ (.19‬להערכתי‪ ,‬הנחה זו‬
‫מורידה מאריכות החיים מספר שנים‪ ,‬במיוחד נוכח העדויות שה ‪ Q-P‬משפיע גם במקרה של סרטן‬
‫העמיד לחסר באנדרוגן‪) .‬סימוכין ‪ (.12‬אציין שגם שמעתי מאחד האונקולוגים שטפל בי שממוצע השמוש‬
‫בפיטו הוא ‪ 6‬שנים‪ .‬על כל פנים נראה לי שאם אנו נקח בחשבון רק שנתיים‪ ,‬יהיו לנו שולי בטחון של‬
‫לפחות עוד ‪ 4‬שנים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכל החישובים שלנו לא הבאנו בחשבון שניתן להשתמש בכימותרפיה‪ ,‬כך שבהחלט ניתן יחד עם‬
‫הדיאטה להגיע לתוספת נכבדה של חודשים‪.‬‬
‫ד‪.‬הנחנו שהעליה של ‪ S‬היא אקספוננציאלית מלאה מהרגע הראשון ולכן גם )‪ ,N(t‬בעוד שראינו‬
‫שבשנים הראשונות אין זה כך‪ ,‬מאחר ותהליך ירידת האגרסיביות ממתן בצורה ניכרת את העלייה‪ ,‬עד‬
‫כדי כך שהתהליך נראה ליניארי‪ ,‬עם שפוע מתון ביותר‪ .‬לנושא זה יש השפעה רבה על ההתקדמות ה‬
‫‪ Psa‬בשנים הראשונות‪ ,‬והראנו בחישוב הכולל של אריכות הימים השפעתו יכולה להגיע בקלות לשנה‬
‫)ראה חישוב בסוף סעיף ‪ (.51‬ויש לו חשיבות לאיכות החיים בשנים הראשונות‪ ,‬מאחר והתקדמות איטית‬
‫של ה‪ Psa‬פרושה גידול קטן יותר ופגיעה באיבר חיוניים מאוחר יותר‪.‬‬
‫ה‪ .‬התחלנו בחישובים מ ‪ S=0.005‬בעוד שראינו שהממוצע שלו בתקופה הראשונה היה ‪ 0.0492‬ובנוסף‬
‫היינו צריכים לקחת ‪ S‬של תחילת התקופה ולא של אמצעה‪ .‬לנקודה זו משקל רב והיא מגיעה ל‪5.44%‬‬
‫מאריכות הימים‪ ,‬כפי שנראה בסעיף ‪ .100‬א'‪ ,‬ו ‪ 5.44%‬מתוך ‪ 23.58‬שנה זה כ‪ 1.3-‬שנים‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫ו‪ .‬במשך כל תקופת הטיפול תיתכן התערבות של הרפואה המודרנית‪ ,‬אשר תשפר את התוצאות‪ ,‬בעזרת‬
‫טיפולים שאף אם לא ירפאו את המחלה‪ ,‬יאריכו את חיי החולה בעזרת הדיאטה הרבה מעבר למקובל‪,‬‬
‫הדבר שיכול לתרום הכי הרבה‪ ,‬הינה כל פעולה שיכולה לפגוע פיזית בכלי הדם המזינים את הסרטן‪,‬‬
‫למשל הקרנות או כריתה ‪.‬‬
‫ז‪ .‬להערכתי המשקל המצטבר של האמור בתתי הסעיף ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה' הינו לפחות ‪ 6‬שנים מבלי להביא‬
‫בחשבון את ו' שבמקרה שלי הוא תרם עוד ‪ 55‬חודש )טבלה‪ 15-‬סעיף ‪ (.102‬ויחד זה מגיע לפחות לעוד‬
‫‪ 10.6‬שנים‪ .‬כך שיש לנו פה שולי בטחון אדירים מעבר לחישוב של ‪ 23.58‬שנים אליו הגענו בסעיף ‪.37‬‬
‫הערה וסיכום תוצאות‪.‬‬
‫‪.39‬‬
‫להלן טבלה המרכזת את התוצאות‪:‬‬
‫טבלה‪6-‬‬
‫אופן הטיפול‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫דיאטה‪+‬הורמונים‬
‫דיאטה בלבד‬
‫אריכות ימים‬
‫הסעיף בו מבוצע החישוב‬
‫‪ 23.6‬שנים‬
‫‪ 20‬שנים‬
‫‪37 ,35‬‬
‫‪36‬‬
‫על אף שבחישובים הגעתי לרמה של ‪ ,p=8.04‬אין בכוונתי להגיע לרמות האלה במציאות‪ .‬בתהליך‬
‫ההוכחות בחרתי בדרך הכי פשוטה להוכחת טענותי‪ ,‬בקשר לאריכות הימים שניתן להשיג‪ .‬נשאלת‬
‫השאלה מדוע לא ללכת בדרך הפשוטה המוצעת פה? שהרי ‪ p=8.04‬אינו סוף העולם! ידוע שככל‬
‫שהסרטן גדל יש סכנה לפיתוח גרורות‪ ,‬לכן כל עוד אנו יכולים להשאיר את הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬המכסימלי‬
‫שהגענו אליו נמוך יותר ‪ ,‬כך הסיכוי להתפתחות גרורות ולהתפתחות האנג'יוג'נסיס נמוך יותר ואין לנו‬
‫שום סיבה מדוע להקל על הסרטן בעניין זה‪ .‬אם כי ייתכן שהדרך בה הלכתי היתה זהירה מידי‪ ,‬והייתי‬
‫יכול להרשות לעצמי להגיע לרמות של ‪ . p=0.9‬כפי שראינו בחישוב השמרני ביותר‪ ,‬הגענו לאריכות ימים‬
‫של כ ‪ 283‬חודש )סעיף ‪ ,(.37‬ובהתחשב בהערות בסעיף ‪ .38‬כנראה ש ‪ 25‬שנה זה המינימום שניתן‬
‫להגיע אליו‪ ,‬וזאת עדיין ללא טיפול כימותרפי‪.‬‬
‫פרק ‪ -5‬פריצת הדרך ‪ -‬הדיאטה‬
‫‪5-HETE‬‬
‫‪.40‬במהלך חפושי אחר מעכבים שונים נתקלתי בחומר בשם ‪ MK-886‬שהינו מעכב של האנזים‬
‫‪ Jagadanada Ghosh and Charles E. Myers‬שנקרא‬
‫‪ ,5-lipoxygenase‬במאמר של‬
‫‪Inhibition of arachidonate 5-lipoxygenase triggers massive apoptosis in human prostate‬‬
‫‪cancer cells.‬‬
‫שניהם מאוניברסיטת וירג'יניה ‪Charlottesville, VA University of Virginia, Cancer Center‬‬
‫המאמר )‪ (16‬הינו משנת ‪ 1998‬ובעיני הינו בעל חשיבות אדירה למלחמה בסרטן הערמונית‪ .‬אנסה‬
‫לתאר בקצרה את הנאמר במאמר זה‪ :‬אחד השומנים המצויים בגוף האדם הוא ה‪.Arachidonic Acid -‬‬
‫זהו אחד משומני ה ‪ .- 6‬משומן זה מיוצרים חומרים שהינם חיוניים לשגשוגו של סרטן הערמונית משני‬
‫הכוונים‪ ,‬כלומר עדוד ההתרבות מצד אחד )‪ (proliferation, mitogenesis‬ומניעת המוות של התאים‬
‫מצד שני‪ .(Antiapoptosis) ,‬להלן תאור סכמטי קצר של המצב‪ ,‬זהו תאור חלקי ביותר של התוצרים‪,‬‬
‫הנובעים מהחומצה הארכידונית והוא מתרכז אך ורק בנושא ה‪ .5-HETE-‬השרטוט מועתק מתוך‬
‫המאמר המוזכר כאן‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫שרטוט‪16-‬‬
‫להלן מספר דברים הנאמרים שם‪ :‬בסיכום‪ ,‬התצפיות הניסוייות שלנו מצביעות שהייצור של ה‪5--‬‬
‫‪ HETE‬היא דרישה קריטית לשרידות של סרטן עמיד לטפול הורמונלי‪ ,‬וגם לסרטן הרגיש לטיפול‬
‫הורמונלי‪ .‬יותר מכך‪ ,‬היכולת של החומצה הארכידונית לעורר התרבות ושגשוג של תאים אלה תלויה‬
‫ל ‪ . 5-HETE‬לבסוף הממצאים שלנו מספקים את המכניזם המולקולרי‬
‫בהמרה המטבולית שלה‬
‫שבאמצעותו‪ ,‬צריכה גבוהה של שומן עשויה לטפח את התקדמות סרטן הערמונית‪ ,‬ע"י תמיכה בייצור של‬
‫ה‪ 5-HETE-‬ותוצריו‪ .‬עוד נאמר‪ ,‬שתאי הסרטן מייצרים‪ ,‬באופן קונסטיטוטיבי* את ה‪ , 5-HETE-‬כלומר‬
‫ללא שום דירבון חיצוני‪ ,‬כלומר הדבר נובע מתוך איזשהו צורך חיוני של תאי הסרטן עצמם‪.‬‬
‫קונסטיטוטיבי‪ ,‬בתחום הרפואי פרושו‪ ,‬מיוצר בקצב קבוע‪ ,‬בלתי תלוי בגירוי חיצוני או פנימי‪ ,‬נאמר על‬
‫אנזים‪ ,‬ר‪.‬נ‪.‬אי ‪ ,‬או חלבון שמיוצר ע"י אורגניזם‪ .‬ייצור ה‪ 5-HETE-‬גדל באופן דרמטי ע"י הוספה חיצונית‬
‫של חומצה ארכידונית‪ .‬מניעה של ‪ 5–lipoxygenase‬החוסמת את הייצור של ה‪ 5-HETE-‬גורמת למוות‬
‫מסיבי של תאי סרטן הערמונית בתוך פרק זמן קצר מאד‪ .‬המוות המתוכנת )אפופטוזיס( נמנע‪ ,‬כאשר‬
‫הוסיפו תוצרים מטבוליים של החומצה הארכידונית מהסדרה של ‪ ,5-HETE‬דבר שהוכיח את התפקיד‬
‫הקריטי שיש לתוצרים הללו לשרידות תאי סרטן הערמונית‪ .‬המוות של התאים לא הובחן כאשר מנעו‬
‫תוצרים אחרים של החומצה הארכידונית כגון‪ 12–lipoxygenase :‬או ‪ ,cyclooxygenase‬כמו כן המוות‬
‫לא נמנע כאשר הוסיפו אנדרוגן‪ ,‬אולם מות התאים נחסם בצורה יעילה ע"י הוספת ‪N-acetyl-) NAC‬‬
‫‪ ( L-cysteine‬שהינו חומר המעודד את חידושו של הגלוטתיון בגוף‪ .‬החוקרים הוכיחו‪ ,‬ששני סוגי תאי‬
‫הסרטן‪ ,‬העמיד להורמון וזה הרגיש להורמון‪ ,‬מייצרים ‪ 5-HETE‬ונוצר פה מעגל אוטוקריני‪ ,‬בו תאי‬
‫הסרטן מייצרים את החומר החיוני גם לשגשוג וגם למניעת המוות‪ .‬במערכת הניסויים שלהם‪ ,‬השתמשו‬
‫החוקרים במעכב של ‪ 5–lipoxygenase‬בתוצר שנקרא ‪ . MK-886‬באותה עת הייתי נתון עדיין ברעיון‬
‫של חיפוש מעכבים לאנזים כזה או אחר‪ ,‬ורציתי לקנות מעכבים של ‪ 5-lipoxygenase‬פניתי לחברה‬
‫המייצרת את ה ‪ ,MK-886‬תשובתם הייתה שאין לזה אישור של ה‪ FDA-‬והם מוכרים זאת אך ורק לצרכי‬
‫ניסויים‪ .‬יש לשים לב להערתם של החוקרים לגבי ה ‪ ,NAC‬מאחר שיש מספיק אנשים הטוענים ש ‪NAC‬‬
‫וגלוטטיון ועוד אנטיאוקסידנטים אחרים מונעים סרטן‪ .‬מאחר ואין ביכולתי לממש המלצות סותרות ומכיון‬
‫שבמלחמה זו הלכתי בכוון ממצאי המאמר הנ"ל‪ ,‬החלטתי לא לצרוך את ה ‪.NAC‬‬
‫‪48‬‬
‫אנג'יוג'נסיס‬
‫‪.41‬אחד הדברים החשובים‪ ,‬להתפתחות הסרטן והתפתחות גרורות‪ ,‬זה כלי דם שיספקו מזון לרקמה‬
‫הסרטנית‪ .‬ללא כלי דם שמספקים את המזון לגידול אין הוא יכול לגדול ולהתפשט מעבר לגודל מינימלי‬
‫קטנטן‪ .‬כלי הדם החדשים הללו מתפתחים מתוך כלי דם גדולים ותפקידם להזרים דם עם כל חומרי‬
‫הריפוי שבו‪ ,‬לאיזור פצוע בגוף‪ .‬כאשר יש פצע בגוף נוצרת דלקת שמתבטאת בייצור חומרים דלקתיים‬
‫כגון ‪ ,‬פרוסטציקלינים‪ ,‬פרוסטגלנדינים‪ ,‬לויקוטריאנים‪ ,‬וטרומבוקסנים‪ ,‬חומרים אלה נקראים איקוסנואידים‬
‫)‪ ,(45‬הם מפעילים בקרה מורכבת על מערכות גוף רבות‪ ,‬והם משמשים כשליחים המעבירים אותות‬
‫בגוף הממריצים לבצע פעולות מסוימות כגון רבייה של תאים‪ ,‬אפשור חדירה של דפנות כלי דם ‪ ,‬דבר‬
‫המאפשר למערכת החיסונית לרפא פגיעות ולהלחם באויבים היכן שהם בגוף‪ .‬את התהליכים הטבעיים‬
‫של הריפוי מנצל הסרטן להתפתחותו ולפלישתו לאזורים חדשים בגוף‪ .‬התהליך מתחיל כאשר התאים‬
‫הסרטניים מייצרים קוקס‪ ,2-‬שהוא אנזים הדרוש לייצור הפרוסטגלנדינים‪ ,‬המעודדים מצדם‪ ,‬ייצור של‬
‫פרוטאין שנקרא ‪ (Vascular endothelial growth factor) VEGF‬שהנו גורם גדילה המעודד גדילה של‬
‫תאים שנמצאים בחלק הפנימי של כלי הדם) ‪ .(endothelium‬ה ‪ VEGF‬הינו חלבון המאותת לתאים אלה‬
‫להתחיל ליצור כלי דם חדשים לכוון האיזור המאותת‪ ,‬כתוצאה מכך כלי הדם החדשים נובטים‪ ,‬וגדלים‬
‫ומגיעים אל התאים הסרטניים אשר משתלטים עליהם‪ ,‬ולא משחררים אותם‪ .‬יש עוד כמה חומרים‬
‫שמעודדים יצירת כלי דם חדשים וכן יש חומרים שמתנגדים לזה‪ .‬ב‪ 7‬השנים האחרונות יוצרו מספר‬
‫תרופות אנג'יוג'נטיות‪ ,‬בעיקר לטפול בכליות‪ ,‬במעי ובריאות‪ ,‬תרופות אלה הינן עוד גורם מעכב‪ ,‬מתוך‬
‫ארסנל התרופות‪ ,‬אולם ה"הצלחה" בשלב זה מוגבלת למספר מצומצם של סוגי סרטן‪ .‬בכל מקרה נשים‬
‫לב‪ ,‬שצמיחת כלי הדם החדשים מתחילה מגורמים מעודדי דלקות‪ ,‬ושחומרים אלה מיוצרים מהחומצה‬
‫הארכידונית בעזרתם של האנזימים ‪ COX-1 , COX-2‬ו ‪ .5–lipoxygenase‬אם ייצור האנזימים נעצר‪,‬‬
‫אזי הדלקת נבלמת‪ ,‬ולכן תרופות רגילות נוגדות דלקות ‪ NSAIDS‬יכולות לעזור בעכוב תהליך יצירת כלי‬
‫הדם החדשים‪ .‬מודגש גם שהאיקוסנואידים‪ ,‬בנוסף להשפעתם השלילית בתחום מחלת הסרטן‪ ,‬קשורים‬
‫להרבה בעיות בתחום האוטואימוני‪ ,‬פגיעה במפרקים‪ , Osteoarthritis -‬פסוריאסיס‪ ,‬טרשת נפוצה‪,‬‬
‫אסטמה ועוד הרבה‪ .‬למזלנו הטוב‪ ,‬הדיאטה מעכבת באופן יעיל ביותר את האנג'יוג'נסיס וגם מונעת‬
‫באופן ישיר‪ ,‬מזון חיוני לבניית תאי הסרטן‪ .‬ראה סימוכין ‪ .41‬ו ‪ .35‬לשים לב לניתוח המתמטי בעבודה‬
‫שלנו‪ ,‬המצביע על כך שהפגיעה באנג'יוג'נסיס כה גדולה שהוא יורד לפחות מ‪ 2%‬מהקצב שלפני‬
‫הדיאטה‪) .‬פרק‪ 10-‬סעיף ‪ .93‬נוסחאות )‪ (10.5‬ו )‪.((10.4‬‬
‫‪ .42‬לפני שאתחיל בדיונים וספורים מדעיים וחצי מדעיים בנושא זה אני ממליץ לכל אחד לחפש בגוגל‬
‫‪ Arachidonic acid and cancer‬אני קבלתי למעלה ממיליון קשורים‪ ,‬אפילו אם נניח שרק ‪1/1000‬‬
‫מהם רלוונטיים‪ ,‬הרי מדובר ב ‪ 1,000‬קשורים המראים על הקשר הקיים בין חומצת שומן זו ובין הסרטן‪.‬‬
‫כעת נסו לחפש קשר לפסוריאסיס‪ ,‬אוסטאו ארטריטיס‪ ,‬אסתמה‪ ,‬טרשת נפוצה‪ ,‬מחלת קרוהן‪ ,‬דלקת‬
‫מפרקים ועוד הרבה ותקבלו קשר חד משמעי בין חומצת שומן זו למגוון גדול של מחלות מהן קשות‬
‫ביותר‪ .‬החומצה הארכידונית הינה חומצת שומן השייכת לקבוצת השומנים מהסדרה אומגה‪ 6-‬יש לה ‪20‬‬
‫פחמנים‪ ,‬שבתוכם יש ‪ 4‬קשרים קוולנטיים‪ ,‬כאשר הקשר הראשון נמצא בפחמן השישי מצד האומגה‪,‬‬
‫) הכוונה לקשר שנספר מהקרבוקסיל שנמצא בקצה של כל חומצת שומן(‪ .‬גוף האדם יודע לייצר אותה‬
‫מחומצות השומן היותר קצרות שבסדרת ה ‪ ‬למשל מהחומצה הלינולאית שהינה חומצת שומן‬
‫בעלת ‪ 18‬פחמנים עם ‪ 2‬קשרים קוולנטיים שהקשר הראשון נמצא בפחמן ה שישי‪ .‬חומצות השומן הללו‬
‫נפוצות בפוספוליפידים‪ ,‬המהווים מרכיב עקרי בממברנת התא בגוף האדם‪ .‬לחומצה הארכידונית תוצרי‬
‫לוואי שהינם חיוניים להתפתחות סרטן הערמונית וסרטן בכלל בשני מישורים‪ ,‬האחד ייצור ה ‪5-HETE‬‬
‫והשני ביצירת כל אותם חומרים המשתתפים בתהליך האג'יוג'נסיס והמאפשרים חדירה לסביבה השכנה‬
‫והתפשטות הסרטן בגוף‪ ,‬אותם חומרים שהינם גורמי הדלקות בגוף האדם‪ .‬לכן חשוב ביותר למצוא דרך‬
‫לעכוב אותם גורמים‪.‬‬
‫ו ‪ . 5–lipoxygenase‬מתוך החומצה‬
‫בתהליכי ההמרה משתתפים האנזימים ‪Cox-1 , Cox-2‬‬
‫הארכידונית מופקים יותר מ ‪ 20‬מוצרים שונים המפקחים ומכוונים קשת רחבה של תפקודי הגוף ובמיוחד‬
‫על אותם תיפקודים הקשורים בדלקות ובמערכת החיסונית והינם משמשים גם כשליחים במערכת‬
‫העצבים המרכזית‪ .‬התהליך מורכב ביותר‪ ,‬מהמורכבים בגוף האדם‪ .‬נציין שיש עוד שני סוגי שומנים‬
‫המתחרים בחומצה הארכידונית על אותם האנזימים והמייצרים קו תוצרים המקביל לתוצרי החומצה‬
‫‪49‬‬
‫הארכידונית ‪ ,‬האחד זה ה ‪ EPA‬ששייך למשפחת האומגה ‪ ,3‬והוא מהווה את המתחרה העיקרי לחומצה‬
‫הארכידונית על השמוש באנזימים הללו‪ ,‬והוא מצוי בשמן דגים‪ ,‬ובשמן פשתן‪ .‬המתחרה השני שייך‬
‫למשפחת האומגה ‪ 6‬ונקרא ‪ ,DGLA‬אך הוא הרבה פחות משמעותי מאשר ה ‪ .EPA‬התוצרים הללו‬
‫מתחרים על אותם האנזימים‪ ,‬המשמשים בהמרות המטבוליות של החומצה הארכידונית‪ ,‬אך התוצרים‬
‫שלהם הרבה פחות מדרבני דלקות‪ .‬חומר בנושא פעולת הגומלין שבין האומגה ‪ 6‬לאומגה ‪ 3‬ניתן למצוא‬
‫בויקיפדיה תחת הנושא ‪ . Essential fatty acid interactions‬בהתחשב בחיוניות של האנזימים להמרה‬
‫המטבולית של החומצה הארכידונית לתוצריה‪ ,‬ניסיתי למצוא מעכבים של האנזימים הללו והשקעתי‬
‫הרבה מאמצים בחיפוש מעכבים כאלה‪ ,‬וכפי שסיפרתי בעבודה המלאה‪ ,‬אף פניתי לייצרנית ה ‪.MK-886‬‬
‫מצאתי שקיימים גם מעכבים צמחיים למיניהם‪ ,‬כגון ‪ :‬כורכומין‪ ,‬רסברטרול‪ ,‬תה סיני ירוק‪,5-Loxin ,‬‬
‫שמיוצר מצמח בשם ‪ Boswellia Serrata‬וכמובן תרופות כגון‪ :‬סלקוקסיב‪ ,zyflo ,‬אספירין ועוד‪.‬‬
‫בעקבות הניסיון שהיה לי כבר בשימוש בתוספים צמחיים‪ ,‬לא מצאתי שזה בלבד יביא לי שינוי משמעותי‪,‬‬
‫ואילו תרופות צריך לבקש מהרופא‪ ,‬שלא ימהר לספק לך תרופה נגד אסטמה‪ ,‬רק מפני שבקשת זאת‬
‫ממנו‪ .‬לפתע צץ במוחי‪ ,‬הרעיון הפשוט‪ ,‬שהמעכב הטוב ביותר‪ ,‬זה לא להכניס לגוף את חומר הגלם ממנו‬
‫מופקים כל החומרים‪ ,‬דהיינו להמנע מצריכה של החומצה הארכידונית‪ .‬מכאן בניתי דיאטה שנבעה באופן‬
‫אוטומטי וללא מאמץ מיוחד מדרישות המניעה‪ .‬לצורך ההבנה של תהליך בניית הדיאטה עלינו להכיר עוד‬
‫עובדה נוספת וכמה מושגים‪.‬‬
‫לפתע צץ במוחי‪ ,‬הרעיון הפשוט‪ ,‬שהמעכב הטוב ביותר‪ ,‬זה לא להכניס לגוף את חומר הגלם ממנו‬
‫מופקים כל החומרים‪ ,‬דהיינו להמנע מצריכה של החומצה הארכידונית ושל ה ‪ . 5-HETE‬מכאן בניתי‬
‫דיאטה שנבעה באופן אוטומטי וללא מאמץ מיוחד מדרישות המניעה‪ .‬לצורך ההבנה של תהליך בניית‬
‫הדיאטה עלינו להכיר עוד עובדה נוספת וכמה מושגים‪.‬‬
‫תפקידו של ה ‪5-HETE‬‬
‫‪.43‬אף על פי שהתחלתי בכל הנושא בעקבות המאמר על ה ‪ , 5-HETE‬אינני יודע מהו התפקיד‬
‫האמיתי של חומר זה בכל תהליך הדיאטה‪ .‬מה שברור לי שעלי ללכת על המכנה המשותף הרחב ביותר‬
‫של בסיס הדיאטה‪ ,‬והמכנה המשותף הרחב ביותר היא ההמנעות מ ‪ . -6‬מי ממרכיביו או מתוצריו‪,‬‬
‫משתתפים בביניין התא? ברור לחלוטין ששומנים מהווים מרכיב חשוב בביניין התא‪ ,‬מאחר שמעטפת‬
‫התא מורכבת משתי שכבות שומניות‪ ,‬וברור לחלוטין שכשהתא מתנפח לקראת החלוקה הוא צריך‬
‫להגדיל את שטח המעטפת פי שתיים‪ .‬האם כאן טמון הסוד? מה שאני יודע בוודאות הינו‪ ,‬שהמנעות‬
‫מ‪ ,‬צריכת ‪ ,‬וצריכת מעכבים של תוצרי החומצה הארכידונית‪ ,‬עושים את המלאכה‪ .‬מה‬
‫שחשוב‪ ,‬הינה העובדה‪ ,‬שישנה דיאטה המאשרת‪ ,‬שהאנליזה המתמטית התאורטית לחלוטין‪ ,‬היא לא‬
‫רק תאוריה יפה‪ ,‬אלא גם תאוריה מציאותית‪ ,‬שיש לה בסיס בחיי היום יום‪ .‬אני משוכנע‪ ,‬לאור המאמר‪,‬‬
‫שההמנעות מה ‪ 5-HETE‬תורמת למלחמה בסרטן‪ ,‬אבל החלק העיקרי בדיאטה ובמודל המתמטי היא‬
‫מניעת חומר ביניין לתא הסרטני בעת התחלקותו‪ ,‬האם ה ‪ 5-HETE‬הוא החומר הזה? מהמאמר לא‬
‫ברור שהחומר דרוש לבנית התא הסרטני‪ .‬מצד שני המאמר טוען שה ‪ 5-HETE‬נוצר ע"י הסרטן באופן‬
‫קונסטיטוטיבי‪ ,‬ונשאלת השאלה למה? התאים סרטניים מתחלקים כל הזמן‪ ,‬לכן אם ה ‪ 5-HETE‬נחוץ‬
‫לבינין התא‪ ,‬הרי שזה מסביר‪ ,‬את יצורו ע"י הסרטן באופן שוטף‪ .‬מאחר ובדיאטה אני מונע גם חומרים‬
‫נוספים‪ ,‬וה ‪ 5-HETE‬איננו מבודד‪ ,‬הרי שזה לא ברור חד משמעית‪ ,‬והנושא פתוח למחקר של חוקרים‬
‫העובדים ברמה המולקולרית‪ .‬למרות השאלה על חומר הבנייה של התא‪ ,‬שהדיאטה מונעת‪ ,‬יש בדיאטה‬
‫אלמנטים נוספים וזה עכוב האנג'יוג'נסיס‪ .‬על כל פנים לאור העובדה שהסרטן מייצר את ה ‪5-HETE‬‬
‫ללא הרף‪ ,‬מצביע כנראה על צורך שוטף בחומר זה‪ ,‬ניתוח של תוצאות עבודה זו ושילובן עם תוצאות‬
‫העבודה על ה ‪ 5-HETE‬יכול לתת לנו תשובה ברמת סבירות גבוהה לשאלה שלעיל כלהלן‪ :‬התאמת‬
‫הנתונים למודל המתמטי מצביעה על כך שנמנע חומר ביניין הנחוץ להשלמת התא הסרטני‪ .‬בסעיף ‪.116‬‬
‫)נוסחאות )‪ (13.1‬עד )‪ ,((13.3‬הראנו שהמודל המתמטי לא מבחין בין פרוליפרציה לבין אפופטוזיס אלא‬
‫רק בהפרש ביניהם‪ ,‬שמתבטא ברמת האגרסיביות של הסרטן‪ .‬התוצאות בפועל לא מראות‬
‫שהאגרסיביות יורדת מידית‪ ,‬והדבר מצביע שלא חל שינוי מידי‪ ,‬שבא לידי ביטוי בירידת הפרוליפרציה‬
‫או בעליה באפופטוזיס‪ ,‬כפי שמראה המחקר‪ .‬לוקח מספר חודשים עד שהאגרסיביות יורדת ועוד מספר‬
‫חודשים עד שהיא יורדת עוד פעם‪ ,‬כלומר שלילת ה ‪ 5-HETE‬לא משפיעה על הפרוליפרציה וגם לא על‬
‫האפופטוסיס‪ ,‬שאם לא כן היינו צריכים לראות ירידה מידית באגרסיביות‪ ,‬שהיתה צריכה לרדת מיד‪,‬‬
‫למינימום האגרסיביות שמאפשר המזון‪ .‬האגרסיביות יורדת בשלבים‪ ,‬ולכך נתנו הסבר מתמטי והסבר‬
‫פיזיקלי מלא‪ .‬במאמר נאמר שהמוות המתוכנת‪) ,‬אפופטוזיס(‪ ,‬נמנע כאשר הוסיפו תוצרים מטבוליים של‬
‫‪50‬‬
‫החומצה הארכידונית מהסדרה של ה ‪ ,5-HETE‬דבר כזה בהחלט יקרה על פי המודל המתמטי שלנו‬
‫אם חומר זה נחוץ לביניין התא‪ .‬מחברי המאמר יכולים לתת לזה פרשנות של מניעת אפופטוזיס‪ ,‬בעוד‬
‫שזה מונע מוות בגלל חוסר בחומרי ביניין‪ ,‬שזה משהו שונה לחלוטין‪ .‬מסקנה זו הינה הגיונית ביותר והיא‬
‫גם מסבירה מדוע הסרטן מייצר חומר זה‪ ,‬הוא כנראה מייצר אותו מכיוון שהוא דרוש לו להשלמת בניית‬
‫התא הסרטני בתהליך ההתחלקות‪ .‬עובדה נוספת היכולה לתת חיזוק לכיוון הזה‪ ,‬הינה שמניעת ה ‪5-‬‬
‫‪ HETE‬משפיעה באותה צורה גם על סרטן עמיד לחסר באנדרוגן‪ ,‬כלומר אם חומר זה נחוץ לבניית התא‪,‬‬
‫סביר שחוסר ממנו יפגע גם בסרטן עמיד‪ .‬לאור זאת המנעות ממנו תהווה מרכיב חשוב בדיאטה‪.‬‬
‫אינדקס גליקמי )‪ (GI‬ועומס גליקמי)‪(GL‬‬
‫‪ .44‬רבים שמעו על המונח אינדקס גליקמי ורבים משתמשים בטבלאות האינדקס הגליקמי על מנת‬
‫להחליט‪ ,‬איזה מזון רצוי לאכול ואיזה בלתי רצוי‪ .‬מהו אם כן האינדקס הגליקמי? זהו מדד המצביע על‬
‫מהירות עליית הגלוקוז )סוכר ענבים( בדם‪ ,‬בעקבות אכילתו של מאכל מסוים‪ .‬אם נאכל שני מוצרים‬
‫שונים עם אותה כמות פחמימות בכל אחד מהם‪ ,‬הרי זה שיעלה את רמות הגלוקוז בדם יותר מהר‪ ,‬יהיה‬
‫בעל אינדקס גליקמי גבוה יותר‪ .‬האינדקס הגליקמי הוא הדירוג של הפחמימות שבמוצרים השונים בסולם‬
‫מ ‪ 0-100‬על פי המידה שבה הם מעלים את רמת הסוכר בדם לאחר האכילה‪ .‬מזונות בעלי אינדקס גבוה‬
‫מתעכלים ונספגים במהירות וגורמים לעליה מהירה של רמת הסוכר בדם‪ ,‬לעומתם מזונות בעלי אינדקס‬
‫נמוך מתעכלים ונספגים לאט יותר וגורמים לעלייה איטית יותר של רמות הסוכר ורמות האינסולין בדם‪.‬‬
‫אם קובעים את האינדקס של הגלוקוז כ ‪ 100‬אזי ‪ 100‬הוא המקסימום‪ .‬אינדקס גליקמי קטן מ ‪ 55‬נחשב‬
‫כנמוך‪ 56-69 ,‬נחשב כבינוני ומ‪ 70-‬מעלה הוא נחשב כגבוה‪ .‬הוכח שדיאטות בעלות אינדקס נמוך‬
‫משפרות את רמות הסוכר והשומנים בדם‪ ,‬כן עוזרת דיאטה כזו לשמור על המשקל‪ ,‬כי זה עוזר לשלוט‬
‫על התאבון ולדחות את הרעב‪ ,‬וכמובן זה מפחית את רמות האינסולין‪ .‬אולם אנו מתענינים בכך בגלל‬
‫הסרטן ולא בגלל הסוכרת‪ .‬כאשר הגוף מפריש אינסולין הוא גם מפריש חומר נוסף שנקרא ‪IGF-1‬‬
‫)‪ ,(Insulin-like Growth Factor 1‬או גורם גדילה דמוי אינסולין‪ ,‬זה הורמון חלבוני טבעי המופרש‬
‫בכבד‪ ,‬יש לו חשיבות בגדילה של ילדים‪ .‬אצל מבוגרים יש לו השפעה על ריפוי והתאוששות שרירים‬
‫שנגרם להם נזק‪ .‬במחקרים נמצא קשר חזק בין ‪ IGF-1‬ובין סרטן הערמונית‪ ,‬השד והמעי הגס‪ .‬כיצד‬
‫נקבע האינדקס הגליקמי של המוצרים השונים? לוקחים מדגם של ‪ N‬אנשים כאשר ‪ N‬מספיק גדול‬
‫בשביל לתת משמעות סטטיסטית לתוצאות‪ ,‬מאכילים אותם במנת מזון מסוג ‪ A‬שאת האינדקס הגליקמי‬
‫שלו רוצים למדוד‪ ,‬כשבכל מנה יש אותה כמות פחממות זמינות‪ ,‬למשל ‪ 100‬גרם‪ .‬מודדים לאורך‬
‫השעתיים הבאות את רמת הסוכר בדמם ובונים גרף שבו הציר האנכי )‪ (y‬מציין את רמת הסוכר בדם‪,‬‬
‫והציר האופקי מציין את הזמן ‪ t‬של המדידה‪ ,‬כלומר בונים גרף שצורתו‬
‫עבור כל אדם‬
‫וציר הזמן )‪ , (t‬בתחום שבין ‪t=0‬‬
‫‪ m‬שבמדגם‪ ,‬לאחר מכן מוצאים את השטח שבין העקומה‬
‫ל ‪ , t=120‬כאשר ‪ t‬נמדד בדקות‪) .‬מבחינה מתמטית אנו מוצאים את האינטגרל‪ (.‬נסמן את השטח‬
‫‪ ,‬באותה צורה מודדים לכל אחד מהם את השטח תחת העקומה שנוצרת‬
‫שתחת העקומה ב‬
‫ומחשבים עבור כל אחד את היחס‬
‫מצריכת כמות זהה של גלוקוז‪ ,‬ונסמן את השטח כעת ב‬
‫הוא האינדקס הגליקמי‪ ,‬של המזון שבדקנו‪ ,‬כפי שהוא מופיע אצל‬
‫כאשר‬
‫כלהלן‪:‬‬
‫האדם ה ‪ m‬שבמדגם‪ .‬עכשין עושים ממוצע של התוצאות של האנשים שבמדגם ומקבלים את ‪ GI‬שהוא‬
‫‪ .‬בניגוד בולט לעובדה‬
‫האינדקס הגליקמי של המוצר ‪ A‬שנבדק‪ ,‬ובצורה מתמטית‬
‫שאנו מוצאים טבלאות רבות של ‪ ,GI‬שלפיהן אנו אמורים להחליט מה לאכול וכמה‪ ,‬הרי למעשה ה ‪GI‬‬
‫הוא מושג בלתי ניתן לשימוש בחיי היום יום‪ ,‬מפני שאיננו יודעים עבור איזה כמות של המוצר‪ ,‬נתון‬
‫המספר הנ"ל‪ .‬המספרים שבטבלת ה ‪ GI‬מתייחסים לגודל מנה לא זהה של תפוז ושל בננה או כל מוצר‬
‫אחר‪ ,‬כי כשקבעו את האינדקס הגליקמי‪ ,‬לקחו גודל מנה שונה בכל מוצר ומוצר ומה שהיה זהה זה כמות‬
‫הפחממות הזמינות שבמנה‪ .‬לכן יצרו מושג חדש‪ ,‬בשם עומס גליקמי ‪ ,GL‬שמביא בחשבון את כמות‬
‫הפחממות שבמנה ולפיו ניתן לעשות השוואה על בסיס מנות בעלות משקל שווה‪ ,‬שבהן כמות‬
‫הפחמימות הזמינות אינה זהה ומה שחשוב הינו שמשקל המנה זהה‪ .‬בדרך זאת אנו מביאים בחשבון לא‬
‫רק את מהירות העכול והספיגה של הפחממות שבמוצר המסוים אלא גם את הכמות של הפחמימות‬
‫שאנו אוכלים‪ .‬נקח לדוגמה אבטיח‪ ,‬לאבטיח אינדקס גליקמי גבוה ‪ , 72‬במנה של ‪ 100‬גרם אבטיח יש‬
‫רק כ ‪ 6‬גרם פחמימות זמינות ולכן העומס הגליקמי של הפלח יהיה ‪ 4.3 =6x72 /100‬לצורך ההבנה‬
‫‪51‬‬
‫נעשה את החשבון הנ"ל גם לגבי הגלוקוז‪ ,‬כפי הידוע ב ‪ 100‬גרם גלוקוז יש ‪ 100‬גרם פחמימות וה ‪GI‬‬
‫שלו ‪ 100‬ונקבל ‪ 100=GL=100x100/100‬והעומס הגליקמי של הסוכר הוא ‪ 100‬כעת אנו יכולים‬
‫לראות את ההבדל האמיתי שבין צריכת סוכר ישירות לבין אכילת אבטיח‪.‬‬
‫השוואה לפי אינדקס גליקמי נתנה ‪ 72‬לאבטיח ו ‪ 100‬לגלוקוז‪ ,‬בעוד שבהשוואה לפי עומס גליקמי אנו‬
‫מקבלים ‪ 4.3‬לעומת ‪ 100‬וההבדל הינו עצום‪ .‬עומס גליקמי ‪ 0-10‬נחשב כנמוך‪ 10-20 ,‬נחשב כבינוני‬
‫מעל ‪ 20‬נחשב גבוה‪ .‬לפי זה אנו רואים שאם נאכל ‪ 200‬גרם אבטיח עדיין זה נחשב לעומס נמוך‪ ,‬דבר‬
‫זה שונה מהותית מהתוצאות ע"פ ה ‪ ,GI‬לכן ברור שבקביעת הדיאטה יש להשתמש ב ‪ GL‬ולא ב ‪. GI‬‬
‫מקדם הדלקת של המזונות‪ -‬הסוכר מזון מעודד דלקות‬
‫‪ .45‬יש כיום מספיק מחקרים המראים על הקשר ההדוק בין הרבה מאוד מחלות לבין הדלקות בגוף‪.‬‬
‫אנו הסברנו את הקשר של הדלקות לאנג'יוג'נסיס‪ ,‬המהווה מרכיב חיוני להתפתחות הסרטן בגוף‪ .‬יש‬
‫הרבה דוגמאות למחלות כאלה הקשורות לדלקות‪ ,‬כגון אלרגיות‪ ,‬כאבי פרקים‪ ,‬פולימיאלגיה‪ ,‬הזדקנות‬
‫מוקדמת ועוד‪ .‬מדובר בדלקת כלל מערכתית‪ ,‬שבאה לידי ביטוי במחלות‪ ,‬ללא סימני הדלקות הידועים‪,‬‬
‫אודם‪ ,‬חום ונפיחות‪ .‬אז כיצד אפשר לדעת מה מצבנו ללא סימני הדלקת החיצוניים? הרמה של‬
‫כימיקלים מסוימים עולה בדם עם העליה ברמת הדלקת‪ ,‬אחד הכימיקלים‪ ,‬הללו הינו חלבון בשם )‪CRP‬‬
‫‪ (C-reactive protein‬הרבה רופאים חושבים שגם עלייה קטנה ב ‪ CRP‬מגדילה את הסיכונים לחלות‬
‫במחלות שונות‪ .‬בשנים האחרונות נבנה מאגר נתונים גדול המתבסס על מאות מחקרים שונים והכולל‬
‫נתונים על למעלה מ ‪ 1500‬מזונות מקובלים ונפוצים‪ .‬הערכים מבוססים על ההשפעה של יותר מ ‪20‬‬
‫גורמים שונים כמו‪ :‬כמות וסוג השומנים הנצרכים‪ ,‬הויטמינים‪ ,‬המינרלים‪ ,‬נוגדי החמצון‪ ,‬האינקס הגליקמי‪,‬‬
‫ומרכיבים נוגדי דלקות‪ .‬לכל הרכב מזון שבטבלה נקבע מקדם הדלקת שלו )‪ ,(IF‬שהינו גם פונקציה של‬
‫גודל המנה הנצרכת‪ .‬מספר שלילי אומר שהמזון מעודד דלקות ומספר חיובי אומר שהינו אנטי דלקתי‪.‬‬
‫אתר מעניין עם אוסף ענק של נתונים בנושא המזון הינו ‪ nutritiondata.self.com‬ראה )‪(.5‬‬
‫המזונות שאנו אוכלים מכניסים לגופינו חומרים‪ ,‬אשר עוזרים לבריאותנו או מזיקים לה‪ .‬בין החומרים‬
‫הללו ישנן חומרים מעכבי דלקות ולעומתם יש חומרים מעודדי דלקות‪ .‬לענין זה יש חשיבות רבה‬
‫לבריאותנו בהרבה תחומים‪ ,‬כולל השפעה מכרעת על פתיחת תהליך האנג'יוג'נסיס‪ .‬כידוע עודף סוכר‬
‫גורם לעליה ברמת האינסולין בדם שיש לו השפעה רבה כל תהליכים שונים בגוף האדם‪ ,‬אחת‬
‫ההשפעות הינה הפעלה של אנזימים ההופכים את החומצה הלינוליאית )‪ 18:2(6‬השייכת למשפחת‬
‫האומגה ‪ 6‬לחומצה ארכידונית )‪) 20:4(6‬ראה סימוכין )‪ ,((1),(3),(4‬שמבחינתנו היא אם כל הרע‪.‬‬
‫האינסולין גם מעודד את פעילות הארומטז )‪ (4) ,(3) ,(2‬אשר הופך את האנדרוגן לאסטרוגן‪ .‬כל זאת‬
‫בנוסף למה שאמרנו לגבי ה ‪ .IGF-1‬באתר האינטרנט ‪ nutritiondata.self.com‬ראה )‪ (.5‬ניתן למצוא‬
‫חומר יקר ערך לגבי המזון שלנו‪ ,‬על מרכיביו השונים‪ ,‬כולל ויטמינים ומינרלים‪ ,‬הרכב תזונתי‪ ,‬הרכב‬
‫שומנים‪ ,‬צריכה קלורית לפי המרכיבים‪ ,‬העומס הגליקמי‪ ,‬ומקדם הדלקתיות ועוד‪ .‬מסתבר שהמזון שהכי‬
‫מאיץ דלקות הינו הסוכר‪ ,‬להלן טבלה הנותנת לנו מושג כלשהו לגבי תרומתם של מזונות שונים לגבי‬
‫מקדם הדלקתיות והעומס הגליקמי ‪ ,‬עבור ‪ 100‬גרם מוצר‪ .‬הטבלה מובאת בעקר על מנת להצביע על‬
‫חומרת הנזקים הנגרמים לנו מהסוכר ומהקמח הלבן ומוצריו‪ ,‬ולעומת זאת על התרומה החיובית‬
‫לבריאותנו שיש לאומגה ‪ .3‬נזכיר שוב‪ :‬מספר שלילי אומר שהמזון מעודד דלקות‪ ,‬ומספר חיובי אומר‬
‫שהינו אנטי דלקתי‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫טבלה‪6.1-‬‬
‫המוצר‬
‫סוכר חום‬
‫סוכר לבן‬
‫שום‬
‫בצל‬
‫שמן פשתן‬
‫דג סלומון אטלנטי‪ ,‬נא‬
‫לחם לבן‬
‫לחם שחור חיטה מלאה‬
‫לחם שבולת שועל מלא‬
‫לחם שיפון קל‬
‫לחם שחור קל‬
‫לחם לבן קל‬
‫תפוח עץ‬
‫תפוז‬
‫אבטיח‬
‫אשכולית‬
‫ברוקולי‪ ,‬מבושל במים‬
‫עגבניה‬
‫מלפפון עם קליפה‬
‫מלפפון מקולף‬
‫אגס‬
‫אפרסק‬
‫אשכולית אדומה‬
‫תאנים‬
‫מלון‬
‫אננס‬
‫ענבים‬
‫דובדבן מתוק‬
‫מקדם הדלקתיות ל‪ 100‬גרם‬
‫‪-510‬‬
‫‪-700‬‬
‫‪3576‬‬
‫‪234‬‬
‫‪1054‬‬
‫‪450‬‬
‫‪-338‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪102‬‬
‫‪-61‬‬
‫‪-61‬‬
‫‪-78‬‬
‫‪-17‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪79‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-9‬‬
‫‪-14‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-39‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪40‬‬
‫‪-33‬‬
‫‪-34‬‬
‫עומס גליקמי ל‪ 100‬גרם‬
‫‪68‬‬
‫‪100‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50-33‬‬
‫‪17‬‬
‫‪21‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪18‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫אין להצמד במדויק למספרים כי הרבה תלוי איפה גודל המוצר‪ ,‬כמות הסיבים וצורת ההכנה‪ ,‬אולם‬
‫הדבר מצביע באופן ברור שסוכר זה רע‪ ,‬אומגה ‪ 3‬זה טוב )ראה שמן פשתן ודג סלמון( הירקות והפירות‬
‫טובים לחם לבן זה רע‪ .‬מכיון שעלינו לאכול לצורך קיומנו‪ ,‬הרי שאיננו יכולים להמנע מלאכול כל דבר‬
‫שמקדם הדלקתיות שלו שלילי או שהעומס הגליקמי שלו גבוה‪ ,‬מה גם שהמספרים תלויים בכמות שאנו‬
‫אוכלים‪ ,‬אנו בכל זאת ממליצים להמנע מסוכר‪ ,‬וממאפים העשויים מקמח לבן‪ .‬והטבלה באה לא לצורך‬
‫תכנון מה לאכול ומה לא ‪ ,‬אלא על מנת להבהיר את הנזקים לבריאותנו הנובעים מהסוכר ומוצרי הקמח‬
