"ר המפוזר מכפר אז

‫בס"ד אב תשע"ב‬
‫המפוזר מכפר אז"ר‬
‫בתחילת כל שבוע יש בארונו של המפוזר מכפר אז"ר חמש חולצות נקיות‪.‬בכל בוקר לובש‬
‫המפוזר חולצה שבחר באופן אקראי‪ .‬בסוף היום הוא מחזיר את החולצה שלבש באותו יום‬
‫חזרה לארון‪.‬‬
‫א‪ .‬עבור כל אחד מששת ימי העבודה חשב‪/‬י את ההסתברות שביום זה ילך המפוזר‬
‫לעבודתו בחולצה נקייה?‬
‫ב‪ .‬יהי ‪ X‬מ"מ המתאר את מספר היום בשבוע שבו לבש המפוזר לראשונה חולצה לא‬
‫נקייה‪ .‬חשבי את פונקצית ההסתברות של ‪ X‬ואת התוחלת של ‪. X‬‬
‫ג‪ .‬יהי ‪ Y‬מ"מ המתאר את מספר הימים (המירבי) שחולפים מתחילת השבוע ובהם לבש‬
‫המפוזר ברציפות חולצה נקייה‪ .‬חשבי את פונקצית ההסתברות של ‪ Y‬ואת התוחלת‬
‫של ‪ , Y‬על סמך הקשר בין המ"מ ‪ X‬מסעיף ב ל‪. Y -‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬נדון תחילה‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬ביום הרביעי‪ ,‬כלומר נחשב את ההסתברות שביום הרביעי ילבש המפוזר‬
‫חולצה נקיה‪ .‬מספר האפשרויות הכללי (ללא הגבלות) ‪ ,‬לבחור חולצות בארבעת הימים הראשונים‪,‬‬
‫הוא ‪ 5 4‬כיון שבכל יום יכול המפוזר לבחור אחת מתוך ‪ 5‬חולצות‪ .‬קבוצת האפשרויות לעשות את זה‬
‫היא מרחב המדגם שגודלו‪ ,‬כאמור‪( . 5 4 ,‬חשבו על כל בחירה של חולצה כעל סדרה באורך ‪ 4‬שרכיביה‬
‫מתוך הקבוצה }‪ . {1,2,3,4,5‬בחירה אפשרית יכולה להיות )‪ (1,1,2,3‬שפירושה‪ :‬ביום הראשון וביום‬
‫השני לבש את החולצה שמספרה ‪ ,1‬בשלישי את החולצה שמספרה ‪ 2‬וברביעי את החולצה שמספרה ‪.3‬‬
‫במקרה זה הרביעית נקייה‪ .‬בבחירה החולצה שלבש ביום הרביעי אינה נקיה‪).‬‬
‫כעת‪ ,‬נחשב את מספר האפשרויות לבחור חולצות בארבעת הימים הראשונים כך שביום הרביעי‬
‫המפוזר ילבש חולצה נקיה‪ .‬נקבע תחילה את החולצה שילבש ביום הרביעי‪ .‬זו יכולה להיות כל אחת‬
‫מ ‪ 5‬החולצות‪ ,‬לכן יש לו ‪ 5‬אפשרויות לעשות זאת‪ .‬כדי שיתקיים התנאי‪ ,‬אסור לו ללבוש את החולצה‬
‫שבחר עבור היום הרביעי באף אחד משלשת הימים הראשונים‪ .‬לכן עבור כל אחד מאלה הוא יכול‬
‫לבחור חולצה אחת מתוך ‪ . 4‬יש ‪ 4 3‬אפשרויות לעשות זאת ובס"ה ‪ 5  4 3‬אפשרויות‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬כיון שלכל אחת מהאפשרויות לבחור חולצות ל ‪ 4‬הימים הראשונים יש אותה הסתברות‪ ,‬מדובר‬
‫כאן על מרחב הסתברות אחיד ולכן ההסתברות לבחור כך שביום הרביעי ילבש חולצה נקייה תחושב‬
‫‪5  43  4 ‬‬