‫הלבן‪.‬‬
‫הדיאטה ומטרותיה‬
‫‪ .46‬במהלך החיים קראתי‪ ,‬או קיבלתי‪ ,‬עשרות הצעות לדיאטות‪ ,‬המלאות בפרטים שלא ניתן לזכרם‬
‫וללא הוכחות ליעילותן‪ ,‬לכן החלטתי שמוטב להתרכז בעקרונות פשוטים‪ ,‬שיאפשרו לנו‪ ,‬בכל עת ובכל‬
‫מקום‪ ,‬לדעת אם מותר לנו לאכול את המוצע לנו או לא‪ .‬הדבר החשוב הינו‪ ,‬לזכור את מטרת הדיאטה‬
‫ואת העקרונות להשגתה ומכאן יוכל כל אחד לבנות לו את ארוחותיו השונות בכל רגע ורגע‪ .‬בדיאטה אנו‬
‫רוצים להשיג שתי מטרות‪:‬‬
‫א‪.‬מניעת שומן מסוג‪  ‬לכל סוגיו ועי"כ להמנע מהחומצה הארכידונית ותוצריה‪.‬‬
‫ב‪.‬האטת האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫תמונה בסיסית של התהליכים הקושרים את שני הנושאים הללו ניתן למצוא בספרות הרפואית תחת‬
‫השם “המפל‪‬ההרסני של‪‬החומצה‪‬הארכידונית" ניתן למצוא הרבה שרטוטים של מפל זה ברמות פרוט‬
‫גדולות מאוד‪ ,‬אולם אנו נסתפק ברמת הפירוט המינימלית הנדרשת לצרכים שלנו‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫שרטוט‪17-‬‬
‫תוצרי החומצה הארכידונית‬
‫חומצה ארכידונית‪ ,‬שייכת לסדרת שומני‪‬‬
‫‪+‬‬
‫אנזימים‬
‫‪Cox-1‬‬
‫מעוכב ע"י‬
‫אספירין‪ ,‬אדוויל‬
‫ודומיהם‪.‬‬
‫‪5-Lipoxygenase‬‬
‫‪Cox-2‬‬
‫מעוכב ע"י‬
‫סלקוקסיב‪ ,‬כורכומין‪,‬‬
‫רסברטרול‪ ,‬תה‬
‫ירוק‪.‬‬
‫פרוסטנגלנדינים ‪ ,‬פרוסטציקלינים‪,‬‬
‫טרומבוקסנים‪.‬‬
‫מעוכב ע"י ‪,5-Loxin‬‬
‫‪ zyflo‬וכורכומין‪.‬‬
‫‪5-HETE‬‬
‫לויקוטריאנים‬
‫מעודד התרבות תאי סרטן‪,‬‬
‫ואנטי אפופטוזיס‪.‬‬
‫מעודדים דלקות‪ ,‬אנג'יוג'נסיס‪,‬‬
‫הרס מפרקים‪ ,‬אסתמה ועוד‪.‬‬
‫נזכיר ש ‪ ,Cox-2 ,Cox-1‬ו ‪ 5-Lipoxygenase‬הם אנזימים החיוניים לתהליכי ההמרה המטבוליים‪,‬‬
‫עכוב שלהם יכול לעכב את התפתחות האנג'יוג'נסיס‪ .‬המסקנה הברורה הינה‪ ,‬שהדבר החשוב ביותר‪ ,‬זה‬
‫הקטנת צריכת שומני ה ‪ ,‬ע"י כך אנו משיגים כמה מטרות‪ :‬מונעים חומרי ביניין חשובים של הסרטן‪,‬‬
‫מעכבים את ייצור ה ‪ ‬ומעכבים את האנג'יוג'נסיס‪ .‬כלי עזר נוספים הינם המעכבים לאנזימים‬
‫השונים‪ ,‬והמנעות ממזון מעורר דלקות‪ ,‬כמו סוכר וצריכת מזון נוגד דלקות‪ ,‬וצריכת מתחרים על‬
‫האנזימים כמו ‪ . ‬להלן תרשים זרימה המסביר את תהליך בניית הדיאטה‪ ,‬התרשים הינו פשוט‬
‫ומאוד הגיוני וקל לזכור את העקרונות המנחים שלו‪.‬‬
‫‪54‬‬
‫שרטוט‪18-‬‬
‫תרשים זרימה של תהליך בניית הדיאטה‬
‫כמרכיב נוסף של הדיאטה אני צורך מספר תוספים ותרופות ‪ Nsaids‬המכוונים ישירות לכוון מניעת‬
‫האנג'יוג'נסיס אך לא רק‪ .‬תוצרים אלה מוזכרים בשרטוט ‪ 17‬ואפרטם כאן מפורשות‪ :‬רסברטרול‪,‬‬
‫כורכומין‪ ,‬תה ירוק‪ , 5-Loxin ,‬סלקוקסיב‪ ,‬ואספירין בהקשר זה אציין את הסימוכין ‪ .41‬וידאו המדבר אך‬
‫ורק בנושא האנג'יוג'נסיס והכולל רשימה ארוכה של מזונות ותרופות הערוכות לפי גודל תרומתם ללחימה‬
‫באנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫‪.47‬על אף פשטות התרשים יש צורך בכמה הסברים‪:‬‬
‫א‪.‬התרשים הנ"ל מטפל בצריכת השומנים כגורם העיקרי והמכריע בדיאטה‪ ,‬ובסוכר כגורם משני‪.‬‬
‫ב‪.‬החומצה הארכידונית שייכת לקבוצת השומנים אומגה ‪ 6‬ועל כן עלינו להמנע משומן זה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האומגה ‪ 6‬הינו שומן נפוץ ומופיע בכל סוגי השמנים המוכרים‪ ,‬כולל שמן זית שנחשב לשמן טוב‪.‬‬
‫ד‪ .‬קשה ואף בלתי אפשרי למצוא מזון שאינו מכיל אומגה ‪.6‬‬
‫ה‪.‬בהרכב התזונתי של מוצרי המזון לא ניתן למצוא פרוט שומנים לפי השתייכותם לקבוצת אומגה כזו או‬
‫אחרת‪ ,‬לפיכך על מנת להקל על בחירת הדיאטה נצא מהנחת עבודה שכל השומנים שאנו מוצאים‬
‫במזונות הרגילים הינם מסוג אומגה ‪ 6‬ממנו נוצרת החומצה הארכידונית‪ .‬לא תהיה זאת טעות גדולה‪,‬‬
‫מאחר והאומגה ‪ 6‬הנו שומן נפוץ ביותר‪ .‬האמת שישנם מוצרים שתכולת האומגה ‪ 9‬שלהם היא‬
‫הדומיננטית‪ ,‬שהינה פחות גורמת דלקות ונזקים מהאומגה ‪ 6‬אך שומן זה פחות טוב מהאומגה ‪ 3‬ולכן‬
‫נמנע גם ממנו‪ ,‬ונתייחס אליו כמו לאומגה ‪. 6‬‬
‫ו‪ .‬לאור הנחת העבודה שב ה‪ .‬הרי אין באפשרותי להמנע מצריכת אומגה ‪ ,6‬על כן החלטתי‪ ,‬על בסיס‬
‫הניסיון האישי שלי ושל אישתי להגביל את אחוז השומן במזון הקנוי ל ‪ 2%‬ומטה‪ ,‬בדרך זו צריכת‬
‫האומגה ‪ 6‬תהיה מינימלית ועדיין ימצא מגוון עצום של מוצרים שביכולתנו לקנותם ולצרכם‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫ז‪ .‬לאור העובדה שאומגה ‪ 3‬מתחרה על האנזימים של אומגה ‪ ,6‬החלטתי להוסיף למזון שמן פשתן ‪,‬‬
‫אותו ניתן למצוא בבקבוקים כהים אטומים לאור ומוחזקים במקרר‪ .‬הנני מוסיף למזון בכל ארוחה כ ‪10‬‬
‫גרם שומן‪ .‬אין לחמם שמן זה ואין לבשל או לטגן איתו‪ ,‬באשר הוא מתחמצן במהירות רבה‪ .‬שמן הפשתן‬
‫מכיל כ ‪ 63%‬אומגה ‪ 17.6% ,3‬אומגה ‪ ,6‬וכ ‪ 19.2%‬אומגה ‪ ,9‬כאשר ע"פ המחקרים מסוגל הגוף‬
‫להפיק מ ‪ 5.7‬גרם אומגה ‪ 3‬כ ‪ 1.2‬גרם ‪ EPA‬וכ ‪ 0.5‬גרם ‪ ,DHA‬כאשר ה ‪ EPA‬הינו אותו אומגה ‪3‬‬
‫היוצר תוצרים אנטי דלקתיים ממש‪ ,‬לכן אני צורך גם ‪ 2‬כמוסות ביום של סופר אומגה‪.3-‬‬
‫ח‪ .‬מצאתי בהרבה ספרים המלצות לחולי סרטן לצרוך אגוזים וגרעינים למיניהם‪ ,‬כאשר המוטיב המוביל ‪,‬‬
‫הינו בד"כ המינרלים החשובים הנמצאים בהם‪ ,‬אולם על פי הדיאטה שלנו הם אסורים באיסור מוחלט‪,‬‬
‫מאחר ואחוז השומן בהם הינו גבוה ביותר‪ .‬בוטנים קלויים קלופים מכילים למעלה מ‪ 44%-‬שומן‪ ,‬פקאן‬
‫‪ , 72%‬אגוזי מלך ‪ ,64%‬אלסר ‪ , 62%‬אגוז ברזיל ‪ , 66%‬גרעיני דלעת ‪ ,47%‬חמניות ‪ ,46%‬פיסטוק‬
‫‪ ,46%‬גרעיני אבטיח מקולפים ‪ 50%‬וכך הלאה‪ ,‬את המינרלים והויטמינים שברצוננו לצרוך ניתן להשיג‬
‫גם באמצעות תוספי מזון‪.‬‬
‫ט‪ .‬מאחר ואחת המטרות של הדיאטה הינה הפחתת ה ‪ , 5-HETE‬הרי יש להמנע מצריכה ישירה שלו‪,‬‬
‫חומר זה מופיע אך ורק בחי ולא בצומח‪ ,‬לכן יש להמנע מצריכת בשר‪ ,‬עוף וחלמון הביצה‪.‬‬
‫י‪ .‬בדגים יש אומגה ‪ 3‬ביחס גבוה לעומת האומגה ‪ 6‬כמו בשמן הפשתן ולעיתים אף יותר מכך‪ ,‬יחד עם‬
‫זאת‪ ,‬מצאתי מאמרים המציינים קיומו של ‪ 5-HETE‬גם בדגים‪ ,‬מאחר ונושא זה חשוב ביותר‪ ,‬החלטתי‬
‫לצרוך דגים רזים במיוחד‪ ,‬כמו סטק טונה‪ ,‬סול וקוד‪ ,‬כך שגם אם יש בהם ‪ 5-HETE‬הרי שהוא בכמות‬
‫מזערית בלבד‪ .‬בטונה יש בסה"כ ‪ 0.8%‬שומן וכנ"ל בסול‪ ,‬הסלמון שמן יותר כ ‪ 14%‬שומן ועל כן אני‬
‫אוכל ממנו לעיתים נדירות ביותר‪ .‬אני רואה חשיבות רבה לאכילת דגים כמקור חשוב לחלבון‪ .‬בניגוד‬
‫למחשבה המקובלת אפשר גם לאכול שרימפס‪ ,‬שהינם דלים ביותר בשומן‪ ,‬בתנאי שאין הם מוכנים‬
‫בשמן‪.‬‬
‫יא‪.‬פירות אפשר לאכול בכמות מוגבלת וכאלה שהינם בעלי עומס גליקמי נמוך‪ ,‬למזלנו יש הרבה מאד‬
‫פירות נפוצים שהינם בעלי עומס גליקמי נמוך בתנאי שאינך אוכל כמויות גדולות מהם‪ .‬מהפירות הנפוצים‬
‫בעלי אינדקס גליקמי גבוה ישנו האבטיח‪ ,‬המלון‪ ,‬אננס‪ ,‬ענבים‪ ,‬אולם‪ ,‬אם נסתכל על העומס הגליקמי‬
‫שלהם נראה שלגבי רוב הפירות הנפוצים בארץ‪ ,‬קיים שגם אכילה של ‪ 200‬גרם מהם לא תביא אותנו‬
‫לחריגה מעל עומס גליקמי נמוך‪ .‬נזכיר שעומס גליקמי ‪ 0-10‬נחשב כנמוך‪ 10-20 ,‬נחשב כבינוני‪ ,‬מעל ‪20‬‬
‫נחשב גבוה‪ .‬המסקנה הינה שניתן לאכול ללא בעיה כשני פירות ביום‪ ,‬ואילו מאותם פירות שמשקל כל‬
‫אחד מהם קטן כמו ענבים‪ ,‬תאנים‪ ,‬או מאלה שאנו אוכלים פלחים כגון‪ :‬אבטיח‪ ,‬מלון‪ ,‬אננס‪ ,‬יש להסתפק‬
‫במקסימום ‪ 200‬גרם ליום‪ ,‬יש להשתדל להמעיט בענבים או תאנים‪ ,‬יש להמנע מאכילת אבוקדו‪.‬‬
‫יב‪ .‬ניתן למצוא ללא בעיות גבינת סקי ‪ 1/2%‬ויוגורט ‪ 0%‬או חלב המכיל פחות מ ‪ 2%‬שומן‪.‬‬
‫יג‪ .‬ניתן לאכול את כל הירקות ללא הגבלה‪.‬‬
‫יד‪ .‬מירב המתוקים‪ ,‬גלידה‪ ,‬שוקולד‪ ,‬והמאפים המתוקים והמלוחים למיניהם כגון‪ :‬עוגות‪ ,‬וופלים‪,‬‬
‫ביסקוויטים וכעכים למיניהם‪ ,‬הינם בעלי אחוז שומן גבוה מאד‪ ,‬ולפיכך יש להמנע מהם‪ .‬נבהיר שהסיבה‬
‫העיקרית להמנעות איננה הסוכר אלא השומן‪ ,‬ניתן לצרוך סוגי סורבט‪ ,‬מהם ניתן למצוא מגוון רחב עם‬
‫אחוזי שומן נמוכים מ ‪. 2%‬‬
‫טו‪.‬ניתן כיום למצוא ללא קושי לחמים ופיתות המכילים פחות מ ‪ 2%‬שומן ואף פחות מ ‪ 1%‬וכן פסטות‬
‫ואיטריות בהתאם‪.‬‬
‫האם הדיאטה שבנינו איננה אשלייה?‬
‫‪ .48‬נושא זה חשוב ביותר בעיני ‪ ,‬מפני שברור שהגוף יודע להפוך חלבונים‪ ,‬סוכר‪ ,‬ופחמימות לשומנים‪.‬‬
‫לכן טבעי שתעלה השאלה האם הקטנת השומנים במזון אכן תעזור למטרתנו ? שהרי ברור שאת מקומם‬
‫של השומנים החסרים יתפסו אבות מזון אחרים‪ ,‬וברור שנוכח ההמנעות מבשר ומעוף‪ ,‬הפחממות הן‬
‫שתתפוסנה את מקום השומנים‪ ,‬אבל עודף פחממות נהפך לשומנים‪ ,‬אז אולי איננו משיגים את מטרתנו?‬
‫בתחילת הדיאטה בניתי תפריט מפורט בהתאם לרעיון המרכזי ובדקתי את ההרכב התזונתי של הדיאטה‬
‫והתוצאה שקבלתי היתה כלהלן‪:‬‬
‫‪56‬‬
‫טבלה‪7-‬‬
‫אבות המזון‬
‫שומנים‬
‫כמות יומית בגרמים‬
‫‪45‬‬
‫כמות קלוריות יומית‬
‫‪405‬‬
‫‪ %‬הקלוריות היומי‬
‫‪20.2‬‬
‫חלבון‬
‫‪100‬‬
‫‪400‬‬
‫‪20‬‬
‫פחמימות‬
‫‪300‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪59.8‬‬
‫‪2005‬‬
‫‪100‬‬
‫סה"כ‬
‫בתחילת הדיאטה אכלתי כ ‪ 1800‬קלוריות ליום‪ ,‬ויחד עם פעילות גופנית ירדתי במהלך של כשנה כ ‪15‬‬
‫ק"ג‪ ,‬ירידה זאת היתה ברובה בשומנים שירדו מאיזור המתניים‪ .‬כלומר ברור ממבט מלמעלה‪,‬‬
‫שהדיאטה השיגה את מטרתה‪ ,‬דבר שבא גם לידי ביטוי בהאטה ניכרת בקצב גידול ה ‪ ,Psa‬כאשר‬
‫התוצאה בפועל הייתה הארכה ניכרת בזמן הכפלת ה ‪ Psa‬מחודש לכ‪ 5.1 -‬חודשים‪ .‬אולם נשאלת‬
‫השאלה מה קורה לאחר התייצבות המשקל? בהחלט ייתכן שבחיי היום יום היו סטיות לכאן או לכאן‬
‫במשקל‪ ,‬כשבפרק זמן מסוים עליתי בקילו או שניים ולאחר שהקפדתי קצת יותר ירדתי בחזרה‪ ,‬מצב כזה‬
‫הינו טבעי ביותר וכאן עולה השאלה מהו סוג השומן שאנו צוברים בעקבות המרת הסוכרים לשומנים?‬
‫אולי יש בתוכו גם אומגה ‪ 6‬שבחלקה כוללת גם חומצה ארכידונית? ברור שאם נשמור על משקל יציב לא‬
‫תהיינה בעיות‪ ,‬אך אנו יכולים לפתור את הבעייה בפשטות אם נזכור את מטרות הדיאטה‪ ,‬שהחלק‬
‫העיקרי בה הינו‪ ,‬לא לצרוך שומן מסוג אומגה ‪ .6‬במאמר שפורסם ע"י ד"ר ריי פיט )‪ (6‬הוא אומר כלהלן‪:‬‬
‫" כאשר סוכר) או עמילן ( הופך לשומן‪ ,‬השומן יהיה או רווי או אחד השומנים החד בלתי רוויים מסדרת‬
‫אומגה‪ .(.8) (.7) 9-‬נדגיש שאף אחד מהם לא שייך לסדרה אומגה ‪ ,6‬ממנה ברצוננו להמנע‪ .‬מהאמור‬
‫לעיל עולה בבירור שהדיאטה הנ"ל ומטרותיה הנן ברות ביצוע ‪ .‬יותר מכך‪ ,‬עולה גם בבירור שהחלק‬
‫החשוב בדיאטה הינו ההמנעות משומנים ואם כתוצאה מכך אנו אוכלים יותר פחמימות אזי המחיר כדאי‪.‬‬
‫בכל מקרה אני נוהג להוסיף לכל ארוחה‪ ,‬כ‪ 10-‬גרם שמן פשתן‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫פרק ‪ -6‬שלוב הדיאטה והרפואה המודרנית‬
‫‪.49‬זהו פרק קצר ואני מגדיר אותו כפרק על מנת להצביע על החשיבות שאני מקנה לנושא‪ .‬אמנם עד‬
‫כה לא הזכרתי כלל את הרפואה המודרנית‪ ,‬לא דנתי באמצעי הגילוי השונים ולא בסוגים השונים של‬
‫הטיפולים‪ .‬לא עשיתי זאת‪ ,‬לא מפני שאני חושב שאין זה חשוב‪ ,‬או שאני מזלזל בחשיבות של מה‬
‫שיכולה הרפואה המודרנית לעשות‪ ,‬ההיפך הוא הנכון‪ .‬לא עשיתי זאת‪ ,‬קודם‪ ,‬מפני שחשבתי‪ ,‬שאם‬
‫אעשה זאת לפני שאציג את מה שהוצג עד כה‪ ,‬דברי לא יובנו כראוי‪ ,‬ולא יוערך כראוי המשקל האמיתי‪,‬‬
‫שאני חושב שיש לרופאים ולרפואה המודרנית‪ ,‬ומי שיפגע מכך יהיו החולים‪ .‬חושבני שעתה הגיע הזמן‬
‫לדבר על כך‪ ,‬מאחר ויש מספיק אינפורמציה על מהותה של העבודה המוצגת פה‪ ,‬אינפורמציה שתאפשר‬
‫להבין נכונה את מה שאומר‪.‬‬
‫א‪ .‬הרופא הוא האדם הראשון המבשר לחולה את עובדת היותו חולה סרטן‪ ,‬ממנו הוא שואב את‬
‫האינפורמציה הראשונית‪ ,‬ממנו הוא מקבל המלצות מה לעשות‪ .‬לאורך כל העבודה בולטת החשיבות של‬
‫התחלת הדיאטה מוקדם ככל האפשר לכן‪ ,‬לא משנה מה החולה והרופא יחליטו לעשות בסופו של דבר‪,‬‬
‫הדבר הראשון שהרופא צריך לעשות‪ ,‬זה להמליץ בפני החולה על הדיאטה האמורה‪ ,‬העשויה להציל את‬
‫חייו ולא יכולה לגרום שום נזק משום כוון לחולה‪ .‬בשום פנים ואופן אסור לרופא להמליץ על כך בנוסח "‬
‫אם לא יועיל אז לפחות זה לא יזיק" ‪ .‬נוסח כזה משדר לחולה‪" :‬אני הרופא‪ ,‬לא מאמין בזה‪ ".‬הדיאטה‬
‫בסופו של דבר קלה לביצוע מבחינה מעשית‪ ,‬מאחר וברור לחולה‪ ,‬ללא שום קושי‪ ,‬מה מותר ומה אסור‬
‫והוא לא צריך לזכור טבלאות ומספרים‪ .‬בדיאטה זו מוותרים על כמה מזונות טעימים ולכאורה היא קשה‬
‫לביצוע‪ ,‬אך מתוך ניסיוני האישי‪ ,‬הקושי אינו גדול מידי‪ .‬חובתו של הרופא להסביר לחולה היטב את‬
‫האלטרנטיבות העומדות לפניו‪ ,‬משהו שצריך להיות בנוסח‪" :‬יש לך אפשרות ללכת בדרך הקונבנציונלית‪,‬‬
‫ומה שצפוי לך זה ‪ 5-3‬שנות חיים‪ ,‬מתוכם כך וכך שנים עם טיפולים הורמונליים‪ ,‬על כל תופעות הלווי‬
‫שלהן‪ ,‬וכך וכך זמן עם טיפולים כימותרפיים‪ ,‬הקשים מנשוא‪ ,‬חרדות מפני המוות‪ ,‬קשיים בחיק המשפחה‬
‫ועוד‪ ,‬אולם אם תלך בדרך המומלצת‪ ,‬מה שצפוי לך זה לפחות ‪ 25‬שנות חיים‪ ,‬בתנאי בריאות נפשית‬
‫וגופנית טובים‪ ,‬ללא חרדות מפני המוות‪ ,‬ללא לחצים ופחדים בקרב המשפחה‪ ,‬והדבר תלוי אך ורק בך‪".‬‬
‫ב‪ .‬לרוב הרופאים קשה לבשר לחולה את הבשורה המרה‪ ,‬ולא תמיד הם נותנים לחולה את מלוא‬
‫האינפורמציה על מחלתו ועל הצפוי לו ‪,‬והם מנסים לרכך את הבשורה הקשה‪ .‬הריכוך נעשה בדרך כלל‬
‫על ידי כך שלא אומרים את מלוא האמת‪ ,‬ולעיתים קרובות החולה יוצא מבלי שהוא מרגיש באמת את‬
‫חומרת מצבו‪ ,‬ועד שהוא מבין זאת עובר הרבה מאוד זמן‪ ,‬שלעיתים הוא לא יסולא בפז‪ .‬כדוגמא אקח‬
‫אותי‪ ,‬שנתנו לי טיפול הורמונלי במשך שנה‪ ,‬אולם רק אחרי כשנתיים וחצי נודע לי שטיפול הורמונלי לא‬
‫יכול לרפא סרטן ערמונית‪ .‬עם שילובה של הדיאטה‪ ,‬יכול הרופא להסביר לחולה ללא חשש‪ ,‬וללא כל‬
‫עכבות‪ ,‬את המצב האמיתי ללא הדיאטה‪ ,‬מאחר והוא נותן לו תקווה באמצעות הדיאטה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בשום פנים ואופן אין לתת לחולה את ההרגשה שהוא יכול להסתפק בדיאטה מאחר והדבר איננו נכון‪,‬‬
‫השילוב הנכון הוא הדיאטה יחד עם הרפואה המודרנית על כל הכלים העומדים לרשותה‪ .‬אנו מסבירים‬
‫בעבודה ‪ ,‬מצב של שלוב בין דיאטה לפיטואסטרוגן‪ ,‬ברור לי שהרופא לא יוכל להמליץ על ה ‪ Q-P‬וחבל‪,‬‬
‫אבל בהחלט הוא יוכל להמליץ על קסודקס ולא להמליץ על סופרפקט או זולדקס ‪ ,‬בנוסף לכך ישנן‬
‫פעולות שיש להם תרומה סינרגטית עצומה‪ .‬כדוגמה ניקח את המצב שבו חולה‪ ,‬לאחר ניתוח רדיקלי‪,‬‬
‫נקט בדיאטה לאורך שנים נאמר ‪ 10‬שנים‪ ,‬ושמר על רמה נמוכה של ‪ ,Psa‬ונניח שבמשך הזמן‪ ,‬היתה‬
‫חזרה מקומית של הסרטן ובשלב זה הוא מבצע הקרנות‪ ,‬נניח אפילו שההקרנות לא יצליחו לרסן את‬
‫המחלה‪ ,‬אולם אם ההקרנות יפגעו בצורה ניכרת בכלי הדם המובילים את המזון אל הסרטן‪ ,‬הרי שזה‬
‫יכול להחזיר את החולה אחורה ‪ 10‬שנים‪ ,‬בעוד שההקרנה לבד לא היתה נותנת לו את אותם ‪ 10‬שנים‬
‫ולדוגמה במקרה שלי ההקרנות לבד היו תורמות לי לכל היותר כ ‪ 8‬חודשים‪ .‬כלומר התרומה המשולבת‬
‫של הדיאטה ושל הטיפול הרפואי נותנת יותר מאשר הסכום של פעולותיהן הנפרדות‪ .‬הרופא מייעץ‬
‫לחולה על אמצעי הגילוי והבדיקה הקיימים‪ ,‬על אמצעי הטיפול הכירורגיים הקיימים המאפשרים התחלת‬
‫הדיאטה ממצב טוב בהרבה‪ .‬ישנן פעולות כירורגיות שנעשות ויכולות להעשות גם אחרי הקרנות‪ ,‬אם‬
‫ההקרנות לא מצליחות‪ ,‬כגון טיפול קריאופטי‪ ,‬או ‪ .HIFU‬הרופא הוא זה הנותן לחולה הפניות לבדיקות‪,‬‬
‫המאפשרות לו לעקוב אחר מצבו ולדעת כיצד עשייתו מתקדמת‪ ,‬הרופא הוא זה העוקב אחר החולה‬
‫‪58‬‬
‫ובודק את מצבו‪ .‬בעבודה זו נוכחתי בחשיבות הרבה שיש לביצוע בדיקות ‪ Psa‬אחת לחודש‪ ,‬ללא בדיקות‬
‫אלה לא הייתי יכול לדעת מה מצבי‪ ,‬ולא הייתי יכול לבצע שום חישוב ראוי‪.‬‬
‫ד‪ .‬לסיכום אומר‪ ,‬שללא הכרה של הרפואה הקונבנציונלית בעבודה זו‪ ,‬ושילובה כחלק מסטנדרט מחייב‪,‬‬
‫וכחלק עיקרי של הנוהל הרפואי‪ ,‬אין סיכויים רבים שהגילויים החשובים הנמצאים בעבודה זו יגיעו אל‬
‫החולים‪ ,‬ויצילו אותם ממוות טרם זמן‪ ,‬וגם ימנעו מהם סבל מיותר‪ ,‬הנובע מהטיפולים הקיימים‪ ,‬ימנע‬
‫מהם וממשפחתם הוצאות מיותרות‪ ,‬ופחדים מפני המוות ‪ .‬אציין שאני מרגיש צער עמוק כל פעם שאני‬
‫שומע על מישהו שמת מסרטן‪ ,‬ואומר לעצמי "עוד אדם שלא היה צריך למות ומת"‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪-7‬נוסחת החסם העליון המורחב‬
‫)‪(7.0‬‬
‫‪ .50‬בנוסחה )‪ (3.22‬ראינו‬
‫כאשר ‪ S‬הוא גורם המבטא את כמות תאי הסרטן המכסימלית היכולה להבנות ביחידת זמן‪ .‬אם נניח‬
‫שקיים תהליך רציף של אנג'יוג'נסיס‪ ,‬כל עוד אין אנו משתמשים בהורמונים‪ ,‬הרי כמות המזון המסופקת‬
‫)‪(7.0.1‬‬
‫ביחידת זמן הולכת וגדלה‪ ,‬לכן ניתן לרשום‬
‫כאשר )‪ S(t‬זוהי כמות תאי הסרטן המכסימלית היכולה להבנות ביחידת זמן כפונקציה של הזמן ‪.t‬‬
‫הנחתנו הינה ש )‪ S(t‬גדל באחוז קבוע ביחידת זמן כלומר עולה אקספוננציאלית‪ .‬להנחה זו יש בסיס‬
‫הגיוני כלהלן‪ :‬על פי הגדרתה המילולית )‪ S(t‬דומה להגדרה של הנגזרת של )‪ N(t‬ונוסחה )‪(7.0.1‬‬
‫מראה זאת גם בצורה המתמטית‪ ,‬אנו יודעים שבמצב שיווי משקל )‪ N(t‬עולה אקספוננציאלית וכך גם‬
‫)כאשר ‪ S‬הינו אותו ‪S‬‬
‫הנגזרת שלה‪ .‬אנו דנים בנושא זה בהרחבה בפרק ‪ .9‬אם נסמן‬
‫שמצאנו בעבר( נוכל לרשום‬
‫)‪(7.1‬‬
‫נוציא אינטגרל ונקבל‬
‫)‪(7.2‬‬
‫או‬
‫)‪(7.3‬‬
‫)‪(7.4‬‬
‫ונקבל‬
‫נציב‬
‫זוהי נוסחת החסם העליון המורחב‪ ,‬והיא יחד עם נוסחת הפיטואסטרוגן‪ ,‬הן הנוסחאות החשובות לצורך‬
‫הערכת תוחלת החיים הצפויה‪ .‬אנו יכולים להציג את נוסחה )‪ (7.4‬כשוויון ע"י זה שנכפיל את צד ימין‬
‫בגורם שנסמן בתור ‪ m‬ונבצע נתוח רגישות על ‪ m‬ברור לחלוטין ש‪ ‬אחרת צד ימין של )‪ (7.4‬לא‬
‫היה חסם‪ .‬בהתבסס על שני הערכים הממוצעים של ‪ S‬שמצאנו עבור שתי התקופות הראשונות‬
‫‪ 0.00492‬ו ‪ 0.0054‬נקבע את ‪ S‬שרירותית כ ‪ 0.005‬בידיעה שבתחילת הדיאטה הוא היה אף נמוך‬
‫מזה‪ ,‬ובידיעה שבכך אנו פועלים לרעת החישובים של אריכות הימים‪ .‬את ‪ ‬מצאנו בנוסחה )‪ (4.0.1‬שם‬
‫קבלנו‬
‫בסעיף ‪ .31‬מצאנו שבשנה הראשונה התקדם הסרטן בקצב שהינו בערך ‪ 45%‬מהחסם הליניארי‪ ,‬כלומר‬
‫בשנה הראשונה היה ‪ m=0.45‬אנו נבצע ניתוח רגישות לגבי הפרמטרים ‪ m‬ו ‪ ‬כאשר נעביר את ‪m‬‬
‫דרך מספר ערכים עד הערך המכסימלי ‪ m=1‬וכן נבדוק את התוצאות כאשר אנו מגדילים את ‪ ‬ב‪. 50%‬‬
‫ערכו של )‪ N(0‬הוא הערך של ה ‪ ,Psa‬כפי שהוא נמדד בפועל‪ ,‬בתחילת הדיאטה‪.‬‬
‫‪.51‬‬
‫כתוצאה מהכנסת הפרמטר ‪ m‬אנו מקבלים במקום האישוויון )‪ (7.4‬את השיוויון הבא‪:‬‬
‫)‪(7.6‬‬
‫‪60‬‬
‫שרטוט‪19-‬‬
‫אנו רואים בתוך השרטוט‪ ,‬טבלה עם הקואורדינטות של ‪ 4‬הנקודות האדומות‪ ,‬הנמצאות על הגרפים‬
‫השונים‪ ,‬הנקודה הראשונה )‪ (1888 , 8.04‬נמצאת על הגרף הכחול ופרושו שעל פי גרף זה נקבל‬
‫‪ ,p=8.04‬לאחר ‪ 1888‬יום‪ ,‬שזה ‪ 62.1‬חודשים‪ ,‬ובסעיף ‪ .35‬ראה נוסחה )‪ (4.1.2‬והמשכה מצאנו‬
‫שבמועד זה שקבלנו ‪ ,p=8.04‬כעבור ‪ 63‬חודש כלומר שתי שיטות החישוב נתנו לנו תוצאה דומה מאד ‪.‬‬
‫אם נסתכל על הנקודה השניה שבטבלה לעיל‪ ,‬הנקודה )‪ (7242 , 200.05‬נמצאת גם היא על הגרף‬
‫הכחול ופרושו שנקבל ‪ p=200.05‬לאחר ‪ 7242‬יום שזה ‪ 238.2‬חודש לעומת ‪ 239.5‬כפי שמצאנו‬
‫בנוסחה‪ (4.4.1) :‬הבדלים פעוטים לאורך תקופה כה ארוכה‪ ,‬כלומר גם פה קבלנו את תוצאה דומה בשתי‬
‫שיטות החישוב‪.‬‬
‫הגרף כחול הוא הגרף שחושב על פי החסם המכסימלי והנתונים שלו הם אלה שהשתמשנו בהם‬
‫בחישובים הקודמים‪.‬‬
‫הגרף הירוק נבנה על ההנחה שהגידול הממוצע יהיה לפי ‪ 50%‬של החסם העליון ואילו הגרף הסגול‬
‫נבנה על פי ההנחה שהגידול הממוצע לאורך כל התקופה יהיה לפי ‪ 45%‬מהחסם כפי שמצאנו במציאות‬
‫בשנה הראשונה )ראה שרטוט‪ 13-‬וסעיף ‪ .(.31‬אנו רואים שכל המסקנות שהגענו אליהן ורכזנו בטבלה‪6-‬‬
‫סעיף ‪ 39‬הגענו אליהן מחדש בדרך החישוב שפה‪ .‬נשאלת השאלה למה לקחת בכלל נתון קיצוני של‬
‫‪ m=1‬בזמן שמה שפגשנו היה כ ‪ ? m=0.45‬הסיבה הינה פשוטה ההוכחה כיצד מתפתח הפרמטר ‪m‬‬
‫בצורה מדויקת במשך השנים איננה פשוטה ומכיון שקבלנו תוצאות מצוינות גם תחת ההנחה הקשה‬
‫ביותר לא ראינו צורך להכנס לכך‪ ,‬והנושא פתוח למי שירצה להכנס לכך‪ .‬אנו הוכחנו בפרק ‪ 9‬שבסופו של‬
‫דבר בטווח הארוך אנו מגיעים לערך ‪ m=1‬יחד עם זאת ההנחה שקצב הגידול החודשי יהיה שווה לחסם‬
‫העליון לאורך כל התקופה היא בוודאות מוגזמת‪ ,‬מאחר שהוכח שבשנים הראשונות לפחות‪ ,‬הוא גדל‬
‫בקצב הרבה יותר נמוך מאשר המקסימום‪ .‬לכן אנו יכולים לאמר בוודאות שהגרף האמיתי נע איפשהו בין‬
‫הגרף הסגול לגרף הכחול‪ .‬על כל פנים העובדה שבחלק מהזמן הסרטן מתקדם פחות מהחסם‬
‫המקסימלי‪ ,‬אומרת שאורך החיים הצפוי גבוה ממה שמצאנו‪ .‬אנו רואים מתוך טבלה‪ 1-‬שלאחר שנה‬
‫עמדנו בפועל על ‪ p=0.47‬אם נעשה חישוב על פי הגרף הכחול נקבל שהיינו מגיעים עליו ל ‪p=0.47‬‬
‫לאחר ‪ 165‬יום בעוד שבמציאות עשינו זאת ב ‪ 202‬יום יותר שזה כ ‪ 6.65‬חודש כלומר אנו רואים‬
‫שאריכות הימים האמיתית הינה לפחות גבוהה בעוד ‪ 6.6‬חודשים‪ ,‬עובדה זו מבהירה לנו את משקלה‬
‫הגדול של עובדת קיום נוסחת החסם הממוצע בשנים הראשונות‪ ,‬על בסיס שרטוט‪ 13-‬אם ה‪ Psa‬היה‬
‫עולה בשנה השניה באותו קצב כמו בראשונה‪ ,‬הרי היה ‪ p=0.9‬לכן אם נניח ש ‪ p‬היה מגיע ל ‪ 1.2‬בתום‬
‫‪61‬‬
‫השנה השניה הרי זו הגזמה לרעה‪ .‬חישוב על פי הגרף הכחול אומר שהיינו מגיעים לכך לאחר ‪ 416‬יום‬
‫בעוד שבפועל צפוי שהיינו מגיעים לכך אחרי למעלה משנתיים‪ ,‬כלומר היינו מרוויחים כאן כ ‪ 314‬יום שזה‬
‫בערך ‪ 10.32‬חודש‪ .‬הדבר מראה שאנו יכולים להוסיף מינימום לפחות עוד שנה לאריכות הימים בגלל‬
‫נושא זה‪ .‬משרטוט‪ 20-‬עולה שההפרש המכסימלי יכול להגיע לכ ‪ 4.1‬שנה‪ ,‬אך אין לצפות שזה יהיה‬
‫במציאות‪ ,‬הגרף האמיתי יתחיל בנקודת ההתחלה של כל הגרפים ויסתיים איפשהו בין הגרף הסגול‬
‫לכחול‪ ,‬כאשר סביר שהוא יתקרב יותר לכחול‪ .‬לצורך הערכה מינימלית של התוצאות בניתי גרף שבו‬
‫העליה בשנה הראשונה היא לפי ‪ m=0.45‬כפי שהיה בפועל‪ ,‬בשנה השנייה לפי ‪ ,m=0.6‬בשנה‬
‫השלישית לפי ‪ m=0.8‬ומסוף השנה השלישית ואילך ‪ ,m=1‬להלן השרטוט‬
‫‪:‬שרטוט – ‪20‬‬
‫הגרף המעורב הינו הגרף שרובו חום ואנו רואים שהוא מגיע ל ‪ p=200‬אחרי ‪ 7571‬יום שזה‬
‫שנה ותוספת של ‪ 329‬יום לעומת החסם העליון‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪20.74‬‬
‫‪.52‬בוצע ניתוח רגישות של התוצאות לשינויים ב ‪ ,‬והשרטוט הבא המציג את התוצאות‪:‬‬
‫שרטוט ‪21 -‬‬
‫‪‬‬
‫בשרטוט זה אנו רואים את הגרפים הרציפים המקוריים כמופיע ב שרטוט‪ , 19-‬ולידם הגרפים המקווקוים‬
‫ב‪ , 50% -‬הכחול‬
‫הנותנים את התוצאות כאשר הגדלנו את קצב הגידול היומי של כלי הדם המזינים‬
‫המקווקו מתאים לכחול הרציף וכך הלאה‪ .‬בטבלה שבצד שמאל למטה בשרטוט‪ ,‬אנו רואים את‬
‫הקואורדינטות של נקודות החיתוך של הגרפים השונים עם הקו ‪ ,‬ואנו רואים שבמקרה הקיצוני‬
‫ביותר שהנחנו לגבין ‪ , ‬וגם ‪ ‬גדול ב‪ 50%‬לעומת מה שמצאנו בפועל ‪ ,‬אנו מגיעים ללא שמוש‬
‫בהורמונים ל ‪ 5340‬יום שזה ‪ 14.63‬שנים ‪.‬‬
‫להלן טבלה המרכזת את התוצאות‪:‬‬
‫טבלה‪8-‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.5X‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב שאלה הן התוצאות בשנים‪ .‬קיימת גם תרומה של הטיפול לסירוגין‪ ,‬שע"פ החישוב בסעיף ‪.37‬‬
‫תרם עוד ‪ 43.5‬חודשים‪ .‬אנו נעזר בפונקצית הגרף הכחול המקווקו על מנת לחשב את תרומת הטיפול‬
‫ההורמונלי ) ‪ . (Q-P‬אנו יודעים שאנו יכולים לעשות לפחות ‪ 12‬טיפולים בני חודשיים כל אחד‪ ,‬כשבכל‬
‫טיפול אנו יורדים ל ‪ p=2.04‬ואח"כ ממשיכים ללא הורמונים שוב ל‪ ,p=8.04‬פרק הזמן שבו ימשך‬
‫תהליך זה הוא הזמן שיעבור עד שעל פי הגרף נגיע ל ‪ p=8.04+12x6=80.04‬זמן שימשך ‪ 4190‬יום‪,‬‬
‫לאחר מכן אנו צריכים לבדוק כמה זמן תמשך העלייה ללא הורמונים מ ‪ 8.04‬ל ‪ 200‬שזה אקווילנטי‬
‫לעלייה על פני הגרף הנ"ל מ ‪ p=80.04‬ל ‪) p=80.04+191.96=272‬אנו עושים זאת כי צמיחת ה ‪Psa‬‬
‫כעת יותר מהירה‪ ,‬בעקבות צמיחת כלי הדם במשך ה ‪ 4190‬הימים הראשונים( ואנו מקבלים שסה"כ‬
‫עוברים ‪ 5722‬יום כלומר כ ‪ 15.68‬שנה ובצרוף השנתיים של הטיפול ההורמונלי אנו מגיעים לפחות ל‬
‫‪63‬‬
‫‪ ‬שזה תוספת של כ ‪ 37‬חודש שזו התרומה של הטיפול ההורמונלי‪ .‬לא הבאנו בחשבון שטיפול‬
‫כימותרפי בצרוף הדיאטה יכולים להוסיף זמן נכבד נוסף‪ .‬התוצאות הן מרשימות ביותר על אף כל‬
‫ההנחות הקשות שאנו מניחים תמיד לרעת החישובים‪ .‬להלן טבלה המביאה בחשבון תוספת של ‪37‬‬
‫חודש בלבד כתרומת הטיפול ההורמונלי עבור המקרה בו ‪ ‬גדול ב‪ 50%‬לעומת מה שמצאנו בפועל‪,‬‬
‫ותוספת של ‪ 43.5‬חודש עבור ה ‪ ‬שמצאנו בפועל‪ .‬אנו צריכים להביא בחשבון תוספת של כ‪ ‬חודש על‬
‫בסיס העובדה שבשנים הראשונות ה‪ Psa-‬לא עולה על פי החסם העליון‪ ,‬כמוסבר בסוף סעיף ‪.51‬‬
‫טבלה‪8.1-‬‬
‫אריכות ימים בשנים –ניתוח רגישות לגבי רמת האנג'יוג'נסיס‪-‬כולל תרומת טיפול הורמונלי אינטרמיטנטי‬
‫‪‬‬
‫‪m=1 ,X‬‬
‫‪m=1 , ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שנים‪‬‬
‫שנים‪‬‬
‫חישוב ללא טיפול הורמונלי‬
‫תרומת טפול הורמונלי‪‬‬
‫תרומה של עליה לא לפי החסם‬
‫בשנים ראשונות‪‬‬
‫סה"כ אריכות ימים בשנים‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.90‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪* ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.53‬מהן התוצאות הסבירות ביותר‪ ,‬מבין התוצאות הללו?‬
‫א‪ .‬ברור שמבחינת משקלה וחשיבותה של העבודה הזו‪ ,‬כל תוצאה‪ ,‬גם הנמוכה שבהן היא מהפכנית‬
‫בצורה לא רגילה לעומת הפרוגנוזות העכשוויות של אריכות הימים‪ ,‬וגם התוצאה הנמוכה ביותר מצביעה‬
‫על חשיבותה של עבודה זו‪ .‬עם זאת‪ ,‬ברצוני להראות ולנמק מהי התוצאה הסבירה בעיני‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההיגיון אומר שחייב להיות קשר בין רמת האגרסיביות וקצב הגידול של כלי הדם המזינים ואכן נמצא‬
‫קשר כזה עליו אדבר ביתר פרוט בהמשך‪ ,‬המצביע על כך שהאנג'יוג'נין החומר שמפריש הסרטן והגורם‬
‫לצמיחת כלי הדם המזינים‪ ,‬גורם ישירות לפרוליפרציה של הסרטן ע"י חדירה לתוך התא ויצירת‬
‫ההשפעה הרצויה לו‪ .‬מצד שני קיימת גם עובדה נוספת‪ ,‬שהאנג'יוסטטין שגם אותו מפריש הסרטן שהינו‬
‫הגורם להאטת הצמיחה של כלי הדם המזינים‪ ,‬גורם גם לאפופטוזיס )סימוכין ‪ .(.38 .37 .36‬ידוע לנו‬
‫כבר והוכחנו לפחות ב ‪ 4‬שלבים שנמדדו‪ 2 ,‬לפני ההקרנות ו ‪ 2‬אחריהם‪ ,‬וגם תאורטית‪ ,‬שהסרטן מוריד‬
‫את האגרסיביות שלו במגמה לאפשר המשך צמיחה שלו והוא עושה זאת באופן מידי ומהיר‪ .‬מסתבר‬
‫שהאנג'יוסטטין והאנג'יוג'נין הם שני חומרים שבעזרתם הסרטן יכול לשלוט על רמת האגרסיביות שלו‪,‬‬
‫אם לצורך הורדת רמת האגרסיביות הוא יפריש פחות אנג'יוג'נין הרי שבו זמנית הוא גורם להקטנת‬
‫צמיחת כלי הדם‪ ,‬או אם לחילופין או במקביל הוא מגדיל את הפרשת האנג'יוסטטין הרי שהוא גורם‬
‫לאפופטוזיס דבר שמוריד את האגרסיביות אך בו זמנית גם מונע את צמיחת כלי הדם‪ .‬מכיוון שהסרטן‬
‫מוריד אגרסיביות‪ ,‬סביר שקצב הגידול של כלי הדם המזינים ילך ויקטן עם הזמן‪ .‬לכן ניתוח הרגישות לפיו‬
‫הגדלנו את ‪ ‬איננו רלוונטי וכפי הנראה היינו צריכים להקטין את ‪ .‬מסתבר שהתוצאה צריכה להיות‬
‫אפילו יותר טובה מאשר העמודה השנייה‪ ,‬העמודה בה ‪ . ‬איננו יודעים באמת מהו‬
‫האמצעי שבעזרתו מוריד הסרטן את האגרסיביות‪ ,‬אולם גם אם יסתבר שאין קשר בין האנג'יוסטטין‬
‫והאנג'יוג'נין לירידת האגרסיביות‪ ,‬עדיין ההיגיון אומר שצריך להיות קשר בין ירידת אגרסיביות וירידת‬
‫קצב צמיחת כלי הדם‪.‬‬
‫ג‪ .‬מאחר ובסופו של דבר הסרטן מגיע למצב שווי משקל‪ ) ,‬גם על כך אדבר בהמשך( שבו הסרטן וכלי‬
‫הדם המזינים צומחים באותו הקצב‪ ,‬אך‪‬ברמה הרבה יותר נמוכה מרמת האגרסיביות ההתחלתית‪,‬‬
‫ומכיוון שקצב גידול המזון המסופק לסרטן מתאים בדיוק לקצב הגידול שלו‪ ,‬הרי שלא תהיה לנו תופעת‬
‫העצירה‪ ,‬ע"י אסימפטוטה‪ ,‬כפי שהייתה בשלבים הראשונים‪ ,‬לכן בשלב מסוים יתקיים ‪ m=1‬והוא יתקיים‬
‫מאותו רגע ואילך‪ ,‬אבל כפי שברור לנו‪ ,‬הוא לא יתקיים לאורך כל התקופה‪ .‬לכן הבאנו בחשבון תוספת‬
‫של שנה לאריכות הימים על בסיס החישוב בסעיף ‪ .51‬לכן התוצאה הסבירה בעיננו היא זו המסומנות ב‬
‫‪64‬‬
‫* כלומר משהו בסביבות ‪ 24‬שנה וזאת ללא טיפול כימותרפי‪ .‬וזאת מבלי להביא בחשבון את ההערות‬
‫בסעיף ‪ .38‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ה'‪ ,‬שלהערכתי נותנות לנו שולי בטחון של עוד כ ‪ 6‬שנים‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪—8‬השפעת ה‪QUERCETIN PLUS -‬‬
‫נוגע לחולי סרטן ערמונית‬
‫מבוא‬
‫‪ .54‬עד כה טיפלנו בחלק הארוך של שיני המסור‪ ,‬כלומר בשלב בו גדל הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ ,‬כעת נעבור לטפל‬
‫בשלב הקצר של שיני המסור השלב בו אנחנו צריכים להוריד את רמת הפי‪.‬אס‪.‬אי במהירות תוך פרק זמן‬
‫קצר‪ .‬הנושא שעורר בי את התקווה הגדולה היה נושא הפיטואסטרוגנים‪ .‬במהלך חיפושי נתקלתי ב ‪PC-‬‬
‫‪ SPES‬שעורר בי תקוות רבות‪ .‬ה ‪ PC-SPES‬היה קומבינציה של תוצרי ‪ 8‬צמחים שונים וקורט מינרלים‪,‬‬
‫כגון‪ :‬סלניום‪ ,‬מגנזיום‪ ,‬קלציום‪ ,‬אבץ ונחושת‪ PC .‬מייצג את ראשי התיבות של ‪,Prostate Cancer‬‬
‫ואילו ‪ SPES‬בא מהמילה תקווה בלטינית‪ .‬בפבר' ‪ 2002‬הוא הוצא מהשוק האמריקאי בליווי אזהרה מה‬
‫‪ FDA‬שלא להשתמש במוצר‪ ,‬וזאת בעקבות העובדה שהתגלו בהרכבו ‪ 3‬חומרים הדורשים מרשם רופא‪:‬‬
‫‪Warfarin (an anticoagulant), Diethylstilbesterol (DES, an estrogen-like hormone) and‬‬
‫‪Indomethacin,( an anti-inflammatory drug).‬‬
‫כמה מחקרים קלינים יסודיים מצאו שה ‪ PC-SPES‬היה מאוד יעיל בטיפול בחולי סרטן הערמונית‪ ,‬כולל‬
‫במקרים בהם היה הסרטן עמיד לאנדרוגן‪ .‬דבר שבא לידי ביטוי בהורדת ה ‪ Psa‬ובכווץ הגידול‪ .‬מחקרים‬
‫השוואתיים בין ה ‪ PC-SPES‬לבין ה ‪ DES‬נעשו עוד לפני שנודע שיש בעיות זיהום בתהליך הייצור‪ ,‬על‬
‫אף שבהמשך התברר שחלק מהגלולות הצמחיות שבניסוי כללו ‪ DES‬וכן גורמים נוספים‪ ,‬והתברר‬
‫שהגלולה הצמחית היתה יותר יעילה בהורדת ה ‪ Psa‬ובעכוב המשך התקדמות הגידול‪ ,‬והחולים‬
‫שהשתמשו בו היו בסיכון נמוך יותר להווצרות קרישי דם‪ .‬הסתבר שחלק מהמרכיבים הצמחיים פעלו‬
‫כפיטואסטרוגנים‪ ,‬וחושבים שחלק מהמרכיבים חזקו את המערכת החיסונית‪ .‬על כל פנים לאחר שהייצור‬
‫שלו הופסק‪ ,‬התפרסמו הרכבים צמחיים‪ ,‬אחרים כמו‪ PC-PLUS :‬ופרוסטסול‪ ,‬שהחליף בסופו של דבר‬
‫שם ונקרא כיום ‪ .QUERCETINE PLUS‬חומר זה מיוצר במקסיקו וניתן להזמינו באינטרנט‪ ,‬כולל‬
‫בארה"ב‪ ,‬ללא שום בעיות‪ .‬קראתי מאמרים רבים על התוצרים השונים‪ ,‬אבל לא הצלחתי למצוא תשובה‬
‫חד משמעית ברורה‪ ,‬האם טפול בעזרת ‪ ,Q-P‬או טיפול בפיטואסטרוגן אחר‪ ,‬לא יהפוך את הסרטן‬
‫להיות עמיד לאנדרוגן‪ .‬אף על פי כן‪ ,‬החלטתי לנסות חומר זה והזמנתיו‪ .‬תוצאות הטיפול היו מדהימות‬
‫מבחינתי‪ ,‬ה ‪ Psa‬ירד מ ‪ 0.2756‬ל ‪ 0.01‬תוך ‪ 18‬יום ול ‪ 0.00‬תוך עוד חודש‪ ,‬תופעות הלוואי היו‬
‫מינוריות‪ ,‬אולם החששות משימוש ארוך קננו בי‪ ,‬במיוחד לאור העובדה שבדיקות הורמונליות מקיפות‬
‫שעשיתי הצביעו על מצב של סירוס כמעט מוחלט‪ ,‬לדוגמא בדיקת הטסטוסטרון היתה "מתחת לסף‬
‫הגילוי"‪ .‬היה ברור לחלוטין שיש פה טיפול הורמונלי‪ ,‬הגורם למחסור חמור בטסטוסטרון‪ .‬מאחר‬
‫שחשבתי‪ ,‬שלסרטן לא איכפת מה הגורם למחסור בטסטוסטרון ואם יש לו דרך להתגבר על כך הוא‬
‫יתגבר‪ ,‬אלא אם כן אותו החומר מפריע גם לדרכו החדשה של הסרטן‪ .‬מאחר והמצב לא היה ברור לי‪,‬‬
‫הרי שהחשש היה קיים‪ .‬לא יכולתי להמשיך ולנסות זאת על עצמי ובסופו של דבר להפוך את הסרטן‬
‫לעמיד‪ .‬לאחר שהסרטן הופך לעמיד מגיע הטפול הכימותרפי‪ ,‬שמאריך את חיי החולה במספר חודשים‬
‫ספורים בלבד והמוות הצפוי הינו מהיר למדי‪ ,‬לפיכך‪ ,‬לאחר ‪ 4‬חודשים הפסקתי להשתמש ב ‪.Q-P‬‬
‫לאחר הכרות של קרוב ל ‪ 4‬שנים עם הגלולה הזאת‪ ,‬אני בספק רב שאכן את הפעולה עושה‬
‫הפיטואסטרוגן‪ ,‬או שיש פה תוספת של ‪ DES‬שהינו אסטרוגן מלאכותי‪ .‬האמת היא שזה לא מטריד אתי‪,‬‬
‫נוכח התוצאות שאני מקבל ונוכח העדויות של משתמשים אחרים‪ ,‬ואני יוצא מתוך הנחה שזה אכן כך ולכן‬
‫אני משתמש גם באספירין על מנת להמעיט בהשפעות השליליות של שמוש ב ‪ .DES‬חלק מהספקות‬
‫שלי נובעות מהעובדה שלא מצאתי שום חומר אחר שטוענים שהוא פיטואסטרוגן שיש לו השפעה חזקה‬
‫ומהירה כזו‪ .‬השתמשתי לאורך כל העבודה במונח פיטואסטרוגן כאשר התכוונתי ל ‪ Q-P‬וכך גם בהמשך‬
‫אף על פי שכבר איני בטוח בזה‪.‬‬
‫טענת המיסוך של ה ‪ ,Psa‬ע"י הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫‪.55‬קיימת טענה שהפיטואסטרוגן ממסך את ה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ולכן תוצאות מדידת הסמן‪ ,‬המוצגות תוך כדי‬
‫צריכתו‪ ,‬אינן מצביעות על מצבו של הסרטן‪ .‬נושא זה נבדק על ידינו‪ ,‬ואכן הוכח חד משמעית שעובדה זו‬
‫נכונה‪ ,‬וקיימת מידת מיסוך גבוהה ביותר של התוצאות‪) ,‬הוכחת עובדה זאת תינתן בהמשך(‪ .‬לא ניתן‬
‫לסמוך כלל על תוצאות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הנמדדות לאחר לקיחת הפיטואסטרוגן‪ ,‬מאחר ומדידות אלה‪ ,‬לא‬
‫‪66‬‬
‫מייצגות כלל את מצבו של הגידול‪ .‬אין פרוש הדבר שהמוצר אינו טוב ואין הוא עושה את תפקידו‪ ,‬פירוש‬
‫הדבר הינו‪ ,‬שקיים קושי רב לכמת את תוצאות פעולתו‪ ,‬ולנסח תוצאות אלה במונחים מתמטיים‪ ,‬שיוכלו‬
‫להוביל למסקנות נוספות‪ ,‬שלא ניתן היה לחזותן אחרת‪ .‬כמובן שזה חסרון רציני‪ ,‬אולם מעבר לעיניין‬
‫החישוב הכמותי‪ ,‬יש חסרון עצום נוסף הנובע מאי ידיעתם של המשתמשים במוצר על עובדה זו‪ .‬בכדי‬
‫להבין חסרון זה יש לקרוא את עדויותיהם הנלהבות )‪ (.24‬של המישתמשים במוצר‪ ,‬שמחליטים על מינון‬
‫מסוים ושומרים על הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ברמה מסוימת‪ ,‬תוך מחשבה שזו הרמה האמיתית‪ ,‬דבר היכול לגרום נזק‬
‫לאדם‪ ,‬מבלי שהוא אפילו מודע לבעיה‪ .‬קיומו של חסרון זה‪ ,‬אינו מוכיח שהמוצר אינו טוב‪ ,‬ושאינו עושה‬
‫את אשר הוא אמור לעשות‪ ,‬ההיפך הוא הנכון‪ ,‬אך איך נוכיח זאת? הרי כל הנתונים של תוצאות‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬לא נכונות‪ ,‬יותר מכך‪ ,‬תוך פרק זמן קצר‪ ,‬התוצאה שאנו מקבלים היא ‪ ,0‬ואיזה מסקנה אנו‬
‫יכולים להוציא מרצף של אפסים‪ ,‬שאינם באמת אפסים? נשתדל לעשות זאת‪ ,‬על אף החוסר בנתונים על‬
‫התפתחות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬בזמן לקיחת המוצר‪ .‬יותר מכך‪ ,‬עשוי להתברר לנו שלעובדת המיסוך יש יתרון‬
‫אדיר‪ ,‬שאין מי שמודע לו כיום‪ ,‬והוא ראוי למחקר רציני‪ ,‬שיכול להביא חמהפכה בטיפול בסרטן‬
‫הערמונית‪.‬‬
‫האם ה ‪ Q-P‬מקטין את סרטן הערמונית וכיצד?‬
‫‪.56‬מאחר והתוצאות הראשונות של השמוש במוצר הדהימו אותי‪ ,‬החלטתי לבדוק האם מדובר בטיפול‬
‫הורמונלי‪ ,‬לפיכך בצעתי בדיקות הורמונליות ובמיוחד בדיקת טסטוסטרון‪ :‬להלן מספר נתונים‪:‬‬
‫סה"כ כ ‪ 4‬חודשים‪.‬‬
‫‪23.04.2009‬‬
‫סיום‪:‬‬
‫א‪ .‬התחלת לקיחת ‪27.12.2008 :Q-P‬‬
‫‪) p=0.28‬מחושב(‬
‫‪26.12.2008‬‬
‫‪p=0.21‬‬
‫‪11.12.2008‬‬
‫ב‪ .‬התפתחות ה ‪:Psa‬‬
‫‪p=0.00‬‬
‫‪15.02.2009‬‬
‫‪p=0.01‬‬
‫‪14.01.2009‬‬
‫‪ p=0.00‬סיום לקיחה‬
‫‪23.04.2009‬‬
‫‪p=0.00‬‬
‫‪15.03.2009‬‬
‫מפה ואילך התפתחות ללא הורמונים כמופיע בטבלאות הקודמות‪.‬‬
‫ג‪ .‬בדיקות טסטוסטרון‪:‬‬
‫‪12.10.2008‬‬
‫‪23.04.2009‬‬
‫‪31.05.2009‬‬
‫‪T=1.1‬‬
‫‪15.02.2009‬‬
‫‪T=12.8‬‬
‫‪) T=0.00‬הנתון הרשמי‪ :‬מתחת לסף הזיהוי (‬
‫‪T=14.8‬‬
‫ד‪ .‬נקודות לציון‪ :‬הנקודות החשובה לנו כרגע היא המענה לשאלה האם הפיטואסטרוגן מקטין את סרטן‬
‫הערמונית‪ ,‬או רק מציג פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ממוסך ולכן אינו משמעותי? ואם הוא מקטין אותו אזי למה? מהנתונים‬
‫ברור שהחומר השפיע על הורדה מהירה ביותר של הטסטוסטרון ובתוך כחודש וחצי הוא הגיע ל ‪,T=1.1‬‬
‫כאשר הגבול התחתון של הנורמה הוא ‪ 8.4‬ואילו הבדיקה שנעשתה בתום התקופה‪ ,‬הראתה על סרוס‬
‫מוחלט‪ ,‬דבר שלא הושג גם אחרי שמוש של יותר משנה ב ‪ .Suprefact‬נקודה נוספת‪ ,‬עליה ארחיב את‬
‫הדבור בעתיד‪ ,‬היא העליה המהירה בחזרה של הטסטוסטרון המהווה יתרון חשוב ביותר לשמוש‬
‫בפיטואסטרוגן לעומת תרופות אחרות‪ ,‬דבר הנשמע אולי כאבסורד ‪ ,‬אך אין הוא כזה ואגע בכך כאשר‬
‫אגיע להשוואה בין התרופות השונות‪.‬‬
‫המסקנה הברורה הינה שאכן ה ‪ Q-P‬משפיע על הקטנת הגידול‪ ,‬כפי שהטיפולים ההורמונליים האחרים‬
‫עושים זאת‪ ,‬דהיינו ע"י הקטנת ייצור הטסטוסטורון‪ ,‬והוא עושה זאת אפילו בצורה יותר יעילה‪ ,‬וכמעט‬
‫ללא תופעות לוואי חיצוניות‪ .‬הדבר מתבצע ע"י כך שמולקולות הפיטואסטרוגן הדומות למולוקולות‬
‫האסטרוגן‪ ,‬תופשות את הרצפטורים של האסטרוגן‪ ,‬ומכיון שהמוח לא מסוגל להבחין בין האסטרוגן‬
‫לטסטוסטרון‪ ,‬הגוף מפסיק לייצר את הטסטוסטרון‪ .‬קראתי ושמעתי טענות שע"י טפול בפיטואסטרוגן‬
‫הסרטן לא יכול להפוך עמיד לאנדרוגן‪ ,‬בעוד שההיגיון אמר שאת הסרטן לא מעניין החומר שמעכב את‬
‫הטסטוסטרון‪ ,‬ומה שחשוב הוא שמונעים אותו ממנו‪ ,‬ועל כן צפוי שגם במקרה זה הסרטן יהפוך להיות‬
‫עמיד לטפול‪ ,‬ולכן נחוץ להשתמש במינימום הדרוש וביעילות המירבית בחומר‪ ,‬על מנת להרחיק את‬
‫נקודת הפסקת השפעתו‪ .‬אני אומר זאת אפילו שאני חושב שיש נקודה חשובה ביותר לזכותו של ה ‪Q-P‬‬
‫וזה מיסוך תוצאות הפי‪.‬אס‪.‬אי מאחר ויש חוקרים הטוענים שה ‪ Psa‬מהווה את חומר המזין את הסרטן‬
‫במקום הטסטוסטרון‪) ,‬סימוכין ‪ .(.26 .25‬אם אכן זה כך אזי בהחלט ייתכן שהפיטואסטרוגן פועל גם על‬
‫סרטן עמיד לאנדרוגן‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫הוכחת מיסוך ה ‪ Psa‬על‪-‬ידי ‪QUERCETIN PLUS‬‬
‫‪.57‬לנושא זה חשיבות אדירה מאחר וקימת אינפורמציה )‪ (.26) (.25‬לפיה סרטן עמיד לאנדרוגן ניזון‬
‫מהפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬על מנת לקיים את עצמו ולהמשיך ולהתפתח‪ ,‬כלומר יש פה מעגל אוטוקריני‪ .‬ישנם גם‬
‫נתונים שונים המראים שצריכת פיטואסטרוגנים מעכבת את הפיכת הסרטן לעמיד לאנדרוגן‪ ,‬שתי‬
‫עובדות אלה מחזקות האחת את השניה‪ .‬אם אכן זה כך‪ ,‬הרי תופעת המיסוך של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬על ידי‬
‫הפיטואסטרוגן הינה חיובית וחשובה ביותר‪ .‬להלן טבלה עם נתונים נוספים‪:‬‬
‫טבלה‪9-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‪.‬‬
‫א‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫תאריך‬
‫הבדיקה‪.‬‬
‫ב‬
‫‪25.04.10‬‬
‫‪17.05.10‬‬
‫‪20.06.10‬‬
‫‪11.07.10‬‬
‫‪01.08.10‬‬
‫‪12.09.10‬‬
‫ימים שעברו‬
‫מאז הבדיקה‬
‫הקודמ‪.‬ת‬
‫ג‬
‫‪0‬‬
‫‪22‬‬
‫‪34‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪42‬‬
‫רמת ה ‪Psa‬‬
‫שנמדדה‬
‫במעבדה‪.‬‬
‫ד‬
‫‪0.47‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪0.30‬‬
‫‪0.34‬‬
‫‪0.34‬‬
‫‪0.47‬‬
‫ימים מצטברים‬
‫מהבדיקה‬
‫הראשונה‪.‬‬
‫ה‬
‫‪0‬‬
‫‪22‬‬
‫‪56‬‬
‫‪77‬‬
‫‪99‬‬
‫‪141‬‬
‫מועדי התחלה‬
‫וסיום של לקיחת‬
‫הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫ו‬
‫תאריך התחלה‬
‫תאריך סיום‬
‫מהטבלה רואים שהתחלת לקיחת ה ‪ Q-P‬היתה ב ‪ 25.04.2010‬ונמשכה ‪ 22‬יום עד ה ‪. 17.05.2010‬‬
‫אנו רואים מתוך הטבלה שהיתה קפיצה גדולה בפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬בין שורה ‪ 2‬לשורה ‪ 3‬ובידיעה שעלית‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬חסומה ע"י עליה של ‪ S/2‬ביום ומאחר ובסוף התקופה היה ‪ S=0.0054‬שזה ‪ 0.092‬ב‪34‬‬
‫יום‪ ,‬הרי שהפי‪.‬אס‪.‬אי האמיתי ב ‪ 17.05.10‬עלה על ‪ . 0.3-0.092=0.208‬מאחר וחשבתי שלקצב דעיכת‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי עלולה להיות השפעה על החישובים של המיסוך‪ ,‬נזקקתי לנתון של זמן מחצית החיים של ה‬
‫פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬מקורות שונים אינם מגדירים מספר מדויק‪ ,‬אלא תחום של ‪ 2-3‬ימים‪ .‬אולם בהסתמך על‬
‫המאמר ‪ .22‬שבמקורות‪ ,‬לקחתי את הממוצע של טבלה ‪ 2‬המופיעה שם‪ ,‬שעמד על ‪ 2.65‬יום ‪ .‬וכן שני‬
‫מקרים קיצוניים‪ :‬זמן דעיכה ‪ 3‬ימים וזמן דעיכה של ‪ 2‬ימים‪ .‬נחשב את קצב הדעיכה היומי ‪ ‬לפי‬
‫הממוצע של ‪ 2.65‬יום ונתוח רגישות לגבי מקרים קיצוניים למדי ‪ 2‬ימים ושלושה ימים ‪ .‬אם זמן מחצית‬
‫החיים הוא ‪ t‬ימים ‪ ,‬אזי ‪ ‬יפתר ע"י הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫אנו נחשב את הדעיכה לאחר ‪ 22‬יום‪ ,‬שזה משך הזמן בו לקחנו הפיטואסטרוגן‪ ,‬ונחשב את שארית‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שנותרה מהרמה ההתחלתית של ה ‪ ,0.47‬שבה התחלנו לקחת את הכדורים‪ .‬מסתבר שבכל‬
‫שלשת המקרים‪ ,‬השארית שנותרה מה ‪ Psa‬המקורי הינה מ ‪ 0.05%‬עד ‪ 0.62 %‬ולכן החלק הארי‪,‬‬
‫מהמדידה של ‪ , 0.02‬היא תוצאה של ה ‪ Psa‬שנוצר לאחר תחילת לקיחת הפיטואסטרוגן‪ .‬ההבדל בין‬
‫תוצאת המעבדה‪ ,‬שעומדת על ‪ 0.02‬לאחר ה ‪ 22‬יום‪ ,‬לבין התוצאה שעל פי חישובינו היתה צריכה‬
‫להיות גבוהה מ ‪ ,0.208‬נובעת כולו מהמיסוך וההבדל האמיתי אפילו גבוה יותר‪ ,‬מאחר והפיטו לא‬
‫ממסך ‪ Psa‬שנוצר לפני לקיחתו‪ .‬ע"כ נוכל לחשב חסם תחתון לאחוז המיסוך של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬לאחר ‪22‬‬
‫יום ע"י השוואת מה שנמדד לעומת מה שהיה צריך להיות‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫טבלה‪10-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ 3‬ימים ‪ 2.65‬יום ‪ 2‬ימים‬
‫זמן מחצית החיים הנבדק‬
‫הנושא הנבדק‬
‫קצב הדעיכה היומי ‪‬‬
‫החלק הנותר מה ‪ Psa‬המקורי לאחר ‪ 22‬יום‬
‫שארית ‪ Psa‬שנותרה מהרמה ההתחלתית‪,‬‬
‫מחושב ע"י הכפלת שורה ‪ 2‬ב ‪0.47‬‬
‫ה ‪ Psa‬שנמדד במעבדה לאחר ‪ 22‬יום‬
‫‪ Psa‬מדוד שנוצר לאחר תחילת לקיחת הפיטו‬
‫מינימום ה ‪ Psa‬שהיה צריך להמדד‬
‫חסם תחתון לאחוז המיסוך לאחר ‪ 22‬יום‬
‫‪0.2616 0.2310‬‬
‫‪0.0032 0.0062‬‬
‫‪0.0015 0.0029‬‬
‫‪0.3466‬‬
‫‪0.0005‬‬
‫‪0.0002‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪0.0185 0.0171‬‬
‫‪0.208 0.208‬‬
‫‪91.1% 91.8%‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪0.0198‬‬
‫‪0.208‬‬
‫‪90.5%‬‬
‫את החסם התחתון חשבנו על בסיס שורות ‪ 5‬ו ‪ .6‬ברור שזה חסם תחתון מפני שהמינימום שבשורה ‪,6‬‬
‫מוגזם כלפי מטה‪ ,‬מאחר והוא מתבסס על חסם שלא ברור שהוא מושג‪ .‬מכאן נובע שיש מסוך כמעט‬
‫מלא של הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬מתוך מה שהראינו נובע‪ ,‬שתוך ‪ 22‬יום מיסך הפיטואסטרוגן למעלה מ ‪ 90.5%‬של‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ ,‬תוצאה בהחלט מדהימה ומאוד מעודדת‪ ,‬לגבי האפשרות שאכן הפיטואסטרוגן עוזר‪ ,‬גם‬
‫במצב של עמידות לאנדרוגן‪ .‬חיזוק נוסף לנושא מתקבל ממדידות הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬שלי שנעשו בתחילת ‪2009‬‬
‫והינן מוצגות כאן‪:‬‬
‫טבלה‪11-‬‬
‫לא סביר שהפי‪.‬אס‪.‬אי עלה תוך ‪ 33‬יום מ ‪ 0.00‬ל ‪ , 0.10‬חישוב אחורה ע"פ קצב גדול מהיר של‬
‫‪ PsaDT=23.4‬יום‪ ,‬מראה שה פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ב ‪ 23.04.2009‬היה בסביבות ‪ 0.04‬בעוד שמהנתונים בטבלה‬
‫עולה ש אפילו ‪ 67‬יום קודם הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬המדוד הראה כבר ‪.0‬‬
‫מתוך כל הנתונים שנצברו במשך שנתיים וחצי בשמוש מוגבל ולסרוגין ב‪ , Q-P‬ברור לחלוטין שהינו לא‬
‫רק ממסך יעיל אלא גם פוגע בפועל‪ ,‬בצורה יעילה‪ ,‬בגידול עצמו‪ ,‬ע"י חסימה יעילה של ייצור הטסטוסטרון‬
‫)ראה סעיף ‪ .(.56‬לסכום נושא זה אציין שקיימת בעיתיות מסוימת הקשורה למיסוך הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ ,‬והיא‬
‫העובדה שהמשתמשים במוצר‪ ,‬זה אינם ערים כלל לעובדה זו‪ ,‬ומתייחסים לתוצאות הבדיקות כמייצגות‬
‫את המצב האמיתי‪ ,‬ועל כן יתכן שהם לוקחים כמות קטנה מדי של חומר‪ .‬מעולם לא קראתי שום‬
‫התייחסות לנושא זה לגבי ה ‪, Q-P‬לא מצד המפתח ולא מצד הצרכנים‪ ,‬וראה עדויות משתמשים‬
‫) סימוכין ‪( .24‬‬
‫משוואת ה ‪ Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן‬
‫‪ .58‬מאחר והשתמשתי ב ‪ Q-P‬לצורך הורדת ה פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬בשן הקצרה של המסור‪ ,‬הרי לצורך הערכה‬
‫אמיתית ונכונה של המחזור בימים‪ ,‬לאורכה של שן אחת במסור‪ ,‬חשוב שנדע כמה זמן עלינו לקחת את‬
‫הכדורים‪ ,‬מאחר ומשך זמן זה גם הוא שייך למחזור‪ .‬חשוב גם לדעת כמה זמן בסה"כ לקחנו את‬
‫הפיטואסטרוגן‪ .‬הדרך שאעשה זאת תתבסס על נתוח כללי של צורת גרף הפיטואסטרוגן ועל נתוני‬
‫מדידות פי‪.‬אס‪.‬אי שעשיתי‪ .‬נדגיש שהמטרה שלנו אינה למצוא את הנתונים המדויקים של גרף ההשפעה‬
‫של הפיטואסטרוגן‪ .‬מטרתנו להראות שניתן להאריך את חיי החולה בצורה ניכרת‪ .‬אם נתבסס על‬
‫חסמים‪ ,‬שפועלים כנגד המטרה שלנו ובכל זאת נצליח להוכיח זאת ‪ ,‬הרי שהתוצאות יכולות רק להיות‬
‫יותר טובות‪.‬‬
‫‪.59‬‬
‫אם נלך על פי ההגיון של מודל לידה ומוות‪ .‬צורת התפתחות ה‪ Psa‬עם הזמן‪ ,‬צריכה להיות‬
‫כלהלן‪:‬‬
‫‪69‬‬
‫)‪(8.0‬‬
‫כאשר ‪ t‬הוא מספר הימים שאנו לוקחים את הטיפול ההורמונלי‪ N(t) ,‬הוא ה פי‪.‬ס‪.‬אי לאחר ‪ t‬ימים ו‪-‬‬
‫)‪ N(0‬הוא ה פי‪.‬ס‪.‬אי בתחילת הטיפול ההורמונלי‪ K .‬הוא קבוע אישי של המטופל‪ ,‬התלוי בגודל הגידול‪,‬‬
‫בסוג הטיפול‪ ,‬כמות החומר היומית שהמטופל לוקח‪ ,‬וכנראה עוד הרבה גורמים נוספים‪ ,‬והוא שווה‬
‫למינימום‪ ,‬אליו יורד ה‪ Psa‬בהשפעת ההורמונים‪ .‬אם נציב ב )‪ , t=0 (8.0‬נקבל שצד ימין אכן זהה‬
‫)‪(8.0.1‬‬
‫ל)‪ ,N(0‬כמו כן אם נציב ‪ t=‬נקבל‬
‫כלומר‪ ,‬הסרטן מתחיל מגודל )‪ N(0‬ודועך עד לגודל מסוים ‪ K‬ולא יותר‪ .‬ברור לחלוטין שיש פה הגבלה‬
‫של חומר החיוני לסרטן‪ ,‬לצורך התרבותו ו\או לצורך מניעת האפופטוזיס‪ ,‬כלומר יש פה מודל של לידה‬
‫ומוות‪ ,‬אלא שבמקרה זה המודל הוא של דעיכה )מוות(‪ .‬ברור לנו שהסרטן לא דועך עד לרמת האפס‪ ,‬כי‬
‫תמיד ישנה כמות קטנה של הורמון המאפשרת לכמות קטנה של תאים להשאר בחיים‪ ,‬ולכן הפי‪.‬אס‪.‬אי‪.‬‬
‫ירד רק עד גבול מסוים ולא עד לאפס‪ ,‬לכן יש הצדקה מלאה לצורת ההצגה שב )‪ .(8.0‬אם נתבונן‬
‫בשרטוט‪ 4-‬בגרף הכחול‪ ,‬נראה שהמודל שלעיל זהה לחלוטין למודל המקורי של ההרעבה‪  .‬הינו‬
‫פרמטר המראה את קצב דעיכת הסרטן‪ .‬יש סיבה טובה לחשוב ש ‪ ‬יהיה זהה לקצב ההתחלקות של‬
‫הסרטן‪ ,‬אולם מכיון שלא בניתי את המודל של הטיפול ההורמונלי כמו שבניתי את מודל ההרעבה‪ ,‬הרי‬
‫אני מעדיף לא להסתמך על כך ולנסות למצוא את ‪ ‬מהנתונים שישנם‪ .‬מכיון שמדובר על מודל לידה‬
‫ומוות עם דעיכה הדרגתית של ה‪ .Psa-‬והעובדה שיש חסם תחתון לירידה‪ ,‬הרי הצורה המתמטית של‬
‫)‪(8.1‬‬
‫הגרף חייבת להיות‬
‫שזו צורה הזהה ל )‪ . (8.0‬הצורה הגאומטרית של הגרף דומה לשרטוטים ‪. 26 ,25 ,24 , 4‬‬
‫‪.60‬בפעם הראשונה שלקחתי פיטואסטרוגן היה זה במשך ‪ 117‬יום‪ .‬ברצוני למצוא את ה‪ .Psa -‬ביום‬
‫התחלת לקיחת הפיטואסטרוגן וביום סיום לקיחתו‪ .‬נתונים אלה יתנו לי שתי נקודות על הגרף שב )‪.(8.1‬‬
‫א‪ .‬בטבלה‪ ,5-‬ראינו שנקודת התחלת ההרעבה היתה ביום ה‪ 25-‬לאחר הפסקת לקיחת הפיטואסטרוגן‪,‬‬
‫כאשר ‪ . Psa=0.083‬ב‪ 25-‬הימים‪ ,‬שלאחר הפסקת הפיטואסטרוגן‪ ,‬צמח הסרטן בקצב הטבעי לפי‬
‫‪ ,‬שהינה הנוסחה ללא מגבלות תזונה‪ ,‬על כן על מנת למצוא מה היה‬
‫הנוסחה )‪(2.5‬‬
‫הפי‪.‬אס‪.‬אי האמיתי‪ ,‬ביום הפסקת לקיחת הכדורים‪ ,‬עלינו לחזור לפי נוסחה זו ‪ 25‬יום אחורה‪ .‬במקרה‬
‫שלנו אנו יודעים ש ‪ N(t)=0.083 , t=25‬ואנו צריכים למצוא את )‪ N(0‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫)‪(8.2‬‬
‫תוצאה שראינו אותה גם ב )‪ .(2.55.1‬כלומר‪ ,‬בסוף לקיחת ה ‪ ,Q-P‬הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬לא היה ‪ ,0‬אלא בערך‬
‫‪ 0.04‬כלומר קיים מיסוך של הפי‪.‬אס‪.‬אי ע"י הפיטואסטרוגן‪ ,‬כפי שראינו קודם‪ .‬אנו יורדים אחורה לפי ‪‬‬
‫הזהה ל ‪ ‬שבשלב הראשון של הדיאטה‪ ,‬מאחר שזה ה ‪ ‬לפיו התקדם הסרטן לפני התחלת הדיאטה‬
‫ובשלב הראשון שלאחר התחלת הדיאטה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ננסה כעת למצוא את הפרמטרים של נוסחה )‪ . (8.1‬ידוע לנו ש ‪ t=117‬יום‪) ,‬משך הזמן בו לקחנו‬
‫פיטואסטרוגן(‪ ,‬ולפי )‪ (8.2‬קיים ‪ N(117)=0.03957‬וחסר לנו )‪) , N(0‬נדגיש שאין זה )‪ N(0‬המופיע ב‬
‫)‪ (8.2‬שהוא כרגע )‪ N(0) .N(117‬זה הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ביום שהתחלתי לקחת את הפיטואסטרוגן‪ ,‬כלומר ב‬
‫‪ 27.12.08‬וצריך להסתמך על המדידה של ‪ 11.12.08‬שהיתה ‪,0.21‬‬
‫)‪(8.3‬‬
‫נחשב את )‪ N(0‬ב ‪ 27.12.08‬ונקבל‬
‫את הנתון שב )‪ (8.3‬קבלנו כלהלן‪ :‬בטבלה‪ ,3-‬אנו רואים גידול תוך ‪ 28‬יום מ ‪ 0.13‬ל ‪ . 0.21‬אנו‬
‫השתמשנו בנתונים אלה‪ ,‬על מנת לבצע את חישוב קצב הגידול‪ ,‬באותו מועד‪ .‬מאחר ונזקקנו לקצב‬
‫הגידול בפועל‪) ,‬שהוא שונה מקצב ההתחלקות(‪ ,‬הרי שלקחנו את התוצאה של ה ‪ 11.12.08‬שהינה‬
‫הקרובה ביותר ל ‪ 27.12.08‬באותו מועד עדיין לא התחלתי בדיאטה אבל לקחתי הרבה מאד תוספים‬
‫שהשפיעו במקצת על קצב התקדמות הגידול‪ .‬אציין שלא יכולה להיות טענה כנגד השמוש בנתון זה ולא‬
‫בנתון יותר גבוה‪ ,‬מאחר ונתון יותר גבוה היה נותן לנו דעיכה יותר מהירה הנגרמת ע"י הפיטואסטרוגן‬
‫ודבר זה היה מגביר את התרומה של הפיטואסטרוגן בחישובים שלנו‪ ,‬כלומר בחירת נתון נמוך‪ ,‬גורמת‬
‫שהחישובים יראו אריכות ימים יותר נמוכה‪ ,‬והתוצאות האמיתיות יכולות רק להיות טובות יותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬לגבי הנתון שב )‪ (8.2‬אעיר את הנקודה הבאה‪ :‬יכולים לטעון שעם הפסקת לקיחת הפיטואסטרוגן‪,‬‬
‫ה‪ Psa‬לא התחיל לצמוח במלוא הקצב‪ ,‬מפני שעדיין היתה השפעה של הפיטואסטרוגן גם בחלק מהימים‬
‫‪70‬‬
‫הבאים‪ ,‬אולם בסעיף ‪ .56‬ראינו שהטסטוסטרון חזר לקדמותו‪ ,‬בתוספת ‪ ,15%‬תוך חודש ושבוע‪ ,‬לכן‬
‫הדבר מצביע על דעיכה מהירה של השפעת ‪ ,Q-P‬יותר מכך מסתבר שזמן מחצית החיים של כל‬
‫ההורמונים למיניהם הינו קצר ביותר כלהלן‪ :‬טסטוסטרון ‪ 2-4‬שעות )ויקיפדיה(‪ ,‬אסטרדיול )אסטרוגן( ‪13‬‬
‫דקות‪ ,‬מקור ‪ ) OSHA‬ראה סימוכין ‪ (.60‬קורטיזול ‪ 66‬דקות )ראה‬
‫שעות )ויקיפדיה( אסטריול‬
‫סימוכין ‪ (.61‬כל זה מצביע שכבר לאחר מספר ימים קצר השפעתו היתה אפסית‪ ,‬לפיכך נוכל להציב ב‬
‫)‪ (8.1‬את הנתונים שמצאנו ונקבל‬
‫‪(8.4) N(0)=A+B=0.2756‬‬
‫וכן‬
‫יש לנו פה ‪ 2‬משוואות ו ‪ 3‬נעלמים ואין ביכולתנו לפתור זאת ‪.‬‬
‫)‪(8.5‬‬
‫‪ .61‬את הנתון הנוסף נקח מנתוני השמוש ב ‪ ,Q-P‬שעשינו בפעם השניה ב ‪) ,25.04.10‬טבלה‪ (9-‬אנו‬
‫התחלנו לקחת פיטו‪ ,‬כאשר הגענו ל ‪ p=0.47‬בעוד שבפעם הראשונה התחלנו כאשר התקיים‬
‫‪ ,p=0.2756‬לכן סביר להניח שהגבול התחתון של הגרף המתחיל ב ‪ p=0.47‬יהיה גבוה מאשר הגבול‬
‫התחתון של הגרף המתחיל ב ‪ 0.2756‬לפי יחסי הגודל של הרקמה הסרטנית‪ ,‬דבר שבא לידי ביטוי‬
‫ב‪ .Psa-‬נסמן את הגרף הגבוה ב‬
‫מכיון ש ‪ A‬ו‬
‫וצורתו כלהלן‪:‬‬
‫הן האסימפטוטות הרי לפי הגיוננו‬
‫)‪(8.6‬‬
‫)‪(8.7‬‬
‫ולכן מתקיים‬
‫)‪(8.8‬‬
‫נציב ‪ t=0‬ונקבל‬
‫)‪(8.9‬‬
‫)‪(8.10‬‬
‫נציב כעת ‪ t=22‬ונקבל‬
‫כאשר ‪ y‬הוא הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ביום ה ‪ 22‬ללקיחת הפיטואסטרוגן‪.‬‬
‫יש לנו פה ‪ 4‬משוואות‪ ,‬עם ‪ 4‬נעלמים‪ ,‬שנפתור אותם כפונקציה של ‪ . y‬אם נדע את ‪ y‬הרי שיש לנו‬
‫פתרון למשוואות‪.‬‬
‫מקורו‬
‫ובין‬
‫הסיבה להנחה שהיחס בין גודל האסימפטוטות ‪ A‬ו ‪ A1‬הוא כמו היחס בין‬
‫בהנחה‪ ,‬שהטיפול בפיטואסטרוגן אינו פוגע בכלי הדם המזינים את הסרטן‪ ,‬וכמות כלי הדם‬
‫פרופורציונלית לגודל הסרטן‪ .‬כתוצאה מכך גם קצב זרימת הטסטוסטרון לאזור הגידול בעת הטיפול‬
‫ההורמונלי יהיה פרופרוציונלי לגודל המקורי של הגידול‪ ,‬וכמות פרופורציונלית זאת תגרום לסרטן שיהיה‬
‫פרופורציונלי‪ .‬גם אם הטיפול היה פוגע בכלי הדם המזינים זה היה לא צריך לשנות דבר‪ ,‬מאחר והוא‬
‫יפגע בכלי הדם ברמת ה ‪ Psa‬הגבוהה וגם בנמוכה‪.‬‬
‫‪ .62‬נדון כעת בערכו האפשרי של המשתנה ‪: y‬‬
‫א‪ .‬על פי טבלה‪ ,9-‬התחלת לקיחת ה ‪ Q-P‬היתה ב ‪ 25.04.2010‬ונמשכה ‪ 22‬יום‪ ,‬עד ‪, 17.05.2010‬‬
‫בתקופה זו הראו המדידות שהפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬ירד מ ‪ p=0.47‬ל ‪ . p=0.02‬אנו יודעים שהפיטו ממסך את‬
‫התוצאות‪ ,‬לכן התוצאה האמיתית חייבת להיות גדולה מ ‪.0.02‬‬
‫ב‪ .‬אנו רואים שהיתה קפיצה גדולה בין שורה ‪ 2‬לשורה ‪ 3‬בטבלה‪ ,‬מ ‪ p=0.02‬ל ‪ p=0.30‬תוך ‪ 34‬יום‪,‬‬
‫שזו עליה בלתי סבירה בפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬הוכחנו קודם שעלית הפי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬חסומה ע"י עליה של ‪ S/2‬ביום‬
‫ומאחר ובסוף התקופה היה ‪ , S=0.0054‬הרי העליה המכסימלית האפשרית תוך ‪ 34‬יום היתה ‪, 0.092‬‬
‫‪0.3-0.092=0.208‬‬
‫לפיכך ה ‪ Psa‬המינימלי שהיה יכול להיות ב ‪ 17.05.10‬היה‬
‫ג‪ .‬המדידה הבאה לאחר ‪ 34‬יום עמדה על ‪ 0.3‬לפיכך ‪ y‬חייב להיות קטן מ ‪ , 0.3‬נסכם את האמור עד‬
‫‪(8.10.1) 0.30  y  0.208‬‬
‫כה באי שוויון הבא‪:‬‬
‫ד‪.‬אנו נבצע ניתוח רגישות של התוצאות ל ‪ .y‬אנו יודעים שממוצע העליה החודשי היה ‪ , 0.034‬לכן‬
‫ממוצע העליה ב‪ 34‬יום הוא ‪ . 0.038‬אם היינו מחשבים על פי הממוצע אזי היה צריך להיות ‪y=0.30-‬‬
‫‪ 0.038=0.262‬שזה מספר הרבה יותר סביר מאשר ‪ 0.208‬המספרים המתקבלים על הדעת הם ‪0.25‬‬
‫עד ‪, 0.28‬אולם אנו נבצע ניתוח רגישות מלא על כל התחום‪ ,‬שבתת סעיף ג‪ .‬פה‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫פתרון משוואת ה ‪ Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן‬
‫‪ .63‬נכפיל את )‪ (8.4‬ב‬
‫)‪(8.11‬‬
‫ונפחית מ )‪ (8.9‬ונקבל‬
‫)‪(8.11.1‬‬
‫נפחית את )‪ (8.5‬מ )‪ (8.4‬ונקבל‬
‫ולכן‬
‫)‪(8.12‬‬
‫מ )‪ (8.9‬נפחית את )‪ (8.10‬ונקבל‬
‫מ )‪ (8.11‬בתוך )‪ (8.13‬ואח"כ נציב את‬
‫נציב את‬
‫)‪(8.13‬‬
‫מתוך )‪ (8.12‬ונקבל‬
‫אם אנו יודעים את ‪ , y‬אזי נפתור את ‪ ‬מתוך )‪ (8.14‬ואת שאר הפרמטרים בסדר הבא‪:‬‬
‫‪ ,‬ואת‬
‫מתוך )‪ , (8.11‬את ‪ A‬מתוך )‪, (8.4‬‬
‫את ‪ B‬מתוך )‪ , (8.12‬את‬
‫)‪. (8.7‬‬
‫)‪(8.14‬‬
‫‪.64‬‬
‫מתוך‬
‫בצעתי ניתוח רגישות לגבי ‪ y‬בדרך הבאה‪:‬‬
‫)‪(8.15‬‬
‫שורטטו הגרפים‬
‫עבור כל הערכים הרלוונטיים של ‪ , y‬המופיעים בנוסחה )‪ (8.10.1‬ומצאנו את נקודת החיתוך של ‪ Z‬עם‬
‫כלומר מצאנו את ‪ ‬המקיים את )‪ (8.14‬עבור ה‪ y-‬שבחרנו‪,‬‬
‫ציר ה ‪ . ‬כלומר פתרנו את‬
‫ובנינו טבלה עם כל הנעלמים הרלוונטיים ובדרך זו מצאנו פתרון עבור כל ‪ y‬שבתחום‪ .‬ברצוני להדגיש‬
‫שהנוסחה ב )‪ (8.1‬היא הנוסחה הכללית‪ ,‬אך הפרמטרים יהיו שונים מאדם לאדם לצורך ההבנה נסביר‬
‫שוב‪ :‬כאשר אנו קובעים את ‪ Z ,y‬הופכת להיות פונקציה של ‪ ‬בלבד‪ ,‬ועל כן ביכולתנו לשרטט את הגרף‬
‫כאשר האורדינטה היא ‪ Z‬והאבסיצה היא ‪ ‬ולמצוא את נקודת החיתוך של הגרף עם האבסיצה‪.‬‬
‫להלן טבלה עם כל התוצאות של ניתוח הרגישות‪:‬‬
‫טבלה‪12-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0.21‬‬
‫‪0.22‬‬
‫‪0.23‬‬
‫‪0.24‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.26‬‬
‫‪0.27‬‬
‫‪0.28‬‬
‫‪0.29‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪0.046850‬‬
‫‪0.043665‬‬
‫‪0.040651‬‬
‫‪0.037788‬‬
‫‪0.035051‬‬
‫‪0.032422‬‬
‫‪0.029883‬‬
‫‪0.027428‬‬
‫‪0.025014‬‬
‫‪0.0386‬‬
‫‪0.0381‬‬
‫‪0.0375‬‬
‫‪0.0369‬‬
‫‪0.0356‬‬
‫‪0.0341‬‬
‫‪0.0322‬‬
‫‪0.0296‬‬
‫‪0.0262‬‬
‫‪0.2370‬‬
‫‪0.2375‬‬
‫‪0.2381‬‬
‫‪0.2389‬‬
‫‪0.2400‬‬
‫‪0.2415‬‬
‫‪0.2434‬‬
‫‪0.2460‬‬
‫‪0.2494‬‬
‫‪0.0658‬‬