‫בשיטת הרצוי חלקי המצוי‪ ,‬כלומר ההסתברות היא‪. 4    :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫את אותו שיקול בדיוק נוכל להפעיל עבור פתרון בעיית ההסתברות שבחירת החולצות ב ‪ i‬הימים‬
‫הראשונים כך שביום ה ‪ i‬ילבש חולצה נקייה‪ .‬לפי אותם שיקולים‪ ,‬נקבל שההסתברות היא‬
‫‪i 1‬‬
‫‪5  4 i 1  4 ‬‬
‫‪P{ X  i} ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5i‬‬
‫‪5‬‬
‫וזאת לכל ‪. 1  i  6‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את }‪ , P{ X  i‬כלומר את ההסתברות לכך שביום ה ‪ i‬ילבש המפוזר לראשונה חולצה‬
‫משומשת ואילו בימים הקודמים ילך עם חולצות נקיות‪( .‬מה שילבש אחרי היום ה ‪ i‬אינו מעלה ואינו‬
‫מוריד)‪ .‬ובכן‪ ,‬שוב מרחב המדגם הוא בגודל ‪. 5 i‬‬
‫נקבע תחילה את החולצה שילבש ביום ה ‪ . i‬לכך יש ‪ 5‬אפשרויות‪ .‬נקרא לחולצה זו ‪. A‬‬
‫כעת‪ ,‬כיון ש ‪ A‬משומשת‪ ,‬פירוש הדבר הוא שמיודעינו כבר לבש אותה פעם אחת באחד הימים‬
‫הקודמים (ולא יותר‪ ,‬שהרי ביום ‪ i‬הוא לובש לראשונה חולצה משומשת)‪ .‬נניח לרגע שהוא לובש את‬
‫חולצה ‪ A‬ביום הראשון‪ .‬נותרו לנו עוד ‪ i  2‬ימים‪ ,‬עבורם עלינו לבחור ‪ i  2‬חולצות שונות מתוך ה ‪5‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫הקיימות‪ .‬יש ‪‬‬
‫‪i  2‬‬
‫‪ ‬אפשרויות לעשות את זה‪( .‬אנו מניחים בשלב זה ש‪ , i  2  1‬כלומר ‪. i  3‬‬
‫במקרים האחרים‪ ,‬מקרי הקצה נטפל בהמשך)‪ .‬כעת‪ ,‬יש לנו ‪ i  1‬חולצות ל ‪ i  1‬ימים אבל עוד לא‬
‫החלטנו באיזה יום ילבש כל חולצה‪ .‬לכן נכפיל ב !)‪ (i  1‬אפשרויות לסדר את החולצות בין הימים‪.‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫בס"ה מספר האפשרויות מסתכם ל ‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 5(i  1)!‬‬
‫נבדוק את מקרי הקצה‪:‬‬
‫אם ‪ i  2‬אז ביום הראשון ובשני המפוזר לובש את אותה חולצה‪ .‬יש ‪ 5‬אפשרויות לבחור את‬
‫‪ 5 ‬‬
‫החולצה הזו וזה מסתדר עם הצבת ‪ i  2‬בנוסחא ‪‬‬
‫‪i  2‬‬
‫‪. 5(i  1)!‬‬
‫אם ‪ i  1‬אז היום הראשון הוא היום שבו לבש לראשונה חולצה מלוכלכת‪ .‬אבל זה לא יתכן‪ ,‬כמובן‪,‬‬
‫לכן יש ‪ 0‬אפשרויות כאלה‪.‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5(i  1)!‬‬
‫‪i  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫לכן ההסתברות היא‬
‫‪ P{ X  i} ‬עבור ‪ i  2‬ו ‪. P{X  1}  0‬‬
‫‪5i‬‬
‫את התוחלת נותיר לכן לחשב בעצמכן‪.‬‬
‫ג‪.‬קל לראות ש ‪ . Y  X  1‬ולכן }‪ . P{Y  i}  P{X  1  i}  P{X  i  1‬זה נותן לנו את‬
‫ההסתברות של }‪ P{ X  i‬וחישוב התוחלת נובע מכך ש ‪:‬‬
‫‪. E[Y ]  E[ X  1]  E[ X ]  E[1]  E[ X ]  1‬‬