‫‪0.0650‬‬
‫‪0.0640‬‬
‫‪0.0626‬‬
‫‪0.0607‬‬
‫‪0.0582‬‬
‫‪0.0549‬‬
‫‪0.0505‬‬
‫‪0.0447‬‬
‫‪0.4042‬‬
‫‪0.4050‬‬
‫‪0.4060‬‬
‫‪0.4074‬‬
‫‪0.4093‬‬
‫‪0.4118‬‬
‫‪0.4151‬‬
‫‪0.4195‬‬
‫‪0.4253‬‬
‫מתוך הטבלה רואים שכל נתוני הגרפים מאד דומים‪ ,‬למעט ‪ . ‬ככל ש ‪ ‬גדול יותר כך הגרף יורד מהר‬
‫יותר‪ ,‬לכן‪ ,‬אם נבחר ‪ ‬קטן הגרף ירד לאט יותר וזה יפעל לרעת מטרת ההוכחה שלנו‪ ,‬וכמו שאמרנו ‪:‬‬
‫אם נצליח להוכיח את טענותינו תחת ההנחות הקשות ‪ ,‬הרי שהמציאות יכולה להיות יותר טובה‬
‫מהחישובים‪.‬‬
‫‪ .65‬כשדנו בערכים האפשריים של ‪ y‬אמרנו שהמספרים המתקבלים על הדעת הם ‪ 0.25‬עד ‪0.28‬‬
‫ולאור מה שאמרנו רק כרגע‪ ,‬הרי בחירה של מספרים אלה‪ ,‬אינה יכולה להחשיד אותנו שבחרנו מספרים‬
‫‪72‬‬
‫הנוחים לנו‪ .‬נדגיש שה‪ ‬עבור ‪ y=0.27‬שנמצא בתחום המספרים הסבירים נותן תוצאה מפתיעה אך‬
‫הגיונית מאוד‪ ,‬מפני שהיא זהה למעשה ל ‪ ‬הראשון שמצאנו‪ ,‬שהוא קצב ההתחלקות של הסרטן‪ ,‬כאשר‬
‫אנו לא בדיאטה‪ .‬לפיכך‪ ,‬אבחר ב ‪ ‬זה‪ ,‬מבלי שיכולה להיות לאף אחד טענה מהותית כנגד בחירה זו‪.‬‬
‫ובכדי למנוע כל ניסיון לטענה‪ ,‬בחנתי גם מה תהיה ההשפעה של בחירת הפתרון הגרוע ביותר‪ ,‬המופיע‬
‫בשורה ‪ , 9‬והתוצאות מופיעות בשרטוט‪ 26-‬ממנו רואים שהדבר לא ישנה כלל את חישובינו לגבי אריכות‬
‫הימים‪.‬‬
‫להלן השרטוט של ‪ Z‬המופיע ב )‪: (8.15‬‬
‫שרטוט‪22-‬‬
‫הקווים הנראים מקבילים הם גרפי ה‪ , ‬המתאימים ל ‪ y‬השונים‪ ,‬הנעים בהתאם לערכים שבטבלה‬
‫שלעיל‪ ,‬כאשר ככל שה ‪ y‬קטן יותר כך גם הגרף המתאים נמוך יותר‪ .‬נקודות החיתוך שלהם עם ציר ה‪x -‬‬
‫נותן את ‪ ‬המתאים‪ ,‬עבור ה ‪ y‬שבחרנו‪ .‬הגרפים האחרים מציינים את ערכם של הפרמטרים כפונקציה‬
‫של ‪ .‬נשים לב ש )‪ (8.12‬נותן לנו את ‪ ‬כפונקציה של ‪ ‬מ )‪ (8.11‬מקבלים את‪ ,‬מ )‪ (8.9‬או )‪(8.4‬‬
‫מקבלים את ‪ ‬ו )‪ (8.7‬נותן את ‪ ‬כך שיש לנו את כל הפרמטרים כפונקציות של ‪. ‬‬
‫‪.66‬להלן גרף נוסף המראה רק את הפתרון שבחרנו‪ :‬הקו האנכי המקווקו הוא הקו העולה מ‬
‫‪ ‬והחיתוך שלו‪ ,‬עם הגרפים העקומים‪ ,‬נותן את הערכים המתאימים של מקדמי הפונקציות‬
‫שב )‪ (8.1‬וב‪ .(8.6)-‬במקרה זה אשתמש ב ‪‬שמצאנו פה‪ ,‬ולא ב ‪ ‬וגם אם אבלבל‬
‫ביניהם זה באמת לא משנה מאומה‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫שרטוט‪23-‬‬
‫נציב את‪, ,‬בתוך )‪ (8.1‬ונקבל את גרף ה‪ Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן כאשר השתמשנו בו‬
‫)‪(8.16‬‬
‫בפעם הראשונה‪:‬‬
‫להלן גרף המתאר את התוצאה הנ"ל‪:‬‬
‫שרטוט‪24-‬‬
‫‪74‬‬
‫נציב את הנתונים המתאימים בנוסחה )‪ (8.8‬ונקבל את גרף ה ‪ ,Psa‬תחת השפעת הפיטואסטרוגן‪,‬‬
‫)‪(8.17‬‬
‫כאשר השתמשנו בו בפעם השניה ב ‪25.04.2010‬‬
‫שרטוט‪25-‬‬
‫‪ .67‬בסעיף ‪ 25‬הזכרנו את האופציה הקיימת להשתמש ב‪ PL -‬בתור ה‪ Psa-‬שהיה ביום בו הפסקנו את‬
‫נשתמש‬
‫השמוש ב ‪ Q-P‬והחישוב שעשינו ב )‪ (2.56‬היה‬
‫עכשיו ב‪ , PL-‬ונראה מה תהיה התוצאה‪ .‬לפיכך‪ ,‬במקום נוסחה )‪ (8.11.1‬נקבל‬
‫ובמקום )‪,(8.12‬‬
‫נקבל‬
‫נקבל‬
‫ובמקום )‪(8.15‬‬
‫ואילו הנוסחאות עבור ‪ B1 , A1 , A‬נשארות ללא שינוי נלך באותה דרך של ההוכחה שבסעיפים ‪ .63‬עד‬
‫‪ .66‬ונקבל‪:‬‬
‫טבלה‪12.1-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪0.21‬‬
‫‪0.22‬‬
‫‪0.23‬‬
‫‪0.24‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.26‬‬
‫‪0.27‬‬
‫‪0.28‬‬
‫‪0.29‬‬
‫‪0.046153‬‬
‫‪0.043031‬‬
‫‪0.040076‬‬
‫‪0.037262‬‬
‫‪0.034568‬‬
‫‪0.031978‬‬
‫‪0.029473‬‬
‫‪0.027039‬‬
‫‪0.024662‬‬
‫‪0.0365‬‬
‫‪0.0361‬‬
‫‪0.0354‬‬
‫‪0.0345‬‬
‫‪0.0334‬‬
‫‪0.0318‬‬
‫‪0.0298‬‬
‫‪0.0271‬‬
‫‪0.0235‬‬
‫‪0.2391‬‬
‫‪0.2395‬‬
‫‪0.2402‬‬
‫‪0.2411‬‬
‫‪0.2422‬‬
‫‪0.2438‬‬
‫‪0.2458‬‬
‫‪0.2485‬‬
‫‪0.2521‬‬
‫‪0.0623‬‬
‫‪0.0615‬‬
‫‪0.0604‬‬
‫‪0.0589‬‬
‫‪0.0569‬‬
‫‪0.0543‬‬
‫‪0.0508‬‬
‫‪0.0462‬‬
‫‪0.0401‬‬
‫‪0.4077‬‬
‫‪0.4085‬‬
‫‪0.4096‬‬
‫‪0.4111‬‬
‫‪0.4131‬‬
‫‪0.4157‬‬
‫‪0.4192‬‬
‫‪0.4238‬‬
‫‪0.4299‬‬
‫‪75‬‬
‫שרטוט‪25.1-‬‬
‫שרטוט‪25.2-‬‬
‫הגרף השחור הוא הגרף שבשרטוט‪ 25-‬והגרף האדום הוא הגרף החדש המתאים ל ‪ .PL‬ולכן בשרטוט‪-‬‬
‫‪ 25.2‬אנו רואים שאין שום הבדל מעשי בין שני הגרפים‪ ,‬ומצאנו שלא משנה באיזה נתון נשתמש‪,‬‬
‫מבחינה פרקטית נקבל את אותן התוצאות‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫‪ .68‬מאחר ובחישובי אריכות הימים בסעיף ‪ .35‬הבאנו בחשבון שניתן לרדת מ ‪p=8.04‬‬
‫ל ‪ p=2.04‬תוך חודשיים‪ ,‬עלינו להוכיח זאת‪ ,‬לפיכך בנינו את הגרף הבא‪ ,‬המשמש בסיס לחישובי אריכות‬
‫הימים שבסעיף ‪ .35‬וממנו אנו רואים את שטענו שם ולכן ניתן להביא בחשבון לפחות ‪ 12‬מחזורי שמוש‬
‫ב ‪ . Q-P‬בנינו את הגרף הכחול על סמך שרטוט‪ .25-‬והפרופורציונליות של האסימפטוטות לנתוני ה‪Psa‬‬
‫בתחילת לקיחת הפיטואסטרוגן‪ ,‬כדוגמת החישוב ב )‪ (8.7‬והוא מתבסס על הפתרון שבשורה ‪.7‬‬
‫בטבלה‪ ,12-‬יחד עם זאת על מנת למנוע כל ניסיון לטענת נגד בנינו גם את הגרף החום המקווקו הבנוי‬
‫על הפתרון הכי גרוע‪ ,‬המופיע בשורה ‪ 9‬בטבלה‪ ,12-‬ואנו רואים‪ ,‬שגם תחת ההנחות הגרועות ביותר נרד‬
‫ל ‪ p=2.04‬תוך פחות מ ‪ 70‬יום‪ .‬כך שאנו יכולים להיות בטוחים שגם במקרה הקיצוני הזה‪ ,‬נוכל לעשות‬
‫‪ 12‬מחזורי שמוש ב‪.Q-P-‬‬
‫שרטוט‪26-‬‬
‫להלן הגרף‪:‬‬
‫דעיכת ה ‪ Psa‬לפי ה ‪ ‬האגרסיבי‪ ,‬בלקיחת ה ‪Q-P‬‬
‫‪ .69‬יש לשים לב לעובדה שהשתמשנו בנתוני פיטואסטרוגן‪ ,‬שמדידותיהם נלקחו משתי תקופות שונות‬
‫של הרעבה‪ .‬פרוש הדבר שיתכן שערבבנו נתונים מאזורים שיש להם ‪ ‬שונה‪ N(117) .‬שייך לאזור של‬
‫‪ ‬שייך לאזור ההרעבה השלישי‪ .‬אולי אין‬
‫טרום ההרעבה וכך גם ‪ (0)=0.2756‬ואילו‬
‫לזה הצדקה? יוצא שכאילו הנחנו שה ‪ ‬לא משתנה עבור הפיטואסטרוגן‪ ,‬ובסופו של דבר על פי‬
‫התוצאות שמצאנו‪ ,‬הוא זהה לקצב ההתחלקות המקורי‪ .‬עצם העובדה שקבלנו את התוצאה המקורית‬
‫של ה ‪ , ‬אף על פי שהשתמשנו בנתונים מאזורי הרעבה שונים‪ ,‬יותר ממרמז על כך‪ ,‬שברגע שהתחלנו‬
‫לקחת את הפיטואסטרוגן חזר הסרטן לרמת האגרסיביות הראשונית‪ ,‬למצב שבו כאילו אין הרעבה )ראה‬
‫גם דיון בסעיף ‪ (.70‬לאור האמור לעיל אנסה לבדוק על פי הנתונים האם זה סביר? לאור זאת אשתמש‬
‫בנתון יחיד לצורך הניתוח‪ .‬בנתון יחיד אין ערבוב של אזורים שונים‪ .‬נסתכל על טבלה‪ 9-‬אנו רואים שמוש‬
‫של ‪ 22‬יום בפיטו ולאחר עוד ‪ 34‬יום ‪ , p=0.3‬לפיכך אנו יכולים להניח בוודאות שה‪-‬פי‪.‬אס‪.‬אי‪ .‬היה קטן‬
‫מ ‪ 0.3‬ביום הפסקת לקיחת הפיטו‪ .‬מכיון שאנו יודעים ש ‪ N(0)=0.47‬נציב זאת בנוסחה )‪(8.1‬‬
‫)‪ (8.18‬ועל בסיס מה שאמרנו קודם הרי‬
‫נקבל‬
‫‪77‬‬
‫)‪(8.19‬‬
‫מתקיים‬
‫)‪(8.20‬‬
‫ומכאן נקבל‬
‫מכיון ש ‪ ‬הרי אגף ימין גדול מ ‪ 1‬כמו כן אנו יודעים ש ‪ A‬מספר קטן‪ ,‬כי הוא האסימפטוטה של‬
‫)‪ ,(8.18‬ומ )‪ (8.19‬ברור ש ‪ A<0.3‬לכן אגף שמאל גם הוא חיובי גדול מ‪ 1-‬לכן אפשר להוציא לוגריתם‬
‫)‪(8.21‬‬
‫משני הצדדים‪ ,‬מבלי שהאי שוויון יתהפך‪ ,‬לכן מתקיים‬
‫הביטוי‪ ,‬שנמצא בתוך סוגרי ה ‪ Lan‬הוא הקטן ביותר כאשר ‪ .A=0‬לכן האי שוויון הנ"ל מתקיים גם כאשר‬
‫)‪(8.22‬‬
‫‪ A=0‬לפיכך נובע‬
‫אף אחד לא יוכל לטעון טענה נגדית חזקה אם נניח ש ‪ 34‬יום לפני ה ‪ 20.06.10‬היה הפי‪.‬אס‪.‬אי נמוך‬
‫במקצת מ ‪ 0.3‬אם נניח ש ‪ 34‬יום קודם כלומר ביום הפסקת לקיחת הפיטואסטרוגן‪ ,‬היה ‪p=0.28‬‬
‫ננקבל ש ‪‬ננסה כעת למצוא ערך מקורב ל‪ :A‬ברור לחלוטין ש ‪ A>0‬אחרת פרושו שהפיטו‬
‫מסוגל לחסל את הסרטן‪ .‬אם אקח בחשבון אפילו ‪ A‬קטן מאד ‪ 0.01‬נגיע לכך ש ‪ ‬ואנו‬
‫מתקרבים מחדש ל‪ ‬הידוע אף על פי שהשתמשנו בנתון מאזור אחד‪ .‬לשים לב המסקנה הברורה הינה‪,‬‬
‫שכאשר אנו לוקחים את ה ‪ ,Q-P‬הסרטן חוזר לקצב ההתחלקות הטיבעי שלו‪ .‬העובדה שערבבנו נתונים‬
‫מאזורים שונים‪ ,‬וקבלנו במפתיע את הנתון הבסיסי ביותר‪ ,‬קצב ההתחלקות של הסרטן‪ ,‬והעובדה שאנו‬
‫מתקרבים לאותו הנתון כאשר דנו במפורש בנתון מאזור אחד בלבד‪ ,‬שקצב ההתחלקות בו שונה‬
‫לחלוטין‪ ,‬נותנים אישוש חזק למודל ולפרמטר‪.‬‬
‫‪ .70‬למה התופעה הנ"ל קורית? וזאת בניגוד לעובדה שתחת דיאטה הסרטן מראה קצב פיצול שונה‬
‫ברמות שונות של ה ‪ .Psa‬נשים לב‪ ,‬שאף אחד לא היה שואל שאלה זו לפני ביצועה של עבודה זו‪ ,‬אשר‬
‫מביאה למודעותנו שהסרטן גם מוריד אגרסיביות‪ .‬אינני יודע את התשובה המדויקת‪ ,‬אולם אני יכול‬
‫לשער השערות‪ .‬אני מניח שלסרטן יש קצב מקסימלי פנימי לפיו הוא רוצה להתחלק וקצב זה הינו קבוע‪.‬‬
‫קצב זה הינו הקצב בו הסרטן מכניס תאים למצב ‪ ,G1‬ברור שלסרטן יש אמצעים להורדת האגרסיביות‪,‬‬
‫אמצעי כזה יכול להיות האנג'יוסטטין שידוע לנו כבר שהוא גורם לאפופטוזיס )סימוכין ‪,(.38 .37 .36‬‬
‫בנוסף ידוע לנו שהמודל שלנו לא מבחין בין פרוליפרציה לאפופטוזיס )סעיף ‪ (.116‬אלא רק בהפרש‬
‫שביניהם‪ ,‬ולכן הגדלת אפופטוזיס פרושו ירידת האגרסיביות אותה אנו מודדים‪ .‬כלומר ייתכן שהמצב הוא‬
‫כזה שהסרטן ממשיך כל הזמן להכנס למצב ‪ G1‬בקצב המקסימלי‪ ,‬אבל האגרסיביות ממותנת ע"י‬
‫החומר המיוצר שגורם לאפופטוזיס‪ .‬אנו כבר יודעים שה ‪ Q-P‬ממסך את ה‪ ,Psa‬דהיינו גורם לסרטן לא‬
‫לייצר ‪ Psa‬וזאת באופן מידי‪ ,‬אם באותה דרך הוא גורם לסרטן לא לייצר תוצרים נוספים שהוא מייצר‪,‬‬
‫כולל אותו תוצר שגורם לאפופטוזיס‪ ,‬הרי שהפסקת הייצור תהיה מידית‪ ,‬כפי שראינו שקורה ל ‪ Psa‬ולכן‬
‫גם האגרסיביות שנראה‪ ,‬תעלה מידית לרמה הטבעית והקבועה שלה‪ .‬בשלב זה ולצרכים שלנו לא משנה‬
‫מה ההסבר‪ ,‬אם כי אילו הייתי יודע זאת בוודאות‪ ,‬הייתי מרוצה הרבה יותר‪ ,‬אך ההסבר שלנו מעלה‬
‫אפשרות לא דימיונית כיצד זה קורה‪.‬‬
‫הנושא הזה פתוח למחקר שצריך להיות מעניין וגם מאיר עיניים לגבי התנהגות הסרטן‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ :9‬המודל הכללי של האנג'יוג'נסיס‬
‫רשימת הנחות ומספר עובדות‬
‫‪ .71‬לצורך פיתוח המודל אני מניח הנחות מסוימות ומסתמך על עובדות קיימות כלהלן‪:‬‬
‫א‪ .‬הסרטן מתרבה ע"י התחלקות התאים‪ -‬עובדה ידועה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסרטן נזקק לחומר גלם להשלמת בניית התאים לאחר החלוקה‪ .‬הנחה זו נובעת מחוק שימור‬
‫החומר‪ ,‬כלומר אין יצירת יש מאיין‪.‬‬
‫ג‪ .‬במידה ואין מספיק חומר גלם‪ ,‬חלק מהתאים המתחלקים ימותו‪ .‬הנחה זו הגיונית‪ ,‬ואינה ניתנת‬
‫לערעור‪ .‬על אף שאמרתי שזו הנחה הגיונית שאינה ניתנת לערעור‪ ,‬אני בטוח שיהיה מי שיאמר שבשלב‬
‫‪ G1‬של חלוקת התא ישנה נקודת ביקורת שבה התא בודק אם יש לו מספיק חומר בסביבתו להשלמת‬
‫החלוקה‪ ,‬ואם אין לו אזי הוא עובר למצב ‪ ,G0‬כך שלמעשה התאים לא מתים‪ .‬אולם ידוע שתאים‬
‫סרטניים לא נענים לנקודת הבקורת ועוברים אותה‪ ,‬ומשם אין נסיגה אחורה‪ ,‬ואם אין מספיק חומר לבניה‬
‫אזי התאים אכן מתים‪ .‬אולם אם היינו מניחים שתאי הסרטן כן נענים לנקודת הביקורת ועוברים למצב‬
‫‪ ,G0‬הרי הנתוח המתמטי היה אומר שמרגע שהסרטן היה מגיע לנ"תה‪ ,‬הוא היה מתחיל לעלות בקצב‬
‫לינארי‪ ,‬השווה בגודלו לחסם הליניארי‪) .‬ראה הסבר בסעיף ‪ .(.31‬אילו זה היה כך לא היינו רואים את‬
‫העצרות הסרטן בהתקרבו לאסימפטוטה‪ ,‬והיינו רואים עלייה ליניארית יותר חזקה‪ ,‬ובשפוע עולה יותר‬
‫מכפול ממה שראינו בשלבים הראשונים‪ ,‬כי כפי שראינו בסעיף ‪ .31‬העלייה "הלינארית" שחזינו בה‬
‫היתה בממוצע כ ‪ 45%‬מהחסם הלינארי‪ .‬לא היינו רואים את ירידת האגרסיביות‪ ,‬ולא היינו רואים את‬
‫הקפיצות ב‪ ,Psa-‬ממצב של עצירה למצב של קפיצה ב ‪ Psa‬לפי גודלו של החסם הלינארי‪ .‬למעשה היינו‬
‫רואים עלייה אקספוננציאלית מיידית‪ ,‬ברמה הרבה יותר איטית מאשר טרום הדיאטה‪ ,‬אשר הייתה‬
‫נראית כקרובה מאד לעלייה הליניארית המואצת על פי החסם הלינארי )עובדה אחרונה זו תובן טוב יותר‬
‫לאחר שילמד פרק זה(‪ .‬התוצאות בפועל של המדגם של החולה‪ ,‬מאשרות את העובדה שסרטן‬
‫הערמונית‪ ,‬לא נעצר בנקודת הבקורת ב‪ .G1‬אולם גם אם זה היה קורה זה לא היה גורע מעצמתה של‬
‫הדיאטה שיצרנו‪.‬‬
‫ד‪ .‬לסרטן יש אמצעים מידיים להקטנת קצב החלוקה של התאים או להגדלתו‪ .‬הוכחנו זאת לגבי סרטן‬
‫הערמונית וכן הצבענו על מחקרים המראים שתוצרים של הסרטן משפיעים ישירות על ההתרבות ועל‬
‫המוות של התאים הסרטניים‪ ,‬למשל האנג'יוג'נין‪ ,‬האנג'יוסטטין וה ‪ 5-HETE‬ולא מדובר רק על סרטן‬
‫הערמונית‪.‬‬
‫ה‪ .‬הסרטן שואף תמיד להתרבות במהירות המקסימלית‪-‬אין לו שום תפקיד אחר פרט להתרבות‪.‬‬
‫ו‪ .‬האנג'יוג'נסיס הוא האמצעי של הסרטן להגדלת אספקת המזון‪ ,‬זוהי עובדה ידועה‪ .‬ידוע גם שללא‬
‫תרופות‪ ,‬או הגבלת מזון קצב צמיחת כלי הדם עולה אקספוננציאלית‪) .‬סימוכין ‪(.43‬‬
‫ז‪ .‬כאשר כל התנאים קבועים ולא משתנים )תזונה קבועה(‪ ,‬הרי קצב ההתחלקות של הסרטן יגיע‬
‫לגודל יציב וקבוע‪ .‬אנו קראנו להנחה זו בשם "עקרון שווי המשקל"‪ .‬הגיוני ביותר להניח שהסרטן מגיע‬
‫באיזשהו שלב לשווי משקל‪ ,‬דהיינו לקצב התחלקות קבוע ‪ ,‬וקצב גידול קבוע ‪ ‬או ‪ ‬של המזון )של‬
‫כלי הדם המזינים( )תלוי במודל(‪ .‬הנחה זו איננה עצמאית ואנו נראה שהיא נובעת מהנחה‪.71 -‬ה‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫המשוואות משותפות לכל המודלים‬
‫‪ .72‬בכל המודלים המוצעים‪ ,‬או שיוצעו בעתיד‪ ,‬ישנה משוואה בסיסית אחת המשותפת לכולן‪ .‬זוהי‬
‫טענה חזקה ביותר‪ ,‬אך היא מבוססת ותקפותה אינה מוטלת בספק‪ .‬נצא מהנוסחה הבסיסית )‪(2.6‬‬
‫)‪(9.0‬‬
‫ששימשה לפיתוח מודל ההרעבה‬
‫אנו מניחים שעל אף ההרעבה ושאר התנאים המגבילים לפיתוח האנג'יוג'נסיס‪ ,‬הסרטן מצליח לפתח כלי‬
‫דם נוספים‪ ,‬בקצב מסוים ולכן ללא הגבלת הכלליות‪ ,‬נניח שקצב אספקת המזון ביחידת זמן איננו קבוע‬
‫והוא פונקציה של הזמן‪ ,‬שנסמנה ב )‪ ,k(t‬לכן נרשום את )‪ (9.0‬בהתאם כלהלן‪:‬‬
‫)‪(9.0.1‬‬
‫בא לסמל אך ורק את ההפרש בין קצב אספקת המזון לאזור הגידול‪ ,‬לבין קצב צריכתו ע"י‬
‫כאשר‬
‫הסרטן‪ ,‬והוא בסה"כ מסמל את שארית המזון ואין לו שום משמעות שקשורה לנגזרת או משהו דומה‬
‫אחר‪ .‬משוואה זו איננה ניתנת לערעור והיא נובעת מהעובדות שבסעיף ‪.71‬א‪ .‬ו‪.71 -‬ב‪ .‬נגדיר כפי‬
‫כלהלן‪:‬‬
‫שהגדרנו בעבר את קצב הילודה‬
‫)‪(9.1‬‬
‫וכפי שסמנו בעבר ‪ s=k\L‬כך נסמן עכשיו ‪ ,S(t)=K(t)/L‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(9.2‬‬
‫כאשר )‪ S(t‬מייצג את כמות תאי הסרטן היכולים להווצר ביחידת זמן‪ ,‬ע"י המזון המסופק ביחידת זמן‪,‬‬
‫והיא שווה לכמות המזון המסופקת ביחידת זמן‪ ,‬חלקי כמות המזון הנדרשת להשלמת הבניה של תא‬
‫סרטני אחד‪ S(t) .‬היא פונקציה של הזמן‪ ,‬מאחר וכפי שאמרנו במשך הזמן נוצרים כלי דם חדשים‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו‬
‫שמגדילים את הספקת המזון לסרטן‪ .‬מיד עם התחלתה של הרעבה יעילה מתקיים‬
‫במצב בו מתקיים‬
‫)‪(9.3‬‬
‫אנו יודעים שמתקיימת לגבי הסרטן המשוואה הדיפרנציאלית המופיעה ב )‪ (2.10‬כלהלן‪:‬‬
‫)‪(9.4‬‬
‫כאשר ‪ ‬הוא קצב הילודה ו ‪ ‬הוא קצב התמותה ‪ ,‬אבל ב)‪ (9.2‬מצאנו שקצב הילודה תחת הרעבה‬
‫לכן נציב זאת במקום ‪ ‬ב )‪ ,(9.4‬אנו גם יודעים ש ‪ ‬קצב התמותה שווה ל ‪ ,‬שהוא קצב‬
‫הוא‬
‫ההתחלקות של הסרטן‪ ,‬מאחר שכפי שאמרנו הרי מבחינתנו כל תא שנחלק הינו תא אחד פחות‪,‬‬
‫שבמקומו רוצים להוולד שני תאים חדשים‪ ,‬לכן לאחר ההצבות המתאימות נקבל‪:‬‬
‫)‪(9.5‬‬
‫ונקבל‬
‫)‪(9.6‬‬
‫ובקצור נקבל‬
‫משוואה זו הינה משוואה בסיסית שתשתתף בכל המודלים הקשורים ל )‪ S(t‬ולא משנה מה נניח לגבי‬
‫)‪ ,S(t‬מפני שבתהליך בנייתה של משוואה זו לא השתמשנו בשום תכונה של )‪ ,S(t‬פרט לעובדה‬
‫שפונקציה זו משתנה עם הזמן‪ .‬נשים לב למשמעות של )‪ (9.6‬האומרת שקצב השינוי של )‪ N(t‬שווה‬
‫לקצב היצירה של התאים החדשים‪ ,‬שהינו )‪ ,S(t‬פחות קצב ההתחלקות של תאי הסרטן וכשאנו מבינים‬
‫משמעות זו‪ ,‬אנו גם מבינים שנוסחה זו נכונה תמיד‪.‬‬
‫‪ .73‬ברצוני להגיע למשוואה בסיסית נוספת שתהיה משותפת לכל המודלים‪ :‬נסתכל על )‪ ,(9.0‬אם‬
‫פרושו שלא כל המזון העומד לרשות הסרטן מנוצל‪ ,‬אבל מאחר שהנחנו שהסרטן שואף‬
‫מתקיים‬
‫‪80‬‬
‫תמיד להתרבות במהירות המכסימלית‪ ,‬הרי שבמקרה כזה הוא יגדיל את ‪ ,‬על מנת לנצל את כל‬
‫ואז יתקיים )‪ .(9.3‬גם אם הוא לא‬
‫אספקת המזון ולכן הוא יסגור את הפער והוא יגיע למצב שבו‬
‫יגדיל את ‪ ‬הרי אם כמות המזון המסופקת מוגבלת ‪ ,‬הוא יסגור את הפער בעקבות המשך הגידול של‬
‫נקודת תחילת ההרעבה‪ ,‬ובקיצור נת"ה ‪ .‬עד כה‬
‫הסרטן‪ .‬נזכיר‪ ,‬שקראנו לרגע הראשון שבו‬
‫טפלנו במצב בו ‪ ‬היה קטן מידי‪ ,‬נעבור לטפל במצב בו ‪ ‬גדול מידי‪ .‬כפי שראינו מההסבר בסעיף ‪.9‬‬
‫ובסעיף ‪ .14‬א' הרי המצב האופטימלי עבור הסרטן הינו‪ ,‬כשכל הכמות הנחלקת זוכה לקבל את המזון‪,‬‬
‫ולהפוך כולה לתאי סרטן חדשים‪ .‬כל כמות נחלקת שתהיה גדולה מכך תתן גידול נטו נמוך יותר‪ ,‬והסיבה‬
‫היא שהסרטן מקבל קנס על התחלקות מהירה מידי והקנס הוא מוות של תאים‪ ,‬שלא היו צריכים למות‬
‫אלמלא ההתחלקות המהירה מדי‪ .‬אנו נזכיר שוב שמבחינתנו תא סרטני שנחלק הוא תא סרטני אחד‬
‫פחות‪ ,‬אם שני חלקיו לא זכו לקבל השלמת מזון שתהפכם ל‪ 2‬תאים שלמים‪ .‬והדוגמא בסעיף ‪.9‬‬
‫מסבירה זאת היטב‪ ,‬לכן ברור שהנת"ה היא נקודת שיווי משקל‪ ,‬מאחר שאם אין הרעבה הסרטן יגדיל‬
‫את ‪ ‬עד שהוא יגיע לנת"ה‪ ,‬או שהוא יגיע לשם באופן טבעי עם גדול הסרטן‪ ,‬וכשהוא ממש בתוך‬
‫ההרעבה הוא יקטין את ‪‬בכדי להגיע לנת"ה‪ .‬זה המשמעות של נקודת שווי משקל‪ ,‬כל יציאה מנקודה זו‬
‫גורמת לניסיון לחזור לשם‪ .‬לכן כשהסרטן מגיע לנקודת שווי משקל כזו הוא ישאר בה‪ ,‬בתנאי שקצב‬
‫הגידול של אספקת המזון שווה לקצב הגידול של הסרטן‪ .‬כל עוד קצב אספקת המזון נמוך מקצב‬
‫ההתרבות‪ ,‬הרי שהסרטן יגיע מחדש למצב בו אין הוא יכול להתרבות ועל כן הוא יוסיף ויקטין את קצב‬
‫התרבותו עד אשר קצב זה ישווה לקצב גידול המזון‪ .‬השאיפה לשווי משקל נובעת מההנחה שב ‪.71‬ה‪.‬‬
‫לכן חלק זה של האמור ב ‪.71‬ז‪ .‬איננו באמת הנחה עצמאית‪ ,‬אלא תוצאה של ההנחה ה‪ .‬כפי שאנו‬
‫רואים ‪ ‬ימשיך לקטון כל עוד הוא גדול מאשר קצב גידול המזון‪ ,‬בשביל שטענה זו תהיה בת תוקף עלינו‬
‫להוכיח ש ‪ ‬בכלל גדול מאשר קצב גידול המזון‪ ,‬זאת נוכל להסביר‪ ,‬לאחר שנראה בהמשך הדרך‬
‫ממצאים מספריים‪ ,‬המראים שאכן זה כך‪ .‬בסופו של דבר‪ ,‬כאשר קצב גידול המזון זהה לקצב גידול‬
‫הסרטן‪ ,‬פרושו שהסרטן ימצא בנת"ה באופן קבוע ‪ .‬מהאמור לעיל ברור שהמצב האופטימלי עבור‬
‫הסרטן הינו הרגע בו מתחילה ההרעבה‪ ,‬זה הרגע שבו בדיוק כל הכמות המתחלקת זוכה להשלים את‬
‫או בדיוק באותו הרגע‬
‫בנית התא ולא נשאר עודף של מזון‪ .‬מצב זה קורה בדיוק כאשר‬
‫מתאפס ברגע זה קיים על פי )‪ (9.2‬ו )‪(9.3‬‬
‫שבו‬
‫)‪(9.7‬‬
‫)‪(9.8‬‬
‫או‬
‫נציב זאת ב )‪ (9.6‬ונקבל‬
‫)‪(9.8.1‬‬
‫וכן נקבל מ )‪ (9.8.1‬ומ )‪(9.8‬‬
‫)‪(9.8.2‬‬
‫כלומר‬
‫נגזור את )‪ (9.8‬ונקבל‬
‫)‪(9.8.3‬‬
‫)‪(9.8.4‬‬
‫או מ )‪ (9.8‬ו )‪ (9.8.3‬נקבל ׁ‬
‫וכפי שאנו רואים‪ ,‬במצב הקבוע של שיווי המשקל מתקיים ש )‪ S(t‬ו )‪ N(t‬מתקדמים באותו קצב ולכן אם‬
‫‪ ‬גדול מקצב גידול המזון והוא הולך וקטן‪ ,‬הרי ברגע מסוים הוא יגיע לקצב גידול המזון וישתווה לו‬
‫ומאותו רגע הסרטן והמזון יגדלו באותו הקצב ופרושו שאנו בשיווי משקל‪ .‬נזכור שמשוואות אלו‬
‫מתקיימות במצב הסופי‪ ,‬במצב של שווי המשקל‪ ,‬ולא מתקיימות‪ ,‬כל עוד לא הגענו לשווי המשקל ‪ .‬נחזור‬
‫ונדגיש‪ ,‬במצב שווי המשקל הסרטן גדל בדיוק בקצב בו גדל המזון‪ ,‬הדבר בולט במשוואה )‪ (9.8‬או‬
‫בהשוואה בין )‪ (9.8.2‬ל )‪ (9.8.4‬כלומר הסרטן גדל בקצב של גידול כלי הדם המזינים‪ .‬אני מניח שכל‬
‫אחד היה יכול להניח זאת ישירות‪ ,‬אולם אם הייתי עושה זאת כך‪ ,‬בוודאי היו מי שהיו מעירים הערות‪.‬‬
‫מתי הסרטן יתייצב על הנת"ה‪ ,‬ובכמה צעדים זה יקרה? אינני יודע בדיוק‪ ,‬אולם זה גם לא כל כך משנה‬
‫לענייננו‪ ,‬מאחר ככל שזה יקרה מאוחר יותר‪ ,‬כך יותר טוב לחולה‪ .‬המצב האופטימלי עבור הסרטן‪ ,‬הוא‬
‫המצב הגרוע לחולה‪ ,‬המצב האופטימלי עבור הסרטן הוא התקדמותו לפי החסם העליון‪ ,‬ואם נראה‬
‫שתחת החסם העליון אנו יכולים לחיות שנים רבות‪ ,‬הרי שמטרתנו הושגה‪.‬‬
‫נשים גם לב לעובדה שהגענו למסקנות הללו מבלי שהנחנו מהי צורת ההתפתחות של )‪ ,S(t‬כלומר לא‬
‫חשוב מה נניח לגבי התפתחות האנג'יוג'נסיס‪ ,‬בסופו של דבר בטווח הארוך הוא יתפתח בדיוק כמו‬
‫‪81‬‬
‫הגידול עצמו‪ .‬זה אומר לנו‪ ,‬שבסופו של דבר‪ ,‬הנוסחה הסופית של התפתחות הסרטן‪ ,‬במצב שווי‬
‫המשקל היא כמו במצב ללא הרעבה‪ ,‬אך עם ערך ‪ ‬הרבה יותר קטן מאשר מצב ללא הרעבה‪ .‬זה גם‬
‫אומר לנו שמצב נורמלי ללא דיאטה פועל בדיוק כמו מצב של דיאטה‪ ,‬אלא שמגבלת המזון ללא דיאטה‬
‫הרבה יותר קטנה‪ .‬זה גם מרמז‪ ,‬שייתכן‪ ,‬שההבדל באגרסיביות של הסרטן אצל אנשים שונים‪ ,‬נובע‬
‫מהבדלי התזונה ביניהם‪.‬‬
‫מספר אבחנות והערות‬
‫‪ .74‬נקודה חשובה לציון‪ :‬אם אנו טוענים שהסרטן משנה את האגרסיביות שלו‪ ,‬כלומר את ‪ ,‬אזי לא‬
‫יהיה זה נכון להציב ב )‪ (9.5‬את ‪ ‬כגודל קבוע בעל ערך ‪ , ‬מפני שערכו משתנה‪ .‬יחד עם האמור לעיל‬
‫אנו יודעים שהסרטן משנה את ‪ ‬בקפיצות ולא ברצף‪) ,‬לפחות כך במקרה של סרטן הערמונית(‪ ,‬בכל‬
‫מקרה ברור ש‪ t‬פונקציה רציפה מאחר ומדובר במסה פיסיקלית‪ ,‬הפונקציה גם גזירה‪ ,‬זאת ברור‬
‫מצורתה‪ ,‬הנתונה ב )‪ ,(9.6‬אלא שהנגזרת שלה רציפה לחלקים‪ .‬נקודות אי הרציפות של הנגזרת הן‬
‫הנקודות בהן ‪ ‬משתנה‪ .‬בין נקודת השתנות אחת לשניה הנגזרת רציפה‪ ,‬לפיכך מותר לנו לגזור את‬
‫‪ t‬בכל רגע ורגע למעט מספר מוגבל של נקודות‪.‬‬
‫‪ .75‬ראינו שהמצב שבו הסרטן מתרבה במהירות הגבוהה ביותר הוא הנת"ה )נקודת תחילת‬
‫ראה סעיף ‪ .9‬כאן‪ .‬ברצוני לתת אבחנה מדויקת בין‬
‫ההרעבה( נקודה זו היא הרגע הראשון שבו‬
‫‪ ‬ובין ‪ t‬כמופיע ב )‪ (9.1‬ואילך‪ ,‬וגם ב )‪.(2.9‬הוא קצב ההתחלקות של תאי הסרטן ו ‪ (t)dt‬היא‬
‫הוא קצב ההתרבות )של תאים חדשים(‪ ,‬כפי‬
‫כמות התאים המתחלקת ביחידת הזמן ‪ dt‬ואילו‬
‫שאנו הצופים‪ ,‬רואים אותו בעקבות הדיאטה‪ ,‬והוא שווה לקצב הלידה ללא מצב הרעבה‪ ,‬פחות קצב‬
‫הכמות שלא משלימה את בנית התא כתוצאה מחוסר מזון )קצב המוות(‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נסמן את קצב‬
‫‪(9.9) ‬‬
‫אזי נקבל‬
‫מספר התאים )לאחר ההתחלקות( שלא משלימים את בנייתם ב‬
‫מודל ראשון‪" :‬מודל‪ -‬אומגה"‬
‫‪ .76‬האנג'יוג'נסיס הוא האמצעי של הסרטן להגדלת אספקת המזון‪ ,‬זוהי עובדה ידועה‪ .‬ידוע גם שללא‬
‫תרופות‪ ,‬או הגבלת מזון קצב צמיחת כלי הדם עולה אקספוננציאלית‪) .‬סימוכין ‪ ,(.43‬אולם אפשר להוכיח‬
‫זאת גם ישירות‪ .‬ידוע שהגידול עצמו עולה אקספוננציאלית‪ ,‬הרי שגם כמות המזון צריכה לעלות‬
‫אקספוננציאלית‪ .‬לפיכך הגיוני להניח שהגידול ביחידת זמן של המזון המסופק )הנגזרת של פונקצית‬
‫המזון(‪ ,‬נמצא ביחס ישר לגידול בגודל הסרטן )הנגזרת של פונקצית גודל הסרטן(‪ .‬אולם מכיון שקצב‬
‫גידול הסרטן נמצא ביחס ישר לגודל הסרטן‪ ,‬אזי גם קצב גידול המזון צריך להיות ביחס ישר לגודל‬
‫הסרטן‪ .‬למודל זה קראנו מודל‪-‬אומגה‪ .‬וראה גם הנמקה לכך בפרק ‪ .13‬בסוף סעיף ‪ .113‬יחד עם זאת‬
‫ראינו צורך להציג מודל נוסף שכבר השתמשנו בדומה לו‪ ,‬לפיו קצב הגידול של המזון המסופק נמצא‬
‫ביחס ישר לגודלה של הכמות שכבר מסופקת‪ .‬יש הגיון מסוים בהנחה כזאת‪ ,‬מאחר שאם בטווח הארוך‬
‫המזון וגודל הסרטן עולים באותו קצב‪ ,‬הרי שפרושו‪‬שאם ניתן להניח שקיים קשר בין קצב גידול המזון‬
‫לגודל הסרטן‪ ,‬הרי שבטווח הארוך ניתן גם להניח שקיים קשר בין קצב גידול המזון לכמות המזון שכבר‬
‫מסופקת‪ .‬למודל זה קראנו "מודל‪-‬מיו"‪.‬‬
‫אנו מעדיפים את מודל‪-‬אומגה מסיבות המוסברות בסעיף ‪ .79‬ובסוף סעיף ‪ . 113‬מנוסחה )‪ (9.8.3‬אנו‬
‫רואים שבמצב שיווי משקל‪ ,‬מודל אומגה מתקיים‪ ,‬נבנה את )‪ S(t‬על פי ההנחה הנ"ל כלומר נניח‬
‫)‪(9.10‬‬
‫כאשר ‪ ‬הינו פרמטר אותו עלינו למצוא‪ ,‬ועל שמו קראנו למודל‪ ,‬אפשרות זאת נובעת ישירות‬
‫מ )‪ .(9.8.3‬המשוואות ב )‪ (9.6‬ו )‪ (9.10‬מהוות מערכת משוואות דיפרנציאליות‪ .‬וליתר נוחיות נציב פה‬
‫)‪(9.10.1‬‬
‫את )‪ (9.6‬מחדש‬
‫נגזור את )‪ (9.6‬ונציב בתוך הנגזרת את )‪(9.10‬‬
‫‪82‬‬
‫או בצורה אחרת‬
‫נגזור את )‪ (9.10‬ונציב את )‪ (9.6‬בפנים ולאחר מכן את )‪ (9.10‬ונקבל‬
‫)‪(9.11‬‬
‫)‪(9.12‬‬
‫נעביר מאגף לאגף ונקבל‬
‫אם נתבונן במשוואות )‪ (9.11‬ו )‪ (9.12‬נראה שזו אותה משוואה בדיוק אלא שהאחת היא עבור )‪S(t‬‬
‫והשנייה עבור )‪ (9.11) .N(t‬ו )‪ (9.12‬הן משוואות הומוגניות ליניאריות מהסדר השני‪ ,‬וכאשר ‪‬ו‪ -‬‬
‫קבועים‪ ,‬יש לכך פתרון פשוט‪ .‬לכאורה לא קיימת תלות בין )‪ S(t‬לבין )‪ ,N(t‬אבל אין זה נכון‪ ,‬מפני שעדיין‬
‫חייבים להתקיים גם )‪ (9.6‬ו )‪.(9.10‬‬
‫‪ .77‬אמרנו שלמשוואות שלעיל יש פתרון פשוט‪ ,‬כאשר ‪‬ו‪ -‬קבועים השאלה הינה האם באמת הינם‬
‫קבועים? אנו ראינו שלגבי סרטן הערמונית ‪ ‬משתנה בקפיצות ולא ברצף‪ ,‬לפיכך אין לי שום סיבה‬
‫לחשוב ש ‪ ‬ישתנה ברצף ולא בקפיצות‪ ,‬מה גם שכפי הנראה אגרסיביות הסרטן וקצב האנג'יוג'נסיס‬
‫הולכים יד ביד‪ .‬אנו רואים זאת בנוסחאות )‪ (9.8.2‬ו)‪ (9.8.4‬שהנן נכונות בטווח הארוך‪ ,‬כמו כן ידוע‬
‫שהאנג'יוג'נין פועל באותו כוון על הפרוליפרציה של הסרטן ועל צמיחת כלי הדם‪ ,‬ואותו דבר קורה לגבי‬
‫האנג'יוסטטין הגורם לאפופטוזיס של תאי הסרטן ובו בזמן גם בולם את צמיחת כלי הדם המזינים את‬
‫הסרטן‪ .‬בפרק ‪ .13‬אנו מצביעים על מקורות לטענות שלעיל‪ ,‬וגם מראים שהמודל שלנו לא מבחין בין‬
‫פרוליפרציה לאפופטוזיס‪ ,‬אלא רק בהפרש שביניהם‪ ,‬והפרש זה הוא שקובע את רמת האגרסיביות‪ .‬אנו‬
‫רואים שחומרים שמפריש הסרטן‪ ,‬פועלים באותו כוון על האגרסיביות ועל ועל צמיחת כלי הדם המזינים‪,‬‬
‫דבר המצביע שיש קשר ברור בין האגרסיביות לבין צמיחת כלי הדם המזינים‪ .‬גם אם לא היינו רואים את‬
‫העובדות שצויינו לעיל‪ ,‬היה זה רק טבעי להניח זאת‪ .‬העובדה שהפונקציה רציפה ברורה לחלוטין‪ ,‬כי‬
‫מדובר על מסות‪ ,‬יתכן שהנגזרת לא רציפה במספר נקודות בגלל ההשתנות בקפיצות של הפרמטרים‪,‬‬
‫אך בין נקודות האי רציפות גם הנגזרת רציפה וגזירה‪ .‬לכן כל הנוסחאות תופסות‪ ,‬מה שיכול להיות‬
‫שבאזורי זמן שונים הפרמטרים יהיו שונים ‪ ,‬אבל זו בדיוק הסיבה לרציפות בחלקים של הנגזרת‪.‬‬
‫‪ .78‬אנו ראינו ב סעיפים ‪ .72‬ו ‪ .73‬נוסחה בסיסית‪ (9.6) ,‬שקיימת תמיד‬
‫ונוסחאות נוספות המשותפות לכל המודלים‪ ,‬אולם נכונות רק כאשר הסרטן מגיע לנקודת שווי משקל‪.‬‬
‫)‪ (9.8.4‬אנו רואים את הדימיון‬
‫)‪ (9.8.2‬והשניה‬
‫אחת מהן היא‬
‫בין )‪ S(t‬ו )‪ N(t‬גם כאשר מסתכלים על שתי נוסחאות אלו‪ ,‬אף על פי שיצאנו מ )‪ (9.10‬קבלנו שבנקודת‬
‫שווי המשקל‪ ,‬כאשר קצב הגידול מתייצב‪ ,‬קצב התפתחות האנג'יוג'נסיס וקצב התפתחות הסרטן זהים‬
‫והם מתקדמים יד ביד וקיים קשר מתמטי ברור בין ‪‬ו ‪ .‬נדגיש שמצב זה אינו מחוייב המציאות בכל‬
‫רגע ורגע‪ ,‬מאחר וראינו שקיימת אפשרות תאורטית‪ ,‬שבא אין גידול בכמות המזון ובכל זאת הסרטן‬
‫ממשיך ומתפתח‪ .‬דבר זה חשוב להבנתם של מבצעי ניסויים למיניהם בחומרים מעכבי אנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫)‪ (9.8.3‬נשווה זאת ל )‪ (9.10‬ונקבל‬
‫ראינו כבר שבנקודת שיווי המשקל קיים‬
‫)‪(9.13‬‬
‫כלומר במצב של שיווי משקל מתקיים )‪ (9.13‬אבל לא הוכחנו זאת לגבי כל רגע ורגע‪.‬‬
‫מודל שני‪" :‬מודל‪ -‬מיו"‬
‫‪ .79‬מעניין לראות איזה משוואות כלליות הייתי מקבל אילו יצאתי מהנחה שונה‪ ,‬האומרת‬
‫)‪(9.14‬‬
‫)‪(9.15‬‬
‫נרשום לידה מחדש את )‪(9.6‬‬
‫על מנת שנראה את מערכת המשוואות הדיפרנציאלית יחד‪.‬‬
‫יש הצדקה למשוואה )‪ ,(9.14‬על בסיס )‪ (9.8.4‬שמתקיימת בטווח הארוך‪ ,‬דהיינו במצב שיווי המשקל‪.‬‬
‫נציין עם זאת‪ ,‬שחסרה הסיבתיות הפיזיקלית לקיומה של משוואה זו בכל רגע ורגע‪ ,‬מאחר שאיננו‬
‫‪83‬‬
‫רואים שום סיבה ביולוגית שבגללה הדרישה לתוספת כלי דם תנבע מכמות כלי הדם בעצמם‪ ,‬אלא עם‬
‫כן הם עצמם סרטניים‪ ,‬לכן אנו מעדיפים את מודל אומגה‪ ,‬שם קיימת סיבתיות ברורה ל )‪ .(9.10‬בנוסף‬
‫לכך במודל האומגה יש תלות ‪ ,‬דו כוונית בין )‪ S(t‬לבין )‪ ,N(t‬בעוד שבמודל מיו‪ S(t) ,‬עומד בפני עצמו‬
‫והוא לא באמת תלוי ב )‪ N(t‬אלא רק )‪ N(t‬תלוי ב)‪ ,S(t‬לכן גם מבחינה זו אנו מעדיפים את מודל אומגה‪.‬‬
‫למרות האמור לעיל אנו נכנסים לפיתוח מודל זה‪ ,‬מפני שמודל מיו נוח לעבודה יותר‪ ,‬ומפני שלמעשה‬
‫כבר עבדנו אתו‪ ,‬מבלי להכנס ליותר מידי ניתוחים מדוע‪ .‬זאת כמובן לא הצדקה מדעית וגם לא הצדקה‬
‫הגיונית מדוע לעשות זאת‪ ,‬כאשר המודל היותר הגיוני הינו מודל האומגה‪ ,‬אולם במהלך ההוכחות נראה‬
‫שמודל מיו נותן לאורך כל הדרך תוצאות יותר גרועות מאשר מודל אומגה‪ ,‬לעיניין חישובי אריכות הימים‬
‫של החולה‪ ,‬ולכן אם אנו בוחרים במודל הגרוע יותר מבחינת התוצאות‪ ,‬ובכל זאת מצביעים על אריכות‬
‫ימים ניכרת‪ ,‬הרי שהשגנו את מטרתנו‪ .‬נציין שכבר מהגדרת מערכת המשוואות‪ ,‬די ברור‪ ,‬שמערכת‬
‫אומגה מתפתחת יותר לאט מאשר מערכת מיו‪ ,‬בגלל התלות הדו כוונית של הפונקציות במערכת זו‪,‬‬
‫לעומת התלות החד כוונית במערכת מיו‪ ,‬אבל זו לא הוכחה ואנו נוכיח זאת בהמשך בצורה ברורה‪.‬‬
‫)‪(9.19‬‬
‫מ‪(9.14)-‬‬
‫נגזור את )‪ (9.15‬ונציב את‬
‫נציב בפנים את )‪ S(t‬מ )‪ (9.15‬ונקבל‬
‫)‪(9.20‬‬
‫ולאחר העברה ביו האגפים נקבל‬
‫כאשר המשוואה המקבילה עבור )‪ S(t‬נתונה לנו כבר ב )‪ (9.14‬ראינו שבמצב שווי משקל קיים‬
‫)‪ (9.8.4‬מכאן ומ )‪ (9.14‬ינבע‬
‫כלומר במצב שיווי משקל מתקיים )‪ (9.21‬וכן מתקיימת המשוואה )‪ (9.14‬למודל מיו‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‪(9.21‬‬
‫פתרון המשוואות הדיפרנציאליות של המודל‪ -‬אומגה‬
‫הפונקציה‬
‫‪ .80‬נקח את אחת המשוואות למשל את )‪(9.11‬‬
‫)‪(9.22‬‬
‫הקרקטריסטית של משוואה זו היא המשוואה הריבועית‬
‫יהיו ‪ ‬ו ‪ ‬הפתרונות של )‪ ,(9.22‬כאשר המקדמים ‪ ‬ו ‪ ‬קבועים‪ ,‬אזי הפתרון הכללי של )‪ N(t‬יהיה‬
‫)‪(9.23‬‬
‫)‪(9.24‬‬
‫‪ ‬ו‪ , -‬הם הפתרונות של )‪ ,(9.22‬לכן‬
‫ברור שיש לנו כאן שני פתרונות ממשיים‪ .‬על מנת לפתור את הפרמטרים יש לקחת לפחות ‪4‬‬
‫דגימות‪ ,‬מהן נמצא קירובים ל ‪ ‬ו ‪ , ‬שמהם נוכל לפתור את את ‪  ‬ו ‪‬‬
‫)‪(9.24.1‬‬
‫מ )‪ (9.22‬נובע‬
‫)‪(9.24.2‬‬
‫וכן‬
‫את ערכי ‪ ‬ו ‪ ‬יש לנו מהקרוב למדגם‪ ,‬ומ )‪ (9.24.1‬ו )‪ (9.24.2‬נוכל למצוא את ערכי ‪ ‬ו ‪. ‬‬
‫מופיעה ב )‪ (9.22‬והפתרון התאורטי של‬
‫הפונקציה הכרקטריסטית‬
‫)‪ (9.11‬ו)‪ (9.12‬הוא‪:‬‬
‫)‪(9.24.3‬‬
‫)‪(9.24.4‬‬
‫אך המקדמים של )‪ S(t‬יהיו שונים משל )‪ N(t‬ולכן‬
‫נגזור את )‪ (9.24.3‬ןנציב בפנים את )‪ ,(9.6‬שנכונה תמיד‪ ,‬ונקבל‬
‫)‪(9.24.5‬‬
‫נכנס איברים ונקבל‬
‫הנחה ש ‪   ‬הרי שהשוויון שב )‪ ,(9.24.5‬הנכון עבור כל ‪ ,t‬יכול להתקיים רק אם כל אחד‬
‫ו‬
‫מהמקדמים שווה לאפס‪ ,‬כלומר מתקיים‬
‫)‪(9.24.6‬‬
‫ו‬
‫או‬
‫נגזור את )‪ (9.24.4‬ונשווה זאת ל )‪ (9.10‬ונקבל‪:‬‬
‫‪84‬‬
‫)‪(9.24.7‬‬
‫)‪(9.24.8‬‬
‫נכנס איברים ונקבל‬
‫ושוב בהנחה ש ‪   ‬הרי שהשוויון שלעיל‪ ,‬הנכון עבור כל ‪ ,t‬יכול להתקיים רק אם כל אחד‬
‫)‪(9.24.9‬‬
‫מהמקדמים שווה לאפס‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫)‪(9.24.10‬‬
‫ומכאן נקבל‬
‫)‪(9.24.11‬‬
‫כאשר )‪ N(t‬נתון לנו ב )‪ .(9.24.3‬נציב ‪ t=0‬ב )‪ (9.24.10‬ונקבל‬
‫)‪(9.24.12‬‬
‫וכן נציב ‪ t=0‬ב )‪ (24.3‬ונקבל‬
‫‪  , ,,‬ידועים וכן ‪ c1‬ו ‪) c2‬כולם ידועים או מחושבים מהמדגם( לכן ידועים גם )‪ N(0‬ולכן גם )‪S(0‬‬
‫‪ .‬וכן ידועים לנו )‪ N(t‬ו )‪.S(t‬‬
‫ננסה לראות מה קורה במצב של שיווי משקל ‪ ,‬מצב בו קצב ההתחלקות וקצב גידול המזון הגיעו לאיזון‬
‫והסרטן מנצל לגידולו את כל כמות המזון העומדת לרשותו‪ ,‬כלומר הוא נמצא בנת"ה‪.‬‬
‫בנקודה זו‬
‫מ)‪ (9.84‬נובע שבשיווי משקל קיים‬
‫לכן גם‬
‫את אותה נוסחה נפגוש שוב במודל מיו ב )‪(9.52‬‬
‫לצרכים עתידיים נפתח זאת בדרך נוספת‪ .‬לפי )‪ (9.13‬קיים בשווי משקל‬
‫ב )‪ (9.24‬ונקבל‬
‫מתקיים‬
‫)‪ (9.8‬כלומר‬
‫)‪(9.24.13‬‬
‫נציב זאת‬
‫)‪(9.24.14‬‬
‫וסה"כ צורת הגרף הינה‬
‫)‪(9.25‬‬
‫נגזור את )‪ (9.25‬ונקבל‪,‬‬
‫)‪(9.26‬‬
‫אבל ראינו ב )‪ (9.8.2‬שבנקודת שווי המשקל מתקיים‬
‫כלומר בשווי משקל קיים‬
‫השוואה בין )‪ (9.26‬ל )‪ (9.27‬מראה‬
‫ואנו רואים שהסרטן גדל אקספוננציאלית מרגע שהוא בשיווי משקל‪.‬‬
‫נציב זאת ב )‪ (9.26‬ונקבל‬
‫)‪(9.27‬‬
‫)‪(9.28‬‬
‫הערה‪ .:‬אנו הגענו לנוסחה )‪ (2.15‬תחת ההנחה שהתזונה נשארת קבועה ולא גדלה‪ ,‬כלומר במקרה זה‬
‫שזה בדיוק‬
‫הנחנו ‪ ‬ולכן נקבל מ )‪ (9.24‬ש ‪ ‬ו ‪ ‬ולכן הפתרון הוא‬
‫הצורה של )‪ (2.15‬והוא בעצם פתרון פרטי של מודל ‪.‬‬
‫פתרון המשוואות הדיפרנציאליות של המודל מיו‬
‫‪.81‬‬
‫נפתור כעת את המשוואה הדיפרנציאלית שב )‪ .(9.20‬הפונקציה הקרקטריסטית שלה‬
‫הינה‬
‫)‪(9.29‬‬
‫והפתרון שלה הינו‬
‫אם נצליח מתוך נתוני ה‪ Psa‬למצוא את ‪ ‬ו ‪ ‬נצטרך לפתור את ‪ ‬ו ‪‬‬
‫התבוננות בפתרונות מראה לנו כלהלן ‪:‬‬
‫)‪(9.30‬‬
‫משתי המשוואות האחרונות נובע‪ ,‬ע"י חיבור וחיסור שלהן ‪:‬‬
‫מתוך )‪ (9.32.1‬נובע מיד‬
‫ראינו שבנקודת שווי המשקל קיים ‪)  ‬ראה נוסחה )‪ ((9.21‬לכן בנקודה זו יתקיים‪:‬‬
‫‪85‬‬
‫)‪(9.31‬‬
‫)‪(9.32‬‬
‫)‪(9.32.1‬‬
‫)‪(9.33‬‬
‫)‪(9.34‬‬
‫)‪(9.35‬‬
‫נגזור את )‪ (9.34‬ונקבל‬
‫לכן‬
‫ראינו ב )‪ (9.8.2‬שבמצב שווי משקל מתקיים‬
‫)‪(9.36‬‬
‫)‪(9.37‬‬
‫ולכן הצורה הסופית היא‬
‫ומ )‪ (9.35‬ו )‪ (9.36‬נובע‬
‫שזה זהה ל )‪ .(9.28‬ולכן לא משנה מאיזה מודל נצא‪ ,‬במצב שווי המשקל אנו מקבלים את אותה‬
‫התוצאה‪ .‬נדון כעת בפתרון של )‪ .S(t‬כפי שראינו הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית ליניארית‬
‫כאשר‪ ‬ו ‪ ‬הם הפתרונות של‬
‫מהמעלה השנייה צורתו כמו ב )‪(9.24.3‬‬
‫המשוואה הכרקטריסטית שהינה משוואה ריבועית‪ .‬דוגמאות לפונקציות כרקטריסטיות הן )‪(9.22‬‬
‫ו‪ .(9.29)-‬הפתרון הזה נכון בתנאי שמקדמי הפונקציה הכרקטריסטית קבועים‪ ,‬אנו כבר דנו בנושא זה‬
‫בסעיפים ‪ .74‬ו ‪ .77‬ויש לנו הצדקה מלאה להנחה זו‪ .‬אם נציב ‪ t=0‬ב )‪ (9.23‬נקבל‬
‫)‪(9.39‬‬
‫)‪ (9.38‬הפתרון של )‪ (9.14‬היא המשוואה‬
‫נגזור את הפתרון הכללי של )‪ N(t‬שב )‪ (9.23‬ונשווה זאת ל )‪ (9.6‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(9.40‬‬
‫נציב את )‪ (9.23‬ואת )‪ (9.39‬בפנים וכן ‪ ‬ו ‪ , ‬כפי שראינו ב )‪ ,(9.32.1‬ונקבל‬
‫נכנס איברים ונקבל‪:‬‬
‫מכאן נובע שהאגף השמאלי מתאפס על כן הביטוי שבתוך הסוגריים מתאפס ואנו מקבלים‬
‫)‪(9.41‬‬
‫)‪(9.42‬‬
‫)‪(9.43‬‬
‫מאחר ואנו יודעים את ‪  ,‬ו ‪ c1‬הרי שאנו יודעים גם את )‪ S(0‬ומכאן‬
‫)‪(9.43.1‬‬
‫)‪(9.43.2‬‬
‫וכן‬
‫לכן מערכת המשוואות הרלוונטית היא )‪ (9.39‬ו)‪(9.43.2‬‬
‫כל הפרמטרים ידועים מהמדגם ו )‪ S(0‬ידוע מ )‪ (9.43‬לכן אנו יכולים לפתור את )‪ S(t‬ואת )‪ N(t‬נשים‬
‫לב שאם מניחים ‪  ‬מקבלים נוסחה הזהה לנוסחה הבסיסית )‪(2.15‬‬
‫שבמצב הסופי על פי )‪ (9.21‬מתקיים ‪  ‬ומ )‪ (9.37‬נובע‬
‫נחזור שוב‬
‫כאשר )‪ S(0‬נתון לנו ב‬
‫)‪(9.43.3‬‬
‫)‪ (9.43‬ולכן אנו מקבלים במצב שיווי המשקל‬
‫זו אותה משוואה שקבלנו ב )‪ , (9.24.13‬עבור מודל ‪ ‬במצב שיווי משקל‪ .‬את )‪ S(t‬יש לנו ב )‪.(9.39‬‬
‫פתרון מספרי לפרמטרים של )‪N(t‬‬
‫‪.82‬‬
‫כפי שראינו‪ ,‬המשוואות שקבלנו הינן משוואות דיפרנציאלית ליניאריות מהסדר השני ולכולן לכן‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ ‬ו ‪ ‬הם הפתרונות של הפונקציה‬
‫פתרון שצורתו אחידה ‪,‬‬
‫הקרקטריסטית יהיו מקדמיה אשר יהיו‪ .‬יש לנו תוצאות מדידות של ‪ ‬ואנו מנסים להתאים לתוצאות‬
‫אלו פונקציה שצורתה נתונה לנו ב )‪ ,(9.24.3‬לכן בשלב זה לא חשוב כלל אם המשוואה היא תוצאה של‬
‫מודל האומגה או מודל המיו‪ .‬מטרתנו היא למצוא את ‪ c1 ,  , ‬ו ‪ . c2‬לאחר שנמצא פרמטרים אלו‬
‫נוכל למצוא את ‪ ‬ו ‪ ‬השייכים למודל האומגה‪ ,‬או את ‪ ‬ו ‪ ‬השייכים למודל המיו‪ .‬בכל מקרה ‪c1‬‬
‫ו‪ c2-‬יהיו זהים בשני המודלים וכן ‪ ‬ו ‪ N(t) .‬יהיה זהה בשני המודלים‪ .‬מתוך כל הפיתוחים שהראנו‬
‫ברור שה ‪ ‬יהיה שונה‪ ,‬כמו כן יהיה הבדל בפונקציות המתארות את )‪ ,S(t‬מאחר שהמשוואות‬
‫הדיפרנציאליות שלהן שונות‪ (9.14) ,‬ו )‪ .(9.12‬וכן יהיו הבדלים בדרך ההתפתחות של הפונקציות עם‬
‫הזמן אולם כפי שראינו לא משנה מאיזה מודל יצאנו כולם מתכנסים בסופו של דבר לאותה תוצאה‬
‫‪86‬‬
‫)‪ .(9.37‬נבנה את הגרף הנובע מנקודות ה‪ Psa‬של השלב השני בהתפתחות הסרטן‪ ,‬אצל החולה‬
‫שבמדגם‪ ,‬גרף המתבסס על ‪ 8‬נקודות כמוצג בסעיף )‪ (.21‬ואילך‪.‬‬
‫שרטוט‪27-‬‬
‫כפי שאנו רואים הנוסחה של הגרף הכחול הכוללת התפתחות כלי דם מזינים הינה‪:‬‬
‫)‪(9.44‬‬
‫‪(9.45) c1=0.36299039 c2=-0.1497218  0.00055194293  -0.01697261‬‬
‫ולכן‬
‫נוסחת הגרף ללא אנג'יוג'נסיס )לפי נוסחת הקרוב של תוכנת הגרף( שונה ממנה‪ ,‬אם כי היא דומה‬
‫מבחינת השרטוט לגרף הכולל את האנג'יוג'נסיס‪ ,‬בתחום הזמן הנדון‪ ,‬אך שונה ממנו מהותית בהמשך‬
‫)‪(9.46‬‬
‫הזמן‪.‬‬
‫הגרפים נמצאו כקרוב ע"י התכנה הגרפית שהשתמשתי בה‪ ,‬אולם מאחר ולא היה ברור לי כיצד תוכנה זו‬
‫עובדת פיתחתי מערכת נוסחאות למציאת הפתרון‪ ,‬והגעתי דרכה לאותה תוצאה למעשה‪ ,‬על כן המשכתי‬
‫לקרב את התוצאה בעזרת תוכנת הגרף ונעצרתי בגרף הכחול‪ ,‬לאחר שמקדם הקורלציה השתפר רק‬
‫במקום ה‪ 11-‬לאחר הנקודה העשרונית‪ .‬ליד כל גרף אנו רואים את מקדם הקורלציה בריבוע ואנו רואים‬
‫שההתאמה למודל האנג'יוג'נסיס טובה יותר אמנם לא בהרבה‪ ,‬והסיבה הינה שהאנג'יוג'נסיס התקדם‬
‫לאט מאד בתקופה זו‪ .‬מקדמי הקורלציה הינם כלהלן‪ :‬עבור הגרף האדום ‪ R=0.9582797‬ועבור הכחול‬
‫‪R=0.9585461‬‬
‫פתרון מספרי למודל מיו‬
‫‪ .83‬הפתרון עבור )‪ N(t‬נתון לנו ב )‪ (9.44‬והינו‪:‬‬
‫‪87‬‬
‫)‪(9.46.1‬‬
‫)‪(9.47‬‬
‫‪ ‬‬
‫נעבור כעת למצוא את הפתרון עבור )‪ . S(t‬מ)‪ (9.32.1‬נובע‬
‫)‪(9.48‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫וכן‬
‫מספרים אלה דומים מאד למה שקבלנו כאשר עבדנו עם המודל ללא האנג'יוג'נסיס‪ ,‬זאת מפני שתהליך‬
‫האנג'יוג'נסיס היה מאד איטי‪ .‬ברצוני להסב לדימיון בערך של ‪ ‬שקבלנו בעבר והיה שווה ‪0.0005174‬‬
‫אותו מצאנו על בסיס השוואה של ‪ S‬בין שלב א' לשלב ב' )ראה )‪ ((4.0.1‬בעוד שפה אנו מוצאים זאת‬
‫מתוך הנתונים של שלב אחד בלבד‪ ,‬וזה נתון חשוב נוסף שמחזק‪ ,‬את המודל הבסיסי שפיתחנו במחקר‬
‫זה‪.‬מכיוון שאנו יודעים את ‪ , , ,c1‬הרי שנוכל למצוא את )‪ S(0‬ואנו מקבלים מ )‪ (9.43‬שהיא‬
‫)‪(9.49‬‬
‫הנוסחה של )‪ S(0‬עבור מודל המיו‬
‫)‪(9.50‬‬
‫ולכן הנוסחה של )‪ S(t‬הינה‪:‬‬
‫ובזאת השלמנו את מציאת הערכים המספריים עבור מודל מיו על בסיס הנתונים של שלב ב' של‬
‫התפתחות הסרטן‪ ).‬טרום ההקרנות שעברתי ברבע השני של ‪(.2011‬‬
‫אבל מ)‪ (9.7‬אנו יודעים שבשווי‬
‫מ)‪ (9.39‬אנו יודעים שקיים תמיד עבור מודל מיו‬
‫)‪(9.51‬‬
‫משקל מתקיים עבור כל )‪ S(t‬שבחרנו‬
‫אבל מכיון שבשיווי משקל מתקיים עבור מודל מיו ‪)  ‬ראה נוסחה )‪ ( (9.21‬הרי מכל זה נובע שבשיווי‬
‫משקל מתקיים‬
‫)‪(9.52‬‬
‫וכן‬
‫)‪(9.53‬‬
‫פתרון מספרי למודל אומגה )המשוואות )‪( (9.12) , (9.11) ,(9.10‬‬
‫‪ .84‬בסעיף ‪ .80‬ראינו את הפתרון התאורטי למודל האומגה נעבור כעת לפתור את המודל מספרית‬
‫על בסיס ערכי ה‪ ,Psa‬שהיו במדגם שלנו‪ ,‬כפי שהדבר בא לידי ביטוי בשרטוט ‪. 27‬‬
‫במשוואה )‪ (9.44‬קבלנו ‪,‬‬
‫)‪(9.55‬‬
‫‪c1=0.36299039‬‬
‫‪c2=-0.1497218‬‬
‫‪ 0.00055194293  -0.01697261‬‬
‫כאשר כל קרוב נוסף שיפר זאת רק במקום ה‪11‬‬
‫כאשר מקדם הקורלציה הינו‪:‬‬
‫)‪(9.56‬‬
‫לאחר הנקודה‪ .‬מ )‪ (9.24.2) , (9.24.1‬ו )‪ (9.45‬נובע‬
‫)‪(9.57‬‬
‫וכן‬
‫ובזאת מצאנו את ‪‬ו ‪ ‬נזכיר שאת‪ N(t) ‬מצאנו מהגרף והפונקציה מופיעה ב )‪(9.44‬‬
‫נציב את הנתונים‬
‫)‪(9.58‬‬
‫)‪(9.59‬‬
‫בנוסחה )‪ (9.24.10‬השייכת למודל אומגה ראינו‬
‫ונקבל את )‪S(t‬‬
‫לצרכים עתידיים נחשב‬
‫השוואה בין שני המודלים‬
‫‪ .85‬לצורך ההשוואה יש צורך לבדוק שני נושאים‪:‬‬
‫א‪ .‬ניתוח של נתונים בפועל‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתוח של תחזיות לעתיד‪.‬‬
‫לגבי הנתוח בפועל‪ :‬ברור לחלוטין‪ ,‬שבשני המקרים יש להתאים את הנתונים לפונקציה שצורתה‬
‫ומכיון שהנתונים בפועל הם אותם הנתונים עבור שני המודלים‪ ,‬הרי שגם‬
‫ההתאמה תהיה אותה התאמה‪ ,‬ובשני המיקרים נקבל את אותה הפונקציה )‪ .N(t‬מתוך הפתרון בפועל‬
‫של )‪ N(t‬והמשוואות הדיפרנציאליות ניתן לפתור את )‪ S(t‬ואנו מקבלים פתרונות שונים עבור שני‬
‫בהתאמה‪ .‬עבור‬
‫וב‬
‫המודלים‪ .‬לנוחיות הזיהוי על מה אנו מדברים ‪ ,‬נסמן אותם ב‬
‫הנתונים בפועל של הגרף המוצג בסעיף ‪ .83‬קבלנו ב )‪(9.50‬‬
‫‪88‬‬
‫וב )‪ (9.58‬קבלנו‬
‫להלן השרטוט‪:‬‬
‫שרטוט‪28-‬‬
‫אנו רואים ששני הגרפים מתקדמים כמעט במקביל והיחס ביניהם שואף למספר קבוע‪ .‬נחלק אחד בשני‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫האיבר השני דועך מהר מאד ולאחר כ‪ 20‬יום היחס הינו קבוע לכל צורך מעשי‪ .‬אנו מקבלים‬
‫‪ R(20)=0.9681341‬וכן‬
‫‪, R(0)=0.9561738‬‬
‫כמעט הבדל בין הערך הנמוך ביותר לגבוה ביותר‪.‬‬
‫להלן הגרף של )‪R(t‬‬
‫)‪(9.60‬‬
‫ואנו רואים שאין למעשה‬
‫‪89‬‬
‫שרטוט‪29-‬‬
‫‪ .86‬בתקופה שמדדנו התוצאות של שני המודלים דומות‪ ,‬האם פרוש הדבר שגם בעתיד יהיה כך? אנו‬
‫נבדוק זאת כעת‪:‬‬
‫בהתבסס על )‪ (9.43.1‬אנו מקבלים‬
‫)‪(9.61‬‬
‫וב )‪ (9.24.10‬ראינו‬
‫וב )‪ (9.24.2‬ראינו‬
‫)‪(9.62‬‬
‫)‪(9.63‬‬
‫לכן גם קיים‬
‫)‪(9.64‬‬
‫ומכאן‬
‫ולכן‬
‫מ )‪ (9.24‬ומ )‪ (9.30‬נובע שלא משנה על איזה מודל מסתכלים הרי‬
‫פיסיקליים‪ ,‬הרי שניהם גדולים מאפס מכאן נובע שתמיד קיים‬
‫)‪(9.65‬‬
‫ומכיון ש )‪ N(t‬ו )‪ S(t‬גדלים‬
‫ולכן קיים‬
‫)‪(9.66‬‬
‫האמת שרואים את זה ישירות גם מ)‪. (9.64‬‬
‫נבדוק את )‪ R(t‬במצב של שווי משקל‪ .‬מ )‪ (9.8‬נובע שלא משנה מה הנחנו לגבי )‪ S(t‬הרי‬
‫מתקיים‬
‫לכן אם נניח שמודל מיו הוא הנכון אזי יתקיים‬
‫ואם נניח שמודל אומגה הוא הנכון נקבל שמתקיים‬
‫לפי )‪ (9.24.14‬במודל אומגה קיים בשווי משקל ‪‬‬
‫במודל מיו מתקיים תמיד ‪ ,  ‬ובשווי משקל במודל מיו לפי )‪ (9.21‬קיים גם ‪   ‬ולכן בשווי משקל‬
‫במודל מיו מתקיים ‪ ‬לכן בשיווי משקל לא משנה מהו המודל האמיתי‪ ,‬בשני המקרים מתקיים ‪. ‬‬
‫לכן‪ ,‬אם נניח שמודל מיו הוא הנכון‪ ,‬נקבל שבשיווי משקל מתקיים‬
‫)‪(9.66.1‬‬
‫‪90‬‬
‫ואם נניח שמודל אומגה הוא הנכון הרי נקבל שקיים בשיווי משקל‬
‫)‪(9.66.2‬‬
‫)‪(9.66.3‬‬
‫או‬
‫מכאן נובעת מסקנה חשובה‪ :‬לאורך הזמן‪ ,‬קצב ההתקדמות של מודל אומגה איטי מאשר במודל מיו‬
‫והאפקט המצטבר הינו משמעותי ביותר כאשר אנו מגיעים למצב שיווי המשקל‪ .‬הבעייה הגדולה הינה‬
‫שקשה לוודא מהו המודל המתאים‪ .‬איננו מסוגלים למדוד את )‪ S(t‬ישירות‪ ,‬ולכן איננו יכולים לעשות‬
‫רגרסיה בין תוצאות מדודות למודל‪ ,‬ולראות איזה מודל נותן את הרגרסיה היותר טובה‪ .‬רק בטווח הארוך‬
‫מאוד כאשר הסרטן מגיע לשווי משקל הסרטן מתקדם בדיוק כמו האנג'יוג'נסיס ומכיון שאת הסרטן אנו‬
‫יודעים למדוד‪ ,‬הרי אנו יכולים לכאורה לדעת איזהו המודל המתאים‪ .‬הבעיה הינה שבטווח הארוך‪ ,‬במצב‬
‫שווי משקל‪ ,‬שני המודלים מתקיימים }ראה נוסחאות )‪ (9.8.3‬ו )‪ {(9.8.4‬ולכן אין לנו אפשרות להחליט עם‬
‫מי מהם הגענו למצב שיווי המשקל‪ .‬ייתכן שאפשר יהיה במחקר ארוך זמן על אותו חולה‪ ,‬לעבור דרך‬
‫ולאחר מכן להציב בגרף‬
‫ו‬
‫מספר שלבים של ירידת האגרסיביות‪ ,‬ולמצוא לכל שלב את‬
‫הגרף האמיתי צריך להיות רציף‬
‫לאורך הזמן וכנ"ל להציב גרף עבור‬
‫אחד את תוצאות‬
‫פחות או יותר על אף השתנות ערכם של הפרמטרים עם השתנות האגרסיביות‪ ,‬מאחר ומדובר על גדלים‬
‫פיסיקליים שאינם משתנים בקפיצות‪ ,‬וגם צמיחת כלי דם אינה נעשית בקפיצות אלא ברצף‪ .‬מאחר ואין‬
‫בידי נתונים כאלה אין ביכולתי בשלב זה לדון בנושא באופן מעשי‪ .‬אם כי השיקולים הכלליים מובילים‬
‫לכך שהמודל המועדף הינו מודל אומגה‪ .‬כפי שהבהרנו בסעיף ‪ .79‬מ )‪ (9.66.1) (9.66‬ו )‪ (9.66.3‬נובע‪,‬‬
‫שאם נבחר במודל מיו‪ ,‬אנו בוחרים במודל הגרוע משמעותית מבחינת תוחלת החיים הצפויה לחולה‪.‬‬
‫תחזיות לעתיד על פי מודל מיו‪.‬‬
‫‪ .87‬אם נסתכל על )‪ (7.6‬בסעיף ‪ .51‬ונציב שם ‪ , m=1‬אנו רואים שבעצם השתמשנו שם בחסם הבנוי‬
‫על מודל ‪ ‬מפני שבעצם הנחנו ש )‪ S(t‬גדל אקספוננציאלית עם ערך ‪ ‬ובכל מקום בו רצינו‬
‫לחשב את ‪ S‬בתאריך מסוים‪ ,‬עברנו מערכו בתאריך ידוע‪ ,‬לערך בתאריך אחר ע"י עליה אקספוננציאלית‬
‫או ירידה אקספוננציאלית עם המקדם ‪ ‬כך שלמעשה בחישובים הקודמים פעלנו על פי‬
‫המודל שחישוביו הם לרעת אריכות הימים‪ .‬אם נעשה כרגע חישובים מחדש על פי אותו מודל לא יהיה‬
‫בזה משום חידוש‪ ,‬ואולי יהיה מי שיחשוב שזה מיותר‪ .‬האמת שזאת הנטייה שלי‪ ,‬אולם נוכח העובדה‬
‫שקבלתי בחישובים על פי המודל הכללי של האנג'יוג'נסיס‪ ,‬ערכים אחרים של )‪ S(0‬ושל ‪ ‬החלטתי על‬
‫אף החזרה שבכך‪ ,‬לבצע את החישובים ואנו יכולים לראות זאת כעוד חישוב במסגרת ניתוחי הרגישות‬
‫לפרמטרים השונים‪ ,‬ולו רק על מנת למנוע מחשבות מיותרות‪ ,‬שנמנענו מלעשות זאת בגלל תוצאות‬
‫גרועות‪ .‬ב)‪ (9.49‬מצאנו ‪ S ‬ומהפתרון בשרטוט‪ 27-‬מקבלים ‪5194293‬‬
‫ואנו רואים מיד את ההבדל ב ‪ ‬וב ‪ S‬לעומת חישובינו הקודמים‪ .‬אך האמת שבמסגרת ניתוח הרגישות‬
‫הקודמת בסעיף ‪ .52‬שרטוט‪ 21-‬וטבלה‪ 8-‬השתמשנו בנתון הרבה יותר גרוע ‪ ‬וגם אז‬
‫הגענו לאריכות ימים מדהימה‪ .‬כך שלא צפוי שינוי מהותי בתוצאות אם בכלל‪ .‬כבר פגשנו מספר פעמים‬
‫בעבודה זו בעובדה שבמסגרת ניתוחי הרגישות השונים בסופו של דבר התוצאות דומות‪ .‬נעבור כעת‬
‫לביצוע החישובים‪.‬‬
‫שהינה הנוסחה של‬
‫‪ .88‬בסעיף )‪ (9.43.2‬ראינו‬
‫ה‪ Psa-‬השייכת למודל ‪ ,‬ואנו צריכים להשתמש בה על מנת לחזות את העתיד על פי מודל זה‪ .‬את כל‬
‫הפרמטרים כבר מצאנו למעשה בגרף שבסעיף ‪ .82‬שרטוט‪ ,27-‬אולם לגבי העתיד יש לנו בעייה והיא‬
‫העובדה ש ‪ ‬וכנראה גם ‪ , ‬משתנים עם הזמן ויתכן שגם ‪ .C2‬אנו יודעים ש ‪ ‬הולך וקטן עד‬
‫שהסרטן מגיע למצב שיווי משקל‪ .‬עם ירידת האגרסיביות גם ‪ ‬חייב לקטון‪ ,‬אך מאחר ואינני יודע לתת‬
‫לכך ביטוי מתמטי‪ ,‬הרי נניח שאין הוא משתנה‪ ,‬בידיעה ברורה שהנחה זו היא לרעת חישובי אריכות‬
‫הימים‪ .‬יש בידי חישובים לגבי המועדים בהם מבצע הסרטן ירידה ב‪ ‬ובכמה‪ ,‬אך מאחר וההוכחות הן‬
‫‪91‬‬
‫מסיביות אין ברצוני להכנס אליהם ועל כן אעשה את התחזיות בעזרת חסמים‪ .‬אנו יודעים שבמצב שיווי‬
‫המשקל קיים ‪ =‬במצב זה הסרטן נמצא כל הזמן בנת"ה‪ ,‬שהיא הנקודה שבה קצב הגידול של‬
‫הסרטן‪ ,‬הינו המכסימלי האפשרי עבורו בתנאי ההרעבה שלו‪ .‬בשלב ב' של הסרטן‪ ,‬שהינו השלב בו בחנו‬
‫את הנתונים‪ ,‬איננו נמצאים בשיווי משקל ולכן קצב הגידול של הסרטן איננו המכסימלי האפשרי עבורו‪,‬‬
‫ואכן הראנו שהוא גדל בקצב ממוצע נמוך בהרבה‪) ,‬כ ‪ , (45%‬מאשר החסם המכסימלי שלו‪ .‬לפיכך אם‬
‫אציב את הנתונים בתנאי שיווי משקל‪ ,‬כבר בתחילת התפתחות הסרטן‪ ,‬הרי שאני פועל בחישובי לרעת‬
‫אריכות הימים‪ .‬אם נציב את ערכו של ‪ ‬שווה לערך של ‪ ‬העכשווי‪ ,‬גם פה אפעל לרעת חישובי אריכות‬
‫הימים‪ ,‬מאחר וצפוי שערכו של ‪ ‬יקטן עם ירידת האגרסיביות‪ .‬לאור האמור לעיל אציב ‪=‬‬
‫)‪(9.67‬‬
‫ב )‪ (9.43.2‬ואז נקבל‬
‫ב)‪ (9.49‬מצאנו ‪S ‬ומהפתרון בשרטוט‪ 27-‬מקבלים ‪ ‬נציב זאת‬
‫)‪(9.68‬‬
‫ב‪(9.67) -‬‬
‫נציב במקום ‪ c2‬את הערך ‪ m‬שיתן לנו את )‪ N(0‬כאשר נציב ב)‪ t=0 (9.68‬לפי כך נצטרך לפתור את‬
‫)‪(9.69‬‬
‫נזכור שאמרנו שאנו יוצאים ממצב הסרטן הידוע לנו‪ ,‬אך מתאימים את ההתקדמות למצב של שיווי‬
‫משקל‪ ,‬כלומר אנו יוצאים מגודל סרטן הזהה לגודלו בתחילת שלב ב' כלומר מאותו )‪. N(0‬‬
‫)‪(9.70‬‬
‫מ )‪ (9.55‬אנו יודעים שקיים‬
‫ומכאן מקבלים ש ‪ m=-5.54933141‬ונציב זאת ב )‪ (9.68‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(9.71‬‬
‫על אף העובדה שב ‪ t=0‬מתקבל שוויון הרי עדיין נשאר האי שוויון מאחר וכפי שאמרנו אנו מתחילים‬
‫מאותה נקודה התחלתית של שלב ב' אבל מתקדמים מיד בקצב המכסימלי בשעה שבמציאות התקדמנו‬
‫בהתחלה בקצב שהינו הרבה יותר קטן מהקצב המקסימלי‪ .‬ההתקדמות ההתחלתית שלנו היתה לפי‬
‫נוסחה )‪(9.44‬‬
‫)‪(9.71.1‬‬
‫אנו נבצע השוואה ביניהם אך קודם נשרטט את גרף החסם שב )‪(9.71‬‬
‫‪92‬‬
‫שרטוט‪30-‬‬
‫מהגרף רואים שהגעה ל ‪ Psa=200‬תהיה לאחר ‪ 6,428‬יום שזה ‪ 211.45‬חודשים או כ ‪ 17.61‬שנה‬
‫עלינו להביא בחשבון תוספת של ‪ 5.26‬חודש מאחר והגרף מתחיל מ ‪ p=0.213‬ולא מ ‪ ,p=0.04‬סה"כ‬
‫‪ 18.06‬שנה לעומת ‪ 19.96‬בסעיף ‪ .36‬ו ‪ 19.84‬בטבלה‪ 8-‬בסעיף ‪ .52‬לצורך הערכה בכמה זמן הרענו‬
‫את חישובי אריכות הימים ‪ ,‬לעומת הבפועל ולעומת החישובים הקודמים נעשה השוואה בין הגרף‬
‫שמצאנו מהמדגם )שרטוט‪ ,(27-‬לבין שרטוט‪ 30-‬המשמש אותנו לצורך חישובי החסם הנוכחי לאריכות‬
‫הימים‪.‬‬
‫‪93‬‬
‫שרטוט‪31-‬‬
‫אנו רואים את ההבדל הגדול בין המציאות לבין החסם‪ ,‬בתחום הזמן של שלב‪-‬ב של התפתחות הסרטן‪.‬‬
‫ה ‪ Psa‬לאחר ‪ 176‬יום הינו ‪ 0.4‬במציאות‪ ,‬לעומת ‪ 1.31‬בגרף החסם‪ .‬מצאנו בנוסחה )‪ (3.20‬את‬
‫הגבולות הבאים ‪     ‬לרמת האגרסיביות של השלב השלישי‪ ,‬שהינו השלב‬
‫הבא‪ ,‬ומכאן רואים‪ ,‬שהרמה הנמוכה האפשרית בשלב הבא עדיין גבוהה פי ‪ 10‬מאשר החסם‬
‫שהשתמשנו בו‪ ,‬ובהתחשב בכך שראינו בסעיף ‪ ,28‬שירידת האגרסיביות בכל שלב הינה לסביבות‬
‫ה‪ 50%‬אחוז של השלב הקודם‪ ,‬אנו מסיקים שיהיו לפחות עוד ‪ 3‬ירידות ברמת האגרסיביות מעבר‬
‫לירידה המידית בסוף ה ‪ 176‬יום המופיעים בגרף‪ .‬מכאן אנו מסיקים שנגיע לתוצאה של ‪ p=1.31‬רק‬
‫בערך בשליש של השלב הרביעי כאשר סופו של השלב השלישי נגיע לאחר בערך ‪ 350‬יום )אורך כפול‬
‫מהשלב הקודם( ואז נעמוד על ‪) p‬ליתר בטחון‪ ,‬לקחנו עלייה של יותר מפי ‪ 3‬מהעלייה של התקופה‬
‫הקודמת‪ ,‬אף על פי שלקחנו זמן פי ‪ (2‬ונוסיף עוד כ ‪ 176‬יום נוספים עד שנגיע ל ‪) p=1.31‬בשלב ב'‬
‫עלינו בתקופה כזו רק ב ‪ (0.19‬לכן לא צפוי שנגיע ‪ p=1.31‬לפני כ ‪ t=702‬יום כלומר הגזמנו פה לרעת‬
‫החישובים של אריכות הימים בכ ‪ 526‬יום וזאת כאשר לאחר ‪ 702‬הימים הללו‪ ,‬אנו צפויים לפחות לעוד‬
‫שתי הורדות ברמת האגרסיביות‪ ,‬לפני שנגיע למצב שיווי המשקל‪ .‬מכאן שהגזמנו לרעה בחישובי אריכות‬
‫הימים לפחות ב ‪ 17.3‬חודש או ‪ 1.44‬שנים‪ .‬נשים לב שהמספרים כאן שונים מהערכותינו במקומות‬
‫אחרים מאחר והגרף שאנו משתמשים בו כחסם כעת שונה מהגרפים האחרים‪.‬‬
‫רכוז התוצאות והשוואה על פי החישובים השונים‬
‫‪.89‬‬
‫את הרכוז וההשוואה נעשה בכמה שלבים‪:‬‬
‫א‪ .‬להלן טבלה המרכזת את התוצאות של סעיף ‪:88‬‬
‫‪94‬‬
‫טבלה‪12.2-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫חודשים‬
‫הנושא‬
‫אריכות ימים על פי הגרף‬
‫טיפול הורמונלי‬
‫התחלת גרף מ ‪ p=0.213‬ולא מ ‪p=0.04‬‬
‫עלייה פחות מהחסם בשנים הראשונות‬
‫סה"כ כללי בחודשים‬
‫סה"כ כללי בשנים על פי האמור פה‬
‫‪211.45‬‬
‫‪43.50‬‬
‫‪5.26‬‬
‫‪17.30‬‬
‫‪277.51‬‬
‫‪23.12‬‬
‫סעיפי מקור‬
‫‪88‬‬
‫‪52 , 51 , 37‬‬
‫‪88‬‬
‫‪88‬‬
‫ב‪ .‬להלן טבלה המרכזת את תוצאות החישובים השונים שבמסמך‪:‬‬
‫טבלה‪12.3-‬‬
‫שנים‬
‫הנושא‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫אריכות ימים על פי טבלה‪12.2-‬‬
‫אריכות ימים על פי טבלה‪6-‬‬
‫‪23.12‬‬
‫‪23.60‬‬
‫‪3‬‬
‫אריכות ימים על פי טבלה‪8.1-‬‬
‫‪24.37‬‬
‫הערות‬
‫לא כולל פיצוי על עליה מתונה‬
‫בשלבים הראשונים‬
‫אנו רואים ששלושת החישובים נתנו תוצאות דומות‪ ,‬החישוב בשורה ‪ 2‬קצת נמוך כי לא כללנו שם‬
‫בחשבון את התרומה של העובדה שבשנים הראשונות ה‪ Psa‬לא עולה על פי החסם‪ .‬ברור שצפויים‬
‫הבדלים בחישובים בגלל קרובים ועגולים‪ ,‬ובעקר בגלל תנאי התחלה שונים‪ ,‬וגם חישובי העליה‬
‫המופחתת של ה ‪ Psa‬לעומת החסם היו מקורבים‪ .‬אין זה פלא שהתוצאות דומות מאחר ובכל המקרים‬
‫השתדלנו לפצות על דברים שהחישוב העיקרי לא הביאם בחשבון‪ .‬לדוגמא בחישוב הראשון והשני‬
‫ההבדל בין החישוב על פי החסם והחישוב על פי הבפועל לא היה גדול באופן מיוחד‪ ,‬מאחר והחישוב‬
‫החל על בסיס ה ‪ S\‬הקיים‪ ,‬בעוד שהחישוב השלישי התחשב ב ‪ S\‬עתידי כפי שהוא יהיה בנקודת‬
‫שיווי המשקל‪ ,‬וזה נותן הפרש יותר גדול לעומת המצב בפועל‪ .‬יוצא מכך שאם נתנו את הפיצוי המתאים‬
‫לכל חישוב ואם לא עשינו טעויות אנו צריכים לקבל תוצאות דומות‪ .‬אבל הדבר החשוב ביותר הינו‬
‫שבעצם לא עשינו פה חישוב מדויק של הזמנים ‪ ,‬אלא עסקנו בחסמים שפעלו לרעת חישובי אריכות‬
‫הימים וכשעוסקים בחסמים אין חובה שנקבל אותן תוצאות לדוגמה אם הייתי לוקח את אחד החסמים‬
‫ומוסיף לו את המספר ‪ 10‬הוא היה נשאר חסם‪ ,‬אך לא היה נותן לי את אותה התוצאה‪ .‬בכל זאת‬
‫הקירבה של החישובים מקנה יתר אמינות לתוצאות‪ .‬מאחר וכולם חסמים‪ ,‬הרי אוכל לבחור בחישוב‬
‫כלשהו מביניהם באשר ישנם שולי בטחון של כמה שנים בכל החישובים הללו‪.‬‬
‫ג‪ .‬על בסיס הטבלה שלעיל נוכל לסכם שאוכל להגיע לאריכות ימים של ‪ 24‬שנה מהמצב שהייתי בו‬
‫כאשר היה ‪ ,p=0.04‬אולם לא הבאנו בחשבון שבאותו מועד על אף האגרסיביות הגבוהה וציון גליסון ‪,8‬‬
‫הרי בעזרת הדיאטה‪ ,‬ניתוח והקרנות הגעתי למצב בו נמצאתי ברמה של ‪ 5 , p=0.04‬שנים לאחר‬
‫הביופסיה‪ .‬כלומר אריכות הימים המחושבת הינה מעבר ל ‪ 5‬שנים שכבר עברתי אותם ‪ .‬עדיין לא הבאנו‬
‫בחשבון את התרומה העתידית של העובדה שההקרנות פגעו בכלי הדם המזינים והפחיתו את התזונה‪.‬‬
‫בנוסחה )‪ (10.5‬ראינו שכאשר היה ‪ p=0.04‬התקיים ‪ (10.5)S=0.004718‬ואילו ב )‪ (10.7‬ראינו‬
‫שלאחר ההקרנות עבור אותו ‪ p‬קבלנו ‪ Sn(0)=0.002555271‬כלומר ההקרנות הקטינו את כמות המזון‬
‫ל‪ 54.2%‬מהכמות שלפני ההקרנות‪ ,‬מאחר ואת הגרף בשרטוט‪ 30 -‬בססנו על הנתונים של טרום‬
‫ההקרנות הרי שהגרף הינו גבוה מידי ואנו צריכים להגיע ל ‪ p=200‬יותר מאוחר הגרף מוגבה פי‬
‫‪ 4.718/2.555271=1.84‬כלומר אנו נגיע ל ‪ p=200‬לאחר ההקרנות‪ ,‬באותו זמן שיקח להגיע ל‬
‫‪ p=1.84X200=368‬על הגרף שבשרטוט‪ , 30-‬שזה ‪ 7522‬יום במקום ‪ 6428‬יום‪ ,‬כלומר הארכה של‬
‫‪ 1094‬יום או ‪ 3‬שנים בדיוק‪.‬‬
‫ג‪ .‬לאור האמור לעיל נוכל לסכם את שאמרנו עד כה כלהלן‪:‬‬
‫‪95‬‬
‫טבלה‪12.4-‬‬
‫מספר‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫הנושא‬
‫שנים‬
‫אריכות ימים החל מיוני ‪2011‬‬
‫חיים עם סרטן לפני יוני ‪2011‬‬
‫תוספת אריכות ימים בגלל הקרנות‬
‫סה"כ אריכות ימים בשנים‬
‫‪24‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32‬‬
‫הערות‬
‫לעומת תוחלת ‪ 5‬שנים על פי‬
‫הרפואה הקונבנציוחלית‬
‫זוהי תוצאה יוצאת דופן שהתעלמות ממנה תהיה מעשה חסר אחריות לחלוטין‪.‬‬
‫רכוז הנחות לרעה‬
‫‪ .90‬להלן רשימה של ההנחות שעשינו‪ ,‬וכולן לרעת אריכות הימים היכולות לגרום לחישוב תחזית‬
‫לאריכות ימים הגרועה באופן משמעותי ממה שניתן להשיג במציאות כל ההנחות הללו משותפות לכל‬
‫החישובים שעשינו‪.‬‬
‫א‪ .‬בחרנו במודל מיו שהוא המודל הגרוע )במידה משמעותית( ממודל אומגה‪ ,‬על אף שהשיקולים‬
‫ההגיוניים מראים שכנראה מודל אומגה הוא הנכון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנחנו ש ‪ ‬לא קטן עם ירידת האגרסיביות‪ ,‬בעוד שההיגיון ונתוני מחקרים‪ ,‬עליהם הצבענו‪ ,‬מראים‬
‫קורלציה חיובית בין רמת האגרסיביות של הסרטן לבין קצב צמיחת כלי הדם המזינים‪.‬‬
‫ד‪ .‬בתוספת עבור טיפול הורמונלי בעזרת ‪:Q-P‬‬
‫‪ (1‬לקחנו בחשבון רק תוספת של שנתיים‪ ,‬של משך הטיפול המצטבר עצמו‪ ,‬שזה ממש מינימלי‪,‬‬
‫בהתחשב בצורת הטיפול האינטרמיטנטי‪ ,‬הכולל טפול קצר של כחודשיים‪ ,‬והפסקה של מספר‬
‫חודשים‪ .‬אין שום ספק שמשך הטיפול המצטבר של טיפול כזה יהיה הרבה יותר מאשר שנתיים‪ ,‬שהרי‬
‫זה כל הרעיון שמאחרי הטיפול האינטרמיטנטי‪ ,‬ואף הצבענו על עדויות של שימוש רצוף ארוך מאד‬
‫במוצר‪ .‬להערכתנו יש פה פוטנציאל לעוד מספר שנים רב תוספת לחישובי אריכות הימים‪.‬‬
‫‪ (2‬הצבענו גם על כך שה ‪ Q-P‬חוסם את ייצור ה‪ ,Psa‬דבר שיכול להביא גם הוא להארכת משך‬
‫הפעילות החיובית של ה ‪ ,Q-P‬לאור העובדה שהצבענו על מחקרים המדברים על כך שה‪ Psa‬מהווה‬
‫גורם המאפשר המשך התפתחות הסרטן במצב של חסר הורמונלי‪ ,‬וכן עדויות ומחקרים המראים‬
‫שהוא עובד גם במצב של סרטן עמיד לחסר באנדרוגן‪.‬‬
‫ה‪ .‬לא הבאנו בחשבון טיפול כימותרפי‪.‬‬
‫ו‪ .‬לדעתי בסעיף ד' יש לנו שולי בטחון של לפחות ‪ 4‬שנים ובסעיף ה' יחד עם הדיאטה לפחות שנתיים‪.‬‬
‫להערכתי ‪ 6‬שנים אלה בטוחים למדי‪.‬‬
‫ההתפתחות הליניארית בשנים הראשונות‪-‬והצעה לכלי ניבוי חדש‪.‬‬
‫‪ .91‬עיון בשרטוט‪ 31-‬מראה לנו תמונה שיכולה להראות מפתיעה‪ ,‬הגרף הירוק שהינו גרף הצמיחה‬
‫המהירה ביותר של הסרטן נראה ליניארי לחלוטין בתחום ‪ 200‬הימים הראשונים‪ .‬מעניין לראות כיצד‬
‫מתנהג גרף זה לאורך זמן שהרי ברור לחלוטין שבטווח הארוך גרף זה הינו אקספוננציאלי‪ .‬אנו ציינו‬
‫שבטווח של מספר שנים הינו יכול להחשב לליניארי לחלוטין במיוחד בתקופה שהסרטן עדיין מוריד‬
‫‪96‬‬
‫אגרסיביות וציינו שהדבר נובע מרמה נמוכה ביותר של צמיחה אנג'יוג'נטית ‪ ,‬וגם מהעובדה של הורדת‬
‫אגרסיביות כאשר בתקופה זו הסרטן מצד אחד צומח אקספוננציאלית עם חזקה נמוכה ביותר ומצד שני‬
‫יש חלק ההולך ודועך גם הוא אקספוננציאליות עם חזקה יותר גבוהה‪ .‬מעניין לראות את הגרף הירוק‬
‫בתחום של מספר שנים‪ ,‬ואנו בחרנו ‪ 5‬שנים‪ ,‬מאחר וזה קרוב לממוצע הסטטיסטי המקובל היום של‬
‫אריכות הימים‪ ,‬לחולה סרטן ערמונית‪ ,‬עם ציון גליסון ‪ 8‬ומעלה‪.‬‬
‫להלן הגרף‪:‬‬
‫שרטוט‪33-‬‬
‫סימננו נקודות כל רבע שנה על פני הגרף הירוק‪ ,‬שהינו גרף החסם שלנו ובצענו רגרסיה ליניארית על‬
‫הנקודות הללו כאשר אלצנו את הקרוב הליניארי לעבור דרך )‪ N(0‬קבלנו התאמה יוצאת דופן עם מקדם‬
‫קורלציה ‪ R=0.99577‬ברור לנו לחלוטין שהגרף איננו ליניארי אולם הוא מצביע לנו בצורה חזקה על‬
‫עצמתה של הדיאטה ובהתחשב במיוחד בעובדה שבמציאות המספרים הרבה יותר קטנים‪ ,‬והגרף הינו‬
‫גרף של החסם‪ ,‬ולא של ה ‪ Psa‬במציאות‪ .‬עובדה זו מצביעה מחדש על הצורך למצוא כלי קצת יותר‬
‫טוב לצורך ניבוי ה ‪ Psa‬על בסיס נתוני העבר‪.‬‬
‫ברור לחלוטין מהחומר המוצג שיהיה זה בלתי מתאים לאמוד את קצב התקדמות המחלה תחת הדיאטה‬
‫המתאימה באמצעות הכלים הקיימים‪ .‬הדרך הפשוטה ביותר‪ ,‬לפחות במשך מספר שנים‪ ,‬היא לאמוד‬
‫)‪(9.72‬‬
‫זאת ליניארית כלהלן‪:‬‬
‫כאשר ‪= t‬זמן נוכחי‪ =t1 ,‬זמן עתידי מעבר ל ‪ Pest(t+t1) , t‬מסמל את תחזית ה ‪ Psa‬בעוד‪ t1‬יחידות‬
‫זמן‪ p(0) ,‬הינו ה ‪ Psa‬בתחילת הדיאטה‪ .‬גם הכלי הזה איננו מדויק ועם עבור הרבה זמן‪ ,‬הוא נהיה‬
‫פחות מדויק‪ ,‬ולכן דרוש מעקב קבוע שיבחן‪ ,‬בכל הערכה כזו מחדש‪ ,‬האם הכלי עדיין תקף או שצריך‬
‫לעבור למדד האקספוננציאלי‪ .‬ניתן לאמר בוודאות די גבוהה שהכלי הזה הוא טוב כל עוד הסרטן מוריד‬
‫אגרסיביות‪ .‬איך נוכל לדעת זאת? כל עוד ‪ <‬פרושו שהסרטן לא הגיע עדיין לשיווי משקל‪ ,‬ובמצב כזה‬
‫הסרטן ממשיך להוריד אגרסיביות‪ .‬יכול מישהו לאמר ‪ ,‬רגע ! למה שלא נחשב גם פה לפי השיטה‬
‫האקספוננציאלית? את הסיבה הראנו בדוגמאות בסעיף ‪ .31‬שם ההבדלים ממדידה למדידה מהווים‬
‫אחוז גבוה מה ‪ Psa‬ויכולה להביא לניבויים שגויים ביותר‪.‬‬
‫‪97‬‬
‫פתרון אנליטי ע"פ תוצאות המדגם‬
‫‪92‬‬
‫‪ .‬מאחר ולא היינו בטוחים בטיב הפתרונות המקורבים שקבלנו על פי תכנת הגרף ראינו צורך לפתח‬
‫פתרון אנליטי לנוסחאות של פרק ‪ .9‬על בסיס מדידות ה ‪ .Psa‬הסעיף הינו מתמטי טהור‪ ,‬ואינו תורם‬
‫דבר להבנת המודל או להבנת התנהגות הסרטן‪ ,‬לפיכך מי שימצא אותו מסובך או משעמם מידי‪ ,‬יכול‬
‫לדלג עליו‪ ,‬אך אם יעשה זאת‪ ,‬יצטרך להאמין שנמצאה דרך פשוטה לפתור את הפרמטרים החסרים‪.‬‬
‫‪(9.77‬‬
‫ראינו שהפתרון התאורטי של המערכות שהבאנו בחשבון צורתו‬
‫נניח שיש לנו מדגם בגודל ‪ r‬של ה‪ ,Psa-‬ונחפש מינימום לריבוע הסטיות‪ ,‬של הפונקציה‪ ,‬מתוצאות‬
‫המדגם שבפועל‪ .‬פונקצית ריבוע הסטיות תהיה כלהלן‪:‬‬
‫)‪(9.78‬‬
‫)‪(9.79‬‬
‫נגזור לפי כל המשתנים ונשווה ל ‪0‬‬
‫)‪(9.80‬‬
‫)‪(9.81‬‬
‫)‪(9.82‬‬
‫בגלל השוויון ל ‪ 0‬אפשר לבטל את המכפלה ב ‪ 2‬ונפתח את הסוגריים בעל נוסחה ונקבל‪:‬‬
‫)‪(9.83‬‬
‫)‪(9.84‬‬
‫)‪(9.85‬‬
‫)‪(9.86‬‬
‫לנוחיות החישובים נגדיר את הגדלים הבאים‪:‬‬
‫)‪(9.87‬‬
‫)‪(9.88‬‬
‫וכן‬
‫נציב גדלים אלה במשוואות הקודמות‪:‬‬
‫נציב ב )‪ (9.83‬ונקבל‬
‫נציבם ב )‪ (9.84‬ונקבל‬
‫נמשיך ב )‪ (9.85‬ונקבל‬
‫והמשוואה האחרונה תהיה‬
‫יש לנו ‪ 4‬משוואות עם ‪ 4‬נעלמים ‪  a, b,‬ו ‪ ‬נשתחרר מ ‪ a‬ו ‪ b‬ונקבל ‪ 2‬משוואות עם שני‬
‫‪ ‬ו ‪ ‬לאחר חילוץ ‪ a‬ו ‪ b‬נקבל את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫)‪(9.89‬‬
‫)‪(9.90‬‬
‫)‪(9.91‬‬
‫)‪(9.92‬‬
‫)‪(9.93‬‬
‫נעלמים‬
‫והמשוואה‬
‫)‪(9.94‬‬
‫)‪(9.95‬‬
‫ובצורה אחרת‪:‬‬
‫)‪(9.96‬‬
‫‪98‬‬
‫)‪(9.97‬‬
‫ן‬
‫משוואות אלה מכילות רק את המשתנים ‪ ‬ו ‪ ‬ולא ניתן לחלצם בדרך פשוטה אך ניתן למצוא את‬
‫הפתרון‪ ,‬ע"י הכנסת הנתונים והמשוואות לתוכנה הגרפית‪ ,‬אשר משרטטת את הגרפים של משוואות אלו‬
‫והפתרון נמצא בנקודת החיתוך של הגרפים‪ .‬לאחר מציאת ‪ ‬ו ‪ ‬נוכל לפתור את ‪ a‬ו ‪ b‬כלהלן ‪:‬‬
‫ו‬
‫)‪(9.98‬‬
‫ולאחר מכן נמצא את ‪ , ‬את ‪ ‬ולאחר מכן את משוואת )‪.S(t‬‬
‫וכן‬
‫כאשר חישבתי זאת עבור התקופה השניה של המדגם קבלתי‬
‫קבלתי ‪ a=0.364187 , b=-0.151199‬מאחר והדיוק של המדידה בעין אינו ‪ , 100%‬הכנסתי את‬
‫הנתונים הללו יחד עם הנקודות המקוריות של המדגם ובקשתי מהמחשב למצוא נוסחה שתתן את‬
‫הקרוב הטוב ביותר למדגם ולאחר תהליך של כ‪ 5 -‬קירובים קבלתי את התוצאות הבאות‪:‬‬
‫)‪(9.99‬‬
‫כאשר כל קרוב נוסף שיפר זאת רק במקום ה‪11‬‬
‫כאשר מקדם הקורלציה הינו‪:‬‬
‫לאחר הנקודה‪.‬‬
‫‪99‬‬
‫פרק ‪ – 10‬ההצלחה הגדולה של הדיאטה‪ -‬הפחתת האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫חישוב הפחתת קצב האנג'יוג'נסיס‪.‬‬
‫‪.93‬‬
‫בכל המודלים שבחנו מתקיימת בנקודת שווי המשקל המשוואה‬
‫סביר שלפני שהתחלתי בדיאטה‪ ,‬הייתי בנקודת שווי משקל לכן נוכל לחשב את‬
‫לאור זאת‪,‬‬
‫טרום הדיאטה‬
‫)‪(10.1‬‬
‫‪(10.2) S(0)=0.0060782565‬‬
‫אם נסתכל על תוצאות מודל האומגה בסעיף ‪ .84‬ראה )‪(9.59‬‬
‫)או‪ S(0) ‬על פי מודל‪-‬המיו‪ ,‬ראה )‪ ((9.49‬נראה שכמות המזון קטנה בערך פי ‪2.687-‬‬
‫‪ , 2.567‬ונזכור שאנו מדברים על )‪ S(0‬על פי הנתונים של שלב ב' שהינם מאוחרים בערך ב‪ 9-‬חודשים‬
‫מהמועד שבו חושב )‪ (10.1‬לכן יש להניח שכמות המזון קטנה בערך פי ‪ .3‬מה המשמעות של עובדה זו?‬
‫נתון זה בפני עצמו לא אומר הרבה כי לפי רמת האגרסיביות של מחלתי‪ ,‬בעת תחילת הדיאטה‪ ,‬יש‬
‫לשער שחודש וחצי קודם היה ה ‪ S‬פי שלוש יותר נמוך‪ ,‬כלומר הנמכה זו בפני עצמה לא היתה תורמת‬
‫יותר מחודש וחצי אילו רמת האגרסיביות היתה נשמרת‪ .‬נשאלת השאלה אם כן ‪ ,‬מאיפה נובעים‬
‫ההבדלים העצומים בין מה שחישבנו בעבר ובין תוצאה זאת? התשובה טמונה בתהליך האנג'יוג'נסיס‬
‫ומה שקורה לו עם הדיאטה‪ .‬כפי שכבר אמרנו במצב של שווי משקל הסרטן והמזון גדלים באותו הקצב‪,‬‬
‫לכן מתוך ידיעת ‪ ‬טרום הדיאטה‪ ,‬נוכל לחשב את ‪ ‬ואת ‪ ‬טרום הדיאטה ולהשוותם למה שמצאנו‬
‫לאחר התחלת הדיאטה‪ .‬אנו יודעים שבמצב שווי משקל מתקיים‪ ,‬לפי מודל האומגה )ראה )‪,((9.13‬‬
‫נסמן ב ‪ ‬את את המקדם טרום ההרעבה‪ ,‬מידיעה ש ‪ ‬טרום הדיאטה היתה‬
‫‪ 0.02963003‬נוכל לחשב כלהלן‪:‬‬
‫)‪(10.3‬‬
‫את ‪ ‬של שלב ב'‪ ,‬של הדיאטה מצאנו כמופיע ב )‪ (9.57‬לכן נקבל ‪:‬‬
‫)‪(10.4‬‬
‫נבדוק כעת מה קרה ל ‪ ‬במודל‪-‬המיו? אנו יודעים שבמצב שווי המשקל ‪ =‬לכן לפני תחילת הדיאטה‬
‫‪ =‬אנו ראינו ב )‪ (9.47‬שבשלב ב' של הדיאטה התקיים ‪  ‬ולכן‬
‫)‪(10.5‬‬
‫ברור לכן שההשפעה הגדולה של הדיאטה הינה על תהליך האנג'יוג'נסיס ופה טמון סוד ההצלחה‬
‫הגדולה של הדיאטה‪.‬‬
‫פה מתאשר בדרך נוספת שמודל מיו מחמיר עם החולה לעומת מודל אומגה‪ .‬אנו רואים שקיים הבדל‬
‫עצום בין ההשפעה הישירה של הדיאטה על כמות המזון המסופק ישירות לסרטן לבין השפעתה על‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ .‬בעוד שכמות המזון המסופק קטנה בערך פי ‪ 3‬הרי שקצב גידול כלי הדם המזינים קטן כפי‬
‫‪ 54‬על פי מודל‪-‬המיו‪ ,‬ופי ‪ 187‬על פי מודל האומגה‪ .‬עובדה זו מאשרת את מה שהוכחנו בסעיפים ‪.85‬‬
‫‪ .86‬שקצב גידול כלי הדם המזינים גבוה על פי מודל מיו מאשר במודל אומגה‪ ,‬בכל רגע נתון‪.‬‬
‫הסיבות‪ ,‬והמנגנונים להפחתת קצב גידול כלי הדם המזינים‪.‬‬
‫‪ .94‬נשאלת השאלה מדוע ההשפעה המידית של הדיאטה על הקטנת קצב הצמיחה של כלי הדם‬
‫המזינים הרבה יותר גבוהה מאשר השינוי בכמות המזון המסופקת ביחידת זמן לגידול הסרטני?‬
‫התשובה לכך לפחות מבחינה איכותית מאוד פשוטה‪:‬‬
‫א‪ .‬צמיחת כלי הדם נעשית גם היא ע"י חלוקת תאים והשלמתם לתאים חדשים בהמשך‪ ,‬ולכן יתכן שיש‬
‫לדיאטה השפעה על התאים של כלי הדם‪ ,‬הדומה להשפעה על תאי הסרטן על פי מודל המחסור במזון‪.‬‬
‫אם נסתכל על כך חיצונית‪ ,‬הרי יש פה גידול פראי של כלי דם וזה דומה בדיוק לגידול הפראי הסרטני‪.‬‬
‫לכן אם אותה הדיאטה יוצרת הגבלת מזון לשני סוגי התאים‪ ,‬הרי תהיה פה השפעה ישירה על צמיחת‬
‫כלי הדם כמו ההשפעה הישירה על צמיחת הסרטן‪ .‬דבר זה איננו מוכח וזוהי רק השערה‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫ב‪ .‬בסעיף ‪ .41‬הוסבר בצורה כללית שלתוצרי החומצה הארכידונית תפקיד מפתח בהתפתחות‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ .‬הקטנת כמות האומגה ‪ 6‬מקטינה את כמות התוצרים הללו ומקטינה את התפתחות כלי‬
‫הדם המזינים‪.‬‬
‫ג‪.‬התהליך מתחיל כאשר הסרטן מייצר ‪ Cox-2‬שהינו אנזים העוזר להמרה המטבולית של החומצה‬
‫הארכידונית לגורמים מעודדי דלקות‪ ,‬לכן בנוסף לאמור בתת סעיף ב‪ .‬אנו צורכים בתזונה המתוכננת‬
‫שלנו מעכבים שונים המפריעים לפעולת האנזימים ‪ , Cox-1 , Cox-2‬והאנזים ‪5-Lipoxygenase‬‬
‫ועי"כ מהווים מכשול נוסף בפני יצור כלי הדם החדשים‪ .‬חומרים אלה מצוינים בשרטוט‪ 17-‬והינם‬
‫הרסברטרול‪ ,‬כורכומין‪ ,‬תה ירוק‪ ,‬והתוצר ‪ 5-Loxin‬שהינו מעכב של ‪ 5-Lipoxygenase‬בנוסף לכך אני‬
‫משתמש באספירין ‪ 81‬מ"ג ‪ ,‬כדור‪ 1‬ליום המשמש כמעכב ידוע ל‪ Cox-1‬וכן משתמש ב ‪Celecoxib‬‬
‫שהינו מעכב מצוין של ‪ Cox-2‬וידוע מהספרות שהינו תורם בפרוש למלחמה בסרטן )סימוכין ‪(.41‬‬
‫ואפשר למצוא לכך שפע של סימוכין באינטרנט‪ .‬הסלקוקסיב הינו אחד המעכבים הטובים ביותר של‬
‫‪ Cox-2‬וזהו תפקידו על פי עלון ההסברה המצורף לתרופה‪ .‬אולם יש לו תופעות לוואי והרופאים אינם‬
‫מאשרים שימוש ממושך בו‪ ,‬וישנן מגבלות של שימוש משותף בינו לבין האספירין‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע שהשומן אומגה‪ 3-‬מתחרה כנגד שומן האומגה‪ 6-‬על אותם אנזימים‪ ,‬ראה סימוכין ‪ .51‬אותו כדאי‬
‫לקרוא ואני מצטט ‪:‬‬
‫)‪The eicosanoids from AA generally promote inflammation. Those from GLA (via DGLA‬‬
‫‪and from EPA are generally less inflammatory, or inactive, or even anti-inflammatory.‬‬
‫‪(This generalization is qualified: an eicosanoid may be pro-inflammatory in one tissue‬‬
‫)]‪and anti-inflammatory in another. See discussion of PGE2 at Calder[9] or Tilley.[10‬‬
‫‪Dietary ω-3 and GLA counter the inflammatory effects of AA's eicosanoids in three‬‬
‫‪ways – displacement, competitive inhibition and direct counteraction.‬‬
‫במסגרת הדיאטה שלי אני צורך בכל ארוחה כ ‪ 10‬גרם שמן פשתן סה"כ כ‪ 30‬גרם ליום‪ ,‬בתוספת של כ‪-‬‬
‫‪ 12‬גרם שומן כלשהו‪ ,‬מהמזון‪ .‬מתוך שמן הפשתן כ ‪ 56%‬זה אומגה‪ 3-‬כ ‪ 12.7%‬זה אומגה‪ 6-‬וכ‬
‫‪ 20.2%‬אומגה‪ 11.1%+ 9-‬שומן אחר‪ .‬לפי חישובים שעשיתי‪ ,‬כמות האומגה‪ 3-‬בתזונה שלי‪ ,‬הינה בערך‬
‫פי ‪ 1.5‬מאשר האומגה‪ ,6-‬בעוד שבעבר סביר שהיחס היה לפחות ‪ 15‬ל‪ 1‬לטובת האומגה‪) 6-‬סימוכין‬
‫‪ (.51‬זאת בהתחשב בהרכב שומני הבישול הרגילים‪ .‬המשמעות הינה תחרות אדירה על האינזימים ואם‬
‫לפני כן כ‪ 94%‬מהאנזימים הלכו לטובת האומגה‪ ,6-‬הרי כיום רק כ‪ 40%‬ואף פחות‪ ,‬הולכים לטובת‬
‫האומגה‪ 6-‬כאשר גם בהם אנו נלחמים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אנו דברנו על חלק מנושא ה ‪ displacement‬המוזכר בתת הסעיף הקודם‪ ,‬שזה ההורדה של כמות‬
‫האומגה‪ 6-‬ותפיסת מקומו ע"י האומגה‪ ,3-‬אבל אבל לא לכך הכוונה בסימוכין הנ"ל‪ ,‬הכוונה שם‬
‫במשמעות אחרת ונוספת‪ .‬מאחר והאומגה ‪ ,3‬בתהליך המרתו מסוג אומגה‪ 3-‬אחד לסוג אומגה‪ 3-‬אחר‪,‬‬
‫משתמש באותם אנזימים הממירים את ‪ (18:2 ω-6) linoleic acid‬ל ‪ AA‬הרי שהוא מפחית בדרך זו את‬
‫כמות ה‪ AA‬מעבר למה שגרמנו בהפחתת הצריכה של אומגה‪ 6-‬והעלאת הצריכה של אומגה‪ ,3-‬הנטייה‬
‫של אותם אנזימים הינה להתקשר קודם כל לאומגה‪ 3-‬ורק אח"כ לאומגה‪ .6-‬כמוכן דברנו על‬
‫)‪ (competitive inhibition‬התחרות‪ ,‬בין אומגה‪ 3-‬לאומגה‪ ,6-‬על האנזימים החיוניים להפקת גורמי‬
‫הדלקות מה‪ .AA‬מדובר בתחרות על האנזימים ‪ .cyclooxygenase and lipoxygenase‬נשים לב שפה‬
‫מדובר על האנזימים הפועלים על החומצה הארכידונית בעוד שב ‪ displacement‬דברנו על האנזימים‬
‫ההופכים את החומצה הלינולאית לחומצה ארכידונית‪ ,‬כך שאלו שתי תחרויות שונות‪ .‬נשאר נושא נוסף‬
‫המוזכר שהינו‪ ,‬פעולה נגדית ישירה )‪ .(direct counteraction‬ישנם תוצרים של סוגי אומגה‪ 3-‬שהינם‬
‫אנטידלקתיים הסותרים ממש את תוצרי החומצה הארכידונית הדלקתיים‪ .‬מאחר וצריכת האומגה‪3-‬‬
‫גדולה כעת לפחות פי ‪ 1.5‬מצריכת האומגה‪ 6-‬הרי שכל ייצור של מוצר סותר כזה יכול להגביר‬
‫משמעותית את ירידת גורמי הדלקות‪.‬‬
‫ו‪ .‬אנו צורכים גם ‪ 2‬כמוסות סופר אומגה ‪ 3‬ליום שרכוז ה ‪ EPA‬וה ‪ DHA‬שבהם גבוה‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫מסכום כל האמור‪ ,‬ברור לחלוטין‪ ,‬שהשפעת הדיאטה על האנג'יוג'נסיס גדולה בהרבה מאשר השפעתה‬
‫הישירה על עכוב הגידול הסרטני‪ ,‬יש בדיאטה שלנו התקפה ישירה על כל המקורות הנדרשים לתהליך‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ ,‬מכמה כוונים יחד‪ ,‬סה"כ של האמור לעיל מצביע על כך שאכן ירידה כזאת של פי ‪50‬‬
‫ויותר בקצב גידול כלי הדם המזינים הינה אפשרית בהחלט‪.‬‬
‫הסיכוי להפחתה נוספת בקצב גידול כלי הדם המזינים‪.‬‬
‫‪ .95‬נקודה אחרונה לציון‪ :‬אנו יודעים שקצב הגידול של )‪ N(t‬הולך ופוחת ‪ ,‬עד שהוא מגיע לאיזון עם‬
‫קצב הגידול של )‪ ,S(t‬סביר גם שככל ש ‪ ‬גדול יותר כך הסרטן נותן דחיפה יותר חזקה לגורמי גדילה‬
‫שונים המשפיעים ומעודדים את האנג'יוג'נסיס‪ .‬אולם האם באמת זה כך? אולי ישנו גורם אחד או שניים‬
‫או כמה‪ ,‬שכל אחד מהם פועל פעולה דו‪-‬כוונית? זאת אומרת הסרטן יכול להפריש חומר שגורם‬
‫לאנג'יוגינסיס ובו זמנית לפרוליפרציה‪) ,‬שנקרא לו ‪ .(A‬או להפריש חומר‪) ,‬שנקרא לו ‪ ,(B‬שגורם בו‬
‫זמנית לפעולה אנטיאנג'יוג'נטית ולאפופטוזיס‪ .‬נניח שישנו חומר שבו זמנית גורם לאנג'יוג'נסיס‬
‫ולפרוליפרציה‪ ,‬כלומר חומר מסוג ‪ .A‬במקרה כזה‪ ,‬הגדלת פרוליפרציה פרושה הגדלת ‪ ,‬אך בו זמנית‬
‫יגדל ה ‪ ) ‬או ה ‪ ‬על פי המודל השני(‪ ,‬במקרה של חומר ‪ ‬הנחנו שהוא גורם לאפופטוזיס ובו זמנית‬
‫גורם להקטנת הפעילות האנג'יוג'נטית‪ .‬במקרה כזה‪ ,‬הגדלת אפופטוזיס‪ ,‬הינה אקוויולנטית להקטנת ‪‬‬
‫‪ ,‬ומצד שני אמרנו שחומר זה מקטין גם את הפעילות האנג'יוג'נטית‪ .‬לכן הגדלת הכמות המופרשת‬
‫מחומר זה‪ ,‬מביאה בו זמנית להקטנת ‪ ‬ולהקטנת ה ‪ ) ‬או ה ‪ ‬על פי המודל השני(‪ .‬כלומר לא משנה‬
‫מהו החומר מסוג ‪ ‬או ‪ ,‬שניהם מובילים לכך שהקטנת האגרסיביות מובילה להקטנת קצב התקדמות‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ .‬לכן אם ברגע מסוים יש לנו קצב התקדמות ‪ ) ‬או ה ‪ ‬על פי המודל השני(‪ ,‬של‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ ,‬והסרטן מקטין את מידת האגרסיביות שלו כפי שהיתה באותו הרגע‪ ,‬הרי צפוי שקצב‬
‫ההתפתחות העתידי של האנג'יוג'נסיס‪ ,‬יהיה נמוך יותר ממה שמדדנו‪ .‬לאחר שעלתה במוחי ההשערה‬
‫שה ‪ ‬וה ‪ ‬הולכים יד ביד חיפשתי באינטרנט ומצאתי שאכן זה כך‪ ,‬ושני החומרים הבסיסיים‬
‫הקשורים לאנג'יוג'נסיס‪ ,‬האנג'יוג'נין והאנג'יוסטטין יש להם את התכונות האמורות‪ .‬האנג'יוג'נין מעודד‬
‫את צמיחת כלי הדם המזינים את הסרטן ובו זמנית מעודד את הפרוליפרציה של תאי הסרטן‪ .‬כמו כן‬
‫מצאתי שהאנג'יוסטטין מקטין את צמיחת כלי הדם המזינים את הסרטן ובו זמנית גורם לאפופטוזיס‪.‬‬
‫האם אלה הם הכלים בהם משתמש הסרטן? אינני יודע אך אני משער שכן‪ ,‬על כל פנים העובדות הללו‬
‫מחזקות את ההנחה הטבעית ביותר האומרת שאגרסיביות ואנג'יוג'נסיס הולכים באותו כוון‪ ,‬ולכן יש סיכוי‬
‫שנחזה בירידת קצב האנג'יוג'נסיס עם ירידת האגרסיביות מעבר למה שחישבנו בפרק זה‪) .‬ראה גם את‬
‫השערת האנג'יוסטטין ואת הסימוכין למחקרים(‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫פרק ‪ -11‬לאחר ההקרנות‬
‫התפתחות ה‪ Psa‬לאחר ההקרנות‪.‬‬
‫‪ .96‬ב ‪ 26‬אפריל ‪ , 2011‬התחלתי בהקרנות לאזור מיטת הערמונית בה התחדש הגידול‪ ,‬שהגיע‬
‫לגודל של כ‪ 1.3x1.3x0.7-‬סנטימטר‪ ,‬ההקרנות נמשכו עד ‪ . 16.06.2011‬עברתי טיפול של ‪36‬‬
‫פרקציות‪ ,‬כאשר כל פרקציה היתה של ‪ Gy 2‬סה"כ ‪ .Gy 72‬ה ‪ Psa‬נמדד ומהר מאד הסתבר שהסרטן‬
‫התחיל לצמוח מחדש‪ .‬להלן טבלה עם נתוני ה ‪: Psa‬‬
‫טבלה‪13-‬‬
‫מס'‬
‫סידורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫תאריך‬
‫‪Psa‬‬
‫‪24.07.2011‬‬
‫‪24.08.2011‬‬
‫‪25.09.2011‬‬
‫‪27.10.2011‬‬
‫‪27.11.2011‬‬
‫‪27.12.2011‬‬
‫‪26.01.2012‬‬
‫‪04.03.2012‬‬
‫‪01.04.2012‬‬
‫‪14.05.2012‬‬
‫‪13.06.2012‬‬
‫‪16.07.2012‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0.04‬‬
‫‪0.04‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪0.09‬‬
‫‪0.09‬‬
‫‪0.09‬‬
‫‪0.13‬‬
‫‪0.14‬‬
‫‪0.16‬‬
‫ימים שעברו‬
‫מבדיקה אחרונה‬
‫‪0‬‬
‫‪32‬‬
‫‪31‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪38‬‬
‫‪28‬‬
‫‪43‬‬
‫‪30‬‬
‫‪32‬‬
‫ימים מצטברים‬
‫‪0‬‬
‫‪32‬‬
‫‪63‬‬
‫‪93‬‬
‫‪123‬‬
‫‪161‬‬
‫‪189‬‬
‫‪232‬‬
‫‪262‬‬
‫‪294‬‬
‫‪ .97‬אנו רואים שב ‪ 25.09.2012‬נכנסנו לשלב חדש מאחר ובמדידה הבאה ראינו שהתבצעה קפיצה ב‬
‫‪ Psa‬קפיצה כזו מתרחשת כאשר הגרף מתקרב לאסימפטוטה והגידול נעצר‪ ,‬ואז הוא מוריד את רמת‬
‫האגרסיביות‪ .‬לפיכך המדידות המתאימות לבדיקה שלנו הינן הבדיקות השייכות לאותו שלב כלומר‬
‫משורה מס ‪ 3‬ועד שורה ‪ 9‬כולל‪ ,‬מאחר ושם התרחשה קפיצה נוספת ועברנו לשלב חדש‪ .‬נתונים אלו‬
‫הוכנסו לתכנה הגרפית וקבלנו את הגרף הבא‪:‬‬
‫‪103‬‬
‫שרטוט‪34-‬‬
‫אנו רואים בשרטוט את הקואורדינטות של הנקודות שנמדדו‪ ,‬כאשר ‪ X=t‬מבטא את הזמן בימים שבו‬
‫נלקחה המדידה‪ ,‬ואילו ‪ Y‬הוא ה‪ Psa‬שנמדד‪ .‬אנו ניסינו למצוא התאמה לגרף שצורתו מתאימה למודל‬
‫הבסיסי של ההרעבה על פי נוסחה )‪ (2.15‬וקבלנו את התוצאה המבוטאת בגרף‬
‫)‪(11.1‬‬
‫שנוסחתה‬
‫ומקדם הקורלציה הינו ‪ R=0.9292‬אם נסתכל על הנקודות עצמן נראה שהן תואמות יפה למדי לגרף‬
‫התאורטי בהתחשב בדיוקי המדידות‪ ,‬למעט הנקודה השניה שחורגת במקצת‪ .‬כאשר ניסיתי לקרב‬
‫פונקציה לפי המודל המורחב תכנת הגרף לא פעלה והוציאה הודעות שגיאה‪ ,‬ואי אפשר היה לצאת‬
‫ממנה אלא בכוח‪ ,‬הדבר קרה מספר פעמים‪ .‬כאשר הורדתי את התוצאה השניה מהמדגם ההתאמה על‬
‫בסיס המודל המורחב עבדה וקבלתי מקדם קורלציה של ‪ R=0.9928‬וכל הפרמטרים יצאו מאד מעודדים‪.‬‬
‫כמובן שאינני יכול להביא זאת בחשבון‪ ,‬ועלי להתחשב בכל נקודות המדגם‪ ,‬לפיכך החלטתי בשלב זה‬
‫להסתפק במודל הבסיסי‪ ,‬בו הנחנו ש ‪ S‬קבוע בתחום‪ ,‬שגם הוא נתן לנו בעבר תוצאות טובות‪.‬‬
‫השפעת ההקרנות‬
‫‪ .98‬גם הפעם כמו לאורך כל העבודה אנו מוצאים קונסיסטנטיות מדהימה של התוצאות לתוצאות‬
‫הקודמות ואנו מקבלים רמת אגרסיביות זהה למעשה לכל מה שמצאנו בעבר ואנו מקבלים‬
‫‪ ‬לעומת ‪ ‬הבדלים הנובעים מדיוקי המדידות‪ .‬נבדוק מה קרה לגורם‬
‫התזונה ‪ . S‬אנו יודעים ש‬
‫)‪(11.2‬‬
‫)‪(11.3‬‬
‫לכן‬
‫אנו מצאנו בעבר ‪ S=0.0054‬כלומר בעקבות ההקרנות ירדה התזונה פי ‪ 2‬לעומת המצב טרום‬
‫ההקרנות‪ ,‬כלומר ההקרנות הקטינו את כלי הדם המזינים ב‪ 50%‬אולם האגרסיביות בתום התהליך‪,‬‬
‫חזרה לאגרסיביות המקורית‪ .‬ה ‪ Psa‬מייצג את גודל הסרטן והוא ירד בעקבות ההקרנות מרמה של‬
‫בערך ‪ 0.47‬לכעשירית מכך‪ ,‬כלומר הסרטן נפגע הרבה יותר מאשר כלי הדם המזינים ואין פלא בכך‬
‫משום שידוע שההקרנות פועלות על הסרטן בעיקר בשלב התחלקות התא‪ ,‬בעוד שכלי הדם המזינים‬
‫הקיימים אינם תאים סרטניים‪ .‬כתוצאה מכך שהרקמה הסרטנית נפגעה לפחות פי ‪ 5‬יותר מאשר כלי‬
‫הדם המזינים‪ ,‬הגיע הסרטן לגודל כל כך קטן שכבר לא פעלה עליו מגבלת המזון‪ ,‬ולכן הוא חזר לרמת‬
‫‪104‬‬
‫האגרסיביות המקורית שלו‪ .‬ושוב אנו רואים שכל העובדות מתאימות ומשתלבות במלואן עם המודל‬
‫המתמטי‪ .‬אנו משתמשים לצורך ההשוואה בתוצאות של המודל הבסיסי ולא של המודל המורחב‪ ,‬מאחר‬
‫והתוצאות שיש לנו לאחר ההקרנה הינם לפי המודל הבסיסי‪.‬‬
‫‪ .99‬נשאלת השאלה מה תרמו ההקרנות לאורך החיים הצפוי לי? בראייה שהאגרסיביות נשארה אותו‬
‫דבר‪ ,‬הרי אם לא הייתי עושה דיאטה היה הסרטן חוזר לגודלו המקורי תוך ‪ 2.7‬חודשים החל מ‬
‫‪ . 25.09.2011‬תחת דיאטה המצב יארך הרבה יותר זמן‪ ,‬אותו אצטרך לחשב‪ .‬אנו נבדוק האם בכך‬
‫מסתכמת התועלת? כלומר האם התועלת מסתכמת רק בהפרש הזמנים להגעה לרמת ה ‪ Psa‬טרום‬
‫הדיאטה? אנו מתחילים כעת מרמת תזונה הנמוכה בכ ‪ 50%‬מהרמה שהייתה בשעה שהיינו‬
‫ב ‪ Psa=0.47‬ונשאלת השאלה מה תהיה רמת התזונה כאשר נחזור חזרה ל‪ ?0.47‬האם היא תהיה‬
‫גבוהה‪ ,‬נמוכה‪ ,‬או אולי שווה למה שהיה בעבר? אנו ראינו בעבר קצב גידול של ‪ S‬שעמד על קצת פחות‬
‫מ‪ 20%‬בשנה‪ ,‬מאחר והדיאטה לא השתנתה ולא האגרסיביות הרי שאין סיבה לחשוב שקצב גידול כלי‬
‫הדם המזינים יהיה שונה ממה שהיה בעבר‪ ,‬לאור זאת נבדוק מה יהיה ערכו של ‪ S‬לאחר שנגיע ל ‪0.47‬‬
‫חודש‪ .‬קודם כל אחשב את פרק הזמן בו סביר שאגיע ל‪ . 0.47‬בנוסחאות )‪ (3.22‬עד )‪ (3.24‬ראינו‬
‫שהחסם העליון להתקדמות היומית ב‪ Psa‬הינה ‪ S/2‬בהנחה ש ‪ S‬קבוע )אנו מעריכים שאין הוא קבוע‪,‬‬
‫אך על בסיס הנתונים שבידינו‪ ,‬הנחה זו מוצדקת בפרקי זמן אפילו של שנה‪ ,‬בהתחשב בכך שקצב השינוי‬
‫שלו נמוך‪ .‬נדגיש שאיננו נזקקים למספרים מדויקים‪ ,‬מאחר והתוצאות חזקות ביותר ושינויים קלים בהם‬
‫לא ישנו את המסקנות( על בסיס זאת ונוסחה )‪(3.24‬‬
‫נקבל שמקסימום השינוי החודשי בשלב זה הינו‪:‬‬
‫)‪(11.4‬‬
‫במציאות נוכחנו בנכונות מספר זה פעמיים‪ ,‬ובטבלה‪ 13-‬אנו רואים שההפרש בין שורה ‪ 3‬לשורה ‪ 4‬הוא‬
‫‪ 0.04‬וכך גם ההפרש בין שורה ‪ 9‬לשורה ‪ . 10‬הפרשי המקסימום קורים באיזור המעבר בו הסרטן‬
‫מוריד את האגרסיביות‪ ,‬שאז שפוע גרף ה ‪ Psa‬הוא הגדול ביותר‪ .‬הבעיה הינה שזהו חסם עליון ולא‬
‫הממוצע החודשי‪ .‬על בסיס השלב הראשון שלאחר ההקרנות הממוצע החודשי היה פחות מ‪20%‬‬
‫מהחסם העליון ‪ ,‬אולם עלינו לזכור שהממוצע החודשי בעבר היה כ‪ 43%‬מהחסם וכמובן שהדבר תלוי‬
‫ברמת העקמומיות של גרף ה ‪ Psa‬ורמת העקמומיות תלויה בגודלם של ‪ S‬ושל ‪ ‬מאחר ואינני יודע‬
‫בשלב זה כיצד יתנהג נתון זה‪ ,‬החלטתי לבדוק את התוצאות באמצעות נתוח רגישות ואנו נבדוק מהו‬
‫משך הזמן הצפוי שנגיע מחדש ל ‪ 0.47‬הזמן שאני מודד הינו החל מ‪ 25.09.11-‬שזה התחלת השלב‬
‫הראשון‪ .‬כלומר אנו מחפשים את משך הזמן בו יגדל ה ‪ Psa‬ב ‪0.43‬‬
‫‪ .100‬אדון כעת בערכו של ‪ S‬העכשווי לעומת ערכו הקודם‪ ,‬ובהמשך נחבר את האמור בכל הסעיפים‬
‫על מנת להעריך את תרומתם של ההקרנות לאריכות הימים שלי‪ .‬מאחר ובעבר עשיתי ניתוח רגישות‬
‫רחב טווח על ערכו של ‪ S‬לא היה חשוב לי ערכו המדוייק ‪ .‬בשלב זה הערך המדויק חשוב לי יותר ולכן‬
‫אטפל בכך ביתר דקדוק‪.‬‬
‫א‪ .‬בטבלה‪ 5-‬ראינו ש ‪ S=0.004920‬היה הממוצע של התקופה הראשונה‪ ,‬וניתן לשייכו לאמצע התקופה‬
‫של המדגם‪ ,‬כלומר כ‪ 77-‬יום מהפסקת לקיחת הפיטואסטרוגן‪ .‬ה ‪ 77‬יום הוא אמצע התקופה שבין‬
‫הנת"ה שהתחילה לפי חישובינו ביום ה‪ 25‬מאז הפסקת לקיחת הפיטו ונמשכה עד היום ה ‪129‬‬
‫‪ 18.05.09‬וסה"כ ‪ .(129+25)/2=154/2=77‬בהתחשב שלקחנו ‪ ‬הרי אם נלך אחורה ‪77‬‬
‫‪(11.5) S=0.004728‬‬
‫יום נקבל שבתחילת התקופה‪ ,‬כאשר היה ‪ p=0.04‬התקיים‬
‫לעומת ‪ 0.005‬שלקחנו בחישובינו‪ ,‬כלומר לקחנו בחישובי אריכות הימים‪ S ,‬הגדול ב ‪ 5.44%‬ממה‬
‫שהיינו צריכים לקחת‪ 5.44% .‬מתוך אריכות ימים של למעלה מ ‪ 24‬שנים שהגענו בחישובים השונים‬
‫יכולה להגיע לכ ‪ 1.3‬שנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬אחשב כעת את ‪ S‬כפי שהיה אמור להיות בעת שהתקיים ‪ . p=0.47‬משך הזמן שעבר מתחילת‬
‫החישובים בהם היה ‪ p=0.04‬היה כ ‪ 367‬יום‪ ) ,‬ראה טבלה‪ (1-‬נסמן ‪ S‬זה כ )‪ S(p=0.47‬ונחשבו‪:‬‬
‫)‪(11.6‬‬
‫ג‪ .‬כמו כן אחשב את ה‪ S‬החדש כפי שהוא היה ב‪ 25.09.2011‬שזה תחילת השלב הראשון לאחר‬
‫ההקרנות‪ .‬אני אסמן זאת ב ‪ Sn‬על מנת להבדילו מה ‪ S‬הקודם‪ .‬ה‪ Sn‬שקבלנו ב )‪ (11.3‬הוא ממוצע של‬
‫‪105‬‬
‫התקופה הראשונה שלאחר ההקרנות ולכן הוא נכון בערך לאמצע התקופה הראשונה שנמשכה ‪ 189‬יום‪,‬‬
‫לכן על מנת למצוא את)‪ Sn(0‬בתחילת התקופה יש לחזור אחורה ‪ 94.5‬ימים‪ ,‬לאור זאת נחשב‬
‫)‪(11.7‬‬
‫ד‪ .‬אנו רואים בטבלה‪ 13-‬שורה ‪ 9‬לעומת שורה ‪ 3‬עליה של ה‪ Psa‬ב‪ 0.05‬בתקופה של כ‪ 6.2-‬חודש‬
‫כלומר גידול ממוצע של ‪ 0.0080645‬בחודש שזה ‪ 19.77%‬מהחסם העליון שב )‪ (11.4‬אין לצפות שזה‬
‫ישאר כך‪ ,‬מאחר שבמשך הזמן ערכו של ‪ S‬עולה ואילו ‪ ‬מפסיק לקטון וצורת הגרף מתחילה להיות‪,‬‬
‫בשלב מסוים אקספוננציאלית‪ ,‬כפי שנראה ב שרטוט –‪ 19‬וב שרטוט – ‪.21‬‬
‫ה‪ .‬נסמן ב ‪ q‬את האחוז הממוצע של הגידול החודשי של ‪ ,p‬לעומת החסם‪ .‬נבצע ניתוח רגישות ל ‪q‬‬
‫שבו נקח עבור ‪ q‬ערכים מתקבלים על הדעת‪ ,‬בטווח של ‪ 0.2-0.6‬ברור שבשלבים מתקדמים כאשר‬
‫הפונקציה הופכת אקספוננציאלית ‪ q=1‬אולם בשלבים ב' וג' ברור שזה קטן מכך בהתחשב שבשלב א'‬
‫זה פחות מ ‪ 0.2‬ובבדיקות שלפני ההקרנות זה היה בשלב ב' כ ‪. 43%‬‬
‫‪.101‬להלן טבלה המציגה את הנתונים‪:‬‬
‫טבלה‪14-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫)‪Sn(0‬‬
‫חסם חודשי‬
‫חסם חודשי‪q x‬‬
‫זמן להגעה ל‪0.47‬‬
‫בחודשים‬
‫‪ Sn‬במועד בו ‪p=0.47‬‬
‫‪ S‬לפני הקרנות במועד‬
‫בו ‪p=0.47‬‬
‫שורה‪ 6-‬חלקי שורה‪5-‬‬
‫רווח בחודשים כולל‬
‫תקופת ההקרנות‬
‫תרומת הדיאטה =‬
‫שורה‪ 4-‬פחות ‪ 2.7‬חודש‬
‫‪q=0.2‬‬
‫‪0.0025553‬‬
‫‪0.0388401‬‬
‫‪0.0077680‬‬
‫‪55.36‬‬
‫‪q=0.3‬‬
‫‪0.0025553‬‬
‫‪0.0388401‬‬
‫‪0.0116520‬‬
‫‪36.90‬‬
‫‪q=0.4‬‬
‫‪0.0025553‬‬
‫‪0.0388401‬‬
‫‪0.0155336‬‬
‫‪27.68‬‬
‫‪q=0.5‬‬
‫‪0.0025553‬‬
‫‪0.0388401‬‬
‫‪0.0194006‬‬
‫‪22.16‬‬
‫‪q=0.6‬‬
‫‪0.0025553‬‬
‫‪0.0388401‬‬
‫‪0.0233041‬‬
‫‪18.45‬‬
‫‪0.0061038‬‬
‫‪0.005717‬‬
‫‪0.0045656‬‬
‫‪0.005717‬‬
‫‪0.0039493‬‬
‫‪0.005717‬‬
‫‪0.0036209‬‬
‫‪0.005717‬‬
‫‪0.0034156‬‬
‫‪0.005717‬‬
‫‪0.9366297‬‬
‫‪60.36‬‬
‫‪1.2521902‬‬
‫‪41.90‬‬
‫‪1.4475982‬‬
‫‪32.68‬‬
‫‪1.5788912‬‬
‫‪27.16‬‬
‫‪1.6737909‬‬
‫‪23.45‬‬
‫‪52.66‬‬
‫‪34.20‬‬
‫‪24.98‬‬
‫‪19.46‬‬
‫‪15.75‬‬
‫להלן מספר הסברים‪:‬‬
‫א‪ .‬החישוב של )‪ Sn(0‬נמצא בנוסחה )‪. (11.7‬‬
‫ב‪ .‬החסם החודשי מבוסס על נוסחה )‪ (3.24‬והוא שווה ל‬
‫הממוצע בחודש‪ S .‬במקרה זה הוא )‪Sn(0‬‬
‫כאשר ‪ 30.4‬זה מספר הימים‬
‫ג‪ .‬זמן הגעה ל‪ 0.47-‬הינו פרק הזמן שבו ה‪ Psa‬יגדל מ‪) 0.04-‬שזה ה‪ Psa‬ב‪ ( 25.09.2011-‬עד ל ‪0.47‬‬
‫שזה ה‪ Psa-‬טרום ההקרנות‪ .‬מחושב ע"י הגידול הנדרש בגודל ‪ 0.43=0.47-0.04‬מחולק בקצב הגידול‬
‫החודשי הממוצע המופיע בשורה ‪.3‬‬
‫ד‪.‬בשורה ‪ 5‬מופיע‪ Sn :‬במועד בו ‪ ,p=0.47‬והנו גודלו של ‪ Sn‬כפי שיהיה כאשר נגיע ל ‪p=0.47‬‬
‫מבוסס על הגידול של שורה ‪ 1‬במשך התקופה בימים המופיעה בשורה ‪ .4‬ועל קצב גידול של‬
‫האנג'יוג'נסיס כפי שמצאנו בעבר‪) ,‬זאת מאחר והכלכלה והאגרסיביות נשארו כפי שהיו בעבר‪ (.‬יש סיבה‬
‫להניח שקצב הגידול אף יהיה נמוך מאשר טרום ההקרנה‪ ,‬אך בשלב זה לא אניח זאת וידובר על כך‬
‫בפיתוחים עתידיים‪ ).‬החישובים הינם כדוגמת )‪((11.6‬‬
‫‪106‬‬
‫ה‪ .‬שורה ‪ .6‬נלקחה מנוסחה )‪(11.6‬‬
‫ו‪ .‬שורה ‪ 7‬משווה בין ‪ Sn‬כאשר ‪ p=0.47‬שזה קצב התזונה לאחר ההקרנות לבין ‪ S‬כפי שהיה טרום‬
‫ההקרנות כאשר התקיים ‪. p=0.47‬‬
‫ז‪ .‬על מנת למצוא את שורה ‪ 8‬עלינו להוסיף ‪ 5‬חודשים לשורה ‪ ,4‬מפני שמתחילת ההקרנות ועד‬
‫‪ , 25.09.2011‬שמשם מתחילים חישובינו‪ ,‬עברו כ ‪ 5‬חודשים‪.‬‬
‫ח‪ .‬הסבר לשורה ‪ : 9‬אלמלא הדיאטה‪ ,‬זמן ההגעה לאחר ההקרנות‪ ,‬ל ‪ , p=0.47‬היה ‪ 2.7‬חודשים‬
‫לפיכך התרומה של הדיאטה הינה שורה ‪ 4‬פחות ‪ 2.7‬חודשים‪.‬‬
‫‪ .102‬חישובינו אינם מסתכמים בטבלה שלעיל‪ ,‬אם נסתכל על שורה ‪ 7‬נראה שקיים גורם נוסף שיש‬
‫להביאו בחשבון‪ ,‬וזה כמות המזון המועברת אל הגידול ביחידת זמן‪ ,‬שזה הגודל ‪ Sn‬בהשוואה ל ‪ S‬של‬
‫טרום ההקרנות‪ .‬אם ‪ Sn‬יותר קטן מ ‪ S‬פרוש הדבר שהסרטן יתקדם יותר לאט מאשר על פי חישובנו‬
‫הקודמים‪) ,‬ראה שרטוט‪ ,(20.1-‬ויגיע לגודל ‪ 200‬יותר מאוחר מאשר על פי חישובינו הקודמים‪ ,‬כמה יותר‬
‫מאוחר? זאת נוכל לחשב על פי הגרפים שבשרטוט‪ . 20.1-‬אנו רואים בשרטוט את נוסחת הגרף ‪ ,‬ממנה‬
‫רואים שאם ‪ S‬נמוך ב ‪ x‬אחוזים הרי כל הגרף מונמך ב‪ x‬אחוזים‪) ,‬למעט )‪ N(0‬שהינו ‪ 0.47‬ואנו נתחשב‬
‫בזה בחישובינו‪ (.‬בדרך זו נוכל להשוות בכל רגע ורגע בין רמת ה ‪ Psa‬לאחר ההקרנות‪ ,‬לרמת ה ‪Psa‬‬
‫שלפני ההקרנות‪ .‬אנו נבצע את ההשוואה לגבי הרמה המכסימלית שחישבנו דהיינו ‪ . p=200‬להבנת‬
‫התהליך להלן חישוב לדוגמה‪ :‬עבור ‪ q=0.4‬הערך בשורה ‪ 7‬הינו ‪ 1.44759825‬זאת אומרת שבמקרה‬
‫הזה‪ ,‬נגיע לאחר ההקרנות ל‪ p=200-‬באותו הזמן שהיינו מגיעים לפני ההקרנות‬
‫ל ‪ p=(200-0.47)x1.44759825+0.47=289.31‬בבדיקה במחשב נמצא‪ ,‬ש ‪ p=289.31‬מתקבל על‬
‫הגרף הכחול הרציף שבשרטוט‪ ,20-‬לאחר ‪ 7941‬יום‪ ,‬שזה ‪ 699‬יום יותר מזמן ההגעה ל‪ p=200‬טרום‬
‫הדיאטה‪ ,‬שזה שווה ‪ 23‬חודש‪ ,‬כלומר בנוסף לרווח הזמן המוגדר בשורות ‪ 8‬ו ‪ 9‬בטבלה אנו יכולים‬
‫להוסיף רווח זמן נוסף של ‪ 23‬חודשים‪ ,‬וסה"כ הרווח בחודשים‪ ,‬הכולל גם את תקופת ההקרנות‪ ,‬עומד‬
‫על ‪ 32.68+23=55.68‬חודשים‪ ,‬שזו תוספת זמן משמעותית ביותר‪ .‬להלן טבלה המרכזת את כל‬
‫המקרים יחד‪.‬‬
‫טבלה‪15-‬‬
‫מס'‬
‫סדורי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫שורה ‪ 8‬בטבלה‪14-‬‬
‫שורה ‪ 9‬בטבלה‪14-‬‬
‫שורה‪ 7-‬בטבלה‪14-‬‬
‫‪ 199.53‬כפול שורה ‪3‬‬
‫‪0.47+‬‬
‫תוספת ימים עד‬
‫להגעה ל ‪p=200‬‬
‫חודשים עד להגעה ל‬
‫‪p=200‬‬
‫שורה ‪ + 6‬שורה ‪1‬‬
‫=תרומת‬
‫ההקרנות‪+‬הדיאטה‬
‫תרומת הקרנות בלבד‬
‫חודשים‬‫שורה ‪ 7‬פחות שורה‬
‫‪= 8‬תרומה סינרגטית‬
‫של הדיאטה‬
‫‪q=0.2‬‬
‫‪q=0.3‬‬
‫‪q=0.4‬‬
‫‪q=0.5‬‬
‫‪q=0.6‬‬
‫‪60.36‬‬
‫‪52.66‬‬
‫‪0.93664‬‬
‫‪187.36‬‬
‫‪41.90‬‬
‫‪34.20‬‬
‫‪1.25224‬‬
‫‪250.32‬‬
‫‪32.68‬‬
‫‪24.98‬‬
‫‪1.44760‬‬
‫‪289.31‬‬
‫‪27.16‬‬
‫‪19.46‬‬
‫‪1.57889‬‬
‫‪315.51‬‬
‫‪23.45‬‬
‫‪15.75‬‬
‫‪1.67379‬‬
‫‪333.97‬‬
‫‪-124‬‬
‫‪424‬‬
‫‪699‬‬
‫‪864‬‬
‫‪972‬‬
‫‪-4.08‬‬
‫‪13.95‬‬
‫‪23‬‬
‫‪28.42‬‬
‫‪31.97‬‬
‫‪56.28‬‬
‫‪55.85‬‬
‫‪55.68‬‬
‫‪55.58‬‬
‫‪55.42‬‬
‫‪7.7‬‬
‫‪7.7‬‬
‫‪7.7‬‬
‫‪7.7‬‬
‫‪7.7‬‬
‫‪48.58‬‬
‫‪48.15‬‬
‫‪47.98‬‬
‫‪47.88‬‬
‫‪47.72‬‬
‫‪107‬‬
‫‪ .103‬להלן הסברים לטבלה‪: 15-‬‬
‫א‪ .‬העמודות הנן ההנחות השונות ביחס לקצב התקדמות ה‪ Psa‬עד להגעתו מחדש ל ‪ p=0.47‬ראה הסברים‬
‫בסעיף ‪ .100‬הנחנו הנחות שונות לגבי ‪ ,q‬מאחר ואיננו יודעים‪ ,‬לפי איזה כלל מחליט הסרטן‪ ,‬מתי להוריד את‬
‫האגרסיביות‪ ,‬דבר שמשפיע על הקצב הכללי של התקדמות הסרטן‪.‬‬
‫ב‪ .‬שורות ‪ 1,2,3‬נלקחו מטבלה‪ 14-‬וההסברים נמצאים שם‪.‬‬
‫ג‪ .‬שורות ‪ 4,5,6‬מוסברות בדוגמה שבסעיף ‪.102‬‬
‫ד‪ .‬שורה ‪ 6‬הנה תרומה המוסברת גם היא בדוגמה הנ"ל‪ .‬ברצוני להסב לתשומת לב‪ ,‬ששורות ‪ 2,1‬הנן‬
‫תרומות לאריכות ימים הנוצרות עד להגעה מחדש ל ‪ p=0.47‬ואילו שורה ‪ 6‬הינה התרומה הנוצרת‬
‫במהלך השנים הבאות‪ ,‬כתוצאה מהעובדה שיש הבדל בין ‪ Sn‬לבין ‪ S‬הבדל שנוצר בעקבות ההקרנות‪.‬‬
‫ה‪ .‬שורה ‪ 7‬מסבירה את עצמה והינה התרומה של שני הגורמים יחד כמוסבר בתת סעיף ד‪ .‬כאן‪.‬‬
‫ו‪ .‬שורה ‪ .8‬מורכבת מ ‪ 2‬חודשי הקרנות‪ 3+‬חודשים מגמר ההקרנות ועד ‪ 25.9.2011‬שהינו המועד‬
‫שממנו התחלתי לחשב את התקדמות הסרטן‪ 2.7 +‬חודשים שהייתה נמשכת עליית ה‪ Psa‬מ ‪0.04‬‬
‫ל ‪ p=0.47‬אלמלא הדיאטה‪) ,‬זאת בהתחשב באגרסיביות הגבוהה במיוחד של הסרטן שבמדגם שלנו‪,‬‬
‫שבאה לידי ביטוי בערך ‪) ‬סעיפים ‪ ,(.98 .97‬שמשמעותה ‪ 22.66‬יום =‪ , PsaDT‬כלומר‬
‫הסרטן מכפיל את עצמו תוך פחות מ ‪ 23‬יום‪ (.‬סה"כ ‪ 7.7‬חודשים‪ .‬אדגיש שלא ברור אם ‪ 3‬החודשים‬
‫מגמר ההקרנות עד ‪ 25.9.2011‬הינם תרומה של ההקרנות או תרומה של הדיאטה‪ ,‬אולם כפי שנהגתי‬
‫לאורך כל העבודה אנהג גם עתה‪ ,‬ואמעיט מתרומת הדיאטה ואשייך זאת לתרומת הסרטן‪.‬‬
‫ז‪ .‬שורה ‪ 9‬כמוסבר בטבלה שווה לשורה ‪ 7‬פחות שורה ‪ ,8‬אך באותו הזמן היא גם שווה לשורה ‪+6‬‬
‫שורה ‪ .2‬וזוהי התרומה הסינרגטית של הדיאטה‪ ,‬והיא עולה בהרבה על תרומת ההקרנות בלבד‪ .‬אדגיש‬
‫שמדובר בתרומה סינרגטית מאחר והדיאטה בלבד לא היתה נותנת שום תוספת מעבר למה שחישבנו‬
‫כבר בעבר אלמלא ההקרנות‪ ,‬ההקרנות לבד נתנו לכל היותר ‪ 7.7‬חודשים לכן כל התוספת היא התרומה‬
‫הסינרגטית כלומר תוספת התרומה מעבר לסכום שתי התרומות הבודדות‪.‬‬
‫‪ .104‬אנו רואים משורות ‪ 7,9‬בטבלה‪ ,15-‬שעבור כל ‪ q‬התרומה הכוללת של ההקרנות לאורך החיים‬
‫של המטופל הנמצא במעקב במחקר זה‪ ,‬ללא הדיאטה‪ ,‬היא לכל היותר ‪ 7.7‬חודשים ואילו יחד עם‬
‫דיאטה‪ ,‬התרומה הינה תוספת משמעותית ביותר‪ ,‬של לפחות ‪ 55‬חודש‪ .‬תוצאה שכל תרופה נגד סרטן‪,‬‬
‫שהיתה נותנת תרומה כזו‪ ,‬היתה זוכה לתהילת עולם‪.‬‬
‫נדגיש שוב‪ ,‬שבגרף המופיע בשרטוט‪ 20-‬בחרנו ‪ S=0.005‬ואילו בחישובים האחרונים הבאנו בחשבון‪,‬‬
‫על פי האמור בנוסחה )‪ ,(10.5‬שמתקיים ‪ ,S=0.004728‬כלומר בחישובי אריכות הימים שעשינו‬
‫בטבלאות ‪ 8.0‬ו ‪ 8.1‬הגזמנו לרעת אריכות הימים ב ‪ 5.44%‬רק בגלל גורם זה‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫פרק ‪-12‬הדיאטה‪ ,‬גרורות ‪ ,‬וסרטן עמיד לאנדרוגן‪.‬‬
‫האם המודל המתמטי תקף לגבי הגרורות‪-‬דיון כללי‬
‫‪ .105‬נשאלת השאלה מה קורה אצל אדם המתחיל דיאטה כאשר כבר קיימות בגופו גרורות? האם‬
‫המודל המתמטי פועל גם במקרה זה? האם התוצאות תהיינה אותו דבר בכל מצב שנתחיל בו? לגבי‬
‫תקפותו של המודל המתמטי‪ ,‬ההיגיון אומר שהתשובה היא חד משמעית כן‪ ,‬המודל המתמטי תקף גם‬
‫במקרה זה‪ .‬אנו צריכים להבין‪ ,‬שאם יש מוקדים בכמה מקומות שונים‪ ,‬הרי שהמזון מגיע לכל המוקדים‪,‬‬
‫מבחינת המזון לא תיתכן השפעה של מוקד אחד על משנהו‪ .‬מגבלת המזון פועלת על המוקד המקומי‪,‬‬
‫מאחר והוא מוגבל מקומית ע"י רשת כלי הדם המגיעה אליו‪ ,‬מגבלה מקומית כזו לא משפיעה על מוקד‬
‫אחר‪ ,‬הפועל לפי המצב הספציפי באזור הצמוד לו‪ .‬לפיכך‪ ,‬כל מוקד פועל בנפרד לפי המודל‪ ,‬לפי כמות‬
‫המזון המגיעה אליו‪ .‬ה ‪ Psa‬הכללי הוא סכום ה ‪ Psa‬שמפריש כל מוקד ומוקד‪ ,‬אבל בזה לא חדשנו‬
‫כלום‪ ,‬מאחר וזה חייב להיות כך‪ ,‬גם אם המודל לא עובד על כל מוקד בנפרד‪.‬‬
‫פיתוח החסם העליון עבור מספר מוקדים‬
‫‪ .106‬השאלה שעומדת על הפרק הינה האם קצב ההתחלקות של כל הגרורות זהה לקצב‬
‫ההתחלקות של הגידול הראשי‪ ,‬או שקצב הגידול יכול להיות שונה מגרורה לגרורה?‪ .‬התשובה לשאלה‬
‫הזאת מענינת בפני עצמה‪ ,‬מפני שיש הבדל רב ביכולת לעשות חישובים‪ .‬כי אם לכל גרורה קצב חלוקה‬
‫נפרד‪ ,‬יהיה צורך לדעת את קצב החלוקה הנפרד של כל גרורה ואיך נוכל למדוד זאת? אינני יודע את‬
‫התשובה הברורה‪ ,‬ויש שיקולים לחשוב לכאן או לשם‪ ,‬אבל למזלנו נוכל להתגבר על הבעייה‪ ,‬כי נוכל‬
‫לעשות חישובים על פי החסמים להתקדמות הסרטן‪ .‬נניח שיש לנו ‪ m‬מוקדים שונים‪ ,‬כשלכל אחד‬
‫ספציפית שלו‪ .‬נסמן את תרומתו של כל מוקד ל‬
‫מהם ‪ i‬ספציפי שלו‪ ,‬לכל אחד מהם מגבלת מזון‬
‫‪ Psa‬ב‬
‫ובהתבסס על הפתוח בסעיף ‪ .50‬נוכל לרשום‬
‫)‪(12.1‬‬
‫)‪(12.2‬‬
‫כאשר אנו מגדירים‬
‫)‪(12.3‬‬
‫וכן‬
‫כלומר הגדרנו את ‪ S‬כמספר המכסימלי של התאים שיכולים להווצר על ידי כל הגרורות יחד ביחידת זמן‪,‬‬
‫ואת ‪ ‬כקצב הגידול של הגרורה שהאנג'יוג'נסיס שלה נעשה בקצב המקסימלי‪ .‬נכתוב את התוצאה‬
‫)‪(12.4‬‬
‫הסופית של )‪ (12.1‬ונקבל‬
‫וזה זהה לנוסחה )‪ (7.1‬ולכן נוכל להסתמך על כל הנתוח שעשינו שם‪.‬‬
‫בהנחה שההסבר של פולקמן‪ ,‬המובא בסעיף ‪ ,113‬על הגרורות המתפרצות הוא נכון‪ ,‬פרוש הדבר‬
‫שכנראה קצב הגידול של כלי הדם המזינים את הגידול הראשי יהיה גדול או שווה מקצב הגידול בכל‬
‫גרורה הקטנה ממנה‪ ,‬וכך זה ישאר כל עוד לא הוסר הגידול הראשי‪ ,‬מאחר והתזונה הינה אותה תזונה‬
‫הסרטן אותו סרטן‪ ,‬ולכן קצב הכניסה של כל גרורה למצב ‪ G1‬צריך להיות זהה בכל מקום‪ ,‬מכיון‬
‫שמגבלת המזון לכל גרורה וגרורה‪ ,‬שהתחילה לצמח כלי דם‪ ,‬היא אותה מגבלה‪ ,‬הרי לפי המודל‪ ,‬כל‬
‫גרורה תרצה להוריד אגרסיביות‪ ,‬על מנת להמשיך ולצמוח‪ ,‬והורדת האגרסיביות בכל גרורה תעשה‬
‫בוודאי לפי אותה מערכת כללים‪ ,‬אך בגלל הכלל של הגרורות המתפרצות‪ ,‬יתכן ונראה ירידת אגרסיביות‬
‫יותר מהירה בגרורות ולכן הן תגענה לשווי משקל יותר מהר‪ .‬ועל בסיס האמור בסעיף ‪ .95‬סביר שגם‬
‫המיו יקטן‪.‬‬
‫נחזור על הרעיון ממבט מלמעלה‪ :‬נניח שישנו מצב של גרורות‪ ,‬הגרורות נמצאות במצב שיווי משקל‬
‫טרום הדיאטה‪ ,‬הסרטן בכל גרורה הוא אותו דבר‪ ,‬המזון אותו דבר‪ ,‬הגבלת המזון על כל הגרורות אותו‬
‫דבר‪ ,‬הגבלת המזון על צמיחת כלי הדם אותו דבר‪ ,‬אולם מכיון שהכלי לשליטה על קצב הגידול הינו בידי‬
‫הסרטן‪ ,‬הרי "הרצון" של כל גרורה הוא תנאי הסביבה שלה‪ ,‬ופה אם התאוריה של פולקמן תופסת‪ ,‬הרי‬
‫‪109‬‬
‫ששליטה של גרורה על תנאי הסביבה המקומית משפיעה על תנאי הסביבה של הגרורה השכנה ולכן‬
‫גידול ראשוני וראשי ישאר תמיד ברמת צמיחת אנג'יוג'נסיס‪ ,‬יותר גדולה או לכל היותר שווה‪ .‬אם נקח את‬
‫המקרה שלי‪ ,‬כמקרה קיצוני וחמור מבחינת רמת האגרסיביות‪ ,‬הרי עם נוכיח משהו חיובי למישהו כמוני‬
‫הרי שזה יהיה טוב למירב האנשים‪.‬‬
‫פרוגנוזה עבור חולה‪ ,‬בסרטן ערמונית עם גרורות‪ ,‬שעדיין לא עבר טיפול הורמונלי‪.‬‬
‫‪ .107‬ננסה לבדוק את תרומת הדיאטה לחולה סרטן עם גרורות‪ .‬אולם על מנת להעריך זאת עלינו‬
‫‪Merck Manual‬‬
‫לדעת מה הפרספקטיבה של חולה כזה בימינו‪.‬להלן צטטה מתוך )‪(.20‬‬
‫‪Metastatic cancer has no cure. Median life expectancy with metastatic disease is 1-3‬‬
‫‪yr.‬‬
‫הכוונה המפורשת הינה לגבי סרטן הערמונית והאמירה היא פשוטה ונחרצת‪ ,‬לסרטן ערמונית גרורתי אין‬
‫מרפא‪ ,‬אורך החיים הצפוי הינו שנה עד ‪ 3‬שנים‪ .‬ממש לא מעודד‪.‬להלן ציטוט נוסף מתוך‪(.21) :‬‬
‫‪Metastatic prostate cancer is currently not curable. Metastatic prostate cancer is usually‬‬
‫‪hormone sensitive. This means that the cancer will respond to treatment depriving it of‬‬
‫‪male hormones (see treatment). This response to hormonal treatment is of variable‬‬
‫‪duration, but on average lasts about 2 years. Once the cancer becomes resistant to‬‬
‫‪hormonal manipulation it is called hormone independent disease. Hormone independent‬‬
‫‪prostate cancer is usually followed by death within months.‬‬
‫‪ .108.‬נניח שהסרטן התגלה אצל האדם במצב מאוחר שבו ‪ p=20‬ושיש לו כבר גרורות‪ .‬נניח גם‬
‫שהאדם לא קבל שום טפול הורמונלי‪ ,‬ושאנו מתחילים את הדיאטה במצב זה‪ .‬על פי הפרוגנוזות‬
‫המצוטטות לאדם כזה לא נותרו יותר מאשר ‪ 1-3‬שנים‪ .‬נניח גם שרמת האגרסיביות של החולה הזה‬
‫מאד גבוהה‪ PsaDT=24 ,‬יום‪ ,‬כפי שהיה אצלי‪ .‬מאחר ואדם זה נכנס למשטר דיאטה רציני‪ ,‬על פי‬
‫ההמלצות במסמך זה ‪ ,‬הרי על מנת להעריך את קצב התקדמות הסרטן עלינו לנסות ולמצוא את ערכו‬
‫של ‪ S‬המאוחד‪ .‬כאשר אני הגעתי ל ‪ p=0.47‬היה ‪ .S=0.0054‬ראה טבלה‪ 4-‬ובהנחה שסרטן שהגיע‬
‫ל ‪ p=20‬פיתח מספיק כלי דם על מנת לספק מזון לסרטן בגודל זה‪ ,‬נוכל להניח שהחסם אצלו יהיה גדול‬
‫מאשר אצל מי שהגיע למקסימום של ‪ 0.47‬לכן נוכל לחשב שה ‪ S‬שלו הוא‬
‫פי‬
‫‪ .‬אולם ליתר בטחון נניח שאצל החולה הזה הסרטן יצמח לפי החסם העליון‬
‫וכמו כן נניח שקצב גידול האנגי'וג'נסיס יהיה תחת דיאטה גבוה ב ‪ 50%‬ממה שנמצא אצלי‪ ,‬למרות שאין‬
‫סיבה מדוע להניח זאת‪ .‬לאור האמור לעיל נעשה עבור אדם זה חישוב לפי הגרף המחמיר ביותר‬
‫בשרטוט‪ 21-‬שזה הגרף הכחול המקווקו‪ .‬כאן אני חייב להעיר שהחישוב שאני עומד לעשות איננו מבוסס‬
‫על ידיעה מכלי ראשון מה זה גרורה‪ ,‬ומה משמעותה של גרורה באיזור זה או אחר‪ .‬אני מניח‪ ,‬מהיכרות‬
‫עם חולים שלגבי גרורה בעצמות ניתן להגיע ל ‪ ,Psa=200‬ויתכן שהדבר נכון גם עבור גרורות במקום‬
‫אחר‪ .‬אולם אומר‪ ,‬שאינני יכול לשער בכלל מה יקרה לגבי גרורה בריאות‪ .‬אין לי שום ספק שבכל‬
‫המקרים הדיאטה תעכב את התפתחות הסרטן‪ ,‬אך אינני בטוח שהחישוב שאני עומד לעשות יהיה נכון‬
‫לכל המיקרים‪ ,‬וכאן צריך את המעורבות והמחשבה של אונקולוגים מנוסים‪ .‬בהנחה שניתן להגיע‬
‫ל ‪ ,Psa=200‬הרי שמשך הזמן לעליה מ ‪ ,Psa=20‬עד ל ‪ ,Psa=200‬הוא משך הזמן הנדרש לעלות‬
‫ל ‪ p=200‬פחות משך הזמן הנדרש לעלות ל ‪ .p=20‬משך הזמן לעליה ל ‪ p=20‬לפי הגרף הוא ‪2510‬‬
‫ימים או או ‪ 6.88‬שנה‪ .‬על פי טבלה‪ 8.1-‬וההסבר שלפניה בסעיף ‪ .52‬זמן העליה ל ‪ Psa=200‬הוא‬
‫לפחות ‪ 18.61‬שנה‪ ,‬לכן נפחית אחד מהשני ונקבל‪ ,‬שתחת הנתונים המחמירים ביותר‪ ,‬וללא טיפול‬
‫כימותרפי‪ ,‬אדם כזה יוכל לחיות לפחות ‪ 11.73‬שנים‪ ,‬ובודאי יוכל להוסיף לו עוד זמן משמעותי עם ינהל‬
‫דיאטה ראויה בתקופת הכימותרפיה‪) .‬נציין שידועים מיקרים רבים של ‪ p>3000‬יחידות ‪ . Psa‬אני‬
‫אישית שמעתי מאורולוג‪ ,‬המנהל קבוצת תמיכה של חולי סרטן ערמונית‪ ,‬שהוא מכיר מישהו עם‬
‫‪ ,Psa>3000‬כמו כן בסימוכין ‪ .39‬הבאתי קישור לדף בפורום‪ ,‬שם מסופר על ‪ p=3200‬ועל ‪p=4500‬‬
‫ואף יותר( נראה לי שעם טיפול כימותרפי אינטרמיטנטי עם מרווחים של ‪ 6‬חודשים בין טיפול לטיפול‬
‫‪,‬ניתן יהיה להוסיף תוספת נכבדה לאורך החיים של ‪ 11.73‬שנים שחישבנו כאן‪ ,‬תוצאה מדהימה בפני‬
‫עצמה לעומת הפרוגנוזה המצוטטת של ‪ 1-3‬שנים‪ .‬על פי מה שהסברתי בסעיף ‪ .53‬זוהי תוצאה בלתי‬
‫סבירה ומוגזמת לחומרה לאור הצפי שקצב גידול האנג'יוג'נסיס‪ ,‬יקטן עם הזמן עקב ירידת האגרסיביות‪,‬‬
‫‪110‬‬
‫בעוד שאנו לקחנו תוספת של ‪ . 50%‬אם נשאר ברמה הסבירה של הגרף הכחול הרציף‪ ,‬נקבל שמשך‬
‫ההגעה ללא טיפול הורמונלי ל‪ Psa=20-‬הינו ‪ 3160‬יום או ‪ 8.66‬שנים‪ .‬עיון בטבלה ‪ 8.1‬מראה שזמן‬
‫ההגעה כולל טיפול הורמונלי ל ‪ p=200‬הוא ‪ 24.37‬שנה ולכן אריכות הימים הצפויה הינה ‪ 15.71‬שנה‬
‫ובהתחשב במה שאמרנו לגבי הכימותרפיה סביר שנוכל להגיע אף ל ‪ 18‬שנה‪ ,‬זאת מבלי להתחשב‬
‫במספרים הענקיים של ה ‪ Psa‬שצטטנו‪.‬‬
‫‪ .109‬כהערה חשובה בעיניין זה אומר‪ ,‬שאינני יודע כמה כדורי ‪ Q-P‬נצטרך לקחת ברמה של ‪,p=20‬‬
‫אולם כל העדויות לא מדברות על יותר מאשר ‪ 4‬כדורים ביום‪ ,‬אין שום סיבה לחשוב שצריכת הכדורים‬
‫צריכה להיות תלוייה בגודל הסרטן‪ ,‬או בגודל ה ‪ .Psa‬כדורי ה ‪ Q-P‬מורידים את רמת הטסטוסטרון‬
‫במהירות רבה‪ ,‬וכפי שראינו )בסעיף ‪ ,(.56‬בצריכה ממוצעת של ‪ 3‬כדורים ליום‪ ,‬ירד הטסטוסטרון לרמה‬
‫של ‪ T=1.1‬בתוך חודש וחצי‪ ,‬ולאחר ‪ 4‬חודשים הוא היה ‪ , 0‬כלומר מתחת לסף הזיהוי‪ .‬אין זה אומר‬
‫שהרמה הזו לא הושגה כבר הרבה יותר מוקדם‪ ,‬פשוט לא עשיתי בדיקות במרווח הזמן הזה‪ .‬המשמעות‬
‫של האמור הינה‪ ,‬שכמות החומר הפעיל שהיה צבור בדם היתה מספיק גבוהה‪ ,‬בכדי ליצור סירוס‬
‫מוחלט‪ .‬תוספת כדורים לא היתה נותנת שינוי משמעותי בתוצאות‪ .‬אם הגעתי לרמה שהטסטוסטרון היה‬
‫מתחת לסף הזיהוי‪ ,‬הרי זה היה קורה גם אם היה קיים ‪ . p=100‬אציין שצרכתי בממוצע כ‪ 3 -‬כדורים‬
‫ליום‪ ,‬כאשר הצריכה המקסימלית היתה ‪ 4‬כדורים ביום‪ ,‬ואף פעם לא יותר מכך‪ .‬כמוכן אציין שאף על פי‬
‫שבתחילה‪ ,‬מתוך חוסר ידע‪ ,‬צרכתי את הכדורים במשך ‪ 4‬חודשים‪ ,‬תופעות הלוואי היו מינוריות‪.‬‬
‫האם ניתן להגדיל תוחלת חיים‪ ,‬לחולה בסרטן העמיד כנגד חסר באנדרוגן עם גרורות?‬
‫‪ .110‬נזכיר מחדש את העדויות שניתן להחזיק עם ה ‪ Q-P‬תקופות הרבה יותר ארוכות מאשר ‪24‬‬
‫חודש‪ .‬כמו כן באחת העדויות מספר החולה על כך שהוא לקח ‪ 10‬קפסולות ליום והוריד בתוך חודש את‬
‫ה‪ Psa‬מ ‪ 20‬ל ‪) 0.02‬סימוכין ‪ (.24‬לכן נראה לי שמן הראוי לבדוק את הטענות הללו במיוחד את העדויות‬
‫שה ‪ Q-P‬משפיע גם על סרטן עמיד וכן את המינונים האפשריים‪ ,‬נראה לי שמן הראוי לעשות ניסיונות‬
‫כאלה על חולים שהרפואה המודרנית לא נותנת להם סיכוי של יותר מכמה חודשים‪ ,‬ולאמת טענות אלה‬
‫או לשלול אותם‪ .‬אישית מהכרתי את המוצר אני נותן אמון מלא בכל העדויות בנושא זה‪.‬‬
‫‪ .111‬המחקר על ה ‪ 5-HETE‬אומר שמניעתו משפיעה באותה צורה על סרטן עמיד כמו על סרטן‬
‫הרגיש לשלילת האנדרוגן‪ .‬לכן אוכל להניח בוודאות רבה שמודל ההרעבה שלנו תופס גם במקרה זה‪,‬‬
‫ולכן גם נוסחת החסם העליון להתקדמות הסרטן נשמרת‪ .‬הבעיה העיקרית בניתוח מקרה זה‪ ,‬שאין לי‬
‫שום נתון הקשור לירידת ה ‪ Psa‬תחת טיפול כימותרפי‪ ,‬מה גם שערכי ה ‪ Psa‬מאוד גבוהים‪ .‬בצעתי‬
‫הערכה של מה שניתן להשיג במקרה זה תחת הנחות שנראו לי סבירות והגעתי למסקנות שהתרומה‬
‫העיקרית שיכולה להיות במקרה זה הינו ביצירת הפוגה שיכולה להגיע למספר חודשים בין טיפול לטיפול‪,‬‬
‫דבר היכול לאפשר לחולה להתאושש באופן רציני בין טיפול לטיפול‪ ,‬ויכול בסופו של דבר להאריך את‬
‫חייו בהרבה מעל ומעבר לפרוגנוזה הרגילה המדברת על אורך חיים של פחות משנה‪ .‬אם נשלב יחד עם‬
‫הטיפול הכימותרפי גם את ה ‪ Q-P‬במינונים גבוהים‪ ,‬אנו עשויים להיות מופתעים נוכח התוצאות הטובות‬
‫שניתן להשיג‪ .‬אינני כולל ניתוחים אלה במסמך זה בגלל שדיון כזה בתנאי חוסר האינפורמציה שלי לא‬
‫היה תורם לעבודה‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫פרק ‪ - 13‬המודל והשערת האנג'יוסטטין‪.‬‬
‫‪.112‬בעבודה זו ישנם תופעה שמעוררת תמיהה‪ ,‬שברצוני לפתרה יחד עם תמיהה כללית שנובעת‬
‫מעבודתם החלוצית של ד"ר יהודה פולקמן וחבריו‪ ,‬והתמיהות הינן ‪:‬‬
‫א‪ .‬הסרטן מקטין את האגרסיביות‪ ,‬תוך פרק זמן קצר מרגע שנוצרת לו בעיית התפתחות‪ ,‬כך שלא יתכן‬
‫שהדבר נובע משינויים גנטיים‪ ,‬ונשאלת השאלה כיצד הוא עושה זאת?‬
‫ב‪ .‬כיצד הסרטן מעלה אגרסיביות באופן מידי עם לקיחת ה ‪.Q-P‬‬
‫ג‪ .‬על אף ההתקדמות הרבה במחקרים בנושא האנג'יוסטטין‪ ,‬נשארה תמיהה אחת גדולה הקשורה בו‪.‬‬
‫ידוע שהאנג'יוסטטין פועל כנגד הסרטן בשתי צורות‪ ,‬האחת על ידי מניעת גידול כלי דם המזינים את‬
‫הסרטן )אנג'יוג'נסיס(‪ ,‬והשניה ע"י גרימת אפופטוסיס לתאי הסרטן עצמו )סימוכין ‪ .(.38 .37 .36‬אחת‬
‫החידות הקיימות בתחום הסרטן הינה‪ :‬לשם מה מייצר הסרטן את האנג'יוסטטין‪ ,‬כאשר בעצם הוא פועל‬
‫נגדו?‬
‫‪ .113‬לצורך הבנת הנושא אספר בקצרה על האנג'יוסטטין‪ ,‬בהסתמך על הממצאים של יהודה פולקמן‪,‬‬
‫מייקל אוריילי ונואל בוק )סימוכין ‪ .34 .33‬ובמיוחד ‪ .(.35‬בסימוכין ‪ .35‬נתן למצוא ‪ 8‬קטעי וידאו‪,‬‬
‫המספרים על מלחמתו של יהודה פולקמן וצוותו‪ ,‬להוכחת התאוריה שלו בדבר האנג'יוג'נסיס‪ .‬ספור‬
‫המעשה הינו כזה‪ :‬בעקבות הרצאה שנתן ד"ר יהודה פולקמן‪ ,‬על התאוריה שלו בדבר האנג'יוג'נסיס‪,‬‬
‫התרשמה ד"ר נואל בוק מהרעיון של האנג'יוג'נסיס והחליטה לשנות את מרכז הכובד של מחקריה‪,‬‬
‫מחקר הגנים של הסרטן‪ ,‬לחקר האנג'יוג'נסיס‪ .‬נואל גילתה שיש תאים נורמליים שמפרישים מעכבים‬
‫אנג'יוג'נטים‪ ,‬באופן קבוע‪ .‬מעכבים אלה הם חלק ממערכת ההגנה הטיבעית של גופנו‪ ,‬כנגד מחלות והוא‬
‫מהווה גורם משקיט של כלי הדם על מנת שלא יתפרעו‪ .‬כמו כן הוא גורם לנסיגת כלי הדם שנוצרו בעת‬
‫הדלקת ולהעלמותם‪ ,‬לאחר עבור הדלקת‪) ,‬אנו נקרא לחומר זה בשם אנג'יוסטטין(‪ .‬בנוסף לכך גילתה‬
‫ד"ר בוק‪ ,‬שכאשר תאים נורמליים הופכים לסרטניים‪ ,‬הם מפרישים חומר‪) ,‬נקרא לו אנג'יוג'נין(‪ ,‬שגורם‬
‫לכלי הדם לצמוח לכוון התא הסרטני ובו זמנית התאים הסרטניים ממשיכים להפריש גם אנג'יוסטטין‪ ,‬כך‬
‫שהשיווי משקל בין שני החומרים‪ ,‬או האי שווי משקל‪ ,‬קובע אם הסרטן יגייס כלי דם חדשים ויגדל‪ ,‬או‬
‫שהוא לא יצליח לגייס אותם וישאר רדום בגודל קטנטן‪ .‬השאלה ששאל את עצמו יהודה פולקמן היתה‪,‬‬
‫מדוע הסרטן מייצר בכלל את המעכב? ד"ר פולקמן לא פתר את החידה למה הסרטן ממשיך ומייצר את‬
‫האנג'יוסטטין‪ ,‬מה שהוא פתר היתה חידה אחרת‪ ,‬חידת התופעה המוזרה‪ ,‬חידת הגרורות‪ .‬מתברר‬
‫שמדי פעם בפעם נתקלו בתופעה מוזרה‪ ,‬שכשהסירו את הגידול הראשוני‪ ,‬התפרצו הגרורות שהיו‬
‫שקטות עד אותו רגע‪ .‬ההסבר שנתן ד"ר פולקמן היה שכאשר הגידול הראשוני נמצא במקומו‪ ,‬הוא‬
‫מפריש כמות קטנה של מעכבים‪ ,‬שאינה מספקת על מנת לבלום את כמות האנג'יוג'נין שבגידול הראשי‬
‫ועל כן הגידול הראשי והראשוני ממשיך וגדל‪ ,‬אבל מכיוון שהחומר המעכב‪ ,‬האנג'יוג'סטטין‪ ,‬הוא חומר‬
‫מאד יציב הוא מסוגל להגיע דרך כלי הדם לכל מקום בגוף‪ ,‬כולל למקומות בהם קיימות גרורות קטנות‪,‬‬
‫וחומר זה מונע מהם מלהתפתח‪ ,‬אולם ברגע שמסירים את הגידול הראשי המקור העיקרי של המעכב‬
‫נעלם וכעת הגרורות יכולות לגרום לגידול כלי דם חדשים בקרבתם‪ .‬התופעה הזאת קורית אצל חלק לא‬
‫גדול של החולים ובעבר חשבו שזה קורה באשמת המנתחים‪ ,‬לאחר הסבריו של ד"ר פולקמן‪ ,‬ברור שאין‬
‫זו אשמת המנתחים אלא איזושהי תופעה של הסרטן‪ .‬על אף שד"ר פולקמן השיב על השאלה איך זה‬
‫קורה? הוא לא השיב על השאלה למה זה קורה? כלומר למה הסרטן מייצר בכלל אנג'יוסטטין?‪ .‬דרך‬
‫אגב עובדה זו מרמזת על כך שכמות האנג'יוג'נין שהסרטן מפריש היא פונקציה של גודל הגידול‪ ,‬שאם‬
‫לא כך היתה יכולה כל גרורה להפריש יותר אנג'יוג'נין ולצמוח‪ ,‬למרות ההסבר של פולקמן‪ .‬בעקיפין‪ ,‬מודל‬
‫אומגה בעבודה שלנו‪ ,‬כולל עובדה זו מבלי שאנו מדברים על האנג'יוג'נין‪ ,‬מאחר ובמודל אומגה קצב‬
‫גידול המזון הוא פונקציה של גודל הגידול‪ .‬ויש כאן חיזוק נוסף לדעתנו שמודל אומגה הוא המודל‬
‫המועדף והוא המודל המציאותי‪.‬‬
‫‪ .114‬המודל המתמטי שלנו פותח אפשרות לתשובה פשוטה ביותר לתמיהות שציינתי בסעיפים ‪ .112‬א‪.‬‬
‫ו ב‪ ,.‬בתנאי שיסתבר‪ ,‬שבנוסף לתפקידו כמעכב לאנג'יוג'נסיס‪ ,‬מסוגל האנג'יוסטטין לגרום להקטנת‬
‫‪112‬‬
‫הפרוליפרציה‪ ,‬או להגברת האפופטוזיס‪ .‬חפשתי באינטרנט‪ ,‬ולהפתעתי הרבה מצאתי שאכן כן‪ ,‬ישנן‬
‫מספיק עבודות המראות שהאנג'יוסטטין משפיע ישירות על תאי הסרטן‪ ,‬ולאו רק בגלל העכוב‬
‫באנג'יוג'נסיס‪ .‬העבודות מצביעות על כך‪ ,‬שהוא גורם ישירות לאפופטוטוזיס של תאי הסרטן‪ .‬כמה מהם‬
‫מופיעים בסימוכין ‪ .38 .37 .36‬מהם ניתן להסיק‪ ,‬שהאנג'יוסטטין מונע את התפתחות כלי הדם לעבר‬
‫תאי הסרטן הגרורתיים הקטנים‪ ,‬ומונע את הפיכתם לגרורות גדולות‪ .‬בנוסף לכך הוא מעכב‪ ,‬את‬
‫התפתחותם של הגרורות ואת התפתחות הגידול הראשוני‪ ,‬ע"י שהוא מגביר את האפופטוזיס‪ .‬מכיוון‬
‫שכך‪ ,‬האנג'יוסטטין יכול להוות כלי של הסרטן לשליטה על קצב ההתרבות‪ .‬כלומר הסרטן מייצר את‬
‫האנג'יוסטטין‪ ,‬מכיון שהוא מהווה כלי חשוב ביותר לשמירה על יכולת ההתפתחות שלו‪ .‬הדבר נשמע‬
‫מוזר‪ ,‬אך המודל שלנו כבר הראה‪ ,‬שעל מנת שסרטן‪ ,‬הנמצא תחת הרעבה‪ ,‬יוכל להמשיך ולהתפתח‪,‬‬
‫עליו להקטין את קצב ההתרבות שלו‪.‬‬
‫‪ .115‬על מנת להבין כיצד האפופטוזיס מוריד אגרסיביות במודל שלנו ‪ ,‬נראה שהמודל שלנו איננו‬
‫מבחין בין פרוליפרציה למוות‪ ,‬אלא רק בהפרש שביניהם‪ ,‬מכאן שבעצם יתכן שהסרטן ממשיך ומתחלק‬
‫בקצב הטבעי שלו ומה שעוצר אותו‪ ,‬זה האפופטוזיס שנוצר ע"י האנג'יוסטטין‪ .‬דבר זה גם יכול להסביר‬
‫את התופעה שראינו בפיטו‪ ,‬של חזרה מידית לקצב ההתחלקות המקורי של הסרטן‪ .‬כלומר‪ ,‬המודל שלנו‬
‫נותן תשובה אפשרית והגיונית לשאלה‪ ,‬מדוע הסרטן ממשיך ומייצר את האנג'יוסטטין! המודל מצביע‬
‫על כך שבשביל להמשיך ולהתפתח הסרטן צריך כלי באמצעותו יוכל לשנות במהירות את קצב‬
‫התפתחותו‪ ,‬כי כפי שנוכחנו מהמודל ומהמדידות בשטח‪ ,‬הקטנת קצב הילודה היא זאת המאפשרת לו‬
‫להמשיך ולגדול‪ ,‬כלומר האנג'יוסטטין חיוני לשליטה בקצב ההתפתחות שלו‪ .‬ואם לא היה זה‬
‫האנג'יוסטטין אזי הסרטן היה צריך להמציא משהו אחר כמוהו‪ .‬הוכחנו שה ‪ Q-P‬ממסך את ה‪ Psa‬ומונע‬
‫את ייצורו על ידי הסרטן‪ ,‬אם תופעה דומה קורית גם ביחס לאנג'יוסטטין‪ ,‬הרי שזה יכול להסביר את‬
‫העלייה המידית באגרסיביות ובדעיכת הסרטן על פי ה המכסימלי‪ ,‬כי אם הסרטן באמת מתחלק בקצב‬
‫קבוע והורדת האגרסיביות נעשית על ידי האפופטוזיס‪ ,‬שנוצר על ידי האנג'יוסטטין או תוצר אחר‪ ,‬הרי‬
‫שחסימת מוצר זה על ידי הפיטו תביא מידית לדעיכה על פי ה ‪ ‬המכסימלי‪.‬‬
‫‪ .116‬לצורך הבהרת הטענה שהמודל שלנו אינו מבחין בין פרוליפרציה למוות אלא רק בהפרש‬
‫שביניהם‪ ,‬נעשה כמה חישובים מתמטיים‪ .‬אנו יודעים שבמצב ללא דיאטה פועלת הנוסחה של לידה‬
‫אזי נקבל‪:‬‬
‫והתמותה‬
‫ומוות‪ ,‬האומרת שאם קצב הילודה הוא‬
‫)‪(13.1‬‬
‫וכפי שאנו רואים קצב ההתרבות הינו למעשה ההפרש בין קצב הלידה לקצב המוות‪.‬‬
‫דרך אחרת להסתכל על כך הינה דרך התחלקות התא‪ .‬חשוב שנראה זאת‪ ,‬מאחר שבנינו את המודל‬
‫הבסיסי תוך שמוש בעובדה שהתא מתחלק‪ ,‬ראה נוסחה )‪ .(2.6‬הנחנו שבמצב רגיל‪ ,‬קצב ההתחלקות‬
‫של הסרטן הוא ‪ .‬מכיון שכל תא מתחלק ל‪ ,2‬הרי יוצא שמתקיים ‪ ‬מכיון שהנחנו שתאי הסרטן‬
‫אינם מתים סתם‪ ,‬הרי מספר התאים ש"מתים" מבחינתנו‪ ,‬הם רק התאים המתחלקים‪ ,‬דהיינו ‪ ,‬ולכן‬
‫הנוסחה מקבלת את הצורה‬
‫)‪(13.2‬‬
‫כאשר‪ ,‬במקרה זה‪  ,‬הוא קצב ההתחלקות וגם קצב ההתרבות‪ .‬אם נביא כעת בחשבון שיש מוות נוסף‬
‫של תאים בקצב של ‪ ,‬הרי נוכל לרשום את המשוואה כלהלן‪:‬‬
‫)‪(13.3‬‬
‫הלכתי בכוונה בדרך ארוכה‪ ,‬על מנת להראות שניתן להתייחס ל‬
‫כאל קצב ההתחלקות נטו‪,‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ ‬הוא קצב‬
‫כלומר במקום ה ‪ ‬שבנוסחאות הבסיסיות של ההרעבה אפשר לרשום‬
‫מבטא את קצב האפופטוזיס‪ ,‬שנוצר ע"י גורם חיצוני‪,‬‬
‫ההתחלקות‪ ,‬כלומר מבטא את הפרוליפרציה‪ ,‬ו‬
‫כגון האנג'יוסטטין‪ .‬ברצוני להצביע על נקודה נוספת בעיניין זה‪ .‬אם נלך לנוסחה הבסיסית ביותר ממנה‬
‫המופיעה כנוסחה )‪ (2.6‬ונשאל את עצמנו מדוע מותר לנו לרשום כאן‬
‫פותח המודל‬
‫‪113‬‬
‫תאים מתוך‬
‫במקום ‪ ‬והתשובה לכך פשוטה‪ :‬האפופטוזיס‪ ,‬קורה בזמן חלוקת התא ולכן‬
‫ה‪ N-‬שנכנסו למצב ‪ G1‬מתים בגלל סיבות שאינן קשורות במגבלות התזונה ורק על השאר קיימת‬
‫מגבלת התזונה‪.‬‬
‫‪.117‬‬
‫לסכום הדברים נאמר‪:‬‬
‫א‪ .‬בהתחשב בעובדה שהאנג'יוסטטין גורם לאפופטוזיס הרי המודל המתמטי מסביר את הצורך של‬
‫הסרטן לייצר חומר כזה‪ .‬מסתבר שחומר כזה חיוני להמשך התפתחות הסרטן תחת משטר הדיאטה‬
‫שלנו‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם אכן האנג'יוסטטין הוא החומר שהסרטן מייצר על מנת לשלוט על קצב התרבותו‪ ,‬פרוש הדבר‬
‫שהדיאטה גורמת לסרטן להגביר את ייצור האנג'יוסטטין‪ ,‬מאחר והדיאטה גורמת לסרטן להוריד קצב‬
‫התרבות על מנת לגדול‪ .‬ובכך הדיאטה תורמת תרומה נוספת למלחמה בסרטן‪ ,‬ומעכבת התפתחות של‬
‫גרורות וגורמת לעכוב של צמיחת כלי הדם‪ ,‬בדרך נוספת על העכוב המקורי של חומרים הדרושים לצורך‬
‫האנג'יוג'נסיס‪ .‬המשמעות הינה שכל שאנו מתקדמים עם הדיאטה והסרטן מוריד אגרסיביות‪ ,‬הרי שהוא‬
‫גם מוריד את קצב גידול כלי הדם המזינים‪ .‬כמובן כל זה בהנחה שאכן האנג'יוסטטין הוא החומר‬
‫שבעזרתו הסרטן מעלה או מוריד אגרסיביות במהירות‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא משנה מה הוא החומר הגורם לאפופטזיס של הסרטן והמשמש כאמצעי של הסרטן‪ ,‬המאפשר לו‬
‫להמשיך ולגדול‪ ,‬העובדה שתחת שמוש בפיטו‪ ,‬חוזר ה ‪ ‬מיד לרמתו המקורית‪ .‬עובדה זו יכולה להיות‬
‫מוסברת ע"י כך שהפיטו גורם לסרטן להפסיק ולייצר את אותו החומר ישירות או בעקיפין‪ .‬הנחה זו‬
‫הגיונית ביותר שהרי חסר הטסטוסטרון גורם למותם של תאי סרטן ולכן גודל הרקמה הסרטנית קטן ולכן‬
‫גם כמות האנג'יוסטטין קטנה‪ ,‬ובכך גורם ה ‪ Q-P‬בעקיפין לירידת האנג'יוסטטין‪ ,‬אך זה לא מסביר את‬
‫מהירות ירידת ה ‪ ,‬ייתכן גם שהוא גורם באיזושהי דרך ישירה להפסקת ייצור אותו החומר המגביר את‬
‫האפופטוזיס‪ ,‬כפי שהוא גורם להפסקת ייצור ה ‪ ,Psa‬נושא זה ראוי למחקר מעמיק ויש לו חשיבות‬
‫אדירה להבנת דרך הפעולה של הסרטן ברמת המקרו‪ ,‬כשלהבנה כזו יש משקל רב כמו להבנה ברמת‬
‫המיקרו ואולי אף הרבה יותר‪.‬‬
‫ד‪ .‬כל המסקנות שלעיל ניתנות לאימות או הפרכה באמצעות מדידות מעבדה שאינן נמצאות בידי‪ .‬בכל‬
‫מקרה ברור שאם אין זה האנג'יוסטטין‪ ,‬הרי חייב להיות חומר אחר‪ ,‬הגורם למות תאי סרטן‪ ,‬או להקטנת‬
‫רמת השגשוג שלהם‪ ,‬שכל המסקנות שלעיל חלות עליו‪ .‬אני מניח שאכן הכל חל על האנג'יוסטטין‪ ,‬מאחר‬
‫ואיני רואה שום סיבה‪ ,‬לפיה צריך הסרטן להשתמש בחומרים שונים על מנת להשיג מטרה שיכולה‬
‫להיות מושגת ע"י האנג'יוסטטין כחומר יחיד‪ ,‬מה גם שלא ידוע לי על חומר אחר שהסרטן מייצר וגורם לו‬
‫לאפופטוזיס‪ .‬ובכן "השערת האנג'יוג'נסטין" הינה ההשערה הבאה להסביר מדוע הסרטן מייצר את‬
‫האנג'יוסטטין‪ .‬לפי השערה זו האנג'יוסטטין חיוני לסרטן לצורך האפשרות להמשיך ולגדול תחת אילוצי‬
‫הרעבה‪ ,‬ועל כן זוהי סיבה מספקת בהחלט על מנת שהסרטן ייצר חומר זה‪ .‬בכך נפתרת הסתירה‪ ,‬או‬
‫התמיהה המובעת ב ‪ .112‬ג‪.‬‬
‫ה‪ .‬נדגיש שוב באופן מיוחד את הנקודה הבאה‪ :‬אם יסתבר שהנחת האנג'יוסטטין נכונה ‪ ,‬הרי שהדיאטה‬
‫מונעת באופן מיוחד גם התפתחות של גרורות וזאת באמצעות ההשפעה שלה על הפרשת‬
‫האנג'יוג'נסטין‪ ,‬וזה בנוסף לפעולתה הרגילה במניעת חומרי הגלם לחומרים יוצרי הדלקות‪.‬‬
‫‪ .118‬לאחר שדברנו על האנג'יוסטטין‪ ,‬מן הראוי שנזכיר בדיוק באותו הקשר את האנג'יוג'נין‪ ,‬מתברר‬
‫שהינו נגטיב של האנג'יוסטטין לא רק בנושא צמיחת כלי הדם המזינים את הסרטן אלא גם בנושא‬
‫האפופטוזיס וישנם מחקרים המראים שהאנג'יוג'נין גורם לפרוליפרציה של הסרטן באופן ישיר ע"י חדירה‬
‫לתוך התא הסרטני ולגרימה לתהליכים הכימיים ביולוגיים המתאימים‪ ,‬וכן גם מהווה גורם אנטי‬
‫אפופטוטיק‪ .‬ראה סימוכין ‪ .46‬שם נאמר‪:‬‬
‫‪114‬‬
‫‪These results suggest that angiogenin has a dual effect, angiogenesis and cancer cell‬‬
‫‪proliferation, in prostate cancer and may serve as a molecular target for drug‬‬
‫‪development .‬ראה גם סימוכין ‪49 , .48 , 47‬‬
‫יוצא מכך שלאנג'יוג'נין ולאנג'יוסטטין ישנן יכולות נוספות לתפקידם הראשי כמעוררי אנג'יוג'נסיס‪ ,‬או‬
‫מדכאי אנג'יוג'נסיס ויכולות אלו קשורות לעדוד ישיר של פרוליפרציה של תאי סרטן )לא רק סרטן‬
‫ערמונית( או לאפופטוזיס שלהם‪.‬‬
‫‪115‬‬
‫נספח ‪– 1‬השוואה בין ‪ Quercetine Plus‬לטיפול הורמונלי סטנדרטי‬
‫תכונותיו של הטיפול ההורמונלי הרצוי ‪.‬‬
‫‪.1‬לצרכים שלנו רצוי טפול הורמונלי הנותן‪:‬‬
‫א‪ .‬תגובה מהירה בהקטנת הגידול וה‪ ,Psa-‬הנושא מובן מאליו ככל שהירידה מהירה יותר נוכל להפסיק‬
‫את הטיפול ההורמונלי מהר יותר ולהרחיק את הרגע בו הסרטן יהפוך להיות עמיד לאנדרוגן‪ ,‬ונוכל‬
‫לעשות יותר שיני מסור בתהליך הטיפול האינטרמיטנטי‪.‬‬
‫ב‪.‬השפעתו עוברת במהירות עם הפסקת הטיפול‪ ,‬נחוץ מכמה סיבות‪:‬‬
‫‪ (1‬אם האפקט של לקיחת המוצר נמשך הרבה זמן‪ ,‬מעבר לרגע הפסקת הטיפול‪) ,‬למשל אם חזרת‬
‫רמת הטסטוסטרון לנורמה‪ ,‬הינה איטית ביותר( הרי מבחינת הסרטן יש פה מניעת אנדרוגן‪ ,‬אף על‬
‫פי שאינך לוקח את החומר הרפואי ולכן הוא ממשיך לנסות למצוא דרכים אחרות להתגבר על החסר‬
‫באנדרוגן‪ .‬אם יש איזשהו היגיון בטיפול האינטרמיטנטי‪ ,‬הרי נחוץ שהשפעת הטיפול תעבור מהר‬
‫ונניח לדיאטה בלבד לעשות את המלאכה‪.‬‬
‫‪ (2‬דבר זה רצוי כאשר רוצים לשלב טיפול הורמונלי עם הקרנות‪ :‬ישנם רופאים שאינם ממליצים על‬
‫טיפול הורמונלי לפני ותוך הקרנות‪ ,‬מאחר והם מעונינים לדעת את תוצאות ההקרנות מהר‪ .‬לכן אם‬
‫השפעת הטיפול ההורמונלי עוברת מהר‪ ,‬למשל תוך חודש ‪ ,‬הרי שבדיקות לאחר חודש או חודש‬
‫וחצי מציגות כבר את ה ‪ Psa‬האמיתי‪ ,‬והרופא יכול לדעת את התוצאות מהר מאד‪.‬‬
‫ג‪ .‬לטפול הורמונלי תוך ההקרנות‪ ,‬צריכה להיות התכונה שאין הוא פוגע בפרוליפרציה אלא מגביר את‬
‫האפופטסיס‪ ,‬זאת משום שההקרנות פועלות טוב במיוחד‪ ,‬בתהליך התחלקות התא‪ .‬טיפול המקיים את‬
‫ב‪ .‬אך לא את ג‪ .‬הינו טוב כהכנה לפני ההקרנה ‪ ,‬אך לא תוך כדי ההקרנה וקיים חומר המצביע על כך‬
‫שלא רצוי לקחת קזודקס תוך כדי הקרנות )סימוכין ‪.(.32‬‬
‫החישובים שלנו על מידת האגרסיביות של הסרטן תוך כדי לקיחת הפיטואסטרוגן מצביעה על כך שאין‬
‫הוא פוגע כלל בפרוליפרציה‪ ,‬ולכן יהיה זה נכון להשתמש בו תוך כדי ההקרנות‪.‬‬
‫ד‪ .‬ניתן לשלוט בכמות ההורמון הנלקח בכל רגע‪ ,‬הדבר מאפשר גמישות ושליטה בקצב הירידה‪.‬‬
‫ה‪ .‬ניתן להפסיק את הטיפול בכל רגע‪ ,‬נותן לך גמישות בקבלת החלטות בהתאם להתפתחות המחלה‪.‬‬
‫ו‪ .‬תופעות לוואי לא חמורות‪.‬‬
‫ז‪ .‬לא יקר‪ ,‬חשוב מאוד למי שצריך לרכוש זאת מכספו‪.‬‬
‫ח‪ .‬קל להשגה‪.‬‬
‫אבדוק כעת במלואן את התכונות של שני המוצרים ‪ Q-P‬ו ‪ Suprefact Depot 3 months‬שהינם שני‬
‫המוצרים שיש לי נתונים לגביהם ‪ .‬אני מניח שבעלי המקצוע יזהו תכונה כזו או אחרת בחומר שהם‬
‫מכירים או משתמשים בו‪.‬‬
‫נתוני מדידות בעת לקיחת ‪Q-P‬‬
‫‪ .2‬בסעיף ‪ .56‬הבאנו את הנתונים הקשורים ל ‪. Q-P‬‬
‫‪116‬‬
‫נתוני מדידות בעת לקיחת זריקות ‪ + Suprefact‬כדורי ‪Casodex‬‬
‫‪ .3‬להלן הנתונים‪:‬‬
‫א‪ .‬קיבלתי ‪ 4‬זריקות בהפרשים של כשלושה חודשים בין הזריקות‪ .‬הזריקה הראשונה היתה‬
‫ב‪ 27.05.06 -‬והאחרונה ב‪ , 24.08.07 -‬מספר ימים לפני כל זריקה לקחתי כדורי ‪ Casodex‬משך חודש‬
‫ימים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאחר הזריקה האחרונה נמדד הטסטוסטרון מספר פעמים )יסומן ב ‪ ,(T‬ולהלן התאריכים והתוצאות‪,‬‬
‫‪07.07.08 T=15.5 20.03.08 T=1.2 , 20.12.07 T<0.7 , 10.07.07 T<0.7‬‬
‫ג‪ .‬התפתחות ה ‪) Psa‬יסומן ב ‪, P<0.003 18.04.07 ,P<0.1 01.01.07 ,P=10.48 17.08.06 :(P‬‬
‫‪ P=0 ,03.09.07 P=0‬עד יולי ‪ , 2008‬שאז הופיע ‪. P=0.01‬‬
‫ד‪ .‬תופעות לוואי‪:‬‬
‫‪ (1‬עייפות‪ ,‬גלי חום‪ ,‬התנפחות השדיים‪ ,‬כאבים בשדיים‪.‬‬
‫‪ (2‬התכווצות איבר המין )חוזר לקדמותו לאחר הפסקת הטיפול(‪ ,‬רוב הזמן קצהו מכוסה בעודף‬
‫העור‪ ,‬דליפת שתן נשארת סגורה בתוך העור‪ ,‬הרגשת רטיבות‪ ,‬אי נוחות מתמדת‪ ,‬וריח שתן‪.‬‬
‫ניתוח הנתונים ומסקנות‬
‫‪ .4‬להלן המסקנות‪:‬‬
‫א‪ .‬חסימה מוחלטת של הטסטוסטרון מושגת ע"י ‪ Q-P‬מהר מאד‪ ,‬כנראה הרבה יותר מהר מאשר ה‬
‫‪ SUP‬ניתן לכוון את המהירות ועצמת החסימה ע"י מספר הכדורים שאתה לוקח ביום‪.‬‬
‫ב‪ .‬הפי‪.‬ס‪.‬אי‪.‬יורד מהר מאד עם ה ‪ Q-P‬הרבה יותר מהר מאשר כל מוצר אחר שאני מכיר‪ ,‬אלא‬
‫שבמקרה זה‪ ,‬אין זה מייצג את הגודל של הסרטן‪ ,‬מאחר והוכחנו שהוא ממסך את התוצאות האמיתיות‪,‬‬
‫יחד עם זאת ראינו מנוסחת הפיטואסטרוגן שהוא דועך בקצב המהיר ביותר האפשרי מאחר והוא דועך‬
‫בקצב ההתחלקות המכסימלית של הסרטן‪ .‬כמו‪-‬כן מאחר שהטסטוסטרון דועך יותר מהר ויותר עמוק‬
‫מאשר ב ‪ ,SUP‬סביר שכך גם גודלו של הגידול‪.‬‬
‫ג‪ .‬הטסטוסטרון עולה עם הפסקת השימוש ב ‪ Q-P‬לנורמה תוך חודש‪ ,‬ב ‪ SUP‬זה נמשך למעלה מ ‪10‬‬
‫חודשים אחרי הזריקה האחרונה‪ ,‬ואף ישנם מיקרים בהם זה יכול להגיע לשנתיים‪ .‬נקודה זו הינה גרועה‬
‫ביותר‪ ,‬מאחר ויש פה השפעה בלתי רצויה להפיכת הסרטן לעמיד כנגד אנדרוגן אף על פי שאינך לוקח‬
‫הורמונים‪ ,‬דבר המהווה בזבוז משווע של משאב מתכלה‪ .‬הרופאים חושבים שאם הם נותנים זריקה‪,‬‬
‫ואח"כ עושים הפסקה של חצי שנה‪ ,‬הרי שהם עושים טיפול איטרמיטנטי‪ ,‬בעוד שלמעשה הטיפול הוא‬
‫רציף‪ .‬את הסרטן לא מעניין שלא קבלת זריקה‪ ,‬מבחינתו‪ ,‬המצב הינו כאילו קיבלת זריקה‪ .‬ישנם רופאים‬
‫ה ‪ Zoladex‬לפני הקרנות ובהמשך עוד זריקה‪ ,‬דבר זה נמשך‬
‫הממליצים על ה ‪ SUP‬או על‬
‫שישה חודשים ובהמשך עוד עד ‪ 10‬חודשים סה"כ ‪ 16‬חודש ובזאת יש ניצול רב של משאב יקר ערך‪,‬‬
‫שיחסר לנו במקרה וההקרנות נכשלות‪ .‬על כן מבחינה זו יש עדיפות ברורה ל ‪ Q-P‬על פני ה ‪ , SUP‬ורק‬
‫בגלל זה לבד צריך להעדיף את ה ‪Q-P‬‬
‫ד‪ .‬בכל התכונות הרצויות בסעיף ‪ .1‬יש יתרון ברור ל ‪ Q-P‬על פני ה ‪.SUP‬‬
‫הערות סיכום‬
‫‪ .5‬נדגיש שה ‪ Q-P‬לא קבל אישור רפואי של ה ‪ ,FDA‬יחד עם זאת ה ‪ FDA‬גם לא פסל את השימוש בו‬
‫כפי שהוא עשה לגבי ה ‪ .PC-SPES‬אינני רופא ואינני יכול לאמר לאף אחד מה לעשות‪ .‬ואם מישהו ירצה‬
‫להשתמש בחומר זה הוא עושה זאת על אחריותו‪ .‬ידוע שטיפולים באסטרוגן יכולים להוביל ליצירת‬
‫קרישי דם העלולים להיות מסוכנים‪ .‬אני מתגבר על סכנה זו ע"י לקיחת אספירין אשר גם משמש מעכב‬
‫‪117‬‬
‫של ‪ COX-1‬ובכך תורם למלחמה באנג'יוג'נסיס‪ .‬כמו כן השמוש הנדיר בחומר זה ולתקופות קצרות‬
‫מפחית מהסכנה‪.‬‬
‫‪ .6‬הניתוח שלעיל מדגים‪ ,‬שיש צורך לבחור בתבונה את החומר בו אנו רוצים להשתמש ולראות האם‬
‫הוא משרת באמת את המטרה בצורה הטובה ביותר‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫נספח‪ :2-‬חישוב הנת"ה עבור שלב א' של ההרעבה‬
‫חישוב נת"ה עבור השלב הראשון‪.‬‬
‫בסעיף ‪ .23‬הבהרנו את הסיבות לרצוננו למציאת הנת"ה‪ ,‬ובהמשך נתנו הסבר קצר כיצד אנו מוצאים‬
‫זאת וכן את ריכוז התוצאות‪ .‬הבהרנו שמה שחשוב לנו זה למצוא דרך‪ ,‬בעזרתה נוכל להגיע אל הזמן‬
‫האמיתי‪ ,‬בו התחילה הדיאטה להשפיע‪ .‬הדבר חשוב בעקר מבחינה מעשית‪ ,‬מאחר שבעזרת זמן זה‪,‬‬
‫אוכל להגיע לחישוב‪ ,‬השפעת המיסוך של ה ‪ , Q-P‬על התוצאות האמיתיות של ה ‪) Psa‬ראה סעיפים‬
‫‪.1‬ז' ‪.1‬ח'(‪ .‬מאחר ובצעתי חישובים שהוצגו בטבלה‪ 5-‬אני רואה צורך לשמר את דרך החישוב במידה‬
‫ומישהו ירצה לבדוק זאת‪ .‬מספרי הנוסחאות כאן זהים למספריהם בסעיף ‪ .24‬בגוף העבודה‪.‬‬
‫)‪(2.52‬‬
‫אנו ראינו שנוסחת ההרעבה היא‬
‫)‪(2.53‬‬
‫נסמן ב ‪ t=0‬את הנת"ה‪ .‬מנוסחאות )‪ (2.19‬ו )‪ (2.20‬נובע שקיים‬
‫)‪(2.54‬‬
‫ובנוסחה )‪ (2.20.1‬קבלנו‬
‫מעיון בטבלה‪ 1-‬ברור לנו שהנת"ה חלה איפה שהוא בתקופה שבין ‪ 23.04.09‬לבין ‪ . 26.05.09‬על מנת‬
‫לפתור את בעייתנו‪ ,‬השתמשתי בתוכנית הגרפית )סימוכין ‪ ,(.18‬ובעזרתה‪ ,‬ושיטת נסה וטעה‪ ,‬מצאנו את‬
‫הפתרון המתאים כלהלן‪ :‬בשלב ראשון בחרנו יום כלשהו בתור היום של תחילת ההרעבה וסמנו יום זה‬
‫בתור ‪ t1‬וערכו היה מספר הימים שעברו מאז ה ‪ 23.04.09‬השארנו נתון זה בתור קבוע‪ ,‬וכנתון ניסיוני‬
‫הכנסנו ערך מקורב עבור ה‪ Psa-‬בזמן ‪ ,t1‬ונסמן ערך זה כ ‪ .p1‬הנקודה )‪ (t1,p1‬צורפה לחמשת הנקודות‬
‫שהיו במדגם והמופיעות בשורות ‪ 2-6‬בטבלה‪ .1-‬תחת ‪ 6‬הנקודות הללו מצאנו את הפרמטרים ‪S,C,‬‬
‫של מודל ההרעבה לפי שיטת מינימום ריבועי הסטיה של המודל מהנקודות במדגם‪ .‬כפי שעשינו קודם‪,‬‬
‫חיפשנו את הפתרון ל ‪) ‬ראה סעיף ‪ .17‬נוסחה )‪ ((2.43‬שצורתו הגרפית מופיעה ב שרטוט‪. 6-‬‬
‫‪ ,‬ואנו מחפשים כעת שיתקיים בו זמנית‬
‫בנוסף בנינו גרף ‪ DIF‬שהוגדר כך‪:‬‬
‫‪ ‬וגם ‪ ,DIF‬שזה קיום של המשוואה )‪ ,(2.54‬ומה שאנו מקבלים הינו משהו הדומה‬
‫לשרטוט הבא‪:‬‬
‫שרטוט‪35-‬‬
‫‪119‬‬
‫האזור המעניין אותנו הוא האזור החיובי‪ ,‬על מנת להבהיר ביתר דיוק את התהליך נציג את השרטוט עם‬
‫נתונים אחרים כשהוא מוגדל ליד אזור הפתרון ‪:‬‬
‫שרטוט‪36-‬‬
‫במקרה זה הנתונים הינם‪ (t1, p1)=(23, 0.087) :‬ואנו רואים שהמפגש בין שני הגרפים איננו על ציר‬
‫ה‪ ‬ולכן אין לנו פתרון מתאים בנקודה זו‪ .‬אנו משנים את ‪ p1‬ל ‪ ) 0.85‬בהתבסס על כך שערכו של‬
‫‪ S\‬כאשר ‪ ‬במקרה זה הוא ‪ ( 0.17‬ומשאירים ‪ t1‬ללא שינוי‪ ,‬תוך כעוד ‪ 2-3‬צעדים כאלה אנו‬
‫מצליחים להגיע למצב בו ‪ DIF=‬שמתקבל עבור ‪ p‬ו ‪ ‬ושני הגרפים‬
‫נפגשים על ציר ה ‪:‬‬
‫שרטוט‪37-‬‬
‫‪120‬‬
‫בנקודה זו אנו גם בודקים את סכום ריבוע ההפרשים‪‬שנסמנו ב ‪ ‬וכן נתונים נוספים‪ ,‬כך אנו עוברים‬
‫מתאריך לתאריך ומוצאים את הנתונים המתאימים‪ ,‬בסופו של דבר אנו בוחרים את הפתרון שנותן את‬
‫‪ ‬המינימלי‪ .‬הפתרון שמצאנו הוצג בטבלה‪ 5-‬בסעיף ‪ .24‬להלן שרטוט נוסף‪:‬‬
‫שרטוט‪38-‬‬
‫נתתי לתכנה הגרפית למצוא קרוב לגרף שנוסחתו זהה לנוסחת ההרעבה )‪ (2.15‬והמקיים את התנאי‬
‫‪ ,S=2C‬כאשר נקודות המדגם הן הנקודות שמדדנו ‪ +‬הנת"ה שחישבנו‪ .‬התכנה הגרפית מבקשת קירוב‬
‫לפרמטרים החסרים ומשם היא מתחילה את החישוב‪ ,‬לחישוב של קירוב ‪ 2‬הכנסנו את תוצאות הקירוב‬
‫הראשון וכך הלאה‪ ,‬הקירוב התייצב בשלב השישי‪ ,‬אשר זהה לחלוטין לשלב ‪ 5‬של הקירוב ‪ ,‬קבלנו‬
‫שהתוצאה הטובה ביותר הייתה למעשה ב ‪ 7.9‬ימים לפני המדידה הראשונה ולמעשה קבלנו את‬
‫הנוסחה של )‪ (2.55‬ומקדם הקורלציה הוא ‪ R=0.9966393‬מקדם קורלציה גבוה ביותר‪ .‬אם נתבונן‬
‫בטבלה ‪ 5‬בשורות של הימים ‪ ,26 ,25 ,24‬הרי ע"י אינטרפולציה נגיע לכך שהתוצאה המינימלית הייתה‬
‫איפשהו בתוך היום ה ‪ 26‬וזה מתאים לתוצאה של ‪ 7.9‬ימים שקבלנו מהתוכנה הגרפית‪ ,‬בדיקה על פי‬
‫שרטוט‪ 35-‬נתנה לנו תוצאה של ‪ 7.87‬אבל כמובן שרמת הדיוק הזו איננה חשובה‪.‬‬
‫‪121‬‬
‫נספח ‪ -3‬רשימת נושאים למחקר‬
‫‪ .1‬מחקר על ה ‪ Quercetin-Plus‬ומיסוך ה‪ ,Psa-‬מציאת נוסחת הדעיכה האמיתית‪ ,‬האם ממסך‬
‫חומרים נוספים שהסרטן מייצר כגון‪ :‬אנג'יוסטטין‪?5-HETE ,‬‬
‫‪ .2‬רכוז חומר מחקרי שה ‪ Psa‬מהווה גורם ביצירת עמידות של הסרטן כנגד שלילת אנדרוגן‪ .‬לחבר‬
‫עם מיסוך ה‪ Psa‬ע"י ה‪ Q-P‬ולראות האם פועל על סרטן עמיד לאנדרוגן‪ ,‬או האם מונע את הפיכתו‬
‫לעמיד לאנדרוגן? זה נושא לשני מחקרים‪:‬‬
‫א‪ .‬האם מונע הפיכה לעמיד כנגד שלילת אנדרוגן?‬
‫ב‪ .‬האם ה‪ Q-P‬פוגע בגידול אצל חולים שברור שהם עמידים לשלילת אנדרוגן? לא מספיק‬
‫למדוד ‪ Psa‬כי אולי ממסך אותו‪ ,‬ויש למדוד גודלו של הגידול‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫האם שלילת ה ‪ 5-HETE‬מביאה לאפופטוסיס או לנקרוסיס? אם זה נקרוסיס זה יביא לביסוס‬
‫המחשבה שזהו חומר ביניין חיוני לסרטן וזוהי הסיבה שהוא מייצר אותו‪.‬‬
‫‪ .4‬האם הסרטן מוריד אגרסיביות בעזרת ייצור האנג'יוסטטין? ניתן לביצוע בתהליך מחקרי כפי שנעשה‬
‫בעבודה זו ‪) ,‬ובהנחה שניתן למדוד ריכוז אנג'יוסטטין בדם ( כלהלן‪ :‬מדידת אנג'יו לפני הדיאטה‪ ,‬ובמהלך‬
‫הדיאטה יחד עם בדיקות ה‪ ,Psa‬ולראות האם יש קפיצה בריכוז האנג'יו‪ ,‬במקביל לקפיצה ב‪Psa‬‬
‫ובמקביל לירידת האגרסיביות‪ .‬אם כן‪ ,‬אזי ברור שהדיאטה גם מונעת התפתחות גרורות‪.‬‬
‫‪.5‬מדידות )‪ S(t‬בחינת ההתפתחות‪ ,‬לפי מה מתקדם הסרטן ? לפי‬
‫או‬
‫?‬
‫‪ .6‬אימות ירידת האגרסיביות לאורך זמן‪ ,‬משך השלבים‪ ,‬גודל הירידה‪ ,‬אחוז הירידה הממוצעת לעומת‬
‫החסם‪.‬‬
‫‪ .7‬האם שילוב דיאטה עם כימו בצורה אינטרמיטנטית יאריך חיים ובכמה? בסרטן כלשהו‪.‬‬
‫‪ .8‬כיצד ניתן ליישב את הסתירה שבין תורתו של ריצ'רד דוקינס המופיעה ב"גן האנוכי" ובין מחלת‬
‫הסרטן ההורגת את הנשא‪ ,‬או במילים של דוקינס את "מכונת השרידה של הגן"? האם הדבר ניתן‬
‫להסבר רק אם הסרטן מדבק?‪ ,‬אם הסרטן מדבק אזי זה הסבר מספק‪ ,‬כי השרידה שלו זה הפצתו ע"י‬
‫הדבקה‪ .‬הייתכן שהוא מדבק ואנו איננו יודעים זאת ? האם ייתכן שזה נכון במיוחד בסרטן הורמונלי?‬
‫האם יתכן שהוא מופץ על ידי מגע מיני? ד"ר סימוצ'יני מאיטליה טוען שהסרטן מקורו בפיטריות וצריך‬
‫לטפל בזה בעזרת סודה לשתיה‪ .‬ראה סימוכין ‪.56 .59 .58‬‬
‫‪.9‬האם שמוש ארוך בהורמון כלשהו או פיטואסטרוגן גורם לדעיכה של חלק מכלי הדם שנוצרו בתהליך‬
‫האנג'יוג'נסיס ‪ ,‬מה קורה בטיפול כימותרפי? מהו משך הזמן הזה?‬
‫‪ .10‬מה קובע את מידת האגרסיביות המקורית? האם יש קצב קבוע בכניסה ל‪ G1‬והשאר נקבע על ידי‬
‫המזון?‬
‫‪ .11‬איך הסרטן יודע מתי הוא מפסיק לגדול? וכיצד הוא קובע את קצב ההתחלקות ?‬
‫‪ .12‬האם רכוז האנג'יוג'נין הוא פונקציה של גודל הסרטן? כאשר מקדם הגידול קבוע והסרטן לא שולט‬
‫בו‬
‫‪.13‬בניית גרף דעיכה לטיפול כימותרפי בדומה לגרף ה‪ Psa‬וניתן יהיה לבצע הערכות על שילוב דיאטה‬
‫וטיפול כימותרפי‪.‬‬
‫‪122‬‬
‫מקורות‬-4 ‫נספח‬
http://en.wikipedia.org/wiki/Linoleic_acid
:‫ חומצה לינולאית והפיכתה לחומצה ארכידונית‬.1
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Steroidogenesis.svg
:‫ תהליך הווצרות ההורמונים‬.2
http://en.wikipedia.org/wiki/Aromatase
‫ הקשר בין אינסולין לארומטז‬.3
Sugar sweet satanic seduction Smart life forum, Stanford Field, August 18 2005
.4
http://smartlifeforum.org/toolateschmart/PDF/Sugar.pdf
http://nutritiondata.self.com/
‫ הרכבי מזון ותכונותיהם‬.5
Glycemia, starch, and sugar in context by Dr. Ray Peat
.6
http://raypeat.com/articles/articles/glycemia.shtml
http://en.wikipedia.org/wiki/Omega-9_fatty_acid
9 ‫ חומצת שומן אומגה‬.7
http://en.wikipedia.org/wiki/Fatty_acid
‫ חומצות שומן‬.8
Is surgery appropriate for men with Gleason 8-10 disease?
.9
http://prostatecancerinfolink.net/2008/12/02/is-surgery-appropriate-for-men-with/gleason-8-10-disease
Serum half-life time determination of free and total prostate-specific antigen
.10
following radical prostatectomy–a critical assessment.
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/10197847
Phytoestrogens inhibit human 17b-hydroxysteroid dehydrogenase type 5
.11
A. Krazeisen, R. Breitling, G. Moller, J. Adamski
GSF National Research Center for Environment and Health, Institute for Experimental
Genetics, Genome Analysis Center,
Ingolstadter Landstraße 1, 85764 Neuherberg, Germany
http://gbic.biol.rug.nl/~rbreitling/publications/HSD5Inhibition.pdf
The Journal of Alternative and Complementary Medicine
.12
Role of Herbal Compounds (PC-SPES) in Hormone-Refractory Prostate Cancer: Two
Case Reports.
Alexandre de la Taille, Omar R. Hayek, Martin Burchardt, Tatjana Burchardt and Aaron
E. Katz. The Journal of Alternative and Complementary Medicine. October 2000, 6(5):
449-451. doi:10.1089/acm.2000.6.449.
Published in Volume: 6 Issue 5: September 24, 2007
http://www.liebertonline.com/doi/abs/10.1089/acm.2000.6.449
PRODUCT MONOGRAPH CASODEX®
.13
Non-Steroidal Antiandrogen
http://www.astrazeneca.ca/documents/ProductPortfolio/CASODEX_PM_en.pdf
SUPREFACT® DEPOT 2 months Buserelin acetate implant buserelin base 6.3 mg & .14
SUPREFACT® DEPOT 3 months Buserelin acetate implant buserelin base 9.45 mg
Luteinizing Hormone-Releasing Hormone (LH-RH) Analogue
http://www.sanofi-aventis.ca/products/en/suprefact-depot.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/P53
.15
Inhibition of arachidonate 5-lipoxygenase triggers massive apoptosis in human
.16
Prostate cancer cells
Jagadananda Ghosh and Charles E. Myers
http://www.pnas.org/content/95/22/13182.full
Cancer Smart Bomb, Part I: An Idea from Ancient Chinese Medicine
.17
By Christina L. White
http://www.mwt.net/~drbrewer/canart1.htm
Graph
.18
http://www.padowan.dk/graph
Anti cancer effects of curcumin: cycle of life and death
.19
Gaurisankar Sa* and Tanya Das
123
http://www.celldiv.com/content/3/1/14
MERCK MANUAL – Prostate Cancer
.20
http://www.merckmanuals.com/professional/genitourinary_disorders/genitourinary_canc
er/prostate_cancer.html
Health 24- Prostate Cancer
.21
http://www.health24.com/medical/Condition_centres/777-792-802-1625,11957.asp
Clearance rates of total prostate specific antigen (PSA) after radical prostatectomy .22
in African-Americans and Caucasians
http://www.nature.com/pcan/journal/v5/n2/full/4500567a.html
Table2
http://www.nature.com/pcan/journal/v5/n2/fig_tab/4500567t2.html
QUERCETIN PLUS (Prostasol) Nutritional Support Formula
.23
http://www.healthyitems.com/quercetin-plus-p/4860.htm
QUERCETIN PLUS , Customer Review
.24
http://www.healthyitems.com/quercetin-plus-p/4860.htm
Tissue Prostate-Specific Antigen Facilitates Refractory Prostate Tumor Progression .25
via Enhancing ARA70-Regulated Androgen Receptor Transactivation
http://cancerres.aacrjournals.org/content/68/17/7110.full
Does PSA Promote Prostate Cancer?
.26
http://www.lef.org/magazine/mag2005/dec2005_supp_psa_01.htm
Growth and Decay Mathemathical Model
:‫ מודל לידה ומוות‬.27
http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/exp/Q.exp.html
The Parent Hormone, Pregnenolone
‫ פרגנונלון‬.28
http://www.natmedsol.com/173/the-parent-hormone-pregnenolone
http://en.wikipedia.org/wiki/Pregnenolone
http://en.wikipedia.org/wiki/Abiraterone
:‫ אבירטרון‬.29
The Role of Abiraterone Acetate in the Management of Prostate Cancer: A Critical
Analysis of the Literature
http://www.europeanurology.com/article/S0302-2838(11)004131/pdf/The+Role+of+Abiraterone+Acetate+in+the+Management+of+Prostate+Canc
er%3A+A+Critical+Analysis+of+the+Literature
Phase I Clinical Trial of a Selective Inhibitor of CYP17, Abiraterone Acetate, Confirms
That Castration-Resistant Prostate Cancer Commonly Remains Hormone Driven
http://jco.ascopubs.org/content/26/28/4563.full
CYP17A1
.30
http://en.wikipedia.org/wiki/CYP17A1
Endocrine profiles during administration of the new non-steroidal anti-androgen
.31
Casodex in prostate cancer.
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/7525125
Antagonistic Interaction between BicalutamideTM
.32
(Casodex1) and RadiationinAndrogen-Positive
ProstateCancer LNCaPCells
Laurent Que´ro, Nicole Giocanti, Christophe Hennequin, and Vincent Favaudon
Angiostatin: a novel angiogenesis
.33
inhibitor that mediates the suppression of metastases by a Lewis lung carcinoma.
Cell. 1994 Oct 21; 79(2):315-28
O'Reilly MS, Holmgren L, Shing Y, Chen C, Rosenthal RA, Moses M, Lane WS, Cao Y,
Sage EH, Folkma
Angiostatin induces and sustains dormancy of human primary tumors in mice
.34
Michael S. O'Reilly1, 3, Lars Holmgren2, Catherine Chen1 & Judah Folkman1
Nature Medicine 2, 689 – 692 (1996)
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/8640562
124
Videos about Judah Folkman's research for Angiostatin
.35
Cancer Warrior. Nova Online, 2001,
Accesse at http://www.pbs.org/wgbh/nova/cancer/program.html
Transcripts of the videos at http://www.pbs.org/wgbh/nova/transcripts/2805cancer.html
DAWNING OF THE AGE OF
.36
ANGIOGENESIS
Bob Leibowitz M.D.
December 1997 April 2004(Revised)
http://www.compassionateoncology.org/pdfs/dawning.0404.pdf .
Human angiostatin inhibits murine hemangioendothelioma tumor growth in vivo.
.37
http://www.biomedsearch.com/nih/Human-angiostatin-inhibits-murinehemangioendothelioma/9393749.html
http://cancerres.aacrjournals.org/content/57/23/5277.long
Angiostatin Is Directly Cytotoxic to Tumor Cells at Low Extracellular pH: A
.38
Mechanism Dependent on Cell Surface–Associated ATP Synthase
http://cancerres.aacrjournals.org/content/66/2/875.full
Highest Recorded PSA
Psa ‫ עדויות על רמות גבוהות במיוחד של‬.39
http://www.healingwell.com/community/default.aspx?f=35&m=1753994
Five-lipoxygenase inhibitors can mediate apoptosis in human breast cancer celllines .40
through complex eicosanoid interactions.
By I Avis, S H Hong, A Martinez, T Moody, Y H Choi, J Trepel, R Das, M Jett, J L
Mulshine
http://www.mendeley.com/research/fivelipoxygenase-inhibitors-mediate-apoptosis/human-breast-cancer-cell-lines-through-complex-eicosanoid-interactions
William Li: Can we eat to starve cancer?
.41
http://www.ted.com/talks/william_li.html
Captopril as a Potential Inhibitor of Lung Tumor Growth and Metastasis
.
.42
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1196/annals.1414.011/abstract;jsessionid=D569E7
C6F28FAB3A2A3CD8DA07AAA6A6.d01t04?systemMessage=Wiley+Online+Library+w
ill+be+disrupted+4+Feb+from+10-12+GMT+for+monthly+maintenance
First and Second Order Differential Equations
.43
http://sosmath.com/tables/diffeq/diffeq.html
Pharmacokinetics of Corticosteroids
.44
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK13300
Eicosanoids
.45
http://en.wikipedia.org/wiki/Eicosanoid
therapeutic target for prostate cancer based on angiogenin-stimulated angiogenesis .46
and cancer cell proliferation.
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1599992/?tool=pubmed
Angiogenin functionally interacts with p53 and regulates p53-mediated apoptosis
.47
and cell survival.
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22266868
Angiogenin is involved in lung adenocarcinoma cell proliferation and angiogenesis. .48
http://www.lungcancerjournal.info/article/S0169-5002%2808%2900674-0/abstract
Mechanisms of action of angiogenin
.49
www.abbs.info/pdf/40-07/8-619-08179.pdf
Arachidonic acid
.50
http://en.wikipedia.org/wiki/Arachidonic_acid
Essential fatty acid interactions
.51
http://en.wikipedia.org/wiki/Essential_fatty_acid_interactions
The omega-6/omega-3 fatty acid ratio, genetic variation, and cardiovascular disease .52
Artemis P Simopoulos MD
125
The Center for Genetics, Nutrition and Health, Washington, DC, USA
http://211.76.170.15/server/APJCN/Volume17/vol17suppl.1/131-134S6-6.pdf
The Cell Cycle G1-phase regulation.
.53
http://cancerinform.stormpages.com/tutorial/cell_cycle/g1_phase.html
"2000-2009 ‫דו"ח משרד הבריאות "סיבות מוות מובילות בישראל‬
.54
http://www.health.gov.il/PublicationsFiles/Death2000_2009.pdf
Diethylstilbestrol (Veterinary—Systemic)
.55
https://vetmed.tamu.edu/common/docs/public/aavpt/diethylstilbestrol.pdf
The Prime Cause and Prevention of Cancer
.56
Dr. Otto Warburg Lecture delivered to Nobel Laureates on June 30, 1966
http://www.alkalizeforhealth.net/Loxygen2.htm
http://www.tau.ac.il/~talisaar/cell/cycle.html
‫ מחזור התא‬.57
Cancer - The Fungal Hypothesis - by Dr. T. Simoncini
.58
http://www.curenaturalicancro.com/video-simoncini.html
Examples of therapy with sodium bicarbonate solution.
.59
http://www.curenaturalicancro.com/therapy-simoncini.html
Estriol
.60
Occupational Safety and Health Administration
http://www.osha.gov/dts/chemicalsampling/data/CH_238923.html
‫סוף‬
126